APUNTES DE FÍSICA SEGUNDO DE BACHILLERATO · APUNTES DE FÍSICA SEGUNDO DE BACHILLERATO Clemente...

APUNTES DE FÍSICA

SEGUNDO DE BACHILLERATO

Clemente Moreno Garrido

I.E.S. Mediterráneo

La Línea de la Concepción (Cádiz)

Contents

1 REPASO. 6

1.1 VECTORES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.1 Sistema de referencia ortonormal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.2 Vector entre dos puntos. Componentes y módulo. Vector libre. . . . . . . . 6

1.1.3 Espacio Vectorial. Vectores unitarios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.4 Más operaciones con vectores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 DERIVACIÓN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.1 Denición y reglas de derivación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.2 Derivadas de funciones elementales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.3 Otras derivadas útiles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3 CINEMÁTICA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.1 Sistema de referencia inercial. Vector de posición. Velocidad. Aceleración. 9

1.3.2 Componentes intrínsecas de la aceleración. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.3 Análisis dimensional y unidades en el Sistema Internacional. . . . . . . . . 9

1.3.4 Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.5 Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado (MRUA). . . . . . . . . . 10

1.3.6 Movimiento Uniformemente Acelerado (MUA). . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.7 Magnitudes angulares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.8 Movimiento Circular Uniforme (MCU). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.9 Movimiento Circular Uniformemente Acelerado (MCUA). . . . . . . . . . . 10

1.4 INTEGRACIÓN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4.1 Primitiva de una función. Integral indenida. Propiedades. . . . . . . . . . 11

1.4.2 Algunas integrales inmediatas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4.3 Integral denida. Propiedades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4.4 Teorema Fundamental del Cálculo. Regla de Barrow. . . . . . . . . . . . . 12

1.5 DINÁMICA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5.1 Leyes de Newton. Fuerza. Unidad S.I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5.2 Sistemas de referencia inerciales y no inerciales. . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5.3 Cantidad de movimiento e impulso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5.4 Momento angular. Momento de una fuerza. . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5.5 Condiciones de Estática. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14


1.5.7 Denición de energía. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.5.8 Trabajo y energía cinética. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.5.9 Trabajo y energía potencial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.5.10 Ley de conservación de la energía mecánica. . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.5.11 Potencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16


2 INTERACCIÓN GRAVITATORIA. 17

2.1 Introducción. Leyes de Kepler. Ley de la gravitación universal. . . . . . . . . . . . 17

2.2 Campo gravitatorio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3 Energía potencial gravitatoria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.4 Potencial gravitatorio. Análisis dimensional y unidades S.I. . . . . . . . . . . . . . 18

2.5 Campo gravitatorio de una masa puntual. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.6 Campo gravitatorio constante. Supercie terrestre. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.7 Flujo del campo gravitatorio. Análisis dimensional y unidades S.I. . . . . . . . . . 19

2.8 Campo gravitatorio planetario. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3 INTERACCIÓN ELECTROMAGNÉTICA. 21

3.1 ELECTROSTÁTICA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.1.1 Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.1.2 Carga eléctrica. Unidad S.I. Ley de Coulomb. . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.1.3 Campo electrostático. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.1.4 Energía potencial electrostática. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.1.5 Potencial electrostático. Unidad S.I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.1.6 Campo electrostático de una carga puntual. . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.1.7 Campo electrostático constante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.1.8 Flujo del campo electrostático. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.1.9 Campo de una lámina plana. Condensadores. . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.1.10 Campo en el interior de una esfera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.1.11 Campo de un hilo conductor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.1.12 Resumen de campos electrostáticos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2 MATERIA Y ELECTRICIDAD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.2.1 Partículas, átomos y moléculas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.2.2 Materiales conductores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.2.3 Capacidad. Unidad S.I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2.4 Corriente eléctrica. Unidad S.I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2.5 Resistencia en un circuito. Leyes de Ohm y de Joule. Unidad S.I. . . . . . 28

3.2.6 Dieléctricos o aislantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28


3.3 ELECTROMAGNETISMO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.3.1 Introducción. Leyes de Maxwell. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.3.2 Campo magnético. Imanes. Unidad S.I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.3.3 Campo magnético de una carga puntual en movimiento. Ley de Biot-Savart. 31

3.3.4 Campo magnético de una corriente eléctrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.3.5 Fuerza electromagnética. Ley de Lorentz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.3.6 Fuerza magnética sobre una carga puntual. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.3.7 Aplicaciones: Espectrógrafo de masas y ciclotrón. . . . . . . . . . . . . . . 33

3.3.8 Fuerza magnética sobre hilos conductores. Amperio. . . . . . . . . . . . . . 34

3.3.9 Fuerza magnética sobre una espira de corriente. . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.3.10 Aplicaciones: Galvanómetro. Motor eléctrico de corriente continua. . . . . 35

3.3.11 Flujo magnético. Unidad S.I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.3.12 Inducción electromagnética. Ley de Faraday-Lenz. . . . . . . . . . . . . . . 36

3.3.13 Aplicaciones: Generadores y transformadores. . . . . . . . . . . . . . . . . 36


4 ONDAS. 38

4.1 MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (M.A.S.). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.1.1 Ecuación del m.a.s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.1.2 Fuerza elástica. Dinámica del m.a.s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.2 MOVIMIENTO ONDULATORIO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.2.1 Características y clasicación. Propagación. Polarización. . . . . . . . . . . 39

4.2.2 Ecuación de la onda armónica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.2.3 Diagramas de propagación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.2.4 Reexión, refracción y absorción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.2.5 Interferencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.2.6 Difracción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.2.7 Ondas estacionarias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.2.8 Ondas sonoras. Acústica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.3 ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.3.1 Introducción histórica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.3.2 Ecuaciones de onda electromagnética. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.3.3 Espectro electromagnético. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.3.4 Índice de refracción y ángulo límite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.3.5 Dispersión de la luz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.4 ÓPTICA GEOMÉTRICA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.4.1 Sombras y penumbras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.4.2 Sistemas ópticos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.4.3 Lentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.4.4 Espejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.4.5 Ecuaciones de óptica geométrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.4.6 El ojo como instrumento óptico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.4.7 Instrumentos ópticos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5 FÍSICA MODERNA. 57

5.1 FÍSICA NUCLEAR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.1.1 Modelos atómicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.1.2 Estructura atómica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.1.3 Interacción nuclear fuerte. Estabilidad nuclear. . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.1.4 Radioactividad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.1.5 Ley de desintegración radioactiva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.1.6 Familias radioactivas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.1.7 Reacciones nucleares. Fisión y fusión nuclear. . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.1.8 Física nuclear y sociedad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.2 FÍSICA CUÁNTICA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.2.1 Origen experimental de la Física Cuántica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.2.2 Radiación térmica. Hipótesis de Max Planck. . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.2.3 Efecto fotoeléctrico. Explicación de Albert Einstein. . . . . . . . . . . . . . 67

5.2.4 Espectros atómicos. Modelo atómico de Niels Böhr. . . . . . . . . . . . . . 68

5.2.5 Dualidad onda-curpúsculo. Hipótesis de Louis de Broglie. . . . . . . . . . . 69

5.2.6 Principio de incertidumbre de Heisenberg. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

1 REPASO.

1.1 VECTORES.

1.1.1 Sistema de referencia ortonormal.

Desde un punto arbitrario del espacio O se jan tres rectasnuméricas orientadas (X, Y, Z), perpendiculares dos a dos y con elvalor de 0 en el punto de intersección O.Se denominan ejes coordenados o cartesianos.

Desde los valores positivos de Z, el ángulo desde los valorespositivos de X a los de Y es antihorario.

Cada punto P en el espacio viene deteminado por tres valores numéricos, sus coordenadas(Px, Py, Pz), que son las medidas de las proyecciones ortogonales desde P a cada uno de losejes.

1.1.2 Vector entre dos puntos. Componentes y módulo. Vector libre.

Dados dos puntos A y B se dene el vector ~u =−→AB como el segmento orientado de A hasta B.

El vector ~u es la diagonal de un ortoedro de lados Bx−Ax, By−Ay, Bz−Az. A estas cantidadesse las denomina componentes del vector: (ux, uy, uz).

La longitud del segmento se denomina módulo del vector, |~u|, y se calcula aplicando el Teoremade Pitágoras en el espacio: |~u| =

√u2x + u2y + u2z.

Un vector libre es aquel que no está referenciado a dos puntos del espacio, y sólo se determinapor sus componentes.

1.1.3 Espacio Vectorial. Vectores unitarios.

Suma de vectores: ~u+ ~v =−−−→u+ v = (ux + vx, uy + vy, uz + vz)

• Grupo conmutativo: Asociativa, elemento neutro (~0), elemento opuesto, comnutativa.

Producto por un escalar: λ~u =−→λu = (λux, λuy, λuz)

• κ(λ~u) = (κλ)~u • 1~u = ~u

• λ(~u+ ~v) = λ~u+ λ~v • (κ+ λ)~u = κ~u+ λ~u

Denimos vectores unitarios de la misma dirección y sentido que los ejes coordenados:~i = (1, 0, 0), ~j = (0, 1, 0), ~k = (0, 0, 1).

Entonces, ~u = (ux, uy, uz) = ux~i+ uy~j + uz~k

Además,~u

|~u|es un vector unitario de igual dirección y sentido que ~u.

1.1.4 Más operaciones con vectores.

Producto escalar: ~u · ~v = uxvx + uyvy + uzvz

• ~u · ~v = |~u||~v| cosα ⇒ ~u · ~v = 0⇔ ~u ⊥ ~v

• ~u · ~u = |~u|2

• ~u · ~v = ~v · ~u

• λ~u · ~v = ~u · λ~v = λ(~u · ~v)

• ~u · (~v + ~w) = (~u · ~v) + (~u · ~w)

• (~u · ~v)2 6 |~u|2|~v|2

Producto vectorial: ~u ∧ ~v = (uyvz − uzvy)~i+ (uzvx − uxvz)~j + (uxvy − uyvx)~k =

∣∣∣∣∣∣~i ~j ~kux uy uzvx vy vz

∣∣∣∣∣∣• |~u ∧ ~v| = Área del paralelogramo denido por ~u,~v

• |~u ∧ ~v| = |~u||~v| senα ⇒ ~u ∧ ~v = 0⇔ ~u ‖ ~v (~u ∧ ~u = 0)

• (~u ∧ ~v) ⊥ ~u, (~u ∧ ~v) ⊥ ~v, (~u,~v, ~u ∧ ~v) terna positiva.

• ~u ∧ ~v = −~v ∧ ~u

• λ~u ∧ ~v = ~u ∧ λ~v = λ(~u ∧ ~v)

• ~u ∧ (~v + ~w) = (~u ∧ ~v) + (~u ∧ ~w), (~v + ~w) ∧ ~u = (~v ∧ ~u) + (~w ∧ ~u)

• |~u ∧ ~v|2 = |~u|2|~v|2 − (~u · ~v)2

Producto mixto: [~u,~v, ~w] = ~u · (~v ∧ ~w) =

∣∣∣∣∣∣ux uy uzvx vy vzwx wy wz

∣∣∣∣∣∣• [~u,~v, ~w] = Volumen del paralelepípedo denido por ~u,~v, ~w

• [~u,~v, ~w] = 0⇔ ~u,~v, ~w linealmente dependientes (coplanarios)

• [~u,~v, ~w] = [~w, ~u,~v] = [~v, ~w, ~u] = −[~v, ~u, ~w] = −[~w,~v, ~u] = −[~u, ~w,~v]

• λ[~u,~v, ~w] = [λ~u,~v, ~w] = [~u, λ~v, ~w] = [~u,~v, λ~w]

• [~u+ ~x,~v, ~w] = [~u,~v, ~w] + [~x,~v, ~w] Igual con ~v + ~x, ~w + ~x

1.2 DERIVACIÓN.

1.2.1 Denición y reglas de derivación.

f ′(x) =df(x)

dx= lim

h→0

f(x+ h)− f(x)

h= lim

x→x0

f(x)− f(x0)

x− x0

f(x) = a u(x) + b v(x) ⇒ f ′(x) = a u′(x) + b v′(x)

f(x) = u(x) v(x) ⇒ f ′(x) = u′(x) v(x) + u(x) v′(x)

f(x) =u(x)

v(x)⇒ f ′(x) =

u′(x) v(x)− u(x) v′(x)

v2(x), v(x) 6= 0

f(x) = v(u(x)

)⇒ f ′(x) = v′

(u(x)

)u′(x)

1.2.2 Derivadas de funciones elementales.

f(x) = xn ⇒ f ′(x) = nxn−1 f(x) = n√x ⇒ f ′(x) =

1

nn√xn−1

f(x) = ax ⇒ f ′(x) = axLn(a) f(x) = ex ⇒ f ′(x) = exLn(e) = ex

f(x) = loga(x) ⇒ f ′(x) =1

xLn(a)f(x) = Ln(x) ⇒ f ′(x) =

1

xLn(e)=

1

x

f(x) = sen(x) ⇒ f ′(x) = cos(x) f(x) = cos(x) ⇒ f ′(x) = − sen(x)

f(x) = tan(x) ⇒ f ′(x) = 1 + tan2(x) =1

cos2(x)= sec2(x)

1.2.3 Otras derivadas útiles.

f(x) =1

xn⇒ f ′(x) = − n

xn+1

f(x) =1n√x

⇒ f ′(x) = − 1

nn√xn+1

= − 1

nx n√x

f(x) =1

u(x)⇒ f ′(x) = − u

′(x)

u2(x)

f(x) =√u(x) ⇒ f ′(x) =

u′(x)

2√u(x)

f(x) = Ln(u(x)

)⇒ f ′(x) =

u′(x)

u(x)

1.3 CINEMÁTICA.

1.3.1 Sistema de referencia inercial. Vector de posición. Velocidad. Aceleración.

Un sistema de referencia inercial está en reposo o se mueve con velocidad constante (movimientorectilíneo uniforme, MRU).

Vector de posición de un punto en función del tiempo: ~r(t)

Puede escribirse como x(t)~i+ y(t)~j + z(t)~k en un sistema de referencia ortonormal.

Vector velocidad media: ~vm =∆~r

∆t=~r(t2)− ~r(t1)t2 − t1

, entre dos instantes t1 y t2.

Vector velocidad: ~v(t) =d~r(t)

dt=dx(t)

dt~i+

dy(t)

dt~j +

dz(t)

dt~k

Vector aceleración: ~a(t) =d~v(t)

dt=d2~r(t)

dt2=d2x(t)

dt2~i+

d2y(t)

dt2~j +

d2z(t)

dt2~k

De forma abreviada, se suele omitir la dependencia funcional con el tiempo, (t), y también esmuy frecuente que las magnitudes vectoriales se escriban en negrita, y las derivadas respecto deltiempo como un punto encima de la magnitud:

~r = x~i+ y~j + z~k r = x~i+ y~j + z~k

~v =d~r

dt=dx

dt~i+

dy

dt~j +

dz

dt~k v = r = x~i+ y~j + z~k

~a =d~v

dt=d2~r

dt2=d2x

dt2~i+

d2y

dt2~j +

d2z

dt2~k a = v = r = x~i+ y~j + z~k

1.3.2 Componentes intrínsecas de la aceleración.

El vector ~a se puede escribir como ~a = ~at + ~an, (~at ⊥ ~an, a2 = a2t + a2n)

Aceleración tangencial: ~at =d|~v|dt

~ut, siendo ~ut =~v

|~v|el vector unitario tangente a ~v.

Aceleración normal: ~an =|~v|2

R~un, siendo ~un el vector unitario perpendicular a ~v (~un ⊥ ~ut).

R es el radio de curvatura de la trayectoria.

1.3.3 Análisis dimensional y unidades en el Sistema Internacional.

• [r] = L ⇒ m

• [v] = L · T−1 ⇒ m · s−1

• [a] = L · T−2 ⇒ m · s−2

1.3.4 Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU).

• r = r0 + v0t

• v = 0 (v = v0 cte)

• a = 0

1.3.5 Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado (MRUA).

• r = r0 + v0t+1

2at2

• v = v0 + at

• a = 0, an = 0 (a = at cte)

Caida libre

x = x0 y = y0 + v0yt−1

2gt2

vx = 0 vy = v0y − gtg = −9, 8~j

1.3.6 Movimiento Uniformemente Acelerado (MUA).

• r = r0 + v0t+1

2at2

• v = v0 + at

• a = 0 (a cte)

Tiro parabólico

x = x0 + v0xt y = y0 + v0yt−1

2gt2

vx = v0x vy = v0y − gtv0x = v0 cosα v0y = v0 sen α

g = −9, 8~j

1.3.7 Magnitudes angulares.

• Posición angular: θ (rad) ⇒ l = θR

• Velocidad angular: ω = θ (rad · s−1)

• Aceleración angular: α = ω = θ (rad · s−2)

• Periodo: T =2π

ω(s) Frecuencia: ν =

1

T=

ω

2π(s−1 = Hz)

1.3.8 Movimiento Circular Uniforme (MCU).

• r = R cos θ~i+R sen θ~j (|r| = R cte) • θ = θ0 + ω0t

• v = r (|v| = ω0R cte) • ω = 0 (ω = ω0 cte)

• a = an, at = 0 (|a| = ω20R cte) • α = 0

1.3.9 Movimiento Circular Uniformemente Acelerado (MCUA).

• r = R cos θ~i+R sen θ~j (|r| = R cte) • θ = θ0 + ω0t+1

2αt2

• v = r (|v| = ωR) • ω = ω0 + αt

• a = αR ut + ω2R un • α = 0 (α cte)

1.4 INTEGRACIÓN.

1.4.1 Primitiva de una función. Integral indenida. Propiedades.

Se dice que una función F (x) es una primitiva de otra función f(x) sobre un intervalo (a, b) sipara todo x de (a, b) se tiene que F ′(x) = f(x).

Si F1(x) y F2(x) son primitivas de la función f(x) en (a, b), entonces, para todo x del intervalo(a, b), se verica que F1(x)− F2(x) = cte.

El conjunto de todas las primitivas de una función f(x) denida en (a, b) se denomina integral

indenida de f(x), y se escribe∫f(x) dx.

Si F (x) es una primitiva de f(x),∫f(x) dx = F (x) + C

• d

dx

[∫f(x) dx

]= f(x)

•∫dF (x)

dxdx = F (x) + C

•∫ (

af(x) + bg(x))dx = a

∫f(x) dx+ b

∫g(x) dx

1.4.2 Algunas integrales inmediatas.

•∫

0 dx = C

•∫

dx = x+ C

•∫xα dx =

xα+1

α + 1+ C, ∀α ∈ <, α 6= −1

•∫

1

xdx = ln |x|+ C

•∫ax dx =

ax

ln(a)+ C, a > 0, a 6= 1

•∫

sen(x) dx = − cos(x) + C

•∫

cos(x) dx = sen(x) + C

•∫ (

1 + tan2(x))dx =

∫dx

cos2(x)= tan(x) + C

•∫u′(x)

u(x)dx = ln |u(x)|+ C

1.4.3 Integral denida. Propiedades.

La integral denida de la función f(x) en el intervalo

[a, b] se escribe∫ b

a

f(x) dx.

Y se puede entender como el límite de una suma deáreas rectangulares:∫ b

a

f(x) dx = limn→+∞

n−1∑k=0

f (xk) ∆x, o también

∫ b

a

f(x) dx = limn→+∞

n∑k=1

f (xk) ∆x

con xk = a+ kb− an

, ∆x =b− an

Se demuestra que, dada la función f(x) en el intervalo[a, b], la integral denida es igual al área limitadaentre la gráca de f(x), el eje de abscisas OX y lasrectas verticales x = a y x = b.

•∫ b

a

f(x) dx = −∫ a

b

f(x) dx ⇒∫ a

a

f(x) dx = 0

•∫ b

a

f(x) dx =

∫ c

a

f(x) dx+

∫ b

c

f(x) dx, ∀c ∈ [a, b]

•∫ b

a

(f(x)± g(x)

)dx =

∫ b

a

f(x) dx±∫ b

a

g(x) dx

•∫ b

a

(af(x)

)dx = a

∫ b

a

f(x) dx

1.4.4 Teorema Fundamental del Cálculo. Regla de Barrow.

Primer Teorema Fundamental del Cálculo.

Si f es una función continua en un intervalo I ⊆ R y a ∈ I, entonces la función G denida por

G(x) =

∫ x

a

f(t) dt

es derivable en int(I), y además G′ = f en int(I).

Segundo Teorema Fundamental del Cálculo (Regla de Barrow).

Dada una función f(x) integrable en el intervalo [a, b], y F (x) cualquier función primitiva de

f(x), se verica que∫ b

a

f(x) dx = F (b)− F (a)

1.5 DINÁMICA.

1.5.1 Leyes de Newton. Fuerza. Unidad S.I.

Primera ley de Newton (de la inercia): Un objeto permanecerá en reposo o con movimientorectilíneo uniforme al menos que sobre él actúe una fuerza neta externa.

• F = 0 ⇔ v = cte

Segunda ley de Newton (Principio fundamental de la Dinámica): La aceleración de un objeto esdirectamente proporcional a la fuerza neta que actúa sobre él, con la misma dirección y sentido,e inversamente proporcional a su masa.

• F = ma

Tercera ley de Newton (Principio de acción-reacción): Si un cuerpo ejerce una acción sobre otrocuerpo, éste último realiza sobre el primero otra acción igual y de sentido contrario (reacción).

• F12 = −F21

Denimos la unidad de fuerza en el S.I. (Newton = N) como aquella capaz de producir unaaceleración de un metro por segundo al cuadrado en una masa de un kilogramo.

1.5.2 Sistemas de referencia inerciales y no inerciales.

Un sistema de referencia es inercial si está en reposo o se mueve con MRU (v = cte) respecto auna sistema de referencia que esté en reposo. Un observador situado en un SDR inercial midecorrectamente las fuerzas aplicadas sobre los cuerpos y aplica correctamente las leyes de Newton.

Un sistema de referencia es no inercial si se mueve con aceleración respecto a un SDR en reposo.Debido a esta aceleración, un observador situado en él mide efectos que no puede explicar conlas leyes de Newton. Necesita incluir en los cálculos fuerzas que no son resultados de la acciónde otros cuerpos. Se denominan fuerzas de inercia.

1.5.3 Cantidad de movimiento e impulso.

Se dene la cantidad de movimiento (o momento lineal): p = mv.

Newton (II) puede escribirse como: F =dp

dt, (para m = cte).

Newton (I) puede escribirse como: F = 0 ⇔ p = cte

Que es la ley de la conservación de la cantidad de movimiento (o del momento lineal).

Se dene impulso como I =

∫ t1

t0

F dt = ∆p,

la aplicación de una fuerza durante un intervalo de tiempo.

Para F = cte ⇒ I = F∆t = ∆p

1.5.4 Momento angular. Momento de una fuerza.

Se dene momento angular respecto de un punto O: Lo = r ∧ p = r ∧mv

Se dene momento de una fuerza respecto de un punto O: Mo = r ∧ F

Entonces se verica que Mo =dLo

dt, y también ∆Lo =

∫ t1

t0

Mo dt

De ahí la ley de conservación del momento angular: Mo = 0 ⇔ Lo = cte

1.5.5 Condiciones de Estática.

Para que un objeto esté en reposo (equilibrio estático), deben vericarse dos condiciones:

• F = 0 La resultante de las fuerzas han de ser nulas ⇒ sin desplazamieto.

• Mo = 0 La resultante de los momentos de las fuerzas han de ser nulas ⇒ sin giro.

Se suele analizar componente a componente, con lo que obtendríamos 6 ecuaciones:

• Fx = 0 • Fy = 0 • Fz = 0

• Mox = 0 • Moy = 0 • Moz = 0

Pero lo normal es resolver problemas en el plano, reduciéndose a tres:

• Fx = 0 • Fy = 0 • Moz = 0

El momento total resultante es cero cuando:

• No hay fuerzas aplicadas.

• Hay fuerzas pero sus momentos se anulan.

• Las fuerzas están aplicadas sobre el punto O (r = 0).

• La fuerza es paralela a r


• [F] = M · L · T−2 ⇒ N

• [p] = M · L · T−1 ⇒ N · s

• [I] = M · L · T−1 ⇒ N · s

• [Lo] = M · L2 · T−1 ⇒ N ·m · s

• [Mo] = M · L2 · T−2 ⇒ N ·m

1.5.7 Denición de energía.

Entendemos por energía la capacidad que posee un cuerpo para poder producir cambios en símismo o en otros cuerpos.

En Física se clasica la energía por el tipo de capacidad, no según el criterio técnico que se basaen la fuente de producción (nuclear, eólica, solar, hidroeléctrica, química, caloríca, etc):

• Ec: Energía cinética: Debida al movimiento del cuerpo.

• Ep: Energía potencial: Debida a la acción de fuerzas conservativas sobre el cuerpo.

Fuerza gravitatoria entre masas: Energía potencial gravitatoria.

Fuerza electrostática entre cargas: Energía potencial electrostática.

Fuerzas elásticas: Energía potencial elástica:

• Em: Energía mecánica: Suma de las energías cinética y potencial del cuerpo.

• U : Energía interna: Debida a la temperatura y a la estructura atómico-molecular.

1.5.8 Trabajo y energía cinética.

Se dene trabajo como la aplicación de una fuerza a lo largo de una distancia: W =

∫ B

A

F · dr

Para F = cte ⇒ W = F∆r cosα

Cuando el trabajo realizado por una fuerza entre dos puntos depende del camino seguido, se diceque la fuerza es no conservativa. Se denominan fuerzas conservativas aquellas cuyo trabajo nodepende del camino, sino sólo de los puntos inicial y nal.

Además, para ambos casos, se verica que:

• WAB = WAC +WCB (siendo C un punto intermedio en el camino de A a B).

• WAB = −WBA (siguiendo el mismo recorrido a la inversa).

Por lo tanto, para las fuerzas conservativas se verica que∮

F · dr = 0

Las fuerzas que actúan sobre un cuerpo realizan un trabajo, y también cambian su movimiento,de manera que el trabajo total realizado sobre dicho cuerpo es igual a su variación de energíacinética:

W =

∫ B

A

F · dr =

∫ B

A

m a · dr = m

∫ B

A

dv

dt· dr = m

∫ B

A

v · dv = m

[|v|2

2

]BA

= EcB − EcA

Escribiremos Ec =mv2

2, entendiendo que v2 = |v|2.

Además, W > 0⇒ ∆Ec > 0.

1.5.9 Trabajo y energía potencial.

La energía potencial se puede denir como la capacidad de un cuerpo de ejercer trabajo bajo laacción de una fuerza conservativa. También se puede entender como la energía acumulada en uncuerpo al realizar sobre él un trabajo opuesto al que realizaría la fuerza conservativa.

Wc =

∫ B

A

Fc · dr = −∆Ep = EpA − EpB

Así denida, sólo podremos calcular la diferencia de Ep entre dos puntos, a no ser que jemosun punto de referencia para Ep = 0, si queremos trabajar con un valor de la Ep en cada punto.

Además, Wc > 0⇒ ∆Ep < 0.

Ejemplo: Energía potencial elástica.

Se puede aproximar la F ejercida por un cuerpo elástico mediante la Ley de Hooke:Fe = −Kr = −Kx~i, siendo x la elongación del muelle desde la posición de reposo (x = 0) y Kuna constante característica del cuerpo.

We =

∫ B

A

Fe dr =

∫ B

A

−Kx~i · dr = −K∫ xB

xA

x dx = −K[x2

2

]xBxA

= −∆Ep

Tomando Ep = 0 para xA = 0 ⇒ Ep =Kx2

2.

1.5.10 Ley de conservación de la energía mecánica.

Entonces, W = Wc +Wnc = ∆Ec ; Wc = −∆Ep ⇒ Wnc = ∆Ec + ∆Ep = ∆Em

Si sobre un cuerpo efectúan un trabajo fuerzas no conservativas, la variación de Em es igual adicho trabajo (cuando la Em disminuye, se denominan fuerzas disipativas, como el rozamiento).

Principio de Conservación de la Energía Mecánica: Si sobre un cuerpo no se efectúa un trabajopor parte de fuerzas no conservativas, la Em permanece constante (Wnc = 0⇒ ∆Em = 0).

1.5.11 Potencia.

Denimos potencia como el trabajo realizado por unidad de tiempo: P =W

∆t.

Podemos entenderla como la velocidad a la que se realiza la transferencia de energía.


La energía, en cualquiera de sus formas, el trabajo y el calor se miden en la misma unidad delS.I. (Julio = J), denida como la cantidad de trabajo realizado por una fuerza constante de unNewton en un metro de longitud en la misma dirección de la fuerza. Análogamente, la potenciase mide en (V atios = W ), unidad denida como la realización del trabajo de un Julio en unsegundo.

• [W ] = M · L2 · T−2 ⇒ N ·m = J

• [P ] = M · L2 · T−3 ⇒ N ·ms

=J

s= W

2 INTERACCIÓN GRAVITATORIA.

2.1 Introducción. Leyes de Kepler. Ley de la gravitación universal.

Para explicar el movimiento de los planetas, ha habido a lo largo de la Historia dos teoríasprincipales. La teoría geocéntrica fue la primera en ser considerada, a partir de creencias religiosasy losócas del mundo antigüo. Aristóteles (s. IV a.C.) fue su defensor más importante en lagrecia clásica, y dado su prestigio y su importancia en todo el pensamiento de la Edad Media,fue la idea que se mantuvo durante aproximadamente 1300 años, aunque personajes de la tallade Aristarco de Samos (s. III a.C.) propusieran la teoría heliocéntrica.

Sin embargo, ya Ptolomeo (s. II d.C) tuvo que introducir la idea de los epiciclos para poderexplicar las observaciones astronómicas de los planetas, cada vez más precisas.

Este sistema se fue complicando, hasta que Copérnico (1543) propuso de nuevo la teoría he-liocéntrica, pero apoyándose en el hecho de que así sería mucho más sencillo explicar todas lasobservaciones de las que se disponían, sin necesidad de recurrir a epiciclos dentro de epiciclos.

Galileo Galilei (s. XVI d.C.), el cientíco más famoso de su época, apoyo a Copérnico. Construyóel primer telescopio y descubrió los satélites de Júpiter, midió la altura de las montañas de laLuna y observó por primera vaz las manchas solares, entre otras muchas hazañas cientícas.

Kepler perfeccionó la teoría heliocéntrica, ajustándose más a los datos al proponer que las órbitasfuesen elípticas en vez de circulares, y describió el movimiento de los planetas mediante 3 leyes(las Leyes de Kepler):

• Los planetas, incluida la Tierra, giran alrededor del Sol, describiendo órbitas elípticas, enlas que el Sol ocupa uno de los focos.

• El vector de posición del planeta barre áreas iguales en tiempos iguales.

• El cociente entre el cuadrado del periodo de revolución y el cubo del radio medio de laórbita es una constante para todos los planetas.

Fue Newton (1684) quien explica y describe la interacción gravitatoria, tanto la terrestre comola de las órbitas de los planetas, mediante la Ley de Gravitación Univesal: Entre dos cuerposcualesquiera, de masas M y m, existe una atracción gravitatoria mutua, que es directamenteproporcional a sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa.

Fg = −GMm

r2ur

La constante G, denominada constante de gravitación universal, fue calculada por Cavendish en1798. Tiene el valor de G = 6, 674 · 10−11 N ·m2 · kg−2 (m3 · kg−1 · s−2)

Harían falta más de 200 años para que Einstein (1905) con la Teoría General de la Relatividad(TGR) mejorase aún más las teorías y cálculos de Newton, explicando la precesión del periheliode Mercurio y otros efectos relativistas que se dan en el movimiento de los planetas.

Es muy signicativo que la TGR, basada en principios totalmente diferentes a la mecánica clásica,coincida completamente en primer orden de aproximación con la Ley de Gravitación Universal.

2.2 Campo gravitatorio.

Características de la interacción gravitatoria:

• Es debida a la masa de los cuerpos. Todos los cuerpos materiales sufren esta interacción.

• Es directamente proporcional a las masas de los cuerpos.

• Es siempre atractiva, central y conservativa.

• Disminuye con el cuadrado de la distancia. Tiene alcance innito.

• Es independiente del medio en el que se produce.

• Es la más débil de las cuatro interacciones fundamentales.

Supongamos que, en una cierta región del espacio, tenemos un cuerpo con una cierta masa M .Debido a esa propiedad, dicho cuerpo interactuará gravitatoriamente con cualquier otra masa mque coloquemos en cualquier punto del espacio. Es decir, la masa M modica las propiedadesdel espacio, crea una nueva propiedad en el espacio, a la que llamaremos campo gravitatorio.

Cualquier masa m colocada en cualquier punto del espacio sufrirá una fuerza gravitatoria Fg.Esta fuerza dependerá de las masas M y m y del punto del espacio en el que coloquemos m.

Si calculamos la fuerza que se ejerce por cada unidad de masa que colocamos en el punto delespacio que estudiamos obtenemos una magnitud que sólo depende del punto y de la masa Mque ha creado el campo.

Esta magnitud se denomina intensidad del campo gravitatorio, campo gravitatorio o gravedad:

g =Fg

m⇒ Fg = mg.

La intensidad del campo gravitatorio nos indica la fuerza ejercida por el campo sobre cada kg, ytambién la aceleración con la que caería el cuerpo si lo soltáramos libremente en ese punto.

2.3 Energía potencial gravitatoria.

La energía potencial gravitatoria de un cuerpo de masa m, es su Ep asociada a la fuerza (conser-

vativa) del campo gravitatorio: Wg =

∫ B

A

Fg · dr = −∆Epg

2.4 Potencial gravitatorio. Análisis dimensional y unidades S.I.

Es la Epg por unidad de masa de un cuerpo sometido a un campo gravitatorio, por lo que sólodepende de la intensidad del campo. Como la Epg, se dene la diferencia de Vg entre dos puntos.Si queremos expresar un valor de Vg, necesitamos jar un punto de referencia para Vg = 0.

Vg =Epgm⇒ Epg = m Vg De forma más rigurosa, ∆Vg = −

∫ B

A

g · dr

• [Vg] = L2 · T−2 ⇒ J

kg

2.5 Campo gravitatorio de una masa puntual.

• g =Fg

m= −GM

r2ur

• ∆Epg = −∫ B

A

Fg · dr =

∫ B

A

GMm

r2ur · dr = GMm

[−1

r

]BA

= −GMm

rB+GMm

rA= EpgB − EpgA

• Epg = 0 para rA →∞ ⇒ Epg = −GMm

r< 0

• Vg =Epgm

= −GMr

< 0 Con el mismo punto de referencia que para Epg = 0

Para estudiar el campo gravitatorio creado por varias masas puntuales, podemos aplicar el prin-cipio de superposición: Fg, g, Epg y Vg totales son la suma de los valores correspondientes a cadamasa puntual por separado.

2.6 Campo gravitatorio constante. Supercie terrestre.

En la supercie de la Tierra, podemos suponer que g = −9, 8~j m · s−2 (cte), y entonces,

• Fg = mg (cte) (g = |g|).

• ∆Epg = −∫ B

A

Fg · dr =

∫ B

A

mg ur · dr = mg

∫ rB

rA

dr = mgrB −mgrA = EpgB − EpgA

• Epg = 0 para rA (supercie) ⇒ Epg = mg(rB − rA) = mgh, altura desde la supercie.

• Vg =Epgm

= gh Con el mismo punto de referencia para Epg = 0

Resultados válidos para cualquier campo gravitatorio constante.

2.7 Flujo del campo gravitatorio. Análisis dimensional y unidades S.I.

Se dene como Φg =

∫S

g · ds • [Φg] = L3 · T−2 ⇒ N ·m2

kg

Su valor dependerá de: La intensidad del campo g en cada punto de la supercie S, el tamañoy forma de la supercie y la orientación entre la supercie y el campo g en cada punto.

El Teorema de Gauss aplicado al campo gravitatorio nos asegura que: El ujo total que atraviesauna supercie cerrada en el interior de uncampo gravitatorio es proporcional a la masa encerradapor dicha supercie:

Φg =

∮S

g · ds = −4πGM

El ujo no depende de la forma ni el tamaño de la supercie, siempre que sea cerrada y encierrela misma cantidad de masa. Esto nos permite demostrar que el campo gravitatorio exterior auna distribución esférica de masa M y radio R, es el mismo que el de una masa puntual, siendor > R la distancia desde el centro de la esfera.

2.8 Campo gravitatorio planetario.

Consideraremos al planeta como una esfera perfecta y homogénea, de masa M y radio R. Elcampo gravitatorio en su exterior (r > R), se comportará, por el Teorma de Gauss, como el deuna masa puntual:

• g = −GMr2

ur • Epg = −GMm

r• Vg = −GM

r

Para el caso de La Tierra, los valores son: M⊕ = 5, 972 · 1024 kg, R⊕ = 6, 371 · 106 m (medio).

Gravedad en la supercie terrestre: go = −GM⊕R2⊕ur ≈ −9, 82ur

Podemos escribir el valor de g en función go y de la altura sobre la supercie, h = r −R.

• g = −G M

(R + h)2ur = −G MR2

R2(R + h)2ur = go

R2

(R + h)2= go

(1 +

h

R

)−2Fórmula que nos permite considerar la gravedad cerca de la supercie como aproximadamenteconstante, ya que en ese caso h << R.

Velocidad de escape: Velocidad inicial mínima desde la superce para escapar de la atracciónplanetaria. No se considera el rozamiento con la atmósfera ni otras fuerzas disipativas (Emconstante).

En r → ∞ se suele tomar Ep = 0, y además Ec = 0 por haber salido con la velocidad mínimanecesaria (llegaría a r →∞ después de gastar toda su Ec). Entonces:

• Ec + Ep = 0 ⇒ mv2e2−GMm

R= 0 ⇒ ve =

√2GM

R=√

2goR

Satélites: Se mueven en órbitas elípticas, por lo que ni la distancia al planeta ni su velocidad sonconstantes. Sí lo son Em y Lo (respecto del centro del planeta). Si la elipse tiene semiejes a y b(a > b), se dene la excentricidad como:

e =

√a2 − b2a

=

√1−

(b

a

)2

, e < 1, e⊕ ≈ 0, 017

Podemos estudiar las órbitas aproximandolas a circulares (e ≈ 0), con velocidad y distanciasconstantes (MCU).

• Velocidad orbital: at = 0 ⇒ Fg = man = −mv2

rur = −GMm

r2ur ⇒ v =

√GM

r

• Periodo orbital o de revolución: T =2π

ω=

2πr

ωr=d

v=

2πr√GM

r

= 2π

√r3

GM

• III Ley de Kepler: T 2 =4π2r3

GM⇒ T 2

r3=

4π2

GM= cte

3 INTERACCIÓN ELECTROMAGNÉTICA.

3.1 ELECTROSTÁTICA.

3.1.1 Introducción.

El fenómeno electromagnético es conocido desde la antigüedad y documentado desde aproxi-madamente el 600 a.C., cuando Tales de Mileto describió como el ámbar atraía otros objetospequeños y ligeros al ser frotado.

Hasta el siglo XI no aparece la brújula (en China) como aplicación del electromagnetismo.

La primera distinción entre fenómenos eléctricos y magnéticos la realiza Gilbert (Inglaterra, s.XVI), que también hace la hipótesis de que la Tierra es un imán, como explicación al fun-cionamiento de la brújula.

En el siglo XVIII, Du Fay (Francia) distingue entre dos tipos de electricidad, asociadas al vídrioy al ambar respectivamente, y Leyden (Alemania) fabrica el primer condesador para acumularcarga electrica.

También en el siglo XVIII, Franklin (EEUU) descubre que los rayos son fenómenos eléctricose inventael pararrayos. Es el primero en proponer los signos (+) y (−) para los dos tipos deelectricidad, así como una teoría del "uido eléctrico".

Fue Coulomb (Francia, nales del s. XVIII) quien ja el concepto moderno de carga eléctrica yescribe la ley matemática que describe la interacción electrostática (ley de Culomb).

Casi simultáneamente, la primera pila fue construida por Volta (Italia, 1800)

3.1.2 Carga eléctrica. Unidad S.I. Ley de Coulomb.

La carga (Q) es una propiedad de la materia asociada a partículas subatómicas (protones yelectrones) y que es la responsable de los fenómenos eléctricos y magnéticos.

Puede ser de dos tipos: positiva, como los protones, o negativa, como los electrones. Ambostienen la misma carga en valor absoluto: e = 1, 6 · 10−19 C, siendo C la unidad de medida en elSistema Internacional (Culombios).

La carga total de un cuerpo es la suma de las cargas individuales, que será entonces un múltiplode e. Cuando un cuerpo es neutro, sin carga, es porque tiene el mismo número de protones quede electrones.

Fue Coulomb (1785) quien explica y describe la interacción electrostática, mediante la Ley quelleva su nombre: Entre dos cuerpos cualesquiera, de cargas Q y q, existe una fuerza mutua, quees directamente proporcional a las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distanciaque los separa.

Fe = KQq

r2ur

La Fe varía según el medio. Esta dependencia se incluye en la constante eléctrica K, que en elvacío toma el máximo valor conocido experimentalmente: K0 ≈ 9 · 109 N ·m2 · C−2.

3.1.3 Campo electrostático.

Características de la interacción electrostática:

• Es debida a la carga eléctrica (neta) de los cuerpos en reposo.Los cuerpos eléctricamente neutros no sufren esta interacción.

• Es directamente proporcional a las cargas (netas) de los cuerpos.

• Puede ser atractiva o repulsiva.Depende de si las cargas (+,−) son de diferente o mismo signo, respectivamente.

• Es central y conservativa.


• No es independiente del medio en el que se produce.

• Es una interacción fuerte, sólo superada por la nuclear fuerte.

La constanteK se suele expresar en función de la permitividad eléctrica (ε) del medio: K =1

4πε.

Pero es más sencillo medir experimentalmente la permitividad relativa, εr, comparándola con ladel vacío, (ε0 ≈ 8, 85 · 10−12 C2 ·N−1 ·m−2), que es la de menor valor conocida.

También se denomina constante dieléctrica: εr =ε

ε0, y entonces se deduce que K =

K0

εr.

Supongamos que, en una cierta región del espacio, tenemos un cuerpo con una cierta carga Q.Debido a esa propiedad, dicho cuerpo interactuará electrostáticamente con cualquier otra cargaq que coloquemos en cualquier punto del espacio. Es decir, la carga Q modica las propiedadesdel espacio, crea una nueva propiedad en el espacio, a la que llamaremos campo electrostático.

Cualquier carga q colocada en cualquier punto del espacio sufrirá una fuerza electrostática Fe.Esta fuerza dependerá de las cargas Q y q del punto del espacio en el que coloquemos q.

Si calculamos la fuerza que se ejerce por cada unidad de carga positiva que colocamos en el puntodel espacio que estudiamos obtenemos una magnitud que sólo depende del punto y de la cargaQ que ha creado el campo.

Esta magnitud se denomina intensidad del campo electrostático o campo electrostático, e indicala fuerza ejercida por el campo sobre cada Culombio positivo.

E =Fe

q⇒ Fe = qE

3.1.4 Energía potencial electrostática.

La energía potencial electrostática de una partícula de carga q, es su Ep asociada al trabajo que

puede realizar bajo la acción de la fuerza electrostática: We =

∫ B

A

Fe · dr = −∆Epe

Como en toda denición de Ep, asociada a un campo conservativo, sólo podemos calcular ∆Epe,hasta que jemos un punto de referencia para Epe = 0.

3.1.5 Potencial electrostático. Unidad S.I.

Como la Epe, sólo se puede calcular la diferencia de Ve entre dos puntos. Si queremos expresarun valor de Ve, necesitamos jar un punto de referencia para Ve = 0.

Ve =Epeq⇒ Epe = q Ve De forma más rigurosa, ∆Ve = −

∫ B

A

E · dr

El potencial electrostático se mide en V oltios, (V ) en el S.I. Equivale a 1 J/C.

3.1.6 Campo electrostático de una carga puntual.

• E =Fe

q= K

Q

r2ur

• ∆Epe = −∫ B

A

Fe · dr = −∫ B

A

KQq

r2ur · dr = KQq

[1

r

]BA

=KQq

rB− KQq

rA= EpB − EpA

• Epe = 0 para rA →∞ ⇒ Epe =KQq

rSu signo, dependiendo de los de Q y q.

• Ve =Epeq

=KQ

rCon el mismo punto de referencia que para Epe = 0

Para estudiar el campo electrostático creado por varias cargas puntuales, podemos aplicar elprincipio de superposición: Fe, E, Epe y Ve totales son la suma de los valores correspondientes acada masa puntual por separado.

3.1.7 Campo electrostático constante.

Para E constante, las restantes expresiones electrostáticas quedas así:

• Fe = qE (cte) (E = |E|)

• ∆Epe = −∫ B

A

Fe · dr = −∫ B

A

qE · dr = −qE∫ B

A

dr = −qE∆r

• ∆Ve =∆Epeq

= −∫ B

A

E · dr = −E∆r

Resultados válidos para cualquier campo electrostático constante.

Se suele expresar ∆Ve en valor absoluto, esto es, ∆Ve = V+ − V− = E∆r.

Un ejemplo de campo electrostático constante es el condensador, que estudiaremos más adelante.Está formado por dos placas metálicas planas y paralelas, con cargas iguales pero de signocontrario, y separadas una distancia que es mucho más pequeña que el tamaño de las placas.

3.1.8 Flujo del campo electrostático.

Se dene como ΦE =

∫S

E · ds

Su valor dependerá de: La intensidad del campo E en cada punto de la supercie S, el tamañoy forma de la supercie y la orientación entre la supercie y el campo E en cada punto.

El Teorema de Gauss aplicado al campo electrostático nos asegura que: El ujo total que atraviesauna supercie cerrada en el interior de un campo electrostático es proporcional a la carga netaencerrada por dicha supercie:

ΦE =

∮S

E · ds = 4πkQ = 4π1

4πεQ =

Q

ε

El ujo no depende de la forma ni el tamaño de la supercie, siempre que sea cerrada y encierrela misma cantidad de carga. Esto nos permite demostrar que el campo electrostático exterior auna distribución esférica de carga Q y radio R, es el mismo que el de una carga puntual, siendor > R la distancia desde el centro de la esfera.

3.1.9 Campo de una lámina plana. Condensadores.

Suponemos que Q está repartida uniformemente, la densidad supercial de carga σ =Q

Ses cte.

Suponemos que r <<√S, la distancia a la lámina es mucho más pequeña que sus dimensiones,

para poder despreciar el efecto de los bordes en el cálculo. Entonces, E es perpendicular ala lámina, y si escogemos como supercie cerrada un cilindro cuya cara lateral sea tambiénperpendicular a la lámina, las líneas de campo sólo atravesarán (perpendicularmente) las dosbases del cilindro:∮

S

E · ds = ±E∮S

ds = ±2πr2E =Qint

ε⇒ E =

|Qint|2πr2ε

=πr2σ

2πr2ε=

σ

2ε

E es constante. No depende de r, dentro de la aproximación. Entonces, como ya hemos visto:

• ∆Epe = −qE∆r = −qσ2ε

∆r ; ∆Ve = −E∆r = − σ

2ε∆r

• Tomando Epe = 0 para r = 0 (supercie) ⇒ Epe = −qσr2ε

; Ve = −σr2ε

Podemos aplicar estos resultados a un condensador: Entre ambas placas se genera un campoeléctrico E constante, cuya dirección es perpendicular a las placas y sentido de la placa cargada(+) a la (−).

Por el principio de superposición, y ya que las cargas son de signo contrario, el campo en elinterior del condensador será el doble que el calculado para una sóla lámina: E =

σ

ε, mientras

que en el exterior se anulará.

• ∆Epe = −qE∆r = −qσrε

; ∆Ve = −E∆r = −σrε

(Epe = 0 para r = 0)

Se suele escribir ∆Ve = Ed, siendo d la distancia entre las placas.

3.1.10 Campo en el interior de una esfera.

Supongamos una esfera de radio R y carga total Q, donde la carga se distribuye homogéneamenteen su interior. Vamos a calcular el campo electrostático a una distancia r < R del centro.∮

S

E · ds =

∮S

Eds cosα = ±E∮S

ds = ±4πr2E =Qint

ε⇒ E =

|Qint|4πεr2

= K|Qint|r2

Una distribución homogénea de Q ⇒ Qint

V olint=

Q

V ol⇒ Qint =

QV olintV ol

=Qr3

R3

Y nalmente se obtiene que E = K|Qint|r2

= K|Q|rR3

(∆Ve = −KQ

2R3(r2B − r2A)

)De forma análoga se puede calcular el campo gravitatoria en el interior de una distribuciónesférica y homogénea de masa:∮

S

g · ds =

∮S

gds cosα = −g∮S

ds = −4πr2g = 4πGMint ⇒ g = −GMint

r2

Una distribución homogénea de M ⇒ Mint

V olint=

M

V ol⇒ Mint =

MV olintV ol

=Mr3

R3

Y por lo tanto, g = −GMr

R3

(∆Epg =

GMm

2R3(r2B − r2A)

)En el caso de una esfera hueca en la que la carga (masa) se encuentra distribuida de igual formapor su supercie, el Teorema de Gauss nos dice que, al no haber carga (masa) encerrada encualquier supercie con r < R, el campo E (g) es nulo en todo su interior.

3.1.11 Campo de un hilo conductor.

Suponemos que Q está repartida uniformemente, la densidad lineal de carga λ =Q

les cte.

Suponemos que r << l, la longitud del hilo es mucho mayor que la distancia a la que calculamosel campo, para poder despreciar el efecto de los bordes en el cálculo. Entonces, E es perpendicularal hilo, y si escogemos como supercie cerrada un cilindro de forma que el hilo pase por el centrode ambas bases, las líneas de campo sólo atravesarán (perpendicularmente) la cara lateral.∮

S

E · ds = ±E∮S

ds = ±2πrlE =Qint

ε⇒ E =

|Qint|2πrlε

=λl

2πεrl=

λ

2πεr

E es inversamente proporcional a la distancia al hilo conductor.

3.1.12 Resumen de campos electrostáticos.

Carga puntual Lámina plana Condensador Esfera homogénea Hilo conductor

|E| Q

4πε

1

r2σ

2ε

σ

ε

Q

4πεR3r

λ

2πε

1

r

∆VeQ

4πε

(1

rB− 1

rA

)− σ

2ε(rB − rA) −σ

ε(rB − rA) − Q

8πεR3(r2B − r2A) − λ

2πεln

(rBrA

)

3.2 MATERIA Y ELECTRICIDAD.

3.2.1 Partículas, átomos y moléculas.

Según el modelo atómico estándar, las partículas que componen la materia normal son tres: elneutrón, el protón y el electrón. Sus masas respectivas son:

mn = 1, 674927 · 10−27 kg, mp = 1, 672622 · 10−27 kg, me9, 109383 · 10−31 kg

Es habitual encontrar las relaciones mp = 1836 me, mn = 1838, 5 me, mn = 1, 00137 mp

La carga del protón es e = 1, 602176 · 10−19 C, la del electrón −e, y la del neutrón es 0.

El núcleo atómico está formado por neutrones y protones, unidos entre sí por la interacciónnuclear fuerte, que domina sobre la repulsión eléctrica que sufren los protones.

Los electrones se distribuyen por los orbitales atómicos, alrededor del núcleo. En conjunto, hayel mismo número de protones que de electrones, siendo nula la carga neta de un átomo.

Es posible hacer que un átomo pierda o gane algún o algunos electrones con relativa facilidad.De esta manera es como se consigue que un cuerpo posea una carga eléctrica neta no nula.

Sin embargo, existen ciertas moléculas, que aún sin carga eléctrica neta, poseen una geometríaen la que las cargas positivas y negativas están separadas. Se denominan dipolos, y existe uncampo eléctrico entre ambas cargas, cuyo sentido es de la zona predominantemente positiva ala negativa. Una substancia cuyas moléculas son dipolos se dice que es polar. Las que no, sedenominan apolares.

3.2.2 Materiales conductores.

Si clasicamos los materiales según su comportamiento frente a un campo eléctrico, podemosdividirlos en dos grandes grupos: Conductores y dieléctricos o aislantes.

Los conductores pueden transmitir la corriente eléctrica. Son materiales cuyos electrones estánretenidos débilmente por sus núcleos (electrones móviles), hasta el punto de poder hablarse decargas libres. El tipo de enlace predominante en estos materiales es el metálico.

Se dice que un conductor está en equilibrio electrostático cuando no hay movimiento de cargasen su interior, es decir, la Fe en el interior (y por lo tanto Eint) es nula.

Si añadimos o quitamos cargas (electrones) en el conductor, nalmente se llegará a una situaciónestable, (equilibrio electrostático) cuando las repulsiones entre ellas las sitúen lo más alejadasposible unas de otras, repartidas uniformemente por la supercie del conductor, quedando neutroel interior. Se vuelve a cumplir entonces que Eint = 0.

Al introducir un conductor dentro de un campo eléctrico externo, Eext , los electrones móviles(con carga negativa) se moverán en sentido contrario al campo. Esto produce una separaciónde cargas y convierte al objeto en un dipolo, originándose un campo eléctrico E′ dentro delconductor, que es igual y de sentido contrario al exterior. De este modo, el campo en el interiorse anula de nuevo: Eint = Eext + E′ = 0.

3.2.3 Capacidad. Unidad S.I.

Denimos la Capacidad de un conductor (C) como la relación entre carga acumulada y el poten-

cial eléctrico asociado en el conductor: C =Q

V

La capacidad se mide en Faradios, (F ) en el S.I. Equivale a 1 C/V .

Si aumentamos (positiva o negativamente) la carga de un conductor, ésta se repartirá de formauniforme por la supercie, por las fuerzas repulsivas, y almecenará una energía potencial quedependerá de la carga y la geometría del conductor. Así, el conductor tendrá un cierto valor depotencial electrostático Ve, que se mantiene constante en toda su supercie.

También podemos entender la capacidad como la carga que almacena el conductor por cadavoltio de potencial al que se le somete.

La capacidad de un conductor sólo depende del material dieléctrico que lo rodea y de su geometría.

3.2.4 Corriente eléctrica. Unidad S.I.

Ya hemos visto que cuando un conductor está en equilibrio electrostático, las cargas no se mueven,Eint = 0, y Ve = cte en toda la supercie.

Si entre dos puntos del conductor ∆Ve 6= 0, se crearía un Eint cuyas lineas de campo irían delpunto de mayor potencial al de menor potencial. Entonces las cargas móviles del conductor (e−)sufrirían una Fe = qEint, y se moverían en sentido contrario a Eint, del punto de menor potencialal de mayor potencial. Esto es lo que se denomina corriente eléctrica entre los dos puntos.

Este movimiento de cargas tiende a igualar ambos potenciales, y dejar nuevamente el conductoren equilibrio electrostático. Para mantener la corriente eléctrica hay que mantener ∆Ve 6= 0,mediante un aparato llamado generador, que puede usar procedimientos químicos (pila o batería)o físicos (alternador, dinamo).

Intensidad de la corriente eléctrica (I):

Se dene como la carga eléctrica que pasa por un punto en la unidad de tiempo. I =Q

t

La intensidad se mide en Amperios, (A) en el S.I. Equivale a 1 C/s.

La diferencia de potencial ∆Ve entre dos puntos del circuito, también llamada voltaje, es laenergía que consume cada unidad de carga cuando pasa de un punto a otro del circuito.

Antes del descubrimiento de los electrones, se creía que que eran cargas positivas las que circu-laban por el circuito, y se consideraba que la corriente circulaba desde los potenciales altos a losbajos (del polo + al −) del generador. Cuando se descubrieron los electrones y su movimientoreal, ya no se cambió el criterio y se mantuvo el estudio de la corriente como si fueran las cargaspositivas las que se movieran

Desde el punto de vista energético, las cargas (consideradas +), al desplazarse desde un puntodonde hay mayor Ve a otro de menor Ve (donde almacenan menos energía), pierden energía, quees consumida por los aparatos eléctricos conectados. En caso de cortocircuito, cuando cerramosel circuito sin ningún aparato conectado, la energía se disipa en el conductor (cable), aumentandola temperatura hasta quemarlo.

3.2.5 Resistencia en un circuito. Leyes de Ohm y de Joule. Unidad S.I.

A partir de la Ley de Ohm, ∆V = V = IR, que dice que la intensidad de la corriente quepasa por un conductor es directamente proporcional a la diferencia de potencial e inversamenteproporcional a su resistencia, podemos denir la resistencia en un circuito como la diferencia depotencial que se produce al circular por ella la unidad de intensidad de corriente.

R =V

I. Unidad S.I. Ohmio (1Ω = 1 Voltio / 1 Amperio)

Una resistencia en un circuito transfoma la energía eléctrica en calor (efecto Joule), mediante larelación P = V I que, junto con la Ley de Ohm, se puede escibir como P = I2R.

3.2.6 Dieléctricos o aislantes.

Normalmente son compuestos covalentes. Los electrones están fuertemente ligados a los átomoso moléculas, por lo que no pueden circular libremente por el material. No pueden conducir lacorriente eléctrica.

Según el tipo de molécula hay dos tipos de dieléctricos, los polares y los apolares. En los primerossus moléculas son dipolos, aunque al estar desordenadas, Eint = 0.

Cuando sometemos un dieléctrico a un Eext, si este es polar, sus dipolos se orientan de formaque se crea un E

′opuesto al primero. Si no es polar, sus moleculas se polarizan (se convierten

en dipolos), y también crean un E′opuesto. En ambos casos, las cargas no se llegan a separar y

moverse libremente, por lo que E′< Eext, y entonces Eint = Eext + E

′< Eext, pero Eint 6= 0.

Ruptura del dieléctrico:

Al polarizar un dieléctrico, las cargas positiva y negativa de cada molécula tienden a separarse.Existe un valor máximo de Eext (dependiendo del dieléctrico) para el cual las moleculas serompen, quedando libres los electrones, y convirtiéndose en un conductor por donde circula lacorriente eléctrica. A esto es a lo que se denomina ruptura del material dieléctrico.

A ese valor de E se le llama campo de ruptura. Para el aire (seco) es de aprox. 3 · 106 V/m


• [I] = I ⇒ A

• [Q] = T · I ⇒ s · A = C

• [E] = M · L · T−3 · I−1 ⇒ N

C

• [Ve] = M · L2 · T−3 · I−1 ⇒ J

C= V

• [ΦE] = M · L3 · T−3 · I−1 ⇒ N ·m2

C

• [C] = M−1 · L−2 · T 4 · I2 ⇒ C

V= F

• [R] = M · L2 · T−3 · I−2 ⇒ V

A= Ω

3.3 ELECTROMAGNETISMO.

3.3.1 Introducción. Leyes de Maxwell.

Aparte de la hipótesis de considerar la Tierra como un imán, realizada por Gilbert (Inglaterra,s. XVI) para explicar el funcionamiento de la brújula (aparecida en China en el s. XI), no existenada cientícamente relevante sobre magnetismo hasta el s. XIX.

En 1820, Öersted (Dimanarca), relaciona el fenómeno magnético con la corriente eléctrica. Pos-teriormente, los trabajos de Faraday, Lenz y Àmpere, entre otros, desarrollan el estudio delfenómeno magnético asociado a la corriente eléctrica, hasta que en 1865 el escocés James ClerkMaxwell (Reino Unido), publica sus famosos ecuaciones, las leyes del electromagnetismo.

La importancia de sus ecuaciones reside en que no sólo explican porqué están relacionados loscampos eléctricos y magnéticos, sino también cómo es, cuantitativamente, esa relación. Además,fue el primero en considerar la luz como una onda electromagnética, calculando su velocidad apartir de los valores de las constantes de sus ecuaciones.

Tal y como las conocemos ahora (1893-1912), son el resultado del trabajo de simplicación de ungrupo de físicos británicos, FitzGerald, Lodge, Larmor y Oliver Heaviside. Siendo éste último elque más aportó de todos ellos, incluyendo la creación del moderno cálculo vectorial:

∇ · E =ρ

ε0∇ ·B = 0

∇∧ E = −∂B∂t

∇∧B = µ0J + µ0ε0∂E

∂t

• ∇ Operador diferencial y vectorial nabla. ∇ =∂

∂x~i+

∂

∂y~j +

∂

∂z~k (coord. cartesianas).

• E Campo eléctrico.

• B Campo magnético.

• ρ Densidad de carga eléctrica.

• ε0 Permitividad eléctrica en el vacío (constante eléctrica).

• µ0 Permitividad magnética en el vacío (constante magnética).

• J Densidad de corriente eléctrica.

El signicado de estas cuatro ecuaciones es el siguiente:

• La carga eléctrica es el origen del campo eléctrico.

• No existen cargas magnéticas (monopolos magnéticos).

• Un campo magnético variable origina un campo eléctrico.

• Una corriente eléctrica o un campo eléctrico variable origina un campo magnético.

3.3.2 Campo magnético. Imanes. Unidad S.I.

Características de la interacción magnética:

• Es debida a la carga eléctrica en movimiento.Las cargas eléctricas en reposo no sufren esta interacción.

• Es directamente proporcional a la carga eléctrica y su velocidad.

• Puede ser atractiva o repulsiva.Depende de si los polos (Norte, Sur) son diferentes o iguales, respectivamente.

• No es central ni conservativa.


• No es independiente del medio en el que se produce.

• Es una interacción fuerte, menor que la electrostática y mayor que la nuclear débil.

Es posible explicar el magnetismo natural a partir del descubrimiento de la estructura de losátomos y las leyes del electromagnetismo. El movimiento de los electrones alrededor del núcleocrea un campo magnético en cada átomo, que dependiendo del material (ferromagnéticos: hierro,acero, magnetita, etc.) podemos alinear mayoritariamente en la misma dirección y sentido, loque da lugar a un campo magnético macroscópico.

En particular, la Tierra se comporta como un imán, con el polo Sur magnético cerca del poloNorte geográco, lo que explica su acción sobre las brújulas.

Supongamos que, en una cierta región del espacio, tenemos situado un imán. Dicho imán in-teractuará con cualquier otro imán que coloquemos en cualquier punto del espacio, que sufriráuna fuerza magnética. Es decir, el imán modica las propiedades del espacio, crea una nuevapropiedad en el espacio, a la que llamaremos campo magnético, B, que es una magnitud vectoriala la que podemos aplicar el principio de superposición.

El campo magnético se mide en Teslas, (T ) en el S.I.

Sus líneas de campo son cerradas, en el sentido del polo Norte al polo Sur.

La dependencia respecto del medio se incluye en la constanteKm, que se suele expresar en funciónde la permitividad (o permeabilidad) magnética (µ) del medio: Km =

µ

4π.

En el vacío, Km0 = 10−7 T ·m · A−1, y entonces, µ0 = 4π · 10−7 T ·m · A−1.

3.3.3 Campo magnético de una carga puntual en movimiento. Ley de Biot-Savart.

El campo magnético creado por una carga q en movimiento es: B =µ

4π

qv ∧ ur

r2

Donde v es la velocidad de la carga, r la distancia de la carga al punto donde se calcula el campomagnético y ur el vector unitario en la dirección de r.

El campo magnético B es perpendicular a v y r.

3.3.4 Campo magnético de una corriente eléctrica.

Un elemento de corriente se describe como Idl.

Como Idl =dq

dtdl = dq

dl

dt= dqv, podemos aplicar la ley de Biot-Savart a un elemento de

corriente:

dB =µ

4π

dqv ∧ ur

r2=

µ

4π

Idl ∧ ur

r2

El principio de superposición nos permite calcular B =µ

4π

∫L

Idl ∧ ur

r2

Para algunas conguraciones geométricas, es relativamente sencillo calcular la integral:

Hilo recto de longitud L >> r: B =µI

2πr(r: distancia del punto al hilo)

Campo en el centro de una espira circular: B =µI

2R(R: radio de la espira)

Campo en el eje de una bobina: B =µIN

L(N : número de espiras , L: longitud de la bobina)

Cuando L >> R, obtenemos (aproximadamente) un campo constante dentro de la bobina, ynulo en su exterior.

3.3.5 Fuerza electromagnética. Ley de Lorentz.

El campo magnético B es proporcional a la carga eléctrica y la velocidad de la misma. Lainteracción magnética ejerce una fuerza sobre otra carga eléctrica que también es proporcional asu carga y velocidad. Sin movimiento de cargas no existe interacción magnética.

Dada una partícula de carga q que se mueve con velocidad v en una región del espacio en el queexiste un campo magnético B, la fuerza magnética que sufre dicha partícula viene expresada porla Ley de Lorentz:

F = qv ∧B

De forma más general, sobre una partícula cargada actuan simultáneamente campos eléctricosy magnéticos. La acción de ambos campos ejercerá una fuerza total (llamada electromagnética)que viene expresada por la Ley General de Lorentz:

F = Fe + Fm = qE + qv ∧B = q (E + v ∧B)

En este curso consideraremos sistemas de referencia en reposo para medir las velocidades delas partículas. Para sistemas de referencia inerciales, las transformaciones clásicas de Galileo(Relatividad de Galileo) dan resultados diferentes según el observador.

Tendríamos que considerar las transformaciones de Lorentz para conseguir que las ecuaciones deMaxwell sean invariantes para cualquier observador inercial, o lo que es lo mismo, que todos ellosmidan los mismos campos E y B siempre que no exista aceleración entre un sistema de referenciay otro v = cte. Estas transformaciones son las que aparecen en la Teoría de la RelatividadEspecial de Einstein.

3.3.6 Fuerza magnética sobre una carga puntual.

Movimiento perpendicular al campo.

F = qv ∧B ⇒ F = |q|vB (en valor absoluto).

La dirección de la fuerza será perpendicular a v y B, y el sentido dependerá del signo de q.

Cuando v y B son constantes, también lo es F . Como F ⊥ v, la aceleración es perpendicular ala velocidad (at = 0), y la carga describirá un MCU, de características:

• F = man = |q|vB ⇒ an =|q|vBm

• an =v2

R⇒ R =

mv

|q|B; v =

|q|BRm

• ω =v

R=|q|Bm

; T =2π

ω=

2πm

|q|B

Ya que F ⊥ v, el trabajo realizado por F sobre q es nulo.Siendo el trabajo total nulo, ∆Ec = 0, como así ocurre dado que v = cte.

Movimiento no perpendicular al campo.

Descomponiendo v en dos componentes, v‖ y v⊥ respecto de B, tenemos que la componenteparalela a B no se ve afectada, mientras que la perpendicular se comporta como hemos estudiadoanteriormente.

La composición de ambos movimientos resulta en un movimiento helicoidal.

3.3.7 Aplicaciones: Espectrógrafo de masas y ciclotrón.

Espectrógrafo de masas.

Diseñado por primera vez por F.W. Aston en 1919.Se utiliza para medir la relación q/m de partículassubatómicas y átomos ionizados (con carga eléctrica).En el condensador sólo actúa E (∆Ec = −∆Ep).Entonces, mv2/2 = q∆V (en valor absoluto)

⇒ v2 =2q∆V

m.

El movimiento circular en B se realiza con radio

R =mv

qB⇒ v2 =

q2B2R2

m2. Igualando ambas expresiones:

q

m=

2∆V

B2R2.

Midiendo R, y conocidos ∆V y B, podemos determinar la relación q/m de la partícula. Tambiénes posible separar isótopos (cargados) de un átomo y calcular sus m relativas, ya que debido ala diferencia de masas las trayectorias que realizan tendrán R diferentes:

m1

m2

=R2

1

R22

Ciclotrón.

Diseñado por E. Lawrence en 1932. Utiliza de formaforma simultánea campos eléctricos y magnéticos.La fuente de partículas cargadas está en el centro.Éstas comienzan un movimiento circular con radiopequeño porque su v es baja.

R =mv

qB

Entre las dos semicircunferencias hay un espacio con∆V que acelera las partículas cargadas cuando pasanpor esa zona. Cuanto mayor es v mayor es R, hastaque se alcanzan v lo sucientemente altas para que elR de giro lleve a las partículas fuera del ciclotrón porel conducto de salida.

3.3.8 Fuerza magnética sobre hilos conductores. Amperio.

Tenemos un hilo conductor rectilíneo de tamaño L por el que circula una intensidad de corrienteeléctrica I que está colocado en el interior de un campo magnético uniforme B. La fuerzamagnética que experimenta viene dada por la Ley de Laplace:

F = IL ∧B ⇒ F = ILB senα

El vector L tiene la dirección y sentido de la corriente I.

Ahora, con dos hilos conductores paralelos de la misma longitud L separados una distancia d,por los que circulan, respectivamente, corrientes de intensidades I1 e I2, .

Cada conductor crea un campo magnético a su alrededor: B =µI

2πr

Llamaremos B12 al campo creado por el conductor L1 en la zona de L2, e igualmente B21 alcampo creado por el conductor L2 en la zona de L1.

La fuerza ejercida por el conductor L1 sobre L2, es F12 = I2L2 ∧B12 ⇒ F12 = I2LµI12πd

Y por el conductor L2 sobre L1, es F21 = I1L1 ∧B21 ⇒ F21 = I1LµI22πd

Se verica que F12 = −F21.

Suponiendo que circula la misma corriente por ambos conductores, y que éstos se encuentran enel vacío, la expresión de la fuerza por unidad de longitud sobre cada conductor queda como

F

L=µ0I

2

2πd

De donde se denía la unidad del S.I. para la Intensidad, el Amperio (A): Cantidad de corrienteque circula por dos hilos conductores paralelos y en el vacío separados 1 metro, cuando entre ellosse ejerce, una fuerza por unidad de longitud de 2 · 10−7 N ·m−1.

Que la intensidad de corriente sea más fácil de medir que la carga eléctrica es la razón de que seconsideren la Intensidad y el Amperio como, respectivamente, magnitud y unidad fundamentalde la Física.

3.3.9 Fuerza magnética sobre una espira de corriente.

Para simplicar el cálculo, supongamos una espira rectangular en el plano Y Z, de dimensionesl1 = l3 = a y l2 = l4 = b, por la que circula una corriente I en el sentido de las agujas del reloj.B lo situaremos perpendicular al plano XY , paralelo a la dirección y el sentido del eje OY .

Como F = IL ∧B, los dos lados paralelos a B (l1, l3) no sufren ninguna fuerza, y las fuerzasejercidas sobre los otros dos lados (l2, l4) perpendiculares a B son:

F2 = −IbB ~i ; F4 = IbB ~i ⇒ ΣF = 0.

Son iguales en módulo y dirección, pero de diferente sentido. Por lo tanto, no se produce unatranslación de la espira.

Por otra parte, sí que existe un momento de la fuerza neto diferente de cero sobre el centro de laespira, debido a las fuerzas ejercidas sobre los lados perpendiculares a B:

Mo2 =a

2∧ F2 =

a

2IbB~k ; Mo4 = −a

2∧ F4 =

a

2IbB~k ⇒ ΣMo = abIB~k,

Este momento implica un giro de la espira alrededor del su eje de simetría paralelo a ~k. Elsentido de giro sigue la misma regla (tornillo) que el producto vectorial. Si en nuestro ejemplola corriente eléctrica hubiera seguido un sentido antihorario, el movimiento de la espira sería ensentido contrario, con un momento que apuntaría en el sentido negativo de ~k: ΣMo = −abIB~k.

Ya que la supercie de la espira es ab, podemos expresar el momento comoMo = ISB~k = IS∧B,siendo el vector S perpendicular a la supercie, y de sentido denido por el de la corriente I,siempre con la misma regla del producto vectorial (tornillo). En nuestro ejemplo, un sentidohorario de I, implica que S = S~i.

Si la espira se coloca en el plano XZ al girar, consideraciones análogas sobre cada lado nosllevarían a que tanto ΣF como ΣMo son nulos. Es la posición de equilibrio.

Esto se puede ver fácilmente en la expresión nal del momento Mo = IS ∧ B. Cuando S y Bson paralelos, también se hace nulo el momento total, no sólo la fuerza total.

3.3.10 Aplicaciones: Galvanómetro. Motor eléctrico de corriente continua.

Galvanómetro.

Sirve para medir la intensidad de corriente de un circuito. Está formado por una bobina (conjuntode espiras) que puede girar alrededor de un eje. La bobina está sometida al campo magnéticocreado por un imán. Al pasar la corriente eléctrica por la bobina, la fuerza magnética hará queésta gire. Un resorte helicoidal se opone a este giro, y mediante su resistencia a la torsión se llegaa una situación de equilibrio. El ángulo que girado por la bobina dependerá de la intensidad dela corriente, y una aguja unida a la bobina marca sobre una escala el valor de dicha intensidad.

Motor eléctrico de corriente continua.

Para conseguir un movimiento de giro continuo (motor), se colocan dos espiras (o bobinas)perpendiculares entre sí, de manera que la corriente eléctrica pase por una y luego por otra deforma que los giros de 90 grados que realizan cada una de ellas se sincronicen para conseguirun movimiento rotatorio completo y continuo. Suele estar formado por una parte ja llamadaestator, el imán que crea el campo magnético, y otra móvil, llamado rotor, el conjunto de espiras.

3.3.11 Flujo magnético. Unidad S.I.

Se dene como Φm =

∫S

B · ds

Representa la cantidad e intensidad de líneas de campo que atraviesa una supercie dada. Suvalor dependerá de: La intensidad del campo B en cada punto de la supercie S, el tamaño yforma de la supercie y la orientación entre la supercie y el campo B en cada punto.

En el caso de una espira o circuito cerrado que se encuentra en el interior de un campo magnéticoB = cte, la integral es fácil de calcular, ya que al ser la supercie plana, S también es constante:

Φm =

∫S

B · ds = B · S = BS cosα

El Teorema de Gauss aplicado al campo magnético nos asegura que el ujo total que atraviesauna supercie cerrada en el interior de un campo magnético es nulo. Es lo mismo que decir∇ ·B = 0, no hay fuentes del campo magnético (monopolos).

Φm =

∮S

B · ds = 0

La unidad de ujo magnético en el S.I. es el Weber (Wb). 1 Wb = 1 T ·m2.

3.3.12 Inducción electromagnética. Ley de Faraday-Lenz.

Fenómeno por el cual se genera (induce) una corriente eléctrica en un circuito mediante un campomagnético. Fue estudiado por Faraday y Henry de forma experimental independientemente.

Faraday (1831) dedujo que la corriente inducida está originada por la variación de ujo magnéticoque atraviesa el circuito.

Lenz (1833) también concluyó que el sentido de las corrientes inducidas es tal que origina un nuevocampo magnético que se opone a la variación del campo magnético que induce la corriente.

La ley de Faraday-Lenz, entonces, se puede escribir como ε = −dΦm

dt.

Donde ε es la fuerza electromotriz (f.e.m.), que se corresponde con la diferencia de potencialgenerada en el circuito, responsable del movimiento de cargas (la corriente eléctrica). Tambiénpuede entenderse como la energía que se suministra a las cargas (a cada C) para que se muevanpor el circuito.

3.3.13 Aplicaciones: Generadores y transformadores.

Generadores.

Se produce corriente eléctrica en un circuito si varía el ujo magnético que lo atraviesa. Es decir,si varía la intensidad del campo, la supercie del circuito o la orientación relativa entre el campoy la supercie.

Este principio es el que se utiliza en todas las centrales productoras de energía eléctrica, menoslas solares. Se hace girar una turbina, que es una bobina en el interior de un campo magnético.Así variamos la orientación entre B y S, produciendo corriente alterna. El giro puede estarproducido por el viento (aerogeneradores), agua en movimiento (centrales hidroeléctricas) o porvapor (centrales de carbón, fuel, ciclo combinado, nucleares, etc).

Transformadores.

Un transformador está formado por un núcleo de hierro alrede-dor del cual están enrrolladas dos bobinas con circuitos indepen-dientes. En el circuito primario tendremos la f.e.m. inicial y en elcircuito secundario obtendremos la f.e.m. que deseamos utilizar.

Al circular una corriente alterna (variable) por el primario, seorigina un campo magnético (variable) dentro de la bobina, que seamplica en el núcleo de hierro, y que genera un ujo magnéticovariable en la segunda bobina, induciendo en ella otra corrienteeléctrica (que puede ser continua).

El valor de la f.e.m. inducida en el circuito secundario dependerá nalmente sólo del número devueltas de las bobinas en sendos circuitos, de forma directamente proporcional.

ε1ε2

=N1

N2

Así es como se cambia el voltaje (f.e.m.) cuando conectamos un aparato a la red eléctrica.

Es evidente que un transformador necesita una corriente alterna en el circuito primario parapoder funcionar.

Por otra parte, dado que la potencia eléctrica es P = V I, que debería ser la misma en los doscircuitos (lo que ocurre en el caso teórico de un transformador ideal, donde no se tiene en cuentaque parte de la energía se pierde en forma de calor),

P1 = P2 ⇒ ε1I1 = ε2I2 ⇒ ε1ε2I1 = I2 ⇒ N1

N2

I1 = I2 ⇒ I1N1 = I2N2

las intensidades que circulan por ambos circuitos se transforman de forma inversamente propor-cional al número de vueltas de las bobinas.

Además de para poder conectar dispositivos que necesitan diferentes voltajes (continuos) a lared de distribución (220V, alterna), los transformadores sirven para, en las centrales eléctricas,aumentar el voltaje de la corriente que obtenemos de los generadores (≈ 20000 V ) hasta eldenominado alto voltaje (entre 120000 V y 400000 V ), de forma que la corriente que se distribuyea largas distancias, teniendo la misma potencia eléctrica, circule con la menor intensidad posible,reduciendo las pérdidas de energía por disipación en forma de calor, que depende de I2.


• [B] = M · T−2 · I−1 ⇒ N · sm · C

= T

• [Φm] = M · L2 · T−2 · I−1 ⇒ T ·m2 = Wb

4 ONDAS.

4.1 MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (M.A.S.).

4.1.1 Ecuación del m.a.s.

En general, se dice que un cuerpo o partícula está realizando un movimiento oscilatorio cuando almoverse pasa siempre por un mismo punto, alternando un sentido y el otro, e incluso diferentesdirecciones. A este punto se le llama posición de equlibrio, que en ciertos tipos de movimientosse corresponde con el punto que se alcanzaría en reposo al disiparse toda la energía.

Si este movimiento se repite en el tiempo, se denominan oscilaciones periódicas (movimientooscilatorio periódico).

El movimiento armónico simple (m.a.s.) es el más movimiento oscilatorio periódico más simplematemáticamente, y además se puede demostrar que cualquier movimiento oscilatorio se puededescomponer en sumas de m.a.s. (Análisis de Fourier). Su ecuación es:

y(t) = A sen(ωt+ ϕ0) [= A cos(ωt+ ϕ′0)]

• y: Desplazamiento (m) desde la posición de equilibrio (y = 0).

• t: Tiempo (s) transcurrido desde el origen (t = 0).

• A: Elongación (m). Desplazamiento máximo (en valor absoluto).

• ω: Frecuencia angular (rad ·s−1). Se puede entender como una velocidad angular, haciendocoincidir una oscilación con un periodo angular completo (2π).

• ωt+ ϕ0: Fase (rad). Indica en qué punto de la oscilación está el movimiento.

• ϕ0: Fase inicial (rad). Valor de la fase para t = 0.

De aquí se pueden deducir:

• T =2π

ω: Periodo (s). Tiempo que tarda en realizar una oscilación.

• ν =1

T=

ω

2π: Frecuencia (s−1(Hz)). Oscilaciones por unidad de tiempo.

• vy(t) =dy(t)

dt= Aω cos(ωt+ ϕ0): Velocidad lineal (m · s−1).

• ay(t) =dvy(t)

dt= −Aω2 sen(ωt+ ϕ0): Aceleración lineal (m · s−2).

La velocidad máxima en valor absoluto es Aω, y se produce cuando y = 0. La aceleración máximaen valor absoluto es Aω2 y se produce cuando |y| = A. De hecho, la propiedad ay = −ω2y es lacaracterística que se suele utilizar para saber si un movimiento oscilatorio es m.a.s. o no.

Movimientos oscilatorios como el de un péndulo, o el de un cuerpo que ota en el agua no sonm.a.s. Sin embargo, el comportamiento de un muelle sí lo es.

4.1.2 Fuerza elástica. Dinámica del m.a.s.

Aplicando la II ley de Newton: Fy = may = −mω2y = −Ky. Es decir, la fuerza responsable deun m.a.s. debe ser proporcional a y y en sentido contrario, opuesta al movimiento.

Es igual que la Ley de Hooke, que describe el comportamiento de la fuerza elástica en un muelle,siempre que la elongación no supere el límite de deformación del mismo. Podemos entender todaslas fuerzas que generan un m.a.s. como fuerzas de tipo elástico.

Dado un muelle (o una fuerza elástica) de constante K, entonces, mω2y = Ky ⇒ ω =

√K

m

En el caso de un muelle vertical, cuando haya que tener en cuenta la fuerza de la gravedad, laposición de equilibrio corresponde a una elongación y0 en la dirección de g tal que Fg+FK = 0.Es decir, mg = Ky0 ⇒ y0 = mg/K. El único efecto de la gravedad es modicar la posición deequilibrio. La ecuación de la oscilación será la misma, pero referida a la elongación y′ = y − y0.

La fuerza elástica es conservativa, por lo tanto Em = cte, y además (apartado 1.5.9. Trabajo yenergía potencial) podemos asociar una Ep a dicha fuerza:

Ep =1

2Ky2 (tomando Ep = 0 para y = 0).

Entonces, Ep(t) =1

2KA2 sen2(ωt+ ϕ0), y Ec(t) =

1

2mv2y =

1

2mA2ω2 cos2(ωt+ ϕ0)

Como mω2 = K, Em = Ec + Ep =1

2KA2 =

1

2m(Aω)2 = cte (∆Em = 0 ⇒ ∆Ec = −∆Ep)

En resumen:

mín. y = 0 máx. vy = ±Aω mín ay = 0 máx. Ec =1

2m(Aω)2 mín. Ep = 0

máx. y = ±A mín. vy = 0 máx ay = ∓Aω2 mín. Ec = 0 máx. Ep =1

2KA2

4.2 MOVIMIENTO ONDULATORIO.

4.2.1 Características y clasicación. Propagación. Polarización.

Se dene un movimiento ondulatorio (una onda) como la propagación en el espacio de unaperturbación. Esto quiere decir que al variar el tiempo, la perturbación se va desplazando a otrospuntos del espacio.

Por perturbación se entiende cualquier cambio en el conjunto de magnitudes denidas en elespacio, o la introducción de una magnitud nueva.

Hay muchos tipos de movimientos ondulatorios, principalmente clasicados en dos grandes gru-pos, según su capacidad para propagarse con o sin necesidad de un medio:

• Ondas mecánicas: Necesitan un medio para su propagación. Una vez se ha propagado,las partículas del medio recuperan sus condiciones anteriores al paso de la onda. Ondassísmicas, sonido, olas, ondas en cuerdas y muelles, etc.

• Ondas electromagnéticas: También pueden propagarse en el vacío. Todo el espectro deOEM: luz visible, infrarrojos, microondas, radio, ultravioleta, rayos X, rayos γ. La pertur-bación que se propaga es un campo electromagnético oscilante.

Podemos diferenciar entre la dirección de perturbación y la de propagación.

Para las ondas mecánicas, la primera se reere al movimiento de las partícula del medio, queoscilan alrededor de su posición de equilibrio. Para las OEM, se reere a la dirección de laoscilación del campo electromagnético.

Para ambos tipos de ondas, la dirección de propagación es la misma que la de la transmisión deenergía de un punto a otro del espacio debida a la onda.

Podemos clasicar las ondas también según el número de dimensiones por las que se propagan:

• Monodimensionales: se propagan en una única dirección: ondas en cuerdas, muelles.

• Bidimensionales: se propagan por una supercie plana: olas en la supercie.

• Tridimensionales: se propagan por todo el espacio: Luz, sonido, ondas sísmicas.

Y por su relación entre la dirección de perturbación y la de propagación:

• Ondas longitudinales: La dirección de perturbación es paralela a la dirección de propagación(sonido, ondas sísmicas de tipo p, algunas ondas producidas en muelles).

• Ondas transversales: La dirección de perturbación es perpendicular a la dirección de propa-gación. (ondas producidas en cuerdas, ondas electromagnéticas, ondas sísmicas tipo s).

Cuando la onda es transversal, la perturbación puede llevar cualquier dirección, siempre que forme90 con la de propagación. En las OEM, los campos eléctricos y magnéticos van cambiando dedirección aleatoriamente, aunque siempre perpendiculares a la propagación.

Existen materiales que sólo dejan pasar determinadas direcciones de perturbación, llamadospolarizadores. La onda que los atraviesa presenta una perturbación con dirección constante. sedice que la onda se ha polarizado o que está polarizada, a diferencia del caso general anterior(onda no polarizada).

4.2.2 Ecuación de la onda armónica.

Se denomina onda armónica a aquella en la que la perturbación que se propaga es un m.a.s. Paraestudiar la onda en todos sus aspectos, necesitaremos conocer tanto las características del m.a.s.de la perturbación en el origen (foco de la onda) como las características de la propagación (porel medio o por el vacío).

La onda armónica es el más movimiento ondulatorio más simple matemáticamente, y ademásse puede demostrar que cualquier movimiento ondulatorio se puede descomponer en sumas deondas armónicas (Análisis de Fourier). Su ecuación es:

y(x, t) = A sen(ω(t± x

v

)+ ϕ0

)Esto quiere decir que un punto situado a una distancia x del foco, realizará el mismo m.a.s. untiempo más tarde, lo que tarda en llegar la onda hasta él (x/v). Ya que se suele tomar t > 0,t = 0 cuando empieza la observación del la onda, el signo (−) indica que la onda se desplazahacia x > 0 y el signo (+), hacia x < 0.

Como antes, las magnitudes relativas a la perturbación (en cada punto x del espacio) mantienenel mismo signicado:

• y: Desplazamiento (m) desde la posición de equilibrio (y = 0).

• t: Tiempo (s) transcurrido desde el origen (t = 0).

• A: Elongación (m). Desplazamiento máximo (en valor absoluto).

• ω: Frecuencia angular (rad ·s−1). Se puede entender como una velocidad angular, haciendocoincidir una oscilación de la perturbación con un periodo angular completo (2π).

• ϕ0: Fase inicial (rad).

• T =2π

ω: Periodo (s). Tiempo que tarda la perturbación en realizar una oscilación.

• ν =1

T=

ω

2π: Frecuencia (s−1 ≡ Hz). Oscilaciones por unidad de tiempo.

Además, aparecen dos nuevas magnitudes relacionadas con la velocidad del desplazamiento de laperturbación por el espacio:

• v: Velocidad de propagación (m · s−1). Velocidad a la que se transmite la onda (energía)de un punto a otro del espacio (de partícula a partícula del medio si es el caso).

• λ Longitud de onda (m). La menor distancia entre dos puntos del espacio con la mismafase de m.a.s. Se puede entender como un periodo espacial: cuántos metros por oscilación(en vez de T segundos por oscilación).

• k: Número de onda (rad · m−1). Es una magnitud que relaciona la velocidad de pertur-bación con la de propagación. Se puede entender como una frecuencia espacial: cuántasoscilaciones, en radianes, por unidad de longitud (en vez de ω oscilaciones, en radianes, porunidad de tiempo).

Dado que λ = vT , k =ω

v, también k =

2π

vT=

2π

λ, y podemos reescribir la ecuación de onda de

forma más conveniente:

y(x, t) = A sen (ωt± kx+ ϕ0) = A sen

(2π

(t

T± x

λ

))cuando ϕ0 = 0.

Siempre usaremos y para la elongación, independientemente de que el movimiento de la pertur-bación sea longitudinal o transversal, para diferenciar entre el movimiento de la perturbación (y)y el de propagación de la onda (x).

También podemos calcular en cada punto del espacio la velocidad y aceleración de la perturbación:

vy(x, t) =dy(x, t)

dt= Aω cos (ωt± kx+ ϕ0)

ay(x, t) =dvy(x, t)

dt= −Aω2 sen (ωt± kx+ ϕ0)

4.2.3 Diagramas de propagación.

Se estudia el movimiento ondulatorio como una transmisión de energía de un punto del espacio aotro, o de una partícula del medio a otra en su caso. Para facilitar el estudio de cómo se propagaesa energía, nos ayudamos con dos representaciones grácas.

Frente de onda:

Es la supercie (o línea) formada por todos los puntos del espacio (o medio) que tienen la mismafase en un instante determinado. Según la forma que tenga el frente de onda, distinguiremos:

• Onda plana: El frente de onda es una supercie plana (o una línea recta en R2).

• Onda esférica: El frente de onda tiene forma esférica (o de circunferencia en R2).

Podemos obtener geométricamente el frente de onda aplicandoel Principio de Huygens: Cada punto al que se propaga unaonda se comporta como foco emisor de nuevas ondas del mismotipo. La envolvente de todos los frentes de onda secundarios esel frente de onda.

Diagrama de rayos:

Las líneas que partiendo del foco nos indican la dirección ysentido en que se propaga la energía transmitida por la onda.Son siempre perpendiculares al frente de onda.

En una onda plana, los rayos son paralelos entre sí. En unaonda esférica, los rayos divergen desde el foco.

En una onda esférica, el foco emisor es el que proporciona la energía, que se propaga al ir avan-zando el frente de onda. Aún suponiendo que la energía transmitida se mantuviera constante enel caso de ondas materiales, considerando que no actuasen fuerzas disipativas de tipo rozamiento,el frente de ondas tiene cada vez mayor supercie, y la energía (la amplitud de la perturbación)en cada punto debe ir disminuyendo. Se denomina atenuación de la onda, y explica que la luz oel sonido, por ejemplo, disminuyan en intensidad al alejarse del foco emisor.

4.2.4 Reexión, refracción y absorción.

Cuando una onda que se propaga pasa de un medio a otro, pueden ocurrir tres fenómenosdiferentes: Reexión, refracción y absorción. Además, lo más normal es que sucedan los tressimultáneamente, aunque en diferente grado, por lo que las ondas reejadas y/o refractadastendrá en la práctica una amplitud menor.

Reexión:

Los puntos de la frontera entre los dos medios, al ser perturbados,generan una onda (llamada reejada) que se vuelve a propagarpor el medio inicial. Esta onda tiene las mismas característicasque la onda incidente, salvo la amplitud y la dirección, que formael mismo ángulo con la normal que la onda incidente:

• αi = αr.

Refracción:

Los puntos de la frontera entre los dos medios, al ser pertur-bados, generan una onda (llamada refractada) que se propagapor el segundo medio. Esta onda tiene la misma frecuenciaque la incidente (característica que depende del foco emisor),pero la velocidad de propagación es en general diferente, porlo que λ y k también lo son. La amplitud será menor, y existeuna relación (ley de Snell) entre los ángulos que forman losrayos incidente y refractado con la normal a la supercie:

• θ1θ2

=v1v2

= cte

Absorción:

Las partículas del segundo medio, debido a sus características atómicas y/o moleculares, absorbenparte de la energía que transporta la onda. Si se absorbe toda la energía, la onda desaparece.

4.2.5 Interferencia.

La interferencia es un fenómeno característico de las ondas. Se produce cuando dos o más ondasprocedentes de focos diferentes, se propagan por una misma región, sumándose los efectos deambas perturbaciones en cada punto del espacio (principio de superposición).

Para que se considere interferencia, los efectos deben ser apreciables, que sólo sucede cuando lasondas que se superponen tiene amplitudes parecidas, y longitudes de onda prácticamente iguales(ondas coherentes). Eso implica que las frecuencias son también prácticamente iguales, ya quesuponemos ondas de idéntica naturaleza, con la misma velocidad en el medio.

• Interferencia constructiva: Cuando dos ondas llegan a un punto del espacio con la mismafase, ∆ϕ = 2nπ, n = 0, 1, 2, . . ., las elongaciones de las perturbaciones se producen a lavez, y por lo tanto la amplitud de la interferencia es A = A1 + A2.

Suponiendo que la fase inicial es ϕ0 = 0 para ambas ondas cuando t = 0, y que ω y k sonlas mismas para las dos, esta interferencia sucede cuando ∆ϕ = k(x2 − x1) = 2nπ ⇒x2 − x1 = nλ, siendo x1 y x2 las distancias desde el punto a cada foco.

• Interferencia destructiva: Cuando dos ondas llegan a un punto del espacio en contrafase,∆ϕ = (2n+ 1)π, n = 0, 1, 2, . . ., las elongaciones de las perturbaciones se producen a lavez, pero en sentido contrario, y por lo tanto la amplitud de la interferencia es A = |A1−A2|.Con las mismas suposiciones que en el caso anterior, esta interferencia sucede cuando∆ϕ = k(x2 − x1) = (2n+ 1)π ⇒ x2 − x1 = (2n+ 1)λ/2

Entre estos puntos con interferencia constructiva o destructiva, existen otrosdonde se dan todas las situaciones intermedias, con amplitudes entre A = |A1−A2| y A = A1+A2, pero todos con la misma frecuencia. Para las ondas sonoras,este fenómeno explica la existencia de zonas de sonido intenso junto a zonasde sonido débil, repetidas en el espacio. Para las ondas electromagnéticas, lomismo con zonas claras y oscuras (de mayor o menor intensidad). Cuando lasdos ondas tienen la misma amplitud, en los puntos con interferencia destructivase anulará la perturbación (no tendremos sonido o luz en ese punto).

4.2.6 Difracción.

Se denomina difracción a la desviación de la dirección de propagación de la onda al encontrarsecon un obstáculo. Sólo es apreciable cuando el obstáculo es de un tamaño parecido a la λ de laonda que se propaga. El obstáculo puede ser tanto un agujero como un cuerpo sólido. Las ondassonoras tienen una λ que varían entre algunos cm y algunos m. Por eso es más fácil apreciar ladifracción que con la luz, cuya λ es del orden de 10−7 m.

La difracción se explica mediante el principio de Huygens: Cadapunto del medio se comporta como un foco puntual emisor denuevas ondas, y la superposición de todos ellos es lo que forma elfrente de onda. Cuando esta onda se encuentra con un obstáculo,el número de puntos que actúan como focos cambia, y por tantola forma del frente de ondas.

El fenómeno de difracción puede ir unido al de interferencia,cuando el obstáculo es un cuerpo o tenemos varias rendijas, queen ambos casos funcionan como varios focos puntuales (de ondascoherentes).

4.2.7 Ondas estacionarias.

Es un caso particular de interferencia. Consiste en la superposición de dos ondas armónicas quese propagan por el mismo medio, con idénticas A, v, λ, dirección, pero en sentidos contrarios.Como por ejemplo una onda que llega perpendicularmente a la frontera con otro medio y sufreuna reexión total.

Hay dos tipos de ondas estacionarias. En el caso monodimensional, podemos verlo como si fueranondas en una cuerda:

En cuerdas con extremos libres:

En este caso la onda rebotada es idéntica a la incidente, pero en sentido contrario.y1(x, t) = A sen(ωt− kx); y2(x, t) = A sen(ωt+ kx)y(x, t) = y1(x, t) + y2(x, t) =

= A sen(ωt) cos(kx)− A cos(ωt) sen(kx) + A sen(ωt) cos(kx) + A cos(ωt) sen(kx) == 2A sen(ωt) cos(kx)

No es un movimiento ondulatorio. No existe propagación de energía a lo largo de la cuerda.Tenemos dos ondas idénticas (con igual v), pero en sentido contrario, por lo que la velocidadde propagación total es nula. Para cada punto de la cuerda tenemos un m.a.s. con amplitudvariable dependiendo de su posición.

y(x, t) = A(x) sen(ωt) = 2A cos(kx) sen(ωt)

La amplitud máxima es 2A y se alcanza para cos(kx) = ±1, x = nλ/2, puntos de la cuerdallamdados vientres o antinodos.

La amplitud mínima es 0, y se alzanza para cos(kx) = 0, x = (2n+ 1)λ/4, puntos de la cuerdallamados nodos, que no realizan el m.a.s. (están en reposo).

La distancia entre nodos (o antinodos) consecutivos es λ/2.

En cuerdas con extremos jos:

En este caso la onda rebotada y la incidente son inversas (en oposición de fase y sentido contrario).y1(x, t) = −A sen(ωt− kx); y2(x, t) = A sen(ωt+ kx)y(x, t) = y1(x.t) + y2(x, t) =

= −A sen(ωt) cos(kx) + A cos(ωt) sen(kx) + A sen(ωt) cos(kx) + A cos(ωt) sen(kx) == 2A cos(ωt) sen(kx)

Igual que antes, no es un movimiento ondulatorio. Para cada punto de la cuerda tenemos unm.a.s. con amplitud variable dependiendo de su posición.

y(x, t) = A(x) cos(ωt) = 2A sen(kx) cos(ωt)

La amplitud máxima es 2A para sen(kx) = ±1, x = (2n + 1)λ/4 (vientres o antinodos). Laamplitud mínima es 0 para sen(kx) = 0, x = nλ/2 (nodos). También, la distancia entre nodos(o antinodos) consecutivos es λ/2.

Armónicos:

Dada una cuerda con extremos jos y longitud L, las ondas estacionarias que se generen debentener nodos en los extremos, por lo que sólo pueden existir aquellas con longitudes de ondas:

L = nλ

2⇒ λ =

2L

n

Por lo tanto, las frecuencias de vibración también estarán limitadas a las que veriquen:

λ = vT =v

ν⇒ ν =

nv

2L

Estas frecuencias se denominan armónicos. Para n = 1 tenemos el armónico fundamental, y lasdemás frecuencias son múltiplos de ésta. Es fácil ver que para cualquier n, el número de nodoses n+ 1, y el de vientres es n.

4.2.8 Ondas sonoras. Acústica.

La acústica es el estudio de la propagación del sonido. Sabemos que el sonido consiste en vibra-ciones de las moléculas del aire (u otro medio) que se propagan longitudinalmente con velocidadvariable con el medio. En el aire v varía con la temperatura y la humedad según la expresión:

v =

√γRT

M

Donde γ es una constante que depende de la humedad del aire,M es la masa molecular promedio,R la constante de los gases ideales y T la temperatura.

Tono y timbre de un sonido:

El tono es la característica del sonido relacionada con su frecuencia fundamental. Se dice tonoalto para los sonidos agudos (frecuencias altas) y tono bajo para sonidos graves (frecuenciasbajas).

Cuando escuchamos la misma nota musical (el mismo tono) emitida por dos instrumentosmusicales diferentes, éstos suenan de forma distinta, y podemos distinguir a qué instrumentopertenecen. Esto se debe a que todo instrumento musical, al vibrar, produce ondas estacionariasde múltiples frecuencias (armónicos).

El armónico (frecuencia) fundamental es el que nos da la nota musical (tono), y el resto delos armónicos le dan al sonido las características propias del instrumento. Estos armónicossecundarios constituyen el timbre del sonido.

En el caso de una cuerda física, la velocidad de propagación de la onda se puede calcular como:

v =

√Tension

Densidady por tanto las frecuencias son: ν =

n

2L

√Tension

Densidad

Al aumentar la longitud de la cuerda o su densidad (grosor), la frecuencia se hace menor (tonomás grave). Al aumentar la tensión, la frecuencia se hace mayor (tono más agudo).

Ultrasonidos e infrasonidos:

El oído humano es capaz de percibir sonidos con frecuencias entre 16 Hz y 20000 Hz. Pordebajo de esa frecuencia mínima se denominan infrasonidos. Se pueden producir por el viento,o en los momentos previos a un terremoto. Pueden afectar a órganos internos y a terminacionesnerviosas, originando malestar e irritabilidad.

Por encima de 20 kHz se denominan ultrasonidos. Diversas especies (perros, murciélagos,delnes, por ejemplo) son capaces de percibirlos. Los ultrasonidos de muy alta frecuencia trans-miten mucha energía y pueden concentrarse en un punto con mucha facilidad, lo que les haceútiles para diversas aplicaciones en comunicaciones, en medicina y otros ámbitos.

La intensidad de una onda es la energía que propaga el frente de onda por cada unidad desupercie y de tiempo. En el S.I se mide en J · s−1 ·m−2 = W ·m−2

Para medir la intensidad sonora usamos una magnitud derivada, con el cero en el valor dereferencia I0 = 10−12 W ·m−2, y escala logarítmica. Se denomina nivel de intensidad (β), y sedene como:

β = 10 logI

I0

La unidad de β es el decibelio (dB), en honor a A.G. Bell, inventor del teléfono.

Para cada frecuencia audible por el oído humano (entre 16 Hz y 20 kHz), existe un nivel deintensidad mínimo que es capaz de percibir (umbral de audición), y un nivel máximo (umbral dedolor), por encima del cual se producen daños en el oido.

Está comprobado que el ruido por debajo del umbral del dolor también puede afectar al oídoy al sistema nervioso. Puede causar sordera, trastornos psicológicos, irritabilidad, estrés, bajorendimiento, dicultades para dormir, etc. Cuando en una zona el nivel de intensidad del ruídoes tal que afecta a la salud, se habla de contaminación sonora. Una exposición continuada a unsonido de intensidad superior a 80 dB produce daños a la salud. Existe una legislación sobrecontaminación sonora que pretende disminuir el efecto del ruido sobre la salud.

4.3 ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS.

4.3.1 Introducción histórica.

No existen teorías relavantes desde el punto de vista cientíco sobre la luz y sus fenómenosasociados hasta el siglo XVII en Europa. Snell (1621) describió las leyes de refracción de formaexperimental, y Descartes (1637) publicó su obra Dióptrica.

Acerca de la naturaleza de la luz, Huygens (1690) propuso una teoría ondulatoria, y Newton(1704) otra, curpuscular.

Teoría ondulatoria: La luz se propaga como una onda mecánica longitudinal.

• Necesita un medio material para su propagación.

• La propagación es rectilínea debido a que la frecuencia de la luz es muy alta.

• Los colores se deben a diferentes frecuencias.

• La luz debería experimentar fenómenos de interferencia y difracción, característicos de lasondas.

• Su velocidad será menor en medios más densos.

El medio de propagación (llamado éter en dicha teoría) no había sido observado. Además, elmovimiento de los objetos en él se debía realizar con resistencia nula (caso de los planetas, porejemplo). Tampoco había constancia experimental de interferencias o difracción de la luz.

Teoría corpuscular: La luz está formada por partículas materiales.

• La luz está formada por partículas de masa muy pequeña y muy alta velocidad.

• La propagación es rectilínea debido a la gran velocidad de las partículas (y su baja masa).

• Los colores se deben a diferentes masas.

• La luz no debría experimentar fenómenos de interferencia y difracción.

• Su velocidad será mayor en medios más densos.

Esta teoría no explica satisfactoriamente el fenómeno de refracción, ni el cruce de rayos de luzsin choque de partículas

Inicialmente, la teoría de Newton fue la predominante. Young (1801) observo interferencias enla luz, Fresnel (1815), la difracción, demostrando también que la luz son ondas transversales.Foucault (1885) comprobó que la velocidad de la luz en el agua es menor que en el aire. Todasestas comprobaciones experimentales llevaron a la teoría ondulatoria a ser la predominante mástarde.

En la última unidad (física moderna) veremos cómo Newton tenía en parte razón. Para explicarfenómenos como la radiación térmica, el efecto fotoeléctrico y los espectros atómicos, la energía dela onda luminosa debía transmitirse en paquetes de una determinada cantidad de energía, quese podían asociar a partículas, no ya de baja masa, sino de masa cero, y con la máxima velocidadposible (c). Es lo que se conoce como dualidad onda-corpúsculo, que pertenece al ámbito de lamecánica cuántica, pero que en esta unidad no es necasaria para explicar los fenómenos que seestudian, así como no es necesaria la Teoría de la Relatividad para los fenómenos estudiados enla Unidad de Interacción Gravitatoria.

4.3.2 Ecuaciones de onda electromagnética.

La función de onda armónica y(x, t) = A sen(wt± kx+ ϕ0) es solución de:

∂2y

∂x2=k2

ω2

∂2y

∂t2(ecuación diferencial de onda con v =

ω

kvelocidad de propagación)

A partir de las leyes de Maxwell para los campos eléctrico y magnéticos que vimos anteriormente,se pueden deducir las siguientes expresiones (en el vacío):

∇2E = µ0ε0∂2E

∂t2, ∇2B = µ0ε0

∂2B

∂t2,

Donde ∇2 es es el operador diferencial vectorial laplaciano, denido como:

∇2E = ∇ · (∇ · E)−∇ ∧ (∇∧ E) =

=

(∂2Ex∂x2

+∂2Ex∂y2

+∂2Ex∂z2

)~i+

(∂2Ey∂x2

+∂2Ey∂y2

+∂2Ey∂z2

)~j +

(∂2Ez∂x2

+∂2Ez∂y2

+∂2Ez∂z2

)~k

(en coordenadas cartesianas).

Resultando ser ecuaciones diferenciales (acopladas) de onda con las soluciones:

E = E0 sen(ωt± kx), B = B0 sen(ωt± kx)

Y velocidad de propagación v en la dirección x: v =1

√µ0ε0

= c, v ⊥ E ⊥ B

A partir de estos resultados teóricos, Maxwellpropuso que los campos eléctricos y magnéticosse propagan como ondas armónicas transversalesen el espacio, sin necesidad de medio material ycon velocidad en el vacío c.

El valor de la velocidad predicha coincidía con el medido por Foucault para la luz. TambiénHertz, en 1887, comprobó experimentalmente la predicción de Maxwell, generando ondas elec-tromagnéticas mediante inducción electromagnética. Más tarde, Hertz vericó que las ondaselectromagnéticas cumplen las leyes de reexión y refracción, del mismo modo que la luz. Ynalmente se llega a la conclusión de que la luz es una onda electromagnética.

La velocidad de propagación v depende de las características eléctricas ε y magnéticas µ delmedio, pero siempre v 6 c.

Se dene el índice de refracción de un medio como n =c

v, n > 1

4.3.3 Espectro electromagnético.

Las ondas electromagnéticas se clasican según su frecuencia ν (o su longitud de onda λ). Estaclasicación es subjetiva: La división entre un tipo de onda electromagnética y otro está basadaen los diferentes efectos que se pueden apreciar o los distintos usos que tienen para el ser humano.

En la siguiente tabla están clasicados los distintos tipos de ondas electromagnérticas, de mayora menor frecuencia (de menor a mayor longitud de onda). Hay que recordar que ν y λ soninversamente proporcionales: νλ = c (en el vacío).

Rayos gamma (γ). Son producidos por os-cilaciones nucleares, en los fenómenos radi-activos y en reacciones nucleares. Tienenuna longitud de onda del orden de 10−14 m.Tienen un gran poder de penetración, lo quehace que sean nocivos para los seres vivos.

Rayos X. Son producidos por oscilaciones delos electrones próximos al núcleo. Su longi-tud de onda está entre 4 ·10−11 y 3 ·10−9 m.Se utilizan en la industria, en medicina (ra-diografías y radioterapia). Son peligrosospara los tejidos debido a su poder energético.

Rayos ultravioleta. Son producidas por os-cilaciones de los electrones más internos.Su longitud de onda está entre 3 · 10−9 y4 · 10−7 m. Se emplean en medicina, porsu poder ionizante. El Sol es un poderosoemisor de rayos ultravioleta, responsables delas quemaduras solares y cánceres de piel.

Luz visible. Son producidas por oscilacionesde los electrones más externos del átomo.Su longitud de onda está entre 3, 9 · 10−7

y 7, 8 · 10−7 m. Son percibidas por nuestraretina. Se emplean en todo tipo de disposi-tivos relacionados con la visión, láser, etc.

Rayos infrarrojos. Son producidas en los cuerpos calientes y son debidas a oscilaciones de átomos.Su longitud de onda oscila esrá entre 7, 8·10−7 y 10−4 m. Se emplean en la industria y en medicina(termoterapia).

Microondas. Son producidas por vibraciones de moléculas. Su longitud de onda está entre 10−4 my 10 cm. Se emplean en radioastronomía, comunicaciones (radar, maser). La radiación de fondocósmico emite en esa banda.

Radioondas. Son ondas electromagnéticas producidas por circuito eléctricos y algunas fuentesastronómicas. Su longitud de onda está 10 cm y 10 km. Se emplean en radiodifusión, astronomíay telecomunicaciones.

4.3.4 Índice de refracción y ángulo límite.

Ya vimos que cuando sucede una reexión, la onda reejada tiene igual ν, λ y v que la ondaincidente. Además, el ángulo que forma la onda reejada con la normal a la frontera es igual al dela onda incidente. Ahora distinguiremos entre reexión nítida, como la que ocurre en un espejo(donde la supercie está pulimentada, y rayos incidentes paralelos producen rayos reejadostambién paralelos) y la reexión difusa, que sucede debido a la rugosidad de las supercies (losrayos incidentes paralelos producen rayos reejados en todas las direcciones), y es la que haceque podamos ver los objetos desde diferentes ángulos.

Por otra parte, ya estudiamos que la onda refractada tiene la misma ν (color) que la incidente,pero al ser diferente la v en el segundo medio, la λ también lo será.

La velocidad de la luz en el aire es casi igual que en el vacío, c ≈ 3 · 108 m · s−1. En cualquierotro medio la velocidad de propagación de la onda es menor, por lo que la λ = v/ν de la luzrefractada será mayor.

A partir de la denición del índice de refracción (n) de un medio con velocidad v de propagación

de la luz en él: n =c

v(n > 1), podemos reescribir la Ley de Snell como

ni sen αi = nr sen αr o biensen αisen αr

=nrni

formas más habituales de la misma.

Siendo ni el índice de refracción del medio en el que viaja la onda incidente, y nr el del mediode la onda refractada.

Es evidente que si αi = 0, la onda refractada no sufre desviación (αr = 0).

Cuando nr > ni, como por ejemplo cuando la luz pasa del aire a otro medio, αr < αi

Pero cuando nr < ni, tenemos que αr > αi, por lo que puede llegarse a αr = 90 para undeterminado αi = αL. A este ángulo de incidencia se le denomina ángulo límite, porque paraángulos de incidencia mayores, el refractado (mayor de 90) no pasa al medio 2, sino que sufreuna reexión llamada reexión total.

sen αLsen 90

=nrni⇒ sen αL =

nrni

4.3.5 Dispersión de la luz.

Existen algunos medios, llamados dispersivos, para los que la velocidad de propagación de laonda (de luz) varía con la frecuencia (vidrio, atmósfera, agua), es decir:

• Los diferentes colores (diferente ν) se propagan a velocidad v diferente.

• La longitud de onda cambia (λ = v/ν).

• Cada color tiene su propio índice de refracción (n), por lo que los ángulos de refracciónserán diferentes.

En la práctica, los rayos de luz de distintos colores se separan (se dispersan) al pasar por el vidrio,por el agua o por el aire. En estos medios dispersivos, la luz roja (menor ν) es la que menos sedesvía, y la luz azul-violeta (mayor ν) la que más. Este fenómeno de dispersión es el que explicaque el cielo se vea azul, y el Sol rojizo en el amanecer y atardecer, asi como la separación encolores por un prisma de vidrio y el fenómeno del arco iris.

4.4 ÓPTICA GEOMÉTRICA.

4.4.1 Sombras y penumbras.

En óptica geométrica se suelen usar los diagramas de rayos porque ilustran de forma clara lacaracterística fundamental de la luz que nos interesa en este apartado: La luz se propaga en línearecta mientras el n del medio permanezca constante. Sólo se desviará al cambiar de medio o siel medio posee un n variable.

Así se explica como, desde un foco de luz puntual,se produce sólo sombra, y desde un foco extensose produce sombra y penumbra, debido a la su-perposición de los rayos que se emiten desde todoslos puntos del foco.

La zona de sombra es aquella a la que no lleganingún rayo desde ningún punto del foco, y lazona de penumbra es a la que llegan rayos desdealgunos de los puntos de la superce del foco.

Se puede observar este efecto, las zonas de sombra y penumbra, en los eclipses de Sol y de Luna.

4.4.2 Sistemas ópticos.

Un sistema óptico es un conjunto de medios materiales que alteran las trayectorias de los rayosluminosos. Para estudiar su comportamiento, denimos el objeto, del que parten los rayos deluz, el sistema óptico, y la imagen, que se forma por los rayos una vez que han sido alterados porel sistema óptico. Se denomina eje óptico o principal al eje de simetría del sistema óptico.

La imagen formada puede ser real, cuando los rayos convergen en un punto tras pasar por elsistema óptico. Si colocamos una pantalla en ese punto, veremos la imagen. También puedeser virtual, cuando los rayos divergen tras pasar por el sistema óptico. En este caso parece queprovienen de un punto imaginario, que es donde se sitúa la imagen virtual. No puede proyectarsesobre una pantalla.

La imagen puede formarse derecha o invertida, si se ve al revés que el objeto original. Además,el tamaño y la posición de la imagen puede ser muy diferente a las del objeto.

Reglas para la formación de imágenes

Se denomina foco objeto (F) a un punto sobre el eje óptico tal que los rayos que pasan por élsalen del sistema óptico paralelos al eje.

Se denomina foco imagen (F') a un punto situado sobre el eje óptico tal que los rayos que lleganparalelos al eje convergen en él o divergen de él al pasar por el sistema óptico.

Todo rayo que pasa por el centro del sistema óptico no sufre ninguna desviación

4.4.3 Lentes.

Una lente es un medio transparente y homogéneo, limitado por dos supercies, una de ellas porlo menos, curva. Al ser atravesados por un rayo luminoso, éste se refracta.

Lentes convergentes

Concentran los rayos que pasan a través de ellas.

Son convexas, plano-convexas y biconvexas.

Lentes divergentes

Separan los rayos que pasan a través de ellas.

Son cóncavas, plano-cóncavas y bicóncavas.

Elementos de una lente

• Centros de curvatura C, C'. Son los centros geométricos de las supercies curvas que limitanel medio transparente.

• Eje principal (óptico). Es la línea imaginaria que une los centros de curvatura.

• Centro óptico. Es el punto de intersección de la lente con el eje principal.

• Focos F y F'. En las convergentes F está situado antes del sistema óptico y F' después,según el sentido de los rayos. En las divergentes es al revés.

• Distancia focal f y f ′. Es la distancia entre el foco y el centro óptico. Con el sentidopositivo de los rayos, f ′ > 0 en las convergentes y f ′ < 0 en las divergentes.

Formación de imágenes:

Cuadro resumen:

Lente Situación objeto Imagen

Convergente s < 2f Real, invertida, menor.

Convergente s = 2f Real, invertida, igual.

Convergente 2f < s < f Real, invertida, mayor.

Convergente f = s Sin imagen.

Convergente f < s Virtual, derecha, mayor.

Divergente Cualquier punto Virtual, derecha, menor.

4.4.4 Espejos

Un espejo es una supercie pulimentada donde apenas hayabsorción de la luz visible. Para la formación de imágenes,usaremos la ley de reexión.

Espejo plano.

La imagen obtenida es virtual, simétrica del objeto conrespecto al plano del espejo, por lo tanto es derecha y delmismo tamaño. Tanto F como F' están en el innito.

Espejos esféricos

Cóncavos.La supercie reectante es la cara interna.

Convexos.La supercie reectante es la cara externa.

Elementos de los espejos esféricos

• Centro de curvatura C. Es el centro de la esfera teórica a la que pertenece el casqueteesférico donde está situado el espejo. También es el centro óptico del sistema.

• Vértice. Centro del casquete esférico.

• Eje principal. Línea imaginaria que pasa por el centro de curvatura y el vértice.Distancias desde el vértice. Positivas en el sentido de los rayos.

• Radio de curvatura r. Es el radio de la esfera teórica anteriormente citada.Cóncavo: r < 0, convexo: r > 0.

• Foco F. Punto situado sobre el eje principal, por dónde pasan todos los rayos reejadosprocedentes de los rayos paralelos que llegan al espejo.

• Distancia focal f. Distancia entre el foco y el vértice del espejo.Cóncavo: f < 0, convexo: f > 0, con mismo criterio de signos.

• Se cumple que la distancia focal es la mitad del radio de curvatura: f = r/2 (con su signo).

Formación de imágenes:

Cuadro resumen:

Espejo Situación objeto Imagen

Cóncavo s < 2f Real, invertida, menor.

Cóncavo s = 2f Real, invertida, igual.

Cóncavo 2f < s < f Real, invertida, mayor.

Cóncavo f = s Sin imagen.

Cóncavo f < s Virtual, derecha, mayor.

Convexo Cualquier punto Virtual, derecha, menor.

4.4.5 Ecuaciones de óptica geométrica.

Mediante las ecuaciones de Newton:1

s′− 1

s=

1

f ′y′

y=s′

s

Podemos calcular la posición (s′) y tamaño de la imagen (y′), y saber si está derecha o invertida,conociendo la posición (s) y tamaño del objeto (y), y la distancia focal de la lente (f ′).

Tomando s = 0 para el centro óptico, y la dirección positiva en el sentido de los rayos de luz,f ′ > 0 para lentes convergentes, f ′ < 0 para lentes divergentes.

Se dene Aumento como A =y′

y. Potencia como

1

f(medida en dioptrías, unidad S.I.).

Cuanto menor es la distancia focal de una lente mayor es su potencia.

Para los espejos, atendiendo al mismo criterio de signos, s = 0en el vértice, f ′ > 0 para espejos convexos, f ′ < 0 para espejoscóncavos, las ecuaciones quedan:

1

s′+

1

s=

1

f ′y′

y= −s

′

s

4.4.6 El ojo como instrumento óptico.

El ojo funciona como un instrumento óptico formado pordos lentes convergentes (córnea y cristalino) y dos medioslíquidos (humor acuoso y humor vítreo) que hacen con-verger los rayos luminosos en una zona de la retina (lafóvea), donde se sitúan los conos y bastones, células es-pecializadas que responden a los estímulos luminosos yenvían señales eléctricas por el nervio óptico al cerebro.El iris varía su diámetro de forma involuntaria, regulandola cantidad de luz que entra en el ojo.

La imagen que el ojo produce de un objeto es real e invertida, pero el cerebro se encarga de quela veamos derecha.

En un ojo normal (emétrope), el cristalino es capaz de enfocar en la retina las imágenes que seencuentran a diferentes distancias (desde el innito a 25 cm) variando su curvatura mediante losmúsculos ciliares, que forman un anillo alrededor del mismo.

Una persona con miopía no ve con clar-idad los objetos lejanos porque la cur-vatura de su cristalino es demasiado alta.Los objetos se enfocan delante de laretina. Para compensarlo se utilizanlentes divergentes.

Una persona con hipermetropía no vecon claridad los objetos cercanos porquela curvatura de su cristalino es demasi-ado baja. Los objetos se enfocan detrásde la retina. Para compensarlo se uti-lizan lentes convergentes.

El astigmatismo consiste en un defecto en la esfericidad del cristalino, lo que hace que el enfoquevaríe según la dirección en la que llegan los rayos. De este modo los rayos convergen en puntosdistintos, haciendo la imagen borrosa. Se usan lentes con curvaturas diferentes en diferentesángulos para compensarlo.

La presbicia o vista cansada se produce por la pérdida de elasticidad del cristalino y el envejec-imiento de los músculos ciliares, resultando en la dicultad para enfocar los objetos cercanos. Secompensa mediante lentes convergentes.

4.4.7 Instrumentos ópticos.

Lupa

Es una lente convergente de pequeña distancia focal(entre 5 y 10 cm). Se emplea para ampliar la imagende pequeños objetos colocados entre el foco F y lalente. La imagen que se forma es virtual, derecha ymayor que el objeto.

Cámara fotográca

Consiste en una cámara oscura con una lente conver-gente móvil. El objeto está más alejado de la lenteque F. La imagen es real, invertida y menor que el ob-jetivo. La lente (objetivo) se mueve (enfoque) hastaque la imagen se forme justo en la supercie de de-tección (antiguamente una película sensible, hoy unCCD).

Anteojo de Galileo

Formado por una lente convergente (1) y otra diver-gente (2) de forma que F1' coincide con F2. El objetoestá situado casi en el innito. La imagen es virtual(en el innito), derecha y mayor que el objeto.

Anteojo, Telescopio refractor

Formado por una lente convergente (1) y otra tambiénconvergente (2) de forma que F1' coincide con F2. Elobjeto está situado casi en el innito. La imagenes virtual (en el innito), invertida y mayor que elobjeto.

Telescopio reector

Formado por un espejo cóncavo (1),un espejo planoen el foco del mismo (2) y una lente convergente (3).El objeto está situado casi en el innito. La imagenes virtual (en el innito), invertida y mayor que elobjeto.

Microscopio

Formado por una lente convergente (1) y otra diver-gente (2) de forma que F1' está separado de F2 unadistancia d. Se varía d hasta que el objeto (situadomás lejos de (1) que F1, forma una imagen en F2.Esta imagen es virtual (en el innito), invertida ymayor que el objeto.

5 FÍSICA MODERNA.

5.1 FÍSICA NUCLEAR.

5.1.1 Modelos atómicos.

Las primeras discusiones documentadas sobre la estructura de la materia proceden de la Greciaclásica, en la que se enfrentaban dos concepciones: Unos pensaban que la matería podía dividirseindenidamente, mientras que los atomistas (de los que Demócrito es el más conocido) defendíanque debía existir una partícula indivisible, a la que llamaron átomo, que debía ser el elementobásico de la estructura de la Naturaleza.

No fue hasta el S. XIX cuando se enuncia la primera teoría cientíca, por John Dalton (1813).Retoma la teoría atómica para explicar la estructura de la materia, y las reacciones químicas. Elátomo no tiene estructura interna y es indivisible.

En 1897, Joseph John Thomsom descubre el electron, como una partícula que se desprende delátomo en algunos experimentos. Incluye esta partícula dentro del átomo, en un modelo conocidocomo pastel de pasas.

Ernest Rutherford, en 1910, descubre que el átomo es en su mayor parte espacio vacío. Proponeun modelo denominado planetario, en el que la mayor parte de la masa está concentrado en unnúcleo muy pequeño y compacto, de carga positiva y sin estructura interna, alrededor del cualse mueven los electrones, cargados negativamente.

Más tarde se descubrieron el protón y el neutrón como partículas que constituían el núcleoatómico (James Chadwick, 1932), al que dotaban de estructura.

En la actualidad se han descubierto muchas más partículas subatómicas, más de 200. En 1990se concedió el Premio Nobel de Física a Friedman, Kendall y Taylor por la comprobación ex-perimental de que los hadrones, familia de partículas subatómicas de la que forman parte losprotones y neitrones, estaban compuestos de otras partículas más pequeñas, llamadas quarks.

Usaremos el modelo planetario, incluyendo los protones y neutrones en el núcleo, que se siguellamando modelo de Rutherford, para todo el apartado Física nuclear.

5.1.2 Estructura atómica.

Partículas subatómicas:

Partícula Carga Masa Posición

electrón ( 0−1e−) −1, 6 · 10−19 C 9, 1 · 10−31 kg = 0, 000549 uma Corteza atómica

protón (11p+) 1, 6 · 10−19 C 1, 6725 · 10−27 kg = 1, 0073 uma núcleo

neutrón (10n) 0 1, 6748 · 10−27 kg = 1, 0086 uma núcleo

1 uma = 1, 66 · 10−27 kg

Los electrones intervienen en las reacciones químicas, radiación térmica, efecto fotoeléctrico, etc,mientras que los protones y neutrones lo hacen en reacciones nucleares, como la fusión, la sióny la desintegración.

Estructura del núcleo:

• Número atómico (Z): Número de protones. Dene el elemento químico.

• Número de neutrones (N): Junto con los protones, forman el núcleo.

• Número másico (A): Número de nucleones (protones + neutrones). Aproximadamente lamasa del núcleo, en uma.

• Radio: R ≈ 1, 4 · 10−15 · A1/3 m (≈ 10−5 del tamaño del átomo)

• Densidad. d ≈ 1, 5 · 1018 kg ·m−3

Clasicación de los núcleos:

Se entiende por nucleido (o núclido) cada uno de los tipos de núcleo que podemos encontrar.Cada nucleido está representado como A

ZX. Según el valor de Z y A tenemos:

• Isótopos. Misma Z y diferente A. Del mismo elemento, con diferente masa. 126C y 14

6C

• Isóbaros. Diferente Z y misma Z. De distintos elementos. 6030Zn y 60

29Cu

• Isótonos. Mismo número de neutrones (A− Z). 5726Fe y

5827Co

• Isómeros. Misma Z y misma A. Los nucleones están distribuidos de forma diferente, condiferentes niveles de energía.

5.1.3 Interacción nuclear fuerte. Estabilidad nuclear.

La interacción nuclear fuerte fue propuesta por Hideki Yukawa en 1934. Las partículas nuclearesse mantienen formando el núcleo gracias a la interacción nuclear fuerte, que es mayor a esas dis-tancias que la repulsión eléctrica entre cargas del mismo signo. Las características fundamentalesde esta interacción:

- Afecta sólo a los nucleones, independientemente de la carga- Atractiva, de muy corto alcance (≈ 10−15 m). Prácticamente nula para distancias mayores.- La más fuerte de las interacciones de la naturaleza.

Debido a esta interacción fuerte, la energía de enlace de los núcleos es del orden de los MeV ,muy grande en comparación con los pocos eV de la de un electrón en un átomo. Esto ilustra ladiferencia de energía entre los procesos químicos y los procesos nucleares.

El electronvoltio (eV ) es una unidad de energía equivalente a 1, 6 · 10−19 J . La energía de laspartículas subatómicas se da en estas unidades y sus múltiplos: keV = 103 eV, MeV = 106 eV .

Además de explicar la estabilidad nuclear mediante la interacción fuerte, se puede explicar basán-dose en que la energía del núcleo es menor que el de las partículas por separado. Al formarse elnúcleo se ha perdido energía, que es la que debemos darle de nuevo al núcleo si queremos sepa-rarlo. Esto se puede calcular mediante la equivalencia masa-energía, que es una consecuencia dela Teoría General de la Relatividad (Einstein, 1905): La masa se puede transformar integramenteen energía (y viceversa), relacionadas por la expresión E = mc2, donde c es la velocidad de la luzen el vacío (c = 3 · 108 m · s−1). Se observa que la masa del núcleo es menor que la suma de lasmasas de las partículas por separado. A esta masa perdida (como energía en forma de radiación)se la denomina defecto másico, ∆m, y equivale a la energía de enlace del núcleo: Ee = ∆mc2.

Este principio de equivalencia tiene otra consecuencia importante: en una reacción (es más fácilmedirlo en reacciones nucleares) la masa no se conserva. Sí se conserva la energía total del sistema(teniendo en cuenta la energía correspondiente a las masas).

Otra magnitud signicativa es la energía de enlace por nu-cleón En = Ee/A: Representa el promedio de energía de-sprendida por cada partícula que compone el núcleo. Nosindica la estabilidad de un núcleo. Cuanto mayor sea laenergía desprendida por cada partícula, mayor estabilidadtendrá el núcleo.

En la gura se representa la energía de enlace por nucleón,en función del número de partículas A. Crece al aumen-tar la masa atómica en los núcleos ligeros, hasta llegar alHierro (la zona de núcleos más estables). Sin embargo,para los núcleos más pesados decrece al aumentar la masanuclear. Como consecuencia, si unimos dos núcleos ligerospara formar uno más pesado (fusión nuclear), en el totaldel proceso se desprenderá energía. Y si rompemos un nú-cleo pesado en dos más ligeros (sión nuclear) también sedesprenderá energía.

Entre los nucleidos conocidos, unos son estables (no se de-scomponen en otros espontáneamente) y otros son inesta-bles, transformándose en otros nucleidos al cabo de untiempo, mediante la expulsión de partículas y radiación(núcleos radioactivos)

Representando los nucleidos en una gráca Z frente a N , vemos que los nucleidos estables estánen una zona que corresponde a Z = N para núcleos ligeros, y N ≈ 1, 5 ·Z para núcleos pesados.Los nucleidos fuera de esta zona son los inestables.

5.1.4 Radioactividad.

Se entiende por radioactividad la emisión de partículas o/y ondas electromagnéticas (radiación),por parte de los núcleos de algunas substancias, que se denominan radioactivas. Esta emisiónpuede ser espontánea (radioactividad natural), o producida por el hombre (radioactividad arti-cial). El número de partículas del núcleo cambia (Z y A), y la substancia inicial se transformaen otra diferente.

Este fenómeno fue obervado por primera en 1896 por Henri Bequerel (sales de Uranio en unamesa de laboratorio que ennegrecían placas fotográcas dentro de uno de los cajones de la mesa).Poco después, en 1989, Marie y Pierre Curie descubrieron nuevas substancias que producían elmismo efecto: El Polonio y el Radio. Hoy en día se conocen aproximadamente 1300 nucleidosradioactivos.

La radioactividad natural puede ser, fundamentalmente, de tres tipos:

Emisión Ley de desplazamiento. Soddy y Fajans (1913) M (uma) Carga

α Dos lugares a la izquierda en la Tabla Periódica (Z ′ = Z − 2) 4, 0026033 2e

β Un lugar a la derecha en la Tabla Periódica (Z ′ = Z + 1) 0, 000549 −e

γ Sigue siendo el mismo elemento químico (Z ′ = Z) 0 0

En detalle:

Radiación α = 42He

Emisión de dos protones y dos neutrones: AZX → A−4

Z−2Y + 42α

Su número atómico disminuye en dos, y su número másico en cuatro. Pierde 4 nucleones.

Radiación β = 0−1 e

−

Emisión de un electrón y un (anti)neutrino: AZX → A

Z+1Y + 0−1 β

− + 00νe

El electrón emitido se forma dentro del núcleo, no es de la corteza atómica. Esto es posibleporque la interacción nuclear débil puede transformar una partícula en otra. En este caso, es unneutrón del núcleo el que se transforma en un protón, un electrón y un (anti)neutrino.

10n → 1

1p+ + 0

−1 e− + 0

0νe .

El protón queda atrapado en el núcleo por la interacción nuclear fuerte, (Z + 1), y el númeromásico A permanece constante. El neutrino fue introducido teóricamente por el físico alemánWolfang Pauli en 1930, para que se cumpliera el principio de conservación de la energía y delmomento angular. Fue detectactado experimentalmente en 1957.

Radiación γ

Emisión de ondas electromagnéticas, fotones: AZX → A

ZX + 00γ

Los fotones no tienen masa ni carga. El núcleo sólo pierde energía. Sigue siendo el mismo elementoquímico. La energía de los fotones liberados está relacionada con la frecuencia ν mediante laexpresión Eγ = hν, siendo h = 6, 6 · 10−34J · s la constante de Planck.

Existen otros tipos de emisiones radioactivas, como la

Radiación β+ = 01e

+

Emisión de un positrón y un neutrino: AZX → A

Z−1Y + 01β

+ + 00νe

El positrón es la antipartícula del electrón, con la misma masa pero carga positiva. El antineutrinoes la antipartícula del neutrino, y ambos tienen carga nula y masa diez mil veces inferior a ladel electrón. Para formar el positrón en el núcleo atómico, se sigue una reacción parecida a laradiación β, pero en este caso es un protón del núcleo el que se transforma en un neutrón, unpositrón y un neutrino.

11p

+ → 10n+ 0

1e+ + 0

0νe .

El neutrón queda atrapado en el núcleo por la interacción nuclear fuerte, permaneciendo constanteel número másico A. Hemos cambiado un protón por un neutrón. A la inversa que con ladesintegración β−.

Sobre la antimateria:

El positrón fue la primera antipartícula descubierta. Por cada partícula existente en la naturaleza,existe su correspondiente antipartícula: Con igual masa y estado de espín y cargas eléctricasopuestas. Cuando una partícula interactúa con su correspondiente antipartícula, toda su masa setransforma en energía (fotones), vericando la ecuación de Einstein E = mc2. Lamentablemente,hasta hoy en día, la antimateria (formada por antipartículas) sólo se produce partícula a partícula,en laboratorios o en los rayos cósmicos procedentes del espacio, y se desintegran casi al instante.

5.1.5 Ley de desintegración radioactiva.

La transformación de una substancia mediante desintegración radioactiva no es instantánea, lasdesintegraciones no se producen a la vez. Es un proceso aleatorio y estadístico. El número deátomos de la substancia inicial va disminuyendo, y aumentando el de la substancia nal.

La velocidad de esta disminución depende de dos factores: El primero, la naturaleza de la subs-tancia, ya que cada núcleo diferente tiene una probabilidad distinta de desintegrarse (por unidadde tiempo). El parámetro (λ) asociado a esta probabilidad se llama constante de desintegración,se mide en (s−1), y es diferente para cada substancia radioactiva. El segundo factor es el númerode átomos que tengamos en cada instante, N .

La ley de desintegración es:dN

dt= −λN

La magnitud dN/dt se denomina actividad, e indica la rapidez con que se desintegra la substancia,el número de desintegraciones por segundo que ocurren en un instante. La unidad es el bequerel(Bq), número de desintegraciones por segundo. Otra unidad muy frecuente es el curie (Ci). Laequivalencia es 1 Ci = 3, 7 · 1010 Bq.

Resolviendo la ecuación diferencial anterior se llega a la ley integrada: N = N0 e−λt

Donde N0 es el número de átomos en el instante inicial t = 0. La cantidad disminuye exponen-cialmente, más rápidamente al principio que al nal.

Se denomina vida media (τ) al promedio de tiempo que tarda en desintegrarse un núcleo. Semide en segundos (S.I.). Estadísticamente coincide con el tiempo que tarda la cantidad inicialde núcleos N0 en reducirse un factor e. N = N0/e ⇒

⇒ τ =1

λ⇒ N = N0 e

−t/τ

Llamamos periodo de semidesintegración (T1/2) al tiempo que tarda la cantidad inicial N0 denúcleos en reducirse a la mitad. Se mide en segundos (S.I.). N = N/2 ⇒

⇒ T1/2 =ln 2

λ= ln 2 · τ

Después de un tiempo T1/2, la cantidad de núcleos originales se ha reducido a la mitad. Y al cabode otros (T1/2), a la cuarta parte, y en el siguiente periodo de semidesintegración, a la octavaparte, y así consecutivamente. En teoría no se llegaría a cero núcleos originales hasta que hubieratrancurrido un tiempo innito (la función es una exponencial con asíntota horizontal y = 0), peroen la práctica se considera que la muestra se ha desintegrado (casi) en su totalidad cuando hatranscurrido un tiempo suciente como para que las desintegraciones (casi) no sean medibles.

Por otra parte, una substancia radioactiva se dice estable cuando su vida media es mayor que laedad del universo, aproximadamente 13800 millones de años.

5.1.6 Familias radioactivas.

Los nucleidos radiactivos de masas elevadas desprenden sucesivamente partículas α y/o β hastallegar a un nucleido estable (habitualmente un isótopo del plomo), pasando por entre 10 y 14nucleidos distintos. A este conjunto de nucleidos intermedios es lo que se denomina serie o familiaradioactiva.

Como la desintegración β no cambia el número másico A, todos los elementos de una mismafamilia radioactiva tendrán números másicos separados por 4 unidades (debido a las desintegra-ciones α).

Las principales series radioactivas son las siguientes:

Nombre A Inicial Periodo semid. Final

Torio 4n 23290Th 1, 4 · 1010 años 208

82Pb

Neptunio (articial) 4n+ 1 23793Np 2, 2 · 106 años 209

83Bi

Uranio-Radio 4n+ 2 23892U 4, 5 · 109 años 206

82Pb

Uranio-Actinio 4n+ 3 23592U 7, 2 · 108 años 207

82Pb

5.1.7 Reacciones nucleares. Fisión y fusión nuclear.

Se pueden transformar los núcleos atómicos de forma articial bombardeándolos con partículas(α, p+, n, etc). El núcleo, o bien absorbe la partícula y emite otras, transformándose en otroelemento diferente o bien se rompe en núcleos más pequeños, habitualmente de más de un tipo.

El primero fue Rutherford en 1919, bombardeando nitrógeno con partículas α obtuvo oxígeno yprotones libres. En 1934, el matrimonio Curie, bombardeando boro con partículas α, observaronque el elemento resultante, 13

7N , volvía a desintegrarse de forma espontánea, dando lugar al 136C.

Habían producido por primera vez un elemento radioactivo. Actualmente se producen una granvariedad de isótopos radiactivos, con muchas aplicaciones en la industria y la medicina.

En las reacciones nucleares se conservan (además de la energía y la cantidad de movimiento,como en toda colisión), La carga eléctrica total, el número total de nucleones, ΣA, la suma de losnúmeros atómicos, ΣZ, La masa, sin embargo, no se conserva, como ya hemos visto. Parte deella se convertirá en energía, en forma de fotones (radiación electromagnética), o como energíacinética de las partículas resultantes.

Para estudiar la viabilidad de una reacción nuclear, se usa la magnitud Q = −Er, denida Ercomo la energía de reacción a partir del defecto másico y la ecuación de Einstein:

Er = ∆mc2 ; ∆m =∑

mproductos −∑

mreactivos

Si la masa de los productos es menor que los reactivos, Er < 0, y entonces Q > 0. La reacción esexotérmica y se podría producir espontánreamente. En caso contrario, la reacción es endotérmicay será necesario suministrar energía a las partículas para lograr la reacción.

Las reaciones nucleares se representan de forma parecida a las reacciones químicas, aunque tam-bién existe una forma abreviada:

2713Al + 4

2He → 3015P + 1

0n147N + 4

2He → 178O + 1

1H

2713Al (α, n) 30

15P147N (α, p) 17

8O

Fisión nuclear.

Consiste en la rotura de un núcleo en otros más ligeros. Se consigue bombardeando núcleos máspesados que el hierro con (normalmente) neutrones. Se desprenden varios neutrones y energía.

Las reacciones que se dan en las centrales nucleares son, principalmente:

23592U + 1

0n → 14456Ba+ 89

36Kr + 3 10n

23592U + 1

0n → 13752Te+ 97

40Zr + 2 10n

Se desprenden alrededor de 200MeV por cada nucleo de uranio sionado. Además, cada reaccióndesprende un número mayor de neutrones que los que absorbe, los cuales chocarán a su vez conotros átomos de uranio, produciéndose una reacción en cadena.

En todas las centrales eléctricas se utiliza la inducción electromagnética para producir electrici-dad. El origen de la fuerza para hacer girar el rotor de la dinamo o alternador en la turbina eslo que las diferencia. En una central nuclear, se aprovecha la energía desprendida en la sión del23592U o 239

94Pu para calentar agua, llevarla a la ebullición, y hacer que el vapor mueva la turbina.

Las barras de combustible (de un 1% a 4% de óxido de uranio o plutonio) situadas en el núcleodel reactor sufren la sión, generan núcleos más ligeros y neutrones. Estos productos salen agran velocidad, y se frenan al chocar con las moléculas de la sustancia moderadora que rodea lasbarras de combustible, normalmente D2O, agua pesada, que se calientan debido a los choques.Pero no es el agua del moderador la que mueve la turbina, ya que contiene sustancias radiactivas.La energía térmica obtenida se va transmitiendo de un circuito cerrado de agua otro (lo que sedenomina intercambiador de calor), hasta que el vapor producido nalmente mueve la turbina.

Además, el moderador es necesario para que se produzca la reacción en cadena, ya que losneutrones producidos son demasiado rápidos, y deben frenarse para poder sionar los núcleos deuranio Las barras de control, de cadmio generalmente, son necesarias para mantener la reacción aritmo adecuado. El cadmio absorbe el exceso de neutrones, impidiendo que la reacción en cadenase descontrole. Introduciendo o retirando barras se acelera, frena o incluso se detiene la reacción.

El principal inconveniente de las centrales nucleares es que los productos de la reacción sonradioactivos, con vidas medias elevadas, y hay que depositarlos en sitios seguros durante miles deaños. Y existe el peligro de fugas radioactivas como en los accidentes de Chernobyl y Fukushima.

Fusión nuclear.

Consiste en la unión de dos núcleos ligeros para formar uno más pesado. Se consigue haciendochocar dos núcleos más ligeros que el hierro, desprendiéndose energía y otras partículas.

Una de las reacciones de fusión más importantes es la llamada cadena protón-protón, que se dade forma natural en el centro de las estrellas (muy altas presiones y temperaturas).

11H + 1

1H → 21H + β+ + νe

21H + 1

1H → 32He+ γ 3

2He+ 32He → 4

2He+ 11H + 1

1H

Los núcleos de los diferentes isótopos del átomo de hidrógeno reciben, como los átomos, diferentesnombres. El nucleido 2

1H es un deuterón (del deuterio), el 31H es un tritón (del tritio), el nucleido

11H es un protón (11p

+). El nucleido 42He es una partícula α.

En total reaccionan 6 protones para obtener una partícula α, dos positrones (β+), dos neutrinos(νe), dos fotones (γ) y otros dos protones (hemos gastado en total 4 protones). Estos fotones sonlos que llegan a La Tierra y aportan la energía que hace posible la vida en ella,

El proceso triple alfa se da en etapas más avanzadas de la vida de una estrella masiva:

42He+ 4

2He → 84Be+ γ 8

4Be+ 42He → 12

6C + γ

Liberando 7, 275 MeV , y como reacción secundaria, 126C + 4

2He → 168O + γ

Otras reacciones de fusión (que se intentan realizar articialmente) son:

21H + 2

1H → 31H + 1

1H + 4, 0 MeV 31H + 2

1H → 42He+ 1

1n+ 17, 0 MeV

Se combinan tres deuterones para producir una partícula α, un protón, un neutrón y 21, 0 MeV

21H + 2

1H → 32He+ 1

0n+ 3, 3 MeV 32He+ 2

1H → 42He+ 1

1H + 18, 3 MeV

Se combinan tres deuterones para producir una partícula α, un protón, un neutrón y 21, 6 MeV .

Ambas reacciones se dan a la vez en las centrales experimentales de fusión nuclear.

Las energías desprendidas en estas reacciones son mucho menores que las producidas en la siónde un núcleo de uranio. Pero en un gramo de hidrógeno se producirá un mayor número dereacciones que en un gramo de uranio, ya que tenemos mayor cantidad de átomos. En total, laenergía obtenida por cada gramo que reacciona es unas 4 veces superior en el caso de la fusión.

Además, el combustible es más barato, y prácticamente inagotable. Cada litro de agua de marcontiene 0,034 g de deuterio, que proporciona la energía equivalente a la que se puede extraer porcombustión de 250 litros de petróleo, y como ventaja adicioinal, no genera residuos perjudicialesni radioactivos, ni siquiera gases que contribuyan al efecto invernadero.

Sin embargo, para conseguir que choquen los núcleos de deuterio, se necesita que tengan una granenergía cinética. Esto hace que el hidrógeno tenga que estar a gran temperatura (aproximada-mente cien millones de grados centígrados, en un estado de la materia conocido como plasma).Es muy complicado mantener los núcleos a esa temperatura el tiempo necesario para que seproduzca la fusión.

Las centrales nucleares de fusión están (aún) en fase experimental. Existen diferentes diseños(tokamacs, stellarators, JET), pero todos consisten básicamente en calentar el combustible (deu-terio) hasta el estado de plasma mediante láseres u otros procedimientos, y entonces los átomospierden su electrón orbital, quedando sólo los nucleones, con carga +, que se mantienen enmovimiento y connados por un campo magnético de muy alta intensidad, hasta que fusionan.Hasta ahora lo más que se ha conseguido es producir casi tanta energía como la necesaria paramantener el sistema (gasto casi 0), lo que, evidentemente, no es rentable como fuente de energía.

5.1.8 Física nuclear y sociedad.

Una de las principales aplicaciones de la física nuclear es la creación de diferentes isótopos radiac-tivos, (radioisótopos), que se comportan química y biológicamente igual que sus isótopos estables,entrando a formar parte en los mismos compuestos. Además, son fácilmente detectables, lo quepermite seguirlos en cualquier proceso. Algunos de sus usos:

Medicina: Localización y tratamiento de tumores cancerosos, destrucción de tejidos malignos(más sensibles a la radiación), estudio de circulación sanguínea, tratamiento de leucemia (P-32).

Biología: Estudio de fotosíntesis (C-14), Estudio de acción de antibióticos en el organismo (mar-cadores de azufre), Estudio de jación de calcio en los huesos, Estudio de la migración de lasaves, producción de esterilidad en especies nocivas, plagas, etc.

Química e Industria: Análisis químico y de reacciones, Control de insecticidas y otros productos,Control de espesores y desgaste de planchas metálicas, paredes, etc. ; Control de circulaciónde petróleo en oleoductos (Ba-140), Control de movimientos de aire y agua en la atmósfera(trazadores), Determinación de edad de rocas y fósiles (C-14, método Libby-Arnold), (U-238).

La otra gran aplicación es la generación de energía en las centrales nucleares de sión, que yahemos visto en detalle en apartados anteriores.

Pero además de las aplicaciones y usos, tenemos los inconvenientes y peligros derivados del usode las reaciones nucleares.

Los efectos de las radiaciones sobre los seres vivos son habitualmente perniciosas. Las radiaciones(alpha, beta, gamma, X...), al incidir sobre la materia, pueden ionizarla, provocar reacciones,destruir moléculas, células, microorganismos. Afectan a las proteínas y bases nitrogenadas delADN, produciendo alteraciones de funcionamiento, mutaciones, cáncer, destrucción celular, ester-ilidad, etc. Tambiñen afectan a las células reproductoras, dando lugar a mutaciones hereditarias,alteración de la información genética y malformaciones congénitas.

También hemos visto los peligros derivados de las centrales nucleares. Los residuos radiactivosde las centrales nucleares de sión pueden producir los efectos biológicos antes citados. Además,tienen vidas medias en torno a varios cientos o miles de años, por lo que el riesgo de radiación seprolonga todo ese tiempo. Lo único que hasta ahora se puede hacer con ellos es almacenarlos enbidones de plomo forrados de hormigón y guardarlos en un sitio seguro, pero ese calicativo nopasa de ser relativo.

Y existe el riesgo (nunca del todo nulo) de un accidente en la central que provoque un malfuncionamiento del refrigerante o de las sustancias moderadores de neutrones, con lo que lareacción en cadena se descontrola y se produce la fusión del reactor. El peligro de esto no estátanto en la explosión (muy grave de suceder, pero muy improbable) como en la contaminaciónradiactiva del terreno, el agua, y el aire (con una nube radiactiva, que puede extenderse en unradio de miles de km, como sucedio en Chernobyl).

Existen datos de una cantidad nada despreciable de fugas radioactivas producidas en las centralesnucleares de todo el mundo, principalmente debido a microaccidentes en el sistema de intercam-biador de calor, con el vertido de líquidos radioactivos contaminantes. El tsunami que alcanzóla central de Fukushima y prácticamente rompió la central fue el mayor vertido radioactivo de lahistoria de las centrales.

A pesar de que su contribución al cambio climático es cero comparado con las centrales basadas encombustibles fósiles, su peligrosidad ha hecho que se dediquen muchos esfuerzos en la investigaciónde las centrales nucleares de fusión, actualmente en fase experimental, que tendrían todas lasventajas de las centrales de sión sin ninguno de sus inconvenientes.

5.2 FÍSICA CUÁNTICA.

5.2.1 Origen experimental de la Física Cuántica.

Ya vimos en los dos primeros apartados del capítulo Ondas electromagnéticas (Introducciónhistórica y Ecuaciones de onda electromagnética), como la teoría aceptada para la naturaleza dela luz, después de las ecuaciones de Maxwell, era la de una onda electromagnética transversalque se puede propagar en el vacío.

Sin embargo, esta teoría, llamada clásica, era incapaz de explicar algunos fenómenos muy signi-cativos: La radiación térmica, el efecto fotoeléctrico y los espectros atómicos, entre otros.

Esta incapacidad para justicar teóricamente estos fenómenos llevo a unos planteamientos yteorías nuevas (la física cuántica) que revolucionaron la física del Siglo XX, junto con la Teoríade la Relatividad General, que también surgió por la necesidad de explicar las discrepancias enalgunos fenómenos (como por ejemplo, en el avance del perihelio de Mercurio) con el modelo deNewton.

A continuación veremos en qué consiste cada uno de estos fenómenos y cómo la Física Modernalos explica.

5.2.2 Radiación térmica. Hipótesis de Max Planck.

Es la radiación electromagnética que emite un cuerpo debido a su temperatura. Todos conocemosel fenómeno de emisión luminosa de un hierro al rojo vivo, del lamento (incandescente) de unabombilla, e incluso de la emisión del cuerpo humano en infrarrojos. Todos los cuerpos emitenradiación a cualquier temperatura.

Se dene cuerpo negro como un objeto que pueda absorber toda la radiación que incida sobre él(es decir, no reejaría nada de luz, por lo que se vería completamente negro), y que a su vez seacapaz de emitir la mayor cantidad poible de radiación a cualquier temperatura.

De forma experimental, se puede aproximarmediante un dispositivo que contenga unacavidad de paredes absorbentes de radiacióna la que se acceda por una pequeña aber-tura. Así, prácticamente toda la radiaciónque entre por la abertura será absorbida de-spués de varias reexiones en su interior.Por otra parte, al calentar el dispositivo, laradiación térmica se emitirá por la abertura.

Representando la energía emitida en fun-ción de la temperatura a la que está elcuerpo y de la λ de la radiación emitida,se llega a una gráca como la de la gura.Se observa que, a mayor temperatura, laλ correspondiente al máximo de emisión esmenor (ley de desplazamiento de Wien).

Mediante las teorías clásicas, tanto Tant Wien como Rayleigh-Jeans consiguieron explicar partede la gráca (λ grandes, radiaciones de poca energía), pero a partir de la radiación ultravioletano encajaba con ninguna teoría clásica. Es lo que se llamó catástrofe ultravioleta. Era necesariocambiar la teoría sobre la naturaleza de la luz.

Planck (1900) propone una teoría diferente para la radiación electromagnética: La energía nose emite de forma continua (como corresponería a la teoría clásica ondulatoria), sino discreta,concentrada en cuantos o paquetes de energía.

Además, la energía correspondiente a uno de esos cuantos depende de la frecuencia de vibraciónde los átomos (la temperatura) del material emisor, y viene dada por la expresión E = hν,siendo h = 6, 63 · 10−34 J · s, la que después se llamó constante de Planck, y ν dicha frecuenciade vibración.

Es por eso que la energía emitida no puede tener cualquier valor. Sólo podrá emitirse un númeroentero de cuantos de energía, ET = nhν, dicho de otro modo, la energía está cuantizada, y todointecambio de energía también lo está, incluyendo la absorción.

A partir de estas hipótesis, Planck obtiene la explicación matemática de la gráca completa. Sehizo necesario admitir que la emisión (y también la absorción) de radiación no es continua, sinocuantizada.

5.2.3 Efecto fotoeléctrico. Explicación de Albert Einstein.

Consiste en la emisión de electrones por parte de un material (metálico) al incidir sobre élradiación electromagnética. Estos electrones reciben el nombre de fotoelectrones.

Fue descubierto por Hertz (1887), haciendo incidir radiación UVA sobre una placa de Zinc enel cátodo de un tubo de vacío colocado en un circuito eléctrico (ánodo en el otro extremo deltubo). Los electrones emitidos por el Zinc se incoporaban al circuito electrico, donde se medíala intensidad de la corriente generada por un amperímetro.

Según la teoría clásica, los electrones debían ir absorbiendo (de forma continua) la energía de laonda electromagnética incidente, hasta que tuvieran suciente energía para vencer la atraccióndel núcleo y saltar hasta el ánodo. De esta forma, debería suceder que

• La emisión de los electrones no fuera instantánea.

• Dicha emisión debía suceder para cualquier frecuencia de la onda incidente.

• La energía cinética de los fotoelectrones debía depender únicamente de la intensidad de laradiación.

Sin embargo, lo que se observó realmente en el experimento fue que

• La emisión de los electrones es instantánea.

• Empleando radiación con una frecuencia inferior a una cierta frecuencia ν0, llamada fre-cuencia umbral, no se emiten electrones.

• La frecuencia umbral depende únicamente del tipo de metal que utilicemos.

• La energía cinética de los electrones depende de la frecuencia de la radiación, no de suintensidad.

• La intensidad de corriente (número de electrones) sí depende de la intensidad de la radiación.

En resumen, la teoría ondulatoria clásica para la luz no podía explicar las características de estefenómeno.

Einstein (1905) aplicó las hipótesis cuánticas de Planck para explicar el efecto fotoeléctrico.Pero no sólo supuso que los intercambios de energía están cuantizados, sino que la propia ra-diación electromagnética está constituida por partículas (posteriormente llamadas fotones) quetransportan la energía de forma discreta, un comportamiento corpuscular para la luz. Por estostrabajos recibió el Premio Nobel de Física.

La energía de un fotón viene dada por la expresión de Planck: Eγ = h · ν, siendo ν la frecuenciade la onda electromagnética en la teoría clásica. Suponiendo que la luz se comporta como unapartícula, al chocar con un electrón le transmite instantáneamente toda su energía.

Si el fotón no posee energía (frecuencia) suciente, no podrá arrancar al electrón, y el fotón seráemitido de nuevo. La energía mínima que debe tener el fotón para extraer un electrón del metalse denomina trabajo de extracción o función trabajo (Wextr ó Φ0). Así, Wextr = h · ν0, donde ν0es la frecuencia umbral característica del metal.

Si la energía es superior al trabajo de extracción, la diferencia de energía se emplea en darleenergía cinética (velocidad) a los electrones emitidos. De este modo, llegamos a la expresión:

Eγ = Wextr + Ece ⇒ hν = hν0 +1

2mev

2e

De esta manera, mayor frecuencia de la radiación proporcionará mayor energía cinética de loselectrones, pero no un mayor número de electrones emitidos. Y también una mayor intensidadde la radiación (mayor número de fotones) producirá mayor número de electrones emitidos, perono con mayor energía cinética.

La Ec y, por tanto, la velocidad de los electrones, se calcula experimentalmente frenando a loselectrones mediante un campo eléctrico hasta que pierdan toda su energía cinética. La diferenciade potencial mínima necesaria para que los fotoelectrones que saltan queden frenados y no lleguenal ánodo se denomina potencial de frenado.

∆Ece = −∆Epe ⇒ 0− Ece = −e∆V ⇒ ∆V =Ecee

= Vfr

Entonces, la luz se comporta como una partícula en unos fenómenos, y como una onda en otros.Tiene un comportamiento dual.

5.2.4 Espectros atómicos. Modelo atómico de Niels Böhr.

La teoría clásica tampoco era capaz de explicar otro fenómeno relacionado con la radiacióntérmica: los espectros atómicos (el concepto de espectro fue introducido en 1704 por Isaac Newtonen su obra Óptica).

La radiación que emite un cuerpo al ser calentado está formada por ondas de diferentes frecuen-cias. Podemos separar las diferentes frecuencias (un prisma para la luz visible) y obtener unaimagen en una pantalla o un dispositivo fotográco, denominado espectro de emisión.

Se puede obtener el llamado espectro de absorción haciendo pasar la radiación por la substanciaen estado gaseoso. De esta manera, se observa que absorbe ciertas frecuencias, que aparecencomo zonas negras en la imagen.

Según la teoría clásica, lo esperables era que los espectros de emisión y de absorción fuesencontinuos, que se emitiesen (o absorbiesen) una cantidad en todas las frecuencias, aunque fueradiferente para cada una de ellas.

Pero Bunsen y Kirchho (1859) estudian los espectros de emisión de diferentes substancias al sercalentadas y observan que los espectros son discontinuos. Sólo aparecen ciertas líneas (ciertas

frecuencias). Además, cada elemento químico tiene su propio espectro característico, lo quepermite identicar los componentes de una sustancia a partir de la luz que emite.

Más tarde, Balmer (1885) llega a una ley empírica que relaciona algunas longitudes de onda enel espectro de emisión del Hidrógeno.

1

λ= R

(1

22− 1

n2

)donde R = 1, 0973·107m−1 es la constante de Rydberg, y n = 3, 4, 5, 6, 7

Posteriormente otros cientícos (Lymann, Braquett, Paschen, Pfund), descubren otras leyes paraotros grupos de líneas. En general, se pudo llegar a una ley empírica para todos los grupos:

1

λ= R

(1

n21

− 1

n22

)donde n1 y n2 son números naturales con n2 > n1

La teoría clásica no podía explicar la discontinuidad de los espectros y las leyes empíricasobtenidas.

Según los modelos clásicos para el átomo (Rutherford), los electrones pueden ocupar cualquierórbita dentro del átomo, y podrían moverse a cualquier otra órbita y emitir radiación de cualquierfrecuencia, lo que daría lugar a un espectro continuo.

Böhr (1913) introduce unos postulados cuánticos en un nuevo modelo atómico.

• Las únicas órbitas permitidas para un electrón son aquellas en las que el momento angulardel electrón (L = rmv) es múltiplo de la cantidad h/2π (cuantización de las órbitas).

• La energía del electrón permanece constante mientras permanezca en una órbita. Las másalejadas del núcleo atómico son de mayor energía.

• El átomo emite radiación (fotones) cuando un electrón se mueve de una órbita de mayorenergía a otra de menor energía. La energía emitida y la frecuencia están relacionadas porla expresión de Planck E = hν.

• Cuando el átomo absorbe radiación, la energía de dicha radiación se emplea en el salto deun electrón hacia una órbita de mayor energía

Aplicandolo al cálculo de la energía emitida o absorbida, y de la longitud de onda de la ra-diación correspondiente, Böhr obtuvo teóricamente la ley experimental de Balmer, explicando ladiscontinuidad de los espectros.

5.2.5 Dualidad onda-curpúsculo. Hipótesis de Louis de Broglie.

El cientíco francés Louis de Broglie, basándose en los resultados de Planck, Einstein y otros(referentes al carácter dual de la luz), supuso (1924) que cualquier partícula puede comportarsecomo una onda en algunas situaciones. Es decir, que toda la materia tiene un comportamientodual onda-partícula. La onda asociada a una partícula recibe el nombre de onda de materia.

Dicho comportamiento ondulatorio vendrá caracterizado por una λ, llamada longitud de ondaasociada a la partícula que estemos considerando, dada por la expresión

λ =h

p=

h

mv

donde h es la constante de Planck y p = mv la cantidad de movimiento de la partícula.

Davidson y Germer (1927) comprobaron que un haz de electrones producía un patrón de difrac-ción al incidir en una lámina de Níquel, que actuaba como red de difracción. Esto es posibleporque la λ asociada al electrón es del orden de la separación entre los átomos de Níquel, com-probando la hipótesis de De Broglie.

Una consecuencia importante es que explica la cuantización de las órbitas de los electrones en elátomo, considerando que dichas órbitas son ondas estacionarias para el electrón. La longitud dela órbita cumple que es un número entero de veces la λ asociada.

5.2.6 Principio de incertidumbre de Heisenberg.

Heisenberg (1927) descubrió que era imposible medir simultáneamente y con exactitud algunasmagnitudes de un sistema, ya que el hecho de medir modica el sistema que estamos midiendo,debido al carácter dual de la materia.

Por ejemplo, en el experimento mental llamado microscopio de Böhr, intentamos medir a la vezla posición y la velocidad de un electrón. Para poder ver al electrón, al menos tendría que chocarcon él un fotón de luz que, al rebotar, llegara hasta el microscopio. Pero este fotón cambiaráambas magnitudes, haciendo imposible saber las que tenía antes del choque.

El principio de incertidumbre dice que es imposible medir simultáneamente y con total exactitudla posición y la cantidad de movimiento de una partícula. La incertidumbre (error) en la medidacumplirá

∆x∆p >h

4π

donde ∆x y ∆p son las incertidumbres al medir la posición y la cantidad de movimiento, y hla constante de Planck, omnipresente en la Física Cuántica. Es evidente que si uno de los dosmedidas es más precisa, la otra lo será menos.

Este principio limita el conocimiento que podemos tener sobre la naturaleza, rompiendo conel determinismo característico de la Ciencia del S. XIX. No podemos hablar de la posición ovelocidad (exacta) de una partícula, sino de la probabilidad asociada a esos valores.

El modelo de Böhr para el átomo no cumple este principio, por lo que Schrödinger (1925) postulósu ecuación de onda, que es la herramienta básica de la Física Cuántica.

Para una partícula Ψ(r, t) en un potencial central V (r):

ih

2π

∂Ψ(r, t)

∂t+

h2

8π2m∇2Ψ(r, t) = V (r)Ψ(r, t)

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