Apuntes de Hidráulica Teórica

Escuela Universitaria de Ingeniera Tcnica Agrcola de Ciudad Real

Ctedra de Ingeniera Rural

Tema 1. Hidrulica. Generalidades1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Definicin Propiedades fundamentales de los lquidos Conceptos: Peso, Densidad, Peso especfico, Presin Compresibilidad de un lquido Tensin superficial Viscosidad Tensin de vapor cavitacin

1. DefinicinUn fluido es una sustancia que se deforma continuamente cuando se le aplica un esfuerzo tangencial por pequeo que sea. Fluidos son lquidos y gases. Los lquidos se diferencian de los gases por la fluidez y menor movilidad de sus partculas y porque ocupan un volumen determinado, separndose del aire mediante una superficie plana. En esta asignatura nos ocuparemos nicamente del comportamiento de los lquidos. La Hidrulica es la parte de la Mecnica que estudia el equilibrio y el movimiento de los fluidos con aplicacin a los problemas de naturaleza prctica (conducciones, abastecimientos, riegos, saneamientos, etc.). Partiendo de la Mecnica racional, deduce, auxiliada por la experiencia, las frmulas que permiten resolver los problemas de ndole prctica con que a diario se encuentra el tcnico. Se estudian los lquidos como si fueran fluidos perfectos (homogneos, no viscosos e incompresibles) y se les aplican las leyes de la Mecnica, corrigiendo las frmulas con coeficientes determinados empricamente para que se ajusten a la realidad. Por lo tanto, la Hidrulica es una ciencia aplicada y semiemprica.

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La parte de la Hidrulica que estudia las condiciones de equilibrio de los fluidos se llama Hidrosttica o esttica de fluidos, mientras que la Hidrodinmica se ocupa del movimiento de los mismos.

2. Propiedades fundamentales de los lquidosLos lquidos son sistemas deformables constituidos por un nmero infinito de puntos materiales aislados, infinitesimales. Se trata de sistemas continuos donde no existen espacios vacos dentro de la masa. Desde el punto de vista de la Mecnica cabe destacar las siguientes propiedades fundamentales de los lquidos: Isotropa: Se conocen como istropos a las sustancias cuyas propiedades son idnticas en cualquier direccin. Movilidad: Carencia de forma propia. Aptitud para adoptar cualquier forma, la del recipiente que los contiene. Viscosidad: Propiedad por la que el lquido ofrece resistencia a los esfuerzos tangenciales que tienden a deformarlo. Compresibilidad: Propiedad por la cual los lquidos disminuyen su volumen al estar sometidos a incrementos de presin positivos. En los lquidos esta disminucin es muy pequea, es decir, son poco compresibles. Los lquidos que tienen las propiedades de isotropa, movilidad, incompresibilidad y no viscosos se llaman lquidos perfectos. Un lquido (fluido) perfecto no existe en la Naturaleza. En los lquidos existe, en la realidad, una atraccin molecular, especie de cohesin, que es la viscosidad, y que expresa la resistencia del lquido a dejarse cortar o separar.

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3. ConceptosPeso y masaLa masa es una propiedad intrnseca de los cuerpos. Se mide en: Sistema CGS Sistema Internacional Sistema Tcnico Gramos Kilogramos Kg - masa

El peso de un cuerpo se define como la fuerza con que es atrado por la Tierra, aplicada en su centro de gravedad (cdg). P = mg

Peso especfico y densidades absoluta y relativaEl peso especfico absoluto () es el peso de la unidad de volumen: = P mg = V V

La densidad absoluta () es la masa de la unidad de volumen: = m V

La relacin entre ambas ser: = mg = g V

P = mg = V g P = V Agua = 1000 kg/m 3 1 t/m 3 1g/cm 3 Agua Agua = 1000 kg - peso/m 3 102 Nw/m 3 (con g = 9.8 m/s 2 )

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El peso especfico relativo () es el peso especfico de una sustancia respecto del agua, por lo que es adimensional. La densidad relativa tambin viene referida a la densidad del agua. = agua relativa = agua

Presin: atmosfrica, relativa y absolutaLa presin es una fuerza normal ejercida sobre un cuerpo por unidad de superficie. Se mide en Pascales (S. I.), siendo 1Pa = 1Nw/m 2 . La presin atmosfrica sobre un punto se define como el peso de la columna de aire, de base unidad, que gravita sobre dicho punto. Se mide con el barmetro, por lo que la presin atmosfrica tambin se denomina presin baromtrica. La presin atmosfrica normal es de 1 atm. 1 atm 1 kg/cm 2 = 1.013 bar = 1.013 105 Pa = 10 m.c.a. = 0.76 m Hg = 760 mm Hg Pr esin que ejerce un lquido = Pr esin = h Esta ecuacin, fundamental en Hidrulica, representa la presin ejercida por una columna de lquido de altura h, peso especfico y base unidad. Permite medir la presin mediante la altura de presin, que correspondera a la altura de una columna de agua que da lugar a una presin equivalente a la que soporta un punto determinado. h= P Peso v s h = = = h s s s

La presin relativa es la presin que existe sobre la presin atmosfrica normal, es decir, tomando como origen de presiones la presin baromtrica. Se

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mide con el manmetro, por lo que la presin relativa tambin se conoce como presin manomtrica. La presin absoluta que existe en un punto es la suma de las dos anteriores, es decir: Presin absoluta = Presin baromtrica + Presin manomtrica

4. Compresibilidad de un lquidoLos lquidos son compresibles, aunque para su estudio se considera que son incompresibles. En realidad, puede despreciarse su compresibilidad, ya que es baja en comparacin con la que presentan los otros fluidos, los gases.

Consideramos un tubo cilndrico lleno de lquido a una presin p, en reposo, y lo comprimimos apretando un mbolo colocado en su extremo, como representa la figura. La disminucin de volumen respecto a la variacin de presin aplicada ser: dv K = dp v

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dp dv v Siendo K el coeficiente volumtrico de elasticidad. K= El mdulo volumtrico de compresibilidad de un lquido (c) se define como la inversa del coeficiente volumtrico de elasticidad. c= 1 K Lquidos perfectos K =0 K = Gases KH2O = 2100 kg/cm2

5. Tensin superficialLa tensin superficial de un lquido se define como el trabajo que hay que aplicar para aumentar en una unidad su superficie libre. Se debe a las fuerzas de atraccin que se ejercen entre las molculas de la superficie libre de un lquido, que son debidas a la cohesin entre sus molculas y a la adhesin entre las molculas del lquido y las paredes del recipiente. Los casos que se pueden presentar en funcin del balance entre las fuerzas de cohesin y adhesin son los siguientes: 1) Cohesin > Adhesin con el aire: El lquido libre adquiere una forma determinada sin necesidad de recipiente. Es el caso de las gotas de agua, que son esfricas, y es vlido para volmenes pequeos. 2) Adhesin > Cohesin: Se dice que el lquido moja el recipiente. Menisco cncavo.

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3) Adhesin < Cohesin: El lquido no moja el recipiente. Menisco convexo.

(1)

(2)

(3)

En Hidrulica la tensin superficial tiene poca importancia porque las cargas hidrodinmicas son mucho mayores.

6. ViscosidadLos fluidos no pueden considerarse siempre como perfectos debido a su viscosidad. Se considera la lmina de fuido compuesta por infinitas capas paralelas, y la experiencia muestra que los fluidos oponen resistencia a ser deformados, es decir, a que cada lmina deslice sobre sus inmediatas, ya que al moverse una porcin de fluido respecto a otra se originan fuerzas tangenciales que en algunos casos no pueden despreciarse. Se dice entonces que el lquido es viscoso y el fenmeno se denomina viscosidad. La viscosidad expresa la resistencia del lquido a dejarse cortar o separar. Por ejemplo, un avin o un submarino se mueven con esfuerzo porque han de deformar, respectivamente, el aire o el agua que los envuelve. Se llama viscosidad dinmica o simplemente viscosidad () de un fluido a la resistencia que ste opone a su deformacin, o dicho de otro modo, a que las lminas de fluido deslicen entre sus inmediatas. Para una misma deformacin, distintos fluidos oponen resistencias diferentes, es decir, la viscosidad es una propiedad de los mismos.

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La figura representa un fluido en movimiento. La lmina de fluido en contacto con el contorno slido queda pegada a l y su velocidad relativa es nula. A cierta distancia , otra lmina se mueve prcticamente con la velocidad mxima. Las infinitas velocidades de las lminas intermedias varan entre ambos valores extremos, existiendo deslizamiento de unas capas sobre otras. y

vmximady v+dv v v+dv v

Diagrama de velocidades

dy

x El diagrama o perfil de velocidades, distinto en cada caso, es tal que, en relacin a la misma separacin dy, la variacin de velocidad entre dos capas dv dv' prximas al contorno deslizan ms, es decir > . Esta derivada, llamada dy dy gradiente de velocidad, es mxima en la pered y nula a partir de la distancia del contorno. Supongamos dos placas paralelas que contienen entre ellas una capa muy delgada de lquido. Para que una placa se deslice sobre la otra, cortando o desgarrando la lmina de lquido interpuesta, hay que aplicar una fuerza tangencial o esfuerzo cortante (F) que es igual a la resistencia por unidad de superficie que aparece entre las dos lminas deslizantes. El valor de esta fuerza es directamente proporcional a la superficie de contacto (s) y al dv gradiente de velocidad , es decir: dy

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Fs

dv dy

El esfuerzo tangencial de rozamiento entre las capas (las cercanas a las paredes no se mueven y conforme se alejan de ellas la velocidad aumenta) es directamente proporcional a la diferencia de sus velocidades e inversamente proporcional a su separacin. Tambin significa que fuera de la capa de espesor el fluido se dv comporta como no viscoso, ya que F ser nula al serlo . dy Esta capa de espesor fue descubierta por Ludwig Prandt (1875-1953) y se conoce como capa lmite, pudiendo medir desde unas pocas micras a varios centmetros, e incluso metros, segn los casos. Se estudiar en el tema 6. El valor de la fuerza F es: F = s v y Frmula de Newton para la viscosidad

: viscosidad del lquido, coeficiente de viscosidad, viscosidad absoluta, viscosidad dinmica s: superficie de cada una de las placas v : velocidad de una placa respecto a la otra y : espesor de la lmina lquida Si suponemos la lmina de lquido compuesta por infinitas capas paralelas, resultar que si una placa est en reposo y la otra en movimiento, la capa de lquido en contacto con la placa en reposo tambin lo estar, y la capa en contacto con la capa en movimiento tendr su mismo movimiento, y las capas intermedias tendrn velocidades proporcionales a su distancia a la placa en reposo. Se utiliza tambin el coeficiente de viscosidad cinemtica (), definido como el cociente entre la viscosidad absoluta () y la densidad del lquido ():

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=

g =

siendo el peso especfico del lquido ( = g ). Unidades: Sistema CGS (actualmente en desuso): = Fy g g s cm = = (Poise) 2 s v cm cm cm 2 s 2 g s cm cm 2 = = = L2 T 1 (Stoke) 2 4 g s cm s

[

]

Sistema Tcnico: = CGS 98.1 = CGS 10 4

Sistema Internacional: = kg = 10Poise ms m2 = = 10 4 Stoke s

El valor de la viscosidad es funcin de la temperatura, de forma que si aumenta la temperatura disminuye la viscosidad. En el Prontuario de Hidrulica est tabulado el valor de para el agua en funcin de la temperatura.

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Para temperaturas entre 10 y 40 C, la viscosidad cinemtica puede calcularse aproximadamente mediante la ecuacin: 40 10 6 = con t (C) y (m2/s) t + 20 Para riegos se consideran temperaturas comprendidas entre 15 y 20 C.

7. Tensin de vaporLas molculas de los lquidos se mueven en todas las direcciones y con todas las velocidades posibles. Solo las molculas que posean una energa cintica mayor que las fuerzas de atraccin podrn escapar del lquido, producindose su evaporacin. Las molculas escapadas quedan sobre la superficie libre del lquido y contribuyen a aumentar la presin del gas exterior con una presin parcial que se denomina tensin de vapor. Esta tensin de vapor ir aumentando hasta que el nmero de molculas que entran en el lquido se iguale con las que salen, establecindose un equilibrio entre el liquido y su tensin de vapor, que se conoce como tensin mxima de saturacin (tms). La tensin mxima de saturacin vara en funcin de la temperatura y la naturaleza del lquido. Cuanto menor sea la presin a que est sometido un lquido menor ser la temperatura a la que se produce su vaporizacin, es decir, su temperatura de saturacin, y viceversa: cuanto menor sea la temperatura del lquido menor ser la presin de vaporizacin. Por ejemplo, a la presin atmosfrica normal (1 atm) el agua hierve a 100C, pero si se somete el agua a la presin absoluta de 0.01 atm, hervira a 7C. Si en algn lugar de la conduccin la presin es menor que la tensin de vapor a esa temperatura, el lquido hierve. Si posteriormente la presin aumenta hasta ser mayor que la tensin de vapor, el lquido se condensa. La sucesin continuada de estos dos fenmenos producen vibraciones, contracciones y golpeteos que producen la corrosin de la conduccin por

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cavitacin, una de las mayores causas de avera en las instalaciones de bombeo. Se aprecian vibraciones en los manmetros y los daos se producen donde el gas pasa a lquido, como si se hubieran dado martillazos. La vena lquida disminuye al llevar una parte de gas, con lo que la seccin disminuye a efectos prcticos, y con ella el caudal transportado.

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Tema 2. Hidrosttica1. Propiedades de la Presin Hidrosttica. 2. Ecuacin fundamental de la Hidrosttica. 3. Presin Hidrosttica en los lquidos. Ecuacin de equilibrio de los lquidos pesados. Cota piezomtrica. 4. Superficie de nivel en los lquidos pesados. 5. Variacin de la presin con la profundidad. Diagrama de presiones. 6. Presiones sobre superficies planas: 1) Clculo del valor de la presin total 2) Determinacin del centro de presin 3) Casos ms frecuentes en la prctica 4) Presin total sobre una pared plana rectangular con lquido a ambos lados

Ya vimos en el tema 1 que la Hidrosttica es la parte de la Hidrulica que estudia el equilibrio de los lquidos en estado de reposo. En estas circunstancias, al ser nulo el gradiente de velocidad, no existen esfuerzos cortantes (tangenciales), por lo que no existe viscosidad, comportndose el lquido como perfecto.

1. Propiedades de la Presin Hidrosttica.La presin es la fuerza que se ejerce por unidad de superficie. Por lo tanto, vendr definida por su mdulo o intensidad y por su direccin, siendo evidente el sentido en que acta (hacia el cuerpo considerado). A continuacin vamos a estudiar las dos propiedades que la definen. 1. Relativa a su direccin: En una masa lquida en equilibrio, la presin hidrosttica en cualquiera de sus puntos debe ser normal (perpendicular)

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al elemento plano sobre el que acta. Si no fuera as, existira una componente tangencial que rompera el equilibrio. p= F s F: Fuerza uniformemente repartida, o bien, fuerza media que acta sobre s s: Superficie

siendo:

Si s se hace infinitamente pequea, entonces se define la presin: p = lim dF ds 0 ds

2. Relativa a su intensidad: En un punto de una masa lquida existe la misma presin hidrosttica en todas las direcciones, es decir, la presin es independiente de la inclinacin de la superficie sobre la que acta. Consideremos un volumen elemental de lquido en reposo en forma de tetraedro OABC.z C Py

Px O dx dy B y Pz

P A x

Las fuerzas que actan son:

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Fuerzas msicas, es decir, las fuerzas exteriores que actan sobre la masa del elemento lquido. Se deben a la gravedad, dependen del peso del elemento considerado, y por tanto son proporcionales al producto de las tres dimensiones (dx dy dz ) , es decir, al volumen. El empuje sobre cada una de las caras del tetraedro, debido a las presiones ejercidas por el resto del lquido. Presiones totales: Cara ABC Cara BOC Cara AOC Cara AOB p s ABC p x sBOC p y s AOC p z s AOB

Estableciendo la ecuacin de equilibrio de las fuerzas de presin intervinientes y proyectndolas sobre el eje OX se obtiene: p s ABC cos(p, x) = p x s BOC 14 244 4 3 s BOC Luego p = px

Anlogamente, proyectando sobre los ejes OY y OZ, se demuestra que, con independencia de la inclinacin del elemento de superficie, las presiones unitarias son iguales. p = px = py = pz

2. Ecuacin fundamental de la Hidrosttica.Es la ecuacin de equilibrio de una masa lquida. Consideremos dentro de un lquido en reposo un elemento de volumen infinitesimal en forma de paraleleppedo rectangular, de aristas paralelas a los ejes coordenados.

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P+

P dz z P

z D F

PA C E B

P+

P dx x

P+

P dy y

Px

y

El paraleleppedo est sometido a las fuerzas exteriores o msicas, aplicada la resultante en su centro de gravedad (cdg), es decir, el peso propio, y a las presiones sobre sus caras exteriores o empuje ejercidas por el lquido circundante. Obsrvese que las presiones sobre las caras que forman el triedro que pasa por A son iguales (p), segn se demostr en el apartado anterior. Las condiciones de equilibrio del paraleleppedo se plantean igualando a cero la suma de todas las fuerzas que actan sobre l, proyectndolas sobre cada uno de los ejes. (x, y, z) seran las componentes de la resultante de las fuerzas exteriores segn los tres ejes. Proyecciones sobre OX: Componentes de las fuerzas exteriores dx dy dz x 14 4 2 3 volumen 6s8 7 Presin total sobre la cara ACD p dy dz p Presin total sobre la cara BEF p + dx dy dz x 4



Las presiones que actan sobre las dems caras dan proyecciones nulas sobre el eje OX. Proyecciones sobre OX = 0 p dx dy dz x + p dy dz p + dx dy dz = 0 x p dx dy dz = dx dy dz x + p dy dz p + x p p dy dz + dx dy dz = dx dy dz x + p dy dz x Simplificando se obtiene: p = x x [ 1] ]

Operando de igual modo sobre los ejes OY y OZ, las condiciones de equilibrio seran, respectivamente: p = y y p = z z [ 2] ] [ 3] ]

Multiplicando las ecuaciones [1], [2] y [3] por dx, dy y dz, respectivamente, y sumndolas, se obtiene: p p p dx + dy + dz = ( x dx + y dy + z dz ) x y z El primer miembro es una ecuacin diferencial total, con lo que se puede poner de la forma:

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dp = ( x dx + y dy + z dz ) Esta ecuacin se conoce como Ecuacin de equilibrio de una masa lquida o Ecuacin Fundamental de la Hidrosttica. Las superficies de nivel son aqullas que tienen la misma presin en todos sus puntos, por lo que al ser p = cte, dp = 0, quedando la ecuacin fundamental de la forma: ( x dx + y dy + z dz) = 0 Que es la ecuacin diferencial de las superficies de nivel o equipotenciales.

3. Presin Hidrosttica en los lquidos. Ecuacin de equilibrio de los lquidos en reposo. Cota piezomtrica.En un lquido en reposo, la nica fuerza exterior que acta es la de la gravedad. Si tomamos los ejes OX y OY paralelos a la superficie libre del lquido y OZ vertical y dirigido hacia arriba, las componentes de aquella fuerza para cualquier lquido incompresible de densidad sern: x = 0 y = 0 z = -gz

Superficie libre

M0 (P0)

Ox0 x

z0

y0 z

M (P) y

x

y6



La ecuacin fundamental de la Hidrosttica quedara: dp = (0 dx + 0 dy g dz) dp = g dz ; y puesto que

= g

dp = dz

Integrando la ecuacin desde una cota z0, en la que la presin es p0, hasta una cota z de presin p, se obtiene:z Z0 (P0)

Z (P) x

y

p

p0

dp = dz = dzz0 z0

z

z

p p0 = ( z z0 )

[ 4] ]

Esta ecuacin indica que la diferencia de presin entre dos puntos de un lquido en equilibrio es igual al peso de una columna del mismo lquido de seccin unidad y altura la diferencia de cotas entre ambos puntos. Normalmente el origen de las z se sita en la superficie libre del lquido, de tal forma que z0 z = h , siendo h la profundidad del lquido. Entonces, segn la ecuacin [4]: p = p0 + h Y cuando el origen de presiones est en la superficie libre (p0 = 0):7



p = h La ecuacin [4] tambin puede ponerse de la forma: p p0 p p = z z0 + 0 = z z0 p p z 0 + 0 = z + = cte = Altura o cota piezomtrica Ecuacin que indica que en un lquido incompresible es constante la suma de la altura geomtrica o de posicin y de la presin unitaria dividida por el peso especfico. El cociente p = h , de dimensiones una longitud denominada altura de

presin (tema 1, conceptos), representa la altura h de la columna de lquido de peso especfico capaz de producir la presin p.

4. Superficie de nivel en lquidos pesados. p La altura o cota piezomtrica z + = cte indica que si en cada punto de un lquido en reposo se levanta un segmento vertical representativo de la altura de presin en ese punto, los extremos de dichos segmentos se contienen en un mismo plano horizontal, el plano de carga hidrosttico relativo, que si se prescinde de la presin atmosfrica, coincide con la superficie libre del lquido.Superficie libre del lquido

P1

P2

P3 z4 z3

z1

z2Plano de referencia 8



Es evidente que en los lquidos en reposo todas las superficies de nivel son planos horizontales. Demostracin: dp = ( x dx + y dy + z dz ) Ecuacin de equilibrio de los lquidos en reposo: dp = dz En la superficie de nivel, por su propia definicin, todas las presiones son iguales, luego al ser p constante, dp = 0. dz = 0 dz = z = cte = k z= k = cte

Ecuacin que representa a un plano paralelo a la superficie libre del lquido.

5. Variacin de la presin con la profundidad. Diagrama de presiones.La presin en un punto de una masa lquida es igual a la presin atmosfrica ms el peso de la columna de lquido de altura igual a la distancia entre dicho punto y la superficie libre del lquido.Plano de carga absoluto

O

P0

P0

Plano de carga relativo Presiones (kg/cm2)

h

P = P0 + hAltura (m)9



La ecuacin

p = p0 + h

corresponde a una recta, luego indica la

variacin lineal de la presin con la profundidad del lquido, cuya representacin, tomando como eje horizontal las presiones y como eje vertical las profundidades, proporciona el diagrama de presiones (figura). Por regla general, en la prctica se miden las presiones manomtricas o relativas, quedando la expresin anterior reducida a p = h , que es la ecuacin de una recta que pasa por el origen y forma un ngulo con la vertical, de manera que: tg = p = h

6. Presiones sobre superficies planas.Cualquier pared plana que contenga un lquido (muros, compuertas, depsitos, etc) soporta, en cada uno de sus puntos, una presin que ha sido definida como la altura de la superficie libre del lquido al punto considerado, siempre que se trate de recipientes abiertos, que es el caso ms frecuente en aplicaciones hidrostticas. Por tanto, todas las fuerzas de presin paralelas, cuya magnitud y direccin se conocen, tendrn una resultante, p, que representa el empuje del lquido sobre una superficie plana determinada, cuyo valor y punto de aplicacin vamos a determinar.

P

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6. 1. Clculo del valor de la presin total.Superficie libre del lquido

z x dw

Pared

= Traza del plano que forma la superficie libre de un lquido = Traza de una pared plana finita que contiene el lquido (ambas trazas respecto al plano del papel) Las trazas de ambos planos forman un ngulo cualquiera . d = Superficie elemental sumergida, de cota z, a una distancia x de la traza de ambos planos, . La presin que acta con intensidad uniforme sobre d es: dp = p d = z d dp = x4 4 d 23 1 sen z La fuerza de presin total, p, que acta sobre la cara de una superficie plana finita ser la integral en toda el rea , puesto que todos los elementos de fuerza son paralelos.

p=

x sen d = sen x d

[ 5] ]

x d

es el momento esttico del rea respecto a la traza

Si G es el cdg de dicha rea, su abcisa xG valdr:

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xG =

x d = x d d w w

x d = xw

G

Sustituyendo en [5] quedar: p = sen x G = z G = p G p = pG La presin total que ejerce un lquido sobre una superficie plana es el producto del rea por la presin hidrosttica que acta sobre su centro de gravedad.

6. 2. Determinacin del centro de presin (cdp).Superficie libre

zG xG G xC CEje de simetra (pared)

zC

La fuerza de presin resultante, p, cuyo valor se ha obtenido en el punto anterior, tiene su aplicacin en el centro de presin C (xc, yc, zc) Para determinar este punto bastar normalmente, en la prctica, con determinar la coordenada xc. Para ello tomamos momentos a lo largo del eje de simetra.

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p x c = x dp A su vez, dp = p d = z d , luego:

p x c = x z d = x z d como z = x sen p x c = x 2 sen d = sen x 2 d La integral

respecto a la traza , por lo que, aplicando el teorema de Steiner:

x

2

d representa el momento de inercia del rea

x

2

d = I G + x G 2

Luego

p x c = sen I G + x G 2

(

) (2

sen IG + x G sen I G + x G = xc = sen x G p2

(

)

)

Ya que

p Total = p unitarria p unitaria = p = z = x sen Si p = pG, entonces p = x G sen + xG xG 2

xc =

(I

G

)

xc = xG +

IG xG

Con lo que se demuestra que el centro de presin est por debajo del centro de gravedad.

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Si fuera necesario calcular las coordenadas yc, zc (no ser nuestro caso), las ecuaciones seran anlogas a las utilizadas para la determinacin de xc. p y c = y z d = y z d p z c = z z d = z 2 d

6. 3. Casos ms frecuentes en la prctica.Primer caso: Pared

rectangular inclinada

El muro tiene una pared inclinada rectangular que contiene un lquido, de profundidad z = BD . La recta AB es el eje de simetra de la pared rectangular y contiene el cdg G y el cdp C. AD representa el diagrama de presin hidrosttica considerando el lquido de = 1 (Recordar p = z )A z G C z/3 B z P D

La presin total del lquido sobre la pared, suponiendo que su anchura es b, ser: p = p G = z G = sen x G El cdg coincidir con el centro geomtrico de la pared. Si AB = h xG = h 2 y = bh

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Entonces: h p = sen b h 2 1 p = b h2 sen 2 Es el peso del prisma de base h z y altura b. Esta presin resultante estara aplicada en: h3 I h 12 = h + h = 3 h + h = 4 h xc = xG + G = + 2 6 6 6 xG 2 h bh 2 2 xc = h 3 b

Segundo caso: Pared

rectangular verticalA 90

z=h C

G P

B

D

Es un caso particular del anterior con = 90 , por lo que sen = 1. p= 1 b h2 2

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La presin hidrosttica sobre el elemento de pared AB equivale al peso del prisma de lquido de base triangular ABD y altura b, aplicado en C, siendo 2 xc = h . 3

Tercer caso: Pared

rectangular sumergida e inclinada

d d G C b

h b

G C

h

x

La pared rectangular, de superficie = bh, est sumergida a una distancia d de la superficie libre del lquido. Es el caso de una compuerta. La presin total que acta sobre ella ser: h p = p G = z G = sen x G = sen d + b h 13 2 1 24 4 3 4 4 1 22 3 zG pG xG h p = sen d + b h 2 Cuarto caso: Pared zG x G

rectangular sumergida y vertical

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xG = d +

h 2

Caso particular del anterior con = 90 , por lo que sen = 1. h p = pG = zG = x G = d + b h 2 h p = d + b h 2

Quinto caso: Pared

circular sumergida e inclinadad

d

rG C

G C

x

p = p G = z G = sen x G siendo: xG = d + r = r2 Luego: p = sen (d + r ) r 2

El cdp estar situado en: I xc = xG + G xG

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IG =

D 4 (2 r ) r4 = = 64 64 4 2 = r4

xG = d + r

r4 4 xc = d + r + (d + r ) r 2 xc = d + r + r2 4 (d + r )

Sexto caso: Pared

circular sumergida y vertical

Caso particular del anterior con = 90 , por lo que sen = 1. p = (d + r ) r 2

6. 4. Presin total sobre una pared plana rectangular con lquido a ambos lados.Supongamos una pared rectangular que contiene por ambas caras un lquido de peso especfico . En este caso, sobre la misma pared se ejercen dos presiones hidrostticas paralelas de sentido contrario. Se trata de determinar la presin resultante p y su punto de aplicacin C.A1 A A2

P P1

C C1 C2 P21/3 h2

1/3 h1

B

B18



Si h1 y h2 son las profundidades respectivas del agua, la presin a cada lado de la pared (caso de paredes rectangulares verticales) ser: p1 = 1 2 b h1 2 1 2 p 2 = b h2 2

Puesto que se trata de fuerzas paralelas y de sentido contrario, la resultante ser su diferencia: p = p1 p2 = 1 2 2 b h1 h2 2

(

)

Para determinar C, tomamos momentos respecto a B: p CB = p1 C1B p2 C2B 1 h1 3 1 C 2B = h 2 3 C1B = Sustituyendo los valores de p1, p2, C 1 B y C 2 B , se obtiene: 1 1 1 2 2 2 1 2 1 b h1 h2 CB = b h1 h1 b h2 h2 2 2 3 2 3 CB = 1 h1 h2 3 h12 h2 23 3

(

)

h1 h2 = (h1 h2 ) h1 + h2 + h1 h23 3 2 2

h1 h2 = (h1 + h2 ) (h1 h2 )2 2

(

)

19



1 h + h2 + h1 h2 1 h1 (h1 + h2 ) + h2 1 h (h + h ) 1 h = = 1 1 2 + 2 CB = 1 3 h1 + h2 3 h1 + h2 3 h1 + h2 3 h1 + h22 2 2 2

CB =

1 1 h h1 + 2 3 3 h1 + h2

2

Que demuestra que el punto de aplicacin de la fuerza de presin resultante se encuentra por encima del punto C1, punto de aplicacin de la presin p1. La presin total sobre la pared viene representada por el prisma de presiones de base A1ABB y de altura b.

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Tema 4. Conducciones forzadas. Materiales de tuberas1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Definicin y conceptos previos Tuberas de policloruro de vinilo (PVC) Tuberas de polietileno (PE) Tuberas de fibrocemento Tuberas de fundicin Tuberas de aluminio Tuberas de acero Tuberas de hormign

1. Definicin y conceptos previos.Recordamos (tema 3) que las conducciones forzadas o tuberas a presin son aqullas que funcionan a plena seccin y en las que el movimiento del lquido se debe a la presin reinante en el interior, pudiendo presentar, por tanto, pendientes y contrapendientes. Una tubera es un conjunto de tubos y accesorios unidos mediante juntas para formar una conduccin cerrada. Un tubo es un elemento de seccin circular. Los accesorios pueden ser: Piezas especiales: Unidades que posibilitan los empalmes, cambios de direccin (codos), derivaciones, variaciones de seccin, etc. Dispositivos auxiliares: Aparatos que protegen y facilitan el buen funcionamiento de la red. Los ms importantes son las vlvulas y las ventosas. Las juntas son unidades que se emplean para unir tubos entre s y con los accesorios.

1



Una red de distribucin es un conjunto de tuberas principales, secundarias, terciarias, etc.

Tipos de vlvulasLas vlvulas pueden clasificarse en funcin de diferentes criterios, siendo los ms comunes los siguientes: Desde el punto de vista de su accionamiento: Manuales Vlvulas de esfera: El dispositivo que permite la apertura y el cierre es una esfera, pudiendo adoptar posiciones intermedias para una apertura parcial. Se emplean en tuberas de pequeo dimetro. Vlvulas de asiento: El elemento de cierre es un disco que se asienta sobre el cuerpo de la vlvula. Vlvulas de mariposa: El elemento de cierre es un disco giratorio que puede ser accionado mediante una palanca o un tornillo sinfn. Vlvulas de compuerta: La vlvula se cierra mediante una compuerta accionada mediante un volante. Automticas Vlvulas hidrulicas: Se accionan hidrulicamente, pudiendo ser de dos tipos: normalmente abiertas y normalmente cerradas. Electrovlvulas: Se accionan de forma elctrica, y son tpicas de instalaciones automatizadas en las que el riego se programa por tiempos. Desde el punto de vista de la funcin que realizan: Vlvulas de regulacin o llave de paso. Son unidades que permiten estrangular o interrumpir el paso de una corriente lquida. Un hidrante es, en definitiva, una vlvula de regulacin que permite derivar agua de una tubera.

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Vlvulas de retencin: Dispositivos que consisten en una compuerta giratoria, cuya apertura se produce al paso de lquido y su cierre es por gravedad, impidiendo el retroceso. Es obligado instalar vlvulas de retencin en puntos estratgicos de la instalacin para proteger a la red de las sobrepresiones producidas por el golpe de ariete. Tambin a la salida del grupo motobomba, y cuando se utiliza en el riego aguas procedentes de conducciones urbanas, antes del punto de inyeccin de los fertilizantes, de manera que se impida el retroceso del flujo y la contaminacin del agua. La vlvula de pie es un caso particular de vlvula de retencin que se instala en la base de la tubera de aspiracin para evitar su vaciado (descebado), ya que debe estar llena de agua para su funcionamiento. Vlvulas de seguridad: Dispositivos que permiten la fuga automtica de un caudal lquido para evitar un incremento de presin en la tubera sobre la presin prefijada. Bsicamente constan de un elemento mvil sobre el que acta, por un lado, la presin del agua, y sobre el otro, un resorte calibrado, de manera que la vlvula se abre si es mayor la presin del agua, permitiendo la salida de una parte del caudal, lo que provoca una disminucin de la presin. Vlvula reductora de presin: Es un dispositivo que produce una prdida de carga localizada cuando la presin sobrepasa un valor dado. Este tipo de vlvulas protegen a la red de sobrepresiones y permiten una presin adecuada en las derivaciones. Vlvula reguladora de caudal: Impide el paso de un caudal superior al preestablecido, mantenindolo constante en un valor prefijado. Vlvulas de drenaje: Permiten desaguar las tuberas tras el riego, con lo que se evita la formacin de depsitos de precipitados y microorganismos. Bsicamente constan de un resorte que se mantiene cerrado mientras existe presin en la red. Vlvulas antidesage: Impiden el vaciado de la tubera a travs de emisores situados en puntos bajos.

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Vlvula de flotador: Corta el paso de agua cuando su nivel ha alcanzado una determinada altura.

VentosasSon unas vlvulas que permiten la salida del aire que se acumula en las conducciones de agua. La problemtica de las bolsas de aire en las conducciones, la forma de evitarlas, los tipos de ventosas y su correcta colocacin se estudiar en el tema 9 Funcionamiento de las tuberas por gravedad e impulsin.

PresionesPresin de prueba en fbrica o presin de fbrica (PF): es aquella presin sobre la que se timbran y clasifican los tubos comerciales, que habrn de superar en fbrica sin romperse ni acusar falta de estanqueidad. Presin nominal (PN): Aqulla por la que se conoce comercialmente y que sirve para tipificar, clasificar y timbrar los tubos. Es un nmero convencional que coincide con la presin de trabajo a 20 C en tuberas de plstico (PVC y PE). Presin de rotura (PR): Aqulla a la cual se rompe la tubera. Presin de trabajo (PT): Mxima presin a la que se recomienda que trabaje el tubo, ya que es la mxima presin interna a la que puede estar sometido un tubo en servicio a la temperatura de utilizacin. Constituida por la presin de servicio ms las sobrepresiones accidentales que pudieran producirse, como por ejemplo las debidas al golpe de ariete. Presin de servicio (PS): Presin a la que efectivamente se hace trabajar la tubera. Siempre debe ser menor o igual que la presin de trabajo. PR . PT

Se denomina coeficiente de seguridad al cociente

Consideramos una seccin de tubera, que estar sometida a la presin hidrulica reinante en su interior, como representa la figura.

4



Deber existir equilibrio entre las fuerzas de traccin y el empuje esttico total que acta sobre la mitad del tubo en direccin normal al plano diametral.z

e: Espesor del tubo.T

e D

D: Dimetro del tubo. T: Fuerzas resistentes de traccin que tienden a romper la tubera y que se deben a la presin hidrulica del interior. R: Carga nominal de rotura por traccin. PR: Presin de rotura.

x

T

Igualando ambos esfuerzos: PR D = 2 T = 2 R e 2 e R PR = D Segn la presin que pueden soportar (PR), los tubos se clasifican en: De baja presin De media presin De alta presin < 3 atm 3 10 atm > 10 atm

Las caractersticas que definen los tubos y accesorios son: dimetro, espesor y presiones.

Se recomienda el estudio de las caractersticas de los distintos tipos de tuberas (puntos 2 al 8 de este tema) en el Captulo Fundamentos de Hidrulica, de Cristina Santamarina, perteciente al Curso de redes hidrulicas de riegos a presin (Zaragoza, 1993, pp I-37 a I-72).

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Tema 4. Conducciones forzadas. Materiales de tuberas1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Definicin y conceptos previos Tuberas de policloruro de vinilo (PVC) Tuberas de polietileno (PE) Tuberas de fibrocemento Tuberas de fundicin Tuberas de aluminio Tuberas de acero Tuberas de hormign

1. Definicin y conceptos previos.Recordamos (tema 3) que las conducciones forzadas o tuberas a presin son aqullas que funcionan a plena seccin y en las que el movimiento del lquido se debe a la presin reinante en el interior, pudiendo presentar, por tanto, pendientes y contrapendientes. Una tubera es un conjunto de tubos y accesorios unidos mediante juntas para formar una conduccin cerrada. Un tubo es un elemento de seccin circular. Los accesorios pueden ser: Piezas especiales: Unidades que posibilitan los empalmes, cambios de direccin (codos), derivaciones, variaciones de seccin, etc. Dispositivos auxiliares: Aparatos que protegen y facilitan el buen funcionamiento de la red. Los ms importantes son las vlvulas y las ventosas. Las juntas son unidades que se emplean para unir tubos entre s y con los accesorios.

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Una red de distribucin es un conjunto de tuberas principales, secundarias, terciarias, etc.

Tipos de vlvulasLas vlvulas pueden clasificarse en funcin de diferentes criterios, siendo los ms comunes los siguientes: Desde el punto de vista de su accionamiento: Manuales Vlvulas de esfera: El dispositivo que permite la apertura y el cierre es una esfera, pudiendo adoptar posiciones intermedias para una apertura parcial. Se emplean en tuberas de pequeo dimetro. Vlvulas de asiento: El elemento de cierre es un disco que se asienta sobre el cuerpo de la vlvula. Vlvulas de mariposa: El elemento de cierre es un disco giratorio que puede ser accionado mediante una palanca o un tornillo sinfn. Vlvulas de compuerta: La vlvula se cierra mediante una compuerta accionada mediante un volante. Automticas Vlvulas hidrulicas: Se accionan hidrulicamente, pudiendo ser de dos tipos: normalmente abiertas y normalmente cerradas. Electrovlvulas: Se accionan de forma elctrica, y son tpicas de instalaciones automatizadas en las que el riego se programa por tiempos. Desde el punto de vista de la funcin que realizan: Vlvulas de regulacin o llave de paso. Son unidades que permiten estrangular o interrumpir el paso de una corriente lquida. Un hidrante es, en definitiva, una vlvula de regulacin que permite derivar agua de una tubera.

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Vlvulas de retencin: Dispositivos que consisten en una compuerta giratoria, cuya apertura se produce al paso de lquido y su cierre es por gravedad, impidiendo el retroceso. Es obligado instalar vlvulas de retencin en puntos estratgicos de la instalacin para proteger a la red de las sobrepresiones producidas por el golpe de ariete. Tambin a la salida del grupo motobomba, y cuando se utiliza en el riego aguas procedentes de conducciones urbanas, antes del punto de inyeccin de los fertilizantes, de manera que se impida el retroceso del flujo y la contaminacin del agua. La vlvula de pie es un caso particular de vlvula de retencin que se instala en la base de la tubera de aspiracin para evitar su vaciado (descebado), ya que debe estar llena de agua para su funcionamiento. Vlvulas de seguridad: Dispositivos que permiten la fuga automtica de un caudal lquido para evitar un incremento de presin en la tubera sobre la presin prefijada. Bsicamente constan de un elemento mvil sobre el que acta, por un lado, la presin del agua, y sobre el otro, un resorte calibrado, de manera que la vlvula se abre si es mayor la presin del agua, permitiendo la salida de una parte del caudal, lo que provoca una disminucin de la presin. Vlvula reductora de presin: Es un dispositivo que produce una prdida de carga localizada cuando la presin sobrepasa un valor dado. Este tipo de vlvulas protegen a la red de sobrepresiones y permiten una presin adecuada en las derivaciones. Vlvula reguladora de caudal: Impide el paso de un caudal superior al preestablecido, mantenindolo constante en un valor prefijado. Vlvulas de drenaje: Permiten desaguar las tuberas tras el riego, con lo que se evita la formacin de depsitos de precipitados y microorganismos. Bsicamente constan de un resorte que se mantiene cerrado mientras existe presin en la red. Vlvulas antidesage: Impiden el vaciado de la tubera a travs de emisores situados en puntos bajos.

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Vlvula de flotador: Corta el paso de agua cuando su nivel ha alcanzado una determinada altura.

VentosasSon unas vlvulas que permiten la salida del aire que se acumula en las conducciones de agua. La problemtica de las bolsas de aire en las conducciones, la forma de evitarlas, los tipos de ventosas y su correcta colocacin se estudiar en el tema 9 Funcionamiento de las tuberas por gravedad e impulsin.

PresionesPresin de prueba en fbrica o presin de fbrica (PF): es aquella presin sobre la que se timbran y clasifican los tubos comerciales, que habrn de superar en fbrica sin romperse ni acusar falta de estanqueidad. Presin nominal (PN): Aqulla por la que se conoce comercialmente y que sirve para tipificar, clasificar y timbrar los tubos. Es un nmero convencional que coincide con la presin de trabajo a 20 C en tuberas de plstico (PVC y PE). Presin de rotura (PR): Aqulla a la cual se rompe la tubera. Presin de trabajo (PT): Mxima presin a la que se recomienda que trabaje el tubo, ya que es la mxima presin interna a la que puede estar sometido un tubo en servicio a la temperatura de utilizacin. Constituida por la presin de servicio ms las sobrepresiones accidentales que pudieran producirse, como por ejemplo las debidas al golpe de ariete. Presin de servicio (PS): Presin a la que efectivamente se hace trabajar la tubera. Siempre debe ser menor o igual que la presin de trabajo. PR . PT

Se denomina coeficiente de seguridad al cociente

Consideramos una seccin de tubera, que estar sometida a la presin hidrulica reinante en su interior, como representa la figura.

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Deber existir equilibrio entre las fuerzas de traccin y el empuje esttico total que acta sobre la mitad del tubo en direccin normal al plano diametral.z

e: Espesor del tubo.T

e D

D: Dimetro del tubo. T: Fuerzas resistentes de traccin que tienden a romper la tubera y que se deben a la presin hidrulica del interior. R: Carga nominal de rotura por traccin. PR: Presin de rotura.

x

T

Igualando ambos esfuerzos: PR D = 2 T = 2 R e 2 e R PR = D Segn la presin que pueden soportar (PR), los tubos se clasifican en: De baja presin De media presin De alta presin < 3 atm 3 10 atm > 10 atm

Las caractersticas que definen los tubos y accesorios son: dimetro, espesor y presiones.

Se recomienda el estudio de las caractersticas de los distintos tipos de tuberas (puntos 2 al 8 de este tema) en el Captulo Fundamentos de Hidrulica, de Cristina Santamarina, perteciente al Curso de redes hidrulicas de riegos a presin (Zaragoza, 1993, pp I-37 a I-72).

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Tema 5. Prdidas de carga por rozamiento en tuberas1. Ecuacin general de Darcy Weisbach 2. Rugosidad absoluta y rugosidad relativa 3. Diferentes expresiones de las prdidas de carga continuas 4. Velocidad de friccin y nmero de Reynolds de la rugosidad

1. Ecuacin general de Darcy-Weisbach.Suponemos una tubera por la que circula un lquido incompresible de peso especfico , y en ella el volumen comprendido entre las secciones 1 y 2, separadas una distancia L. El elemento de tubera considerado forma un ngulo respecto a la horizontal.L 1 F P1 S G P2 S 2

z1

P

z2

Las fuerzas que actan sobre este volumen son: Peso de la masa del lquido (P), aplicado en el cdg (G): P = m g = V g = S L g = S L

1



Fuerzas de presin (P1S y P2S), que sera la fuerza que ejerce el resto del lquido sobre las secciones 1 y 2, respectivamente. Fuerza de rozamiento (F), en sentido contrario al movimiento y debida al rozamiento () del lquido con las paredes de la tubera. F = Superficie con la que roza La superficie lateral del cilindro considerado es un rectngulo de base L y altura c, siendo c el permetro de la seccin circular.L

L

c

c

F = c L Proyectando sobre el eje hidrulico las fuerzas que actan sobre el cilindro considerado: P1 S P2 S + S L sen = c L Dividiendo por S : P1 S P2 S S L sen c L + = S S S S P1 P2 c L + L sen = SL Lsen z1 z2

L sen = z1 z 2

2



P1 P c L + z1 2 + z 2 = S P P El primer miembro de la igualdad, 1 + z 1 2 + z 2 , es la diferencia de las alturas piezomtricas entre los puntos 1 y 2, es decir, la prdida de carga que se produce en ese trayecto. Entonces, hc = c L S [ 1] ]

v2 Se comprueba experimentalmente que = , siendo un factor 2 de proporcionalidad adimensional conocido como coefiente de Fanning. Adems, el radio hidrulico es R = S y como = g g = c

Introduciendo estos valores en [1]: hc = c L v2 1 L v 2 = = L S 2 R R 2g

D2 2 4 = D , por lo que h = 4 L v En tubera cilndrica, R = c D 4 D 2g Llamando 4 = f , coeficiente de friccin de Darcy Weisbach hc = f L v2 D 2g que es la ecuacin general de Darcy-Weisbach

La prdida de carga por unidad de longitud ser: J= hc 1 v2 =f L D 2g

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La prdida de carga continua es directamente proporcional a la velocidad del lquido y a la longitud del tramo de tubera que estamos considerando, e inversamente proporcional a su dimetro. El factor de friccin (f) es adimensional y es funcin del nmero de Reynolds y de la rugosidad relativa de la tubera, parmetro que da idea de la magnitud de las asperezas de su superficie interior: K f = f R e , D Es un hecho demostrado que la rugosidad relativa no influye sobre f en rgimen laminar (Re < 2000), ya que el rozamiento se debe fundamentalmente a la friccin de unas capas de fluido sobre otras y no de stas sobre las paredes de la tubera. Sin embargo, para Re > 2000 las cosas cambian y la rugosidad relativa adquiere notable importancia, como veremos posteriormente. La ecuacin de Darcy Weisbach puede ponerse en funcin del caudal circulante, ya que el caudal que fluye por una conduccin circular a plena seccin est ligado al dimetro y a la velocidad media por la relacin: D2 Q = v S = v 4 v= 4Q D2

Sustituyendo en la ecuacin de Darcy Weisbach: hc = f L 16 Q2 1 D 2 D 4 2 g 16 1 = 0.0826 , la ecuacin quedara: 2 2 g

Operando el trmino constante hc = 0.0826 f Q2 L D5

Que es la ecuacin de Darcy-Weisbach en funcin del caudal

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La prdida de carga por unidad de longitud ser: J= hc Q2 = 0.0826 f 5 L D

Se deduce que un aumento en el caudal o un aumento en la velocidad del lquido implica un aumento en la prdida de carga, mientras que dimetro y prdida de carga estn inversamente relacionados.

2. Rugosidad absoluta y rugosidad relativa.En el interior de los tubos comerciales existen protuberancias o irregularidades de diferentes formas y tamaos cuyo valor medio se conoce como rugosidad absoluta (K), y que puede definirse como la variacin media del radio interno de la tubera. Los experimentos de Nikuradse permitieron determinar el valor de esta rugosidad absoluta. Consistieron en producir una rugosidad artificial pegando en el interior de un tubo de vidrio (liso) ridos de diferentes granulometras tamizados, es decir, de rugosidad conocida, hasta conseguir una prdida de carga igual que la producida en un tubo comercial de un material determinado con igual longitud y dimetro que el de vidrio. Estos tubos artificialmente preparados se conocen como tubos arenisca. Cuando una casa comercial da el valor de rugosidad K es en realidad la rugosidad media equivalente, lo que significa que se comporta del mismo modo que una tubera artificialmente preparada con la rugosidad absoluta K. Un mismo valor de rugosidad absoluta puede ser muy importante en tubos de pequeo dimetro y ser insignificante en un tubo de gran dimetro, es decir, la influencia de la rugosidad absoluta depende del tamao del tubo. Por ello, para caracterizar un tubo por su rugosidad resulta ms adecuado utilizar la

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rugosidad relativa (), que se define como el cociente entre la rugosidad absoluta y el dimetro de la tubera. = K D

3. Diferentes expresiones de las prdidas de carga continuas.Las prdidas de carga por rozamiento en tuberas a presin pueden calcularse mediante dos grupos de frmulas: 1. Frmulas logartmicas 2. Frmulas empricas Aunque en general las frmulas logartmicas tienen mayor precisin que las empricas, algunas de stas proporcionan una suficiente aproximacin. En cualquier caso, es necesario conocer el tipo de flujo existente en la tubera, ya que, excepto la expresin logartmica de White-Colebrook, cada frmula es vlida para un determinado rgimen hidrulico. Por ello se debe comprobar que el nmero de Reynolds correspondiente a las condiciones del problema se encuentra dentro del intervalo de validez de la frmula. Mediante las frmulas logartmicas, de aplicacin en rgimen turbulento, se calcula el coeficiente de friccin (f) para su introduccin en la ecuacin general de Darcy Weisbach. Las frmulas empricas han sido deducidas experimentalmente para los distintos materiales y responden a la forma hc=cQD-L, es decir, hc v, siendo 1.75K f = f(Re)

b) Flujo hidrulicamente semirrugoso o zona de transicin: El espesor de la subcapa laminar () se aproxima al valor medio de rugosidad absoluta (K), de manera que la rugosidad emerge de la subcapa laminar en unos puntos y en otros no, quedando slo las rugosidades que emergen afectadas por la turbulencia. Es el caso ms frecuente, y aqu el coeficiente de friccin depende tanto del nmero de Reynolds como de la rugosidad relativa. K f = f(Re, K/D)

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c) Flujo hidrulicamente rugoso (tubera hidrulicamente rugosa): Si el espesor de la capa lmite () es menor que la rugosidad absoluta (K), las irregularidades internas de la conduccin rebasan la subcapa laminar, produciendo turbulencia completa. Cuanto mayor sea el nmero de Reynolds, ms delgada ser la subcapa laminar y ms puntos de la pared sobresaldrn de ella. En este caso, las fuerzas de inercia son muy importantes y apenas influyen las fuerzas viscosas, por lo que el factor de friccin slo depende de la rugosidad relativa y el nmero de Reynolds no tiene importancia en su determinacin. 0.10 : Flujo hidrulicamente rugoso. en la K , ya proporcionalidad del nmero de Reynolds de la rugosidad y la relacin que son ms fciles de establecer que las anteriores y se refieren a rugosidades absolutas irregulares, que es el caso real de las tuberas comerciales. Si K Si K 19.25 D : Flujo hidrulicamente liso. En la prctica, se utilizan unas condiciones basadas

(Re )c

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560 D 560 D = = 560 : Flujo hidrulicamente rugoso. v D (Re)c v

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Si K est comprendido entre los dos valores anteriores, el flujo sera hidrulicamente semirrugoso.

4. Experiencias de Nikuradse. Valor del coeficiente de friccin segn el rgimen de funcionamiento.Como ya comentamos al hablar de las rugosidades absoluta y relativa, Nikuradse, discpulo de Prandtl, experiment con tubos de rugosidad artificial conocida, creada por l mismo pegando en el interior de un tubo liso (de vidrio) arenas tamizadas, es decir, de dimetro conocido, con lo que la rugosidad artificial de estos tubos arenisca era conocida. Variando los caudales que circulaban por estos tubos obtuvo un diagrama en el que se relacionan los valores de K/D y Re con los hallados para f. Tambin experiment con tubos lisos. Los resultados de estas experiencias aparecen representados en el diagrama logartmico tpico, conocido como baco o diagrama de Moody. El diagrama de Moody (1944), permite determinar el valor del factor de friccin f a partir de Re y K/D de forma directa. Es una representacin log log del factor de friccin f frente al Re, tomando como parmetro K/D. Se distinguen cinco zonas, correspondientes a los distintos regmenes hidrulicos, correspondiendo al coeficiente de friccin f valores diferentes en en cada caso.

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Valores de f segn el rgimen de funcionamientoa) Re 2000, rgimen laminar, por lo que f = 64 . Re

Tomando logaritmos: log f = log 64 - log Re que es la ecuacin de una recta (AB) conocida como recta de Poiseuille. b) 200030 se puede considerar el flujo como turbulento rugoso.

5. Variaciones con el uso de la rugosidad absoluta. Envejecimiento de tuberas.Todos los materiales, con el paso del tiempo, disminuyen su capacidad de conduccin del caudal debido a corrosiones, incrustaciones, sedimentaciones, formacin de depsitos, etc. Experimentando con tuberas de fundicin, Colebrook y White dedujeron que la rugosidad absoluta aumenta linealmente con el tiempo segn la ecuacin emprica: Kt = K0 + t siendo: K0: Rugosidad absoluta de la tubera nueva Kt: Rugosidad absoluta al cabo de t aos de servicio : ndice de aumento anual de la rugosidad

Se ha demostrado que esta ecuacin es tambin aplicable a otras clases de tuberas. Segn Colebrook, en conducciones metlicas no revestidas, al cabo de 30 aos el caudal se reducira en un 30% para aguas de pH = 8, en un 45% para pH = 7 y en un 85% para pH =6. En conducciones revestidas el envejecimiento es menor, y las tuberas de hormign liso, fibrocemento y plstico carecen de envejecimiento aparente.

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Tema 7. Frmulas empricas para el clculo de prdidas de carga continuas en tuberas1. 2. 3. 4. 5. Frmulas para el rgimen turbulento liso Frmulas para el rgimen turbulento en la zona de transicin Frmulas para el rgimen turbulento rugoso Velocidades mnimas y mximas Diseo econmico de tuberas. Concepto de dimetro ptimo

Las frmulas empricas han sido deducidas experimentalmente para los distintos materiales y responden a la forma general hc=cQD-L, siendo c un coeficiente de proporcionalidad y 1.752. El coeficiente c no es adimensional, y por tanto, hay que utilizar las unidades adecuadas. Siempre que no se indique lo contrario, las unidades empleadas en las frmulas corresponden al sistema internacional, es decir: Q = m3/s D=m L=m v = m/s J = o/1 hc = mca

En cierto modo, es un indicador del rgimen hidrulico, ya que aumenta conforme se incrementa el nmero de Reynolds, es decir, segn el rgimen es ms turbulento. En riegos localizados de alta frecuencia se aconseja el empleo de frmulas con =1.75, no siendo adecuadas aqullas en que >1.80. Es por ello que, al adoptar el coeficiente reductor de las prdidas de carga en funcin del nmero de derivaciones de la tubera o coeficiente de Christiansen (F), se toma =1.75 para riego por goteo mientras que =1.80 en riegos por aspersin, como veremos en el siguiente bloque temtico. En el rgimen crtico, 2000> S1 S1 0 S2 D1 0 D2

Por lo tanto, en este caso K=1, y la prdida de carga en la desembocadura ser: v2 hs = 1 2g Es decir, se pierde toda la energa cintica en la entrada al depsito.

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4.2. Prdidas localizadas en un ensanchamiento gradual de seccin Son los difusores, en los que se producen, adems de las prdidas de carga por rozamiento como en cualquier tramo de tubera, otras singulares debido a los torbellinos que se forman por las diferencias de presin (al aumentar la seccin disminuye la velocidad, y por lo tanto el trmino cintico, por lo que la presin debe aumentar).

A menor ngulo de conicidad (), menor prdida de carga localizada, pero a cambio se precisa una mayor longitud de difusor, por lo que aumentan las prdidas de carga continuas. Se trata de hallar el valor de para el que la prdidad de carga total producida sea mnima. Gibson (Torres Sotelo, 1996) demuestra experimentalmente que el ngulo ptimo de conicidad es de unos 6 , y proporciona la siguiente frmula emprica para calcular las prdidas de carga totales:2 D1 1 hT = 2 D2 2 v1 2g

Los valores de , tambin segn Gibson, son los siguientes: 6 0.14 10 0.20 15 0.30 20 0.40 30 0.70 40 0.90 50 1.00 60 1.10

4.3. Prdidas localizadas en un estrechamiento brusco de seccin

D2 D1

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En este caso, el flujo contina convergiendo despus de la embocadura durante una cierta distancia, a partir de la cual se produce su ensanchamiento. Por tanto, se formarn turbulencias entre el flujo y las paredes de la tubera, y tambin entre stas y la vena lquida contrada, como se indica en la figura. Los valores de K se obtienen de forma suficientemente aproximada en funcin de la relacin entre los dos dimetros:D1/D2 K 1.2 0.08 1.4 0.17 1.6 0.26 1.8 0.34 2.0 0.37 2.5 0.41 3.0 0.43 4.0 0.45 5.0 0.46

Caso particular: Tubera a la salida de un depsito (embocadura) En este caso, la prdida de carga depende del tipo de conexin entre la tubera y el depsito.

(1) (1) (2) (3)

(2)

(3)

Embocadura de arista viva: K0.5 Embocadura tipo entrante: K1.0 Embocadura abocinada: K0.01-0.08, segn el grado abocinamiento. Se puede considerar un valor medio de K0.5.

de

4.4. Prdidas localizadas en un estrechamiento gradual de seccin (tobera) Puesto que el lquido aumenta su velocidad al pasar por la tobera, tambin disminuye su presin. Por tanto, las condiciones no favorecen la formacin de torbellinos, siendo casi la totalidad de las prdidas de carga que se producen debidas al rozamiento. Los valores de K suelen oscilar entre 0.02 y 0.04, por lo que, en la prctica, estas prdidas de carga se desprecian.

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4.5. Otras prdidas localizadas de inters Son importantes por lo extendido del uso de estas piezas especiales las prdidas de carga producidas en vlvulas, codos de distintos ngulos y ramificaciones en T (prdidas por bifurcacin o empalme del flujo, ver figura).

Bifurcacin

Empalme

5. Consideraciones prcticas para evaluar las prdidas de carga accidentales.1. Para vlvulas, puede tomarse como equivalente la prdida de carga por rozamiento en una tubera recta de 10 m de longitud y de igual dimetro que el accesorio. 2. En ocasiones, puede tomarse una longitud total de tubera incrementada en un 5 20 %, dependiendo de la longitud y el mayor o menor nmero de puntos singulares. 3. Las prdidas localizadas en general pueden despreciarse cuando, por trmino medio, haya una distancia de 1000 dimetros entre dos puntos singulares.

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Tema 9. Funcionamiento de las tuberas por gravedad y en impulsin1. 2. 3. 4. 5. Funcionamiento de una tubera por gravedad Funcionamiento de una tubera en impulsin Consideraciones sobre las depresiones Vaciado y limpieza de tuberas Influencia de las bolsas de aire en el funcionamiento de las instalaciones de gravedad e impulsin

1. Funcionamiento de una tubera por gravedad.En el funcionamiento de una tubera por gravedad se pueden distinguir, en principio, seis casos, que resumen las situaciones que pueden producirse en funcin de la uniformidad del trazado y de la existencia de vlvulas reguladoras al inicio o al final del recorrido. a) Circulacin libre y pendiente uniforme. H0 Lce h h Lp

Corresponde este caso a la apertura total de la vlvula. La presin es constantemente nula en todo el recorrido de la tubera, por lo que la lnea de carga o lnea de alturas piezomtricas (LP) coincide con la trayectoria, es decir, con la lnea de alturas geomtricas. La prdida de carga producida desde el origen a un punto determinado coincide con la distancia entre dicho punto y la lnea de carga esttica (Lce).

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b) Vlvula de final de recorrido cerrada. H0 Lce P/ P/

La presin en cada posicin corresponde al desnivel en relacin a la horizontal. Es el caso ms desfavorable para una conduccin de estas caractersticas, ya que se alcanza el mximo valor de P/, por lo que es el que hay que tener presente a la hora de dimensionar la tubera c) Vlvula de final de recorrido semicerrada. H0 Lce ha Pa/ P/ Lp h

La presin en cada punto es la presin esttica menos la prdida de carga desde el origen al punto considerado. Conforme se produce la apertura de la vlvula, aumenta la prdida de carga y disminuye P/. d) Vlvula inicial semicerrada.

H0 Ha P/ -H Pa/ h ha

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Existen depresiones en todo el recorrido, que se anulan en la posicin inferior. Se observa en la figura que, en valor absoluto, H = P = (H h) = H + h P < 0 P + h , luego:

e) Vlvula inicial cerrada y desnivel de hasta 10 m. H0 Ha -H Pa/

Valores mximos, en mdulo, de las depresiones. Esquema vlido para diferencias de nivel entre depsitos inferiores a 10 m. En este caso, Pa P = (H H a ) , es decir, a < 0

f) Vlvula inicial cerrada y desnivel superior a 10 m. H0 10 mca H >10 m Pa/ 10 m

Si el desnivel es mayor de 10 m, al no poder ser las depresiones superiores a 1 atm, existe rotura de la vena lquida. A partir de la vlvula el tubo est vaco y nicamente existe la presin de vapor del agua. Para el desnivel de 10 m e inferiores respecto al segundo depsito, el agua llena el tubo y decrecen las depresiones hasta anularse en el nivel inferior. 3



g) Recorrido sinuoso.1 Pa/ 2 LP Pb/

Si la lnea de carga corta el trazado de la tubera, existirn zonas de presin positiva y zonas de presin negativa. Las depresiones se producirn en los tramos en que la lnea de alturas piezomtricas quede por debajo de la tubera (intervalo 1-2 en la figura).

2. Funcionamiento de una tubera en impulsin.La altura manomtrica que debe proporcionar el grupo de bombeo debe ser igual al desnivel geomtrico que tiene que vencer el agua (z) ms la presin mnima requerida en el punto a abastecer (P/) y ms la prdida de carga (hT) que se produzca en todo el trayecto considerado.Lnea de cotas piezomtricas (Lp)

hLnea de carga esttica (Lce)

P/

Hm z

Hm = Hg + hT, siendo Hg = z + Hm = z + P + hT

P

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Las condiciones especficas que se producen en funcin de la forma de trabajo de la bomba (en aspiracin o en carga) se analizarn en el tema 13.

3. Consideraciones sobre las depresiones.Hemos visto que cuando la lnea de alturas piezomtricas queda por debajo de la trayectoria de la tubera, se crea una zona de depresin, ya que la presin absoluta reinante en el interior es menor que la presin atmosfrica Pabs P0 < , por lo que puede haber peligro de aplastamiento de la tubera y P posibilidad de cavitacin si la presin se iguala a la tensin de vapor v esa temperatura. Por lo tanto, si P0 P Pabs Pv + = habr cavitacin. a

En estas zonas de presin negativa no se deben instalar ventosas bidireccionales, ya que entrara aire en la tubera, pero s unidireccionales y bomba de vaco.

4. Vaciado y limpieza de tuberas.Para evitar la acumulacin de residuos y facilitar el vaciado y limpieza de la tubera, es conveniente colocar en los puntos bajos de la misma purgadores u otros dispositivos que permitan efectuar estas operaciones.

5. Influencia de las bolsas de aire en el funcionamiento correcto de las instalaciones de gravedad e impulsin.En general, el aire que existe en las tuberas puede proceder: Del aire que llena la conduccin antes de que entre en servicio.

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Del aire disuelto en el agua, que se desprende al disminuir la presin. De los torbellinos que se forman en la aspiracin. De pequeas fisuras que puedan existir en las tuberas. El aire de las tuberas se acumula en las partes altas de las mismas, interrumpiendo el paso del agua y originando unas sobrepresiones que pueden ser mayores que la presin de funcionamiento, por lo que es necesario evacuarlo a travs de las ventosas. Los principales problemas que plantean las acumulaciones de aire en las tuberas son los siguientes: 1. Durante el arranque del sistema Es uno de los problemas ms importantes que puede presentar la acumulacin de aire en los puntos ms elevados de la conduccin. El aire acumulado en la primera bolsa de la conduccin ser comprimido al abrir la vlvula de entrada a B por la masa de lquido que hay aguas arriba, y empujar al fluido confinado en el segundo tramo, que adquirir una velocidad menor que la existente en el primer tramo, y anlogamente ocurrir con la segunda bolsa de aire y el tercer tramo con agua, de manera que v1 > v2 > v3.

v1

v2

v3

2. Reduccin de la seccin til de la tubera El espacio que ocupa el aire se resta de la seccin til de la conduccin, por lo que la vena lquida reducir su dimetro en esos puntos. En consecuencia, tambin circular el agua con mayor velocidad y se crear una prdida de carga adicional. 3. Golpe de ariete

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Soluciones1. Evitar en lo posible la entrada de aire. 2. Expulsar el aire colocando ventosas. 3. Al realizar el llenado de la conduccin, hacerlo lentamente para evitar turbulencias (entrada de aire) y dar tiempo a que el aire que llena la tubera salga por las ventosas. 4. Para evitar bolsas de aire en posiciones desconocidas, con lo que no sera fcil su extraccin, conviene dar a la tubera un perfil con tramos de distintas pendientes, ascendentes y descendentes, aunque el terreno sea poco irregular, de manera que estas bolsas de aire se desplacen a los puntos elevados y se facilite su extraccin. Los valores mnimos recomendados son de un 2 3 para las pendientes ascendentes y de un 4 6 para las descendentes.40/00 20/00 40/00 20/00 40/00 20/00

5. En cualquier caso, conviene colocar ventosas incluso en tuberas horizontales y en tramos descendentes si son de gran longitud, pues el permitir al aire una salida fcil evitar la formacin de bolsas incontroladas que perjudiquen el buen funcionamiento de la instalacin.

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Colocacin de las ventosasEn puntos altos notables

A la salida de depsitos

En ramas descendentes de ms de 500 m de longitud

En puntos de cambio de pendiente brusca

En tramos largos con ninguna o poca pendiente

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Tema 10. El golpe de ariete1. Descripcin del fenmeno 2. Valor de la celeridad 3. Tiempo de cierre de la vlvula y tiempo de parada en bombas. Cierre lento y cierre rpido. 4. Clculo de la sobrepresin producida por el golpe de ariete. Frmulas de Michaud y Allievi 5. Mtodo prctico para el clculo del golpe de ariete 6. Mtodos para reducir el efecto del golpe de ariete

1. Descripcin del fenmeno.El fenmeno del golpe de ariete, tambin denominado transitorio, consiste en la alternancia de depresiones y sobrepresiones debido al movimiento oscilatorio del agua en el interior de la tubera, es decir, bsicamente es una variacin de presin, y se puede producir tanto en impulsiones como en abastecimientos por gravedad. El valor de la sobrepresin debe tenerse en cuenta a la hora de dimensionar las tuberas, mientras que, en general, el peligro de rotura debido a la depresin no es importante, ms an si los dimetros son pequeos. No obstante, si el valor de la depresin iguala a la tensin de vapor del lquido se producir cavitacin, y al llegar la fase de sobrepresin estas cavidades de vapor se destruirn bruscamente, pudiendo darse el caso, no muy frecuente, de que el valor de la sobrepresin producida rebase a la de clculo, con el consiguiente riesgo de rotura. Los principales elementos protectores en este caso seran las ventosas y los calderines, como estudiaremos posteriormente. Por lo tanto, el correcto estudio del golpe de ariete es fundamental en el dimensionamiento de las tuberas, ya que un clculo errneo puede conducir a: 1. Un sobredimensionamiento de las conducciones, con lo que la instalacin se encarece de forma innecesaria.

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2. Tubera calculada por defecto, con el consiguiente riesgo de que se produzca una rotura.

Descripcin del fenmeno en abastecimientos por gravedadSi el agua se mueve por una tubera con una velocidad determinada y mediante una vlvula se le corta el paso totalmente, el agua ms prxima a la vlvula se detendr bruscamente y ser empujada por la que viene detrs. Como el agua es algo compresible, empezar a comprimirse en las proximidades de la vlvula, y el resto del lquido comprimir al que le precede hasta que se anule su velocidad. Esta compresin se va trasladando hacia el origen conforme el agua va comprimiendo al lmite la que le precede, de manera que al cabo de un cierto tiempo todo el agua de la tubera est en estas condiciones, concluyendo la primera etapa del golpe de ariete. En definitiva, se forma una onda de mxima compresin que se inicia en las proximidades de la vlvula y se traslada al origen. La energa cintica que lleva el agua se transforma en energa de compresin. Cuando el agua se detiene, ha agotado su energa cintica y se inicia la descompresin en el origen de la conduccin trasladndose hacia la vlvula, y por la ley pendular esta descompresin no se detiene en el valor de equilibrio, sino que lo sobrepasa para repetir el ciclo. Esta descompresin supone una depresin, que retrocede hasta la vlvula para volver a transformarse en compresin, repitiendo el ciclo y originando en el conducto unas variaciones ondulatorias de presin que constituyen el golpe de ariete. En definitiva, se producen transformaciones sucesivas de energa cintica en energa de compresin y viceversa, comportndose el agua como un resorte.

Descripcin del fenmeno en impulsionesEn una impulsin, la parada brusca de motores produce el mismo fenmeno, pero al contrario, es decir, se inicia una depresin aguas arriba de la

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bomba, que se traslada hacia el final para transformarse en compresin que retrocede a la bomba. En efecto, cuando se produce la parada del grupo de bombeo, el fluido, inicialmente circulando con velocidad v, continuar en movimiento a lo largo de la tubera hasta que la depresin a la salida del grupo ocasionada por la ausencia de lquido (el que avanza no es repuesto, no es empujado), provoque su parada. En estas condiciones, viaja una onda depresiva hacia el depsito, que adems va deteniendo el fluido, de tal manera que al cabo de un cierto tiempo toda la tubera est bajo los efectos de una depresin y con el lquido en reposo. Ha concluido la primera etapa del golpe de ariete. Como la presin en el depsito es siempre superior a la de la tubera, que se encuentra bajo los efectos de la depresin, se inicia un retroceso del fluido hacia la vlvula de retencin con velocidad -v. Con el agua a velocidad de rgimen, pero en sentido contrario, nuevamente se tiene la presin de partida en la tubera, de manera que al cabo de un cierto tiempo toda ella estar sometida a la presin inicial y con el fluido circulando a velocidad v. El inicio de la tercera fase es una consecuencia del choque del lquido contra la vlvula de retencin. El resultado es un brusco aumento de presin y una detencin progresiva del fluido, de modo que al cabo de un cierto tiempo todo el lquido de la tubera est en reposo y la conduccin sometida a una sobrepresin de la misma magnitud que la depresin inicial. Esta tercera fase del golpe de ariete en una impulsin es semejante a la primera fase en el caso de abastecimientos por gravedad. En la cuarta fase comienza la descompresin, inicindose de nuevo el movimiento, por lo que al cabo de un tiempo la situacin es idntica a la que tenamos al principio. Comienza un nuevo ciclo.

Tanto en abastecimientos por gravedad como en impulsiones, la L duracin de cada una de estas fases es , siendo L la longitud de la tubera y a a la celeridad.

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2. Valor de la celeridad.La celeridad (a) es la velocidad de propagacin de la onda de presin a travs del agua contenida en la tubera, por lo que su ecuacin de dimensiones es L T 1 . Su valor se determina a partir de la ecuacin de continuidad y depende fundamentalmente de las caractersticas geomtricas y mecnicas de la conduccin, as como de la compresibilidad del agua. Una expresin prctica propuesta por Allievi, que permite una evaluacin rpida del valor de la celeridad cuando el fluido circulante es agua, es la siguiente: a= 9900 48.3 + K Siendo: K: Coeficiente funcin del mdulo de elasticidad () del material constitutivo de la tubera, que representa principalmente el efecto de la inercia del grupo motobomba, cuyo valor es: K= 1010 D e

D: Dimetro interior de la tubera e: Espesor de la tubera Valores de K para hallar la celeridad Material de la tubera Palastros de hierro y acero Fundicin Hormign (sin armar) Fibrocemento PVC PE baja densidad PE alta densidad (kg/m2) 210 1010 2109 1.85109 3108 2107 910710

K 0.5 1 5 5.5 (5-6) 33.3 (20-50) 500 111.11

Tambin se puede hallar el valor de la celeridad consultando las tablas siguientes. 4



Celeridades para tuberas de fibrocemento (mm) 50 60 70 80 100 125 150 175 200 250 300 350 400 450 500 600 700 800 1000 TIPO A 3 atm de trabajo e (mm) 8 8 9 10 11 11 12 14 16 18 20 22 24 26 30 a (m/s) 921 870 846 824 824 763 728 728 728 728 728 711 696 680 666 TIPO B 5 atm de trabajo e (mm) 8 8 8 8 9 9 10 11 12 15 17 19 21 23 25 30 35 40 50 a (m/s) 1118 1044 1010 979 949 895 870 870 846 846 824 824 803 803 803 803 803 803 803 TIPO C TIPO D 10 atm de trabajo 15 atm de trabajo e (mm) 8 8 8 9 10 11 14 16 18 19 23 27 30 34 38 45 a (m/s) 1118 1044 1010 1010 979 949 979 949 949 921 921 921 921 921 921 921 e (mm) 8 8 8 9 11 13 15 18 20 25 30 35 40 45 50 60 a (m/s) 1118 1044 1010 1010 1010 1010 979 979 979 979 979 979 979 979 979 979 -

: dimetro nominal (interior); e: espesor de la tubera; a: celeridad

Celeridades para tuberas de plsticoTubera PE baja densidad PE alta densidad PVC Presin nominal (kg/cm2) 4 118 240 6 147 234 295 10 196 305 380 16 475

En el caso de que la conduccin est constituida por tramos de tubos de diferentes caractersticas (dimetro, espesor, timbraje, material, etc.), la celeridad media se calcular como la media ponderada de la celeridad de cada tramo. Si L1, L2, L3, ..., son las longitudes de los tramos de distintas caractersticas y a1, a2, a3, ..., las celeridades respectivas, el tiempo total L/a que tarda la onda en recorrer la tubera ser la suma de los tiempos parciales: L L1 L 2 L 3 = + + + ... a a1 a2 a3 Luego a = L L ai i 5



3. Tiempo de cierre de la vlvula y tiempo de parada de bombas. Cierre lento y cierre rpido.Se define el tiempo (T) como el intervalo entre el inicio y el trmino de la maniobra, sea cierre o apertura, total o parcial, ya que durante este tiempo se produce la modificacin del rgimen de movimiento del fluido. Este concepto es aplicable tanto a conducciones por gravedad como a impulsiones, conocindose en el primer caso como tiempo de cierre de la vlvula y como tiempo de parada en el segundo. El tiempo de cierre de una vlvula puede medirse con un cronmetro, es un tiempo fsico y real, fcilmente modificable, por ejemplo, con desmultiplicadores, cambiando la velocidad de giro en vlvulas motorizadas, etc. Por el contrario, en el caso de las bombas, el tiempo de parada no puede medirse de forma directa y es ms difcil de controlar. En resumen, en las conducciones por gravedad, el cierre de la vlvula se puede efectuar a diferente ritmo, y por tanto, el tiempo T es una variable sobre la que se puede actuar, pero en las impulsiones el tiempo de parada viene impuesto y no es posible actuar sobre l, salvo adicionando un volante al grupo motobomba o un sistema similar. Mendiluce propone la siguiente expresin para el clculo del tiempo de parada: T =C+ Siendo: L: v: g: K L v g Hm

Longitud de la conduccin (m) Velocidad de rgimen del agua (m/s) Aceleracin de la gravedad, 9.81 m/s2 P + hT

Hm: Altura manomtrica proporcionada por el grupo de bombeo H m = H g + h T = z +

C y K: Coeficientes de ajuste empricos 6



La altura geomtrica o presin esttica (Hg) se mide siempre inmediatamente aguas arriba de la bomba, por lo que la profundidad del agua en el pozo debe tenerse en cuenta en el caso de bombas sumergidas. El coeficiente C (ver figura) es funcin de la pendiente hidrulica (m), H siendo m = m . Toma el valor C=1 para pendientes hidrulicas crecientes de L hasta el 20%, y se reduce progresivamente a partir de este valor hasta hacerse cero para pendientes del 40%. Pendientes superiores al 50% implican paradas muy rpidas, aconsejndose considerar el golpe de ariete mximo de Allievi en toda la longitud de la tubera. Hm < 0.20 C = 1 L Hm 0.40 C = 0 L Hm 0.30 C = 0.60 L

m (%)

Valores del coeficiente C segn Mendiluce El coeficiente K depende de la longitud de la tubera y puede obtenerse a partir de la grfica o de la tabla siguientes, propuestas por Mendiluce. Este autor recomienda la utilizacin de los valores de K redondeados recogidos en la tabla, ya que ha comprobado que las pequeas diferencias respecto a la grfica tienen una repercusin despreciable en el golpe de ariete y siempre del lado de la seguridad, y es de ms sencillo manejo. Valores del coeficiente K segn MendiluceK

L L : Cierre lento a

El caso ms desfavorable para la conduccin (mximo golpe de ariete) es el cierre instantneo (T0). En la prctica esto slo ocurre en impulsiones de gran pendiente hidrulica, no siendo lo habitual. Como a mayor tiempo T menor sobrepresin, si podemos controlar T limitaremos en gran medida los problemas en tuberas, siendo ste el caso de los abastecimientos por gravedad.

4. Clculo de la sobrepresin producida por el golpe de ariete. Frmulas de Michaud y Allievi.Una vez conocido el valor del tiempo T y determinado el caso en el que nos encontramos (cierre lento o cierre rpido), el clculo del golpe de ariete se realizar de la forma siguiente: a) Cierre lento. A finales del siglo XIX, Michaud propuso la primera frmula para valorar el golpe de ariete: 8



H = Siendo: H: L: v: T: g:

2 L v g T

Sobrepresin debida al golpe de ariete (mca) Longitud de la tubera (m) Velocidad de rgimen del agua (m/s) Tiempo de parada o de cierre, segn el caso (s) Aceleracin de la gravedad, 9.81 m/s2

Para deducir esta ecuacin, Michaud no tuvo en cuenta ni la compresibilidad del agua ni la elasticidad de la tubera.

L.G.A.

HLp

hT

Lce

P/ Hm z Hg

L . a b) Cierre rpido. Como ya comentamos anteriormente, al cerrar la vlvula C, el agua se detiene y comienza a comprimirse en sus proximidades.

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A v B C F=S P L

Si S es la seccin transversal de la tubera y P es la presin ejercida por la rodaja de agua considerada, la fuerza que soporta dicha seccin ser: F = S P El impulso (I) de dicha fuerza durante el tiempo T que tarda en pararse el fluido contenido en el segmento BC de tubera, de longitud L, ser: I = F T = S P L a

siendo a la celeridad de la onda de presin. Como el impulso ha de ser igual a la variacin de la cantidad de movimiento (Q): I = Q = m v A su vez, la masa (m) de la porcin de lquido considerado es: m = V = S L Luego: S P L = S L v a

P = v a Considerando el caso ms peligroso para la tubera, es decir, el cierre total de la vlvula:

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v = v P = v a P = a v y como = g = g P , se obtiene:

Llamando H al valor de la sobrepresin, es decir, H = P = av g

P a v = g H = av g

expresin que dedujo Allievi en 1904, con la que se calcula el valor mximo del golpe de ariete que puede producirse en una conduccin. Puede observarse cmo el valor de la sobrepresin es independiente de la longitud de la tubera. Representando grficamente las ecuaciones de Allievi y de Michaud, se observa que, si la conduccin es lo suficientemente larga, las dos rectas se cortan en un punto, denominado punto crtico. La longitud del tramo de tubera regido por la ecuacin de Michaud se conoce como longitud crtica (Lc), y su valor se obtiene, lgicamente, igualando las frmulas de Michaud y Allievi. 2 Lc v a v = g T g a T Lc = 2 Excepto en el caso de ser la pendiente hidrulica mayor del 50%, en que se recomienda considerar la sobrepresin de Allievi en toda la conduccin, el valor as calculado lo soportar el tramo de tubera de longitud Lm, siendo Lm=L-Lc.

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L.G.A. (Allievi)

Punto crtico

HLp

(Michaud)

hT

Lce

P/ Hm Hg zLm Lc

L>Lc

Basndonos en el concepto de longitud crtica, se tiene que:

Si LLc, entonces la impulsin (conduccin) es larga y el cierrerpido, siendo el valor del golpe de ariete el dado por Allievi desde la vlvula hasta el punto crtico y por Michaud en el resto. Impulsin corta Impulsin larga T> 2 L a 2 L T< a Cierre lento Cierre rpido Michaud Allievi H = 2 L v g T av g

LLc

H =

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5. Mtodo prctico para el clculo del golpe de ariete.Necesitamos calcular previamente la velocidad del agua y, en impulsiones, la altura manomtrica del grupo de bombeo. Se obtiene el tiempo de parada con la ecuacin de Mendiluce. En el caso de abastecimientos por gravedad, el tiempo de cierre de la vlvula ser conocido. T =C+ K L v g Hm

Se calcula la celeridad a con la frmula de Allievi o se consultan las tablas para calcular la sobrepresin mediante la frmula adecuada. a= 9900 48.3 + K D e

Se calcula la longitud crtica Lc, que es la distancia que separa el final de la impulsin del punto crtico o de coincidencia de las frmulas de Michaud y Allievi. En la Lc rige la frmula de Michaud. a T 2 Se comparan las longitudes L y Lc. Lc = LLc Impulsin corta Impulsin larga T> 2 L a 2 L T< a Cierre lento Cierre rpido Michaud Allievi H = 2 L v g T av g

H =

El tipo de cie

Apuntes de Hidráulica Teórica

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