Apuntes de Huesca de Mecanica Del Medio Continuo

Apuntes de elementos demecánica del medio continuo

Marco Antonio Reyes HuescaDepartamento de Termo�uidos,

División de Ingeniería Mecánica e Industrial,Facultad de Ingeniería,

Universidad Nacional Autónoma de México

Sem 2009-IIActualización: 4 de marzo de 2008

Índice general

1. Introducción y fundamentos generales 11.1. Concepto de medio continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1. Medio continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.2. Número de Knudsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2. Conceptos básicos de análisis vectorial y tensorial 52.1. Notación indicial, convención de la suma y matrices . . . . . . . 5

2.1.1. Espacio vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.1.2. Espacio Euclideano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2. Coordenadas curvilíneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2.1. Ejemplos de sistemas de coordenadas curvilíneos . . . . . 102.2.2. Vectores base de un sistema de coordenadas curvilíneo en

E3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2.3. Métrica fundamental de un espacio euclideano . . . . . . 11

2.3. El concepto de tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3.1. Tensores de segundo orden absolutos . . . . . . . . . . . . 17

2.4. Cálculo tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.4.1. Derivadas parciales de los vectores base:

Los símbolos de Christo¤el . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.4.2. Derivada parcial covariante de un campo tensorial . . . . 232.4.3. El operador gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.4.4. El operador divergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.4.5. El operador rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.4.6. El operador laplaciano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.4.7. El operador v �r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.4.8. Identidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3. Deformación y rapidez de deformación 373.1. Deformación de un medio continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.1.1. Descripción Lagrangiana y Euleriana . . . . . . . . . . . . 373.1.2. Deformación de un cuerpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.1.3. Tensores de deformación y de . . . . . . . . . . . . . . . . 403.1.4. Medidas de strain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.2. Vector de desplazamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

iii

iv ÍNDICE GENERAL

3.3. Relaciones de los gradientes de deformación-tensión . . . . . . . . 433.3.1. Tensor de rotación in�nitesimal . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.4. Derivada material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.4.1. Descripción material o lagrangiana . . . . . . . . . . . . . 45

3.5. Rapidez de cambio de deformación, rapidez de cambio de tensióny rotación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.6. Cambios en la longitud, área y volumen durante la deformación . 48

4. Esfuerzo 494.1. Fuerzas de volumen y fuerzas de super�cie. Vector esfuerzo . . . 494.2. Principio de los esfuerzos de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . 514.3. El tensor de esfuerzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.4. Esfuerzos principales y esfuerzos cortantes máximos . . . . . . . 53

4.4.1. Invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.4.2. Esfuerzos cortantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.5. Estados de esfuerzos esféricos y deviatorios . . . . . . . . . . . . 57

5. Ecuaciones generales de balance 595.1. Ecuaciones de balance global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.1.1. Teorema del transporte de Reynolds . . . . . . . . . . . . 605.1.2. Ley del balance global de masa . . . . . . . . . . . . . . . 605.1.3. Ley de balance global de momentum lineal . . . . . . . . 605.1.4. Ley de balance global de momento de momentum . . . . . 615.1.5. Ley de balance global de energía . . . . . . . . . . . . . . 615.1.6. Ley de balance global de entropía . . . . . . . . . . . . . . 62

5.2. Ecuaciones locales de balace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625.2.1. Axioma de localidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625.2.2. Ley del balance local de masa . . . . . . . . . . . . . . . . 625.2.3. Ley de local global de momentum lineal . . . . . . . . . . 635.2.4. Ley de balance local de momento de momentum . . . . . 635.2.5. Ley de balance local de energía . . . . . . . . . . . . . . . 635.2.6. Ley de balance local de entropía . . . . . . . . . . . . . . 64

5.3. Ecuaciones constitutivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645.3.1. Entropía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645.3.2. Función de densidad de energía interna . . . . . . . . . . 655.3.3. La desigualdad de Clausius-Duhem . . . . . . . . . . . . . 665.3.4. Axiomas constitutivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

6. Fluidos 716.1. Ecuaciones constitutivas para �uidos . . . . . . . . . . . . . . . . 71

6.1.1. Fluidos Stokesianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 716.1.2. Fluidos Stokesianos lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

6.2. Ecuaciones básicas en teoría de �ujo viscoso . . . . . . . . . . . . 756.2.1. Las ecuaciones de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . 76

6.3. Ecuaciones de campo en forma de �ujo (�ux) . . . . . . . . . . . 776.4. Disipación viscosa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

ÍNDICE GENERAL v

6.5. Condiciones de frontera y condiciones iniciales . . . . . . . . . . . 786.6. Propiedades generales de la ecuación de Navier-Stokes . . . . . . 78

6.6.1. Eliminación del término de fuerzas de cuerpo . . . . . . . 786.6.2. La ecuación de la vorticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 796.6.3. Función de corriente en �ujos planos . . . . . . . . . . . . 806.6.4. Ecuación de Navier-Stokes en términos de la función de

corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 826.6.5. Función de corriente en �ujos axisimétricos generales . . . 83

6.7. Principio de similitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 836.8. Ecuaciones de Navier-Stokes en coordenadas cartesianas, polares

cilíndricas y esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 866.8.1. Coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 906.8.2. Coordenadas esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

7. Sólidos 1057.1. Ecuaciones constitutivas para sólidos . . . . . . . . . . . . . . . . 1057.2. Deformaciones planas en elastoestática . . . . . . . . . . . . . . . 1077.3. Esfuerzos planos en elastoestática . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1087.4. Función de esfuerzos de Airy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

A. Operadores diferenciales 113

B. Identidades 115

C. Coordenadas Polares Cilíndricas 117C.1. Transformación de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117C.2. Jacobiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118C.3. Vectores base natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118C.4. Tensor métrico fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118C.5. Vectores base recíprocos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118C.6. Tensor métrico recíproco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119C.7. Vectores unitarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119C.8. Componentes físicos de un vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119C.9. Símbolos de Christo¤el . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119C.10.Derivadas covariantes de componentes

vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120C.11.Operadores diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

C.11.1.Gradiente de una función escalar . . . . . . . . . . . . . . 120C.11.2.Divergencia de un campo vectorial . . . . . . . . . . . . . 121C.11.3.Rotacional de un campo vectorial . . . . . . . . . . . . . . 121C.11.4.Laplaciano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

D. Coordenadas Esféricas 123D.1. Transformación de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123D.2. Jacobiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124D.3. Vectores base natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

vi ÍNDICE GENERAL

D.4. Tensor métrico fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124D.5. Vectores base recíprocos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125D.6. Tensor métrico recíproco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125D.7. Vectores unitarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125D.8. Componentes físicos de un vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125D.9. Símbolos de Christo¤el . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126D.10.Derivadas covariantes de componentes

vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126D.11.Operadores diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

D.11.1.Gradiente de una función escalar . . . . . . . . . . . . . . 127D.11.2.Divergencia de un campo vectorial . . . . . . . . . . . . . 127D.11.3.Rotacional de un campo vectorial . . . . . . . . . . . . . . 127D.11.4.Laplaciano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

E. Ecuaciones cúbicas 129

Capítulo 1

Introducción y fundamentosgenerales

1.1. Concepto de medio continuo

La mecánica del medio continuo es una rama de la mecánica que estudiala cinemática y el comportamiento mecánico de materiales modelados como uncontinuo. La mecánica del medio continuo propone un modelo uni�cado parasólidos y �uidos.El concepto de medio continuo asume que la sustancia del cuerpo está dis-

tribuida a lo largo �y que llena completamente�el espacio que ocupa.La mecánica del medio continuo es el estudio matemático del comportamien-

to de los materiales así como de los principios gobernantes. Los constituyentesprincipales del material son tratados como continuos en vez de la naturaleza delos elementos que constituyen un material.El término medio continuo se usa tanto para designar un modelo matemático,

como cualquier porción de material cuyo comportamiento se puede describiradecuadamente por ese modelo.Existen dos grandes grupos de medios continuos:

1. Mecánica de sólidos deformables

a) Elasticidad

b) Plasticidad

2. Mecánica de �uidos

a) Fluidos compresibles

b) Fluidos incompresibles

1

2 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN Y FUNDAMENTOS GENERALES

Las teorías que estudian el efecto de la naturaleza microscópica de la materiason la mecánica estadística, mecánica cuántica y la dinámica de estructurascristalinas (lattices).Las teorías que se encuentran en el intermedio son la mecánica del continuo

generalizado, teorías polares o teorías de medios orientados, las teorías del mi-crocontinuo o del continuo local. Estas teorías se han aplicado a problemas defractura, de dislocaciones, dispersión de ondas, materiales compuestos, cristaleslíquidos, teoría de capa de frontera, ondas de choque, fenómenos super�cialescomo tensión super�cial y turbulencia.

1.1.1. Medio continuo

Se entiende por Medio Continuo al conjunto de partículas que forman partede un cuerpo, ya sea sólido o �uido, que se estudia desde un punto de vistamacroscópico, es decir, sin considerar la naturaleza de la estructura del cuerpoa nivel microscópico (nivel atómico o molecular). En consecuencia, se modelael cuerpo sin discontinuidades entre las partículas, por lo tanto la descripciónmatemática de este medio y de sus propiedades se puede realizar mediantefunciones continuas. Es una teoría de campo.Aunque la mecánica de medios continuos es un modelo que permite inves-

tigar las propiedades de sólidos deformables y �uidos con gran precisión, hayque recordar que a escalas muy pequeñas la materia está hecha de átomos. Yesa naturaleza atómica de la materia da lugar a cierto tipo de microestructuraheterogénea que viola alguno de los principios de la mecánica de medios con-tinuos. Sin embargo, pese a esta di�cultad, la mecánica de medios continuoses una aproximación válida en la mayoría de situaciones macroscópicas en lasque la microestructura asociada a la naturaleza atómica de la materia puede serignorada (en los �uidos, el número de Knudsen se usa para determinar hastaqué punto la hipótesis de continuidad del medio es adecuada).En el modelo planteado por la mecánica de medios continuos, las magni-

tudes físicas como la energía o la cantidad de movimiento pueden ser manejadasen el límite in�nitesimal. Por esa razón, las relaciones básicas en mecánica demedios continuos toman la forma de ecuaciones diferenciales. Los tipos básicosde ecuaciones usadas en mecánica de medios continuos son:

1. Ecuaciones constitutivas (o teoría constitutiva) que caracterizan las propiedadesdel material que trata de modelarse como medio continuo.

a) Coe�cientes materiales

2. Leyes de conservación que son leyes física fundamentales como:

a) Conservación de masa

b) Conservación de energía.

c) Conservación de cantidad de movimiento lineal y angular

d) Principio de entropía

1.1. CONCEPTO DE MEDIO CONTINUO 3

3. Termodinámica.

La característica esencial de la mecánica del medio continuo es la derivaciónde las ecuaciones constitutivas a partir de las leyes de la termodinámica en vezde los métodos tradicionales de la mecánica de �uidos y de la elasticidad.Puesto que las propiedades de los sólidos y �uidos no dependen del sistema

de coordenadas elegido para su estudio, las ecuaciones de la mecánica de medioscontinuos tienen forma tensorial. Es decir, las magnitudes básicas que aparecenen la mecánica de medios continuos son tensores lo cual permite escribir lasecuaciones en una forma básica que no varia de un sistema de coordenadas aotro.

Diferencia entre sólidos, �uidos y gases.Fuerzas moleculares, empaquetamiento que contribuye a una forma de�nida.Estado desordenadoResistencia al corte.Grado de compresibilidad

Mecánica de medios continuos. Estudio uni�cado de los cuerpos deformables.

� Mecánica de sólidos deformables. La mecánica de sólidos deformableses la rama de la física que trata de medios continuos que tienenuna forma de�nida no determinada enteramente por el recipiente oconjunto de constricciones sobre la super�cie del sólido.

� Elasticidad que describe los materiales que recuperan su formasi se retiran las fuerzas causantes de la deformación.

� Plasticidad que describe los materiales que sufren deformacionespermanentes y no recuperables después de la aplicación de fuerzassu�cientemente grandes.

� Mecánica de �uidos que trata de la física de �uidos. Una propiedadimportante de los �uidos es su viscosidad, que es una fuerza internagenerada por un �uido que se opone al movimiento del mismo.

� Reología Materiales con viscoelasticidad (combinación de propiedadeselásticas y viscosas)

Partícula o punto material (o partícula continua) es una agregado de ungran número de átomos o moléculas, pero aún lo bastante pequeño como paraser considerado como una partícula, y sus propiedades son medidas como unpromedio de sus componentes.

4 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN Y FUNDAMENTOS GENERALES

1.1.2. Número de Knudsen

El número de Knudsen (Kn) es un número adimensional de�nido como elcociente entre la longitud del camino molecular libre promedio, �, y una escalade longitud física representativa, L, que puede ser el tamaño del cuerpo o eltamaño del recipiente que lo contiene.Se de�ne como:

Kn =�

L: (1.1)

Para un gas ideal, el número de Knudsen está dado por

Kn =kB Tp2� �2 P L

: (1.2)

donde kB = 1;3806568 � 10�23 JK�1 es la constante de Boltzmann, T es latemperatura (K), P es la presión absoluta o total ( Pa) y � es el diámetro de lapartícula (m) :El número de Knudsen determina cuando la formulación de la dinámica de

�uidos se debe de hacer en términos de la mecánica estadística o en términosde la mecánica del medio continuo.

Capítulo 2

Conceptos básicos deanálisis vectorial y tensorial

2.1. Notación indicial, convención de la suma ymatrices

2.1.1. Espacio vectorial

Un espacio vectorial es un conjunto de elementos llamados vectores para loscuales dos operaciones matemáticas son introducidas por de�nición:

1. la suma de vectores y

2. el producto de vectores por un escalar.

Los elementos que resultan de estas operaciones están gobernados por ciertasreglas precisas.

2.1.2. Espacio Euclideano.

De�nition 1 Un espacio euclidiano es de�nido como un espacio n-vectorial,denotado por En, en el cual:

El producto interno entre dos vectores está de�nido.

La métrica, es decir, el cuadrado del elemento de línea del espacio, obtenidopor el uso de la operación de producto interno entre vectores, es una formacuadrática positivamente de�nida (es decir, la métrica siempre es real ypositiva, y es cero solamente cuando el elemento de línea es cero).

Es posible expresar la métrica como la suma de n cuadrados con coe�-cientes constantes realizando una transformación de coordenadas apropi-ada.

5

6CAPÍTULO 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE ANÁLISIS VECTORIAL Y TENSORIAL

Notación directa (vectorial).

Forma invariante, independiente del sistema de coordenadas.

Notación indicial

Subíndices y superíndices asociados a una letra núcleo (kernel). Usada en laderivación detallada de los componentes en un sistema de coordenadas dado.Forma covariante: vkForma contravariante: vk

Las formas covariantes y contravariantes aparecen en sistemas de coorde-nadas curvilíneos. En el caso de sistemas cartesianos, no existe diferencia entrelas dos formas.

Convención de la suma

Introducida por Albert Einstein en 1916.Si un índice aparece solamente una vez como un subíndice asociado a una

letra núcleo en un término dado, y aparece de nuevo solamente una vez más,como el superíndice asociado a la misma letra núcleo o a una diferente en elmismo término, entonces se tiene una suma o sumatoria implícita sobre eseíndice a lo largo de todo el intervalo de valores disponibles. El índice repetidoes llamado índice de suma (summation index) o índice mudo (dummy index)Ejemplos:1.

3Xk=1

akbk = akbk = a1b1 + a2b2 + a

3b3 (2.1)

a1b1 + a2b2 + a

3b3 = akbk; para k = 1; 2; 3 (2.2)

2. Caso contrario

3Xk=1

akbkck = a1b1c1 + a2b2c2 + a

3b3c3 (2.3)

3. Sistema de ecuaciones simultáneas

aijxj = bi; para i = 1 : m; j = 1 : n (2.4)

bi j xj = ci; para i = 1 : m; j = 1 : n (2.5)

En este ejemplo, el índice que no entra en la suma se llama índice libre.En notación directa, los sistemas anteriores se expresan como

Ax = b (2.6)

Bx = c (2.7)

2.1. NOTACIÓN INDICIAL, CONVENCIÓN DE LA SUMA Y MATRICES7

por lo que el primer índice representa el renglón y el segundo la columna

En generalai j 6= aj

i : (2.8)

4. Doble sumaf = aij�

i�j = aji�j�i: (2.9)

5. Producto de matricesAB = C (2.10)

(aik)�bk j�= (cij) para i = 1 : m; j = 1 : n; k = 1 : p: (2.11)

Delta de Kronecker

De�nition 2 Las cantidades �ij, �ij, �i j, �j i con las propiedades

�ij ; �ij ; �i j ; �j

i =

�1 i = j0 i 6= j

(2.12)

son de�nidas como deltas de Kronecker.

Ejemplos de uso

aj �i j = ai (2.13)

T ikl �m l �nk = T inm: (2.14)�

�i j�= 1 = I (2.15)

Caso especial. Cancelación de la suma. Se indica con un guión bajo en elíndice repetido

�i i = 1 (2.16)

�i i = n: (2.17)

Transpuesta

De�nida sobre matrices cuadradasLa transpuesta de los elementos individuales de una matriz está dada por

aTij = aji (2.18)

bijT= bji (2.19)

ci jT= cj

i 6= cj i (2.20)

�ci j�T 6= � ci j T� = �cj i� (2.21)


Matrices simétricas y antisimétricas

Cada una de las matrices siguientes de n�n, (aij),�bij�y�ci j�se dice que

son simétricas si(aij) = (aij)

T; (2.22)�

bij�=�bij�T; (2.23)�

ci j�=�ci j�T: (2.24)

De forma similar, las matrices siguientes de n � n, (dkl),�ekl�y�fk l�se dice

que son antisimétricas si(dkl) = � (dkl)T ; (2.25)�ekl�= �

�ekl�T; (2.26)�

fk l�= �

�fk l�T: (2.27)

En el caso de estas matrices,los elementos de la diagonal son nulos.Las matrices que no son simétricas ni antisimétricas se llaman asimétricas.Cualquier matriz cuadrada se puede representar por una matriz simétrica y

otra antisimétricaA =

1

2

�A+AT

�+1

2

�A�AT

�(2.28)

Notation 3 Para las derivadas parciales se utiliza

vk;l=@vk

@xl; vk;l=

@vk@xl

: (2.29)

2.2. Coordenadas curvilíneas

Un aspecto importante de los problemas en mecánica del medio continuoes la geometría de los objetos materiales involucrados así como la geometríade la región sobre la cual se extiende su respuesta a los estímulos externos ycondiciones ambientales.Una solución matemática satisfactoria depende en gran medida de la co-

rrecta selección del sistema de coordenadas mejor apropiado a la geometría delproblema.Sea E3 un espacio euclideano representado por un sistema cartesiano zk, y

cada punto está de�nido por la intersección de tres planos mutuamente perpen-diculares no coincidentes. Alternativamente, se puede pensar que cada punto eslocalizado por la intersección de tres super�cies curvilíneas únicas y no coinci-dentes (es decir, no degeneradas) en vez de los tres planos. Estas tres super�ciespueden ser especi�cadas por sus respectivas ecuaciones referidas al sistema decoordenadas rectangular.El sistema de coordenadas rectangulares zk depende de un conjunto de tres

variables xk, en E3 de la forma

zk = f k�x1; x2; x3

�= zk

�x1; x2; x3

�para k = 1 : 3 (2.30)

2.2. COORDENADAS CURVILÍNEAS 9

donde las funciones f k 2 Cr, con r � 1 y están de�nidas en alguna región deE3. El sistema de ecuaciones 2.30 se dice que de�ne una transformación decoordenadas. Las funciones de�nidas por este sistema deben ser uno a uno obiyectivas.

Theorem 4 Teorema de la función implícita. Sea

�xk = �xk�x1; x2; x3

�para k = 1 : 3 (2.31)

un conjunto de funciones de clase Cr, con r � 1, de�nidas a lo largo de lavecindad N =

��xk � xk0�� < � (� 2 < y � > 0), centrado en algún punto xk0 ,en el espacio de las variables xk, y � es un número real, positivo y arbitrario.Entonces, el conjunto de funciones �xk en 2.31 poseerá una inversa única dadapor el conjunto de funciones

xk = xk��x1; �x2; �x3

�para k = 1 : 3 (2.32)

en una vecindad correspondiente M =��xk � �xk0�� < " (" > 0), centrado en el

punto �xk0 en el espacio de las variables �xk, si y solo si el jacobiano de 2.31,

de�nido por

J = det

�@�xk

@xl

�= det

0B@ @�x1

@xl@�x1

@x2@�x1

@x3@�x2

@x1@�x2

@x2@�x2

@x3@�x3

@x1@�x3

@x2@�x3

@x3

1CA ; (2.33)

también denotado por

J =@��x1; �x2; �x3

�@ (x1; x2; x3)

(2.34)

no se anula en ninguna parte en el conjunto abierto N .

Entonces, de acuerdo al teorema de la función implícita, las transformaciones

�xk = �xk�x1; x2; x3

�(2.35)

xk = xk��x1; �x2; �x3

�(2.36)

son mutuamente inversas en todos los puntos de sus dominios de de�nición si ysolo si el jacobiano J no se anula en todos esos puntos.Regresando a la transformación de coordenadas 2.30, se tiene que por medio

del teorema de la función implícita

zk = zk�x1; x2; x3

�(2.37)

xk = xk�z1; z2; z3

�(2.38)

son las inversas mutuas únicas de cada uno de ellas en cada punto de sus do-minios de de�nición si y sólo si el jacobiano

J =@�z1; z2; z3

�@ (x1; x2; x3)

= det

�@zk

@xl

�6= 0: (2.39)


Si ahora le asignamos algún valor real arbitrario �k a xk, entonces se tiene

xk�z1; z2; z3

�= �k; (2.40)

que representa un conjunto de tres super�cies curvilíneas, en general.La condición J 6= 0 garantiza que las super�cies curvilíneas no son degener-

adas (no coincidentes). Las tres super�cies xk = constante son de�nidas comosuper�cies coordenadas curvilíneas. Los valores �k se de�nen como coordenadascurvilíneas del punto p.Cuando se toman dos super�cies coordenadas a la vez, la intersección de ellas

forma una curva que se denomina curva coordenada. Entonces existen tres cur-vas, la curva x1 a lo largo de la cual sólo x1 varía, mientras x2 y x3 permanecenconstantes, y así con las demás.

Sistema local de coordenadas.

Cuando el signo del jacobiano es positivo indica que se trata de sistemas degiro derecho, y cuando el signo es negativo quiere decir que los sistemas sonde giro contrario. Cuando J > 0 se dice que son positivamente orientados, ycuando J < 0, son negativamente orientados.

2.2.1. Ejemplos de sistemas de coordenadas curvilíneos

Coordenadas polares cilíndricas

Coordenadas esféricas

2.2.2. Vectores base de un sistema de coordenadas curvilí-neo en E3

Sean x1, x2 y x3 las coordenadas curvilíneas de un punto p en un espacioeuclideano tridimensional E3, cuyas coordenadas cartesianas son z1, z2 y z3.Sean i1, i2 y i3 un conjunto de vectores base ortonormales del sistema cartesianozk. El vector de posición del punto p es denotado por p referido al sistema decoordenadas cartesiano. Entonces podemos expresar

p = p (z) = im zm; (2.41)

donde z es la notación directa para el punto�z1; z2; z3

�:

Puesto que se tiene un mapeo uno a uno,

zk = zk�x1; x2; x3

�; xk = xk

�z1; z2; z3

�; J = det

�@zk

@xl

�> 0: (2.42)

El vector de posición p no solo es una función de z sino que también es unafunción de x a través de las relaciones 2.42. Entonces

p (z) = p (x) � p (x) : (2.43)


Los vectores base del sistema cartesiano se obtienen de las derivadas parcialesdel vector de posición p (z). Entonces, para la base ortonormal im

im = im (z) =@p (z)

@zm: (2.44)

De forma similar

gk (x) =@p (x)

@xk: (2.45)

Para entender el signi�cado geométrico de los vectores gk, consideremos eldiferencial dp del vector p, dado en términos de las coordenadas curvilíneas por

dp =@p

@xkdxk = gkdx

k: (2.46)

La ecuación anterior puede ser interpretada como la resolución del vector dpen sus componentes vectoriales a lo largo de las curvas coordenadas xk en elpunto p. Puesto que las curvas coordenadas intersectan en el punto p y noson coincidentes o paralelas entre ellas, no degeneran en una línea sola o en unpunto. Sus vectores tangentes en p, por lo tanto, forman un conjunto de tresvectores linealmente independientes, llamados g1, g2 y g3. Esta propiedad delas curvas coordenadas es garantizadas por la no nulidad del jacobiano de lastransformación de coordenadas.Del álgebra lineal, estos tres vectores linealmente independientes constituyen

una base vectorial en E3.Tomando la diferencial de 2.41 con respecto a xk, se obtiene

@p (x)

@xk= gk (x) = im (z)

@zm

@xk; (2.47)

que expresa a gk en términos de im: Las derivadas parciales @zm=@xk repre-sentan los componentes cartesianos de gk con respecto a la base ortonormal im.Alternativamente

im (z) = gk (x)@xk

@zm: (2.48)

2.2.3. Métrica fundamental de un espacio euclideano

Consideremos una curva C en el espacio E3 dada por la ecuación paramétrica

C : p (t) = p; t 2 [a; b] ; (2.49)

a; b 2 <; b > a (2.50)

donde t es un parámetro en el intervalo cerrado. Sean P y Q dos puntos con-secutivos sobre la curva C con vectores de posición p y p+dp, respectivamente.Entonces

��!PQ = dp, y sea ds la longitud de arco de PQ a lo largo de C. Cuando

el punto P se acerca al punto Q a lo largo de la curva C, la diferencia entre la


longitud de dp y la longitud de arco ds se acerca a cero en el límite. Por lotanto, el elemento de línea ds puede ser tomado como igual a la longitud delvector in�nitesimal dp, y es dada por

ds2 = dp � dp = gk � gl dxk dxl (2.51)

ygkl (x) = gk � gl = glk (x) : (2.52)

La expresión para el cuadrado del elemento de línea se conoce como la métricadel espacio.Las funciones gkl (x) se dice que son los coe�cientes métricos fundamentales

del espacio. (gkl (x)) forma el tensor métrico fundamental.

Coordenadas curvilíneas ortogonales

De�nition 5 Un sistema coordenado en E3 se dice que es un sistema ortogonalsi

gkl = gk � gl = 0; para k 6= l (2.53)

gkk 6= 0; para k = 1: n: (2.54)

Método de expansión de un determinante de Laplace

Un determinante puede ser expresado en la forma

det (aij) = a11

�� a22 a23a32 a33

�� a12 �� a21 a23a31 a33

��+ a13 �� a21 a22a31 a32

��= a11 �A11 + a12 �A12 + a13 �A13; (2.55)

donde Aij es el cofactor del elemento aij ; de�nido por

Aij = (�1)i+j Determinante obtenido de borrar elrenglón i y la columna j.

(2.56)

Entonces se puede extender el cálculo del determinante a los demás renglonescomo

det (aij) = a1mA1m = a2mA

2m = a3mA3m; (2.57)

det (aij) = akmAkm: (2.58)

Además se tiene lo siguiente

akmAlm = 0; para k 6= l; (2.59)

akmAlm = �l k det (aij) : (2.60)

Tomando la transpuesta de Alm

Alm = AmlT; (2.61)


se llega a la representación en forma de multiplicación de matrices

akm AmlT= �l k det (aij) : (2.62)

Y para los componentes contravariantes se tiene

akl AlmT = �k m det

�aij�: (2.63)

Aplicando el método de Laplace para calcular el determinante del tensormétrico fundamental det (gkl) ; se tiene

gkm GmlT= �l k det (gij) (2.64)

Reescribiendo la ecuación anterior como

gkl glm = �l k ; (2.65)

donde

glm =Gml

T

g; (2.66)

g = det (gij) 6= 0: (2.67)

Y de la simetría de los índices para gkl,

glm = gml: (2.68)

El conjunto de funciones�gkl (x)

se de�ne como el recíproco del conjunto

fgkl (x)g y�gkl (x)

�se le llama tensor métrico recíproco o tensor métrico con-

jugado, el cual es el inverso del tensor métrico fundamental.

Conjunto de vectores recíprocos

De�nition 6 Un conjunto de vectores gk, k = 1: 3 en E3, se dice que es elrecíproco del conjunto gk, k = 1: 3, si

gk � gl = gl � gk = �k l ; para k;m = 1: 3: (2.69)

Theorem 7 El conjunto de vectores gk (x), recíprocos del conjunto gk (x) enE3, es la solución de 2.69 dada por

gk = gklgl: (2.70)

Se tienen los siguientes resultados

gk � gm = gklgl � gm = gkl �m l = gkm; (2.71)

gk � gl = gkl = glk; (2.72)

gkl glm = �mk ; (2.73)

gk � gl = �k l ; (2.74)

gk = gklgl; (2.75)

gk = gklgl; (2.76)

gk � gk = 1; (2.77)

gk � gl = gkl = glk: (2.78)


Para sistemas ortogonales se tiene que gkl = 0 para k 6= l; y haciendo m = ken la ecuación gkl glm = �mk y suspendiendo la suma con respecto a k, se tieneque

gkl glk = �k k = 1; (2.79)

y los únicos términos que no son nulos ocurren cuando k = l; por lo que

gkk

=1

gkk; para k = 1:3: (2.80)

Extendiendo el resultado

gkl = 0; para k 6= l (2.81)

Signi�cado físico del conjunto de vectores recíprocos

De la ecuación gkl glm = �mk ; se deduce que cada vector del conjunto

recíproco�gi (x)

es ortogonal a dos vectores del conjunto fgk (x)g mientras

que su proyección con el tercero es unitaria.

g1 = �g2 � g3; (2.82)

g2 = � g3 � g1; (2.83)

g3 = g1 � g2: (2.84)

El volumen del paralelepípedo formado por el conjunto de vectores base es

g1 � (g2 � g3) = g2 � (g3 � g1) = g3 � (g1 � g2) =pg: (2.85)

Y como

g1 � g1 = 1 = � (g2 � g3) � g1 = �pg; (2.86)

) � =1pg; (2.87)

y de igual forma para � = 1=pg y = 1=

pg, por lo que

g1 =g2 � g3p

g; (2.88)

g2 =g3 � g1p

g; (2.89)

g3 =g1 � g2p

g: (2.90)

Y además

g1 ��g2 � g3

�= g2 �

�g3 � g1

�= g3 �

�g1 � g2

�=

1pg: (2.91)


Al conjunto gk usualmente se le llama vectores base naturales, para distin-guirlos de los vectores base recíprocos gk:En un sistema ortogonal se tiene que

gk = gkkgk; (2.92)

gk = gkkgk: (2.93)

Magnitud de los vectores base

De�nition 8 La magnitud de un vector v se denota por kvk y es de�nida como

kvk =pv � v: (2.94)

Las magnitudes de los vectores base están dadas por

kgkk =pgk � gk =

pgkk; (2.95) gk =

pgk � gk =

pgkk: (2.96)

Vectores base unitarios de un sistema de coordenadas curvilíneos

Los vectores base unitarios de un sistema de coordenadas curvilíneo y de susrespectivos vectores base unitarios recíprocos, están dados por

ek =gkpgkk

; (2.97)

ek =gkpgkk

: (2.98)

Si el sistema es ortogonal se tiene que

ek =pgkkgk; (2.99)

ek =pgkkg

k: (2.100)

Vectores referidos a un sistema de coordenadas curvilíneo

Un vector en E3 se puede representar como

v = ikv�k = gkv

k = gkvk; para k = 1: 3 (2.101)

en donde v�k se re�ere a los componentes cartesianos de v. Los componentes de vreferidos a la base natural gk son denotados por vk y son llamados componentescontravariantes de v, mientras que los componentes de v referidos a la baserecíproca gk son llamados componentes covariantes de v.Los componentes covariantes y contravariantes de un vector se pueden obte-

ner tomando el producto interno del vector con el vector base apropiado. En-tonces, para la parte covariante

v � gl = vkgk � gl = vk �

kl = vl; (2.102)


y para la contravariante

v � gl = vkgk � gl = vk �l k = vl: (2.103)

Theorem 9 (El teorema de recuperación) Un campo vectorial v (x) puedeser recuperado del producto interno de las expresiones v � gl y v � gl por mediode las siguientes operaciones

gl (v � gl) = v = gl�v � gl

�: (2.104)

Elevado y bajado de índices en vectores Aquí se muestran las relacionesque existen entre los componentes covariantes y contravariantes de un vector,por medio de los coe�cientes métricos fundamentales.

Theorem 10 Los componentes covariantes y contravariantes de un vector vestán relacionadas por

vl = vkgkl; (2.105)

vl = vkgkl: (2.106)

Operaciones

Suma de vectores

u+ v = (uk + vk)gk =

�uk + vk

�gk: (2.107)

Multiplicación por un escalar

�u = �ukgk = �ukgk: (2.108)

Producto interno, punto o escalar

u � v = ukgk � vlgl = (uk vl) gkl = uk v

k (2.109)

u � v = ukgk � vlgl =�uk vl

�gkl = uk vk = uk v

k: (2.110)

Producto cruz o vectorial

u� v =

��i1 i2 i3u1 u2 u3v1 v2 v3

��= (u2 v3 � u3 v2) i1 + (u3 v1 � u1 v3) i2 + (u1 v2 � u2 v1) i3:(2.111)

2.3. EL CONCEPTO DE TENSOR 17

2.3. El concepto de tensor

La invarianza de �objetos� matemáticos tales como puntos, curvas y su-per�cies es una aspecto ampliamente estudiado en geometría. En un cambiodel marco de referencia o una transformación de coordenadas, sólo cambian lascoordenadas de un punto en el espacio, pero el cambio no le hace nada al puntoen sí. Similarmente, las ecuaciones de una curva o una super�cie pueden cam-biar bajo una transformación de coordenadas, pero la curva o la super�cie en símisma es un concepto geométricamente invariante.En 1901, la teoría de los tensores fue desarrollada por G. Ricci y T. Levi-

Civita con el objetivo de mantener la invarianza de los objetos geométricos bajoun grupo de transformaciones de coordenadas. La invarianza matemática delos tensores se utiliza para propósitos de mantener la invarianza de los prin-cipios físicos, ya que la descripción de los fenómenos naturales la formulaciónde los principios físicos gobernantes deben ser independientes del sistema decoordenados utilizado.Los tensores:

1. Preservan la invarianza de las formulaciones matemáticas de las leyes físi-cas bajo cambios del marco de referencia.

2. Resaltan las características comunes de varios fenómenos físicos aparente-mente diferentes en una amplia variedad de medios.

3. Permiten la posibilidad de desarrollar expresiones analíticas para canti-dades físicas tales como los esfuerzos, deformación, y el �ujo de energía -momentum electromagnético para los cuales los vectores son inapropiados.

4. Condensan expresiones matemáticas complicadas en formas fácilmenteidenti�cables y elegantes en el análisis de fenómenos físicos.

Ejemplos familiares de tensores

El tensor de esfuerzo

Los tensores de deformación y rotación

El tensor de rapidez de deformación y el tensor de vorticidad

2.3.1. Tensores de segundo orden absolutos

Los tensores son de dos tipos: absolutos o relativos.

De�nition 11 (1) Un tensor de segundo orden absoluto T es de�nido comouna transformación lineal u operador lineal tal que si u es un elemento arbitrario


de un espacio vectorial V , el papel del operador T es mapear u a otro vector vque también pertenece a V: Este mapeo es expresado como

T : u! v; u;v 2 V; (2.112)

o equivalentemente

T [u] = T � u = v; u;v 2 V; (2.113)

donde el punto entre T y u denota el producto interno. Además, se introducendos operaciones, la multiplicación por un escalar y la suma de vectores,

T [�u] = �T [u] ; (2.114)

T [�u+ �v] = T [�u] +T [�v] = �T [u] + �T [v] : (2.115)

El principio de superposición que presentan los tensores es llamada la propiedadde linealidad u homogeneidad de T.Se tienen las siguientes reglas

(T+ S) [v] = T [v] + S [v] ; (2.116)

0 [v] = 0 operador nulo, (2.117)

I [v] = v; I = Operador identidad, (2.118)

TS [v] = T (S [v]) ; Ley asociativa, (2.119)

TS (R) = T (SR) ; Ley asociativa para multiplicación, (2.120)

T (S+R) = TS+TR; Ley distributiva, (2.121)

(S+R)T = ST+RT; Ley distributiva, (2.122)

� (TS) = (�T)S = T (�S) ;Ley asociativa para multiplicaciónpor un escalar,

(2.123)

IT = TI = T; (2.124)

TS 6= ST; en general. (2.125)

T = T klgkgl = T k l gkgl = Tk

l gkgl = Tklgkgl (2.126)

Operaciones algebraícas con tensores

Suma de tensores La suma de tensores sólo está de�nida para tensores conel mismo orden y el mismo tipo (mismos índices covariantes y contravariantes).

Multiplicación de tensores


Producto tensorial de vectores

De�nition 12 Si a y b son un par de vectores no nulos, su producto tensorial(también llamado producto libre o producto externo) es denotado por

a b = ab (2.127)

y es de�nido como el operador lineal que tiene la propiedad

(a b) [v] = ab [v] = ab � v = a (b � v) (2.128)

v � (a b) [v] = v � ab = (v � a)b: (2.129)

Generalizando para tres vectores se tiene

a b c = abc; (2.130)

donde

abc [v] = abc � v (2.131)

v � abc = (v � a)bc: (2.132)

El producto tensorial de dos vectores en un tensor de segundo orden

ab = T; (2.133)

y es un producto no conmutativo

ab 6= ba (2.134)

Al producto tensorial de vectores también se le conoce como producto diádico osimplemente diada.

Producto tensorial de tensores El producto tensorial o externo de ten-sores de orden superior se de�ne como

(T S) [v] = TS [v] = TS � v = T (S � v) (2.135)

v � (T S) [v] = v �TS = (v �T)S: (2.136)

El orden resultante del tensor obtenido del producto tensorial de dos tensores esigual a la suma de los ordenes de los tensores que forman el producto tensorial.Por ejemplo, el producto externo de un tensor de segundo orden T con un

tensor de tercer orden R da como resultado un tensor de quinto orden

TR = T ijgigjRklmgkglgm = T ijRklmgigjgkglgm (2.137)


Producto interno de dos tensores

T � S = TS = T ijgigj � Sklmgkglgm = T ijSklmgi (gj � gk)glgm= T ijSklmgjkgiglgm = T ij Sj

lm giglgm

= T i k Sklmgiglgm: (2.138)

El producto interno también es conocido como producto externo contraído yel orden resultante es igual al total del orden reducido por dos.El producto interno de dos tensores no es conmutativo

T � S 6= S �T: (2.139)

Transpuesta de tensores

a �T � b = b �TT � a: (2.140)

Magnitud de un tensor de segundo orden

kTk =rTr�TTT

�(2.141)

TrT = T i i (2.142)

Los tensores de permutación y de Levi-Civita

En un espacio Euclideano tridimensional, E3, los símbolos de permutaciónde orden tres, denotados por eijk o eijk, para k = 1: 3 son de�nidos por

eijk; eijk = +1;�1; 0 (2.143)

de acuerdo al número de permutaciones requeridos para reestablecer el orden delos índices i, j, k, al orden natural 1; 2; 3, es par o non o se repite algún índice.

El tensor de Levi-Civita, "ijk y "ijk es

"ijk (x) =pg (x)eijk; (2.144)

"ijk (x) =1pg (x)

eijk: (2.145)

Producto vectorial en E3

c = a� b = "ijkajbkgi = cigi

= "ijkajbkgi (2.146)

c = a� b = ajgj � bkgk

= ajbkgj � gk (2.147)


gj � gk = "ijkgi (2.148)

gj � gk = "ijkgi (2.149)

gj � gm = gj � gkgkm = "ijkgkmgi = "ij m gi (2.150)

Por ejemplo, el producto vectorial de un tensor de segundo orden T con untensor de tercer orden R

T�R = T ijgigj �Rklmgkglgm = T ijRklmgi (gj � gk)glgm= "njkT

ijRklmgignglgm = T ij Rj

lm giglgm (2.151)

Componentes físicos de vectores y tensores

Los tensores son empleados en la formulación de las leyes físicas para preser-var la invarianza de éstas bajo transformaciones del observador. Las formula-ciones tensoriales generalmente están expresadas en términos de componentestensoriales referidos a un sistema coordenado curvilíneo general. Pero los com-ponentes de un tensor en sistemas curvilíneos no tienen la mismas dimensioneso unidades físicas del tensor mismo.

dim (gk) = dim�ekpgkk�= dim

�pgkk�

(2.152)

De�nition 13 Los componentes físicos de un vector (tensor) con respecto auna determinado sistema de coordenadas curvilíneo local están de�nidos comolos componentes del vector (tensor) relativos a los vectores unitarios localmentetangentes a las curvas coordenadas. En E3, sea

ek =gkpgkk

(2.153)

para k = 1: 3, el vector unitario a lo largo de las xk�curvas coordenadas.

Los componentes del vector v con respecto a ek, k = 1: 3, como vectoresbase son los componentes físicos de v en el sistema de coordenadas curvilíneo.Entonces se tiene

v = v(k)ek = vkgk = vkekpgkk: (2.154)

Por lo que

v(k) = vkpgkk; (2.155)

vk =v(k)pgkk

: (2.156)


De la misma forma, para la base recíproca

ek =gkpgkk

; (2.157)

v(k) = vkpgkk; (2.158)

vk =v(k)pgkk

: (2.159)

Los componentes de un tensor de segundo orden

T = T klgkgl = T = T klekelpgkkpgll = T (k)(l)ekel; (2.160)

entonces

T (k)(l) = T klpgkkpgll; (2.161)

T kl =T (k)(l)pgkkpgll: (2.162)

Cuando se tiene un tensor de segundo orden en términos de sus componentesfísicos, se pude representar como una matriz.

2.4. Cálculo tensorial

2.4.1. Derivadas parciales de los vectores base:Los símbolos de Christo¤el

Sean zk un sistema coordenado cartesiano y xk un sistema coordenadocurvilíneo en E3, con la propiedad de que sean mutuamente inversos el unodel otro, de tal forma que para k; l = 1 : 3,

zk = zk�x1; x2; x3

�; xk = xk

�z1; z2; z3

�; det

�@zk

@xl

�> 0: (2.163)

Entonces sus respectivos vectores base están relacionados uno al otro por

gk (x) = in@zn

@xk; in = gk (x)

@xk

@zn: (2.164)

Tomando la derivada parcial de gk (x) con respecto a la coordenada espacialxl, se obtiene

@gk@xl

=@

@xl

�in@zn

@xk

�= in

@2zn

@xl @xk: (2.165)

Sustituyendo in@gk@xl

=@xm

@zn@2zn

@xl @xkgm; (2.166)

2.4. CÁLCULO TENSORIAL 23

@gk@xl

=

�m

k l

�gm; (2.167)

donde �m

k l

�=@xm

@zn@2zn

@xl @xk; para k; l;m = 1: 3 (2.168)

son de�nidos como los símbolos de Christo¤el de segundo grado relativos alsistema coordenado curvilíneo xk.Los símbolos de Christo¤el son simétricos con respecto a k y l,�

m

k l

�=

�m

l k

�; (2.169)

por lo que para E3 se tienen 18 combinaciones de los índices diferentes.Para la derivada parcial de los vectores base recíprocos, se tiene

@gk

@xl= �

�k

lm

�gm: (2.170)

Los símbolos de Christo¤el esencialmente representan las derivadas parcialesde los vectores base de un sistema coordenado curvilíneo con respecto a las vari-ables coordenadas.

2.4.2. Derivada parcial covariante de un campo tensorial

Sea u (x) una función vectorial de x continuamente diferenciable de�nida enalgún dominio, su derivada parcial es

@u

@xk=

@

@xk(umgm) =

@um

@xkgm + u

m @gm@xk

=@um

@xkgm + u

m

�n

mk

�gn =

@un

@xkgn + u

m

�n

mk

�gn

=

�@un

@xk+ um

�n

mk

��gn: (2.171)

La expresión dentro de los brackets es denotada por

un ;k = un ;k + um

�n

mk

�; (2.172)

y es de�nida como la derivada parcial covariante del vector contravariante un

con respecto a la coordenada espacial xk.La derivada parcial covariante de un vector covariante es

@u

@xk=

@

@xk(umg

m) =@um@xk

gm + um@gm

@xk

=@um@xk

gm � um�m

k n

�gn =

@un@xk

gn � um�m

k n

�gn

=

�@un

@xk� um

�m

k n

��gn: (2.173)


La expresión dentro de los brackets es denotada por

un;k = un;k � um�m

k n

�; (2.174)

y es de�nida como la derivada parcial covariante del vector contravariante uncon respecto a la coordenada espacial xk. Entonces, tenemos que

@u

@xk= un ;k gn = un;kg

n: (2.175)

De�nition 14 Seanuk;m = uk ;l g

lm; (2.176)

uk;m = uk;l g

lm; (2.177)

donde uk;m es de�nida como la derivada parcial contravariante del vector co-variante uk con respecto a la coordenada espacial xm y uk;m es de�nida comola derivada parcial contravariante del vector contravariante uk con respecto a lacoordenada espacial xm:

Derivada parcial covariante de un campo tensorial

Sea T (x) un campo tensorial de segundo orden

T = T ijgigj ; (2.178)

entonces

@T

@xk=

@T ij

@xkgigj + T

ij @gi@xk

gj + Tijgi

@gj@xk

= T ij ;k gigj + Tij

�m

ik

�gmgj + T

ij

�m

j k

�gigm

= T ij ;k gigj + Tmj

�i

mk

�gigj + T

im

�j

mk

�gigj

=

�T ij ;k + T

mj

�i

mk

�+ T im

�j

mk

��gigj

= T ij ;k gigj ; (2.179)

donde

T ij ;k = T ij ;k + Tmj

�i

mk

�+ T im

�j

mk

�: (2.180)

De forma similar,

T i j;k = T i j;k + Tm j

�i

k m

�� T i m

�m

j k

�: (2.181)

Tij;k = Tij;k � Tmj�m

ik

�� Tim

�m

j k

�: (2.182)


Derivadas covariantes del tensor métrico fundamental

Theorem 15 Teorema de Ricci. Las derivadas covariantes del tensor métricofundamental y del tensor métrico fundamental recíproco son cero

gkl;m = 0 = gkl ;m (2.183)�k

k l

�=

@

@xl(ln (

pg)) ; (2.184)

donde g = det (gkl) :

Derivadas covariantes del tensor de Levi�Civita

Las derivadas covariantes del tensor de Levi�Civita son cero

"klm;n = 0 = "klm ;n (2.185)

2.4.3. El operador gradiente

En coordenadas cartesianas, el operador gradiente está expresado como

r = im@

@zm; (2.186)

utilizando la regla de la cadena,

r = im@

@zm= im

@xk

@zm@

@xk= gk

@

@xk; (2.187)

entonces

r = gk@

@xk: (2.188)

Gradiente de una función escalar

Sea � (x) una función de un campo escalar diferenciable continuamentede�nido sobre un dominio en E3. Entonces

r� = gk @�@xk

= gk �;k: (2.189)

r� da la suma vectorial de la rapidez de cambio espacial de � relativa a lasdirecciones de los vectores base recíprocos gk de un sistema de coordenadascurvilíneo xk: La magnitud de r� da la máxima rapidez de cambio espacial dela función � y su máximo cambio ocurre en la dirección normal a la super�cie� = constante.Se puede expresar

r� = gk �;k = gkl �;kgl =Xl

gklpgll�;kel (2.190)


Gradiente de una función vectorial

Sea u (x) un campo vectorial diferenciable continuamente en E3. Entonces

ru (x) = gk @u@xk

= um;kgkgm = (ru)km g

kgm: (2.191)

La transpuesta es

(ru)T = (ru)mk gkgm = uk;mg

kgm: (2.192)

Gradiente de un tensor de segundo orden

Sea T (x) un campo tensorial de segundo orden diferenciable continuamenteen E3. Entonces

rT (x) = gk @T@xk

= T ij ;k gkgigj (2.193)

por lo que(rT)k

ij= T ij ;k : (2.194)

2.4.4. El operador divergencia


Tr (ru) =r � u = gk � @u@xk

: (2.195)

De�nition 16 La divergencia de un campo vectorial u (x) diferenciable con-tinuamente en E3 es de�nida como

r � u = Tr (ru) : (2.196)

r � u = gk � @u@xk

= gk � um;kgm = um;kgkm = um;

m = uk ;k : (2.197)

r � u = uk ;k =@uk

@xk+ um

�k

mk

�=

@uk

@xk+ um

@

@xk(ln (

pg)) =

1pg

@

@xk�pguk�: (2.198)

En términos de los componentes físicos de u, se tiene

r � u = uk ;k =3X

k=1

1pg

@

@xk

pgu(k)pgkk

!: (2.199)


Divergencia de un tensor de segundo orden


r �T (x) = Tr (rT) (2.200)

por lo que

r �T = gk � @T@xk

= gk � T lm ;k glgm = T lm ;k �kl gm = T km ;k gm: (2.201)

Teorema de la Divergencia de Green-Gauss

El Teorema de la Divergencia de Green-Gauss gobierna la divergencia de uncampo vectorial en un punto dado dentro de una región cerrada ocupada porun cuerpo.Sea V el volumen de un cuerpo, con sus elementos de volumen dv y S denota

la super�cie de frontera con elementos da: La región ocupada por el cuerpoes una región simplemente conectada, esto es, una región tal que cada curvacerrada que se encuentre completamente dentro de la región pueda ser encogidacontinuamente a un punto sin que ninguna parte de la curva pase por afuera dela región. La super�cie de frontera del cuerpo, S, es una super�cie orientada,esto es, que la super�cie para la cual los lados positivos y negativos pueden serespeci�cados en cada uno de sus puntos por las direcciones de un vector unitariocontinuamente variante en esos puntos. Por ejemplo, para especi�car el ladopositivo de una super�cie, uno puede escoger el vector unitario normal exteriorn que apunta hacia afuera del cuerpo, y el lado opuesto será la parte negativade la super�cie.Sea f (x) un campo vectorial continuamente diferenciable en todo el interior

del volumen V así como sobre la super�cie S: También

da = n da (2.202)

donde da es el vector elemento de área con su vector unitario normal n y dadenota la magnitud de da. El teorema de la divergencia de Green-Gauss estableceque para el campo vectorial f de�nido sobre el volumen V es:Z

V

r � f dv =IS

n � f da; (2.203)

donde la integral de super�cie sobre la super�cie cerrada S se denomina como el�ujo (por unidad de tiempo por unidad de área de la super�cie) total del campof a través de S. El teorema de la divergencia proporciona una relación entre unaintegral de volumen y una integral de super�cie.En notación por componentes,Z

V

f k ;k dv =

IS

f knk da: (2.204)


La generalización del teorema de la divergencia para campos vectoriales y ten-soriales Z

V

t k ;k dv =

IS

t knk da; (2.205)

ZV

r �T dv =

IS

n �T da: (2.206)

Signi�cado físico de la divergencia de un campo vectorial

El valor de r � f , donde f está de�nido como se señala en el teorema dela divergencia de Green-Gauss, en cualquier punto P dentro del cuerpo, puedeser obtenida rodeando el punto P con un elemento de volumen arbitrario �v,teniendo a S como su super�cie de frontera. Aplicando el teorema de la diver-gencia en ese elemento de volumen in�nitesimal, , el teorema toma la forma

r � f = 1

�v

IS

n � f da (2.207)

que da el �ujo total del campo f por unidad de volumen. Entonces r � f en elpunto P puede ser obtenido de la ecuación anterior haciendo que �v tienda acero (asumiendo que el límite existe). Entonces

(r � f)jP = l��m�v!0

0@ 1

�v

IS

n � f da

1A : (2.208)

Esto es, la r � f en P es el �ujo de f a través de la super�cie de frontera de unelemento de volumen arbitrario.En particular, si f = v, la velocidad en un punto de un �uido contenido en

una región de un volumen V delimitado por una super�cie cerrada S, se obtiene

(r � v)jP = l��m�v!0

0@ 1

�v

IS

n � v da

1A : (2.209)

Esto es, la divergencia de la velocidad en cualquier punto en la región del �uidoes el �ujo del campo de velocidad a través de la super�cie delimitante de unelemento de volumen in�nitesimal arbitrario que está dentro del volumen y queencierra a ese punto, calculado por la unidad de volumen de ese elemento. Poresta razón, r � v es referido como la rapidez de dilatación del �uido.El teorema de la divergencia es una declaración matemática del hecho físico

de que, en la ausencia de creación o destrucción de materia, la densidad dentrode una región del espacio puede cambiar solo teniendo �ujo hacia adentro oafuera de la región a través de su frontera.


2.4.5. El operador rotacional

De�nition 17 Para un campo vectorial u (x) diferenciable continuamente, de�nidoen E3 el operador rotacional o simplemente rotacional se denota por

r� u = curlu: (2.210)

El rotacional de un campo vectorial es

r� u = gk � @u

@xk= gk � ui;kgi

= ui;kgk � gi = "mkiui;kgm; (2.211)

en donde utilizamos las expresiones desarrolladas previamente

gl � gm = "klmgk; (2.212)

ygl � gm = "klmg

k: (2.213)

El rotacional también lo podemos escribir de la siguiente forma

r� u = "lmkum;lgk = "klmum;lgk; (2.214)

en donde sólo se tienen permutaciones pares en el tensor de Levi�Civita.En forma de determinante

r� u = "kijuj;igk =1pgekij uj;i gk

=1pggk��ek12 u2;1 + e

k21 u1;2�+�ek23 u3;2 + e

k32 u2:3�

+�ek31 u1;3 + e

k13 u3;1��

=1pg[g1 (u3;2 � u2:3) + g2 (u1;3 � u3;1)

+ g3 (u2;1 � u1;2)] : (2.215)

Y como

ui;j � uj;i =�ui;j � um

�m

i j

��uj;i � um

�m

ji

��= ui;j � uj;i (2.216)

entonces podemos reescribir el rotacional como un determinate

r� u = 1pg

��g1 g2 g3@@x1

@@x2

@@x3

v1 v2 v3

�� (2.217)


que queda en términos de los componentes covariantes vi. Para los componentescontravariantes se tiene

r� u = 1pg

��g1 g2 g3@@x1

@@x2

@@x3

vkgk1 vkgk2 vkgk3

�� : (2.218)

Y en términos de los componentes físicos se tiene

r� u = 1pg

��e1pg11 e2

pg22 e3

pg33

@@x1

@@x2

@@x3P

k

gk1pgkk

v(k)Pk

gk2pgkk

v(k)Pk

gk3pgkk

v(k)

�� : (2.219)

En el caso de sistemas ortogonales

r� u = 1pg

��e1pg11 e2

pg22 e3

pg33

@@x1

@@x2

@@x3p

g11v(1) p

g22v(2) p

g33v(3)

�� : (2.220)

Rotacional de un tensor de segundo orden


r�T = gk � @T

@xk= Tlm;kg

k � glgm

= "kl nTlm;kgngm: (2.221)

Teorema de Stokes

El teorema de Stokes proporciona una relación entre una integral de su-per�cie y una integral de línea. Consideremos un campo vectorial f (x) con-tinuamente diferenciable de�nido sobre una super�cie abierta S, en E3, cuyoelemento de área es dado por da = n da. Sea P cualquier punto sobre el área day n es el vector unitario normal exterior a da en P . Sea C una curva cerradaque forma una frontera sobre la super�cie S:El vector unitario normal, en cualquier punto de la super�cie S, es tomado de

tal forma que apunta hacia afuera de la super�cie y forma un sistema de manoderecha con respecto al sentido de la descripción de la curva cerrada C, la cuales considerada positiva cuando es descrita en sentido contrario a las manecillasdel reloj. En todo caso, la curva cerrada C es referida como una curva orientaday la super�cie S es una super�cie orientada. Además, se asume que S no estáen contacto ni es atravesada por ninguna curva de discontinuidad estacionariao en movimiento. Entonces, se tiene que el teorema de Stokes establece queZ

S

n � r � f dp =IC

f � dp (2.222)


donde dp representa el vector tangente in�nitesimal en un punto P de la curvacerrada C. En notación por componentes, se tiene la formaZ

S

"klm fm;l nk da =

IC

fk dxk: (2.223)

Signi�cado físico del rotacional de un campo vectorial

En el teorema de Stokes, el lado derecho es una integral de línea sobre lacurva cerrada C descrita en sentido contrario a las manecillas del reloj. Estaintegral de línea puede ser interpretada como la cantidad neta de efecto derotación del campo f , mientras el vector tangente in�nitesimal dp es movidoa lo largo de la curva cerrada C en la dirección contraria a las manecillas delreloj. Entonces, el lado izquierdo del teorema de Stokes, representa el efectototal de la rotación de f alrededor de la curva C. El valor de n � r � f , quees el componente normal de r � f , en cualquier punto P sobre la super�cie Spuede ser calculado rodeando ese punto con un elemento de área arbitrario dateniendo una frontera cerrada que pertenece completamente a S. Entonces, elteorema de Stokes se hace aplicable a este elemento de área, así que

n � r � f = 1

�a

IC

f � dp; (2.224)

donde C ahora denota la frontera cerrada de da. El valor de n �r� f en el puntoP puede ser obtenido tomando el límite cuando �a se aproxima a cero, es decir

(n � r � f)jP = l��m�a!0

0@ 1

�a

IC

f � dp

1A : (2.225)

Entonces, n � r � f en P representa el giro o el efecto rotatorio del campo falrededor del eje n en el punto P , calculado por unidad de área.En particular, si f = v, el efecto rotatorio será máximo si el vector unitario

n está en la misma dirección de r� v. Esto es, el máximo ocurre cuando

n =r� vkr � vk : (2.226)

El vector r� v es llamado el vector de vorticidad y

� =

IC

v � dp (2.227)

es llamada la circulación de v alrededor del circuito cerrado C. El componentenormal n � r � v puede ser interpretado como la circulación de v, por unidadde área de una super�cie perpendicular a n.


En una rotación de cuerpo rígido, la velocidad lineal de una partícula rotandoalrededor de un eje dado con una velocidad angular constante es dada por

r� v = 2; (2.228)

donde v es la velocidad lineal de la partícula.Sea p el vector de posición de una partícula relativa a algún eje de rotación,

entoncesv = � p: (2.229)

r� v = r� (� p) (2.230)

r� (� p) = (r � p)� ( � r)p� (p � r)+ p (r �) (2.231)

y puesto que es un vector constante, la expresión anterior se reduce a

r� (� p) = (r � p)� ( � r)p (2.232)

y

r � p = gk � @p@xk

= gk � gk = �k k = 3 (2.233)

( � r)p = lgl � gk@p

@xk= k �l

k gk = kgk = : (2.234)

Entonces =

1

2r� v: (2.235)

Esto es, el rotacional del vector de velocidad tangencial de una partícula real-izando una rotación de cuerpo rígido alrededor de un eje dado con una velocidadangular constante es igual a dos veces la velocidad angular.

2.4.6. El operador laplaciano

El operador laplaciano es de�nido por

r2 =r �r (2.236)

Desarrollando obtenemos

r2 =r �r = gk � @

@xk

�gl

@

@xl

�= gk �

�@gl

@xk@

@xl+ gl

@2

@xk@xl

�= gk �

��

l

k m

�gm

@

@xl+ gl

@2

@xk@xl

�= gkl

@2

@xk@xl� gkm

�l

k m

�@

@xl(2.237)


Laplaciano de una función escalar

Sea � (x) una función de un campo escalar diferenciable continuamentede�nido sobre un dominio en E3. Entonces

r2� = gkl@2�

@xk@xl� gkm

�l

k m

�@�

@xl

= gkl�;kl � gkm�

l

k m

��;l: (2.238)

Laplaciano de un campo vectorial


r2u (x) = gkl@2u

@xk@xl� gkm

�l

k m

�@u

@xl: (2.239)

Para el caso de tensores de orden mayor o igual que uno, resulta convenienteregresar a la de�nición original del laplaciano r2 =r �r, y desarrollar primeroel gradiente y posteriormente calcularle su divergencia. Entonces, el gradientedel campo vectorial es un tensor de segundo orden que queda como

ru = ui;jgjgi = Tjig

jgi = T; (2.240)

y su divergencia es

r2u = r �ru =r �rT

= gk � @

@xk�Tjig

jgi�

= Tji;kgkjgi = (ui;j);k g

kjgi = ui;jkgkjgi (2.241)

en donde

ui;jk = (ui;j);k = (ui;j);k � un;j�n

i k

�� ui;n

�n

j k

�=

�ui;j � un

�n

i j

��;k

� un;j�n

i k

�� ui;n

�n

j k

�= ui;jk � un;k

�n

i j

�� un

�n

i j

�;k

� un;j�n

i k

�� ui;n

�n

j k

�(2.242)

2.4.7. El operador v �rEl operador v �r

v �r = vmgm � gk@

@xk= vk

@

@xk: (2.243)

Para un campo escalar continuamente diferenciable � (x) ; se tiene

(v �r)� = v �r� = vk@�

@xk: (2.244)


Para un campo vectorial continuamente diferenciable v (x) ; se tiene

(v �r)v = v �rv = vk@v

@xk= vkvm;kg

m: (2.245)

Este operador representa la rapidez de cambio espacial en un campo en cualquierinstante de tiempo como es observado por alguien que se mueve con la velocidadv. Esta rapidez de cambio es llamada como la rapidez de cambio convectiva.

Teorema de Green para el plano

Sea f�z1; z2

�una función vectorial, arbitraria, continuamente diferenciable

de z, de�nida en R una región plana limitada por una curva suave C. Seanf1�z1; z2

�, f2

�z1; z2

�los componentes de f relativos a los ejes z1 y z2, respec-

tivamente, EntoncesZZR

�@f2@z1

� @f1@x2

�dz1 dz2 =

IC

�f1 dz

1 + f2 dz2�

(2.246)

en donde C es la frontera cerrada orientada encerrando a R.

2.4.8. Identidades

r � (�v) = �r � v + v � r� (2.247)

r � (�rv) = �r2v+r� � rv (2.248)

r � (uv) = (r � u)v + u � rv (2.249)

r � (uT) = (r � u)T+ u � rT (2.250)

r � (u� v) = v � (r� u)� u � (r� v) (2.251)

u� (r� v) = rv � u� u � rv (2.252)

r� (u� v) = ur � v � u � rv � vr � u+ v � ru (2.253)

r (u � v) = ru � v �rv � u= u� (r� v) + v � (r� u) + u � rv + v � ru (2.254)


1

2r (v � v)� v � (r� v) = v � rv (2.255)

r � (r� u) = 0 (2.256)

r�r� = 0 (2.257)

r� (r� v) = r (r � v)�r2v (2.258)

r2 (��) = �r2�+ 2 (r�) � (r�) + �r2� (2.259)

Capítulo 3

Deformación y rapidez dedeformación

Cinemática es el estudio del movimiento de los cuerpos sin �jarse en lanaturaleza de las fuerzas que causan el movimiento.

3.1. Deformación de un medio continuo

En la teoría del continuo, un cuerpo es modelado como compuesto de ungran conjunto de partículas materiales, llamadas puntos materiales, cada unade las cuales tiene una masa asignada. Esa masa es continua de forma que

� (x; t) = l��m�v!0

�m

�v: (3.1)

El estado inicial de un cuerpo X estado deformado x.

3.1.1. Descripción Lagrangiana y Euleriana

La forma en que las partículas materiales de un cuerpo X hacia un estadodeformado x en el tiempo t es especi�cada por medio de una función de mapeocontinuamente diferenciable

xk = xk�XK ; t

�(3.2)

la cual también es llamada movimiento. Como el movimiento es uno a uno,entonces la ecuación anterior tiene una sola inversa

XK = XK�xk; t

�(3.3)

la cual describe el movimiento inverso.

37

38 CAPÍTULO 3. DEFORMACIÓN Y RAPIDEZ DE DEFORMACIÓN

El principio físico que permite la existencia de tal inversa se conoce como elaxioma de la impenetrabilidad de la materia de física. Matemáticamente, estacondición se describe con la no nulidad del jacobiano

j = jJ j =��det� @xk

@XK

�� > 0; j�1 =��J�1�� = ��det�@XK

@xk

�� > 0: (3.4)

Para analizar el movimiento, existen dos métodos equivalentes: el lagrangianoy el euleriano.En el método lagrangiano se estudia el movimiento de las partículas individ-

ualmente de un cuerpo no deformado mientras este se deforma. Esto se realizasiguiendo el movimiento de la partícula X y describiendo todas las propiedadesde los campo físicos relevantes como funciones de X y de t.En el método euleriano se estudian las posiciones espaciales individuales

en el estado deformado del cuerpo, sin importar que partículas alcanzan esasposiciones en el tiempo. Las propiedades de los campo físicos relevantes comofunciones de x y de t.

Xk coordenadas materiales o lagrangianasxk coordenadas espaciales o eulerianas.Un cuerpo se deforma cuando las partículas materiales que constituye el

cuerpo experimentan cambios en sus posiciones relativas como respuesta a cargasaplicadas.La con�guración de un cuerpo es el mapeo tridimensional que describe la

posición relativa de las partículas materiales. La totalidad de estos mapeosconstituye la deformación de un cuerpo. Para propósitos de análisis, se utilizauna con�guración de referencia.

3.1.2. Deformación de un cuerpo

P = �P (Z) = P (X) = P� (x; t) ; (3.5)

p = �p (z) = p (x) = p� (X; t) : (3.6)

Los vectores base son

IM =@P

@ZM; GK =

@P

@XK; (3.7)

im =@p

@zm; gk =

@p

@xk; (3.8)

CK =@p

@XK=

@p

@xkxk ;K = gk x

k;K ; (3.9)

ck =@P

@xk=

@P

@XKXK

;k = GK XK;k ; (3.10)

que caracterizan el proceso de deformación. CK representa el cambio del vectorde posición p en el estado deformado con respecto al cambio en las coordenadas

3.1. DEFORMACIÓN DE UN MEDIO CONTINUO 39

materiales XK y es, por lo tanto, de�nido como vector de deformación en lascoordenadas materiales. ck representa el cambio del vector de posición P enel estado no deformado con respecto al cambio en las coordenadas espacialesxk y es, por lo tanto, de�nido como vector de deformación en las coordenadasespaciales. Las derivadas parciales xk ;K y XK

;k son el gradiente de deformacióny la inversa del gradiente de deformación, respectivamente.Debido a

xk ;K XK;l = �k l ; (3.11)

XK;k x

k;L = �K L : (3.12)

Los sistemas de coordenadas materiales del espacio no deformado, ZK yXK ,poseen una relación de transformación de coordenadas uno a uno

ZM = ZM (X) ; (3.13a)

XK = XK (Z) ; (3.13b)��det�@ZM@XK

�� 6= 0: (3.13c)

Similarmente, los sistemas de coordenadas espaciales del espacio deformado, zk

y xk, también poseen una relación de transformación uno a uno

zm = zm (x) ; (3.14a)

xk = xk (z) ; (3.14b)��det�@zm@xk

�� 6= 0: (3.14c)

De las ecuaciones de movimiento y de movimiento inverso, Ecs. 3.2 y 3.3, y lasrelaciones de transformación material y espacial, Ecs. 3.13 y 3.14, se deduce quese tienen relaciones mutuamente inversas y únicas

zm = zm (Z; t) ; (3.15a)

ZM = ZM (z; t) ; (3.15b)

ya que

J =

��det� @zm

@ZM

�� 6= 0: (3.16)

Las Ecs. 3.15 representan el mapeo de la deformación y su inversa cuando lascoordenadas rectangulares de los puntos P y p son ZK y zk, respectivamente.Además, J y j son los jacobianos de los mapeos de deformación, en los sis-temas de coordenadas rectangular y curvilíneo, respectivamente, usados paralos puntos P y p.En el caso particular de sistemas de coordenadas rectangulares, el gradiente

de la matriz de deformación es denotada usualmente por F. Entonces,

F =

�@zm

@ZM

�= (zm ;M ) (3.17)


y

F�1 =

�@ZM

@zm

�=�ZM ;m

�; (3.18)

condetF 6= 0: (3.19)

3.1.3. Tensores de deformación y de

La deformación que un cuerpo experimenta involucra cambios en las lon-gitudes, ángulos, y consecuentemente en áreas y volúmenes de los elementosmateriales. Consideremos un par de partículas vecinas P y Q en el estado nodeformado, y sea dS la distancia entre ellas. Cuando las partículas son llevadaspor el movimiento, especi�cado por la Ec. 3.2, a sus respectivas posiciones espa-ciales p y q en el estado deformado, cuya distancia está dada por ds. Entonces,si la deformación es tal que ds = dS, o equivalentemente, ds2 = dS2, para todopar de partículas tales como P y Q en el cuerpo, la deformación puede ser almenos un movimiento de cuerpo rígido. En tal caso, la posición relativa de laspartículas es la misma en todo el cuerpo. Si, por otra parte, se tiene al menospara un par de partículas, ds2 6= dS2, entonces ocurre una deformación en elcuerpo. Por lo tanto, ds2 � dS2 puede ser tomada como una deformación delcuerpo.Calculando dS2 utilizando la Ec. 3.10 se tiene que

dS2 = dP � dP = GK dXK �GL dX

L = GKL dXK dXL

= GKL XK;k XL

;l dxk dxl = GK XK

;k �GL XL;l dx

k dxl

= ck � cl dxk dxl = ckl dxk dxl; (3.20)

dondeckl = ck � cl = GKL XK

;k XL;l = clk: (3.21)

De forma similar, para ds2 se tiene

ds2 = dp � dp = gk dxk � gl dxl = gkl dxk dxl

= gkl xk;K xl ;L dX

K dXL = gk xk;K � gl xl ;L dXK dXL

= CK �CL dXK dXL = CKL dXK dXL; (3.22)

dondeCKL = CK �CL = gk xk ;K � gl xl ;L = CLK : (3.23)

Calculando ahora ds2 � dS2, se tiene que

ds2 � dS2 = (CKL �GKL) dXK dXL = (gkl � ckl) dxk dxl; (3.24)

las cuales son las expresiones para la medida de la deformación en las coorde-nadas materiales y espaciales. El tensor CKL es identi�cado como el tensor

3.1. DEFORMACIÓN DE UN MEDIO CONTINUO 41

de deformación en coordenadas materiales y GKL solo tiene un signi�cado ge-ométrico.Más especí�camente, CKL es de�nido como el tensor de deformación de

Green. De forma similar, el tensor ckl es de�nido como el tensor de deformaciónde Cauchy en coordenadas espaciales.Escribiendo ahora

ds2 � dS2 = 2EKL dXK dXL = 2ekl dxk dxl; (3.25)

donde

EKL = ELK =1

2(CKL �GKL) ; (3.26a)

ekl = elk =1

2(gkl � ckl) ; (3.26b)

y son llamados, el tensor de deformación (strain) Lagrangiano y el tensor dedeformación (strain) Euleriano, respectivamente.En notación directa, las Ecs. 3.26 se pueden escribir como

E =1

2(C� I) ; (3.27a)

e =1

2(I� c) ; (3.27b)

I = gklgkgl: (3.27c)

Relaciones entre EKL y ekl se obtienen utilizando 3.25,

EKL dXK dXL = ekl dx

k dxl; (3.28)

y por lo tanto,EKL XK

;k XL;l dx

k dxl = ekl dxk dxl; (3.29)

yekl x

k;K xl ;L dX

K dXL = EKL dXK dXL; (3.30)

por lo queEKL = ekl x

k;K xl ;L ; (3.31)

ekl = EKL XK;k XL

;l : (3.32)

3.1.4. Medidas de strain

Existen varias medidas de la deformación.

1. Medida de Cauchy:Ce =

ds� dSdS

; (3.33)

2. Medida de Swainger:Se =

ds� dSds

; (3.34)


3. Medida de Hencky:He = ln

�ds

dS

�; (3.35)

4. Medida de Green:Ge =

1

2

"�ds

dS

�2� 1#; (3.36)

5. Medida de Almansi:Ae =

1

2

"1�

�ds

dS

�2#: (3.37)

Las primeras dos medidas son lineales y se utilizan en teoría lineal de laelasticidad, la de Hecky es útil en plasticidad, la de Green y de Almansi sonmedidas no lineales y se utilizan en elasticidad no lineal o �nita.

3.2. Vector de desplazamiento

El vector de desplazamiento es de�nido como el vector que va desde la posi-ción inicial de una partícula material de un cuerpo en el estado no deformado,hasta su posición �nal en el estado deformado del mismo cuerpo en un instantede tiempo posterior.Si a describe el vector constante del desplazamiento de los orígenes O a o,

entonces el vector de desplazamiento es

u = p�P+ a: (3.38)

Si P y p están referidos con respecto al mismo origen, entonces a = 0 y entonces,

u = p�P: (3.39)

Los componentes del vector de desplazamiento u con respecto a los sistemascoordenados lagrangiano y euleriano están dados por

u �GK (X) = UK ; (3.40)

u �GK (X) = UK ; (3.41)

y

u � gk (x) = uk; (3.42)

u � gk (x) = uk; (3.43)

de forma queu = UKGK = UKG

K = uk gk = uk gk: (3.44)

El vector de desplazamiento es una función de x y t, y por medio de lasecuaciones de movimiento y de movimiento inverso, también de X y t, por loque

u = u (x; t) = u [x (X; t) ; t] = u (X; t) : (3.45)

Propiedad de dualidad. Función tanto de X y de x es un instante de tiempot, que permite interrelacionar los dos espacios dados por la Ec. 3.44

3.3. RELACIONES DE LOS GRADIENTES DE DEFORMACIÓN-TENSIÓN43

3.3. Relaciones de los gradientes de deformación-tensión

El gradiente de deformación puede ser expresado como

CK =@p

@XK=

@P

@XK+

@u

@XK= GK + UM ;KG

M ; (3.46)

el tensor de deformación de Green CKL es

CKL = CK �CL =�GK + UM ;KG

M��GL + UN ;LG

N�

(3.47)

= GKL + UK;L + UL;K + UM ;K UM ;L ; (3.48)

y el tensor de deformación lagrangiano EKL es

ELK =1

2(CKL �GKL) (3.49)

=1

2

�UK;L + UL;K + UM ;K UM ;L

�: (3.50)

De forma similar, se calcula el tensor de deformación de Cauchy, ckl

ck =@P

@xk=

@p

@xk� @u

@xk= gk � um;k gm: (3.51)

ckl = ck � cl = (gk � um;k gm) � (gl � un;l gn) (3.52)

= gkl � uk;l � ul;k + um;k um ;l ; (3.53)

y el tensor de deformación Euleriano ekl es

ekl =1

2(gkl � ckl) =

1

2(uk;l + ul;k � um;k um ;l) : (3.54)

Como los tensores de tensión EKL y ekl están dados en términos de lostensores del gradiente de deformación y contienen términos cuadráticos, sonapropiados para estudios de elasticidad no lineal.La teoría de elasticidad lineal es un caso especial de la teoría no lineal de la

elasticidad, también conocida como elasticidad �nita, y es obtenida despreciandolos términos no lineales. Esta linealización solo se efectúa cuando los gradientesde desplazamientos son pequeños, aunque el desplazamiento puede ser grande,y es por ello que a esta teoría también se le llama teoría de deformacionesin�nitesimales o teoría de pequeñas deformaciones, así como la correspondienteteoría no lineal es referida como teoría de deformaciones �nitas.De acuerdo con la teoría lineal, los tensores de tensión lagrangiano y euleriano

quedan como

ELK =1

2(UK;L + UL;K) ; (3.55)

y

ekl =1

2(uk;l + ul;k) : (3.56)


Nuevamente, los componentes con mismo índice son llamados deformacionesnormales, mientras que los que tienen diferente índice son deformaciones cor-tantes.

3.3.1. Tensor de rotación in�nitesimal

El tensor de rotación �nita representa una rotación de cuerpo rígido. Eltensor del gradiente de desplazamiento de teoría lineal de la elasticidad se de-scompone en su parte simétrica y su parte antisimétrica

uk;l =1

2(uk;l + ul;k) +

1

2(uk;l � ul;k) (3.57)

= ekl + rkl; (3.58)

donderkl = �rlk =

1

2(uk;l � ul;k) (3.59)

El vectorr =r� u = "klm um;l gk (3.60)

representa la rotación del campo de desplazamiento u alrededor de un eje apropi-ado. El componente rk es

rk = "klm um;l (3.61)

y multiplicando ambos lados por "kpq se tiene

rk"kpq = "klm "kpq um;l (3.62)

y en donde"klm "kpq = �l p �

mq � �m p �

lq ; (3.63)

entonces

rk"kpq =��l p �

mq � �m p �

lq

�um;l (3.64)

= uq;p � up;q (3.65)

= �2rpq = 2rqp (3.66)

Como el vector r representa la rotación local del campo de desplazamiento,y el tensor de rotación es, por lo tanto, un tensor de rotación local.Como se trata del caso de teoría de deformaciones pequeñas, el tensor rkl es

llamado tensor rotación local in�nitesimal, y debido a su relación con el vectoraxial r, el tensor rkl es llamado tensor axial.De forma similar se obtiene para el marco de referencia Lagrangiano.

3.4. Derivada material

Aspecto fundamental de la mecánica del medio continuo es el cálculo de larapidez de cambio temporal de los campos físicos.Descripción material y descripción espacial, métodos equivalentes. Las fun-

ciones involucradas son continuamente diferenciables.

3.4. DERIVADA MATERIAL 45

3.4.1. Descripción material o lagrangiana

Axioma de impenetrabilidad. La materia no puede penetrarse a sí misma.

La diferenciación siguiendo el movimiento de una partícula arbitraria, identi-�cada como X en una con�guración de referencia escogida de un medio continuodeformable, la cual es llevada a su posición espacial x en un tiempo dado t, esde�nida como la diferenciación temporal-material.El operador de rapidez tempo-material es denotado por

d

dt

��X

; (3.67)

que indica que la diferenciación con respecto al tiempo se realiza manteniendoX constante.El operador se puede aplicar tanto a campos tensoriales materiales o espa-

ciales. La velocidad y la aceleración están dadas por

dx (X; t)

dt

��X

=@x (X; t)

@t= v (X; t) ; (3.68)

dv (X; t)

dt

��X

=@v (X; t)

@t= a (X; t) : (3.69)

Utilizando la ecuación de movimiento inverso, se puede expresar la velocidad entérminos de las coordenadas espaciales.La rapidez de cambio temporal material de un campo vectorial material

F (X; t) ; está dado por

dF (X; t)

dt

��X

=@F (X; t)

@t: (3.70)

Por otra parte, la rapidez de cambio temporal material de un campo vectorialespacial f (x; t) ; está dado por

df (x; t)

dt

��X

=

�@

@t+@ xm

@t

@

@ xm

��X

f =

�@

@t+ v �r

��X

f : (3.71)

De forma equivalente,

df (x; t)

dt

��X

=

�@ f

@t+ vm

@ f

@ xm

�=

�@ fk

@t+ vm fk ;m

�gk =

Dfk

Dt

��X

gk;

(3.72)donde vm es el vector de velocidad en coordenadas espaciales y

Dfk

Dt=@ fk

@t+ vm fk ;m (3.73)

y se le llama derivada material de un campo vectorial espacial fk.La derivada material suele encontrarse en forma general como

D

Dt=

@

@t+ v �r (3.74)

Euler (1770), Lagrange (1783) y Stokes (1845).


3.5. Rapidez de cambio de deformación, rapidezde cambio de tensión y rotación

Derivada material del gradiente de deformación

D

Dt

�xk ;K

�= vk ;l x

l;K : (3.75)

D

Dt

�dxk

�= vk ;l dx

l: (3.76)

D

Dt

�XK

;k

�= � XK

;l vl;k : (3.77)

PropiedadesD

Dtgkl (x) =

@

@tgkl (x) + gkl;mv

m = 0: (3.78)

D

DtGKL (X) =

@

@tGKL (X)

��X

= 0: (3.79)

D

Dtg (x) =

D

Dt(det (gkl)) = 0: (3.80)

D

DtG (x) =

D

Dt(det (GKL)) = 0: (3.81)

D

Dt"ijk (x) =

@

@t"ijk (x) + "ijk;mv

m = 0: (3.82)

D

Dt"ijk (x) = 0: (3.83)

D

Dt

�dS2

�=

D

Dt

�GKL dX

K dXL�

=@

@t

�GKL dX

K dXL��X= 0: (3.84)

La rapidez de cambio de deformación es el tensor que se obtiene de la deriva-da material de la medida de deformación.

D

Dt

�ds2�=

D

Dt

�gkl dx

k dxl�

= gklD

Dt

�dxk

�dxl + gkl dx

k D

Dt

�dxl�

= 2gklD

Dt

�dxk

�dxl = 2gkl v

k;m dx

m dxl

= 2 vl;m dxm dxl

= 2 dml dxm dxl (3.85)

3.5. RAPIDEZ DE CAMBIO DE DEFORMACIÓN, RAPIDEZ DE CAMBIO DE TENSIÓN Y ROTACIÓN47

dml =1

2(vl;m + vm;l) = dlm (3.86)

En notación directa

d =1

2

�rv +rvT

�= dT (3.87)

este tensor se llama tensor de rapidez de deformación y representa la derivadamaterial de la medida de deformación.

D

Dt

�ds2 � dS2

�=

D

Dt

�ds2�= 2 dkl dx

k dxl (3.88)

D

Dt

�ds2 � dS2

�=

D

Dt

�2EKL dX

K dXL�= 2 _EKL dX

K dXL

= 2 _EKL XK;k XL

;l dxk dxl (3.89)

dkl = _EKL XK;k XL

;l : (3.90)

_EKL =1

2_CKL = dkl x

k;K xl ;L (3.91)

D

Dt

�ds2 � dS2

�=

D

Dt

�2ekl dx

k dxl�

= 2 _ekl dxk dxl + 2ekl

D

Dt

�dxk

�dxl + 2ekl dx

k D

Dt

�dxl�

= 2 _ekl dxk dxl + 2ekl v

k;m dx

m dxl + 2ekl dxk vl ;m dx

m

= 2 ( _ekl + eml vm;k + ekm vm ;l) dx

k dxl (3.92)

Por lo que

dkl = _ekl + eml vm;k + ekm vm ;l : (3.93)

Tensor de vorticidad

vk;l =1

2(vk;l + vl;k) +

1

2(vk;l � vl;k)

= dkl + wkl (3.94)

y

wkl =1

2(vk;l � vl;k) = �wlk (3.95)


3.6. Cambios en la longitud, área y volumen du-rante la deformación

Los cambios de longitud de los elementos materiales son expresados como

dxk = xk ;K dXK ; (3.96)

dXK = XK;k dx

k: (3.97)

D

Dt(dv) = (r � v) dv (3.98)

D

Dt(dak) = vm ;m dak � vm ;k dam (3.99)

Capítulo 4

Esfuerzo

El esfuerzo es una medida de la intensidad de una fuerza, ya sea dentro o enla frontera de un cuerpo sujeto a cargas.

4.1. Fuerzas de volumen y fuerzas de super�cie.Vector esfuerzo

Un sistema de fuerzas aplicados a un cuerpo es equivalente a una fuerza y unmomento. Esta fuerza y momento resultante se llaman fuerzas o cargas (loads)actuando sobre un cuerpo.Las cargas aplicadas a un cuerpo pueden ser mecánicas, térmicas, electro-

magnéticas, químicas o de alguna otra naturaleza y pueden estar acopladas,como por ejemplo, termomecánicamente, electroquímicamente, electromecáni-ca, etc.Las fuerzas están divididas en tres categorías:

1. Fuerzas o cargas de cuerpo, que consisten de fuerzas de cuerpo y momentosde cuerpo.

2. Fuerzas o cargas super�ciales, consistentes en fuerzas super�ciales y mo-mentos super�ciales.

3. Cargas concentradas, consistentes de fuerzas concentradas y momentosconcentrados.

Las cargas de cuerpo o volumen se llaman así porque actúan en cada puntodel volumen total del cuerpo. Las cargas de cuerpo generan propiedades decampo en cada punto de una región o campo debido a una fuente. Gravitacional,inercial y electromagnética.Los momentos de cuerpo se mani�estan como momentos de fuerzas de cuerpo

y están asociados con efectos rotatorios.

49

50 CAPÍTULO 4. ESFUERZO

Las cargas de cuerpo surgen de efectos externos al cuerpo y son llamadoscargas de cuerpo externa. Las cargas de cuerpo son medidas usualmente porunidad de masa del cuerpo sobre el cual actúan.Las cargas super�ciales son llamadas así porque requieren de una super�cie

para actuar, y también se conocen como cargas de contacto. Las cargas actuandosobre la super�cie de frontera de un cuerpo o las cargas actuando sobre lassuper�cie de frontera común entre las partes internas de un cuerpo deformableson fuerzas super�ciales.El sistema de fuerzas super�ciales es equivalente a una fuerza super�cial y

a un momento super�cial.Ejemplos son la tensión super�cial, la presión hidrostática sobre un cuer-

po sumergido es una fuerza super�cial externa, evaporación, condensación yadhesión sobre una super�cie �uida.Las cargas de super�cie son medidas por unidad de área de la super�cie

sobre la cual actúan.La fuerza super�cial por unidad de área es llamada vector de esfuerzo, y el

momento super�cial por unidad de área es llamado vector de momento o vectordel momento del esfuerzo.Los vectores de esfuerzo y de momento dependen de la posición del punto

sobre el cual actúan y de la orientación de la super�cie. La orientación de unasuper�cie en un medio continuo es especi�cada en cada uno de sus puntos pormedio de un vector normal unitario exterior.En el interior de un cuerpo, existe un in�nidad de posibilidades para hacer

super�cies en cada punto, por lo que se tiene el estado de esfuerzo en cada puntox.Vector de esfuerzo sobre la super�cie con vector normal n

t(n): (4.1)

También se le denomina tracción super�cial.Las cargas concentradas se aplican solo a unos cuantos puntos del cuerpo.

Ejemplos de estas son las cargas puntuales sobre vigas. explosiones, fracturasfrágiles. Se utilizan funciones delta de Dirac.Cargas internas se re�eren a la acción mutua y reacción de los pares de

partículas en el interior de un cuerpo y a la carga ejercida sobre una parte delcuerpo por el resto del cuerpo como una consecuencia de la respuesta internadel cuerpo a la carga ejercida.

Fuerzas resultantes y pares actuando sobre un cuerpo

Sea V el volumen de la región de un cuerpo y S la super�cie de la fronteraen su estado deformado. Sea f la fuerza de cuerpo por unidad de masa, t(n)el vector de esfuerzo, y m(n) el vector de esfuerzos de par, y p� el vector deposición. La fuerza resultante actuando sobre el cuerpo está dada por

F =

IS

t(n) da+

ZV

�f dv +NX�=1

F�: (4.2)

4.2. PRINCIPIO DE LOS ESFUERZOS DE CAUCHY 51

Sean l , m(n) y m� el par de cuerpo (o momento de cuerpo) por unidad demasa, el vector de par de esfuerzo, y los pares de cuerpo concentrados en lasposiciones p�, el momento resultante alrededor del origen O actuando sobre elcuerpo es dado por

M =

IS

�m(n) + p� t(n)

�da+

ZV

� (l + p� f) dv (4.3)

+NX�=1

(m� + p�F�) : (4.4)

F =

IS

t(n) da+

ZV

�f dv; (4.5)

M =

IS

p� t(n) da+ZV

�p� f dv (4.6)

4.2. Principio de los esfuerzos de Cauchy

También se le conoce como hipótesis de los esfuerzos de Cauchy, que consid-era la respuesta de un cuerpo deformable a una carga aplicada. La respuesta seentiende en términos de la carga de una parte del cuerpo ejercida por el restodel cuerpo transmitida a través de su frontera común. La carga de super�cieresultante consiste de una tracción super�cial t(n). Los esfuerzos que actúanhacia afuera del cuerpo tienen signo positivo, y los esfuerzos que actúan haciaadentro tienen signo negativo. Es decir, que la tensión es considerada positivamientras que la compresión se considera negativa.Consideremos un elemento tetraédrico arbitrario denotado por A con tres

de sus caras coincidentes con las super�cies coordenadas en el punto p de unsistema de coordenadas curvilíneo. Sean n y t(n) el vector unitario normal y elvector de esfuerzo actuando en cualquier punto q de la cuarta super�cie. Losotros vectores de esfuerzos de las otras caras serán denotados por tkcon sussignos apropiados.Aplicando el balance de momentum lineal al elemento tetraédrico, susti-

tuyendo cada una de las integrales por su valor, obtenido por medio del teoremadel valor medio para las integrales, y las denotaremos con un asterisco. Entoncesse tiene

d

dt(�v��v) = t�(n)�a� t�k�ak + �f��v:

El lado izquierdo puede ser simpli�cado como

d

dt(�v��v) = �

dv�

dt�v + v�

d

dt(��v) ;


perod

dt(��v) = 0

por el principio de conservación de masa. Entonces,

d

dt(�v��v) = �

dv�

dt�v;

y

�dv�

dt�v = t�(n)�a� t�k�ak + �f��v:

Dividiendo la ecuación anterior por �a

�dv�

dt

�v

�a= t�(n) � t�k

�ak

�a+ �f�

�v

�a

y aproximando como cero el límite de la dimensión lineal �v�a cuando el tetraedrose va encogiendo al punto p, el cual es el límite del punto q. Entonces tenemos

t(n) = tkdak

da= tk n

k = tk nk

en donde

dak = nk da;

da = n da:

Tenemos el siguiente teorema.

Theorem 18 La tracción super�cial en un punto x actuando sobre una super�-cie dada está completamente determinada por los vectores de esfuerzo actuandosobre las tres super�cies de las coordenadas que mutuamente se intersectan enx de un sistema de coordenadas admisible. Además, la tracción super�cial en xes una función lineal del vector unitario normal a la super�cie dada.

Los vectores de esfuerzo tk son independientes de n, por de�nición. Asum-iendo que t(n)es una función continua de n, si se cambia el signo de n, se tieneque t(n) cambia de signo, esto es,

t(�n) = �t(n):

Esto signi�ca que las tracciones super�ciales actuando en lados opuestos dela misma super�cie en un punto dado son iguales en magnitud pero de signoopuesto.

4.3. EL TENSOR DE ESFUERZO 53

4.3. El tensor de esfuerzo

El vector de esfuerzo actuando sobre un punto en un material sobre el ladopositivo de la super�cie coordenada xk = constante es denotado por tk. Elcomponente del tensor de esfuerzo a lo largo de la dirección positiva del sistemacoordenado de la curva xl es denotado por Tkl. Esto es,

tk � gl = Tkl:

Entonces,tk = Tklg

l;

ytk = T klgl:

El vector de esfuerzos está compuesto por los componentes Tkl. El tensor deesfuerzos Tkl está de�nido como el componente xl del vector de esfuerzo tkactuando sobre el lado positivo de la super�cie coordenada constante xk.Por la de�nición del tensor de segundo orden

Tkl = gk �T � gl;T = Tklg

kgl = T klgkgl:

Entonces, podemos escribir

t(n) = tk nk = T kl nkgl = Tkl n

kgl = n �T

Los componentes del tensor de esfuerzos normales son los que son normalesa la super�cie sobre la que actúan. Los componentes con índices mixtos sontangentes al plano sobre el que actúan y se llaman componentes de esfuerzocortante.

4.4. Esfuerzos principales y esfuerzos cortantesmáximos

Consideremos los valores principales y sus correspondientes direcciones prin-cipales del tensor de esfuerzos T. Los valores principales y los vectores princi-pales de t está, dados por

T � n = �n;

donde el vector unitario n es el vector principal (o eigenvector) de la matriz deesfuerzo correspondiente al valor principal �. Entonces, podemos escribir�

tk l � � �k l�nl = 0; (4.7)

este sistema lineal sólo tendrá soluciones no triviales para n cuando

det�tk l � � �k l

�= 0; (4.8)


la cual es la ecuación característica para el tensor de esfuerzos. Como la matrizes simétrica, la ecuación cúbica resultante tiene tres raíces reales. Los valoresprincipales �1, �2 y �3 obtenidos de la ecuación anterior y se sustituyen en laecuación para obtener los respectivos valores de los vectores principales ni.Los vectores principales nise llaman también ejes principales de la matriz de

esfuerzos. Como la matriz de esfuerzo es simétrica, se puede diagonalizar con losvalores en la diagonal principal dados por �i que son llamados esfuerzos prin-cipales. Entonces los componentes del esfuerzo referidos a los ejes principalesdel tensor de esfuerzos como ejes coordenados dan los esfuerzos principales.

Q =

24 n1n2n3

35 ; (4.9)

QQT = I; (4.10)

QTQT =

24 �1 0 00 �2 00 0 �3

35 : (4.11)

Los planos formados por los ejes principales tomados de dos al mismo tiemposon llamados planos principales.Tenemos los siguientes estados de esfuerzo:

1. Si dos de los tres esfuerzos principales son cero,el estado de esfuerzos sedice que es tensión simple o tensión uniaxial.

2. Cuando solo uno de los esfuerzos principales es cero, el estado de esfuerzosse dice que son esfuerzos planos o esfuerzos biaxiales.

3. Si ninguno de los esfuerzos principales es nulo, entonces el estados deesfuerzos se dice que es triaxial.

4. Si uno de los esfuerzos cortantes es diferente de cero mientras que todoslos demás componentes son nulos, entonces el estado de esfuerzos se diceque es simple cortante.

4.4.1. Invariantes

Los invariantes de un tensor de segundo orden son

I1 = TrT = T k k ; (4.12)

I2 =1

2!

h(TrT)

2 � Tr�T2�i; (4.13)

I3 =1

3

hTr�T3�+ 3 I1 I2 � (TrT)3

i= detT: (4.14)

La ecuación característica de un tensor de segundo orden en términos de susinvariantes es

�3 � I1�2 + I2�� I3 = 0: (4.15)

4.4. ESFUERZOS PRINCIPALES Y ESFUERZOS CORTANTESMÁXIMOS55

4.4.2. Esfuerzos cortantes

Dado un vector de esfuerzos t(n) relativo a un plano con normal n, se puededescomponer en sus componentes normal y tangencial a dicho plano, de formaque el componente normal es

�N = (n �T) � n � t(n) � n (4.16)

y se tiene que el componente tangencial �S

�2S = t(n) � t(n) � �2N : (4.17)

Considerando los valores principales del tensor de esfuerzos, �i, y ordenándolosde forma que �I > �II > �III ; el vector de esfuerzos con respecto al tensor deesfuerzos diagonalizado queda como

t(n) = �I n(1)e1 + �II n

(2)e2 + �III n(3)e2; (4.18)

t(n) � t(n) = �2I n(1) 2 + �2II n

(2) 2 + �2III n(3) 2 ; (4.19)

�N = t(n) � n = �I n(1)2+ �II n

(2) 2 + �III n(3) 2 (4.20)

y sustituyendo en la ecuación 4.17 se obtiene

�2S = �2I n(1) 2 + �2II n

(2) 2 + �2III n(3) 2

��I n(1)

2+ �II n

(2) 2 + �III n(3) 2

�2(4.21)

y como estamos considerando que n es unitario, se tiene que n(i) n(i) = 1; de talforma que

n(3)2= 1� n(1)

2 � n(2)2

(4.22)

y entonces

�2S = �2I n(1) 2 + �2II n

(2) 2 + �2III

�1� n(1)

2 � n(2)2�

��I n(1)

2+ �II n

(2) 2 + �III

�1� n(1)

2 � n(2)2��2

(4.23)

y reacomodando

�2S =��2I � �2III

�n(1)

2+��2II � �2III

�n(2)

2+ �2III

��(�I � �III) n(1)

2+ (�II � �III) n(2)

2+ �III

�2(4.24)

Los valores máximos de �2S se obtienen resolviendo el sistema de ecuacionesgenerado a partir de igualar las derivadas de �2S con respecto a n

(1) y n(2) iguala cero

@�2S@n(1)

= 2��2I � �2III

�n(1) � 4

�(�I � �III)n(1)

��

(�I � �III) n(1)2+ (�II � �III) n(2)

2+ �III

�(4.25)


@�2S@n(1)

= 2n(1) (�I � �III) [ (�I + �III)

�2�(�I � �III) n(1)

2+ (�II � �III) n(2)

2+ �III

�i(4.26)

entonces

2n(1) (�I � �III) [(�I � �III)

�2�(�I � �III) n(1)

2+ (�II � �III) n(2)

2�i= 0 (4.27)

y

@�2S@n(2)

= 2��2II � �2III

�n(2) � 4

�(�II � �III)n(2)

��

(�I � �III) n(1)2+ (�II � �III) n(2)

2+ �III

�(4.28)

@�2S@n(2)

= 2 (�II � �III) n(2) [(�II + �III)

�2�(�I � �III) n(1)

2+ (�II � �III) n(2)

2+ �III

�i(4.29)

2 (�II � �III) n(2) [(�II � �III)

�2�(�I � �III) n(1)

2+ (�II � �III) n(2)

2�i= 0 (4.30)

Resolviendo para n(1) en

(�I � �III)� 2�(�I � �III) n(1)

2+ (�II � �III) n(2)

2�= 0 (4.31)

se obtiene

n(1) = �

s1

2� (�II � �III)(�I � �III)

n(2)2; (4.32)

y para n(2) en

(�II � �III)� 2�(�I � �III) n(1)

2+ (�II � �III) n(2)

2�= 0 (4.33)

se obtiene

n(2) = �

s1

2� (�I � �III)(�II � �III)

n(1)2; (4.34)

n(1) = 0; n(2) = �r1

2; n(3) = �

r1

2: �S =

��12 (�II � �III)�� (4.35)

4.5. ESTADOS DE ESFUERZOS ESFÉRICOS Y DEVIATORIOS 57

n(1) = �r1

2; n(2) = 0; n(3) = �

r1

2: �S =

��12 (�III � �I)�� (4.36)

n(1) = �r1

2; n(2) = �

r1

2; n(3) = 0 : �S =

��12 (�I � �II)�� (4.37)

�S m�ax =

��12 (�III � �I)�� : (4.38)

4.5. Estados de esfuerzos esféricos y deviatorios

La media aritmética de los esfuerzos normales es

�M =1

3

�T 11 + T 22 + T 33

�=1

3TrT (4.39)

se llama esfuerzo normal medio. El estado de esfuerzos que tiene todos los es-fuerzos principales iguales (por la tanto, igual a �M ) se llama estado de esfuerzosesférico.Todo estado de esfuerzos puede ser descompuesto en una parte esférica y en

una parte S llamada esfuerzo deviatórico de la forma

T = S+ �M 1 (4.40)

Capítulo 5

Ecuaciones generales debalance

5.1. Ecuaciones de balance global

Las ecuaciones o leyes de balance global gobiernan la deformación o �ujo delcuerpo entero como una totalidad y son expresados en términos de integralessobre el cuerpo entero.En mecánica del medio continuo, las siguientes leyes fundamentales gobier-

nan la deformación o �ujo de un cuerpo a pesar de su naturaleza, geometría yconstitución:

1. Conservación de masa,

2. Balance de momentum o ímpetu lineal

3. Balance de momento de momentum,

4. Conservación de energía,

5. La ley de la entropía,

6. Conservación de carga,

7. Ley de Faraday, y

8. Ley de Ampere.

Cuando el ambiente externo de un cuerpo no excita signi�cativamente larespuesta electromagnética de un cuerpo, en comparación con los efectos ter-momecánicos, se pueden despreciar los efectos electromagnéticos (teoría electro-magnética y dinámica de plasmas de medios continuos).

59

60 CAPÍTULO 5. ECUACIONES GENERALES DE BALANCE

5.1.1. Teorema del transporte de Reynolds

d

dt

ZV

� (x; t) dv =

ZV

�@ � (x; t)

@t+r � (� (x; t) v)

�dv

=

ZV

@ �

@tdv +

IS

(�v) � n da (5.1)

5.1.2. Ley del balance global de masa

Este principio establece que la masa total de un medio es conservada mientrasel medio experimenta una deformación. En la ausencia de fuentes y sumideros, la masa de un cuerpo antes de una deformación dada (o �ujo) es igual a lamasa total de un cuerpo después de la deformación (o �ujo).La continuidad de masa de un medio continuoZ

V

� dv =

ZV

�0 dV; (5.2)

que implica que la rapidez de cambio temporal de la masa total de un cuerpoes cero. Esto es

d

dt

ZV

� dv = 0: (5.3)

La ley global de conservación de masa en su forma espacial

d

dt

ZV

� dv =

ZV

d

dt(� dv) =

ZV

D

Dt(� dv) =

=

ZV

( _�+ �r � v) dv =ZV

�@�

@t+r � (�v)

�dv = 0: (5.4)

5.1.3. Ley de balance global de momentum lineal

Segunda ley de Newton aplicada a medios continuos. La rapidez de cambiotemporal del momentum lineal total de un cuerpo mientras éste experimenta unadeformación o �ujo está en balance con la suma total de las fuerzas de super�ciesobre la super�cie limitante del cuerpo y de las fuerzas de cuerpo actuando sobreel cuerpo entero.

d

dt

ZV

�v dv =

IS

t(n) da+

ZV

�f dv (5.5)

5.1. ECUACIONES DE BALANCE GLOBAL 61

5.1.4. Ley de balance global de momento de momentum

La rapidez de cambio temporal del momento del momentum total de un cuer-po alrededor de un origen mientras éste experimenta una deformación o �ujoestá en balance con el �ujo total de momento de momentum a través de la su-per�cie limitante del cuerpo provenientes del momento total de todas las fuerzasde super�cie mas el momento de las fuerzas de cuerpo

d

dt

ZV

�p� v dv =IS

p� t(n) da+ZV

�p� f dv (5.6)

5.1.5. Ley de balance global de energía

La energía interna total de un cuerpo es

E =ZV

�" dv: (5.7)

La rapidez de cambio temporal de la suma total de la energía cinética yde la energía interna (calor y deformación o elástica, disipación viscosa) en elcuerpo es igual a la suma de la rapidez de trabajo realizado por las cargas desuper�ciales y de cuerpo en producir la deformación (o �ujo) junto con la energíacalorí�ca que puede liberar o entrar en el cuerpo a cierta rapidez.

d

dt(E +K) = Q+W; (5.8)

donde

K = 1

2

ZV

�v � v dv (5.9)

es la energía cinética total y Q es la rapidez de la energía calorí�ca.Para el trabajo

W =

IS

t(n)�v da+ZV

�f � v dv: (5.10)

Para la energía calorí�ca

Q =

IS

q � n da+ZV

�h dv; (5.11)

donde q es el vector del �ujo de calor por unidad de área de la super�cie delcuerpo y una fuente de calor de densidad h por unidad de masa.El vector de �ujo de calor está de�nido por la ley de la conducción de calor

de Fourierq = � � r�; (5.12)


donde � es el tensor de conductividad térmica y � es la temperatura absoluta.Entonces, la ley de conservación de la energía se escribe como

d

dt

ZV

��"+

1

2�v � v

�dv =

IS

�t(n)�v + q � n

�da+

ZV

� (f � v + h) dv (5.13)

5.1.6. Ley de balance global de entropía

Entropía de�nida como el grado de desordenamiento sufrida por la organi-zación interna de los elementos que constituyen al cuerpo del material debidosa un incremento en la energía calorí�ca, mientras el tiempo avanza durante unproceso de deformación.La rapidez de cambio temporal de la entropía total en un cuerpo que exper-

imenta una deformación (o �ujo) es mayor o igual que la suma total del �ujode entropía a través de la super�cie del cuerpo y de la distribución volumétricatotal de fuentes de entropía en el cuerpo.

N =d

dt

ZV

�� dv �IS

q

�� n da�

ZV

�h

�dv � 0; (5.14)

donde N es la rapidez de producción de entropía, �es la densidad de entropía(por unidad de masa del cuerpo), q� es la densidad de �ujo de entropía a travésde la super�cie, y h

� es la densidad de la distribución de fuentes de entropía enel cuerpo. Segunda Ley de la termodinámica.

5.2. Ecuaciones locales de balace

5.2.1. Axioma de localidad

El estado de un cuerpo en un instante de tiempo t, en cualquiera de suspuntos materiales, por decir x, es determinado únicamente por el estado desus campos físicos que prevalecen al tiempo t en una vecindad arbitrariamentepequeña (local) a ese punto. Además, todas las leyes de balance y axiomasconstitutivos son válidos para cualquier parte del cuerpo.

5.2.2. Ley del balance local de masa

d�

dt+ �r � v = @�

@t+r � (�v) = 0: (5.15)

Conocida también como ecuación de continuidad en mecánica de �uidos.

D�

Dt= ��r � v: (5.16)

5.2. ECUACIONES LOCALES DE BALACE 63

5.2.3. Ley de local global de momentum lineal

d

dt

ZV

�v dv =

IS

t(n) da+

ZV

�f dv (5.17)

IS

t(n) da =

IS

n �T da =ZV

r �T dv (5.18)

d

dt

ZV

�v dv =

ZV

�d

dtv dv =

ZV

� _v dv (5.19)

ZV

(r �T+� (f � _v)) dv = 0 (5.20)

r �T+� (f � _v) = 0 (5.21)

Esta ecuación es conocida como la primera ley del movimiento de Cauchy.En elastoestática, el término de la aceleración es despreciado _v = 0; por lo

que la ecuación de movimiento queda como

r �T+�f = 0 (5.22)

que es conocida como la ecuación de equilibrio.

5.2.4. Ley de balance local de momento de momentum

Segunda ley del movimiento de Cauchy.

T = TT (5.23)

5.2.5. Ley de balance local de energía

d

dt

ZV

��"+

1

2�v � v

�dv =

IS

((n �T) �v + q � n) da+ZV

� (f � v + h) dv (5.24)

ZV

d

dt

��"+

1

2v � v

�� dv

�=

ZV

d

dt

�"+

1

2v � v

�� dv

+

ZV

�"+

1

2v � v

�d

dt(� dv)

=

ZV

� _" dv +

ZV

�v � _v dv (5.25)


IS

((n �T) �v) da =ZV

r � (T � v) dv =ZV

((r �T) �v +T : rv) dv (5.26)

donde

T : rv = T ijgigj : vl;kgkgl = vl;k T

ijgigj : gkgl

= vl;k Tij �j

k gi�gl = vl;k Tij �j

k �il = T ij vi;j : (5.27)I

S

q � n da =ZV

r � q dv (5.28)

� _" = ��v � _v+(r �T) �v +T : rv +r � q+�f � v + �h= (r �T+� (f � _v)) �v +T : rv +r � q+ �h= T : rv +r � q+ �h (5.29)

D =1

2

�rv +rvT

�=1

2(vi;j + vj;i) (5.30)

T : rv = T ij vi;j =1

2

�T ij + T ji

�vi;j =

1

2T ijvi;j +

1

2T jivi;j

=1

2T ij (vi;j + vj;i) = T ijDij = T : D (5.31)

= Tr (T �D) (5.32)

� _" = T : D+r � q+ �h (5.33)

El primer término del lado derecho se conoce como potencia mecánica, y repre-senta la rapidez del trabajo realizado por los esfuerzos al producir deformacióno �ujo.

5.2.6. Ley de balance local de entropía

d

dt

ZV

�� dv�IS

q

��n da�

ZV

�h

�dv =

ZV

�� _� + �

d

dt(� dv) �r�

�q�

�� h

�

�dv � 0;

(5.34)

� _� �r��q�

�� h

�� 0: (5.35)

5.3. Ecuaciones constitutivas

5.3.1. Entropía

La reversibilidad de la transferencia de energía es importante en los sistemasmateriales para poder medir la cantidad de energía disponible o exergía para suuso.

5.3. ECUACIONES CONSTITUTIVAS 65

La transferencia de energía sólo ocurre en una dirección, de una formadisponible a otra no disponible (destrucción de exergía). La entropía puedeser descrita como una medida de la pérdida de la cantidad de energía que estransformada de forma irreversible desde una forma útil a otra no útil, la cualno puede ser transformada en trabajo de nuevo.Un sistema físico con algún grado de orden en sus constituyentes internos

tiende a perder ese orden en una forma irreversible cuando se calienta, corre-spondiendo a una transformación de una forma disponible de energía a otra nodisponible (destrucción de exergía).Una transformación de un estado ordenado a uno desordenado es descrito

con un incremento en la entropía.

5.3.2. Función de densidad de energía interna

Para un medio deformable constituido por una sustancia simple, entre losparámetros que in�uyen en la energía interna en una región y tiempo dados enel medio, se encuentran cantidades mecánicas como los gradientes de deforma-ción, o cantidades electromagnéticas como el desplazamiento eléctrico. Estosparámetros son �nitos en número y son denotados por ��, � = 1; 2; :::; n, donden depende de la constitución interna del cuerpo.Las dimensiones físicas de estos parámetros involucran unidades mecánicas,

electromagnéticas y químicas.La energía interna para sistemas termomecánicos que se están deformando o

�uyendo, es de�nida como la energía total del sistema menos la energía cinética,y por lo tanto consiste de energía mecánica debida a el trabajo realizado por lasuper�cie y las fuerzas de cuerpo, junto con la energía térmica. Esto implica queparámetros �� con unidades puramente mecánicas no son su�cientes para de-scribir la energía interna puesto que se tiene energía térmica cuyas unidades sonindependientes de las mecánicas, por lo que debe de haber algún otro parámetrocuyas unidades sean independientes de las de �� y que tenga unidades que seanconsistentes con las de la energía térmica y temperatura. Esa variable, denotadapor �, es llamada la entropía especí�ca.La función de densidad de energía interna " en cada punto material del

cuerpo X es" = " (�; ��;X) ; � = 1; 2; :::; n: (5.36)

La dependencia con X implica que el cuerpo puede ser termodinámicamente nohomogéneo. Si " no depende deX, el cuerpo es termodinámicamente homogéneo.La función " se denomina como función o ecuación de estado puesto que

caracteriza la constitución interna del cuerpo.El conjunto de variables f�; ��g constituye un estado termodinámico en X,

y � y �� son llamadas variables de estado termodinámico.Tomando las derivadas parciales de " con respecto a � y �� se obtiene

� =@"

@�; �� =

@"

@��; � = 1; 2; :::; n; (5.37)


donde � y �� son la temperatura termodinámica (absoluta) y las tensiones ter-modinámicas, respectivamente.El cambio en la energía interna (ecuación de Gibbs)

d" = � d� + �� d ��: (5.38)

5.3.3. La desigualdad de Clausius-Duhem

Eliminando h de las ecuaciones de balance local de la energía y la entropía

1

�T : D+

1

�r � q�� _"

�= 0; (5.39)

� _� �r��q�

�� 0; (5.40)

r��q�

�=1

�r � q+ q �r

�1

�

�=1

�r � q+ 1

�2q �r� (5.41)

�

�_�� _"

�

�+1

�T : D� 1

�2q �r� � 0: (5.42)

Esta es la desigualdad de Clausius-Duhem.La función de la densidad de energía libre de Helmholtz, de�nida como

= "� � �; (5.43)

representa un exceso de la energía interna sobre la energía térmica de un sistemaque es disponible para realizar trabajo (exergía).Reemplazando en la desigualdad de Clausius-Duhem se obtiene

��_ + � _�

�+T : D� 1

�q �r� � 0 (5.44)

que es válida para todos los procesos termomecánicos independientes que unsistema físico experimenta descritos por el conjunto f�; ��g.

5.3.4. Axiomas constitutivos

Las ecuaciones de balance (local o global) y la desigualdad de Clausius-Duhem constituyen un sistemas de ecuaciones y una desigualdad que está in-determinado, puesto que sólo hay ocho ecuaciones y una desigualdad, mientrasque hay 19 incógnitas, �, x, T, q; ; � y �:Las ecuaciones constitutivas deben re�ejar el comportamiento de los cuerpos

y sus respuestas a cargas aplicadas y externas.Se requiere de un número preciso de ecuaciones constitutivas para suple-

mentas las ecuaciones de balance de forma que los problemas físicos quedendeterminados.Las ecuaciones constitutivas son modelos matemáticos idealizados de los

materiales reales. Para que estos modelos puedan representan adecuadamente alos materiales reales, se deben imponer ciertas restricciones. Estas restriccionesson llamadas principios o axiomas constitutivos.


Principio de causalidad

Conjunto de variables constitutivas independientes (movimiento y temper-atura) de un cuerpo de una partícula material a un tiempo t

x (X; t) ; � (X; t) : (5.45)

Éstas son los efectos observables que son resultado de ciertas causas. Estascausas se seleccionan de un conjunto de variables constitutivas dependientescomo T (X; t) ; q (X; t) ; (X; t) y � (X; t), que son referidas como funciones derespuesta. La apropiada selección de estas variables constitutivas dependientese independientes constituyen el axioma de causalidad.

Principio de determinismo

Los funcionales de respuesta constitutivos están determinados por las histo-rias de movimiento y de temperatura de todos los puntos materiales del cuerpo.

Principio de equipresencia

El axioma de equipresencia establece que si una variable constitutiva inde-pendiente está presente en un funcional de respuesta, ésta debe estar presenteen todos a menos de que algunas leyes de balance o limitaciones físicas lo con-tradigan.

T (X; t) = F (x (X0; t0) ; � (X0; t0) ;X; t) (5.46)

en donde X0 representa a las partículas materiales del resto del cuerpo y t0 esla variable temporal de los tiempos pasados �1 < t0 � t

Principio de la vecindad

La respuesta de un punto material X en un cuerpo está determinado única-mente por el comportamiento material en una vecindad arbitrariamente pequeñaalrededor de X.Si los funcionales x (X0; t0) y � (X0; t0) alrededor de X son su�cientemente

suaves, se puede hacer una expansión en series de Taylor alrededor de X entérminos deX0�X y se puede considerar el orden deseado de exactitud. Si se dejahasta orden uno, las ecuaciones constitutivas resultantes describen materialessimples.

x (X0; t0) = x (X; t0) +�X 0K �XK

�x;K (X; t

0)

+1

2!

�X 0K �XK

� �X 0L �XL

�x;KL (X; t

0) + ::: (5.47)

� (X0; t0) = � (X; t0) +�X 0K �XK

��;K (X; t

0)

+1

2!

�X 0K �XK

� �X 0L �XL

��;KL (X; t

0) + ::: (5.48)


Para los materiales simples

T (X; t) = G (x (X; t0) ;x;K (X; t0) ; � (X; t0) ; �;K (X; t

0) ;X; t) (5.49)

materiales dependientes del gradiente.

Principio de la memoria

Si el comportamiento de un medio en el instante presente no es aprecia-blemente afectado por los efectos de un pasado distante, los funcionales con-stitutivos pueden ser formulados enfatizando los efectos en sólo una vecindadin�nitesimal t� t0 de t.Memoria suave y memoria difusa.Series de Taylor para memoria suave alrededor de t

x (X0; t0) = x (X0; t) + (t0 � t) _x (X0; t) +1

2!(t0 � t)2 �x (X0; t) + ::: (5.50)

� (X0; t0) = � (X0; t) + (t0 � t) _� (X0; t) +1

2!(t0 � t)2 �� (X0; t) + ::: (5.51)

T (X; t) = H (x (X; t0) ; _x (X0; t) ; �x (X0; t) ; :::;

� (X; t0) ; _� (X0; t) ; �� (X0; t) ; :::;X; t�

(5.52)

Las ecuaciones constitutivas que involucran rapideces de cambio temporal sedice que son materiales dependientes de la rapidez de cambio temporal.

Los materiales reales pueden tener los dos tipos de dependencia, del gradientey de la rapidez de cambio,

T (X; t) =M

�x; _x; �x; :::;x;K ;

�x;K ; :::;

�; _�; ��; :::; �;K ;��;K ; :::;X; t

!: (5.53)

Para materiales simples

T (X; t) =M

�x;x;K ;

�x;K ; :::; �; _�; ��; :::; �;K ;

��;K ; :::;X; t

�: (5.54)

Principio de la objetividad espacial y de la simetría material

El axioma de objetividad espacial se re�ere a la invarianza de los funcionalesconstitutivos con respecto a transformaciones de los marcos de referencia espa-ciales.


El axioma de simetría material se re�ere a la invarianza de los funcionalesconstitutivos con respecto a transformaciones rígidas de los marcos de referenciamateriales.

Los funcionales de respuesta constitutivos para materiales simples termo-mecánicos tienen la forma típica

T (X; t) = T��x;K (X; t) ;

�x;K(X; t) ; _x (X

0; t) ; �x (X0; t) ;

� (X; t0) ; _� (X0; t) ; �;K (X; t0) ;

��;K (X

0; t) ;X

�: (5.55)

T (X; t) = T�CKL; _CKL; �; _�; �;K ;

��;K ; �

�1; _�;X

�(5.56)

Materiales termoviscoelásticos simples

T (X; t) = T�CKL; _CKL; �; _�; �;K ;

��;K ;X

�(5.57)

que combina respuestas del material tanto viscosas como elásticas.

Para materiales puramente termoelásticos cuando _CKL; _�; y��;K son despre-

ciables, la ecuación constitutiva toma la forma

T (X; t) = T (CKL; �; �;K ;X) : (5.58)

Para �uidos puramente termoviscosos

T (x; t) = T�D; ��1; �; _�; �;K ;

��;K ;x

�(5.59)

y si _� y��;K son despreciables, queda como

T (x; t) = T�D; ��1; �; �;K ;x

�= T

�D; ��1; �;r�;x

�(5.60)

Axioma de consistencia

El Axioma de consistencia o de estados admisibles establece que las ecua-ciones constitutivas no deben contradecir las leyes de balance fundamentales nila desigualdad de la entropía.Este axioma se necesita porque las ecuaciones de campo que resultan de la

sustitución de las ecuaciones constitutivas de un material en las ecuaciones debalance y la ley de la entropía junto con las condiciones de frontera gobiernan losproblemas físicos que involucran el material y por lo tanto deben ser compatiblesunas con otras.

Capítulo 6

Fluidos

6.1. Ecuaciones constitutivas para �uidos

6.1.1. Fluidos Stokesianos

Las ecuaciones constitutivas para �uidos termoviscosos

T (x; t) = T�D; ��1; �;r�;x

�; (6.1)

q (x; t) = q�D; ��1; �;r�;x

�; (6.2)

(x; t) = �D; ��1; �;r�;x

�; (6.3)

� (x; t) = ��D; ��1; �;r�;x

�; (6.4)

sujetas a la desigualdad de Clausius-Duhem.Aplicando la desigualdad de Clausius-Duhem a se llega a

(x; t) = ��1; �;x

�(6.5)

y la desigualdad queda como�T� @

@��1g�1

�: D+

1

�q �r� � 0; (6.6)

o en notación indicial�T kl � @

@��1gkl�Dkl +

1

�qk �;k � 0: (6.7)

El término

� = � @

@��1(6.8)

se denomina presión termodinámica (esfuerzo esférico), mientras que

T kl � @

@��1gkl = T kl + � gkl = Skl; (6.9)

Skl = Skl�D; ��1; �;r�;x

�; (6.10)

71

72 CAPÍTULO 6. FLUIDOS

entonces la desigualdad de Clausius�Duhem queda como

SklDkl +1

�qk �;k � 0 (6.11)

y como los términos son independientes y � � 0 (temperatura absoluta)

SklDkl � 0; (6.12)

qk �;k � 0: (6.13)

F (D) = S : D (6.14)

F (D) � 0; F (0) = 0 (6.15)

por lo que se tiene un mínimo en D = 0 y por lo tanto @F=@Dkl = 0 en Dkl = 0.S es debido únicamente al �ujo y es nulo o cero cuando la rapidez de deformacióno �ujo es cero.Las ecuaciones constitutivas para �uidos termoviscosos no lineales, no ho-

mogéneos, anisótropos y conductores del calor, denominados �uidos Stokesianosson

T kl = ��gkl + Skl; (6.16a)

Skl = Skl�D; ��1; �;r�;x

�; (6.16b)

SklDkl � 0; (6.16c)

q (x; t) = q�D; ��1; �;r�;x

�; (6.16d)

� (x; t) = �@ @�; (6.16e)

qk �;k � 0; (6.16f)

con la propiedadS = 0 para D = 0: (6.17)

6.1.2. Fluidos Stokesianos lineales

Para obtener las ecuaciones constitutivas para �uidos Stokesianos linealescon respecto a D y r�; se expanden S y q como polinomios lineales de Dkl y�;k;

Skl = �kl0 + �klmn1 Dmn + �

klm2 �;m; (6.18)

qk = �k0 + �klm1 Dlm + �

kl�;l; (6.19)

en donde los coe�cientes son funciones de ��1; � y x. Puesto que S = 0 cuandoD = 0 y q = 0 cuando r� = 0, las ecuaciones se reducen a

Skl = �klmn1 Dmn; (6.20)

qk = �kl�;l: (6.21)

6.1. ECUACIONES CONSTITUTIVAS PARA FLUIDOS 73

Sustituyendo en 6.22 se obtiene

T kl = ��gkl + �klmn1 Dmn; (6.22a)

�klmn1 DmnDkl � 0; (6.22b)

qk = �kl�;l; (6.22c)

� (x; t) = �@ @�; (6.22d)

�kl�;l �;k � 0; (6.22e)

en donde � = �kl��1; �;x

�; �klmn1 = �klmn1

��1; �;x

�y �kl = �kl

��1; �;x

�;

y son las ecuaciones constitutivas para un �uido Stokesiano lineal termoviscoso,anisótropo y conductor del calor.

Fluidos termoviscosos lineales e isótropos

Si el �uido es isótropo con respecto a los esfuerzos, se puede expandir lafunción tensorial de cuarto orden �klmn1 en términos de tensores isótropos de unorden más bajo (par). Entonces

T kl = ��gkl + �� Dmm g

kl + 2��Dkl; (6.23)

donde los coe�cientes �� y �� son funciones de ��1; � y x. Para �uidos homogé-

neos estos coe�cientes sonindependientes de x.De forma similar, si el �uido es isótropo con respecto al �ujo de calor, se

tiene�kl = � gkl (6.24)

y entoncesqk = � gkl �;l; (� > 0) : (6.25)

Las ecuaciones constitutivas para un �uido Stokesiano lineal termoviscoso, isótropocon respecto al tensor de esfuerzos y al �ujo de calor quedan como


kl + 2��Dkl; (6.26)

qk = � gkl �;l; (� > 0) : (6.27)

Los coe�cientes �� y �� se denominan los coe�cientes de viscosidad del �uido,mientras que el coe�ciente � se denomina conductividad térmica del �uido. Elsegundo término en la ecuación del esfuerzo que contiene Dm

m, representa laparte del esfuerzo debido a expansiones volumétricas del �uido o rapidez dedilatación, y por lo tanto el coe�ciente �� se denomina viscosidad dilatacional.El coe�ciente �� se denomina coe�cientes de viscosidad dinámica o viscosidadal cortante. Las dimensiones de �� y �� son

dim (��) = dim (��) =M L�1 T�1: (6.28)


Fluidos viscosos lineales e isótropos

Si los efectos de la transferencia de calor son despreciables, entonces la de-pendencia de S sobre r� son despreciables e implica que q = 0. Entonces


kl + 2��Dkl: (6.29)

Restricciones sobre �� y ��

Considerando la desigualdad

SklDkl � 0; (6.30)

se tiene queSklDkl =

�� D

mm g

kl + 2��Dkl�Dkl � 0: (6.31)

Utilizando

ID = TrD = Dmm ; (6.32)

IID =1

2

�(TrD)

2 � Tr�D2��=1

2

�(Dm

m)2 � Tr

�D2��

(6.33)

Tr�D2�= DlkDkl = DklDkl; (6.34)

DklDkl = I2D � 2IID (6.35)

�� I2D + 2��

�I2D � 2IID

�� 0; (6.36)

(�� + 2��) I2D � 4��IID � 0; (6.37)

(�� + 2��) I2D � 4��IID � 0; (6.38)

1

3

�(3�� + 2��) I

2D + 2��

�2I2D � 6IID

�� 0; (6.39)

y expresando los invariantes en términos de los valores principales

ID = D1 +D2 +D3; (6.40)

IID = D1D2 +D2D3 +D3D1; (6.41)

IIID = D1D2D3; (6.42)

entonces

2I2D � 6IID = (D1 �D2)2+ (D2 �D3)

2+ (D3 �D1)

2 � 0; (6.43)

por lo que

(�� + 2��) � 0; (6.44)

�� 0: (6.45)

Cuando las variaciones de presión en el �ujo de un �uido son tales que noafectan la densidad � del �uido, entonces � es independiente de x y t y permanececonstante en todo el �uido. Por lo tanto, de la ecuación de continuidad se obtiene

r � v = vk ;k = Dkk = 0: (6.46)

6.2. ECUACIONES BÁSICAS EN TEORÍA DE FLUJO VISCOSO 75

Tales �uidos se denominan �uidos incompresibles o líquidos.Se acostumbre en estos casos reemplazar la presión termodinámica � =

��1; �

�en la expresión del tensor de esfuerzos por p, la cual es de�nida como

la presión hidrostática isótropa y representa la presión en el �uido cuando está enreposo. Entonces la ecuación constitutiva para los esfuerzos en un �uido viscosoe incompresible es

T kl = �p gkl + 2��Dkl; (6.47)

o en notación directaT = �p1+ 2��D (6.48)

con la restricción�� 0: (6.49)

Los �uidos que obedecen a esta ecuación constitutiva se denominan �uidos New-tonianos.

En el caso en donde �� + 2�� = 0, la cual se llama la condición de Stokes,para el caso de �uidos newtonianos compresibles, que es váñida sólo para gasesmonoatómicos. Pero como no se tienen medidas disponibles para el coe�ciente deviscosidad dilatacional, se utiliza �� = � 2

3�� para todos los �uidos compresibles.Tomando la traza de

T = (�p+ �� TrD) 1+ 2��D (6.50)

se tiene

TrT = 3 (�p+ �� TrD) + 2�� TrD = �3p+ (3�� + 2��) TrD: (6.51)

y si se toma �� = � 23�� en la ecuación de arriba, se obtiene

p = �p = �13TrT; (6.52)

donde �p se denomina como presión mecánica.Y sustituyendo �� = � 2

3�� en T,

T = ��p+

2

3�� TrD

�1+ 2��D: (6.53)

6.2. Ecuaciones básicas en teoría de �ujo viscoso

Las ecuaciones de balance

@�

@t+r � (�v) = 0; (6.54)

r �T+� (f � _v) = 0 (6.55)

_v =D v

Dt=@ v

@t+ v �rv; (6.56)


T = TT ; (6.57)

T = ��p+

2

3�� TrD

�1+ 2��D; (6.58)

D =1

2

�rv +rvT

�; (6.59)

� _" = T : D+r � q+ �h = Tr (T �D)+r � q+ �h; (6.60)

� ��_ + � _�

�+T : D� 1

�q �r� =

� ��_ + � _�

�+Tr (T �D)� 1

�q �r� � 0: (6.61)

6.2.1. Las ecuaciones de Navier-Stokes

�

�@ v

@t+ v �rv

�=r �T+� f (6.62)

r �T = r ��p+

2

3�� TrD

�1+ 2��D

�= �r �A+ 2��r �D; (6.63)

donde

A =

�p+

2

3�� TrD

�1 =

�p+

2

3��r � v

�1 = �1 (6.64)

r �A = gk � @

@xk�Ai j gig

j�= Ai j;i g

j

=�� i j

�;igj

= r� =rp+ 23��r (r � v) (6.65)

r �D =1

2

�r2v +r (r � v)

�(6.66)

�

�@ v

@t+ v �rv

�= �rp� 2

3��r (r � v) + ��

�r2v +r (r � v)

�+ � f

= � f �rp+ ��r2v + 1

3r (r � v)

�; (6.67)

y para �uidos incompresibles

�

�@ v

@t+ v �rv

�= � f �rp+ �� r2v; (6.68)

6.3. ECUACIONES DE CAMPO EN FORMA DE FLUJO (FLUX) 77

6.3. Ecuaciones de campo en forma de �ujo (�ux)

@�

@t+r � (�v) = 0; (6.69)

donde �v es la densidad de �ujo de masa.

�@ v

@t= � f � �v �rv +r �T (6.70)

@

@t(�v) = �

@ v

@t+ v

@�

@t

= �@ v

@t� vr � (�v) (6.71)

�@ v

@t=

@

@t(�v) + vr � (�v) (6.72)

@

@t(�v) = � f � �v �rv � vr � (�v) +r �T (6.73)

r � (uv) = (r � u)v + u � rv (6.74)

r � (�vv) = �v �rv + vr � (�v) (6.75)

@

@t(�v) = � f �r � (�vv) +r �T (6.76)

donde �vv es el producto tensorial de �v con v. Expresnado la ecuación anteriorcomo

@

@t(�v) = � f �r ��; (6.77)

donde� = �vv �T (6.78)

es el tensor de densidad de �ujo de momentum.

6.4. Disipación viscosa

Durante el �ujo de un �uido se disipa calor en una forma irreversible. Laparte del esfuerzo que es debida al �ujo y a la dilatación es identi�cada como elesfuerzo disipativo. Para �uidos compresibles, el esfuerzo disipativo está dadopor

S = (�� TrD)1+ 2��D = �� (r � u)1+ 2��D; (6.79)

o utilizando la condición de Stokes, �� = � 23�� ,

S = ��

��23(r � u)1+ 2D

�; (6.80)


y para �uidos incompresiblesS = 2��D: (6.81)

El trabajo hecho por el esfuerzo disipativo en producir un �ujo contribuyea la disipación viscosa de energía. Entonces, la expresión para la rapidez decambio de disipación viscosa es

S : D = Tr (S �D) = SklDkl = �� 0: (6.82)

Para �uidos compresibles se tiene que

�� = Tr (S �D) = Tr [(�� (r � u)1+ 2��D) �D] (6.83)

= Tr�� (r � u)D+ 2��D2

�(6.84)

= �� (r � u)2 + 2�� Tr�D2�: (6.85)

Utilizando la de�nición de la magnitud de un tensor de segundo orden

kAk =qTr (A �AT ) (6.86)

se tiene que para un tensor simétrico

kDk =qTr (D �DT ) =

pTr (D2) =

pDklDkl: (6.87)

Por lo que

�� = �� (r � u)2 + 2�� kDk2= ��

�uk ;k

�2+ 2�� D

klDkl; (6.88)

y utilizando la condición de Stokes

�� = ��

�2 kDk2 � 2

3(r � u)2

�: (6.89)

Para el caso de �uidos incompresibles

�� = 2�� kDk2: (6.90)

6.5. Condiciones de frontera y condiciones ini-ciales

Condición de no deslizamiento de la velocidad o condición de adherencia

6.6. Propiedades generales de la ecuación de Navier-Stokes

6.6.1. Eliminación del término de fuerzas de cuerpo

En el caso de un �uido incompresible, el término de la fuerza de cuerpo enla ecuación de Navier-Stokes

�

�@ v

@t+ v �rv

�= � f �rp+ �� r2v; (6.91)

6.6. PROPIEDADES GENERALES DE LA ECUACIÓN DE NAVIER-STOKES79

puede ser incluido en el término del gradiente de presión bajo las siguientescondiciones:

1. La única fuerza de cuerpo es debida a la gravedad, i.e. �f = �g.

2. No hay super�cies libres en el cuerpo, en cuyo caso la presencia explícitade la fuerza de cuerpo debida a la gravedad es necesaria.

3. No hay estrati�caciones de la densidad (el �uido es homogéneo y las fuerzasde �otación son despreciables).

Cuando las condiciones mencionadas se cumplen, entonces

�f = �g = �rU; (6.92)

donde U es la energía potencial del �uido, de forma que la ecuación de Navier-Stokes para �uidos incompresibles toma la forma

�

�@ v

@t+ v �rv

�= �rP + �� r2v; (6.93)

dondeP = p+ U + p0 (6.94)

y p0 es una presión constante. La cantidad P es la presión modi�cada.

6.6.2. La ecuación de la vorticidad

La ecuación de Navier-Stokes para �uidos incompresibles y en auscencia defuerzas de cuerpo es

�

�@ v

@t+ v �rv

�= �rp+ �� r2v: (6.95)

@ v

@t+ v �rv = �1

�rp+ �r2v: (6.96)

Utilizando la identidad

1

2r (v � v)� v � (r� v) = v � rv; (6.97)

y el vector de vorticidad! = r� v (6.98)

se tiene que@ v

@t+1

2r (v � v)� v � ! = �1

�rp+ �r2v: (6.99)

Tomando el rotacional en ambos lados de la ecuación anterior, y utilizando

r�r� = 0 (6.100)


yr� (r� v) = r (r � v)�r2v (6.101)

se obtiene@ !

@t=r� (v � !) + �r2!: (6.102)

Utilizando ahora

r� (u� v) = ur � v � u � rv � vr � u+ v � ru (6.103)

y@ !

@t= vr � ! � v � r! � !r � v + ! � rv + �r2!; (6.104)

r � v = 0; r � ! = 0; (6.105)

@ !

@t= �v � r! + (! � r)v + �r2!: (6.106)

se obtiened!

dt= (! �r)v + �r2!: (6.107)

Las Ecuaciones 6.102 y 6.107 gobiernan el transporte de vorticidad durante el�ujo de un �uido. En la Ecuación 6.102, el primer y segundo término a la derecharepresentan la convección y la difusión de la vorticidad, respectivamente, los dosprocesos contribuyen a la rapidez de cambio de la vorticidad de un �uido.Cuando la vorticidad inicial en el �ujo de un �uido es diferente de cero, de

acuerdo con las Ecuaciones 6.102 y 6.107, la vorticidad nunca será cero duranteel �ujo. Esto signi�ca, que la vorticidad, una vez que se presenta en un �uido,permanece presente permanentemente en el �ujo. A este fenomeno se le llamala permanencia de la vorticidad.

6.6.3. Función de corriente en �ujos planos

Un �ujo plano es aquel cuyo movimiento consiste de líneas de corriente encada instante de tiempo que son geométricamente idénticas en planos paralelosa un plano dado, y no ocurren cambios en la dirección normal a estos planos.La formulación matemática de los �ujos planos puede ser reducida a dos dimen-siones. Debido a esta simpli�cación, todos aquellos sistemas de coordenadas queson cilíndricos pueden ser utilizados para representar este tipo de �ujos.Para un �ujo plano incompresible, la solución de la ecuación de continuidad,

r � v = 0; puede ser expresada en la forma

v = r�; (6.108)

donde el vector tiene la forma

= 3�x1; x2; t

�g3 = 3

�x1; x2; t

�g3 (6.109)

= (3)�x1; x2; t

�e3 = (3)

�x1; x2; t

�e3 (6.110)

= �x1; x2; t

�e3; (6.111)

6.6. PROPIEDADES GENERALES DE LA ECUACIÓN DE NAVIER-STOKES81

donde es el componente en la dirección de e3 (la dirección en donde el vectorbase es constante), y por lo tanto, los símbolos de Christo¤el asociados con esadirección son cero.Los componentes de la velocidad son

v = "mki i;kgm

=1pg

� 3;2g1 � 3;1g2

�= 3;2g1 � 3;1g2

=

pg11pg ;2e1 �

pg22pg ;1e2: (6.112)

La función es llamada función de corriente.Una línea de corriente es una curva en una región del �ujo de un �uido tal

que el vector de velocidad en cada uno de sus puntos es tangencial a la curva;tal curva tiene la propiedad

dx1

v1=dx2

v2=dx3

v3: (6.113)

Para el caso de coordenadas cartesianas, los componentes de la velocidad,de acuerdo con la Ec. 6.112, quedan como

u =@

@y; (6.114)

v = �@ @x

: (6.115)

Calculando la diferencial de en cada instante t, se obtiene que

d (x; y; t) = u dy � v dx (6.116)

y de la Ec. 6.113 se tiene que

u dy � v dx = 0; dz = 0; (6.117)

por lo que a cada instante t se tiene

d (x; y; t) = 0; (6.118)

entonces (x; y; t) = c; (6.119)

donde c es una constante arbitraria de integración. Para diferentes valores de c,se tiene una familia de líneas de corriente del �ujo en cada instante.Para el caso de coordenadas polares, los componentes de la velocidad, de

acuerdo con la Ec. 6.112, quedan como

vr =1

r

@

@�; (6.120)

v� = �@ @r: (6.121)


En el caso de un �ujo plano incompresible dado en un sistema coordenadono cilíndrico, como el caso de las coordenadas esféricas (r; �; �) ; donde � es elángulo azimutal con respecto a � = 0, la ecuación de continuidad está dada por

r � v = 1

r2@

@r

�r2 vr

�+

1

r sin �

@

@�(v� sin �) = 0; (6.122)

en donde vr = vr (r; �) ; v� = v� (r; �) ; v� = 0. Este campo de velocidad rep-resenta un �ujo axisimétrico alrededor del eje � = 0. La función de corriente (r; �) que satisface la Ec. 6.122 está dada por

vr =1

r2 sin �

@

@�; (6.123)

v� = � 1

r sin �

@

@r: (6.124)

La función de corriente para este caso es llamada función de corriente de Stokespara lujo axisimétrico.En el caso de un �ujo compresible, los componentes de la velocidad en co-

ordenadas cartesianas quedan como

u =1

�

@

@y; (6.125)

v = �1�

@

@x: (6.126)

6.6.4. Ecuación de Navier-Stokes en términos de la fun-ción de corriente

La vorticidad de un �ujo plano incompresible en términos de la función decorriente en un sistema de coordenadas cilíndrico es

! =r� v =r� (r�) ; (6.127)

y utilizando r � v = 0 y la identidad

r� (r� v) = r (r � v)�r2v; (6.128)

se tiene que! =r� (r�) = �r2 = �e3r2 : (6.129)

Sustituyendo esta ecuación en la ecuación de Navier�Stokes en la forma detransporte de vorticidad

@ !

@t+ v �r! = (! �r)v + �r2!; (6.130)

en donde el término (! �r)v = 0 debido a que el gradiente del campo develocidad es normal al vector de vorticidad, por lo que la ecuación queda

@ !

@t+ v �r! = �r2!; (6.131)

6.7. PRINCIPIO DE SIMILITUD 83

y sustituyendo las expresiones para v y ! en términos de la función de corriente

�e3@r2 @t

+ v �r! = �e3��r4

�; (6.132)

en donde r4 = r2r2 es el biarmónico..Para el término v �r! se tiene que

r! = gk @

@xk��e3r2

�= �

�r2

�;kgke3 = �

�r2

�;k

pgkkeke3; (6.133)

y

v �r! =

�pg11pg ;2e1 �

pg22pg ;1e2

�� r2

�;k

pgkkeke3

= ��p

g11pg

pg11 ;2

�r2

�;1�pg22pg

pg22 ;1

�r2

�;2

�e3

= ��1pg ;2�r2

�;1� 1pg ;1�r2

�;2

�e3; (6.134)

entonces la Ec. queda como

@r2 @t

+1pg ;2�r2

�;1� 1pg ;1�r2

�;2= �r4 : (6.135)

6.6.5. Función de corriente en �ujos axisimétricos gen-erales

Pendiente

6.7. Principio de similitud

Similaridad geométrica

Similaridad dinámica

Para simular una situación de un �ujo real, es necesario mantener patronesidénticos de las líneas de corriente del �ujo. Esto se lleva a cabo manteniendolas razones de fuerzas idénticas en todos los puntos correspondientes del �ujo.Forma adimensional. Cantidades características representativas de un �ujo

Consideremos el �ujo laminar y no estacionario de un �uido incompresibleen ausencia de fuerzas de cuerpo. Sean x, t; �; v y p las coordenadas espaciales,el tiempo, la densidad de masa, el campo de velocidad y el campo de presión,respectivamente. La ecuación de Navier�Stokes que gobierna al �ujo, en ausenciade fuerzas de cuerpo es

D v

Dt=@ v

@t+ v �rv = �1

�rp+ �r2v: (6.136)


Sean ahora L; U; t1 = L=U; p1 = �U2 la longitud, velocidad, tiempo y presióncaracterísiticos que tipi�can al �ujo.De�niendo las siguientes cantidades adimensionales

x =x

L; (6.137)

v =v

U; (6.138)

t =t

t1=U t

L; (6.139)

p =p

p1=

p

�U2; (6.140)

en donde la adimensionalización de las coordenadas espaciales sólo aplica paraaquellas variables coordenadas que tienen dimensiones de longitud.Para los operadores diferenciales, se tiene que

r = gk@

@xk=1

Lgk

@

@xk=1

Lr: (6.141)

Sustituyendo en la ecuación de Navier�Stokes

x = Lx; (6.142)

v = U v; (6.143)

t =L

Ut; (6.144)

p = �U2 p; (6.145)

@ v

@t+ v �rv =

@ (U v)

@�LU t� + (U v) � 1

Lr (U v)

=U2

L

�@ v

@t+ v �rv

�(6.146)

D v

Dt= �rp+ 1

Rer2v; (6.147)

donde

Re =U L

�=�U L

�(6.148)

es un número adimensional llamado el número de Reynolds del �ujo.Por conveniencia en la notación, las barras se pueden quitar y la ecuación

queda comoD v

Dt= �rp+ 1

Rer2v; (6.149)

la cual es la forma adimensional de la ecuación de Navier�Stokes.Si dos campos de �ujo pasan a través de cuerpos geométricamente similares

con condiciones de frontera similares, y cada �uido tienen sus propias caracterís-ticas, pero los dos �ujos serán dinámicamente similares (es decir, tendrán las

6.7. PRINCIPIO DE SIMILITUD 85

mismas líneas de corriente) si y solo si tienen el mismo valor para el número deReynolds. Este principio es conocido como Principio de similaridad de Reynolds(O. Reynolds, 1938).El tensor de rapidez de deformación

D =1

2

�ru+ (ru)T

�=1

2

�U

Lru+ U

L

�ru

�T�=U

LD; (6.150)

dondeD =

1

2

�ru+

�ru

�T�: (6.151)

El tensor de esfuerzos

T = �p1+ 2�D = �U2��p1+ 2

ReD

�= �U2T; (6.152)

donde

T =T

�U2= �p1+ 2

ReD: (6.153)

El término convectivo de las fuerzas inerciales, v � rv, tiene el orden demagnitud U2=L, mientras que el término de las fuerzas viscosas, �r2v, tieneel orden de magnitud �U=L2: El cociente de las fuerzas inerciales (Fi) entre lasfuerzas viscosas (Fv), está dado por

FiFv

� U2=L

�U=L2=U L

�= Re (6.154)

en donde se observa que el número de Reynolds es una medida del la razón delas fuerzas inerciales con respecto a las fuerzas viscosas (� orden de magnitud).En el caso de campos de �ujo en donde es necesario considerar la presencia

del campo gravitatorio y su relación con respecto a las fuerzas inerciales, comoen el caso de super�cies libres o campos de �ujo con estrati�caciones en ladensidad, se de�ne el número de Froude Fr, el cual es una medida de la razónde las fuerzas de inercia entre las fuerzas gravitacionales, dado por

Fr =

sU

Lg; (6.155)

en donde g es el valor de la aceleración debida a la gravedad.Cuando el �uido es compresible, el efecto de las fuerzas de compresibilidad

debe tomarse en cuenta. Tal efecto se muestra como fuerzas de elasticidad de-bidas a la compresibilidad del medio y que lleva a la propagación de las ondasde sonido. Para ello se de�ne el número de Mach M; como una medida de larazón de las fuerzas de inercia entre las fuerzas de compresibilidad, la cual estádada por

M =U

c; (6.156)

donde c es la velocidad local del sonido. Cuando M < 1 subsónico, cuandoM ! 1 transónico, cuando 1 < M � 6 supersónico y cuandoM > 6 hipersónico.


6.8. Ecuaciones de Navier-Stokes en coordenadascartesianas, polares cilíndricas y esféricas

La ecuación de Navier-Stokes para un �uido compresible es

@ v

@t+ v �rv = f � 1

�rp+ �

�r2v + 1

3r (r � v)

�: (6.157)

El gradiente de la presión

rp = gk @

@xk(p) = p;kg

k: (6.158)

La divergencia del campo de velocidad

r � v = gk � @

@xk�vig

i�= vi;kg

k � gi = vi;kgki = vk ;k : (6.159)

El gradiente del campo de velocidad

rv = gk @

@xk�vig

i�= vi;kg

kgi (6.160)

Para r (r � v)

r (r � v) = gk @

@xk�vi ;i�= vi ;ik g

k = vi;jkgjigk (6.161)

El operador v �rv

v �rv =�vjg

j��vi;kg

kgi�= vjvi;jg

j � gkgi = vjvi;jgjkgi (6.162)

Para el laplaciano del campo de velocidad r2v

r2v =r �rv = gk � @

@xk�vi;jg

jgi�= vi;jkg

kjgi: (6.163)

Los vectores base unitarios son

ek =gkpgkk

; (6.164)

gk =pgkkek (6.165)

ek =gkpgkk

; (6.166)

gk =pgkkek (6.167)

y los componentes físicos del campo de velocidad son

v = vkgk = v(k)e

k; (6.168)

v(k) =pgkkvk; (6.169)

vk =1pgkk

v(k); (6.170)

6.8. ECUACIONES DE NAVIER-STOKES EN COORDENADAS CARTESIANAS, POLARES CILÍNDRICAS Y ESFÉRICAS87

v = vkgk = v(k)ek; (6.171)

v(k) =pgkkv

k; (6.172)

vk =1

pgkk

v(k); (6.173)

Entonces los operadores antes mencionados en términos de sus componentesfísicos quedan como

rp = p;kgk =

pgkkp;ke

k; (6.174)

r (r � v) = vi;jkgjigk =

pgkkgjivi;jke

k (6.175)

rv = vi;kgkgi =

�vi;k � vn

�n

i k

��pgkkek

��pgiiei

�=

pgkkpgii�vi;k � vn

�n

i k

��ekei (6.176)

v �rv = vjvi;jgjkgi =

pgiigjkvjvi;je

i; (6.177)

r2v = vi;jkgkjgi = (vi;j);k g

kjgi = Tji;kgkjgi (6.178)

Tji;k = Tji;k � Tni�n

j k

�� Tjn

�n

i k

�; (6.179)

Tji;k = (vi;j);k =

�vi;j � vn

�n

i j

��;k

= vi;jk � vn;k�n

i j

�� vn

�n

i j

�;k

; (6.180)

Tni

�n

j k

�= vi;n

�n

j k

�=

�vi;n � vm

�m

in

��n

j k

�; (6.181)

Tjn

�n

i k

�= vn;j

�n

i k

�=

�vn;j � vm

�m

nj

��n

i k

�; (6.182)

entonces

vi;jk = vi;jk � vn;k�n

i j

�� vn

�n

i j

�;k

� vi;n�n

j k

�� vn;j

�n

i k

�+vm

��m

in

��n

j k

�+

�m

nj

��n

i k

��=

�vi;jk � vi;n

�n

j k

�� vn;k

�n

i j

�� vn

�n

i j

�;k

� vn;j�n

i k

�+vm

��m

in

��n

j k

�+

�m

nj

��n

i k

��=

�vi;jk � vi;n

�n

j k

��Aijk +Bijk; (6.183)


donde

Aijk = vn;k

�n

i j

�+ vn

�n

i j

�;k

+ vn;j

�n

i k

�; (6.184)

Bijk = vm

��m

in

��n

j k

�+

�m

nj

��n

i k

��: (6.185)

El operador laplaciano para un campo escalar es

r2 = gkj�

@2

@xk@xj��n

j k

�@

@xn

�; (6.186)

y para el campo esclar vi queda como

r2vi = gkj�vi;kj � vi;n

�n

j k

��; (6.187)

por lo que el laplaciano de un campo vectorial

r2v = vi;jkgkjgi =

��vi;jk � vi;n

�n

j k

��Aijk +Bijk

�gkjgi

=��r2vi

��Aijkgkj +Bijkgkj

�gi

=pgii��r2vi


�ei: (6.188)

El laplaciano r2vi en términos del componente físico v(i) queda como

r2vi = r2

1pgiiv(i)

!= gkj

0@ 1pgiiv(i)

!;kj

�

1pgiiv(i)

!;n

�n

j k

�1A ;

(6.189)para el primer término del lado derecho se tiene que

1pgiiv(i)

!;kj

=

0@ 1pgii

!;k

v(i) +1pgiiv(i);k

1A;j

=

1pgii

!;kj

v(i) +

1pgii

!;k

v(i);j

+

1pgii

!;j

v(i);k +1pgiiv(i);kj ; (6.190)

y para el segundo término del lado derecho se tiene 1pgiiv(i)

!;n

=

1pgii

!;n

v(i) +1pgiiv(i);n: (6.191)


Sustituyendo en r2vi y agrupando los términos que están multiplicandos por1=pgii se tiene

r2vi =1pgii

�gkj�v(i);kj � v(i);n

�n

j k

��+

gkj

0@v(i)0@ 1p

gii

!;kj

�

1pgii

!;n

�n

j k

�1A+

1pgii

!;k

v(i);j +

1pgii

!;j

v(i);k

1A ; (6.192)

que se puede expresar ahora como

r2vi =1pgiir2v(i) + v(i)r2

1pgii

!+ Cijkg

kj ; (6.193)

donde

Cijk =

1pgii

!;k

v(i);j +

1pgii

!;j

v(i);k: (6.194)

Finalmente, el laplaciano del campo de velocidad queda como

r2v =pgii��r2vi


�ei

=pgii

"1pgiir2v(i) + v(i)r2

1pgii

!+ Cijkg

kj �Aijkgkj +Bijkgkj#ei

=

"r2v(i) +

pgii

v(i)r2

1pgii

!+ gkj (Cijk �Aijk +Bijk)

!#ei(6.195)

Para sistemas ortogonales, tenemos que los componentes del tensor métricorecíproco

�gkj�sólo son diferentes de cero cuando j = k, por lo que la expresión

para el laplaciano se reduce a

r2v =

"r2v(i) +

pgii

v(i)r2

1pgii

!+ gkk (Cikk �Aikk +Bikk)

!#ei

=hr2v(i) +

pgii�v(i)r2

�pgii�+ gkk (Cikk �Aikk +Bikk)

�iei;(6.196)

en dondepgii =

1pgii

(6.197)

y los tensores Aikk, Bikk y Cikk quedan como

Aikk = vn;k

�n

i k

�+ vn

�n

i k

�;k

+ vn;k

�n

i k

�= 2vn;k

�n

i k

�+ vn

�n

i k

�;k

; (6.198)


Bikk = vm

��m

in

��n

k k

�+

�m

nk

��n

i k

��; (6.199)

Cikk =�pgii�;kv(i);k +

�pgii�;kv(i);k

= 2�pgii�;kv(i);k: (6.200)

r2u = gkk�u;kk � u;n

�n

k k

��; (6.201)

6.8.1. Coordenadas polares

Para cada uno de los términos en los que aparece un operador diferencial dela ecuación de Navier�Stokes tenemos:Gradiente del campo de presión

rp =pgkkp;ke

k =@p

@rer +

1

r

@p

@�e� +

@p

@zez: (6.202)

Divergencia del campo de velocidad

r � v = vk ;k =1

r

@

@r(r vr) +

1

r

@v�@�

+@vz@z

: (6.203)

Gradiente del campo de velocidad

rv = vi;kgkgi =

pgkkpgii�vi;k � vn

�n

i k

��ekei

=@vr@rerer +

1

r

�@ (r v�)

@r� v�

�ere� +

@vz@rerez

+1

r

�@vr@�

� v��e�er +

1

r2

�r@v�@�

+ r vr

�e�e� +

1

r

�@vz@�

�e�ez

+@vr@zezer +

@v�@zeze� +

@vz@zezez; (6.204)

y en forma matricial

rv =

24 @vr@r

@v�@r

@vz@r

1r

�@vr@� � v�

�1r

�@v�@� + vr

�1r@vz@�

@vr@z

@v�@z

@vz@z

35 : (6.205)

Para el componente convectivo inercial

v �rv =

�vr@vr@r

+v�r

�@vr@�

� v��+ vz

@vr@z

�er

+

�vr@v�@r

+v�r

�@v�@�

+ vr

�+ vz

@v�@z

�e�

+

�vr@vz@r

+v�r

@vz@�

+ vz@vz@z

�ez: (6.206)


El laplaciano de un campo escalar

r2 = @2

@r2+1

r

@

@r+1

r2@2

@�2+

@2

@z2; (6.207)

El laplaciano del campo de velocidad

r2v =�r2v

�igi =

�r2v

�(i)ei (6.208)

en donde�r2v

�(i)= r2v(i)+

pgii�v(i)r2


�: (6.209)

Para el primer componente del laplaciano de la velocidad (i = 1) ; se tiene�r2v

�r= r2vr +

pg11�vrr2 (

pg11) + g

kk (C1kk �A1kk +B1kk)�; (6.210)

y comopg11 = 1, y r2

�pg11�= r2 (1) = 0, entonces�

r2v�r= r2vr + gkk (C1kk �A1kk +B1kk) ; (6.211)

y desarrollando la sumas con respecto a k y expresando los sumandos por sep-arado por claridad se tienen las siguientes expresiones para cada uno de losvalores del índice k. Para k = 1

g11A111 = g11

2vn;1

�n

1 1

�+ vn

�n

1 1

�;1

!= 0; (6.212)

g11B111 = g11vm

��m

1n

��n

1 1

�+

�m

n 1

��n

1 1

��= 0; (6.213)

g11C111 = 2 (pg11);1 vr;1 = 0: (6.214)

Para k = 2

g22A122 = g22

2vn;2

�n

1 2

�+ vn

�n

1 2

�;2

!

= g22

2v2;2

�2

1 2

�+ v2

�2

1 2

�;2

!

=1

r2

�2

r

@ (r v�)

@�

�=2

r2@v�@�

; (6.215)

g22B122 = g22vm

��m

1n

��n

2 2

�+

�m

n 2

��n

1 2

��= g22v1

�1

2 2

��2

1 2

�=

�1

r2

�vr (�r)

�1

r

�= �vr

r2; (6.216)


g22C122 = 2g22 (pg11);2 vr;2 = 0: (6.217)

Para k = 3

g33A133 = g33

2vn;3

�n

1 3

�+ vn

�n

1 3

�;3

!= 0; (6.218)

g33B133 = g33vm

��m

1n

��n

3 3

�+

�m

n 3

��n

1 3

��= 0: (6.219)

g33C133 = 2 (pg11);3 vr;3 = 0: (6.220)

Finalmente �r2v

�r=�r2vr

�� 2

r2@v�@�

� vrr2: (6.221)

Para el segundo componente del laplaciano (i = 2) ; se tiene�r2v

�(2)

=�r2v

��= r2v� +

pg22�v�r2 (

pg22) + g

kk (C2kk �A2kk +B2kk)�

= r2v� +1

r

�v�r2 (r) + gkk (C2kk �A2kk +B2kk)

�: (6.222)

Para la parte r2v2

r2v� = gkk�v�;kk � v�;n

�n

k k

��(6.223)

r2v2 = r2 (r v�) = gkk�(r v�);kk � (r v�);n

�n

k k

��= gkk

�(r v�);kk � (r v�);n

�n

k k

��; (6.224)

(r v�);kk = r@2v�

@ (xk)2 + 2

@v�@xk

@r

@xk+ v�

@2r

@ (xk)2

= r v�;kk + 2v�;kr;k + v�r;kk; (6.225)

(r v�);n = r@v�@xn

+ v�@r

@xn

= r v�;n + v�r;n; (6.226)

r2v2 = gkk�r v�;kk + 2v�;kr;k + v�r;kk � (r v�;n + v�r;n)

�n

k k

��= gkk

�r

�v�;kk � v�;n

�n

k k

��+ 2v�;kr;k + v�r;kk � v�r;n

�n

k k

��= rr2v� + gkk

�2v�;kr;k + v�r;kk � v�r;n

�n

k k

��(6.227)


por lo tanto

r2v2 = rr2v� + g11�2v�;1r;1 + v�r;11 � v�r;n

�n

1 1

��+g22

�2v�;2r;2 + v�r;22 � 2v�r;n

�n

2 2

��+g33

�2v�;3r;3 + v�r;33 � 2v�r;n

�n

3 3

��= rr2v� + 2

@v�@r

+v�r: (6.228)

El laplaciano

1

rr2 (r) = 1

r

�@2

@r2(r) +

1

r

@

@r(r)

�=1

r2: (6.229)

Para los otros componentes realizamos las sumas con respecto a k. Parak = 1

g11A211 = g11

2vn;1

�n

2 1

�+ vn

�n

2 1

�;1

!=

= g11

2v2;1

�2

2 1

�+ v2

�2

2 1

�;1

!

=

�2@ (r v�)

@r

�1

r

�+ r v�

�� 1r2

��= 2

@v�@r

+v�r

(6.230)

g11B211 = g11vm

��m

2n

��n

1 1

�+

�m

n 1

��n

2 1

��= g11v2

�2

2 1

��2

2 1

�= (r v�)

�1

r

��1

r

�=v�r; (6.231)

g11C211 = 2g11 (pg22);1 v�;1 = 2

@ (r)

@r

@ v�@r

= 2@ v�@r

: (6.232)

k = 2

g22A222 = g22

2vn;2

�n

2 2

�+ vn

�n

2 2

�;2

!

= g22

2v1;2

�1

2 2

�+ v1

�1

2 2

�;2

!

=

�1

r2

��2r @vr

@�

�= �2

r

@vr@�

(6.233)


g22B222 = g22vm

��m

2n

��n

2 2

�+

�m

n 2

��n

2 2

��= g22v2

��2

2 1

��1

2 2

�+

�2

1 2

��1

2 2

��= 2

�1

r2

�(r v�)

�(�r)

�1

r

��= �2v�

r(6.234)

g22C222 = 2g22 (pg22);2 v�;2 = 0: (6.235)

k = 3

g33A233 = g33

2vn;3

�n

2 3

�+ vn

�n

2 3

�;3

!= 0 (6.236)

g33B233 = g33vm

��m

2n

��n

3 3

�+

�m

n 3

��n

2 3

��= 0 (6.237)

g33C233 = 2g33 (pg22);3 v�;3 = 0: (6.238)

Finalmente

v�r2 (pg22) =

v�r2; (6.239)

gkkC2kk = 2@ v�@r

; (6.240)

gkkA2kk = 2@v�@r

+v�r� 2r

@vr@�

; (6.241)

gkkB2kk =v�r� 2v�

r; (6.242)

gkk (C2kk �A2kk +B2kk) = 2@ v�@r

��2@v�@r

+v�r� 2r

@vr@�

�+�v�r� 2v�

r

�=

2

r

@vr@�

� 2v�r

(6.243)

�r2v

��= r2v� +

pg22�v�r2 (

pg22) + g


= r2v� +1

r

�v�r+2

r

@vr@�

� 2v�r

�= r2v� +

2

r2@vr@�

� v�r2: (6.244)


�r2v

��=

�1

r

��rr2v� + 2

@v�@r

+v�r

�+

��2

r

@v�@r

+v�r2

�+v�r2

�+

�� 2r2@vr@�

�+��2v�

r2

��= r2v� +

2

r2@vr@�

� v�r2

(6.245)

Para el tercer componente del laplaciano (i = 3)�r2v

�(3)

=�r2v

�z= r2vz +

pg33�vzr2 (

pg33) + g


= r2vz +�vzr2 (1) + gkk (C3kk �A3kk +B3kk)

�= r2vz + gkk (C3kk �A3kk +B3kk) : (6.246)

Para k = 1

g11A311 = g11

2vn;1

�n

3 1

�+ vn

�n

3 1

�;1

!= 0; (6.247)

g11B311 = g11vm

��m

3n

��n

1 1

�+

�m

n 1

��n

3 1

��= 0; (6.248)

g11C311 = 2g11 (pg33);1 vz;1 = 0: (6.249)

k = 2

g22A322 = g22

2vn;2

�n

3 2

�+ vn

�n

3 2

�;2

!= 0;

g22B322 = g22vm

��m

3n

��n

2 2

�+

�m

n 2

��n

3 2

��= 0; (6.250)

g22C322 = 2g22 (pg33);2 vz;2 = 0: (6.251)

k = 3

g33A333 = g33

2vn;3

�n

3 3

�+ vn

�n

3 3

�;3

!= 0; (6.252)

g33B333 = g33vm

��m

3n

��n

3 3

�+

�m

n 3

��n

3 3

��= 0; (6.253)

g33C333 = 2g33 (pg33);3 vz;3 = 0: (6.254)

Finalmente �r2v

�z= r2vz: (6.255)

Los componentes de la ecuación de Navier-Stokes para coordenadas polarescilíndricas quedan como

@ v

@t+ v �rv = f � 1

�rp+ �

�r2v + 1

3r (r � v)

�: (6.256)


@ vr@t

+ vr@vr@r

+v�r

@vr@�

+ vz@vr@z

� v2�r= �1

�

@p

@r+ fr

�

�r2vr �

2

r2@v�@�

� vrr2

�+�

3

@

@r(r � v) (6.257)

@ v�@t

+ vr@v�@r

+v�r

@v�@�

+ vz@v�@z

+vr v�r

= �1�

1

r

@p

@�+ f�

�

�r2v� +

2

r2@vr@�

� v�r2

�+�

3

1

r

@

@�(r � v) (6.258)

@ vz@t

+ vr@vz@r

+v�r

@vz@�

+ vz@vz@z

= �1�

@p

@z+ fz

�r2vz +�

3

@

@z(r � v) (6.259)

6.8.2. Coordenadas esféricas

Para cada uno de los términos en los que aparece un operador diferencial dela ecuación de Navier�Stokes tenemos:El campo de velocidad

v = vr er + v� e� + v� ez (6.260)

Gradiente del campo de presión

rp =pgkkp;ke

k =@p

@rer +

1

r

@p

@�e� +

1

r sin �

@p

@�ez: (6.261)

Divergencia del campo de velocidad

r � v = vk ;k =1

r2@

@r

�r2 vr

�+

1

r sin �

@

@�(v� sin �) +

1

r sin �

@v�@�

: (6.262)

Gradiente del campo de velocidad

rv = vi;kgkgi =

pgkkpgii (vi;k) e

kei

v1;1 = v1;1 � vn�n

1 1

�=@ v1@r

=@ vr@r

; (6.263)

v2;1 = v2;1 � vn�n

2 1

�=@ v2@r

� v2�2

2 1

�=

@ (r v�)

@r� 1r(r v�) = r

@ v�@r

; (6.264)


v3;1 = v3;1 � vn�n

3 1

�=@ v3@r

� v3�3

2 1

�=

@ (r sin � v�)

@r� 1r(r sin � v�) = r sin �

@ v�@r

; (6.265)

v1;2 = v1;2 � vn�n

1 2

�=@ v1@�

� v2�2

1 2

�=

@ vr@�

� 1r(r v�) =

@ vr@�

� v�; (6.266)

v2;2 = v2;2 � vn�n

2 2

�=@ v2@�

� v1�1

2 2

�=

@ (r v�)

@�� (�r) (vr) = r

@ v�@�

+ r vr; (6.267)

v3;2 = v3;2 � vn�n

3 2

�=@ v3@�

� v3�3

3 2

�=

@ (r sin � v�)

@�� cot � (r sin � v�) = r sin �

@ v�@�

; (6.268)

v1;3 = v1;3 � vn�n

1 3

�=@ v1@�

� v3�3

1 3

�=

@ vr@�

� 1r(r sin � v�) =

@ vr@�

� sin � v�; (6.269)

v2;3 = v2;3 � vn�n

2 3

�=@ v2@�

� v3�3

2 3

�=

@ (r v�)

@�� cot � (r sin � v�) = r

@ v�@�

� r cos � v�; (6.270)

v3;3 = v3;3 � vn�n

3 3

�=@ v3@�

� v1�1

3 3

�� v2

�2

3 3

�=

@ (r sin � v�)

@��r sin2 �

�vr � (� sin � cos �) (r v�)

= r sin �

�@ v�@�

+ sin � vr + cos � v�

�; (6.271)


rv =@vr@rerer +

1

r

�r@ v�@r

�ere� +

1

r sin �

�r sin �

@ v�@r

�ere�

+1

r

�@ vr@�

� v��e�er +

1

r2

�r@ v�@�

+ r vr

�e�e� +

1

r2 sin �

�r sin �

@ v�@�

�e�e�

+1

r sin �

�@ vr@�

� sin � v��e�er +

1

r2 sin �

�r@ v�@�

� r cos � v��e�e�

+1

r2 sin2 �

�r sin �

�@ v�@�

+ sin � vr + cos � v�

��e�e�; (6.272)

simpli�cando y representando en forma matricial

rv =

264 @vr@r

@v�@r

@ v�@r

1r@vr@� �

v�r

1r@v�@� +

vrr

1r@ v�@�

1r sin �

@ vr@� �

v�r

1r sin �

@ v�@� �

cot � v�r

1r sin �

@ v�@� + vr

r +cot � v�

r

375 :(6.273)

Para el componente convectivo inercial

v �rv = vr@vr@r

+v�r

@vr@�

+v�

r sin �

@ vr@�

� v2�r�v2�r

!er

+

vr@v�@r

+v�r

@v�@�

+v�

r sin �

@ v�@�

+vr v�r

�cot � v2�

r

!e�

+

�vr@ v�@r

+v�r

@ v�@�

+v�

r sin �

@ v�@�

+vr v�r

+cot � v� v�

r

�e�: (6.274)

El laplaciano de un campo escalar

r2 = 1

r2@

@r

�r2@

@r

�+

1

r2 sin �

@

@�

�sin �

@

@�

�+

1

r2 sin2 �

@2

@�2: (6.275)

El laplaciano del campo de velocidad

r2v =�r2v

�igi =

�r2v

�(i)ei (6.276)

en donde�r2v

�(i)= r2v(i)+

pgii�v(i)r2


�: (6.277)

Para el primer componente del laplaciano de la velocidad (i = 1) ; se tiene�r2v

�r= r2vr +

pg11�vrr2 (

pg11) + g

kk (C1kk �A1kk +B1kk)�; (6.278)

y comopg11 = 1, y r2

�pg11�= r2 (1) = 0, entonces�

r2v�r= r2vr + gkk (C1kk �A1kk +B1kk) ; (6.279)


y desarrollando la sumas con respecto a k y expresando los sumandos por sep-arado por claridad se tienen las siguientes expresiones para cada uno de losvalores del índice k. Para k = 1

g11A111 = g11

2vn;1

�n

1 1

�+ vn

�n

1 1

�;1

!= 0; (6.280)

g11B111 = g11vm

��m

1n

��n

1 1

�+

�m

n 1

��n

1 1

��= 0; (6.281)

g11C111 = 2 (pg11);1 vr;1 = 0: (6.282)

Para k = 2

g22A122 = g22

2vn;2

�n

1 2

�+ vn

�n

1 2

�;2

!

= g22

2v2;2

�2

1 2

�+ v2

�2

1 2

�;2

!

=1

r2

�2

r

@ (r v�)

@�

�=2

r2@v�@�

; (6.283)

g22B122 = g22vm

��m

1n

��n

2 2

�+

�m

n 2

��n

1 2

��= g22v1

�1

2 2

��2

1 2

�=

�1

r2

�vr (�r)

�1

r

�= �vr

r2; (6.284)

g22C122 = 2g22 (pg11);2 vr;2 = 0: (6.285)

Para k = 3

g33A133 = g33

2vn;3

�n

1 3

�+ vn

�n

1 3

�;3

!

=1

r2 sin2 �

2v3;3

�3

1 3

�+ v3

�3

1 3

�;3

!

=1

r2 sin2 �

�2@ (r sin � v�)

@�

�1

r

��=

2

r2 sin �

@ v�@�

(6.286)


g33B133 = g33vm

��m

1n

��n

3 3

�+

�m

n 3

��n

1 3

��= g33

�v2

�2

1 2

��2

3 3

�+ v1

�1

3 3

��3

1 3

�+ v2

�2

3 3

��3

1 3

��= g33

�v2

�2

3 3

��2

1 2

�+

�3

1 3

��+ v1

�1

3 3

��3

1 3

��=

1

r2 sin2 �

�(r v�) (� sin � cos �)

�1

r+1

r

�+ vr

��r sin2 �

��1r

��= � 2

r2cot � v� �

vrr2

(6.287)

g33C133 = 2 (pg11);3 vr;3 = 0: (6.288)

Finalmente

�r2v

�r= r2vr �

2

r2@v�@�

� vrr2� 2

r2 sin �

@ v�@�

� 2

r2cot � v� �

vrr2

= r2vr �2vrr2

� 2

r2 sin �

@ v�@�

� 2

r2

�cot � v� +

@v�@�

�: (6.289)

Para el segundo componente del laplaciano (i = 2) ; se tiene�r2v

�(2)

=�r2v

��= r2v� +

pg22�v�r2 (

pg22) + g


= r2v� +1

r

�v�r2 (r) + gkk (C2kk �A2kk +B2kk)

�: (6.290)

El laplaciano

1

rv�r2 (r) =

1

r

�1

r2@

@r

�r2@ (r)

@r

��=2v�r2

: (6.291)

Para los otros componentes realizamos las sumas con respecto a k. Parak = 1

g11A211 = g11

2vn;1

�n

2 1

�+ vn

�n

2 1

�;1

!=

= g11

2v2;1

�2

2 1

�+ v2

�2

2 1

�;1

!

=

�2@ (r v�)

@r

�1

r

�+ r v�

�� 1r2

��= 2

@v�@r

+v�r

(6.292)


g11B211 = g11vm

��m

2n

��n

1 1

�+

�m

n 1

��n

2 1

��= g11v2

�2

2 1

��2

2 1

�= (r v�)

�1

r

��1

r

�=v�r; (6.293)

g11C211 = 2g11 (pg22);1 v�;1 = 2

@ (r)

@r

@ v�@r

= 2@ v�@r

: (6.294)

k = 2

g22A222 = g22

2vn;2

�n

2 2

�+ vn

�n

2 2

�;2

!

= g22

2v1;2

�1

2 2

�+ v1

�1

2 2

�;2

!

=

�1

r2

��2r @vr

@�

�= �2

r

@vr@�

(6.295)

g22B222 = g22vm

��m

2n

��n

2 2

�+

�m

n 2

��n

2 2

��= g22v2

��2

2 1

��1

2 2

�+

�2

1 2

��1

2 2

��= 2

�1

r2

�(r v�)

�(�r)

�1

r

��= �2v�

r(6.296)

g22C222 = 2g22 (pg22);2 v�;2 = 0: (6.297)

k = 3

g33A233 = g33

2vn;3

�n

2 3

�+ vn

�n

2 3

�;3

!= 0 (6.298)

g33B233 = g33vm

��m

2n

��n

3 3

�+

�m

n 3

��n

2 3

��= 0 (6.299)

g33C233 = 2g33 (pg22);3 v�;3 = 0: (6.300)

Finalmentev�r2 (

pg22) =

v�r2; (6.301)

gkkC2kk = 2@ v�@r

; (6.302)

gkkA2kk = 2@v�@r

+v�r� 2r

@vr@�

; (6.303)


gkkB2kk =v�r� 2v�

r; (6.304)

gkk (C2kk �A2kk +B2kk) = 2@ v�@r

��2@v�@r

+v�r� 2r

@vr@�

�+�v�r� 2v�

r

�(6.305)

=2

r

@vr@�

� 2v�r

(6.306)

�r2v

��= r2v� +

pg22�v�r2 (

pg22) + g

kk (C2kk �A2kk +B2kk)�(6.307)

= r2v� +1

r

�v�r+2

r

@vr@�

� 2v�r

�(6.308)

= r2v� +2

r2@vr@�

� v�r2: (6.309)

�r2v

��=

�1

r

��rr2v� + 2

@v�@r

+v�r

�+

��2

r

@v�@r

+v�r2

�+v�r2

�+

�� 2r2@vr@�

�+��2v�

r2

��= r2v� +

2

r2@vr@�

� v�r2

(6.310)

Para el tercer componente del laplaciano (i = 3)�r2v

�(3)

=�r2v

��= r2v� +

pg33�v�r2 (

pg33) + g


= r2v� +1

r sin �

�v�r2 (r sin �) + gkk (C3kk �A3kk +B3kk)

�: (6.311)

El laplaciano

1

r sin �v�r2 (r sin �) =

1

r

�1

r2@

@r

�r2@ (r sin �)

@r

�+

1

r2 sin �

@

@�

�sin �

@ (r sin �)

@�

��(6.312)

=1

r3

�2r sin � +

r

sin �� 2r

�v� =

v�r2

�2 sin � +

1

sin �� 2�:(6.313)

Para k = 1

g11A311 = g11

2vn;1

�n

3 1

�+ vn

�n

3 1

�;1

!= 0; (6.314)

g11B311 = g11vm

��m

3n

��n

1 1

�+

�m

n 1

��n

3 1

��= 0; (6.315)

g11C311 = 2g11 (pg33);1 vz;1 = 0: (6.316)


k = 2

g22A322 = g22

2vn;2

�n

3 2

�+ vn

�n

3 2

�;2

!= 0;

g22B322 = g22vm

��m

3n

��n

2 2

�+

�m

n 2

��n

3 2

��= 0; (6.317)

g22C322 = 2g22 (pg33);2 vz;2 = 0: (6.318)

k = 3

g33A333 = g33

2vn;3

�n

3 3

�+ vn

�n

3 3

�;3

!= 0; (6.319)

g33B333 = g33vm

��m

3n

��n

3 3

�+

�m

n 3

��n

3 3

��= 0; (6.320)

g33C333 = 2g33 (pg33);3 vz;3 = 0: (6.321)

Finalmente �r2v

�z= r2vz: (6.322)

Los componentes de la ecuación de Navier-Stokes para coordenadas polarescilíndricas quedan como

@ v

@t+ v �rv = f � 1

�rp+ �

�r2v + 1

3r (r � v)

�: (6.323)

@ vr@t

+ vr@vr@r

+v�r

@vr@�

+ vz@vr@z

� v2�r= �1

�

@p

@r+ fr

�

�r2vr �

2

r2@v�@�

� vrr2

�+�

3

@

@r(r � v) (6.324)

@ v�@t

+ vr@v�@r

+v�r

@v�@�

+ vz@v�@z

+vr v�r

= �1�

1

r

@p

@�+ f�

�

�r2v� +

2

r2@vr@�

� v�r2

�+�

3

1

r

@

@�(r � v) (6.325)

Capítulo 7

Sólidos

7.1. Ecuaciones constitutivas para sólidos

El gradiente del campo de desplazamiento es

ru = ui;kgkgi =

pgkkpgii�ui;k � un

�n

i k

��ekei

=@ur@rerer +

1

r

�@ (r u�)

@r� u�

�ere� +

@uz@rerez

+1

r

�@ur@�

� v��e�er +

1

r2

�r@u�@�

+ r vr

�e�e� +

1

r

�@uz@�

�e�ez

+@ur@zezer +

@u�@zeze� +

@uz@zezez; (7.1)

y en forma matricial

rv =

24 @ur@r

@u�@r

@uz@r

1r

�@ur@� � u�

�1r

�@u�@� + ur

�1r@uz@�

@ur@z

@u�@z

@uz@z

35 : (7.2)

El tensor de deformación

e =1

2

�ru+ruT

�(7.3)

Los componentes del tensor de deformación en términos del campo de desplaza-miento son

e =1

2

24 2@ur@r1r@ur@� +

@u�@r �

u�r

@uz@r +

@ur@z

1r@ur@� +

@u�@r �

u�r 2

�1r@u�@� +

urr

�1r@uz@� +

@u�@z

@uz@r +

@ur@z

1r@uz@� +

@u�@z 2@uz@z

35 (7.4)

Ie = Tr e =r � u = @ur@r

+1

r

@u�@�

+urr+@uz@z

(7.5)

105

106 CAPÍTULO 7. SÓLIDOS

e =1

2�e(T� �e Ie 1) (7.6)

IT = TrT = 3�e Ie + 2�e Ie; (7.7)

Ie =IT

3�e + 2�e(7.8)

e =1

2�e

�T� �e IT

3�e + 2�e1

�(7.9)

E =�e (3�e + 2�e)

�e + �e; (7.10)

� =�e

2 (�e + �e): (7.11)

1 + � =3�e + 2�e2 (�e + �e)

=E

2�e; (7.12)

�e =E

2 (1 + �); (7.13)

�e =2� �e1� 2� =

� E

(1 + �) (1� 2�) : (7.14)

ek l =1

2�e

�T k l �

�e IT3�e + 2�e

�k l

�=

1

2�e

�T k l �

�e Tii

3�e + 2�e�k l

�(7.15)

IT = TrT = T i i = T 1 1 + T 2 2 + T 3 3 (7.16)

e1 1 =1

2�e

�T 1 1 �

�e3�e + 2�e

�T 1 1 + T 2 2 + T 3 3

��=

1

E

�T 1 1 � �

�T 2 2 + T 3 3

��; (7.17)

e2 2 =1

E

�T 2 2 � �

�T 1 1 + T 3 3

��; (7.18)

e3 3 =1

E

�T 3 3 � �

�T 1 1 + T 2 2

��; (7.19)

e1 2 =1

2�eT 1 2 ; (7.20)

e1 3 =1

2�eT 1 3 ; (7.21)

e2 3 =1

2�eT 2 3 : (7.22)

7.2. DEFORMACIONES PLANAS EN ELASTOESTÁTICA 107

7.2. Deformaciones planas en elastoestática

Un cuerpo experimenta una deformación plana si esta deformación es idén-tica en planos paralelos y no hay deformación en la dirección normal a estosplanos.Para el caso de un cilindro, se debe tener un campo de desplazamiento

ur = ur (r; �) ; (7.23)

u� = u� (r; �) ; (7.24)

uz = 0: (7.25)

El tensor de deformación es

e =

24 @ur@r

12

�1r@ur@� +

@u�@r �

u�r

�0

12

�1r@ur@� +

@u�@r �

u�r

�1r@u�@� +

urr 0

0 0 0

35 ; (7.26)

Ie =@ur@r

+1

r

@u�@�

+urr

(7.27)

Tensor de esfuerzos

T = �e Ie 1+ 2�e e; (7.28)

entonces

Trr = �e Ie + 2�e err = �e

�@ur@r

+1

r

@u�@�

+urr

�+ 2�e

@ur@r

; (7.29)

T�� = �e Ie + 2�e e�� = �e

�@ur@r

+1

r

@u�@�

+urr

�+ 2

�er

�@u�@�

+ ur

�; (7.30)

Tzz = �e Ie + 2�e ezz = �e

�@ur@r

+1

r

@u�@�

+urr

�; (7.31)

Tr� = T�r = 2�e er� = �e

�1

r

@ur@�

+@u�@r

� u�r

�; (7.32)

Trz = Tzr = T�z = Tz� = 0; (7.33)

e3 3 =1

E

�T 3 3 � �

�T 1 1 + T 2 2

��= 0; (7.34)

T 3 3 = ��T 1 1 + T 2 2

�(7.35)


7.3. Esfuerzos planos en elastoestática

Cuando el tensor de esfuerzos es expresado en términos de los esfuerzosprincipales, �1, �2 y �3, y sólo uno de ellos es cero, entonces se dice que elcuerpo se encuentra en un estado de esfuerzos planos.Consideremos un cuerpo cilíndrico

Trr = �e Ie + 2�e err = �e

�@ur@r

+1

r

@u�@�

+urr+@uz@z

�+ 2�e

@ur@r

; (7.36)

T�� = �e Ie + 2�e e�� = �e

�@ur@r

+1

r

@u�@�

+urr+@uz@z

�+ 2

�er

�@u�@�

+ ur

�;

(7.37)

Tr� = T�r = 2�e er� = �e

�1

r

@ur@�

+@u�@r

� u�r

�; (7.38)

Tzz = 0; (7.39)

Trz = Tzr = T�z = Tz� = 0; (7.40)

Tzz = �e Ie+2�e ezz = �e

�@ur@r

+1

r

@u�@�

+urr+@uz@z

�+2�e

@uz@z

= 0; (7.41)

@uz@z

= � �e�e + 2�e

�@ur@r

+1

r

@u�@�

+urr

�(7.42)

y sustituyendo en

Ie =

�@ur@r

+1

r

@u�@�

+urr+@uz@z

�=

�@ur@r

+1

r

@u�@�

+urr� �e�e + 2�e

�@ur@r

+1

r

@u�@�

+urr

��=

2�e�e + 2�e

�@ur@r

+1

r

@u�@�

+urr

�(7.43)

entonces

Trr = �e Ie + 2�e err =2�e �e�e + 2�e

�@ur@r

+1

r

@u�@�

+urr

�+ 2�e

@ur@r

; (7.44)

T�� = �e Ie + 2�e e�� =2�e �e�e + 2�e

�@ur@r

+1

r

@u�@�

+urr

�+ 2

�er

�@u�@�

+ ur

�:

(7.45)

7.4. FUNCIÓN DE ESFUERZOS DE AIRY 109

7.4. Función de esfuerzos de Airy

Cuando se tienen pronlemas de elasticidad isotrópica lineal planos, y lasfuerzas de cuerpo pueden ser expresadas en términos de un función de potencialU = U

�x1; x2

�, tal que f i = �U;i, se puede introducir la función de esfuerzos

de Airy (1)

Referencias

[1] Mysore N. L. Narasimhan. Principles of Continuum Mechanics. John Wileyand Sons, U. S. A., 1993.

111

112 REFERENCIAS

Apéndice A

Operadores diferenciales

Derivada covariante

un ;k = un ;k + um

�n

mk

�: (A.1)

un;k = un;k � um�m

nk

�: (A.2)

Operadores diferencialesGradiente

r = gk@

@xk: (A.3)

Divergencia

r� = gk � @

@xk: (A.4)

Rotacional

r� = gk � @

@xk: (A.5)

Laplaciano

r �r = gk � @

@xk

�gk

@

@xk

�: (A.6)

113

114 APÉNDICE A. OPERADORES DIFERENCIALES

Apéndice B

Identidades

r � (�v) = �r � v + v � r� (B.1)

r � (�rv) = �r2v+r� � rv (B.2)

r � (uv) = (r � u)v + u � rv (B.3)

r � (uT) = (r � u)T+ u � rT (B.4)

r � (u� v) = v � (r� u)� u � (r� v) (B.5)

u� (r� v) = rv � u� u � rv (B.6)

r� (u� v) = ur � v � u � rv � vr � u+ v � ru (B.7)

r (u � v) = ru � v �rv � u= u� (r� v) + v � (r� u) + u � rv + v � ru (B.8)

1

2r (v � v)� v � (r� v) = v � rv (B.9)

r � (r� u) = 0 (B.10)

r�r� = 0 (B.11)

r� (r� v) = r (r � v)�r2v (B.12)

115

116 APÉNDICE B. IDENTIDADES

r2 (��) = �r2�+ 2 (r�) � (r�) + �r2� (B.13)

Apéndice C

Coordenadas PolaresCilíndricas

C.1. Transformación de coordenadas

x1 = r =��z1�2+�z2�2� 1

2

; (C.1)

x2 = � = arctan

�z2

z1

�; (C.2)

x3 = z3: (C.3)

z1 = x1 cosx2; (C.4)

z2 = x1 sinx2; (C.5)

z3 = x3: (C.6)

Las super�cies coordenadas son cilindros para x1 = constante, con eje en eleje x3, planos verticales para x2 = constante, y planos horizontales que cortanel eje x3 para x3 = constante.

Los intervalos de valores que toman las coordenadas polares cilíndricas son

x1 2 (0;1) ; (C.7)

x2 2 [0; 2�) ; (C.8)

x3 = (�1;1) : (C.9)

117

118 APÉNDICE C. COORDENADAS POLARES CILÍNDRICAS

C.2. Jacobiano

J = det

�@zk

@xl

�=

��cosx2 �x1 sinx2 0sinx2 x1 cosx2 00 0 1

�� = x1; (C.10)

J 6= 0 excepto en x1 = 0, por lo que el eje z3 no está de�nido en coordenadaspolares cilíndricas.

C.3. Vectores base natural

g1 (x) = i1 cosx2 + i2 sinx

2; (C.11)

g2 (x) = �i1 x1 sinx2 + i2 x1 cosx2; (C.12)

g3 (x) = i3: (C.13)

i1 = g1 cosx2 � g2

�sinx2

x1

�; (C.14)

i2 = g1 sinx2 + g2

�cosx2

x1

�; (C.15)

i3 = g3: (C.16)

C.4. Tensor métrico fundamental

(gij) =

0@ 1 0 0

0�x1�2

00 0 1

1A : (C.17)

g = det (gij) =�x1�2: (C.18)

ds2 = dr2 + r2 d�2 + dz2: (C.19)

C.5. Vectores base recíprocos

g1 (x) = g1 (x) ; (C.20)

g2 (x) =g2 (x)

(x1)2 ; (C.21)

g3 (x) = g3 (x) : (C.22)

C.6. TENSOR MÉTRICO RECÍPROCO 119

C.6. Tensor métrico recíproco

�gij�=

0@ 1 0 00 1

(x1)20

0 0 1

1A : (C.23)

C.7. Vectores unitarios

e1 (x) = g1 (x) ; (C.24)

e2 (x) =g2 (x)

x1; (C.25)

e3 (x) = g3 (x) ; (C.26)

e1 (x) = g1 (x) ; (C.27)

e2 (x) = x1 g2 (x) ; (C.28)

e3 (x) = g3 (x) ; (C.29)

e1 (x) = e1 (x) = er (x) ; (C.30)

e2 (x) = e2 (x) = e� (x) ; (C.31)

e3 (x) = e3 (x) = ez (x) (C.32)

C.8. Componentes físicos de un vector

u(1) = u1; u(1) = u1; u(1) = u(1) = ur;u(2) = r u2; u(2) =

1ru2; u(2) = u(2) = u�;

u(3) = u3; u(3) = u3; u(3) = u(3) = uz:

(C.33)

C.9. Símbolos de Christo¤el

�2

1 2

�=

�2

2 1

�=1

x1=1

r; (C.34)�

1

2 2

�= �x1 = �r (C.35)

�i

mk

�= 0 para todos los demás (C.36)


C.10. Derivadas covariantes de componentesvectoriales

Derivadas covariantes de componentes covariantes.

ui;k = ui;k ��m

ik

�um:

u1;1 = u1;1

u2;1 = u2;1 �u2x1

u3;1 = u3;1

u1;2 = u1;2 �u2x1

u2;2 = u2;2 + x1 u1

u3;2 = u3;2

u1;3 = u1;3

u2;3 = u2;3

u3;3 = u3;3

Derivadas covariantes de componentes contravariantes

ui ;k = ui ;k +

�i

mk

�um:

u1 ;1 = u1 ;1

u2 ;1 = u2 ;1 +u2

x1

u3 ;1 = u3 ;1

u1 ;2 = u1 ;2 � x1 u2

u2 ;2 = u2 ;2 +u1

x1

u3 ;2 = u3 ;2

u1 ;3 = u1 ;3

u2 ;3 = u2 ;3

u3 ;3 = u3 ;3

C.11. Operadores diferenciales

C.11.1. Gradiente de una función escalar

r� = er@�

@r+e�r

@�

@�+ ez

@�

@z: (C.37)

C.11. OPERADORES DIFERENCIALES 121

C.11.2. Divergencia de un campo vectorial

r � v = 1

r

@

@r(r vr) +

1

r

@v�@�

+@vz@z

: (C.38)

C.11.3. Rotacional de un campo vectorial

r� v =�1

r

@vz@�

� @v�@z

�er +

�@vr@z

� @vz@r

�e�

+1

r

�@

@r(r v�)�

@vr@�

�ez: (C.39)

C.11.4. Laplaciano

r2 = @2

@r2+1

r

@

@r+1

r2@2

@�2+

@2

@z2(C.40)

Apéndice D

Coordenadas Esféricas

D.1. Transformación de coordenadas

x1 = r =��z1�2+�z2�2+�z3�2� 1

2

; (D.1)

x2 = � = arctan

0B@��z1�2+�z2�2� 1

2

z3

1CA ; (D.2)

x3 = � = arctan

�z2

z1

�: (D.3)

z1 = x1 sinx2 cosx3; (D.4)

z2 = x1 sinx2 sinx3; (D.5)

z3 = x1 cosx2: (D.6)

Las super�cies coordenadas son:

x1 = constante, esferas con centro en el origen cartesiano.

x2 = constante, conos con ángulo semivertical x2 y teniendo como eje aleje x3.

x3 = constante. planos meridianos perpendiculares al plano ecuatorial.

Los intervalos de valores que toman las coordenadas polares cilíndricas son

x1 2 (0;1) ; (D.7)

x2 2 (0; �) ; (D.8)

x3 = [0; 2�) : (D.9)

123

124 APÉNDICE D. COORDENADAS ESFÉRICAS

D.2. Jacobiano

J = det

�@zk

@xl

�=

=

��sinx2 cosx3 x1 cosx2 cosx3 �x1 sinx2 sinx3sinx2 sinx3 x1 cosx2 sinx3 x1 sinx2 cosx3

cosx2 �x1 sinx2 0

�� ==�x1�2sinx2; (D.10)

J 6= 0 excepto en x1 = 0; x2 = 0 y x2 = �, por lo que el eje z3 no está de�nidoen coordenadas esféricas.

D.3. Vectores base natural

g1 (x) = i1 sinx2 cosx3 + i2 sinx

2 sinx3 + i3 cosx2; (D.11)

g2 (x) = i1 x1 cosx2 cosx3 + i2 x

1 cosx2 sinx3 � i3 x1 sinx2; (D.12)g3 (x) = �i1 x1 sinx2 sinx3 + i2 x1 sinx2 cosx3: (D.13)

i1 = g1 sinx2 cosx3 + g2

cosx2 cosx3

x1� g3

cscx2 sinx3

x1; (D.14)

i2 = g1 sinx2 sinx3 + g2

cosx2 sinx3

x1� g3

cscx2 cosx3

x1; (D.15)

i3 = g1 cosx2 � g2

sinx2

x1: (D.16)

D.4. Tensor métrico fundamental

(gij) =

0B@ 1 0 0

0�x1�2

0

0 0�x1�2sin2 x2

1CA : (D.17)

g = det (gij) =�x1�4sin2 x2: (D.18)

ds2 = dr2 + r2d�2 + r2 sin2 � d�2 (D.19)

D.5. VECTORES BASE RECÍPROCOS 125

D.5. Vectores base recíprocos

g1 (x) = g1 (x) ; (D.20)

g2 (x) =g2 (x)

(x1)2 ; (D.21)

g3 (x) =g3 (x)

(x1)2sin2 x2

: (D.22)

D.6. Tensor métrico recíproco

�gij�=

0B@ 1 0 00 1

(x1)20

0 0 1(x1)2 sin2 x2

1CA : (D.23)

D.7. Vectores unitarios

e1 (x) = g1 (x) ; (D.24)

e2 (x) =g2 (x)

x1; (D.25)

e3 (x) =g3 (x)

x1 sin x2; (D.26)

e1 (x) = g1 (x) ; (D.27)

e2 (x) = x1 g2 (x) ; (D.28)

e3 (x) = x1 sin x2 g3 (x) ; (D.29)

e1 (x) = e1 (x) = er (x) ; (D.30)

e2 (x) = e2 (x) = e� (x) ; (D.31)

e3 (x) = e3 (x) = e� (x) (D.32)

D.8. Componentes físicos de un vector

u(1) = u1; u(1) = u1; u(1) = u(1) = ur;u(2) = r u2; u(2) =

1ru2; u(2) = u(2) = u�;

u(3) = r sin � u3; u(3) =1

r sin �u3; u(3) = u(3) = u�:

(D.33)


D.9. Símbolos de Christo¤el

�1

2 2

�= �x1 = �r; (D.34)�

1

3 3

�= �x1 sin2 x2 = �r sin2 �; (D.35)�

2

3 3

�= � sinx2 cosx2 = � sin � cos �; (D.36)�

2

1 2

�=

�2

2 1

�=1

x1=1

r; (D.37)�

3

1 3

�=

�3

3 1

�=1

x1=1

r; (D.38)�

3

2 3

�=

�3

3 2

�= cotx2 = cot �; (D.39)

�i

mk

�= 0 para todos los demás (D.40)

D.10. Derivadas covariantes de componentesvectoriales

Derivadas covariantes de componentes covariantes.

ui;k = ui;k ��m

ik

�um:

u1;1 = u1;1

u2;1 = u2;1 �u2x1

u3;1 = u3;1 �u3x1

u1;2 = u1;2 �u2x1

u2;2 = u2;2 + x1 u1

u3;2 = u3;2 � cotx2 u3u1;3 = u1;3 �

u3x1

u2;3 = u2;3 � cotx2 u3u3;3 = u3;3 + x

1 sin2 x2 u1 + sinx2 cosx2 u2

Derivadas covariantes de componentes contravariantes

ui ;k = ui ;k +

�i

mk

�um:

D.11. OPERADORES DIFERENCIALES 127

u1 ;1 = u1 ;1

u2 ;1 = u2 ;1 +u2

x1

u3 ;1 = u3 ;1 +u3

x1

u1 ;2 = u1 ;2 � x1 u2

u2 ;2 = u2 ;2 +u1

x1

u3 ;2 = u3 ;2 + cotx2 u3

u1 ;3 = u1 ;3 � x1 sin2 x2 u3

u2 ;3 = u2 ;3 � sinx2 cosx2 u3

u3 ;3 = u3 ;3 +u1

x1+ cotx2 u2

D.11. Operadores diferenciales

D.11.1. Gradiente de una función escalar

r = er@

@r+e�r

@

@�+

e�r sin �

@

@�: (D.41)

D.11.2. Divergencia de un campo vectorial

r � v = 1

r2@

@r

�r2 vr

�+

1

r sin �

@

@�(v� sin �) +

1

r sin �

@v�@�

: (D.42)

D.11.3. Rotacional de un campo vectorial

r� v =�@

@�(v� sin �)�

@v�@�

�er

r sin �

+

�1

sin �

@vr@�

� @

@r(r v�)

�e�r

+

�@

@r(r v�)�

@vr@�

�e�r: (D.43)

D.11.4. Laplaciano

r2 = 1

r2@

@r

�r2@

@r

�+

1

r2 sin �

@

@�

�sin �

@

@�

�+

1

r2 sin2 �

@2

@�2(D.44)

Apéndice E

Ecuaciones cúbicas

La solución general para la ecuación cúbica

a x3 + b x2 + c x+ d = 0 (E.1)

es

x1 =1

6 a

��2 b+ 161=3A

C+ 41=3 C

�; (E.2)

x2 = � 1

12 a

�4 b+ 161=3

�1 + i

p3� AC+ 41=3

�1� i

p3�C

�; (E.3)

x2 = � 1

12 a

�4 b+ 161=3

�1� i

p3� AC+ 41=3

�1 + i

p3�C

�(E.4)

en donde

A = b2 � 3 a c; (E.5)

B = 2 b3 � 9 a b c+ 27 a2 d; (E.6)

C =��B +

p�4A3 +B2

� 13

; (E.7)

i =p�1: (E.8)

129

130 APÉNDICE E. ECUACIONES CÚBICAS

Apuntes de Huesca de Mecanica Del Medio Continuo

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