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2016 APUNTES DE MATEMÁTICAS (Cálculo y repaso) Pepe Aranda http://jacobi.fis.ucm.es/pparanda Departamento de Métodos Matemáticos Facultad de Físicas. UCM https://www.ucm.es/ft2mm

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2016

APUNTES

DE

MATEMÁTICAS

(Cálculo y repaso)

Pepe Aranda

http://jacobi.fis.ucm.es/pparanda

Departamento de Métodos Matemáticos

Facultad de Físicas. UCM

https://www.ucm.es/ft2mm

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Matemáticas (2016-2017). Grupo A

Índice

Bibliografía

Sobre las versiones de los apuntes

1. Preliminares

1.1 Conjuntos. Lenguaje matemático 11.2 N , Z y Q . mcd y mcm. Progresiones. Binomio de Newton 41.3 El conjunto R . Desigualdades. Valor absoluto 81.4 Repaso de las funciones elementales 131.5 El conjunto C . Operaciones con complejos 20

2. Sucesiones, límites y continuidad en R

2.1 Sucesiones de números reales 232.2 Límites de funciones. Funciones continuas 292.3 Teoremas sobre funciones continuas en intervalos 35

3. Derivadas en R

3.1 Definición y cálculo 373.2 Teoremas sobre funciones derivables 423.3 Polinomios 473.4 Representación de funciones 503.5 Aplicaciones 543.6 Aproximación numérica de ceros 56

4. Series, Taylor y límites indeterminados

4.1 Series de números reales 594.2 Sucesiones y series de funciones 664.3 Series de potencias 694.4 Polinomios y series de Taylor 734.5 Cálculo de límites indeterminados 794.6 Series complejas de potencias 87

5. Integración en R

5.1 Definición y propiedades 915.2 Teoremas fundamentales 935.3 Cálculo de primitivas 975.4 Integrales impropias 1035.5 Integración aproximada 1075.6 Aplicaciones 112

Problemas IProblemas adicionales XI

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Bibliografía

[Sp] M. Spivak. Calculus. Ed. Reverté[L] S. Lang. Cálculo. Ed. Addison-Wesley Iberoamericana[St] S. Stein. Cálculo y geometría analítica. Ed. McGraw-Hill[R] J. Rogawski. Cálculo una variable. Ed. Reverté[LHE] Larson-Hostetler-Edwards. Cálculo y geometría analítica. Ed. McGraw-Hill[Sw] J. Stewart. Cálculo diferencial e integral. International Thomsom Ed.[A] T. Apostol. Calculus. Ed. Reverté[CJ] Courant-John. Introducción al cálculo y al análisis matemático. Ed. Limusa-Wiley[B] J. Burgos. Cálculo infinitesimal de una variable. Ed. McGraw-Hill[K] K. Kuratowski. Introducción al cálculo. Ed. Limusa-Wiley

Elaborar apuntes de una asignatura tiene la ventaja de precisar qué es lo que se va a explicar duranteel curso. Además permite al estudiante no estar todo el rato pendiente de copiar a toda velocidad (con loserrores que produce) lo que se escribe en la pizarra. Pero tiene también sus desventajas. La existencia delos apuntes incita a utilizar poco otros libros, que dan otras visiones de la asignatura y que tratan diferentestemas con más extensión, ejemplos, aplicaciones o rigor (según los casos) que en dichos apuntes.

Es importante, como se ha dicho, consultar libros. El problema básico de la bibliografía para un cursode Cálculo (o de Matemáticas) de primero es que no existe ‘el libro adecuado’ a todos los alumnos, pueséstos llegan a la universidad con muy diferente formación matemática. El ideal sería que toda persona deprimero de Físicas pudiera seguir un libro tan bonito como el Spivak. Pero ese ideal es poco real.

En teoría, en las asignaturas de matemáticas del bachillerato se han tratado (eso dicen los programasoficiales) bastantes temas de los que se van a repasar o profundizar en la asignatura de Matemáticas.Por ejemplo: factoriales, números reales, operaciones elementales con complejos, inecuaciones, rectas,trigonometría, exponenciales y logaritmos, sucesiones, concepto intuitivo de límites, derivación, gráficas,primitivas sencillas o cálculo de áreas. Según esto, sólo parte de los temas de Matemáticas se verían porprimera vez: la definición rigurosa de límites, todo lo relativo a series, las sucesiones de funciones, losdesarrollos de Taylor, las primitivas complicadas, las integrales impropias y pocas cosas más (además delcambio que suele representar la insistencia de los profesores universitarios en ‘las demostraciones’).

La experiencia dice que, aunque hay un porcentaje digno de estudiantes que sí controlan buena partede los citados temas del bachillerato, hay otra parte (por desgracia no muy minoritaria) con demasiadosagujeros en su formación. Por eso existía en el antiguo plan un ‘grupo cero’ que repasaba conceptosdel bachillerato y por eso en el plan del nuevo grado en Física los contenidos de ese grupo cero se hanincluido en la nueva asignatura de Matemáticas.

Para estudiantes con buena base, los libros clásicos de Cálculo ([Sp], [A] o [CJ]) son el complementonatural de estos apuntes ([A] trata temas además de otras asignaturas: álgebra, cálculo en varias variables,ecuaciones diferenciales,...). Pero para estudiantes de menor nivel matemático es mejor manejar librosmás elementales, como el [L], [St], [R], [LHE] o [Sw] (con bastantes ejemplares en la biblioteca deFísicas), que contienen muchos más ejemplos sencillos, aunque no incluyen los temas más complicadosdel curso (que en Matemáticas se cuentan a título informativo). Los ocho primeros libros estudian (alcontrario que en estos apuntes) primero las funciones (integrales incluidas) y luego las sucesiones yseries. Los dos siguientes ([B] y [K]) tratan las sucesiones y series al principio. El [K] es difícil de leer(y de encontrar), pero es citado porque de él se han extraído algunas demostraciones.

Los problemas básicos de estos apuntes son más que suficientes para el curso (los adicionales o sonparecidos o más complicados o tratan temas que no están en el programa aunque siguen en los apuntes,como las ideas sobre métodos numéricos). Pero en todos los libros de la bibliografía hay más problemaspropuestos y resueltos. Si algún amante de las matemáticas quiere problemas más teóricos y complicados,que se enfrente a los del [Sp]. Pero probablemente sea mayor el número de quienes echan en falta en losproblemas más ejercicios sencillos. En [L], [St], [R], [LHE] o [Sw] se pueden encontrar cientos de ellos.

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Sobre las versiones de los apuntes

versión 2016: De nuevo sólo cambian los problemas, con exámenes del 15-16.

versión 2015: Sólo cambian los problemas, por la inclusión de exámenes del 14-15.

versión 2014: Abundantes pequeños cambios sin cambiar el contenido. La sección de aproximación deceros se va al final de capítulo 3 y es marcada, como el resto de contenido que aparecen sólo a títuloinformativo, con recuadros de color diferente al de los ejemplos y comentarios . En muchas seccionesaparecen ejemplos nuevos y algunos cambios de orden, que detallo a continuación.En 1.3 las raíces de polinomios sencillos se retrasan y hay un par de ejemplo nuevos. En 1.4 hay otrosnuevos (rectas, logaritmos y trigonométricos) y también en 1.5. El capítulo tiene dos páginas más.Se adelantan a 2.1 la admisión del límite de sucesiones que exigen L’Hôpital (y los ejemplos que antesestaban al final de 2.2, sección que se retoca). En 2.3 abundan los recuadros morados.Se traen al final de 3.2 los límites importantes de funciones que antes estaban en 4.5 (pueden ser utilizadosya en el primer parcial). Se amplian los ejemplos polinomios (algunos en morado). Hay un nuevo dibujode gráfica (ahora en 3.3) que sustituye a otra que se va al método de Newton (3.5, con otro ejemplo más).Este capítulo también crece en dos páginas (en parte para escribir cosas que no se dirán en clase).Alguna serie nueva en 4.1, aunque la de potencias y otras que estaban en problemas se van a 4.3 (aumentaen una página). Ejemplo nuevo en 4.4 e insistencia en las funciones analíticas. Reordenada 4.5 y másejemplos de límites, gráficas y sucesiones (otra página más). 4.6, todo en morado.Retoques en 5.2. Nueva página con ejemplos variados de primitivas en 5.3. Pocos cambios en el resto.Sustityen a algunos de los 140 problemas los de exámenes del 11-12. Los adicionales inclyen además losde controles de ese curso (ahora son 215 y sus soluciones se han escrito en LATEX).

versión 2011: Misma teoría. Pocos ejemplos nuevos (en gráficas e integrales). Lo habitual en problemas.

versión 2010: Pocos cambios en teoría (ejemplos nuevos y reordenaciones de secciones) y alguno másen problemas, por la inclusión de los de exámenes del curso anterior y el traslado de otros a ‘adicionales’.

versión 2009: Primera versión de los ‘apuntes de Matemáticas’, incluyendo algunos nuevos temas derepaso (en el capítulo 1) y, sobre todo, bastantes problemas elementales nuevos.La sección 1.1 sobre conjuntos y leguaje matemático no existía. En 1.2 se incluyen las progresiones yse extiende el binomio de Newton. Se tratan ahora algo las raíces de polinomios en 1.3. El repaso defunciones elementales pasa de ser 2.1 a ser 1.4 y la aritmética compleja viaja desde 6.1 a 1.5.El capítulo 2 (sin 2.1) sigue igual. El 3 presenta bastantes ejemplos nuevos, se reordena 3.2 y queda másreducida 3.3. Al 4 sólo se le añade la información sobre series complejas de 4.6 (que viene de 6.2; ya nohay capítulo 6). 5 cambia poco: las primitivas elementales viajan de 5.3 a 5.2 y se reordena 5.5.De 100 problemas básicos se pasa a 140, recogiendo muchos problemas del grupo cero y los adicionalesmás elementales, para empezar la asignatura con repasos de bachillerato y a un ritmo más lento.Se incluyen recuadros de color para separar los ejemplos o los comentarios del resto del texto. Tambiénmarcan las cabeceras de secciones o subsecciones que aparecen sólo a título informativo.

versión 2006 ! 2009: Muy parecida a la 2006, con correcciones de estilo para ajustarse a nuevos már-genes y tamaños. En esencia es la elaborada para http://alqua.org/ en 2008 con el fin de servir de base aun ‘libro libre’. En esa página se pueden conseguir los ficheros LATEXy los dibujos de esos apuntes.

versión 2006: La letra pasa a ser Times (comando \usepackage{mathptmx} en LATEX), lo que lleva aunos cuantos ajustes estéticos, de orden o de lenguaje para ajustar espacios.Las sucesiones de Cauchy se van al final de 2.2 (para aclarar que son secundarias en el temario del curso).Por la misma razón, Trapecios y Simpson son adelantadas por la integración de series en 5.5.Las sucesiones de límite no justificado (como n

pn ) se retrasan a 2.3 (más cerca del L’Hôpital, que pasa a

ser demostrado (sin ser utilizado) en 3.2). Se reordena la sección 4.5 de los límites indeterminados.Se retoca un poco la sección 3.3 (la parte de los polinomios de tercer y cuarto orden).Lo de siempre en problemas: se incluyen de los exámenes del 2005-06 en los 100 comunes, se cambiade sitio alguno y otros pasan a ser problemas adicionales (que de año en año van creciendo).

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versión 2005: Sólo se hace alguna corrección estética y de erratas a la teoría y, como todos los años, secambian algo los problemas, tanto los comunes como los adicionales.

versión 2004: Con los mismos temas que las anteriores, pero algunos organizados de forma diferente.Si en la 2003 y anteriores el capítulo 1 (además de repasar los números y sus propiedades) contenía lassucesiones y las series numéricas, en ésta se acercan estas series a las de funciones, potencias y Taylor.Las sucesiones se trasladan a la sección 2.2, con el fin de repasar antes el concepto de función y laspropiedades de senos, cosenos, exponenciales, ... [Creo que el límite de sucesiones (definición rigurosade las difíciles de entender) se debe dar antes que el ligeramente más complicado límite de funciones].El 4 pasa a comenzar con las series numéricas, luego trata las sucesiones y series de funciones en general,y a continuación las de potencias. Los polinomios de Taylor se juntan en 4.4 a las series de Taylor.El capítulo 3 permanece tal como estaba. El 5 sigue casi, casi igual (simplemente las longitudes adelantana los volúmenes en 5.6) y el 6 tampoco varía (salvo que la i pasa a ser i ).Como cada año, se corrigen erratas (y probablemente se crean otras), se añaden explicaciones a la teoría(en parte necesarias por el nuevo orden de temas) y se elaboran nuevos ejemplos (o se cambian de sitio).Los problemas se organizan según el nuevo orden de la teoría. Los comunes pasan de 117 a 100, a pesarde incluir alguno de examen. Los adicionales recogen, como siempre, los retirados de los de comunes.

versión 2003: Primera versión escrita a LATEX de los ‘apuntes de Cálculo I’, con el mismo orden en lostemas que las anteriores a ordenador (y los viejos apuntes a mano de los años 80), aunque añadiendodiversas explicaciones a la teoría y nuevos ejemplos y problemas.

[Estos apuntes pueden ser utilizados y citados por cualquierasin ningún problema, siempre que no haga negocio con ellos].

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1. Preliminares

1.1. Conjuntos. Lenguaje matemáticoEl significado de conjunto es intuitivo: una clase o colección de objetos (elementos) tal quese pueda distinguir perfectamente si un elemento pertenece o no al conjunto. Los conjuntosse precisan a veces enunciando una propiedad común a sus elementos y sólo a ellos y otrasenumerando esos elementos (entre llaves). Por ejemplo, podemos describir de estas tres formas:

V ⌘ {x : x es una vocal del alfabeto latino}= { a , e , i , o , u }= { i , a , o , e , e , u , o , e }⇥‘ ⌘’ se usa a menudo en matemáticas para definir; ‘ : ’ (y también ‘ / ’) se lee ‘tal que’ o ‘tales que’;otro par de símbolos matemáticos que aparecerán constantemente son 8 (para todo) y 9 (existe)

⇤.

Que un elemento pertenece a un conjunto se representa con el símbolo 2 y que no pertenececon el /2 . Así, por ejemplo, u2V y ñ/2V .

Dados dos conjuntos A y B se dice que A está contenido en B o que A es subconjunto deB (y se representa por A⇢B ó B�A ), si todo elemento de A está también en B . Según esto,

V ⇢ E ⌘ {letras de la palabra ‘enunciado’}= { a , e , i , o , u , c , d , n } ,pero no está contenido (V 6⇢O ) en O ⌘ {letras de ‘ornitorrinco’} .

[Que conste que todo conjunto está contenido en sí mismo: A⇢A ].

Unión de A y B es el conjunto A[B = {x : x2A ó x2B} (formado por todos los elementosde A y B , comunes o no) y su intersección A\B = {x : x2A y x2B} (elementos comunes aambos). Análogamente se definen unión e intersección de más de dos conjuntos. La diferencia

de conjuntos B�A (o bien B\A ) la forman los elementos de B que no están en A . Por ejemplo:

V[E = E , V\E =V , V[O = { n , e , u , r , o , t , i , c , a } ,V\O = { i , o } , E�V ={c , d , n} .

Muchas veces se representan los conjuntos utilizando ‘diagramasde Venn’, recintos cerrados cuyos elementos son indicados porpuntos. A la derecha están esquematizados V , O , V[O y V\O .

Observemos que el significado de ‘o’ en matemáticas (que a veces se representa por ‘_’; en vezde ‘y’ se puede poner ‘^’) siempre tiene un significado no excluyente como en la definición de[ . Si se quiere utilizar un ‘o’ excluyente se debe escribir ‘o bien ... o bien ...’.

Se llama conjunto vacío ? al que no tiene nigún elemento. Si A\B=? , es decir, si no hayelementos comunes a A y B se dice que A y B son disjuntos, como lo son V y D⌘{0,1} .

El producto A⇥B de dos conjuntos A y B está constituído por todos los posibles pares

ordenados (a,b) que se pueden formar con un primer elemento de A y otro segundo de B :

A⇥B =�(a,b) : a2A,b2B

⇥No es lo mismo el par ordenado (a,b) , en general

distinto de (b,a) , que el conjunto {a,b}= {b,a}⇤.

V⇥D=�(a,0),(e,0),(i,0),(o,0),(u,0),(a,1),(e,1),(i,1),(o,1),(u,1)

.

1

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f : A ! Ba ! b= f (a)

Una función f entre A y B es una regla que asigna a cada elemento a2Aun único elemento b= f (a)2B (imagen de a por f ). Algunas veces (otrasno) las funciones se pueden describir con palabras o fórmulas, pero es claro que f queda fijadasi listamos todos los posibles (a,b) , con lo que una definición más teórica (y más precisa) es:

Una función f es un conjunto de pares ordenados ⇢ A⇥Bque no contiene dos distintos con el mismo primer elemento.

Por ejemplo, g⌘�(a,0),(a,1),(e,1),(i,1),(o,1),(u,1)

no es función de V en D ,

pero sí lo es h⌘�(a,1),(e,1),(i,0),(o,1),(u,0)

hg(v)=

n10 si la vocal v es fuerte

débil

i.

Sí es función de D en V : k⌘�(0,o),(1, i)

.

f se dice inyectiva si no hay elementos distintos de A que tengan la misma imagen.f es sobreyectiva (o suprayectiva) si cada elemento de B es imagen de algún elemento de A .f es biyectiva (o es una biyección) si es a la vez inyectiva y sobreyectiva, o lo que es lo mismo,

si a cada elemento a2A le corresponde un único elemento b2B y viceversa.

f�1 : B ! Ab ! a

Si f es biyectiva, existe su función inversa f�1 que hace corresponder acada b2B el único a del que proviene. [Si no es inyectiva, o sea, si haya 6=a⇤ con f (a)= f (a⇤)=b , no podemos asignar un único a al b ].

Cuando f es simplemente inyectiva, también podemos definir su inversa f�1, pero en este casola biyección se da entre A y f (A)⌘{ f (a) : a2A}⇢B .

h no es inyectiva: por ejemplo, a , e , o tienen los tres la misma imagen 1 . Sí es sobreyectiva.k es inyectiva y no sobreyectiva. No es biyección entre D y V , pero sí lo es entre D y k(D) ,

con lo que podemos hablar de su inversa k�1=�(o,0),(i,1)

.

Representado mediante diagramas de Venn, f es función si no sale más de una flecha de cada puntode A , es inyectiva si a cada punto de B llega a lo más una flecha y es sobreyectiva si a cada puntode B llega alguna flecha.

Para dos conjuntos finitos está claro que si hay una biyección entre ellos tienen el mismo númerode elementos. Esta es la idea para hablar en general del ‘número de elementos’ (aunque sean infini-tos) de un conjunto. Dos conjuntos tienen el mismo ‘cardinal’ si se puede dar una biyección entreellos. Según esto (aunque parezca sorprendente), los números naturales {1,2,3, . . .} y los enteros{. . . ,�1,0,1,2, . . .} tienen el mismo cardinal, pues:

f =�(1,0),(2,1),(3,�1),(4,2),(5,�2), . . .

es una biyección.

Una operación (o ‘ley de composición interna’) en un conjunto A es una regla que asigna a cadapar de elementos de A otro elemento del propio A (es, pues, una función de A⇥A en A ). Sonoperaciones, por ejemplo, la suma y producto de números naturales. O la unión, intersección ydiferencia de conjuntos en el conjunto de los conjuntos.

[Tras definir una operación en un conjunto suele interesar conocer sus propiedades. Por ejemplo,[ y \ cumplen la conmutativa A[B=B[A y A\B=B\A , la asociativa (A[B)[C=A[(B[C)y (A\B)\C=A\(B\C) , se da la distributiva de la unión respecto de la intersección y viceversa(A[B)\C=(A\C)[(B\C) y (A\B)[C=(A[C)\(B[C) , el vacío viene a cumplir el papel del0 en los números: A[?=A , A\?=? , . . . ].

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Demos ahora unas mínimas ideas sobre lógica y proposiciones (tal vez innecesarias, porque lasmatemáticas no hacen otra cosa que formalizar el sentido común).

Una proposición p (o enunciado, o afirmación,...) es una frase (gramatical o matemática) cuyaverdad o falsedad puede ser comprobada: ‘Hypatia nació en Logroño’, ’5 es menor que 7’, ...

La implicación ‘p ) q’ ( ‘p implica q’, ‘si p entonces q’, ‘p es condición suficiente para q’ ),significa que si p es verdadera podemos estar seguros que q también es verdad.Por ejemplo, es correcta la siguiente implicación para números naturales:

n termina en 5 ) n múltiplo de 5 (‘si n termina en 5 entonces n es múltiplo de 5 ’).

Es evidente que una afirmación equivalente a ‘p ) q’ es ‘(no q)) (no p)’ .(una es cierta si y sólo si lo es la otra; demostrada una de ellas, la otra queda demostrada).

Así es equivalente a la implicación de arriba (tan cierta como ella):n no múltiplo de 5 ) n no termina en 5 .

Pero es otra afirmación totalmente distinta la ‘q ) p’ , o su equivalente ‘(no p)) (no q)’ :n múltiplo de 5 ) n termina en 5 ,

que es falsa ( n podría acabar en 0 ), como lo es ‘n no termina en 5 ) n no múltiplo de 5 ’.

Que p y q son siempre ciertas a la vez o falsas a la vez se representa con la doble implicación

‘p , q’ ( ’p si y sólo si q’ , ’p es condición necesaria y suficente para q’ ).Para probar una doble implicación debemos comprobar dos implicaciones: ‘p ) q’ y ‘q ) p’

(o también podríamos, si es más fácil, comprobar ‘p ) q’ y ‘(no p)) (no q)’ ).

Una doble implicación verdadera, por ejemplo, es:n impar , n2 impar (equivalente a ‘n par , n2 par’ ).

[Parece clara, pero la demostramos. Para ello, probamos ‘n impar ) n2 impar’ y ‘n par ) n2 par’ :n impar , n=2k+1 con k natural ) n2= 4k2+4k+1 = 2(2k2+2k)+1 ) n2 impar.n par , n=2k con k natural ) n2 = 4k2 = 2(2k2) ) n2 par].

Demostrar una implicación puede exigir bastante trabajo: basarse en definiciones y resultadosya probados, utilizar argumentos lógicos, efectuar diferentes operaciones matemáticas... peropara demostrar la falsedad de una implicación ‘p ) q’ basta encontrar un contraejemplo

(algo que cumpla p pero que no cumpla q ). Por ejemplo, basta observar que 10 es múltiplode 5 para probar la falsedad de ‘ n múltiplo de 5 ) n termina en 5 ’.

Acabamos la sección con una breve descripción de cómo se construyen las teorías matemáticas.Se parte de unos axiomas (o postulados) que se consideran evidentes y no se demuestran. Han deser completos (el resto de la teoría se debe poder deducir de ellos), no ser contradictorios entre síy deben ser independientes (ninguno de ellos se debe poder deducir de los demás).De esos axiomas, utilizando razonamientos lógicos y matemáticos se van deduciendo progresiva-mente el resto de resultados: los teoremas (en libros de matemáticas se encuentran otras palabras,no usadas en estos apuntes, como ‘proposición’ o ‘lema’, teoremas de distinta complejidad).La historia de la geometría ilustra muy bien la dificultad de elegir los axiomas. El postulado 5 deEuclides ‘por todo punto exterior a una recta sólo se puede trazar una paralela a una recta dada’(que muchas veces se intentó deducir de sus otros 4 postulados) lleva a una geometría diferentede las ‘no euclídeas’ que sustituyen ese postulado (y que acabaron siendo tan útiles en física).

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1.2. N, Z y Q. mcd y mcm. Progresiones. Binomio de NewtonLos números que básicamente vamos a tratar en estos apuntes son los reales R . Pero antes deprecisar qué son los reales vamos a hacer un breve repaso de los números más sencillos.

Llamaremos: N={1,2,3,4,5, . . .} al conjunto de los números naturales (sin incluir el 0 ),Z={. . . ,�2,�1,0,1,2, . . .} al de los enteros, yQ= {p/q, p , q enteros, q 6=0} al conjunto de los racionales.

La suma y el producto de dos números naturales cualesquiera son también naturales, pero sudiferencia puede no serlo. Sí es un entero la diferencia de dos enteros. El cociente de racionaleses racional, pero no es entero, en general, el de dos enteros. Los tres conjuntos son conjuntosordenados por la relación “>” (ser mayor que). Con palabras más matemáticas, y refiriéndonosal mayor de los tres conjuntos, se dice que Q es un cuerpo ordenado, es decir, que satisface lassiguientes propiedades (a,b,c2Q):

Propiedades de cuerpo: Existen dos operaciones “+” y “ · ” que cumplen:1) + y · son asociativas y conmutativas:

a+(b+ c) = (a+b)+ c , a+b = b+a ,a · (b · c) = (a ·b) · c , a ·b = b ·a .

2) Se cumple la propiedad distributiva: a · (b+ c) = a ·b+a · c .3) Hay elementos neutros 0 respecto a + y 1 respecto a · :

a+0 = a , a ·1 = a 8a .4) Existen elementos inversos respecto a + y · :

8a 9�a tal que a+(�a) = 0 , 8a 6=0 9 a�1 tal que a ·a�1=1 .

Propiedades de orden: Existe una relación “>” que satisface:5) Dado cualquier a , o bien a > 0 , o bien �a > 0 , o bien a = 0 .6) Si a,b > 0 también a+b > 0 , a ·b > 0 .

N y Z no son un cuerpo: N no posee inverso siquiera respecto de la suma y Z no lo tiene respectodel producto. El conjunto R de los reales que trataremos en la próxima sección poseerá todas estaspropiedades de cuerpo ordenado y además otra (el llamado ‘axioma del extremo superior’). Elconjunto de los complejos C que aparecerá en 1.5 será cuerpo, pero no estará ordenado.A partir de las propiedades anteriores se pueden definir las otras conocidas operaciones básicas(diferencia, cociente y potencias) y desigualdades:

a�b = a+(�b) ; si b 6=0 , a/b = ab�1 (el · no suele escribirse).Si n2N , an = a · · · · ·a , n veces.

b>a si b�a>0 ; b<a si a>b ; b�a si b>a ó si b=a ; ba si a�b .

Y utilizando exclusivamente las propiedades recuadradas se podrían probar las otras muchas quese utilizan resolviendo ecuaciones, trabajando con desigualdades,... (son entonces ‘teoremas’ quese deducen de esas propiedades básicas). Probemos, por ejemplo, que a<b , a+c<b+c 8c :

a<b , b�a=b�a+0 =b�a+c+(�c) =(b+c)�(a+c)> 0 , a+c < b+c .

‘Demostremos’ otro resultado de desigualdades a<b , c<0 ) a·c>b·c , que a veces se olvida:(b�a)>0 , (�c)>0 )

�b+(�a)

�(�c) = b(�c)+(�a)(�c) =

"�bc+ac>0 , ac>bc .⇥

b(�c)=�bc pues 0 = b�c+(�c)

�= bc+b(�c)

⇤⇥No volveremos a operar tan despacio, se trataba sólo de mostrar que bastaba partir de 1), . . . , 6)

⇤.

4

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Repasemos otras definiciones y propiedades relacionadas con naturales, enteros y racionales:

Demostraciones por inducción

Supongamos que queremos demostrar una afirmación, que llamaremos P(n) , que depende deun número natural n . Demostrar P(n) por inducción consiste en:

i) comprobar P(1) (es decir, que la afirmación es cierta si n = 1 )ii) probar que P(n) ) P(n+1) 8n (supuesta cierta para n se demuestra para n+1 )

Hecho esto, como P(1) es cierta, por ii) también lo es P(2) . Y por tanto P(3) . Y P(4) ...

Ej. Probemos por inducción quen

Âk=1

k = 1+2+ · · ·+n = n(n+1)2

[recordemos que el primer símbolo selee ‘sumatorio de k desde 1 hasta n ’]

P(1) es cierta: 1 = 1(1+1)2 . Probemos ahora P(n+1) suponiendo cierta P(n) :

n+1

Âk=1

k =n

Âk=1

k+(n+1) =⇥estamos suponiendo cierta P(n)

⇤= n(n+1)

2 +(n+1) = (n+1)(n+2)2 .

Máximo común divisor y mínimo común múltiplo

Dados dos naturales n y d se dice que n es múltiplo de d (o que d es divisor de n ) si n/d estambién un número natural. Desde luego, todo n tiene al menos dos divisores: el 1 y el propion . Si estos son sus únicos divisores dice que n es primo. Un conjunto de enteros n1, ...,nkadmite siempre un divisor común a todos: el 1 . Se llama máximo común divisor al mayornatural que divide a todos ellos (y lo denotaremos por mcd[n1, ...,nk] ). Por otra parte, dados losn1, ...,nk existen naturales que son múltiplos de todos ellos (por ejemplo el producto de todos).Se llama mínimo común múltiplo ( mcm[n1, ...,nk] ) al menor número con esta propiedad.Hallar el mcd y el mcm de unos naturales es fácil una vez calculados todos los divisores primosde cada uno, lo que puede ser muy largo si los números son muy gordos.

[Para hallar estos divisores conviene conocer las reglas de divisibilidad por números sencillos:recordamos que un entero es divisible por 3 (y por 9 ) si y sólo si lo es la suma de sus cifras;divisible por 4 (por 8 ) si lo son sus dos (tres) últimas cifras; por 5 si acaba en 0 o en 5 ;por 11 si la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan un lugar par y la suma de las queocupan lugar impar es un múltiplo de 11 (incluido el 0 )].

Otra forma de hallar el mcd[m,n] es utilizar el algoritmo de Euclides:

Sea m > n . Dividamos m entre n y llamemos q1 al cociente y r1 al resto:m = q1n+r1 . Dividamos ahora n entre r1 : n = q2r1+r2 . A continuación r1entre r2 : r1 = q3r2+r3 . Luego r2 entre r3 ..., y proseguimos dividiendo de estaforma hasta que el resto sea 0 . El mcd[m,n] es entonces el último resto no nulo.

Calculado el mcd , se puede hallar el mcm utilizando que: mcm[m,n] = m ·nmcd[m,n] .

Ej. Sean 2340 y 6798 .

Como 2340 = 22·32·5·13 y 6798= 2·3·11·103 , mcd= 6 y mcm= 22·32·5·11·13·103 = 2651220 .

Euclides: 6798 = 2·2340+2118 , 2340 = 1·2118+222 , 2118 = 9·222+120 , 222 = 1·120+102 ,120 = 1 ·102+18 , 102 = 5 ·18+12 , 18 = 1 ·12+6 , 12 = 2 ·6 .

) mcd= 6 , mcm= 2340 ·67986 = 2651220 .

[Para hallar el mcd[n1, ...,nk] se puede calcular m1=mcd[n1,n2] , luego m2=mcd[m1,n3] , ...].

5

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Progresiones aritméticas

Son un conjunto de números tales que cada uno se obtiene del anterior sumándole una cantidadfija d (‘razón’ de la progresión). Es decir, si llamamos ak al término que ocupa el lugar k yson n términos, la progresión es:

a1 , a2 = a1+d , a3 = a1+2d , . . . , an = a1+(n�1)d .

Es fácil ver (ej. de inducción) que la suma de estos n términos es: S = na1+n(n�1)

2 d = a1+an2 n .

Progresiones geométricas

Cada número se obtiene aquí del anterior multiplicando por la razón fija r :a1 , a2 = a1r , a3 = a1r2 , . . . , an = a1rn�1 .

Su suma es S = a11�rn

1�r = a1�anr1�r , pues es 1+r+· · ·+rn�1= 1�rn

1�r , como se ve por inducción:

cierto para 1 : 1= 1�r1�r ; cierto si n ) 1+· · ·+rn�1+rn = 1�rn

1�r +rn= 1�rn+1

1�r , cierto si n+1 .

Ej. 1+4+7+ · · ·+301 = 1+3012 101 = 15251 . 1+3+9+ · · ·+6561 = 1 1�39

1�3 = 1�6561·31�3 = 9841 .

Factoriales, números combinatorios y binomio de Newton

Para n2N se define factorial de n como: n! = 1 ·2 · . . . · (n�1) ·n , y además 0! = 1 .Si k es otro natural con 0kn , el coeficiente binomial o número combinatorio es

✓nk

◆=

n!k!(n� k)!

=n(n�1) · · ·(n� k+1)

k!

h�nk

�se lee ‘n sobre k’; obsérvese que

�n0�=�n

n

�=1 , que

� nn�k

�=�n

k

�, y que

�n1�=� n

n�1�=n

i.

[n! representa el número de formas distintas en que se puede ordenar un conjunto de n elementos y elnúmero combinatorio (que siempre es un número natural) es el número de formas distintas en que sepueden escoger grupos distintos de k elementos (sin importar su orden) entre los n de un conjunto].

La fórmula más famosa en que aparecen estos números es la de binomio de Newton:

(a+b)n = an+�n

1�

an�1b+�n

2�

an�2b2 + · · ·+� n

n�1�

abn�1 +bn =n

Âk=0

�nk

�an�kbk

Demostrémosla por inducción. Es claramente cierta si n=1 : (a+b)1=�1

0�a1b0 +

�11�a0b1.

Suponiendo que es cierta para n , probémosla ahora para n+1 :

(a+b)n+1 = (a+b)(a+b)n = (a+b)⇥an + · · ·+

� nk�1�an�k+1bk�1 +

�nk

�an�kbk + · · ·+bn

= an+1 +⇥�n

1�+�n

0�⇤

anb+ · · ·+⇥�n

k

�+� n

k�1�⇤

an+1�kbk + · · ·+bn+1 =n+1

Âk=0

�n+1k

�an+1�kbk,

pues se cumple:�n

k

�+� n

k�1�= n!

k!(n�k)! +n!

(k�1)!(n�k+1)! = n! (n�k+1)+kk!(n�k+1)! =

�n+1k

�.

1 11 2 1

1 3 3 11 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

Los coeficientes binomiales forman las filas del ‘triángulo de Tarta-glia’ (o de Pascal) de la derecha, en el que cada número se obtiene su-mando los dos superiores (eso asegura la propiedad recién probada).Para n pequeño mejor acudimos al triángulo, pero para n grandeserán preferibles las fórmulas de arriba (sobre todo, la segunda).

Ej. (1+x)6=1+6x+15x2+20x3+15x4+6x5+x6 , pues�6

2�= 6·5

2·1 = 3 ·5 =�6

4�

,�6

3�= 6·5·4

3·2·1 = 5 ·4 .[Estábamos a sólo una fila de escribirlo con el triángulo de Tartaglia].

6

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Existen infinitos números racionales e irracionales

Entre dos racionales p > q , por cercanos que estén entre sí, existen infinitos racionales. En efecto,r1 = (q+p)/2 es otro racional que se halla entre los dos. Otros infinitos, por ejemplo, son r2 = (q+r1)/2 ,r3 = (q+r2)/2 , ... Recordamos que una forma de precisar de forma única un racional es dar su expre-sión decimal, que o bien tiene sólo un número finito de decimales o bien tiene además un número fi-nito de decimales que se repiten periódicamente ( 7/8 = 0.875 es un ejemplo de la primera situación y8/7 = 1.142857142857... lo es de la segunda). Pensando en la expresión decimal vuelve a estar muy claroque entre dos racionales existen otros infinitos y que podemos encontrar racionales tan próximos comoqueramos a uno dado.Sin embargo, a pesar de estar tan juntos los racionales, aparecen de forma natural (ya desde los griegos)otros números que no son racionales (es decir, irracionales; su expresión decimal tendrá infinitos deci-males no repetidos periódicamente). Por ejemplo, el teorema de Pitágoras asegura que la hipotenusa deun triángulo rectángulo con catetos de longitud 1 mide

p2 unidades de longitud. Es fácil probar quep

2 no es racional (demostrar que otros números famosos como p ó e son irracionales es bastante máscomplicado). Para hacerlo, vamos a suponer que lo es y llegaremos a una contradicción (es lo que sellama demostración por reducción al absurdo).Como se sabe, un racional puede ser expresado de infinitas maneras diferentes como fracción p/q . Deellas, se llama irreducible a la que tiene el denominador más pequeño posible, o sea, aquella con p yq sin divisores comunes. Supongamos que

p2 = p/q fracción irreducible. Entonces p2 = 2q2 . Así p2

es par, con lo que también debe serlo p (los cuadrados de pares son pares e impares los de los impares)y por tanto es de la forma p = 2m . Así pues, 2m2 = q2 y q también es par, en contradicción con lasuposición de que p/q fuese irreducible.Observemos que la suma z= p+x con p racional y x irracional es necesariamente otro número irracio-nal (si fuese z racional, sería x= z�p también racional). Y lo mismo sucede, si el racional p 6=0 , consu producto (se prueba casi igual; que conste que suma y producto de irracionales puede ser racional, porejemplo,

p2+(�

p2) = 0 y

p2p

2 =2 ). Conocemos ya, pues, infinitos irracionales: todos los de laforma p+q

p2 , con p,q2Z . Con esto podemos ya ver que también entre dos racionales cualesquiera,

por muy próximos que estén entre sí, existen infinitos irracionales (por ejemplo, si p>q son racionales,q+(p�q)

p2/n , con n=2,3, ... , son infinitos irracionales y es fácil ver que están entre uno y otro). Tam-

bién entre dos irracionales hay infinitos racionales e irracionales (parece bastante claro con la expresióndecimal). O entre un racional y un irracional.

1/1 1/2 1/3 1/4

2/1 2/2 2/3 2/4

3/1 3/2 3/3 3/4

Aunque existan infinitos racionales e infinitos irracionales, elnúmero de irracionales es un infinito ‘más gordo’ que el delos racionales. El número de racionales es el mismo que el deenteros (o el de naturales, que también es el mismo), ya quese puede hacer corresponder a cada entero un racional y vi-ceversa (matemáticamente se dice que Q es numerable) comosugiere el esquema de la derecha. Los irracionales (y por tantolos reales), sin embargo, no se pueden poner en biyección conN (pero esto es algo más difícil probarlo).

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1.3. El conjunto R . Desigualdades. Valor absoluto

¿Qué son exactamente los números reales? Sabemos que 5, � 85 ,p

2 , p , e, ... lo son, que los tres últi-mos no se pueden poner como una fracción, que tienen infinitos decimales no repetidos... Podríamosusar una idea intuitiva, pero en matemáticas a veces la intuición engaña. Conviene dar una definiciónrigurosa del conjunto R de los números reales. Lo mas serio (pero muy largo) sería construir R apartir de Q. Para ahorrar tiempo, definiremos R como un conjunto de objetos básicos que cumplenunas propiedades que tomaremos como axiomas (si se construyese R las propiedades serían teoremasque habría que demostrar). Así pues, definimos a partir de las propiedades vistas para Q:

Axiomas del

conjunto RR es un conjunto que posee las propiedades 1) , ... , 6) de cuerpo

ordenado y además satisface el axioma del extremo superior.

El último axioma (que veremos algo más adelante, pues exige alguna definición) distingue R de Q .

0 5–8/5

e ! "2– Gracias al orden de R tiene sentido la representación usual

de R como una línea recta, asociando a cada número realun punto de la recta. Es tan común que se utilizan indistin-tamente los términos ‘conjunto de números reales’ y ‘recta real’; ‘número real’ y ‘punto’.

Repasemos (sin probarlas a partir de los axiomas) algunas propiedades de las desigualdades:Teorema:

a<b ) a+c < b+c , a�c < b�c a < b , c < d ) a+c < b+d , a�d < b�ca<b , c>0 ) ac < bc , a/c < b/c a < b , c < d ) ac < bd , si a,b,c,d>0a<b , c<0 ) ac > bc , a/c > b/c a/c < b/d , ad < bc , si a,b,c,d>01<a ) a<a2 ; 0<a<1 ) a>a2 a<b , 1

a >1b , a2<b2,

pa <

pb , si a,b>0

Todas las desigualdades son válidas sustituyendo los < por (menos los > 0 ó < 0).[En estos apuntes (y como siempre se hace)

pa representará siempre sólo la raíz positiva del

número a�0 ; el otro número real cuyo cuadrado es ese número a se debe representar por �p

a ].

A cada x2R podemos asociar un real positivo |x| , valor absoluto de x , definido por:

|x|=n x si x � 0�x si x 0

|x| representa la distancia de x al origeny |x�y| la distancia de x a y(tanto si y>x como si x>y ).

0x y|x| |y|

|x–y|

El primer teorema es inmediato a partir de la definición. Probamos los otros dos:

Teorema:

px2 = |x| , |x|2 = x2 , |x|= |� x| , |xy|= |x||y| , �|x| x |x| .

Teorema: Sea a>0 : |x| a , �a x a ; |x|< a , �a < x < a .

0–a a)) si |x| a ) �|x|��a ) �a �|x| x |x| a .() sea �axa ; si x�0 , |x|= x a ; si x0 , |x|=�x a ; por tanto, 8x, |x| a .

[con el < se demostraría igual; del teorema se deduce, desde luego, que|x|�a , x�a ó ax , pues la afirmación ‘p , q’ equivale a la ‘(no p), (no q)’]

Teorema:

|x+ y | |x|+ |y| ; |x|� |y| |x�y| |x|+ |y| ;�� |x|� |y|

�� |x�y| .(desigualdad triangular)

(|x+y|)2 = (x+y)2 = x2+2xy+y2 |x|2+2|x||y|+|y|2 = (|x|+|y|)2 ) |x+ y| |x|+ |y| .|x|= |x�y+y| |x�y|+|y| ) |x|�|y| |x�y| ; |x�y|= |x+(�y)| |x|+|� y|= |x|+|y| .|x|� |y| |x� y| , |y|� |x| |x� y| ) |x|� |y|��|x� y| )

�� |x|� |y|�� |x� y| .

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Ej. Probar que si a,b,c,d > 0 y ab <

cd entonces es a

b <a+cb+d <

cd . Encontrar i) un racional y ii) un

irracional que sean mayores que 1117 y menores que 9

13 .ab <

a+cb+d , ab+ad<ab+bc

a+cb+d <

cd , ad+cd<bc+cd

desigualdades ciertas pues sabemos que ad<bc⇥, a

b <cd

⇤.

i) En particular: 1117 <

11+917+13 =

23 < 9

13 .⇥Otro sería 1

2� 11

17+913�⇤

.

ii) Sumamos al racional 1117 un irracional que sea menor que su distancia a 9

13 : 913�

1117 =

10251 .

0<p

22 <1 ) 0< 5

p2

251 < 10251 ) 11

17 <1117+

5p

2251 < 11

17+10251 <

913 .

Ej. Calculemos todos los números reales x que que cumplen la desigualdad: 3�x2

1�x 3 .

Nuestra desigualdad equivale a: 3�x2

1�x �3 = 3x�x2

1�x =x(3�x)

1�x 0 [sumar o restar a amboslados no cambia el signo].

Es x(3�x)�0 si 0x3 (ambos factores positivos) y es 0 si x0 ó x�3 (distinto signo).El denominador es positivo si x1 y negativo si x�1 . Para x=1 el cociente no está definido.El cociente será negativo si y sólo si el numerador y el denominador tienen distinto signo.Por tanto, los x buscados son los representados en el dibujo:

0 1 3

– + ++ +

–– –De otra forma: multiplicamos los dos miembros por 1�x ,

pero recordando que al multiplicar por números negativos las desigualdades se invierten.Si x<1 , la desigualdad equivale a 3�x23�3x , x(3�x)0 ) x0 , en esa región.Si x>1 , cambia la desigualdad: x(3�x)0 ) 1< x3 , en la región tratada ahora.

Ej. Determinemos los x que satisfacen: |p

x�2|= x .Si x < 0 , la raíz no está definida. Desarrollando (para x � 0 ) el valor absoluto tenemos:

|p

x �2|=⇢p

x�2 sip

x �2, es decir, si x�42�

px si

px 2, es decir, si 0x4

Y, por tanto, |p

x�2|=x ,⇢p

x = x+2 si x�4 ) x2 +3x+4 = 0px = 2� x si 0x4 ) x2 �5x+4 = 0

El primer polinomio de segundo grado no se anula para ningún x real. El segundo para x=1 yx=4 (ambos en la región 0x4 en que estamos). Pero sólo es válido x=1 ( |1�2|=1 ). Elotro real x=4 no cumple la igualdad: |2�2| 6= 4 (nos lo hemos inventado al elevar al cuadrado).

Ej. Hallemos los x que cumplen:��x2�1

�� 3 , �3 x2�1 3 , �2 x2 4 .

0–2 2

Ambas desigualdades se cumplen si y sólo si |x|2 (, x24 ; la otra escierta 8x ). Llegamos a lo mismo discutiendo el valor absoluto (más largo):

3 � |x2�1|=⇢

x2�1 si x2�11�x2 si x21 ,

⇢x24 si |x|�1 ! 1 |x|2x2��2 si |x|1 ! todo |x|1

Ej. Sea f (x)= |2x+6|x�2 . Determinemos los reales x que cumplan: i) f (x)=1 , ii) f (x)<4 .

Como 2x+6 cambia de signo en x=�3 es:

f (x)=⇢ 2x+6

x�2 , x��3 , x 6=2� 2x+6

x�2 , x�3)

⇢ 2x+6x�2 =1 ! x=�8 (<�3)2x+62�x =1 ! x=� 4

3 (>�3)) ningún x cumple i).

ii)⇢ 2x+6

x�2 <4 , 2(7�x)x�2 <0 , x<2 ó x>7 , y además debe ser x��3 &

2x+62�x <4 , 2(3x�1)

2�x <0 ! x< 13 ó x>2 , siendo además x�3 %

x<2 ó x>7 .

Ej. Probemos ahora que para todo x se cumple �8 |x�5|� |x+3| 8 .

Los teoremas aseguran: |x|�5 |x�5| |x|+5 , |x|�3 |x+3| |x|+3 . Por tanto:|x�5|� |x+3| |x|+5� [|x|�3] = 8 (mayor–menor) y|x�5|� |x+3|� |x|�5� [|x|+3] =�8 (menor–mayor)

También lo podríamos haber hecho expresando los valores absolutos según los valores de x .

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A partir exclusivamente de los axiomas de los números reales se podrían demostrar todas laspropiedades que se habrán utilizado en cursos anteriores. Repasamos ahora algunas referenteslas raíces de polinomios sencillos, empezando por los de segundo grado ( a 6=0 ):

Las raíces de P2(x) = ax2+bx+ c vienen dadas por x±= 12a

⇥�b±

pD⇤

, D=b2�4acdiscriminante

.

El tipo de raíces de P2 depende del signo del discriminante D . Si D>0 tiene dos reales ydistintas, si D=0 una raíz doble real y si D<0 dos raíces complejas conjugadas ( p±q i ).Conocidas sus raíces x+ y x� puede escribirse P2(x)=a(x�x+)(x�x�) .

Aunque el teorema fundamental del álgebra asegura que todo polinomio de grado n posee n raíces

(reales o complejas, repetidas o no), otra cosa es cómo hallarlas. Nos gustaría tener fórmulas para elcálculo de las raíces de los Pn(x)=anxn+· · ·+a1x+a0 de cualquier grado similares a las de P2 . Hacia1500 se descubrieron fórmulas para las raíces de los de grado 3 y 4 (no muy útiles en la práctica). Peroen el siglo XIX se probó que es imposible expresar mediante radicales las raíces de los de grado � 5 .

Si encontramos una raíz x⇤ de un Pn , dividiendo por (x�x⇤) reducimos el problema de hallarsus raíces al de hallar las de un Pn�1 . Por este camino se puede, en pocas ocasiones, calcularlastodas. Si casualmente un Pn con coeficientes enteros tiene raíces enteras, son fáciles de hallar:

Si existe raíz entera de Pn se encuentra entre los divisores del término independiente a0 .

Si c es raíz entera, entonces a0=�c[ancn�1+· · ·+a1] , con lo que a0 es múltiplo de c .

Ej. Determinemos todos los reales x que satisfacen: 3x� x3 < 2 .Esto equivale a x3�3x+2>0 . Para precisar el signo del polinomio necesitamos hallar sus raíces.Aunque es complicado en general, es claro aquí que x=1 es una. Dividiendo por (x�1) tenemos:

1 0 �3 21 1 1 �2

1 1 �2 | 0

x3�3x+2=(x�1)(x2+x�2)=(x�1)2(x+2)>0 .

Los x buscados son: {x : x >�2 y x 6=1} .0 1–2

[Una forma habitual de tratar las desigualdades es hallar primero los x en que se da la igualdad y luegodar valores concretos en puntos intermedios viendo si se cumple o no. Pero esto, que funciona bien confunciones continuas, tiene el riesgo de olvidar ceros de denominadores y otras discontinuidades].

Dos tipos sencillos de polinomios de orden 4 con raíces calculables son:

Las raíces del polinomio bicuadrado P4(x)=ax4+bx2+c se hallan haciendo z=x2 .

Las raíces de P4(x) = ax4 +bx3 + cx2 +bx+a se calculan mediante el cambio z = x+ 1x :

a�x2+ 1

x2

�+b

�x+ 1

x

�+ c = a

�x+ 1

x

�2+b

�x+ 1

x

�+ c�2a = 0 ! az2+bz+ c�2a = 0 .

Halladas sus raíces z± , basta resolver los dos polinomios de segundo grado: x2� z±x+1 = 0 .

Ej. Hallemos las raíces del polinomio P4(x) = x4�2x2�15 z=x2�! z2�2z�15 = 0 !

z = 1±p

1+15 = 5 ,�3hlas raíces de ax2+2bx+c=0 simplificadas son x±= �b±

pb2�ac

a

i.

Como i2=�1 (en 1.5 repasaremos los complejos), las 4 raíces son: x =±p

5 ,± ip

3 .

Como ocurrió en este ejemplo, es fácil ver que en general si un polinomio con coeficientes reales

tiene raíces complejas, éstas aparecen como parejas p±qi .[Ninguna de las raíces es entera, pero esto lo podíamos saber desde un principio, pues las únicasposibles eran ±1,±3,±5,±15 y ninguna de ellas anula el polinomio. No olvidemos que, engeneral, no sabremos hallar las raíces de un polinomio de grado � 3 (por ejemplo, no sabemosresolver x4�2x�15=0 ). En la sección 3.3 veremos cómo actuar cuando sea esa la situación].

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Para enunciar el axioma del extremo superior necesitamos unas definiciones previas:

Un conjunto A⇢R se dice acotado superiormente (inferiormente) si existe k2Rtal que ak ( a�k ) para todo a2A .

A un real k con esa propiedad se le llama cota superior (inferior) de A .A se dice acotado si lo está superior e inferiormente.

[Es decir, A está acotado si existen k1 y k2 tales que k1ak2 para todo a2A .Esto es equivalente a que exista un k tal que |a|k (o sea �kak ), 8a2A ].

Ej. R+⌘{x : x�0} no es acotado, pero sí lo está inferiormente (por �p , por el propio 0 . . . ).

A = {x : 0 x < 7} está acotado0 7

[cotas superiores:p

93 , 7 (la menor), . . . ; cotas inferiores: �13, 0 (la mayor), . . . ].

B =� 1

n : n2N

también lo está0 11/21/3

[cotas superiores: p , 1 (la menor), . . . ; cotas inferiores: �3, 0 (la mayor), . . . ].

Extremo superior (o supremo) de A es la menor de sus cotas superiores. Es decir:

s2R es el extremo superior o supremo de A [ sup A ] si:i) s es cota superior de A , ii) si k es cota superior de A entonces sk .

[Se define análogo extremo inferior o ínfimo de A [ inf A ], mayor de las cotas inferiores].

El sup A puede pertenecer o no a A ; si pertenece se le llama máximo, es decir:

M2R es el máximo de A [ max A ] si M2A y aM , 8a2A (análogamente, min A ).

Ej. Z , sin cotas superiores ni inferiores, no puede tener ni supremo ni ínfimo.El mínimo de R+ es 0 (y su ínfimo). No tiene supremo (ni máximo).7 es el supremo del A de antes (es la cota superior más pequeña), pero no es máximo,

pues 7 /2A ; 0 es su mínimo (y, por tanto, su ínfimo).Para B , 1 es el máximo (y supremo) y 0 el ínfimo (no mínimo).

Axioma del

extremo superior:

Todo conjunto no vacío de números reales acotadosuperiormente posee extremo superior.

[No es difícil demostrar que la afirmación: ‘todo conjunto no vacío de númerosreales acotado inferiormente posee extremo inferior’ es equivalente al axioma].

0

–!2–

!2–

3/2

Qno son de

Este axioma precisa la idea intuitiva de que losnúmeros reales ‘llenan del todo’ la recta real. Co-mo ocurría en Q, entre cualquier par de realesdistintos existen infinitos reales (infinitos racionales e infinitos irracionales). Pero a pesarde estar también los elementos de Q ‘tan cerca unos de otro como queramos’, dejan sinembargo ‘huecos’ entre ellos (los puntos ocupados por los infinitos irracionales). Por esohay conjuntos acotados en Q sin supremo. Por ejemplo, {x2Q : x2<2} es un subconjun-to de Q con cotas superiores racionales ( 3/2 , por ejemplo) pero no existe ninguna en Qque sea la más pequeña. Dada cualquier cota racional siempre puedo dar otra menor (máscercana al irracional

p2 ). El mismo conjunto, visto como subconjunto de R, debe tener

supremo (por el axioma del extremo superior):p

2 lo es.

Los siguientes subconjuntos de R van a aparecer un montón de veces en estos apuntes:

11

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Intervalos. Dados a<b se define:

intervalo abierto (a,b) = {x : a<x<b} ; intervalo cerrado [a,b] = {x : axb}

a y b no pertenecen a y b sí pertenecena b a b

[a,b) = {x : ax<b} ; (a,•) = {x : a<x} ; (�•,b) = {x : x<b}(a,b ] = {x : a<xb} ; [a,•) = {x : ax} ; (�•,b ] = {x : xb}

[ • no es ningún número real, es sólo notación].

Se llama entorno de centro a y radio r>0 a B(a,r) = {x : |x�a|< r}= (a�r,a+r)

[es decir, al intervalo abierto de longitud 2r centrado en a : ]a a+ra–r

Los intervalos abiertos y cerrados son casos particulares tipos de conjuntos que son importantesen matemáticas más avanzadas: los conjuntos abiertos y cerrados que vamos a definir:

Def.

Sea A⇢R y a2A . a es punto interior a A si existe r>0 tal que B(a,r)⇢A .A es abierto si todos sus puntos son interiores.

Def.

Sea A⇢R . p es punto de acumulación de A si en todoentorno de p existen puntos de A distintos de p .

[ p no tiene queestar en A ].

p p+rp–r

B*Es decir, si llamamos B⇤(p,r) = B(p,r)�{p}= {x : 0< |x�p|<r} ,p es de acumulación de A si para todo r>0 es A\B⇤(p,r) 6=? .

Def. A es cerrado si contiene a todos sus puntos de acumulación.

a b( ) ( ) ( )

Ej. [a,b] no es abierto porque no todos sus puntos son interiores;hay dos de ellos que no lo son: a y b (los demás sí lo son); pormuy pequeño que sea r , B(a,r) 6⇢ [a,b] (hay puntos de B(a,r) , los de la izquierda de a , que noson de [a,b] ). Para ver si es cerrado, localicemos sus puntos de acumulación: cualquier p /2 [a,b]no lo es, ya que un entorno suyo suficientemente pequeño no contiene ningún punto del intervalo;todo p2 [a,b] (incluidos a y b ) es de acumulación pues cualquier entorno suyo contiene infinitospuntos de [a,b] . Como [a,b] contiene a todos sus puntos de acumulación, es cerrado.

x0

( ( ) )2x

0

( )

(0,•) sí es abierto, pues todos sus puntos son interiores. En efecto, seax2(0,•) . 9r=x (o cualquier r<x ) tal que B(x,r) = (0,2x)⇢(0,•).(0,•) no es cerrado, pues 0 /2(0,•) y es de acumulación del conjunto.

0 11/21/3{ 1

n : n2N} tiene un único punto de acumulación (el 0 ) que nopertenece al conjunto: no es cerrado. Tampoco es abierto, puestiene puntos no interiores (ninguno lo es).

( )0 41 2 3 6 12

( ){n2N : n es divisor de 12}= {1,2,3,4,6,12} es claro quetampoco es abierto (puntos no interiores), pero este conjuntosí es cerrado, pues contiene a todos sus puntos de acumulación (al conjunto ? (no hay ninguno)).

Teorema: A es cerrado si y solo si su complementario R�A es abierto.

Sea A cerrado: tomemos cualquier a 2 R�A , a /2 A ) a no es de acumulación de A) 9r tal que B(a,r)\A=? ) B(a,r)⇢ R�A ) R�A es abierto.

Sea R�A abierto. Probemos que A es cerrado probando: ‘a /2A ) a no es de ac. de A ’:a /2A ) a2R�A abierto ) 9r/B(a,r)⇢R�A ) B(a,r)\A=? ) a no es de ac.

12

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1.4. Repaso de las funciones elementalesFunciones reales de variable real

Vimos en 1.1 las funciones en general. Casi todas las de este curso serán funciones de R en R:

Def.

Una función real de variable real f es una regla que asigna a cadauno de los números x de un conjunto D⇢R un único número realf (x) . A D⌘ dom f se le llama dominio de f . y⌘ f (x) es el valor def en x . Imagen o recorrido de f es f (D)⌘ im f ⌘ { f (x) : x2D} .

f : D ! f (D)x ! y⌘ f (x)

(Si no se precisa más, dom f será el conjunto de x para los que f tiene sentido).

Muchas veces f admite una expresión algebraica como f (x)= |x| , f (x)= senx , . . . ), pero otras noserá expresable ni con palabras. Por eso dimos en 1.1 una definición más teórica y más precisa:

f es un conjunto de pares ordenados que no contiene dos distintos con el mismo primer elemento.⇥Según esta definición, la ‘función |x| ’ sería {(x, |x|) : x2R}

⇤.

Geométricamente, f se puede representar en un sistema de coorde-nadas como un conjunto de puntos (gráfica de f ) en el plano xy .Así, la gráfica de f (x)= |x| es el conjunto de puntos que forman lassemirrectas y=x e y=�x que coinciden en el origen.

Dadas dos funciones f y g se pueden definir otras funciones f+g , f�g , f ·g , f/g y f �g :

Def.

( f+g)(x)= f (x)+g(x) , ( f�g)(x)= f (x)�g(x) , ( f ·g)(x)= f (x)·g(x) parax2 dom f\domg . ( f/g)(x)= f (x)/g(x) para x2dom f\domg\{x :g(x) 6=0} .( f�g)(x)= f

�g(x)

�(composición de f y g) para x con x2domg y g(x)2dom f .

Es inmediato ver que suma y producto de funciones son conmutativas, asociativas y se da ladistributiva. La composición es asociativa, pero no conmutativa:

Ej. Si f (x) = x2 , g(x) = 2x�1 se tiene que ( f �g)(x) = 4x2�4x+1 6= 2x2�1 = (g� f )(x) .

Def.

f es inyectiva en A⇢R si f (x)= f (x⇤) ) x=x⇤, 8x,x⇤ 2A⇥o lo que es lo mismo, si x 6=x⇤ ) f (x) 6= f (x⇤)

⇤.

Ej. f (x)=|x| no es inyectiva en A=R (a �3 y 3 , por ejemplo, les corres-ponde el mismo valor). Sí lo es en A=[0,•) , o en A=[�3,�1] .

La gráfica de una función inyectiva no corta más de una vez cualquier recta horizontal.

Def.

Si f : x ! y= f (x) es inyectiva en A existe la función inversa f�1 : f (A)! Ay= f (x)! x= f�1(y)

En términos de pares ordenados, la función inversa es f�1 = {(y,x) : (x,y)2 f} .

y=f (x)

–1y=f (x)

Propiedades inmediatas son:dom f�1= im f , im f�1= dom f , ( f�1� f )(x)=( f � f�1)(x)= x

Las gráficas de y= f (x) y de y= f�1(x) son simétricas respecto a la recta

y=x [pues (x,y) e (y,x) lo son]. Para escribir y= f�1(x) explícitamente(cuando se pueda; en general será imposible) se despeja x en función de yde la expresión y= f (x) y se cambia el nombre a las variables.

Ej. La inversa de y = x3�5 es y = (x+5)1/3 ⇥pues x = (y+5)1/3 al despejar

⇤.

13

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Def.

f es estrictamente creciente en A⇢R si 8x,x⇤2A con x<x⇤ se tiene f (x)< f (x⇤) .Es estrictamente decreciente si f (x)> f (x⇤) . Es creciente si f (x) f (x⇤) . Esdecreciente si f (x)� f (x⇤) . Cualquiera de ellas se dice monótona (estrictamente

monótonas, las dos primeras).

1 2 3

–1

1

2

3

–1

Ej. f (x) = [x ] = máximo entero menor o igual que x [llamada ‘parteentera de x’] es creciente en todo R [no estrictamente].

Ej. f (x) = |x| es estrictamente decreciente en {x 0} yes estrictamente creciente en {x � 0} .

Teorema: f estrictamente monótona en A ) f inyectiva en A [y existe su f�1 ].[Si x 6=x⇤ o bien es f (x)< f (x⇤) o bien f (x)> f (x⇤) ].

[Para ver si una f es monótona (y por tanto inyectiva) acudiremos en el futuro a las derivadas.También las necesitaremos para conocer la imagen de funciones que no sean muy sencillas].

PAR

IMPAR

Def.

f es par si f (�x) = f (x) e impar si f (�x) =� f (x) .f es de periodo T o T -periódica si f (x+T )= f (x) 8x .

[Su gráfica, respectivamente, es simétrica respecto al eje x=0 ,es simétrica respecto del origen o se repite cada T unidades].

Es muy fácil comprobar que el producto de dos funciones pares o de dos impares es una

función par y que el producto de una función par por una impar es impar.⇥Por ejemplo, si f ,g impares, ( f ·g)(�x)= f (�x)g(�x) =[� f (x)][�g(x)]= f (x)g(x)=( f ·g)(x)

⇤.

Rectas

bm1

La gráfica de y = mx+b es una recta de pendiente m que corta eleje x=0 en el punto y=b . Las rectas paralelas a ella son de la formay = mx+C . La pendiente de las rectas perpendiculares es � 1

m .

La recta que pasa por (x0,y0) y tiene pendiente m es y = y0 +m(x�x0) .

La recta que pasa por (x0,y0) y (x1,y1) es y = y0 +y1�y0x1�x0

(x�x0) .

Ej. i) Dibujar y hallar la ecuación de la recta R que pasa por los puntos (�1,0) y (1 ,3) .ii) Hallar la función inversa y= f�1(x) de la función y= f (x) definida por la recta R .iii) Hallar la ecuación de la recta paralela a R que pasa por el punto (1,�1) .iv) Hallar la ecuación de la perpendicular a R que pasa por ese mismo punto.

La pendiente de R es 32 y pasa por (�1,0) . Su ecuación:

y = 32(x+1) = f (x) (rojo)

Despejando x en función de y , y cambiando nombres:

x = 23 y�1 ! f�1(x) = 2

3 x�1 (verde).

La paralela, con la misma pendiente, pasa por (1,�1) :

y =�1+ 32(x�1) ! y= 3

2(3x�5) (azul oscuro).

La perpendicular tiene por pendiente �23 :

y =�1� 23(x�1) ! y=� 1

3(2x+1) (azul claro).

14

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Potencias, raíces, exponenciales y logaritmos

_

3

x2

3!x_

!x

3x x2

3x

!x_

1–1

–1

1

y = xn , y = x1/n = np

x , n2N

Si n impar, y=xn es inyectiva en todo R y es f (R)=R .Su inversa y=x1/n está definida en R y su imagen es R .Si n par, no es inyectiva en R . Se llama entonces y=x1/n

a la inversa de y=xn restringida al intervalo [0,•) , con loque en ese caso tiene por dominio e imagen [0,•) .

(La función y=�x1/n para n par, es lainversa de y=xn restringida a (�•,0] ).

y = x�n = 1xn

y = x�1/n = 1x1/n

n2N! y = xm/n = n

pxm , m,n2N

1

1

1/x

1/x

1/x

1/x22

!x_

1/

–1

–1 1

x3/2

x2/3

1

bx es fácil de definir si x2Q⇥

bm/n = np

bm⇤

, pero no cuando x es irracional (¿qué es 2p ?) ypor tanto logb x tampoco tiene sentido. Definimos primero el logaritmo neperiano así:

logx ⌘ lnx ⌘R x

1dtt , para x>0 [ logx será siempre neperiano, el

decimal log10x no se utilizará].

que es la forma más corta de hacerlo, aunque no podemos aún deducir sus propiedades. Noscreemos que logx es estrictamente creciente en {x>0} y que su imagen es R . Y también que:

log(a ·b) = loga+ logb , log ab = loga� logb , log(ac) = c loga , si a,b>0 .

[Observemos que no es cierto 8x , por ejemplo, que logx2= 2logx , pues si x<0el segundo miembro carece de sentido; sí es cierto 8x 6=0 que logx2 = 2log |x| ].

A partir de la función logaritmo, definimos:e

logx

x

1

1

1

1

b(0<b<1)

b

x (b>1)

log x

blog x

(b>1)

(0<b <1)

xbex es la inversa de logx , con lo que sudominio es R y su imagen {x>0} .

xb⌘ eb logx , x>0 ; bx⌘ ex logb , b>0 , 8x ;

logb x ⌘ logxlogb , b>0

b 6=1 , x>0 . [O también:inversa de bx ].

De estas definiciones se podrían deducir:

b0 = 1 , bx+y = bxby , b�x = 1bx , (bx)y = bxy

⇥bxy representa siempre b(x

y)⇤

.

Las definiciones son naturales, si han de satisfacerse estas propiedades. Así, por ejemplo:xb = [exponencial inversa del logaritmo] = (elogx)

b= [pues (bx)y = bxy ] = eb logx

⇥xb sólo vale para x>0 si b es un real cualquiera, pero si b=7 ó b= 1

3 está definida 8x⇤.

[Según la definición dada, el número e sería aquel que cumpliese log e=R e

1dtt = 1 . Utilizando

las propiedades de la integral se podría aproximar su valor, pero esto será mucho más cortohacerlo cuando estudiemos Taylor. Admitimos que aproximadamente es e ⇡ 2.7182818... ].

Más en general, se define: f (x)g(x) = eg(x) log [ f (x)] , para los x tales que f (x)>0 .

15

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Ej. Sea f (x)= log�4x�3

px�

. Hallar su dominio D y determinar los reales x que hacen f (x)=0 .¿Tiene D supremo, máximo, ínfimo o mínimo? ¿Es f inyectiva en su dominio?

f está definida si x�0 (por la raíz) y si (por el logaritmo) 4x�3p

x >0 ()px>0

4p

x >3 , x> 916 .

Por tanto, el dominio de f es D=� 9

16 ,•�

.

f (x)=0 , 4x�3p

x =1 ()t=

px

4t2�3t�1 = 0 , t= 3±p

168 = 1,� 1

4 =p

x ) x=1 .⇥que sea

px =� 1

4 es imposible⇤.

D no tiene supremo, ni máximo, ni mínimo. Su extremo inferior (que no pertenece a D ) es 916 .

Como se dijo, el estudio de la inyectividad (de la monotonía) es complicado por ahora. El ins-trumento adecuado para abordarlo es la derivada, pero lo vemos sin ella. Parece ser estrictamentecreciente, pues en el argumento del logaritmo x crece más que

px . Lo probamos:

Si 916 x <y =)p

x crece

px <

py , 4

px�3<4py �3 ) 4x�3

px <4y�3py =)

log crecef (x)< f (y) .

Por ser estrictamente creciente en D , es f inyectiva (y posee función inversa).hLas cosas serán más mecánicas con su derivada f 0(x) = 8

px�3

2x(4p

x�3) > 0 si x> 916 ) estrictamente

creciente

i.

Ej. Hallar todos los números reales x tales que e2| logx| < 8x .

Es | logx|=n logx si x�1 (cuando el logaritmo es positivo)� logx si 0<x1 (si está definido y es negativo)

Para x�1 , e2| logx|= elogx2= x2< 8x )

x>0x < 8 (y x�1 ).

Para 0< x 1 , e�2logx= elogx�2= x�2<8x , x3> 1

8 , x> 12 .

Los x buscados son: x2� 1

2 ,8�

. [Los que sugieren las gráficas].

Las funciones hiperbólicas son funciones que se definen a partir de exponenciales y aparecenmuchas veces en matemáticas (porque ni ex ni e�x tienen simetrías y ellas sí la tienen).

sh x ch x th x1

1

–1

Seno, coseno y tangente hiperbólicas son:

shx = ex�e�x

2 , chx = ex+e�x

2 ,

thx = shxchx =

ex�e�x

ex+e�x , 8x

El dominio de todas es todo R. La imagen del seno hiperbólico es también todo R, la del cosenoes [1,•) y la de la tangente es (�1,1) .

Tienen propiedades similares a las trigonométricas (muy fáciles de comprobar) como:

sh(�x)=�shx , ch(�x)=chx , th(�x)=� thx , ch2x�sh2x = 1 , 1�th2x = 1ch2x

,sh(x+y) = shxchy+ chxshy , ch(x+y) = chxchy+ shxshy .

Probemos, por ejemplo, la cuarta y la sexta:14�ex+ e�x

�2 � 14�ex� e�x

�2= 1

4�e2x+2+ e�2x � e2x+2� e�2x

�= 1

14�ex� e�x

��ey+ e�y

�+ 1

4�ex+ e�x

��ey� e�y

�= 1

2�ex+y� e�x�y

[El nombre del seno y coseno hiperbólicos vienen del hecho de que se podrían definirde forma análoga a como vamos a definir el seno: son la ordenada y abscisa de un puntosituado a distancia x del punto (1,0) sobre la parte con x>0 de la hipérbola x2�y2=1 .].

16

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Funciones trigonométricas (siempre en radianes)Seno, coseno y tangente aparecen primero como cocientes entrelados de un triángulo rectángulo. Para 0<a <90o es:

sena = BA , cosa = C

A y tana = BC .

También sena = B0A0 [triángulos semejantes tienen lados proporcionales].

Interesa definirlas para cualquier ángulo, positivo o negativo, y además expresado en radianes:

1

longitud x

P

senx

cosx

x

Sea x la longitud (medida en sentido horario o antihorario) delarco que une (1,0) con un punto P de la circunferencia unidad.El ángulo orientado (positivo hacia arriba, negativo hacia abajo)formado por las semirrectas que unen (0,0) con ambos puntoses el ángulo de x radianes y senx es la ordenada de P .

[Esta definición es poco rigurosa, por basarse en el concepto de longitudde una curva cuya definición no tenemos bien establecida; se le puede darrigor utilizando integrales, lo mismo que a senx : ver Spivak].

A partir del senx definimos:cosx = sen(x+ p

2 ) , 8x ; tanx = senxcosx , si x 6= p

2 +kp , k2Z.

[Nos será más útil esta definición de cosx que la equivalente ‘abscisa del punto P ’. Las otrasclásicas funciones trigonométricas cotan x= cosx

senx =1

tanx , sec x= 1cosx y cosec x= 1

senx no seránutilizadas en estos apuntes, puesto que se pueden expresar fácilmente en términos de las dadas].

Admitimos que las gráficas de estas funciones son las de abajo:

tan x

! !/2–!

!

!/2

1

–1

!/4–!/2

–!

sen xcos x

senx y cosx son de periodo 2p , senx es impary cosx es par, tanx es p-periódica e impar.

Repasemos algunas propiedades trigonométricas clásicas [algunas otras se verán en problemas].

Recordemos en primer lugar la equivalencia entre grados y radianes. Como un ángulo recto sonp2 radianes (la longitud de la circunferencia unidad es 2p) o bien 90�, es a� = ap

180 radianes .

En particular, los famosos ángulos de 30�, 45� y 60� son, respectivamente, p6 , p

4 y p3 radianes.

Las funciones trigonométricas tienen una infinidad de valores exactos conocidos como:sen(kp) = cos

�p2 +kp

�= tan(kp) = 0 ,

sen�p

2 +2kp�= cos(2kp) = 1 , sen

�� p

2 +2kp�= cos[(2k�1)p] =�1 ,

que son inmediatos, y los siguientes que se deducen fácilmente del teorema de Pitágoras:

sen p6 = cos p

3 = 12 , sen p

4 = cos p4 =

p2

2 , sen p3 = cos p

6 =p

32 ,

tan p6 =

p3

3 , tan p4 = 1 , tan p

3 =p

3 .

De ellos salen los similares de otros cuadrantes, por ejemplo:sen 5p

6 = 12 ; sen 7p

6 = sen 11p6 =�1

2⇥o si se prefiere: sen(� 5p

6 ) = sen(�p6 ) =� 1

2⇤.

17

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De Pitágoras también se deduce: sen2x+ cos2x = 1 ) 1+ tan2x = 1cos2x .

Ej. A partir de aquí es fácil hallar, dada cualquiera de las razones trigonométricas de un ángulo y elcuadrante en el que se encuentra (sin este dato hay 2 posibilidades), los valores de las restantes:Por ejemplo, si tana =� 4

3 y a 2� 3p

2 ,2p�

, los valores del seno y el coseno de este ángulo son:

cosa =+ 1p1+tan2 a

= 1p1+(16/9)

= 35 , sena = cosa tana =� 4

5 .

Seno, coseno y tangente sonpositivos en los cuadrantesdibujados a la derecha:

Más difíciles de probar son las siguientes importantes identidades (válidas 8a,b):

sen(a±b) = senacosb± cosasenb , cos(a±b) = cosacosb⌥ senasenb ,

pero a partir de ellas ya es fácil comprobar todas las siguientes (de hecho, nos bastaban lasfórmulas para a+b , pues las de a�b=a+(�b) son consecuencia inmediata de ellas, por laimparidad y paridad de seno y coseno). Por ejemplo:

sen2a = 2 sena cosa , cos2a = cos2a� sen2a = 1�2sen2 a = 2cos2 a�1

) sen2a = 12 [1� cos2a] , cos2a = 1

2 [1+ cos2a] .

Casi inmediata es: tan(a±b) = tana± tanb1⌥ tana tanb ) tan2a = 2tana

1� tan2a .

Aquí basta desarrollar los segundos miembros:senasenb = 1

2 [cos(a�b)� cos(a+b) ]

cosacosb = 12 [cos(a+b)+ cos(a�b) ]

senacosb = 12 [sen(a+b)+ sen(a�b) ]

En la última, llamando A=a+b y B=b�a , resulta ser a = A�B2 y b = A+B

2 con lo que:

senA� senB = 2 sen A�B2 cos A+B

2 .

Ej. Calculemos usando las igualdades anteriores el cos 35p12 .

11π/12 π/12Primero observemos que cos 35p

12 = cos( 35p12 �2p) = cos 11p

12 =�cos p12 .

Como cos2( p12 ) =

12 [1+ cos p

6 ] =2+

p3

4 ) cos 35p12 =� 1

2

p2+

p3 .

Podemos dar una expresión más bonita: �cos p12 =�cos

�p3�

p4�=� 1

2

p2

2 �p

32

p2

2 =�p

2+p

64 .

⇥Ambas expresiones coinciden, claro: 1

4�2+

p3�= 1

16 (2+6+2p

12� ⇤

.

Ej. Encontremos todos los reales x que satisfacen 6tanx = sen2x .6senxcosx =2senxcosx , 2senx

cosx [3�cos2x] = 0 , senx=0 ó cos2x=3 (imposible).

Los x buscados son, pues, x=kp , k2Z .

Ej. Hallemos todos los reales x tales que cos4x�2cos2x=3 .

2cos22x�2cos2x�1=3 , cos22x�cos2x�2 = 0 ! cos2x = 1±p

1+82 = 2 ,�1 .

cos2x=2 es imposible y cos2x=�1 se cumple si 2x=(2k+1)p ) x = p2 + kp , k2Z .

[Con algo de vista: las únicas soluciones posibles son los x que, a la vez, hacen cos2x=�1 y cos4x=1 .No es conveniente en este caso, desde luego, expresarlo todo en función de cosx ].

18

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Dada una razón trigonométrica no queda precisado el ángulo del que proviene. Por ejemplo hayinfinitos x con tanx=�1 , incluso hay dos

�x= 3p

4 y x= 7p4�

si sólo nos preocupamos de losx de [0,2p) . Por eso hay que tener cuidado con las funciones trigonométricas inversas:

arccos x

arcsen x

!

!/2

1–1

–!/2

Para definirlas debemos restringir los intervalos de definición para quesenx , cosx y tanx sean inyectivas:

arcsenx�

dom= [�1,1] , im= [�p2 ,

p2 ]�

es la inversa de senx restringida a [�p2 ,

p2 ] .

arccosx�

dom= [�1,1] , im [0,p]�

es la inversa de cosx restringida a [0,p] .

(El arco seno de x no es simplemente ‘el ángulo cuyoseno vale x ’; infinitos x tienen el mismo seno).

arctan x

!/2

–!/2

arctanx⇥

dom= R , im= (�p2 ,

p2 )⇤

es la inversa de tanx definida en�� p

2 ,p2�

.

Ej. arctan(tan 3p4 ) = arctan(�1) =�p

4 .

[La función arctanx aparece muchas veces en el cálculo, por ejemplo hallando primitivas].

Cónicas

Son las curvas descritas por expresiones que contienen a lo más potencias de orden 2 en x ó y :Ax2 +Bxy+Cy2 +Dx+Ey = F

No nos ocupamos de todas las posibilidades que se pueden dar en general y de cómo distinguirentre ellas (es más típico de cursos de álgebra, digamos aquí simplemente que en su clasificaciónes muy importante el signo de B2�4AC ). Nos limitamos a identificar las más simples.

a>0

a<0

c>0

c<0

y=ax2+bx+c , son parábolas con el eje vertical. El signo de a

indica si es de forma ^ o _ , y como y = a�x+ b

2a

�2+ 4ac�b2

4a , estáclaro (sin usar derivadas) que su vértice es el punto

�� b

2a , c� b2

4a

�.

Son también sencillas las hipérbolas xy=c�o sea, y= c

x

�:

Las siguientes cónicas no definirán una única función, sino dos:

(x�a)2 +(y�b)2= R2 , x2

a2 +y2

b2 = 1 , x2

a2 � y2

b2 = 1 , y2

b2 � x2

a2 = 1 .

(circunferencia) (elipse) (hipérbolas)

b

b

b

–b

–ba

a a–a –a

R

La elipse, por ejemplo, define las funciones y= ba

pa2�x2 e y=� b

a

pa2�x2 , x2 [�a,a] .

[Aunque estas curvas son las que se obtienen al cortar un cono con diferentes planos (origen de lapalabra ‘cónica’), en la expresión general se pueden esconder objetos más sencillos. Por ejemplo,y2�3xy+2x2=0 representa dos rectas ( y=x e y=2x ), x2+y2=�1 es el conjunto vacío ? ...].

19

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1.5. El conjunto C . Operaciones con complejosNo hay ningún número real x tal que x2+1 = 0 . Para que esa ecuación tenga solución es ne-cesario introducir el número imaginario i : i2 =�1 . Veamos algunas propiedades del conjuntode los números complejos C={z = a+ ib : a,b2R} .

En C están definidas las operaciones suma y producto:

(a+ ib)+(c+ id) = (a+ c)+ i(b+d) , (a+ ib) · (c+ id) = (ac�bd)+ i(ad +bc) .

Con estas dos operaciones C es un cuerpo: + y · son asociativas y conmutativas, existe ladistributiva, existen elementos neutros ( z+0 = z y z ·1 = z ) e inversos:

8z = a+ ib 9 � z =�a� ib tal que z+(�z) = 0 ,

8z 6= 0 9z�1 = aa2+b2 � i b

a2+b2 tal que z · z�1 = 1 .

Se define diferencia y cociente de complejos como: z�w = z+(�w) , zw = z ·w�1 si w 6=0 .

[No se puede, a diferencia de R, definir un orden en C compatible con las operaciones anteriores].

Si z = x+ iy , su parte real Re(z)=x , su parte imaginaria Im(z)=y ,su conjugado es z ⌘ z⇤= x� iy y su módulo es |z|=

px2+y2 .

|w|

|z–w|

|z|

z=x+iy

z=x–iy-

x

y

z+w

w

!

Representando cada complejo z = x+ iy como el punto del plano decoordenadas (x,y) , es fácil ver que el complejo suma z+w está enel vértice opuesto al origen de un paralelogramo dos de cuyos ladosson los segmentos que unen z y w con O=(0,0) . El conjugado z esla reflexión de z respecto de y = 0 . El módulo es la distancia desdez al origen. La distancia de z a w viene dada por |z�w| .Algunas propiedades de demostración inmediata son:

z = z , z+w = z+w , �z =�z , z ·w = z ·w , z�1 = (z)�1 , |z|2= z · z , |z ·w|= |z|·|w| .

Más difícil es probar la desigualdad triangular (geométricamente es clara): |z+w| |z|+|w| .

Ej. Calcular��� i(3�4i)

2+i

��� . Basta hacer uso de las propiedades del módulo: | |= |i||3�4i||2+i| = 1·5p

5=p

5 .

Vamos ahora a hacerlo dando un rodeo, calculando el complejo que está dentro del módulo:i(3+4i)

2+i ="

(3i�4)(2�i)(2+i)(2�i) = 3�8+6i+4i

5 =�1+2i , cuyo módulo es, desde luego,p

5 .multipicando por el conjugado del denominador

Un z se puede escribir en coordenadas polares: z = x+ iy = r(cosq + i senq) , con r = |z|

��

���������

y q el ángulo que forma el segmento Oz con el eje x positivo. El q no esúnico: todos los q+2kp nos dan el mismo z . Cualquiera de ellos se llamaargumento de z . El argumento principal es el q con 0q <2p . El qse halla utilizando que tanq = y

x y mirando el cuadrante en que está el z .

Más adelante veremos que si q es cualquier real: eiq = cosq + i senq (complejo de módulo 1).Esto nos proporciona una forma más corta de expresar un complejo en polares:

z = r eiq , donde r = |z| y q es un argumento de z .

Ej. Para z =�2+2i es |z|= 2p

2 . Como tanq =�1 y z está en el segundo cuadrante, se puedeescribir z (con el argumento principal) en la forma z = 2

p2⇥

cos 3p4 + i sen 3p

4⇤= 2

p2 ei3p/4

�ó con otro q : z = 2

p2⇥

cos 11p4 + i sen 11p

4⇤= 2

p2 ei11p/4 �.

20

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Las formas polares son muy útiles para efectuar productos, potencias y raíces:

s

w

z

!

r"

!+"

z.w

r.s

Si z = r eiq , w = seia entonces:z ·w = rsei(q+a) = rs [cos(q+a)+ i sen(q+a)] ,

zw = r

s ei(q�a) = rs [cos(q�a)+ i sen(q�a)] ,

zn = rn einq = rn(cosnq + i sennq) .

[Las dos primeras son inmediatas y la de zn se prueba por inducción].

! rn –

2"/n

#/n

Todo z=r eiq 6=0 tiene exactamente n raíces n-simas distintas dadas por

np

z = np

r eif con f = q+2kpn , k=0, . . . ,n�1 .

[basta elevar a n y observar que si k=n,n+1, . . . se repiten los ángulos;vemos que las n raíces están en los vértices de un polígono regular].

Hagamos una serie de operaciones de repaso de la aritmética compleja:

Ej. Expresar el número complejo z = 1� i + 11+i , como x+ iy y como r eiq y hallar |z2| .

z =1� i+ 12 (1� i)= 3

2+ i 32 . |z|=

q94+

94 , tanq =1 y primer cuadrante ! z = 3p

2eip/4 .

z2 = 92 eip/2 = 9

2 i�o bien z2= 9

4+94 i2+ 9

2 i�. |z2|=

�� 92 i��= 9

2�

debía ser |z2|= |z · z|= |z||z|�.

Ej. Calcular w = (1� i)6 , directamente y en polares.

Escribiendo una fila más del triángulo de Tartaglia de 1.2 o hallando�6

2�= 6·5

2 ,�6

3�= 6·5·4

3·2 :

w = 1+6(�i)+15(�i)2+20(�i)3+15(�i)4+6(�i)5+(�i)6

= 1�6i�15+20i+15�6i�1 = 8i .7π/4

1

-ir =

p2 , tanq =�1 ! q = 7p

4�ó q =�p

4 , es del cuarto cuadrante)

!�p

2ei7p/4�6= 8ei21p/2 = 8eip/2 = 8i .

! 53 –

"

Ej. Hallar las raíces cúbicas de z = 7+i1�i .

Podemos hacer: z = (7+i)(1+i)(1�i)(1+i) =

6+8i2 = 3+4i = 5eiarctan(4/3) . O bien,

7+ i = 5p

2 eiarctan(1/7) , 1� i =p

2 e�i7p/4 ! z = 5ei [arctan(1/7)+p/4]⇥las dos expresiones de z coinciden: arctanx+arctany=arctan x+y

1�xy en�� p

2 ,p2� ⇤

.

Por tanto, 3p

z = 3p5eif donde f = arctan(4/3)+2kp3 , k = 0,1,2 . Con calculadora:

q =arctan 43 ⇡ 0.927 ; f ⇡ 0.309, 2.403, 4.498 ; z ⇡ 1.63+0.52 i ,�1.26+1.15 i ,�0.36�1.67 i .

Ej. Escribir el polinomio real x4+1 como producto de polinomios reales de segundo grado.

1π/4

Las raíces del polinomio son las cuatro raíces de �1=1eip ,que son 4p1eif con f = p

4 , 3p4 , 5p

4 , 7p4 .

Es decir, z1,2=p

22 [1± i ] , z3,4=

p2

2 [�1± i ] , complejos conjugadosdos a dos, como debían (a lo mismo llegaríamos buscando z=a+ ib

con z2=±i , pero sería mucho más largo). Así pues:x4+1=

⇥(x�z1)(x�z2)

⇤⇥(x�z3)(x�z4)

⇤=⇥x2 � (z1+z2)x+ z1z2

⇤⇥x2 � (z3+z4)x+ z3z4

! x4 +1 =⇥x2 �

p2x+1

⇤⇥x2 +

p2x+1

21

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Ej. Hallar las raíces de la ecuación z2 � iz�1� i = 0 ! z = 12⇥

i±p

3+4i⇤

.⇥La fórmula z = 1

2a

⇥�b±

pb2�4ac

⇤sigue siendo válida interpretando ±

pb2�4ac como

las dos raíces del complejo (no tiene sentido decir ‘la raíz positiva’ de un complejo)⇤.

Trabajemos en cartesianas. Buscamos w = x+iy tal que w2= x2�y2+2xyi = 3+4i .

Debe ser x2�y2=3 x4�3x2�4 = (x2 �4)(x2 +1) = 02xy=4 ! y= 2

x%

Hay dos soluciones reales de este sistema: x=2, y=1 y x=�2, y=�1 .⇥En polares se obtendría w =

p5eif , f = arctan(4/3)

2 +kp , k=0,1 ,que con una calculadora se ve que coinciden con ±(2+ i)

⇤.

Las raíces buscadas son: z = 12⇥

i+(2+i)⇤= 1+ i y z = 1

2⇥

i� (2+i)⇤= �1 .

i

–1

3

2

Ej. Representar en el plano complejo los z que cumplen |z� i |< 2 .

Si z = x+ iy , esto equivale a |x+ i(y�1)|< 2 , x2 +(y�1)2 < 4 .Los z buscados son los del círculo sin borde de centro (0,1) y radio 2

(claro, los z que distan del complejo i menos que 2 ).

Ej. Expresar cos3q y sen3q en términos de cosq y senq utilizando potencias de complejos.

cos3q+i sen3q = ei3q =[eiq ]3=[cosq+i senq ]3=cos3q�3cosq sen2q+i [3cos2q senq�sen3q ]

) cos3q = 4cos3 q �3cosq y sen3q = 3senq �4sen3 q[sale usando sólo propiedades reales de senos y cosenos de sumas, pero es bastante más largo].

En la sección 4.6 definiremos las funciones complejas f (z)= ez , f (z)= senz y f (z)= cosza partir de series de potencias

⇥y probaremos la igualdad eiq = cosq + i senq

⇤.

Pero ya podríamos definir así para cualquier complejo z : ez= ex+iy= ex(cosy+ i seny) .

22

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2. Sucesiones, límites y continuidad en R

2.1 Sucesiones de números reales

{a

n

}= a1,a2, ...,an

, ... es una sucesión: a cada natural n corresponde un real a

n

.Matemáticamente, como una función asigna a cada elemento de un conjunto un único elemento de otro:

Def. Una sucesión de números reales es una función de N en R a : N ! Rn ! a(n)⌘ a

n

Una sucesión tiende hacia a si en todo entorno de a , por pequeño que sea, están casi todos los términosde la sucesión (todos salvo un número finito). Por ejemplo { 1

n

} = 1 , 12 ,

13 , ... tiende hacia 0 ya que

fijado un entorno cualquiera del origen todos los términos de la sucesión a partir de uno dado acabanmetiéndose dentro. Precisando:

Def.{a

n

} tiene por límite a (o tiende hacia a o converge hacia a ) si para todo e>0 existeun número natural N tal que para todo natural n�N es |a

n

�a|< e . Se representa porlımn!•

a

n

= a ó a

n

�!n!•

a . Si una sucesión {a

n

} no es convergente se dice divergente.

Esta definición es la primera de las definiciones rigurosas de límite de aspecto similar queveremos en los apuntes. Hagamos unas cuantas observaciones sobre ella:Decir que |a

n

�a|<e es equivalente a que a

n

2 B(a,e) . Para todo e hemos de encontrar unN tal que a

N

,aN+1,aN+2, ... estén dentro del entorno.

El N no es único: si los a

n

2B(a,e) para n�N , también están dentro para n�N

⇤ si N

⇤�N .No se trata de hallar el menor N , basta con dar uno para el que se cumpla.En sucesiones escribiremos simplemente a

n

! a , pues sólo tiene sentido el límite para n ! •(en funciones, la x podrá tender a 0 , a • , a �• ,. . . y sí habrá que precisarlo).

( )

1/

-ε ε0

NEj. Formalicemos que 1n

! 0 : dado cualquier e (por pequeño que sea)existe N tal que 1

N

<e . Por tanto, si n�N , | 1n

�0| 1N

<e .Se ve que N depende del e dado (si e = 0.1, basta tomar N=11,pero si e = 0.001 debemos tomar N=1001 o un número mayor).

Ej. La sucesión {(�1)n} = �1,1,�1,1, ... diverge, pues está claro que no todos sus términos apartir de un N están en todo entorno de �1 , ni de 1 , ni de cualquier otro real. Aunque hayainfinitos términos en cualquier entorno de 1 (por ejemplo) otros infinitos se escapan. Si e =2todos los a

n

pertenecen al entorno B(1,2) , pero esto debe ocurrir 8e y no sólo para e grandes.

El cálculo de límites con e y N es, en general, complicado. Pero, gracias a los teoremas que veremos(demostrados utilizando los e ), sólo en contadas ocasiones y para sucesiones muy extrañas deberemosen el futuro acudir a la definición. Para manejar ésta (en ejemplos y en teoremas) se suele partir de lo queuno quiere hacer pequeño ( |a

n

�a| ) y, tras algunos < ó (la desigualdad triangular suele aparecer), sellega a una expresión de la que sea ya fácil decir para qué n es < e :

Ej. Probemos sólo con la definición (pronto será innecesaria) que {a

n

}=�2

pn+5�n

pn+1

! 2 .

���2p

n+5�n

pn+1 �2

���= |5�n�2|pn+1 5�n+2p

n

3pn

< e ,p

n > 3e , n > 9

e2

Por tanto, dado cualquier e , si N es un natural > 9/e2, para n�N se cumple que |an

�2|< e .[No es la única forma de precisar el N, podríamos, por ejemplo, no haber quitado el 1 deldenominador y habríamos llegado a otro N; lo que, desde luego, no funcionaría sería empezarhaciendo |a

n

�2| |an

|+2 , pues no habría forma de hacer esto menor que cualquier e ].

23

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Teorema: {a

n

} convergente ) {a

n

} acotada.

Sea e =1 (por fijar un número); sabemos que 9N tal que si n�N ) |an

|�|a| |an

�a|<1) |a

n

||a|+1 . Por tanto, llamando M=máx�|a1|, . . . , |aN�1|, |a|+1

se tiene |a

n

|M 8n .

No es cierto que toda {a

n

} acotada sea convergente. Por ejemplo, {(�1)n} es acotada y diverge.Lo que sí se deduce del teorema (noq)no p) es que diverge seguro una sucesión no acotada.

Definimos ahora un par de tipos importantes de sucesiones divergentes (y no acotadas):

Def.{a

n

} diverge hacia +•�

lımn!•

a

n

=•�

si 8K 9N / 8n�N se cumple a

n

� K .

{a

n

} diverge hacia �•�

lımn!•

a

n

=�•�

si 8K 9N / 8n�N se cumple a

n

K .

[+• y �• son sólo símbolos, no números; estas sucesiones no convergen a ningún número real].

Ej. n

2+12n

! • , pues 8K , n

2+12n

� n

2 > K si n�N con N cualquier natural � 2K .�1,0,�2,0,�3,0,�4, ... no diverge hacia �• . A pesar de contener términos tan pequeñoscomo queramos, no es cierto que dado cualquier K queden a su izquierda todos los términosa partir de un N (para los K<0 es evidente que es falso). Claramente, tampoco tiende a 0 .

Def.{a

n

} es creciente si a

n

a

n+1 8n . {a

n

} es decreciente si a

n

� a

n+1 8n .Cualquiera de las dos se dice monótona.

Ej. 13,23,33,43,53, . . . (no acotada, divergente hacia +•) es creciente.1,1,1/2,1/2,1/3,1/3,1/4,1/4, ... es decreciente (y tiende hacia 0 ).

Teorema:{a

n

} creciente y acotada superiormente ) {a

n

} convergente.{a

n

} decreciente y acotada inferiormente ) {a

n

} convergente.Na

(aa-

El axioma del extremo superior asegura que {a

n

} tiene supremoal que llamamos a . Veamos que a es el límite de {a

n

} :Sea e >0 , 9N tal que a

N

>a�e (si no, habría cotas menoresque a ). Por tanto, si n�N , a�a

n

�a

N

>a�e ) |an

�a|= a�a

n

<e . [Análoga la otra].

Dada una sucesión {a

n

}, se llama subsucesión de {a

n

} a cualquier sucesión formada escogiendoordenadamente infinitos términos de {a

n

} , es decir:

Def. {a

n

j

}=a

n1 ,an2 , · · · con los n

j

2N tales que n1<n2< · · · es subsucesión de {a

n

} .

Ej. 12 ,

14 ,

16 ,

18 ,

110 . . . , 1, 1

11 ,1

111 ,1

1111 ,1

11111 . . . ó 125 ,

126 ,

127 ,

128 , . . . son subsucesiones de {1

n

} .

No lo es, en cambio, 12 ,1,

14 ,

13 ,

16 ,

15 , . . . , formada con elementos desordenados de {1

n

} .

Está claro que si {a

n

} ! a también cualquier subsucesión suya {a

n

j

} ! a . Por tanto, unaforma de probar que una sucesión no tiene límite es encontrar dos subsucesiones suyasque converjan hacia límites distintos o alguna subsucesión que no converja.

[A las subsucesiones de las sucesiones divergentes pueden pasarle, sin embargo, todo tipo de cosas.Por ejemplo, 1,1,2,1,2,3,1,2,3,4, ... tiene subsucesiones convergentes a infinitos límites distintos(a cada número natural), otras que divergen a +• y otras que no tienen límite ni finito ni infinito;�1,0,�2,0,�3,0,�4, ... tiene subsucesiones que tienden a 0 y otras a �• ; 1,2,3,4, ... no tienesubsucesiones convergentes... Si {a

n

} es acotada veremos que sí podemos sacar alguna conclusión].

Con los siguientes teoremas podremos calcular un montón de límites de sucesiones sin usar ey N (sólo los más sencillos, otros exigen técnicas de límites de funciones y habrá que esperar).

24

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Teorema:Si {a

n

}! a y {b

n

}! b entonces:{a

n

+b

n

}! a+b , {a

n

�b

n

}! a�b , {a

n

b

n

}! ab , y si b 6=0 , {a

n

b

n

}! a

b

.

+)⇥

casi igual �)⇤. Dado e , 9N

a

/ n�N

a

) |an

�a|< e2 y 9N

b

/ n�N

b

) |bn

�b|< e2 .

Por tanto, |an

+b

n

� (a+b)| |an

�a|+ |bn

�b|< e , si n�N=máx{N

a

,Nb

} .

· ) |an

b

n

�ab|= |an

b

n

�ab

n

+ab

n

�ab| |an

�a||bn

|+ |bn

�b||a| . Hagamos pequeño esto:{b

n

}!b ) dado e , 9N

b

tal que n�N

b

) |bn

�b|< e2|a| , suponiendo a 6=0 .

{b

n

} convergente ) acotada: 9B con |bn

|<B ; como {a

n

}!a , 9N

a

/n�N

a

) |an

�a|< e2B

.

Por tanto: |an

b

n

�ab|< eB

2B

+ e|a|2|a| = e .

�Si a=0 , |b

n

�b||a|=0< e2�.

/ )��a

n

b

n

� a

b

��= |ba

n

�ab+ab�ab

n

||bb

n

| < Ke2K

+ |a||b|Ke2|a||b|K = e , si n � N =máx{N1,N2,N3} donde:

como {b

n

}! b 6= 0 , 9N1 / n � N1 ) |bn

|� K > 0 ; como {b

n

}! b , 9N2 / n � N2

) |bn

�b|< |b|Ke2|a| ; y como {a

n

}! a , 9N3 / n � N3 ) |an

�a|< Ke2 .

Las operaciones que involucran las sucesiones que tienden a +• o �• son sólo un poco máscomplicadas y vienen a formalizar la forma intuitiva en que se trabaja con los infinitos:

Teorema:Sean {c

n

}! 0 , {p

n

}! p > 0 , {q

n

}! q < 0 , {a

n

} acotada , {i

n

}! • .Entonces: {a

n

+ i

n

}! • , {a

n

� i

n

}!�• , {c

n

a

n

}! 0 , {a

n

/i

n

}! 0 ,{p

n

i

n

}! • , {q

n

i

n

}!�• , {i

n

/p

n

}! • , {i

n

/q

n

}!�• , . . .⇥como {c

n

}, {p

n

} y {q

n

} están acotadas, los resultados con {a

n

} son también ciertos con ellas⇤.

Probemos para cansarnos poco sólo un par de ellas, por ejemplo la primera y la última:Sea |a

n

| A , 8K , a

n

+ i

n

� i

n

�A � K , pues i

n

� K +A , si n es suficientemente grande.Si n grande i

n

>0 y 9Q/Q<q

n

<0 ) 8K , i

n

/q

n

< i

n

/Q<K , pues i

n

>QK si n grande.

Podemos abreviar este teorema (¡pero recordando que es sólo una notación!) escribiendo:

“acot±• =±•” , “0 · acot=0” , “ acot• = 0” , “(±1) ·• =±•” , “ •

±1 =±•” , . . .

También es cierto: “•+• = •", “• · (±•) =±•", “(�1) · (±•) =⌥•", . . .

Es tentador escribir “ 10 =• " , pero es falso en general

⇥{(�1)n/n}! 0 y {(�1)n

n} no

tiene límite⇤. Sí es cierto que: {p

n

}! p>0 , {c

n

}! 0 y c

n

>0 ) {p

n

/c

n

}! • .

Los límites con potencias se deducirán de los límites de funciones, pues probaremos teoremasque realacionarán unos y otros. Por ahora, admitimos:

Teorema:Sean {b

n

}! b , {p

n

}! p>0 , {q

n

}! q<0 , {i

n

}! • . Entonces:�

p

b

n

n

! p

b ,�

i

p

n

n

! • ,

�i

q

n

n

! 0 ,

�p

i

n

n

!

n• si p>10 si 0< p<1 .

⇥Por ejemplo, el primero será consecuencia de la continuidad de f (x)g(x) si f >0 y f ,g continuas

⇤.

Podríamos resumir: “•1= •” , “•�1= 0” , “2• = •” ó “(1/2)•= 0” .

Obsérvese que en ninguna la base es negativa⇥no está (�•)1 ni (�2)• ⇤: las potencias reales

o racionales pueden no existir⇥la sucesión

�(�2)1/2n

, por ejemplo, no existe para ningún n

⇤.

25

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A pesar de tanto teorema aún quedan las llamadas indeterminaciones que resumimos:

•�• , 0 ·• , 00 , •

• , 1• , 00 , •0

Hay que leerlas en términos de sucesiones. Según la primera, si dos sucesiones ! • no se puede, enprincipio, decir hacia qué tiende su diferencia

�por ejemplo: n�n

2!�• , n�n ! 0 y n

2�n ! •�.

Para resolver algunas bastará un truco algebraico como los de los ejemplos siguientes, pero en otroscasos se necesitará L’Hôpital o Taylor para hallar los límites. Observemos que las tres de potencias(por la definición general de p

b ) son en esencia del tipo 0 ·• : elog1·• , elog0 ·0 , elog• ·0 .

Ej. Gracias a todo el trabajo con los e ahora ya casi nunca habrá que acudir a la definición.n

2+(�1)n

2n�3n

3 =1/n+(�1)n/n

3

2/n

2�3 ! 0+03+0 = 0 , n

3+(�1)n

2n�3n

3 =1+(�1)n/n

3

2/n

2�3 ! 1+00�3 =� 1

3 ,

n

4+(�1)n

2n�3n

3 =n+(�1)n/n

3

2/n

2�3 ! “ •+00�3 =�•” .

[Las tres son indeterminaciones y hemos reescrito la sucesión dividiendo por la potencia mayordel denominador. Y hemos utilizado varios teoremas: n

3=n ·(n·n)!• porque el producto de dossucesiones que tienden a • tiende a • ; (�1)n/n

3! 0 pues “acotado/•= 0" ; 1+(�1)n/n

3! 1porque suma de sucesiones tiende a la suma de los límites; límites de cocientes, ...].

[No se divide por la mayor potencia del numerador para evitar la posible aparición de expresionesdel tipo “1/0” que son fuente de errores; otra forma válida de actuar es sacar factor común lapotencia dominante del numerador y denominador].

Ej. a

n

=

pn

3�1�n

5n

2 �7p

n

=

q1n

� 1n

4 � 1n

5� 7n

pn

! 0�05�0 = 0 , o bien, a

n

=n

3/2

n

2

q1� 1

n

3 � 1pn

5� 7n

pn

! 0 · 15= 0 .

⇥Aquí hemos utilizado además que

pa

n

!p

a y “p

• =•” , casos particulares de los límitesde potencias vistos (y que no son difíciles de probar directamente)

⇤.

Como se ve, para calcular límites de cocientes de polinomios o raíces de ellos basta compararlos términos con la máxima potencia de numerador y denominador (y se pueden hacer a ojo:si el numerador es más pequeño, el cociente ! 0 , si ambos son del mismo orden aparecen loscoeficientes de los términos más gordos y si el numerador es mayor el límite será + o – infinito).

Ej. (�1)n

3n+cosn

n

2+ne�n

= (�1)n

3+n

�1 cosn

n+ e�n

! 0h

“acot·0” , pues numerador ! 3+0 = 3denominador ! •+0=•

i.

Ej. (�1)n+1 13n

n+1 diverge, ya que tiene subsucesiones con distintos límitesh

pares !�13impares ! 13

i.

Ej.p

n

3 �1�2n = n

⇥pn�n

�2 �2⇤! •

⇥“• · (•�2) = •"

⇤.�O sacando factor común n

3/2 �.p

n+ arctann�n = n

⇥q 1n

+ arctann

n

2 �1⇤!�•

⇥“• · (

p0�1)=�•" , arctann está acotado

⇤.

⇥Hemos sacado factor común (lo habitual para •�• ) para dejar claro qué término mandaba

⇤.

Ej.p

n�p

n�1 =[p

n�p

n�1][p

n+p

n�1]pn+

pn�1 = 1p

n+p

n�1 ! 0 .

[Los • eran del mismo orden y hemos tenido que racionalizar; sacar factor común daba • ·0 ].

Ej. n

4

(n�7)! =n

4

(n�7)(n�8)(n�9)(n�10)1

(n�11)! ! 1 ·0 = 0 . [El factorial crece muy muy deprisa].

Ej. 1+ ···+n

n

2+1 =n(n+1)2(n2+1) !

12 . [El número de sumandos crece con n ; no es cierto que

como n/n

2 ! 0 nuestra sucesión también lo haga].

26

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Además de los límites de potencias, otros serán consecuencia de los de funciones⇥se verá que si

f es continua lım f (an

)= f (lım a

n

)⇤. Por ejemplo, de la continuidad de las funciones se infiere:

{a

n

}! a ) {cosa

n

}! cosa , {sena

n

}! sena , {loga

n

}! loga (an

>0) , . . .

Ej. lımn!•

cosp

n

n+1 = cos0 = 1 , puesp

n

n+1 ! 0 ; {sen np2n+1}! sen p

2 = 1 ; {log n+5n

}! log1= 0 .

Otro teorema que probaremos será: f (x)�!x!•

L ) f (n)�!n!•

L .

Ej. n arctann

e1/n�p

n

=p

n arctann

e1/n

pn

�1!�•

⇥ •⇥(p/2)1•�1

, pues arctann ! p2 , ya que arctanx �!

x!•p2⇤

.⇥Si se divide por n se puede caer en el error de escribir “ 1

0 =• ”⇤.

Admitimos estos otros límites indeterminados de sucesiones (por ahora sabemos calcular pocos)porque los necesitaremos en las series del capítulo 4 (exigen resultados de derivadas):

logn

n

a

! 0 , 8a > 0 ; n

pn ! 1 ;

�(1+c

n

)1/c

n

! e , si {c

n

}! 0 .

El primero ( •• ), será consecuencia de que: lım

x!•logx

x

a

=L’H

lımx!•

1/x

ax

a�1 = 0 .

De él se obtiene el segundo ( •0 ): x

1/x= elogx/x �!x!•

e0=1 .

El último ( 1• ) se deducirá del límite (1+x)1/x= elog(1+x)/x�!x!0

e .

En vez de utilizar integrales, se puede definir el número ecomo el límite de la sucesión creciente y acotada (1+ 1

n

)n .

Hallemos los límites de alguna sucesión más utilizando los anteriores y/o resultados ya vistos:

Ej.3p

n + logn

3p

n+ logn

=1+ n

�1/3 logn

3p

1+n

�1 logn

! 1 [hemos admitido que logn es mucho menor que n

a, a>0 ].

Ej.⇥(�1)n +

pn

⇤3! •⇥

“(acot+•)3= •3= •"⇤

; n

1/(n�1) = (n1/n)n

n�1 ! 11 = 1 ;

n

1/n�1 ! “•�1 = 0" ; (7n

3�1)1/n =�n

1/n

�3�7� 1n

3

�1/n ! 13 ·70 = 1 .⇥primero y tercero son fáciles; en los otros usamos (ab)

c

= a

bc y el límite admitido n

1/n! 1⇤.

Ej.h

6n+13n+2

i�n

2

! “ 2�• = 12• = 0 ” ;

h3n

2+13n

2+2

i�n

2

=h�

1� 13n

2+2

��(3n

2+2)i n

2

3n

2+2 ! e1/3 .⇥El primero otra vez era sencillo, pero como 1�• es indeterminado, en el segundo buscamosel número e identificando la {c

n

}! 0 y poniendo lo que sobra fuera del corchete⇤.

Ej. 3n+2n+1

3n+1+2n

=1+2(2/3)n

3+(2/3)n

! 1+03+0 = 1

3⇥dividiendo por la potencia que manda 3n

�o por 3n+1 �⇤.

Ej. Hallemos el límite de a

n para todos los a2R sin hacer uso de teoremas no demostrados:si a>1 , a=1+h , con h>0 ) a

n = (1+h)n=1+nh+· · ·>nh>K , 8K si n gordo ) a

n! • ;si a=1 , {1n}=1,1,1, ...! 1 ; si a=0 , {0n}=0,0,0, ...! 0 (no son indeterminaciones);si a2(0,1) , 1/a>1 , a

n= 1(1/a)n

! “ 1• = 0” ; si a2(�1,0) , a

n=(�1)n(�a)n ! “acot·0 = 0” ;

si a=�1 , {(�1)n}=�1,1,�1,1, ... diverge;si a<�1 , como (�a)n ! • , a

n=(�1)n(�a)n toma valores grandes positivos y negativos) diverge (ni siquiera tiende a +• o �•).

27

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Otros temas más teóricos de sucesiones

Damos para acabar definiciones y teoremas importantes en matemáticas avanzadas (las usaremos en lasdemostraciones de 2.3). El primer teorema es uno de esos típicos de matemáticas que aseguran que existealgo pero no dicen ni cómo es ese algo ni cómo buscarlo (y parecen no servir para nada):

Teorema: Toda sucesión acotada posee una subsucesión convergente.

[ ] 0b0c

1b1c ][

2b

2c [ ]

[3b3c ]

Como {a

n

} es acotada, existe un intervalo cerrado [c0,b0]�{a

n

} . Di-vidimos [c0,b0] en otros dos iguales. En uno de ellos, al menos, hayinfinitos términos de {a

n

}. Le llamamos [c1,b1] . Volvemos a dividir ya elegir [c2,b2] con infinitos a

n

... Tenemos así una sucesión de interva-los [c

k

,bk

] , cada uno con infinitos términos de la sucesión. La sucesiónc0,c1, ... es creciente y acotada superiormente por b0 . La b0,b1, ... esdecreciente y acotada inferiormente por c0 . Así ambas tienen límite yes intuitivamente claro que el límite de las dos es el mismo. Le llamamos a . Construimos una subsuce-sión de {a

n

} que tiende hacia a : elegimos a

n0 2 [c0,b0] , a

n1 2 [c1,b1] con n1>n0 (podemos, pues hayinfinitos a

n

en [cn1 ,b1] ),... No es difícil formalizar que a

n

j

! a .

Ej. {senn} = 0.841.., 0.909.., 0.141.., –0.757.., –0.959.., –0.279.., 0.656.., 0.989.., 0.412.., . . .[funciones trigonométricas siempre en radianes]; parece no tener límite y se prueba (es difícil)que es así. Como es acotada, tendrá subsucesiones convergentes, pero no sabemos cuáles.

La siguiente definición tampoco tendrá mucha utilidad práctica para nosotros:

Def. {a

n

} es sucesión de Cauchy si 8e 9N2N tal que 8n,m�N se tiene que |an

�a

m

|<e .

[la diferencia entre dos términos suficientemente altos es tan pequeña como queramos]

Parece claro que si todos {a

n

} se acercan a un límite se acercarán también entre sí, es decir, que todasucesión convergente será de Cauchy. Lo contrario también es cierto para las sucesiones en R:

Teorema: {a

n

} converge , {a

n

} es de Cauchy

) ) 8e 9N / k�N ) |ak

�a|< e2 ; así pues, si n,m�N, |a

n

�a

m

| |an

�a|+ |am

�a|< e2+

e2 =e .

() Se puede probar que: {a

n

} de Cauchy ) {a

n

} acotada (la demostración es parecida a lade las convergentes). Por lo tanto, existe subsucesión {a

n

j

} convergente hacia algún real a .Veamos que toda la sucesión {a

n

} tiende hacia ese a :{a

n

} de Cauchy ) 9N1 tal que n,nj

� N1 ) |an

�a

n

j

|< e2 .

{a

n

j

} convergente ) 9N2 tal que n

j

� N2 ) |an

j

�a|< e2 .

Por tanto: |an

�a| |an

�a

n

j

|+ |an

j

�a|< e2 +

e2 = e si n � N=máx{N1,N2} .

Un conjunto se dice completo si toda sucesión de Cauchy converge hacia un elemento del propioconjunto. Acabamos de ver que R lo es. Pero, por ejemplo, Q no lo es: hay sucesiones de Cauchyen Q que no convergen a un racional (como la 3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, 3.14159, ... obtenidaañadiendo decimales de p , que es de Cauchy pero su límite se escapa de Q). Ello se debe a lainexistencia en Q del axioma del extremo superior (por esta misma razón, en Q hay sucesionesmonótonas y acotadas sin límite en Q o sucesiones acotadas sin subsucesiones convergentes enQ). La definición de conjunto completo es importante en ‘análisis funcional’.

El último resultado relaciona conjuntos cerrados y sucesiones y lo utilizaremos en demostraciones:

Teorema: Si {a

n

}! a y {a

n

}⇢A cerrado ) a2A .

Pues el límite de una sucesión, si tiene infinitos términos distintos, es un punto de acumulaciónde ella, y, por tanto, también de A que es cerrado. Y si {a

n

} toma sólo un número finito devalores, debe ser a

n

= a a partir de un N, con lo que, claramente, a 2 A .[Para abiertos es falso: hay {a

n

}⇢A abierto cuyo límite /2 A , como le ocurre a { 1n

}⇢(0,1) ].

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2.2 Límites de funciones y funciones continuas

Def.f tiende a L (o tiene por límite L ) cuando x tiende hacia a si

8e >0 9d >0 tal que si x cumple 0< |x�a|<d entonces | f (x)�L|<e .Esto se representa: f (x)�!

x!a

L o bien lımx!a

f (x) = L .⇥Es decir, 8e >0 9d >0 tal que si x2B

⇤(a,d ) ) f (x)2B(L,e)⇤.

[En la definición está implícito que a es punto interior de dom f [{a} para que f tenga sentidoen B

⇤(a,d ) ; también está claro que no importa nada el valor de f en a , ni siquiera si f está ono definida en el punto; esto si lo tendremos en cuenta para la definición de continuidad, peroel límite más importante del cálculo, la derivada, será de este tipo].

Gráficamente: Para todo debe ser posible encontrar

tal que esté dentro de la banda

[evidentemente el d no es único: si hemos encontradoun d nos vale también cualquier d ⇤ más pequeño].

L+!

L– !

a– a+

L

a" "

Ej. f1(x) = x

2 . Gráficamente parece claro que lımx!a

f1(x) = a

2 8a . Comprobémoslo para a=0 :

Dado cualquier e debe ser |x2�02|= |x|2<e si |x�0|= |x| essuficientemente pequeño. Tomando d =

pe se tiene que:

0 < |x|< d ) |x|2 < e .Para otros a no es fácil hallar el límite utilizando simplemente ladefinición, pero será un límite trivial cuando dispongamos de losteoremas que veremos. Lo mismo podemos decir del siguiente:

Ej. f2(x) = x+p

x . Comprobemos que f2(x) !x!4

6 = f2(4) [esto significará f2 continua en x=4 ].

| f2(x)�6|= |x�4+p

x�2| |x�4|+ |p

x�2|= |x�4|+ |x�4|px+2 |x�4|+ |x�4|

2 = 32 |x�4|

Por tanto, escogiendo d = 23 e (o cualquier d más pequeño) garantizamos que | f2(x)�6|e .

[No podemos hablar del límite de f2 para x!0 por no ser el punto interior al dominio {x�0} .

Ej. f3(x) = x

3 arctan 1x

. Esta función no está definida en 0 , pero veamos que f3(x)! 0 si x ! 0 .

Como |x3 arctan 1x

| p2 |x

3|= p2 |x|

3 , bastará tomar |x|<d = 3q

2ep para que |x3 arctan 1

x

|< e .

[Como siempre, trabajamos con estas definiciones partiendo de lo que se quiere hacer pequeño yutilizando desigualdades crecientes hasta que sea claro el d que garantiza que lo inicial es <e ].

Ej. f4(x) =⇢�1 si x < 01 si x > 0 . Es claro que f4(x)�!

x!a

⇢�1 si a < 01 si a > 0 (basta tomar d < |a| ).

Pero no hay límite si x ! 0 . Para e <1 hay x con |x|<d para los que| f4(x)�L|� e , por pequeño que sea d , sea L=1 , L=�1 u otro real.

Sin embargo, f4 se acerca a 1 ó �1 cuando x ! 0 si sólo miramos los x positivos o negativos.

[La negación de que f ! L si x ! a es esta afirmación: existe un e tal que para todo dexisten x con |x�a| < d pero cumpliendo | f (x)�L| � e (la negación de que ‘en todaclase hay algún estudiante que, si se examina, aprueba’, es que ‘hay una clase en la quetodos los estudiantes que se examinan suspenden’)].

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El último ejemplo y lo dicho sobre el dominio de f2 nos lleva a definir los límites laterales:

Def.f ! L por la derecha (izquierda) cuando x!a

⇥lım

x!a

+f (x)=L

�lım

x!a

�f (x)=L

� ⇤

si 8e>0 9d >0 tal que si x cumple 0<x�a<d ( 0<a�x<d ) ) | f (x)�L|<e .

Como 0 < |x�a|< d , 0 < x�a < d y 0 < a� x < d , es inmediato que:

Teorema: lımx!a

f (x) = L , existen lımx!a

+f (x) y lım

x!a

�f (x) , y coinciden con L .

Por tanto, si no existe un límite lateral, o si existiendo no coinciden, no existe el límite.

Ej. f4(x)�!x!0+

1 , pues 8e , para cualquier d que escojamos, si 0 < x < d es | f4(x)�1|= 0 < e .

f4(x)�!x!0�

�1 , pues 8e para cualquier d , 0 <�x< d ,�d <x< 0 ) | f4(x)�(�1)|= 0 < e .

Esto prueba que no existe el lımx!0

f4(x) .⇥Sí existen lım

x!1�f4(x) = lım

x!1+f4(x) = 1 = lım

x!1f4(x)

⇤.

En general, para ver si f tiene límite no será necesario calcular los laterales. Sólo lo haremoscuando la f sea diferente a ambos lados de a (como en el ejemplo anterior en x = 0 ).

Este teorema será muy útil para demostrar fácilmente bastantes otros usando las propiedades delas sucesiones y, en el futuro, para calcular límites de sucesiones que aún no sabemos hacer:

Teorema:lımx!a

f (x) = L , toda sucesión {a

n

}⇢dom f�{a} con {a

n

} !n!•

a

satisface { f (an

)}�!n!•

L .

L

a

)) Sabemos que 8e 9d / si 0< |x�a|<d ) | f (x)�L|<e .Como a

n

! a , 9N / n�N ) |an

�a|<d ) | f (an

)�L|<e ,con lo que la sucesión { f (a

n

)}! L .

( ) Si f (x) no tiende a L existe e >0 tal que para todo d >0existe algún x con 0< |x�a|<d pero con | f (x)�L|>e .

En particular, para todo n existe algún a

n

con 0 < |an

�a|< 1n

pero | f (an

)�L|> e :existe, pues, {a

n

} que converge hacia a pero con { f (an

)} 6�! L .

Gracias al teorema, para ver que una f no tiene límite en a bastará encontrar una {a

n

}(formada por puntos de dom f ) que tienda hacia a y tal que { f (a

n

)} diverja, o bien encontrardos sucesiones {a

n

} y {b

n

} tales que { f (an

)} y { f (bn

)} tiendan hacia distintos límites. Estopuede permitir formalizar de forma sencilla la no existencia de límites sin tener que acudir a lanegación de la definición:

Ej. Como a

n

= (�1)n

n

! 0 pero { f4(an

)}=�1,1,�1,1, ... diverge ) f4 no tiene límite en x=0 .[Para otras b

n

! 0 sí tiene límite { f4(bn

)} (por ejemplo, para cualquier {b

n

} con b

n

>0 dicholímite es 1 ); pero el teorema pide que todas converjan y que el límite de todas sea el mismo].

Ej. f5(x) =� 1 si x racional

0 si x irracional

1

a

. Intuitivamente parece claro que f5 no tiene límite para ningún a (ra-cional o irracional). Por ejemplo, no puede tender f5 hacia1 cuando x ! a pues por pequeño que sea el d hay x

del entorno (los irracionales) con | f5(x)�1|> e (para lose<1 ). Lo mismo sucede con otros posibles límites. Esto esmucho más fácil de formalizar con sucesiones: f5 no tienelímite en a pues si {a

n

} es una sucesión de racionales y{b

n

} de irracionales tendiendo hacia a , se tiene que f5(an

)! 1 mientras que f5(bn

)! 0 . (Estassucesiones siempre existen, pues en todo entorno de a hay infinitos racionales e irracionales).

30

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Las siguientes definiciones incluyen "•" (no son límites normales; como siempre • es sóloun símbolo; en sentido estricto no tiene límite una f que tiende a +• o a �• ):

Def. lımx!•

f (x)=L

⇥lım

x!�•f (x)=L

⇤si 8e >0 9M tal que si x>M [ x<M ] ) | f (x)�L|<e

Def. lımx!a

f (x)=• [�• ] si 8K 9d >0 tal que si 0< |x�a|<d ) f (x)>K [ f (x)<K ]

Def. lımx!•

f (x) = • si 8K 9M tal que si x > M ) f (x)> K

[Análogamente lımx!a

�f (x) =�• , lım

x!�•f (x) = • , ... ]

Un par de interpretaciones geométricas: f (x) !x!a

f (x) !x!•

L

L

M a

K

Ej. La función f6(x) =1x

! 0 si x ! • pues 8e >0 9M= 1e tal que si x> 1

e )�� 1

x

�0��<e ,

y tiende a • cuando x ! 0+ pues 8K 9d = 1K

tal que si 0 < x�0 < 1K

) 1x

> K .⇥Análogamente se vería que f6 �!

x!�•0 y que f6 �!

x!0��• . No existe el lım

x!0f6(x)

⇤.

Ej. f7(x) = 3p

x+ thx !x!•

• , porque 8K 9M tal que f7(x)> 3p

x�1 > K si x>M=(K+1)3 .

Se pueden probar relaciones entre estos nuevos ‘límites’ y los de sucesiones. Por ejemplo:Teorema:

lımx!•

f (x) = L , toda sucesión {a

n

}⇢ dom f con a

n

!n!•

• cumple f (an

) !n!•

L .

En particular, como la sucesión {n}! • , deducimos que f (x) !x!•

L ) f (n) !n!•

L .

La afirmación contraria a la anterior es claramente falsa.Por ejemplo, para f (x)=senpx es { f (n)}= 0,0, · · ·! 0 ,pero ni 0 ni ningún otro L es el ímite de f cuando x ! • .

Teorema:lımx!a

f (x) = • , toda sucesión {a

n

}⇢ dom f�{a} con a

n

!n!•

a cumple f (an

) !n!•

• .

Como consecuencia de los límites de sucesiones se puede demostrar ahora fácilmente:

Teorema:

f (x)!x!a

L , g(x)!x!a

M ) f ±g !x!a

L±M , f ·g !x!a

L ·M .

Si además M 6=0 ) f

g

!x!a

L

M

.

Lo anterior es válido si se sustituye a por a

+ , a

� , +• ó �• .

Todas se demuestran igual, relacionando sucesiones y funciones. Por ejemplo, la primera:Sea cualquier a

n

! a , a

n

6= a . Por tender la suma de sucesiones a la suma de los límites:lımn!•

( f ±g)(an

) = lımn!•

f (an

) ± lımn!•

g(an

) = L±M ) lımn!•

( f ±g)(x) = L±M .

31

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La continuidad se define usando el concepto de límite. Ahora sí importa el valor de f (a) :

Def.f es continua en un punto a interior al dominio de f si lım

x!a

f (x) = f (a) , o sea,si 8e >0 9d >0 tal que si x cumple |x�a|< d entonces | f (x)� f (a)|< e .

[Luego f no es continua si no existe límite o no existe f (a) o si existiendo no coinciden].

c

a

a

a

Ej. Tres sencillas funciones continuas en cualquier punto a son:f (x)=c : 8e >0 vale cualquier d para que |x�a|<d ) |c�c|=0<e .

f (x)=x : 8e >0 basta tomar d =e para que |x�a|<d =e ) |x�a|<e .

f (x)= |x| : 8e >0 tomando d =e es ||x|�|a|| |x�a|<e si |x�a|<d .

Ej. f3(x)=x

3 arctan 1x

no es continua en 0 , pues no está definida f3(0) . Pero si definimosf3(0)=0 sí lo es, pues vimos que f3(x)!

x!00 . Si fuese f3(0)=7 sería discontinua.

f4 no puede hacerse continua en 0 definiendo adecuadamente f4(0), pues no existe lımx!0

f4(x) .

De los teoremas para límites se deducen:Teorema:

f es continua en a , toda sucesión {a

n

}⇢ dom f con a

n

!n!•

a cumple f (an

) !n!•

f (a) .

[Por tanto lımn!•

f (an

) = f ( lımn!•

a

n

) si f es continua (no, si es discontinua)].

Teorema:Si f y g son continuas en a entonces f+g , f�g , f ·g son continuas en a .Si además g(a) 6= 0 , también f/g es continua en a .

Por ejemplo, lımx!a

( f ·g)(x) = (propiedadde límites) = lım

x!a

f (x) · lımx!a

g(x) = f (a) ·g(a) . Las otras igual.

[Se podrían probar directamente a partir de la definición; la de la suma por ejemplo:8e , | f (x)+g(x)� f (a)�g(a)| | f (x)� f (a)|+ |g(x)�g(a)|< e si |x�a|< d = mín{d1,d2} ,

siendo d1 y d2 tales que: | f (x)� f (a)|< e2 si |x�a|< d1 , |g(x)�g(a)|< e

2 si |x�a|< d2 ,y estos d existen por ser f y g continuas en a ].

Teorema: g continua en a y f continua en g(a) ) f �g continua en a .

a

n

! a =)g cont. en a

g(an

)! g(a) =)f cont. en g(a)

( f �g)(an

) = f (g(an

))! f (g(a)) = ( f �g)(a) .

Teorema:f continua en a y estrictamente monótona en unentorno de a ) f

�1 continua en f (a) .f(a+ )

a+a– a

f(a)f(a– )

e

d

e

e

e

Sea f estrictamente creciente (análogo si fuera decreciente).8e buscamos d tal que |y� f (a)|<d ) | f�1(y)�a|<e

[o sea, f (a)�d <y< f (a)+d ) a� e < f

�1(y)< a+ e ].El dibujo sugiere d = mín{ f (a+e)� f (a), f (a)� f (a�e)}>0 .Entonces: f (a)�d <y< f (a)+d )

"f (a�e)<y< f (a+e) )

"a�e < f

�1(y)<a+e .⇥

porque f (a)+d f (a+e) , f (a�e) f (a)�d⇤

[porque f

�1 creciente].

Hemos definido continuidad en un punto. En intervalos las definiciones son de este tipo:

Def.f es continua en (a,b) si es continua en todo x de (a,b) .f es continua en [a,b] si es continua en (a,b) , lım

x!a

+f (x)= f (a) y lım

x!b

�f (x)= f (b) .

[No podemos decir simplemente ‘continua en todo x2 [a,b]’, pues a y b no son puntos interiores].

32

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Probemos que todas las funciones elementales (de 1.4) son continuas en su dominio.Los polinomios P(x) = a0x

n +a1x

n�1 + · · ·+a

n

son continuos en todo R(ya que son sumas y productos de funciones continuas en todo a de R).

Las funciones racionales�cocientes de polinomios P(x)

Q(x)

�son continuas 8a con Q(a) 6=0 .

Las raíces n

px son continuas en su dominio: R si n impar, R+ si n par (en x=0 hablamos

de lımx!0+

2n

px ), por ser inversas de funciones estrictamente crecientes y continuas.

Las funciones trigonométricas y sus inversas también son continuas en su dominio:Comencemos probando que f (x) = senx es continua 8a2R : 8e >0 , si |x�a|<d =e

se cumple: |senx� sena|= |2sen x�a

2 cos x+a

2 | 2|sen x�a

2 | 2 |x�a|2 < e .

cosx = sen(x+ p2 ) es continua 8a por ser composición de funciones continuas 8a .

tanx = senx

cosx

es continua si cosx 6=0 , es decir, si x 6= p2 +kp , k2Z .

arcsenx , arccosx en [�1,1] y arctanx 8x son inversas de monótonas continuas.Para probar la continuidad de exponenciales y logaritmos debemos esperar al estudio de lasintegrales. El teorema fundamental de cálculo integral que demostraremos en 5.2 asegurará que

logx ⌘R

x

1dt

t

es continua 8x > 0 . De ahí deducimos la continuidad de las demás:ex es continua en R por ser inversa de continua. Y por ser composición de continuas:x

b ⌘ eb logx continua en (0,•)⇥si b>0 en [0,•) , tomando 0 como su valor en 0

⇤,

b

x ⌘ ex logb (b>0) continua 8x , logb

x ⌘ logx

logb

(b>0, b 6=1) continua 8x > 0 .Las funciones hiperbólicas, sumas, diferencias y cocientes con denominadores no nulos defunciones continuas, son también continuas en todo su dominio R.Con todo lo anterior podemos afirmar que muchísimas funciones son continuas en casi todos los puntossin usar la definición (el trabajo con los e lo hemos hecho en los teoremas, sobre todo en sucesiones, ysólo para funciones muy raras habrá que acudir a ella).

Ej. f8(x) =ex/(x�1) + arctan[log(x2+1)]� cos3

x+ 4p

x

[3+ arcsen x

3 ] shx

es continua en (0,1)[ (1,3] :

el numerador lo es en [0,•)�{1} , pues arctan [log(x2+1)]� cos3x es continua en R (suma de

composiciones de continuas), la raíz en R+ y la exponencial si x 6=1 ; el denominador es continuoen [�3,3] (por el arcsen x

3 ) y sólo se anula en 0 ( arcsen como mucho vale �p2 y sólo sh0= 0 ).

Con tantas funciones continuas el cálculo de límites es casi siempre un cálculo tonto, pues basta sustituirx por a en la expresión de la función: f8(x)! f8(2) si x!2 , por ejemplo, por ser f8 continua en 2 .También son sencillos algunos límites con infinitos, utilizando propiedades como las de sucesiones (de-mostrables basándose en ellas y los teoremas que relacionan funciones y sucesiones o directamente):

“c±• =±•” , “acot±• =±•” , “•+• = •” , “• · (±•) =±•” , “0 · acot = 0” ,“ c

±• =0” , “acot±• =0” , “p · (±•)=±•” (p>0) , “±•

p

=±•” (p>0) , “ p

±0 =±•” (p>0) ,“log(+0) =�•” , “log(•) = •” , “e• = •” , “e�• = 0” , “arctan(±•) =±p

2 ” , . . .

Como siempre, hay que leerlo en sentido de límites; por ejemplo, “c±• =±•” significa que si f

tiende a c y g hacia +• ó �• (cuando x ! a , a

+, a

�, +• ó �•), la suma f+g , respectivamente,tiende a +• ó �• . La notación +0 (�0 ) significa aquí que f ! 0 siendo f >0 ( f <0 ).

hCon esto, se tiene que lım

x!1+f8(x) = •

�c+•

p

�y lım

x!1�f8(x) =

arctan [log2]�cos3 1+1sh1 [3+arcsen 1

3 ]

i.

Como en sucesiones, a pesar de tanto teorema quedan límites difíciles: los indeterminados, la mayoríade los cuales (los que no admitan trucos algebraicos como los de sucesiones) sólo sabremos hallar unavez que estudiemos las derivadas (por ejemplo, el límite de f8 cuando x ! 0+ , que es de la forma 0

0 ).

33

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El siguiente teorema permite calcular un límite indeterminado que pronto necesitaremos:

Teorema: Si f (x) g(x) h(x) y lım f = lımh = L ) lımg = L .( x ! a , a

+, a

�, +• ó �• , todos valen).

Como f ,h ! L , es L�e < f (x)g(x)h(x)<L+e ) |g(x)�L|<e .

Deducimos el siguiente límite indeterminado (será inmediato con L’Hôpital o Taylor), usandosólo propiedades trigonométricas (basadas en la no muy rigurosa definición dada de senx ):

0

xsenx

tanx

1

senx

x

!x!0

1 . Si x>0 , por el significado geométrico de senx y tanx :

senx<x< senx

cosx

) 1< x

senx

< 1cosx

) cosx< senx

x

<1 .Como cosx !

x!0+1 , el teorema anterior prueba el límite para x>0 .

Si x<0 , por ser senx

x

= sen(�x)�x

, reducimos el límite al anterior.

Mucho más fáciles de calcular serían (no son indeterminados):

Ej. lımx! p

2

senx

x

= sen(p/2)p/2 = 2

p , por ser esta función continua en x= p2 .

[Hay una idea errónea que suele estar muy extendida: esta función (como otras) no escontinua en el punto porque al sustituir x por p

2 salga f (p2 ) (faltaría más). Lo es (y por

eso es fácil el límite y basta con sustituir) porque se ha demostrado que senx y x soncontinuas y que el cociente de continuas con denominador no nulo también lo es].

Ej. lımx!±•

senx

x

= 0 , pues sabemos que “ acot±• = 0” .

De cada límite de funciones se deducen infinitos límites de sucesiones. Del indeterminado anterior:

Ej. lımn!•

n

2 sen 1n

2 = lımn!•

sen(1/n

2)1/n

2 = 1 , puesto que 1n

2 ! 0 y g(x) = senx

x

! 1 cuando x ! 0 .

Ej. Calculemos el límite de la sucesión a

n

=n

k�n

2 sen 1n

3pn �n arctann

, para i) k=2 , ii) k=1 .

Si k=2 , a

n

=n(1�sen 1

n

)

n

�2/3�arctann

! •(1�0)0�p/2 =�• [ senx es continua en x=0 ].

Si k=1 , a

n

=1�nsen 1

n

n

�2/3 �arctann

! 1�10�p/2 = 0 , pues sen 1

n

1n

! 1 .

Hallando límites será, en ocasiones, conveniente realizar cambios de variable como:Teorema:[ t=g(x) ]

g continua en a , g(x) 6=g(a) si x 6=a y lımt!g(a)

f (t)=L ) lımx!a

f (g(x))=L

[Casi igual que la demostración de la continuidad de f �g ].

Ej. Con este teorema podemos deducir del límite indeterminado hallado algún otro del tipo 00 :

lımx!�5

sen(x+5)x+5 = 1

⇥t = g(x) = x+5 es continua, no se anula si x 6=�5 y sen t

t

! 1⇤.

Otro que exige algo de ingenio (pero que será muy fácil con los desarrollos de Taylor):

lımx!0

1�cosx

x

2 = lımx!0

11+cosx

lımx!0

1�cos2x

x

2 = 12 lım

x!0

� senx

x

�2= 1

2 .

Complicándolo un poco: lımx!0

tanx

2

x

= lımx!0

senx

2

x

2 lımx!0

x

cosx

2 = 1 · 01 = 0 .

Como ningún teorema nos dice nada sobre el siguiente, tendremos que acudir a la definición:

lımx!•

tanx

2

x

no existe porque la función se va a ±• infinitas veces�si x = [p

2 +kp]1/2 �

y por tanto su gráfica se sale de la banda limitada por y = L+e e y = L�e sea cuál sea el L .

34

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2.3 Teoremas sobre funciones continuas en intervalos

Teorema:f continua en c y f (c)>0 [<0] ) 9d >0 tal que f (x)>0 [<0] si x2(c�d ,c+d )

Dado e = f (c) , 9d > 0/ si |x� c|< d ) | f (x)� f (c)|< f (c) )f (x)� f (c)>� f (c) ) f (x)> 0 [si f (c)< 0 tomamos e =� f (c)]

c

Teorema de Bolzano para funciones continuas:

f continua en [a,b] , f (a)<0< f (b) ) existe algún c2(a,b) tal que f (c) = 0 .

[La gráfica corta el eje x en algún punto (el teorema no dice dónde), quizás en más de uno].

a

b

Sea A =�

x2 [a,b] : f (x)0 6=? (a2A) y acotado superiormente

(por b) ) existe c = sup A . Probemos que f (c)=0 :

c

cota máspequeña

cno es cota

de ASi f (c)<0 ) 9d/ f (x)<0 en (c�d ,c+d )

y c no sería cota de A .Si f (c)>0 ) 9d/ f (x)>0 en (c�d ,c+d )

y habría cotas menores.En ninguno de los dos casos c podría ser el supremo de A .

Teorema:f continua en [a,b] ) f toma todos los valores comprendidos entre f (a) y f (b) .

a

ba b

[Normalmente tomará más y si f no es continua, no tieneque tomarlos, como muestran los dibujos de la izquierda].

Si f (a)< f (b) , sea p con f (a)< p< f (b) . La funcióng = f�p es continua en [a,b] con g(a)<0<g(b) . El teorema de Bolzano asegura queexiste c2(a,b) con g(c) = 0 , es decir, con f (c) = p . Si f (a)> p> f (b) , como � f escontinua y � f (a)<�p <� f (b) ) 9c 2 (a,b) tal que � f (c) =�p .

Hemos hablado de conjuntos acotados y del máximo de un conjunto, pero no de una función.De modo natural, f se dice acotada en A⇢R si lo está el conjunto f (A) = { f (x) : x2A}y se define valor máximo de f en A como el máximo del conjunto f (A) (en caso de queexista). Análogamente se define valor mínimo de f en A .

a b

Ej. La función del dibujo (que sí es acotada) no tiene valor máximo en [a,b] ,aunque sí valor mínimo (se alcanza en b y su valor es 0 ); está claro queno es continua en [a,b] .

Teorema: f continua en [a,b] ) f acotada en [a,b] .

Si f no estuviese acotada superiormente podríamos escoger un x

n

2 I ⌘ [a,b] con f (xn

)>n

para cada n2N . Como {x

n

} acotada, existe {x

n

j

} ! x

o

2 I (por ser cerrado). Como f escontinua en x

o

tendríamos f (xn

j

)! f (xo

) , lo que es imposible pues { f (xn

j

)} no está acotada(> n

j

) y no puede converger. [Análogamente se vería que está acotada inferiormente].

El teorema no es cierto para (a,b) ó [a,•) :

Ej. f (x)= 1x

es continua pero no acotada en (0,1)y le pasa lo mismo a f (x) = x en [0,•) .0 1( ))

x

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Teorema: f continua en [a,b] ) existen los valores máximo y mínimo de f en [a,b] .

O sea, existen y,z2 [a,b] tales que f (z) f (x) f (y) para todo x2 [a,b] .[Estos y, z pueden no ser únicos, desde luego].a b

M

m

Sea M =sup f (I) . Existe {y

n

}⇢ I tal que M� 1n

< f (yn

) M 8n ) f (yn

) ! M . Podría {y

n

}no converger pero, siendo acotada, hay seguro una {y

n

j

} subsucesión convergente hacia un y2I .Como f continua en I , f (y)= lım f (y

n

j

)=M y, por tanto, el supremo pertenece a f (I) .Análogamente, o considerando � f , se ve que el ínfimo también se alcanza.

[En la demostración se ve que el teorema es válido en conjuntos cerrados y acotados(se les llama compactos y son importantes en el cálculo más avanzado)].

Tampoco este teorema es cierto sustituyendo [a,b] por (a,b) o por [a,•) :Ej. f (x) = 1/x es continua en (0,1) pero no alcanza su máximo ni su mínimo en (0,1) .Ej. f (x) = x no tiene máximo en [0,•) (su valor mínimo existe y vale 0 ).

Funciones uniformemente continuas en un intervalo I

[Definimos este concepto porque aparecerá en la demostración de algún teorema].f era continua en I si lo era en cada x de I (límites laterales en los posibles extremos de I ),es decir, si 8x2 I y 8e existe un d (e,x) tal que 8y2 I si |y�x|<d entonces | f (y)� f (x)|<e .

1

1

Ej. Consideremos f (x) = 1x

. En (0,1) sabemos que es continua:8x y 8e existe un d tal que si |y� x|< d ) | 1

y

� 1x

|< e .Pero dado un e se ve que el d que debemos tomar es más pequeñosegún elijamos un x más pequeño. Intuitivamente está claro que nopodemos encontrar un d que valga para todos los x de (0,1): porpequeño que sea d , si x es muy pequeño, la función tomará valoresmuy diferentes en (x�d ,x+d ) . Pero para la misma f en [1,•) seve que dado un e existe un d válido para cualquier x del intervalo(el que valga para x=1 valdrá para también para los x>1 ).

Def. f es uniformemente continua en I si8e existe un d (e) tal que 8x,y 2 I si |y�x|< d entonces | f (y)� f (x)|< e .

Ej. Acabemos de formalizar que f (x) = 1x

no es uniformemente continua en (0,1) :Sea e =1 . Por pequeño que sea d encontramos x,y2(0,1) con |y�x|<d pero | 1

y

� 1x

|>e .Por ejemplo, x= d

4 , y=d satisfacen |y�x|= 3d4 < d pero | 1

y

� 1x

|= 3d > 1 (pues d <1 ).

Formalizamos ahora que f (x) = 1x

sí es uniformemente continua en [1,•) :8e 9d =e tal que 8x,y2 [1,•) con |y� x|< d ) | 1

y

� 1x

|= |y�x|xy

|y� x|< e .

Evidentemente: f uniformemente continua en I ) f continua en I .

La implicación ( es falsa en general; aunque sí es válida cuando I = [a,b] :

Teorema: f continua en [a,b] ) f uniformemente continua en [a,b] .

Por reducción al absurdo. Supongamos a la vez f continua y no uniformemente continua en [a,b].Existe, pues, e >0 tal que 8d >0 podemos encontrar x,y con |y�x|<d pero | f (y)� f (x)|� e .En particular, para cada d = 1

n

tenemos {x

n

},{y

n

}⇢ [a,b] con |yn

�x

n

|< 1n

y | f (yn

)� f (xn

)|�e 8n.{x

n

} acotada ) 9{x

n

j

} convergente a un c (2 [a,b] por ser cerrado) ) f (xn

j

) ! f (c) ( f escontinua). Como |y

n

j

�x

n

j

|<1/n

j

! 0 también f (yn

j

)! f (c) y por tanto | f (yn

j

)� f (xn

j

)|! 0 ,lo que está en clara contradicción con el hecho de que | f (y

n

j

)� f (xn

j

)|� e 8n

j

.

[En la demostración se ve que también este teorema será válido en cualquier conjunto compacto].

36

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3. Derivadas en R

3.1. Definición y cálculo

Def.La función f es derivable en a (interior al dom f ) si existe lım

h!0

f (a+h)� f (a)

h

.

En ese caso el límite se representa por f

0(a) y se llama derivada de f en a .

Dos aplicaciones.

a a+h

f(a)

f(a+h)

recta

tangente

Pendiente de la tangente a una curva: [ f (a+h)� f (a)]/h

es la pendiente de la recta secante que pasa por (a, f (a))y (a+h, f (a+h)) . Cuando h ! 0 , la secante tiende haciala recta tangente y su pendiente tiende hacia f

0(a) .

Así pues, la ecuación de la recta tangente a la gráficade f en el punto a es (si f

0(a) existe, claro):

y = f (a)+ f

0(a)(x�a)

Velocidad instantánea: si d(t) es la distancia recorrida por un móvil en el tiempo t , d(a+h)�d(a)h

es su velocidad media en el intervalo [a,a+h] ; por tanto, d

0(a) es su velocidad en el instante t=a .Más en general, la derivada indica el ritmo de cambio de una magnitud respecto de otra.

Se llama f

0, función derivada de f , a la que hace corresponder a cada x 2dom f en quef es derivable el valor f

0(x) ; f

00(a) será la derivada de f

0(x) en el punto a (un número)y f

00 la función derivada de f

0 ; ... En general, f

(n) es la función derivada de f

(n�1)

[definida en los x2dom f

(n�1) tales que existe f

(n) ].hOtra notación famosa es la de Leibniz: f

0= d f

dx

, f

0(a)= d f

dx

��x=a

, f

00= d

2f

dx

2

i.

Ej. f (x)=c es derivable para todo a y f

0(a)=0 ya que lımh!0

c�c

h

= 0 [claro, tangente horizontal].

Ej. g(x)=x

7/3 . Como existe g

0(0)= lımh!0

h

7/3�0h

= lımh!0

h

4/3=0 , g es derivable en x=0 .

Si a 6=0 también existirá g

0(a) ; es difícil verlo con la definición, pero pronto será muy sencillo.

|x|Ej. h(x) = |x| . Si a>0 , h

0(a) = lımh!0

a+h�a

h

= 1 .h

Deducimos de pasoque (x)0=1 .

i

Si a<0 , h

0(a) = lımh!0

�a�h+a

h

=�1 .

No existe f

0(0) porque lımh!0

|h|h

no existe (aunque sí existen los límites laterales).

Def. f

0(a+) = lımh!0+

f (a+h)� f (a)

h

; f

0(a�) = lımh!0�

f (a+h)� f (a)

h

(derivadas por laderecha e izquierda,

respectivamente)Está claro que f es derivable en a si y sólo si existen y coinciden f

0(a+) y f

0(a�) .

Ej. h(x)= |x| , posee derivadas laterales en 0 pero no coinciden: h

0(0+)=1 , h

0(0�)=�1 .

37

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Teorema: f derivable en a ) f continua en a . Hay funciones continuas no derivables( h(x)= |x| , por ejemplo; tienen ‘picos’).

lımh!0

[ f (a+h)� f (a)] = lımh!0

f (a+h)� f (a)h

·h = f

0(a) ·0 = 0 ) f continua en a .

[Y como siempre (no q ) no p), si f no es continua no puede ser derivable].

Con el siguiente teorema podremos calcular casi todas las derivadas sin acudir a la definición:Teorema:

f y g derivables en a y c2R ) c· f , f±g , f ·g son derivables en a y se tiene:(c· f )0(a) = c · f

0(a) ; ( f±g)0(a) = f

0(a)±g

0(a) ; ( f ·g)0(a) = f

0(a)g(a)+ f (a)g0(a) .

Si además g(a) 6= 0 , 1g

y f

g

son derivables en a y es�1

g

�0(a) =� g

0(a)[g(a)]2

;�

f

g

�0(a) =

f

0(a)g(a)� f (a)g0(a)[g(a)]2

.

g derivable en a y f derivable en g(a) ) f �g derivable en a y( f �g)0= f

0[g(a)]g0(a) [regla de la cadena].

f derivable en f

�1(b) y f

0[ f�1(b)] 6=0 ) f

�1 derivable en b y�

f

�1�0(b)= 1f

0[ f�1(b)].

c · f es caso particular de f ·g ; de c · f y de la suma se deduce la de f �g = f +(�1) ·g .

Las demás:

f +g

( f+g)(a+h)�( f+g)(a)h

=f (a+h)� f (a)

h

+g(a+h)�g(a)

h

!h!0

f

0(a)+g

0(a) .

f ·g ( f ·g)(a+h)�( f ·g)(a)h

= f (a+h)g(a+h)�g(a)

h

+ g(a)f (a+h)� f (a)

h

!h!0

f

0(a)g(a)+ f (a)g0(a)

(puesto que f es continua en a por ser derivable).

1/g

1g(a+h)�

1g(a)

h

=g(a)�g(a+h)hg(a)g(a+h) !

h!0� g

0(a)[g(a)]2

(g continua en a , g(a) 6=0 )g(a+h) 6=0 si h pequeño)

f/g

⇣f · 1

g

⌘0(a) = f

0(a) 1g(a) �

g

0(a)[g(a)]2

f (a)

f �g

f [g(a+h)]� f [g(a)]h

=f [g(a)+g(a+h)�g(a)]� f [g(a)]

g(a+h)�g(a) · g(a+h)�g(a)h

!h!0

f

0[g(a)] ·g0(a) ,

ya que k = g(a+h)�g(a) !h!0

0 por ser g continua.

[Esta demostración necesita correcciones (ver Spivak), pues g(a+h)�g(a)

podría hacerse 0 infinitas veces para valores muy pequeños de h ].

a

b

a

b

f

f–1

f

�1 Sea b= f (a) ; por ser f

0(a) 6=0 , es f inyectiva )9 f

�1

en un entorno de a ; entonces para cada h pequeño hayun único k tal que f (a+k) = b+h . Por tanto:

f

�1(b+h)� f

�1(b)h

=f

�1( f (a+k))�a

b+h�b

= k

f (a+k)� f (a) !h!0

1f

0(a)

Las dos últimas reglas de derivación adoptan una formasugerente, pero imprecisa, con la notación de Leibniz:

Si z=g(y) , y= f (x) : dz

dx

= dz

dy

dy

dx

; dy

dx

= 1dx/dy

, si dx

dy

6= 0 .

(no dejan claro que las diferentes derivadas están evaluadas en puntos diferentes).

38

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Derivadas de las funciones elementales:⇥x

b

⇤0= bx

b�1 para todo b real, x>0 . Podemos ya demostrarlo si b2Q . Varios pasos:

Si b=n2N [la fórmula es válida entonces 8x ], lo probamos por inducción:Cierto para n=1 : 1=[x1]

0=1x

1�1=1 .Supuesto cierto si n�1 : [xn]0=[x · xn�1]

0= x

n�1+x(n�1)xn�2= nx

n�1, cierto para n .

Si b=0 está visto. Si b=�n , n2N , [ 1x

n

]0= �nx

n�1

x

2n

=�nx

�n�1 [válido 8x 6=0 ].

Si b= 1n

, n2Z , utilizamos la formula para el cálculo de derivadas de funciones inversas:

f

�1(x)=x

1/n es la inversa de f (x)=x

n cuya derivada f

0(x)=nx

n�1 conocemos.

Por tanto: [x1/n]0= 1

nx

n�1|x

1/n

= 1nx

(n�1)/n

= 1n

x

1/n�1 .

Si b= m

n

, m,n2Z ,⇥(x1/n)

m

⇤0="

m(x1/n)m�1 1

n

x

(1�n)/n = m

n

x

(m�n)/n .regla de la cadena

[log |x|]0 = 1x

, x 6=0 : Si x>0 , [logx]0 = d

dx

Rx

1dt

t

="

1x

. Si x<0 , [log(�x)]0 = �1�x

.teoremas de integrales

[ex]0 = ex , 8x ; [bx]0 = b

x logb , 8x , b>0 ; [logb

x]0 = 1x logb

, x>0 , b>0 , b 6=1

f

�1(x)= ex inversa de f (x)= logx con f

0(x)= 1x

) [ex]0 = 11/ex

.

[ex logb]0= ex logb logb (regla de la cadena de nuevo).

⇥ logx

logb

⇤0= 1

x logb

.

Además se deduce: [xb]0= [eb logx]

0= b

x

eb logx = bx

b�1 para cualquier b real y x>0 .

[shx]0 = chx , [chx]0 = shx , [thx]0 = 1ch2

x

= 1� th2x , 8x

Las primeras triviales: [shx]0 =⇥ ex�e�x

2⇤0= ex+e�x

2 = chx

�casi igual [chx]0

�.

Entonces: [ shx

chx

]0= ch2

x�sh2x

ch2x

y sabemos desde 1.4 que ch2x�sh2

x=1 .

[senx]0 = cosx , [cosx]0 =�senx , 8x ; [tanx]0 = 1cos2

x

= 1+ tan2x , x 6= p

2 + kp

1h

[sen(x+h)�senx ] = 2h

sen h

2 cos(x+ h

2) !h!0

cosx

⇥ sen(h/2)h/2 !

h!01 y cosx es continua

⇤.

⇥sen(x+ p

2 )⇤0= cos(x+ p

2 ) =�senx ; [ senx

cosx

]0 = cos2x+sen2

x

cos2x

.

[arctanx]0= 11+x

2 , 8x ; [arcsenx]0= 1p1�x

2 , [arccosx]0=� 1p1�x

2 , 8x 2 (�1,1)

f

�1(x)=arctan(x) inversa de f (x)= tanx ) [arctanx]0= 11+tan2 (arctanx)

.

Análogamente: [arcsenx]0= 1cos(arcsenx) =

1p1�sen2 (arcsenx)

harcsenx2 [� p

2 ,p2 ] ,

por eso raíz positiva

i.

[arccosx]0= 1�sen(arccosx) =

�1p1�cos2 (arccosx)

.

Con estas derivadas de las funciones elementales y sabiendo cómo se derivan sumas, productos,composiciones, ... ya es fácil derivar cualquier función, salvo en casos excepcionales.

39

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Ej. Para g(x)=x

7/3 sólo sabíamos hallar g

0(0) . Pero ya es fácil escribir todas sus derivadas.

g

0(x) = 73 x

4/3 8x

�en particular, g

0(0)=0 , g

0(�1)= 73 , . . .

�. g

00(x) = 289 x

1/3 8x .

La tercera es g

000(x) = 2827 x

�2/3 8x 6=0 , pero g

000(0) = lımh!0

g

00(h)�g

00(0)h

ya no existe.

Ej. k(x)=⇣

log[7+ch(3x+x)]5+arctan(x�2)

⌘3 derivable 8x , al ser suma, cociente, composición,... de funcionesderivables (el log se evalúa en valores �7 y el denominador esmayor que 0 porque el arco tangente vale mas que �p

2 >�2 ).Sabemos derivarla a pesar de su aspecto terrible (no con la definición, desde luego):

k

0(x) = 3sh(3x+x)(3x log3+1)

7+ch(3x+x) [5+arctan(x�2)]� log[7+ch(3x+x)]

1+(x�2)2

[5+arctan(x�2)]2⇣

log [7+ch(3x+x)]5+arctan(x�2)

⌘2.

Ej. l(x)= log��ecosx�1

�� . Su dominio D =R�{p2+kp} (esos son los valores que anulan cosx ).

Para hallar sus derivadas no necesitamos discutir el valor absoluto�[log |x|]0= 1

x

8x 6=0�:

l

0(x)=�senxecosx

ecosx�1 , l

00(x)=(sen2

x�cosx)ecosx(ecosx�1)�sen2xe2cosx

(ecosx�1)2 =(cosx�sen2

x�cosxecosx)ecosx

(ecosx�1)2 , . . .

Tiene infinitas derivadas en D , pues cada una es cociente de derivables con denominador 6= 0 .

Ej. m(x)=x|x�x

2| es continua 8x por ser producto, composición... de continuas 8x

⇥|x| lo es

⇤.

Aquí sí hay que discutir el valor absoluto (no tiene delante un logaritmo):

m(x)=n

x

2�x

3 si x2 [0,1]x

3�x

2 si x /2(0,1) ; m

0(x)=n 2x�3x

2 si x2(0,1)3x

2�2x si x /2 [0,1] ; m

00(x)=n 2�6x si x2(0,1)

6x�2 si x /2 [0,1]

Utilizando las expresiones del intervalo adecuado deducimos que:m

0(0�)=0=m

0(0+) , m derivable en x=0 ; m

0(1�)=�1 6=1=m

0(1+) , no derivable en x=1 .m

00(0�)=�2 6=2=m

00(0+) , m

00 no existe si x=0 ; tampoco existe m

00(1) por no existir m

0(1).

Ej. p(x)= x

x= ex logx

�recordamos que se define f (x)g(x) = eg(x) log [ f (x)] �. Sus derivadas son:p

0(x)= ex logx[logx+1] ; p

00(x)= ex logx

�[logx+1]2 + 1

x

�; . . . 8x>0 .

Ej. q(x)= xpx+2 . Hallemos q

0 y q

00, precisando su dominio, y veamos para qué x se anulan.q es continua en todo el dom q=(�2,•) [el de la raíz donde se anula].

Siempre que podamos (como en este ejemplo) derivaremos potencias mejor que cocientes:q(x)=x(x+2)�1/2, q

0(x)=(x+2)�1/2� x

2 (x+2)�3/2, q

00(x)=�(x+2)�3/2+ 3x

4 (x+2)�5/2

Están definidas también si x>�2 . Para ver dónde se anulan recuperamos los cocientes:q

0(x)= x+42(x+2)3/2 , q

00(x)= �x�84(x+2)5/2 ! no se anulan para ningún x (�4,�8 /2 dom q ).

2

2

1

1

Ej. Hallemos la derivada de la función definida implícitamente por lacurva x

2+y

2�2x�2y = 0 en un entorno del punto (0,2) .⇥Se trata de la circunferencia (x�1)2+(y�1)2=2

⇤.

Una posibilidad es escribir explícitamente la función que define:y = 1+

p1+2x�x

2�

y = 1�p

no pasa por el punto�

y derivarla: y

0(0) = (1�x)(1+2x�x

2)�1/2��x=0 = 1 .

Pero más corto, y válido en casos en que no podamos despejar, es derivar implícitamente:2x+2y(x)y0(x)�2�2y

0(x)=0 ! y

0(x)= 1�x

y�1 , que para (x,y)=(0,2) nos da y

0(0)=1 .

[Derivar implícitamente se puede si se obtiene una y

0 finita (aquí si y 6=1 ). En cálculo de variasvariables se prueba que entonces la curva define una función y(x) derivable].

40

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Def.

Se dice que f es derivable en un intervalo abierto I [finito o infinito] si lo es en todoslos puntos del intervalo; f 2C

1(I) [es de clase 1 en I ] si además f

0 es continua en I .Diremos que f 2C

n(I) [de clase n ] si f tiene n derivadas en I y f

(n) es continua enI , y que f 2C

•(I) [de clase infinito] si hay derivadas de cualquier orden de f en I .

[Para intervalos cerrados, como siempre, hay que preocuparse de los extremos:f es derivable en [a,b] si lo es en (a,b) y existen f

0(a+) y f

0(b�) ;f 2C

1[a,b] si f 2C

1(a,b) , f

0(x)! f

0(a+) si x!a

+ y f

0(x)! f

0(b�) si x!b

� ].

Todas las funciones elementales descritas en 1.4 son de C

• en su dominio, con excepción dearcsenx y arccosx , que no tienen siquiera una derivada en x=±1 , y x

b con b>0 y b /2N ,para la que ya no existe f

(n) en x=0 cuando el exponente de f

(n�1) pasa a estar entre 0 y 1 ,que es lo que le pasa a la función g de la página anterior.

Ej. s(x)=x

2 sen 1x

, s(0)=0 . Veamos que es derivable en todo R, pero no de C

1(R) .

x2

#x2

1/�

Si x 6= 0 es producto de composiciones de derivables y las técnicas decálculo de derivadas nos dan la expresión: s

0(x) = 2xsen 1x

� cos 1x

.Pero para x=0 , un denominador se anula y debemos usar la definición:

s

0(0)= lımh!0

h

2 sen 1h

�0h

= lımh!0

hsen 1h

=0 (0⇥acot) ) 9s

0(0)=0 .

Era previsible, pues su gráfica es la dibujada (véase 3.5) y las secantes oscilan, pero acercándose a y=0 .

s

0 no es continua en 0 por no tener s

0 límite: 2xsen 1x

!x!0

0 , pero

f (x)=cos 1x

no tiende a nada⇥por ejemplo, las sucesiones

a

n

= 12np , b

n

= 1(2n�1)p ! 0 , pero f (a

n

)=1 y f (bn

)=�1⇤.

Por tanto, s no es C

1(R)⇥aunque sí sea C

1(�•,0) y C

1(0,•)⇤.

Como s

0 no es continua en 0 , no puede existir s

00(0) . Sí existen todas las derivadas 8x 6=0 :s

00(x) = [2� 1x

2 ]sen 1x

� 2x

cos 1x

, s

000(x) , ...⇥es decir, es de C

• en (�•,0) y (0,•)⇤.

Ej. n(x)=arctan 1x

2 , n(0)= p2 . Es continua obviamente si x 6=0 (composición de continuas)

y también lo es cuando x=0 : lımx!0

arctan 1x

2 = p2 = n(0) .

Si x 6=0 es fácil hallar sus derivadas: n

0(x)=�2x

�3

1+x

�4 =�2x

1+x

4 , n

00(x)= 2 3x

4�1(1+x

4)2 , . . . pero

n

0(0) = lımh!0

1h

⇥arctan 1

h

2 � p2⇤

es un límite indeterminado que aún no sabemos hacer.

Es claro que n

0(x)!0 si x!0 , pero de ahí no podemos deducir (todavía) que n

0(0)=0(nada asegura que n

0 sea continua; en 3.2 veremos un teorema que permitirá dar ese paso).Admitiendo n

0(0)=0 , es n2C

•(R) , pues existen n

0, n

00, n

000, ... (denominadores no nulos).

Conviene comparar con n⇤(x)=arctan 1x

(discontinua en x=0 definamos como definamos n⇤(0) ,pues los límites laterales no coinciden), ya que para ella n

0⇤(x)=� 1

1+x

2 si x 6=0 , y parecería quen

0⇤(0)=�1 , lo que es claramente falso pues n⇤ no es derivable en el punto por no ser continua.

41

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3.2. Teoremas sobre funciones derivables

Los primeros resultados buscan determinar los x de un conjunto A⇢dom f en los que una f

alcanza sus valores máximo y mínimo (a ambos se les llama valores extremos de f ). Sabemosque existen si A=[a,b] y f es continua (es decir, existen y,z2A tales que f (y) f (x) f (z)para todo x2A ), aunque podría no haberlos si A es otro tipo de conjunto o si f no es continua.En ocasiones se llama absolutos a estos extremos, para distinguirlos de los locales o relativos:

Def.f posee un máximo [mínimo] local en x sobre un conjunto A⇢ dom f si existeun d >0 tal que el valor máximo [mínimo] de f en A\B(x,d ) se alcanza en x .

[Es decir, si f (x)� f (x+h)⇥

f (x) f (x+h)⇤8h tal que |h|<d y x+h 2 A ].

MML

mL

infinitos m

ML

Está claro que si un valor extremo (absoluto) de f en A

se toma en un punto x también tiene f en x un extremolocal y que lo contrario es falso. Los máximos y mínimos(absolutos y locales) pueden ser infinitos o no existir, pue-den darse en el borde o en el interior de A . En este caso:Teorema:

Si f posee un extremo local en x interior a A y f es derivable en x ) f

0(x) = 0 .

[A los puntos en que se anula f

0 se les suele llamar puntos críticos de f ].

Si ML en x ) 9d tal que si 0<h<d , f (x+h)� f (x)h

0 , y si �d <h<0 , f (x+h)� f (x)h

� 0

) 0 lımh!0�

f (x+h)� f (x)h

= f

0(x) = lımh!0+

f (x+h)� f (x)h

0 .

Si mL en x ) � f , derivable, tiene ML en x ) � f

0(x) = 0 ) f

0(x) = 0 .

Hay x con f

0(x)=0 en los que f no tiene extremo local (como f (x)=x

3 en x=0 ).Tampoco es cierto que deba ser f

0(x)=0 en todo x en el que f posea un extremo local (puesx podría no ser interior o f no ser derivable en x ). De esto se sigue que:

Para buscar los valores máximo y mínimo de una f en un intervalo [a,b]

hay que considerar:• los extremos del intervalo a y b

• los x2(a,b) en los que f

0(x)=0• los x2(a,b) en los que no exista f

0(x)

Teorema de Rolle:

f es continua en [a,b] , derivable en (a,b) y f (a)= f (b))9c2(a,b) con f

0(c)=0 .

f tiene máximo y mínimo en [a,b] por ser continua. Si alguno de losdos lo toma en (a,b) ya estaría. Si f toma su máximo y su mínimoen a y b ) f es constante ) f

0(x)=0 para cualquier x de (a,b).

Teorema del valor medio:

f continua en [a,b] y derivable en (a,b) ) 9c2(a,b) tal que f

0(c)=f (b)� f (a)

b�a

.

f

r

(Existe al menos un c para el que la tangente es paralela a la recta queune (a, f (a)) con (b, f (b)) ; o bien, existe un instante c en el que lavelocidad instantánea coincide con la media en el intervalo).

Sea h(x)= f (x)�r(x) , con r(x)= f (b)� f (a)b�a

(x�a) , continua [a,b] ,derivable (a,b) y h(a)= f (a)=h(b) )

Rolle9c2(a,b) tal que h

0(c)= f

0(x)� f (b)� f (a)b�a

=0 .

42

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Crecimiento y decrecimiento:

Teorema:

Sea f continua en [a,b] y derivable en (a,b) . Entonces:f

0(x)>0 para todo x2(a,b) ) f es estrictamente creciente en [a,b] ;f

0(x)<0 para todo x2(a,b) ) f es estrictamente decreciente en [a,b] ;f

0(x)=0 para todo x2(a,b) ) f es constante en [a,b] .

Como f 2C

1[a,b] ) f continua en [a,b] y derivable en (a,b) , se podría pedir sólo enestos teoremas que f fuese C

1. Pero pediríamos demasiado, dejando fuera funcionescomo f (x)=x

1/2 , que no es C

1[0,1] pero sí es continua en [0,1] y derivable en (0,1) .

Sea [x,y]⇢ [a,b] . Por el teorema del valor medio 9c2(x,y) con f

0(c) = f (y)� f (x)y�x

.Por tanto, si f

0(c) >, <,= 0 ) f (y) >, <,= f (x) , respectivamente.Se ve en la demostración que podemos sustituir en hipótesis y conclusiones ‘[a,’por ‘(�•,’ y ‘,b]’ por ‘,•)’ . Observemos también que a f

0 se le piden cosas sóloen el abierto, pero el resultado se tiene en todo el cerrado.

Teorema (condición suficiente de extremo):

Sea f de C

2 en un entorno de c y sea f

0(c) = 0 . Entonces: si f

00(c)> 0 , f poseeun mínimo local en c , y si f

00(c)< 0 , f posee un máximo local en c .

[Si f

00(c)=0 podría haber en c un máximo, un mínimo o ninguna de las dos cosas. Comoveremos en los ejemplos, es muchas veces más cómodo deducir si en c hay máximo omínimo mirando el crecimiento y decrececimiento en vez de usar este teorema].

f

00(c)= lımh!0

f

0(c+h)�0h

> 0 ) para h pequeño f

0(c+h) y h tienen el mismo signo )f decrece en un intervalo a la izquierda ( h<0 ) y crece en uno a la derecha ( h>0 ).

[Análogamente (o considerando � f ) se prueba la condición de máximo].

[Los resultados anteriores dan mucha información sobre temas (ligados a las definiciones de 1.4 oa los teoremas de 2.3) que hasta ahora nos costaba o no podíamos precisar: hallar la im f (hallandosus máximos y mínimos), saber que f es estrictamente monónota (y, por tanto, que existe suinversa f

�1 ) en un intervalo, fijar el número de ceros de f (unido a Bolzano), ...].

Concavidad y convexidad:

f' decrece

convexa cóncava

P. INF.Def.

f es convexa hacia abajo en un intervalo I si 8x,y2I elsegmento que une (x, f (x)) con (y, f (y)) está por enci-ma de la gráfica de f . f es cóncava si � f es convexa.Se llama punto de inflexión a uno de la gráfica en la queésta pasa de convexa a cóncava o viceversa.

[Hay libros que llaman cóncava a lo que nosotros llamamos convexa y viceversa;otros, dicen que se dobla hacia arriba ([), o hacia abajo (\)].

Teorema:Sea f continua en [a,b] y derivable dos veces en (a,b) .Si f

00 �0 ( f

00 0 ) en (a,b) , es f convexa (cóncava) en [a,b] .Si (c, f (c)) es un punto de inflexión, debe ser f

00(c)=0 .

[No lo demostramos; geométricamente está claro: f es [ si la pendiente de la tangente vacreciendo (y si f

00�0 , la f

0 crece); es \ si decrece; en un punto de inflexión hay un máximoo mínimo de la f

0 (pasa de crecer a decrecer o al revés); puede ocurrir que f

00(c)=0 y queen (c, f (c)) no haya punto de inflexión como le ocurre a la función f (x)=x

4 en x=0 ].

43

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Tres ejemplos de cálculo de extremos en intervalos (o algo más):

Ej. Hallemos los valores máximo y mínimo de f (x)= log(1+x

2)� |x�2| en el intervalo [�2,3] .

Tales valores han de existir por ser f continua en el intervalo (lo es en todo R ). Y sabemosque se toman, o en los extremos del intervalo, o en los puntos en que f no es derivable (ennuestro caso, sólo en x=2 ) o en los puntos en que se anula la derivada:

f (x) =n log(1+x

2)� x+2 , x � 2log(1+x

2)+ x�2 , x 2) f

0(x) =n �(1�x)2/(1+x

2) , x>2(1+x)2/(1+x

2) , x<2

Por tanto, f

0(x)=0 , x=�1 . Basta comparar los valores en los cuatro puntos candidatos:f (�2) = log5�4 , f (�1) = log2�3 , f (2) = log5 , f (3) = log10�1 .

Con una calculadora: f (�2)⇡�2.4 , f (�1)⇡�2.3 , f (2)⇡ 1.6 , f (3)⇡ 1.3) el máximo se da en x = 2 y él mínimo en x =�2 .

Pero sin calculadora también podemos decirlo. Analizando crecimiento y decrecimiento quedagran parte del trabajo hecho. Mirando f

0 es inmediato que f crece desde �• hasta 2 y quedecrece a partir de 2 , con lo que el valor máximo debe ser f (2) . Sólo queda comparar f (�2)con f (3) , lo que, en este caso es muy sencillo, pues el primero es negativo y el otro positivo:

log5<4 pues 5<24<e4 y log10>1 pues 10> e .En otro tipo de intervalos puede que los extremos no se alcancen. Por ejemplo, en (�2,0) noexisten ni el valor máximo ni el mínimo: f (�2) es el ínfimo de los valores, pero no mínimo,y f (0)=�2 es sólo el supremo.Y en [�2,•) , aunque el máximo sigue siendo f (2) , para ver si hay mínimo debemos compararf (�2) y ‘el valor de f en el infinito’, es decir, el límite de f (x) si x ! • . Con la regla deL’Hôpital del final de la sección:

lımx!•

f (x) = lımx!•

x

⇥ log(1+x

2)x

�1+ 2x

⇤= “• [0�1+0] =�•” ,

con lo que el valor mínimo no existe (tampoco existe el ínfimo) en el intervalo [�2,•) .

Ej. Hallar, si existen, los valores extremos de e(x)=x

2 e�2x/3 en los intervalos: i) [�1,6 ]ii) [6 ,•)

.

e

0(x) =�2x� 2

3 x

2�e�2x/3 = 23 x(3�x)e�2x/3 ) e crece en [0,3] .

e decrece en (�•,0] y en [3,•) .i) Existen seguro los valores extremos porque e es continua en el intervalo cerrado.

Candidatos: e(�1) = e2/3 , e(0) = 0 , e(3) = 9e�2 , e(6) = 36e�4 .El valor mínimo es obviamente e(0)=0 (los otros son estrictamente positivos). El máximo (ala vista del crecimiento) se da en x=�1 ó x=3 . ¿Es e2/3 ? 9e�2 , e4/3 ? 3 , e4 ? 27 ?Como e> 5

2 , es e4> 62516 >27 , pues 625>16 ·27=432 . El valor máximo es f (�1)= e2/3 .

ii) En [6 ,•) pueden no alcanzarse los valores extremos. En este caso la f es estrictamentedecreciente en todo el intervalo, por lo que el valor máximo es 36e�4 y el mínimo no existe.⇥

Como f !x!•

0 (L’Hôpital), 0 es el extremo inferior de los valores de f , pero no se alcanza⇤.

Ej. Sea g(x) = 1+x

log(1+x) . Determinemos su dominio, su imagen y sus valores extremos en [1,3] .

dom g=(�1,0)[(0,•) [donde 1+x>0 y el denominador 6= 0 ].

g

0(x)= log(1+x)�1[log(1+x)]2

> 0, x2(e�1,•)! g crece en [e�1,•)= 0, x= e�1<0, x2(�1,0)[(0,e�1)! g decrece en (�1,0)

y en (0,e�1]Además g �!

x!�1+0�• =0 , g !

x!0±1

0± =±• ) img=(�•,0)[[e,•) .

g es continua en [1,3] y los extremos han de existir. Candidatos:g(1)= 2

log2 , g(3)= 4log4 =

2log2 , g(e�1)= e

loge =e .

Esto, junto al estudio del crecimiento, asegura que el valor mínimo es e y el máximo es 2log2 .

44

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En los tres siguientes nos preocupamos por el número de ceros de las funciones:

Ej. Sea n(x)=x

2+4arctanx . Determinar su imagen y precisar cuántos ceros tiene en [�1,1] .> 0

n

0(x)=2 x

3+x+21+x

2 = 2 (x+1)(x2�x+2)1+x

2 ) n crece desde �1y antes decrece ) n(�1)=1�p valor mínimo.

n continua en todo R, 1�p valor mínimo absoluto y lımx!±•

n = • ) im n=[1�p ,•) .

Como n(�1)<0 , n(1)=p+1>0 , y n es estrictamente creciente en [�1,1] , el teorema deBolzano y la monotonía aseguran que n se anula exactamente 1 vez en el intervalo.

Ej. Estudiemos cuántas veces se anula h(x)=x

2 senx+2xcosx�2 en el intervalo [0,p] .

Como h(0)=�2<0 y h(p)=�2p�2<0 el teorema de Bolzano nonos dice (en principio) nada. Analicemos h

0 :h

0(x)=(x2+2)cosx ) h creciente en⇥0, p

2⇤

y decreciente en⇥p

2 ,p⇤

.

h(p2�= p2�8

4 >0 Bolzano) al menos hay un cero en cada intervalo, y porser estrictamente monótona en cada uno, h tiene exactamente 2 ceros.

Ej. l(x)=3arctanx� logx . dom=(0,•) . l

x!0+�!• , l

x!•�!�• .

– +1 3

l

x x

l

0(x)=� x

2�3x+1x(1+x

2)=� (x�x�)(x�x+)

x(1+x

2), con x±= 3±

p5

2 .

2<p

5 <3 ) x�2�0, 1

2�

, x+2� 5

2 ,3�

.l decrece en (0,x�] , l(x�)>0

⇥arctanx ,� logx > 0 en (0,1)

⇤,

l(1)= p4 (único valor que podemos dar sin calculadora), l crece en [x�,x+] y decrece en [x+,•)) la función continua l corta una única vez el eje x en un c > x+ de (0,•) .

Y un par de ejemplos más de utilización de los teoremas de esta sección:

Ej. Probar que k(x)=eshx+x tiene función inversa k

�1 en todo su dominio y calcular (k�1)0(1) .

k

0(x) = chx eshx+1 > 0 8x ) k es estrictamente creciente en todo R ) existe su inversa.Por ser k derivable, k

�1 también lo es y se tiene que: (k�1)0(1) = 1k

0(k�1(1)) =1

k

0(0) =12 ,

pues claramente k(0)=1⇥esto es lo difícil; no sabríamos decir, por ejemplo, quién es k

�1(0)⇤.

Ej. Sea r(x)= x

3�6x

2�8x

. Estudiemos crecimiento y decrecimiento, extremos, concavidad...

La función es continua (y de C

•) si x 6=0 . Para derivarla ponemos mejor r(x)=x

2�6x� 8x

r

0(x) = 2x�6+ 8x

2 = 2 x

3�3x

2+4x

2 = 2 [x+1][x�2]2

x

2

⇥= 0 , si x=�1

x=2⇤

) r

0<0 si x2(�•,�1) y r

0>0 si x2(�1,0)[ (0,2)[ (2,•) .De esto deducimos que r decrece en (�•,�1] y que crece en [�1,0) y en (0,•) [ x=2incluido]; pero no crece en todo [�1,•) (es discontinua en 0 ). Por tanto, tiene mínimolocal en x=�1 y no tiene ni máximo ni mínimo en x=2 (a pesar de ser r

0=0 ).Concluir esto a partir de la condición suficiente de extremo cuesta más:

r

00(x)= 2� 16x

3 )⇢

r

00(�1)=18 (mínimo, como ya sabíamos sin hallar r

00 ).r

00(2)=0 (?? , pero la r

0 nos dijo que ni máximo ni mínimo).

Como r

00(x)= 2[x3�8]x

3 es negativa en (0,2) y positiva en el resto, r es convexa en (�•,0)y en [2,•) , y es cóncava en (0,2] . x=2 es punto de inflexión.

[Con estos datos y pocos más: r(x)�!x!0±

⌥• , r(x) �!x!±•

• , r(�1)=15 , r(2)=�12 , sería

fácil dibujar la gráfica de r . Observemos que no podemos dar el x exacto tal que r(x)=0 ].

45

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El siguiente teorema es el que prueba que una función como la n(x)=arctan 1x

2 , n(0)= p2 de la

sección anterior es derivable en x=0 y que n

0(0)=0 :

Teorema: Si f es continua en a y f

0 tiene límite cuando x ! a ) f

0(a)= lımx!a

f

0(x) .

Como f

0 tiene límite, debe existir en un entorno de a . El TVM en [a,a+h] (ó [a+h,a] )

dice que 9x

h

2(a,a+h) con f (a+h)� f (a)h

= f

0(xh

) . Si h!0 , f (a+h)� f (a)h

! f

0(a) , x

h

!a .

[Se ve en la demostración que si f

0(x)! • ó �• no existirá f

0(a) (la recta tangente será vertical),pero puede no tener límite f

0 y existir la f

0(a) (hay funciones derivables que no son C

1 )].

Acabamos la sección con la regla de L’Hôpital. Aplazaremos su uso sistemático al capítulo 4(para comparar con Taylor), pero vamos justificando algunos de los límites adelantados en 2.1.

Para probarla generalizamos el teorema del valor medio:Teorema del valor medio de Cauchy:

Sean f y g continuas en [a,b] , derivables en (a,b) )9c2(a,b) tal que [ f (b)� f (a)]g0(c) = [g(b)�g(a)] f 0(c)

[para f (x)=x se recupera elteorema del valor medio].

�Se demuestra aplicando Rolle a h(x) = f (x)[g(b)�g(a)]�g(x)[ f (b)� f (a)]

�.

Regla de L’Hôpital:

Si f (x),g(x)!x!a

0�ó !

x!a

±•�

y existe el lımx!a

f

0(x)g

0(x) , entonces lımx!a

f (x)g(x) = lım

x!a

f

0(x)g

0(x) .

La regla sigue siendo válida cambiando el a del enunciado por a

+, a

�, +• ó �• .

La probamos sólo para f , g ! 0 si x ! a, a

+ ó a

� . Como el límite de f

0/g

0 existe, para x�a

pequeño, definiendo f (a)=g(a)=0 , f y g son continuas en [a,x] y derivables en (a,x) , y esg

0 6=0 en (a,x) . Por el TVM de Cauchy 9c2(a,x) con f (x)g0(c)=g(x) f

0(c) . Como g(x) 6=0[si fuese =0 , por Rolle sería g

0(z)=0 para algún z2(a,x) ] se puede escribirf (x)g(x) =

f

0(c)g

0(c) y por tanto lımx!a

+

f (x)g(x) = lım

x!a

+

f

0(c)g

0(c) = lımx!a

+

f

0(x)g

0(x) pues x ! a

+ ) c ! a

+.

Análogamente se demostraría para x ! a

�, de donde se deduciría para x ! a .

Ej. Hallemos dos límites indeterminados •• que nos han aparecido en ejemplos de esta sección:

lımx!•

log(1+x

2)x

L’H= lım

x!•2x/(1+x

2)1 = lım

x!•2x

1+x

2 = lımx!•

21x

+x

= 0 [el último paso no necesita L’H].

lımx!•

x

2

e2x/3L’H= 3 lım

x!•x

e2x/3L’H= lım

x!•92

1e2x/3 = 0 .

El segundo límite es un caso particular de uno de los dos famosos�•

•�

que vamos ya a calcular:

Si a,b>0 : lımx!•

(logx)a

x

b

= 0 , lımx!•

x

a

ebx

= 0 .

logx

x

b

L’H! 1/x

bx

b�1 =1

bx

b

! 0 ) (logx)a

x

b

=h logx

x

b/a

ia

! 0 , x

ebx

L’H! 1bebx

! 0 ) x

a

ebx

=h

x

ebx/a

ia

! 0 .

De ellos se deducen los límites análogos para sucesiones(que amplían el número de límites que sabemos calcular):

(logn)a

n

b

, n

a

ebn

! 0 , a,b>0

46

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3.3. Polinomios

Un tipo de funciones que aparecen continuamente son los polinomios. Ahora que disponemosya de teoremas sobre funciones continuas y de la derivada volvemos a estudiarlos.

Un polinomio de grado n es: P

n

(x) = a

n

x

n +a

n�1x

n�1 + · · ·+a1x+a0 , a

k

2R , a

n

6=0 .

Ya tratamos el de segundo grado: P2(x)=ax

2+bx+ c=a[x+ b

2a

]2� D

4a

, D=b

2�4ac , a 6=0 .

Su gráfica es (ver 3.4) la de y=x

2 trasladada a izquierda o derecha, multiplicada por una constante(positiva o negativa) y trasladada hacia arriba o abajo. A partir de P

02(x)=2ax+b volvemos a ver

que su extremo se toma en x=� b

2a

. Sus raíces (reales, dobles o complejas dependiendo del signode D ) eran: x= 1

2a

[�b±p

D ] . Observemos que la raíz doble � b

2a

también es raíz de P

02(x) .

P2 puede tener o no raíces reales. Como cualquiera de grado par. Sin embargo:Un polinomio de grado impar posee por lo menos una raíz real.

P

n

(x) = a

n

x

n[1+ · · ·+ a0a

n

x

�n] y sea, por ejemplo, a

n

>0 . Si n es impar, P

n

(x)�!x!±•

±• .Hay pues a con P

n

(a)<0 y b con P

n

(b)>0 . Por Bolzano, 9c2(a,b) con P

n

(c)=0 .

El teorema fundamental del álgebra asegura que P

n

tiene n raíces x1, . . . ,xn

(reales o com-plejas, repetidas o no). Si pudiésemos hallarlas podríamos escribir: P

n

(x)= a

n

(x�x1) · · ·(x�x

n

) .Como las complejas aparecen por parejas p±qi , cada par de productos (x� [p+qi])(x� [p�qi])en la descomposición de P

n

(x) da lugar a un polinomio de segundo orden con coeficientes realesx

2 �2px+(p

2+q

2) . Así pues, si conocemos las raíces el P

n

se puede factorizar:P

n

(x) = a

n

(x�x1) · · ·(x�x

r

)(x2+b1x+ c1) · · ·(x2+b

s

x+ c

s

) , con r+2s=n , x

k

,bk

,ck

2RAlgunas raíces podrían estar repetidas. No es difícil ver que si x= x

k

es raíz simple de P

n

entonces no anula la derivada P

0n

y que sí la anula si es raíz múltiple. Por tanto:Una raíz de un polinomio es múltiple si y sólo si es raíz también de su derivada.

Ej. P4(x) = x

4+2x

3+3x

2+4x+2 . P4 es sencillo por tener raíces enteras y ser calculables todas.Tanteando con los divisores de 2 observamos que x=�1 lo es.Dividimos por (x+1) y vemos que x=�1 vuelve a ser raíz.Por tanto es P4(x)=(x+1)2(x2+2) , ya factorizado.Es x=�1 también raíz de P

04(x)= 2(2x

3+3x

2+3x+2) .

1 2 3 4 2�1 �1 �1 �2 �2

1 1 2 2 0�1 �1 0 �2

1 0 2 0

Una raíz múltiple debe ser raíz del máximo común divisor de P

n

y P

0n

. Una forma de hallar este mcdes mediante el algoritmo de Euclides (similar al visto para los números enteros): dados P , Q [congr(P)�gr(Q) ], se divide P entre Q y se llama R1 al resto obtenido (si conviene, multiplicado por unaconstante); a continuación se divide Q entre R1 y se llama R2 al nuevo resto; luego R1 entre R2 ...hasta obtener un resto nulo. El mcd(P,Q) es el último resto no nulo del proceso anterior.

Ej. Calculemos con este algoritmo el mcd(P4,P04) para el P4(x)= x

4+2x

3+3x

2+4x+2 de arriba.Para empezar, multiplicamos P4 por 4 y dividimos entre 2x

3+3x

2+3x+2 :4 8 12 16 8�4 �6 �6 �4

2 6 12 8�2 �3 �3 �2

3 9 6

| 2 3 3 22 1

2 3 3 2�2 �6 �4

�3 �1 23 9 6

8 8

| 1 3 22 �3

1 3 2�1 �1

2 2�2 �20 0

| 1 11 2

) R1=x

2+3x+2 ) R2=x+1 ) R3=0Por tanto, mcd(P,P0)= x+1 ) P tiene x=�1 como raíz doble, como vimos antes.

[En este ejemplo era innecesario, pero será útil cuando haya raíces múltiples no enteras].

47

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Ya comentamos en 1.3 la imposibilidad de expresar mediante radicales las raíces de los P

n

de gradomayor que 5. Tratemos ahora un caso en que sí hay fórmulas (complicadas) para las raíces, el cúbico:

p>0R>0

p<0R>0

p>0R=0

p<0R=0

p>0R<0

p<0R<0

P3(x) = px

3 +qx

2 + rx+ s , p 6=0 .

Veamos cómo puede ser su gráfica. P

03(x)=3px

2+2qx+r

puede tener 2 raíces reales, 1 doble o ninguna real (segúnR ⌘ q

2�3pr sea >,= ó < 0 ), y así P3 puede tener unmáximo y un mínimo, un punto de inflexión con tangente horizontal o tener su derivada signo constante.

Si P3 tiene raíz múltiple debe ser px

3+qx

2+rx+s = 3px

2+2qx+r=0 . Eliminando la x entre ambasecuaciones se obtiene la expresión de su discriminante D = q

2r

2 �4pr

3 �4q

3s+18pqrs�27p

2s

2.

Llamando S ⌘ 27p

2s�9pqr+2q

3, este D se puede escribir más compacto: D = 127p

2 [4R

3 �S

2] .

Se puede probar además que las raíces de P3 vienen dadas por las siguientes fórmulas:

Si D=0 , hay una raíz doble dada por x

d

= 13p

h�q+ 3

qS

2

iy otra simple x

s

= 13p

h�q�2 3

qS

2

i.

Si D<0 , existe una única raíz real de P3 : x

r

=� q

3p

+ 13p

h�S+

pS

2�4R

3

2

i1/3+ 1

3p

h�S�

pS

2�4R

3

2

i1/3.

Por último, si D>0 () R>0), hay tres raíces reales distintas de P3 que se pueden expresar:

x1,2,3 =� q

3p

+ 2p

R

3p

cos f+2kp3 , k = 0,1,2 , siendo f = arccos

� �S

2R

3/2

�.

Sin utilizar el D anterior, es fácil decir cuántas raíces reales tiene cualquier P3 , por ser su gráfica sencilla(sus extremos se pueden hallar, lo que no pasa en los de mayor orden).

Ej. P3(x)=2x

3�x

2�12x+6 No tiene raíces enteras, pues no lo son ±6,±3,±2 ni ±1 . No hayatajos para calcular sus raíces.

Precisemos cuántas de ellas son reales.P

03(x)=2(3x

2�x�6)=0 ! x±= 16⇥1±

p73

⇤⇡ 1.59 , –1.26 .

Como P3(x�)⇡ 15.53>0 y P3(x+)⇡�7.57<0 , su aspecto es elde la derecha y concluimos que tiene 3 raíces reales distintas.Podemos localizar mejor esas raíces utilizando Bolzano:

P3(�3)=�21 , P3(�2)=10 , P3(0)=6 , P3(1)=�5 ,P3(2)=�6 , P3(3)=15 . Están en [�3,�2] , [0,1] y [2,3] .

Utilizando las fórmulas de arriba se tiene que: R=73 , S=430 , D=12696 ! tres raíces reales.f ⇡ 1.9227264 ! x1,2,3 ⇡ 2.44949, –2.44949, 0.50000

[Los errores de redondeo del cálculo aconsejan acudir a métodos numéricos incluso para P3 ].

Existen fórmulas similares para las raíces de los polinomios de cuarto grado, pero son todavía máscomplicadas. En 1.3 vimos cómo hallarlas en dos casos sencillos:

P4(x) = ax

4 +bx

2 + c y P4(x) = ax

4 +bx

3 + cx

2 +bx+a .Y observemos que ya para los de cuarto grado ya no es fácil, en general, saber cuántas raíces realestienen, pues las raíces de su derivada (de tercer grado) ya no son calculables exactamente.

Como casi nunca se pueden dar las raíces exactas de un P

n

, habrá que aproximarlas con métodosnuméricos (a eso nos dedicaremos en 5.6). Para aplicarlos será útil saber cuántas hay y más omenos dónde están. Nuestro objetivo es separar las raíces reales, o sea, conocer su númeroexacto y localizar intervalos [a,b] en los que sólo haya una de ellas. El teorema de Bolzanoinforma, pero no basta en general: si encontramos un [a,b] con P(a)P(b)<0 , hay al menosuna raíz en (a,b) pero podría haber más (si P

0 no lo impide).

48

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El último resultado que damos para polinomios es fácil de aplicar pero suele dejar dudas:Ley de Descartes de los signos.

Sea P un polinomio de grado n con término independiente no nulo. Si r es elnúmero de raíces reales positivas de P y s el número de cambios de signo enla sucesión de sus coeficientes, es r s y s� r es un número par (o cero).[Cambiando x por �x se obtiene el resultado análogo para las raíces negativas].

[Se tiene en cuenta la multiplicidad (una raíz doble cuenta por dos)].Lo probamos (en el caso más simple: a

k

6=0 8k ). Podemos suponer a

n

>0 . Inducción sobre n . Es ciertopara n=1 : a1x+a0 = 0 tiene una raíz positiva ( r=1 ) si a1 y a0 tienen signos opuestos ( s=1 ); yr=0 si s=0 . Supongámoslo ahora cierto para los P de orden n�1 y demostrémoslo para los de n :Sean s

0 y r

0 los números de cambios y raíces para P

0 . Si sg(a1)= sg(a0) , es s= s

0 , y como (fácil dever) (�1)r y (�1)r

0 son los signos de sus términos independientes, r y r

0 tienen la misma paridad; sisg(a1) 6= sg(a0) , s=s

0+1 y r es de paridad opuesta a r

0 ; en ambos casos, s�r y s

0�r

0 tienen la mismaparidad; como para P

0 (de orden n�1 ) estamos suponiendo cierto Descartes, deducimos que s�r espar. No es difícil deducir de Rolle, además, que r

0�r ó r

0�r�1 , respectivamente, en los casos de antes;de ahí se obtiene que en ambos casos es s�r � s

0�r

0 , número que estamos suponiendo positivo.

Ej. Para P3 sus coeficientes 2 ,�1 ,�12 , 6 (+ � �+ ) presentan s = 2 cambios de signo.Esto nos asegura, sin hacer ninguna cuenta más, que tiene ó 2 ó 0 raíces positivas.Cambiando x por �x obtenemos �2x

3 � x

2 +12x+6 (��++ ).Como s = 1 , seguro que hay una única raíz real negativa.Calculando el D (o analizando su gráfica) vimos que hay 3 reales y con ello resolvemos laduda que nos dejaba Descartes: hay 2 positivas.

Ej. Para el P4 de la raíz doble podíamos afirmar que no tiene raíces positivas (+ + + + + , s=0 )y como tras hacer x por �x aparece + � + � + podían existir 4 , 2 ó 0 raíces negativas.Para este polinomio factorizable, realmente había 2 negativas (1 doble; y además 2 complejas).

Ej. Para Q4(x) = 9x

4+8x

3+28x

2+24x+3 , Descartes nos dice lo mismo que en ejemplo anterior:0 positivas y 4 , 2 ó 0 negativas. (Pero no podemos salir de la duda por no tener raíces enteras).

Ej. Para P5(x) = x

5 +2x

3 + x+2 , Descartes nos precisa todo: + + ++ ! 0 positivas.� � �+ ! 1 negativa.

Pero esto lo podemos probar también de una forma sencilla directamente:P

05(x)=5x

4+6x

2+1 > 0 8x ) P5 es estrictamente creciente. Y además P5(0)=2>0 .Como es P5(�1)=�2<0 , ese cero negativo estará en el intervalo (�1,0) .

49

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3.4. Representación de funciones

Cada función pide un tratamiento diferente. Las siguientes ideas no son una receta que ha-ya que seguir desde el principio hasta el final. Por ejemplo, no tiene sentido buscar asíntotasverticales en una función continua en todo punto o empeñarse en calcular derivadas muy com-plicadas. La práctica en el dibujo de gráficas nos irá sugiriendo los tipos de cálculos a realizaren cada caso. Es importante conocer las gráficas de las funciones elementales.

• Determinación del dominio, y de los puntos en que f no es continua (posibles saltos dela función) o no derivable (picos de la gráfica, pendientes verticales).

• Simetrías: Si f (�x) = f (x) , función par, la gráficade f es simétrica respecto al eje x = 0 .Si f (�x) =� f (x) , función impar, la gráfica de f

es simétrica respecto al origen.

PAR

IMPAR

• Periodicidad (sólo para algunas funciones trigonométricas): si f (x+T )= f (x) bastapintar la gráfica en un intervalo de longitud T pues luego se repite periódicamente.

• Asíntotas: Verticales (rectas x=c ): f tiende a +• ó �• cuando x ! c

� ó x ! c

+

(bastantes veces se puede calcular de una vez el límite cuando x ! c , pero otras sonprecisos los laterales). Horizontales (rectas y=c ): f tiende a c si x !+• ó �• .Si no existen asíntotas horizontales (y la forma de la función lo aconseja) intentaremosescribir f (x) = g(x)+ h(x) , con g función conocida y h(x)! 0 si x ! +• (ó �•) .Entonces la gráfica de f se parecerá a la de g para x muy grandes (ó muy negativos).En particular, hallaremos así las posibles asíntotas oblicuas, sin recetas de memoria.[En ocasiones todos estos límites se podrán hallar con los teoremas del capítulo 2 (los deltipo “7/• = 0" ), pero si son indeterminados habrá que usar L’Hôpital o Taylor (4.5); eldesarrollo de Taylor, además, dará idea de la forma de la función cerca de un punto].

• Información a partir de las derivadas (utilizando los teoremas de 3.2):A partir de la f

0 : crecimiento y decrecimiento ( f

0> 0 y f

0< 0); puntos x en los que f

posee extremos locales (si f

0(c) = 0 , para ver si f tiene máximo, mínimo o punto deinflexión con tangente horizontal en c , es muchas veces más fácil precisar el signo de f

0

antes y después de c que calcular la f

00(c) ; incluso, en ocasiones, basta dar valores a f

en la proximidad de c para verlo; puede haber extremos en puntos sin derivada).A partir de la f

00 : puntos de inflexión ( f

00(c)=0 , aunque esto pueda no bastar); intervalosde concavidad y convexidad.[Si no podemos hallar explícitamente los ceros de f

0 ó f

00 intentaremos localizar cuántoshay y en qué intervalos están (Bolzano ayuda). Muchas ocasiones esos ceros serán raícesde polinomios (y será aplicable 3.3). El método de Newton de 3.6 nos permitirá aproximarlos ceros con la precisión deseada si disponemos de ordenador].

• Valores concretos de f (x) : En x=0 (corte con el eje y ); en los x tales que f

0(x)=0 oen los que no exista f

0 , en puntos cercanos a estos x ; en los x tales que f

00(x)=0 ; enx de zonas en las que sepamos poco de la gráfica.Valores de x que hagan f (x)=0 (cortes con el eje x , quizás no calculables como ocurríacon los ceros de f

0 y f

00 ), deduciendo en qué intervalos f (x) es positiva o negativa.A veces conviene también dar valores de f

0 (pendiente de la gráfica) en algún punto.

50

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Hay funciones complicadas para las que casi todo fallará y habrá que limitarse a dar valores (enese momento serán especialmente útiles las calculadoras y ordenadores). Al final del capítulo 4(cuando dominemos Taylor y los límites difíciles) dibujaremos más gráficas.

Se deducen de la gráfica de f (x) las gráficas de:f (x)+ c , f (x+c) , c f (x) , f (cx) , � f (x) , f (�x) , | f (x)| y f (|x|)

La de f (x)+ c es la de f (x) trasladada c unidades hacia arriba (c > 0) o abajo (c < 0).La de f (x+c) es la de f (x) trasladada c unidades hacia la izquierda o derecha (c >,< 0).La de c f (x) con c>1 ( 0<c<1 ) es la de f (x) estirada (comprimida) verticalmente.La de f (cx) con c>1 ( 0<c<1 ) es la de f (x) comprimida (estirada) horizontalmente.La de � f (x) es la reflexión de la gráfica de f (x) respecto a y=0 .La de f (�x) es la reflexión de la gráfica de f (x) respecto a x=0 .La de | f (x)| se obtiene reflejando hacia arriba las partes de la de f (x) bajo y=0 .La de f (|x|) es la parte de la gráfica de f (x) para x�0 más su reflejo respecto a x=0 .

[Todo es fácil de deducir. Por ejemplo, la gráfica de g(x)= f (x+2) vale en x=a

lo que la f valía en x = a+2 y por eso la gráfica de g es la trasladada de f haciala izquierda; la altura en cada punto de g(x)=2 f (x) es el doble de la f inicial yla de g(x)= 1

2 f (x) la mitad; g(x)= f (2x) vale en x=a lo que la f valía en 2a ,g(x)= f (|x|) vale f (x) si x�0 y además es par. . . ].

Ej. De la gráfica de senx (dibujada a puntos) deducimos las gráficas de: senx+1 , senx�1 ,sen(x+1) , sen(x�1) , 2senx , 1

2 senx , sen(2x) , sen x

2 , �senx , sen(�x) , |senx| y sen |x| :

1

–1

-! !

sen(x+1)

sen(x–1)

1–1

–1

-! !

senx+1

senx–1

1

–2

2

1

–1

-! !

–senx=sen(–x)2senx

1/2

–1/2

-!

(1/2)senx

–2

2

!

1

–1

-! !

|senx|

sen|x|

1

–1

-! !

sen2x

sen(x/2)

Ej. Un ejemplo que emplea varias de las ideas anteriores: f (x) =��(x�2)3+1

�� .

0 22

11 2

7x (x–2)

(x–2) +1

f(x)3

3

3

hMás complicado es dibujar las dos funciones que define: x

3 �6x

2 +12x�7 , si x�1�x

3 +6x

2 �12x+7 , si x1

i.

51

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Dibujemos la gráfica de cuatro funciones racionales. Ya van surgiendo dificultades para hallar ceros:

Ej. f (x) = 1�x

2

x

4 . Par. dom f = R�{0} . f (x)!x!0

• , f (x) !x!•

0 .

2

1

–1/4

√2–

–1

1

p.inf.

ff

0(x) = 2x

2�4x

5 ; f

00(x) = 20�6x

2

x

6 .

Extremos: x =±p

2 ⇡±1.41 , f

�±p

2�=� 1

4 =�0.25 .

Inflexión: i± =±q

103 ⇡±1.8 , f (i±)=� 21

100 =�0.21 .

f (x)=0 , x=±1 , f ( 12 )=12 , f

�p22�=2 , f (2)=� 3

16 ⇡�0.19 .

Ej. g(x)= x

2+ 81�x

. lımx!1+

g(x) =�•⇥

0+ 1�0

⇤. lım

x!1�g(x) = •

⇥0+ 1

+0⇤.

x2

g

La gráfica se acercará a la de y=x

2 para |x| grande.

g

0(x) = 2x+ 8(1�x)2 = 2(x3�2x

2+x+4)(1�x)2 = 2(x+1)(x2 >0

�3x+4)(1�x)2 )

g decrece en (�•,�1] y crece en [�1,1) y en (1,•) .

g

00(x)=2+ 16(1�x)3 =0 , (1�x)3=�8 , x=3

⇥y x=±i

p3⇤.

g(�3)=11 , g(�1)=g(3)=5 , g(0)=8 , g(2)=�4 .

No podemos hallar el x con g(x)=0 , x

3�x

2�8 = 0 .Como g es continua y g(2)g(3)<0 cortará el eje en (2,3) ,una única vez por ser estrictamente creciente en el intervalo.⇥Afinando más el cero: g

� 73�g

� 52�<0 ) está en

� 73 ,

52� ⇤

.⇥Que g tenía exactamente 1 cero positivo lo decía ya el criterio de Descartes: +��

���⇤.

Ej. h(x)= x�2x

3+x�2 . x

3+x�2 = (x�1)(x2+x+2) )dom h = R�{1} .

hAsíntotas fáciles de hallar: h �!x!±•

0 . h�!x!1±

⌥• .

h

0(x)= 2x

2(3�x)(x3+x�2)2 ?0 en (�•,0)[(0,1)[(1,3) y (3,•)

) h crece en (�•,1) y (1,3] y decrece en [3,•) .

h(3)= 128

máximolocal . h(0)=1 punto de inflexión con

tangente horizontal .

h(�2)= 13 , h(�1)= 3

4 , h( 32 )=� 4

23 , h(4)= 133 .

[Sus otros dos puntos de inflexión no son calculables exactamente, pues resultan ser lasdos raíces reales del polinomio 3x

4�12x

3�x

2+6x�12=0 ].

Ej. k(x)= x+1x

2+3 . dom= R , no hay simetrías, k �!x!±•

0 .

kk

0(x) =� (x+3)(x�1)(x2+3)2 ) k crece en [�3,1]

y decrece en el resto.

k

00(x) = 2 x

3+3x

2�9x�3(x2+3)3 = 0 sin soluciones enteras.

Para aproximar los puntos de inflexión analizamos elpolinomio P(x)⌘ x

3+3x

2�9x�3 del numerador.P

0(x) = 3(x+3)(x�1) . Máximo en (�3,24) y mínimo en (1,�8) .P(�5)<0 y P(�4)>0P(�1)>0 y P(0)<0P(2)<0 y P(3)>0

) Inflexión en un punto de(�5,�4) , (�1,0) y (2,3) .

k(�3)=� 16 ; k(1)= 1

2 ; k(0)=k(3)= 13 .

52

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Las tres siguientes no ofrecen excesivas complicaciones:

Ej. p(x)= cosx

1+|senx| . 2p-periódica, par, continua 8x .

Como |x| no derivable en x=0 puede no serlo p sisenx=0 . Lo vemos sólo en 0 y p (periodicidad):

p(x)=

⇢ cosx

1+senx

en [0,p]cosx

1�senx

en [�p,0] y [p,2p])

p

0=

⇢ �11+senx

en (0,p)! p

0(0+)= p

0(p�)=�11

1�senx

en (�p,0)[(p,2p)! p

0(0�)= p

0(p+)=1

6 9p

0(kp) [picos]. p(0)=1 , p(p)=�1 , p

�p2�=0 . p

00= cosx

(1+senx)2 en (0,p) ) ^ en (0,p/2)_ en (p/2,p)

Ej. r(x)=q

x

2

x+1 =|x|px+1 . r(x)�0 8x2dom r=(�1,•) .

! x–1___

1 3 5

1

2

3/2

r

0(x)= �[x+2]2[x+1]3/2 si �1<x<0 ; r

0(x)= x+22[x+1]3/2 si x>0

Decrece en (�1,0] y crece en [0,•) . r

0(0±)=±1 .

r

00(x)= x+44[x+1]5/2 , �1<x<0 ; r

00(x)= �[x+4]4[x+1]5/2 , x>0 .

r(x)=q

x�1+ 1x+1

⇥se parece a

px�1 para x grande

⇤.

r(0)=0 (mínimo en punto sin derivada), r(� 12 )=

p2

2 =r(1) , r(3)= 32 . r(x)! • si x !�1+ .

Ej. e(x)= 11+e�x

. e

0(x)= e�x

(1+e�x)2 > 0 , e

00(x)= e�x(e�x�1)(1+e�x)3 =0 , e�x=1

) e crece en todo R y x=0 inflexión.

e(x)�!x!�•

11+• =0 ; e(x)�!

x!•1

1+0 =1 . e(0)= 12 . e(x)>0 8x .

⇥Tiene un aire a la tangente hiperbólica; de hecho, e(x)= 1

2+12

1�e�x

1+e�x

= 12�1+th x

2� ⇤

.

Dibujamos ahora dos de los ejemplos de 3.1 (el primero sencillo y el segundo complicado):

1

!/3

! /4

!/2Ej. n(x) = arctan 1x

2 , n(0)= p2 . Par. n(x)�0 8x . n(x) !

x!•0 .

n

0(x)= �2x

1+x

4 ) n crece si x<0 y decrece si x>0 .

n

00(x)= 2 3x

4�1(1+x

4)2 ) cóncava si |x|3�1/4⇡ 0.76 .

Valores: n(1)= p4 , n

�3�1/4�=arctan

p3 = p

3 . n

0(0)=0 .

2/�

1

x

s(x)

12/�

x2

(x2

1xsen(

Ej. s(x)=x

2 sen 1x

con s(0)=0 para que s sea continua.

s(�x) =�s(x) : impar. De las derivadas se saca poco:s

0(x)=2xsen 1x

�cos 1x

= 0 , tan 1x

= 12x

(infinitos cortes).

Pero podemos dar infinitos valores a la función:Como sen 1

x

=1 , x= 2[4n+1]p ; sen 1

x

=�1 , x= 2[4n�1]p ,

la gráfica de s toca en esos x la de x

2 y la de �x

2 ,y para los demás x la gráfica oscila entre ambas.

sen 1x

=0 , x= 1np , otros infinitos puntos de la gráfica.

sen 1x

⇡ 1x

si x gordo nos hace sospechar que s(x)⇡ x .⇥De hecho, con L’Hôpital o Taylor se ve que lım

x!•[s(x)�x]=0

⇤.

53

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3.5. Aplicaciones

Tangentes a curvas.

Ej. Hallar la ecuación de la recta tangente a la hipérbola x

2 � y

2 = 16 en el punto (5,3) .

1 3/2

1

3

4–4 5

3

Más corto que despejar la y , y derivar la raíz resultante, derivamosimplícitamente considerando la y como función de x :

2x�2yy

0 = 0 ! y

0(x) = x

y

. Si x = 5, y = 3 es y

0 = 53

! y = 3+ 53 (x�5) , 5x�3y = 16 .

Ej. ¿Para qué puntos de la curva y=x

3 la recta tangente pasa por (1,0) ?

Recta tangente en el punto (a,a3) : y = a

3+3a

2(x�a) = 3a

2x�2a

3 .

Pasa por (1,0) si 3a

2�2a

3=0 ! a=0 , 32 ! puntos (0,0) y

� 32 ,

278�

.⇥Rectas tangentes respectivas: y = 0 e y = 27

4 (x�1)⇤.

Ritmos de cambio.

Ej. Un cilindro se comprime lateralmente y se estira, de modo que el radio de la base decrece a unritmo de 3 cm/s y la altura crece a 8 cm/s. Hallar el ritmo al que está cambiando el volumencuando el radio es 5 cm y la altura 7 cm .

El volumen del cilindro es V =pr

2h ! dV

dt

=p⇥r

2 dh

dt

+2rh

dr

dt

⇤= 2pr[4r�3h]

Cuando r=5 y h=7 , V

0=�10p cm3/s (el volumen decrece en ese instante).

Ej. Una escalera de 5 m de largo permanece apoyada sobre una pared vertical y su extremo inferiorse está alejando del pie de la pared a una velocidad constante de 2 m/s . Hallar la velocidad a laque desciende la parte superior cuando el extremo inferior está a 4 m de la pared.

y

x

5

Sea y la distancia al suelo de la parte superior y x la distancia de laparte inferior a la pared. Por pitágoras es: y =

p25� x

2 . Entoncesdy

dt

= dy

dx

dx

dt

= �2xp25�x

2. Cuando x=4 es dy

dt

=� 83 .

Por tanto el extremo de la escalera cae en ese instante a 83 m/s .

⇥Curiosidad, si x ! 5 la velocidad de caída ! • (!?)

⇤.

Ej. La luz de un faro situado a 1/2 km de una costa recta gira con un periodo de 12 segundos.Hallar la velocidad a la que la luz avanza por la costa: i) en el punto P más cercano al faro,ii) en un punto situado a 2 km de P , iii) un segundo después de pasar la luz por P .

x

1/2

!

Sean q el ángulo y x la distancia descritos en el dibujo. Se tieneque x = 1

2 tanq . La velocidad de crecimiento de q es dqdt

= p6

radianes por segundo. La velocidad de la luz sobre la costa esdx

dt

= 12 (1+ tan2 q) dq

dt

= p12 (1+4x

2)

i) en P , q = 0 , x = 0 ! x

0 = p12 km/seg ⇡ 942 km/h;

ii) x = 2 ! x

0 = 17p12 km/seg ⇡ 16022 km/h;

iii) q = p6 ! x

0 = p12 (1+

13 ) =

p9 km/seg ⇡ 1257 km/h.

54

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Máximos y mínimos.

Ej. Hallar (si existen) dos reales positivos cuyo producto sea 1 y tales que su suma sea i) máxima,ii) mínima.

2

1

x+– 1x

Sean los números x y 1x

. Hay que buscar los extremos de S(x) = x+ 1x

en el intervalo (0,•) [como no es un cerrado podrían no existir].

S

0(x) = 1� 1x

2 = 0 ! x = 1 (�1 no sirve); S

00(x) = 2x

3 ! S

00(1) = 2

hay, pues, un mínimo local en x = 1 . S derivable para todo x de (0,•) ,S(x)! • cuando x ! 0 y cuando x ! • ) no hay máximo. Por tanto,el mínimo (absoluto) se da si x = 1

x

= 1 (la suma es entonces 2 ).

Ej. Un nadador se halla en el mar a 4 km de una playa recta y a 5 km de una palmera situada en laplaya junto al mar. Si nada a una velocidad de 4 km/h y camina por la playa a 5 km/h , ¿cuál esel tiempo mínimo que debe emplear para llegar hasta la palmera?

54

3–xx

El tiempo empleado en nadar hacia un punto situado a una distanciax de la perpendicular y luego caminar hasta la palmera es

T (x) =p

16+x

2

4 + 3�x

5 , con x2 [0,3][si x0 tarda más seguro y si x�3 no vale la expresión de T (x) ].

T

0(x) = x

4p

16+x

2� 1

5 = 0 ) 2516 x

2 = 16+ x

2 , x = 163 ,� 16

3

Pero 163 >3 y � 16

3 no cumple T

0=0 , así que el mínimo se tomaen un extremo: T (3) = 5

4 < T (0) = 85⇥

T ( 163 ) = 6

5 es mentira⇤.

Por tanto, debe nadar hacia la palmera (si ésta estuviese lejos, sí convendría atajar).

Ej. Con un alambre de longitud 1 m se forman un cuadrado y una circunferencia. ¿Cuánto alambredebe emplearse en cada figura para que la suma de sus áreas sea i) máxima, ii) mínima?

L

1–x=4Lx=2! r

r

1

x 1–x

Área total = L

2+pr

2 = [1�x]2

16 + px

2

4p2 = [4+p]x2�2px+p16p = A(x)

con x2 [0,1] . Los máximos y mínimos (que existen, por serA continua en [0,1] ) se alcanzarán ( A derivable en (0,1) )o bien en los extremos del intervalo o bien cuando A

0(x)=0 :

A

0(x) = [4+p]x�p8p = 0 ! x

⇤ = p4+p ⇡ 0.44 m

Como A

0<0 si x<x

⇤ , A

0>0 si x>x

⇤ , el mínimo se da en x

⇤, y como A(0)= 116 < A(1)= 1

4p ,el máximo en 1

�empleando todo el alambre para el círculo [A ⇡ 0.08 m2 ]; para el área mínima

se usa alrededor de 44 cm para el círculo y 56 cm para el cuadrado [ A= 14[4+p] ⇡ 0.035 m2 ]

�.

Ej. Hallar el punto de la gráfica de f (x) =p

2cosx

2 más cercano al origen.Hallamos su dominio y dibujamos su gráfica: cosx

2 � 0 , x

2 2 [0, p2 ][ [ 3p

2 , 5p2 ][ [ 7p

2 , 9p2 ][ · · ·

) dom f = · · ·[h�q

5p2 ,�

q3p2

i[⇥�pp

2 ,pp

2⇤[hq

3p2 ,

q5p2

i[ · · ·

1.25 2.17 3.82.80 3.3

! 2–

Mejor que minimizar distancias, minimizamos su cuadrado (es lo mismo y evita derivar raíces):d(x)=d[(0,0),(x, f (x))]2=x

2+2cosx

2; d

0(x)=4x( 12�senx

2)= 0 ! x=0 ó x

2= p6 ,

5p6 , 13p

6 · · ·El valor mínimo claramente se da en

⇥�pp

2 ,pp

2⇤

. Candidatos son además estos extremos:

d(0)=2 , d

�±q

p6

�= p

6+p

3⇡ 2.26 , d

�±q

p2

�= p

6 ⇡ 1.57 ! puntos más cercanos�±q

p2 ,0

�.

55

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3.6. Aproximación numérica de ceros

Muchas veces es necesario hallar los ceros de una función f , es decir, los x

⇤ tales que f (x⇤) = 0 .Pero, como vimos, ni siquiera si f es un polinomio se tienen siempre fórmulas para calcular sus raíces.Mucho menos si f es una función trascendente como f (x) = ex+x

3 o f (x) = 3arctanx�logx . Setratará entonces de hallar los ceros de forma aproximada. El teorema de Bolzano puede ser un caminopara aproximar x

⇤ : encontrando un intervalo [a,b] de pequeña longitud tal que f (a) f (b)<0 estamosseguros de que al menos hay un x

⇤ 2 (a,b) con f (x⇤)=0 (que será el único si f

0 es > ó < que 0 enese intervalillo). Pero mucho más rápidos serán, normalmente, otros caminos como el

0x

1x

2x

x*

Método de Newton. La idea de este método es simple. Supongamosque para una f como la de la figura sabemos que el cero x

⇤ separece más o menos a x0 . Aproximando la gráfica con la tangenteen (x0, f (x0)) obtenemos un x1 (punto en que la recta corta el eje),probablemente más cercano a x

⇤ que el x0 inicial. Repitiendo elproceso con x1 obtenemos un x2 , luego un x3 , ... siendo esperableque la sucesión {x

n

} converja rápidamente hacia x

⇤ .

Hallemos una fórmula que exprese cada término de esta sucesión en función del anterior. Como la tan-gente en (x

n

, f (xn

)) es y� f (xn

) = f

0(xn

)(x�x

n

) el corte de esta recta con y=0 nos da la siguienteaproximación. Por tanto:

x

n+1 = x

n

� f (xn

)f

0(xn

)

[Se ve que las cosas irán mal si f/ f

0 es grande cerca de x

⇤ ; se puede demostrar que��� f (x) f

00(x)[ f 0(x)]2

���< 1en un entorno de x

⇤ es una condición suficiente para que converja el método].

Ej. Aproximemos las raíces reales de P(x) = x

4 �2x

2 +4x�2 (exactamente no sabemos).

La ley de Descartes nos asegura que hay ó 3 ó 1 positivas (+�+�) y exactamente 1 negativa(+���). Vamos a hacernos una idea de su gráfica para determinar cuántas raíces positivas tieney localizar intervalos en los que buscarlas. Para ello empezamos estudiando sus derivadas:

P

0(x) = 4[x3�x+1] (sin raíces enteras; 2 ó 0 positivas (no lo sabemos, por ahora) y 1 negativa)P

00(x) = 4[3x

2�1] = 0 ! x=±1/p

3 (puntos de inflexión de P y máximos o mínimos de P

0 )

P

0(�p

33 ) = 4[1+ 2

p3

9 ]⇡ 5.5 ; P

0(p

33 ) = 4[1� 2

p3

9 ]⇡ 2.5 .P

0(�3)=�92, P

0(�2)=�20, P

0(�1)=P

0(0)=P

0(1)=4 .1

–2

4

P'

–20

P

1–3

–2

1

–7

Con esto ya podemos dibujar la gráfica de P

0 . Vemos que:P

0 tiene un único cero en (�2,�1) [ P

00>0 en (�2,�1) ]y no tiene más. Por tanto, P tiene un único mínimo entre�2 y �1 . A partir de él P crece ) sólo hay 1 raíz positi-va de P . Para localizar un poco mejor las dos raíces de P :

P(�3)=49, P(�2)=P(0)=�2, P(�1)=�7, P(1)=1) Existe un cero de P en [�3,�2] y otro en [0,1] .

Aplicamos ahora el método de Newton para aproximar las raíces.

Primero la de P

0 : x

n+1= x

n

� x

3n

�x

n

+13x

2n

�1 . Elegimos x0 = 1 y obtenemos:

x1=�1.5 ; x2⇡�1.34782609 ; x3⇡�1.32520040 ; x4⇡�1.32471817 ; x5⇡�1.32471796 ;y los posteriores x

n

tienen esos mismos 8 decimales [es curioso ver que ocurre eligiendo x0=0 ].

Los ceros de P los sacamos de x

n+1= x

n

� x

4n

�2x

2n

+4x

n

�24[x3

n

�x

n

+1] , obteniendo con los x0 indicados:

x0=0, x1=0.5, x2=0.675, x3⇡0.676444897, x4⇡0.676444288; x5,x6, ... iguales decimales.x0=�2, x1=�2.1, x2⇡�2.09074420, x3⇡�2.09065786, x4⇡�2.09065785=x5=x6= · · ·

56

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En la sección 3.2 comprobamos que la siguiente función tenía un único cero. Vamos a calcularlo.

Ej. l(x) = 3arctanx� logx . Primero observemos que el cero c buscado va ser un número gordo,pues si x grande, debe ser logx ⇡ 3p

2 ⇡4,7 , x⇡ e4,7⇡110 .Usando Bolzano (y una calculadora científica normal) y tanteando un poco hallamos un intervalode longitud 1 en el que está c buscado:

l(108)⇡ 0.0025 , l(109)⇡�0.0065 ) c2(108,109) .Pero con Bolzano nos costaría mucho ir encontrando decimales. Es mucho más rápido Newton.

Que adopta en este caso la forma: x

n+1 = x

n

+x

n

(1+x

2n

)(3arctanx

n

�logx

n

)x

2n

�3x

n

+1 .

Empezando, por ejemplo, con x0=100 vamos obteniendo:

x1⇡ 107.960779 , x2⇡ 108.275473 , x3⇡ 108.275919 [y mismos decimales para x4,x5, . . . ].

[El dibujo hecho en 3.2 era cualitativo y el corte allí dibujado, como vemos, no tiene nada que ver con el real].

Dibujemos una gráfica. Como nos pasaba en la sección anterior aparecerán dificultades de cálculo deceros, pero ahora los vamos a aproximar utilizando el método de Newton:

Ej. f (x)=x

3+6log(2�x) . dom f = (�•,2) . f �!x!2�

�• .

1

–1–2

2

6

–1 2

2 P

4/3

f (x)=x

3⇥1+6 log(2�x)x

3

⇤�!

x!�•“�• · [1+0] =�•”

⇥pues L’Hôpital implica: lım

x!�•log(2�x)

x

3 = lımx!�•

1/(x�2)3x

2 = 0⇤.

f

0(x)=3 x

3�2x

2+2x�2 = 0 , P(x)⌘ x

3 �2x

2 +2 = 0??Siempre, antes de usar el ordenador, vemos qué queremos calcular:

P

0(x)=3x

2�4x , P( 43 )=

2227 >0 , P(0)=P(2)=2 , P(±1)=±1

) raíz de P [máximo de f ] en c2(�1,0) . f no tiene mínimos.

Newton para P : x

n+1=2 x

3n

�x

2n

�13x

2n

�4x

n

, x0=�1 , x1=�0.86 , x2=�0.84 ,x3 ya igual, c⇡�0.84 . Valor máximo aproximado: f (c)⇡ 5.67 .

La raíz de P la podríamos haber calculado también con las fórmulas de 3.3:

p=1 , q=�2 , R=4 , S=38 , D=�44 , x

r

= 13⇥2�

�19�3

p33

�1/3��19+3

p33

�1/3⇤⇡ 0.84 .

Es calculable la concavidad (casualidad, o el inventor del problema tanteó para que lo fuese):

f

00(x) = 6 x

3�4x

2+4x�1[x�2]2 = 6 [x�1][x2�3x+1]

[x�2]2 = 0 si x=1 ó 3�p

52 ⇡ 0.4

⇥ 3+p

52 /2dom f

⇤.

) f es [ entre los puntos de inflexión y \ en el resto.

Dar valores sueltos sí es posible con una calculadora:f (1) = 1, l(0) = 6log2 ⇡ 4.1 , f (�1) = 6log3�1 ⇡ 5.6, f (�2) = 12log2�8 ⇡ 0.3 .

Pero para hallar los cortes con el eje x necesitamos Newton (o método similar) una vez más:

x

n+1 = x

n

� (xn

�2)(x3n

�log[2�x

n

])3(x3

n

�2x

2n

+2)% x0=�2 , x1⇡�2,03⇡ x2⇡ x3&

x0=1 , x1⇡1,33 , x2⇡1,31⇡ x3⇡ x4

Veamos que deducimos del método de Newton para el cálculo de raíces m-simas de reales positivos:

Ej. Buscando los ceros de x

m �a obtenemos una sucesión {x

m

} que tienden hacia m

pa .

Tenemos que: x

n+1 = x

n

� x

m

n

�a

mx

m�1n

= 1m

h(m�1)x

n

+ a

x

m�1n

i (algoritmo de Herónpara calcular raíces).

Para hallar 3p12345 , y partiendo de algún número que no esté muy lejos, por ejemplo x0=20 :

x1=23.62083333 , x2=23.12251744 , x3=23.11162389 , x4=23.11161875 = x5 = x6 = · · ·

57

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Veamos ahora otro método de aproximación de ceros de un tipo de funciones particulares que, aunquesea más lento que el de Newton, tiene el interés de que es aplicable en matemáticas más avanzadas aproblemas mucho más generales.

f : [a,b]! [a,b] es contractiva si | f (x)� f (y)| c|x�y| , con c < 1 , 8x,y2 [a,b]

Una f contractiva es continua en [a,b] : | f (x)� f (y)|< e si |x�y|< d = ec

.

f

a b

a

b

x*

Probemos que entonces existe un único x

⇤ 2 [a,b] tal que x

⇤= f (x⇤)

(A un x

⇤ con esa propiedad se le llama punto fijo de f ).

Aplicando Bolzano a g(x)=x� f (x) , como g(a)<0<g(b) ) existe el x

⇤.Si hubiera otro y

⇤= f (y⇤) sería | f (x⇤)� f (y⇤)|= |x⇤�y

⇤| c|x⇤�y

⇤| ) x

⇤=y

⇤.

Además existe una forma muy fácil de aproximar el x

⇤ pues:

Para cualquier x02 [a,b] , la sucesión x0 , f (x0) , f ( f (x0)) , f ( f ( f (x0))) , . . .! x

⇤ .

En efecto, llamemos x

n

al resultado de aplicar n veces f a x0 .Vamos a ver que x

n

es de Cauchy. Se tiene que|x

n

�x

n+1|= | f (xn�1)� f (x

n

)| c|xn�1�x

n

| · · · c

n|x0�x1| ; por tanto, si mn ,|x

m

�x

n

| |xm+1�x

m

|+ · · ·+ |xn

�x

n�1| [cm + · · ·+ c

n�1]|x1�x0|= c

m�c

n

1�c

|x1�x0| ,que se puede hacer tan pequeño como queremos con m y n suficientemente grandes (cm,cn ! 0).Como x

n

es de Cauchy tiene límite x

⇤ y se cumple f (x⇤)= f (lımx

n

)= lım f (xn

)= lımx

n+1= x

⇤ .

La forma más fácil de ver que una f : [a,b]! [a,b] es contractiva es ver que el máximo M de| f 0(x)| en [a,b] es menor que 1 , pues, por el teorema del valor medio,

| f (x)� f (y)|= | f 0(c)||x� y| M|x� y| con M<1 .

cos x

1

π/21

Ej. Calculemos el único x2 [0,1] tal que cosx = x . cosx es contractiva:su imagen está contenida en [0,1] y |� senx| sen1 < 1 .

Así pues, podemos hallar el x

⇤ sin más que apretar la tecla del coseno deuna calculadora a partir de cualquier x02 [0,1] .Por ejemplo, si x0=1 vamos obteniendo:

0.54030231, 0.85755322, 0.65428979, 0.79348036, 0.70136877, 0.76395968, 0.72210242...

Después de apretar 20 veces obtenemos 0.73918440 ; tras apretar 40 veces, 0.73908517 ...

El método de Newton nos da el cero buscado mucho más rápidamente.

Haciendo x

n+1 = x

n

� x

n

�cosx

n

1+senx

n

con x0 = 1 , se tiene en pocos pasos:

x1 =0.7503638678 , x2 =0.7391128909 , x3 =0.7390851334 , x4 =0.7390851332 = x5 = · · ·

58

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4. Series, Taylor y límites indeterminados

4.1 Series de números reales

Queremos hacer ‘sumas de infinitos números reales’, llamadas series:

a1 +a2 +a3 + · · ·=•Ân=1

a

n

.

Por ejemplo, ‘sumemos’ 1/5+1/52+1/53+1/54+1/55+ · · · . Sumar un número finito detérminos siempre se puede: la suma de los 2 primeros es 0.24 , la de los 5 primeros es 0.24992 ,la de los 10 es 0.2499999744 , ... Pero carece de sentido ‘sumar infinitas veces’. La palabra‘infinito’ en matemáticas siempre está unida al concepto de límite. Dada una serie, siemprepodemos hallar la ‘k-ésima suma parcial’ S

k

= a1 + · · ·+ a

k

. Parece natural decir que la sumaS de los infinitos a

n

será el límite de la sucesión {S

k

} . En la serie anterior parece que estelímite existe y que es S = 0.25 , pero este límite pudiera no existir para otras. Así, para la serie1�1+1�1+1� · · · las sumas parciales van siendo S1=1, S2=0, S3=1, S4=0, ... , sucesióndivergente (y, por tanto, no se le puede asignar ningún valor a la suma de los infinitos términos).Lo primero que miraremos cuando aparezca una serie es si la ‘suma infinita’ tiene sentido:

Def.La serie

Ân=1

a

n

es convergente si lo es la sucesión {S

k

} con S

k

=k

Ân=1

a

n

. La suma de

la serie es entonces el lımk!•

S

k

. Se llama término general de la serie al a

n

y sucesiónde sus sumas parciales a {S

k

} . Si una serie no converge, se dice divergente.

[La serie converge si lo hace su sucesión de sumas parciales; otra cosa distinta es que converjasu término general. Para •

n=1 1=1+1+1+ · · · es {S

k

}= {k} , que claramente diverge a • ,y sin embargo converge la sucesión constante {a

n

} = {1} ; pronto veremos que para que laserie converja será necesario (pero no suficiente) que {a

n

} tienda hacia cero (para que puedaser finita la suma de infinitos números es necesario que sean muy pequeños)].

De la definición y las conocidas propiedades de los límites de sucesiones se deduce inmediata-mente que si suprimimos, cambiamos o añadimos un número finito de términos al principiode una serie, no se altera su carácter de convergencia o divergencia (aunque sí el valor de susuma, si converge), porque las nuevas sumas parciales diferirán de la inicial sólo en un constan-te. Por eso, cuando hablemos simplemente de convergencia podremos no escribir el n en queempezamos a sumar; incluso escribiremos sólo  (no olvidando que son infinitos términos).También está claro (por las propiedades de sumas y productos de sucesiones) que si Âa

n

y Âb

n

convergen y si c2R , también convergerán las series Â[an

+b

n

] y Âca

n

y que:•Ân=1

[an

+b

n

] =•Ân=1

a

n

+•Ân=1

b

n

;•Ân=1

ca

n

= c

•Ân=1

a

n

¿Cómo saber si una serie converge o no? ¿Cuánto vale su suma si es convergente? Vere-mos una serie de criterios que nos permitirán responder en la práctica a la primera preguntapara muchas series (desde luego la definición e�N del límite de sucesiones no es adecuada,ni vimos en 2.2 teoremas para trabajar con sucesiones en las que el número de sumandos vacreciendo). Respecto de la segunda, casi siempre necesitaremos calculadora u ordenador paradar simplemente un valor aproximado de la suma de la serie.

59

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Dos casos en que se puede sumar la serie (excepcionales, porque podemos encontrar unaexpresión manejable de la sumas parciales; cuando veamos series de Taylor en 4.4 conoceremosla suma de alguna otra serie) son los siguientes:

Series geométricas (progresiones geométricas de infinitos términos):•Ân=0

r

n = 1+ r+ r

2 + · · · . Si r 6=1 es S

k

= 1�r

k+1

1�r

) Si |r|<1 ,•Ân=0

r

n = 11�r

Y si |r|�1 diverge, al hacerlo S

k

⇣también si r=±1 : 1+1+ · · ·! •

1�1+1�1+ · · · divergen⌘

.

Ej. Con esto vemos que 15 +

152 +

153 + ...= 1

5

Ân=0

( 15 )

n

= 15

11�1/5 = 1

4 = 0.25 como sospechábamos.

⇥De la misma forma que en este ejemplo, es fácil ver que, en general,

•Ân=k

r

n = r

k

1�r

, si |r|<1⇤.

Seriestelescópicas:

•Ân=1

[bn

�b

n+1] ) S

k

= [b1�b2]+ [b2�b3]+ · · ·+[bk

�b

k+1] = b1 �b

k+1 .

Por tanto, esta serie converge si y solo si {b

n

} converge y entonces su suma es: b1� lımn!•

b

n

.

Ej.•

Ân=1

1n

2+n

=•

Ân=1

⇥1n

� 1n+1

⇤= 1� lım

n!•1n

= 1 . converge y ese es su valor.

Ej.•

Ân=1

log n

n+1 =•

Ân=1

[logn� log(n+1)] es divergente, porque logn diverge hacia +• .

Salvo en estos dos casos nos conformaremos con saber si la serie que tratamos converge o no ycon la calculadora para aproximar su suma (a ser posible, dando una cota del error cometido).Lo que sigue son los criterios más importantes para distinguir las series convergentes de lasdivergentes (hay más, pero aplicables en muy pocos casos prácticos). El primer criterio permiteidentificar un montón de series divergentes (muchas veces a simple vista):

Teorema: Si Âa

n

es convergente ) a

n

! 0 . [La implicación opuesta (() es falsa].

Es a

n

=S

n

�S

n�1 . Entonces a

n

!0 , pues S

n

y S

n�1 tienen, desde luego, el mismo límite.

Ej. Â n+120000n

es divergente, porque el término general a

n

no tiende a 0�tiende a 1

20000�.

Ej. Â(�1)ne1/n diverge, porque a

n

tampoco tiende a 0 (ni a nada; pares ! 1, impares !�1).

Veamos que ( es falso, o sea, que no basta que los números que sumemos tiendan a 0 paraque la serie converja. Para ello basta un contraejemplo:

La ‘serie armónica’•

Ân=1

1n

diverge. ( a

n

! 0 , pero lasuma es ‘infinito’).

[No se ve con una calculadora: S1=1 , S2=1.5 ,..., S10 ⇡ 2.929 ,..., S100 ⇡ 5.187 ,..., S1000 ⇡ 7.485 ,...no parece estabilizarse, pero sumandos muy altos acabarían por no afectar al número de la pantalla].

Para probarlo consideramos la serie 1+ 12 +

14 +

14 +

18 +

18 +

18 +

18 + · · · ,

de términos menores que los de la armónica. Tenemos entonces que:S2 = 1+ 1

2 , S4 > 1+ 12 +

12 , S8 > 1+ 1

2 +12 +

12 , . . . , S2n > 1+ n

2 .

Por tanto la sucesión de sumas parciales de  1n

diverge (ni siquiera está acotada).

60

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Series de términos positivos a

n

�0⇥o de términos negativos, pues Âa

n

=�Â(�a

n

)⇤.

Observemos que entonces las sumas parciales forman una sucesión creciente.Veamos varios criterios de convergencia. El primero exige saber algo de integrales y límites defunciones, pero lo necesitamos para tratar las importantes series  1

n

s

.

Se define:R •

a

f (x)dx = lımb!•

Rb

a

f (x)dx (si el límite existe; la integral se dice convergente).

Criterio integral:

Sea f (x) función positiva y decreciente para x�1 . Entonces la serie•

Ân=1

f (n) converge

,R •

1 f (x)dx converge. El error está acotado porR •

k+1 f (x)dx S�S

k

R •

k

f (x)dx .

1 2 3 4 k k+1 x

f(x)

Este criterio, es de los pocos que dan cota del errorcometido al sustituir la suma S de la serie convergen-te por la k-ésima suma parcial. No lo demostramos.Recordando el significado geométrico de la integral,es intuitivamente claro a partir del dibujo.

•Ân=1

1n

s

converge si s>1 y diverge si s1

Si s0 , el término general no tiende a 0 y la serie diverge.

Si s>0 , la función f (x) = x

�s es positiva y decreciente y aplicamos el criterio anterior:

si s 6=1 ,R

b

1 x

�s

dx = 1�b

1�s

1�s

; si s=1 ,R

b

1 x

�1dx = logb ;

si b ! • , la primera integral converge para s>1 y ! • si 0<s<1 . La segunda ! • .

Ej. Para aproximar la suma S de la serie convergente•

Ân=1

1n

3 =1+ 18+

127+· · · sumamos 50 términos

y obtenemos S50 = 1.201860... Estimemos el error cometido E , utilizando el criterio integral:R •

51dx

x

3 =⇥� x

�2

2⇤•

51 =1

2·512 = 0.000192... E = S�S50 R •

50dx

x

3 =⇥� x

�2

2⇤•

50 =1

2·502 = 0.0002

El valor de S (no calculable exactamente) está comprendido entre 1.202052... y 1.202060...

En los dos siguientes criterios compararemos nuestra serie con otra de convergencia conocida(normalmente con las  1

n

s

; por eso serán adecuados cuando hay como mucho potencias de n ;si aparecen términos mayores, como 3n o n! , será mejor usar el cociente o la raíz que veremos).

Criterio de comparación por desigualdades:

Si 0 a

n

b

n

, entonces Âb

n

converge ) Âa

n

converge y•

Ân=1

a

n

Ân=1

b

n

.

[Y por tanto Âa

n

diverge ) Âb

n

diverge. Pero no se obtiene ningunaconclusión de que la mayor diverja o de que la menor converja].

Sean S

k

= a1 + · · ·+a

k

, T

k

= b1 + · · ·+b

k

. Son sucesiones crecientes con 0 S

k

T

k

.Entonces: T

k

convergente ) T

k

acotada ) S

k

acotada ) S

k

convergente y lím S

k

lím T

k

.

Ej. Â senn+1n

3 +n

converge, ya que 0 senn+1n

3 +n

2n

3 y sabemos que  2n

3 = 2 Â 1n

3 converge.

Ej. Â n+1n

2 diverge, pues n+1n

2 � 1n

y la armónica diverge�

de n+1n

2 1n

2 no sacaríamos nada�

.

Lo podemos afirmar sin el criterio: la suma de una Âa

n

convergente y otra Âb

n

divergente esdivergente (si convergiese, Â[a

n

+b

n

]�Âa

n

= Âb

n

convergería) y esto le pasa a nuestra serieÂ[ 1

n

+ 1n

2 ] . [Que conste que la suma o diferencia de dos divergentes sí puede ser convergente].

61

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Trabajar con desigualdades puede ser complicado, por eso suele ser bastante más útil:Criterio de comparación por paso al límite:

Sean a

n

, b

n

� 0 y lımn!•

a

n

b

n

= c (finito). Entonces:Si c>0 , Âa

n

converge , Âb

n

converge. Si c=0 , Âb

n

converge ) Âa

n

converge.

Si c>0 , para n�N, c

2 a

n

b

n

3c

2 ) 0 c

2 b

n

a

n

3c

2 b

n

y aplicamos el criterio anterior.Si c=0 , para n�N, 0 a

n

b

n

1 ) 0 a

n

b

n

y otra vez el criterio.

A partir de ahora, para abreviar, representaremos con el símbolo ‘⇠’ el hecho de que a dos seriesles podemos aplicar la primera parte de este criterio, es decir:

a

n

⇠ b

n

si a

n

b

n

! c>0⇥A pesar del símbolo elegido, no quiere decir esto que, aunque las dos series converjana la vez, la suma de una se parezca a la de la otra (intentemos no escribir Âa

n

⇠Âb

n

)⇤.

Esta parte del criterio con c>0 permite determinar la convergencia de muchas series a simplevista, mirando sólo en los términos n

s que ‘mandan’ en numerador y denominador:

Ej. Â n�1n

2 diverge, porque a

n

⇠ n

n

2 =1n

�es decir, a

n

1/n

= n

n�1 ! 1 > 0�

y  1n

diverge.

[La comparación por no es adecuada aquí (de la acotación sencilla a

n

1n

no sale nada,pues aunque la gorda diverja la menor podría converger); en cambio, para el primer ejemplodel criterio anterior, como senn+1

n

3+n

no se parece a 1n

3 ( a

n

1/n

3 no tiene límite), el paso al límiteno parece adecuado (se puede usar la parte con c = 0 , pero es más fácil usar desigualdades)].

Ej. Â 5p

n�173n

2+cosn

converge, pues a

n

⇠ 1n

3/2

�a

n

1/n

3/2 ! 5 > 0�

y  1n

3/2 es convergente.

[Aunque sean unos cuantos a

n

<0 , esto no impide aplicar criterios para series de términospositivos, pues la convergencia se mantiene si los quitamos].

Ej. Â arctann

4n

2+3 converge, ya que a

n

⇠ 1n

2

�a

n

1/n

2 ! p8 , pues arctann ! p

2�

y  1n

2 converge.

Ej. Â 17n+(�1)n

converge: a

n

⇠ 17n

�a

n

1/7n

! 1 > 0�

y Â( 17)

n

es geométrica convergente.

[Alguna vez compararemos con otras series conocidas y no sólo con las  1n

s

].

Ej. Â sen 1n

3 . La sucesión 1n

3 ! 0 y sabemos ya que senx

x

x!0! 1 . Por los teoremas que relacionan

límites de sucesiones y funciones se tiene: a

n

1/n

3 ! 1 . Â 1n

3 converge ) la dada converge.

Cuando los términos que dominen contengan logaritmos habrá que aplicar la segunda parte (lade c = 0 ) de este criterio (porque logn no se parece a ninguna potencia de n ):

Ej. Â logn

n

4 converge, pues logn/n

4

1/n

3 = logn

n

! 0 (límite admitido) y  1n

3 (más gorda) converge.

 logn

n

diverge, pues 1/n

logn/n

! 0 y  1n

(más pequeña) diverge.ho por desigualdades logn

n

> 1n

si n� 3i h

o por el integralR •

1logx

x

dx=⇥ 1

2 (logx)2⇤•1 !•

i.

 logn

n

2 converge, pues logn/n

2

1/n

3/2 = logn

n

1/2 ! 0 y  1n

3/2 converge.⇥hemos debido afinar pues  1

n

2 es convergente pero menor y  1n

es mayor pero diverge⇤.

62

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Series de términos cualesquiera.

Consideremos primero la serie, de términos positivos, de los valores absolutos  |an

| .

Teorema: Â |an

| es convergente ) Âa

n

es convergente. [La implicación ( es falsa].

0 a

n

+|an

| 2|an

| , Â |an

| converge ) Â[an

+|an

|] converge (criterio decomparación por desigualdades) ) Â[a

n

+|an

|]� |an

|= Âa

n

converge.

( es falsa: pronto veremos series Âa

n

convergentes pero tales que  |an

| diverge.Diremos que Âa

n

es absolutamente convergente si  |an

| es convergente (el teo-rema anterior afirma que absolutamente convergente ) convergente). Diremos queÂa

n

es condicionalmente convergente si converge, pero no absolutamente.

Ej. Â (�1)n+1

n

2 +1converge absolutamente (y por tanto converge) pues  1

n

2+1 converge�⇠ 1

n

2

�.

Ej. Â cosn

3n

. Â |cosn|3n

� 1

3�

n geométrica convergente ) Â |an

| converge ) Âa

n

converge.

Ej. Â cosn

n

. De  |cosn|n

no sacamos nada� Â 1

n

divergente�. No sabremos decir si converge.

[De hecho, aunque es largo de probar y se utilizan criterios que nostros no estudiamos, es convergente.Aunque eso no sea ninguna prueba, se puede ir al ordenador y sumar, por ejemplo, 1.000, 10.000 y100.000 términos. Se obtiene: S1000⇡ 0.0431, S10000⇡ 0.0419, S100000⇡ 0.0420 . Parece converger].

Ej.•

Ân=1

(�1)n+1

n

=1�12+

13�· · ·

no converge absolutamente�

pues  1n

diverge�, pero sí converge

condicionalmente (hacia log2 como se verá en 4.4) gracias a estecriterio para series alternadas (+�+�+� · · · ):

Criterio de Leibniz:

Si a

n

� 0 es decreciente y a

n

!n!•

0 entonces•

Ân=1

(�1)n+1a

n

= a1 � a2 + a3 � · · ·converge. Además, el error absoluto |S�S

N

| a

N+1 (primer término que se omite).

S2S 1S4S 3S

Es fácil ver que por ser {a

n

} decreciente:S2 S4 · · · S2n

· · · S2n+1 · · · S3 S1

Como S2n

y S2n+1 son monótonas y acotadas convergen(al mismo límite, pues S2n+1 �S2n

= a2n+1 ! 0 ), con lo que la serie converge.

Sea S su suma. Se ve que para todo n es S2n

S S2n+1 . Además:

0 S�S2n

S2n+1 �S2n

= a2n+1; |S�S2n

|a2n+10 S2n�1�SS2n�1�S2n

= a2n

; |S�S2n�1|a2n

) 8N, par o impar, |S�S

N

|a

N+1.

[Si la serie fuese Â(�1)n

a

n

=�a1+a2� · · · , el criterio y la cota del error absoluto serían iguales yuna suma parcial está a la derecha (izquierda) de S si lo último que hemos hecho es sumar (restar)].

S2S1 SnS 3S... ...

No olvidemos que esta cota tan sencilla del error sólo se tiene paraestas series de Leibniz. Para las de términos positivos convergenteslas sumas parciales S

n

se van acercando a la suma S formando unasucesión creciente y el error S�S

N

es, por tanto, mayor que el siguiente término a

N+1 ; el únicocriterio que nos ha dado cota del error es el integral (pero es aplicable a muy pocas series)].

63

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Ej.•

Ân=1

(�1)n+1

n

2+1 convergía absolutamente. También podemos ver que converge usando Leibniz:

Es alternada, 1n

2+1 ! 0 y 8n es 1n

2+1 > 1(n+1)2+1 . Estimemos el valor de su suma S .

Por ejemplo, es: 12�

15+

110�

117 = 0.341... < S < 1

2�15+

110 = 0.4 , acotación nada precisa.

Si queremos el valor con |error|<10�3 debe ser a

N+1=1

(N+1)2+1 <1

1000 , (N+1)2>999 .

Esto sucede si N � 31 (pues 312 = 961 , 322 = 1024 ). Hay que sumar 31 términos.⇥Con ordenador (o mucha paciencia), S ⇡ S31 =

12 �

15 + · · ·+ 1

962 ⇡ 0.364⇤.

Ej. 21 �

11 +

22 �

12 +

23 �

13 + · · · es alternada y a

n

! 0, pero no decrece (y Leibniz no es aplicable).

De hecho diverge: S2 = 1 , S4 = 1+ 12 , . . . , S2n

= 1+ · · ·+ 1n

! • , cuando n ! • .

Ej. Veamos para qué valores de a converge Â(�1)n sen 1n

a

y para cuáles lo hace absolutamente.

Si a 0 , el término general no tiende a 0 (difícil probarlo con rigor) y, por tanto, diverge.

Si a>0 , es convergente por Leibniz, pues a

n

= sen 1n

a

> 0 (es alternada), a

n

! 0 claramente�senx continua en x=0 , 1

n

a

! 0 y sen0=0�

y a

n

es decreciente (por crecer senx en [0,1] ).

¿Para cuáles de estos valores a>0 converge Âsen 1n

a

? Por tender senx

x

! 1 cuando x ! 0y ser { 1

n

a

} una sucesión que (para a>0 ) tiende a 0 , se tiene que sen 1n

a

⇠ 1n

a

y, por tanto:la serie converge absolutamente si a>1 (lo hace condicionalmente si a2(0,1] ).

Para las series (de términos positivos o signo no definido) con n en exponentes o factorialesson muy útiles los dos siguientes criterios (para las parecidas a  1

n

s

no sirven y en ese caso seutilizan los criterios vistos hasta ahora):

Criterio delcociente: Sea lım

n!•

|an+1||a

n

| = r . Entonces: si r < 1 , Âa

n

converge (absolutamente)si r > 1 (ó r = • ) , Âa

n

diverge

(y si r = 1 , el criterio no decide: la serie puede converger o divergir)

r<1 : sea s con r < s < 1 . 9N tal que si n � N ) |an+1||a

n

| s , es decir, |an+1| s|a

n

| .

Por tanto |an+k

| · · ·s

k|an

| si n�N . Así:•

Ân=N

|an

|= |aN

|+ |aN+1|+ · · · |a

N

|•

Âk=0

s

k,

geométrica convergente )•

Ân=0

|an

| también converge )•

Ân=0

a

n

converge.

r>1 : 9N tal que si n�N es |an+1||a

n

| > 1 , o sea, |an+1|> |a

n

| y 6! 0 el término general.

Cuando se vean muchas potencias n-simas (y no factoriales) en la serie conviene utilizar:

Criterio dela raíz: Sea lım

n!•n

p|a

n

|= r . Entonces: si r < 1 , Âa

n

converge (absolutamente)si r > 1 (ó r = • ) , Âa

n

diverge

(si r=1 , de nuevo no sabemos; casi siempre es r=1 a la vez utilizando cociente y raíz)

r<s<1 : 9N/n�N , n

p|a

n

| s , |an

| s

n )•

Ân=N

|an

| converge )•

Ân=0

a

n

converge.

r>1 : 9N/n�N , n

p|a

n

|>1 , |an

|>1 y no tiende a cero el término general.

Ej. Â 1n

s

. Cociente: |an+1||a

n

| = n

s

(n+1)s

!1 . Raíz: n

p|a

n

|= 1(n1/n)

s

! 1 (pues n

pn ! 1 ).

Como dijimos arriba, estos criterios no son adecuados para estas series.

64

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Ej. Â (�3)n

3+n!. |a

n+1||a

n

| =3n+1

3+(n+1)!3+n!

3n

= 33/n!+1

3/n!+n+1�! 0 . Es convergente (absolutamente).

⇥Por Leibniz es complicado y con la raíz no sabemos pues desconocemos cómo va n

pn!⇤.

Ej. Â 1(logn)n

. Pide a gritos el criterio de la raíz: n

p|a

n

|= 1logn

! 0 < 1 . Converge.

Ej. Â(�1)n2n7�p

n . n

p|a

n

|= |an

|1/n = 2⇥7�

pn

⇤1/n

= 2 ·7�1/p

n ! 2 .

O bien, |an+1||a

n

| = 2 7p

n

7p

n+1 = 2 ·7p

n�p

n+1 ! 2�pues

pn�

pn+1 = �1p

n+p

n+1 ! 0�. Diverge.

Ej. Â⇥

n

n+2⇤

n

2. n

p|a

n

|=⇥1� 2

n+2⇤

n

=⇣[1� 2

n+2 ]�(n+2)/2

⌘�2n/(n+2)�! e�2 < 1 . Converge.

Ej. Â (n+1)n

n

n+1 . n

pa

n

= n+1n

· 1n

1/n

! 1 . La raíz no decide (y parecía ser el criterio adecuado).

Como r = 1 probablemente haya que aplicar desigualdades o paso al límite:

Por : (n+1)n

n

n+1 � n

n

n

n+1 =1n

y  1n

divergente ) la nuestra es divergente.

Por ! : (n+1)n

n

n+1 ⇠ 1n

�pues a

n

1/n

=⇥

n+1n

⇤n! e

�) la nuestra divergente.

Ej. Â 5� cosn

n+3n

. Lo más corto: Â 5�cosn

n+3n

6 Â(13)

n

geométrica convergente ) converge.

Más largo acotando y usando cociente: Â 5�cosn

n+3n

 6n+3n

; n+3n

n+1+3n+1 =n3�n+1

(n+1)3�n+3 ! 13 <1 .

También se podría ver que es menor que la convergente Â(12)

n

: a

n

1/2n

= 5�cosn

n2�n+(3/2)n

! 0⇥

ac

•⇤.

En los dos siguientes discutimos la convergencia según los valores de los a y b que aparecen:

Ej. Â n

a

b

n

, con a>0b 6=0 . |a

n+1||a

n

| =(n+1)a|b|n

n

a|b|n+1 =(1+ 1

n

)a

|b| ! 1|b|

⇣o bien, n

p|a

n

|= (n1/n)a

|b| ! 1|b|

⌘.

Cociente y raíz dicen que converge para |b|>1 (de esto deducimos que n

a/b

n ! 0 si |b|>1 )y que diverge para |b|< 1 . Para b=±1 los criterios no deciden, pero está claro que divergeporque el término general no tiende a 0 (bastaba esto para decir que divergía para |b|1 ).

Ej. Â b

n

n!. |a

n+1||a

n

| =|b|n+1/(n+1)!

|b|n/n!=

|b|n+1

! 0 . Convergente 8b , por gordo que sea.

Por tanto, b

n/n! ! 0 para cualquier b , límite que tampoco es fácil de calcular directamente.

Ej. Â n!n

n

. a

n+1a

n

=(n+1)!

(n+1)n+1n

n

n!=

n

n

(n+1)n

=1

(1+1/n)n

! 1e< 1 . Converge.

[Y de aquí se deduce que n!/n

n ! 0 , otro límite que no era trivial calcular].

Los tres últimos ejemplos (y un límite admitido en sucesiones) nos permiten comparar la rapidezcon que varias sucesiones se van al • . El símbolo “⌧” representará que lo de la izquierdadividido entre lo de la derecha tiende a 0 cuando n tiende a • :

logn ⌧ n

a, a>0 ⌧ b

n, b>1 ⌧ n! ⌧ n

n

Ej. Acabemos con una serie en que los sumandos dependen de x (una ‘serie de funciones’):

 senn

xpn

. Como |an+1||a

n

| =

pn |senx|p

n+1! |senx| , la serie converge si x 6= p

2 +kp .

Para x= p2 +kp el cociente no decide. Si k es par, la serie que resulta  1p

n

es divergente.

Si k es impar, queda  (�1)n

pn

convergente (Leibniz). Así pues, converge si x 6=�p2 +2kp .

65

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4.2. Sucesiones y series de funciones

Consideramos sucesiones cuyos términos son funciones con un dominio común A :{ f

n

(x)}= f1(x), f2(x), ..., f

n

(x), ... para x 2 A

Para cada x fijo de A tenemos una sucesión { f

n

(x)} de números reales y en muchos casossabemos (desde 2.1) calcular su límite (si lo tiene), que, en general, será una función de x .Damos un nombre nuevo a esta vieja convergencia (para cada punto x ) para distinguirla de laque definiremos un poco más adelante:

Def. { f

n

} converge puntualmente hacia f en A si para cada x 2 A es lımn!•

f

n

(x) = f (x) .

Sería bueno que f conservase las propiedades de las f

n

, pero esto, en general, no ocurre:

Ej. f

n

(x) =

⇢x

n , 0 x 11 , 1 x

. Todas las f

n

son continuas en [0,•) .

Para cada x2 [0,•) existe lımn!•

f

n

(x) = f (x) =⇢

0 , 0 x < 11 , 1 x

.

Y, sin embargo, la función límite puntual f (x) es discontinua.

1

1

f

f1

f2

Para que se conserve la continuidad se necesita una definición más fuerte de convergencia:

Def.{ f

n

} converge uniformemente hacia la función f en A si8e > 0 existe algún N tal que 8x2A , si n�N entonces | f (x)� f

n

(x)|< e .⇥El N vale 8x , sólo depende de e ; en cambio, la convergencia puntual significa:8x2A y 8e >0 9N(e,x) tal que si n�N entonces | f (x)� f

n

(x)|< e⇤.

A

!

f2

f1

fGráficamente, que { f

n

}! f uniformemente significa que a partir deun N todas las gráficas de las f

n

quedan totalmente dentro de unabanda de altura 2e alrededor de la de f . Si la convergencia de las f

n

es sólo puntual, para cada x el N será distinto y no se podrá dar unoque sea válido para todos los puntos de A .

Claramente, convergencia uniforme ) convergencia puntual. Pero ( es falsa:

1

1

Esto lo prueba la { f

n

} de arriba: por alto que sea el N siempre hayfunciones de la sucesión que se salen de la banda de radio e . Formali-zando algo más: toda f

n

toma el valor 12 que queda fuera de la banda

si e< 12 . Para cada x existe N tal que si n�N el punto (x, f

n

(x)) estádentro de la banda, pero hace falta elegir N mayores a medida que nosacercamos a 1 . En un intervalo [0,a] , con a< 1 , la convergencia sísería uniforme, pues el N que valiese para x = a claramente valdría también para el resto de los x .

Ej. Estudiemos la convergencia de g

n

(x) = n+x

n+2 en i) A=[�2,2] , ii) A=R

1

2–2

Hay límite puntual en todo R pues g

n

(x) !n!•

1 8x .

Y en [�2,2] es también uniforme:

| n+x

n+2 �1|= |x�2|n+2 |x|+2

n+2 4n+2 4

n

< e si n�N> 4e 8x 2 [�2,2] .

Pero no converge uniformemente en R porque cada g

n

(no acotada) se escapa de la banda.

66

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Para estudiar la convergencia uniforme, como siempre en las definiciones con e , hemos partidode lo que se quería hacer pequeño y avanzado mediante desigualdades hacia una expresión mássencilla. Ha sido esencial hacer desaparecer la x , pues el N buscado debía depender solo de e .Podemos ahorrarnos las últimas cuentas con el sencillo teorema:

Teorema:

Si | fn

(x)� f (x)|<a

n

8x2A y a

n

! 0 entonces f

n

(x)! f (x) uniformemente en A

(pues dado e , el N que asegura a

n

< e nos vale, desde luego, para todos los x 2 A ).

Para encontrar el a

n

en ocasiones bastará hacer acotaciones, como en el ejemplo anterior, perootras veces será más complicado y, como en el siguiente, habrá que utilizar derivadas:

Ej. Estudiemos la convergencia de h

n

(x) = x

1+n

4x

2 .

Está claro que {h

n

} converge puntualmente en todo R : x

1+n

4x

2 !n!•

0 8x .

Si queremos ver la convergencia uniforme en todo R de {h

n

} nos encontramos con problemas:

|hn

(x)�0|= |x|1+n

4x

2 no parece acotable en R (la cota sencilla |x| no lleva a nada).

[a partir de lo anterior sí sería fácil ver que sí hay convergencia uniforme en [1,2], por ejemplo]

Un modo natural de acotar | fn

(x)� f (x)| (sin usar los ) es buscar el máximo de esa diferencia.En nuestro caso, para acotar |h

n

(x)| vamos a hallar los extremos de cada h

n

(x) :

h

0n

(x) = 1�n

4x

2

[1+n

4x

2]2= 0 ) h

n

(x) crece en [� 1n

2 ,1n

2 ] y decrece en el resto de R .

h

n

(± 1n

2 ) =± 12n

2 y además h

n

(x) ! 0x!±•

. Así que |hn

(x)| 12n

2 = a

n

8x2R .

Como a

n

! 0 , {h

n

}! 0 uniformemente en R (en contra de lo que se podía pensar en principio).

Probemos que la convergencia uniforme tiene la buena propiedad que la puntual no tenía:Teorema:

f

n

continuas en un intervalo I y { f

n

}! f uniformemente en I ) f continua en I.

Veamos que f es continua en un x 2 I cualquiera.Sea e > 0 . Por la convergencia uniforme, existe algún n tal que | f (y)� f

n

(y)|< e3 8y 2 I .

En particular, para todo h tal que x+h 2 I , | f (x)� f

n

(x)|< e3 y | f (x+h)� f

n

(x+h)|< e3 .

Como f

n

es continua en x existe d > 0 tal que si |h|< d entonces | fn

(x+h)� f

n

(x)|< e3 .

Por tanto, si |h|< d entonces| f (x+h)� f (x)| | f (x+h)� f

n

(x+h)|+ | fn

(x+h)� f

n

(x)|+ | fn

(x)� f (x)|< e .

[Este teorema basta para probar que las f

n

del primer ejemplo no convergen uniformemente en[0,•) , pues si la convergencia fuese uniforme, la f (x) debería ser continua].

|x|–sen(n x)1n

2

[Si las f

n

son derivables, que f

n

! f uniformementeno basta para que f sea derivable, o puede ser f deriva-ble y no coincidir f

0 con el límite de las f

0n

(situacionessugeridas por los ejemplos de la derecha); para que secumplan ambas cosas además deben las f

0n

converger uniformemente].

67

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Todo lo anterior se aplica de modo natural a las series de funciones:

Def.•

Ân=1

f

n

converge puntualmente o uniformemente en A hacia f

si lo hace la sucesión de sumas parciales S

n

= f1+ · · ·+ f

n

.

Por lo visto para sucesiones de funciones, y como S

n

es continua si las f

n

lo son, tenemos:•

Ân=1

f

n

! f uniformemente y f

n

continuas en un intervalo I ) f es continua en I .

Aunque la definición de convergencia uniforme de series de arriba aparenta ser tan simple,está claro que será casi imposible de aplicar en la práctica (la puntual sí es fácil, aplicandopara x fijos los criterios vistos para series numéricas). Es claro que casi nunca se podrá hallardirectamente el N que haga | f1(x) + · · ·+ f

n

(x)� f (x)| < e (ni siquiera sabemos quien esf (x) , pues casi ninguna serie se puede sumar). Pero hay un criterio muy útil que permite verpara bastantes series de funciones que convergen uniformemente:

Criterio de Weierstrass:Sean { f

n

} definidas en A y {M

n

} una sucesión de números reales tal que | fn

(x)| M

n

8x 2 A y tal que ÂM

n

converge. Entonces  f

n

converge uniformemente en A .

8x 2 A , Â | fn

(x)| converge y por tanto  f

n

converge puntualmente. Sea f su suma.| f (x)�S

N

(x)|=��•

N+1 f

n

(x)�� •

N+1 | fn

(x)| •N+1 M

n

que se puede hacer tan pequeño como queramos haciendo N suficientemente grande( ÂM

n

converge). Tenemos un N independiente del x , S

n

converge uniformemente.

[Si no podemos aplicar este criterio no sabremos decir nada sobre la convergenciauniforme de una serie (pero está claro que aunque no consigamos encontrar la ÂM

n

convergente, esto no significa que la  f

n

no converja uniformemente)].

Ej. Â sennx

n

2 es uniformemente convergente en todo R pues | sennx

n

2 | 1n

2 y  1n

2 converge.

[Deducimos, por ejemplo, que la suma f (x) de esta serie es función continua en todo R ].La serie obtenida derivando término a término: Â cosnx

n

diverge, por ejemplo, cuando x=0 .[Para otros x , como x = p , converge (Leibniz); y para casi todos no sabemos decirlo].

[Como vemos, no se pueden derivar las sumas infinitas, en general, como las sumas finitas;las series de potencias que veremos a continuación sí se podrán derivar término a término].

Ej. Estudiemos ahora la convergencia de Âh

n

con h

n

= x

1+n

4x

2 (vista hace poco).

Lo que sabíamos de series numéricas nos basta para ver que converge puntualmente 8x2R :

si x = 0 queda Â0 ; si x 6= 0 , x  11+n

4x

2 converge pues 11+n

4x

2 ⇠ 1n

4 y  1n

4 converge.

Para ver si la serie es uniformemente convergente sólo disponemos de Weierstrass.No saltaba a la vista la serie numérica con la que comparar, pero según hemos probado:|h

n

(x)| 12n

2 8x2R y  12n

2 convergente ) Âh

n

(x) converge uniformemente en R.

[Otras propiedades importantes de la convergencia uniforme (que veremos en 5.5) seránlas relacionadas con la integración: el límite de las integrales de una sucesión de funcionesintegrables será la integral del límite cuando haya convergencia uniforme, pero podría noserlo si sólo hay la puntual (y lo mismo sucederá con las series)].

68

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4.3. Series de potencias

A una serie de la forma•Ân=0

a

n

(x�a)n se le llama serie de potencias en (x�a) .

Para cada x que converja la suma de la serie será un número real. Por tanto, define una funciónf (x) cuyo dominio serán los x para los que converge. Supondremos a partir de ahora, porsencillez, que a=0 (en caso contrario haríamos x�a=s y estaríamos en el caso a=0 ):

f (x) =•Ân=0

a

n

x

n = a0 +a1x+a2x

2 + · · · (viene a ser, pues, un ‘polinomio infinito’).

Una serie de ese tipo siempre converge en x=0�

y f (0)=a0�, pero no tiene que hacerlo 8x :

vimos que la serie •n=0 x

n converge si y sólo si |x|<1�y que su suma era f (x) = 1

1�x

�.

En general, toda serie de potencias converge en un intervalo centrado en el origen (quepuede degenerar en x=0 o ampliarse a todo R):Teorema:

A cada serie de potencias está asociado un número positivo R , llamado radio deconvergencia de la serie, que, según los casos, tiene las siguientes propiedades:

i) si R = 0 , la serie sólo converge en x = 0 ,ii) si R es un número real positivo, la serie converge si |x|<R y diverge si |x|>R ,iii) si R = • , la serie converge para todo x .

Además, si 0<x0<R , la serie converge uniformemente en [�x0,x0] .

converge uniformemente

�R 0 R

DIV ? CONVERGE ? DIV

En el caso ii), para x = R y x = �R la serie puedeconverger o divergir. El teorema no dice que la serieconverja uniformemente en (�R,R) , sino que lo haceen [�x0,x0] con x0 tan cercano a R como queramos).

Comencemos demostrando que:

Si Âa

n

c

n converge para un c entonces Âa

n

x

n converge uniformemente en [�x0,x0] ,si 0<x0< |c| , y converge puntualmente (y absolutamente) en (�|c|, |c|) :

Como Âa

n

c

n converge ) a

n

c

n! 0 y por tanto está acotada: 9K tal que |an

c

n|K

) si x2 [�x0,x0] , |an

x

n| |an

c

n|�� x0

c

��n K

�� x0c

��n .

Como  | x0c

|n es geométrica convergente�| x0

c

| < 1�, Weierstrass asegura que Âa

n

x

n

converge uniformemente en [�x0,x0] . Además para todo x2(�|c|, |c|) existe x0 con|x|<x0< |c| , con lo que  |a

n

x

n| converge puntualmente.

Sea S =�

x : Âa

n

x

n converge

. Es no vacío ( 02S ).Si hay algún x /2S , |x| es cota superior de S (no converge para ningún real mayor por el resultadoanterior) y por tanto tiene extremo superior. Veamos que el radio de convergencia R = sup S :

si |x|>R la serie diverge (si no, existirían puntos de S mayores que R ); si |x|<R existec con |x|< c<R para el que Âa

n

c

n converge ( R es cota superior) y por tanto Âa

n

x

n

también converge. Si 0<x0 <R , existe c con x0 <c<R para el que Âa

n

x

n converge yla serie converge uniformemente en [�x0,x0] .

Si no existe x /2S , la serie converge 8x : R = • . Se ve de la misma forma que hay convergenciauniforme en todo [�x0,x0] .

69

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El R se podrá calcular casi siempre mediante el criterio del cociente o la raíz.

Por ejemplo, si en la serie aparecen todos los x

n

�no si es del tipo Âa

n

x

2n ó Âa

n

x

2n+1 �

se tiene que: R = lımn!•

|an

||a

n+1| = lımn!•

1n

p|a

n

|, si dichos límites existen o son infinito, pues

lımn!•

|an+1||x|n+1

|an

||x|n = |x| lımn!•

|an+1||a

n

| < 1 [>1] , |x|< lımn!•

|an

||a

n+1|

h|x|> lım

n!•|a

n

||a

n+1|

i.

[Cálculos parecidos con la raíz)].

Para ver lo que pasa en los extremos del intervalo (si es finito) habrá que utilizar los otroscriterios conocidos (comparaciones, convergencia absoluta, Leibniz...) pues ya habremos sacadotodo su jugo al cociente o la raíz.

Ej.•

Ân=0

x

5n+1

(n�2)!. Cociente: |x|5n+6

(n�1)!(n�2)!|x|5n+1 =

|x|5n�1 �!

n!•0 8x ) converge 8x , es decir, R=• .

[No podíamos aplicar las fórmulas para R y por eso usamos directamente el cociente.La raíz no era adecuada por la presencia del factorial].

Ej.•

Ân=0

n

n

x

n . 1n

p|a

n

|= 1

n

�!n!•

0=R : la serie sólo converge si x=0 (y podemos tirarla a la basura).[El cociente es aquí bastante más complicado].

Ej.•

Ân=0

[�9]n2n+1 x

2n . lımn!•

9n+1|x|2n+2

2n+32n+19n|x|2n

= 9|x|2<1 , |x|< 13 =R . ¿Que pasa en los extremos?

Si x =± 13 queda  [�1]n

2n+1 en ambos casos, convergente por Leibniz�

12n+1 ! 0 y decrece

�.

-1/3 1/30Esta serie de potencias converge exactamente en el cerrado⇥� 1

3 ,13⇤

.

Ej.•

Ân=1

x

2n

4n

n

. |bn+1||b

n

| =|x|2n

4(n+1)�!n!•

|x|24 , n

p|b

n

|= |x|24n

1/n

�!n!•

|x|24 ) converge si |x|2< 4 .

Por tanto, la serie converge si |x|<2 y diverge si |x|>2 . Si |x|=2 ( x=±2 ) estos criterios nodeciden, pero entonces es  1

n

divergente como sabemos. En resumen, converge si x2(�2,2) .

Ej.•

Ân=2

x

n

logn

. Necesitamos L’Hôpital (o admitir límites ya citados basados en ella):

R = lımn!•

|an

||a

n+1| = lımn!•

log(n+1)logn

= 1 , porque lımx!•

log(x+1)logx

= lımx!•

1/(x+1)1/x

= lımx!•

11+1/x

= 1 .

Si x=�1 , Â (�1)n

logn

converge por Leibniz� 1

logn

! 0 y decrece porque logn crece�.

-1 1Si x=1 , Â 1logn

diverge, pues 1logn

> 1n

y  1n

diverge. Converge si x2 [�1,1) .⇥Sin L’Hôpital: converge si |x|<1 , pues |x|n

logn

< |x|n y  |x|n geométrica convergente, ysi |x|>1 , el término general no tiende a 0

�pues si |x|>1 es logn⌧ |x|n

�y diverge

⇤.

Ej.•

Ân=0

cos np6 x

n . No valen cociente ni raíz. Buscamos directamente el intervalo de convergencia.

|cos np6 ||x|n |x|n ) si x2(�1,1) converge. Si |x|� 1 el término general no tiende a 0 .

Ej.•

Ân=0

2npn

3+1(x+1)n . Podríamos hacer x+1=s , pero estudiamos la convergencia directamente.

Cociente: 2n+1

2n

|x+1|n+1

|x+1|n

pn

3+1p(n+1)3+1

�!n!•

2|x+1| ) converge si |x+1|< 12 ,� 3

2 < x <� 12 .

⇥Y diverge si |x+1|> 1

2⇤. En los extremos:

-3/2 -1/2-1

Si x=� 12 , nos queda  1p

n

3+1que converge

�se comporta como  1

n

3/2

�.

Si x=� 32 , Â (�1)np

n

3+1absolutamente convergente (o converge por Leibniz).

70

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Propiedad esencial de las series de potencias es que (como si fuesen polinomios) se puedenderivar término a término dentro de su intervalo de convergencia |x|<R :Teorema:

Sea R>0 (finito o infinito) y sea f (x) =•Ân=0

a

n

x

n para |x|<R . Entonces para |x|<R :

f es derivable,•Ân=1

na

n

x

n�1 converge y f

0(x) =•Ân=1

na

n

x

n�1 = a1 +2a2x+3a3x

2 + · · ·

[La prueba exige propiedades no vistas de derivación de series (ver Spivak); en el capítulo 5veremos que también las series de potencias se podrán integrar término a término en |x|<R ].

Aplicando el teorema sucesivamente a f

0 , f

00 , . . . obtenemos que para |x|<R :

f

00(x) =•

Ân=2

n(n�1)an

x

n�2 = 2a2+6a3x+· · · , . . . ,

f

(k)(x) =•

Ân=k

n(n�1) · · ·(n�k+1)nx

n�k = k!a

k

+ · · · )

Una f definida por una serie de potencias es C

• en |x|<R y f

(k)(0)=k!a

k

.

Las series de potencias también se suman, multiplican,... como si fuesen polinomios:Teorema:

Sean f (x)=•

Ân=0

a

n

x

n , |x|<R

f

y g(x)=•

Ân=0

b

n

x

n , |x|<R

g

. Entonces si |x|<min(Rf

,Rg

) :

f (x)+g(x)=•

Ân=0[a

n

+b

n

]xn , f (x)g(x)=a0b0+(a0b1+a1b0)x+(a0b2+a1b1+a2b0)x2+· · ·

[Lo de la suma es consecuencia de las propiedades de series numéricas; lo del producto es máscomplicado y lo admitimos sin demostración; también se pueden realizar la división f/g (si f/g

tiene límite en x=0 ) y la ‘composición’ de series (veremos ambas cosas en ejemplos)].

Ej. f (x)=•

Ân=0

x

n

n!= 1+ x+ 1

2 x

2 + 16 x

3 + · · · . R = lımn!•

(n+1)!n! = • (cociente, desde luego).

Converge 8x (veremos en la próxima sección que a ex ).Su serie derivada coincide con ella: f

0(x)=1+x+ 12 x

2+ · · ·= f (x) 8x2R (natural, si es ex ).

Ej. f (x)=•

Ân=1

x

n

n

2 = x+ x

2

4 + x

3

9 + x

4

16 + · · · . Su radio de convergencia es R = lımn!•

(n+1)2

n

2 = 1 )

f

0(x)=•

Ân=1

x

n�1

n

= 1+ x

2 +x

2

3 + x

3

4 + · · · , f

00(x)=•

Ân=2

n�1n

x

n�2= 12 +

2x

3 + 3x

2

4 + · · · , si |x|<1 .

Como  1n

2 y  (�1)n

n

2 convergen, la serie de la f converge en los dos extremos x =±1 delintervalo de convergencia. Pero las series de las derivadas se comportan peor en esos puntos.Es fácil ver que la de f

0 converge en [�1,1) y la de f

00 lo hace sólo en (�1,1) .Siempre las funciones definidas por series son ‘muy buenas’ en (�R,R) (hemos visto quetienen infinitas derivadas ahí, o incluso en todo R, si R=• ). El problema fundamental deestas funciones tan buenas es que para hallar sus valores debemos sumar series (y por esocasi siempre nos tendremos que conformar con valores aproximados).

Ej. Si f (x) =•

Ân=0

4n

x

3n

n! , precisar para qué x converge la serie y probar que f

0(1)>150 .|b

n+1||b

n

| = 4n+1

4n

n!(n+1)!

|x|3n+3

|x|3n

=4|x|3n+1 �!

n!•0 ) la serie converge para todo x .

Como f

0(x)=•

Ân=1

3·4n

x

3n�1

(n�1)! , será f

0(1)=•

Ân=1

3·4n

(n�1)! =121 + 48

1 + 3·642 + · · ·>156 .

⇥O mirando la serie de arriba, observamos que f (x)= e4x

3 ) f

0(1)=12e4>12 ·24=192⇤.

71

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Ej. Hallemos de varias formas el desarrollo en serie de f (x) = 1x

2+2x�3 = 1[x+3][x�1] .

Sabemos que:1

x�1 =�[1+ x+ x

2 + x

3 + · · · ] =�•

Ân=0

x

n si |x|< 1 ,

1x+3 = 1

31

1�[� x

3 ]= 1

3 [1�x

3 +x

2

9 � x

3

27 + · · · ] = 13

Ân=0

[�x]n

3n

si |x|< 3 .

) f (x) = 1x�1

1x+3 =� 1

3⇥1+(1� 1

3 )x+(1� 13+

19 )x

2 +(1� 13+

19�

127 )x

3 + · · ·⇤

=� 13 �

29 x� 7

27 x

2 � 2081 x

3 + · · · , si |x|<1=mín{1,3}

No podemos escribir más términos del desarrollo del producto si no escribimos algúntermino más de cada serie. Los puntos representan sólo las potencias de orden superior.Si pusiésemos el coeficiente de x

4 con lo escrito, sería erróneo (faltarían sumandos).

Lo más rápido (descomponiendo en fracciones simples; usaremos esta idea en las integrales):1

[x+3][x�1] =14 [

1x�1 �

1x+3 ] =� 1

4

Ân=0

x

n � 112

Ân=0

[�1]nx

n

3n

=� 112

Ân=0

h3+ [�1]n

3n

ix

n

[Este es el único camino que nos da una expresión general para la serie].

Ahora ‘dividimos’: buscando una serie Âc

n

tal que[c0 + c1x+ c2x

2 + c3x

3 + · · · ][x2 +2x�3] = 1 .

Igualando sucesivamente las potencias de x

0,x1,x2, . . . vamos obteniendo:

x

0 : �3c0 = 1 ) c0 =� 13 ; x

1 : 2c0 �3c1 = 0 ) c1 =23 c0 =� 2

9 ;

x

2 : c0 +2c1 �3c2 = 0 ) c2 =13 c0 +

23 c1 =� 1

9 �427 =� 7

27 ; . . .

[Si numerador y denominador fuesen series en vez de polinomios, el proceso sería el mismo].

De otra forma tampoco nada práctica (pero que sugiere cómo componer series):

f (x) =�13

11� 1

3 (2x+x

2)=� 1

3 [1+13 (2x+x

2)+ 19 (2x+x

2)2+ 1

27 (2x+x

2)3+ · · · ]

Y eligiendo (sin olvidar ningún término) todos los coeficientes de las sucesivas potencias:

f (x) =� 13⇥1+ 2

3 x+( 13 +

49 )x

2 +( 49 +

827 )x

3 + · · ·⇤

[De nuevo, para dar el coeficiente de x

4 necesitamos más términos que los escritos].

[La teoría para la serie más general Âa

n

(x�a)n , DIV ? CONV ? DIVcomo dijimos, es la misma; el intervalo |x�a|<R

de convergencia está ahora centrado en a ]. a�R a a+R

72

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4.4. Polinomios y series de Taylor

¿Cómo hallar, sin calculadora,p

e , log2 ó sen1 ? Las funciones más fáciles de evaluar son lospolinomios. Si encontramos un polinomio P que se parezca mucho a una función f dada cercade un punto a (y podemos estimar el error cometido al sustituir f por P ), podremos hallarvalores aproximados de f (x) para los x próximos a a .

1

ex

1–1

P

P (recta

tangente)1

2

Ej. Sea f (x) = ex . El polinomio de grado 1 más parecido a f cercade x=0 es la recta tangente: P1(x) = f (0)+ f

0(0)x = 1+ x .Observemos que satisface: P1(0)= f (0) ; P

01(0)= f

0(0) .Probablemente se parecerá más a ex el polinomio P2 de grado 2que cumpla P2(0)= f (0) ; P

02(0)= f

0(0) ; P

002 (0)= f

00(0) , o sea,

P2(x) = f (0)+ f

0(0)x+ f

00(0)2 x

2 = 1+ x+ 12 x

2 .

En general, el P

n

que mejor aproximará a una función f cerca de x=a será el que coincidacon f y con sus n primeras derivadas en a . Se comprueba fácilmente que:

Def. Si f tiene n derivadas en a , el polinomio, de grado n ,

P

n,a(x) = f (a)+ f

0(a)[x�a]+f

00(a)2! [x�a]2 + · · ·+ f

(n)(a)n! [x�a]n

cumple P

(k)n,a (a)= f

(k)(a) , para k = 0, ..,n . Al P

n,a se le llamapolinomio de Taylor de f de grado n en a . Se llama R

n,a(x) ,resto del polinomio de Taylor, al error cometido para cada x alsustituir f (x) por P

n,a(x) , es decir, f (x) = P

n,a(x)+R

n,a(x) . a x

f(x)

P (x)

R (x)n,a

n,a

Es esperable que el R

n,a(x) sea pequeño si x es cercano a a y que disminuya al aumentar n .La siguiente expresión del resto, a pesar de venir en función de un c desconocido, nos va apermitir acotar este error en muchas ocasiones:

Teorema (forma de Lagrange del resto):

Si f , f ’, ... , f

(n+1) están definidas en [a,x] ( ó en [x,a] ) entonces

R

n,a(x) =f

(n+1)(c)(n+1)! [x�a]n+1 para algún c2(a,x) si x>a [ ó c2(x,a) si x<a ].

[Otras expresiones del resto son útiles, pero se necesitan las integrales. Observemos quesi f es un polinomio de grado n se deduce R

n,a = 0 , es decir, que, como debía suceder,el polinomio coincide con su polinomio de Taylor de grado n ].

Para cada t2(a,x) tenemos que f (x) = f (t)+ f

0(t)[x�t]+ · · ·+ f

(n)(t)n! [x�t]n +R

n,t(x) .Miremos el resto como función de t para x fijo: S(t)=R

n,t(x) . Derivando respecto a t :

0 = f

0(t)+(� f

0(t)+ f

00(t)[x�t])+�� f

00(t)[x�t]+ f

000(t)2! [x�t]2

+ · · ·+�� f

(n)(t)(n�1)! [x�t]n�1 + f

(n+1)(t)n! [x�t]n

�+S

0(t) ) S

0(t) =� f

(n+1)(t)n! [x� t]n

El TVM de Cauchy en [a,x] para S(t) y g(t) = [x� t]n+1 implica que 9c2(a,x) tal queS(x)�S(a)g(x)�g(a) =

S

0(c)g

0(c) =f

(n+1)(c)n!

[x�c]n

[x�c]n1

n+1 = f

(n+1)(c)(n+1)!

Como S(x)=R

n,x(x) = 0 , S(a)=R

n,a(x) , g(x)=0 , g(a)=[x�a]n+1 se tiene el resultado.[Igual si x<a ].

73

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Normalmente hallaremos los polinomios para a = 0 . En ese caso no escribiremos las a de lossubíndices y las expresiones anteriores adoptan la forma (fórmula de McLaurin):

Si f , f ’, ... , f

(n+1) existen en [0,x] [ó [x,0] ] entonces para algún c2(0,x) [ó c2(x,0) ]

f (x) = P

n

(x)+R

n

(x) = f (0)+ f

0(0)x+ f

00(0)2! x

2 + · · ·+ f

(n)(0)n! x

n+f

(n+1)(c)(n+1)! x

n+1

Hallando las derivadas se obtienen fácilmente los siguientes polinomios y restos:

ex = 1+ x+ x

2

2! +x

3

3! + · · ·+ x

n

n! +R

n

(x) con R

n

(x) = ec

(n+1)! x

n+1

senx = x� x

3

3! +x

5

5! �x

7

7! + · · ·+(�1)n

x

2n+1

(2n+1)! +R2n+1(x) con R2n+1(x)=(�1)n+1 cosc

(2n+3)! x

2n+3

cosx = 1� x

2

2! +x

4

4! �x

6

6! + · · ·+(�1)n

x

2n

(2n)! +R2n

(x) con R2n

(x) = (�1)n+1 cosc

(2n+2)! x

2n+2

[Para senx , como la derivada sen(2n+2)(0) = (�1)n+1 sen0 = 0 , es P2n+1 ⌘ P2n+2 ; poreso en su resto aparecen 2n+3 y no 2n+2 ; y algo muy parecido sucede con el cosx ].

Dado un x , hay en los tres casos cotas fáciles para el resto en términos de cosas conocidas:

para ex : si x > 0 , es |Rn

(x)| ex|x|n+1

(n+1)! ; si x < 0 , es |Rn

(x)| |x|n+1

(n+1)! ;

para senx , |R2n+1(x)| |x|2n+3

(2n+3)! 8x ; para cosx , |R2n

(x)| |x|2n+2

(2n+2)! 8x .

Como probamos en 4.1, una sucesión de la forma |x|k/k!!0 8x cuando k ! • . Por tanto,podemos aproximar para cualquier x el valor de ex , senx y cosx con la precisión quequeramos utilizando un polinomio de Taylor con n suficientemente grande (aunque habráque tomar un n mayor cuanto más lejano de 0 esté el x ).

El logx no está ni definido en x = 0 . Por eso lo que se desarrolla es el log(1+x) . Es fácil verque la derivada n-sima de esta función es [�1]n�1(n�1)!(1+x)�n y por tanto

log(1+x) = x� x

2

2 + x

3

3 � x

4

4 + · · ·+[�1]n�1 x

n

n

+R

n

(x) con R

n

(x)= [�1]nn+1

x

n+1

(1+c)n+1

Se puede probar además (no con esta expresión del resto) que los polinomios del log(1+x)sólo aproximan a la función si �1 < x 1 .

Ej. Calculemos con error menor que 10�5 el sen1 .

|R2n+1(x)| |x|2n+3

(2n+3)! ) |R2n+1(1)| 1(2n+3)! <

110000 si 2n+3�9 )

sen1 ⇡ 1� 16 +

1120 �

15040 ⇡ 0.84147 con error |R7(1)| 1

9! < 10�5.

Ej. Si aproximamos sen2 con este mismo P7(x) el error será mayor:

sen2 ⇡ 2� 86 +

32120 �

1285040 ⇡ 0.9079 ; |R7(2)| 29

9! =4

2835 ⇡ 0.0014 .

(Estas cotas pronto serán más fáciles con las series de Taylor).

n n! 2n

2 2 43 6 84 24 165 120 326 720 647 5040 1288 40320 2569 362880 512

10 3628800 1024

Ej. Hallemos ahora log 45 = log(1� 1

5 ) con error < 10�3 .

Como��R

n

(� 15 )��= 1

(n+1)5n+1(1+c)n+1 <�1/5<c<0

1(n+1)5n+1(4/5)n+1 = 1

(n+1)4n+1 < 11000 si n � 3 ,

debemos usar el polinomio de grado 3 : log 45 ⇡� 1

5 �150 �

1375 ⇡� 0.223 con error < 10�3 .

De otra forma (que evitará la acotación del resto en cuanto tengamos las series de Taylor):

log 45 =� log(1+ 1

4 )⇡� 14 +

132 �

1192 ⇡� 0.224 , con

��R3(

14 )��= 1

4·44(1+c)4 <0<c<1/4

145 < 1

1000 .

74

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Dada f con infinitas derivadas en 0 su serie de Taylor en x = 0 es:•Ân=0

f

(n)(0)n!

x

n .

Esta serie de potencias es un ‘polinomio de Taylor de infinitos términos’; su N-sima sumaparcial es P

N

(x) . Es previsible que una f coincida con su serie de Taylor (al menos cerca de 0 ).

Como f (x)=N

Ân=0

f

(n)(0)n!

x

n +R

N

(x) , está claro que f (x)=•Ân=0

f

(n)(0)n!

x

n , R

N

(x) !N!•

0 ,

es decir, f (x) coincide su serie de Taylor en los x para los que el resto tienda a 0 .

Vimos hace poco que el resto R

N

(x)! 0 8x para ex , senx y cosx . Así pues:

ex =•Ân=0

x

n

n!, senx =

•Ân=0

[�1]nx

2n+1

(2n+1)!, cosx =

•Ân=0

[�1]nx

2n

(2n)!, 8x2R

[La serie derivada de la de ex es ella misma, derivando la de senx obtenemos la de cosx y derivandola de ésta obtenemos la del seno cambiada de signo; observemos también que sólo contiene potenciasimpares la serie del seno (debe cambiar de signo al cambiar x por �x ) y pares la del coseno].

Operando con la serie de ex y la de e�x = 1� x+ 12 x

2 � 16 x

3 + · · · obtenemos que:

shx = x+ x

3

3! +x

5

5! + · · ·=•Ân=0

x

2n+1

(2n+1)!, chx = 1+ x

2

2! +x

4

4! + · · ·=•Ân=0

x

2n

(2n)!, 8x2R

Sabemos que 11�x

=•

Ân=0

x

n si |x|< 1 ) 11+x

=•

Ân=0[�x]n y 1

1+x

2 =•

Ân=0[�1]nx

2n si |x|< 1 .

Por tanto: log(1+x) =•Ân=0

[�1]n

n+1x

n+1 , arctanx =•Ân=0

[�1]n

2n+1x

2n+1 , para |x|<1

pues las derivadas de las series son las de arriba y en x = 0 se anulan funciones y series.

[La serie de log(1+x) converge también en x=1 y la de arctanx en x=±1 (en ambas R=1 ) loque no hacen las series derivadas; se puede ver que convergen (lentamente) hacia log2 y ±arctan1 :

log2 = 1� 12 +

13 �

15 + · · · , p

4 = 1� 13 +

15 �

17 + · · ·

Parece normal que la serie del log(1+x) o la de 1/(1+x) sólo converjan para |x|< 1 pues enx=�1 las funciones se van a infinito, pero es sorprendente que lo hagan sólo en ese intervalo lasseries de 1/(1+x

2) o de arctanx ya que son funciones derivables en todo R. La explicación setendrá cuando se miren esas series en el plano complejo].

Otra serie muy útil es la de f (x) = (1+x)r , r2R ( x

r no es desarrollable en 0 ):

(1+x)r =•Ân=0

✓r

n

◆x

n , con✓

r

n

◆= r(r�1)···(r�n+1)

n! , si |x|<1 (generaliza elbinomio de Newton)

⇥en particular se tiene:

p1+x = 1+ x

2 �x

2

8 + · · · , 1p1+x

= 1� x

2 +3x

2

8 + · · · , . . .⇤

Como: f

0(x) = r(1+x)r�1 , f

00(x) = r(r�1)(1+x)r�2 , . . . ,f

(n)(x) = r(r�1) · · ·(r�n+1)(1+x)r�n , . . .la serie de Taylor es la de arriba, y se puede ver que R

N

! 0 si 0<x<1 con la expresiónde Lagrange (y con otras expresiones del resto que no hemos visto se ve que también lohace si �1<x<0 ).

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De las series de Taylor anteriores podemos deducir muchísimas otras, sin más que sustituira veces y utilizando otras las operaciones conocidas con series de potencias (muchas veces nopodremos dar la expresión del término general de la serie):

Ej. Para escribir el desarrollo de sen(3x

2) basta cambiar x por (3x

2) en el de senx :

sen3x

2 = 3x

2� 92 x

6 + · · ·+(�1)n 32n+1

(2n+1)! x

4n+2 + · · · , 8x

Ej. Para el sen(1+x) no podemos hacer lo mismo. Aunque es cierto para todo x que:

sen(1+x) = (1+x)� 16 (1+x)3 + · · ·+ (�1)n

(2n+1)! (1+x)2n+1 + · · ·esto no nos permite escribir la serie como potencias crecientes de x . Mejor que derivando:

sen(1+x) = sen1cosx+ cos1senx = sen1+ cos1 x� sen12 x

2 � cos16 x

3 + · · ·

Ej. cosp

x = 1� x

2 +124 x

2 � · · · , si x�0 .⇥Esta serie representa la función ch

p�x para x0

⇤.

Ej. arctan2x

p1+x

2 =⇥2x� 8

3 x

3+ 325 x

5 + · · ·⇤⇥

1+ 12 x

2� 18 x

4+ · · ·⇤= 2x� 5

3 x

3+ 28960 x

5+ · · · , |x|< 12

pues si |2x|<1 coinciden el arco tangente y su serie, y la raíz lo hace si |x2|<1 .[Con potencias impares sólo; para escribir el x

7 necesitarámos otro término de cada serie].

Ej. Para el desarrollo de tanx no conviene utilizar la definición pues las derivadas se complican:

f (x) = tanx , f

0(x) = 1+ tan2x , f

00(x) = 2tanx+ tan3x , . . .

Es mejor hacer el cociente de las dos series conocidas (tendrá sólo potencias impares):senx

cosx

= c1x+ c3x

3 + · · · ;⇥c1x+ c3x

3 + c5x

5 + · · ·⇤⇥

1� 12 x

2 + 124 x

4 + · · ·⇤= x� x

3

6 + x

5

120 + · · ·) x

1 : c1=1 ; x

3 : c3� c12 =� 1

6 ! c3=13 ; x

5 : c5� c32 + c1

24 =1

120 ! c5=215 ; . . .

) tanx = x+ 13 x

3 + 215 x

5 + · · ·

Ej. En este ejemplo vamos a hacer nuestra primera ‘composición’ de series:1

1+senx

= 1� senx+ sen2x� sen3

x+ sen4x+ · · ·

= 1� [x� 16 x

3 + · · · ]+ [x� 16 x

3 + · · · ]2 � [x� · · · ]3 +[x� · · · ]4 + · · ·= 1� [x� 1

6 x

3 + · · · ]+ [x2 � 13 x

4 + · · · ]� [x3 � · · · ]+ [x4 � · · · ]+ · · ·= 1� x+ x

2 � 56 x

3 + 23 x

4 + · · ·[Hallar el cuadrado, cubo,... de una serie es más corto que multiplicarla varias veces por sí misma:

(a+b+c+ · · ·)2 = a

2+b

2+ c

2+2ab+2ac+2bc+ · · ·(a+b+c+ · · ·)3= a

3+b

3+ c

3 +3a

2b+3ab

2+3a

2c+3ac

2+3b

2c+3bc

2+6abcd + · · · , . . . ].

Ej. Hallemos de varias formas 4 términos no nulos del desarrollo de e2x�x

2 :

e2xe�2x

2=⇥1+2x+2x

2 + 43 x

3 + 23 x

4 + · · ·⇤⇥

1�2x

2 +2x

4 + · · ·⇤= 1+2x� 8

3 x

3 � 43 x

4 + · · ·

e2x�2x

2=1+[2x�2x

2]+ 12 [2x�2x

2]2+ 1

6 [2x�2x

2]3+ 1

24 [2x�2x

2]4+ · · ·= 1+2x� 8

3 x

3� 43 x

4+· · ·1+2x+2x

2+ 43 x

3+ 23 x

4+···1+2x

2+2x

4+··· = a0+a1x+a2x

2+a3x

3+a4x

4+ · · · ) x

0 : a0=1 ; x

1 : a1=2 ;

x

2 : a2+2a0=2 , a2=0 ; x

3 : a3+2a1=43 , a3=

43�4=� 8

3 ; x

4 : a4+2a2+2a0=23 , a4=� 4

3 .

Lo que menos conviene es derivar muchas veces la función dada:f

0(x)=2(1�2x)e2x�2x

2 , f

00(x)=16(�x+x

2)e2x�2x

2 , f

000(x)=16(�1+6x

2�4x

3)e2x�2x

2 ,f

IV(x)=32(�1+8x�16x

3+8x

4)e2x�2x

2 ) f (x) = 1+2x� 166 x

3� 3224 x

4+· · · .

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De cualquier serie de Taylor se deduce, truncando la serie, la expresión del polinomio deTaylor (pero sin expresión manejable del resto, por lo que nos es poco útil) por el siguienteTeorema:

f (x) = P(x)+ x

n

g(x) con g(x)�!x!0

0 ) P(x) es el P

n

de Taylor de grado n de f .

[es fácil comprobar que coinciden tanto f y P como sus n primeras derivadas en x=0 ]

Ej. El polinomio de Taylor de grado 2n+1 de arctanx es: P2n+1(x) = x� 13 x

3 + · · ·+ (�1)n

2n+1 x

2n+1 ,

pues el resto de la serie es de la forma x

2n+1g(x) , con g(x)�!

x!00 .

Las series de Taylor permiten muchas veces hallar valores aproximados con cotas fácilesdel error (si aparece una serie de Leibniz; si no, deberemos acudir al resto de Lagrange).

Ej. Calculemos 5q

32 con error menor que 10�2 . Para |x|< 1 sabemos que es:

(1+ x)1/5 = 1+ 15 x+ (1/5)(�4/5)

2 x

2 + (1/5)(�4/5)(�9/5)6 x

3 + · · ·= 1+ x

5 �2x

2

25 + 6x

3

125 � · · ·

Por tanto: (1+ 12 )

1/5= 1+ 1

10 �150 +

3500 � · · · , serie alternada y decreciente.

Así pues, es 5q

32 ⇡ 27

25 = 1.08 , con error < 3500 < 10�2 .

No olvidemos que las series de Leibniz también nos dan cotas superiores e inferiores de la suma.En concreto aquí tenemos, por ejemplo, estas cotas racionales de la raíz: 27

25 <5p

3/2 < 543500 .

hCalcular 5

q12 = (1� 1

2 )1/5 nos costaría bastante más esfuerzo, por salir serie no alternada

i.

Aunque f 2C

•(R) y su serie de Taylor converja 8x , la f puede no coincidir con la serie:1

f (x) = e�1/x

2 , f (0)=0 .

Veremos en 4.5 que para esta f es f

(n)(0)=0 8n . Así su serie deTaylor es Â0 ·xn= 0 , convergente 8x , pero que, claramente, no coincide con f salvo en x=0 .

[Se entiende lo que le pasa a esta suave función cuando se la mira en el campo complejo].

Def.f es analítica en x=0 si se puede escribir como una serie de potencias en todoun entorno |x|<r , r>0 .

[Por ser igual a una serie de potencias debe, al menos, tener infinitas derivadas en x=0 ].Sabemos que senx , cosx , ex , log(1+x) , arctanx , (1+x)r son analíticas en x=0 (coincidenlas tres primeras con una serie en todo R y las otras en |x|<1 ). También lo son sumas, productoso cocientes con denominador no nulo de cualquiera de ellas. E incluso funciones como:

g(x)= senx

x

, g(0)=0 , pues g(x) = 1� 16 x

2 + 1120 x

4 + · · · 8x .

Son obviamente no analíticas las funciones discontinuas ( logx en x=0 , por ejemplo), o consólo un número finito de derivadas (como x

8/3, que sólo tiene 2 ). La f de arriba es un ejemplode función que no es analítica en 0 a pesar de ser de C

• en ese punto.

⇥Más en general, la serie de Taylor de una f en un punto a es

Ân=0

f

(n)(a)

n!(x�a)n ;

haciendo x�a = s , se traslada el problema a una serie de Taylor en torno a s=0 .

Una f es analítica en x = a si es igual a una serie de potencias en |x�a|< r ;ex lo es, por ejemplo, en cualquier a ;

px lo es en x=1 (pero no en x=0) . . .].

77

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Polinomios de interpolación.

El polinomio de Taylor P

n

es sólo una forma de aproximar una f con polinomios. El P

n

es el que másse parece a f cerca de un punto. Pero muchas veces interesa encontrar un polinomio Q

n

que aproximef en todo un intervalo. Una de las posibilidades de hacerlo es hallar un Q

n

que tome los mismos valoresque f en unos cuantos puntos del intervalo. A éste polinomio se llama polinomio de interpolación. Otrasituación en que es útil el polinomio de interpolación es cuando sólo disponemos de algunos valores dela f (por ejemplo, esto sucederá si la f es resultado de unas cuantas medidas experimentales). Es decir:

0 1

nQf

2xx x

Def.Dada una función f (x) se llama polinomio de interpolación de grado n

para los n+1 puntos distintos x0, ...,xn

al polinomio Q

n

que satisfaceQ

n

(x0) = f (x0) , . . . , Q

n

(xn

) = f (xn

)

Un Q

n

arbitrario tiene n+1 coeficientes a0, ...,an

. Se podrían hallar con las n+1ecuaciones lineales Q

n

(xk

)= f (xk

) , k=0...n , pero hay varias formas mucho máscortas de calcularlo. Veamos primero la fórmula de Newton. Ponemos Q

n

en la forma:

Q

n

(x) = A0 +A1(x�x0)+A2(x�x0)(x�x1)+ · · ·+A

n

(x�x0) · · ·(x�x

n�1) .

Sustituyendo ahora sucesivamente x=x0 , x=x1 , . . . , x=x

n

, obtenemos un sencillo sistema que permiteir calculando los A

k

de forma sucesiva y, por tanto, el polinomio de interpolación:A0= f (x0) , A0+A1(x1�x0)= f (x1) , . . . , A0+A1(xn

�x0)+ · · ·+A

n

(xn

�x0) · · ·(xn

�x

n�1)= f (xn

)

En el caso particular (y muy común) de que los x

k

son equidistantes(es decir, x

k+1 = x

k

+h ), el sistema adopta la forma más simple:h h h h

0x

2x

1x =x +h

0

A0= f (x0) , A0+hA1= f (x1) , A0+2hA1+2!h2A2= f (x2) , . . . ,

A0+nhA1+ · · ·+ n!(n�k)! h

k

A

k

+ · · ·+n!hn

A

n

= f (xn

)!

A0= f (x0) , A1=1h

[ f (x1)� f (x0)] , A2=1

2!h2 [ f (x2)�2 f (x1)+ f (x0)] ,

A3=1

3!h3 [ f (x3)�3 f (x2)+3 f (x1)� f (x0)] , . . .

Otra expresión del Q

n

la da la fórmula de Lagrange:

Q

n

(x) = f (x0)p0(x)p0(x0)

+ · · ·+ f (xk

)p

k

(x)p

k

(xk

) + · · ·+ f (xn

)p

n

(x)p

n

(xn

) ,

donde pk

(x) = (x� x0) · · ·(x� x

k�1)(x� x

k+1) · · ·(x� x

n

) .

Pues el polinomio [de grado n ] pk

(x)p

k

(xk

) vale 1 si x=x

k

y vale 0 si x=x

j

, con j 6=k .[Parece más cómodo usar directamente esta fórmula y no resolver un sistema, pero si queremosañadir un nuevo punto hay que volver a calcular todos los p

k

, lo que no sucedía con Newton].

Como en Taylor, aquí también se puede dar una estimación del error cometido al sustituir la f por supolinomio de interpolación Q

n

. Admitimos sin demostración que si f 2C

n+1[x0,xn

] se tiene:

f (x)�Q

n

(x) = 1(n+1)! (x�x0)(x�x1) · · ·(x�x

n

) f

(n+1)(c) con c2(x0,xn

) .

Ej. Hallemos el Q2 que toma los mismos valores que f (x)=senx en 0 , p2 y p .

Sabemos que f (x0) = 0 , f (x1) = 1 , f (x2) = 0 . Calculando los A

k

[h = p2 ] tenemos:

A0=0 , A1=2p [1�0] , A2=

2p2 [0�2+0]! Q2(x) = 0+ 2

p (x�0)� 4p2 (x�0)(x� p

2 )=4

p2 x(p � x) .

A lo mismo llegamos con: Q2(x) = 0 (x�p/2)(x�p)(0�p/2)(0�p) +1 (x�0)(x�p)

(p/2�0)(p/2�p) +0 (x�0)(x�p/2)(p�0)(p�p/2) .

Utilicemos este Q2 para aproximar sen1 y sen2 : Q2(1)⇡ 0.86795 , Q2(2)⇡ 0.92534 .Los errores cometidos están acotados por

|E(1)| 124 |1�0||1�p/2||1�p|⇡ 0.05 , |E(2)| 1

24 |2�0||2�p/2||2�p|⇡ 0.04 .⇥Aproximaciones peores que las del P7 de Taylor. Mejores en 2 que las que da el de orden 5 pero siguensiendo peores en 1, más cercano a 0: P5(2)⇡ 0.9333, sen2⇡ 0.9093 ; P5(1)⇡ 0.8417, sen1⇡ 0.8415

⇤.

78

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4.5. Cálculo de límites indeterminados

O sea, del tipo •�• , 0 ·• , 00 , •

• , 1• , 00 , •0 (los otros ya sabemos hace tiempo).

Utilizando desarrollos de Taylor (en principio, para x tendiendo hacia a finito):

Introducimos una notación para abreviar: sea g(x) 6=0 para x 6=a en un entorno de a .

Def. Diremos que f (x)=o

�g(x)

�cuando x ! a si lım

x!a

f (x)g(x) = 0 . Se lee simplemente:

f es ‘o pequeña’ de g .

Con esta notación podemos expresar los desarrollos de Taylor escribiendo sólo aquello que seva a utilizar para calcular límites (la función es el polinomio mas ‘algo despreciable’):

Si f es de C

n+1 en un entorno de a entonces f (x) = P

n,a(x)+o([x�a]n) .

(Pues entonces | f (n+1)(c)|K para c2 [a,x] )�� R

n,a(x)(x�a)n

�� K|x�a|(n+1)! ! 0 , si x ! a ).

Ej. lımx!0

senx

x

= lımx!0

x+o(x)

x

= 1 ,pues o(x) es precisamente algo que dividido por x tiende a 0 si x ! 0 .

Ej. lımx!0

x�senx

x

3 = lımx!0

x� [x� 16 x

3 +o(x3)]

x

3 =16

. No basta P1(x)⇥no se sabe hacia que tiende o(x)

x

3⇤.

[Es habitual (pero un poco impreciso) escribir puntos suspensivos en lugar de la “o”; si lohacemos, no olvidemos que los puntos representan las potencias de x estrictamente mayoresque las escritas; no escribir ni siquiera los puntos lleva a errores, como sustituir simplementeen este límite senx por x (infinitésimo equivalente que dicen algunos) lo que nos daría:

lımx!0

x� senx

x

3 = lımx!0

x� x

x

3 = lımx!0

0x

3 = 0 !!!].

Ej. lımx!0

x� tanx

x� senx

= lımx!0

x� [x+ 13 x

3 +o(x3)]

x� [x� 16 x

3 +o(x3)]= lım

x!0

� 13 +

o(x3)x

3

16 +

o(x3)x

3

=�2 .

Sin conocer el desarrollo de tanx (nosotros lo hallamos como cociente) podríamos utilizar otros:

lımx!0

xcosx� senx

x� senx

1cosx

= lımx!0

x� 12 x

3 +o(x3)� x+ 16 x

3 +o(x3)

x� x+ 16 x

3 +o(x3)lımx!0

1cosx

=�2 .

Ej. lımx!0

chx�p

1+ x

2

shx

4 = lımx!0

1+ 12 x

2 + 124 x

4 +o(x4)� [1+ 12 x

2 � 18 x

4 +o(x4)]

x

4 +o(x4)= lım

x!0

16 +

o(x4)x

4

1+ o(x4)x

4

=16

.

Hemos desarrollado hasta que ha quedado un término que no se anulaba en el numerador.También hemos agrupado en o(x4) todos los términos que no influyen en el valor del límite.

Las indeterminaciones anteriores eran 0/0 . Muchas de otro tipo se pueden llevar a ella:

Ej. (1•) lımx!0

(1+x)1/x = lımx!0

elog(1+x)/x = e , ya que lımx!0

log(1+x)

x

= lımx!0

x+o(x)

x

= 1 .

Ej. (•-•) lımx!0

2+arctanx

log(1+2x)� cos2x

x

�= lım

x!0

2+ x+o(x)

2x�2x

2+o(x2)� 1�2x

2+o(x2)

x

�= lım

x!0

x

2+2x

2+o(x2)

2x

2 +o(x2)=

32

.

Hemos agrupado en o(x2) los términos que no influyen y utilizado propiedades de la “o” deprueba trivial (y muy intuitivas, si pensamos que o(xn) son potencias de x mayores que n ):

x

m = o(xn) si m>n , f (x) = o(xm) ) f (x) = o(xn) si m>n ,x

m

o(xn) = o(xm+n) , o(xm)o(xn) = o(xm+n)

79

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Discutamos el uso de la regla de L’Hôpital (presentada en 3.2) y comparemos con Taylor:

Si f (x),g(x)!x!a

0�ó !

x!a

±•�

y existe el lımx!a

f

0(x)g

0(x) , entonces lımx!a

f (x)g(x) = lım

x!a

f

0(x)g

0(x) .

La regla sigue siendo válida cambiando el a del enunciado por a

+, a

�, +• ó �• .⇥Taylor muestra porqué aparecen cocientes de derivadas en L’Hôpital, en el caso de que f y g

admitan desarrollo y tiendan a 0 cuando x ! a (en ese caso debe ser f (a)=g(a)=0 ):f (x)g(x) =

f (a)+ f

0(a)(x�a)+ 12 f

00(a)(x�a)2+ ···g(a)+g

0(a)(x�a)+ 12 g

00(a)(x�a)2+ ··· =f

0(a)+ 12 f

00(a)(x�a)+ ···g

0(a)+ 12 g

00(a)(x�a)+ ··· �!x!a

f

0(a)g

0(a) , si g

0(a)=0⇤.

No dice L’Hôpital que si f

0

g

0 no tiene límite (finito o infinito), tampoco lo tenga f

g

:

Ej.� •

•�

lımx!•

x

2x+ cosx

; lımx!•

12� senx

no tiene límite, pero es claro que lımx!•

12+ cosx

x

=12

.

Muchas veces hay que iterar L’Hôpital. Es importante simplificar lo más posible en cada paso:

Ej.� 0

0�

lımx!0

x� tanx

x� senx

= lımx!0

cos2x�1

(1� cosx)cos2x

0/0= � lım

x!0

1+ cosx

cos2x

=�2 (ya calculado por Taylor).⇥Sin simplificar hubiéramos tenido que seguir con L’Hôpital pues la indeterminación seguía; pero

no nos lancemos a derivar sin comprobar que continúa el 00 ó •

• , pues podríamos hacer burradas:

lımx!0

1+ cosx

cos2x

= !!! = lımx!0

�senx

�2cosxsenx

= lımx!0

12cosx

=12

⇤.

Para calcular un límite indeterminado, si conocemos los desarrollos de las funciones que apa-recen en la expresión, suele ser preferible acudir a Taylor.

Ej. Los límites de la página anterior se complican por L’Hôpital. Así para el •�• :

lımx!0

2x+xarctanx�cos2x log(1+2x)x log(1+2x)

L’H= lım

x!0

2+arctanx+ x

1+x

2 +2sen2x log(1+2x)� 2cos2x

1+2x

log(1+2x)+ 2x

1+2x

= 00

y hay que volver a usar l’Hôpital para deshacer la indeterminación y llegar al resultado. Más pasoshabría que dar todavía en el ejemplo del ch y sh : Taylor muestra que deberíamos derivar 4 veces(salvo que exista alguna simplificación intermedia) para llegar a un límite no indenterminado.

L’Hôpital se puede aplicar en situaciones en que Taylor no es posible (si x ! ±• , si noconocemos los polinomios o no existen,...). Por ejemplo, calculando unos límites importantes:

Si a>0 , b>0 : lımx!•

x

a

ebx

= 0 , lımx!•

(logx)a

x

b

= 0 , lımx!0+

[xa logx] = 0 .

En los dos primeros (ya probados al final de 3.2), para x gordo ni logx , ni eax se parecen aningún polinomio con lo que sólo se puede usar L’Hôpital (como hicimos).Para el tercero

�0 · [�•]

�logx no admite desarrollo de Taylor en 0 . Así que también L’Hôpital:

lımx!0+

logx

x

�a

=� �•

•�= lım

x!0+1/x

�ax

�a�1 = lımx!0+

x

a

�a

= 0 .

Ej. (0 ·•) lımx!0+

[x log(ex�1)]= lımx!0+

log(ex�1)1/x

•/•= lım

x!0+ex/(ex�1)�1/x

2 =�1 · lımx!0+

x

2

ex�10/0=� lım

x!0+2x

ex

= 0 .

[Insistimos en la necesidad de simplificar después de cada paso].El primer paso exigía L’Hôpital, pero en el segundo sí hubiera valido Taylor: x

2

ex�1 =x

2

x+o(x) !x!0

0 .

Ej.�•0� lım

x!•[logx]1/x= lım

x!•e

log(logx)x = 1 , pues log(logx)

x

L’H�! 1/x

logx

�!x!•

0⇥este era

�••� ⇤

.

80

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Como dijimos en 2.2, para calcular límites, a veces es conviene cambios de variable .Ya citamos los cambios de este tipo:Teorema:[ t = g(x) ]

g continua en a , g(x) 6=g(a) si x 6=a y lımt!g(a)

f (t) = L ) lımx!a

f (g(x)) = L

Ej. lımx!1

x�1� logx

sen2(x�1)t=x�1= lım

t!0

t � log(1+ t)

sen2t

= lımt!0

t

2/2+ · · ·t

2 + · · ·=

12

.

Por L’Hôpital: lımx!1

1� 1x

2sen(x�1)cos(x�1)=

12

lımx!1

x�1sen(x�1)

=12

(ahorrando una derivación).

Ej. lımx!0

ex

3 �p

1+2x

3

x

6� 0

0�

. Taylor:1+x

3+ 12 x

6+· · ·� [1+x

3� 12 x

6+· · · ]x

6 �!x!0

1 .

Por L’Hôpital no es demasiado largo si simplificamos:

3x

2ex

3�3x

2[1+2x

3]�1/2

6x

5 =ex

3� [1+2x

3]�1/2

2x

3 ! 3x

2ex

3+3x

2[1+2x

3]�3/2

6x

2 =ex

3+[1+2x

3]�3/2

2! 1 .

[Como siempre, Taylor muestra el ‘esqueleto’ del límite, sabemos que, sin hacer simplificacionesintermedias, es necesario derivar 6 veces para que el denominador deje de tender a 0 ].

Aunque todo es más corto (L’Hôpital, desde luego) si hacemos el cambio t = x

3 :et �

p1+2t

t

2L’H�! et � [1+2t]�1/2

2t

L’H�! et +[1+2t]�3/2

2�!t!0

1 .

Otros que se utilizan muchas veces�si aparecen expresiones que dependen de 1

x

�son:

Teorema:[ t = 1

x

]lımx!•

f (1x

) = lımt!0+

f (t) , lımx!0+

f (1x

) = lımt!•

f (t) . [Análogos con 0� y �• ].

[Basta escribir las definiciones de los límites para comprobarlo].

Ej. Con este teorema: (• ·0) lımx!•

x

2 sen 1x

= lımt!0+

sen t

t

2 = 1 · lımt!0+

1t

= • .

Ahora que conocemos los desarrollos de Taylor, la forma rápida (luego hay que formalizar)de hallar un límite de este tipo es la siguiente: como cuando x ! • es 1

x

una cosa pequeñay sabemos que sen•= •� 1

6 •3 + · · · si • es pequeño, está claro que será sen 1

x

⇠ 1x

y quenuestra función se parecerá en el infinito a x con lo que tenderá a • .

⇥De hecho, no sería incorrecto escribir: sen 1

x

= 1x

� 16x

3 + · · · cuando x ! •⇤.

Ej. Más complicado: (• ·0) lımx!•

x

2�1� e�3/x

2�= lım

t!0+1� e�3t

2

t

2 = lımt!0+

3t

2 +o(t2)

t

2 = 3 .⇥Como antes, e• ⇠ 1+• , con lo que se tendría: x

2�1�1+ 3x

2 + · · ·��!x!•

3⇤.

Ej. lımx!•

⇥x

2 arctan 1x

�p

1+x

⇤es una indeterminación • ·0�• . Antes de formalizarlo vamos a

conjeturar cuál va a ser el límite. Como arctan•⇠ • , será del tipo x�p

x y valdrá infinito.

lımx!•

x

⇥xarctan 1

x

�p

x+1x

⇤= •

�• [1�0]

�, pues lım

x!•xarctan 1

x

= lımt!0+

arctan t

t

="

1 .Taylor o L’H

[Sale más largo haciendo t=1/x incialmente].

Ej. ( 00 ) lımx!0+

x

x = lımx!0+

ex logx = 1 ; ( •0 ) lımx!•

x

1/x = lımx!•

elogx/x = 1 .

(Vimos ya con L’H que el exponente tiende a 0 en ambos casos).O jugando con el segundo cambio:

lımx!•

x

1/x = lımt!0+

( 1t

)t

= 1 , pues lımt!0+

t

t = 1 (el segundo se reduce al primero).

81

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Más ejercicios de límites en los que se mezclan algunos triviales, otros que utilizan resultadosde 2.2 del tipo “ 7

• =0” y otros cuantos indeterminados en los que utilizar Taylor o L’Hôpital:

Ej. Hallemos, cuando existan, diferentes límites para la función f (x) =log(1+x)�x

senx�x

:

lımx!0

f (x) = ( 00 ) = lım

x!0

x� x

2

2 + x

3

3 +o(x3)� x

x� x

3

6 +o(x3)� x

= lımx!0

� 12x

+ 13 +

o(x3)x

3

� 16 +

o(x3)x

3

=±• si x ! 0± .

ho L’Hôpital: lım

x!0f (x) = lım

x!0

11+x

�1cosx�1

0/0= lım

x!0

�1/[1+ x]2

�senx

=±• si x ! 0±i.

lımx!•

f (x)= ( �•�• , x manda)= lım

x!•

log(1+x)x

�1senx

x

�1= 0+1

0+1 =1 , pues log(1+x)

x

! 0 (casi conocido;o L’Hôpital).

⇥No se podía aplicar Taylor (lejos de x = 0 ), ni directamente L’H: lım

x!•1/[1+x]�1

cosx�1 no existe⇤.

lımx!�1+

f (x) =�•�

“ �•+1�sen1+1 ” y 1�sen1>0

�, límite fácil que sabíamos calcular hace tiempo.

lımx!1

f (x) = log2�1sen1�1 (porque la función es ahí continua), el más fácil de todos.

Ej. Hallemos el límite cuando x tiende a 0 , 1 e • de f (x)=ex arctanx�x(1+3x)1/3

x

3 .

Para 0 , primero escribimos los desarrollos de Taylor de las funciones del numerador:

ex arctanx =⇥1+ x+ 1

2 x

2 + 16 x

3 + · · ·⇤⇥

x� 13 x

3 + · · ·⇤= x+ x

2 +( 12�

13 )x

3 + · · ·�si |x|<1

�.

(1+x)1/3 = 1+ 13 x+ (1/3)(�2/3)

2 x

2 + · · · ) (1+3x)1/3 = 1+ x� x

2 + · · ·�si |x|< 1

2�.

Por tanto: f (x) =x+x

2+ 16 x

3+···�x�x

2+x

3+···x

3 =76 x

3+o(x3)x

3 �!x!0

76 . (Una vez más, por L’H

es mucho más largo).

El límite de 1 es trivial: f (x)�!x!1

14 ep � 3p4 .

Cuando x ! • , (1+3x)1/3

x

2 ! 0 , arctanx ! p2 y ex

x

3 ! • . Por tanto, f (x)�!x!•

• .

Ej. Hallemos el límite cuando x tiende a 0 e • y �• de f (x) = ex�cosx

log(1+x

4).

lımx!�•

f (x) = 0 (acotado/infinito).

En 0 , indeterminación 00 . Con Taylor: f (x) =

1+x+ 12 x

2+···�1+ 12 x

2+···x

4+··· = x+···x

4+··· �!x!0±

±• .

Por L’Hôpital: lımx!0

ex � cosx

log(1+x

4)L’H= lım

x!0

ex + senx

4x

3/(1+x

4)

1/±0= ±• según x ! 0+ o x ! 0� .

lımx!•

ex � cosx

log(1+x

4)

•/•= lım

x!•ex

log(1+x

4)� 0 L’H

= lımx!•

ex

4x

3/(1+x

4)= •

�“ •+0 ”

�.

L’Hôpital pues ni ex⇠1+x , ni log(1+x

4)⇠x

4 si x gordo. Sin apartar primero el cosx setardaría casi lo mismo. Era esperable que la ex ‘pudiese’ con el logaritmo, pero lo hemoscalculado porque exactamente no estaba escrito eso entre los límites importantes.

Ej. También los límites cuando x tiende a 0 e • y �• de la función f (x) = sen3x

1�e�x

3 .

Para 0 , Taylor o L’Hôpital: lımx!0

x

3 +o(x3)

1� (1� x

3 +o(x3))= 1 , lım

x!0

3cosx

3e�x

3

sen2x

x

2 = 1 .

Como el numerador está acotado y el denominador tiende a • , está claro que f (x) �!x!�•

0 .

Intuitivamente, parece que no va a tener límite cuando x ! • , pues para x grande se parecea sen3

x que no lo tiene. Para formalizarlo utilizamos sucesiones:a

n

= np y b

n

= p2 +2np tienden a • , pero f (a

n

)! 0 , mientras que f (bn

)! 1 .

82

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En los siguientes calculamos el valor del límite según los valores de la constante real a :

Ej. Discutamos el límite cuando x tiende a 0 e infinito de la función f (x) = e�x

2�cosax

x

4 :

lımx!0

f (x) = lımx!0

[ a

2

2 �1]x2 +[ 12 �

a

4

24 ]x4 +o(x4)

x

4 =

(�• si |a|<p

21/3 si |a|=

p2

• si |a|>p

2[Por L’Hôpital sería más largo, habría que discutir varias veces si el límite eso no de la forma 0/0 y sería mucho más fácil equivocarnos en algún paso].

El límite en • es 0 8a , pues el numerador está acotado y el denominador tiende a • .

Ej. Aquí discutimos los límites cuando x ! 0+ y cuando x ! • de f (x)= x

�a

⇥p1+9x

4 �1⇤

:

f (x) =p

1+9x

4�1x

a

=94 x

4+ ···x

a

�!x!0+

( 0 , si a<49/2 , si a=4• , si a>4

.

El de infinito lo sabíamos hacer desde el capítulo 2: f (x)= x

2p

9+x

�4�x

�2

x

a

�!x!•

( 0 , si a>23 , si a=2• , si a<2

.

Ej. Hallemos para todo a>0 los límites cuando x tiende a • y 0� de f (x) = x

a

⇥1� cos 1

x

⇤:

lımx!•

f (x) = lımt!0+

1� cos t

t

a

= lımt!0+

t

2/2+o(t2)

t

a

=

( 0 si 0 < a < 21/2 si a = 2• si a > 2

lımx!0+

f (x) = 0 8a ( 0⇥ acotado ).⇥Cuando x<0 , x

a no está definido⇤.

Con todo lo aprendido sobre Taylor y los límites indeterminados podemos abordar diferentesproblemas de secciones anteriores para los que nos faltaban argumentos. Por ejemplo, apare-cieron límites indeterminados en la definición de derivada. Aunque los teoremas de derivaciónpermiten calcular casi todas, quedaban aún algunas que no sabíamos hacer. Pero ahora ya sepuede con Taylor y L’Hôpital:

Ej. Estudiemos si son derivables en x = 0 las siguientes funciones:

n(x)=arctan 1x

2 , n(0)= p2 . Usando un teorema de 3.2 vimos que n

0(0)=0 . Directamente:

n

0(0) = lımh!0±

arctan( 1h

2 )� p2

h

= lımt!±•

arctan(t2)� p2

1/t

= lımt!±•

2t/[1+t

4]

�1/t

2 = 0 .

l(x)=log(1+x)

x

, l(0)=1 . Como l(x)= x+o(x)x

!x!0

1 , la función l es al menos continua en x=0 .

Aunque no va a ser lo más rápido, acudamos a la definición para ver si existe l

0(0) :

l

0(0) = lımh!0

log(1+h)/h�1h

= lımh!0

log(1+h)�h

h

2 = lımh!0

�h

2/2+o(h2)h

2 =� 12 .

¿Existirá también l

00(0) ? Siguiendo con la definición, necesitamos antes tener l

0(x) para x 6=0 :

l

0(x)=x�(1+x) log(1+x)

(1+x)x2 ! l

00(0)= lımh!0

2h+(1+h)h2�2(1+h) log(1+h)2(1+h)h3 = · · ·= lım

h!0

43 h

3+o(h3)2h

3+2h

4 = 23 .

Pero las cosas son mucho más fáciles gracias a Taylor. Nuestra l es exactamente:

l(x) =x�x

2/2+x

3/3�x

4/4+···x

= 1� x

2 +x

2

3 � x

3

4 + · · · para todo |x|<1 .

Como está definida por una serie de potencias (o sea, es analítica) es C

• y sabemos que:

l(0) = 1 , l

0(0) =� 12 , l

00(0)2 = 1

3 ) l

00(0) = 23 , . . .

83

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También serán muy útiles los temas de este capítulo en el dibujo de gráficas:

Ej. f (x)= e�1/x

2 , f (0)=0 . Comprobemos primero, como dijimos en 4.4, que f

(n)(0)=0 8n .

Para x 6= 0 es: f

0(x) = 2x

3 e�1/x

2 , f

00(x) = [ 4x

6 � 6x

4 ]e�1/x

2 , f

000(x) = [ 8x

9 � 36x

7 +24x

5 ]e�1/x

2 , ...

Entonces: f

0(0)= lımh!0

e�1/h

2

h

= lımt!•

te�t

2= 0 , f

00(0)= lımh!0

2e�1/h

2

h

4 = lımt!•

2t

4e�t

2= 0 , ...

⇥pues et

2 es mucho mayor que et

�et/et

2= et�t

2!t!•

e�• = 0�

y sabemos que t

ne�t ! 0t!•

⇤.

Para cualquier n , tras hacer h= 1t

, acabaremos en: f

(n)(0)= lımt!•

(polinomio) ·e�t

2= 0 .

1

-1 1

Para hacer el dibujo observamos que:f es par y es f (x)�0 . f (x)! e0=1 si x !±• .f crece para x>0 y decrece si x<0 . f (1)= e�1⇡ 0.37 .Inflexión en i±=±

� 23�1/2⇡ 0.82 . f (i±)= e�3/2⇡ 0.22 .

⇥Sin calculadora podríamos hallar aproximadamente los valores de arriba con los desarrollos de Taylor:�1� 1

3�1/2

=1� 16�

172�· · · . La serie es no alternada, pero con sólo esos 3 términos sale ya ⇡ 0.82 .

Nos costaría más hallar e�3/2=1� 32+

98�

916+

27128�· · · (más lejos de 0 ) que e�1= 1

2�16+

124�· · · ,

pero en ambos casos podríamos dar cotas de los errores, por tratarse de series alternadas⇤.

Ej. e(x)= e�1/x

! • si x ! 0�! 0 si x ! 0+ . A diferencia de la anterior esta no es ni siquiera continua en 0 .

1

-1 1

e

1/e

Para x 6= 0 es ahora: e

0(x) = 1x

2 e�1/x , e

00(x) = 1x

4 [1�2x]e�1/x .

e

0(x)�!x!0�

• (“• ·•”) y e

0(x)�!x!0+

0 (como en el ejemplo anterior).

e no es simétrica. También es e(x)�0 y e(x)!1 si x !±• .

La e crece en (�•,0) y (0,•) y la inflexión se da en x= 12 .

e(�1)= e ⇡ 2.72 . e(1)= e�1⇡ 0.37 . e

� 12�= e�2⇡ 0.14 .

Ej. g(x) = x

2 e1/x e�x . g(x)�0 8x . Asíntotas:

31–1 2

g

1 23

Psi x ! 0�, g ! 0 ·0 ·1 = 0 ; si x !�• , g ! • ·1 ·• = • ;si x ! 0+, g ! 0 ·• ·1 indeterminado:

lımx!0+

g = 1 · lımt!•

t

�2et = • ;

si x ! • , g ! • ·1 ·0 indeterminado:lımx!•

g = 1 · lımx!•

x

2e�x = 0 .

g

0(x) =�[x�1]2e1/xe�x siempre decreciente(x = 1 punto de inflexión con tangente horizontal);

g

0(x)! 0 si x ! 0� ; g

0(x)!�• si x ! 0+.

g

00(x) = 1x

2 [x�1][x3 �3x

2 + x�1]e1/xe�x.

Analizamos el número de raíces de P(x) = x

3 �3x

2 + x�1 : +�+� (3 ó 1 positivas)���� (sin raíces negativas)

P

0(x) = 3x

2 �6x+1 = 0 si x = 1±p

2p3

, P

�1�

p2p3

�=�2+ 4

3

p2p3< 0

) sólo 1 cero real de P [en (2,3)] ) 2 puntos de inflexión de g .

Los únicos valores sencillos: g(�1) = g(1) = 1 , g

0(�1) =�4 .

84

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Ej. p(x) = cos2x etanx , p-periódica. Continua si x 6= p

2 +kp .

p

0(x)= [1� sen2x] etanx � 0� p

4 +kp inflexión horizontal�.

p �!x!p/2+

0 ·0 = 0 , p

0 �!x!p/2+

1 ·0 = 0 , p �!x!p/2�

0 ·• :

L’Hôpital: etanx

1+tan2x

�!•/•

etanx

2tanx

�!•/•

etanx

2 �!x!p/2�

• .ho bien, lım

x!p/2�etanx

1+tan2x

t=tanx

= lımt!•

et

1+t

2 = •i.

Ej. l(x) = 6log |x|+ 1x

2 + 3x

3 . Dominio = R�{0} .

Cuando x !±• , l(x)! • y se parece a 6log |x| .

l(x) =6x

3 log |x|+x+3x

3 �!x!0±

±•�pues x

3 log |x|! 0�.

l

0(x)= 1x

4

⇥6x

3�2x�9⇤⌘ 1

x

4 P(x) . P sin raíces enteras.

P

0=0 ! x=± 13 . P

�� 1

3 )<0 , P(1)=�5 , P(2)=35) único 0 de l

0 en (1,2) [antes <0 y después >0 ].

l

00(x)= 6[6+x�x

3]x

5 =� 6x

5 [x�2][x2+2x+3]=0 , x=2 .l(�1)=�2 , l(1)=4 , l(�2)⇡ 4.03 , l(2)⇡ 4.78 .

Ej. h(x) = x log(1+ 4x

2 ) . Impar. lımx!0

h = lımx!0

log [1+4/x

2]1/x

= (L’H) = lımx!0

8x

x

2+4 = 0 .

lımx!•

h = (L’H) = lımx!•

8x

x

2 +4= 0 [o bien (x = 1/t) lım

t!•log [1+4t

2]

t

= lımt!•

[4t + o(t2)t

] = 0 ;⇥o (informal) h ⇠

x gordox

4x

2 = 4x

2 , pues log(1+•)⇠ • si • chico⇤.

1 2

–1–2

1.4

1.6h

0(x) = log(1+ 4x

2 )� 8x

2+4 ; h

0(x) �!x!0+

• .

h

0(1)= log5� 85 ⇡ 0.01 , h

0(2)= log5�1⇡� 0.3 !hay un único máximo (en un x algo mayor que 1)

h

00(x) =8[x2�4]x[x2+4]2

h es [ en (�2,0)[(2,•)h es \ en (�•,2)[(0,2)

h(1) = log5 ⇡ 1.61 , h(2) = 2log2 ⇡ 1.4 .

Ej. k(x) = shx

x

1/3 . Par. k ! • si x ! •.

k

thx

3x

r

1 2

2.9

1.2

k(x) = x

2/3 +o(x2/3) ) continua en x = 0 si k(0) = 0 .�y no derivable; o directamente k

0(0+) = lımh!0+

shh

h

4/3 = •�.

k(±1)= 12 [e� e�1]⇡ 1.2 , k(±2)=2�4/3[e2� e�2]⇡ 2.9 .

k

0(x) = x

�1/3 chx� 12 x

�4/3 shx = 0 , thx = 3x (nunca).

k

00(x) =[9x

2+4]shx

9x

7/3 � 2chx

3x

4/3 = 0 , thx = 6x

9x

2+4 ⌘ r(x)

Vemos si se cortan las gráficas de r y th [impares]:

r

0(0) = 32 , r( 1

3 ) = 0.4 , r( 23 ) = 0.5 (máximo de r ), r ! 0

x!•,

th0 0=1 , th 13 ⇡ 0.32 , th 2

3 ⇡ 0.58 , th ! 1x!•

) hay un punto de inflexión para un x2� 1

3 ,23�

.

85

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Por último, con las técnicas para resolver indeterminaciones de esta sección ya sabemos calcularmuchos más límites de sucesiones (y deducir convergencias de series). Recordamos que:

lımx!a

f (x) = L , toda sucesión {a

n

}⇢dom f�{a} con {a

n

}! a satisface que f (an

)! L .

lımx!•

f (x) = L , toda sucesión {a

n

}⇢dom f con {a

n

}! • satisface que f (an

)! L .⇥Los teoremas también valían si L era + ó �• ; en particular, f (x) !

x!•L ) f (n) !

n!•L

⇤.

Ej. Si a>0 , logn

n

a

! 0 porque logx

x

a

!x!•

0 , como vimos usando L’Hôpital (adelantado al final de 2.1).

[No es nada elegante aplicar L’Hôpital o Taylor directamente a una sucesión, pues estrictamentehablando una sucesión es una función que sólo toma valores sobre los enteros y claramente notiene sentido hablar de su derivada; se debe, pues, cambiar la variable n por x para indicar quelo que se deriva es la f (x) que da lugar a la sucesión para los n2N ; el problema es que si unolo hace ‘mal’ puede llegar bien al resultado (pero que no olvide que deriva la f (x) )].

Ej. n

pn ! 1 , pues {n}! • y x

1/x ! 1 cuando x ! • (por la misma razón 7n+3p7n+3 ! 1 ).

Ej. (1+a

n

)1/a

n ! e si {a

n

}! 0 , pues vimos que (1+x)1/x�!x!0

e (límite también admitido en 2.1).

Ej. En los ejemplos del capítulo 2 no sabíamos que b

n ( b>1 ) , ean ( a>0 ) crecen más que n

c .[Lo probamos a partir de una serie y también es consecuencia de otro límite de funciones calculado].

3en� e2n+7n

5= e2n

⇥e�n�1+7 n

5

e2n

⇤!�• (“�1 ·•”)

(n+3)2 arctannpn

4+nsenn�n

9e�n

=(1+ 3

n

)2 arctannq

1+ senn

n

3 � n

7en

�!n!•

1·(p/2)p1+0�0 = p

2

pues sabemos que n

c

ean

�!n!•

0 .

Ej. a

n

=log(e2n+n)

n

. log(e2x+x)x

•/•�! (2e2x+1)/(e2x+x)1 = 2+e�2x

1+xe�2x

�!x!•

2 ) a

n

! 2 .

O con más ingenio: a

n

=log(e2n[1+ne�2n] )

n

= 2+ log(1+ne�2n)n

! 2 , pues ne�2n ! 0 .[No es siempre cierto que log(algo) sea menor que una potencia de n ] .

Ej. n

2 sh 1n

2 ! 1

"pues {n

2}! • y es lımx!•

x sh 1x

= lımt!0+

sh t

t

= lımt!0+

t+o(t)t

= 1

o más corto, porque� 1

n

2

! 0 y, cuando x ! 0 , shx

x

! 1

#.

Ej. n

4�n

6 arctan 1n

2 ! 13 , pues se puede poner como f ( 1

n

2 ) con f (x)= x�arctanx

x

3 =x

3/3+···x

3 �!x!0

13 .

⇥Más informalmente: arctan•⇠ •� 1

3•3 ) n

4�n

6 arctan 1n

2 ⇠ n

4�n

4 + 13 ! 1

3⇤.

Ej. Â arctan 1n

diverge, pues arctan 1n

⇠ 1n

�es decir, arctan(1/n)

1/n

! 1 , pues arctanx

x

�!x!0

1 y 1n

! 0�.

Ej. Â log�1+ 1

n

2

�converge, pues log

�1+ 1

n

2

�⇠ 1

n

2

�ya que log(1+x)

x

�!x!0

1 y 1n

2 ! 0�.

[ log(1+•) = •� · · · ]

Ej. Â (�1)n

n

2 e�p

n converge por Leibniz, porque es alternada, f (n) = n

2 e�p

n tiende a 0⇥pues lım

x!•f (x)=

⇥x= t

2⇤= lımt!•

t

4

et

= 0 , o por L’Hôpital (más largo sin el cambio):

x

2/ep

x ! 4x

3/2/ep

x ! 12x/ep

x ! 24x

1/2/ep

x ! 24/ep

x ! 0⇤.

y es decreciente a partir de un n

⇥ya que f

0(x) = x

2 (4�p

x)e�p

x < 0 si x>16⇤.

86

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4.6. Series complejas de potencias

Comenzamos hablando brevemente de las funciones de variable compleja. Una f de variable complejaserá una regla que asigna a cada complejo z de un dominio un único complejo f (z) .Como los reales son un tipo particular de números complejos podríamos hablar también de funcionesreales de variable compleja, si f (z) es real para cada z , o de funciones complejas de variable real (inclusolas funciones reales de variable real se pueden mirar como un tipo particular de funciones complejas).

Ej. f (z)=z

2 , f (z)=z , f (z) = f (x+ iy) = xy+ ix son funciones complejas de variable compleja.Una función compleja de variable real es, por ejemplo, f (x) = senx+ i thx , si x2R .Funciones (importantes) reales de variable compleja son:

f (z)= |z| (función ‘módulo’),Arg(z)=q , con q argumento principal de z (función ‘argumento’),Re(z) = Re(x+ iy) = x , Im(z) = Im(x+ iy) = y (funciones ‘parte real’ y ‘parte imaginaria’).

Cualquier función de valores complejos puede escribirse en la forma f = u+ iv , donde u y v (partereal y parte imaginaria de f ) son funciones con valores reales. Por ejemplo, así podemos expresar:

f (z) = z

2 = (x2 � y

2)+ i(2xy) , f (z) = z = x� iy

Para pintar estas funciones podríamos dibujar flechas entre dos planos complejos, o bien escribir el valorde f (z) sobre cada z de un plano complejo. Las dos cosas están hechas abajo para f (z) = z

2 :

i

1 44 1

i

–i

–i

–1

–4

–4

–1

4i

0

1

i

–1 1

–i

1–1

i/2(1+i)/2

Límite y continuidad se definen como en R sustituyendo valores absolutos por módulos:Def.

�e,d 2R ; z,a,L2C

lımz!a

f (z) = L si 8e > 0 9d > 0 tal que si z cumple 0 < |z�a|< d ) | f (z)�L|< e .f es continua en a si 8e >09d >0 tal que si z cumple |z�a|<d ) | f (z)� f (a)|<e .

radio !

radio "

f[Si un entorno es B(a,r) = {z2C : |z�a|<r} , que f es continuaen a significa que podemos dar un entorno de a de radio d losuficientemente pequeño de forma que su imagen este contenidaen un entorno de f (a) de radio e , por pequeño que sea e ].

Teorema: f y g continuas en a2C ) f±g , f ·g y f/g (si g(a) 6=0 ) son continuas en a .Si f =u+iv ( u , v reales), entonces f continua en a , u y v continuas en a .

Las demostraciones del ± , · y / son iguales que las reales, ya que seguimos teniendo ladesigualdad triangular; para la otra: | f (z)� f (a)|= |[u(z)�u(a)]+ i [v(z)�v(a)]| es pequeñosi y sólo si lo son |u(z)�u(a)| y |v(z)� v(a)| .

Def. f (z) es derivable en a2C si existe el lımz!0

f (a+ z)� f (a)

z

= f

0(a) .

[Igual que la de R; también como allí se demuestra que ‘derivable ) continua’ y que:( f ±g)0 = f

0±g

0 , ( f ·g)0 = f

0g+ f g

0 , (1/g)0 =�g

0/g

2 , ( f �g)0(a) = f

0(g(a)) ·g0(a)Con esto es fácil derivar polinomios y funciones racionales (más adelante también derivaremossenz , cosz y ez , pero por ahora ni siquiera sabemos lo que son estas funciones complejas)].

87

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Ej. Es fácil ver que f (z)= cte y f (z)=z son continuas y derivables en cualquier a con lo quetambién lo serán cualquier polinomio o cociente de polinomios donde el denominador no se anula.

qp

a

a-

Ej. Re(z)=x e Im(z)=y son continuas 8a por el teorema y porque f (z)=z lo es.⇥O directamente: si a = p+ iq

|x� p|, |y�q|<p[x� p]2+[y�q]2 = |z�a|<e si |z�a|<d =e

⇤.

Ej. f (z) = z es continua 8a2C : |z�a|= |z�a|= |z�a|<e si |z�a|<d =e⇥o por el teorema y el ejemplo anterior: u(z) = x , v(z) =�y lo son

⇤.

[Como se verá en los libros de cálculo en varias variables, una función de dos variables que seacomposición de funciones continuas será continua; así será fácil asegurar que lo es, por ejemplo,f (x+ iy) = yarctan(xy)+ ixcos(x+ y) ]

casi 2!

0 0

Hay funciones discontinuas muy sencillas como Arg(z) en cualquier a realpositivo. En cualquier entorno de a hay puntos z en que Arg(z) es casi 2py por tanto |Arg(z)�Arg(a)| = |Arg(z)� 0| no se puede hacer tan pequeñocomo queramos [en los demás a la función sí es continua; si el argumento

principal lo hubiésemos escogido en (�p,p] conseguiríamos que la función Arg(z) fuese continua enel semieje real positivo, pero la discontinuidad se trasladaría al negativo].

Ej. Funciones de pinta inofensiva son no derivables como f (z)=z , pues 6 9 lımz!0

f (z)� f (0)z

= lımx+iy!0

x�iyx+iy :

x�iyx+iy cuando y=0 vale 1 y cuando x=0 vale �1 ; el límite no puede existir pues

el cociente toma valores 1 y �1 para z tan cercanos como queramos a 0 .

[Sabiendo algo de derivadas parciales: se prueba en análisis complejo que para que una f = u+ iv

sea derivable es necesario que se cumpla: u

x

= v

y

, u

y

=�v

x

(ecuaciones de Cauchy-Riemann).Para f (z)= x� iy no se satisfacen, pues u

x

= 1 6= v

y

=�1 . De hecho, la mayoría de las funcionesdefinidas en la forma f = u + iv serán no derivables, pues es mucha casualidad que u y v

cualesquiera satisfagan dichas ecuaciones. Comprobemos que sí se cumplen para una funciónderivable como f (z) = z

2 (de derivada f

0(z) = 2z ) : u

x

= 2x = v

y

, u

y

=�2y =�v

x

].

Consideremos ahora las sucesiones {a

n

}⇢C de complejos, o sea, funciones de N en C :

Def.{a

n

}! L si para todo e >0 existe N natural tal que si n�N

entonces |an

�L|< e [ | · | módulo ]

p

aL

b b

a1

21

2

!Para cualquier entorno de L casi todos los puntos de {a

n

} están dentro:

Teorema: Sea a

n

= b

n

+ ic

n

, con b

n

y c

n

reales y L = p+ iq .Entonces {a

n

}! L , {b

n

}! p y {c

n

}! q .

)) 8e 9N tal que si n�N ) |an

�L|= |(bn

�p)+ i(cn

�q)|<e , (bn

�p)2 +(cn

�q)2<e2

)⇢

(bn

�p)2 < e2 ) |bn

�p|< e(c

n

�q)2 < e2 ) |cn

�q|< e

() 8e⇢

9N1,n � N1 ) |bn

�p|< e2

9N2,n � N2 ) |cn

�q|< e2

) |an

�L| |bn

�p|+ |cn

�q|< e si n �máx{N1,N2}

Como en R, una serie de complejos Âa

n

se dice convergente si lo es su sucesión S

n

de sumas parciales.Una consecuencia inmediata del teorema anterior es:

Teorema: a

n

= b

n

+ ic

n

: Âa

n

converge , Âb

n

y Âc

n

convergen y es•

Ân=1

a

n

=•

Ân=1

b

n

+ i•

Ân=1

c

n

88

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Âa

n

es absolutamente convergente si lo hace la serie real  |an

| , a la que se le pueden aplicar loscriterios de convergencia de series reales conocidos. Se tiene también que:

Teorema: Âa

n

absolutamente convergente ) Âa

n

convergente

Si a

n

= b

n

+ ic

n

, |an

|2 = |bn

|2 + |cn

|2 ) |bn

|, |cn

| |an

| . Por tanto:Â |a

n

| convergente ) Â |bn

| y  |cn

| convergente ) Âb

n

y Âc

n

convergentes

También se tienen aquí los criterios de cociente y de la raíz (iguales que los de R) y son reales lassucesiones |a

n+1||a

n

| y n

p|a

n

| cuyo límite hay que calcular para aplicarlos.

Ej. a

n

= sen 1n

+ i(2+ 1n

)n diverge, pues b

n

= sen 1n

! 0 , pero c

n

= (2+ 1n

)n ! • .

Ej. a

n

= ( 12+

i2 )

n ; |an

|=2�n/2 ! 0 ) a

n

! 0 [esto es intuitivamente claro y fácil de formalizar].

Ej. Â( 12 +

i2 )

n converge pues  |an

|= Â( 1p2)

n es serie geométrica convergente

[como en R se ve que: Âa

n

convergente ) a

n

! 0 ; otra prueba de que la última {a

n

} converge].

Ej. Â inn

no converge absolutamente (pues  1n

es divergente), pero sí converge:

 inn

= i� 12 �

i3 +

14 +

i5 �

16 + · · ·=� 1

2 (1�12 +

13 � · · ·)+ i(1� 1

3 +15 � · · ·)

puesto que son convergentes las dos últimas series por Leibniz.

Ej. Â (7+i)n

n

3 diverge, porque |an+1||a

n

| =|7+i|n+1

|7+i|nn

3

(n+1)3 = 5p

2 n

3

(n+1)3 ! 5p

2 > 1 , o bien, porque

n

p|a

n

|= 5p

2n

3/n

! 5p

2 > 1�que  |a

n

| diverja, en principio no prueba nada�.

Veamos ya las series de potencias complejas f (z)=•

Ân=0

a

n

z

n = a0 +a1z+a2z

2 + · · · , a

n

,z2C .

Se tienen resultados como los de R con demostraciones (que no hacemos) iguales que allí:Teorema:

A cada serie de potencias está asociado un número positivo R , llamado radio de convergenciade la serie, que tiene las siguientes propiedades: si R = 0 , la serie sólo converge si z = 0 ; siR = • , la serie converge para todo z ; si R es un número real positivo, la serie converge para|z|<R y diverge para |z|>R .

converge

diverge?

? ?

Aquí el intervalo de convergencia se ha convertido en el círculo de convergencia|z|<R . Sobre la circunferencia |z|=R no se puede asegurar nada. Como enR habrá series que convergen en toda ella, otras en puntos aislados, otras enninguno... El R se podrá calcular casi siempre mediante el cociente o la raíz.Estas series se pueden sumar, multiplicar, dividir,... igual que las reales y se tieneel mismo resultado sobre derivación:Teorema:

Sea f (z) =•

Ân=0

a

n

z

n para |z|< R ) f es derivable para |z|< R y f

0(z) =•

Ân=1

na

n

z

n�1 .

Y, por tanto, las funciones definidas por series de potencias vuelven a ser infinitamente derivables (y tam-bién continuas, desde luego) dentro del círculo de convergencia. Un resultado importante y sorprendente,que desde luego no es cierto en los reales, y que se prueba con técnicas másavanzadas de cálculo complejo es: A

Teorema: Una función f (z) derivable en una región A del plano esinfinitamente derivable en A . Además, en todo círculo contenido en A

la función f (z) coincide con su serie de Taylor.

89

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Definimos tres nuevas funciones complejas, que hasta ahora no tenían sentido:

Def. ez =•

Ân=0

z

n

n! , senz =•

Ân=0

(�1)n

z

2n+1

(2n+1)! , cosz =•

Ân=0

(�1)n

z

2n

(2n)! , 8z2C

El R de las tres series es • . Tienen propiedades (fáciles de probar) que son como las de los reales:(senz)0 = cosz , (cosz)0 =�senz , sen(�z) =�senz , cos(�z) = cosz ,

(ez)0 = ez , e�z = 1/ez , ez+w = ezew , . . .Y otras nuevas:

eiz = 1+ iz� z

2

2! �iz3

3! +z

4

4! +iz5

5! � · · ·=�1� z

2

2! + · · ·�+ i

�z� z

3

3! + · · ·�= cosz+ i senz

e�iz = cosz� i senz , senz = 12i [e

iz � e�iz] , cosz = 12 [e

iz + e�iz]

[Si z = y real deducimos la prometida relación que abreviaba la forma polar: eiy = cosy+ i seny ].

No es necesario sumar series para calcular exponenciales: ex+iy = exeiy = ex(cosy+ i seny) .

[Ni senos: sen(p + i) = 12i [e

i(p+i)� e�i(p+i)] =� i2 [e

�1eip � e1e�ip ] = i2 [e

�1 � e1] (= sen i ) ].

Las funciones complejas senz y cosz no son acotadas. En el eje imaginario, por ejemplo:

sen(iy) = 12i [e

�y � ey] = i shy , cos(iy) = 12 [e

�y + ey] = chy

[resultado clásico es que las únicas funciones acotadas y analíticas en todo C son las constantes].

Lo visto de series complejas explica situaciones sorprendentes de las funciones reales. ¿Por qué si tantoex como 1/(1+x

2) son C

•(R), la serie de la primera converge 8x y la de la otra sólo lo hace si |x|<1 ?Pues porque la serie 1�z

2+z

4� · · · de 1/(1+x

2) ha de definir una función continua y en z =±i estano lo es [esto sucede para todo cociente de polinomios complejos (reales, en particular): el radio R de suserie es la distancia al cero más próximo del denominador (en |z|<R es derivable y, por tanto, analítica)].También entendemos el extraño comportamiento de f (x)=e�1/x

2 que tiene infinitas derivadas pero sólocoincide con su serie de Taylor en x = 0 : como f (iy) = e1/y

2 !y!0

• , no es siquiera continua en z=0 .

CONV

DIV

CONV

DIV

i

–1 1

CONV

Ej. Estudiemos donde converge: Â z

n

pn

. |an+1||a

n

| =p

n+1pn

! 1 = R .

Converge en el círculo |z|< 1 y diverge en |z|> 1 . ¿Qué pasa en |z|=1 ?No converge absolutamente en esa circunferencia, pero podría convergeren algunos z de ella. Por ejemplo:

si z =�1 , la serie  [�1]npn

converge por Leibniz; si z = 1 , Â 1pn

diverge;

si z = i , converge, pues  inpn

= Â [�1]np2n

+ i  [�1]np2n+1 y convergen ambas (Leibniz).

Ej. Desarrollemos en serie f (z) = 1z

2+4 .

Que•

Ân=0

z

n converge , |z|<1 y que su suma es 11�z

se prueba como en R. Así pues:

f (z) = 14

11�[�z

2/4] =•

Ân=0

(�1)n

z

2n

4n+1 , |�z

2

4 |<1 , |z|<2 (distancia de los ceros al origen).

[la serie no converge en ningún punto de la circunferencia |z|=2 pues para cualquier z con esemódulo queda una serie cuyo término general no tiende a 0 pues tiene módulo constante 1

4 ].

Podemos desarrollarla también (dando rodeos) de otras formas.Descomponiendo en fracciones simples complejas:

1z

2+4 = 14i [

1z�2i �

1z+2i ] =

18 [

11�z/2i +

11+z/2i ] =

18

Ân=0

[ z

n

(2i)n

+ (�z)n

(2i)n

] = 18

Ân=0

2z

2n

22ni2n

=•

Ân=0

(�1)n

z

2n

4n+1

Dividiendo (las manipulaciones con series complejas, como dijimos, como las de las reales):[4+z

2][a0+a1z+a2z

2+ · · · ]=1 ! 4a0=1,a0=14 ; 4a1=0,a1=0 ; 4a2+a0=0,a2=� 116 ; . . .

90

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5. Integración en R

5.1. Definición y propiedades

Sea f acotada en [a,b] . Dividimos [a,b] en n subintervalos dela misma longitud Dx por medio de los n+1 puntos:

a=x0 < x1 < · · ·< xn=b con xk+1�xk =b�a

n ⌘ Dx .Para cada n llamamos suma inferior Ln y superior Un a:

Ln=n

Âk=1

mkDx , Un=n

Âk=1

MkDx , con mk= ínf{ f (x) : x2 [xk�1,xk]}Mk=sup{ f (x) : x2 [xk�1,xk]}

Def.

Si ambas sucesiones {Ln} y {Un} convergen hacia unmismo límite, decimos que f es integrable en [a,b] ,representamos ese límite común por

R ba f ó

R ba f (x)dx

y le llamamos integral de f en [a,b] .

m4

M4

a=x0 2x1x 3x 4b=xxD

[Esta no es la definición de ‘integral de Riemann’ habitual (ver Spivak), pero es mucho más corta].

El significado geométrico es claro: si f �0 , la integral (�0) representa el área A de la región

limitada por la gráfica de f , el eje x y las rectas x=a y x=b : A es para todo n mayor quela suma Ln de las áreas de los rectángulos pequeños y menor que la suma Un de los grandes;al crecer n , ambas sumas tienden hacia A . Si f 0 , Ln y Un son negativas. La integral (0)en valor absoluto es el área de la región (situada bajo el eje x ) limitada por el eje x , la gráficade f y las rectas x=a y x=b . Si f es positiva y negativa, la integral

a b++

R ba f será la diferencia entre las áreas de las regiones que queden por

encima y las áreas de las que queden por debajo del eje x :Con los teoremas que probaremos, para saber si f es integrable y calcular la integral no se

necesitará usar la definición casi nunca. Por ahora, sólo con lo visto, unos ejemplos:

Ej. f (x) = x2 , x2 [0,1] .Ln =

n

Âk=1

(k�1)2

n21n = 1

n3

⇥02 + · · ·+(n�1)2⇤

Un =n

Âk=1

k2

n21n = 1

n3

⇥12 + · · ·+n2⇤

0 1

1

Usando el resultado que vimos en un problema de sucesiones:

12 + · · ·+n2 = n[n+1][2n+1]6 ; Ln =

[n�1]n[2n�1]6n3 , Un =

n[n+1][2n+1]6n3 ; Ln , Un ! 1

3 =R 1

0 f .

1

–1

a

bb–a

n

__

Ej. g(x)=

(�1 si x=a0 si a<x<b1 si x=b

. Ln =� b�an , Un =

b�an )

R ba g = 0 .

g es discontinua, pero integrable. Seguiría siendoR b

a g= 0 si cambiamosel valor 0 por cualquier otro en un número finito de puntos de (a,b).

Veremos pronto que funciones acotadas con un número finito de discontinuidades son siempre integra-bles, así que las funciones no integrables tienen que ser tan patológicas como la siguiente.

a b

1Ej. h(x)=

⇢1 , x2Q0 , x2R�Q , x2 [a,b]. En cada [xk�1,xk] hay puntos de Q y de

R�Q ) Ln=n

Âk=1

0 b�an = 0 , Un=

n

Âk=1

1 b�an = b�a 8n ) h no integrable.

91

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Las siguientes propiedades son intuitivamente claras a la vista del significado geométrico de laintegral y se demuestran mecánicamente usando de las definiciones (las dos primeras se resumendiciendo que ‘la integral es lineal’, como la derivada):Teorema:

Sean f y g integrables en [a,b] . Entonces:R b

a c f = cR b

a f , c2R ;R b

a [ f +g] =R b

a f +R b

a g .

Si m f M en [a,b] ) m(b�a)R b

a f M(b�a) .���R b

a f���

R ba | f | . Si f g en [a,b] )

R ba f

R ba g .

Si f es imparR a�a f = 0 . Si f es par

R a�a f = 2

R a0 f .

M

m

f

g

+

a bc

La siguiente sigue siendo intuitiva, pero es pesada de demostrar con nues-tra definición. [Para f continua será trivial usando los teoremas de 5.2,pero la propiedad es cierta también para f integrable y discontinua].Teorema:

Si a<c<b ; f integrable en [a,b] ) f integrable en [a,c] y [c,b] , eR b

a f =R c

a f +R b

c f .

DefiniendoR a

a f =0 eR b

a f =�R a

b f , la igualdad es válida para a,b,c cualesquiera.

Los dos siguientes teoremas dicen que las f (acotadas) no integrables son extrañas:

Teorema: f continua en [a,b] ) f integrable en [a,b] .

Idea de la demostración. Se prueba que {Ln} y {Un} siempre convergen (sus límites se llamanintegral inferior y superior de f ) y así f es integrable si Un�Ln! 0 . Como f es uniformementecontinua, la diferencia entre dos valores cualesquiera de f en dos x,y2[a,b] es tan pequeña comoqueramos para x e y suficientemente próximos; en particular, lo es la diferencia entre los valoresmáximo y mínimo de f en [xk�1,xk] , si el intervalo es muy pequeño. Así, si n es suficientementegrande tenemos que para cada k :

Mk�mk <e

b�a 8e ) Un�Ln =n

Âk=1

(Mk�mk)Dx < e para n grande ) Un�Ln ! 0 .

f continua a trozos(integrable)Ya vimos que funciones discontinuas podían ser integrables. Una

f se dice continua a trozos en [a,b] si es continua salvo en unnúmero finito de puntos y en ellos posee límites laterales.⇥No lo son las funciones 1

x o sen( 1x ) en [0,1] , definámoslas como las definamos en x=0

⇤.

Teorema: f continua a trozos en [a,b] ) f integrable en [a,b] .

= +

[dividimos en subintervalos de modo que f sólo tengadiscontinuidades en los extremos; en cada intervalo esfácil ver que es integrable por ser suma de una funcióncontinua y de otra integrable como la g del ejemplo].

Como es 0 el valor de la integral de una función como g se ve que cambiando el valor de una

f integrable en un número finito de puntos, la nueva función h continúa siendo integrable

y el valor de la integral es el mismo, pues h= f+g con una g de esas y la integral es lineal.⇥Hay funciones integrables con infinitas discontinuidades; por ejemplo, una f creciente y acotada

es integrable�pues Mk�1=mk , k=1, ...,n ) Un�Ln=

f (b)� f (a)n

�, aunque tenga infinitos saltos

⇤.

92

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5.2. Teoremas fundamentales

Estos teoremas fundamentales del cálculo infinitesimal relacionan las derivadas y las integra-les y nos permitirán hallar muchísimas integrales prescindiendo de la definición.

Sea f acotada e integrable en [a,b] ; para cada x2 [a,b] laR x

a f existe (y es un número).

Podemos, pues, definir una nueva función: F(x) =R x

a f , x2 [a,b]a

bx

'área'=F(x)

fPrimer teorema fundamental del cálculo infinitesimal:

f integrable en [a,b] ) F continua en [a,b] .Si además f es continua en un c2(a,b) entonces F es derivable en c y F 0(c)= f (c) .�Y por tanto, si f es continua en todo [a,b] entonces F 0(x) = f (x) 8x2 [a,b]

�.

Como f es acotada en [a,b] , existen supremo e ínfimo de f en cada intervalo ⇢ [a,b] .Sea c2(a,b) y sea h>0 . Llamemos:

Mh= sup�

f (x) : x2 [c,c+h]

, mh= ínf�

f (x) : x2 [c,c+h]

.

Entonces: mhh R c+h

c f =R c+h

a f �R c

a f = F(c+h)�F(c) Mhh

) [F(c+h)�F(c)]! 0 , si h ! 0+ . a bc c+h

cc+hf

Así pues, F es continua en c (cambiando detalles se vería para h ! 0� ).

Sea ahora f continua en c . Si h>0 se deduce que: mh F(c+h)�F(c)h Mh

(y a la misma igualdad se llegaría, de forma análoga, para h<0 ).

Como f continua en c , Mh,mh ! f (c) si h ! 0 , y por tanto F(c+h)�F(c)h �!

h!0f (c) .

0

x

f0

x

F

Ff

d/dx d/dx

! ! [El teorema nos dice que, al contrario que al derivarla,la F obtenida integrando f es ‘más suave’ que ella. Sif es discontinua en c , F es continua en c (aunque Ftenga un ‘pico’ en c ); y si f tiene picos, desaparecenal integrarla. En general, f 2Cn ) F 2Cn+1 ].

Ej. f (x) = esen(chx) continua 8x ) F(x) =R x

0 f , G(x) =R x

7 f , . . . tienen por derivada f (x) 8x .⇥

F 0(x)= f (x) también para x<a (si f continua en x ), pues si c<x con f integrable en [c,a] :

F(x) =R x

a f =R x

c f �R a

c f⇤.

Segundo teorema fundamental del cálculo infinitesimal:

f es continua en [a,b] y f =g0 para alguna función g )R b

a f = g(b)�g(a)⌘ g⇤b

a

Como F 0 = f = g0 ) F(x)=g(x)+k para algún número k . Como 0=F(a)=g(a)+k) k =�g(a) ) F(x) = g(x)�g(a) . En particular: F(b) =

R ba f = g(b)�g(a) .

Def. Dada una función f , una g cuya derivada sea f se llama primitiva de f .

El segundo teorema dice que para calcular la integral de una f continua basta hallar una

primitiva de f (y no es necesario utilizar las sumas superiores e inferiores). Si g es primitivade f , es claro que cualquier otra primitiva de f es de la forma g+K .

93

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Def. El conjunto de todas las primitivas se designa porR

f (x)dx .

(Son funciones y no un número comoR b

a f ; a veces se llama integral definida

de f entre a y b a esta última, e integral indefinida al conjunto de primitivas).

En algunos casos, hallar la primitiva de una f es inmediato y, por tanto, lo es calcular algunasintegrales. Por ejemplo, es ahora ya trivial calcular la primera integral vista en 5.1:

Ej.

R 10 x2dx = x3

3⇤1

0 =13 pues x3

3 es una primitiva de x2 ya que ddx

x3

3 = x2 ;

(todas las primitivas de x2 sonR

x2dx = 13 x3+K ; si para el cálculo de esta integral

tomásemos otro valor de la K 6=0 , llegaríamos, desde luego, al mismo resultado).

De hecho, cada derivada conocida nos proporciona una fórmula de integración:

Ej.

Zdx

cos2 x = tanx ,R

shx = chx ,Z

dx[4�x]2 =

14�x ,

Z2xdxx2�1 = log |x2�1| , . . .

(más exacto sería escribir tanx+K , chx+K , ... ; nosotros no lo haremos pero tengámoslo en cuenta).

A menudo al integrando le faltarán constantes que se calculan derivando de cabeza o tanteando(como con la x2 de arriba: derivando x3 se tiene 3x2 , luego falta 1

3 en la primitiva):

Ej.

Zdxp

1�9x2= 1

3 arcsen(3x) ,R

x�5/3dx =� 32 x�2/3 ,

Zdx

4+x2 =Z

dx4[1+(x/2)2] =

12 arctan x

2 , . . .

Pero en muchísimas ocasiones calcular primitivas puede ser largo o muy complicado (a ellonos dedicaremos en la próxima sección). Más aún, hay funciones de apariencia sencilla paralas que se demuestra que no tienen primitivas que puedan escribirse como suma, producto,

composición,... de funciones elementales, como:R

senx2dx ,R

ex2dx ,

R senxx dx ,

R ex

x dx ,R dx

logx ,Rp

1+x3 dx ,R 3p

1+x2 dx , . . .

Si f es continua una primitiva suya es la F(x) de los teoremas fundamentales (pero estono sirve para calcular una integral concreta). Así F(x) =

R x0 sen t2dt , F⇤(x) =

R x�1 sen t2dt , ...

son todas primitivas de f (x)=senx2 ; es decir,R

senx2dx =R x

a sen t2dt +K .

[Las variables x, t, ... son mudas, pero no se repite la letra del límite de integración en el

integrando porque podría dar lugar a errores: F(1) esR 1

0 sen t2 dt , pero no esR 1

0 sen1dxy a esto nos podría llevar una incorrecta notación como

R x0 senx2 dx ].

También hay funciones integrables sin primitivas (claramente no pueden ser continuas):

Ej. f (x) =⇢

1 si x = 00 si x 6= 0

no tiene primitiva�

F(x) =R x

a f = 0 8x no lo es�.

0

1

De los TFCI se deducen las propiedades del logx=R x

1dtt que habíamos adelantado:

f (x)= 1x continua si x>0 ) F(x)= logx derivable (y continua) si x>0 y F 0(x)= 1

x .

De la definición también salrían el resto de sus propiedades. Probemos una de ellas(aunque utilizando un cambio de variable de los que veremos en la próxima sección):

para a,b>0 , log(ab)=R ab

1dtt =

R a1

dtt +

R aba

dtt =

"loga+ logb

haciendo t=as en la segunda integral

94

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El segundo TFCI permite también probar con facilidad algunas de las propiedades generales delas integrales vistas en 5.1, en el caso particular de que el integrando sea continuo; por ejemplo,si F y G son primitivas de f y g se tiene:

R ba [ f +g] = [F+G](b)� [F+G](a) = F(b)�F(a)+G(b)�G(a) =

R ba f +

R ba g ,

R ba f = F(b)�F(a) = F(b)�F(c)+F(c)�F(a) =

R ca f +

R bc f , . . .

Pero recordemos que también son ciertas estas propiedades para las funciones que sólo soncontinuas a trozos. De hecho, sabemos hallar ya fácilmente integrales de muchas f de ese tipo,dividiendo el intervalo y aplicando los TFCI en cada subintervalo:

Ej. HallemosZ p

0f , si f (x) =

n cosx , 0 x p2

�1 , p2 < x p .

R p0 f =

R p/20 cosxdx+

R pp/2[�1]dx = [senx]p/2

0 +[�x]pp/2 = 1� p2 .

⇥pues

R pp/2 f =

R pp/2[�1]dx , ya que coinciden salvo en x= p

2⇤.

0

1

–1

π/2

cos x

π

0

1

π/2π

F

1-π/2

También sabemos hallar para todo x2 [0,p] la primitiva F(x)=R x

0 f .Para x> p

2 hay dos expresiones de la función:Z x

0f =

(R x0 cos t dt , 0 x p

2R p/2

0 cos t dt +R x

p/2[�1]dt , p2 x p

=

⇢senx , 0x p

21+ p

2 �x , p2 x p

[función que, como nos aseguraba el primer TFCI, es continua también en x=p/2 ,aunque no es derivable en ese punto: F 0(p/2�)=0 6=�1=F 0(p/2+) ].

Como sabemos hallar derivadas de funciones definidas por integrales, sabemos hacer con ellastodo lo que hemos visto en cálculo diferencial: rectas tangentes, crecimiento y decrecimiento,extremos, límites indeterminados,...

Ej. Hallemos la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función F(x)=Z x

�1

t3

t4�4 dt en x= 1 :

F 0(x)= x3

x4�4 , F 0(1)= 13 ; F(1)=

R 1�1

t3

t4�4 dt = 0 (integrando impar) ) tangente: y =� x�13 .

Aunque no se necesita, podríamos (primitiva inmediata) hallar la F(x) = 14⇥

log |x4�4|� log3⇤.

Ej. Sea F(x)=R x

1 arctan(et)dt . Estudiar dónde F es inyectiva. Precisar si F(0)>0 ó F(0)<0 .

Integrando continuo 8x TFC) F 0(x)= arctan(ex)> 0 8x , pues ex>0 8x

) F es estrictamente creciente en R ) F es inyectiva en todo R .

Será F(0)< 0 porque F es estrictamente creciente y F(1)=R 1

1 =0 ,o porque F(0)=

R 01 =�

R 10 y es

R 10 >0 (integrando positivo en todo R).

Ej. Determinemos, si existe, el límite de G(x) = 1x

Z x

0

|cos t3|t2+1 dt cuando x ! 0 y cuando x ! • .

El numerador F =R x

0 es continuo y derivable 8x (integrando continuo) y es F(0)=R 0

0 = 0 .Cuando x ! 0 tenemos indeterminación 0/0 . Por L’Hôpital,

lımx!0

G(x) = lımx!0

F 0(x)1 = lım

x!0

|cosx3|x2+1 = 1 .

Si x ! • , tal vez no valga L’Hôpital (¿tenderá F a •?). De hecho, no hay indeterminación,pues vamos a ver (aunque la primitiva sea no calculable) que F está acotada. En efecto:

0 |cosx3|x2+1 1

x2+1 8x ) 0 F(x)R x

0dt

t2+1 = arctanx 8x )0 G(x) arctanx

x ) 0 lımx!•

G lımx!•

arctanxx = 0 ) G �!

x!00 .

95

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En ocasiones se trabaja con funciones similares a la F(x) , definidas por integrales de funcionesf continuas, pero con límites de integración que también son funciones (derivables) de x .Los TFCI también nos permiten derivarlas:

Si H(x) =R b(x)

a(x) f entonces H 0(x) = f [b(x)]b0(x)� f [a(x)]a0(x) .�Para los x tales que f sea continua en [a(x),b(x)] , o en [b(x),a(x)] si a(x)>b(x)

�.

⇥H(x)=

R b(x)0 f �

R a(x)0 f = F [b(x)]�F [a(x)] , con F(x)=

R x0 f , y regla de la cadena

⇤.

Ej. Utilicemos la fórmula anterior para hallar dos derivadas de la función: H(x) = xR 3x

2x e�t2dt .

H 0(x)=R 3x

2x e�t2dt + x

⇥e�9x2·3� e�4x2·2

⇤! H 00(x)=2

⇥3e�9x2�2e�4x2⇤

+2x2⇥8e�4x2�27e�9x2⇤

[expresiones válidas 8x , tanto si es positivo como negativo].

Ej. Estudiemos el crecimiento y decrecimiento de L(x)=R 1+x

1�x log t dt en el intervalo I =⇥0, 1

2⇤

.

Como logx es continua en⇥ 1

2 ,32⇤ �

valores donde integramos si x2⇥0, 1

2⇤ �

podemos derivar L :

1

log x

L0(x)= log(1+x)� log(1�x) · [�1]= log(1�x2)<0 si x2 I ) decrece.

Era esperable: las áreas negativas que aparecen son mayores que las positivas.En este caso la primitiva sí sería calculable (por partes, como veremos), peroes un rodeo tonto hallar primitivas para derivarlas a continuación.

Ej. Sea E(x)=Z 1

5�2xe�t4

dt .Determinemos el x2 [1,3] que hace máximo el valor de Ey probemos que este valor máximo es mayor que 2

3 .

E 0(x) = 0+2e�(5�2x)4>0 ) E es estrictamente creciente en todo R, con lo que el valor

máximo se toma en x=3 y será E(3) =R 1�1 e�t4

dt (la primitiva no es calculable).

t2 [�1,1] ) t41 ) e�t4 � e�1 )R 1�1 e�t4

dt �R 1�1 e�1dt = 2

e >23 .

Ej. Hallemos los x que hacen máximo y mínimo el valor de R(x)=Z x

x/2

dt6+t3 en el intervalo [0,4] :

Integrando continuo y x2 ,x derivables ) R derivable si t�0 .

RfR0(x) = 1

6+x3 �1/2

6+(x/2)3 = 3(8�x3)(6+x3)(48+x3)

=0 si x=2 .

Crece en [0,2] y decrece en [2,4] ) máximo R(2)=R 2

1 f .El mínimo, que estará en uno de los extremos, será R(0)=0 ,

pues R(4)=R 4

2 >0 , ya que el integrando es positivo.

Ej. Estudiemos en qué x2 [0,2p] alcanza sus valores extremos la función: S(x) =Rp

x0 sen t2 dt .

–1

1√π ≈ 0.8

sen(x )2√2π ≈ 2.5

Su derivada es S0(x) = sen [(p

x)2] 12p

x �0 = senx2p

x , 8x > 0 .

Máximo y mínimo de S existen por ser continua. Los candidatos sonlos extremos y los puntos en que S0 = 0 , es decir, x = 0 , x = p yx = 2p . Con el signo de S0 se ve que S crece antes de p y decrecedespués, luego en ese punto se alcanza el máximo.

[No era necesario hallar S0 para decirlo: estaba claro viendo la gráfica de f (x)= senx2 , pueshasta x2=p añadimos áreas positivas y a partir de entonces quitamos áreas bajo del eje x ].

Precisar cuál de los mínimos locales es el absoluto exige saber cuál de estos números es menor:

S(0) = 0 ó S(2p) =Rp

2p0 sen(t2)dt

La gráfica de f sugiere que S(2p)> 0 , pero no podemos dar el valor exacto, por no tener fprimitiva elemental (veremos cómo aproximar numéricamente las integrales en la sección 5.5).

96

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5.3. Cálculo de primitivas

Ya vimos en la anterior sección cómo calcular primitivas inmediatas, consecuencias directas delas fórmulas de derivación (o casi inmediatas, teniendo cuidado con las constantes que pudieranfaltar). Nos dedicamos ahora a ver cómo hallar primitivas algo más complicadas. No existenmuchas más técnicas que las que veremos en esta sección. Que nos quede claro que la mayoríade las primitivas no son calculables.

De la linealidad de la derivada se deduce inmediatamente para las primitivas que:R[ f (x)+g(x)]dx =

Rf (x)dx +

Rg(x)dx ,

Rc f (x)dx = c

Rf (x)dx .

Ej.

R ⇥4p

x+6 +5senx�7x⇤dx = 4

Rpx+6 dx+5

Rsenxdx�

R7xdx = 8

3 [x+6]3/2 �5cosx� 7x

log7

(insistimos en que no lo escribiremos nosotros, pero que no olvidaremos que podemos añadir +K ).

Es falso que la integral de un producto sea el producto de las integrales por no serlo la derivada,pero de la fórmula del producto ( f g)0 = f g0+ f 0g obtenemos:

Integración por partes. Sean f 0 y g0 continuas (para que existan las primitivas). Entonces:R

f (x)g0(x)dx = f (x)g(x)�R

f 0(x)g(x)dx ;R b

a f (x)g0(x)dx = f (x)g(x)⇤b

a �R b

a f 0(x)g(x)dx

Esto reduce el problema a calcular otra primitiva, que será más sencilla si f 0 y g lo son (o siuna de ellas lo es y la otra no es más complicada que la anterior).

Con la notación d f ⌘ f 0(x)dx , la integración por partes se escribeR

udv = uv�R

vdu .

Ej.

Rxsenxdx =

h u = x , dv = senxdx! du = dx , v =�cosx

i=�xcosx�

R(�cosx)dx =�xcosx+ senx .

Ej.

Rxe�xdx = [ u=x , dv=e�xdx ! du = dx , v =�e�x ] =�xe�x +

Re�xdx =�(x+1)e�x .

[las primitivas de senx y e�x no son peores que ellas, pero la derivada del x sí es más sencilla].

Otras funciones que mejoran al derivarlas son los logaritmos (las potencias de x no se complican):

Ej.

R px log |x|dx =

⇥u = log |x| , dv =

pxdx

⇤= 2

3 x3/2 log |x|� 23R

x3/2 dxx = x3/2 ⇥ 2

3 log |x|� 49⇤

.

Algunas veces conviene tomar g0 = 1 (es decir, dv = dx ):

Ej.

Rlogxdx =

⇥u= logx , dv=dx ! du= dx

x , v=x⇤= x logx�

Rdx = x logx� x .

Ej.

Rarctanxdx = [ u = arctanx , dv = dx ] = xarctanx �

Zx

1+x2 = xarctanx� 12 log(1+x2) .

Otras veces hay que repetir la integración por partes:

Ej.

Rx2 exdx = x2ex �2

Rx exdx = x2ex �2xex +2

Rexdx = [x2 �2x+2]ex .

u" dv" u" dv"

Ej. Otro truco:R logxdx

x = logx logx�R logxdx

x !R logxdx

x = 12 [logx]2 [se podía haber hecho a ojo].

Combinando las dos últimas ideas:Ej. I =

Rsenx exdx = senxex �

Rcosx exdx = ex[senx� cosx]� I ) I = 1

2 ex[senx� cosx] .u" dv" u" dv"

Ej. Curiosidad:R

dxx =

⇥u = x,dv = dx

x2 ! du = dx,v =� 1x

⇤=�1 +

Rdxx ¿) ? 0 =�1 !!

[no olvidemos que hay una K arbitraria aunque no la escribamos].

97

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Primitivas de funciones racionales:Z P(x)

Q(x) dx , con P y Q polinomios .

Si el gr P � gr Q , dividimos: PQ =C+ R

Q con el resto R de grado menor que Q .

Vimos que Q se puede escribir como producto de polinomios del tipo (x�a)m [raíces reales] y�x2+cx+d

�n [complejas], siendo m y n la multiplicidad de las raíces [ m=1 si son simples].

[El problema es que (como vimos en 3.3), salvo para Q especialmente sencillos, realizaresta descomposición es, en la práctica, imposible por ser imposible hallar sus raíces].

Se prueba que RQ se puede escribir como suma de constantes por funciones del tipo:

1(x�a) j , 1

(x2+cx+d)k y x(x2+cx+d)k , con 1 jm , 1k n (llamadas fracciones simples).

Para ‘descomponer en fracciones simples’ RQ (hallar la constante que acompaña a cada fracción)

basta resolver un sistema lineal de ecuaciones. Y así, el problema de integrar P/Q se reduce,una vez factorizado Q , al de integrar el polinomio C y funciones como las últimas.

Ej. I =Z

4x4�6x3+5x2�11x+4x5�x4+x3�3x2+2x dx =

Z R(x)Q(x) dx (ya es 4 < 5 ) . Empezamos factorizando:

Q(x) = x(x�1)2(x2+x+2) [suerte hemos tenido] y descomponemos en fracciones simples:

R(x)Q(x) =

Ax +

Bx�1+

C(x�1)2 +

Dx+Ex2+x+2 = A(x4�x3+x2�3x+2)+B(x4+x2�2x)+C(x3+x2+2x)+(Dx+E)(x3�2x2+x)

x(x�1)2(x2+x+2)⇥Si hubiera (x�1)m escribiríamos B1

x�1 + · · ·+ Bm(x�1)m ; si (x2+x�2)n , D1x+E1

x2+x+2 + · · ·+ Dnx+En(x2+x+2)n

⇤.

Igualando coeficientes de x4, x3, x2, x y la constante de ambos términos se obtiene el sistema:A+B+D = 4 ,�A+C�2D+E =�6 , A+B+C+D�2E = 5 ,�3A�2B+2C+E =�11 , 2A = 4

Resolviéndolo: A = 2 , B = 1 , C =�1 , D = 1 , E =�1

) I =R 2dx

x +R dx

x�1 �R dx

(x�1)2 +R (x�1)dx

x2+x+2

LasZ

dx(x�a)m son casi inmediatas. Más trabajo dan las otras. Primero se busca un logaritmo:

12

R (2x�2)dxx2+x+2 = 1

2

R (2x+1)dxx2+x+2 � 3

2

R dxx2+x+2

Y luego un arco tangente completando el cuadrado: x2+x+2 = (x+ 12 )

2+ 7

4 = 74

h� 2x+1p7

�2+1

i.

Por tanto:R (x�1)dx

x2+x+2 = 12 log(x2+x+2)� 3

22p7

Z 2/p

7 dx

([2x+1]/p

7)2+1

!

I = 2log |x|+ log |x�1|+ 1x�1 + 1

2 log(x2+x+2)� 3p7

arctan� 2x+1p

7

�.

Ej. I =R x4�5x2+x+8

x3+x2�4x�4 dx =R(x�1)dx +

R x+4(x+1)(x+2)(x�2) dx [de nuevo las raíces eran sencillas].

x+4(x+1)(x+2)(x�2) =

Ax+1 +

Bx+2 +

Cx�2 = A(x+2)(x�2)+B(x+1)(x�2)+C(x+1)(x+2)

(x+1)(x+2)(x�2)

Cuando haya tantas raíces reales, mejor que igualar coeficientes se hace x=a para cada raíz a :

x =�1 !�3A = 3 , A =�1 ; x =�2 ! 4B = 2 , B = 12 ; x = 2 ! 12C = 6 , C = 1

2

! I = 12 x2 � x� log |x+1|+ 1

2 log |x+2|+ 12 log |x�2|= 1

2

hx2 �2x+ log |x2�4|

|x+1|2

i

⇥Para hallar las primitivas de las fracciones simples más complicadas como

Zdx

(x2+x+2)n

se utilizarían fórmulas de reducción como la propuesta en problemas⇤.

98

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Cambios de variable:Supongamos que buscamos una primitiva de

Rf (g(x))g0(x)dx (con f y g0 continuas). Si F es

una primitiva de f , por la regla de la cadena: (F�g)0(x) = F 0(g(x))g0(x) = f (g(x))g0(x) . Asípues, F�g es la primitiva buscada. Basta pues integrar la f y evaluar el resultado en g(x) . Silo que queremos es la integral definida entre a y b su valor es F(g(b))�F(g(a)) . Por tanto:

Rf (g(x))g0(x)dx =

Rf (u)du

��u=g(x) ;

R ba f (g(x))g0(x)dx =

R g(b)g(a) f (u)du

En la práctica se suele usar la notación de diferenciales: se escribe u = g(x) , du = g0(x)dxy si hay límites de integración es fácil recordar que: x = a ! u = g(a) , x = b ! u = g(b) .

En algunos casos la g0(x) aparece explícitamente y es claro el cambio que hay que hacer:

Ej.

Rsen3 2x cos2xdx = [ u = sen2x,du = 2cos2xdx ] = 1

2R

u3du = 18 u4 = 1

8 sen42x .[en casos tan sencillos no será necesario escribir la sustitución, es fácil ver a ojo quesen42x es casi la primitiva; derivándola mentalmente se ve que falta el 1/8 ].

Ej.

R 5e

dxx logx =

u = logx , du = dx

xx = e ! u = 1 , x = 5 ! u = log5

�=R log5

1duu = log | log5|�0 = log(log5) .

[podíamos haber calculado la primitiva olvidando límites deintegración y sustituir al final, una vez deshecho el cambio].

Ej.

Rexpex �1dx =

⇥u = ex, du = exdx

⇤=Rp

u�1du = 23 [u�1]3/2 = 2

3 [ex�1]3/2 .

Ej.

Rsh3xe�chxdx =

h u = chx, du = shxdxsh2x = ch2x�1

i=R[u2�1]e�udu = [partes]

=�u2e�u +2R

ue�udu+ e�u = [partes] = [1�2u�u2]e�u +2R

e�udu =�[1+2u+u2]e�u

=�⇥1+2chx+ ch2x

⇤e�chx .

�o partes directamente:

Rsh3xe�chxdx =

h u = sh2xdv = shxe�chxdx

i=�sh2x+2

Rchxshxe�chxdx

= [partes] =�sh2xe�chx �2chxe�chx +2R

shxe�chxdx =�[2+2chx+ sh2x]e�chx�.

Pero en la mayoría de los casos no es tan evidente el cambio ni hay una clara du . La formadel integrando puede sugerir hacer algún cambio u= g(x) . Para obtener entonces la f (u) se

despeja la x en función de u , se calcula el dx y se sustituyen x y dx en la integral (sinolvidar el cambio de límites de integración, si los hay):

Ej.

R 94 cos

pxdx =

⇥u=

px , x=u2, dx=2udu , x=4 ! u=2 , x=9 ! u=3

⇤= 2

R 32 ucosudu =

[partes] = 2[usenu]32�2R 3

2 senudu = 2[usenu]32+2[cosu]32 = 2[3sen3�2sen2+cos3�cos2] .

Ej.

Rpex�1dx= [ u= ex , x= logu , dx= du

u ] =R p

u�1u du=

⇥pu�1= z , u=z2+1 , du=2zdz

= 2R

z2

z2+1 dz = 2R ⇥

1� 1z2+1

⇤dz = 2z�2arctanz = 2

pex�1�2arctan

pex�1

[con un poco más de vista podríamos haber hecho directamente z =p

ex�1 acabando antes].

[En los cambios de variable las funciones f y g0 deben ser continuas. Si g0 aparece explícitamentees fácil ver que es así. Pero si no aparece se nos podría olvidar y cometer errores].

La práctica sugiere qué y cuándo sustituir. Para tipos concretos de funciones (trigonométricas,con radicales...) hay cambios típicos que se sabe que dan buen resultado (los veremos a conti-nuación) y que suelen llevar a la integración de funciones racionales de las que hemos visto.

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Primitivas de funciones trigonométricas

[Aparecen muy a menudo, ya que están muy ligadas a la integración en polares].

Para integrarR

R(senx,cosx)dx , con R función racional en senx y cosx , existe siempre uncambio

⇥u=tan x

2⇤

que la lleva a una racional, pero veamos antes una serie de casos más fáciles.R

senmxcosnxdx :

Si m ó n son impares: sen2k+1 x = senx(1� cos2x)k y se hace u=cosx .cos2k+1 x = cosx(1� sen2x)k y se hace u=senx .

Si m y n pares, se escriben en función del ángulo doble: sen2x= 1�cos2x2 , cos2x= 1+cos2x

2 .

Ej.

Rsen2xcos3xdx =

R(1�sen2x)sen2xcosxdx = [u=senx

o a ojo] =

R(u2�u4)du = 1

3 sen3x� 15 sen5x .

Ej.

Rcos2xsenxdx =

R ⇥cos2xsenx�sen3 x

⇤dx =

R ⇥2cos2xsenx�senx

⇤dx = cosx� 2

3 cos3x .

O bien�

senacosb ="

12 [sen(a+b)+sen(a�b)]

�:R

12 [sen3x�senx]dx = 1

2 cosx� 16 cos3x .

[Este tipo de igualdades se usan para integrar productos de senos y cosenos de distinto ángulo].

Ej.

Rcos4xdx = 1

4R(1+cos2x)2dx = 1

4R

dx+ 12R

cos2xdx+ 18R(1+cos4x)dx = 3x

8 + sen2x4 + sen4x

32 .

La integral generalR

R(senx,cosx)dx se convierte en cociente de polinomios haciendo:

u = cosx , si R es impar en senx [ es decir, si R(�senx,cosx) =�R(senx,cosx) ].

u = senx , si R es impar en cosx [ es decir, si R(senx,�cosx) =�R(senx,cosx) ].

u = tanx⇥

cos2x = 11+u2 , dx = du

1+u2

⇤, si R(�senx,�cosx) = R(senx,cosx) .

u = tan x2

⇥senx= 2u

1+u2 , cosx= 1�u2

1+u2 , dx= 2du1+u2

⇤, para cualquier R [último recurso].

Ej.

Zdx

senx =Z

senxdx1�cos2x = [ u=cosx ] =

R duu2�1 = 1

2R du

u�1 �12R du

u+1 = 12 log | u�1

u+1 |=12 log | cosx�1

cosx+1 | .

O de otra forma:Z

dxsenx = [ u= tan x

2 ] =Z

2du/[1+u2]2u[1+u2]

=R du

u = log | tan x2 | .

[Ha salido tan fácil por casualidad; las dos expresiones de la primitiva debencoincidir salvo K arbitraria (con pocas cuentas se ve que son iguales)].

Ej.

Zdx

cos3xsenx =Z

dxcos4x tanx = [ u= tanx ] =

Z[1+u2]

2duu[1+u2]

=R du

u +R

udu = log | tanx|+ 12 tan2x .

Más largo:Z

dxcos3xsenx =

Zsenxdx

cos3x[1�cos2x]u=cosx=

Zdu

u3[u+1][u�1] = · · ·=Z ⇥ 1/2

u+1+1/2u�1�

1u�

1u3

⇤du

= 12 log |1�u2|� logu+ 1

2u2 = log |senx|� log |cosx|+ 12cos2x .

⇥Peor todavía sería hacer u = senx (también es impar en coseno) ó u = tan x

2 ;

por ejemplo, con el último cambio queda la complicada primitivaZ

(1+u2)3

u(1�u2)3 du⇤.

Ej.

Z p

0

dx1+cos2x =

⇥u = tanx , dx = du

1+u2

⇤=Z 0

0

du2+u2 = 0

1/2

1

!

1+cos x1_____

2

[resultado evidentemente falso: el integrando es siempre positivoy la integral debía ser un número positivo. No olvidemos que enlos cambios de variable las funciones f y g0 deben ser continuas. El cambio hecho (clásico, comohemos dicho, para este tipo de integrales) es válido sólo hasta p

2 ; sí es cierto queZ p/2

0

dx1+cos2x =

Z •

0

du2+u2 = 1p

2

Z •

0

1/p

2 du

1+[u/p

2 ]2= 1p

2arctan up

2

i•

0= p

p2

4 !R p

0 = pp

22 .

pues el integrando es simétrico respecto a x = p2 . Al • que nos ha aparecido (que como siempre

representará un límite) le daremos más seriedad cuando estudiemos las integrales impropias].

100

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Primitivas de irracionales

(las más simples; R función racional de x y de la raíz que se indica).R

R�x, np

ax+b�

dx se convierte en racional haciendo u = np

ax+b .

Ej.

Rx[1+x]1/4dx =

u=[1+x]1/4, x=u4�1

dx = 4u3du

�=R

4(u8�u4)du = 4u9

9 � 4u5

5 = 49 [1+x]9/4� 4

5 [1+x]5/4.

También se puede hacer por partes:R

x[1+ x]1/4dx = 45 x[1+ x]5/4 � 4

5R[1+ x]5/4dx = 4

5 x[1+x]5/4 � 1645 [1+x]9/4 .

Ej.

Z 5

4

dxx�4

px�4 =

u=

px�4 , x=u2+4dx = 2udu

�=R 1

02udu

u2�4u+4 =R 1

02(u�2+2) du

(u�2)2 =R 1

02duu�2 +

R 10

4du(u�2)2

= 2log |u�2|��10 �

4u�2

��10 = 2(1�log2) .

RR�x,p

a2 � x2�

dx se convierte en trigonométrica haciendo x = asenu .

Ej.

Rp4� x2 dx = [ x = 2senu , dx = 2cosudu ] =

R4cos2udu = 2u+ sen2u

= 2u+2senup

1� sen2u = 2arcsen x2 +

x2

p4� x2 .

RR�x,p

x2+a�

dx se convierte en racional haciendo u = x+p

x2+a ,

puesto que (u�x)2= u2�2xu+x2 = x2+a ! x = u2 �

a2u ! dx =

� 12+

a2u2

�du .

�El cambio u =

px2+a no sirve de nada pues vuelven a aparecer raíces al despejar la x

�.

Ej.

Zdx

xp

x2+1=⇥

u = x+p

x2+1 , x = u2�12u , dx = 1+u2

2u2 du⇤=R

2duu2�1 = log | u�1

u+1 |= log��� x

1+p

x2+1

��� .

Ej.

Zxdxpx2+1

=p

x2 +1 [¡a ojo! , antes de ponerse a calcular a lo loco, miremos si es inmediata].

⇥Las primitivas con raíces

pax2+bx+c se reducen a las últimas completando cuadrados

⇤.

Recordamos que si las raíces son más complicadas�como

px3 +a ó 3px2 +a

�, las integrales, son, en

general, no calculables. Esto no quiere decir que alguna, en particular, lo sea:

Ej.

Zx7dxpx4+1

= [ t=x4 ] = 14

Rtdtpt+1 = [u =

pt+1 ] = 1

2R(u2 �1)du = u3

6 � u2 = 1

6 [x4�2]

px4 +1 .

⇥Pero no se podría hallar la primitiva de

Zdxpx4+1

⇤.

Otro tipo de primitivas que se convierten en racionales mediante cambios de variable son:R

R(ex)dx , siendo R función racional de ex .

Haciendo u = ex se convierte en la racionalR R(u)

u , pues dx = duu .

Ej.

Z dx1+e2x =

Z ex dxex(1+e2x)

=Z du

u(1+u2)=Z ⇥A

u +Bu+C1+u2

⇤du =

hA(1+u2)+Bu2+Cu=1C=0 , A=1 , B=�A

i

=Z

duu �

Zudu

1+u2 = logu� 12 log(1+u2) = x� 1

2 log(1+e2x) .

[Aunque (parecido) también se podía hacer con u= e2x ! 12R du

u(1+u) =12 logu� 1

2 log(1+u) "

101

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Más ejemplos variados de cálculo de integrales:

Ej.

Z 1

0log

�3+x2�dx =

h Partes: dv=dxu= log(3+x2)

i= x log(3+x2)

⇤10�

Z 1

0

2x2+6�63+x2 dx = 2log2�2+ p

p3

3 ,

puesZ 1

0

6dx3+x2 = 2

p3Z 1

0

dx/p

31+(x/

p3)2 = 2

p3 arctan xp

3

⇤10 .

Ej.

Z 4

0log

�1+

px�

dx . El aspecto del integrando sugiere hacer el cambio: t =p

x , dx = 2t dt .Los nuevos límites de integración son x=0 ! t=0 , x=4 ! t=2 y la integral queda:

2R 2

0 t log(1+t)dt ="

t2 log(1+t)⇤2

0 �R 2

0t2 dtt+1 =

&

⇥(t2�1) log(1+t)� 1

2 (t�1)2⇤20 = 3log3 .

partes = t2�1+1t+1 = t �1+ 1

t+1

Ej.

Rcos(logx)dx . Apetece, para simplificar el integrando, hacer logx= t , dx= etdt , que lleva aR

et cos t dt = et cos t +R

et sen t dt = et [cos t+sen t]�R

et cos t dt

)R

et cos t dt = 12 et [cos t+sen t] = 1

2 x⇥

cos(logx)+sen(logx)⇤

.

Ej.

Z1+xp9�x2 dx . En la página anterior tenemos el cambio que la lleva a racional: x=3senu .

!Z

1+3senu3cosu 3cosudu = u�3cosu = arcsen x

3 �p

9�x2 .

Pero hubiéramos acabado antes observando que era ‘casi inmediata’:Z

dx/3p1�(x/3)2

�Z

�xdxp9�x2 .

Ej.

Ze2x cos(ex)dx ex=u

=R

ucosudupartes= usenu�

Rsenudu = usenu+ cosu = ex senex + cosex .

Ej.

Z dxchx =

Z 2dxex+e�x =

Z 2ex

1+e2x dx = 2arctanex . [A ojo, no hay que hacer ningún cambio].

Ej.

Z 1

�1sh3x dx = 0 , sin nada que calcular. El integrando es impar (como shx ).

⇥Aunque se podría hallar la primitiva:

R �ch2x�1

�shx = 1

3 ch3x�chx⇤.

Ej.

Z 1

�2

dx1+|x| . El |x| tiene dos expresiones en el intervalo, con lo que hay que dividir la integral:

R 0�2

dx1�x +

R 10

dx1+x =� log |1�x|

⇤0�2+ log |1+x|

⇤10 = log3+ log2 .

Ej.

Z 1

�2

dx1+x . Esta parece más inofensiva y podría pensarse que es: log |1+x|

⇤1�2= log2 .

Pero esto es absolutamente falso. La integral se ha definido para funciones acotadasy existía para funciones continuas (o a trozos) y los teoremas fundamentales erantambién para ese tipo de funciones. Nuestro integrando tiene una asíntota en x=�1(dentro del intervalo) y la integral no existe.

[Ni siquiera existirá como una integral impropia de las que vamos a definir en la próxima sección].

102

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5.4. Integrales impropias

La integral la hemos definido para funciones f acotadas en intervalos [a,b] finitos. Extendemosla definición, primero para intervalos de integración no acotados [a,•) ó (�•,b] . Como siempreque aparece un • aparecerá un límite en la definición:

Def.

Supongamos queR b

a f existe para todo b�a . Si existe el lımb!•

R ba f se le llama integral

impropia de f en [a,•) , se representa porR •

a f óR •

a f (x)dx y la integral impropiase dice convergente. Si

R •a f no es convergente, se dice divergente.

⇥Análogamente se define

R b�• f = lım

a!�•

R ba f

⇤.

[La integral entre a y b existe 8b , como sabemos, si por ejemplo f es continua (o continuaa trozos) en [a,•) ; como para cada b la integral es un número, tenemos una función de b ytiene sentido hablar de su límite cuando b ! • ; este límite (el valor de la integral impropia)será otro número si la integral converge].

Ej.

R •1

dxx2 = lım

b!•

R b1

dxx2 = lım

b!•[� 1

x ]b1 = lım

b!•[1� 1

b ] = 1 .

[la integral es convergente y su valor es 1 ].

Ej.

R •1

dxx = lım

b!•[logx]b1 = lım

b!•[logb] diverge.

1

1 área=1

deja un área

infinita debajo1/x

1/x2

En general,R •

1dxxs diverge si s1 y converge si s>1

⇥hacia 1

s�1⇤.

[es inmediato comprobarlo; para los mismos s converge laR •

adxxs 8a>0 , pues

R ba e

R b1 son dos funciones de b que sólo difieren en la constante

R a1 ]

R •0 eaxdx = 1

a lımb!•

[eax]b0 =1a lım

b!•[eab�1] converge si a< 0

⇥hacia � 1

a

⇤y diverge si a�0 .

[Se suele abreviar [eax]•0 en lugar de lımb!•

[eax]b0 ; pero no olvidemos que es un límite].

Aunque no sepamos calcular la primitiva podremos, en bastantes ocasiones, determinar si es o noconvergente (como ocurría con las series; incluso teníamos un criterio integral que relacionabaunas y otras; los criterios de convergencia son muy parecidos).

Criterios para funciones positivas

�los damos para la

R •a ; son análogos para

R b�•

�.

En todos suponemos que las funciones que aparecen son integrables en [a,b] 8b .Teorema:

Si 0 f (x)g(x) para x�a ,R •

a g converge )R •

a f converge, eR •

a f R •

a g .

f

a b

g

a

a

F(b)

! g"

0 F(b) =R b

a f R b

a g R •

a g 8b � a )

F(b) creciente y acotada superiormente ) F(b) tiene límite si b ! •(la última ) se prueba como en las sucesiones).

[El teorema dice también queR •

a f divergente )R •

a g divergente,desde luego; pero como siempre, en este tipo de criterios, de quela pequeña converja o de que la gorda diverja, no se sigue nada; e

insistimos en que es para funciones positivas: si una f cualquiera es menor que otra de integralconvergente, no tiene que converger su integral, ya que podría irse a �• ].

103

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Las comparaciones con son siempre más complicadas que las hechas por paso al límite:Teorema:

Si f y g son positivas para x � a y lımx!•

f (x)g(x) = c finito, entonces:

Si c > 0 ,R •

a g convergente ,R •

a f convergente.Si c= 0 ,

R •a g convergente )

R •a f convergente [es decir,

R •a f diverge )

R •a g diverge].

Si c > 0 , para x � M es c2 f (x)

g(x) 3c2 ) 0 c

2 g(x) f (x) 3c2 g(x) y podemos

aplicar el teorema anterior. Si c = 0 , para x � M es 0 f (x) g(x) y de nuevo elteorema. Además está claro que

R •M f converge ,

R •a f converge.

Si el integrando f no es positivo, como en las series, conviene considerar el | f | :

Teorema:

R •a | f | convergente )

R •a f convergente

⇥f se dice absolutamenteintegrable en [a,•)

⇤.

0 f+| f | 2| f | )R •

a

⇥f+| f |

⇤convergente )

R •a f =

R •a

⇥f+| f |

⇤�R •

a | f | convergente.

Ej.

Z •

3

[logx]2

x dx diverge, pues si x�3 es [logx]2

x � 1x e

R •3

dxx diverge.

Por paso al límite debemos utilizar la parte con c=0 ya que logx no se parece a ningún xs :1/x

[logx]2/x!

x!•0 e

R •3

dxx divergente )

R •3

[logx]2

x dx diverge (mayor que divergente).

También nos bastaba la definición:R •

3[logx]2

x dx = 13 [logx]3

⇤•3 ! • .

Ej.

Z •

0xdxp

x5�x+1. Cuando x ! • , xp

x5�x+1⇠ 1

x3/2

⇥es decir, x/

px5�x+1

1/x3/2 !x!•

1⇤.

ComoR •

11

x3/2 converge, la dada también (no sabemos a qué número).

Ej.

R •0 e�x2

dx (sin primitiva elemental) converge, pues e�x2

e�x = ex�x2 !x!•

0 eR •

0 e�xdx converge.

O bien, por desigualdades: si x � 1 es e�x2 e�x y de aquí:R •

1 e�xdx converge (,R •

0 converge) )R •

1 e�x2 converge (,R •

0 converge).⇥con técnicas de integrales dobles se puede ver que

R •0 e�x2

dx = 12p

p⇤.

Ej.

R •1 sen 1

x dx ⇠R •

1dxx divergente

⇥pues lım

x!•sen(1/x)

1/x = lımt!0+

sen tt = 1

⇤) la dada diverge.

Ej.

Z •

0senx1+x3 dx es convergente pues

�� senx1+x3

�� 11+x3 e

R •0

dx1+x3 converge

�⇠ 1

x3 cuando x ! •�.

Ej. Aplicando la misma idea aR •

1senxp

x dx no podemos concluir nada, ya queR •

11px diverge.

PeroR •

0senxp

x dx =R p

0 +R 2p

p + · · ·⌘•

Âk=1

ak , donde

|ak|=R kp(k�1)p

|senx|px

R kp(k�1)p

dxpx = 2

⇥pkp �

p[k�1]p

⇤.

La serie es alternada, decreciente y con ak ! 0 , conlo que por Leibniz converge (y por tanto la integral).De aquí deducimos que

R •0 senx2dx = [ t=x2 ] =

R •0

sen tpt dt también converge.

! 2! 3! 4!

a1

a2

sen(x )2

– 1/"x

–1/"x–

"! –

"2! ––

(¡a pesar de que f (x) no tiende a 0 si x ! • ! [esto no es como en las series]).

104

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La segunda extensión de la integral es para f no acotada en un extremo del intervalo:

Def.

Supongamos queR b

t f existe para todo t2(a,b] . Se defineR b

a+ f = lımt!a+

R bt f si el límite

existe y en ese caso la integral impropia se dice convergente.⇥

Análogamente:R b�

a f = lımt!b�

R ta f

⇤.

(En vez de a+ y b� suele escribir a y b ; no olvidemos que la integral es impropia).

a t b

[No se pide que f esté acotada en (a,b] , ni siquiera que estédefinida en el punto a ; para que f sea integrable en [t,b] ,debe, desde luego, estar acotada en cada intervalo de esa forma;por ejemplo, si f es continua en (a,b] se tiene, para todo t ,garantizada la existencia de la integral de f en [t,b] , aunque ellímite puede no existir y divergir la integral impropia].

Ej.

R 10+

dxx2 = lım

t!0+

R 1t

dxx2 = lım

t!0+[1

t �1] no existe (la integral impropia diverge).R 1

0+dxp

x = lımt!0+

[2�2p

t ] = 2 , converge (y su valor es 2 ).

En general, se ve fácil queR b

a+dx

[x�a]s eR a�

cdx

[a�x]s convergen si s<1 y divergen si s�1 .�[x�a]s tiene sentido para x<a si s= 1

3 ,27 , ... ; si s= 1

2 ó s=p la función no está definida�.

Para este otro tipo de impropias existen criterios de convergencia totalmente análogos a losvistos para las del primer tipo. Resumiendo (las de a+ ) y sin demostraciones:Teorema:

Si 0 f g en (a,b] ,R b

a+ g convergente )R b

a+ f convergente eR b

a+ f R b

a+ g .

Sean f , g � 0 en (a,b] y sea finito el lımx!a+

f (x)g(x) = c , entonces:

si c>0 ,R b

a+ g converge ,R b

a+ f converge; si c=0 ,R b

a+ g converge )R b

a+ f converge.R b

a+ | f | convergente )R b

a+ f convergente.

Ej.

R 10+

cos2xx3/4 dx converge, pues 0 cos2x

x3/4 1x3/4 e

R 10+

1x3/4 converge

�o porque cos2x/x3/4

1/x3/4 !x!0+

1�.

Ej.

R 72+

dxx3�8 diverge, pues se parece cerca de x = 2 a

R 72+

dxx�2 divergente:

1/[x3�8]1/[x�2] = 1

x2+2x+4 !x!2

112 (o usando L’Hôpital).

Ej.

R 30+

dxsenx . Cerca de 0 el senx ⇠ x : 1/senx

1/x !x!0

1 . ComoR 3

0+dxx diverge, la dada diverge.

Ej. LaR •

0+senxp

x dx de antes, no plantea problemas en x = 0 , a pesar de anularse su denominador,pues se parece cerca de 0 a

px que no sólo converge, es continua.

Ej.

R 10+(logx)2dx es convergente, pues (logx)2

1/p

x = (x1/4 logx)2 !x!0+

0 (lo sabemos desde 4.5),

con lo que la nuestra es más pequeña que una convergente. Y podemos hallar su valor:R(logx)2dx = x(logx)2 �2

Rlogxdx = x(logx)2�2x logx+2x )

R 10+(logx)2dx = 2 .

105

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Hay otras integrales que reúnen más de un tipo de impropiedad:R •�• ,

R •a+ ,

R b�a+ , ...

Cada integral de estas se dice convergente si, dividido el intervalo en subintervalos tales que encada uno de ellos haya una única impropiedad, todas las integrales resultantes convergen. Porejemplo, si f es continua en todo R:

R •�• f converge ,

R 0�• f e

R •0 f convergen y su valor es

R •�• f =

R 0�• f +

R •0 f

[esta integral no se define como lımb!•

R b�b f que podría existir a pesar de ser

R •�• f divergente;

a ese límite de las integrales calculadas en intervalos simétricos [�b,b] , si existe, se le llamavalor principal de Cauchy de la integral y aparece en matemáticas más avanzadas].

Ej.

R •�• senxdx diverge, pues

R •0 senxdx = lım

b!•[1� cosb]

no existe (y tampoco existeR 0�• senxdx ).

[Sí existe el valor principal de Cauchy:VP

R •�• senxdx = lım

b!•

R b�b senxdx = 0 ( senx es impar)].

b

–b 0

senx

Ej.

R •0+

arctanxx+x2 .

R •1 es convergente pues comporta como

R •1

dxx2 convergente

⇥ arctanx/x+x2

1/x2 !x!•

p2⇤.

Cerca de 0 : arctanxx+x2 ⇠ 1

1+x con límite finito )R 1

0+ converge.

Como convergen las dos,R •

0+ converge.

1/x2

–1 1

! área

! área

1

1/x

1 1/

1/x2

"x_

Ej.

R •0+

dxxs =

R 10+ +

R •1 diverge 8s :

Si s>1 converge la de • , pero diverge la de 0+,si s<1 ocurre al revés y si s=1 divergen ambas.

Ej.

R 1�1

dxx2 no es una integral normal y ni siquiera existe

como impropia, pues no convergen niR 0�1 ni

R 10 .

�Tampoco existe el VP de Cauchy de la impropia,definido en estos casos por lım

b!0[R b�1 f +

R 1b f ]

�.

Ej.

R •1+

xdxpx4�1

.R 2

1+ converge�pues xp

x�1p

x3+x2+x+1⇠1+

x2p

x�1

�, pero

R •2 diverge

�pues ⇠

•1x

�.

Por tanto, la inicial diverge (insistimos en que deben converger las dos para ser convergente).

Ej.

R •0+

1�e�x2

x2 dx converge, pues lo hacenR 1

0+ (tiene límite en x=0 ) eR •

1�es 0 1�e�x2

x2 1x2

�.

Ej. G(x) =R •

0 tx�1e�tdt . En x = 0 converge si y sólo si x > 0 (pues se parece aR •

0 tx�1dt ).

En • converge siempre: tx�1e�t

t�2tx+1

et !t!•

0 8x eR •

1dtt2 converge. La

R •0 inicial converge 8x > 0 .

La G(x) (función gamma) definida por esta impropia generaliza el factorial:G(x+1) =

R •0 txe�tdt

partes= �txe�t ]•0 + x

R •0 tx�1e�t = xG(x) ) si n2N ,

G(n+1)=nG(n)=n(n�1)G(n�1)=n(n�1) · · ·2 ·1 ·G(1) = n! , pues G(1)=R •

0 e�tdt=1 .

Ej.

R •0+

1�cosxx3 logx dx . Plantea problemas en 0+, 1± , • . Para converger, deben hacerlo las cuatro.

Analizamos todas. En 0+ : ⇠R 1/2

0+dx

x logx = log(| logx|)⇤1/2

t �!t!0+

�• (diverge).

En 1± : ⇠R dx

logx ⇠R dx

x�1 (divergen ambas). En • : R dx

x3 (converge).

106

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5.5. Integración aproximada

Como sabemos, funciones integrables pueden no tener primitivas elementales o exigir un cálculomuy largo. Pero en muchas ocasiones, sólo se necesita el valor aproximado de una integraldefinida (en otras, simplemente, cotas de dicha integral). Las Un y Ln de 5.1 (y algún teoremacon desigualdades visto en ella) nos daban ya alguna (mala) estimación, pero será más precisoutilizar series de Taylor o utilizar las fórmulas sencillas (sobre todo para los ordenadores) delos trapecios o de Simpson que veremos al final de esta sección.

Integración de series de Taylor.Estas series se podían derivar término a término (en el intervalo de convergencia). Veamos quetambién se pueden integrar término a término en ese intervalo (de nuevo como si se tratasen de’polinomios infinitos’). Esto será consecuencia de los siguientes resultados:

Teorema:

Sea { fn} sucesión de funciones continuas que converge uniformemente

hacia f en [a,b] . EntoncesR b

a f = lımn!•

R ba fn .

Sea e >0 . Existe un N tal que si n�N entonces | f (x)� fn(x)|< eb�a para todo x2 [a,b] .

Si n � N ,��R b

a f (x)dx�R b

a fn(x)dx��

R ba | f (x)� fn(x)|dx <

R ba

eb�a dx = e .

Este resultado es falso si la sucesión de funciones converge sólo puntualmente (el límite de lasintegrales puede ser distinto de la integral del límite) como para la siguiente { fn}:

Ej. fn(x) =

8<

:

2n2x , 0 x 1/2n2n�2n2x , 1/2n x 1/n0 , 1/n x 1

. 4

3

2

1

1/21/31/4 1

La gráfica de cada fn es un triángulo isósceles de altura nsobre el intervalo [0, 1

n ] y vale 0 en el resto de [0,1] ; el áreaencerrada por cada fn es 1

2 para todo n . El límite puntual delas fn es f (x) = 0 para todo x 2 [0,1] ya que para cada x , apartir de un N todas las fn(x) = 0 y fn(0) = 0 8n . Está claroque { fn} no converge uniformemente y que se tiene:

0 =R 1

0 fn 6= lımn!•

R 10 f = 1

2 .

Como consecuencia inmediata de lo anterior, tenemos que:Teorema:

Si•Ân=1

fn converge uniformemente hacia f en [a,b] entoncesR b

a f =•Ân=1

R ba fn

Ej. Como f (x) =•

Ân=1

sennxn2 converge uniformemente en todo R, es

R p0 f =

Ân=1

R p0

sennxn2 =

Ân=1

2[2n�1]3

.

Y en el caso particular de las series de potencias concluimos:

Teorema:

Si f (x)=•

Ân=0

anxn para |x|<R )R x

0 f (t)dt =•

Ân=0

R x0 antndt =

Ân=0

ann+1 xn+1 = a0x+ a1

2 x2 + a23 x3 + · · · si |x|<R .

Pues en [�x,x] sabemos que la serie converge uniformemente.[Fuera de (�R,R) la serie no convergerá y no servirá para aproximar niguna integral].⇥

El conjunto de primitivas de f será, desde luego:R

f (x)dx =C+a0x+ a12 x2+ a2

3 x3+ · · ·⇤.

107

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Ej. Calculemos aproximadamenteR 1

0 senx2dx (función sin primitiva elemental). Tenemos que:R x

0 sen t2dt =R x

0 [t2 � 1

3! t6 + 1

5! t10 � 1

7! t14 + · · · ]dt = 1

3 x3 � 142 x7 + 1

1320 x11 � 175600 x15 + · · · 8x

!R 1

0 sen t2dt = 13 �

142 +

11320 �

175600 + · · ·

y podemos aproximar la integral con las sumas parciales de esta serie alternada decreciente:R 1

0 ⇡ 13 �

142 ⇡ 0.3095 con error menor que 1

1320 ⇡ 0.0007 < 10�3

R 10 ⇡ 1

3 �142 +

11320 ⇡ 0.310281 con error menor que 1

75600 ⇡ 0.000013 ⇠ 10�5

R 10 ⇡ 1

3 �142 +

11320 �

175600 ⇡ 0.310268158 con error menor que 1

9!·19 ⇡ 0.000000145 ⇠ 10�7

La misma serie de potencias nos da la integral para cualquier otro x . Por ejemplo, si x = 12 :

R 1/20 sen t2dt = 1

24 �1

5376 +1

2703360 �1

2477260800 + · · · (converge mucho más rápidamente, puescerca de x=0 se parece más el desarrollo).

También vemos que si x=p

2p (⇡ 2.51 ) la integral es positiva (como sospechábamos en 5.2):Rp

2p0 sen t2dt = [2p]2/3

3⇥1� 2p2

7 + 2p4

55 � 4p6

1575+· · ·⇤⇡ 5.24 [1 – 2.82 + 3.54 – 2.44 + 1.06 – 0.31 + · · · ]

Las sumas parciales de la serie entre corchetes son: 1, – 1.82, 1.72, – 0.72, 0.34, 0.09, . . . (todo vamás lento ahora). Como es alternada decreciente (a partir de tercer término) su suma está entredos sumas parciales consecutivas, con lo que la integral es > 0. [Para dar su valor con un error< 10�2 se ve que hay que sumar 8 términos (dos más) y se obtiene 0.43 ].

Como disponemos de su desarrollo de Taylor, aparte de las anteriores aproximaciones, podemosrealizar otras operaciones en la que aparezca la integral, como, por ejemplo, calcular algún límiteindeterminado:

lımx!0

3xR x

0 sen t2dt�x4

arctanx8 = lımx!0

[x4� 114 x8+··· ]�x4

x8� 13 x24 =

114 x8+o(x8)x8+o(x8)

=� 114

�Por L’H más largo: lım

x!0[1+x16]

3R x

0 sen t2dt+3xsenx2�4x3

arctan8x7 = lımx!0

6senx2+6x2 cosx2�12x2

arctan56x6 = · · ·�.

Ej. Encontremos cotas racionales de I =R 1

0 g si g(x) = x2e�x2 (de primitiva no calculable).

Las cotas más sencillas, pues claramente 0 g(x) 1 , son 0 =R 1

0 0 I R 1

0 1 = 1 .

Podemos mejorar la cota superior hallando el máximo de g en [0,1] :

g0(x) = 2x(1�x2)e�x2 ) máximo si x=1 y g(1)=e�1 ) I R 1

0 e�1 e�1 e>2.7< 10

27 .

Si comparamos en [0,1] con diversas funciones integrables:

g(x) x2 ) I 13 x3⇤1

0 =13 (mejor que la anterior)

g(x) xe�x2 ) I � 12 e�x2⇤1

0 =12 [1� e�1]

e<2.8< 1

2 [1�1028 ] =

928 (aún menor)

g(x) x2e�x3 ) I � 13 e�x3⇤1

0 =13 [1� e�1]< 1

3 [1�1028 ] =

314 (más pequeña aún)

g(x)� x2e�x ) I �R 1

0 x2e�xdx =partes

� [x2 +2x+2]e�x⇤1

0 = 2�5e�1 > 2� 5027 = 4

27

Pero si queremos obtener cotas con la precisión que necesitemos, lo mejor es usar Taylor:

I =R 1

0⇥x2 � x4 + 1

2 x6 � 16 x8 + · · ·

⇤dx = 1

3 �15 +

114 �

154 + · · · 8x

) 13 �

15 = 2

15 < 13 �

15 +

114 �

154 = 176

945 < · · ·< I < · · ·< 13 �

15 +

114 = 43

210 < 13 .

La cota inferior 215 es peor que la obtenida comparando, pero 176

945 > 427 ya la mejora.

Y la superior 43210 es más pequeña que la menor de las anteriores: 43

210 < 314 .

[Con un ordenador se consigue mucha precisión ( I ⇡ 0.189472 ), nosotros hemos conseguidosólo deducir que 176

945 ⇡ 0.186 < I < 43210 ⇡ 0.205 ; pero nos costaría poco sumar más términos].

108

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Ej. Si h(x)= 2x8�x2 , hallemos racionales que aproximen I =

R 10 h con error menor que 10�2.

Parece inútil aproximarla si podemos fácilmente dar el valor exacto: I=� log|8�x2|⇤1

0 = log 87 .

El problema es que, sin calculadora, no sabemos el valor de ese logaritmo. Pero por Taylor:

log�1+ 1

7�= 1

7 �1

2·49 +1

3·243 � · · · serie de Leibniz ! I ⇡ 1398 , con error < 1

729 < 10�2 .

Podríamos también desarrollar primero el integrando y luego integrar la serie:2x

8�x2 = x4

11�x2/8 = x

4

Ân=0

⇥ x2

8⇤n= x

4 +x3

32 +x5

256 + · · ·! I = 18 +

1128 +

11536 + · · ·=

Ân=1

1n8n .

El problema de esta serie (que, desde luego, debe sumar lo mismo) es que no es alternada, loque hace menos fácil y mecánico estimar los errores.

Sumando dos términos I ⇡ 17128 , el error cometido es

Ân=3

1n8n < 1

3·83

Ân=3

[ 18 ]

n= 1

3·7·82 < 10�2 .

Ej. Dibujar la gráfica de r(x)= x�1x4+1 y hallar, si existen, los x en los que la función R(x)=

R x0 r ,

con x2 [0,•) , alcanza sus extremos.

r2C•(R) . r(x)! 0x!±•

. r(x) >< 0 si x >

< 1 . r0(x)=�3x4�4x3�1[x4+1]2

, r00(x)=�4x2[3x5�5x4�5x+3][x4+1]3

.

P = 3x4 �4x3 �1 tiene 1 raíz positiva x+ [+��] y 1 negativa x� [++�].P(�1)=6 , P(0)=�1 , P(1)=�2 , P(2)=15 ) x�2 [�1,0] y x+2 [1,2]

) r decrece hasta x� , crece hasta x+ y decrece a partir de entonces.x=�1 inflexión; en x=0 no hay (no cambia de signo r00 ); los otros puntos de inflexión losdarían las raíces (ya no hay más enteras y negativas sólo la �1 ) de 3x4�8x3+8x2�8x+3

–1

1

–1 – x

+x 2

�se pueden hallar haciendo z = x+ 1

x

�.

Valores: r(�2) =� 317 , r(2) = 1

17 ,r(�1) =�1, r(0) =�1 (Rolle confirma x� );r0(�1) =� 3

2 , r0(0) = 1 (otra vez x� ),...

A la vista de la gráfica de r : R decrece si 0x1 [añadimos áreas negativas] y luego crece[lo mismo se deduce del signo ya analizado de R0(x)=r(x) ]. El mínimo se da, pues, si x=1 .Aproximemos el valor de R(1) desarrollando por Taylor el integrando, que si |x|<1 es:[x�1][1�x4+x8�· · · ] =�1+x+x4�x5�x8+ · · · ?! I1 =�1+ 1

2 +15 �

16 �

19 +

110 +

113 + · · ·

En principio, quizás no podamos integrar hasta 1 , pero parece ir bien, pues la serie converge:S1 =�1 < S5 ⇡� 0.578< · · ·< I1 < · · ·< S7 ⇡� 0.401< S3 =� 0.3

Podría no haber máximo de R en [0,•) . SiR •

1 fuese divergente (que no lo es, pues r(x)⇠ x�3

en el • ), la R tendería a • ; si fuese convergente y tendiese a un valor I2 > |I1| , R tenderíahacia I1+ I2 > 0 (valor que no alcanzaría); y si converge hacia un I2 < |I1| entonces el máximose alcanza en x=0 (y vale R(0)=0 ). Veamos que esto último es lo que sucede realmente:

r�0 en [1,•) . El criterio de comparación por desigualdades da cotas fáciles de la impropia:

I2 ⌘R •

1 r <R •

1x

x4+1 =⇥arctanx2⇤•

1 = 12 [

p2 � p

4 ] =p8 < 0.4 , o bien:

I2 <R •

1x�1x4 =

⇥ 13x3 � 1

2x2

⇤•1 = 1

2 �13 = 1

6 < 0.17 , bastante mejor cota.

R(x) !x!•

R 10 f +

R •1 f = I1+I2<0 , según las cotas halladas ) el máximo es R(0) .

[Con esfuerzo podemos hallar la primitiva R (el denominador lo factorizamos en 1.5):

R(x)=Z x

0

t dt[t2+

p2t+1][t2�

p2t+1]

=· · ·= arctanx2�p

28 log x2+

p2x+1

x2�p

2x+1�

p2

4⇥

arctan(xp

2+1)+arctan(xp

2�1)⇤

y el valor exacto de ambas integrales. Con calculadora obtenemos: I1 ⇡�0.474 , I2 ⇡ 0.149 ].

109

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Fórmulas de los trapecios y de Simpson.

Para aplicar cualquiera de estos dos métodos no necesitamos la expresión analítica de f ; nos bastanalgunos de sus valores [situación que experimentalmente se presenta a menudo].

f

a a+h ba+kh a+(k+1)h

h

f(a+kh)

f(a+[k+1]h)

T

f

h

Trapecios:Dividimos [a,b] en n partes iguales de anchura b�a

n =h .

Como aproximación deR a+[k+1]h

a+kh f tomamos el área del

trapecio T de la figura: h2 [ f (a+kh)+ f (a+[k+1]h)] .

EntoncesR b

a f será aproximadamente igual a la sumade las áreas del los n trapecios:

R ba f ⇡ h

2 [ f (a)+ f (a+h)]+ h2 [ f (a+h)+ f (a+2h)]+ · · ·+ h

2 [ f (a+[n�1]h)+ f (a+nh)] ,

a b

1 2 2 2 2 1R ba f ⇡ h

2⇥

f (a)+2 f (a+h)+2 f (a+2h)+ · · ·+2 f (a+[n�1]h)+ f (b)⇤

Simpson:Una aproximación mejor se tendrá si, dividido [a,b] en un número par n= 2m de partes iguales delongitud h = b�a

n = b�a2m , en vez de sustituir cada trozo de f por una recta, la sustituimos por la parábola

que interpola la gráfica de f en tres puntos consecutivos:

Q

f

2

hhx0 x1 x2

x0 = a+kh , x1 = a+[k+1]h = x0+h y x2 = a+[k+2]h = x0+2h ,

es decir, por el polinomio: Q2(x) = A0 +A1(x� x0)+A2(x� x0)(x� x1) ,con: A0= f (x0) , A1=

1h [ f (x1)� f (x0)] , A2=

12h2 [ f (x2)�2 f (x1)+ f (x0)] .

Integrando Q2 se tiene tras algunos cálculos:R a+[k+2]h

a+kh f ⇡R x0+2h

x0Q2(x)dx = 2hA0 +2h2A1 +

23 h3A1 =

h3⇥

f (x0)+4 f (x0+h)+ f (x0+2h)⇤

a b

1 4 2 4 2 12 4Y sumando las m integrales anteriores obtenemos:R b

a f ⇡ h3⇥

f (a)+4 f (a+h)+2 f (a+2h)+4 f (a+3h)+2 f (a+4h)+ · · ·+4 f (a+[n�1]h)+ f (b)⇤

Si se quiere utilizar con seriedad un método numérico se debe hablar del error cometido. Demos algúnresultado sin demostración. La estimación por trapecios es exacta si f (x) es una recta, función conf 00=0 . No es de extrañar que el error dependa de f 00 . Puede probarse que:

Si | f 00(x)| M2 para x 2 [a,b] entonces: |error| 112 (b�a)M2h2

Se prueba que Simpson es exacto si f (x) = a+bx+ cx2 +dx3 y que:

Si | f (4)(x)| M4 para x 2 [a,b] entonces: |error| 1180 (b�a)M4h4

Se ve que ambos métodos mejoran, como era esperable, cuando h! 0 , más rápidamente Simpson ya queh4 tiende más fuertemente a 0 que h2 . Como las cuentas a realizar en ambos casos son casi las mismas,será mejor acudir a Simpson si tenemos que aproximar una integral (hay métodos mucho mejores, perotambién más complicados).

Ej. Poco práctico, para comparar y ver si funcionan los métodos. AproximemosR 1

04dx

1+x2 (= p) :

Trapecios: h = 12 , n = 2 :

R 10 ⇡ 4

4⇥1+2 4

5 +12⇤= 31

10 = 3.1

h = 14 , n = 4 :

R 10 ⇡ 4

8⇥1+2 16

17 +2 45 +2 16

25 +45⇤⇡ 3.1312

Simpson: h = 12 , n = 2 :

R 10 ⇡ 4

6⇥1+4 4

5 +12⇤= 47

15 ⇡ 3.13

h = 14 , n = 4 :

R 10 ⇡ 4

12⇥1+4 16

17 +2 45 +4 16

25 +45⇤⇡ 3.14157

110

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Comparemos ahora los números que nos da trapecios y Simpson con los obtenidos por otros caminos enlos ejemplos anteriores de esta sección:

Ej. Calculemos aproximadamenteR 1

0 senx2dx (ya estimada utilizando Taylor):

h = 12 T.

R 10 ⇡ 1

4 [0+2sen 14 + sen1]⇡ 0.334 S.

R 10 ⇡ 1

6 [0+4sen 14 + sen1]⇡ 0.305

h = 14 T.

R 10 ⇡ 1

8 [0+2sen 116 +2sen 1

4 +2sen 916 + sen1]⇡ 0.316

S.

R 10 ⇡ 1

12 [0+4sen 116 +2sen 1

4 +4sen 916 + sen1]⇡ 0.3099

h = 16 T.

R 10 ⇡ 1

12 [0+2sen 136 +2sen 1

9 + · · ·+ sen1]⇡ 0.313

S.

R 10 ⇡ 1

18 [0+4sen 136 +2sen 1

9 + · · ·+ sen1]⇡ 0.310205

h = 1100 T.

R 10 ⇡ 0.3105 S.

R 10 ⇡ 0.3102683009

h = 11000 T.

R 10 ⇡ 0.31026839 S.

R 10 ⇡ 0.3102683017

[estos últimos valores exigen, desde luego, o una enorme paciencia o un ordenador].

Como f 00(x) = 2cosx2 �4x2 senx2 , f (4)(x) = (16x4 �12)senx2 �48x2 cosx2 , en [0,1] es| f 00| 6 , | f (4)| 4|4x4 �3|+ |48x2| 60 ! |error T| 1

2 h2 ; |error S| 12 h4

[Para aproximar la integral de 5.2,Rp

2p0 sen t2dt , Simpson con n = 2 y n = 4 da,

respectivamente, 1.67 (la gráfica se parece muy poco a una parábola) y 0.42 ].

Ej. Para otra integral aproximada con Taylor I=R 1

0 x2e�x2dx , Simpson da muy buenos resultados:

n = 2 ! I ⇡ 16 [0+ e�1/4 + e�1]⇡ 0.191

n = 4 ! I ⇡ 112 [0+

14 e�1/16 + 1

2 e�1/4 + 94 e�9/16 + e�1]⇡ 0.18951 ].

[Lo largo de Simpson es acotar el error (tampoco sabemos con Taylor si sale serie no alterna-da)].

Ej. Hallemos también con estos métodos algún racional que aproxime I =R 1

0 h , h(x) = 2x8�x2 .

Probablemente Simpson daría un error < 10�2 con ya con h = 12 , pero necesitaríamos acotar la

h(4) ,lo que es largo. Probemos con Trapecios que hay que derivar menos:

h0 = 2 8+x2

[8�x2]2, h00 = 4 x[24+x2]

[8�x2]3! en [0,1] es |h00| 100

73 ! |error| 10012·343 h2 !

basta tomar h = 12 ! I ⇡

⇥h(0)+2h( 1

2 )+h(1)⇤= 1

4⇥0+ 8

31 +27⇤= 59

434 con error < 10�2 .

Ej. Por último, aproximemos con Simpson I1=R 1

0 r , para la r(x)= x�1x4+1 .

Tomemos h = 12 : I1 ⌘

R 10 r ⇡ 1

6⇥�1� 4·8

17 +0⇤=� 49

102 ⇡ – 0.480 (sin cota del error).

Número coherente con las cotas que calculamos con Taylor:S5 ⇡� 0.578< · · ·< I1 < · · ·< S7 ⇡�0.401 ,

Y bastante similar al ‘exacto’ obtenido con la primitiva y utilizando la calculadora: I1 ⇡�0.474 .

111

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5.6. Aplicaciones

Áreas planas

Ya vimos que la integral no es exactamente un área, sino una suma de áreas con signo. Por tanto,para hallar el área encerrada entre el eje y=0 y la gráfica de una función f habrá que sumar lasintegrales de f en los intervalos en que esté por encima del eje y restar las integrales cuando fquede por debajo. Esto es equivalente a integrar | f | . Así:

Ej. Hallar el área de la región encerrada entre el eje horizontal y la gráfica de f (x) = x3 � x .

1–1

f|f|

Área =R 1�1 | f |=

R 0�1 f �

R 10 f =

f impar�2

R 10 f = 2

R 10 (x� x3)dx = 1

2⇥laR 1�1 f (que es 0 por ser f impar) no representa el área sombreada

⇤.

Ej. Determinar el área de la región acotada por los ejes y la gráfica de

01

tan(x–1)

1–!/2 1+!/2

h(x)= tan(x�1) [la de tanx trasladada una unidad a la derecha].

Área =R 1

0 |h|=�R 1

0 tan(x�1)dx = log |cos(x�1)| ]10 =� log(cos1)>0

(porque cos1<1 ; las áreas deben salir siempre positivas).

Más en general, el área comprendida entre las gráficas de f y g en el intervalo [a,b]

viene dada porR b

a | f �g| .

Ej. Determinar el área de la región encerrada entre las gráficas de f (x) = x2 �2x y g(x) = x .

3

3–1 f

g

x=1+! x=1–! – –

Las gráficas se cortan si x2 �2x = x , x = 0 (y = 0) ó x = 3 (y = 3).

En [0,3] la gráfica de g está por encima de la de f , por tanto:

A =R 3

0 [g� f ] =R 3

0 (3x� x2)dx = 92 .

O bien de otra forma (más complicada en este caso, pero mejor enotros), integrando respecto a y : y = x2 �2x $ x = 1±

p1+y !

A =R 0�1⇥1+

p1+y� (1�

p1+y)

⇤dy+

R 30⇥1+

p1+y� y

⇤dy

=⇥ 4

3 (1+y)3/2⇤0�1 +

hy+ 2

3 (1+y)3/2 � y2

2

i3

0= 9

2 .

Ej. Hallar (sin calculadora) con un error menor que 0.04 el valor aproximado del área de la regiónacotada por la gráfica de h(x) = arctanx2 y la recta y = p

4 .

!/4

!/2

1–1 0

h

h par , h !|x|!•

p2 , h0(x) = 2x

1+x4 (crece si x > 0 ) !

corta y= p4 si x=±1 ! Área = p

2 �2R 1

0 arctan(x2)dx .

Hallar la primitiva es posible pero largo:R

arctan(x2)dx = xarctan(x2)�R

2x2dx1+x4 = · · ·

[y los log y arctan del resultado no podríamos evaluarlos sin calculadora].

Trapecios o Simpson dan valores desconocidos del arctan (y sería largo acotar el error). Mejores integrar el desarrollo de Taylor [se puede llegar hasta x=1 ] y usar la serie alternada que sale:

2R 1

0⇥x2 � 1

3 x6 + 15 x10 � 1

7 x14 + · · ·⇤dx = 2

3 �221 +

255 � · · ·⇡ 4

7 , con error < 255 < 2

50 = 0.04 .

Por tanto, Área ⇡ 1.571� 0.571 = 1.00 con error < 0.04 (con ordenador: Área ⇡ 0.974991 ).

112

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Áreas en coordenadas polares.

x

y

x

y

!=arctan– yx

"+arctan– yx

r

Un punto P del plano de coordenadas cartesianas (x,y) sepuede describir además por un par de coordenadas polares(r,q) siendo r la distancia de P al origen y q el ángulo enradianes comprendido entre el semieje de las x positivas yla semirrecta que une el origen con P . Unas coordenadas sepueden obtener de otras utilizando que:

x = r cosq , y = r senq $ r =p

x2 + y2 , q = arctan yx [+p] , si q 2(�p

2 ,p2 )⇥q 2(p

2 ,3p2 )⇤.

!="

r=M

r=m

!=#

1

1

r=f(!)

Para hallar el área de una región R como la del dibujo, acotada porlas semirrectas q=a , q=b y la curva r= f (q) , con f (q)�0 , di-vidamos el ángulo b�a en n partes iguales (de longitud Dq ). Co-mo el área de un sector circular de radio r y ángulo q es r2q/2 , simk y Mk son el mínimo y el máximo de f (q) en cada sectorcillo,se tiene que el área de cada uno de ellos está comprendida entrem2

kDq y M2k Dq ! Âm2

kDq área de R ÂM2k Dq . Como estas

son las sumas inferior y superior de f 2 en [a,b ] deducimos que:

Área de R = 12R b

a⇥

f (q)⇤2dq .

–2

3

40 1

Ej. Hallar el área de la región acotada por la curva r = 3+ cosq .

A = 12R 2p

0 [3+ cosq ]2dq =R p

0 [ 192 +6cosq + 1

2 cos2q ]dq = 19p2 .

R no es el círculo de centro (1,0) y radio 3 , con área 9p y expresiónen polares: r2�2r cosq�8=0 ! r = cosq+

pcos2 q ; la curva dada

en cartesianas es muy complicada: x2 + y2 � x = 3p

x2 + y2 .

De forma similar a las del área en polares se prueban las otras fórmulas de la sección:

a b

f(x)longitud=L

Longitud de la gráfica

de f en el intervalo [a,b] : L=R b

a

q1+[ f 0(x)]2 dx .

(Lo natural es probar la fórmula estudiando las ‘integrales de línea’).

0 1

1

y=x2Ej. Hallar la longitud del tramo de parábola y=x2 que une los puntos (0,0) y (1,1).

L=R 1

0p

1+4x2 dx=h

u=2x+p

1+4x2i= 1

8R 2+

p5

1[1+u2]

2

u3 du=p

52 + log(2+

p5)

4 ⇡ 1.48

Ej. Probar que la longitud L del tramo de y=x3 que une (0,0) y ( 12 ,

18 ) cumple 1

2 <L< 916 .

1/2

1/8

y=x3

1/2

5/4 f

1

y0 = 3x2 ! L =R 1/2

0p

1+9x4 dx (primitiva no calculable).

f (x)⌘ [1+9x4]1/2 =1+ 92 x4� 81

8 x8+ · · · si |9x4|<1 , |x|< 1p3

! L = [x+ 910 x5 � 9

8 x9 + · · · ]1/20 = 1

2 +9

320 �9

4096 + · · · ,

[válido por estar [0,1/2] dentro del intervalo de convergencia]. Laserie de L es decreciente y alternada a partir de segundo término

! 12 = S1 < S3 < · · ·< L < · · ·< S2 =

169320 < 9

16 .

De otra forma (la integral puede describir el área limitada por f en [0,1/2] ):área rectángulo = 1

2 < L área trapecio = 916 [es fácil ver que f es convexa en ese intervalo].

[La acotación L > 1/2 era clara geométricamente antes de hacer ninguna cuenta].

113

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Volúmenes (sencillos):

a bx

A(x)

El instrumento natural para calcular volúmenes son las integra-les múltiples del cálculo en varias variables, pero para hallar al-gunos bastan integrales de funciones de una variable.Volumen de un sólido que se extiende desde x=a hasta x=b ,

conocida el área A(x) de cada sección plana: V =R b

a A(x)dx

2x

2

–2

2–2

x

Ej. Un sólido tiene base circular de radio 2. Cada sección producida por unplano perpendicular a un diámetro fijo es un triángulo equilátero. Calcularel volumen del sólido.

A(x)= área triángulo de base 2p

4�x2 =p

3(4�x2), V =2R 2

0 A(x)dx = 32p

33

f(x)

a b

En particular, volumen de un sólido de revolución engendradoal girar en torno al eje x la región comprendida entre la gráficade f ( f (x)� 0 ) y el eje x en [a,b] . El área de cada sección[círculo de radio f (x) ] es

A(x) = p[ f (x)]2 . Por tanto, V = pR b

a [ f (x)]2dx .

1

b

Ej. El volumen obtenido al girar la región determinada porg(x) = 1

x y el eje x en el intervalo [1,b] , b>1 es

Vb = pR b

1 [1x ]

2dx = p[1� 1b ] . Observemos que Vb �!

b!•p :

el volumen del sólido infinito es finito (impropia convergente).

Valor medio de una función en un intervalo; se define: M= 1b�a

R ba f (x)dx

a b

M(si f � 0 , es la altura de un rectángulo de base b�ay área igual a la limitada por la gráfica de f )

!/"

2!/" Ej. Hallar el valor medio de f (x)=Asenwx en el semiperiodo [0, pw ] :

M = wpR w/p

0 Asenwxdx = 2Ap

�el valor medio en [0, 2p

w ] es 0�.

Trabajo de una fuerza variable: un punto se mueve en el eje x sometido a una fuerza f (x)función sólo de x . El trabajo realizado por f para mover el punto desde a hasta b es

T =R b

a f (x)dx0 b

Ej. El trabajo preciso para estirar un muelle una longitud b desde suposición de equilibrio es

R b0 cxdx = 1

2 cb2.

Sea una varilla de densidad lineal variable r(x) que ocupa desde a hasta b . Su masa m , sucentro de gravedad x⇤ y su momento de inercia I respecto a 0 son:

m =R b

a r(x)dx , x⇤ =R b

a xr(x)dx , I =R b

a x2r(x)dx

Distancia recorrida en el intervalo de tiempo [a,b] por un móvil de velocidad v(t) : D=R b

a v(t)dt .

114

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Problemas de Matemáticas (2016/2017).1. Preliminares.

1.1. Comprobar visualmente con diagramas de Venn las siguientes igualdades entre conjuntos:a) A[B = (A�B)[ (B�A)[ (A\B) b) A\ (B[C) = (A\B)[ (A\C)

1.2. Sea f : L ! L la función definida en el alfabeto latino L por f = {(a,b),(b,c), . . . ,(y,z),(z,a)} ysea g : P ! L la que asigna a cada miembro de un grupo de personas la inicial de su primer apellido.¿Es f inyectiva o suprayectiva?, ¿lo es g si P = {habitantes de Madrid}?, ¿y si es P mi grupo deMatemáticas? ¿Es g inyectiva para algún P ? Hallar f�1

�f�1(z)

�y f

�g(lector)

�.

1.3. Sea p ) q la implicación: ‘Si un cuadrilátero tiene las diagonales iguales entonces el cuadrilátero esun rectángulo’. Decidir si son ciertas p ) q , q ) p , (no p)) (no q) y (no q)) (no p) .

1.4. Demostrar por inducción sobre n la fórmula:n

Âk=1

k3 = 14 n2(n+1)2 .

1.5. Hallar el mcd y el mcm de 1995 y 9009 .

1.6. Escribir en la forma más simplificada posible:

a) 277212474 , b) (�23)

2, c) 2(�3)2, d) (�2)32

, e) ( 49 )

3/2, f) ( 9

4 )�3/2

, g) 8�2/33�4 2�4/6 92 213/15 47/5,

h) (p

2�1)3!

, i) (p

2�1)�3

, j) (3+p

8)3(3�

p8)

3, k) 1

(n�1)! �n�1n! , l) n!

(n�3)!(n2�2n) .

1.7. Calcular: a) 1+2+3+4+ · · ·+1024 , b) 1+2+4+8+16+ · · ·+1024 ,c) 1/2 + 1/4 + 1/8 + · · · 1/1024 , d) 1/2 + 1/4 + 1/8 + · · · .

1.8. Si a1=�3 y an+1=an+35 , calcular a4 , a28 y la suma S=a4 +a5 + · · ·+a28 . ¿Se pueden encontrar

25 enteros en progresión aritmética cuya suma sea la misma S? ¿Y si son 24 los enteros?

1.9. Calcular�n

0

�+�n

1

�+ · · ·+

� nn�1

�+�n

n�

para n = 2,3,4,5 y 6 , y deducir de la fórmula del binomioel valor de la suma para cualquier n . ¿Cuánto vale

�n0

���n

1

�+�n

2

�� · · ·+(�1)n�n

n�

?

1.10. Hallar todos los números reales x que cumplen cada igualdad:a) x2+x+2 = 0 , b) x4�x2�2 = 0 , c) x4+2x2+8x+5 = 0 , d) 3x4�7x3�7x+3 = 0 ,

e) 2x2�2x +

3x2�4x+4 = 1 , f)

px+9�2

px+1 = 0 , g)

px+3+2

px = 0 , h) |x|=�x .

1.11. Encontrar todos los reales x para los que:a) x�2

x+2 � 0 b) |x�3|< 5 c) |x�5p|� 4p d) |4�7x|= 4�x2

e)��1� 1

x

�� 2 f) x3 + x2 > 2x g) |x||x�2|< 1 h) |x|+ |x�3| 5

i) �3x3 > 19 j) 2x

3 + 5x12�3 4x

15+12 k) 7+ x+ 6

x < 0 l) 34+x2�x3< 1

1.12. Determinar si cada afirmación es cierta o falsa (probarlas o dar un contraejemplo):a) x<y ) x�1>y�1 , 8x,y 6=0 ; b) x<y ) x3<y3 , 8x,y ; c) 0<x<y ) 3x2<x2+xy+y2<3y2 ;

d) |x�5|< 2 ) 0 < x < 8 ; e) x < 5 ) |x|< 5 ; f) |x|< 5 ) x < 5 ; g) 9x con |x+1|< x ;h) 9x con |x�1|= |2�x| ; i) 9x con |x�1|=�|2�x| ; j) x2 �1 |x2�1| x2 +1 8x .

1.13. Precisar si los siguientes subconjuntos de R tienen supremo, ínfimo, máximo, mínimo y si son abier-tos o cerrados :

a) {x : |x|>2}�{7} ; b) {x2Q : x24} ; c) {(�1)n + 1n : n2N} ; d) {10�7n : n2N} ; e) f .

I

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1.14. Determinar el dominio de las siguientes funciones:

a) f (x)= arctanx2� 3px b) g(x)=arcsen(logx) c) h(x)= 1

1�x+p

5�x2 d) k(x)=q

16���9�x2

��

1.15. Sean f (x) =p

x+2 , g(x) = 2x . Hallar el dominio de f �g , g� f y f � f . Hallar im f e im g .

Comprobar que f es inyectiva en todo su dominio y calcular f�1 indicando su dominio.

1.16. Si f (x)=��x2+2x

�� , hallar todos los números reales x que cumplen f (x) 3 . ¿Es f inyectiva?

1.17. Si f y g son crecientes, ¿lo es f +g ? ¿Y f ·g ? ¿Y f �g ?

1.18. Determinar si f + g y f �g son necesariamente pares o impares en los cuatro casos obtenidos altomar f par o impar y g par o impar.

1.19. Expresar los siguientes ángulos en radianes: 15o, 18o, 120o, 150o, 270o. Y estos ángulos, que estánen radianes, en grados: p

9 ,7p12 ,

7p6 , 3p . Usando Pitágoras deducir el valor de cos p

6 , cos p4 y cos p

3 .

1.20. Si desde cierta distancia un edificio se ve bajo un ángulo p3 , y alejándose 200 m se vé bajo un ángulo

p6 , ¿cuáles son la altura del edificio y la distancia que a la que estaba en la primera posición?

1.21. a) Expresar sen x2 y cos x

2 en función de cosx . b) Expresar senx y cosx en función de tan x2 .

c) Probar que tan x2 = senx

1+cosx . d) Calcular tan p8 , sen p

12 y cos p12 .

1.22. Hallar (sin calculadora) los siguientes valores (en el caso de que existan):

a) 1252/3 b) e3log4�log5 c) log2 64 d) ch(log3) e) log(log(log2)) f) [sh(�1)]p g) cos(� 13p3 )

h) sen p8 i) sen 7p

12 j) [cos 3p4 ]

1/4k) tan 5p

4 l) arctan(tan 5p4 ) m) arcsen(arccos0) n) cos(arctan17)

1.23. Hallar todos los números reales x tales que:

a) 8x = 2�x2b) log(x+2) = 2logx , c) log(4x3�3x)0

d) cos2x�5cosx = 2 e) tan2x =12cos2x f) 1� cosx = sen x2

g) cos4x� sen4x = 12 h) 1+4sen2x = 2tanx tan2x i) | tanx|< 1

1.24. a) Expresar mediante identidades trigonométricas sen3x y cos3x en función de senx y cosx .b) Si sena =� 3

5 y a es del tercer cuadrante, hallar cos3a y precisar en qué cuadrante está 3a .

1.25. Escribir cos5x en función de cosx y sen5x en función de senx . Encontrar a partir de estas expre-siones algún polinomio que deba anular el cos p

5 , hallar sus raíces y probar que: cos p5 = 1+

p5

4 .

1.26. Escribir el complejo z= i�53+2i en la forma reiq y hallar z5 y escribirlo en la forma a+b i .

1.27. Calcular: 1i +

31+ i ,

��p

3+ i�10

,� 1� i

1+ i

�5, 4p

�16eip/3 ,� 2�3i

i+4

�,��e3� i |2+ i |�� .

1.28. Hallar los números complejos z tales que z4 =�64 y escribir el polinomio P(x)= x4+64 comoproducto de polinomios de segundo grado con coeficientes reales.

1.29. Determinar si las siguientes igualdades son ciertas para todo z complejo:2Re(z) = z+ z , Re(z ·w) = Re(z) ·Re(w) , |z|= |z| , z2 = |z|2 .

1.30. Resolver las ecuaciones: z3 +8 = 0 , z4 �16z2 +100 = 0 , z2 + iz+2 = 0 , ez = 1 .

II

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Problemas de Matemáticas (2016/2017).2. Sucesiones, límites y continuidad en R.

2.1. Sean a) an =(�1)n+n

1+n , b) bn = 107�n y c) cn =300cosn�2n

n2 .Hallar un N a partir del cual sus términos difieran del límite en menos de e = 1 , e = 0.1 y e = 0.01 .

2.2. Probar a partir de la definición de límite que: {an} convergente ) {|an|} , {a2n} convergentes.

¿Es cierta la implicación inversa en alguno de los dos casos?

2.3. Calcular el límite de las sucesiones que sean convergentes:

a) n2�30n3�100n b) 17

pn+3+9p

n2+1�1c) n2

2n�1�n2�1

2n d)p

n⇥p

n+4�p

n⇤

e) (�1)npn�n f) (�1)n�pn�1pn �1

�g)

(�1)np

n(n�1)n+1 h)

�p2n2�1�1

�4

i)p

2n4+3�4n2+5senn j) 5+(�2)n+1

3n cos pn+2

k)p

n cosn�n thn l) log(en+2n)p4n2�1

m)

p(n4�1)sen(9/n)

n2+1 n)n2 sen 3

np4n2+9

ñ) ecosnp log n+1n o) necosn sen 1

n2

p) 2n+(�1)n

2n+1+(�1)n+1 q)�n� n2

n+4

�� n+logn2n r)

� n+1n�1

�n s) 1+ · · ·+ 12n

2.4. Hallar el límite L de la sucesión an =n2+1n+1 � n2+4

n+2 . Probar que an es creciente. Hallar razonada-mente un N tal que |an�L|< 1

2 si n�N .

2.5. Precisar para qué valores de a,b > 0 convergen las sucesiones:

a) an =p

n2+an�bn b) na+ lognnb+3 c) npan+bn d)

�na+b

�1/n e)�a+ b

n�n

2.6. Utilizando únicamente las definiciones probar que:

a) f (x)=1+p

4+x es continua en x=0 b) lımx!•

senx2

1+ x2 = 0 c) lımx!0+

1+ xx3 = • .

2.7. Sea f (x) una función tal que | f (x)| x4 para todo x2R . ¿Es necesariamente continua en x=0 ?¿Y en x=1 ? Probarlo o dar un contraejemplo.

2.8. a) Hallar una f que no sea continua en ningún punto, pero tal que | f (x)| sea continua 8x .b) ¿Existe alguna función que sea continua en todo R menos en un único punto?c) ¿Existe alguna que sea continua en un único punto de R y discontinua en todos los demás?d) Escribir, si existe, una f definida en todo R tal que la sucesión

�f� 1

n�

no tienda a f (0) .

2.9. Hallar (si existen) los siguientes límites:

a) lımx!•

(x+1)100

(2x+5)100 ; b) lımx!�•

x+sen3x5x+6 ; c) lım

x!�•

px2+1

x+5 ; d) lımx!•

px2�x� x ; e) lım

x!�•

px2�x� x ;

f) lımx!1

x2+1x�1 ; g) lım

x!1

x2�1x�1 ; h) lım

x!2

x2�1x�1 ; i) lım

x!•arctan(logx2) ; j) lım

x!0arctan(logx2) ;

k) lımx!0+

log 1x ; l) lım

x!•xsenx ; m) lım

x!1�arcsenx

x ; n) lımx!0

13+21/x ; ñ) lım

x!•1

3+21/x ; o) lımx!�•

13+21/x ;

p) lımx!1

xlog(2�x2)

; q) lımx!1�

(1�x)senx ; r) lımx!0

e1/x sen px ; s) lım

x!0

senx|x| ; t) lım

x!0

senx2

x ; u) lımx!0

senxx3 .

2.10. Sea f : [0,1]!R continua y tal que im f ⇢ [0,1] . Probar que entonces existe algún x2 [0,1] tal quef (x) = x [a x se le llama punto fijo de f ].

III

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Problemas de Matemáticas (2016/2017).3. Derivadas en R.

3.1. Hallar el dominio de las siguientes funciones y el valor de su derivada en el punto que se indica:

a) f (x)= log⇥p�4arctan(x2)

⇤, x=3�1/4 ; b) g(x)=arctan

⇥x� log(2�x)

⇤, x=1 .

3.2. Sea f (x)= arctan�p

3cosx�

. a] Precisar los x2R que cumpleni) f (x)= p

3ii) f (x)= 7p

3. b] Hallar f 0

�5p3

�.

3.3. Hallar la primera y segunda derivadas de las funciones siguientes indicando su dominio:

a) f (x)=x3sen 1x , f (0)=0 ; b) g(x)=x log |x| , g(0)=0 ; c) h(x)= |x7/3�x2| ; d) k(x)= x2+1

x3�x .

3.4. Determinar el dominio de la función y hallar los x que anulan su derivada segunda:

a) f (x) = x2+7x�5+ 8x�1 , b) g(x) = senxcosx , c) h(x) = x+1p

4�x2 , d) k(x) = cosx + 1cosx .

3.5. Sea f (x) =⇢ 1

|x| si 0< |x|1a+bx2 si |x|>1

. Hallar a y b para que existan f 0(1) y f 0(�1) .

3.6. Sea f (x) =q

1� log��x2�2

�� . a] Determinar su dominio. b] Hallar su recta tangente en x=1 .

3.7. Sea g(x)=xsen�log |x|

�, g(0)=0 . Determinar si es continua y derivable en x=0 . Hallar todos los

números reales x tales que g0(x)=0 .

3.8. Sea f (x) = x arctan�log |x|

�si x 6=0 , f (0)=0 . a] Estudiar si es continua y derivable en x=0 .

b] Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en x=1 .

3.9. Determinar para qué puntos de la gráfica de f (x)= ex2�x la recta tangente pasa por el origen.

3.10. Hallar la ecuación de la recta tangente a las siguientes curvas en el punto que se indica:a) x2+4y2�10x = 0 en

�1, 3

2

�b) y+ yx2 + y3 = 6 en (2,1) .

3.11. Hallar, si existe, un c2 (0,1) en el que la recta tangente a f (x) = arctan x2�x sea paralela a la recta

que une (0,0) y (1, p4 ) .

3.12. Estudiar la derivabilidad y hallar (si existen) los valores extremos en los intervalos indicados:

a) f (x) = 2x�9x2/3 en [�8,64] b) g(x) = senx+2|x| en⇥� p

2 ,p6

c) h(x)=x3�3|2x�1| en [0,2] d) k(x) =q

(x�1)2+9 +q

(x�8)2+16 en R

3.13. Sea g(x) = 1ex+e�1/x , g(0)=1 .

a) Precisar si es continua y derivable en x=0 .b) ¿Es g inyectiva en [0,•) ? ¿Lo es en todo su dominio?

3.14. Sea f (x)=x+2cosx . Hallar, si existe, el valor mínimo de f en el intervalo [0,1] . Probar que existef�1, función inversa de f para x2 [� 1

2 ,12 ] , y hallar la derivada ( f�1)0(2) .

3.15. Sea g(x)=3e2x�ex�x . a] Calcular lımx!�•

g(x) y lımx!•

g(x) . b] Determinar los x que anulan g0 y g00 .c] Precisar cuántas veces se anula g en su dominio.

3.16. Determinar cuántas veces se anulan estas funciones en los intervalos que se indican:a) f (x)= esenx�3senx en [�p,p] b) g(x)= log

��x+ 12

��+x en [0,1]

3.17. Discutir, según los valores de la constante a , cuántas soluciones reales tiene la ecuación ex = ax .

IV

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3.18. Sea f (x)=��ex�2

�� . a] Esquematizar su gráfica a partir de la de ex . b] Hallar todos los númerosreales x que satisfacen f (x)>1 . c] Hallar su recta tangente en x=0 .

3.19. Dibujar la gráfica de f (x)=�� log(x+1)�1

�� a partir de la de logx . Hallar los x tales que f (x)<1 .

3.20. Sea g(x)=x�log |x|

�2 , g(0)=0 . Determinar si es continua y derivable en x=0 . Estudiar su creci-miento y hallar sus puntos de inflexión. Dibujar su gráfica.

3.21. Sea g(x)= ex

x3+4 . a] Hallar su dominio y los límites cuando x ! • y x !�• . b] Encontrar sus

valores extremos en [0,3] . c] ¿Se anula g en el intervalo [�2,0]? d] Esbozar su gráfica.

3.22. Sea g(x)= log�2+ 1

x2 � 3x3

�. a) Determinar su dominio y asíntotas. b) Hallar sus valores extremos

en [3,6] . c) Precisar cuántas veces se anula g en su dominio.

3.23. a) Probar que P(x)=2x3+x2�1 tiene sólo 1 raíz real y dar un intervalo [n,n+1] al que pertenezca.b) Sea g(x)= 3x+1

x3+1 . Hallar su dominio, asíntotas, estudiar g0 y dibujar aproximadamente la gráfica.Hallar (si existe) el valor mínimo de g en el intervalo [0,1] .

3.24. Sea f (x) = x�4x3+x�4 . a) Probar que el denominador se anula una única vez en el intervalo [1,2] .

b) Estudiar el crecimiento de f . c) Hallar sus valores extremos en [�1,1] . d) Dibujar su gráfica.

3.25. Sea h(x)=4arctanx+ 1x2 . a] Hallar sus asíntotas. b] Encontrar el valor mínimo de h en

⇥3�1/2,31/2

⇤.

c] Probar que h se anula una única vez y que h00 se anula en (1,2) . d] Dibujar la gráfica de h .

3.26. Sea f (x) = (x2+1)e3x�x2. Hallar lım

x!•f (x) y lım

x!�•f (x) . Probar que f 0 se anula en un punto del

intervalo (1,2) y que no lo hace más veces en su dominio. Estudiar cuántas soluciones tiene f (x)=1 .

3.27. Dibujar las gráficas de las funciones:

a) x2�4x+5x�2 b) 2p

x�1x c) cos2

�x+ p

4

�d) arctan(3x�x3)

e) (2x2�1)e�x2f) e�x cosx g) x3�4x+ logx h) log

�x2+ 1

x�

3.28. Dibujar las curvas:a) x2+ y2+2x�4y = 0 b) 4x2� y2�8x = 12 c) x2� xy+ y2= 3 d) x2y2= x2�1

3.29. Determinar el área mínima de todos los triángulos del primer cuadrante cuyos catetos son los ejes ycuya hipotenusa pasa por el punto (1,2) . ¿Existe el triángulo de área máxima?

3.30. Sean las rectas que pasan por el punto (1,4) y que cortan los ejes coordenados en puntos (a,0) y(0,b) con a,b> 0 . ¿Para cuál de ellas la suma a+b es la menor?

3.31. Hallar el punto de la recta tangente a x2+y2=4 en el punto�1,�

p3�

más cercano al punto (2,0) .

3.32. Hallar los puntos de la curva 3y2 = 21+20x�x4 situados a mayor y menor distancia del origen.

3.33. Encontrar el punto de la gráfica de f (x) = 2arctan(x�2) para el que es mínima la suma de susdistancias a ambos ejes.

3.34. Hallar el área máxima que puede tener un rectángulo que tenga dos lados sobre los semiejes x,ypositvos y el vértice opuesto sobre la gráfica de P(x)= 6�x�x3 .

3.35. Un nadador está en el punto A del borde de un estanque circular de 50 m de radio y desea ir al puntodiametralmente opuesto B , nadando hasta algún punto P del borde y andando luego por el arco PBdel borde. Si nada 50 m por minuto y camina 100 m por minuto, ¿a qué punto P se debe dirigir paraminimizar el tiempo de su recorrido?

[Ayuda: si O es el centro del círculo, ¿qué relación se da entre los ángulos PAB y POB ?].

V

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Problemas de Matemáticas (2016/2017).4. Series, Taylor y límites indeterminados.

4.1. Sea la sucesión {an} definida por an+1 =n+23n+1 an , con a1 = 1 . Probar que tiene límite y calcularlo.

Determinar la convergencia de Âan .

4.2. Determinar si las siguientes series son convergentes o divergentes:

a) Â 2n2

nn b) Â 3+cosnpn c) Â (�1)n (p

e )n d) Â

⇥ e�100

n � e�n

100 ]

e) Â ne�n2f) Â 2nn100

(n�1)! g) Â 2+(�1)n

n2+3 h) Â (�1)n n+2425n

i) Â nn

(n+2)n j) Â 1(lnn)2 k) Â 1

n(lnn)2 l) Â (�1)n 4n�1n(n�1)

m) � 1+n3

1+n4

�3 n) � 2n�1

4n�3

�nñ) Â sennp

n3+cos3no) Â

⇥ 1pn�1

� 1pn+1

4.3. Determinar para que números reales c convergen las siguientes series:

a) Â (�1)n

nc b) Â (n+1)!c3n

(2n)! c) Â (n!)c

(3n)! d) Â (c�1)n

22n�1 e) Â cn+2en+n f) Â

⇥1�ccos 1

n⇤

4.4. Precisar todos los a para los que converge•

Ân=0

2�nan(1�a)n y hallar su suma para a= 12 .

4.5. Determinar para qué a2R converge•

Ân=2

2n�2

an . Precisar para qué valores de a su suma es 13 .

4.6. Probar que 0.8414 •

Ân=0

(�1)n

(2n+1)! 0.8417 (sumar 3 y 4 términos de la serie). ¿Cuántos términos

habría que sumar para estimar la suma con error menor que 10�5 ?

4.7. Razonar si son ciertas las afirmaciones: a]•

Ân=0

(�1)n 42n+1 > 9

5 ; b]•

Ân=1

n arctannp3n3+1

< 95 .

4.8. Estudiar si convergen puntual y uniformemente en el intervalo que se indica:

fn(x) = 11+x2n en [0,2] ; gn(x) = nx

n+1 en [0,1] ; hn(x) = ex�n en i) (�•,0] , ii) [0,•) .

4.9. Estudiar para qué x convergen, y si lo hacen uniformemente en el intervalo que se indica:

a) Â arctan(nx)5n en R b) Â cosnx

n3 en R c) Â xn

nn en [�7,7] d) Â (5x)n�1

(x2+6)n en [5,6] .

4.10. i) Calcular los valores máximo y mínimo de fn(x) = xn e�nx en [0,•) .

ii) Determinar si convergen uniformemente en [0,•) la sucesión fn(x) y la serie  fn(x) .

4.11. Determinar todos los valores de x para los que convergen las series:

a) Â 7npn2+1

xn b) � n�1

2n�nxn c) Â 8n x3n

1+p

n+3d) Â 2n2

(x�2)n e) Â (�4)n

2n+1 (x�1)2n

f) Â xn

n+logn g) Â 2nx2n

1+n2 h) �3+ 1

n�2nxn i) Â n2x2n

2np

n j) Â 9nx2n

n2 log(n+1)

4.12. Precisar si converge la serie  (x�2)n

arctann para: a) x=0 , b) x=1 , c) x=e .

4.13. Sea f (x)=•

Ân=1

xn

n2n .Determinar para qué x2R converge la serie anterior.¿Converge para los mismos x la serie de f 0 ? ¿Qué función es f 0 ?

4.14. Determinar para qué valores de x converge•

Ân=1

n3nxn�1 y hallar su suma para esos valores.

VI

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4.15. Escribir el polinomio P(x) = x3 �2x2 � x+5 ordenado en potencias de (x�2) .

4.16. Utilizando polinomios de Taylor determinar con un error menor que 10�3 el valor de:a) cos1 b) e c) log 3

2 d) log 43 e) log2

4.17. Determinar para qué x converge la serie  n+1n+3 xn y precisar si converge para x=sh1 .

4.18. Hallar los 3 primeros términos no nulos del desarrollo de Taylor de f (x) = x(1+x3)�1/5 en x = 0 .

Aproximar por un racional f� 1

2

�con error menor que 0.001 .

4.19. Precisar el valor de la suma de las siguientes series:

a)•

Ân=2

2n+1 +(�1)n

3n�2 b)•

Ân=0

(�4)n

(2n+1)!c)

Ân=0

2n+1n!2n d)

Ân=1

1p

np

n+1 [p

n +p

n+1 ]

4.20. Hallar los 3 primeros términos no nulos del desarrollo en serie de Taylor en x = 0 de:

a) cos2 x3 b) 5

3�x c) log(1+2x)1+2x d) (2� x)

p1+ x

e) shxchx f) 1cosx g) arcsenx h) cos(senx)

4.21. Hallar el coeficiente de x4 en el desarrollo de Taylor de f (x)= arctan(2x)p1+x y deducir el valor de f (4)(0) .

4.22. Sea g(x)= xex�1 , g(0)=1 . Hallar, si existe, g0(0) .

4.23. Calcular los siguientes límites indeterminados cuando x tiende al a indicado:

a = 0 : a)p

1�x2�cosxx4 b) x�tanx

arctanx3 c) ex�esenx

x3 d) (cos2x)3/x2. a = 0+ : e) tanx logx .

a = 1 : f) 1logx �

1x�1 g) xx�x

1�x+logx h) 1�x1/2

1�x . a = • : i) ex+senxex+cosx j) x tan 1

x k)⇥ x+3

x�3

⇤x.

4.24. Discutir según los valores de a el valor del límite cuando x ! 0 de la funciones:

a) f (x)= senxcosx+arctanaxx3 b) g(x)= e2x+x2�1�ax

x log(1+x)

4.25. Hallar el real b tal que f (x) = x�2⇥ebx4� cosbx

⇤tiende hacia 0 si x!• y hacia 2 si x!0 .

4.26. Hallar los límites cuando x ! 0 y cuando x ! • de:

a)p

1+x2�1arctanx sen 1

x b) arctanx2�(ex�1)2

log(1+x3)c) 1+2x�e2x�2x2

x3+senx3 d) (x2+cosx) arctan 1x2

4.27. Determinar (si existen) los límites cuando: i) x ! 0 ; ii) x !�• ; iii) x ! • de:

a) f (x)= x�senxx3 arctan 1

x2b) g(x)= (1+x2)1/3 arctanx�x

x shx4 c) h(x)= arctan(senx)�xlog(1+x3)

d) k(x)= 1�ex3

x�senx

4.28. Hallar el límite de las sucesiones: a) an = n2hq

1+ 1n2 �1

i, b) bn = narctann�n2 arctan 2

n .

4.29. Sea f (x) = log |1+x3|x , f (0)=0 . Hallar f 0(0) y f 00(0) . Dibujar su gráfica. Hallar lım

n!•{ f ( f (n))} .

4.30. Sea f (x) = 1�e�x

x , f (0)=1 . Hallar f 0(0) . Determinar los límites lımx!±•

f (x) y la im f . Estudiar

el crecimiento y decrecimiento de f . Hallar la derivada f (2011)(0) .

VII

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Problemas de Matemáticas (2016/2017).5. Integración en R.

5.1. Sea f (x) = 1�p

x , x2 [0,1) ; f (x)=0 , x2 [1,2) ; f (x)=1 , x2 [2,3] , y sea F(x)=R x

0 f .Determinar los x2 [0,3] para los que F es continua y derivable. Hallar F(3) . Hallar F(x) 8x .

5.2. Sea F(x) =Z 1

senx

arctan t1+ t4 dt . Hallar F

� 3p2

�y F 0� 3p

2

�.

5.3. Si H(x)= xZ 2x

x

p1+3t3 dt , calcular H 00(1) .

5.4. Sea F(x)=Z x

1�2xte�t4

dt . Hallar F(1) , F 0(1) y (F �F)0(1) . ¿Es F(0) mayor o menor que F(1) ?

5.5. ¿Posee función inversa la función f definida para todo x � 2 por f (x) =R x3

x2dt

log t ?

5.6. Sea f (x) =R x

1 e4arctan t dt . Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en x = 1 . Probarque f posee inversa en todo R y calcular ( f�1)

0(0) .

5.7. Sea H(x) =Z 4

�x2

t dt1+|t| . a] Hallar H 0(2) y H(2) . b] Hallar el valor mínimo de H en [0,2] .

5.8. Sea H(x)=Z 2x

xe�3s2

ds . Probar que 0<H(1)< 18 . Hallar la ecuación de la tangente a su gráfica en

x=0 . Precisar los x en los que H alcanza sus valores extremos en el intervalo [0,1] .

5.9. Determinar en qué x del intervalo que se indica alcanzan su máximo y su mínimo las funciones:

a) F(x)=Z tanx

�1

t3

1+t2 dt en⇥� p

4 ,p3

⇤b) G(x)=

Z x

�1t⇥et� et4⇤

dt en [�1,1]

c) H(x) = x�R x

1 cos(sen t)dt en [1,4] d) K(x)=Z 2x

x

dtp36+t3

en [�1,6]

5.10. Estudiar crecimiento y decrecimiento, y precisar cuántas veces se anula la función en el intervalo:

a) F(x) =Z x2

0et2

dt � ex4en [0,•) b) K(x) =

Z x3

0

2es

1+s ds �1 en [0,1] .

5.11. Hallar las siguientes primitivas:

a)R x+1

x+9 dx b)R x+1

x2+9 dx c)R

x(x2+3)2 dx d)R logx

x2 dx e)R(logx)3dx

f)R x4

x+1 dx g)R dx

x4�2x3 h)R 3x2+3x+1

x3+2x2+2x+1 dx i)R x+2

x3�8 dx j)R

x2 arctan 1x dx

k)R

x3e�xdx l)R

x3ex2dx m)

R dx1+2ex+e2x n)

Rtan2xdx ñ)

Rsenxcosxdx

o)R xdx

cos2 x p)R sen2xdx

5+4cosx q)R dx

3sen2x+cos2x r)R

4xcosx2dx s)R

4xcos2xdx

t)R

arcsenxdx u)Rp

x+5 dx v)R

x3p

1�x2 dx w)R p

1+xx dx x)

Rpx2�1dx

5.12. Calcular, si existe:

a)Z �2

�3

dxx+ x3 b)

Z 1

�1

dxx4 c)

Z � log2

� log3

e2x

ex�1 dx d)Z 1/2

0

(2x3�x2)dx2x2 � x�1

e)Z p/2

�p/2sen5x dx f)

Z e

1x logxdx g)

Z 1

0arctan(

px)dx h)

Z p/2

0cos2x cosx dx

i)Z 3

1xp

1+x dx j)Z 1/2

0

x2 dxp1� x2

k)Z 4

0

px

x+4dx l)

Z 0

�p/6

cosx dx3senx�2cos2x

VIII

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5.13. Calcular la integralR 0�1 x3 senx2 dx . Decidir si esta integral es mayor o menor que 0 .

5.14. a] Hallar I =Z p/3

0sen2x e�2cosx dx . b] Probar, sin utilizar el resultado de a], que 0 I 2

3 .

5.15. Calcular la integralZ log3

0

9� ex

e2x +3dx . Probar que esta integral es mayor que 1

2 .

5.16. Hallar los valores máximo y mínimo de g(x) = x2�5xx�9 en [2,4] . Probar que 8

5 <R 4

2 g(x)dx < 2 .Hallar la integral y, usando desarrollos de Taylor, comprobar las desigualdades anteriores.

5.17. Sea f (x) = x+ 2px+3

. Hallar los x tales que f (x)=0 y tales que f 0(x)=0 . Dibujar su gráfica.Hallar el área de la región acotada por los ejes y la gráfica.

5.18. Sea g(x)= x3+x2�7x3�2x2+x�2 . Hallar la primitiva G(x) que cumple G(0)=�1 . Probar que g(x)> 1 si

x2 [0,1] y que existe un único c2(0,1) tal que G(c)=0 .

5.19. a] Hallar una primitiva de f (x) = 1x3+3x2 . b] Si G(x)=

R 2xx f (t)dt , hallar G0(�1) y G(�1) .

c] Estudiar si convergenR •

1 f eR 1�1 f .

5.20. Sea f (x) = x log�1+ 4

x2

�. a] Hallar una primitiva de f . b] Estudiar la convergencia de

R •1 f .

5.21. Sea f (x)= 11�

px . a] Calcular

R 94 f . b] Precisar si converge

R 10 f .

5.22. Sea f (x)=p

x+4x�5 . a] Hallar

R 0�4 f (x)dx . b] Precisar si converge

R •5 f (x)dx .

5.23. Probar queR •

3 x�3e�6/xdx es convergente y que su valor es menor que 118 .

5.24. a] Hallar los 2 primeros términos no nulos de la serie de Taylor de f (x)= ex log(1+2x) en x=0 .

b] Precisar si converge la integral impropiaZ 1

0

ex log(1+2x)x2 dx .

5.25. Sea f (x) = (2x�1)e�x . a] Dibujar aproximadamente su gráfica. b] Hallar el área de la regiónlimitada por los ejes y la gráfica de f . c] Decidir si converge la integral

R •1 f .

5.26. Sea f (x)=xarctan 4x2 , f (0)=0 . a] Hallar, si existen, f 0(0) y f 0(2) . b] Hallar una primitiva de f .

c] Estudiar si converge la integral impropiaZ •

1f (x)dx .

5.27. Sea F(x)=Z x2

2s3e�sds . a] Hallar los x en los que F alcanza sus valores extremos en [0,2] y probar

que su valor máximo es menor que 7 . b] Estudiar si F tiene cota superior en [0,•) . c] Precisar cuántasveces se anula F en [0,2] .

5.28. Sean g(x)= ex�x2y G(x)=

R 2x+12x g(t)dt . a] Hallar G 0� 1

2

�y estudiar dónde crece y decrece G .

b] Probar que para todo x se cumple 0G(x)e1/4. c] Estudiar si convergeR •

0 g .

5.29. a] Hallar, si existen, los x para los que F(x)=Z x

0

2s�1ps3+1

ds toma sus valores extremos en [0,•) .

b] Probar que � 12 <F

� 12

�<0 .

5.30. Sean h(x)= 4x�1(x+4)(x2+1) y H(x)=

R x/20 h . a] Calcular H 0(2) . b] Determinar lım

x!0

H(x)x y lım

x!•

H(x)x .

c] Precisar cuántos ceros tiene H en el intervalo⇥ 1

2 ,4⇤

.

IX

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5.31. Estudiar la convergencia de las siguientes integrales impropias. Hallar su valor si se puede:

a)Z •

0

dx(x+1)

px

b)Z •

�•

dx1+ x2 c)

Z p/2

0

cos3xsen2x

dx d)Z •

0

log(1+ x)x3/2 dx

e)Z •

1

� 1x�

1px2+1

�dx f)

Z 1

0logx dx g)

Z •

1(1�cos 2

x )dx h)Z •

1

dxx1+1/x

i)Z 1

0

x2 dxp1� x2

j)Z •

1logx sen 1

x2 dx k)Z •

0

arctan 1x

arctanx2 dx l)Z 1

0

cosx dxex2�1

5.32. Discutir según los valores de a2R la convergencia de las integrales:

a)Z •

0

1�e�x

xa dx b)Z •

0[x3+ senx]a dx c)

Z •

0

log(1+eax)1+x2 dx

5.33. Calcular lımx!0

R 2xx sen t2 dt

x3 , utilizando L’Hôpital y desarrollos de Taylor.

5.34. Probar queZ 1

0x2 cosx2 dx � 1

6 : a] acotando el integrando, b] utilizando desarrollos de Taylor.

5.35. Sea f (x) = cosp|x| . Estudiar si es derivable en x= 0 . Hallar, si existen, los valores máximo y

mínimo de f en el intervalo [�4,1] . CalcularR 4�4 f . Probar que 7

10 R 1

0 f 78 .

5.36. Sea F(x) =R x�1 t et3

dt , con x2 [�1,•) . i) Hallar los x del intervalo en los que F alcanza susvalores máximo y mínimo. ii) Probar que F(0)>� 1

2 .

5.37. Sea f (x)=p

x arctanp

x . Calcular una primitiva de f y hallar el área de la región encerrada entresu gráfica y las rectas y=0 y x=3 .

5.38. Calcular el área encerrada entre las gráficas de g(x)= x3�3x2+3x y f (x)= x en [0,2] .

5.39. Calcular el área de la región acotada entre las curvas y =p

x , y =p

2� x e y = 0 .

5.40. Hallar el área de la región encerrada entre la gráfica de f (x)=��49�x2

�� y su recta tangente en x=�1 .

5.41. Hallar el área de la región encerrada entre la curva y = x3 y la recta tangente a la curva en el puntode abscisa x = a > 0 .

5.42. Hallar el área de la región acotada encerrada por la gráfica de f (x) = x log(1+x) y la recta y=x .

5.43. Calcular el área de la menor de las dos regiones acotadas por las curvas x2 + y2 = 2 y x = y2 .

5.44. Calcular el área de una de las regiones comprendidas entre la gráfica de f (x) = senx y esta mismagráfica trasladada horizontalmente una distancia p

3 hacia la derecha.

5.45. Sea la región del cuarto cuadrante limitada por la gráfica de f (x) =�e�ax ( a > 0 ) y el eje x . Probarque la recta tangente a f (x) en x = 0 divide dicha región en dos partes de igual área.

X

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Problemas adicionales (16-17).

Preliminares

1. Sea f : A ! B una funcion y sean X ,Y ⇢ A . Estudiar si son ciertas o no las afirmaciones:a) f (X [Y ) = f (X)[ f (Y ) , b) f (X \Y )⇢ f (X)\ f (Y ) , c) X ⇢ Y ) f (X)⇢ f (Y ) .

Probar que f es inyectiva si y solo si f (X \Y ) = f (X)\ f (Y ) para cualquier par X ,Y ⇢ A .

2. Demostrar por induccion sobre n :a) que la suma de los n primeros numeros impares es n2 ;b) las desigualdades:

pn 1

1 +1p2+ · · ·+ 1p

n 2p

n .

3. Sean las igualdades: i)n

Âk=1

2(k+1)(k+2) =

nn+2 , ii)

n

Âk=1

2k = 7n+1

n+3 .

Probar que una de ellas es falsa y demostrar (por induccion) que la otra es verdadera para todo n2N .

4. ¿Cuanto valen

Âk=1

1 ? ¿Cuanto valen

Âk=1(ak �ak�1) ? ¿Es

� n

Âk=1

ak�� n

Âk=1

1ak

=n

Âk=1

akak

=n

Âk=1

1 ?

5. Hallar el mcd y el mcm de: a) 12345 y 67890 , b) 135, 315 y 351 .

6. La suma de 3 numeros en progresion geometrica es 70. Si el primero se multiplica por 4, el segundo por5 y el tercero por 4, los numeros resultantes estan en progresion aritmetica. Hallar los 3 numeros.

7. Calcular�7

7

,�7

6

, . . . ,�7

0

: a) Mediante el triangulo de Tartaglia, b) con la formula�m

n�

= m!n!(m�n)! ,

c) con la formula�m

n�

= m(m�1)···(m�n+1)n! . Utilizando lo anterior, hallar

p2�1

�7 .

8. Probar quep

3 y 3p2 son irracionales.

9. En dos partidos de baloncesto sucesivos un jugador ha obtenido un porcentaje de acierto en tiro de trespuntos superior al de otro jugador. ¿Implica esto que en el conjunto de los dos partidos es mas alto elporcentaje del primer jugador?

10. Demostrar que la media geometrica de dos numeros positivos x e y es menor o igual que la aritmetica,es decir, que

pxy (x+y)/2 , si x,y > 0 . ¿Cuando coinciden?

11. Determinar todos los reales x que satisfacen:

a) |x2+x�2|=2�x�x2 b)�

�x3+11x�30�

�30 c) |x�1|x >�2

12. Probar que: max(x,y) = 12 (x+ y+ |y� x|) , min(x,y) = 1

2 (x+ y� |y� x|) .

13. Determinar cuales de las siguientes afirmaciones son ciertas:

i) 1a+b = 1

a +1b , 8a,b 6= 0 ; ii)

pa2 =�a , 8a0 ; iii)

pa2 +b2 = a+b , 8a,b > 0 ;

iv) 4a+b = 4a+4b, 8a,b ; v) (ab)c= (ac)b , 8a>0 ; vi) log(ab) = loga+ logb , 8a,b ;

vii) a < b ) ac < bc , 8a,b,c ; viii) a > a3, si 0<a< 1 ; ix) ab > 1 , 8a>1,8b .

14. La union infinita de intervalosS

n2N( 1

2n ,1

2n�1 ) , ¿tiene supremo e ınfimo? ¿es abierto o cerrado?

15. Probar que si A y B son conjuntos abiertos entonces A[B y A\B son tambien abiertos. Mas en general,¿es abierto el conjunto union de una sucesion infinita de conjuntos abiertos?, ¿lo es su interseccion?Deducir propiedades analogas para conjuntos cerrados.

XI

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16. Encontrar el dominio de las siguientes funciones:

a) f (x) =p

1�x2 +p

x2�1 b) g(x) =p

senx+ cosx c) h(x) = 1tanx

d) k(x) =p

1�x+ log(1+x) e) l(x) = log(1�x2) f) m(x) = tan(px2)

17. Sea g(x)= log�

2+p

x+3�

. Precisar el dominio de g . ¿Para algun x es g(x)=0 ?

18. Si f (x)= |4�x2|3x , precisar los reales x que cumplen i) f (x)=� 5

9ii) f (x)1

. ¿Es f inyectiva en su dominio?

19. Sean c(x)=x2 , r(x)=p

x y l(x)=1�x . Precisar en que intervalos es f = r� c� l inyectiva, hallandof�1 en cada uno. Expresar g(x)=

p

1�p

1�x2 como composicion de c , r y l y hallar dom g .

20. Hallar la ecuacion de la recta que pasa por los puntos (�1,4) y (2,�5) . Hallar y dibujar la funcion in-versa y= f�1(x) de la funcion y= f (x) definida por la recta anterior. Escribir las funciones compuestasf 2 �[ f�1]2 y [ f�1]2 � f 2 .

21. Sabiendo que sena= 13 y que a esta en el segundo cuadrante, calcular cosa , sen2a , tana y sen3a ,

usando tan solo sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y raices cuadradas.

22. La base de un triangulo mide 15 metros y los dos angulos que se apoyan en ella son de 30o y 45o.¿Cuanto valen los restantes lados y el angulo que falta por determinar?

23. Si los tres cuadrados del dibujo son iguales, ¿cuanto vale a +b + g ?

24. Hallar todos los x reales que verifican:a) log(4x2�3x)0 b) cos3x=3cosx c) cos2x�2cosx=3

d) 3 tanx+2cosx=0 e) sen2x+cos�

x+ p2

= sen5p f) cos58x+sen40x=1

25. Escribir en la forma mas simplificada posible th�

log(sen p6 )�

. [Es un racional. log siempre neperiano].

26. i) Escribir los complejos �5i , 1+ i , �3� ip

3 , �p , 4�3i , en la forma r eiq .ii) Escribir 3eip , 3e�3p i , 4cos p

6 �4i sen p6 , ei sen2 , i765432 , en la forma x+ iy .

27. Hallar y dibujar el complejo conjugado de z = cos 3p2 + i sen 3p

2 . Calcular z3.

28. Escribir el complejo z =�1+ ip

3 en la forma r eiq y calcular z3 .

29. Calcular� 2�4i

1+3i

�6 y expresarlo en la forma a+b i .

30. Sea z = 2p3+ i

. Escribir z en las formas a+b i y r eiq . Escribir z5 en cartesianas.

31. Escribir w=�p

3+ i en la forma r eiq . Escribir z=w6 y las raıces 3p

z en la forma a+b i .

32. Sean los numeros complejos z = 1+ i , w =�2� i . Expresarlos en notacion modulo y argumento, yrepresentar graficamente los siguientes complejos: z , w , z+w , z�w , zw , 1/z , 1/w , z/w y w/z .Representar tambien zeip/2 , ze� ip/2 , zeip y zei2p . ¿Cuanto vale ze�5p i ?

33. Si z = 2+3i y w =p

2eip/4, hallar: z+w , z�w , zw , w4,p

w , zw , w

z , |w| , |z|Rew , |z| Imw .

34. Si z = x+ iy , escribir la parte real y la parte imaginaria de: z+ z+ z · z , z�2 , eiz .

35. Representar los complejos que satisfacen:z� z = i , |z�1| |z+1| , |z�1|= 2|z+1| , |ez|= Re(z) , Arg(z3) p

2 .

XII

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Sucesiones, lımites y continuidad en R

1. ¿Que forma tienen las sucesiones convergentes cuyos terminos son todos enteros?

2. ¿Tienen an = sen n2p4 � 7

n , bn = 2(�2)ny cn = cosn+n alguna subsucesion convergente?

3. ¿Es cierta la afirmacion: {an} creciente ) {a2n} creciente? Probarla o dar un contraejemplo.

4. Demostrar que {an}! a > 0 ) {pan}!p

a , y que {an}! • ) {pan}! • .

5. Sea an bn cn . Probar que:i) an ! L , cn ! L ) bn ! L ; ii) bn ! • ) cn ! • ; iii) bn !�• ) an !�• .

6. Demostrar que si {an} es acotada y sus unicos puntos de acumulacion son 107 y 10�7, y la sucesion{bn} diverge hacia +• , entonces la sucesion {anbn} es divergente hacia +• .

7. Sea la sucesionn arctan

pn �21/n

p4n2�1

o

. Hallar, explicando los pasos, algun N2N tal que paran�N sus terminos disten del lımite menos de e =10�1 .

8. Hallar (si existe) el lımite de las siguientes sucesiones:

a) n�

p2n�1pn�1

�p

2�

b) 12n

p12n3+6n�2�

p3n�5 c) 3pn4�n2 �nearctann

d) n3�p

n! e) n th2n�2n thn f) n!nn g) 2n�

pn3

3n+logn h)3p

8n7(1�n2)�n3 sen 1n

(n+1)3

i)�

n5+n+7�1/n j)

2� 1n�2n

k)� 3n2+10p

10n4+3n

�n l)� n+1

n2+2

�nm)

� n2+1n2+2

�n

9. Sean las sucesiones an=p

4n4+n �n! y bn=2n�4(�1)n

n2+4(�1)n . a] Calcular lımn!•

an y lımn!•

bn .

b] Para la que tiene lımite finito, hallar razonadamente algun N2N tal que para n�N sus terminosdisten del lımite menos de e = 1

10 . c] Hallar el lımite de las sucesiones� sen(an)

an

y� sen(bn)

bn

.

10. Sean las sucesiones an=2n�

pn2+9n

9�p

2ny bn=

en e�2/n

e3n+ e�n . a] Calcular razonadamente su lımite.

b] Para la que tiene lımite finito, dar razonadamente algun N2N tal que para n�N sus terminosdisten del lımite menos de e = 1

100 .

11. Sean: cn!0 , bn!1 , in!• , dn!�• y an acotada. ¿Que se puede decir sobre la convergencia de:{in +dn} , {cn +an} , {cnin} , {inan} , {bnan} , { cn

an} , { bn

cn} , { in

dn} , {icn

n } , {binn } ?

12. Probar por induccion quen

Âk=1

k2 = n(n+1)(2n+1)6 y hallar el lımite de 12 +22 + · · ·+n2

n3 .

13. Hallar una sucesion cuyos 5 primeros terminos sean �1, 32 , � 5

6 , 724 , � 9

120 y precisar si converge.

14. Definimos la sucesion {an} mediante: an=p

2+an�1 , a1=p

2 . Probar que tiene lımite y calcularlo.[Demostrar por induccion que an<2 y probar que {an} es creciente].

15. Hallar el lımite de a1/n para todo a � 0 , sin hacer uso de teoremas no demostrados.

16. Describir todas las funciones f que cumplen las siguientes condiciones:a) 8e 9d > 0 : |x�a|< d ) | f (x)� f (a)|< e ;b) 8e > 0 8d > 0 : |x�a|< d ) | f (x)� f (a)|< e

XIII

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17. Si f (x)= arctanxx+5 , razonar si es cierto que 8e >0 9M tal que si x>M entonces | f (x)�1|<e .

18. Sean f (x) = 2x�senxx+2senx y L = lım

x!•f (x) . Hallar un M tal que | f (x)�L|< 0.1 si x > M .

19. Utilizando unicamente las definiciones probar que: a) lımx!•

(4x+100cosx) = • , b) lımx!3

x2 = 9 ,y que es falso: a) lım

x!23x = 5 , b) lım

x!•senx = 0 .

20. Probar que f (x)=x2 sen 1x , f (0)=0 y g(x)=

p

|x|�5x son continuas en 0 con la definicion e-d .En particular, determinar un d para e = 1 y e = 0.01 .

21. Sea f (x)=x arctan 1x�2 , f (2)=p . a] Probar que tiene lımite en x=0 utsando solo la definicion e�d .

b] Estudiar si f es continua en x=2 .

22. Sea f (x) = log� 3

2�1x�

. Hallar su dominio y calcular, si existe, lımx!2/3+

f (x) .

23. Sea f (x)= 2x4�

px2�9

.a] ¿Es par o impar? b] Hallar el dominio de f . c] Hallar razonadamenteel lımite de f cuando: i) x!• , ii) x!5+, iii) x!�3�, iv) x!�• .

24. Sean f (x) =⇥ 1

x⇤

(parte entera), x > 0 ; g(x) = cos 1x ; h(x) = tanx

x2 ; k(x) =n |2� x| si x < 3

x�4 si x � 3.

Determinar los puntos a para los que dichas funciones tienen lımite en a ; son continuas en a ; poseenlımites laterales en a . Ver si tienen lımite cuando x tiende a • .

25. Determinar (si existen) los lımites siguientes:

a) lımx!0

esen |x|�x �11� log(x+ cosx)

; b) lımx!0

|x|7x

; c) lımx!0

3+2xx+5x2 � 3

x

; d) lımx!0

6x� sen2x2x+3sen4x

;

e) lımx!1

sen(x�1)2

x2 �1; f) lım

x!•

hp2x2 �

p2x2�6x

i

; g) lımx!•

th(chx�cosx) ; h) lımx!•

arctanxx

;

i) lımx!1

h

2logx �

3plogx

i

; j) lımx!1

e�1/|x�1| ; k) lımx!1

sh(logx) ; l) lımx!1

x5 �1x�1

.

26. Sea g(x) = 2senx+cos2x . a] Precisar todos los reales x que cumplen g(x)= 32 . b] Probar que g se

anula en el intervalo⇥

� p6 ,0

. c] ¿Es g una funcion inyectiva en todo su dominio?

27. Sea g(x)= log�

3� 5x�1

. a] Hallar su dominio. b] Precisar si g(c)= 0 para algun c del intervalo(0,3) . c] Hallar el lımite de g cuando: i) x!• , ii) x!1�, iii) x!8/3+.

28. Supongase que f es continua en [a,b] y que f (x) es siempre racional. ¿Que se puede decir de f ?

29. Probar que x5 = 2x tiene una solucion i) menor que 2 , ii) mayor que 2 .

30. Probar que si f es continua en [a,•) y lımx!•

f (x) es finito, entonces f es acotada en [a,•) . ¿Alcanzasiempre f su valor maximo en dicho intervalo?

31. Sea f (x) = log |x�1|�cosx . ¿Existe c2(0,2) con f (c)=0 ? ¿Alcanza su valor mınimo en [0,4] ?

32. Supongase f continua en [a,b] y sea c un numero cualquiera. Demostrar que existe un punto dela grafica de f en [a,b] para el que la distancia a (c,0) se hace mınima. ¿Es cierto lo anterior sisustituimos [a,b] por (a,b) ? ¿Y si sustituimos [a,b] por R ?

33. Demostrar que f (x) = 7x�5 es uniformemente continua en R y que g(x) = x2 no lo es.

XIV

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Derivadas en R

1. Hallar la primera y segunda derivadas de las funciones siguientes indicando su dominio:

a) f (x)=arctan(logx2) ; b) g(x) = arccos� x2

1�x2

.

2. Hallar los x que anulan las derivadas segundas de: a) f (x) = x2�13p3x+1

, b) g(x) = ln(1+cosx) .

3. Sea f (x)= 2x+ 3senx . Hallar todos los reales x tales que i) f 0(x)=0 , ii) f 00(x)=0 .

4. Sea f (x)= |x2�4| . Determinar los x tales que f (x)<3 . Hallar, si existen, f 0(�3) y f 0(2) .

5. Hallar las derivadas de las funciones inversas (sh)�1 , (ch)�1 y (th)�1 .

6. Demostrar que la derivada de una funcion par es impar y viceversa. ¿Es periodica la derivada de unafuncion periodica?

7. Sea f (x) = x arctan� 1

senx�

, f (0)=0 . a] Estudiar si f es continua y derivable en x=0 .b] Determinar la ecuacion de la recta tangente a la grafica de f en x= 5p

2 .

8. Hallar la ecuacion de la recta tangente en x = 2 a las siguientes funciones:

a) f (x) = 1x2 , b) g(x) = 3x

7 �12 , c) h(x) = 3x2+2x�1 , d) k(x) = (2x�3)�7/3 .

9. Hallar el punto de corte de las tangentes a la grafica de g(x) =�

�1� 4x

� en x =�2 y x = 2 .

10. Hallar la ecuacion de la recta que pasa por (4,3) y es paralela a la recta tangente a f (x)= ln(1+ esenx)en x = 0 .

11. Un astronauta viaja de izquierda a derecha sobre la curva y = x2 . Al desconectar el cohete viajara alo largo de la tangente a la curva en el punto en que se encuentre. ¿En que punto debe desconectar paraalcanzar i) (4,9) , ii) (4,�9) ?

12. Hallar b y c tales que la parabola y=x2+bx+c sea tangente a la recta y=x en x=1 .

13. Hallar los a tales que la recta tangente a la grafica de f (x)=(x2�3)e�x en x=a pase por (1,0) .

14. Probar que la tangente a la grafica de f (x) = 1x corta a la grafica de f solo en el propio punto (a, 1

a ) .

15. Probar que si x > 0 , entonces x+ 4x � 4 . Dar una demostracion visual de la desigualdad anterior.

16. Hallar la recta tangente a la curva y4�4xy2+2x=2 en el punto (1,2) .

17. Hallar la ecuacion de la elipse con sus ejes paralelos a los coordenados y centrada en el origen quetiene por tangente la recta 5y+4x = 25 en un punto de abscisa x = 4 .

18. ¿Bajo que angulos se cortan las curvas y = senx , y = cosx ?

19. Sea f (x) = 3+ x5(x�3)4 . Probar que su derivada f 0 tiene al menos un cero en el intervalo (0,3) .

20. Sea f (x)= arctan 2x�3 , f (3)= p

2 . a] Estudiar donde es f continua y derivable. b] Hallar lımx!±•

f (x) .

c] ¿Se anula f en [1,5] ? d] Probar que posee funcion inversa f�1 en [4,•) y hallar�

f�1)0(p4 ) .

21. Probar que f (x) = x2 � cosx� xsenx tiene exactamente dos ceros.

XV

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22. Estudiar cuantas veces se anula f (x)= e�x+3x en el intervalo [�2,0] .

23. Determinar cuantas veces se anula f (x)= esenx�x�1 en el intervalo [p2 ,p] .

24. Sea f (x) = x2p1�x2

. Determinar su dominio e intervalos de crecimiento y decrecimiento. Probar que

existe un unico c2� 3

5 ,45

tal que f (c) = 23 .

25. Sea g(x)=x2�8log(x+3) . a] Hallar la ecuacion de la recta tangente a la grafica de g en x=�2 .b] Precisar en que intervalos crece y decrece g y ver si se anula g00 . c] Hallar lım

x!�3+g(x) y lım

x!•g(x) .

d] Probar que g se anula en el intervalo [0,5] . ¿Cuantas veces se anula en todo su dominio?

26. Dibujar la grafica de f (x) = |4x� 3|� x2 . Determinar los valores maximo y mınimo que alcanza lafuncion f en el intervalo [�3,3] . ¿Existe algun x2(0,2/3) para el que f (x)= 0 ?

27. Hallar (si existen) los valores maximo y mınimo de:

a) f (x) = x+2|cosx| en [0,p] . b) g(x) = ex

1�|x| en⇥

� 12 ,

14

c) h((x) = arcsenx+p

3 log |2�x| en su dominio.

28. Sea g(x)= 4log(x3+8)�3x . a] Determinar su dominio. b] Hallar, si existen, sus valores extremos enel intervalo [0,2] . c] Calcular lım

x!•g(x) y precisar cuantas veces se anula g en el intervalo [0,•) .

29. Sea f (x) = 4arctanx� x2� 2 . Hallar sus valores maximo y mınimo en⇥

0,p

3⇤

. Precisar cuantasveces se anula f en el intervalo [0,1] .

30. Sea h(x)=(x3+3x+1)e�x . a] Hallar el lımite de la sucesion {h(an)} , si an=2n+1

3n/2 +2n . b] Hallar, siexisten, los valores extremos de h en: i) [0,3] , ii) [0 ,•) . c] Determinar la imagen de h .

31. a] Probar que: f 0 acotada en un intervalo I ) f uniformemente continua en I .b] Probar que f (x) = (1+ x2)

�1 es uniformemente continua en todo R .

32. Sean P(x)= x5+3x4�7x3�21x2+10x+30 y Q(x)= x3�3x2�5x+15 . Hallar el mcd(P,Q) . Hallarlas raıces de P y de Q . Realizar el producto P ·Q y la division P/Q .

33. Ver que P(x)= 2x5+3x4+4x3+6x2+2x+3 tiene raıces multiples y hallar todas sus raıces.

34. Probar que si c es raız real de P(x)=anxn+· · ·+a0 se cumple: |c|max�

1, 1|an

|a0|+· · ·+�

�an�1|]

.

35. Precisar cuantos ceros reales tiene el polinomio P(x) cuya derivada es P0(x)= 3x2+2x�8 y tal quela recta tangente a la grafica de P(x) en el punto de abscisa x=0 pasa por (1,�1) .

36. Precisar cuantas raıces de los siguientes polinomios hay en los intervalos que se indican:a) P(x) = 3x3�x2+x�1 en (�•,0) y en (1,•) b) P(x) = x4+x3+x2+x en (�•,0) y en (0,1)c) P(x) = x4+8x�1 en (�3,�2) y en (0,1) d) P(x) = 2x5+8x3+5x�6 en (�•,0) y en (0,•)

37. Dibujar las graficas de las funciones:

a) 3x4�4x3 b) xx2+1 c) x

4�x2 d) x2�4x2�9 e)

q

x+3x2 f) x

q

x+3x2

g) x3p

4�x2 h) 3x2/3+2x i) sen2x j) tan x2 k) 3sen(x�2) l) sen px

180

m) 1+| tanx| n) x4�

1cosx n) cos2 2x�|cosx| o) senx

x p) sen(tanx)

q) arcsen 1�x2

1+x2 r) e�|x| s) e�x2t) 1

2ex�1 u) log(x2�x) v) x log |x�2|

XVI

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38. Discutir segun los valores a las formas que puede tener la grafica de: a) 1+ax2+x4 , b) ax2 +

1x .

39. Una farola, que tiene su luz a 3 m de su base, ilumina a un peaton de 1.75 m que se aleja a una velocidadconstante de 1 m/s . ¿A que velocidad se mueve el extremo de su sombra? ¿A que velocidad crece dichasombra?

40. Un globo se eleva verticalmente desde el suelo a 100 m de un observador, a una velocidad de 2 m/s .¿A que ritmo crece el angulo de elevacion de la lınea de vision del observador cuando el globo esta auna altura de i) 10 m , ii) 100 m ?

41. Un tren parte de una estacion en lınea recta hacia el este a 100 km/h . 12 minutos despues parte otrohacia el norte a 50 km/h . ¿A que ritmo cambia la distancia entre los trenes 1 hora despues de la partidadel segundo?

42. El radio de una esfera aumenta con velocidad v = 2 cm/s. ¿A que velocidad aumentan la superficie yel volumen de la esfera cuando r = 10 cm?

43. Hallar el a para el que la suma de los cuadrados de las soluciones de x2+ax+a�2=0 es mınima.

44. Hallar el valor mınimo de la suma de los arcos tangentes de dos reales � 0 cuya suma sea 1 .

45. a) Hallar dos numeros x,y tales que |x|+|y|=1 y tales que la suma de sus cuadrados sea i) maxima,ii) mınima. b) Dibujar en el plano xy los puntos que cumplen |x|+|y|=1 .

46. Sea O el punto (2,1) , y sea L la grafica de f (x) = 1�3x . ¿Cual es el punto de L que dista menosde O ? ¿Y el que dista mas?

47. Hallar el punto de la parabola y=x2 mas cercano al punto� 1

2 ,54

.

48. Dibujar la elipse x2+4y2�2x=24 , hallar la ecuacion de su recta tangente en el punto (4,2) y el puntode esta recta mas cercano al origen. Hallar los puntos de la elipse situados a mayor y menor distanciade: i) (4,0) , ii) (5,0) .

49. Hallar el punto P sobre la grafica de f (x) = e�x en el primer cuadrante para el que es maxima el areadel triangulo rectangulo cuya hipotenusa es tangente a dicha grafica en P y cuyos catetos estan sobrelos ejes coordenados.

50. a) Precisar el numero de raıces reales de P(x) = 3x4 � 3x+ 1 . b) Determinar si el punto de la curvay = x3 mas cercano al punto (0,1) esta a la derecha o a la izquierda de x = 1/2 .

51. Hallar la forma del cono de mayor volumen entre aquellos de superficie fija (base incluida).

52. Un lanzador de peso es capaz de lanzar desde una altura de 1.5 m sobre el suelo con una velocidad de12 m/s . Hallar el angulo con el que debe hacerlo para llegar lo mas lejos posible. ¿Que longitud puedealcanzar (tomar g=10 m/s2)?

53. Determinar los puntos de la parte de la grafica de g(x) = 1� (x�2)3 contenida en x,y � 0 , para losque la recta tangente en ellos corta el eje y en el punto i) mas alto, ii) mas bajo.

54. Determinar el area maxima que puede tener un rectangulo que tenga dos lados sobre los semiejes x,ypositivos y el vertice opuesto sobre la grafica de f (x) =

x3+4⇤�1/2.

55. Probar que el polinomio P(x)= x5+ x+ 9 tiene una unica raız real. Encontrar, utilizando el teoremade Bolzano, un intervalo de longitud 1/4 en el que se encuentre dicha raız. Precisar el valor de la raızutilizando el metodo de Newton.

XVII

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56. Sean los polinomios cubicos: a) P(x)=x3+x�17 , b) Q(x)=2x3�7x2+1 , c) R(x)=16x3�12x2+1 .Dibujar sus graficas. Hallar sus raıces reales a partir de las formulas de los apuntes. Hallar aproximada-mente dichas raıces utilizando el metodo de Newton.

57. Hallar aproximadamente todas las soluciones reales de las siguientes ecuaciones:a) 3x3�2x2�6x+4=0 b) x4+4x2�1=0 c) x5+2x3+x+2=0

d) x2� cosx� xsenx=0 e) x thx = 1 f) log |x|= x�1

58. Hallar aproximadamente los cortes con y=0 , los extremos y los puntos de inflexion deQ(x)= 9x4+8x3+28x2+24x+3 , P(x)= 2x5�15x3+20x2+5x+3 y f (x)= ex� x3 .

59. Aplicar el metodo de Newton partiendo de x0=1 a las funciones f (x)=x2 y g(x)= 3p

x .

60. Ver que f (x)= ex/3 es contractiva en [0,2] y aproximar el unico cero de x= ex/3 en dicho intervalo.

XVIII

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Problemas adicionales (16-17).

Series, Taylor y lımites indeterminados

1. Determinar si las siguientes series son convergentes o divergentes:

a) Â3p4n+54p

n5+3b) Â n2( e

3 )n c) Â

q

1+ 2n�1

d) Â 7n+lognn!+n3 e) Â 3n+1

n(2n�1)

f) Â n(�3)n g) Â (n!)2

(2n)! h) Â (�1)n 2n+(�1)n

n3+(�1)n i) Â (�1)n e�1/n2j) Â senn

n3/2

k) Â 3ncos2 l) Â tan 1n m) Â (�1)n tan 1

n n) Â cosp

n+1n! n) Â log

1+ 2n�

2. Estudiar la convergencia de la serie Âan , siendo an+1=� 12

1+ 1n�n/2an y a1=1 .

3. Ver para que c2R convergen las series:

a) Â(p

nc+1�p

nc ) b) Â 2ncn

n! c) Â n2c2n

pn d) Â cn

ep

n e) Â (2c�1)n2

n+1 f) Â cn2�5n

n3

4. Hallar la suma de la serie•

Ân=1

1n11 con error menor que 10�5 .

5. Precisar los x para los que converge•

Ân=1

(�1)nxn y hallar su suma. Para i) x= 14 , ii) x=� 1

4 , ¿cuantos

terminos hay que sumar para aproximar el valor exacto con error menor que 10�3 ?

6. Probar que•

Ân=1

11+5n converge y que su suma esta entre 0.213 y 0.215 .

[Usar los tres primeros terminos y acotar el resto mediante una serie geometrica].

7. Utilizando series de potencias escribir la fraccion (fraccion generatriz) que coincide con los siguientesracionales expresados mediante decimales: a) 2.713713... , b) 0.2345757...

8. Una pelota cae desde una altura inicial de 1 m sobre una superficie horizontal. Si en cada rebote alcanzaun 80% de la altura anterior, ¿que distancia recorre hasta pararse?

9. Una persona y su perro caminan a una velocidad de 1 m/s hacia su casa. A 100 m de la puerta el perrocomienza a correr yendo y viniendo de la persona a la puerta a 4 m/s , hasta que la persona entra en casa.¿Que distancia recorre el perro desde que empieza a correr?

10. Estudiar en que subconjuntos de R convergen uniformemente las siguientes fn(x) :

a) x1/n b) sennxn c) cosnx d) xp

n3+xe) nx2e�nx2

11. Estudiar para que x convergen, y si lo hacen uniformemente en el intervalo que se indica:

a) Â xn+1 en [0,1] b) Âe�nx2

sennx en [1,•) c) Â xn

(n+1)2n en [�1,1] d) Â x2+arctannp1+n3x2

en [1,2] .

12. Sumar la serie xx+1 + x

[x+1][2x+1] +x

[2x+1][3x+1] + · · · ¿Converge uniformemente en [0,•) ?

13. Precisar para que valores de x convergen la series: a)•

Ân=1

n4x2n

(n�1)! , b)•

Ân=2

xn

n2�p

2n.

14. i] Precisar si la serie•

Ân=0

xn

(n+2)5n converge para: a) x=5 , b) x=p , c) x=3e2/3 .

ii] Probar que la suma de la serie para x=�1 es menor que 920 .

XIX

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15. Sea f (x)=•

Ân=0

e�nx3n . Precisar para que x converge la serie y hallar el valor de f (�1) .

16. Sea f (x)=•

Ân=0

(�1)n4n+1x2n . Precisar para que x converge la serie. Probar que f� 1

4

>3 .

17. Precisar para que valores de x converge la serie  2nxn

arctann . ¿Converge para x= log 32 ?

18. Hallar los x para los que converge Â(�2x)3n . Decidir si converge para x = arctan 35 .

19. Hallar 4 terminos no nulos del desarrollo de Taylor en x=0 de f (x)= 1(1�x)2 por 3 vıas diferentes

[haciendo producto, composicion o division de series, usando el de (1+x)p, derivando otra serie o derivando f ].

20. Calcular a partir de la definicion P3 , el polinomio de Taylor de grado 3 en x= 0 de f (x)= tanx .Determinar si P3(1) es mayor o menor que tan1 sin utilizar calculadora.

21. Hallar (sin calculadora) un racional que aproxime con un error menor que 10�2 a i) e�1/3 , ii) e1/3 .

22. Probar que p4 =arctan 1

2+arctan 13 . Usando el desarrollo de arctanx , calcular p con error < 10�3.

23. Calcular el valor de 10p

1.2 con error menor que 0.01 . Hallar el valor dep

1/2 a partir de unpolinomio de Taylor de orden 3 y dar una cota del error cometido.

24. Escribir la serie de Taylor de f (x) = 12 log 1+x

1�x , hallar su radio de convergencia y precisar donde laserie coincide con f . Aproximar con el P3 de Taylor el valor de log2 dando una cota del error.

25. Sea P3(x) el polinomio de Tayor de orden 3 en x = e de f (x) = x logx .¿Se comete un error menor que 10�3 si se aproxima f (3) = log27 con el valor de P3(3) ?

26. Hallar el desarrollo de Taylor hasta x6 de la funcion f (x) = [36+ x3]�1/2 . Hallar un racional que

aproxime con error menor que 10�2 : i) f (2) , ii) f (�1) .

27. Utilizando polinomios de Taylor determinar con un error menor que 10�3 el valor de:a) sen3 b) e�2 c) log 1

2 d) sh(�1) e) ch 12

28. Desarrollar en x=0 , hallando su termino general e indicando donde coinciden funcion y serie:

a) 2xe�2x b) 3x2c) � log(1�2x) d) 5x�1

x2�x�2 e) (1+x)�2

29. Hallar los 4 primeros terminos no nulos del desarrollo en serie de Taylor en x = 0 de:a) e�x cosx b) [arctanx]2 c) chx

(1+x)3 d) cos2x1+x2 e) log

x+p

1+x2�

30. Hallar la suma de las siguientes series:

a)•

Ân=2

e1�4n b)•

Ân=0

1(2n)!

c)•

Ân=1

ln (n+1)2

n(n+2) d)•

Ân=2

4n2�1 e)

Ân=0

13n(n+1)

f)•

Ân=0

(�1)n

22n(2n+1) g)•

Ân=0

n3n

31. a) Hallar el A4 de la formula de interpolacion de Newton para puntos equidistantes.b) Hallar el Q4 que interpola sen2px en 0 , 1/4 , 1/2 , 3/4 y 1 . Aproximar con el sen2 7p

12 .

32. Hallar los polinomios Q1 , Q2 y Q3 de interpolacion de cosx , respectivamente, en los puntos:a) 0 y p

3 . b) 0 , p3 y p

2 . c) 0 , p6 , p

3 y p2 . Utilizar Q2 para aproximar el x tal que cosx = x .

33. Sea f 2C4 . Probar que: f 0(a) = f (a+h)� f (a�h)2h +o(h) y f 00(a) = f (a+h)+ f (a�h)�2 f (a)

h2 +o(h) .Si f (x) = 4x , aprovechar lo anterior para aproximar f 0(0) y f 00(0) tomando h = 1/2 .

XX

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34. Hallar un polinomio cubico P(x) tal que xcosx�P(x)(x�1)3 tienda a 0 cuando x tiende a 1 .

35. Hallar un polinomio P tal que lımx!0

x�7⇥

p1�x4 �P(x)

= 0 . ¿Es unico dicho polinomio?

36. Calcular los siguientes lımites indeterminados cuando x ! 0 de las siguientes funciones:

a) 1x2 � 1

sen2x b) ex+e�x�x2�2sen2 x�x2 c) log[cos2x]

log[cos3x] d) chx�cosxx2 e) 1�

p1�x2

x f) senxcosx�arctanxlog(1+x3)

37. Hallar lımx!0

f (x) para el unico a para el que es finito si: a) f (x)= cosx�eax

senx+log(1�x) , b) f (x)= senxx3 � a

x2 .

38. Hallar el lımite cuando x ! 0 de senx2�x2

x2n y tanxxn para todos los n enteros en que exista.

39. Calcular los siguientes lımites indeterminados cuando x tiende al a indicado:

a = 1� : logx log(1�x) ; a = • : 1�xarctan(1/x)1�cos(1/x) , x4

cos 1x � e�1/x2⇤

, [cos 1x ]

logx.

40. Hallar el lımite de g(x)= (1+3x)1/3 log(1+2x)�2xsenx�x cuando x tiende a i) 0 , ii) • , iii) � 1

2+

.

41. Determinar (si existe, finito o infinito) el lımite cuando i) x ! 0 , ii) x ! • , iii) x !�• de:

a) f (x)= x2�sen2xlog(1+x4)

. b) g(x)= xe�xp1+x � log(1+x)arctan(x3)

42. Hallar el lımite cuando x tiende a 0 , • , �1+ de:

a) log(1+2x2)�log(1+x2)arctanx2 b) x[cos 1

x�1] c) x�senxxarctanx2 d) arctanx�shx

x(chx�cosx) e) log(1+x)p

1+x�xarctanx3

43. Precisar para que valores de b tiene lımite x�b[p

1+9x4 �1] si i) x ! 0+ , ii) x ! • .

44. a] Hallar el desarrollo de Taylor hasta x5 de la funcion f (x)= arctanx cos2x .

b] Hallar el lımite de f (x)�xx4�x5 , cuando x tiende hacia: i) 0+ , ii) • , iii) 1� .

45. a) Hallar el desarrollo de Taylor hasta x6 de la funcion f (x)= x2 � senx shx . ¿Cuanto vale f iv(0) ?

b) Para n=1,2, . . . , hallar, si existe (finito o infinito), lımx!0

f (x)xn . c] Precisar si existe lım

x!•f (x) .

46. Sea f (x)= cosx2 log(1+2x2) . a] Calcular su desarrollo de Taylor hasta x8 y hallar el valor de f vi(0) .

b] Para n=1,2, . . . , hallar, si existe (finito o infinito): i) lımx!0

f (x)xn , ii) lım

x!•f (x)xn .

47. Definiendo f (0) para que sean continuas, estudiar si existen f 0(0) y f 00(0) :

a) xarctan 1x b) tanx

x c) 1|x| log(1+|x|) d) arctan(logx2)

48. Dibujar las graficas de las siguientes funciones:a) x logx2�x2 b) x�3e�6/x c) x�1e�x d) th 1

x

e) x1/x f) x arctan 1x g) xa sen 1

x , a2R

49. Estudiar la continuidad de f (x) =�

1� 1x�

log |1�x2| , f (±1)= f (0)=0 . ¿Existe f 0(0) ? Probar que9c2(0,1) con f 0(c)=0 .

50. Sea f (x)= e4/x�4/x2, f (0)=0 . a] Determinar los puntos en que es continua y derivable.

b] Hallar sus extremos, puntos de inflexion y asıntotas y dibujar su grafica.c] Utilizando P1,1 , polinomio de Taylor de grado 1 en x=1 , dar un valor aproximado de f (1.1)

y precisar si es mayor o menor que el exacto.

XXI

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51. Sea f (x)= senx�xcosx . Dibujar su grafica. Precisar para que m existe: i) lımx!0

f (x)xm , ii) lım

x!•f (x)xm .

52. Estudiar en que puntos es continua la funcion: f (x) = x2 senpx1�cospx si x /2Z , f (x) = 0 si x2Z .

53. Sea f (x) = x�2 sen2px , f (0)=p2 . Determinar si existen f 0(0) y f 00(0) . Dibujar su grafica.Probar que existe la inversa f�1 en un entorno de x= 1

2 y calcular la derivada de f�1 en f ( 12 ) .

54. i) Sea g(x)= sen2(px ) . ¿Converge

g( 4n )

? ¿Posee subsucesiones convergentes? Esbozar su grafica.

ii) Sea f (x) = xsen2(px ) , f (0)=0 . Estudiar si es continua y derivable en x=0 . Hallar lım

x!•f (x) .

Dibujar la grafica de f . Probar que el maximo absoluto de f en todo R se alcanza en un x2 [2,3] .

55. Calcular (justificando los pasos) el lımite de las siguientes sucesiones:

a) an = n�1 log2 n+n22�n b) bn =n2�1

3n sen nn2�1 c) cn = n3(1�cos 1

n ) log(1+ 1n )

56. Usando el teorema del valor medio encontrar el lımite de la sucesion an = n1/3 � (n+1)1/3 .

57. Estudiar si f (z) = |z| y g(z) = |z|2 son continuas y derivables en z = 0 .

58. Estudiar si la funcion f (z) =p

z que hace corresponder a cada z la raız con argumento principal maspequeno es continua en todo el plano complejo.

59. Probar que si z,w2C entonces�

�|z|�|w|�

� |z�w| . Probar que si la sucesion compleja {an} convergeentonces tambien lo hace la sucesion real {|an|} .

60. Hallar (si existe) el lımite de las siguientes sucesiones de complejos:

2�n/2(1+ i)n , ( 1+5i3+2i )

n, 2�n(1+ i)n(1� i)�n , (n� i)3n�3 , ein/(n+1) , e(2� i)/n , e�nei

.

61. Probar que converge  (� i)np

n , pero que no lo hace absolutamente.

62. Determinar si convergen: a) Â (4�3i)n

n! , b) Â 2�n in2 , c) Â ei/n , d) Â i n

n2 , e) Â 1[2�ein]n2 .

63. Estudiar si la serie Ân7zn converge cuando i) z = 4�3i5+ i , ii) z = e�3p i .

64. Determinar la region del plano complejo en que converge la serie  zn

en+n .

65. Hallar el radio de convergencia de estas series de potencias complejas y decidir si convergen parai) z = i , ii) z =�i , iii) z = (1� i)2 , iv) z = 1+ e i , v) z = 1

5 ei |7+3i | :

 (�1)nzn

n3 Â 2nzn

n! Â n!zn

nn  i nnnzn

2n  nzn

n+1 Â inzn

n+1

66. Demostrar que ez+w = ez ew multiplicando las series. Probar que f (z)= ez toma todos los valorescomplejos menos el 0 , que no es inyectiva y que tiene periodo 2pi .

67. Se define lnz= ln |z|+ i Arg(z) , z 6= 0⇥

Arg(z) , argumento principal de z⇤

. Comprobar que elnz=z .Hallar ln1 , ln(�1) , ln(2i) , ln(1+ i) , ln(1� i) . Estudiar la continuidad de lnz .

68. Determinar si la siguiente igualdad es cierta para todo z complejo: sen(2z) = 2senzcosz .

69. Resolver la ecuacion cosz = 4 .

70. Desarrollar en serie de Taylor en torno a z=0 , determinando el radio de convergencia:3z

1+z�2z2 senzcosz sen2zz

ez

1+z

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Integracion en R

1. Utilizando exclusivamente la definicion de integral calcular a)R 1

0 xdx y b)R 2

1 x�2dx .

2. Sea f acotada en [a,b] . Determinar si las siguientes implicaciones son verdaderas o falsas:a) f 2C1[a,b]) f integrable en [a,b] b) f integrable en [a,b]) f alcanza su maximo en [a,b]c) f decreciente en [a,b]) f integrable en [a,b] d) f integrable en [a,b])

R ba f 2=

R ba f

⇤2

3. Sea f (x)=n x , x<1

0 , x�1 . ¿Es F(x)=R x

0 f continua en x=1 ? ¿Es derivable es ese punto?

4. Si f (x)=n�1/x , x�1

1 , x>�1 y F(x)=Z x

�ef , calcular: i) F(�1) , ii) F(x) 8x . ¿Es F continua en x=�1 ?

5. Sea f definida para x2 [0,7] por f (x)=⇢1 para 0x4

5�x para 4<x 5�1 para 5< x 7

y sea F(x)=R x

0 f (t)dt . Dibujar f (x) .

Calcular F(4) , F(5) y F(7) . Dibujar aproximadamente F y estudiar donde es continua y derivable.

6. Sea f definida por: f (x)=�1 si x2(0,1) ; f (x)=3�2x si x2(1,2) ; f (0)= f (1)= f (2)=0 .Hallar F(x) =

R x0 f (t)dt y F(x) =

R x0 F(t)dt para los x2 [0,2] que exista.

Determinar donde F tiene primera y segunda derivadas, calculando F0 y F00 .

7. En esta grafica se pueden ver una funcion f (x) , su derivada f 0(x) y una primitivaF(x) . Identificar razonadamente cada curva con la funcion correspondiente.

8. Si F(x) = xR x

0 et2dt , hallar F 00(5) .

9. Derivar las siguientes funciones: a) F(x) =R x3

1 sen3 t dt ; b) G(x) =R x

1 xsen t3 dt .

10. Siendo f (x) =R x

0p

1+3t4 dt y g(x) = e2x , hallar ( f �g)0(0) y (g� f )0(0) .

11. Sea f (x) = senx3+1R x�1 sen t3dt+x+4 . Calcular, si existe,

R 1�1 f (x)dx .

12. Aproximar e con la definicion logx =R x

1dtt y las desigualdades t�21/20< 1

t < t�19/20 , t>1 .

13. Sean f (x) =⇢

3x3

x2�4 , x2 [�1,1]x�2 , x2(1,2]

y F(x)=Z x

�1f .

a] Hallar, si existe, F 0(1) . b] Hallar F(2) .c] Probar que 0F(0)1 .

14. Estudiar el crecimiento y decrecimiento de la funcion H(x)=Z 4

ex2

log t dtt+ t2 en el intervalo [�1,1] .

15. Sea F(x)=Z

p2x

�2

t3 dt8+t2 . Hallar F 0(2) y F(2) . Precisar el signo de F(8) . Ver si F es inyectiva en [0,8] .

16. Calcular ( f�1)0(0) si f (x) =R x

p⇥

1+ sen(sen t)⇤

dt .

17. Sea F(x) =R 1/x2

�1/x e�t4dt . Hallar F 0(1) . Estudiar si la serie Â(�1)nF(n) converge.

18. Sea f (x)=x2e�x2. Si H(x)=

R 2xx f (t)dt , determinar el x para el que H(x) es maximo.

Dibujar aproximadamente la grafica de f y probar que el valor maximo de H es menor que 1/2 .

19. Precisar en que x>0 toma su valor maximo F(x)=Z 2x

x

t dtt4+4 y probar que ese valor maximo es < 1

2 .

20. Sean f (x)= x sen2px y F(x)=R x�2 f . Hallar el valor maximo de F en el intervalo [0,2] . Probar que

el valor mınimo de F en ese intervalo es negativo y mayor que �2 .

XXIII

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21. Determinar en que x del intervalo que se indica alcanzan su maximo y su mınimo las funciones:

a) F(x)=Z x

�1

t dtt2 �9

en [�1,2] b) G(x)=Z x+1

x

t dtt2 +2

en R c) H(x)=Z x

x/2

dt6+ t3 en [0,4]

d) K(x)=Z x

psen2 tdt en [0,4p] e) L(x)=

Z x�x3

0

dtp2�sen2 t

en [0,2]

f) M(x)=Z 3x�x2

�2tet4

dt en [0,2] g) N(x)=Z x

�x

1�t2⇤1/3dt en [0,3]

22. Precisar para todo n2N en que x � 0 alcanza su valor maximo la funcion fn(x) =Z 2x

x

dtt3+6n6 ,

y probar que la serie de funciones•

Ân=1

fn(x) converge uniformemente en [0,•) .

23. Decir en cada caso (sin hallar primitivas) cual es el valor de la integral entre las tres opciones:

i)R p/2�p/2 cos8xdx : a) p

4 �1 , b) 35p128 , c) p .

ii)R 0�1

dxx3�8 : a) � ln3

24 �p

3p72 , b) ln 9

8 , c) 334 .

24. CalcularR 3

1x

x+1 dx , y decidir si esa integral es mayor o menor que 1 .

25. Calcular las siguientes primitivas:

a)R dx

x2+x�2 b)R dx

x3+x�2 c)R

x arctanx dx d)R

x3(logx)2dx e)R

ex log(ex+1)dx

f)R cosxdx

3+cos2x g)R

sen6 x dx h)R

cos2(px)dx i)R

cos5xsen2xdx j)R p

x e�2p

x dx

k)R dxp

1+ex l)R dx(1�x2)3/2 m)

R x2 dxpx2+4

n)R xdxp

2+x�x2 n)R dxp

x�1�p

x+1

26. Expresar In(x) =Z dx

[x2 +a2]nen funcion de In�1(x) . Calcular

Z dx[x2 +1]2

yZ dx

[x2 +2x+5]3.

27. Hallar el valor de las integrales:

a)Z 1

�1e�|x| dx b)

Z 4

�2

|x+4|�3|x|�

dx c)Z e2

1

px logx dx d)

Z 1

0x3 arctanx dx

e)Z p

�psen3x cos2x dx f)

Z p/2

0

cos3x dx3sen2x+4cos2x

g)Z p/4

0

dxcos4x

e)Z 3

0

dx3p3x�1 �3

28. Expresar In =R p/2

0 sennxdx en funcion de In�2 . Calcular I2n , I2n+1 .

29. Calcular:R p

0 senmxsennxdx ,R p

0 cosmxcosnxdx ,R p

0 senmxcosnxdx , m,n2N .

30. Explicar por que el cambio de variable resultados falsos si:

a)Z 1

�1dx , t=x2/3 b)

Z 1

�1

dx1+x2 , t= 1

x .

31. Sea f continua en R y sea f una primitiva de f ¿Si f es impar, es necesariamente f par? ¿Si f es par,es necesariamente f impar? ¿Si f es periodica es necesariamente f periodica?

32. Sea f (x) = (lnx)2

x . Hallar su dominio, estudiar crecimiento y decrecimiento y esbozar su grafica.Hallar el area comprendida entre la grafica y el eje x en el intervalo en que f es creciente.¿Cuantos maximos y mınimos tiene una primitiva cualquiera de f ? ¿Y puntos de inflexion?

33. Sea f (x) =p

1+x �1x , f (0) = 1

2 . Hallar, si existe, f 0(0) . Probar que f es decreciente en todo sudominio. ¿Cuantas soluciones tiene f (x)=�1 ? Calcular I=

R 83 f . Probar que I < 5

3 .

34. Sea f (x) = 1x +4arctanx . a) Dibujar su grafica y probar que p+1

R 21 f 2p .

b) Determinar si converge la integral impropiaR •

1 f . c) Hallar lımx!•

1xR x

1 f .

XXIV

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35. Estudiar la convergencia de las siguientes integrales impropias. Hallar su valor si se puede:

a)Z •

p

arctanxx3 �8

dx b)Z 2

0

dx(x�1)4/3 c)

Z •

1

dx3px4 �1

d)Z •

1log(1+ 4

x2 )dx e)Z •

0

1� cosxx2 dx

f)Z •

0

xcosxex dx g)

Z •

0

dx2ex �1

h)Z •

0

dxex �1

i)Z •

1x arctan 1

x2 dx j)Z •

0xsen2 p

x dx

k)Z •

0

px dx

e2x �1l)

Z •

1

logxpx�1

dx m)Z •

1

q

1x+

3x2 dx n)

Z •

0

dxpx +4x+4x

px

n)Z 1

0

log(1+x)x2 dx

o)Z •

0

sen2xpx

dx p)Z •

1

cosxx2 dx q)

Z •

1

senxx

dx r)Z •

4

arctan(1/x)

(2x�8)1/3 dx s)Z •

1

x+2ecosx

x3�2p

2dx

t)Z •

0

arctanxx3/2 dx u)

Z •

0

dxx4 + x2 v)

Z •

1

logxx3 dx w)

Z •

0

x dx1+ex2 x)

Z •

0

e�x dx(x�1)1/3

y)Z •

1

⇥ 2px�

1x⇤

dx z)Z •

1e�1/x dx a)

Z •

0

1�cosxx5/2 dx b )

Z •

2

arctan 2xp

x2�3x+2dx g)

Z •

0

senp

xex2 �1

dx

36. Discutir segun los valores de n2N la convergencia de:

a)Z •

0

arctan(x+ 1x )

(1+ x2)n dx b)Z 1

0

⇥ nln(1+x) �

1x⇤

dx c)Z •

2

x dxxn �8

37. Hallar, justificando los pasos, el valor de:

a)Z 1/2

0

� •

Ân=0

(n+1)xn�dx b)Z p

0

� •

Ân=1

cosnxn2

dx c)Z 1

0

� •

Ân=1

1

[n+ x]4�

dx

38. Sea H(x)= |x�1|R x�1 sen t3dt . Aproximar H(0) con error menor que 10�3. Hallar, si existe, H 0(1) .

39. Probar las acotaciones:

a) 0 R p/2

0 sen(senx)dx p2 b) 2

21 Z 1

0

x6dxpx4+1

17 c) 3

8 Z 1/2

0

q

1�x1+x dx 2

5

40. Sea f (x)=R x

0 sen t2dt . Hallar lımx!0

x�senxf (x) . Utilizar el polinomio de Taylor de orden 3 de f en x= 0

para encontrar un valor aproximado de f ( 12 ) . ¿Es menor que 10�3 el error cometido?

41. Hallar el lımite cuando x tiende a 0 y a • de: a)xR x

0 e�t2dt � arctanx2

log[1+ x4]; b) x�6

R 0�x2 sen t2dt .

42. Precisar si convergeZ •

0

1+t3⇤�1/2dt . Si f (x)=R x2

0 [1+t3]�1/2dt�senx2

x6 , hallar lımx!•

f (x) y lımx!0

f (x) .

43. Sea F(x)=R x

2dtp

log t+t . Determinar si existe lımx!•

F(x) . Hallar el lımx!•

F(2x)F(x) (si existe).

44. Hallar el valor de I =Z 1

0

xx4 �16

dx y un racional que aproxime I con error menor que 10�2.

45. Sea f (x)= x2+2x4+4 . Hallar una primitiva de f . Probar que 1

2 R 1

0 f 23 .

46. Estudiar para que valores enteros de n se verifica que 3 <Z 1

0

nx4+ x4 dx < 4 .

47. Sea f (x) = e2x�x2. a) Aproximar

R 10 f usando el desarrollo de Taylor hasta x4 de f .

b) Sea H(x) =R x+1

x f , x 2 [0,2] . Precisar en que x alcanza sus valores maximo y mınimo.c) Calcular el lımite de 1

xR x

0 f (t)dt , i) cuando x ! 0 , ii) cuando x ! • .

48. a) Precisar donde f (x)= 1x⇥

3p

1+3x�1⇤

, f (0) = 1 , es derivable. b) Hallar im f .

c) Probar queR 0�2/3 f = 6� 3

2 log3� p2

p3 y aproximar la integral por Simpson con h= 1

3 .

d) Determinar si convergeR •

1 f . e) Si F(x)=R 0�x f , hallar F 0(3) .

XXV

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49. Aproximar log2 =R 2

1dxx utilizando Trapecios (n=2 y 4) y Simpson (n=2 y 4; o sea, m=1 y 2).

50. Aproximar utilizando Taylor y Simpson: a)R 1

0 e�x2dx , b)

R 10

px4+1 dx , c)

R 21

ex

x dx .

51. Calcula el area de estas regiones:i) Region limitada por el eje x y por la grafica de f (x) = senx , entre x = 0 y x = p .ii) Region limitada por las graficas de f (x) = x+1 y f (x) = x2 �2x+1 .iii) Region finita encerrada entre el eje x y la grafica de f (x) = (x�1)2(x�4) .iv) Region finita encerrada entre la grafica de f (x) = x3 � x y su recta tangente en x =�1 .v) Region acotada entre el eje x y la grafica de f (x) = |x3�1|�2 .

52. Calcular el area de la region acotada limitada por la curva y = 1x2+1 , el eje x y las rectas verticales que

pasan por los puntos de inflexion de la curva.

53. Hallar el area de una de las regiones iguales encerradas entre las graficas de |senx| y |cosx| .

54. Calcular el area de la region interior a la elipse x2

a2 +y2

b2 = 1 .

55. Hallar el area de la region acotada comprendida entre y = 0 , la curva x2 + y2 = 4 y la tangente a lacurva en

1,�p

3�

.

56. Hallar el area de la region encerrada entre la grafica de g(x)=�

�3� 4x2

� y su recta tangente en x=2 .

57. ¿Cual de todas las rectas que pasan por (1,2) determina con y=x2 la region de mınima area?

58. Hallar el valor mınimo, si existe, de S(m) =R 1

0 |x3�mx|dx .

59. Determinar si es mayor o menor el area encerrada por la grafica de las funciones i) f (x) = e�x/2 ,ii) g(x) = e�x2

y el eje de las x en el intervalo [0,1] o en el intervalo [1,•) .

60. Probar que el area de la region encerrada entre las graficas y = 3x e y = ex es menor que 3 .

61. Describir las graficas de las siguientes funciones escritas en coordenadas polares:a) r = asenq b) r = asecq c) r = cos2q d) r = |cos2q | .

62. Hallar el area de la region acotada por el eje x y la grafica de la funcion h(x) = 1� |x�1| , integrandoen coordenadas i) cartesianas, ii) polares.

63. Hallar el area de la region encerrada entre la cardioide r=1+cosq y la circunferencia r=cosq .

64. Hallar el area determinada por la curva r = 11+cosq y las semirrectas q =0 y q = 3p

4 , i) trabajando enpolares, ii) tras escribir la ecuacion de la curva en rectangulares.

65. Hallar el area comprendida entre las espirales r = 2e�q y r = e�q si i) q 2 [0,2p] , ii) q �0 .

66. Hallar la longitud de las curvas: a) y = logx , x2 [1,e] ; b) y = x2/3 , x2 [0,1] .

67. El perımetro de una elipse de eje mayor 2a y de excentricidad k�

k2 = 1� a2

b2

viene dado por

L = 4aR p/2

0

p1�k2 sen2 q dq . Evaluar L integrando termino a termino el desarrollo de la raız en

potencias de k2 sen2q . Hallar aproximadamente el perımetro de la elipse 3x2 +4y2 = 12 .

XXVI

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68. Un solido tiene por base el triangulo del plano xy limitado por los ejes y la recta x+y=1 . Cada seccionproducida por un plano perpendicular al eje x es un cuadrado uno de cuyos lados esta en la base. Hallarsu volumen.

69. Hallar el volumen del ‘toro’ obtenido al girar un cırculo de radio r en torno a una recta, situada en elplano del cırculo, que esta a una distancia d > r de su centro.

70. Sea R la region limitada por y = x1+x y el eje x en [1,2] .

a) Hallar el area de R integrando respecto a i) x , ii) y . b) Hallar el volumen del solido de revolucionque genera R al girar en torno i) al eje x ; ii) al eje y ; iii) a la recta y = 1 .

71. Supongamos que f (x)�!x!•

3 . ¿Que ocurre con el valor medio de f en [0,b] cuando b ! • ?

72. Sea una varilla de longitud L situada en el eje x con un extremo en el origen. Hallar su centro degravedad y su momento de inercia respecto del origen si su densidad es

r(x) =⇢

x2 si 0 x L/2L2/4 si L/2 x L

.

73. Una partıcula avanza por el eje x con velocidad v(t)= t(1+t2)a m/s en el instante t . Si inicialmente

esta en x=0 , ¿para que valores de a : i) recorre 1 m antes de 1 s , ii) recorre 1 m en un tiempo finito,iii) alcanza cualquier punto del semieje positivo en tiempo finito?

XXVII