APUNTES DE MATEMÁTICAS -...
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Tema 2 APUNTES DE MATEMÁTICAS TEMA 2: TRIGONOMETRÍA TEMA 2: TRIGONOMETRÍA TEMA 2: TRIGONOMETRÍA TEMA 2: TRIGONOMETRÍA 1º BACHILLERATO
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Tema 2
APUNTES DE MATEMÁTICAS
TEMA 2: TRIGONOMETRÍATEMA 2: TRIGONOMETRÍATEMA 2: TRIGONOMETRÍATEMA 2: TRIGONOMETRÍA
1º BACHILLERATO
Tema 2
TEMA 2: TRIGONOMETRÍA .................................................................................................................................. 1
1. Definición de Ángulo ....................................................................................................................................... 4
1.1. MEDIDA DE LOS ÁNGULOS .................................................................................................................... 4
1.1.1. Grado sexagesimal ............................................................................................................................ 4
1.1.2. Radián (rad) ....................................................................................................................................... 4
1.1.3. CONVERSIÓN DE GRADOS A RADIANES Y VICEVERSA. ...................................................................... 4
1.1.4. Tipos de Ángulos según su medida ................................................................................................... 5
1.1.5. Equivalencias entre grados sexagesimales y radianes ...................................................................... 5
1.1.6. Tipos de Ángulos según la suma de sus medidas .............................................................................. 5
2. Razones trigonométricas................................................................................................................................. 6
2.1. Circunferencia goniométrica y líneas trigonométricas ........................................................................ 7
2.2. RELACIONES FUNDAMENTALES EN TRIGONOMETRÍA .......................................................................... 8
2.2.1. Razones Trigonoméricas DE ángulos complementarios (SUMAN 90º o π/2 rad) ............................. 8
2.2.2. Razones Trigonoméricas de ángulos SUPERIORES a 360 .................................................................. 8
2.2.3. Razones Trigonoméricas de ángulos Opuestos entre sí .................................................................... 9
2.2.5. Razones Trigonoméricas que DIFIEREN 180º o π rad ...................................................................... 10
3. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS ............................................................................................. 10
3.1. Ejercicios resueltos .............................................................................................................................. 10
3.2. Resultados útiles .................................................................................................................................. 11
3.2.1. Proyección de un segmento ............................................................................................................ 11
3.2.2. Altura de un triángulo ..................................................................................................................... 11
3.2.3. Área de un triángulo........................................................................................................................ 11
3 . 3 . ESTRATEGIA DE LA ALTURA PARA RESOLVER TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS ................................... 11
3.4. SOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS CUALESQUIERA ....................................................................................... 12
3.4.1. Teorema de los senos ..................................................................................................................... 12
3.4.2. Teorema de los cosenos .................................................................................................................. 12
3.4.3. Resultados interesantes .................................................................................................................. 13
4. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA ± DE DOS ÁNGULOS. .......................................................................... 14
5. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO DOBLE. ................................................................................... 14
6. RAZONES TRIGONOMÉRTRICAS DEL ÁNGULO MITAD. ................................................................................. 14
7. FÓRMULAS DE TRANSFORMACIÓN DE SUMA �� PRODUCTO. ................................................................. 14
8. FÓRMULAS DE TRANSFORMACIONES DE PRODUCTOS �� SUMA. ............................................................ 14
Tema 2
Tema 2
1. Definición de Ángulo Ángulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que se encuentran en el mismo plano y se intersectan (rectas secantes), el punto de intersección de éstas recibe el nombre de vértice.
1.1. MEDIDA DE LOS ÁNGULOS
Para medir ángulos se utilizan las siguientes unidades:
1.1.1. GRADO SEXAGESIMAL
La unidad de medida de los ángulos se llama grado, y resulta de dividir un ángulo recto en 90 partes iguales, por lo tanto, un ángulo recto mide 90º. Uno de los sistemas de medición de los ángulos se llama sexagesimal.
Un grado tiene 60 minutos (') y un minuto tiene 60 segundos ('').
1.1.2. RADIÁN (RAD)
Es la medida de un ángulo cuyo arco mide un radio.
El ángulo α de la figura mide un radian ya que el
arco r es de la misma longitud que el radio
2π rad = 360° ;π rad = 180°
30º ¿rad?
Conversión grado� radian
rado
o
6180
30
30
180 ππα
α
π==⇒=
Conversión radian�grado
3
πrad ¿º?
o
o
oo
o
6030
1801803
180
3
==⇒=⇒= αααπ
π
1.1.3. CONVERSIÓN DE GRADOS A RADIANES Y VICEVERSA.
1.- De x grados a radianes: 2.- De α radianes a grados:
180
.πα
x=
π
α 180.=x
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1.1.4. TIPOS DE ÁNGULOS SEGÚN SU MEDIDA
Ángulo Agudo
Ángulo
Recto
Ángulo
Obtuso
Ángulo Perigonal
Ángulo
Nulo Ángulo Llano
Es aquél cuya
magnitud es menor que
90º
Es aquél cuya magnitud
es igual a 90º
Es aquél cuya magnitud es mayor
que 90º
Es aquél cuya magnitud es igual a 360º
Es aquél cuya magnitud es igual a
0º
Es aquél cuya magnitud es igual a
180º
1.1.5. EQUIVALENCIAS ENTRE GRADOS SEXAGESIMALES Y RADIANES
Grados Radianes
1.1.6. TIPOS DE ÁNGULOS SEGÚN LA SUMA DE SUS MEDIDAS
Ángulos Complementarios Ángulos Suplementarios
Son aquellos cuya suma es igual a 90º Son aquellos cuya suma es igual a 180º
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2. Razones trigonométricas El triángulo ABC es un triángulo rectángulo en C; lo usaremos para definir las razones seno, coseno y tangente, cosecante, secante y cotangente del
ángulo α , correspondiente al vértice A, situado en el centro de la circunferencia.
El seno (abreviado como sen, o sin por llamarse "sinus" en latín) es la razón entre el cateto opuesto sobre la hipotenusa,
c
a
AB
CBsen ==α
El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente sobre la hipotenusa, c
b
AB
AC==αcos
La tangente (abreviado como tan o tg) es la razón entre el cateto opuesto sobre el cateto adyacente,
b
a
AC
CBtg ==α
La Cosecante: (abreviado como csc o cosec) es la razón recíproca de seno, o también su inverso multiplicativo:
a
c
CB
AB
sen===
αα
1csc (el inverso de la razón seno α )
La secante (abreviado como sec) es la razón entre la hipotenusa sobre el cateto adyacente
b
c
AC
AB===
αα
cos
1sec (el inverso de la razón coseno α )
La cotangente (abreviado como cotan o ctg) es la razón entre el cateto adyacente sobre el cateto opuesto,
a
b
CB
AC
tgctg ===
αα
1
Tema 2
Radianes Grados sexag. seno coseno tangente cosecante secante cotangente
0 0o
0 ∃/ 1 ∃/
30o 2
3
3
3 2
3
32 3
45o 2
2
2
2 1 2 2 1
60o 2
3
3
3
32 2
3
3
90o
∃/ 1 ∃/ 0
2.1. Circunferencia goniométrica y líneas trigonométricas
Se llama circunferencia goniométrica a aquélla que tiene su centro en el origen de coordenadas y su radio es la unidad. En la circunferencia goniométrica los ejes de coordenadas delimitan cuatro cuadrantes que se numeran en sentido contrario a las agujas del reloj.
QOP y TOS son triángulos semejantes.QOP y T'OS′ son triángulos semejantes.
QOP y T'OS′ son triángulos semejantes.
El seno es la ordenada del punto P.(y)
El coseno es la abscisa del punto P.(x)
-1 ≤ sen α ≤ 1
-1 ≤ cos α ≤ 1
El punto P tiene por coordenadas (x,y) por tanto el valor x está comprendido entre los valores [-1,1] al igual que los valores posibles de y
Como y=sen α � -1 ≤ sen α ≤ +1
Como cos α =x �-1 ≤ cos α ≤ +1
Las líneas trigonométricas se pueden ver en la figura:
Tema 2
La línea de seno es PQ
La Línea de coseno es OQ
La línea tangente es la línea ST
La línea secante es OS
T’S’ es la cotangente
OS’ es la cosecante
2.2. RELACIONES FUNDAMENTALES EN TRIGONOMETRÍA
Se cumple para todos los ángulos que:
1=+ αα22 cossen
α
αα
cos
sentg =
αα
α2
2
2sec
cos
11 ==+ tg
2.2.1. RAZONES TRIGONOMÉRICAS DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS (SUMAN 90º O Π/2 RAD)
Llamamos α a uno de ellos. El otro evidente-
mente será απ
−2
.
Así sabiendo las razones de un ángulo se pueden saber las del otro
ααπ
ααπ
ααπ
ctgtg
sen
sen
=)−2
=)−2
=)−
(
cos(
cos2
(
Por ejemplo : el ángulo de α =30º ó 6
π . y
90-α =60º o lo que es lo mismo απ
−2
330)2
(60(
2
130
2cos(60cos(
2
330cos)
2(60(
==−=)
==)−=)
==−=)
oo
oo
oo
ctgtgtg
sen
sensen
απ
απ
απ
2.2.2. RAZONES TRIGONOMÉRICAS DE ÁNGULOS SUPERIORES A 360
Ángulos que se diferencian en un número entero de vueltas de uno entre 0 y 360º
Un ángulo > 360º situará el punto que lo representa en algún lugar de la cfa después de un determinado número de vueltas n
απα
απα
απα
tgktg
k
senksen
=)2+
=)2+
=)2+
(
coscos(
(
Tema 2
Por ejemplo : el ángulo de 750º dará dos vueltas completas y su punto coincidirá con el de 30º.por tanto serán iguales sus razones trigonométricas
En este caso k=2 y
πk2 = π⋅⋅ 22 serán dos vueltas
2.2.3. RAZONES TRIGONOMÉRICAS DE ÁNGULOS OPUESTOS ENTRE SÍ
El ángulo es negativo si se desplaza en el sentido del movimiento de las agujas del reloj.
αα
αα
αα
tgtg
sensen
−=)−
=)−
−=)−
(
coscos(
(
Por ejemplo : el ángulo de -30º ó 6
−π
3
330)(30(
2
330cos
6cos(30cos(
2
13030(
−==
6−=)−
==)−=)−
−=−=)−
oo
o
tgtagtg
sensen
π
π
2.2.4. RAZONES TRIGONOMÉRICAS QUE DIFIEREN 90º O 2
π
RAD
Llamamos α a uno de ellos. El otro evidente-
mente será 2
+π
α .
Así sabiendo las razones de un ángulo se pueden saber las del otro
απ
α
απ
α
απ
α
ctgtg
sen
sen
−=)2
+
−=)2
+
=)2
+
(
cos(
cos(
Por ejemplo : el ángulo de 30º ó 6
π . y 120º
330)3
2(120(
2
130
3
2cos(120cos(
2
330cos120(
−=−==)
−=−=)=)
==)
oo
o
o
ctgtgtg
sen
sen
π
π
Tema 2
2.2.5. RAZONES TRIGONOMÉRICAS QUE DIFIEREN 180º O Π RAD
Llamamos α a uno de ellos. El otro evidente-
mente será πα + .
Así sabiendo las razones de un ángulo se pueden saber las del otro
απα
απα
απα
tgtg
sen
sen
−=)+
−=)+
−=)+
(
cos(
cos(
Por ejemplo : el ángulo de 30º ó 6
π . y 210º
3
330)
6(210(
2
330cos
6cos(210cos(
2
130)
6(210(
==+=)
−=−=)+=)
−=−=+=)
oo
o
oo
tgtgtg
sensensen
ππ
ππ
ππ
3. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Resolver un triángulo es hallar uno o más elementos desconocidos a partir de los elementos (lados y ángulos) conocidos.
PREGUNTAS CLAVE PARA RESOLVER UN TRIÁNGULO
¿Cuáles son los datos?
¿Cuál es el elemento desconocido?
¿Qué razón trigonométrica liga los elementos conocidos y desconocidos?
ELEMENTO CONOCIDO
COMO SE CALCULAN LOS DEMÁS
CASO I
Dos lados
• El tercer lado se calcula mediante el teorema de Pitágoras.
• El ángulo que forman los dos lados conocidos se halla a partir de la razón trigonométrica que los relaciona
CASO II
Un lado Un ángulo
• Otro lado se calcula mediante la razón trigonométrica que lo relaciona con el lado y el ángulo conocidos.
• El otro ángulo agudo es el complementario del que conocemos.
3.1. Ejercicios resueltos
En un triángulo se conocen un cateto, a = 11 cm,
y la hipotenusa, c = 20 cm. Hallar los demás
elementos.
El otro cateto: b = 1202 - 112 = 16,7 cm
Un ángulo: sen Á = 22
11 = 0,55 � Á = 33° 22'
Tema 2
El otro ángulo agudo: B = 90° - Á = 56° 38'
En un triángulo rectángulo del que se conocen B
= 50° y un cateto a = 15 cm, hallar los demás
elementos.
tgB= a
b> b = a tg50º = 15 tg 50° = 17,88 cm
cos B = c
a� 34,23
50cos
15
cos===
B
ac
A = 90° - B = 90° - 50° = 40°
3.2. Resultados útiles
Los siguientes resultados, ligados a la resolución de triángulos rectángulos, aparecen con tanta fre-cuencia que es conveniente memorizarlos:
3.2.1. PROYECCIÓN DE UN SEGMENTO
En el triángulo ABC,
AB
CΑ=αcos �AC= AB αcos � A'B' = AB αcos
La longitud de la proyección de un segmento sobre una recta es igual al producto de la longitud del segmento por el coseno del ángulo que forman.
3.2.2. ALTURA DE UN TRIÁNGULO
En el triángulo rectángulo de la izquierda, a
hsen =α � αasenh =
La altura de un triángulo es igual al producto de uno de sus lados
laterales por el seno del ángulo que dicho lado forma con la base.
3.2.3. ÁREA DE UN TRIÁNGULO
Área = αsenabhb
⋅⋅⋅=⋅
2
1
2
El área de un triángulo es igual a la mitad del producto de dos de sus lados por el seno del ángulo que forman.
3.3. ESTRATEGIA DE LA ALTURA PARA RESOLVER TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS
Cualquier triángulo no rectángulo puede ser resuelto, aplicando los m todos de resolución de los triángulos rectángulos,
mediante la estrategia de la altura. Consiste en elegir adecuadamente una de sus alturas, de modo que, al trazarla, se
obtengan dos triángulos rectángulos resolubles con los datos que se tienen.
� Ejemplo 1
Estamos en A. Conocemos las distancias de A a C (b = 3 800 m ) de C a B (a = 5 600 m). Queremos calcular la distancia de A a (AB = c).
Para ello medimos el ángulo Á = 49°. Y, sobre el papel, trazamos altura h y nombramos x e y a las proyecciones de a y b sobre •
x = b cos Á = 3 800 cos 49° = 2 493 m
h = b sen = 3 800 sen 49° = 2 868 m
Conociendo h y a calculamos y (teorema de Pitágoras):y = a2 - h
2 = 600
2 - 2 868
2 = 4 810 m
� Ejemplo 2
Tema 2
Estamos en P, situado en un llano. Queremos hallar la altura de montaña, M. Para ello medimos el ángulo P que forma la visual la montaña con la horizontal (P = 29°). Avanzamos 300 m hacia Ia montaña y volvemos a medir el ángulo (Q = 32°).
En MM'Q, tg 32° =h/x --> h = x tg 32°
En MM'P, tg 29° = h = (x + 300) tg 29°
x tg 32° = (x + 300) tg 29°�x(tg 32° - tg 29°) = 300 tg 29°
mx 235729 tg- 32 tg
29 tg300=
°°
°=
Ahora volvemos a h:
h = x tg 32° = 2 357 tg 32° = 1 473 m Hemos obtenido que la altura de la montaña es de 1473 m.
3.4. SOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS CUALESQUIERA
Vamos a obtener unas fórmulas que nos permitirán resolver directamente triángulos cualesquiera, sin necesidad de utilizar cada vez la estrategia de la altura para descomponerlos en dos triángulos rectángulos.
3.4.1. TEOREMA DE LOS SENOS
En un triángulo cualquiera ABC de lados a,b,c se cumplen las siguientes
igualdadessenC
c
senB
b
senA
a==
• Ejemplo
De un triángulo sabemos que: a = 6 m, B = 45° y C = 105°. Calcula los restantes elementos.
Sol:
A=180º-45º=30º
msen
senb
sen
b
sen26
2
12
2
6º30
º456
º45º30
6=====>=
msen
sencb
sen
c
sen6.11
º30
º105º
º105º30
6====>=
3.4.2. TEOREMA DE LOS COSENOS
En un triángulo cualquiera ABC de lados a,b,c se cumplen las siguientes igualdades
Abccba cos2222++=
E j e m p l o El radio de una circunferencia mide 25 m. Calcula el ángulo que formarán las tangentes a dicha circunferencia, trazadas por los extremos de una cuerda de longitud 36 m.
M
Tema 2
OAbccba cos25252252536cos2 222222⋅⋅−+===>++=
�O=92º6’32’’ En el cuadrilátero AOBT, los ángulo A y B son rectos. O+T=180º�T=190º-O=107º53’27’’
3.4.3. RESULTADOS INTERESANTES
El área de un triángulo es la mitad del producto de una base por la altura correspondiente. hbS ⋅=2
1
El área de un triángulo es el semiproducto de dos de sus lados por el seno del ángulo que forman.
senCabS ⋅⋅=2
1
El área de un triángulo es el cociente entre el producto de sus lados y cuatro veces el radio de su circunferencia
circunscrita.R
abcS
4=
El área de un triángulo es igual al producto del radio de la circunferencia inscrita por su semiperímetro.
S=r.p
Fórmula de Herón: ))()(( cpbpappS −−−= donde p es el semiperímetro
Tema 2
4. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA ± DE DOS ÁNGULOS.
sen(x+y) = senx.cosy + sen y. cos x sen(x-y) = sen .cosy – seny.cosx
cos(x+y) = cosx.cosy - senx.seny cos(x-y) = cosx.cosy + senx.seny
5. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO DOBLE.
sen(2x)=sen(x+x) = 2senx.cosx
cos(2x)= cos(x+x) = cos2x.- sen2xy
6. RAZONES TRIGONOMÉRTRICAS DEL ÁNGULO MITAD.
2
cos1)
2(
xxsen
−±=
2
cos1)
2cos(
xx +±=
x
xxtg
cos1
cos1)
2(
+
−±=
7. FÓRMULAS DE TRANSFORMACIÓN DE SUMA �������� PRODUCTO.
SenA+SenB = 2.sen
−
+
2
BAcos.
2
BA SenA-SenB = 2.sen
+
−
2
BAcos.
2
BA
CosA+CosB = 2.cos
−
+
2
BAcos.
2
BA CosA–CosB = -2.sen
+
2
BA.sen
−
2
BA
8. FÓRMULAS DE TRANSFORMACIONES DE PRODUCTOS �������� SUMA.
senx.cosy = ½.[ sen(x+y) + sen(x-y)] cosx.seny = ½.[sen(x+y) – sen(x-y)]
cosx.cosy = ½.[cos(x+y) + cos(x-y)] senx.seny = -½.[cos(x+y) – cos(x-y)]
Tema 2
Se conocen como ecuaciones trigonométricas aquellas que contienen razones trigonométricas de ángulos
desconocidos. Por ejemplo, en sen x = 0 buscamos ángulos que tengan seno cero. Una solución
particular es un valor del ángulo que satisface la ecuación. Así, dos soluciones particulares de la ecuaci
ón anterior son x1 = 0 y x2 = π. Ahora bien, cuando una ecuación dada tiene una solución, tendrá, en
general, un conjunto infinito de soluciones. En el ejemplo anterior, el conjunto de soluciones o solución
general viene dado por:
x1 = 0 + 2kπ, x2 = π+ 2kπ, k ∈Z
Al resolverlas, tendremos en cuenta que a cada ángulo le corresponde un valor único para cada razón
trigonométrica, sin embargo, puede haber infinitos ángulos con la misma razón. Será de gran utilidad
recordar que, en el primer giro:
Tienen el mismo seno α y π − α , ya que sen(π − α ) = sen α,
Tienen el mismo coseno α y 2 π − α ya que cos(2π – α) = cos α
Tienen la misma tangente α y π +α pues tg ( π + α) = tg α
Para resolver una ecuación trigonométrica, en primer lugar, la reduciremos a una de los tipos seno,
coseno o tangente, y seguiremos las instrucciones que se recogen en la siguiente tabla:
