MECNICA DEL MEDIO CONTNUO UNIDAD DE INVESTIGACIN Y ASISTENCIA TCNICA EN MATERIALESDIVISIN DE INGENIERA MECNICA E INDUSTRIAL UNIVERSIDAD NACIONAL AUTNOMA DE MXICO ndice I NDICE Captulo 1 Antecedentes Generales de la Mecnica del Medio Continuo 1.1Introduccin1 1.2Tensores3 1.3Operaciones con tensores 7 1.4Operadores tensoriales13 1.5Factorizacin15 1.6Tensores con caractersticas particulares16 1.7Eigenvalores y Eigenvectores20 1.8Leyes de transformacin de tensores26 1.9Calculo diferencial e integral aplicado a tensores32 1.10Teoremas integrales para vectores40 1.11Formulas de transporte46 1.12Coordenadas Curvilneas47 Capitulo 2. Cinemtica del Continuo 2.1Introduccin.64 2.2.Conceptos Generales de Cinemtica del Continuo 66 2.3Descripcin Material y Descripcin Espacial67 2.4Derivada Material68 2.5Campo de desplazamiento71 2.6 Conceptos y definiciones72 ndice II Capitulo 3. Deformacin 3.1Conceptos Generales81 3.2Deformacin Infinitesimal82 3.3Rapidez de cambio de un elemento material.89 El tensor de rapidez de deformacin (D). 3.4Ecuaciones de Compatibilidad93 3.5Gradiente de Deformacin (F)94 3.6TensorLagrangiano de deformaciones finitas99 (Tensor Lagrangiano de deformacin) 3.7Tensor de deformacin Cauchy-Green por izquierda101 3.8Tensor de deformacin Euleriana102 3.9Condiciones de compatibilidad para el tensor de105 deformaciones finitas: 3.10Cambio de rea debido a deformacin.106 3.11Cambio de volumen debido a deformacin108 3.12Descripcin del gradiente de deformacin para una108 referencia cilndrica , , r z y para una base esfrica Capitulo 4. Esfuerzos 4.1Conceptos Generales115 4.2Vector de esfuerzos116 4.3Tensor de Esfuerzos de Cauchy118 4.4Crculo de Mohr para esfuerzos124 ndice III 4.5Tensores de esfuerzos de Piola-Kirchhoff o 129 Tensor de esfuerzos Langragiano Capitulo 5 Ecuaciones Generales 5. 1Introduccin115 5.2Ecuacinde Conservacin de Masa137 5.3Ecuacin de Conservacin de Cantidad de Movimiento)141 (Ecuacin de Cauchy) 5.4Principio de esfuerzos de Cauchy147 5.5Ecuacin de Conservacin de la Energa149 5.6Desigualdad Entrpica154 Capitulo 6 Comportamiento Elstico. 6.1Antecedentes 159 6.2Descripcin del comportamiento160 6.3Idealizaciones para el comportamiento elstico166 6.3.1 Simetra elstica167 6.3.2Slido elstico, homogneo, lineal y monotrpico169 6.3.3Slido elstico, homogneo, lineal y ortotrpico175 6.3.4Slido elstico, homogneo, lineal y transversalmente isotrpico179 6.3.5Slido elstico lineal homogneo e isotrpico187 6.4Aplicacin de la teora de la elasticidad en el anlisis195 de diferentes problemas bsicos: 6.4.1.Estudio de un cilindro circular sometida a Torsin195 ndice IV 6.4.2Barra sometida a carga uniaxial (traccin compresin)203 6.4.3Viga (Barra) sometida a Flexin pura205 6.4.4Efecto combinado de Flexin y Torsin.211 6.4.5Viga curvada sometida a flexin pura211 6.5Estados particulares de Esfuerzo y Deformacin215 6.5.1Estado de Esfuerzos Planos (Estado Biaxial de Esfuerzo) 216 6.5.2Estado de deformacin Biaxial217 6.5.3Aplicacin de las Funciones de Esfuerzo de Airy en la determinacin del estado de esfuerzos y deformaciones asociados a la presencia de una Dislocacin de borde.222 6.6Ecuaciones de la Teora Infinitesimal de la elasticidad224 6.6.1Ecuaciones de Navier226 6.6.2La ecuacin de Navier en coordenadas rectangulares se expresa227 6.6.3Ecuaciones de Navier en coordenadas cilndricas227 6.6.4Ecuaciones de Navier en Coordenadas esfricas (r, ) , 229 6.7Anlisis del desplazamiento de ondas elsticas a travs de un slido231 6.7.1Anlisis de una Onda plana Irrotacional231 6.7.2Onda plana de equivolumen 235 6.8Elasticidad no lineal237 Capitulo 7 Fluidos Viscosos Newtonianos 7.1Conceptos Generales.275 7.2Fluidos Compresibles e Incompresibles277 7.3Ecuaciones de la hidrosttica278 7.4Movimiento de Cuerpo Rgido del Fluido281 7.5Fluido Newtoniano285 7.5.1Fluido Newtoniano Incompresible288 ndice V 7.5.2Ecuaciones de Navier-Stokes para Fluidos Incompresibles289 7.6Lneas de Trayectoria y Lneas de Corriente.295 7.7Flujo establecido y Flujo Transitorio298 7.8Flujo Laminar y Flujo Turbulento299 7.9Flujo de Couette299 7.10Flujo uniaxial producido por presin Poiseuille300 7.11Flujo inducido por presin a travs de un conducto 302 de seccin circular (tubo) 7.12Flujo inducido por velocidad entre dos cilindros con longitud infinita308 7.13Flujo Rotacional e irrotacional312 7.14Funciones disipativas en Fluidos Newtonianos317 7.15Difusividad Trmica319 7.16Flujo irrotacional de un fluido no viscoso de densidad homognea.321 7.17Ecuacin de transporte de vorticidad para un fluido viscoso 325 incompresible de densidad homognea. 7.18El concepto de Capa Lmite326 7.19Fluido Newtoniano compresible330 7.20Ondas acsticas333 Mecnica del Medio Continuo Dr. Armando Ortiz prado1 UDIATEM Antecedentes Generales de la Mecnica del Medio Continuo 1.1 IntroduccinTeoradelContinuo.Lamateria,entrminosgenerales,estformadapor;molculas,tomosyines.En cualquieradeloscasoslaunidadfundamentalsereducealostomos,loscualesestnconstituidosasuvezpor partculas subatmicas. De acuerdo a lo reportado las dimensiones del radio atmico equivalente de los elementos esdelordende10-10 m,porsupartelosdatosrecabadosporlafsicapermitenestimarqueelradiodelncleo atmico es menor a 10-13 m. Del anlisis comparativo de estos dos valores se constata que el tomo dista mucho con seruncontinuo;porconsecuencia,lamateriacualesquieraqueseasuestadonoloser.Esentoncesquese concluyequecualquiercuerpoocupaunlugarenelespacioyqueningnotropodrocuparelmismolugaral mismo tiempo, sin embargo no lo ocupa en su totalidad.A pesar de lo antes expuesto mucho del comportamiento delosmaterialesantelassolicitacionesquelessonimpuestassepuededescribirapartirdeconsiderarloscomo continuos.Los anlisis tradicionalmente efectuados para describir el comportamiento tanto de fluidos como, slidos, y an en el caso de materiales porosos, se puede realizar considerando a stos como medios infinitamente divisibles. Es por tantoquelateoraquepermitedescribirelcomportamientomacroscpicodelosmaterialesnegandosu microestructura es conocida como Teora del Continuo. ResultaevidentequelaTeoradelContinuopermitirlaprospeccindelosfenmenosapartirdeciertas dimensiones mnimas, estos valores lmite dependern del material y del fenmeno bajo estudio; por ejemplo en el anlisisdelosestadosdeesfuerzosydeformacionesparalosmetaleslasdimensionesmnimaspararealizarla idealizacinde continuo son del orden de 10-8 m, esto es cien veces las dimensiones del tomo. De lo anterior se tiene que al aplicar la teora del continuo en un metal en el cual existen dislocaciones; es posible describir el campo deesfuerzos,dedeformacionesylaenergaasociadaalapresenciadeestasdislocaciones;estobajo consideracionesdecontinuo;condicinquepuedeseraplicadaalatotalidaddeladislocacinconexcepcindel ncleo de la misma, esto es para dimensiones por debajo de 10-8 m. Considerando lo antes expuesto se concluye que si bien la Teora del Continuo es muy til para el anlisis de una gran variedad de situaciones, sta no podr ser utilizada en el caso de que los fenmenos se describan a travs de parmetrosqueestnpordebajodeladimensinlmiteparalacualelmaterialpuedaserconsideradocomo continuo.Porejemplo,algunosfenmenosdepropagacindeondasdemuyreducidalongitudnopuedenser descritos a travs de sta teora. Por consecuencia la aplicacin de la mecnica del continuo, no depende de la conceptualizacin filosfica, ya que ningn medio es infinitamente divisible, sino de la congruencia existente entre el comportamiento observado y los resultadosquesedesprendendelaaplicacindelateoraydelaidealizacindelcomportamientodelmaterial. Afortunadamenteenmuchoscasoslosresultadosqueemergendelaaplicacindelconceptodecontinuoson congruentesconloobservadoexperimentalmente,loquehapermitidoeldesarrollodemuchasteorasdeamplia aplicacin en la actualidad. LosconceptosquesederivanlaMecnicadelMedioContinuo(MMC),porelespectrodeaplicacindelos resultados obtenidos, se pueden agrupar en dos grandes reas: Mecnica del Medio Continuo Dr. Armando Ortiz prado2 UDIATEM a.Principiosgeneralesquesoncomunesatodoslosmedios.stassonleyesdelaFsicaampliamente demostradas y que deben de ser cumplidas por cualquier medio. Por ejemplo las leyes de conservacin de masa o de energa. b. c.Ecuaciones constitutivas que definen el comportamiento de materiales idealizados. Por ejemplo slidos elsticos lineales o fluidos Newtonianos. Losprincipiosgeneralessonaxiomasevidentesdenuestrarealidadfsica,entrelosquesepuedenmencionarlas leyesdeconservacindemasaydeconservacindeenerga,balancedemomentumlinealydedemomentode momentum y la ley de desigualdad entrpica. Matemticamente existen dos formas de presentar estos axiomas: 1.Forma integral, en este caso corresponde a un volumen finito de material2.Forma diferencial o ecuaciones de campo, en la que el principio corresponde a un volumen diferencial del material (partcula) de cada punto del campo bajo anlisis. Como ha sido antes mencionado, las ecuaciones constitutivas representan la otra parte fundamental de la Mecnica delContinuo.stassedesarrollanparamaterialesidealizados,porejemploparaaquellosenqueladeformacin solodependedelassolicitacionesaplicadasydichadeformacindesaparecealeliminarlassolicitaciones(slido elstico),cuandolasdeformacionessonademsinfinitesimalessepuederealizarlaidealizacindequelas deformacionessonlinealmenteproporcionalesconlassolicitaciones(slidoelsticolineal),materialenelcual ademslaspropiedadesnosemodificanconlaposicinysonigualesentodasdirecciones(slidoelsticolineal homogneo e isotrpico). sta ltima descripcin si bien representa un alto grado de idealizacin es muy til para describir el comportamiento de los metales recocidos o provenientes de fundicin. En el caso de muchos lquidos, como por ejemplo el agua, se tiene que los esfuerzos de corte son linealmente proporcionales con la velocidad de deformacin,deloquesedesprendeelconceptodeviscosidadysedefinenlosfluidosdenominadoscomo Newtonianos. Con todo lo expuesto se pueden mencionar algunos de los comportamientos idealizados como: a.Slido elstico homogneo, lineal e isotrpico b.Slidos elsticos lineales y anisotrpicos c.Slido elstico no lineal e incompresible d.Fluidos no viscosos e.Fluidos linealmente viscosos compresibles e incompresiblesf.Fluidos no newtonianosg.Slidos elastoviscosos h.Materiales poroelsticos, etc. Una herramienta fundamental para la Mecnica del Medio Continuo (MMC) son los tensores, ya que stos si bien desdeelpuntodevistadelalgebrarepresentantransformacioneslinealesentreespaciosvectoriales,enMMCse emplean tambin para representar cantidades fsicas asociadas a los Medios Continuos (MC). Por tal motivo en la primeraetapadeltextosedescribirnstosascomolasreglasfundamentalesdellgebraydelclculoconlas cuales cumplen stos. Mecnica del Medio Continuo Dr. Armando Ortiz prado3 UDIATEM 1.2 Tensores Notacinndice.Las leyes delaMecnicadelContinuodebendeserformuladasdemanera independientea las coordenadas,detalformaqueelempleodeTensorespermiteeldesarrollodestas.Enunsistemaescalarexiste correspondencia de una cantidad (nmero) a un punto, esta situacin se extiende a un espacio n dimensional. En el caso de emplear un sistema coordenado cartesiano el uso de la notacin ndice permite una presentacin simple y funcional, a la vez de elegante, de los conceptos.Conceptodenotacinndice.Lanotacinndiceesunasimplificacindelconceptodesumatoria,detalforma que si: 1 1 2 2 3 3......n na x a x a x a x o = + + + + expresin que se puede simplificar como: i ja x o = E obviando el concepto de sumatoria, la igualdad se presenta simplemente como: i ja x o = de lo expuesto resulta evidente que: i ia x o = k ka x o = m max o = Considerandoquelamecnicadelcontinuopermitedescribirelcomportamientodeloscuerpos,dondeestosse relacionan con el espacio tridimensional, es entonces que la sumatoria se realiza de 1 a 3 y que la notacin ndice permite simplificar la presentacin de los trminos, entonces: 1 1 2 2 3 3 n na x a x a x a x o = + + = En ocasiones se tiene por ejemplo: 11 1 1 12 1 2 13 1 3 21 2 1 22 2 2 23 2 3 3 1 3 2 31 3 1 ij i ja x x ax x a x x ax b a x x a x x a x x a b a b a x x | = EE = + + + + + + + + Por ejemplo: 3 3 2 3 1 3 3 2 2 2 1 2 3 1 2 1 1 13131b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a Tj i i i ij+ + + + + + + + = E E == = Es por tanto que la presencia de dos ndices representa una doble sumatoria, lo cual se puede extender al nmero de ndices que se requiera. Mecnica del Medio Continuo Dr. Armando Ortiz prado4 UDIATEM En general no se emplean como ndices las ltimas letras del alfabeto. Algunos ejemplos de desarrollo de la notacin ndice: 3 33 2 32 1 31 33 23 2 22 1 21 23 13 2 12 1 11 1r x r x r C xr x r x r C xr x r x r C xr C xj ij i+ + =+ + =+ + == Por otra parte si: 22 22 22 21 21 22 12 22 21 11 21 21 2222 12 22 21 11 22 12 12 21 11 11 21 2122 22 12 21 21 12 12 22 11 11 21 11 1212 12 11 22 12 12 21 11 12 11 11 11 112 1 ,D C B D C B D C B D C B AD C B D C B D C B D C B AD C B D C B D C B D C B AD C B D C B D C B D C B Aa de j i D C B Apq jq ip ij+ + + =+ + + =+ + + =+ + + == 33 33 32 32 31 31 3 3 3333 13 32 12 31 11 3 1 1323 13 22 12 21 11 2 1 1213 13 12 12 11 11 1 1 113 . . 1 ,A A A A A A A A TA A A A A A A A TA A A A A A A A TA A A A A A A A Ta de j i A A A Tm mm mm mm mij jm im ij+ + = =+ + = =+ + = =+ + = == = ik ijT T = Definicin de Tensor.De acuerdo con el lgebra un tensor se define como una transformacin lineal entre espacios vectoriales, de tal forma que si T es un tensor que transforma al vector al vector a en c y al b en d, entonces se deber cumplir que: d Tbc Ta== De tal forma que: Mecnica del Medio Continuo Dr. Armando Ortiz prado5 UDIATEM ( )( )( )S Tc Sac Ta SiTb Ta b a TTa a TTb Ta b a T===+ = +=+ = +| o | oo o Por otra parte si: ( )( ) Tb Ta b a Tentoncesn b a Tn Tbn Ta+ = += +== Por lo tanto T no representa una transformacin lineal y por lo tanto no se trata de un tensor. EnparticularenlaMecnicadelMedioContinuolostensoresseempleanparadescribirlascantidadesfsicas asociadas a estos. Resulta evidente que los efectos de cualquier solicitacin aplicada a un MC sern independientes de la base de referencia, por consecuencia la descripcin tensorial de una propiedad fsica asociada a un continuo existedemaneraindependienteacualquiersistemacoordenado.Deloantesexpuestoseconcluyequelas componentes del tensor pueden cambiar en funcin del origen definido o del sistema coordenado de referencia, sin embargo los efectos sern nicos bajo una determinada solicitacin. Los componentes en un sistema de referencia cualesquieradefinenaltensorbajocualquierreferencia.Dadoqueunasolicitacinenparticularrepresentauna realidad fsica nica es entonces que las leyes de la mecnica del continuo son expresadas en forma de ecuaciones tensoriales. La invariancia de estas ecuaciones es la razn del empleo de tensores en la MMC. Lascantidadesfsicasasociadasaunmediocontinuopuedenestardefinidassintenerrelacinconlabase coordenadadereferenciayporconsecuenciadescribirseexclusivamenteatravsdesumagnitud(cantidades escalarestalescomoladensidadolatemperatura);estarreferidasacadaunodelosvectoresunitariosque describen la base (cantidades descritas vectorialmente tales como la velocidad o las fuerzas), o estar referidas por unpardeomsejes(descripcinmatricial,talescomolosesfuerzosodeformaciones).Elnmerodeejesque describena la cantidadtensorialdeterminasurango(tabla1.1),siendodesdeluegosteindependientedelabase utilizada. Mecnica del Medio Continuo Dr. Armando Ortiz prado6 UDIATEM Tabla 1.1 Rango del Tensor Rango (r)Representacin Aplicacin EjemplosNmero de caractersticas que definen al tensor (n = 3r) CeroLetra minscula del alfabeto griegoo,|,,k,, etc. Cantidades fsicas que no estn relacionadas con los ejes y que por lo tanto se representan como escalares Masa, densidad, volumen especfico, temperatura, etc. 1 Uno Letras minsculas del alfabeto latino b,c,d bi, ci, dj, hk Cantidades asociadas a los medios continuos, las cuales se definen con relacin a un eje. Por lo tanto se representan como vectores. Velocidad (vi), posicin(Xi, xj), desplazamiento(ui), fuerza(fi), etc 3 Dos Letras maysculas del alfabeto latinoT, C, F, A, Tij, Ckl, Fmn, Ars Propiedades asociadas con dos ejes a la vez. stos se denominan simplemente como tensores de rango dos o Dadas. Esfuerzo(T o) Deformacin (E c) Rapidez de deformacin (D) 9 TresLetras maysculas del alfabeto latinoT, C, F, A, Tijk, Cklm, Fmnj, Arsk Propiedades asociadas con tres ejes Propiedades de los cristales piezoelctricos27 CuatroLetras maysculas del alfabeto latinoT, C, F, A, Tijkl, Cklmn, Fmnrs, Arsij Propiedades asociadas a dos pares de ejes. Tensor de constantes elsticas (Cijkl) 81 Mecnica del Medio Continuo Dr. Armando Ortiz prado7 UDIATEM Dada la relacin existente entre las cantidades tensoriales y la base es comn el empleo de notacin ndice para describir a los tensores, esto aplica en particular cuando se emplea un sistema coordenado cartesiano (base rectangular). Existen varios tipos de notacin ndice, por ejemplo: pkijk ij j iR T b a , , , , cCuando un ndice se repite se define como falso y no aporta al rango del tensor, mientras que cuando los ndices no se repiten se define como libres, describindose a travs estos el rango del tensor, por ejemplo: Tensor de 1er orden k j ijkpqp ikk j ij i iu u R F b a b a c , , , , ,- Tensor de 2do orden k k ijijjk iijpij ijji iju u B A D D D D o , , , , , ,, ,, 1.3 Operaciones con tensores: Para los tensores se definen operaciones de adicin, sustraccin y producto. En el caso de la adicin y sustraccin el rango de los tensores involucrados en la operacin deber ser el mismo y estas operacionesse realizan trmino a trmino. Al hacer referencia a las propiedades es conveniente recordar la factibilidad de representar a los tensores deprimerordencomovectores(matricesrenglnocolumna),alasdadas(tensoresdesegundoorden)como matrices de 3x3 y a los tensores de cuarto rango como matrices de 9x9, entonces las propiedades con respecto a las operaciones sern las mismas que las descritas para las matricesi.Conmutatividad a b b aa b b a+ = + = + ii. Asociatividad con respecto a la adicin( ) ( ) c b a c b a + + = + +iii.Asociatividad, distributividad y conmutatividad con respecto a la multiplicacin por un escalarSean o y | escalares (tensores de rango cero) y A, B tensores de rango superior, entonces: ( ) ( ) ( ) o| o | o| | o A A A A = = =( ) A Aentonces o| o|== , Mecnica del Medio Continuo Dr. Armando Ortiz prado8 UDIATEM ( ) A A A | o | o + = +( ) B A B A o o o + = +iv.Asociatividad de la adicin con respecto al producto entre tensores de dimensin superior a la cero. Al igual que con las matrices no existe conmutatividad en la operacin producto. Sean T, S tensores de rango dos (diadas) y a un tensor de rango uno, entonces: ( )( ) ( )T S a Ta SaT S a aT S+ = ++ = + La adicin de tensores se realiza trmino a trmino, de tal forma que: ij ij ijW S Tndice notacin enW S T= += +: |||.|

\|=33 32 3123 22 2113 12 11T T TT T TT T TTij |||.|

\|=33 32 3123 22 2113 12 11S S SS S SS S SSij Donde desde luego el tensor W tiene el mismo rango de sus predecesores. |||.|

\|+ + ++ + ++ + +=33 33 32 32 31 3123 23 22 22 21 2113 13 12 12 11 11S T S T S TS T S T S TS T S T S TWij Producto de Tensores v.Asociatividad de la operacin producto. Como ya antes fue mencionado no existe conmutatitividad en sta operacin. ( ) ( )ST TSSa T a TS== Mecnica del Medio Continuo Dr. Armando Ortiz prado9 UDIATEM ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )V TS SV TVa S T Va TSVa S T a SV T a SV T= == = vi.Operaciones con la transpuesta del tensorTTTaTb bTaen el caso de que el tensor sea simtrico T TaTb bTa bTa== = = j ij j j ji ii ij j j ji ie T e e TeaT b b Ta== Ti j j iTij jieTe e TeT T== Producto didico de 2 vectores 3 3 33 3 1 13 2 1 12 1 1 11e e T e e T e e T e e T Te e T Tj i ij+ + + + == Multiplicacin de Tensores Producto Vectorial (producto cruz) Atravsdeestaoperacinsedefineunnuevotensordelmismorangodesuspredecesores.Estaoperacinsele relaciona comnmente a tensores de rango uno, de tal forma que se da lugar a un nuevo vectorel cual es normal al plano definido por sus factores.a b b ab a cdonde c b a = = ,, ( )ie Sen b a b a u = u ngulo entre las direcciones a, b b a por definido plano al normal unitario vector ei, Mecnica del Medio Continuo Dr. Armando Ortiz prado10 UDIATEM Producto punto o producto interno. Sibienesteproducto,comosedefinirmsadelantesedescribeparacualquiertensorderangomayoracero,es usual su aplicacin en tensores de rango uno; para los cuales representa la proyeccin de uno en otro. u q Cos b a a b b a = - = - =Donde u representa al ngulo menor definido entre los vectores a, b. En notacin ndice equivale a 3 3 2 2 1 13 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1) ( ) ( ) (b a b a b ae e b a e e b a e e b a b ai i+ + = + + = =oo = == - = -i i i ia b b aa b b a Este producto tambin se puede definir para tensores mayores del rango 1, por ejemplo: 32 32 31 31 23 23 21 21 13 13 12 12 33 33 22 22 11 11:M T M T M T M T M T M T M T M T M TM T traza M T M Tkl ij ij ij+ + + + + + + + == = =qq Producto punto vector-diada j ij ib E ab E a== - | |11 12 131 11 2 21 3 31 1 1 12 2 22 3 32 21 2 3 21 22 233 31 3 32 3 33 331 32 33 ( ) ( ) ( )E E Ea E a E a E e a E a E a E ea a a E E Ea E a E a E eE E E (+ + + + +( ( =( (+ + + ( Producto punto Diada-vector C a E = -i j ijC a E =11 12 13 1 11 1 12 2 13 3 121 22 23 2 21 1 22 2 23 3 231 32 33 3 31 1 32 2 33 3 3 ( ) ( ) ( )E E E a Ea Ea Ea eE E E a Ea Ea Ea eE E E a Ea Ea Ea e+ + ((( (((= + + ((( ((( + + Mecnica del Medio Continuo Dr. Armando Ortiz prado11 UDIATEM El triple producto escalarrepresenta el producto punto de dos tensores de rango uno donde uno de ellos es a su vez resultado de un producto vectorial. Donde el resultado representa el volumen (V) del prisma definido a travs de los vectores a, b, c.( ) ( ) V c b a c b a = = - = - Por razones de operacin es evidente que primero se deber realizar el producto cruz. El triple producto vectorial, representa el producto cruz dedos vectores; uno de los cuales es a su vez resultado de un previo producto vectorial, en este caso se cumplen las siguientes identidades. ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 00= = = = - - = a c b si Solamente c b a c b aa c b si Solamente c b a c b ac b a b c a c b a Producto interno entre dadas ( )2ij ij ijA A A = = ( )Tij ij ij ji ij ijA B A B A B = = ( ) ( )1 1det 1ij ij ij ij ijij ji ij ijijA A A A ISi A A I A Tensor ortogonalSi A Matriz ortogonal propiaoo = = == = = Elproductotensorialequivalealproductodetensoresconndicesdiferentes(libre),detalformaquestosse suman incrementando el rango del tensor resultante, por ejemplo: Mecnica del Medio Continuo Dr. Armando Ortiz prado12 UDIATEM T b a = ijk k ijM r T =lo anteriorse representa como: R rT = , donde T es un tensor de segundo orden, r es de primer orden y R es un tensor de tercer orden. Enlaoperacindefinidacomoproductotensorial,seincrementaelrangodeltensorresultante,estoes equivalente a que todos los ndices sean diferentes (libres), y por lo tanto se acumulen. jkl i kl ijR N M =R N M = En notacin ndice se expresa como: ij j iT b a =ijK jK iT F v =ijKm Km ijM T D =ijKm m ijkN v = cContraccin o eliminacin de ndices falsos repetidos, como ya fue enunciado cuando los ndices se repiten se anulan y por consecuencia se reduce el rango del tensor resultante: =iiTi j ijb a E =o =i ib aj j iib a E =jm im ijy F E =ij kk ijM F E =jk ki jiH F E =Mecnica del Medio Continuo Dr. Armando Ortiz prado13 UDIATEM km km iiN F E =ik kj ijB F E =j i ijc a E = forma correcta j ij ic E a =im jm ijQ F E =Otras combinaciones de operaciones producto definidas para tensores: La combinacin de productos punto y productos cruz se puede expresar como: ( )( ) | = - - =--d c b a cd ab( )( )if d c b a cd ab = - =- ( )( )iv d c b a cd ab = - =- ( ) ( )ijab cd a b c d T= = 1.4 Operadores tensoriales. Delta de Kroneker. En el caso de tensores de rango dos (dadas) se define un operador identidad con relacin a la operacin producto a ste se le denomina como Delta de Kroneker (oij), si la notacin es matricial simplemente se referir como operador identidad (I). La delta de Kronecker( )ijose define entonces como: = = j ij iij01o133 22 11= = = o o o|||.|

\|=1 0 00 1 00 0 1ijoPor lo tanto: Mecnica del Medio Continuo Dr. Armando Ortiz prado14 UDIATEM 11 22 331 11 1 12 2 13 3 12 21 1 22 2 23 3 23 31 1 32 2 33 3 31 1 2 2 3 33 iim mm mm mij j ia a a a aa a a a aa a a a aa a e a e a e ao o o oo o o oo o o oo o o oo= + + == + + == + + == + + = = + + = 1 11 1 12 2 13 3 11 1 12 21 1 22 2 23 3 22 2 23 31 1 32 2 33 3 33 3 3m mj j j j j jm mj j j j j jm mj j j j j jT T T T T TT T T T T TT T T T T To o o o oo o o o oo o o o o= + + = == + + = == + + = = ij nj mn imij mj imij mj imT To o o oo o oo=== Si 3 2 1, , e e eson los vectores directrices ij j ie e o = Permutador.EsteterminotambinconocidocomoalternadordeLevy-Civita(definidoasenhonordel matemticoitalianoLevy-Civita(1873-1941),esunoperadorempleadoennotacintensorialcomosmbolode permutacinoalternador(cijkCijk).Facilitalapresentacinennotacinndice,solamentepuedetomarvalores 1 , 0 =ijkc .Elvalorde+1correspondeaunapermutacinnatural1,2,3;2,3,1;3,1,2;elvalorde-1 corresponde al caso de que la permutacin sea en sentido inverso; 1, 3, 2; 3,2, 1; 2, 1, 3. Por su parte el valor cero corresponde al caso en que se ha perdido el orden, y los ndices se repiten. De lo expuesto se concluye: ijk cualquier con acuerdo Deijk)`+011ckji ikj kij jki ijkc c c c c = = = = Considerando los vectores unitarios Mecnica del Medio Continuo Dr. Armando Ortiz prado15 UDIATEM 3 1 2 1 3 2 3 2 1e e e e e e e e e = = = ( )123 231 312321 213 132112 333 1131100ijk jki kij ikj kjiiii kki kjki j k ijkC C C C CC C Ce e ec c cc c cc c cc= = == = = = = == = = == = = = El producto vectorial (x) tambin se emplea para el caso de tensores de tal forma que: k j ie e e e e e = = 3 2 1 , empleando el permutador la operacin se expresa como: i j k ijk ke e e e c = = Elsmbolodepermutacin) (ijkc ,alternadorpermutadorestilparaexpresarelproductovectorial,talque b ay el tripleproducto escalar, de tal forma que: ( )( )i k j ijkk j ijki k j ijk i k j jki k ijk j i j j i ic b a c b aparte otra pora aentonces a aque Dadoe b a e b a e b a e b e a b accc c c= - == = = = = 0: , 0: |||.|

\|=3 2 13 2 13 2 1c c cb b ba a ac b ak j i ijkc 1.5 Factorizacin. En la notacin ndice se deber tener cuidado en la factorizacin ya que es muy fcil caer en incongruencias; por ejemplo sea T una diada, n un tensor de primer rango, y un escalar, entonces, en notacin matricial se tiene que si: Mecnica del Medio Continuo Dr. Armando Ortiz prado16 UDIATEM Tn n = igualando a cero queda;0 Tn n = factorizando se expresa como ( ) 0 T I n =, lo cual en notacin ndice se expresa como: i j ijn n T = igualando a cero se tiene;0 = i j ijn n T lo cual evidentemente no se puede factorizar en la forma0 ) ( = j ijn T , ya se estara restando a una diada un escalar, por tal motivo para la factorizacin es necesario desarrollar segn:j ij i j ijn n n T o = =por lo que al igualar a cero se tiene;0 = j ij j ijn n T o , lo que al factorizar queda;0 ) ( = j ij ijn T odescripcin que corresponde a lo presentado en notacin matricial. 1.6 Tensores con caractersticas particulares. Apartirdelconceptogeneraldetensorsepuedendefiniralgunosquepresentandeterminadaspeculiaridades, estosnonecesariamenteexistirnparacualquierrango,yancuandomuchosdeestostiposparticularesse relacionan con las dadas no necesariamente son exclusivos a stas. Por ejemplo se define: Tensor simtrico. Son aquellos en los que TT T = en notacin ndice ij jiT T =. Tensor antisimtrico, es aquel en el que TT T = , ij jiT T = , estos tensores se caracterizan en que su traza es igual a cero 0iiT=. Con base en lo anterior se tiene que todo tensor de rango dos ( ) Tse puede descomponer en una componente simtrica ( )STy una parte antisimtrica ( );A S AT T T T = +, de tal forma que: Mecnica del Medio Continuo Dr. Armando Ortiz prado17 UDIATEM ( ) ( ) ( ) ( )T Tji ij ji ij ijT T T T T general notacin en T T T T T + + = + + =21212121 Tensorortogonal ( )ijQ Q.Setratadeaquellatransformacinlinealendondelosvectoresocantidades tensoriales a los cuales les es aplicada la transformacin (Q) conservan sus caractersticas (ngulos y longitudes en el caso de un vector). Estos se caracterizan adems en que su inversa est dada por la transpuesta del tensor: TQQ I = en notacin ndice;im jm mi mj ijQQ QQ o = =

estos tensores permiten el cambio de base de tal forma que: v Qv'=para vectoresTB QBQ ' =para dadas donde v y B son un vector y una dada definidos en la nueva base (x), mientras que v, B estn representados en la base original (x). Suponga que ijQes un tensor que permite el cambio de la base x a la x, entonces |||.|

\|=33 32 3123 22 2113 12 11Q Q QQ Q QQ Q QQij Donde) , (j i ije e Cos Q ' = ,donde= 'iedireccindelosvectoresunitariosenlabasex,mientrasque =jedireccin de los vectores unitarios en la base originalx. Porejemplopararealizaruncambiodebasedetalformaqueeleje 3'3x x = ,estorepresentaqueelnuevo sistema est dado al rotar un ngulou 2 1, x xalrededordel eje 3x . Entonces la matriz de transformacin est dada por: Mecnica del Medio Continuo Dr. Armando Ortiz prado18 UDIATEM ((((

=1 0 000u uu uCos SenSen CosQ Dado que: 3'32 1'22 1 1 cos cos ' e ee e sen ee sen e e=+ =+ =u uu u

TensorIsotrpico.Setratadeaquellostensorescuyoscomponentespermanecensincambiobajocualquier modificacinenelsistemacoordenado,estoesalmodificarlabasetodosloscomponentesdeltensor permanecen invariables.

i ia a ' =i ix sistema y x sistema 'lkm lkmij ijC CT T' =' = Sean A, B, C, D, E tensores isotrpicos, si; H B= o , dondeH es un nuevo tensor isotrpico (esto es el producto de un escalar por un tensor isotrpico da lugar a otro tensor isotrpico).Por parte si F C B A = + + ; la suma de tensoresisotrpicosdalugaraun nuevotensorisotrpico(F).Considerandolasdoscondicionesantesexpuesta se cumple tambin que; D C B A = + + _ | o , donde D es tambin un tensor isotrpico. ParaelcasodeE B A = ,setienequeEestambinisotrpico(elproductotensorialdetensoresisotrpicosda como resultado un nuevo tensor isotrpico). PorotraparteesimportantemencionarqueelnicotensorisotrpicoderangodosesladeltadeKroneker tensor identidad. (ijo ). Tensor isotrpico de orden 4.De acuerdo a lo antes planteado un tensor isotrpico de rango 4 se puede describir a travs de la sumatoria de tensores isotrpicos del mismo rango, los cuales son multiplicados por un escalar. A su vezcadaunodestossedefiniratravsdelproductodetensoresisotrpicosdeordendos(soloesisotrpicala delta de Kroneker), lo anterior se puede expresar como: ;ij kl ijklij ij kl kla a Aa a o o== = (ijA es un Tensor. Isotrpico de 4 orden) ijkl ijkl ijkl ijklG B A C | o + + =(C, B, G son tensores isotrpicos de 4 rango) Mecnica del Medio Continuo Dr. Armando Ortiz prado19 UDIATEM Para aplicar los anteriores conceptos suponga que ijklCes un tensor isotrpico, el cual permite la transformacin lineal entre los espacios kl ijE y T de tal forma que: kl ijkl ijE C T= , dondeklij ijkl lk kl ji ijC C E E T T = = = , ,adems de isotrpicos los tensores T, E, C son simtricos, es entonces que C se puede descomponer como: ijkl ijkl ijkl ijklG B A C + + = kl ij ijkl kl kl ij ij kl ij ijklA A A A A A o oo o o o == = = , , jl ik ijkl jl kl ik ij kl ij ijklB B B B B B o |o o o | == = = , , jk il ijkl jk kl il ij kl ij ijklG G G G G G o qo o o q == = = , ,Sustituyendo: kl ijkl ijE C T=( ) ( )jl il jk ik kk ij lk jk il kl jl ik kl kl ij kl jk il jl ik kl ij ijE E E E E E E T qo |o oo o qo o |o o oo o qo o |o o oo + + = + + = + + = ij ij kk ij ijE E E T q | oo + + = Componentes esfrica y desviadora de los tensores simtricos de rango dos. Todotensorsimtricodesegundorango ijT talque ij jiT T = sepuededescomponerendostensoresdela forma:dijesfij ijT T T + = , donde esfijTes la denominada componente esfrica del tensor ijTy representa un tensor cuyo valor es igual en todas direcciones y de ah su denominacin (se trata entonces de un tensor isotrpico). Por supartelacomponentedesviadora dijT representauntensorcuyacomponenteesfricaesigualacero.La componente esfrica se define como: ( )ij ij kkesfijT T T T T o o33 22 113131+ + = =, en notacin general I T Traza Tesf)31( =Por su parte el tensor desviador asociado a T se define como: Mecnica del Medio Continuo Dr. Armando Ortiz prado20 UDIATEM ( )ItrazaTT Tgeneral notacin en TT T Tdijiiijdijd33 = = = o Para el caso del tensor desviador su componente esfrica es igual a cero (( )0 =dT tr ) si se define: 3 31iiTtrT = = o( ) dij ij ijijT Tcomo resar puede se T+ =o oexp Dado que: ij kk ijdesijT T T o31 = ( )( )( )||||||.|

\|+ + + =32323222 11 3332 312333 11 222113 1233 22 11T T TT TTT T TTT TT T TTdesij 1.7 Eigenvalores y Eigenvectores. Estos trminos denominados tambin como valores y vectores caractersticos asociados a un tensor se definen a partirdeconsiderarunatransformacinlineal(T)talquealaplicarlaaunvector(a),stesetransformeen colineal a si mismo, entonces: a Ta =dondease define como eigenvectorycomo eigenvalor, ambos asociados a la transformacin linealT . Todo vector paralelo aaes tambin un eigenvector con eigenvalor , de tal modo que: a a Ta a T q o o o = = = ) ( Mecnica del Medio Continuo Dr. Armando Ortiz prado21 UDIATEM Generalmenteloseigenvectoressonunitarios,sinembargosedefinendelongitudarbitraria.Sinesun eigenvector unitario, entonces: n Tn =en notacin matricialIn Tn =y en notacin ndice j ij j ijn n T o = ,lo cual igualando a cero y factorizando queda:0 ) ( = j ij ijn T oEcuacin que tiene la solucin trivial0 =jn , y por otra parte la generada a partir de: 0 = ij ijT o , 11 12 1321 22 2331 32 330T T TT T TT T T = determinante que al ser desarrollado da lugar a una ecuacin cbica en , de la forma: 03 2213= + I I I donde los trminos iIson definidos como los invariantes asociados al sistema. Estos deben su nombre a que se tratademagnitudesquenosevernalteradasalmodificarlabaseyrepresentanpropiedadesasociadasal sistema. Al desarrollar el sistema antes expuesto se puede comprobar que: sistema del traza T T T T Iii= + + = =33 22 11 1 ( ) ( )+ + + + = = =13 31 32 23 21 12 11 33 33 22 22 11 221T T T T T T T T T T T T T de s principale menores T T T T Iij ji ij jj ii en el caso de que el tensor sea simtrico( )231223212 11 33 33 22 22 11 2T T T T T T T T T I + + + + =( )( )3 11 22 33 12 23 31 13 32 2111 23 32 22 13 31 33 12 2112 36ii jj kk ij jk ki ii jk kj ijI T T T T TT T TT T T TT TTT TTTT TT TTT TTT= + = = + + + + igualmente en el caso de que el tensor sea simtrico el tercer invariante se puede expresar como: Mecnica del Medio Continuo Dr. Armando Ortiz prado22 UDIATEM ( )2 2 23 11 22 33 12 23 31 11 23 22 31 33 122 I T TT TTT T T TT TT = + + +Valores principales y direcciones. Los valores y direcciones principales (eigenvalores y eigenvectores) asociadas a un tensor tienen las siguientes propiedades: i)Los eigenvalores de un tensor real tambin son reales ii)Para un tensor simtrico real siempre existen al menos tres eigenvectores iii)Los eigenvectores asociados a un tensor simtrico real forman base (son mutuamente ortogonales iv)ExistirsiemprecuandomenosunsistemacoordenadoparaelcualeltensorAsepuede representar como tensor diagonal v)Enelcasodequedosdeloseigenvaloresseaniguales,ladireccindedeloseigenvectores respectivosestarindeterminada,quedandocontenidosenelplanonormalaltercereigenvector, cualesquieradosvectoresmutuamenteperpendicularescontenidosendichoplanosernvectores caractersticos. vi)Enelcasodequelostresvalorescaractersticosseanigualesestorepresentaquecualesquieratres vectores mutuamente perpendiculares sern eigenvectores asociados al sistema.

Cuando el tensor es simtrico los eigenvectores forman base, para esto: Sean 2 1n y nlos eigenvectores asociados a los eigenvalores 2 1 yrespectivamente, entonces 1 1 12 2 22 1 1 1 21 2 2 2 11 2 2 12 1 1 2TTn nTn nn Tn n nnTn n nn n n nn Tn nTn====== Si el tensor es simtricoTT T = Por lo que 2 1 1 1 2 21 1 2 2 2 1n Tn nT nn n n n = = ( )1 2 1 21 20 n n == Mecnica del Medio Continuo Dr. Armando Ortiz prado23 UDIATEM 1 20 n nSon perpendiculares=

Ejemplo: Para ijTdetermine loseigenvalores y eigenvectores asociados: 1 2 312 2 02 8 0 26, 212, 5520 0 6ijT I I I| | |= = = = | |\ . 8284 . 12 , 1715 . 7 , 60 552 212 261 2 32 3= = == + |||.|

\|=6 0 00 1715 . 7 00 0 82 . 12IJPtPara determinar los eigenvectores se deber cumplir que: ( )0ij ij jT n o = Entonces para el eigenvector asociado al eigenvalor12.82 = ( )( )( )11121312 12.82 2 0 02 8 12.82 0 00 0 6 12.82 0aaa ( | |( (| ( = (| ( | ( ( \ . 1 11 21 21 2130.8284 2 02 4.8284 06.8282 0a aa aa + = = = ( ) ( ) ( )( ) ( )132 2 21 1 11 2 32 21 11 2011aa a aa a=+ + = + = 1 11 22.41 a a =Mecnica del Medio Continuo Dr. Armando Ortiz prado24 UDIATEM ( ) ( )( )2 21 12 221212122.41 16.82 10.382767.5a aaau+ ==== 111113130.9222.72090aauu== == Para el segundo eigenvalor 27.17 =el sietma de cuaciones se expresa como: ( )( )( )21222312 7.17 2 0 02 8 7.17 0 00 0 6 7.17 0aaa ( | |( (| ( = (| ( | ( ( \ . 2 21 22 21 223234.83 2 02 0.8285 01.1715 00a aa aaa+ =+ = == 2 21 20.4142 a a = ( ) ( )2 22 22 2222221210.4142 10.923822.50.3826112.5a aaauu+ === = = Para el tercer eigenvalor 6 = , se tiene que: ( )( )( )31323312 6 2 0 02 8 6 0 00 0 6 6 0aaa ( | |( (| ( = (| ( | ( ( \ . Mecnica del Medio Continuo Dr. Armando Ortiz prado25 UDIATEM 3 31 23 31 2336 2 02 2 00 0a aa aa+ =+ == ( ) ( ) ( )31 3 31 23231 322 2 23 3 31 2 333334 004 02110aa aacomo a a aatu uu = = =` =)= =+ + = == Ensamblando los tres eigenvectores para definir as la matriz de rotacin (cambio de base) se tiene: 0.92 0.3827 0 0.92 0.38 00.3827 0.92 0 ; 0.38 0.92 00 0 1 0 0 1ij ijA A | | | | ||= = || ||\ . \ . Como es descrito en lneas posteriores este tensor de cambio de base es ortogonal por loI AAT= , lo cual se cumple: |||.|

\|= =1 0 00 1 00 0 1ij ji ijA A oAsimismo se deber cumplir la ley de transformacin para tensores TQTQ T = 'Porloque alaplicarestatransformacinaltensororiginalsellegaalarepresentacinenvaloresprincipales,se concluyeentoncesquelamatrizderotacindescribelarelacinexistenteentrelosvectoresunitarios correspondientes a la base originalje con los de la base en valores principales ie' : cos( )i jQ e e'= efectuando las operaciones se tiene Mecnica del Medio Continuo Dr. Armando Ortiz prado26 UDIATEM 0.92 0.38 0 12 2 0 0.92 0.38 00.38 0.92 0 2 8 0 0.38 0.92 00 0 1 0 0 6 0 0 1T | || |( | |(' = | |( | | (\ .\ . |||.|

\| |||.|

\| =1 0 . 00 92 . 0 38 . 00 38 . 0 92 . 06 0 00 59 . 6 75 . 20 9 . 4 8 . 11 |||.|

\|=6 0 00 1 . 7 00 0 7 . 12ijpT Con lo cual se comprueba lo expuesto. 1.8 Leyes de Transformacin de tensores. Comohasidomencionadoconantelacinesfactibledescribirlaspropiedadesasociadasaunmediocontinuoa travs de un infinito nmero de bases, dando lugar a igual nmero de representaciones, siendo stas equivalentes en todosloscasos.Estosepuedeconceptualizaratravsdelaexistenciadelosinvariantesasociadosaltensor,los cualesnosemodificanalmodificarelsistemalabasedereferencia.Esporlotantonecesarioconsiderarlas reglas que permiten la rotacin de la base de referencia. Para esto se define la matriz de transformacin o rotacin, la cual, por definicin es ortogonal y est dada por los cosenos directores de cada una de las direcciones de la base nueva con respecto a la base original. Sea A un Tensor de transformacin tal que |||.|

\|=33 32 3123 22 2113 12 11a a aa a aa a aAEl vector unitarioa lo largo del eje 1X 'esta dado por: 3 13 2 12 1 11 1e a e a e a e + + = ' La generalizacin de lo antes expuesto es: j ij ie A e= ' (a) Mecnica del Medio Continuo Dr. Armando Ortiz prado27 UDIATEM Un vector arbitrario" "ndefinido en la base original se expresa como: j je n n= (b) y en el sistema nuevo: i in ne ' ' ' =(c) Considerando la matriz de transformacin Aij j ijn A n= ' (d) En particular los tensores de rotacin conservan ngulos y magnitudes, razn por la que se definen como ortogonales. Por lo tanto para un tensor ortogonal se cumple que: im jm ijQQ o = por definicinTA A =1 I AAT=, entoncesA representa un tensor ortogonal. Donde A se define como: ( ) ij i jA Cos e e ' = De tal forma que un sistema de ejes 3 2 1x x x ' ' 'es obtenido a partir de la rotacin de un sistema 3 2 1x x x Mecnica del Medio Continuo Dr. Armando Ortiz prado28 UDIATEM 1x2x3x1x'11u12u13u2x'21u22u23u3x'31u32u33u Parapasardelejenuevoaloriginalseintercambianrenglonesporcolumnas,estoeslatransformacininversa (A1), se define como: TA A =1 Donde: ) , cos(1j iTe e A A ' = = 1X '2X '3X '1X11a21a31a2X12a22a32a3X13a23a33a Los ngulos entre los sistemas estn dados por: ( ) ij i je e u u ' = , mientras que ( ) ji i je e u u ' =|||.|

\|=33 23 1332 22 1231 21 11a a aa a aa a aAji La matriz de cosenos directores es: ( ) ( )j ie y e entre cin transforma de MatrizQ Q QQ Q QQ Q QQ '((((

=33 32 3123 22 2113 12 11 Leyes de transformacin para componentes cartesianos de vectores. Mecnica del Medio Continuo Dr. Armando Ortiz prado29 UDIATEM Sea cualquier vector a, entonces los componentes de (a) con respecto a( )ieson: i ie a a ' - = 'Dado 3 3 2 2 1 1 e v e v e v v + + =Definav'3 33 2 32 1 31 3 33 23 2 22 1 21 2 23 13 2 12 1 11 1 1v a v a v a v a vv a v a v a v a vv a v a v a v a vj jj jj j+ + = = '+ + = = '+ + = = ' Leyes de transformacin entre tensores, en notacin matricial queda: TQTQ T = '((((

((((

((((

=((((

' ' '' ' '' ' '33 23 1332 22 1231 21 1133 32 3123 22 2113 12 1133 32 3123 22 2113 12 1133 32 3123 22 2113 12 11a a aa a aa a aa a aa a aa a ao o oo o oo o oo o oo o oo o o Ejemplos: Unabase,alacualsedefinecomooriginal(xi)convectoresunitarios ie ,sevaatransformaraunanueva referencialacualsedenominacomo(ix' )convectoresunitarios(ie' ).Supongaquelosngulosentreambas bases estn dados por: 1x2x3x1x'13560120 2x'904545 3x'4560120 Por lo tanto la matriz de cambio de base queda: Mecnica del Medio Continuo Dr. Armando Ortiz prado30 UDIATEM |||||.|

\| =21212121210212121ijAPara un vector vi, descrito en la base (xi), se define como: 3 2 1 8 2 12 e e e v + + =Para describir al vector iven la nueva base iv' se tiene entonces que: |||.|

\||||.|

\| = ='82125 . 0 5 . 0 7071 . 07071 . 0 7071 . 0 05 . 0 5 . 0 7071 . 0j ij iv A vPor consecuencia:( )|||.|

\|' + ' + ' + =|||.|

\|'''3213218 5 . 0 2 5 . 0 12 7071 . 0) 8 7071 . 0 2 7071 . 0 () 8 5 . 0 2 5 . 0 12 7071 . 0 (eeevvv Ejemplo 2: La siguiente tabla presenta los cosenos directores descritos entre la base original (xi), y la nueva base: 1x2x3x1x'53 540 2x'001 3x' Cuales sern los cosenos de la tercera lnea: Se tiene entonces que 2 1 3x x x ' ' = 'Mecnica del Medio Continuo Dr. Armando Ortiz prado31 UDIATEM k j ik j i053541 0 005453+ = Ejemplo 3: Verifique si el siguiente tensor es ortogonal |||||.|

\| =61616221210313131jiA Para lo anterior se debe cumplir queI AAT= , que cada rengln cada columna cumple con que la suma de los cuadrados de los cosenos directores es igual a uno, lo cual se puede verificar con facilidad. Ejemplo 3: Para los siguientes cosenos directores definidos entre la base xi y la xj , determine la ltima lnea: 1x2x3x1x'2 5321 2 542x'54 0 533x' Considerando que la suma de los cuadrados de los cosenos directores debe ser igual a uno, o partiendo de que los vectores deben ser mutuamente perpendiculares se tiene quec b a = , por lo que:3 2 1 35 54212 53e e e e + = ' Mecnica del Medio Continuo Dr. Armando Ortiz prado32 UDIATEM 1.9 Clculodiferencial e integral aplicado a Tensores En esta parte del captulo orientar a al estudio del clculo diferencial e integral aplicado a funciones tensoriales. Porfuncintensorialseentiendeaaquellatransformacinlinealentreespaciosvectorialesquepermiteporotra parterepresentarcantidadesfsicasasociadasalosmedioscontinuos.CualquiertensorT,ydeacuerdoalrango, estar constituido por funcionesrepresentadas en el espacio de los reales, de tal forma que: ( ) 9 - =ij i ijT todo donde t x T T , ,Por lo tanto: dtt x dtdtt x dTi iji) , () , (= , descripcin que se puede extender a la derivada ensima, ( , )( , )nnij iin ndt x td Tx tdt dt= , de tal forma que al derivar con relacin al tiempo el rango del tensor no se altera.Considerandoloantesexpuesto,yenvirtuddequelasfuncionestensorialessonengeneraldelaforma ( ) ,ij iT T x t = seextienden,alclculodiferencialconcantidadestensoriales,lassiguientesreglasaplicadaslas operaciones de derivacin; las cuales son demostradas en los textos bsicos de Clculo.Derivada con respecto al tiempo: ( )iiiadtddtdadtda= =|.|

\|uno rango de Tensor ai ( ) ( )( )dtdaadtddta ddtdbdtdadtb a dt adtddtdAijijoo o+ =+ =+= |.|

\| ( )( )( ) bdtdadtdba b adtdbdtdadtdba b adtddtdabdtdbadtb a d + = + = + = Mecnica del Medio Continuo Dr. Armando Ortiz prado33 UDIATEM d dA dBAB B Adt dt dt= +( )d dA dBA Bdt dt dtd d dAA Adt dt dt|| | = = + ( )TTij kjij kj kj ijd dAAdt dtdA dBdA B B Adt dt dt| |= |\ .= + Operador gradiente ( )V Enelcasodequeladerivacinseefecteconrespectoauncampovectorialelrangodeltensorresultantese ver afectado. Para el empleo del operadorV (gradiente) es necesario considerar el tipo de operacin que se va a realizar ya que esto determinar el rango del tensor al que se d lugar. Se presentan tres operaciones al utilizar el operadorV, esta son: gradiente V=, la cual en notacin ndice se expresa comoixcV =c Sea( )if x unafuncindescritaenelcampodelosreales,lacualenMMCrepresentauntensordecualquier rango,setieneentoncesque; iif fxf, = V =cc.PorconsecuencialaaplicacindeloperadorVequivalea incrementarenunoelrangodeltensor.Porsuparteeloperadordivergenciaequivalealproductopuntodel tensor por el operador gradiente, de tal forma que; div f f = V-, lo que se traduce en la reduccin del rango deltensorresultante.Setienequeeloperadorrotacional,dalugaraunnuevotensordelmismorangodel original u rot u V = La notacin empleada para describir diferentes operaciones es muy variada, como se mostrar ms adelante. i i iie exc =cc= V Mecnica del Medio Continuo Dr. Armando Ortiz prado34 UDIATEM 2, ,, ,, ,ii i jki j kijii j j i ij kj kj ijj i ij j iji jvvx x xTvv v T Tx xv Tv T TX x||c c= =c c ccc= = c = = Vc cc c= = = V-c c Donde | representa un tensor de rango cero, iv un tensor de rango uno,y ijT uno de rango dos; se constata que eloperador ix ccic incrementaenunoelordendeltensorsiiesndicelibre,yreduceenunoelrangodel tensor si el ndice es falso (se repite); por lo tanto; Gradiente iiex cc= V =|| | ; Divergencia ,; ;ii i i iivdivv v v vxc= V- = cc Rotacional , ijk j k ijk k jv v v v c c = V c = Laplaciano i iii iix x c cc= = c V - V = V =|| | | | |2,2 Sea|una funcin escalar (tensor de rango cero), se tiene entonces que: ( )( )1 2 31 2 32 2 2 222 2 21 2 322 ,,,, ,iiiii iij jii je e ex x x xseaf un tensor rango unoentoncesf f f ff f div f fx x x x xf laplacianodel tensor fff f fx x| | | || |c c c c= = V = + +c c c cc c c c= V-V = V = = + + = Vc c c c cV =c= = = VVc c Extendiendo el concepto de Laplaciano a un tensor de 2 rango, ste se expresar como: Mecnica del Medio Continuo Dr. Armando Ortiz prado35 UDIATEM ( ) ( )2 2ijijA a V = V Ejemplo: Apartirde lasreglasde derivacinyconsiderandolaspropiedadesde ladeltade Kronekerydel permutadorse puede demostrar que: , , ,,0inf0; 1 ;imn mn imn nm imn mnimn mn imn nmimn mn inm nmimn mn inm nm nmji ii j ijj j jSi f f sedebe cumplir que ff f el orden de derivacin no luyef f estopor la definicin del permutadorf f fxx xx ya que i jx x xc c cc cc cc co= === = =cc c= = = = =c c c0 i j = ( )3 1 2,1 2 3, ,2, , , ,, , ,3 3,( ) ( )( ) 2ii iim n i m i n m n i im n in mm n m n ii m i n n i m imi n ni m i mi n i ni m i mi ni ni mi mnx x x xx xx x x xxx x x xx x xxx xx x x x xx x x xo oo o o o o o oo oc c c c= = V- = = + + =c c c c= + = +V = = + =+ = + = + = Por su parte la divergencia de un campo vectorial se describe como: ( )( ) ( ) ( )3 1 2,1 2 3,im miii iif f f ff fx x x xudivu u uxdiv u divu uu g u go|| | |o | o |c c c cV- = = = + + =c c c cc= V- = = =c= +V V- + = V- + V- Donde o, | en la ltima ecuacin son constantes que multiplican a las funciones tensoriales , u g.Divergencia de una diada La divergencia de un tensor de rango mayor o igual a dos se puede expresar como: Mecnica del Medio Continuo Dr. Armando Ortiz prado36 UDIATEM ,,2ijij j ijTji j iTT T txA A au uc= = V- =cV- = =V-V = V Sea) (r Tun campo tensorial de 2do orden. La divergencia de T es definida como el campo vectorial, tal que para cualquier vector a. ( ) ( ) ( ) a T tr a T div a divTT TV = - ) (Considerando coordenadas rectangulares 0 = VieSeadivT b =( ) ( )T Tij i i idivT b be divTe trT e = = = V( )mimm imxTe T divcc= = 0imimexTdivTcc= Para coordenadas cilndricas la divergencia de z rT u est dada por: ( )zTrT T Tr rTdivTrz rr r rrrcc++cc+cc=uu uu1 ( )1r r r zT T T T TdivTr r r zu uu u u uuuc c + c= + + +c c c ( )1z zr zz zrzT T T TdivTr r z ruuc c c= + + +c c c Mientras que para coordenadas esfricas ) (u| rT - Vest dada por: Mecnica del Medio Continuo Dr. Armando Ortiz prado37 UDIATEM ( ) ( )( )rT T Trsensen TrsenT rr rdivTrrrr r|| uu |u| u uuu+cc+cc+cc=1 1 122 ( ) ( )( )331 1 1r rrT T T TCot T sendivT r Tr r rsen rsen ru| u u || uuuuu uu u u |c cc= + + +c c c ( ) ( )( )rCot T T T Trsensen TrsenT rr rdivTr rru| u uuuu| | | || |u| |+ +cc+cc+cc=1 1 133 El Rotacional de un tensor V se caracteriza por no modificar el rango, de tal forma que el tensor resultante tendr el mismo rango del original, en particular para un campo vectorial se describe como:u rot u V = El rotacional de un vectorv es definido por el campo vectorial dado por dos veces el vector dual 2, de la parte antisimtricadev V . Empleando el permutador se expresa tambin como:, i imn m na u c = mi imnnuaxcc=c Si el campo vectorialuse define a partir del gradiente de una funcin escalar, de la formau | = V, entonces se cumplirqueelcamporesultantantesedefinecomoirrotacional: 0 u V =,porlotanto( )2,0imn mn imnm nux x|| c | ccV = VV = = =c c Se cumplir tambin que; ( ) ( )u u u o o o V = V +V , donde oes un tensor de rango cero.Algunas identidades de inters: ( ) ( ) ( )u g u g o | o | V + = V + V, donde o, | son constantes. ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )u v v u u vu v vu uv v u u vV- = -V -VV =V- V- + -V -V ( ) ( ) ( ) ( ) ( )u v v u u v v u u v V - = V + V + -V + -V ( ) ( )22u u udonde u representa al Laplaciano u uVV = VV- VV = V-V ( ) ( )2 2 2iiiu u u V = V = V Mecnica del Medio Continuo Dr. Armando Ortiz prado38 UDIATEM Para el rotacional de un campo tensorial se tiene que: ( )TTA A V = V Si A es un tensor de 2 orden A V ser tambin tensor de 2 orden. Operador u -V, en notacin ndice se expresa jjuxcc ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 221 12 2u u u u u u u udonde u u u-V = V V = V +V = - En el caso del gradiente de un vector se tiene que: ( )( ),,ii jijjj Tj iijiuu uxuu uxcV = =ccV = =c La aplicacin sucesiva del operador gradiente se expresa: ( )( ),,ijijTij| || | |VV =VV = VV = Donde | representa un tensor de rango cero. De lo antes expuesto se concluye que el nmero de veces en que se aplique el operador gradiente ser igual al incremento en el rango del tensor resultante. Para el caso del gradiente de un campo tensorial en coordenadas rectangulares se tiene:,ijij k ijkkTT Mxc= =c Mecnica del Medio Continuo Dr. Armando Ortiz prado39 UDIATEM ,( )ijijk ij kkAA axcV = =c ( ),,i jkSi A uentonces A u u u = V V = VV = VV = A lo cual se denomina como segundo gradiente deu, por su parte 2, i kku u V = ; razn por la cual el Laplaciano del vector representa, como ya fue mencionado, tambin un vector. Laplaciano de un Tensor de segundo rango Sean ija las componentes de un tensor de segundo rangoA, por lo que , ijk ij kc a =, trminos que representan el tensor de tercer orden generado por A V. Resulta evidente que , , ijk m ij km ijkmc a A = =, cual representa un tensor de cuarto rango, este tensor es denominado segundo gradiente deA y descrito comoA VV. Por su parte al tensor , ij kka representa las componentes de un tensor de segundo orden al cual se define como Laplaciano de2A V,entoncesresultaquesiArepresentauntensordesegundogradoelLaplacianodesteestardado tambin por un tensor del mismo rango. Por ltimo se puede constatar que losoperadores 2, , y VV-V V son operadores diferenciales lineales en el clculo tensorial. Se cumplir entonces que: ( )( )( )( )( )2 2 2u v u vA B A BA B A BA B A BA B A Bo | o |o | o |o | o |o | o |o | o |V + = V + VV + = V + VV- + = V- + V-V + = V + VV + = V + V Donde , uvsontensoresderangouno(vectores); , ABsontensoresderangosuperiory , o|son escalares. Derivada direccional y derivada normal. Unaecuacindelaforma ( )ix K | =,dondeKesunaconstante,representaunasuperficieenelespacio tridimensional, para la cual su normal est dada por | V. Es por tanto que en cualquier puntox de la superficie ( )ix K | =,elvector | Vestdirigidoalolargodelanormaldelasuperficie;porloqueelvectornormal unitario est dado por: Mecnica del Medio Continuo Dr. Armando Ortiz prado40 UDIATEM n||V=V. Seaa un vector inclinado un ngulo ucon respecto a la normal | V, entonces: ( )a n a Cos | | | u V - = V - = V Elescalar a | V -representalacomponentede | Valolargodea,locualesusualmentedescritocomo aa||c= V -c, a lo que se denomina como derivada direccional de | a lo largo dea. La derivada direccional de |sobrelanormalnesdenominadaderivadanormalde n||c | | |c\ ..Portalmotivosetieneque nn|| |c= V - = Vc.Resulta por dems evidente que a| cc es mxima cuando el ngulo u descrito entre estos vectores es igual a cero, por tanto se cumple que maxa n| | c c=c c, por lo que la derivada normal representa el mximo de todas las derivadas direccionales del campo escalar | que describe la superficie. n nn|| |c | |V = V - = - |c\ . 1.10 Teoremas integrales para vectores En esta parte del curso se presentaran los teoremas integrales de mayor relevancia en el estudio de la MMC; stos sonelteoremadeladivergenciayeldeStokes.Porsusimplicacionesenelcursoseharnfasisenlas implicaciones que stos tienen. Teorema de la divergencia SeaVelvolumendeunaregintridimensionallimitadaporunasuperficiecerradaS,entoncesparauncampo vectorialu definido en V y en S, se cumplir que: Mecnica del Medio Continuo Dr. Armando Ortiz prado41 UDIATEM ,( ) ( ) " " " "expV Skk k kV SudV u ndS donde nes el vector normal unitarioa Sennotacinndicelarelacinanterior se resa comou dV u ndSV- ==} }} } ii ii S Vuu n dS dVxc=c} } Larelacinanterior(teoremadeladivergencia)permiterelacionarunaintegraldevolumen,paratransformarla en una de superficie, esto a travs del vector normal unitario (n). El teorema de la divergencia permite desarrollar algunas relaciones, de tal forma que se cumplir que: ,k kV S V SdV ndS ennotacinndice dV ndS | | | | V = =} } } } ,( ) ( )ijk k j ijk j kV S V SudV n udS u dV n u dS c c V = =} } } } 2( ) , ,kk k kV S V SdV n dS dV n dS | | | | V = V =} } } }( )2, ,( )i kk k i kV S V Su dV n udS u dV n u dS V = V =} } } } Vector solenoidal Laintegraldesuperficie Su ndS} esdenominadacomoflujonormaldesalidaoflujodeuatravsdeS.Un vectorsersolenoidalenunareginsisuflujoatravsdecualquiersuperficiecerradaescero.Apartirdel teoremadeladivergencia,estosignificaqueu essolenoidalenunareginconectadasimplesiyslosi0 u V- = enesaregin.Uncampovectorialcuyadivergenciaesigualacerosedenominavectordelibrede divergencia (divergence free vector). Un campo vectorial es solenoidal en una regin conectada simple si y slo si es libre de divergencia. Mecnica del Medio Continuo Dr. Armando Ortiz prado42 UDIATEM Cuandosecumpleque( ) 0 divrot u = ,loquerepresentaesqueelvectordefinidoporrot u esunvectorde libre de divergencia para cada vector en u. Esto permite demostrar que cualquier vector de libre de divergencia u definido en una regin conectada simple puede ser representado como: u w = Vdonde w es asimismo un vector libre de divergencia y se le conoce como vector potencial de u Teorema de Stokes As como el teorema de Gauss relaciona una integral sobre un volumen cerrado con una integral sobre su superficie lmite. El teorema de Stokes relaciona una integral de lnea alrededor de la curva lmite de la superficie, de tal forma que: Sea C una curva cerrada en un espacio tridimensional yS una superficie regular abierta limitada porC, entonces para un campo vectorial u definido tanto en S como en C, se cumple: ( )sCu t ds u ndS =} V -}

Donde t es un vector tangente unitario aC, el cual se asume, est orientado positivamente en relacinal vector normal unitario n de S. La ecuacin anterior en notacin ndice se expresa como: , i i s ijk k j iCu t ds u n dS c =}} (a) Si S es una superficie cerrada, entonces el lado izquierdo se reduce a cero, entonces se cumplir: Mecnica del Medio Continuo Dr. Armando Ortiz prado43 UDIATEM ( ),0 0ijk k j issu ndS u n dS c V - = =} } Esta ecuacin tambin se desarrolla a partir del teorema de la divergencia aplicado au VUncasoparticulardelaecuacin(a)escuandoCquedacontenidaenunplano 1 2x x ySeslapartedelplano limitado por C. La expresin (a) se reduce a: 1 1 2 2 2,1 1, 2 1 2( ) ( )Cu dx udx u u dx dx + = } } donde u1 , u2son las componentes u en x1 , x2 Este caso particular del teorema de Stokes se denomina como teorema de Green en el plano. Algunas relaciones que se establecen con base en la ecuacin (a) son: , i ijk j kC S C St ds n dS t ds u dS | | | c | = V =} } } } ( ) ( ) ( )TC Su t ds u n u n dS( = V- V } } en notacin ndice , ,2( )( ) ( )ijk j k kk i ki kC SC Sut ds u n u n dSu t ds u n u dS nc = c(V = V- V (c } }} } , , ,( )ijk k j i kk i ikkC Su t ds u nu dSncc(= (c } } Donde |representauncampoescalartantodefinidoenScomoenlatrayectoriaC.Eltermino tdses frecuentemente descrito a travs dedx, por lo que el termino se describe como( )ct dx}en lugar de ( )Ct ds}. Vectores conservativos e irrotacionales Laintegraldetrayectoria ,i iC Cu t ds u t dS -} } representalaintegralde] [ t u alrededordeCyse denomina circulacin de u alrededor de C. Mecnica del Medio Continuo Dr. Armando Ortiz prado44 UDIATEM Unvectorudefinidoenunareginsedefinecomoconservativosisutrayectoria(circulacin)sobreunacurva cerrada es cero, de manera equivalente si el valor de la integral BAu tds -} depende solamente de los lmites A y B Elvectorsediceirrotacionalsi 0 u V =ApartirdelteoremadeStokes,estorepresentaenunaregin conectada simple que un vector es conservativo si y slo si es irrotacional en la regin. Si 0 | VV =, se tendr entonces que,| Ves un vector irrotacional para cualquier campo escalar| . Entonces sepuedeprobarquecualquiervectorirrotacionaludefinidoenunareginsimpleconectadapuedeser representado como: | V = uEntonces| sedenominacomopotencialescalardeu.Sielvectoruesalavezirrotacional,entonces02= V u ; en este caso se denomina al vector u como vector armnico. Representacin de Helmholtz Un vector libre de divergencia tiene la representacin: u w =V Mientrasqueuncampodevelocidadesodesplazamientossepuededescribirapartirdeunafuncinescalar( | ) a travs de la siguiente relacin, donde u representa un vector irrotacional: | V = uUnarepresentacinvalidaparaunvectorgeneral,conocidacomolarepresentacindeHelmholtzseexpresa como: } =VdVx xx ux v) (41) (t Dondeurepresentauncampovectorial,atravsdelcualsedefineuncampov,detalformaqueV esel volumende laregindonde sedefineuylaintegralestomadavariandox sobreV,manteniendoaxcomoun punto fijo. Se puede probar que: Mecnica del Medio Continuo Dr. Armando Ortiz prado45 UDIATEM 2v uu wdonde vw v||V == V +V= V-= V Entonces, dado un campo vectorial u, donde existe un campo escalar|y un campo vectorial w, tal que u tiene la representacindeHelmholtz;esconvenientenotarqueelvectorwutilizadoenlarepresentacinesunvector libre de divergencia. Teoremas integrales para tensores de rango superior a uno. LosteoremasdeladivergenciaydeStokessepuedenextenderacampostensorialesderangosuperioraluno; comoenelcasodeuncampovectorial,laintegraldeuncampotensorialesdefinidacomoelcampotensorial cuyos elementos son las integrales de las componentes del campo dado. Teorema de la divergencia aplicado a una diada: Sea V el volumen de una regin tridimensional limitada por una superficie regular cerrada S; entonces el campo tensorial definido en V y en Ses V SAdV AndS V- =} } Donde n representa el vector normal unitario asociado a la superficie S. Esto tambin se puede expresar como: ijij jj S VTT n dS dVxc=c} } Teorema de Stokes para una diada: Sea C una curva cerrada en un espacio tridimensional y S una superficie limitada tanto en S como en C, entonces se cumplir que: ( )TC SAt ds A ndS = V} } Donde t es la tangente unitaria a C, la cual se asume est orientada positivamente al vector normal unitario n de S. Mecnica del Medio Continuo Dr. Armando Ortiz prado46 UDIATEM 1.11 Formulas de Transporte EstosteoremassondegranutilidadenlaMMC,enparticularparaeldesarrollodelasecuaciones generales. Permiten correlacionar derivadas materiales de integrales de trayectoria, superficie y volumen con sus correspondientes ecuaciones integrodiferenciales de trayectoria, superficie o volumen. Esto es las formulasdetransportepermitencorrelacionarlavariacinporunidaddetiempodeunapropiedadA sobreunelementodecontrol,igualandoestoconlavariacindebidaalcambiodelapropiedaddelas partculas que integran el sistema menos la variacin debida a los flujos convectivos netos de la propiedad A a travs del entorno. Lo antes expuesto se expresa como sigue: { }C CD Ddx v dxDt Dt|| | = + V} }. {( ( )) ( ) }TS SD DndS v v ndSDt Dt|| | | = + V- V} } ( ( )V VD DdV v dVDt Dt|| | = + V-} }. Sea |; escalar componente de vector o tensor en su descripcin eulariana C-curva trayectoria material A, S-superficie material (del medio continuo) B-Cuerpo o medio continuo cuya superficie es S y la curva que la delimita es C V-volumen de B v-velocidad Teorema de transporte de Reynolds Considere una funcin de la forma( ) ,iT x t , la cual corresponde conun tensor de cualquier rango. Esta funcin seexpresaencoordenadasespaciales(eulerianasytiempo).Porejemplo( ) ,iT x t puederepresentarlafuncin densidad( ) , x t ,cantidaddemovimiento( ) ( ) , , x t v x t ,etc.Porloquelacantidaddelapropiedad ( ) ,iT x t en el cuerpo B cuyo volumen en el instante t es V, est dada por: Mecnica del Medio Continuo Dr. Armando Ortiz prado47 UDIATEM ( ),VT x t dV} el volumen contiene la misma cantidad de partculas materiales para cualquier tiempo, asociado a ste se define una superficie( ) S tque contiene en su interior al volumen V. Si se pretende evaluar el cambio de la propiedad ( ) ,iT x t asociada al cuerpo B de volumen V se tendr que: ( )( )( )( )( )( ),,,,V V SV VT x tDT x t dV dV T v n dSDt tDT x tDT x t dV T v dVDt Dtc= + -c| |= + V- |\ .} } }} } Esta ltima expresin corresponde precisamente con la terceraecuacin anteriormente planteada como frmula de transporte al considerar el anlisis a travs de un volumen material (V). 1.12 Coordenadas Curvilneas (a)Coordenadas cilndricas. Para el caso de una base curvilnea de la forma: ( ) z r P P , ,u =Se tiene que: ( )212221x x r + =12 1tanxx= u2 1e Sen e Cos eru u + =2 1e Cos e Sen e u uu+ =Los vectores base unitarios re y euvaran en direccin cuando la coordenada se modifica, por consecuencia de las expresiones anteriores se tiene que: Mecnica del Medio Continuo Dr. Armando Ortiz prado48 UDIATEM 1 1 2 2 rde Cos de Send e Sende Cos d e u uu u uu = + +1 20 de de = =2 1e d Cos e d Sen deru u u u + =1 1 2 2de Cos d e Sende Send e Cos deuuu u uu u = +2 1e d Sen e Cosd de u u uu =uud e der=uud e der =( )r re dr rde dr + =( ) ( )rdr dr e rd euu = + Componentes del gradiente de( ) u , r , donde| | | |u u uu e rd dre e a e a dr dr r r+ - + = - V =donde ua ar,son las componentes del Ven las direcciones ue y er respectivamente. u urd a dr a dr+ =(i) uu d drrdcc+cc= .........(ii) Entonces de (i) y (ii) deben representar el mismo resultado para todo incrementou d dr,u ucc=cc= rarar;Entonces: uu ererrcc+cc= V1 | | uu u u ud drre rd dre er rerr rcc+cc= +((

cc+cc 1 De lo antes expuesto se tiene que el gradiente de una funcin escalar( ) z r , ,u est dado por: u uu ezererrcc+cc+cc= V1. Mecnica del Medio Continuo Dr. Armando Ortiz prado49 UDIATEM Siguiendo el mismo procedimiento para una funcin vectorial en coordenadas polares: ( ) ( )u uu u u e r v e r v r v vr r) , ( , , + = =| |(((((

|.|

\|cccc|.|

\|cccc= Vrr rvvr rvvvr rvvuuu uu11 Por lo que para una funcin vectorial ( ) z r v v , , u = , su gradiente est definido por: ((((((((

cc|.|

\|cccccc|.|

\|+cccccc|.|

\|cccc= Vzv vr rvzvvvr rvzvvvr rvvz z zrr r ruuuu u uu111 zvvrvr rvTraza v v divzrrcc+ |.|

\|+cc+cc= = - V =u1 ( )uu uuT T T v tr divvrr+ + = V = ((((

= Vzz z zrz rrz r rrT T TT T TT T Tvuu uu uu Componentes de la divergencia de un tensor de 2do ordenLa definicin de divergencia de un tensor de 2do orden es: ( ) ( ) ( )T TT a tr a T div a divT V = - ) (para un vector arbitrario a Si ie a = , entonces ( ) ( ) ( )Tr rTrT e tr e T div divT V = ) (Mecnica del Medio Continuo Dr. Armando Ortiz prado50 UDIATEM u ue T e T e Tr r rr rT+ =( ) ( ) ( ) ( )u ue T e T div e T divr r rr rT+ =( )rrr rrrTTTr rTe T div +cc+cc=uu1 ( )rTT e trTruu= V( )rT T Tr rTdivTrr r rrruu uu++cc+cc= 1 ( )rT T Tr rTdivTr r r u u uu uuu++cc+cc=1 Considerando coordenadas cilndricas se tiene que) ; , , ( t z r T u - V est dado por: ( )zTrT T Tr rTdivTrz rr r rrrcc++cc+cc=uu uu1 ( )zTrT T Tr rTdivTz r r rcc+++cc+cc=u u u uu uuu1 ( )rTzT Tr rTdivTzr zz z zrz+cc+cc+cc=uu1 Coordenadas Esfricas( ) | u, , r Mecnica del Medio Continuo Dr. Armando Ortiz prado51 UDIATEM Gradiente de una funcin escalar de la forma( ) | u , , r = | u|u u ersenererrcc+cc+cc= V1 1 Sea( ) | u, , r v v =una funcin vectorial, entonces: ((((((((

+ +||.|

\|cc||.|

\|cccc||.|

\|cc|.|

\|+cccc||.|

\|cc|.|

\|cccc= Vrvrvvrsenvr rvvvrsenvvr rvsen vvrsenvvr rvvrrr r ru| u uu| u uu| u uu| | ||u u u| ucot 1 1cos1 11 1 ( )( )|uu|u|u | u | u uuuevr rrvrerrvrvrsenevrsensen vrsenv rot vr rr||.|

\|cc |.|

\|cc+||.|

\|||.|

\|cccc+||.|

\|cccc= = V1 11 11 1 rvrvvrsenvvr rvv div vrrru| u uu|ucot 1 1+ +cc+ |.|

\|+cc+cc= = - V| u uuu|ucc+cc+||.|

\|cc=vrsensen vrsen rv rrr1 1 122 ( )( )( )rT T Trsensen Trsen rT rrdivTrrrrr|| uu |u| uuu u+cc+cc+||.|

\|cc=1 1 122 ( )( )( )rT T T Trsensen Trsen rT rrdivTr rru| uuu u|| u u u|uuuucot1 1 133 +cc+cc+||.|

\|cc=( )( )( )rT T T Trsensen Trsen rT rrdivTr r ru| uuu uu| | | |||u||cot1 1 133+ +cc+cc+||.|

\|cc= Mecnica del Medio Continuo Dr. Armando Ortiz prado52 UDIATEM Captulo 1 Ejercicios Resueltos 1.El tensor deformacin infinitesimal( ) cse expresa como: | |12B I c = Tdonde B FF =B Tensor de deformacin Cauchy Greenpor izquierdaa su vez XF I uF Gradiente de deformacin= +V ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 3, , , ,Xi i i iu Gradiente del vector desplazamientosu X t u X t e u X t e u X t eV = + + Con base en lo antes expuestos determine el tensor de deformacin infinitesimal en funcin del gradiente del vector desplazamientos( )Xu V , as mismo exprese ( )ijcen notacin ndice. Solucin: | |( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )12;1 12 21 12 2TT T TTT Tj ji iijj i m mB IB FF F I uB FF I u I u I u u u uu u u uu uu uX X X Xccc= = = +V= = +V + +V = +V +V +V V (= V +V + V V ( c cc c= + + (c c c c ( 2.El tensor Langragiano de deformacin( ) Ese expresa en notacin ndice como: 1 12 2ji m mijj i i juu u uEX X X X| | | | cc c c= + + || ||c c c c\ . \ . Con base en lo antes expuesto desarrolle las componentes de deformacin 11 31 23, , E E EAsimismo compruebe si en notacin general la siguiente expresin es equivalente a: Mecnica del Medio Continuo Dr. Armando Ortiz prado53 UDIATEM ( )( )( )( )1 12 2T TX X X XE u u u u = V +V + V VSolucin: 2 2 23 1 1 2111 1 1 112u u u uEX X X X (| | | | | | c c c c ( = + + + |||c c c c (\ . \ . \ . 3 3 3 1 1 1 2 2311 3 1 3 1 3 1 31 12 2u u u u u u u uEX X X X X X X X | | | | | | | | | | | | | | | | c c c c c c c c = + + + + ` `||||||||c c c c c c c c \ . \ . \ . \ . \ . \ . \ . \ . ) ) 3 3 3 2 1 1 2 2233 2 2 3 2 3 2 31 12 21 12 2ji m mijj i i ju u u u u u u uEX X X X X X X Xuu u uEX X X X | | | | | | | | | | | | | | | | c c c c c c c c = + + + + ` `||||||||c c c c c c c c \ . \ . \ . \ . \ . \ . \ . \ . ) ) | | | | c | | | | c c c = + + || `|| ||c c c c\ . \ . \ . \ . )( ) { } ( )1 12 2T Tu u u u = V +V + V V ` ) 3.Desarrolle la expresin ik k jAx xPor facilidad solo trabaje con los ndices" , " i jCul es el rango del tensorque describe la expresin anterior? Solucin: ik k j ijAx x B Tensor de rango dos = 1 1 1 2 1 32 1 2 2 2 33 1 3 2 3 3k k k k k kij k k k k k kk k k k k kAx x Ax x Ax xB A x x A x x A x xAx x Ax x Ax x ( (=( ( 4.La rotacin entre bases se expresa mediante un tensor ortogonal" " Q , el cual se define a travs de los csenos directores definidos entre la nueva base( )ix'y la base original ( )jx , de tal forma que: ij i jQ Cos x x ' =Verifique si los valores que se presentan en la siguiente tabla permiten describir la rotacin de los ejes. Mecnica del Medio Continuo Dr. Armando Ortiz prado54 UDIATEM 1e 2e 3e 1e'27 37 67 2e'37 6727 3e' --- Asimismo determine los csenos directores que permiten definir a 3e'Solucin:Cosenos directores ij i jQ Cosx x ' =2 2 22 2 22 3 6 4 9 3617 7 7 49 49 493 6 2 9 36 417 7 7 49 49 49| | | | | |+ + = + + = |||\ . \ . \ .| | | | | |+ + = + + = |||\ . \ . \ . 1 2 31 2 36 36 18 4 12 93 6 27 7 749 49 493 6 27 7 7e e ee e e+ | | | | | |= + + |||\ . \ . \ . 1 2 36 2 37 7 7e e e + 1e 2e 3e 1e27 37 67 2e37 67 27 3e67 27 37 5. Si v es una funcin vectorial 1 2 3( , , ) v x x xdetermine: v Vv V-Mecnica del Medio Continuo Dr. Armando Ortiz prado55 UDIATEM v V( ) v V-VSolucin: 1 1 11 2 311 12 132 2 221 22 231 2 331 32 333 3 31 2 33 1 21 2 31 2 33 2 111 2 3 2 3 31 2 3 v v vx x xV V Vv v vv V V Vx x xV V Vv v vx x xv v vvx x xe e ev v vv ex x x x x xv v v ( c c c (c c c ( ( (c c c (V = = ( (c c c ( ( (c c c (c c c ( c c cV- = + +c c c| | c c c c c cV = = + |c c c c c c\ .3 2 12 31 1 2 v v ve ex x x| | | | c c c + ||c c c\ . \ . ( )2 2 2 2 2 2 2 2 23 3 3 1 1 1 2 2 21 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 21 2 3 1 2 3 1 2 3 inmm j mv v v v v v v v v vv V e e ex x x x x x x x x x x x| |((( | | | | | | c c c c c c c c c c c cV-V = = = + + + + + + + + |(((||| |c c c c c c c c c c c c\ . \ . \ . \ . Captulo 1 Ejercicios propuestos. 1.Desarrolle i j ijb x a =2.Desarrolle= =3131 i iij ijb a 3.Desarrolle= = =31313i i r kki ij ijc b a 4.Determine si se cumple que: ji ji ij ijb a b a =5.Demuestre si( )k j i jik k j i kij jki ijkx x x a x x x a a a 3 = + +6.Demuestre s ( )Tij ji ija a a det det det = =7.El tensor Langragiano de deformacin( ) Ese expresa en notacin ndice como: 1 12 2ji m mijj i i juu u uEX X X X| | | | cc c c= + + || ||c c c c\ . \ . Mecnica del Medio Continuo Dr. Armando Ortiz prado56 UDIATEM Con base en lo antes expuesto desarrolle las componentes de deformacin 33 31 23, , E E E8.Desarrolle la expresin im n jAx x Por facilidad solo trabaje con los ndices" , " i jCul es el rango del tensor que describe la expresin anterior? 9.Explique lo que es un tensor qu representa su rango? Cuntos elementos se necesitan para definirlos? Con relacin a las cantidades fsicas asociadas a un medio continuo indique cuando menos una que se represente con un tensor de rango: Cero Uno Dos Tres 10.Si ijT representa un tensor de 2do orden, ines uno de primer orden, y o representan constantes. Entonces escriba en forma desarrollada la siguiente expresin: 0 = i j ijn n T oAsimismo demuestre la validez de la siguiente expresin:0ij j i ij ij jT n n T no oo| | = = |\ . 11.Desarrolle la siguiente expresin: ij ij ii ijE S E T 2 + =Considerando que, 1 3 i j a =12.Dado ij kk ij ijE E T o ) ( 2 + = . Demuestre que: 2) (2 21kk ij ij ij ijE E E E T W + = =13. Que se deber cumplir para que0 x x aj i ij= para toda. xi 14. Siij ji ij jiaa ,y b- b = = demuestre que 0 b aij ij= . 15 Si) c (c b y, a aji ij ij ji ij+ = = demuestre que ij. ij ij ijc a b a =16. Cuales de las siguientes expresiones tiene el mismo significado?: b b a , b b a , b b a , b a , b a , b ar s sr q p pq j i ij p pq s rs j ij 17. Si ij ij ji ijij jia (bb)yc (b- b) = + = verifique que s. 0 c aij ij= 18.Verifique s: Mecnica del Medio Continuo Dr. Armando Ortiz prado57 UDIATEM 3, 3,ij mj ij jk ik jk jm ij kmo o o o o o o o o = = = 19.Dados |||.|

\|=3 0 32 1 02 0 1ijS | | 3 , 2 , 1 =iaDetermine: a) ij ijS Sb) m ma ac) j ija Sd) iiSe) n m mna a S 20. Demuestres( ) ( ) c b a c b a - = - 21. Demuestre s( ) ( ) ( ) a b a c b b c a c b a q o = - - = 22. Demuestre s( ) ( ) ( ) c b c b a b c a c b a o = - - = 23. Demuestre s ( ) ( ) ( ) 0 = = a c b si solo y si bxc a c b a 24. Demuestre s para tensores arbitrariosA y B, y vectores a, b: se cumple que: a.( ) ( ) ( ) b B A a b B a AT = b.( ) bxa = ( )a B BT 21 S kj ijk iB b c = 2c.a A b b A aT = 25. Demuestre si existe correspondencia entre las ecuaciones indicadas con subndices y las matriciales ij ijD B =| | | |TD B = i ij jb B a =| | | || | b B a =Mecnica del Medio Continuo Dr. Armando Ortiz prado58 UDIATEM ik ij kjD B C =| | | || | D B C = 26. Qu representan los eigenvalores y los eigenvectores de un tensor? 27. Demuestre que para un tensor ortogonal:I Q Q QQT T= = 28. Que caracteriza a un tensor isotrpico? 29. Para la siguiente diada determine: a).- eigenvalores. b).-Matrizdetransformacin( ) Q delabaseoriginalaladefinidaporlasdireccionesdelosvalores caractersticos. c).- Qu caractersticas deber cumplir la matriz de transformacin( ) Q ? Compruebe esto. d).- Compruebe que la matriz( ) Q permite transformarde la base original a la base nueva. e).- Determine la componente esfrica y desviadora del tensor. 20 4.9 04.9 10 00 0 10T| | |= | |\ . 30.SeaTunatransformacinlacualaloperarelvectorasedefinecomoaaTa= ,dondea esel mdulo del vector a. Demuestre que T no representa una transformacin lineal. 31. Sean T y S dos tensores, demuestre s a) TTes un tensor, b) T T TS T S T ) ( + = + , c) T T TS T TS + = ) ( 32.Si ie y ie' sonlosvectoresunitarios quecorrespondena2 sistemascoordenadoscartesianos,donde ie'corresponde con la rotacin de ie , desarrolle el sistema de ecuaciones que permiten transformar ie'a Mecnica del Medio Continuo Dr. Armando Ortiz prado59 UDIATEM partir de) (n ni i ie Q e e = ' . Donde ijQrepresenta en lo anterior defina la matriz de transformacin entre iey ie' . 33. Un sistema de ejes coordenados cartesianos 3 2 1, , x x x ' ' 'es obtenido por la rotacin de un ngulo ualrededor del eje 3x. Con base en lo anterior defina el tensor que transforma de la base original 3 2 1, , x x xa la base rotada 3 2 1, , x x x ' ' ' . Con base en lo anterior defina las componentes del vector ( ) ( ) { }2 2 21 2 3 1 3 1 2 2 3 v XX X e X X e X e o = + +en la nueva base cuyos vectores unitarios son ie' . 34. Qu es un tensor ortogonal?, Qu propiedades tienen estos tensores? 35. Demuestre que un tensor de segundo orden se puede descomponer en dos tensores, un simtrico y el otro antisimtrico. Cuantos trminos linealmente independiente se requieren para definir a cada uno de estos nuevos tensores?. 36. Determine las eigenvalores y eigenvectores asociados a: 2 1/ 2 1/ 21/ 2 4 3/ 21/ 2 3/ 2 6ijT| | |= | | |\ . 37. Determine los valores principales de: 6 8 08 11 30 3 10ijN| | |= | |\ . 38. Determine los eigenvalores y los eigenvectores asociados: |||.|

\|=3 4 04 5 00 0 2ijT39. Determine los eigenvalores y los eigenvectores asociados: Mecnica del Medio Continuo Dr. Armando Ortiz prado60 UDIATEM |||.|

\| =5 20 1520 10 815 8 45ijC40. Determine los eigenvalores y los eigenvectores asociados: |||.|

\|=0 0 00 0 100 10 25ijA41. La ecuacin caracterstica de tensor( ) Tes ( )0ij ijT o =siendo esta una ecuacin cbica en , de la forma: 3 21 2 30 I I I + =demuestre que: 1 ii ijI T traza del tensor T = =( )( )21 2ii ji ij jiI T T T T = ( )( )3det 1 6 2 3ij ij jk ki ji ji kk ii jj kkI T T TT T T T T T T( = = + 42. Los ngulos entre el sistema de referencia original y el nuevo sistema coordenado estn, posiblemente, dados por los datos de la tabla. Compruebe si este conjunto de ngulos representa el tensor de transformacin entre el sistema iey l ie' . X1X2 X3 X1 9013545 X2 1359045 X3 454590 Si el desplazamiento se expresa en el sistema original como: 3123 2122132 1ln exxx exxexx xu + + = a)Defina el desplazamiento con relacin a la nueva base. b)Defina el tensor de deformacin en la nueva base, as como en la base original 43. Si el tensor de deformacin se define como. Determine esta tanto en iecomo en ie'Mecnica del Medio Continuo Dr. Armando Ortiz prado61 UDIATEM 44. El tensor Langrangiano de deformacinEse expresa en notacin general como: ( )( )( )( )1 12 2T TX X X XE u u u u = V +V + V VDesarrolle los trminos( ) , , , ,rr zrE E E si u ur zuuu = 45. La rotacin entre bases se expresa mediante un tensor ortogonal, el cual se define a travs de los csenos directores definidos entre la nueva base( )ix'y la base original ( )jx , de tal forma que: ij i jQ Cos x x ' =Verifique si los valores que se presentan en la siguiente tabla permiten describir la rotacin de los ejes. 1e 2e 3e 1e'27 37 67 2e' 3e' -37 67 - 27- Asimismo determine los csenos directores que permiten definir a 46. El tensor deformacin infinitesimal( ) cse expresa como: | |12B I c = Tdonde B FF =B Tensor de deformacin Cauchy Green por izquierdaa su vez XF I uF Gradiente de deformacin= +V Mecnica del Medio Continuo Dr. Armando Ortiz prado62 UDIATEM ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 3, , , ,Xi i i iu Gradiente del vector desplazamientosu X t u X t e u X t e u X t eV = + + Con base en lo antes expuestos determine el tensor de deformacin infinitesimal en funcin del gradiente del vector desplazamientos( )Xu V , as mismo exprese ( )ijcen notacin ndice. 47.EltensorQdefineunatransformacinentreejes.Sielcambiodebaseseproducealrotar30al sistema alrededor del eje 1x , Determine Q, asimismo compruebe que se trata de un tensor ortogonal. 48. Calcule div T para el siguiente campo tensorial en coordenadas esfricas: 32rBA Trr = , 0 ,3= = = + = =u| | u || uuT T TrBA T Tr r 49. Considere el vector 322 223 121e x e x e x v + + = , para el punto(1, 1, 0) determine: a)v Vb)( )v v Vc) divv 50.Siendov unafuncinvectorialexpresesugradienteencoordenadasrectangulares,cilndricasy esfricas. 51.Si, , T v representantensoresderangocero,unoydosrespectivamentedefinaencoordenadas rectangulares, esfricas y cilndricas lo siguiente; a)V b)Vv c).T V 52. Calcule la divu para los siguientes campos vectoriales (definidos stos en coordenadas cilndricas) a), 0 = =uu ur 2Br A uz+ =b) rsenuru= ,0 =uu ,0 =zuc) 2rsenuru= , 2cosruuu = ,0 =zu 53. Si es una funcin escalar de la forma) , , ( z r u , determine: VMecnica del Medio Continuo Dr. Armando Ortiz prado63 UDIATEM 54. Si v es una funcin vectorial) , , ( z r v udetermine: v V( )vdiv vrot vdiv vV V 55. Si es una funcin escalar de la forma) , , ( | u rdetermine: V 56. Si" " ves una funcin vectorial) , , ( | u r vdetermine: ( )vdiv vrot vdiv vV V 57. Para( , , ) u u r z u = , donde" " uest definida como: a) 2rru senu = ,cos2ruuu = ,0 =zub) 2rsenuru= , 2cosruuu= ,0 =zuDetermine, , u u u V V V 58. Calcule( ) | u, , r u Vpara: 2rBAr ur+ = ,0 = =| uu u 59. Sea T un tensor de segundo orden ( , , ) T Tr z u = , tal que: Mecnica del Medio Continuo Dr. Armando Ortiz prado64 UDIATEM 5233Rz rRAzTrr = , 3RAzT =uu, ((

+ =5333RzRAzTzz, ((

+ =5233RrzRATrz 0 = =u u r zT T , donde2 2 2z r R + =DetermineT V 60. Para) , , ( z r T udeterminedivT2rBA Trr+ = ,2rBA T =uu,C Tzz =0 = = =z rz rT T Tu u 61. Para) , , ( | u r TdeterminedivT32rBA Trr+ = , 3rBA T T + = =|| uu 0 = = =|| | uT T Tr r 62. Si v es una funcin vectorial 1 2 3( , , ) v x x xdetermine: v Vv V-v V( ) v V-V Mecnica del Medio Continuo Dr. Armando Ortiz prado65 UDIATEM 2. Cinemtica del Continuo 2.1 Introduccin. Elobjetodelamecnica,entrminosgenerales,esrelativoalestudiodelefectoquetienensolicitacionestales comofuerzasoflujodecalorsobreunobjetofsico.Tantolamecnicadeslidoscomoladefluidosfueron cimentadas durante la segunda mitad del siglo XVIII y primera del siglo XIX, esto por notables cientficos como: Leonard Euler (1707-1783), Agustn Louis Couchy (1789-1857), Simeon Denis Poisson (1781-1840), George Green (1793-1841)yGeorgeStokes(1819-1903)entrelosmsdestacados.Elexamendelosfundamentosdeestas disciplinasrevelaquelospostuladosbsicosylosprincipiosgeneralessobrelosquesebasanlaMecnicade Slidos(MS)ylaMecnicadeFluidos(MF)sonlosmismos.Lasecuacionesmatemticasquedescribenleyes fsicasaplicablesacualquiermediosondenominadascomoEcuacionesGeneralesysonaplicadasacualquier MedioContinuo(MC).Sinembargoresultaevidentequefluidosyslidossonmuydiferentesenesencia,porlo quesuspropiedadessedescribenenformaparticular;estoatravsdelasdenominadascomoEcuaciones Constitutivas.Comoyafuemencionadoaliniciodelprimercaptulolasecuacionesquedescribenel comportamientodeunmedioidealizadoinfinitamentedivisiblealcualsedenominacomoContinuosedefinen como Ecuaciones Generales, y stas son formuladas con base a leyes fundamentales de la fsica (Conservacin de Masa, de Momentum y de Energa). Histricamente los conceptos de esfuerzo y deformacin fueron introducidos por Couchy entre 1823 y 1827. El desarrollo de la cinemtica del continuo y las ecuaciones de campo se deben en esencia a Euler. En cuanto a las ecuaciones constitutivas, stas han sido desarrolladas por dos diferentes vas: i. Experimental. Como por ejemplo; Ley de Hooke para slidos elsticos; Ley de Newton para fluidos viscosos ii. A partir de postulados tericos. NocindeContinuo.Comoyafuemencionadoenelcaptulo1losconstituyentesdecualquiercontinuo (tomos,molculas,fasesopartculas)noseencuentrancontinuamentedistribuidassobreelcuerpo.Espor consecuencia que la Mecnicadel Continuo se basa en la condicin macroscpica del objeto. Es entonces que un MCserunobjetofsicohipotticoenelcualsedespreciasuestructuraanivelatmicoomolecular,ypor consecuenciaseconsideraquelamateriaestcontinuamentedistribuidasobrelatotalidaddelobjeto.Porlo tantounMCpuedeserdescritocomounconjuntodepartculasinterconectadasdeformatalquecadaunade stas es descrita por su posicin espacial. En este punto vale la pena reflexionar que existe una relacin nica de cualquierpartculadelMCconsuposicinparauntiempodeterminadoyqueporconsecuenciaserimposible quemsdeunaocupenelmismolugarenelespacioparaelmismotiempoyqueunapartculaestendos posicionesdiferentesaunmismotiempo.Esentoncesqueparacualquiertiempolaposicindecualquier partculadeuncontinuoylaconfiguracindestesonunvocamentedeterminadas.Unapartedeuncontinuo cuya posicin es referida a un punto geomtrico se describe como punto material. Una parte de un continuo cuya posicinseidentificaatravsdeunacurvasedenominacurvamaterialoarcomaterial.Unarcomaterialde longitud infinitesimal se denomina arco material elemental. Un cuerpo material ocupa una posicin en el espacio tridimensional y ser parte total o parcial de un continuo. Por ltimo es conveniente mencionar que cuando una descripcin se realiza con base en la partcula se define a sta como Descripcin Material, mientras que cuando la atencin(descripcindefenmeno)seorientaaunpuntoenelespacioyseanalizaloquesucedeendicho Mecnica del Medio Continuo Dr. Armando Ortiz prado66 UDIATEM punto;serefiereentoncesaunaDescripcinEspacial.EnlaMecnicadeSlidosesmstilladescripcin material, mientras que en la Mecnica de Fluidos es ms adecuada la descripcin espacial. 2.2. Conceptos Generales de Cinemtica del Continuo Ladescripcindelmovimientodeuncontinuoesmuchomscomplejaqueloquecorrespondeauna partcula o un conjunto de ellas en cinemtica de partculas la trayectoria es descrita por un vector funcin del tiempo: ( )( ) ( ) ( ) ( ) posicin de vector el es e t x e t x e t x t rt r r3 3 2 2 1 1 + + == ResultaevidentequesisedescribeelmovimientodeNpartculassernecesariodefinirigualnmerode funciones de trayectoria. ( ) N n t r ru u........., , 3 , 2 , 1 = =Por su parte un medio continuo est formado (considerando su definicin) por un nmero infinito de partculas; con un infinito nmero de vecinos en el tiempo. Es por tal motivo que resulta imposible describir su movimiento a travsdesimplesfuncionesdetrayectoria,estoporextensindelconceptoempleadoparaungrupode partculas.Sinembargoexisteunarelacinunivocaentrecadaunodeloselementosqueconstituyeelmedio continuoylaposicinqueestosocupan.Comoconsecuenciaesfactibleidentificaracualquierelemento diferencial del cuerpo, y para cualquier tiempo, por la posicin que ocupa para un tiempo de referencia 0t . Esto es:( ) ( )3 2 1 0, , X X X t p = Como consecuencia la posicin que ocupa cualquier partcula de MC en el tiempo se puede describir como: ( ) ( ) X t x con t X x x = =0,Mecnica del Medio Continuo Dr. Armando Ortiz prado67 UDIATEM ( )( )( )( ) t X x xt X X X x xt X X X x xt X X X x xi i i,, , ,, , ,, , ,3 2 1 3 33 2 1 2 23 2 1 1 1====(2-1) 2,3 Descripcin Material y Descripcin Espacial Ladescripcindelaposicin,paraeltiempodereferencia,decadaunodeloselementosdiferencialesque integranelmediocontinuoseconocecomocoordenadasmateriales( )iX ,mientrasquelasecuaciones2.1 permitendescribirelmovimientodelcontinuo.Estasecuacionesdescribenloquesedenominacomolneasde trayectoriafuncionesdetrayectoriaparacadapartculadelcontinuo.stastambinsondenominadascomo ecuaciones cinemticas. Cuandouncontinuoestenmovimiento,laspropiedadesasociadasaste,porejemplo;temperaturau , velocidad iv , esfuerzos ijoestn relacionadas a cada uno de los elementos que constituyen el MC, razn por la cual se definirn en la forma: ( )( )( ) t X X Xt X X X v vt X X X, , ,, , ,, , ,3 2 13 2 13 2 1o ou u=== En el caso en que una propiedad|(|de cualquier rango), de la forma( ) t Xi, | | =se define a sta como una descripcin material o Lagrangiana. Dicha descripcin permite conocer el comportamiento del MC para cualquier tiempo pero no aporta datos con relacin a la posicin que ocupan las diferentes partculas para cualquier tiempo ( ) t .La descripcin material o Langragiana describe el comportamiento en funcin de una referencia fija. PorotrapartecuandolaspropiedadesasociadasalMCsedescribenparaelespacioencualquiertiempo,enla forma: ( )( )( ) t x x xt x x x v vt x x x, , ,, , ,, , ,3 2 13 2 13 2 1o ou u=== SedefineastacomodescripcinespacialEuleriana.Sibienestetipodedescripcinpermitedefinirloque pasaenelespacio,noofreceinformacinconrelacinaloselementosqueconstituyenelcontinuo(al comportamiento de las partculas en s), ya que una coordenada en el espacio puede ser ocupada por diferentes partculasparadiferentestiempos.Esportantonecesarioconocerlasfuncionesdetrayectoria(2.1),paraas relacionarlascoordenadasespaciales ix conlasmateriales jX ,ydetalformadescribirelcomportamientode manera precisa y simple. Mecnica del Medio Continuo Dr. Armando Ortiz prado68 UDIATEM 2.4Derivada Material Cundoserefiereaunapropiedadcualquieraasociadaaunmediocontinuo,delaforma) , ( t Xi| | = ,yen particular si se demanda analizar el cambio de dicha propiedad (temperatura, velocidad o esfuerzo) en el tiempo, sedefineelconceptodederivadamaterial |.|

\|DtD.starepresentalarapidezdecambiodelapropiedadpara cada uno de los elementos diferenciales que constituyen el MC. Cuando se tiene una descripcin material Por ejemplo( ) t X X X , , ,3 2 1u u =Entoncesfija Xit DtD|.|

\|cc=u u Si se cuenta con una descripcin espacial Por ejemplo( ) t x x x , , ,3 2 1u u =Donde ix sonlasposicionesde partculasmaterialesaun tiempo" "tyestnrelacionadasconlascoordenadas materiales a travs de: ( ) t X X X x xi, , ,3 2 1=De acuerdo a la regla de la cadena se tiene: fija x fija Xc it txx txx txx t DtD|.|

\|cc+cccc+cccc+cccc=|.|

\|cc=u u u u u u332211 Donde resulta evidente que: |.|

\|=cciivtx Considerando coordenadas rectangulares se tiene entonces que: iifija xxvt DtDicc+|.|

\|cc=u u u En forma general Mecnica del Medio Continuo Dr. Armando Ortiz prado69 UDIATEM ( )vt DtDuu uV +|.|

\|cc= De lo antes expuesto, para coordenadas cilndricas, se tiene:0 ( ) t z r , , , u u u = , donde ues una funcin escalar, entonces: ( ) ( ); , , ; , ,r zD t R Z t r zvv vDt t r r zuu u uu u uuO cc c c| |= + + + |c c cc \ . Por su parte en coordenadas esfricas se tiene: ( ) t r , , ,| u u u =||.|

\|cc+cc+cc+cc=|u| uu u u u|ursenvrvrvt DtDr Derivada Material de un tensor de primer rango. Seaialaaceleracindeunapartculadelcontinuo,starepresentalarapidezdecambiodevelocidadde cualquierpartculadelMC,conrespectoalaquelamismapartculapresentabaparaunadiferencialdetiempo anterior. Si el movimiento del continuo est dado por: ( ) t X x x , =con( )0, t X x X =entonces la velocidad" "v , a un tiempo" "t , de una partcula X est dada por: DtDxtxvfija Xi=|.|

\|cc= Por su parte la aceleracin queda: DtDvtvafija Xi=|.|

\|cc= Entoncessise cuentaconunadescripcinde lavelocidaddelaforma( ) t X v , laobtencinde laaceleracines trivial. Mecnica del Medio Continuo Dr. Armando Ortiz prado70 UDIATEM ( )tt X vai iicc=, Porotrapartesideloquesedisponees( ) t x vi, ,queademsrepresentalaformamsusualparadescribirla velocidad, entonces la aceleracin queda:jiji iixvvtvDtDvacc+cc= = en notacin general: ( )v vtva V +cc=Dado quev Ven coordenadas( ) z r , ,u , est dado por: ((((((((

cc|.|

\|cccccc|.|

\|+cccccc|.|

\|cccc= Vzv vr rvzvvrvr rvzvvvr rvvz z zrr r ruuu u uu111 Entonces la aceleracin en coordenadas cilndricas es descrita como: ( ) ( )zvv vvrvrvvtt z r vDtt Z R Dvarzr rrr rrcc+ |.|

\|cc+ |.|

\|cc+cc=O=uuuu ; , , ; , , ( ) ( )zvv vvrvrvvtt z r vDtt Z R Dvaz r rcc+ |.|

\|+cc+ |.|

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\|cc+cc=O=uuu; , , ; , , Para el caso de coordenadas esfricas, donde la velocidad se expresa en la forma: ( ) ( )| | u u| u | u | u e t r v e t r v e t r v vr r ; , , ) ; , , ( ; , , + + =Donde el gradiente se expresa como: Mecnica del Medio Continuo Dr. Armando Ortiz prado71 UDIATEM ((((((((

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\|cccc= Vrvrvvrsenvr rvvvrsenvvr rvsen vvrsenvvr rvv