Apuntes de Medidas de Tendencia Central (1)

8/18/2019 Apuntes de Medidas de Tendencia Central (1)

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Apuntes de Medidas de Tendencia Central -- Prof. Juarez Esteban Eduardo 2012

1 Medidas de Tendencia Central: www.wikipedia.com.ar/estadística/nocionesbásicas

Mendenhal William “Estadistica Elemental, lo esencial ” Editorial Tohomson 1990.

Medida de Resumen

Una vez tabulados los datos en la forma más conveniente, pasamos a la tercera etapa, que

consiste en el análisis y medición de datos.

La comparación de distribuciones de frecuencias se hace relativamente fácil mediante los gráficos,

pero cuando se trata de comparar tablas con muy abundantes datos, la tarea es compleja y se

hace poco clara.

Generalmente existe una tendencia a agruparse alrededor de ciertos valores centrales llamados

medidas o parámetros de posición. Los parámetros correspondientes a distribuciones con una

variable se pueden clasificar del siguiente modo: - Medidas de centralización - Medidas de

dispersión y - Medidas de Posición.

Las Medidas de centralización son parámetros estadísticos alrededor de los cuales sedistribuyen los datos de la distribución y se toman como el centro de la misma. Las más

importantes son la Media, la Mediana y la Moda.

Las Medidas de Dispersión son parámetros estadísticos que indican cuánto se alejan del

centro los valores de la distribución. Las más importantes son la Desviación típica y la

Varianza.

Las Medidas de Posición sirven para indicar la proporción de individuos de la distribución

que hay antes y después de un determinado valor. Las más importantes son los cuartiles y

los percentiles o centiles.

En este año solo verán las Medidas de Centralización

Media Aritmética

Mediana

Moda

Y en la cuarta Unidad en Epidemiología se verán

Tasa

Razón

Proporción


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Medidas de Tendencia Central

1)

Media Aritmética: es igual a la suma de todos los valores dividida por el número de

observaciones, no es más que lo que se conoce en el lenguaje vulgar como Promedio y se

simboliza: X

Como ejemplo: Consideremos 10 pacientes de las siguientes edades: 21, 32, 15, 59, 60, 61, 64, 60,

71, 80.

Debemos calcular la Media Aritmética o Promedio. Sumar todos los valores y dividirlo por la

cantidad de observaciones. IMPORTANTE, TRATEMOS SIEMPRE DE ACOMODAR LOS VALORES DE

MENOR A MAYOR.

X = 15+ 21+ 32+ 59+ 60+ 60+ 61+ 64+ 71+ 80 = 523 = 52.3 AÑOS

10 10

Podemos decir que la edad promedio o la media esta alrededor de los 52 años de edad.

Formalmente la formula es la siguiente:

Media ( X ) = Σ x Sumatoria de X, dividido n (observaciones)

n

2)

Mediana: es el valor de la características que deja a cada lado igual número de cifras, se

Simboliza: Me

Continuando con en el ejemplo anterior, no se olviden de acomodar los datos de menor a mayor.

15 , 21 , 32 , 59 , 60 , 60 , 61 , 64 , 71 , 80

Como se puede observar en este ejemplo el número de observaciones es par (10 individuos), los

dos valores que se encuentran en el medio son 60 y 60.

15 , 21 , 32 , 59 , 60 , 60 , 61 , 64 , 71 , 80 : en la mitad de 60 dividen los números de

observaciones, en este caso lo que se realiza es sumar los dos números 60 + 60 y dividirlo por 2


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60+60 = 60

2

El ejemplo anterior los datos son 10, que pasa si los datos son impares, es más fácil sacar lamediana, por ejemplo:

15 , 21 , 32 , 59 , 60 , 63, 60 , 61 , 64 , 71 , 80 : Como son 11 datos esta claro que el dato Nº 6 es

quien divide en partes iguales los datos, por ende será la mediana. Me= 63

Si la Media y la Mediana son relativamente iguales la Distribución de la variable, es simétrica.

3) Moda: éste es el valor de la variable que presenta una mayor frecuencia (es decir el valor quemayor veces se repite y de mayor valor) . Se simboliza Mo.

15 , 21 , 32 , 59 , 60 , 60 , 61 , 64 , 71 , 80= En el primer ejemplo corresponde al valor 60

El Cálculo de todas estas medidas depende de la Variable y Cantidad de Datos.

A continuación, veremos ejemplos de distintas Variables y diferentes cantidades de Datos.


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1 – VARIABLES DISCRETAS CON POCOS DATOS (MENOS DE 20 DATOS)

Ejemplo: Personas que concurrieron a la Atención del Centro de Salud durante un mes

Total de Datos 18.

14 – 5 – 5 – 8 – 6- 7 – 8 – 11 – 15 – 19 – 14 – 2 – 3 – 1 – 4 -7 – 18 - 10

Se recomienda acomodar los datos de Menor a Mayor.

1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 5 – 6 – 7 – 7 – 8 – 8 – 10 – 11 – 14 – 14 – 15 – 15 - 18

Media Aritmética : ( X )= Σ x = 1+2+3+4+5+5+6+7+7+8+8+10+11+14+14+15+15+18= 157 = 8.7

N 18

La Respuesta que debemos dar es en promedio fueron atendidas 9 personas aproximadamentepor día.

Mediana = 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 5 – 6 – 7 – 7 – 8 – 8 – 10 – 11 – 14 – 14 – 15 – 15 - 18

Me = 7 + 8 = 15/2 = 7,5

La Respuesta que debemos dar es que el 50% de los datos se encuentran por debajo o por encima

de 8 consultas diarias.

Moda : 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 5 – 6 – 7 – 7 – 8 – 8 – 10 – 11 – 14 – 14 – 15 – 15 - 18

Mo = 15

La Respuesta que debemos dar es que lo más común en días que se atienden son 15 personas


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2 – VARIABLES DISCRETAS CON MÁS DE 20 DATOS

Ejemplo: Viviendas encuestadas según habitantes por hogar – General Roca – Agosto 2008

Estos datos ya están ordenados de menor a Mayor

1 –1 –2-2-2-2-3-3-3-3-3-3-4-4-4-4-4-5-5-5-6-6 = 22 datos

Mejor es trabajar con tablas, y agregamos una columna extra para multiplicar

Media Aritmética = Σ xi*fi

n

Habitantes

(xi)

Viviendas

(fi)(xi)*(fi)

1 2 1x2=2

2 4 2x4=8

3 6 3x6=18

4 5 4x5=20

5 3 5x3=15

6 2 6x2=12

Total 22 75

Σ xi*fi = 75 = 3.409 = 3

n 22

La Respuesta que debemos dar es en Promedio hay 3 habitantes por Hogar.

Mediana: Seguimos utilizando los datos de la tabla anterior y sacamos la frecuencia Acumulada

Habitantes

(xi)

Viviendas

(fi)(xi)*(fi) Fa

1 2 1x2=2 2

2 4 2x4=8 6

3 6 3x6=18 12

4 5 4x5=20 17

5 3 5x3=15 20

6 2 6x2=12 22

Total 22 75

Datos totales son 22 / 2 = 11 esta comprendido en 3.


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Respuesta, es decir que el 50% de los datos se encuentran por debajo o por encima de 3

habitantes por viviendas.

Moda o Modo= Mo Mirando el cuadro anterior podemos indicar a partir de la frecuencia el dato

que contiene mayor frecuencia es el 3.

Respuesta, lo más común en encontrar son viviendas con 3 habitantes.

3 – VARIABLES CONTINUAS

a)

Con pocos datos el tratamiento es igual a Variables Discretas con pocos datos. Por tal

motivo pasamos a Variables Continuas

b) Variables Continuas con muchos datos, el primer paso es Hacer Intervalos de Clases.

Variables Continuas con muchos datos.

Es importante armar los Intervalos de Clase y sacar el Punto Medio o Marca de Clase.

Media Aritmética = Σ (PM x fi)

n

Ejemplo: Pacientes Hipertensos según el momento de la consulta

Edad Paciente (fi) Punto Medio (xi) (fi)*( xi)

[20 – 30) 6 25 6x25= 150

[30 – 40) 5 35 5x35= 175

[40 – 50) 10 45 10x45= 450

[50 – 60) 5 55 5x55= 275

[60 – 70) 4 65 4x65= 260

Total 30 1310

Media Aritmética = Σ (PM x fi) = 1310 = 43.66 = 44 años

n 30


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Respuesta el promedio de edad de los pacientes Hipertensos al momento de la consulta es de 44años.

Mediana: con datos agrupados y características cuantitativa continua, lleva una pequeña formulaque a simple vista suele parecer difícil aplicación, solo es cuestión de analizar con detenimiento:

Li + [(Σ fi / 2 – F a-1 ) ] * C

f

Li : Es el límite inferior de la clase que contiene la Mediana

F a-1 : es la frecuencia Acumulada anterior a dicha clase

fi: es la frecuencia absoluta simple correspondiente a esa clase

C: Modulo de clase (Ls – Li) Limite superior menos limite inferior.

Armamos. Debemos sacar la frecuencia Acumulada

Edad Paciente (fi) Punto Medio (xi) (fi)*( xi) Fa

[20 – 30) 6 25 6x25= 150 6

[30 – 40) 5 35 5x35= 175 11

[40 – 50) 10 45 10x45= 450 21

[50 – 60) 5 55 5x55= 275 26

[60 – 70) 4 65 4x65= 260 30

Total 30 1310

Para realizar el cálculo de la mediana cuando los datos están agrupados se necesita calcular las

frecuencias acumuladas y se busca la mediana de orden

Mediana de orden (n/2) 30/2 = 15 este dato esta comprendido en el intervalo 40-50

Li= 40

F a-1 = 11 (frecuencia acumulada anterior al intervalo)

fi= 10 (frecuencia absoluta simple)

C = ( 50 – 40) = 10


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Armamos la formula

Li + [(Σ fi / 2 – F a-1 ) ] * C = 40 + [(15-11)]*10 = 40 + 4 = 44 Me

f 10

Respuesta: el 50% de los pacientes hipertenso están por debajo o por arriba de los 44 años de

edad.

Moda o Modo : Para hallar el modo se busca la frecuencia máxima, la clase que corresponde a

esa frecuencia es la Clase Modal, es decir la clase en la que debe caer el modo

Formula

Li + D1

D1 + D2

Li= Limite inferior de la clase modal

D1= La diferencia entre la frecuencia de esa clase y la frecuencia anterior

D2= La diferencia entre la frecuencia de esa clase y la frecuencia posterior inmediata.

C= Módulo de la clase (Ls – Li)

Edad Paciente (fi) Punto Medio (xi) (fi)*( xi) Fa

[20 – 30) 6 25 6x25= 150 6

[30 – 40) 5 35 5x35= 175 11

[40 – 50) 10 45 10x45= 450 21

[50 – 60) 5 55 5x55= 275 26

[60 – 70) 4 65 4x65= 260 30

Total 30 1310

Tomamos nuevamente el cuadro anterior, tomamos aquel parámetro que tiene las frecuencias

que mas se repiten.


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El intervalo en cuestión es 40 – 50, se comienza armar la formula

40 + 5 * 10 = Mo = 45 años.

5 + 5

Respuesta: en esta muestra la edad que mas se repite o más frecuente es 45 años y se encuentra

comprendido en el intervalo de edad entre 40 a 50 años.

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