Apuntes deOptica FsicaArturCarnicereIgnasiJuvellsUniversitatdeBarcelonaDepartamentdeFsicaAplicadai`Optica8deenerode20032IndiceGeneral1OpticaGeometrica 71.1Optica Geometrica Paraxial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.1 Postulados de laOptica Geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.2 Principio de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.3 Conceptos. Convenio de signos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.1.4 El Invariante de Abbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.1.5 Aumentos. Planos focales y principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.1.6 Ley de las lentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.1.7 Sistemas compuestos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.1.8 Lentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.1.9 Formacion de imagenes en una lente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.1.10 Formaci on de imagenes en un espejo esferico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.1.11 Limitaciones de luz y campo en sistemas opticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2 Instrumentos de proyeccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.2.1 Introducci on a los instrumentos de proyeccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.2.2 El ojo humano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.2.3 La camara fotogr aca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.2.4 Objetivos fotogr acos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.2.5 Sistemas de iluminacion de proyectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.3 Telescopios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.3.1 Introducci on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.3.2 Anteojo astron omico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.3.3 Anteojo de Galileo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.3.4 Anteojo terrestre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.3.5 Telescopios de espejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.4 Microscopios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.4.1 La lupa. El objetivo del microscopio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.4.2 El microscopio compuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272OpticaElectromagnetica 312.1 Ondas electromagneticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.1.1 Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.1.2 La ecuacion de ondas. Soluciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.1.3 Energa. Vector de Poynting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.2 Polarizaci on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3634INDICEGENERAL2.2.1 La elipse de polarizaci on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.2.2 Polarizaci on: casos particulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.2.3 Polarizadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.3 Propagaci on, reexi on y refraccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.3.1 Deduccion de las leyes de laOptica Geometrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.3.2 F ormulas de Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.3.3 An alisis de los coecientes de transmision y reexi on. . . . . . . . . . . . . . . . . 422.3.4 Factores de transmision y reexi on en intensidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.3.5 Estudio de la Reexi on Total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.4Optica de medios conductores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.4.1 Propagaci on en medios conductores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.5Optica de medios anisotropos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.5.1 Nomenclatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.5.2 Ecuaciones de Maxwell. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.5.3 Medios uniaxiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.5.4 L aminas retardadoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543 Interferencias 573.1 Coherencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.1.1 Coherencia temporal y monocromaticidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.1.2 Condiciones para obtener im agenes de interferencia estables . . . . . . . . . . . . . 583.2 Interferencias de Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.2.1 Descripcion del experimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.2.2 Dispositivos por obtener franjas de Young. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.2.3 Coherencia espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.3 Dispositivos intereferometricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.3.1 Interferencias en l aminas dielectricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.3.2 L aminas antirreejantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.3.3 El interfer ometro de Fabry-Perot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.3.4 Filtros interferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.3.5 Interfer ometros de Michelson y de Mach-Zehnder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714 Difraccion 754.1 Teora escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.1.1 Introducci on a la Teora Escalar de la Difracci on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.1.2 Ondas escalares. El teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.1.3 Teorema integral de Helmholtz-Kirchho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.1.4 Aplicaci on del teorema de Helmholtz-Kirchho a la difracci on. . . . . . . . . . . . 774.2 Aproximaciones de la Teoria Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804.2.1 F ormula de exacta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804.2.2 Difracci on de Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804.2.3 Difracci on de Fraunhofer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.3 Estudio de casos particulares en aproximaci on de Fraunhofer . . . . . . . . . . . . . . . . 824.3.1 Onda plana a traves de un objeto rectangular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824.3.2 Onda plana a traves de un objeto circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82INDICEGENERAL 54.3.3 Onda plana a traves de una estructura peri odica unidimensional . . . . . . . . . . 846INDICEGENERALCaptulo1OpticaGeometrica1.1OpticaGeometricaParaxial1.1.1 PostuladosdelaOpticaGeometricaDenimos el ndice de refracci on de un medion como el cocienten = c/v, dondec es la velocidad de laluz en el vaco yves la velocidad de la luz en el medio considerado. Los cinco postulados de laOpticaGeometrica se enuncian as:1. Las trayectorias en los medios homogeneos e isotropos son rectilneas.2. Seaunasuperciequeseparadosmediosde ndices nyn

. El rayoincidente, el reejado, eltransmitido o refractado y la direcci on normal a la supercie en el punto de incidencia est an en elmismo plano (plano de incidencia).3. Sean,

y

los angulos que forman el rayo incidente, el refractado y el reejado con la normal,respectivamente. El rayo incidente y el transmitido verican la ley de Snell: nsin() = n

sin(

).4. El rayo incidente y el reejado verican la ley de la reexi on:=

.5. Las trayectorias de la luz a traves de diferentes medios son reversibles.1.1.2 PrincipiodeFermatSeaunmediohomogeneoeisotropode ndicen. LaluzviajaentrelospuntosAyB, siguiendounatrayectoria rectilnea. Denimos el camino optico ABcomo el producto entre el ndice de refracci on yla distancias que recorre la luz entre los dos puntos, AB = nsAB. Si la luz atraviesa diferentes medios,el camino optico sera = nisi. (1.1)Si el medio es heterogeneo y el ndice de refracci on vara de punto a punto, la denici on de camino opticose convierte en la siguiente integral =

cnds (1.2)78 CAPITULO1.OPTICAGEOMETRICAFigura1.1: LeydeSnell Figura1.2: LeydelareexionEl principio de Fermat dice que para ir de A a B, la luz sigue un camino extremal (es decir, un caminomaximo o mnimo): =

cnds = 0. (1.3)TeoremadeMalus-DupinSisobrecadarayoquesaledeunfocoemisordeluztomamoscaminosopticosiguales, lospuntosquelimitan estos caminos generan una supercie que es normal a todos los rayos. Esta supercie se denominafrente de onda.1.1.3 Conceptos. ConveniodesignosSistemaopticoDenominamos sistema optico a un conjunto de supercies que separan medios con ndices de refracci ondiferentes. Si lassuperciessonderevolucion, ysuscentrosestanalineados, larectaquelosunesedenominaeje optico. Elpuntoemisordedondesalenlosrayossedenominaobjeto; elpuntodondesejuntanlosrayos,unavezpasadoelsistema opticoeslaimagen. Silosrayospasanfsicamenteporunpunto se denomina real. El punto es virtual si llegan o salen las prolongaciones de los rayos. El conjuntode puntos objeto forma el espacio objeto mientras que el conjunto de puntos imagen conforma el espacioimagen.SistemaopticoperfectoUn sistema optico es perfecto si se puede establecer una relacion de semejanza entre todo el espacio objetoytodoel espacioimagen. Sepuededemostrarqueestacondici onnoesfsicamenteviable. Podemosdeterminar unas nuevas condiciones menos restrictivas (condiciones de Maxwell):1.1.OPTICAGEOMETRICAPARAXIAL 91. Aunplanonormal enel eje opticoenel espacioobjetolecorrespondeotroplanonormal al ejeoptico en el espacio imagen.2. Todos los rayos que entran en el sistema partiendo de un punto pasan a la salida por otro punto(real o virtual).3. Todagura contenidaenunplanoperpendicularaleje,serepresenta comounagura semejantecontenida tambien en un plano perpendicular al eje, en el espacio imagen.Denicion de Condicion de stigmatismo: Un sistema se comporta stigmaticamente entre dos puntoscuando todos los rayos que salen de un punto objeto van a parar a un punto imagen (real o virtual).ConveniodesignosFigura1.3: Conveniodesignos. VariablesgeometricasValor positivo Valor negativoDistancias a lo largo s,s

Derecha de la supercie Izquierda de la superciedel ejeRadios de curvatura r Centro a la derecha de la supercie Centro a la izquierda de la supercieDistancias normales y,y

,h Sobre el eje optico Bajo el eje opticoal ejeAngulos de incidencia, ,

,

, Sentido horario Sentido antihorariorefraccion y reexi on ,

(girando hacia la normal) (girando hacia la normal)Angulos con el eje ,

, Sentido antihorario Sentido horario(girando hacia el eje optico) (girando hacia el eje optico)Tabla 1.1: Convenio de signos. Norma europeaOpticaparaxial. DenicionMuchasdelassituacionesqueseestudianenlaOpticaGeometricapresentancomoparticularidadquelos angulos con los cuales se trabaja son peque nos. Cuando se trabaja en estas condiciones se habla deOpticadeprimergrado o bienOpticaParaxial. En estos casos,la aproximaci on del seno o la tangente10 CAPITULO1.OPTICAGEOMETRICAdel angulo por su arco es valida: sin() , tan() . En estas condiciones, la ley de la refraccion seescriben = n

.1.1.4 ElInvariantedeAbbeElinvariantedeAbbedalaposiciondelaimagenapartirdelaposici ondeunpuntoobjeto(emisor)cuandoseproduceunarefracci onatravesdeunasupercieesfericaderadiorqueseparadosmediosde ndicesnyn

; sys

sonlasdistanciasdel objetoalasupercieydeestasuperciealaimagen,respectivamente. LaformuladelinvariantedeAbbeindicaquecualquierpardepuntosobjeto-imagenverica la relaci on de stigmatismo. Esta relacion es valida en condiciones paraxiales.n

1r 1s

= n

1r 1s

. (1.4)Esta formula se puede aplicar repetidamente para varias supercies aplicando la f ormula de paso:si+1 = s

idi,i+1, (1.5)que relaciona las distancias imagen y objeto de supercies consecutivas.Figura1.4: FormuladepasoentredossuperciesSi la supercie es un espejo, entoncesn

= n y la fomula se escribe1s +1s

=2r. (1.6)1.1.5 Aumentos. PlanosfocalesyprincipalesAumentolateralSe dene el aumento como la relacion de tama no entre la imagen y el objeto:

= y

/y. Para un sistemaconk supercies que separank + 1 medios, el aumento se puede calcular como

=n1nk+1ky=1s

isi(1.7)dondesiys

ison las distancias objeto e imagen parciales referidas a la superciei.1.1.OPTICAGEOMETRICAPARAXIAL 11Planosfocalesyplanosprincipales1. El punto del eje optico donde se cortan los rayos que provienen del innito y que son paralelos aleje optico se denomina foco imagen. De forma an aloga, el punto del eje optico que tiene por imagenel innito se denomina foco objeto.2. El plano perpendicular al eje optico que contiene el foco o punto focal se denomina plano focal. Losrayos que provienen del innito y que entran en el sistema optico formando un cierto angulo con eleje optico se cruzan en un punto del plano focal.3. Denominamos planos principales a dos planos conjugados perpendiculares al eje con aumento lateral

= 1 entre ellos. El punto de intersecci on entre las prolongaciones del rayo procedente del innito,y que es paralelo al eje optico, y del rayo que a la salida va a buscar el foco, marca la posici on delplano principal imagen H

. El plano principal objeto H se encuentra de forma an aloga, considerandoun rayo que pasa por el foco objeto. El conocimiento de los planos principales y focales nos da todala informacionnecesaria para el estudio de unsistema optico enprimerordenconindependenciade su complejidad.4. La distancia entre los planos principales y focales se denomina distancia focal o simplemente focal.Las focales objeto y imagen verican la relaci onff

= nn

. (1.8)5. En una supercie esferica, los planos principales H y H

se confunden con propia supercie esferica(jemonosqueestamosenaproximacionparaxial). Lasfocalessepuedencalcularutilizandoelinvariante de Abbe:f

= rn

n

nf= rnn

n(1.9)6. Elinversodeladistanciafocalimagensedenominapotenciadeunsistemaoptico = 1/f

ysemide en dioptras (1D = 1m1).1.1.6 LeydelaslentesEnunsistemaopticodenidopor las posiciones delos planos principales yfocales, severicanlasrelaciones siguienteszz

= ff

ns+n

s

=n

f

, (1.10)dondezes la posicion del objeto referidada al foco objeto yz

es la posicion de la imagen referidada alfoco imagen. Si los ndices extremos son iguales, caso habitual en las lentes y los instrumentos opticos,f= f

,zz

= f2 1s +1s

=1f

. (1.11)En este caso, el aumento lateral es

= s

/s.12 CAPITULO1.OPTICAGEOMETRICAFigura1.5: Leydelaslentes1.1.7 SistemascompuestosTenemos dos sistemas opticos bien denidos por sus planos principales y focales, dispuestos seg un se indicaenlagura1.6. Sepuededemostrarqueesposibledeterminarun unicosistema(sistemacompuesto)deplanosprincipalesyfocalesconjuntos, calculadosapartirdelosdecadasistema. Porlogeneral,cualquier sistema optico,independientemente de su complejidad,puede ser reducido a un unico par deplanosprincipalesyfocales. Estosuponeunanotablesimplicaci onenelestudioparaxialdesistemasopticos complejos, es decir, formados por muchas lentes o espejos.H'1 H1 H2 H' 2n1 n'1= n2 n'2f1f'1 t f2 f'2eF1 F' 1 F2 F' 2Figura1.6: SistemascompuestosA continuaci on se indican las f ormulas que permiten obtener la focal conjunta del sistema compuesto, ascomo las posiciones de sus planos principales y focales:Caso general,n1,n2,n

2n1 = n2 = n

2f

= f

1f

2ef

1+f2f

=f

1f

2f

1+f

2eH1H =ef1ef

1+f2H1H =ef

1f

1+f

2eH

2H

=ef

2ef

1+f2H

2H

= ef

2f

1+f

2eTabla 1.2: F ormulas de acoplamiento de sistemas1.1.OPTICAGEOMETRICAPARAXIAL 131.1.8 LentesLas lentessonla base delosinstrumentosopticos. Estanformadaspordos supercies refractivas(queaqu tomaremos esfericas de radiosr1 yr2), separadas una distanciae, que encierran un medio de ndicen. Podemos estudiar su funcionamiento consider andolas como sistemas compuestos,puesto que a cadasupercie esferica le podemos asignar sus planos principales y focales asociados. Aplicando las formulasdelossistemascompuestospodemosdeterminarestosvalores. Seann1yn

2los ndicesdelosmediosinicial y nal yn, el ndice del material del cual est a hecha la lente:Caso general,n1,n,n

2diferentesIndices extremos airen1 = n

2 = 11f

=nn1n

21r1+n

2nn

21r2+(nn1)(nn

2)nn

2er1r21f

= (n 1)

1r1 1r2

+(n1)2ner1r2H1H = en1r1/(nn1)enr1/(nn1)nr2/(n

2n)H1H =er1n(r1r2)e(n1)H

2H

=en

2r2/(n

2n)enr1/(nn1)nr2/(n

2n)H

2H

=er2n(r1r2)e(n1)Tabla 1.3: F ormulas de dise no de lentesLentesdelgadasSi el grosor de la lente es peque no frente a los radios de curvatura yn1 = n

2 = 1, se verica que1f

= (n 1) 1r11r2

H1H = 0 H

2H

= 0. (1.12)1.1.9 Formaci ondeimagenesenunalenteFormuladeformaci ondeimagenesenlaslentes(ndicesextremosiguales): 1s+1s

=1f

. Verguras1.7 a 1.14.1.1.10 Formaci ondeimagenesenunespejoesfericoFormula de formaci on de imagenes en espejos esfericos:1s +1s

=2r=1f

. Ver guras 1.15 a 1.22.1.1.11 Limitacionesdeluzycampoensistemas opticosDiafragmadeapertura. Dadounsistemaoptico, el elementoquelimitalacantidaddeluzqueatraviesael sistema(monturadelente, diafragmaintercalado, . . . ) sedenominadiafragmadeapertura. Suimagenenelespacioobjetoqueindicalamedidadelaaperturapordondepenetrala luz, recibe el nombre de pupiladeentrada. La imagen del diafragma de apertura en el espacioimagenqueindicalamedidadelaaperturapordondesalelaluz, recibeelnombredepupiladesalida.Diafragmadecampo. Dadounsistemaoptico, el elementoquelimitael tama nodel objetosedenominadiafragmadecampo. Suimagenenel espacioobjetorecibeel nombredelucarnadeentrada. La imagen del diafragma de campo en el espacio imagen recibe el nombre de lucarnadesalida.14 CAPITULO1.OPTICAGEOMETRICA-10-50510-3 -2 -1 0 1 2 3Figura1.7: Gracas

(s)paraunalenteconvergentedef

= 1mFigura1.8: Lenteconvergente. ObjetorealeimagenrealFigura1.9: Lenteconvergente. ObjetorealeimagenvirtualFigura1.10: Lenteconvergente. Objetovirtualeimagenreal1.1.OPTICAGEOMETRICAPARAXIAL 15-10-50510-3 -2 -1 0 1 2 3Figura1.11: Gr acas

(s)paraunalentedivergentedef

= 1mFigura1.12: Lentedivergente. ObjetorealeimagenvirtualFigura1.13: Lentedivergente. ObjetovirtualeimagenrealFigura1.14: Lentedivergente. Objetovirtualeimagenvirtual16 CAPITULO1.OPTICAGEOMETRICA-10-50510-3 -2 -1 0 1 2 3Figura1.15: Gr acas

(s)paraunespejoesfericoconvexodef

= 1mFigura1.16: Espejoesfericoconvexo. ObjetorealeimagenvirtualFigura1.17: Espejoesfericoconvexo. ObjetovirtualeimagenrealFigura1.18: Espejoesfericoconvexo. Objetovirtualeimagenvirtual1.1.OPTICAGEOMETRICAPARAXIAL 17-10-50510-3 -2 -1 0 1 2 3Figura1.19: Gr acas

(s)paraunespejoesfericoconcavodef

= 1mFigura1.20: Espejoesfericoconcavo. ObjetorealeimagenrealFigura1.21: Espejoesfericoconcavo. ObjetorealeimagenvirtualFigura1.22: Espejoesfericoconcavo. Objetovirtualeimagenreal18 CAPITULO1.OPTICAGEOMETRICA1.2 Instrumentosdeproyecci on1.2.1 Introducci onalosinstrumentosdeproyecci onLos instrumentos de proyeccion estan dise nados para formar la imagen de un objeto sobre un plano dereferencia. Normalmente estan constituidos por un sistema convergente,de manera que se obtiene unaimagen real a partir de un objeto tambien real. La fsica asociada a este problema puede ser explicada apartir de la f ormula de formaci on de imagen:1s +1s

=1f

, (1.13)donde sys

sonlas distancias entreel sistemaopticoyel objetoyel sistemaopticoylaimagen,respectivamente; f

esladistanciafocal del sistema. El aumentogeometrico

eslarelacionentredistanciass

ys:

=s

s . (1.14)El aumentoesnegativoenlossistemasproyectores(esdecir, laimagenobtenidaestainvertida). Si[

[< 1, la imagen es mas peque na que el objeto mientras que si [

[> 1 la imagen es mas grande queel objeto. Por ejemplo, habitualmente las c amaras fotogracas proyectan un objeto en una imagen quedebe tener las dimensiones del negativo fotograco. Esto corresponde al caso [

[< 1. A diferencia deesto, en un proyector de diapositivas lo que interesa es ver la imagen ampliada de una diapositiva sobreuna pantalla, y por lo tanto [

[ > 1.1.2.2 ElojohumanoEl estudiodel ojohumanodesdeel puntodevistadelosinstrumentos opticostieneuninteresdoble.Por una parte, se trata de un instrumento de proyecci on. Por otro lado, el dise no de algunos aparatos,comolostelescopiosylosmicroscopios, deberealizarseteniendoencuentael funcionamientodel ojo.Destaquemos sus partes mas importantes (vease la gura 1.23):El cristalino. Es una lente convergente de focal variable. La distancia s

esta jada, mientras que elojo enfoca a diferentes distancias. Recuerdese que debe vericarse la ley de las lentes, 1s +1s

=1f

.Este fenomeno se denomina acomodaci on; una persona puede ver ntidamente desde el innito hastaun punto pr oximo situado, por termino medio, a 25 cm del ojo.La retina y la f ovea. La retina es la parte del ojo donde se forma la imagen. La retina est a llena decelulas nerviosas sensibles a la luz que envan la informaci on de la se nal luminosa hacia el cerebro.La zona de la retina donde la imagen se forma con mayor nitidez se denomina f ovea.El iris. Se comporta como un diafragma. Se cierra cuando hay un exceso de luz y se abre cuandolas condiciones de luz son decientes.Un ojo miope es aquel que enfoca la imagen del innito en un plano situado antes de la retina. Estedefecto visual se corrige con el uso de lentes divergentes. Si la imagen del innito se forma detr asde la retina, el ojo es hipermetrope. Para corregir este defecto se utilizan lentes convergentes.1.2. INSTRUMENTOSDEPROYECCION 19Figura1.23: Esquemadelojohumano1.2.3 LacamarafotogracaFigura1.24: Esquemadelacamarafotogr acaDesdeel puntodevistaoptico, lacamarafotogr acaesmuyparecidoal ojo. Consisteenunsistemamovil delentesconvergentes(objetivo). Enel planodondeseformalaimagen, secolocalapelcula.Laposiciondeesteplanoestajada. Lac amaraenfocaunobjetosituadoaunaciertadistanciasdelmismo; modicando la posici on de la lente, se modica la distancias

, de manera que se verique la leydeformaciondeimagenes. 1s+1s

=1f

, haciendocoincidirel planodeformaci ondeimagenconlaposicion del plano que contiene la pelcula.El objetivoincorporaundiafragma(pupiladeentrada)queregulalacantidaddeluzquepenetraenel sistema. El maximoangulodecampoquepuedeentrarenel sistemaestacondicionadoporlasdimensiones del negativo (24 x 36 mm para pelcula estandar) y por la distancia objetivo-pelcula.Laaperturarelativasedenecomoelcocienteentreeldiametrodelapupiladeentradaylafocaldelsistema, y es una medida de la cantidad de luz que llega a la pelcula. Por otra parte, se dene el n umero20 CAPITULO1.OPTICAGEOMETRICAdediafragmaNcomoel valorinversodelaaperturarelativaN=f

/PE. LosvaloresdeNestanestandardizados (2,2.8,4,5.6,8,11,16,22). Estos valores siguen una progresi on geometrica de razon2. De esta manera, al aumentar N en un valor, la cantidad de luz se reduce a la mitad.En condiciones paraxiales, la imagen de un punto es un punto. Sin embargo, la pelcula fotogr aca estaconstituidadetalmodoquealincidirluzsobreunpuntodelapelcula,seregistraenelnegativounamancha de dimensiones nitas. Esta zona se denomina grano de la pelcula. Las pelculas mas sensibles(es decir, aquellas que necesitan menos luz para grabar una escena) presentan menos denici on (el tama nodel grano es mas grande). Por otra parte, las pelculas de mas denicion requieren buenas condiciones deluz por trabajar adecuadamente. El hecho que las pelculas presenten una resolucion limitada se traduceen los fenomenos de la profundidad de foco y la profundidad de campo.Figura1.25: ConceptodeprofundidaddefocoUn objeto situado a distancias delante de una lente de focalf

forma su imagen a distancias

. Sea 2rel di ametrodel granodelapelcula, supuestocircular. Seg unresultadelagura1.25, el planodelapelcula podra estar situar en cualquier sitio dentro la zona de im agenes enfocadas (2z

). Si enfocamosun objeto al innito,se verica z

= 2rN. Por lo tanto,cuanto m as cerrado este el objetivo (Nmasgrande), m as aumentara la profundidad de foco.Esteconceptopuedesertrasladadoal espacioobjeto: al jarladistanciasmoviendoel objetivoase-guramosqueenelplanoadistancias

delalenteseformaimagensiguiendolaf ormuladelaslentes.Ahora bien, todos los planos en un entorno del plano que se encuentra a distancias de la lente tambienquedar an enfocados a consecuencia de las dimensiones nitas del grano de la pelcula. Este fenomeno sedenomina profundidad de campo.1.2.4 ObjetivosfotogracosDelagura1.24sededucequeel angulom aximodecampoconel quepuedepenetrarlaluzenlacamara fotogr aca esta condicionado por el tama no de la pelcula fotogr aca y por la distancia imagens

lente-pelcula. Si interesa fotograar areas muy extensas,el angulo de campo m aximo debe ser muy1.2. INSTRUMENTOSDEPROYECCION 21grande. Para que pase esto, la distancia focal del objetivo tiene que ser peque na. Estos dispositivos sedenominan gran angulares, trabajan con angulos grandes, y por lo tanto, han de estar muy bien corregidosde aberraciones (distorsi on, coma, astigmatismo).Porotraparte, sifotograamoscondetalleunobjetolejano, el angulom aximodecampoespeque no.Esto implica que la distancia focal del objetivo tiene que ser grande por poder resolver el objeto. Existenproblemas pr acticos para utilizar lentes de focales muy grandes. Por ejemplo,utilizar una lente de 500mm, supone que entre la lente del objetivo y el negativo debe haber una distancia de unos 50 cm.Figura1.26: Sistemateleobjetivo. TrazadoderayosyposiciondelplanoprincipalyfocalParaconstruirsistemascompactos,seutilizanlosteleobjetivos,queconsistenenunalenteconvergenteyotradivergenteseparadasunadistanciae. Apartirdeltrazadoderayos, talycomoseindicaenlagura 1.26, se puede ver que el plano principal imagen se aleja y la distancia focal se hace grande. Estose consigue,con dimensiones razonables de la camara. Recuerdese que la focal conjunta de un sistemade dos lentes se calcula a partir de la relacionf

=f

1f

2f

1 +f

2e(1.15)Por lo tanto, con dos lentes, una convergente y el otra divergente, se puede obtener un rango de focalesmodicando la distanciae. El zoom es un teleobjetivo especial donde la distanciae es ajustable por elusuario. Deestemodoseconsigueunavariacioncontinuadelafocal y, enconsecuencia, el fot ografopuede encuadrar la escena de la forma mas adecuada.1.2.5 Sistemasdeiluminaci ondeproyectoresLosproyectoresconstandeunobjetivo(sistemadelentesconvergente), queproyectaunatransparen-ciasobreunapantalla. Normalmenteinteresaqueel aumentolateral seagrande. El problemaenlosproyectores es conseguir que la transparencia este uniformemente iluminada.22 CAPITULO1.OPTICAGEOMETRICAFigura1.27: SistemadeiluminacioncrticaUna posibilidad consiste en utilizar una bombilla y, mediante una lente denominada condensador, proyec-tar el lamento de la bombilla sobre la transparencia. En este sistema de iluminaci on, denominado ilu-minaci on crtica, el lamento aparece sobre la pantalla, la iluminaci on es poco uniforme y las zonas de latransparencia que soniluminadasdirectamentepor la bombillapuedendeteriorarse como consecuenciade la temperatura.Figura1.28: SistemadeiluminacionKohlerEl sistemadeiluminaci onK ohlerconsisteenformarlaimagendel lamentosobreel objetivoconlaayuda de la lente condensadora. La transparencia se coloca junto al condensador. As, el lamento no seproyecta sobre la pantalla y la transparencia recibe una luz m as uniforme.1.3 Telescopios1.3.1 Introducci onLos telescopios son instrumentos dise nados por observar objetos muy alejados. Se trata de sistemas afo-cales. Esto quiere decir que la imagen del innito a traves del telescopio esta tambien en el innito. De1.3. TELESCOPIOS 23igual manera que el microscopio, los telescopios se dise nan de forma que los rayos emergentes del instru-mento salgan paralelos, es decir, hacia el innito. De este modo, el ojo puede trabajar sin acomodaci on,y por lo tanto no se fuerza la vista mientras se utiliza el instrumento. Finalmente, la imagen del innitose proyecta sobre la retina.Los telescopios y los microscopios estan formados b asicamente por dos sistemas opticos: objetivo y ocular.El ocular del telescopio y del microscopio funcionan de manera an aloga. Se trata de un sistema de lentes,que tiene un plano focal objeto donde se forma la imagen producida por el objetivo y, por lo tanto, estase proyecta de nuevo hacia el innito a traves del ocular.1.3.2 Anteojoastron omicoEl anteojoastronomico es el telescopio mas simple. Consiste en dos sistemas de lentes convergentes: elobjetivo, de focal f

obj, y el ocular, con focal f

oc. El plano focal imagen del objetivo y el plano focal objetodel ocular son coincidentes. As, los rayos que provienen del innito forman una imagen intermedia en elplano focal com un. El ocular proyecta de nuevo esta imagen al innito. La gura 1.29 muestra el trazadode rayos a traves de un telescopio astronomico. Los rayos que entran paralelos al eje optico se cruzan enel punto focal imagen del objetivo; al atravesar el ocular vuelven a salir paralelos al eje optico. El rayoque entra por el extremo superior del objetivo sale ahora por debajo, indic andonos de forma gr aca queeste instrumento tendr a unaumento negativo. Los rayosque entranenel sistema,formando unciertoangulocon el eje optico, se cruzar an en un cierto punto del plano focal com un. Para determinar estepuntodeberecordarsequeel rayoquepasaporel centrodelalentenosedesva. Al pasarlosrayosatravesdelocular, estossalenparalelosformandoun angulo

conelejeoptico. Paradeterminarladireccion de salida, se ha indicado con lnea discontinua un rayo auxiliar que pasa por el punto del planofocal donde se han cruzado los rayos que entran en el sistema formando un angulo con el eje optico yque pasa sin desviarse por el centro del ocular.Enelplanofocalcom un,sesuelecolocareldiafragmadecampo. Eltama nodelaimagendelinnitoque se forma en este plano esta limitada por las dimensiones de este diafragma. El tama no de este objetointermedio es una medida directa del angulo m aximo que puede penetrar en el telescopio. Por otra parte,la limitacion sobre la cantidad de luz que penetra en el sistema (diafragma de apertura, DA) se encuentraen el objetivo. Como que no tenemos ning un sistema optico previo al objetivo, este se comporta comolapupiladeentrada(PE)delsistema. AlcalcularlaimagendelDAatravesdelocular,seobtienelaposicion y las dimensiones de la pupila de salida (PS). Este es el plano donde se debe colocar el ojo paraobservaratravesdel anteojo(planodeemergenciadepupila). Si nosjamosenel trazadoderayosen eje, se podra pensar que cualquier plano a partir del ocular sera adecuado para colocar el ojo. Sinembargo, al hacer el trazado en campo puede verse que la unica manera de no perder rayos es colocar elojo en la PS.Enlostelescopios, el aumentovienedadoporlarelaci onentreloqueseveatravesdel instrumentorespecto el que se vera a ojo desnudo. El aumento obtenido con este sistema es =tan(

)tan()= f

objf

oc= PEPS(1.16)Notese que este aumento es negativo. La formula del aumento se puede demostrar f acilmente a partir deequivalencias de tri angulos en la gura 1.29.24 CAPITULO1.OPTICAGEOMETRICAFigura1.29: Anteojoastron omico1.3.3 AnteojodeGalileoEl anteojo de Galileo es un instrumento con un dise no muy parecido al anteojo astron omica. Este ultimopresentaunaumentonegativoyporlotantogeneraunproblemadeordenpr acticoal utilizarloparaobservar objetos en la Tierra, ya que se ven las cosas invertidas. Para conseguir un aumento positivo, seutiliza una lente o sistema divergente como ocular. El plano focal imagendel objetivo y el plano focalobjeto del ocular son tambien coincidentes. Las guras 1.30 y 1.31 muestran el trazado de rayos en ejey en campo. Es f acil demostrar que aqu el aumento tambien se describe por =tan(

)tan()= f

objf

oc> 0. (1.17)Comoel valordef

ocesnegativo, yaquelalenteesdivergente, el aumentovisual del instrumentoespositivo.Para encontrar la posici on de la pupila de salida, se calcula la posici on de la imagen de la montura delobjetivo a traves del ocular. Esta se encuentra en el interior del telescopio,y en consecuencia el objetivono act ua de diafragma de apertura. El ojo se deber a acercar al maximo al ocular y mirar a traves. Laimagendel objetivolimitar ael campoqueverael ojo, porlotanto, el objetivohacedediafragmadecampo del conjunto telescopio-ojo y su imagen, de lucarna de salida.1.3.4 AnteojoterrestreEl anteojo terrestre es una alternativa para conseguir telescopios con aumento visual positivo sin que segeneren los problemas de vi neteo propios del anteojo de Galileo. Se trata de un anteojo astron omico alquesehaa nadidounalentedenominadainversora. Laimagendel innitoseformaenel planofocalimagen del objetivo. Esta imagen se proyecta a traves de la lente inversora, formandose una nueva imagenintermedia. El plano de formaci on de esta imagen es coincidente con el plano focal objeto del ocular, ypor lo tanto los rayos salen paralelos del sistema. Puesto que el aumento de la proyeccion a traves de lalente inversora es negativo, el aumento total es positivo.1.3. TELESCOPIOS 25Figura1.30: AnteojodeGalileo(trazadoderayoseneje)Figura1.31: AnteojodeGalileo(trazadoderayosencampo)Se puede demostrar que el anteojo terrestre tiene un aumento visual que es igual aat =tan(

)tan()= f

objf

oc.s

s= aa

inv(1.18)El aumentovisual enestecasoesigual al aumentovisual correspondienteal anteojoastronomicoaaque podramos construir sin inversora, multiplicado por el aumento lateral de la proyecci on de la imagenintermedia a traves de la lente inversora. Puesto que ambos aumentos parciales son negativos, el aumentototal es positivo.En este instrumento, el objetivo act ua como pupila de entrada. La posici on de la imagen de esta a travesde la inversora y el ocular, indica donde se debe poner el ojo. El diafragma de campo en este instrumentose encuentra situado equivalentemente en el plano focal imagen del objetivo o en plano focal objeto delocular, aunque normalmente se coloca en el segundo.26 CAPITULO1.OPTICAGEOMETRICAFigura1.32: Anteojoterrestre1.3.5 TelescopiosdeespejosBasandoseenel telescopioastronomico, sepuedendise nartelescopiosenloscualesel objetivoesunsistemadeespejosenvezdelentes. Estossistemaspuedenpresentarvaloresdef

objmuygrandes, loque supone grandes aberturas,y por lo tanto el instrumento es muy luminoso. Adem as,los espejos nopresentan aberracion cromatica. Los grandes telescopios presentan arquitecturas de este tipo. La gura1.33muestraunejemplodetelescopiodeespejos: aldeterminarlaposici ondelplanoprincipalobjetoobtenemos que la focal del objetivo es muy grande, lo que supone un valor del aumento muy elevado.Figura1.33: TelescopiodeCassegrain1.4 Microscopios1.4.1 Lalupa. ElobjetivodelmicroscopioUn microscopio es un sistema optico dise nado por observar objetos peque nos. Si queremos observar unobjeto de reducidas dimensiones, lo que haremos sera acercarnos a el cuanto sea posible, hasta la distanciamnima en la que ojo sea capaz acomodar. Esta distancia se denomina distancia del punto pr oximo y setoma, en promedio, de 250 mm.1.4. MICROSCOPIOS 27El microscopio esta basado en el funcionamiento de la lupa. Al mirar un objeto de altura y0 a ojo desnudo,situaremos el ojo a 250 mm del objeto. La tangente del angulo (vease gura 1.34) es tan() = y0/250.Si visualizamos ahora el objeto a traves de una lente convergente, podemos verlo con un cierto aumento.Colocamosel objeto en al plano focal objeto de esta lente (vease gura 1.35) y observamos. Los rayossaldr an paralelos despues de atravesar la lente. El rayo que pasa por el centro de la lente y el extremodel objeto formar an un angulo

respeto al eje optico. La tangente de este angulo sera tan(

) = y0/f.Por lo tanto, el aumento visual ser a =tan(

)tan()=250f

(la focal se ha de expresar en mm.) (1.19)Compruebese que este aumento es positivo.Figura1.34: ObservaciondeunobjetosininstrumentoFigura1.35: Observaciondeunobjetoconlupa1.4.2 ElmicroscopiocompuestoEl microscopio se dise na a nadiendo una etapa proyectora (objetivo) previa a la lente que actuar a de formaequivalente a una lupa (ocular). El objeto a observar se coloca a distancias del objetivo. La imagen atraves del objetivo se forma a distancia s

de esta lente. El plano donde se forma esta imagen intermedia28 CAPITULO1.OPTICAGEOMETRICAes coincidente con el plano focal objeto de la lente que act ua como lupa (ocular). Los rayos salen paralelosdespues de atravesar el ocular y as el ojo puede observar en condiciones de no acomodaci on.Figura1.36: MicroscopioSeatladistanciaentreelplanofocalimagendelobjetivoyelplanofocalobjetodelocular. Sepuededemostrar que el aumento visual de este instrumento es =tan(

)tan()= tf

obj250f

oc=

objoc, (1.20)esadecir, el aumentodel instrumentosecalculamultiplicandolosaumentosdel objetivo

objporlosaumentos del ocular oc. Como en el telescopio, el objetivo hace de diafragma de apertura. La imagendel objetivo a traves del ocular es la pupila de salida, donde se coloca el ojo. El diafragma de campo seencuentra situado en el plano focal objeto del ocular.Figura1.37: MicroscopioconiluminacionKohlerUn aspecto importante en el dise no de un microscopio es la iluminaci on de la muestra. Por ejemplo, sepuede utilizar un sistema de iluminaci o Kohler. La muestra se coloca en contacto con el condensador y1.4. MICROSCOPIOS 29por lo tanto, queda iluminada uniformemente. El esquema de este instrumento se puede observar en lagura 1.37.30 CAPITULO1.OPTICAGEOMETRICACaptulo2OpticaElectromagnetica2.1 Ondaselectromagneticas2.1.1 EcuacionesdeMaxwellEl formalismo b asico para describir los fen omenos electromagneticos relacionados con la optica ondulatoriason las ecuaciones de Maxwell. En el sistema CGS Gauss se escriben como:

H =4

jc+ 1c

Dt

E = 1c

Bt

D = 4

B = 0, (2.1)donde

Hes el campo magnetico,

Ees el campo electrico,

D es el vector desplazamiento,

Bes el vectorinducci onmagnetica,

jesladensidaddecorriente, esladensidaddecargaycesunaconstantedeproporcionalidad.Las ecuaciones de Maxwell se complementen con las denominadas relaciones constitutivas:

D =

E

B =

H

j =

E, (2.2)dondees la constante dielectrica, es la permeabilidad magnetica y es la conductividad electrica. Enun medio dielectrico homogeneo, isotropo y sin carga, = 0, = 0, y = constantes. Las ecuacionesse simplican:

H =

c

Et

E = c Ht

E = 0

H = 0. (2.3)3132 CAPITULO2.OPTICAELECTROMAGNETICACuando un campo electromagnetico cambia de medio, las componentes normales y tangenciales de esteverican las relaciones siguientes:Componentes normales: n( D2

D1) = 4sn( B2

B1) = 0Componentes tangencials: n ( E2

E1) = 0 n (

H2

H1) =4c

js, (2.4)dondenesel vectornormal alasupercie, ysy

jssonlasdensidadessupercialesdecargaydecorriente, respectivamente. Los subndices 1 y 2 hacen referencia a los campos en el medio original y enel medio en el que se transmiten los campos, respectivamente. Si las densidades de carga y corriente soncero,s = 0 y js = 0, entonces se verican las relaciones de continuidad siguientes:Componentes normales: Dn2= Dn1Bn2= Bn1Componentes tangenciales: Et2 = Et1Ht2 = Ht1. (2.5)Los superndicesn yt hacen referencia a las componentes normales o tangenciales.2.1.2 Laecuaci ondeondas. SolucionesEn un medio homogeneo e isotropo, al combinar las ecuaciones de Maxwell se obtiene el par de ecuacionessiguiente:

H =c22 Ht2

E =c22

Et2. (2.6)Estasexpresionessonformalmenteecuacionesdeondas. As, lavelocidaddepropagaci onpuederela-cionarse con los par ametrosc, y1v2=c2v =c. (2.7)En el vaco,= = 1 y, por lo tanto, v =c. Es decir, c es la velocidad de la luz en el vaco. El ndicede refraccion se puede escribir en funcion de los par ametros y,n = c/v =.Sean r = (x, y, z) el vector posicion de un punto y s = (, , ) el vector unitario (|s| = 1) que indica ladireccion de propagaci on de la onda. Se puede comprobar f acilmente que una funci on f del tipo f(vtrs)es solucion de la ecuacion de ondas. Esta soluci on de la ecuacion de ondas se denomina onda plana. Enel caso unidimensional, escribiremos la ecuacion de ondas como2

Ex2=1v22

Et2. (2.8)En este caso particular, s = (1, 0, 0), y la soluci on se escribe comof(vt +x) of(vt x).De las relaciones entre la pulsacion , el periodo T,T= 2/, la longitud de onda , el n umero de ondak,k = 2/, la frecuencia y la velocidad, = v, podemos escribir el argumento de la funci on de ondaplana como:2.1. ONDASELECTROMAGNETICAS 33vt rs =1k(t krs). (2.9)Dependiendo del caso que se estudie, la funcion f puede ser complicada de describir. El analisis de Fourierarma que cualquier funci on puede ser descrita como una combinacion lineal de funciones arm onicas. Poresta razon, tomaremos funciones de onda armonicas para describir los campos electrico y magnetico, porejemplo:

E =

E0 cos(t krs)

H =

H0 cos(t krs), (2.10)dondelosm odulos |

E0|y |

H0|sonlasamplitudesm aximasdeloscamposelectricoymagnetico, re-spectivamente. El argumentodeestasfuncionesesadimensional. Porcomodidad, alahoradehacermanipulaciones matem aticas, escribiremos los campos en notacion compleja, aunque unicamente la partereal (o la imaginaria) tiene sentido fsico, es decir:

E =

E0 exp(i(t krs))

H =

H0 exp(i(t krs)), (2.11)

E0es la amplitud de la onda y exp(i(t krs)) su fase, que tambien se puede escribir en terminos delndice de refracci on. Si denimosp = /c, tendremos que

E =

E0 exp(ip(ct nrs))

H =

H0 exp(ip(ct nrs)). (2.12)Denimos el concepto de frente de onda como el lugar geometrico de los puntos que tienen la misma fase,enunmomentodado. Enelcasodeondasplanas, elfrentedeondaeselplanokrs=CdondeCesuna constante. Es posible establecer una relaci on entre los conceptos de fase y camino optico ( =nl,donden es el ndice de refracci on yl la distancia recorrida por la onda). Sea una onda de pulsaci on ydireccion de propagaci on s. La diferencia de fase entre dos planos 1 y 2 del frente de onda, distanteslentre si, es(t kr2s) (t kr1s) = k(r2r1)s = kl. (2.13)Si la onda se propaga en un medio de ndice n,kl = (k/n)nl = (k/n) =2n =0n . Este resultado seutilizar a mas adelante en el estudio de los sistemas interferenciales. Otra soluci on de la ecuacion de ondaque presenta un gran interes es aquella en la que el valor de la amplitud de la onda s olo depende de ladistancia al punto en que se genera. En este caso (onda esferica), es conveniente escribir la ecuacion encoordenadas esfericas y quedarnos solo con la parte radial, es decir,

E =

E(r, t):

E =1r2r

Er2=1v22

Et2. (2.14)As podemos escribir2r

Er2=1v22r

Et2(2.15)34 CAPITULO2.OPTICAELECTROMAGNETICAEsta ultima expresion es formalmente identica a la ecuacion de ondas en una dimensi on escrita en coor-denadas cartesianas. Por lo tanto, la soluci on en este caso sera del tipo

E =

f(vt r)r. (2.16)Aqu el frente de ondas es una esfera.Figura2.1: DiferenciadefaseFigura 2.2: Diferencia de fase (esquematransversal)2.1.3 Energa. VectordePoyntingIntroduciendo las soluciones de la ecuaci on de ondas para los campos electrico y magnetico en las ecua-ciones de Maxwell, podemos deducir las relaciones siguientes:s

H = n

E s

E =

Hn , (2.17)relaciones que indican que los vectores campo electrico, campo magnetico y el vectors son ortogonalesentre si. Los vectores campos electrico y magnetico vibran en un plano que se propaga seg un la direcci ons, tal y como se muestra en la gura 2.3. La energa electromagnetica almacenada en un diferencial devolumen se escribedu =18(|

E|2+|

H|2)

dv, (2.18)y, por lo tanto, la variaci on por unidad de tiempo de energa electromagnetica almacenada en un volumenV cerrado por una supercie S esut=tV18(|

E|2+|

H|2)

dv. (2.19)Consideremos unmaterial dielectricoideal (=0). Utilizandolas ecuacionesdeMaxwell podemosdemostrar que la variacion de energa puede expresarse como2.1. ONDASELECTROMAGNETICAS 35SFigura2.3: Transversalidaddeloscamposelectricoymagneticout= c4

S

E

Hds. (2.20)Denimos el vector de Poynting como

S =c4

E

H. (2.21)El vector dePoyntingexpresalavariaci ondeenergaradiadapor unidaddetiempoydesupercieperpendicular a la direcci on de propagaci on. En los medios homogeneos e isotropos el vector de Poyntingy el vector s tienen la misma direccion. La direccion del rayo (concepto propio de laOptica Geometrica)y

S(asociado a la propagaci on de la energa de la onda) coinciden. Si la longitud de onda correspondeal espectro visible (400-700 nm) el periodo de vibracion es del orden de 1014s. Cuando colocamos undetector(celulafotoelectrica, camaradevdeo, ojo, etc.) anteunaondaelectromagnetica, estenoescapaz de seguir las oscilaciones y por lo tanto detecta un promedio temporal de la se nal. As, denimosla intensidad del campo electrico como la media temporal del vector de Poynting.I =< |

S| >=lim1

0|

S|dt. (2.22)Resolviendo la integral anterior, la intensidad detectada, para ondas planas esI =cn8|E0|2, (2.23)mientras que para ondas esfericas tenemosI =cn8|E0|2r2, (2.24)resultado conocido como la ley del cuadrado de la distancia.36 CAPITULO2.OPTICAELECTROMAGNETICA2.2 Polarizaci on2.2.1 Laelipsedepolarizaci onConsideremos la curva que se genera enz = 0, a partir de la composici on de dos campos electricos de lamisma frecuencia y que vibran con un cierto desfaseentre ellos, que viajan en la misma direccion - setoma por conveniencia s = (0, 0, 1) - y cuyas direcciones de vibraci on son ortogonales, es decir:Ex = A1 cos(t) Ey = A2 cos(t +). (2.25)al eliminar el par ametrot de las f ormulas anteriores, obtenemos la ecuacion cartesiana siguienteE2xA21+E2yA222ExEyA1A2cos() = sin2(), (2.26)que corresponde a una elipse con centro en su origen de coordenadas, pero con el eje mayor formando uncierto angulo con el ejex. Este angulo se puede encontrar a partir de la expresi ontan(2) =2A1A2 cos()A21A22. (2.27)Figura 2.4: Luz polarizada elpticamente. En la gura de la izquierda,los ejes de la elipse presentan una rotacionrespectoalosejesdecoordenadas. Enamboscasos, laelipseseencuentraenel interiordeunrectangulodedimensiones2A12A2El campo electrico combinacion de los dos campos anteriores se escribe como

E =

A1 exp(i(t kz))A2 exp(i(t kz +))0

. (2.28)2.2. POLARIZACION 37Estecampo, alpropagarse, generaunaespiraldepasoelptico. Estaondasedenominaluzpolarizadaelptica. El campo magnetico tiene un comportamiento equivalente, y se determina a partir de la relaci on

H = ns

E.Si ahoracolocamosundetectornormal aladirecciondepropagaci on, laintensidadquedetectaremosseralamediatemporaldelvectordePoynting. Enestascondiciones,comoHy=nExyHx= nEy,entonces

S =c4

E

H |

S| =cn4(A21 cos2(t) +A22 cos2(t +)). (2.29)Calculando la media temporal se obtieneI =cn8(A21 +A22) (2.30)y, por lo tanto, la intensidad es la suma directa de las contribuciones a la intensidad del campo electricoseg un la direcci onx y del campo electrico seg un la direcci ony.2.2.2 Polarizaci on: casosparticularesFijemosahora, unplanocualquieraz=z0dondeanalizarlaelipsedepolarizaci on. El vectorcampoelectrico cambiade direccionenfunci ondel tiempo y la gura que genera el extremo de este vectorsedescribeporlaecuacion2.26. Considerandolosdiferentesvaloresquepuedetomar , obtenemoslosdiferentes casos de polarizacion (vease la gura 2.5).Algunos casos de especial interes:1. Luz polarizada lineal: = 0 o bien = 2. Ejesdela elipsecoincidentesconlosejesdecoordenadas: =/2 o bien= 3/2. La luzserapolarizada circular si ademas,A1 = A23. Elsentidodegirodelaelipseser adextr ogirosi0lyn>n

. Aceptando la validez formal de la ley de Snellpodremosescribirsin(

)=sin()/N. Enel estudioqueestamosrealizando, sin(

)>1, yel valordecos(

) sera, por tanto:cos(

) = iN

sin2() N2, (2.52)dondecos(

)esunamagnitudimaginaria. M asadelante, porconsideracionesdeconservaciondelaenerga, sedespreciarael signo+. Conociendoel valordesin(

)ydecos(

)podemosaplicarahoralas formulas deFresnel. Analizandolagura2.11, puedecomprobarsequelos factores dereexi onperpendicular y paralelo toman el valor 1 y 1 respectivamente, para angulos de incidencia superiores allmite. Podemos estudiar con mayor detalle estos valores del angulo de incidencia: las f ormulas del factorde reexion para los dos casos de polarizacion son:r

|| =tan(

)tan(

+)r

=sin(

)sin(

+).Puestoqueconocemoslosvaloresdesin(), cos(), sin(

)ycos(

), podemosescribirlasformulasdeFresnel en terminos de valores conocidos. Despues de hacer unas cuantas operaciones obtenemos quer

|| = ei(,n,n

)r

= ei(,n,n

). (2.53)Este es un resultado interesante: los coecientes de reexion son complejos y de modulo 1. El valor de laamplitud no vara pero la onda incidente y reejada esten desfasadas. La onda reejada paralela tendr apor ecuacion

E

|| =

A||r||exp(ip(ct nrs

)) =

A||exp(ip(ct nrs

) +i), (2.54)mientras que la componente perpendicular ser a

E

=

Arexp(ip(ct nrs

)) =

Aexp(ip(ct nrs

) +i). (2.55)Laondareejadaestar apolarizadaeliptcamenteysuscomponentesestarandesfasadas . Estedesfase depende den yn

y puede variarse en funci on del angulo de incidencia.2.3. PROPAGACION,REFLEXIONYREFRACCION 47Figura2.13: Reexiontotal Figura2.14: ReexiontotalfrustradaTiene sentido hablar de luz transmitida?A simple vista, puesto que toda la luz vuelve al primero medio,parece una pregunta sin sentido. No obstante, intentemos escribir la onda en el segundo medio:

E

=

A

exp(ip(ct rs

)) =

Aexp(ip(ct n

(xsin(

) +z cos(

))). (2.56)Tambien podemos escribir el valor de sin(

) y cos(

) en terminos del sin(),

E

=

Aexp

ip

ct n

xsin()N+z(iN

sin2() N2

(2.57)y operando,

E

=

Aexp

pn

sin2() N2Nz

exp

ip(ct xsin()Nn

)

. (2.58)La interpretaci on de esta ecuacion es la siguiente:El terminodeamplitudpresentaunacadaexponencial amedidaquesepenetraenel segundomedio. Despreciamos el signo + de la exponencial real ya que se trata de una soluci on sin sentidofsico, que dara lugar a una onda que aumentara indenidamente su amplitud.La direccion del vector de fase es s = (1, 0, 0): la onda se propaga en la interfase de los dos medios.El modelo demuestra la existencia de una onda que penetra unas pocas longitudes de onda en el segundomedio. Esto se corrobora experimentalmente mediante un fen omeno denominado Reexi on total frustradaoEfectoT unelOptico: cuandoel segundomedioesunal aminadegrosormuypeque no, yseenvauna onda conun angulo superior al lmite,se puede observar que esta se transmitecompletamentesinreejarse. La explicacion satisfactoria de este fenomeno debe buscarse en la Fsica Cuantica, que eliminalas inconsistencias de nuestro razonamiento: la onda de la interfase es la misma que despues se detectacomo reejada.48 CAPITULO2.OPTICAELECTROMAGNETICA2.4Opticademediosconductores2.4.1 Propagaci onenmediosconductoresConsideremos un medio que presenta conductividad = 0. Los metales tienen valores demuy altos,perolosdielectricosrealestambienpuedentenerconductividadesdiferentesdecero. Siestemedioes,ademas, no magnetico ( = 1) y sin densidad volumetrica de carga ( = 0), las ecuaciones de Maxwell seescriben

H =4c

E +

c

Et

E = c Ht

E = 0

H = 0, (2.59)donde j =

E.Podemosensayarel usodeunaondaarm onica,

E=

E0ei(tkrs), comosoluciondelasecuacionesdeMaxwellenmediosconconductividad. Laderivadatemporaldeunaondaarm onicaesproporcionalaella misma,

Et= i

E0ei(tkrs)= i

E. (2.60)La primera ecuaci on de Maxwell se puede escribir como:

H = (4i +)1c

Et, (2.61)que es formalmente identica a la ecuacion de Maxwell que se aplica en el caso de medios dielectricos. Esnecesariohacerlaidenticaci ondelapermeabilidaddielectricaconunafunci ondelapermeabilidadgeneralizada = 4ci. Si =0, obtenemosdenuevolapermeabilidadordinariadelosmediosdielectricos ideales. Podemos calcular tambienel ndicederefracci ongeneralizado n, apartir delarelacion n2= . El ndice complejo es n =n i, donden es el ndice de refracci on ordinario y es eldenominado coeciente de extinci on. Identicando terminos y aislandon y podemos escribirn =

2 +

24+ 42221/2 =

2 +

24+ 42221/2. (2.62)En el caso particular en que/>> , entoncesn

2/, (2.63)2.4.OPTICADEMEDIOSCONDUCTORES 49formula conocida como la relaci on de Drude.La solucion a la ecuacion de ondas en un medio con = 0 sera

E =

E0eip(ct nrs)=

E0eprseip(ctnrs)(2.64)Vemosquees una ecuacionsimilara la quese obtienecuando lasondasse propaganlibrementeenunmedio dielectrico. Sin embargo, la amplitud decae exponencialmente a medida que la onda se propaga.Analicemos como se transmite una onda electromagnetica desde un medio dielectrico a un medio metalico.Enestaseccionutilizaremoslosangulosy

parareferirnosalos angulosdeincidenciayrefracci on,para evitar confusiones con la permeabilidad dielectrica. Aplicando las condiciones de contorno en uncambiodemedio, podramosdeducirdenuevolaf ormuladeSnelldelarefracci on,paraestecaso. Loque obtendramos es una expresion de aspecto familiar,nsin() = n

sin(

), (2.65)aunquenotablementediferenteencuantoasuinterpretaci on. Ahora, el ndicedel segundomedioescomplejo y

es tambien complejo. El producto n

sin(

) es real, pero n

cos(

) = a bi, en general nolo sera. La onda en el segundo medio se escribir a

E

=

E0eip(ct n

rs)=

E0 exp(ip(ct n

(xsin(

) +z cos(

)))), (2.66)y operando obtendremos

E

=

E0eip(ct n

rs)=

E0eip(ct(xnsin()+za))epbz. (2.67)La onda se amortigua r apidamente a medida que penetra en un medio conductor. Adem as,la onda sepropaga en la direcci on s

= (nsin(), 0, a). Por lo tanto, el angulo de refracci on (con sentido fsico) estan(

) =nsin()a. (2.68)Porotraparte, lamayorpartedelaluzsereeja. Porejemplo, sicalculamoselfactordereexi onRpara incidencia normal desde el aire a un metal, se obtieneR = |1 n1 + n|2 1 2T. 1 (2.69)Esto explica la razon por la que se utilizan recubrimientos met alicos para fabricar espejos.50 CAPITULO2.OPTICAELECTROMAGNETICA2.5Opticademediosanis otropos2.5.1 NomenclaturaLosmediosanisotropossecaracterizanporpresentarpropiedades opticasdiferentesseg unladirecci onconsiderada. Esto es tpico de los materiales cristalinos. En general, el vector campo electrico

E y el vectordesplazamiento

D estan relacionados por la relaci on

D =

Edonde se un tensor de 3x3 elementos. Esposible demostrar que este tensor se simetrico y, por lo tanto, diagonaliza en una cierta base de vectoresortogonales. =

x0 00 y00 0 z

. (2.70)Podemos denir el tensor de ndices,

nx0 00 ny00 0 nz

=

x0 00

y00 0

z

, (2.71)as como las velocidades principales,vx =c

xvy =c

yvz =c

z. (2.72)Estas variables contienen informaci on de la fsica del problema y mas adelante seran analizadas con mayordetalle.2.5.2 EcuacionesdeMaxwell. SolucionesConsideramosunmediodielectricoanisotropo, nomagnetico(=1), sinconductividad(=0)nidensidad de carga ( = 0). En estas condiciones, las ecuaciones de Maxwell se escriben:

H =1c

Dt

E = 1c Ht

D = 0

H = 0. (2.73)La solucion de ondas planas arm onicas para estas ecuaciones sera

E =

E0 exp(ip(ct nrs))

H =

H0 exp(ip(ct nrs))

D =

D0 exp(ip(ct nrs)), (2.74)donde n =cvnes el ndice de refracci on y vn es la velocidad de fase. Introduciendo estas soluciones en lasecuaciones de Maxwell, y calculando las derivadas espaciales y temporales correspondientes, obtenemoslas siguientes condiciones:2.5.OPTICADEMEDIOSANISOTROPOS 51n(

H s) =

Dn(s

E) =

H

Hs = 0

Ds = 0. (2.75)De cada ecuacion se deduce una condici on:1.

D es perpendicular al plano formado por

Hy s.2.

Hes perpendicular al plano formado por s y

E.3.

Hy s son perpendiculares.4.

D y s son perpendiculares.Combinando estas cuatro ecuaciones y haciendo desaparecer el campo magnetico podemos escribir,

D = n2(

E s(

Es)) (2.76)Manipulando esta ecuaci on, podemos escribir las componentes del vector

D,Di =c2

Esv2i v2nsi, (2.77)de donde se deduce que la direcci on del vector

D es constante, y por lo tanto, que la luz est a linealmentepolarizada. Multiplicando

D por s se deduce la siguiente relacion:s2xv2xv2n+s2yv2yv2n+s2zv2z v2n= 0. (2.78)Como podemos ver a la izquierda de la gura 2.15, los vectores

E,

H,

D, s y

S se disponen de la maneraque se indica. El vector de Poynting es proporcional al producto vectorial

E

H. La direccion del rayo,y por lo tanto, la direcci on de la propagaci on de la energa no coincide con la direcci on del vector normalal frente de onda s.Laecuacion2.78aportamuchainformaci on: s=(sx, sy, sz)esel vectornormal al frentedeondaeindicasudirecci ondepropagaci on. Porotraparte, vx, vyyvzsonpar ametrosquevienenjadosporel medio, puesto que se expresan directamente en terminos de las componentes del tensor dielectrico, yvnes la velocidad que puede tomar el frente de onda. Fijado el medio y la direcci on de propagaci ons,la f ormula 2.78 resulta una ecuacion cuya inc ognita esvn. Se puede comprobar que esta ecuacion tienedos soluciones para vn, que denominaremos vn1 y vn2. Por lo tanto, para una posible direcci on del frentede onda, se pueden propagar dos ondas que viajan con velocidades diferentes. Se puede comprobar quelaspolarizacionesdeestasondas(

D1y

D2), verican

D1

D2=0. Porotraparte, aunqueladirecci ondepropagaci ondelafaseseacom un,ladirecci ondelrayodecadaondaesdiferente. Estosresultadosse muestran gracamente en la gura 2.15. Denici on: Las direccioness que verican quevn1 = vn2sedenominan EjesOpticos.52 CAPITULO2.OPTICAELECTROMAGNETICAFigura2.15: Campospropagandoseenunmedioanisotropo

x = y = zSistema equivalente a un medio homogeneo

x = y = zSistema uniaxial (un eje optico)

x = y = zSistema biaxial (dos ejes opticos)Podemos distinguir tres casos:En el primer caso considerado, los valores de la diagonal del tensor dielectrico son iguales y, por lo tanto,es como sifuera un escalar; se puede asimilar este caso a la propagaci on en un medio homogeneo. Esto eslo que pasa con los materiales que cristalizan en el sistema c ubico. El segundo caso se da en determinadosmaterialesquecristalizanseg unlossistemashexagonal,tetragonalotrigonal. Desdeelpuntodevistaopticopresentanlacaractersticadetenerunejeoptico. Loscristalesquenotienenningunadirecci onde simetra y los tres elementos del tensor dielectrico son diferentes, tienen dos ejes opticos.2.5.3 MediosuniaxialesAhora estudiaremos con mas detalle los medios uniaxiales. Partimos de la ecuaci on 2.78. En los mediosuniaxiales se verica que x = y o, lo que es el mismo, vx = vy. Denominaremos vx = vy = vo (velocidadordinaria). En los medios uniaxiales la ecuaci on 2.78 toma la forma(v2o v2n)

(v2z v2n) sin2() + (v2o v2n) cos2()

= 0, (2.79)donde hemos escrito el vector s en coordenadas esfericas:sx = sin() cos()sy = sin() sin()sz = cos(), (2.80)2.5.OPTICADEMEDIOSANISOTROPOS 53 es el angulo que forma el vector s con el ejez y es el angulo que forma la proyecci on del vector s enel plano xy con el eje x. Recordemos que la base de vectores que se esta utilizando es aquella en la que eltensor dielectrico diagonaliza. Esta ecuacion tiene, como ya comentamos anteriormente, dos soluciones,que en este caso sonvn1 = vov2n2 = v2o cos2() +v2z sin2(). (2.81)La primera de las soluciones para la velocidad de fase no depende de la direcci on s considerada y es igualavo. Porlotanto, lavelocidaddefasedeunadelasondasser asiemprevo(deigual maneraquesepropagara una onda en el interior de un dielectrico homogeneo e isotropo). Como consecuencia de esto,un emisor puntual en el interior de un medio anis otropo uniaxial generara una onda esferica.La segunda de las soluciones indica que la onda se propaga con velocidades diferentes seg un la direcci onconsiderada. vn2es la velocidad extraordinaria. La direcci on del eje optico la encontraremos igualandolas dos velocidades de fase obtenidas,vn1 = vn2. Esta relacion se verica cuando = 0, es decir, cuandoel eje optico coincide con la direccion z (direccion del vector propio del tensor dielectrico correspondienteal valor propioz).La solucion vn2 es la ecuacion de una elipse, lo que indica que los frentes de onda asociados son elpticos.Porlotanto,unemisorpuntualenelinteriordeestemediogeneraraunfrentedeondaconformadeelipsoide de revoluci on.Figura2.16: EjeopticoyfrentesdeondaLa gura 2.16 muestra los dos frentes de onda generados. Existe una direcci on (ejez) en la que los dosfrentes de onda se han propagado a la misma velocidad: es el eje optico. Un problema interesante quepodemosestudiaresel comportamientodeunaondaplanaqueincidenormalmentesobreunal aminaplanoparalela de material anis otropo uniaxial, como por ejemplo, la calcita.La gura 2.17 ilustra el experimento. Una onda plana incide normalmente, y por lo tanto, el vector normalal frente de onda s no se desva al cambiar de medio ( angulo de incidencia, 00, angulo de refracci on 00).En el interior del medio uniaxial viajar an dos ondas, las polarizaciones de las cuales seran normales entresi. La direccion de la energa vendr a dada por el vector de Poynting

S =c4

E

H. En un medio uniaxial,una de las ondas se comporta como si se propagara en un medio ordinario, por lo tanto, la direcci on del54 CAPITULO2.OPTICAELECTROMAGNETICAFigura2.17: OndaordinariayextraordinariaenunmediouniaxialvectordefasesyladelvectordePoyntingsoncoincidentes. Encambio, paralaondaextraordinariaestos dos vectores tendran direcciones diferentes. Ademas, estas dos ondas se propagan con velocidadesde fasevn1yvn2y, por lo tanto existir a un desfase entre ellas.Cuandolosfrentesdeondalleganal segundoplanodeseparaci ondemedios, seproducir aunanuevarefraccion. Enel casodelaondaordinaria, el vector defaseincidenormalmenteypor lotantolaondanosedesva. Encuantoalaondaextraordinaria, ladirecci ondel rayoformauncierto anguloconlasuperciedeseparacion. Encambio, elvectordefaseincidenormalmentesobreestasupercie.Como vimos anteriormente, al deducir la ley de la refraccion, esta se aplica sobre la direccion del vectordefasesynosobreladirecciondel rayo

S(queenel casodelosmediosdielectricosordinariossoncoincidentes). Porlotanto, setratatambiendeincidencianormal y, enconsecuencialasdosondas,ordinaria y extraordinaria, salen con direcciones del vector de Poynting paralelas.Visualmente, si observamos un objeto interponiendo un cristal de calcita con caras planoparalelas, obser-varemos que la imagen se desdobla. Una imagen aparece justo en la misma posicion donde esta el objeto(onda ordinaria) y la otra sale desplazada (onda extraordinaria). Utilizando un polarizador vericaramosqueestasdosondasestanpolarizadaslinealmenteysusdireccionesdepolarizaci onsonnormalesentres.2.5.4 LaminasretardadorasUnejemplointeresantededispositivo opticobasadoenlos materiales anisotropos uniaxiales sonlaslaminasretardadoras. Paracualquierdirecci ondepropagaci ondelafasepuedenviajardosondasconpolarizaciones perpendiculares entre s. Consideremos una l amina planoparalela de un material uniaxial,degrosor dycortadademaneraqueel ejeopticoseaparaleloalascarasdelalamina. Al incidirnormalmenteunhazdeluzsobreesta, enel interiordelalaminasepropagar andosondas: comosetrata de un medio uniaxial, la onda ordinaria viajar a sin cambiar de direccion. Sin embargo, como queel eje optico es paralelo a las caras,el rayo asociado a la onda extraordinaria tambiense propagar a en2.5.OPTICADEMEDIOSANISOTROPOS 55Figura2.18: Propagaci onseg ununadireccionnor-malalejeopticoFigura2.19: Propagacionseg unelejeopticola misma direccion, seg un se indica en la gura 2.18. Ahora bien, los dos rayos llegar an desfasados a lasegunda cara de la lamina,puesto que el ndice de refracci on es diferente para cada uno. Por lo tanto,tenemos dos ondas desfasadas con polarizaciones ortogonales entre s y que viajan en la misma direcci on.En general, tendremos luz polarizada elptica. El desfase entre las dos componentes se calcula haciendo: =2ned 2n0d. (2.82)donden0=c/v0yne=c/ve. Por lo tanto,tomandod de forma apropiada,podemos obtener l aminasquegeneren, por ejemplo, undesfasede /2entreambas componentes tomandod=/4(ne n0)(denominadas laminas/4). Las laminas que generan un de desfasese denominan laminas/2. Conuna l amina/4 y polarizadores lineales se puede obtener f acilmente luz polarizada circular.Un ultimocomentario: si el ejeopticofueseperpendicularalascarasdelal amina, noapreciaramosning un desfase entre las dos componentes ya que las dos ondas se propagan a la misma velocidad (veasela gura 2.19).56 CAPITULO2.OPTICAELECTROMAGNETICACaptulo3Interferencias3.1 Coherencia3.1.1 CoherenciatemporalymonocromaticidadUn sistema fsico aislado (piensese en un atomo, por ejemplo). con sus niveles energeticos perfectamentedenidos es una idealizaci on que permite explicar la existencia de ondas monocromaticas. Si este sistemaseencuentraenel nivel deenergaW2ypasaaunestadodeenergaW1tal queW2>W1, lafsicacuanticapredicequesegeneraunfot oncuyalongituddeondaverica0=hc/(W2 W1), dondeheslaconstantedePlanck. Si el sistemaconsideradonoesideal susnivelesenergeticospuedenestardegenerados, ylosfotonesqueseemitantendranunalongituddeondaqueuctuar aenel intervalo[0, 0 +]. Ademas, las transiciones energeticas posibles entre la banda de energa 2 y la banda1 no tienen que ser equiprobables. Podemos denir, por lo tanto, una distribuci onP() que indique laprobabilidaddegenerarunfot onconunaciertalongituddeonda. Algunascausasquehacenquelosnivelesenergeticosestendegeneradospuedenserel efectoDopplercomoconsecuenciadelaagitaciontermica o bien las colisiones entre las partculas que formen el material. En estos casos, la forma de P()es aproximadamente como la que muestra la gura 3.1, mientras que en el caso idealP() = ( 0).Figura3.1: DistribucionP()El campoelectricoasociadoaunaondaplanaideal es

E=a exp(i(wt kx)), dondelaamplitud [a[seraconstante, envalorydirecci on. Enel casonoideal, laondaqueobtendremosseescribir acomosuperposici on (suma) de ondas monocromaticas, es decir:5758 CAPITULO3. INTERFERENCIAS

E =0+0a() exp(i(w()t kx)), (3.1)donde [a()[ serelacionadirectamenteconP()y, si lalongituddeondaenel sumatorioanterioresuna variable continua, la ecuaci on anterior se convertir a en una integral. Un an alisis en profundidad delasmatematicasinvolucradasenlaexpresionanteriornosaportar aunresultadomuyinteresante: unaonda real, suma de diferentes contribuciones monocrom aticas, esta limitada en el espacio y constituye loque se denomina un paquete de ondas. La longitud fsica del paquete de ondas se denomina longitud decoherencia,lc (veanse las guras 3.2 y 3.3). Cuando m as monocromatica es la onda (cuando m as estrechasealadistribucionP()delagura3.1), mayoreslc: enel lmite, unaondaplanaesperfectamentemonocromatica y su longitud de coherencia es innita.Figura3.2: Longituddecoherencianita Figura 3.3: Longitud de coherencia innita: ondaplanaCuando se genera un paquete de ondas, se introduce una fase inicial aleatoria. Dos paquetes de ondastendr an fases iniciales diferentes. Es necesario utilizar iluminacion l aser en los experimentos de interfer-encias para evitar los problemas derivados de la coherencia. Los laseres presentan una alta monocromati-cidad, y por lo tanto, sus longitudes de coherencia son muy elevadas.3.1.2 CondicionesparaobtenerimagenesdeinterferenciaestablesEn general, cuando dos ondas

E1 y

E2 se encuentran en el espacio, no interaccionan de forma apreciable.Ahora bien, si se verican unas determinadas condiciones, estas ondas pueden generar una distribuci on deintensidad con zonas donde la energa se potencia y otras en las que la energa disminuye. Las condicionespara obtener im agenes de interferencia estables son cuatro:1. Las ondas que intereren deben ser coherentes.2. Las ondas deben tener la misma frecuencia.3. Los campos electricos deben ser paralelos.4. Las amplitudes de los campos deben ser iguales.Tomamos dos ondas planas de polarizacion, amplitud, frecuencia, fase inicial y direcci on de propagaci ondiferentes, que se superponen en un punto del espacioP:

E1 =

A1 exp(i(w1t k1rPs1 +1))

E2 =

A2 exp(i(w2t k2rPs2 +2)). (3.2)3.1. COHERENCIA 59Si captamos la intensidad en este puntoPtendremosI

E1 +

E2

2=

A1 exp(i(w1t k1rPs1 +1)) +

A2 exp(i(w2t k2rPs2 +2))

2, (3.3)y desarrollando,I

A1

2+

A2

2+

A1

A2

ei(w1tk1rPs1+1)ei(w2tk2rPs2+2)cos(12) +

A1

A2

ei(w1tk1rPs1+1)ei(w2tk2rPs2+2)cos(12), (3.4)donde 12 es el angulo formado por los dos vectores campo electrico. Esta intensidad es funci on del tiempo.Las variaciones que presenta esta funcion seran muy r apidas en el rango de las frecuencias opticas. Porlo tanto, la magnitud que se detectar a sera la media temporal de la intensidad. Para apreciar fen omenosinterferenciales deben cumplirse las condiciones expuestas anteriormente:Lasondasqueintererendebensercoherentesentresi . Si los dos haces de luz que interact uansonincoherentes, lasfasesinicialesasociadasacadaondair ancambiandoaleatoriamente. Porlotanto, ladiferencia1 2queapareceenlosterminoscruzadosdelaecuacion3.4variar aaleatoriamente. Puesto que la media temporal de una fase que vara al azar es nula, los terminoscruzados de la ecuacion 3.4 tambien seran nulos. Este problema se evita cuando la diferencia 12es constante en el tiempo, es decir, cuando los paquetes de onda son coherentes. Esto se consiguea partir de un unico haz de luz, dividiendolo en dos y haciendo que cada uno acumule un caminooptico diferente. Los dos haces resultantes llegaran con un determinado desfase. Si la diferencia decamino optico es inferior a la longitud de coherencia, durante una fracci on de tiempo se vericarala condici on12 = constante y los dos paquetes de onda se superpondr an parcialmente (veasegura 3.4). Los paquetes de onda que vengan a continuaci on tambien se superpondr an. Cuanto m aslargos sean los paquetes de onda y mas se superpongan, los fen omenos interferenciales se observarancon mayor facilidad.Figura3.4: SuperposicionparcialdeadospaquetesdeondaLasondasdebentenerlamismafrecuencia. Si w1yw2sondiferentes, laintensidaddepender adel tiempo y, en este caso, la media temporal tambien sera cero.Loscamposelectricosdebenserparalelos. Siloscamposelectricosnosonparalelos, elterminocos(12) actuar a haciendo que los terminos cruzados tengan una importancia menor respeto a losterminosconstantes

A1

2+

A2

2. En particular,cuando las polarizacionesest anen cuadratura,60 CAPITULO3. INTERFERENCIASlos terminos cruzados desaparecen.Este es el caso que corresponde al estudio de la luz polarizada.Si 0