INSTITUTO TECNOLÓGICO DE NUEVO

LAREDO

APUNTES DE

PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES

i

1. INTRODUCCIÓN ................................................................................................................... 1

1.1. DEFINICIÓN Y APLICACIONES DEL PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES ...................... 1

1.2. SEÑALES, SISTEMAS Y PROCESAMIENTO DE SEÑALES ...................................................... 4

1.3. CLASIFICACIÓN DE LAS SEÑALES ..................................................................................... 5

1.4. CONCEPTO DE FRECUENCIA EN TIEMPO CONTINUO Y TIEMPO DISCRETO ......................... 7

1.5. CONVERSIÓN ANALÓGICO-DIGITAL Y DIGITAL-ANALÓGICA ........................................... 9

1.6. SEÑALES EN TIEMPO DISCRETO ...................................................................................... 16

1.7. SISTEMAS EN TIEMPO DISCRETO .................................................................................... 17

1.8. AUTOCORRELACIÓN Y CORRELACIÓN CRUZADA ............................................................ 23

2. TRANSFORMADA Z ........................................................................................................... 26

2.1. DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA Z ............................................................................. 26

2.2. TRANSFORMADA Z DE SEÑALES BÁSICAS ..................................................................... 27

2.3. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA Z ......................................................................... 30

2.4. TRANSFORMADA Z INVERSA .......................................................................................... 32

3. TRANSFORMADA RÁPIDA DE FOURIER (FFT) ......................................................... 38

3.1. SERIE DE FOURIER .......................................................................................................... 38

3.2. TRANSFORMADA DE FOURIER ......................................................................................... 43

3.3. TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER ........................................................................ 46

3.4. TRANSFORMADA RÁPIDA DE FOURIER ........................................................................... 46

4. DISEÑO DE FILTROS FIR ................................................................................................. 56

4.1. DISEÑO DE UN FILTRO FIR PASOBAJO ............................................................................ 56

4.2. DISEÑO DE FILTROS FIR PASOALTO ............................................................................... 63

4.3. DISEÑO DE FILTROS FIR PASABANDA Y SUPRESOR DE BANDA ...................................... 65

5. DISEÑO DE FILTROS IIR .................................................................................................. 66

1

1. INTRODUCCIÓN

1.1. Definición y Aplicaciones del Procesamiento Digital de Señales

Las señales se originan como datos sensados provenientes del mundo real:

vibraciones sísmicas, imágenes visuales, ondas de sonido, etc. (Smith)

El Procesamiento Digital de Señales (DSP) es las matemáticas, los algoritmos y

las técnicas usadas para manipular estas señales después de que han sido convertidas

a una forma digital. (Smith)

El DSP es una operación o transformación de una señal en un hardware digital

según reglas bien definidas las cuales son introducidas al hardware a través de un

software específico.

Procesamiento

Digital de

Señales

Teoría de

Comunicación

Probabilidad

Estadística

Procesamiento

Análogo de

señales

Electrónica

Análoga

Electrónica

Digital

Teoría de

Decisión

Análisis Numérico

2

ESPACIO

MEDICINA

COMERCIAL

TELEFONIA

MILITAR

INDUSTRIAL

CIENTIFICA

Grabación y análisis de terremotos

Adquisición de datos

Análisis espectral

Modelado y simulación

Imagen diagnóstica

Análisis de electrocardiograma

Almacenamiento de imágenes médicas

Compresión de imagen y sonido para

presentaciones multimedia

Efectos especiales de película

Videoconferencia

Mejoramiento de fotografías espaciales

compresión de datos

Análisis sensorial inteligente por sondas

espaciales remotas

Compresión de voz y datos

Reducción de eco

Multiplexión de señales

Filtrado

Radar

Sonar

Comunicaciones seguras

Búsqueda de petróleo y minerales

Monitoreo y control del proceso

Pruebas no destructivas

Herramientas de diseño y CAD

3

Áreas donde el DSP ha producido grandes cambios

Telecomunicaciones:

Multiplexado

Compresión

Control de Eco

Procesamiento de Audio

Música

Generación de Voz

Reconocimiento de Voz

Localización de Ecos

Radar

Sonar

Sismología de Reflexión

Procesamiento de Imágenes

Medicina

Espacio

Productos Comerciales.

4

1.2. Señales, Sistemas y Procesamiento de Señales

Señal: Una cantidad física que varía con el tiempo, el espacio o cualquier otra

variable o variables independientes. (Proakis)

Matemáticamente una señal es una función de una o más variables

independientes. Ejemplos:

f(t)=2t , g(t)=10t2 , h(x,y)=4x+2y+6xy

señales de una variable: Electrocardiograma, voz

señales de dos variables: imágenes

La forma en que se generan las señales esta asociada a un sistema, que

responde a un estímulo o fuerza. Al estímulo en conjunto con el sistema se le llama la

fuente de señal. Para nuestro enfoque un sistema es un dispositivo, físico o software,

que realiza alguna operación sobre una señal. Ejemplo: filtro.

Elementos Básicos de un Sistema DSP

Ventajas del Procesamiento Digital contra el Analógico

Flexibilidad: se reconfigura sólo modificando el programa

Precisión: En el analógico las tolerancias de los componentes afectan a la

precisión, en el digital esta se especifica en la resolución del convertidor

A/D y del procesador, según la longitud de palabra y el tipo de aritmética

utilizado (punto fijo o flotante).

Almacenamiento: No se deteriora la señal digital al almacenarla.

Complejidad de Operaciones. Algoritmos mas sofisticados que el

procesamiento analógico.

5

Costo. En muchas aplicaciones es mas barato.

Una limitante es la rapidez de la conversión A/D y del procesador. Para

aplicaciones en las que se requiere un ancho de banda demasiado grande el

procesamiento analógico es preferible.

1.3. Clasificación de las Señales

Señales Multicanal y Multidimensionales

Canal es el número de señales que se tienen y dependen de las mismas variables

independientes. La dimensión es el número de variables independientes.

Señales en Tiempo Continuo contra Señales en Tiempo Discreto

Las señales en tiempo continuo (analógicas) están definidas en todo instante de

tiempo, las señales en tiempo discreto (muestreadas) están definidas solo en instantes

determinados.

Las señales discretas se pueden producir porque:

Se muestrea una señal analógica cada cierto tiempo

La variable se acumula por un periodo de tiempo

Tiempo continuo t

Tiempo discreto tn=nT T=tiempo de muestreo

6

Señales Determinísticas contra Señales Aleatorias

Cualquier señal que pueda ser definida por una forma matemática explícita, un

conjunto de datos o una regla bien definida se denomina determinística.

Si la señal evoluciona en el tiempo en forma impredecible se dice que es

aleatoria.

La mayor parte del análisis de señales aleatorias es estadístico.

7

1.4. Concepto de Frecuencia en Tiempo Continuo y Tiempo Discreto

Señales Senoidales en Tiempo Continuo

ttAtxa ,cos

A – Amplitud, Ω – Frecuencia , radianes por segundo (rad/s), θ – Fase, radianes

La frecuencia se puede expresar F2 donde F en Hz (ciclos/seg)

ttFAtxa ,2cos

Para todo valor fijo de la frecuencia F, xa(t) es periódica.

Las señales en tiempo continuo con frecuencias diferentes, son diferentes.

En aumento en la frecuencia F resulta en un aumento en la razón de

oscilación,es decir, más periodos en un intervalo determinado.

Señales Senoidales en Tiempo Discreto

nnAnx ,cos

n es un entero, ω frecuencia en radianes por muestra. Si se toma f 2 , f en

ciclos por muestra

nnfAnx ,2cos

8

Una senoidal en tiempo discreto es periódica sólo si su frecuencia f es un

número racional.

Las senoidales en tiempo discreto cuyas frecuencias están separadas por un

múltiplo entero de 2π son idénticas. Podríamos decir que las señales con

frecuencia entre -π y π como únicas y las de frecuencias mayores como un alias

de las primeras.

La mayor razón de oscilación en una senoidal en tiempo discreto se alcanza

cuando ω es igual a π, o equivalentemente f es igual a ½.

9

1.5. Conversión Analógico-Digital y Digital-Analógica

Muestreo de Señales Analógicas

La conversión A/D se puede considerar que tiene tres pasos:

1 Muestreo. Es la conversión de una señal de tiempo continuo a una señal de tiempo

discreto obtenida tomando “muestras” de la señal original en instantes de tiempo

discreto. El intervalo de tiempo entre muestras T se le llama “intervalo de muestreo”

o “Tiempo de muestreo”.

2 Cuantificación. Esta convierte la señal en tiempo discreto y valores continuos a una

señal en tiempo discreto y valores discretos (digital). La diferencia antes y después

de este proceso se llama error de cuantificación.

3 Codificación. Cada valor discreto se representa en forma binaria.

Se considerará que el muestreo es periódico o uniforme. Al recíproco de T se le llama

frecuencia o rapidez de muestreo Fs=1/T (muestras por segundo).

ttFAtxa ,2cos

al muestrear periódicamente convertimos t=nT

tnTFAtxa ,2cos

fnA

F

nFAtx

s

a 2cos2

cos

Por lo tanto, las frecuencias f y F están relacionadas porsF

Ff , equivalentemente

T . Por esta razón a f se le conoce como frecuencia normalizada.

10

11

Ejemplo: Se tienen dos señales coseno con frecuencias F1=10 Hz y F2=50 Hz,

que se muestrean a una frecuencia Fs=40Hz.

ttx 102cos1

ttx 502cos1

al ser muestreadas, las señales en tiempo discreto son

nnnx2

cos40

102cos1

nnnx2

5cos

40

502cos1

ya que cos(5πn/2)=cos(πn/2) las señales discretas son idénticas e indistinguibles.

Se dice, entonces, que la frecuencia F2=50Hz es una alias de F1=10Hz a la frecuencia

de muestreo de Fs=40 muestras/seg. Otros alias son 90Hz, 130Hz, etc.

Ejemplo: xa(t)=3 cos(100 πt)

a) Determine la rapidez de muestreo Fsmínima para evitar aliasing.

b) Suponga que la señal se muestrea a Fs=200 Hz, ¿Cual es la señal en tiempo

discreto obtenida tras el muestreo?

c) Suponga que la señal se muestrea a Fs=75 Hz, ¿Cual es la señal en tiempo

discreto obtenida tras el muestreo?

12

d) ¿Cual es la frecuencia 0<F<Fs/2 de una senoidal que produce muestras

idénticas a las obtenidas en c)?

Teorema de Muestreo

Teorema de muestreo: Si la frecuencia mas alta contenida en una señal analógica xa(t)

es Fmax y la señal se muestrea a una frecuencia Fs>2Fmax entonces xa(t) se puede

recuperar totalmente a partir de sus muestras mediante la siguiente función de

interpolación

tF

tFsentg

max

max

2

2

Así, xa(t) se puede expresar como

sn s

aaF

ntg

F

nxtx

La tasa de muestreo dada por FN=2Fmax se denomina Tasa de Nyquist.

Ejemplo:

Considere la señal analógica

ttsenttxa 100cos3001050cos3

¿Cuál es la tasa de Nyquist para esta señal?

13

14

Ejemplo:

Considere la señal analógica

ttsenttxa 12000cos10600052000cos3

a) ¿Cuál es la tasa de Nyquist para esta señal?

b) Suponga ahora que muestreamos a Fs=5000 muestras/s. ¿Cuál es la señal en

tiempo discreto que obtendríamos tras el muestreo?

c) ¿Cuál es la señal analógica que ya(t) que obtendríamos al hacer la

reconstrucción de esas muestras, utilizando interpolación lineal?

15

16

1.6. Señales en Tiempo Discreto

Representación:

a) Representación Funcional

b) Representación Tabular

c) Representación como secuencia

Señales Elementales en Tiempo Discreto

1. Impulso Unitario

2. Escalón Unitario

3. Rampa Unitaria

4. Señal Exponencial

a. Real

b. Compleja

Manipulación de Señales

Transformaciones en el Tiempo:

1. Desplazamiento o traslación

2. Reflexión

3. Submuestreo (diezmado)

Operaciones

1. Escalamiento

2. Suma

3. Producto

17

1.7. Sistemas en Tiempo Discreto

Un sistema discreto es un dispositivo que opera sobre una excitación o señal de

entrada en tiempo discreto según una regla preestablecida para generar otra señal en

tiempo discreto denominada salida o respuesta del sistema. Si x(n) es la entrada y y(n)

la salida, denotamos al sistema como la operación siguiente

nxny

Descripción Entrada-Salida

Es una operación o regla que define la relación entre la entrada y la salida del

sistema.

Ejemplo: Determine la respuesta de los siguientes sistemas a la señal de entrada

nynx

18

Representación Mediante Diagrama de Bloques

Sumador

Multiplicación por una constante

Multiplicador de señal

Retardador de un elemento

Adelantador de un elemento

Ejemplo: Obtenga el diagrama de bloques del siguiente sistema discreto

12

1

2

11

4

1 nxnxnyny

Clasificación de Sistemas Discretos

Sistemas Estáticos (sin memoria)

Sistemas Dinámicos (memoria finita o infinita)

19

Sistemas Invariantes en el tiempo (entrada retrasada – salida retrasada)

Sistemas variantes en el tiempo

Sistemas Lineales (Principio de Superposición)

Sistemas No Lineales

Sistemas Causales (dependencia de tiempos pasados solamente)

Sistemas No Causales

Sistemas Estables (Entrada acotada – Salida acotada)

Sistemas Inestables

Interconexión de Sistemas Discretos

Serie

Paralelo

20

Respuesta de un Sistema LTI ante una Entrada

Podemos representar una señal discreta como una sumatoria de impulsos

escalados y trasladados en el tiempo

k

knkxnx

dondek es el instante discreto en el que ocurre el impulso.

Ejemplo: Exprese x(n)={2,4,0,3} como una sumatoria de impulsos (cero en 4)

23412 nnnnx

Se tiene un sistema LTI y causal. Su respuesta ante un impulso unitario es

nhnny . Si le aplicamos la entradax(n)

kkk

knhkxknkxknkxnxny

Si se desea calcular la salida en un instante determinado n=n0 esta sería

k

knhkxny 00

En esta ecuación se realizan cuatro pasos:

1. Reflexión

2. Desplazamiento

3. Multiplicación

4. Suma

21

Ejemplo: Si h(n)={1, 2, 1,-1} (cero en 2). Determine la respuesta ante la entrada

x(n)={1, 2, 3, 1} (cero en 1)

y(n)={…, 0, 0, 1, 4, 8, 8, 3, -2, -1, 0, 0, …} (cero en 4)

22

Propiedades de la Convolución

k

knhkxnhnxny *

Propiedad Conmutativa

nxnhnhnx **

Propiedad Asociativa

nhnhnxnhnhnx 2121 ****

Propiedad Distributiva

nhnxnhnxnhnhnx 2121 ***

Ahora, basados en el concepto de respuesta al impulso, se puede hacer una

nueva clasificación de sistemas discretos

Sistemas de Respuesta Infinita al Impulso (IIR)

Sistemas de Respuesta Finita al Impulso (FIR)

23

1.8. Autocorrelación y Correlación Cruzada

La correlación cruzada de dos secuencias reales x(n) y y(n) se define como

,2,1,0

llnynxlrn

yx

o equivalentemente como

,2,1,0

lnylnxlrn

yx

Una primera propiedad se obtiene al invertir la posición de x(n) y y(n)

,2,1,0

llnxnylrn

xy

Al comparar con la ecuación anterior se aprecia que

lrlr xyyx

Ejercicio: Determine la correlación cruzada de las secuencias

Resultado:

24

Se puede apreciar que las fórmulas para calcular la correlación cruzada y la

convolución son muy semejantes, con excepción de la operación de reflexión. De aquí

vemos que

lylxr lyx *

Un caso particular se da cuando ambas secuencias son la misma, lo cual se llama

Autocorrelación, y esta dada por

,2,1,0

llnxnxlrn

xx

o también

,2,1,0

lnxlnxlrn

xx

Correlación de Secuencias Periódicas

25

26

2. TRANSFORMADA Z

2.1. Definición de la transformada z

Recordando que la transformada de Laplace esta definida como

0

)()()}({ dtetfsFtf stL

y además que al muestrear la función f t( ) nos queda L

f t f nT t nT f t f T t T f T t Tn

*( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ...

0

0 2 2

entonces al obtener la transformada de Laplace de la función muestreada:

...)}({)2()}({)()}({)0(

...)}2({)2()}({)()}({)0(

...)}2()2({)}()({)}()0({)}(*{

2

teTfteTftf

TtTfTtTftf

TtTfTtTftftf

sTsT

LLL

LLL

LLLL

considerando que:

L t{ ( )} 1

tenemos

L f t f f T e f T e

L f t F s f kT e

sT sT

kTs

k

{ *( )} ( ) ( ) ( ) ...

{ *( )} *( ) ( )

0 2 2

0

Introducimos la variable z

z e

F s f kT z

sT

z esT k

k

*( ) ( )0

Lo cual define la transformada Z como

0

)(k

kzkTf{f(t)}Z

27

2.2. Transformada Z de Señales Básicas

Escalón Unitario

u tt

t

1

0 0

1 0( )

0

1

t

0k

Z0 0

11 1k k

kkk zzzkTutu

desarrollando la sumatoria

U z z z z( ) ... 1 1 2 3

multiplicando la ecuaciónpor z 1

z U z z z z 1 1 2 3( ) ...

ahora restando la ecuacióna

1)()1(

1)()(

1

1

1

1

1

zUz

zUzzU

finalmente

1111

1)()}({

z

zUtuZ

Función Exponencial

f tt

e tat( )

0 0

0

0

1

t

28

...1))(( 33221

0

zezezezetf aTaTaT

n

nanTZ

Multiplicamospor e zaT 1

...)}({ 332211 zezezetfze aTaTaTaT Z

Restamos y

1)}({)1( 1 tfze aT Z

11

1}{

zee

aT

atZ

Función Rampa

f tt

at t( )

0 0

0

0

1

t

F z a k T z aT k zk

k

k

k

( )

0 0

F z aT z z z( ) [ ...] 1 2 32 3

Multiplicando por z 1

z F z aT z z z 1 2 3 42 3( ) [ ...]

Restar de

( ) ( ) [ ...]1 1 1 2 3 z F z aT z z z

Multiplicando por z 1

z z F z aT z z z 1 1 2 3 41( ) ( ) [ ...]

Restar de

[( ) ( )] ( )1 11 1 1 1 z z z F z aTz

29

[( )( )] ( )1 11 1 1 z z F z aTz

[( ) ] ( )1 1 2 1 z F z aTz

21

1

1}{

z

zTaatzF Z

NOTA:

e Cos at jSen at

e Cos at jSen at

jat

jat

( ) ( )

( ) ( )

sumando ambas

e e Cos atjat jat 2 ( )

por lo tanto

Cos ate ejat jat

( )

2

Si en lugar de sumar se restan las ecuaciones se obtiene

Sen ate e

j

jat jat

( )

2

Función Seno

0000 2

1

2

][)()}({

k

kjakTk

k

jaKT

k

kTkajTkaj

k

k zezejj

zeezTkaSenatSenZ

1

2

1

1

1

1

1

2

1 1

1 1

2

11 1

1 1

1 1

1

1 1 2j e z e z j

e z e z

e z e z

z e e j

e z e z zjaT jaT

jaT jaT

jaT jaT

jaT jaT

jaT jaT( )( )

( )

z Sen aT

e e zz

jaT jaT

1

1

21 22

( )

( )

21

1

)(21

)()}({

zzaTCos

aTSenzaTSenZ

30

2.3. Propiedades de la Transformada Z

1. Linealidad

)()()}()({ zGbzFatgbtfa Z donde a y b son constantes.

2. Teorema Del Valor Inicial

)(lim)(lim0

zFtfzt

3. Teorema del Valor Final

)}()1{(lim)(lim1

1

zFztfzt

4. Translación de una Función

kzzFkTtf )()}({Z

5. Translación Compleja

)(})({ Taat ezFetf Z

Ejemplo: Obtener }{ taet Z

Si consideramos f t t( ) entonces

)()1(

}{21

1

zFz

Tzt

Z

y aplicando la propiedad 5

21

1

)1()(}{

ze

zeTezFet

Ta

TaTataZ

Ejemplo: Determinar el valor x() de:

X zz e zT( )

1

1

1

11 1

x lim zz e z

limz

e zz T z aT( ) ( )

1

1

1 1 1

1

111

1

1

11

1

11

31

Ejemplo :

112 1

1

1

2

1

1

2

2=

1

1

2

2

)2)(1(

zezessssss

sTT

ZZZZ

2 2 1

1 1

1 2

1 1

1 2 1

2 1 1

2 1

2 1 1

e z e z

e z e z

e e z

e z e z

T T

T T

T T

T T( )( )

( )

( )( )

Ejemplo:

121

1

222 1

1

)1()1(

1

)1(

1=

)1(

2

12

2

zeze

zTe

sss

s

ss

sTT

T

ZZZ

Te z e z

e z

T e z

e z

T T

T

T

T

1 1

1 2

1

1 2

1

1

1 1

1( )

( )

( )

32

2.4. Transformada Z Inversa

La operación inversa a la transformada Z es denotada como:

)}({)( 1 zFkTff k

Z

Nótese que la trasformada Z inversa nos devuelve la función muestreada f k, y no

la función original continua )(tf .

Con la transformada Z inversa se obtiene una única función f k pero esta no

responde a una única función )(tf , esto es, f k solo nos da los valores de )(tf en los

instantes de muestreo T, 2T, 3T.

Existen varios métodos para obtener la transformada Z inversa, los dos

que analizaremos son:

1) Método de fracciones parciales

2) Método de la división directa (expansión en series de potencias )

Método de Fracciones Parciales

)2)(1()(

2

zz

zzF

1

1

2

2

)2)(1(

)(

zzzz

z

z

zF

11 1

1

21

2

12

2

zzz

z

z

zzF

11

11

1

1

21

2)(

zzzF ZZ

k

z22

21

21

1

Z

11

11

1

zZ

,...2,1,01)2(2)(f)(1 kkzF kZ

33

15

7 2

3 1

1 0

f(KT)k

f(2T)k

f(T)k

f(0)k

Ejemplo:

094.30)5(

187.24)4(

375.18)3(

75.12)2(

5.7)1(

3)0(

6)5.0(3)(

)1(

6

5.01

3

)1(

6

5.0

3)(

)1(

6

5.0

3)(

0)5.0(

)1(36)5.0(

)5.0(

32

6)5.0(

31

3)5.0(

3

1

2

)1(

1

5.0)5.0()1(

3)(

)5.0()1(

3

)5.01()1(

3)(

2

1

12

2

2

22

2

2

2

22

2

2

3

121

1

f

f

f

f

f

f

kkf

z

z

zz

z

z

zzF

zzz

zF

z

zzz

zdz

zdb

z

zb

z

za

z

b

z

b

z

a

zz

zzF

zz

z

zzzF

k

Método de División Directa

Si la función F(z) se representa como:

F zz z z

z z z

m

n( )...

...

a a a a

b b b b

0 1 2 m

0 1 2 n

2

2

Donde n >m al efectuar la división polinomial se obtiene :

34

F z z z z( ) ... c c c c0 1 2 3

1 2 3

Además por definición :

...(3T)z(2T)z)(0)()( 3-2-1

0

ffzTffzkTfzF k

k

Comparando con se concluye que

f c f T c f T c( ) , ( ) , ( ) , ...0 20 1 2

Ejemplo:

321

321121121

452

6

5.025.21

3

)5.01)(21(

3

)5.01()1(

3)(

zzz

zzzzzzzzzF

2 5 4 6 3 7 5 12 75

12 3

12 3

15 37 52 30 2 5

27 7 5

1 2 3

1 2

2 3

2 3

1 2 3 4

3 4

z z zz z

z z

z z

z z z z

z z

- 6 +15z

15z

25.5z

-1

-1

-2

. .

. .

.

aquí se observa que f f T f T( ) , ( ) . , ( ) .0 3 75 2 12 75 , etc. como se había

obtenido por el método de fracciones parciales.

Ejemplo :

F zz

z z( )

1

1 21 3 2

Por fracciones parciales

F zz

z z

z

z z z z

z

z

z

z( )

( )( )

1

1 2

1

1

1

11 3 2 2 1

2

2

1

1

2

1 2 1

fk

kk k

0 0

2 2 1 2 31( ) , , ,...

35

f f T f T f T f T( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 1 2 3 3 7 4 15

Por división directa :

F zz

z z( )

1

1 21 3 2

z z z z

z z z

z z z

z z

z z z

z z

z z z

z z

1 2 3 4

1 2 1

1 2 3

2 3

2 3 4

3 4

3 4 5

4 5

3 7 15

1 3 2

3 2

3 2

3 9 6

7 6

7 21 14

15 14

...

36

37

38

3. TRANSFORMADA RÁPIDA DE FOURIER (FFT)

3.1. Serie de Fourier

Forma Trigonométrica

Considere la función x(t), periódica con periodo T, su frecuencia fundamental es

f0 =1

T , ω0 = 2πf0

La forma trigonométrica de la serie de Fourier está dada por

𝑥 𝑡 =𝐴0

2+ 𝐴𝑛 𝑐𝑜𝑠 𝑛 𝜔0 𝑡

∞

𝑛=1

+ 𝐵𝑛 𝑠𝑖𝑛 𝑛 𝜔0 𝑡

∞

𝑛=1

𝐴0

2=

1

𝑇 𝑥 𝑡 𝑑𝑡

𝑇

2

−𝑇

2

, 𝐴𝑛 = 2

𝑇 𝑥 𝑡 cos 𝑛 𝜔0 𝑡 𝑑𝑡

𝑇

2

−𝑇

2

, 𝐵𝑛 = 2

𝑇 𝑥 𝑡 sen 𝑛 𝜔0 𝑡 𝑑𝑡

𝑇

2

−𝑇

2

39

Forma Polar

Note que 𝑀𝑛 = 𝐶𝑛 .

40

Forma Compleja

𝐶𝑛 =1

𝑇 𝑥 𝑡 𝑒−𝑗𝑛 𝜔0𝑡𝑑𝑡

𝑇

2

−𝑇

2

41

Ejemplos

Hallar la serie trigonométrica de Fourier para la función

𝑓 𝑡 =

−1 −𝑇

2≤ 𝑡 < 0

1 0 ≤ 𝑡 <𝑇

2

La serie trigonométrica está dada por

𝑓 𝑡 =𝐴0

2+ 𝐴𝑛 𝑐𝑜𝑠 𝑛 𝜔0 𝑡

∞

𝑛=1

+ 𝐵𝑛 𝑠𝑖𝑛 𝑛 𝜔0 𝑡

∞

𝑛=1

𝐴0

2=

1

𝑇 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 =

𝑇

2

−𝑇

2

1

𝑇 −1 𝑑𝑡 +

1

𝑇 1 𝑑𝑡

𝑇

2

0

0

−𝑇

2

= −1

𝑇 𝑡

−𝑇

2

0 +1

𝑇 𝑡 0

𝑇

2

𝐴0

2= −

1

𝑇 0 +

𝑇

2 +

1

𝑇 0 +

𝑇

2 = 0

𝐴𝑛 = 2

𝑇 𝑓 𝑡 cos 𝑛 𝜔0 𝑡 𝑑𝑡 =

𝑇

2

−𝑇

2

2

𝑇 −1 cos 𝑛 𝜔0 𝑡 𝑑𝑡 +

2

𝑇 1 cos 𝑛 𝜔0 𝑡 𝑑𝑡

𝑇

2

0

0

−𝑇

2

= −2

𝑛 𝜔0𝑇 𝑠𝑒𝑛 𝑛 𝜔0 𝑡

−𝑇

2

0 +2

𝑛 𝜔0𝑇 𝑠𝑒𝑛 𝑛 𝜔0 𝑡 0

𝑇

2

𝐴𝑛 = −2

𝑛 𝜔0 𝑇 𝑠𝑒𝑛 0 − 𝑠𝑒𝑛 −

𝑛 𝜔0 𝑇

2 +

2

𝑛 𝜔0 𝑇 𝑠𝑒𝑛

𝑛 𝜔0 𝑇

2 − 𝑠𝑒𝑛 0

42

𝐴𝑛 = −2

𝑛 𝜔0 𝑇 𝑠𝑒𝑛

𝑛 𝜔0 𝑇

2 +

2

𝑛 𝜔0 𝑇 𝑠𝑒𝑛

𝑛 𝜔0 𝑇

2 = 0

𝐵𝑛 = 2

𝑇 𝑓 𝑡 sen 𝑛 𝜔0 𝑡 𝑑𝑡 =

𝑇

2

−𝑇

2

2

𝑇 −1 sen 𝑛 𝜔0 𝑡 𝑑𝑡 +

2

𝑇 1 sen 𝑛 𝜔0 𝑡 𝑑𝑡

𝑇

2

0

0

−𝑇

2

= 2

𝑛 𝜔0 𝑇 𝑐𝑜𝑠 𝑛 𝜔0 𝑡

−𝑇

2

0 − 2

𝑛 𝜔0 𝑇 𝑐𝑜𝑠 𝑛 𝜔0 𝑡 0

𝑇

2

𝐵𝑛 = 2

𝑛 𝜔0 𝑇 𝑐𝑜𝑠 0 − 𝑐𝑜𝑠 −

𝑛 𝜔0 𝑇

2 −

2

𝑛 𝜔0 𝑇 𝑐𝑜𝑠

𝑛 𝜔0 𝑇

2 − 𝑐𝑜𝑠 0

𝐵𝑛 = 2

𝑛 𝜔0 𝑇 1 − 𝑐𝑜𝑠

𝑛 𝜔0 𝑇

2 −

1

𝑛 𝜔0 𝑇 𝑐𝑜𝑠

𝑛 𝜔0 𝑇

2 − 1

=2

𝑛 𝜔0 𝑇 2 − 2 𝑐𝑜𝑠

𝑛 𝜔0 𝑇

2

Ya que 𝜔0 =2𝜋

𝑇

𝐵𝑛 =2

𝑛 𝜋 1 − 𝑐𝑜𝑠 𝑛 𝜋 =

2

𝑛 𝜋[1 − (−1)𝑛 ]

Así que, finalmente

𝑓 𝑡 = 2

𝑛 𝜋 1 − −1 𝑛 𝑠𝑖𝑛 𝑛𝜔0𝑡 =

4

𝜋𝑠𝑖𝑛 𝜔0𝑡

∞

𝑛=1

+4

3𝜋𝑠𝑖𝑛 3𝜔0𝑡 +

4

5𝜋𝑠𝑖𝑛 5𝜔0𝑡 + ⋯

Note que

𝐴0

2= 0 debido a que el promedio de la función es cero (bias).

𝐴𝑛 = 0 ya que la función es impar.

La forma polar

𝑓 𝑡 = 𝑀𝑛 cos 𝑛 𝜔0 𝑡 + 𝜃𝑛

∞

𝑛=1

Sería idéntica a la trigonométrica ya que

𝑀𝑛 = 𝐴𝑛2 + 𝐵𝑛

2 = 𝐵𝑛y𝜃𝑛 = tan−1 𝐵𝑛

𝐴𝑛 = 90°

𝑓 𝑡 = 2

𝑛 𝜋 1 − 𝑐𝑜𝑠 𝑛 𝜋 cos 𝑛 𝜔0 𝑡 + 90°

∞

𝑛=1

= 2

𝑛 𝜋 1 − 𝑐𝑜𝑠 𝑛 𝜋 𝑠𝑖𝑛 𝑛 𝜔0 𝑡

∞

𝑛=1

43

Para encontrar la forma compleja

𝐶𝑛 =1

𝑇 𝑥 𝑡 𝑒−𝑗𝑛 𝜔0𝑡𝑑𝑡 =

𝑇

2

−𝑇

2

1

𝑇 −1 𝑒−𝑗𝑛𝜔0𝑡𝑑𝑡 +

1

𝑇 1 𝑒−𝑗𝑛 𝜔0𝑡𝑑𝑡

𝑇

2

0

0

−𝑇

2

𝐶𝑛 =1

𝑗𝑛𝜔0𝑇 𝑒−𝑗𝑛 𝜔0𝑡

−𝑇

2

0−

1

𝑗𝑛𝜔0𝑇 𝑒−𝑗𝑛 𝜔0𝑡

0

𝑇

2 =1

𝑗𝑛𝜔0𝑇 1 − 𝑒𝑗𝑛 𝜔0

𝑇

2 −1

𝑗𝑛𝜔0𝑇 𝑒−𝑗𝑛 𝜔0𝑡

0

𝑇

2

3.2. Transformada de Fourier

Al obtener la serie de Fourier de una señal periódica cuadrada con un periodo T=2

obtenemos

Podemos apreciar la forma de la gráfica del espectro de magnitud

44

45

46

3.3. Transformada Discreta de Fourier

Considerando que la señal que estamos manejando es discreta, y además que la

resolución en frecuencia que podemos tener es finita, la Serie de Fourier se convierte

en la Transformada Discreta de Fourier (DFT) de N puntos y su ecuación es la

siguiente:

De igual manera, la operación inversa es conocida como la Transformada

Discreta Inversa de Fourier (IDFT)

3.4. Transformada Rápida de Fourier

Implementar cualquiera de las ecuaciones anteriores en un programa

computacional exige una gran cantidad de cálculos, y aún para las modernas y rápidas

computadoras el tiempo de ejecución es considerable, haciendo cualquier aplicación

impráctica la mayoría de las veces. Es por esta razón que se han desarrollado métodos

computacionales para aprovechar algunas características de la DFT, eliminando

operaciones redundantes.

Si definimos

47

Por lo que la DFT y la IDFT se pueden escribir

Principalmente se aprovechan las características de Periodicidad y Simetría de

los coeficientes dados por

Fig. 4.1 Periodicidad y simetría en los factores W.

A los métodos así diseñados se les conoce como Transformada Rápida de

Fourier (FFT).

Método de “Divide y Vencerás” para el Cálculo de la DFT

Se basa en la descomposición de una DFT de N puntos en varias DFTs de

menos puntos.

Se descompondrá N en la multiplicación de dos factores

48

N=L M

De forma que el vector de datos x(n) puede ser guardado en un arreglo matricial

de L filas por M columnas, por lo que ahora se indexará como x(l,m) de forma que

n=Ml+m (arreglo por filas) o bien

n=l+Lm (arreglo por columnas)

donde 0<l<L-1 y 0<m<M-1

De la misma manera indexamos el vector resultante X(k) como X(p,q) con

k=Mp+q o bien k=p+Lq.

Entonces reescribiremos la fórmula de la DFT, acomodando x(n) por columnas y

X(k) por filas

De aquí

Nótese que

49

De donde simplificamos a

Esta ecuación equivale al cálculo de una DFT de M puntos y después otra DFT de

L puntos.

1. Se calcula una DFT de M puntos para cada una de las L filas

l = 0,1,. . . , L- 1.

2. Calculamos

3. Finalmente se calculan DFTs de L puntos, para cada una de las M

columnas q = 0, 1,…, M-1

1era etapa L DFTs de M puntos cada

una

LM2 multiplicaciones

complejas

LM(M-1) sumas

complejas

2da etapa LM multiplicaciones

complejas

3era etapa M DFTs de L puntos cada

una

ML2 multiplicaciones

complejas

ML(L-1) sumas

complejas

Total N(M+L+1) N(M+L-2)

Esta descomposición se puede realizar en más factores, resultando en DFTs más

pequeñas y eficientes:

N=r1 r2 r3 … rv

50

Computación de una DFT de N=15 puntos por medio de DFTs de 3 y 5 puntos.

Método de Base 2 (Radio 2)

Uno de los métodos para la FFT es el de Base-2 (Radix-2) el cual está basado en

que la señal x(n) tenga un número de elementos N que sea potencia de 2. Si no es el

caso, entonces se pueden agregar una cantidad de elementos cero adecuada para

tener una potencia de 2, a esto se le conoce como zero padding.

La DFT se calcula de forma más eficiente entre más se descomponga N en

factores pequeños. El método de Base-2 se caracteriza por descomponer N en factores

r=2, de forma que N=2v, por lo que N tiene que ser una potencia de 2. Si no fuera el

caso, se rellenaría x(n) con tantos ceros como fuese necesario para completar una

potencia de 2.

Se toma M=N/2 y L=2, es decir, se divide x(n), por diezmado en tiempo, en dos

subsecuencias de la mitad de longitud f1(n) y f2(n)

Así

51

Ya que WN2=WN/2

Considerando que

F1(k) y F2(k) son periódicas con periodo N/2, F1(k+N/2)= F1(k) y F2(k+N/2)= F2(k)

WNk+N/2 = -WN

k

Este proceso requiere 2(N/2)2+N/2 multiplicaciones. Lo cual es una reducción de

casi la mitad con respecto a la computación directa de la DFT.

Este procedimiento se puede repetir sucesivamente con cada una de las dos DFT

logrando nuevos ahorros de cómputo.

52

La base de este método es conocida como la operación mariposa, que consiste

en hacer multiplicaciones, sumas y restas de acuerdo al siguiente diagrama de flujo

Fig. 4.2 Operación mariposa.

Donde

𝑐 = 𝑎 + 𝑊𝑘𝑛 𝑏 y 𝑑 = 𝑎 − 𝑊𝑘

𝑛 𝑏.

De forma que una FFT de 8 puntos se obtiene según el siguiente diagrama (x es

la señal original y X es su correspondiente transformada):

53

Fig. 4.3 Operaciones para una FFT de 8 puntos.

Note que para que los resultados se obtengan ordenados, los datos de la señal

x(n) se ordenan previamente en forma de bit inverso, esto es, él número

correspondiente a la posición de cada dato se escribe en forma binaria, se invierte el

orden de los 0’s y 1’s y esto dará la nueva posición.

54

4.4 Ordenamiento de bit inverso.

Este método, que no es el único FFT, reduce considerablemente el número de

operaciones, y por lo tanto el tiempo de ejecución, con respecto al cálculo directo de la

DFT.

4.5 Comparación de la cantidad de operaciones entre el cálculo directo de la DFT y la FFT

55

Fig. 4.6 Diagrama de flujo general del algoritmo FFT de radio 2.

56

4. DISEÑO DE FILTROS FIR

4.1. Diseño de un Filtro FIR Pasobajo

Se desea calcular los coeficientes de un filtro de pasobajo digital FIR, con una

frecuencia de corte Fc=200Hz, utilizando una ventana Blackman y un ancho en la

banda de transición de 100Hz. La frecuencia de muestreo es fs=1000 M/s.

El ancho en la banda de transición, BW, expresado en frecuencia normalizada

con la frecuencia de muestreo es

1.01000

100BW

Para la ventana Blackman, el ancho de la banda de transición, expresada en

términos de la longitud del filtro M, es M

BW12

, en frecuencia normalizada (si fs=2π)

es M

BW6

de donde la longitud del filtro es 601.0

66

BWM .

La ventana Blackman tiene la siguiente ecuación

MiM

i

M

iiB ,,1,0,

4cos08.0

2cos5.042.0)(

y su forma se muestra en la figura 1

Fig. 1 Ventana Blackman

0 10 20 30 40 50 600

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Ventana Blackman

57

La respuesta para un filtro pasobajo idea, con cero ancho de la banda de

transición, está dada por la función Sinc

,2,1,0,

2sini

i

iFc

la cual no es causal y además es infinita por ambos extremos, por lo que es necesario

recortarla a M datos y además se recorre a la derecha para estar centrada en M/2.

MiM

i

MiFc

,,1,0,

2

22sin

La forma de la función Sinc modificada se muestra en la figura 2. Fc, la frecuencia

de corte del filtro, debe ser sustituido en frecuencia normalizada, esto es

2.01000

200cF

Fig. 2 Función Sinc modificada.

Para disminuir el rizado en la respuesta del filtro producido por la truncación

(Fenómeno de Gibss) se multiplica la función Sinc por una función ventana que atenúe

sus extremos, en este caso la Blackman, dando como resultado la ecuación para los

coeficientes del filtro

0 10 20 30 40 50 60-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Sinc

58

MiM

i

M

i

Mi

MiF

Kih

c

,,1,0,4

cos08.02

cos5.042.0

2

22sin

)(

K es un factor necesario para lograr la ganancia deseada en la banda de paso, para

este ejemplo esa ganancia es unitaria (0 dB). Inicialmente se puede tomar K=1 y

calcular los coeficientes. Como se desea un filtro pasobajo la suma de los valores de

los coeficientes debe ser 1 (o la ganancia deseada en la banda de paso), si no es así

se dividen todos los coeficientes entre la suma total de ellos (en este ejemplo K=

3.141655602301966), obteniendo los coeficientes finales. Se debe tener cuidado en el

término h(M/2), el cual aparentemente se indetermina por la división, pero es igual a

K2πFc.

Los coeficientes del filtro, que son la respuesta al impulso del filtro, se muestran

en la figura 3.

Fig 3. Respuesta al impulso del filtro pasobajo.

Los coeficientes resultantes son mostrados a continuación. Note que la precisión

de los coeficientes es importante para una respuesta correcta del filtro. También note

que son simétricos, lo cual nos da el mismo defasamiento para cualquier frecuencia.

0 10 20 30 40 50 60-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4Sinc con Ventana Blackman (Coeficientes del filtro)

59

Coef. del 0 al 19

0.000000000000000

-0.000010343373656

-0.000026793454823

0.000063702781699

0.000195114400770

-0.000000000000000

-0.000507225987798

-0.000461958652354

0.000655445255445

0.001461525868174

-0.000000000000000

-0.002598671515230

-0.002086828380550

0.002673910668839

0.005477120220697

-0.000000000000000

-0.008519804532084

-0.006488887206858

0.007948180811951

0.015682177893114

Coef. del 20 al 39

-0.000000000000000

-0.023181012636192

-0.017451273686986

0.021380438168477

0.042847131752802

-0.000000000000000

-0.070406420286926

-0.059885681866652

0.091877934752337

0.301366226364990

0.399991985281630

0.301366226364990

0.091877934752337

-0.059885681866652

-0.070406420286926

-0.000000000000000

0.042847131752802

0.021380438168477

-0.017451273686986

-0.023181012636192

Coef. del4 0 al 59

-0.000000000000000

0.015682177893114

0.007948180811951

-0.006488887206858

-0.008519804532084

-0.000000000000000

0.005477120220697

0.002673910668839

-0.002086828380550

-0.002598671515230

-0.000000000000000

0.001461525868174

0.000655445255445

-0.000461958652354

-0.000507225987798

-0.000000000000000

0.000195114400770

0.000063702781699

-0.000026793454823

-0.000010343373656

Para observar la respuesta en frecuencia del filtro, se puede obtener la FFT del

vector de coeficientes, normalizando el eje de la frecuencia. También se puede utilizar

las funciones freqz o fvtool de Matlab.

Fig. 4 Respuesta en frecuencia del filtro (en dB).

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

Frequency (Hz)

Magnitu

de (

dB

)

Magnitude Response (dB)

60

Para probar el funcionamiento del filtro se tomará una señal de dos componentes

tFtFtx 21 2sin5.02sin

con F1=100Hz y F2=313Hz. La longitud del vector de datos x será de L=201.

Fig. 5 Señal de entrada al filtro.

Después de aplicar el filtro FIR resultante, con la instrucción filter o la instrucción

conv, se obtiene la respuesta de la figura 6. Nótese que la componente de mayor

frecuencia fue eliminada. En los primeros instantes de muestreo la señal de salida no

es senoidal debido a que las localidades de memoria del filtro inician con valor cero.

Fig. 6 Señal filtrada a la salida del filtro.

Además de utilizar la convolución, el filtrado se puede realizar empleando la FFT,

pues según sus propiedades la operación de convolución equivale a una multiplicación

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5x=sin(2*pi*100*t)+.5*sin(2*pi*313*t)

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Salida de la Convolución (Señal Filtrada)

Tiempo

61

en el dominio de la frecuencia. El espectro de la señal original es mostrado en la Figura

7 y el de la respuesta del filtro en la figura 8.. Las dos crestas corresponden a las

componentes de frecuencia de 100 y 313 Hz.

Fig. 7 Señal original x antes de ser filtrada.

Fig. 8. Respuesta en frecuencia del filtro pasobajo.

Después de multiplicar las FFT’s de la señal de entrada y la del filtro se obtiene la

FFT de la salida filtrada, figura 9. Nótese que para realizar la multiplicación ambas

FFTs deben tener la misma longitud N, por lo que ambos vectores, x y h, se rellenan

con ceros. Esta longitud debe ser mayor que la longitud del filtro M mas la longitud de

la señal L menos 1, ya que ese es el tamaño de la convolución resultante, M+L-1.

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Frecuencia

Magnitud

Espectro de la Señal Original

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Respuesta en Frecuencia del Filtro (Escala Lineal)

Frecuencia (Hz)

Gan

anci

a

62

Fig. 9 Producto del espectro de la señal por el del filtro.

La señal de salida se obtiene realizando la IFFT del resultado obtenido, recuerde

que solo los primeros M+L-1 elementos de la IFFT corresponden a la señal filtrada, el

resto se debe al rellenado con ceros. La figura 10 muestra la IFFT resultante, igual al

de la figura 6.

Fig. 10 Resultado de la convolución por FFT.

El filtrado de señales de gran longitud se realiza seccionando el vector de datos

original en lotes de longitud L. Después se realiza el filtrado por FFT, lo cual dará como

resultado lotes de señal filtrada con longitud N>L+M-1, por lo que parte de los datos se

traslaparán. Estos datos deben ser sumados aprovechando la propiedad de linealidad

del filtro.

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100 Producto de las FFT's del Filtro y la Señal

Frecuencia

Magnitud

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Salida de la Convolución por FFT

Tiempo

Mag

nitu

d

63

4.2. Diseño de Filtros FIR Pasoalto

Ya que se ha diseñado un filtro de pasobajo con frecuencia de corte Fc, este

puede ser convertido a uno pasoalto empleando uno de los siguientes métodos:

Inversión Espectral

A los coeficientes del filtro FIR de pasobajo se les cambia el signo, después se

suma 1 al coeficiente central. Esta modificación produce un efecto sobre la respuesta

en frecuencia del filtro de tal forma que lo invierte verticalmente, por lo que ahora los

coeficientes resultantes corresponden a un filtro pasoalto con frecuencia de corte Fc.

Las figuras 11 y 12 muestran la respuesta al impulso y la característica en frecuencia

del nuevo filtro.

Fig. 11 Respuesta al impulso del filtro pasoalto por inversión espectral.

Fig. 12 Respuesta en frecuencia del filtro pasoalto por inversión espectral.

0 10 20 30 40 50 60-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Coeficientes del filtro con inversión espectral

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Frecuencia (Hz)

Gan

anci

a

Respuesta en Frecuencia del Filtro con Inversión Espectral

64

Reflexión Espectral

A los coeficientes del filtro FIR pasobajo se les cambia el signo alternadamente,

esto es, solo se cambian los coeficientes de las posiciones 1, 3, 5, etc. Este cambio

produce una reflexión horizontal en el espectro del filtro, entre frecuencia 0 y Fs/2. De

esta manera, el filtro pasoalto resultante tiene una frecuencia de corte Fs/2-Fc.

Fig. 13 Respuesta al impulso del filtro pasoalto por reflexión espectral.

Fig. 14 Respuesta en frecuencia del filtro pasoalto por reflexión espectral.

0 10 20 30 40 50 60-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4Coeficientes del Filtro con Reflexión Espectral

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Respuesta en la frecuecia del filtro con reflexión espectral

65

4.3. Diseño de Filtros FIR Pasabanda y Supresor de Banda

Un filtro pasabanda se puede obtener mediante la aplicación en serie de un filtro

pasobajo y uno pasoalto. Los coeficientes filtro equivalente se calculan

convolucionando los coeficientes de ambos filtros.

Fig.15 Obtención de un filtro pasabanda.

Un filtro supresor de banda se logra mediante la aplicación en paralelo de un filtro

paso bajo y uno pasoalto. Los coeficientes del filtro equivalente se calculan sumando

los coeficientes de ambos filtros, que deben ser de la misma longitud. Otra forma de

diseñar este filtro es aplicando la inversión espectral a un filtro supresor de banda.

Fig 16. Filtro supresor de banda obtenido por inversión espectral del filtro de la fig. 15.

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000

0.5

1

1.5Filtro Pasobajo

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000

0.5

1

1.5Filreo Pasoalto

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000

0.5

1

1.5

Frecuencia

Filtro Pasabada

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Frecuencia

Gan

anci

a

Filtro Supresor de Banda

66

5. DISEÑO DE FILTROS IIR

67