Apuntes de Programacion Lineal

6 PROGRAMACIÓN LINEAL

Tem

a 6

: Pr

og

ram

aci

ón

line

al

Intr

oducc

ión

89

Organiza tus ideas

El tema comienza con una introducción a la programación li-neal, en la que se exponen todos los conceptos necesarioscomo región factible, función objetivo, vector director de lafunción objetivo, rectas de nivel y solución o soluciones ópti-mas. Además, al mismo tiempo que se introducen los con-ceptos, se va resolviendo un problema modelo paso a paso.En la segunda parte se describe el procedimiento de resolu-ción de problemas de programación lineal bidimensional y seplantean y resuelven dos problemas, uno en el que la optimi-zación consiste en maximizar una función y otro en que la op-timización consiste en minimizar una función.En la tercera sección se aborda la cuestión del número de so-luciones de un problema de programación lineal. Por lo gene-ral, el problema tendrá una solución, pero se pueden presentarlos casos en los que no tenga solución o tenga varias solucio-nes, en cada uno de los casos se resuelve un problema mode-lo.La programación lineal tiene aplicación a una gran variedadde problemas. Un supuesto que puede servir de ejemplo esel siguiente: Una fábrica produce dos tipos de productos, porcada uno de ellos tiene unos gastos y unos ingresos, ¿cuán-tos tiene que producir de cada uno para que los beneficiossean máximos? Otro ejemplo puede ser: Hay que transportarpersonas y mercancías y se tienen dos tipos de aviones.¿Cuántos aviones se deben elegir de cada tipo para que losgastos sean mínimos?

Programación lineal

problemas de optimización

optimizar una función • una solución• ninguna solución• varias soluciones

región factible

un recinto limitadopor inecuaciones

resuelve

que puede tenerque consisten en

en una

que es

1. INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL

1.1. Programación lineal bidimensional

EjemploDado el recinto definido por el siguiente sistema de inecuaciones:

maximiza en dicho recinto el valor de la función f(x, y) = 30x + 20y

1.2. Región factible

EjemploContinuando con el ejemplo anterior, se obtiene la región factible representa-da en el margen.

1.3. Función objetivo

EjemploContinuando con el ejemplo anterior, se tiene que la función objetivo es:

f(x, y) = 30x + 20y

1.4. Vector director de la función objetivo

EjemploContinuando con el ejemplo anterior, el vector director de la función objeti-vo f(x, y) = 30x + 20y es →v(–20, 30) || (–2, 3)

x + y ≤ 72x + y ≤ 10x ≥ 0y ≥ 0

90 TEMA 6

Piensa y calculaEscribe una función f(x, y) que calcule los ingresos que se obtienen al vender x chaquetas a 30 E e y pantalones a 20 E

La programación lineal bidimensional trata de optimizar, es decir, de ma-ximizar o minimizar una función lineal con dos variables sujeta a unas res-tricciones que están dadas por inecuaciones lineales.

La función objetivo en un problema de programación lineal es la función li-neal en dos variables que se desea optimizar. Se representa por:

f(x, y) = ax + by

La región factible de una función objetivo es un polígono convexo finito o in-finito en el que toma valores la función objetivo; es decir, son todos los puntosdel plano que verifican todas las restricciones del enunciado del problema.

El vector director de la función objetivo f(x, y) = ax + by es el vector:→v(–b, a)

Las dos coordenadas del vector director de la función objetivo se pueden multi-plicar o dividir por un mismo número distinto de cero, y su dirección no varía.

Restricciones x ≥ 0, y ≥ 0Prácticamente en todos los pro-blemas de programación lineal seexige que las variables x e y seanmayores o iguales que cero; enestos casos, la región factible sedibuja directamente en el 1er cua-drante.

1.5. Rectas de nivel

Ejemplo

Continuando con la función objetivo y la región factible del problema ante-rior, las rectas de nivel son las rectas verdes del dibujo.

1.6. Solución óptima

Ejemplo

Continuando con el mismo ejemplo, la solución óptima es B(3, 4)

Ejemplo

Continuando con el mismo ejemplo:

O(0, 0) ⇒ f(0, 0) = 30 · 0 + 20 · 0 = 0

A(5, 0) ⇒ f(5, 0) = 30 · 5 + 20 · 0 = 150

B(3, 4) ⇒ f(3, 4) = 30 · 3 + 20 · 4 = 170 Máximo

C(0, 7) ⇒ f(0, 7) = 30 · 0 + 20 · 7 = 140

La solución óptima es B(3, 4)

91

Aplica la teoría1. Dado el recinto definido por el siguiente sistema de ine-

cuaciones:

2x + y ≤ 1 000

x + 1,5y ≤ 750

x ≥ 0

y ≥ 0

a) Represéntalo gráficamente.

b) Halla sus vértices.

c) Obtén el valor máximo de la función f(x, y) = 15x + 12yen el recinto anterior,así como el punto en que lo alcanza.

2. Representa gráficamente la región factible determinadapor las siguientes desigualdades:

Calcula la solución que hace mínima la función objetivoz = x + 2y sometida a las restricciones anteriores.

x ≥ 0y ≥ 0x + y ≥ 54x + 3y ≤ 30

Tem

a 6

: Pr

og

ram

aci

ón

line

al

Las rectas de nivel son las rectas paralelas al vector director de la función ob-jetivo que pasan por los puntos de la región factible.

La solución óptima son los puntos de la región factible donde la funciónobjetivo alcanza el valor óptimo, es decir, el máximo o el mínimo. Si la solu-ción óptima es única, es uno de los vértices de la región factible. Si existenvarias soluciones, son todos los puntos que están sobre uno de los lados.

Gráficamente, si la solución óptima es un máximo, ésta corresponde al pun-to o puntos en los que la recta de nivel esté lo más alta posible. Si la soluciónes un mínimo, corresponde al punto o puntos en los que la recta de nivel es-té lo más abajo posible.

Analíticamente, para hallar la solución óptima, se prueba en la función ob-jetivo cada uno de los vértices de la región factible.

2. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL

2.1. Procedimiento de resolución

2.2. Tabla con los datos del problema

EjemploUna fábrica quiere producir bicicletas de paseo y de montaña. La fábrica dis-pone de 80 kg de acero y 120 kg de aluminio. Para construir una bicicleta depaseo se necesitan 1 kg de acero y 3 kg de aluminio, y para construir una bi-cicleta de montaña se necesitan 2 kg de acero y otros 2 kg de aluminio. Sivende las bicicletas de paseo a 200 E y las de montaña a 150 E, ¿cuántas bici-cletas de cada tipo debe construir para que el beneficio sea máximo?

1) Tabla con los datos del problema.

2) Región factible.Es el gráfico del margen.

3) Valores de la función objetivo en los vértices de la región factible.O(0, 0) ⇒ f(0, 0) = 200 · 0 + 150 · 0 = 0 EA(40, 0) ⇒ f(40, 0) = 200 · 40 + 150 · 0 = 800 EB(20, 30) ⇒ f(20, 30) = 200 · 20 + 150 · 30 = 850 E MáximoC(0, 40) ⇒ f(0, 40) = 200 · 0 + 150 · 40 = 600 E

92 TEMA 6

Piensa y calculaEscribe la función objetivo que calcule los ingresos que se obtienen al vender x bicicletas de paseo a 200 Ee y bicicletas de montaña a 150 E

Para resolver un problema de programación lineal se sigue el procedimiento:1) Se hace una tabla con los datos del problema.2) Se representa la región factible.3) Se calculan los valores de la función objetivo en los vértices de la región factible.4) Se escribe la solución.

• En la 1ª fila, cabecera horizontal, se escriben las etiquetas correspondientesa los conceptos de las variables y la etiqueta restricciones.

• En la 2ª fila se escriben las variables y se ponen las letras que representan alas variables.

• En cada una de las filas siguientes se escribe una condición, que da origen auna restricción, es decir, a una inecuación.

• En la última fila se escriben los valores correspondientes a la función obje-tivo y si se trata de maximizar o minimizar.

Maximizar y minimizarSe harán dos ejemplos, uno demaximizar y otro de minimizar.

Ambos procedimientos de reso-lución son análogos.

Nº de bicicletas

B. de paseo

x

B. de montaña

y

Restricciones

x ≥ 0; y ≥ 0

Acero x 2y x + 2y ≤ 80

Aluminio 3x 2y 3x + 2y ≤ 120

Beneficio 200x 150y f(x, y) = 200x + 150y Maximizar

4) La solución óptima es B(20, 30), es decir, x = 20 bicicletas de paseo ey = 30 bicicletas de montaña.

Ejemplo

Se quiere organizar un puente aéreo entre dos ciudades, con plazas suficientesde pasaje y carga, para transportar a 1 600 personas y 96 toneladas de equipa-je. Los aviones disponibles son de dos tipos: 11 del tipo A y 8 del tipo B. Lacontratación de un avión del tipo A, que puede transportar a 200 personas y6 toneladas de equipaje, cuesta 40 000 E; la contratación de uno del tipo B,que puede transportar 100 personas y 15 toneladas de equipaje, cuesta10 000 E.

¿Cuántos aviones de cada tipo deben utilizarse para que el coste sea mínimo?

1) Tabla con los datos del problema.

2) Región factible.

Es el gráfico del margen.

3) Valores de la función objetivo en los vértices de la región factible.

A(6, 4) ⇒ f(6, 4) = 40 000 · 6 + 10 000 · 4 = 280 000 E

B(11, 2) ⇒ f(11, 2) = 40 000 · 11 + 10 000 · 2 = 460 000 E

C(11, 8) ⇒ f(11, 8) = 40 000 · 11 + 10 000 · 8 = 520 000 E

D(4, 8) ⇒ f(4, 8) = 40 000 · 4 + 10 000 · 8 = 240 000 E Mínimo

4) La solución óptima es D(4, 8), es decir, x = 4 aviones tipo A, y = 8 avionestipo B

93

Aplica la teoría3. Un sastre tiene 80 m2 de tejido A y 120 m2 de tejido B.

Un traje de caballero requiere 1 m2 de A y 3 m2 de B, yun vestido de señora 2 m2 de cada tejido. Si la venta deun traje deja al sastre el mismo beneficio que la de unvestido, halla cuántos trajes y vestidos debe fabricar paraobtener la máxima ganancia.

4. Una empresa produce dos bienes,A y B.Tiene dos facto-rías y cada una de ellas produce los dos bienes en lascantidades por hora siguientes:

La empresa recibe un pedido de 300 unidades de A y 500de B. Los costes de funcionamiento de las dos factoríasson: 100 E por hora para la factoría 1 y 80 E por horapara la factoría 2. ¿Cuántas horas debe funcionar cadafactoría para minimizar los costes de la empresa y satisfa-cer el pedido?

5. Un vendedor de libros usados tiene en su tienda 90 li-bros de la colección Austral y 80 de la colección Alianzade bolsillo. Decide hacer dos tipos de lotes: el lote de ti-po A con 3 libros de Austral y 1 de Alianza de Bolsillo,que vende a 8 E y el de tipo B con 1 libro de Austral y 2de Alianza de bolsillo, que vende a 10 E

¿Cuántos lotes de cada tipo debe hacer el vendedor paramaximizar su ganancia cuando los haya vendido todos? Te

ma

6:

Pro

gra

ma

ció

n li

nea

l

Soluciones enterasEn la mayoría de los problemasde programación lineal las solu-ciones tienen que ser númerosenteros.

Ejemplo Número de bicicletas de paseo yde montaña.

Ejemplo Número de aviones de tipo A yde tipo B

Nº de aviones

Tipo A

x

Tipo B

y

Restricciones

0 ≤ x ≤ 11; 0 ≤ y ≤ 8

Personas 200x 100y 200x + 100y ≥ 1600

Equipaje 6x 15y 6x + 15y ≥ 96

Coste 40 000x 10 000y f(x, y) = 40 000x + 10 000y Minimizar

Factoría I

Bien A 10 unidades/hora

Factoría 2

20 unidades/hora

Bien B 25 unidades/hora 25 unidades/hora

3. NÚMERO DE SOLUCIONES

3.1. Problemas con infinitas soluciones

Ejemplo

Dado el recinto definido por el siguiente sistema de inecuaciones:

maximiza en dicho recinto el valor de la función:

f(x, y) = 30x + 60y



2) Valores de la función objetivo en los vértices de la región factible.

O(0, 0) ⇒ f(0, 0) = 30 · 0 + 60 · 0 = 0

A(8, 0) ⇒ f(8, 0) = 30 · 8 + 60 · 0 = 240

B(6, 2) ⇒ f(6, 2) = 30 · 6 + 60 · 2 = 300 Máximo

C(0, 5) ⇒ f(0, 5) = 30 · 0 + 60 · 5 = 300 Máximo

3) La solución se alcanza en los vértices B(6, 2) y C(0, 5), por tanto, tambiénse alcanza en todos los puntos del lado que une los puntos B(6, 2) yC(0, 5), es decir, tiene infinitas soluciones.

Se observa gráficamente que el lado BC es paralelo al vector director de lafunción objetivo.

→v(–60, 30) || (–2, 1)

3.2. Problemas sin solución

x + y ≤ 8x + 2y ≤ 10x ≥ 0y ≥ 0

94 TEMA 6

Piensa y calculaRepresenta la región definida por las siguientes restricciones:

x ≥ 0 y ≥ 0 x + y ≥ 6 y ≥ x

¿Está acotada?

Un problema de programación lineal tiene infinitas soluciones si tiene lasolución óptima en dos vértices de la región factible. En este caso, todos lospuntos del lado que une ambos vértices son soluciones óptimas. Gráfica-mente este lado es paralelo al vector director de la función objetivo.

Un problema de programación lineal puede que no tenga solución debido ados razones:a) Porque la región factible sea vacía.b) Porque la región factible no esté acotada y no se alcance nunca en ella la

solución óptima.

Ejemplo


minimiza en dicho recinto el valor de la función:

f(x, y) = 17x + 35y



Se observa que la región factible está vacía, es decir, no hay ningún puntoen el plano que verifiquen las restricciones del enunciado del problema.

Ejemplo



f(x, y) = 10x + 20y



Se observa que la región factible no está acotada y, por tanto, nunca se al-canza en ningún punto de ella el valor máximo.

Observa que si, se trata de minimizar una función objetivo en un recinto no aco-tado, si puede tener solución.

x ≤ yx + 2y ≥ 6x ≥ 0y ≥ 0

x + y ≥ 72x + 3y ≤ 12x ≥ 0y ≥ 0

95

Aplica la teoría6. Dado el recinto definido por el siguiente sistema de ine-

cuaciones:


f(x, y) = 15x + 10y

7. Dado el recinto definido por el siguiente sistema de ine-cuaciones:


f(x, y) = 12x + 19y

8. Dado el recinto definido por el siguiente sistema de ine-cuaciones:


f(x, y) = 7x + 11y

x + y ≥ 6x ≥ yx ≥ 0y ≥ 0

x + y ≤ 4x + 2y ≥ 10x ≥ 0y ≥ 0

x + y ≤ 83x + 2y ≥ 12x ≥ 0y ≥ 0

Tem

a 6

: Pr

og

ram

aci

ón

line

al

96 TEMA 6

E jerc i c ios y problemas

1. Introducción a la programación lineal

9. Sea el recinto definido por las siguientesinecuaciones:

a) Dibuja dicho recinto y determina sus vértices.

b) Determina en qué punto de ese recinto alcanzala función f(x, y) = 4x + 3y el máximo valor.

10. Dado el recinto definido por el siguiente sistema deinecuaciones:

x + y ≤ 27

x ≥ 12

y ≥ 6


b) Determina los vértices de ese recinto.

c) ¿Cuáles son los valores máximo y mínimo de lafunción f(x, y) = 90x + 60y en el recinto anterior?¿En qué puntos alcanza dichos valores?

11. Sea el siguiente sistema de inecuaciones:

a) Dibuja el conjunto de puntos definidos por lasinecuaciones.

b) Maximiza en dicho conjunto, la función objetivoz = 2x + 3y

12. Dada la función objetivo f(x, y) = 2x + 3y sujeta a lasrestricciones siguientes:

3x + y ≤ 10

x + 2y ≤ 8

x ≥ 0

y ≥ 0

a) Representa la región factible.

b) Halla los valores de x e y que hacen máxima lafunción objetivo.

c) Determina los valores x e y que minimizan lafunción objetivo.

2. Resolución de problemas de programación lineal

13. Un artesano fabrica collares y pulseras. Hacer uncollar lleva dos horas, y hacer una pulsera una hora.El material de que dispone no le permite hacer másde 50 piezas. Como mucho, el artesano puede dedi-car al trabajo 80 horas. Por cada collar gana 5 E ypor cada pulsera, 4 E. El artesano desea determinarel número de collares y pulseras que debe fabricarpara optimizar sus beneficios.

a) Expresa la función objetivo y las restricciones delproblema.

b) Representa gráficamente el recinto definido.

c) Obtén el número de collares y pulseras corres-pondientes al máximo beneficio.

14. Un ganadero tiene que elaborar un pienso a partirde dos ingredientes nutritivos: A y B. Los mínimosque necesita son 30 unidades de A y 32 unidades deB. En el mercado se venden sacos de dos marcasque contienen A y B, cuyos contenidos y precios sedan en la tabla siguiente:

¿Cuántos sacos de cada marca tiene que comprar elganadero para elaborar este pienso con el mínimocoste?

15. Una fábrica produce confitura de albaricoque y con-fitura de ciruela. El doble de la producción de confi-tura de ciruela es menor o igual que la producciónde confitura de albaricoque más 800 unidades.Ade-más, el triple de la producción de confitura de alba-ricoque más el doble de la producción de confiturade ciruela es menor o igual que 2 400 unidades.

Cada unidad de confitura de albaricoque produceun beneficio de 60 E, y cada unidad de confitura deciruela 80 E. ¿Cuántas unidades de cada tipo deconfitura se tienen que producir para obtener unbeneficio máximo?

16. Una empresa que sirve comidas preparadas tieneque diseñar un menú utilizando dos ingredientes. Elingrediente A contiene 35 g de grasas y 150 kiloca-lorías por cada 100 gramos de ingrediente, mientrasque el ingrediente B contiene 15 g de grasas y 100kilocalorías por cada 100 g. El coste es de 1,5 E porcada 100 g del ingrediente A y de 2 E por cada 100 gdel ingrediente B

x + 3y ≤ 32x + y ≤ 4x ≥ 0y ≥ 0

5x + 2y – 10 ≥ 0x – y – 2 ≤ 03x + 4y – 20 ≤ 0x ≥ 0y ≥ 0

Unidadesde A

Marca

I 3

II 1

Unidadesde B

1

4

Precio del saco

9 E

12 E

97

El menú que hay que diseñar debería contener nomás de 30 g de grasas y, al menos 110 kilocaloríaspor cada 100 g de alimento. Se pide determinar lasproporciones de cada uno de los ingredientes quese emplearán en el menú, de manera que su costesea lo más reducido posible.

a) Indica la expresión de las restricciones y la fun-ción objetivo del problema.

b) Representa gráficamente la región delimitada porlas restricciones.

c) Calcula el porcentaje óptimo de cada uno de losingredientes que se incluirán en el menú.



f(x, y) = 16x + 24y



f(x, y) = 5x + 7y



f(x, y) = 23x + 14y

x + y ≥ 8x ≤ yx ≥ 0y ≥ 0

x + y ≥ 112x + y ≤ 8x ≥ 0y ≥ 0

x + y ≥ 52x + 3y ≤ 18x ≥ 0y ≥ 0



b) Calcula sus vértices.

c) Calcula el máximo de la función f(x, y) = 20x + 60yen dicho recinto.



b) Calcula los vértices de ese recinto.

c) Obtén en dicho recinto el valor máximo y elvalor mínimo de la función dada por

f(x, y) = 10 000x + 7 000y

y di en qué puntos se alcanzan.

22. Sea P el polígono de vértices O(0, 0),A(6, 0), B(8, 3),C(4, 8) y D(0, 6). Averigua en qué puntos delpolígono alcanza la función f(x, y) = 2x + 3y losvalores máximo y mínimo.



b) Calcula los vértices de ese recinto.

c) Determina el máximo y el mínimo de la funciónf(x, y) = 12x + 4y en el recinto anterior.

24. Determina los valores máximo y mínimo de lafunción z = 3x + 4y sujeta a las restricciones:

3x + y ≥ 3x + y ≤ 5x ≥ – 2y ≤ 10y ≥ 0

x + y ≥ 2x – y ≤ 0y ≤ 4x ≥ 0y ≥ 0

x + y ≤ 1140x + 30y ≥ 360 x ≥ 0y ≥ 0

x ≤ 6y ≤ 8x + 2y ≥ 10x ≥ 0y ≥ 0

Para ampliar

Tem

a 6

: Pr

og

ram

aci

ón

line

al

98 TEMA 6


25. Sea el conjunto de restricciones siguiente:

a) Dibuja la región factible determinada por dichasrestricciones.

b) Calcula los vértices de dicha región.

c) Obtén los puntos en los que presenta el máximoy el mínimo la función f(x, y) = x + 2y

26. Se considera la función f(x, y) = 2x + 4y sujeta a lassiguientes restricciones:

a) Representa la región del plano determinada porel conjunto de restricciones.

b) Calcula los puntos de dicha región en los que lafunción f(x, y) alcanza su valor máximo y su valormínimo.



b) Calcula los vértices del recinto.

c) Obtén en dicho recinto el valor máximo y el va-lor mínimo de la función f(x, y) = 5x + 3y. Halla enqué puntos se alcanzan.

2x + y ≤ 182x + 3y ≤ 26x + y ≤ 16x ≥ 0; y ≥ 0

3x + 2y ≥ 6x + 4y ≥ 4x – 2y + 6 ≥ 0x + 2y ≤ 10x ≤ 4

x + y ≤ 9x – y ≤ 0x + 2y ≤ 16y ≥ 0

28. Un granjero desea crear una granja de pollos de dosrazas, A y B. Dispone de 9 000 E para invertir y deun espacio con una capacidad limitada para 7 000pollos. Cada pollo de la raza A le cuesta 1 E y obtie-ne con él un beneficio de 1 E, y cada pollo de la razaB le cuesta 2 E y el beneficio es de 1,4 E por unidad.Si por razones comerciales el número de pollos dela raza B no puede ser superior a los de la raza A,determina, justificando la respuesta:

a) ¿Qué cantidad de ambas razas debe comprar elgranjero para obtener un beneficio máximo?

b) ¿Cuál será el valor de dicho beneficio?

29. Un vendedor dispone de dos tipos de pienso,A y B,para alimentar ganado. Si mezcla a partes igualeslos dos piensos obtiene una mezcla que vende a0,15 E/kg; si la proporción de la mezcla es de unaparte de A por 3 de B, vende la mezcla resultante a0,1 E/kg. El vendedor dispone de 100 kg de piensodel tipo A y de 210 kg del tipo B. Desea hacer lasdos mezclas de modo que sus ingresos por ventasean máximos.

a) Plantea el problema y dibuja la región factible.

b) Halla cuántos kilos de cada mezcla deben produ-cirse para maximizar los ingresos, y calcula dichoingreso.

30. Los alumnos de un centro educativo pretenden venderdos tipos de lotes,A y B,para sufragar los gastos del via-

je de estudios. Cada lote de tipo A consta de una cajade mantecadas y cinco participaciones de lotería,y cadalote del tipo B consta de dos cajas de mantecadas y dosparticipaciones de lotería. Por cada lote de tipo A ven-dido, los alumnos obtienen un beneficio de 12,25 E; y,por cada lote de tipo B, ganan 12,5 E

Por razones de almacenamiento, pueden disponer alo sumo de 400 cajas de mantecadas. Los alumnossolo cuentan con 1 200 participaciones de lotería ydesean maximizar sus beneficios.

a) Determina la función objetivo y expresa median-te inecuaciones las restricciones del problema.

b) ¿Cuántas unidades de cada tipo de lote debenvender los alumnos para que el beneficio obteni-do sea máximo? Calcula dicho beneficio.

31. Cada mes una empresa puede gastar, como máximo,10 000 E en salarios y 1 800 E en energía (electrici-dad y gasoil). La empresa solo elabora dos tipos deproductos A y B. Por cada unidad de A que elaboragana 0,8 E; y, por cada unidad de B, gana 0,5 E. Elcoste salarial y energético que acarrea la elabora-ción de una unidad del producto A y de una unidaddel producto B aparece en la siguiente tabla:

Problemas

Producto A

Coste salarial 2

Producto B

1

Coste energético 0,1 0,3

99

Se desea determinar cuántas unidades de cada unode los productos A y B debe producir la empresapara que el beneficio sea máximo.

32. En un depósito se almacenan bidones de petróleo ygasolina. Para poder atender la demanda se han detener almacenados un mínimo de 10 bidones de pe-tróleo y 20 de gasolina. Siempre debe haber más bi-dones de gasolina que de petróleo, siendo la capa-cidad del depósito de 200 bidones. Por razonescomerciales, deben mantenerse en inventario, al me-nos, 50 bidones. El gasto de almacenaje de un bidónde petróleo es de 0,2 E y el de uno de gasolina esde 0,3 E. Se desea saber cuántos bidones de cadaclase han de almacenarse para que el gasto de alma-cenaje sea mínimo.

33. Un agricultor cosecha garbanzos y lentejas. Se sabeque, a lo sumo, solo se pueden cosechar 500 tonela-das métricas (Tm), de las que, como máximo 200Tm son lentejas. Los beneficios por Tm de garban-zos y lentejas son de 500 E y 300 E, respectivamen-te, y desea planificar la producción para optimizar elbeneficio total.

a) Formula el sistema de inecuaciones asociado alenunciado del problema y la función objetivo delmismo.

b) Representa gráficamente la región factible y cal-cula sus vértices.

c) ¿Cuántas Tm de garbanzos y cuántas de lentejasdebe cosechar para obtener el máximo benefi-cio?

34. Cierta sala de espectáculos tiene una capacidad má-xima de 1 500 personas entre adultos y niños, aun-que el número de niños asistentes no puede supe-rar los 600. El precio de la entrada de un adulto auna sesión es de 8 E, mientras que la de un niño esde un 40% menos. El número de adultos no puedesuperar al doble del número de niños.

Cumpliendo las condiciones anteriores, ¿cuál es lacantidad máxima que se puede recaudar por la ven-ta de entradas? ¿Cuántas de las entradas serán deniños?

35. Un grupo musical va a lanzar un nuevo trabajo almercado. La casa discográfica considera necesariorealizar una campaña intensiva de publicidad, combi-nando dos publicidades: anuncios en televisión, conun coste estimado de 10 000 E por anuncio, y cuñasradiofónicas, con un coste estimado de 1 000 E porcuña. No obstante, no pueden gastar más de un mi-llón de euros para dicha campaña, a lo largo de lacual se tienen que emitir, al menos, 50 cuñas pero

no más de 100. Un estudio de mercado cifra en10 000 el número de copias que se venderá poranuncio de televisión emitido, y en 2 000 el númerode copias por cuña radiofónica emitida.

a) ¿De cuántos anuncios y cuñas radiofónicas podráconstar esta campaña? Plantea el problema y re-presenta gráficamente el conjunto de soluciones.

b) ¿Qué combinación de ambos se debería realizarpara vender el mayor número de copias posibles?¿Se llega a gastar el millón de euros?

36. Una fábrica de coches va a lanzar al mercado dosnuevos modelos (uno básico y otro de lujo). El cos-te de fabricación del modelo básico es de 10 000 Ey el del modelo de lujo es de 15 000 E. Se disponede un presupuesto de 600 000 E para esta opera-ción de lanzamiento. Para evitar riesgos se cree con-veniente lanzar al menos tantos coches del modelobásico como del modelo de lujo y, en todo caso, nofabricar más de 45 coches del modelo básico.

a) ¿Cuántos coches interesa fabricar de cada mode-lo si el objetivo es maximizar el número de co-ches fabricados?

b) ¿Se agota el presupuesto disponible?

37. Por motivos de ampliación de plantilla, una empresade servicios de traducción quiere contratar, a lo su-mo, 50 nuevos traductores. El salario que ha de pa-gar a cada traductor de una lengua es de 2 000 E, yde 3 000 E a los que son de más de una lengua. Co-mo poco, y por motivos de demanda, dicha empresatiene que contratar a la fuerza a un traductor demás de una lengua. La política de selección de per-sonal de la compañía obliga también a contratar almenos tantos traductores de una lengua como demás de una. Sabiendo que el objetivo fijado de bene-ficios totales es, como mínimo, de 120 000 E, y quelos beneficios que aportan los traductores de unalengua son de 4 000 E/traductor, y de 8 000 E/tra-ductor los de más de una lengua:

a) ¿Cuántos traductores de cada tipo puede contra-tar? Plantea el problema y representa gráficamen-te el conjunto de soluciones.

b) ¿Cuántos traductores contratará para minimizarel gasto en salarios? ¿Qué beneficios totales ten-drá la empresa en este caso?

38. Un agricultor puede sembrar trigo (5 hectáreas co-mo máximo) y centeno (7 hectáreas como máximo)en sus tierras. La producción de trigo, por cada hec-tárea sembrada, es de 5 toneladas, mientras que laproducción de centeno, también por hectárea sem-brada, es de 2 toneladas, pudiendo producir un má- Te

ma

6:

Pro

gra

ma

ció

n li

nea

l

100 TEMA 6


ximo de 29 toneladas de los dos cereales. Si el be-neficio que obtiene el agricultor por cada toneladade trigo es de 290 E y el beneficio por cada tonela-da de centeno es de 240 E, ¿qué número de hectá-reas ha de sembrar de cada cultivo para maximizarlos beneficios?

39. El número de unidades de dos productos (A y B)que un comercio puede vender es, como máximo,igual a 100. Dispone de 60 unidades de producto detipo A, con un beneficio unitario de 2,5 E, y de 70unidades tipo B con un beneficio de 3 E. Determinacuántas unidades de cada tipo de productos A y Bdebe vender el comercio para maximizar sus benefi-cios globales.

40. Un comerciante desea comprar dos tipos de lavado-ras; A y B. Las de tipo A cuestan 450 E, y las de tipoB, 750 E. Dispone de 10 500 E y de sitio para 20 lava-doras, y, al menos, ha de comprar una de cada tipo.

¿Cuántas lavadoras ha de comprar de cada tipo paraobtener beneficios máximos con su venta posterior,sabiendo que en cada lavadora gana el 20% del pre-cio de compra?

Nota: se recuerda que el número de lavadoras decada tipo ha de ser entero.

41. Una empresa se dedica a la fabricación de frascosde perfume y de agua de colonia, a partir de tresfactores productivos, F1, F2 y F3. Las unidades de di-chos factores utilizadas en la producción de cada ti-po de frasco se detallan en la siguiente tabla:

Sabiendo que el precio de venta de un frasco deperfume es de 50 E, el de uno de agua de colonia esde 20 E, y que la empresa dispone de 240 unidadesde F1, 360 de F2 y 440 de F3:

a) Calcula el número de frascos de cada tipo quedebe fabricar la empresa para maximizar sus be-neficios. Explica los pasos seguidos para obtenerla respuesta.

b) ¿Se consumen todas las existencias de F1, F2 y F3en la producción de los frascos que maximiza losbeneficios?

42. Un concesionario de coches vende dos modelos: elA, con el que gana 1 000 E por unidad vendida, y elB, con el que gana 500 E por unidad vendida. El nú-

mero x de coches vendidos del modelo A debe ve-rificar que 50 ≤ x ≤ 75. El número y de coches ven-didos del modelo B debe ser mayor o igual que elnúmero de coches vendidos del modelo A

Sabiendo que el máximo de coches que puede ven-der es 400, determina cuántos coches debe venderde cada modelo para que su beneficio sea máximo.

43. Un cliente de un banco dispone de 30 000 E paraadquirir fondos de inversión. El banco le ofrece dostipos de fondos, A y B. El de tipo A tiene una renta-bilidad del 12% y unas limitaciones legales de12 000 E de inversión máxima; el del tipo B presentauna rentabilidad del 8% sin ninguna limitación. Ade-más, este cliente desea invertir en los fondos tipo Bcomo máximo el doble de lo invertido en los fon-dos tipo A.

a) ¿Qué cantidad de dinero debe invertir en cada ti-po de fondo para obtener un beneficio máximo?

b) ¿Cuál será el valor de dicho beneficio máximo?

Para profundizar

44. En un problema de programación lineal la regiónfactible es el pentágono convexo que tiene de vér-tices los puntos: O(0, 0), P(0, 4), Q(3/2, 3), R(5/2, 2)y S(11/4, 0), y la función objetivo que hay que maxi-mizar es F(x, y) = 2x + ay (a es un número real po-sitivo)

a) Dibuja la región factible.

b) Halla el vértice, o punto extremos, del mismo enel que la función objetivo alcanza el máximo paraa = 1/2

c) Encuentra un valor de a para que el máximo sealcance en el punto (0, 4)

45. Un hipermercado quiere ofrecer dos clases de ban-dejas: A y B. La bandeja A contiene 40 g de quesomanchego, 160 g de roquefort y 80 g de camembert;la bandeja B contiene 120 g de cada uno de los trestipos de queso anteriores. Para confeccionarlas dis-ponen de 10,4 kg de queso manchego, 17,6 kg deroquefort y 11,2 kg de camembert. El precio de ven-ta es de 5,8 E la bandeja A y de 7,32 E la bandeja B.El hipermercado desea maximizar los ingresos.

a) Expresa la función objetivo.

b) Escribe mediante inecuaciones las restriccionesdel problema y representa gráficamente el recin-to definido.

c) Determina el número de bandejas que debe ven-der de cada clase para que los ingresos obtenidossean máximos. Calcula dichos ingresos.

Perfume

F1 1

Agua de colonia

2

F2 2 0

F3 0 4

101

46. Una fábrica de adornos produce broches sencillos ybroches de fiesta. Se obtiene un beneficio de 4,5 Epor cada broche sencillo y de 6 E por cada brochede fiesta. En un día no se pueden fabricar más de400 broches sencillos ni más de 300 de fiesta, tam-poco pueden producirse más de 500 broches en to-tal. Suponiendo que se logra vender toda la produc-ción de un día, ¿cuál es el número de broches decada clase que conviene fabricar para obtener elmáximo beneficio? ¿Cuál debería ser la producciónpara obtener el máximo beneficio si se obtuvieran 6E por cada broche sencillo y 4,5 E por cada brochede fiesta?

47. Para fabricar 2 tipos de cable, A y B, que se vende-rán a 1,5 y 1 E el metro, respectivamente, se em-plean 16 kg de plástico y 4 kg de cobre para cadahm (hectómetro) del tipo A y 6 kg de plástico y 12kg de cobre para cada hm del tipo B

Sabiendo que la longitud de cable fabricado del tipoB no puede ser mayor que el doble de la del tipo Ay que, además, no pueden emplearse más de 252 kgde plástico ni más de 168 kg de cobre, determina lalongitud, en hectómetros, de cada tipo de cable quedebe fabricarse para que la cantidad de dinero obte-nida en la venta sea máxima.

48. Un proyecto de asfaltado puede llevarse a cabo pordos grupos diferentes de una misma empresa: G1 yG2. Se trata de asfaltar tres zonas:A, B y C. En unasemana, el grupo G1 es capaz de asfaltar 3 unidadesen la zona A, 2 en la zona B y 2 en la zona C. El gru-po G2 es capaz de asfaltar semanalmente 2 unida-des en la zona A, 3 en la zona B y 2 en la zona C. Elcoste semanal se estima en 3 300 E para G1 y en3 500 E para G2. Se necesita asfaltar un mínimo de 6unidades en la zona A, 12 en la zona B y 10 en la zo-na C. ¿Cuántas semanas deberá trabajar cada grupopara finalizar el proyecto con el mínimo coste?

49. Una empresa, especializada en la fabricación de mo-biliario para casas de muñecas, produce cierto tipode mesas y sillas, que vende, respectivamente, a 20 Ey 30 E por unidad. La empresa desea saber cuántasunidades de cada artículo debe fabricar diariamenteun operario para maximizar los ingresos. Teniendolas siguientes restricciones:

El número total de unidades de los dos tipos nopodrá exceder de 4 por día y operario. Cada mesarequiere 2 horas para su fabricación; cada silla, 3horas. La jornada laboral máxima es de 10 horas.

El material utilizado en cada mesa cuesta 4 E. El uti-lizado en cada silla cuesta 2 E. Cada operario dispo-ne de 12 E diarios para material.

a) Expresa la función objetivo y las restricciones delproblema.

b) Representa gráficamente la región factible y cal-cula los vértices de la misma.

c) Razona si con estas restricciones un operariopuede fabricar diariamente una mesa y una silla, ysi esto le conviene a la empresa.

d) Resuelve el problema.

50. Una agencia de viajes vende paquetes turísticos paraacudir a la final de un campeonato de fútbol. Laagencia está considerando ofrecer dos tipos de via-jes. El primero de ellos, A, incluye desplazamiento enautocar para dos personas, una noche de alojamien-to en habitación doble y cuatro comidas. El segundo,B, incluye desplazamiento en autocar para una per-sona, una noche de alojamiento (en habitación do-ble) y dos comidas.

El precio de venta del paquete A es de 150 E y el delpaquete B es de 90 E. La agencia tiene contratadosun máximo de 30 plazas de autobús, 20 habitacionesdobles y 56 comidas. El número de paquetes del ti-po B no debe superar al del tipo A. La empresa de-sea maximizar sus ingresos.

Se pide:

a) Expresa la función objetivo.

b) Escribe mediante inecuaciones las restriccionesdel problema y representa gráficamente el recin-to definido.

c) Determina cuántos paquetes de cada tipo debevender la agencia para que sus ingresos sean má-ximos. Calcula dichos ingresos.

Tem

a 6

: Pr

og

ram

aci

ón

line

al

102 TEMA 6

Der ive

Paso a paso

2) Región factible.a) En la Entrada de Expresiones escribe:

x ≥ 0 ∧ y ≥ 0 ∧ x + 2y ≤ 80 ∧ 3x + 2y ≤ 120

b) Elige Introducir Expresión.

c) Activa la ventana 2D y elige Representar Ex-presión.

d) Haz Zoom varias veces para que las unidadesqueden de 10 en 10

e) Coloca el cursor en el punto (50, 50) y haz clic enCentrar en el cursor

f ) Representa las rectas: x + 2y = 803x + 2y = 120

g) Resuelve el sistema:

3) Valores de la función objetivo en los vértices de laregión factible.

a) Introduce la función objetivo. En la Entrada deExpresiones escribe: f(x, y) := 200x + 150y

b) Elige Introducir Expresión.c) Para hallar el valor de la función objetivo en el

punto B(20, 30), en la Entrada de Expresionesescribe: f(20, 30)

d) Elige Introducir y Aproximar.e) Calcula el valor de la función objetivo en los to-

dos los vértices de la región factible, se obtiene:O(0, 0) ⇒ f(0, 0) = 0A(40, 0) ⇒ f(40, 0) = 800B(20, 30) ⇒ f(20, 30) = 850 MáximoC(0, 40) ⇒ f(0, 40) = 600

4) La solución óptima es B(20, 30), es decir, x = 20bicicletas de paseo e y = 30 bicicletas de montaña.

52. Internet. Abre la página web: www.algaida.esy elige Matemáticas, curso y tema.

x + 2y = 803x + 2y = 120

51. Una fábrica quiere construir bicicletas de paseo y de montaña. La fábrica dispone de80 kg de acero y 120 kg de aluminio. Para construir una bicicleta de paseo se necesitan 1 kgde acero y 3 kg de aluminio, y para construir una bicicleta de montaña se necesitan 2 kg deacero y otros 2 kg de aluminio. Si las bicicletas de paseo las vende a 200 E y las de montaña a150 E, ¿cuántas bicicletas de cada tipo debe construir para que el beneficio sea máximo?

Solución:1) Tabla con los datos del problema.

Nº de bicicletas

B. de paseo

x

B. de montaña

y

Restricciones

x ≥ 0; y ≥ 0

Acero x 2y x + 2y ≤ 80

Aluminio 3x 2y 3x + 2y ≤ 120

Beneficio 200x 150y f(x, y) = 200x + 150y Maximizar

103

Así funciona

Practica

Representar la región factiblea) Se introducen en la Entrada de Expresiones todas las desigualdades que la definen, sepa-

ra-das por el signo de conjunción lógica ∧b) Se utilizan las herramientas Zoom y Centrar en el cursor para vi-

sualizar lo mejor posible la región factible.c) Se representan las rectas que la limitan y se resuelven los sistemas necesarios para hallar los

vértices de la región factible.

Función objetivoSe introduce en la Entrada de Expresiones:

f(x, y) := ax + by (Entre los dos puntos y el signo igual no hay espacio en blanco)Para hallar el valor de la función objetivo en un punto de la región factible se introduce en laEntrada de Expresiones

f(20, 30)y se elige Introducir y Aproximar.

53. Se quiere organizar un puente aéreo entre dosciudades, con plazas suficientes de pasaje y carga, paratransportar 1600 personas y 96 toneladas de equipaje.Los aviones disponibles son de dos tipos: 11 del tipoA y 8 del tipo B. La contratación de un avión del tipoA, que puede transportar a 200 personas y 6 toneladasde equipaje, cuesta 40 000 E; y la contratación de unavión del tipo B, que puede transportar a 100 perso-nas y 15 toneladas de equipaje, cuesta 10 000 E.¿Cuántos aviones de cada tipo deben utilizarse paraque el coste sea mínimo?

54. Un sastre tiene 80 m2 de tejido A y 120 m2 detejido B. Un traje de caballero requiere 1 m2 de A y3 m2 de B, y un vestido de señora 2 m2 de cada teji-do. Si la venta de un traje deja al sastre el mismo be-neficio que la de un vestido, halla cuántos trajes yvestidos debe fabricar para obtener la máxima ga-nancia.

55. Una empresa produce dos bienes A y B. Tienedos factorías y cada una de ellas produce los dos bie-nes en las cantidades por hora siguientes:

La empresa recibe un pedido de 300 unidades de Ay 500 de B. Los costes de funcionamiento de las dosfactorías son: 100 E por hora para la factoría 1 y80 E por hora para la factoría 2. ¿Cuántas horas de-be funcionar cada factoría para minimizar los costesde la empresa y satisfacer el pedido?

56. Un comerciante desea comprar dos tipos de lava-dora, A y B. Las de tipo A cuestan 450 E, y las de tipoB, 750 E. Dispone de 10 500 E y de sitio para 20 lava-doras, y, al menos, ha de comprar una de cada tipo. ¿Cuántas lavadoras ha de comprar de cada tipo paraobtener beneficios máximos con su venta posterior,sabiendo que en cada lavadora gana el 20% del pre-cio de compra?Nota: se recuerda que el número de lavadoras de ca-da tipo ha de ser entero.

57. Cierta sala de espectáculos tiene una capacidadmáxima de 1 500 personas entre adultos y niños;aunque el número de niños asistentes no puede su-perar los 600. El precio de la entrada de un adulto auna sesión es de 8 E, mientras que la de un niñocuesta un 40% menos. El número de adultos nopuede superar al doble del número de niños.Cumpliendo las condiciones anteriores, ¿cuál es lacantidad máxima que se puede recaudar por la ventade entradas? ¿Cuántas de las entradas serán de niños? Te

ma

6:

Pro

gra

ma

ció

n li

nea

l

Bien A

Factoría 1 Factoría 2

10 unidades/hora 20 unidades/hora

Bien B 25 unidades/hora 25 unidades/hora

Apuntes de Programacion Lineal

Documents

Transcript of Apuntes de Programacion Lineal