Apuntes de regulación Automática. Prácticas y Problemas. Tema 8 Lugar de...

Apuntes de regulación Automática.

Prácticas y Problemas.

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Tema 8 Lugar de las raíces 8.0. - OBJETIVOS

La técnica del lugar de las raíces nos permite analizar el comportamiento de un sistema de control de una forma muy fácil y rápida. Y en función de ese análisis diseñar un regulador. Este regulador inicialmente será solo un regulador Proporcional P, para mas adelante poder ser un PID. 8.1.- INTRODUCCIÓN AL LUGAR DE LAS RAÍCES

Considérese el siguiente sistema de control realimentado, correspondiente al caso mas tradicional de bucle de control:

Para poder analizar el sistema, en temas anteriores, realizábamos el análisis por separado,

mediante técnicas analíticas, de cálculo, analizamos su estabilidad mediante la ubicación de los polos del bucle cerrado, y de paso obteníamos un valor para K, margen de ganancia para el cual el sistema era estable. A continuación calculábamos los errores y por último estudiábamos sus características en el transitorio, y se calcula el coeficiente de amortiguamiento, frecuencia de oscilación, sobreimpulso, tiempo de posicionado.

G(s)

H(s)

K+-

x(s) y(s)

La idea es utilizar un método que combine el estudio analítico y gráfico, para permitir un primer

estudio de las características, y posteriormente un diseño de los compensadores necesarios en orden a modificarlas.

Por tanto, podemos plantearnos analizar las características del transitorio del sistema, analizando la

situación de los polos del sistema en bucle cerrado, a medida que variamos la ganancia K, que situamos en serie con la cadena abierta del sistema.

Eso nos exigiría obtener la FDT en bucle cerrado, )()(1

)()()(

sHsKGsKG

sxsy

+= y de ella obtener la

Ecuación característica, igualarla a cero, y así obtener las diferentes raíces de esta ecuación, a medida que varía el parámetro K es decir:

0)()(1 =+ sHsKG

Pero realizar todos esos cálculos reiteradamente, para cada valor de K, sería muy complejo y tedios, por lo que se ideó un método que permitía trazar de manera aproximada inicialmente, y con mayor precisión a medida que se necesitara de todos esos puntos, lo que se denominó Lugar de la Raíces o Diagrama de Evans, que permite “ dibujar el lugar geométrico que irán ocupando las raíces de un sistema en bucle cerrado, a medida que variamos la ganancia en bucle abierto, y dibujado a partir de la FDT en bucle abierto del sistema”. Hoy en día los programas de cálculo y diseño, permiten realizar este trazado de manera simple y sencilla sin tener que aplicar toda la serie de reglas de diseño que se daban anteriormente, pero que no está de mas conocer sus características y su utilidad, puesto que conocerlas es poder utilizarlas adecuadamente.



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Veámoslo en un ejemplo, a partir del diagrama de bloques anterior, e ir dando valores a cada uno

de los bloques, así:

Para s

ssG 3)( += y

21)(+

=s

sH ,

Queremos hallar la posición de los polos del sistema en bucle cerrado para distintos valores de K.

G(s)

H(s)

K+-

x(s) y(s)

Para ello deberemos obtener la función de transferencia en bucle cerrado:

)()(1)(

)()(

sHsKGsKG

sxsy

+=

A partir de esta función de transferencia podemos obtener la ecuación característica del sistema en

bucle cerrado, es decir:

0)()(1 =+ sHsKG.

Dando los valores anteriores a esta expresión, tenemos:

)2()3()2(

3

)2(31

3

2131

3

)()(

++++

+

=

++

+

+

=

++

+

+

=

sssKss

ssK

sssK

ssK

sssK

ssK

sxsy

Y la Ecuación Característica resultante sería:

0)2(

31 =++

+sssK

Observemos que es la FDT en cadena abierta del sistema propuesto. )(

)2(3 sKG

sssK =

++



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Y la E.C. es

03)2(

)(10)3()2(

2 =+++

+==+++

KKs

sKGsKss Ahora podemos hallar las posiciones de los polos en bucle cerrado para distintos valores de K con

solo sustituir su valor en la expresión anterior y resolver la ecuación. La ecuación de segundo grado resultante se puede resolver con una calculadora, o usando el

comando STAB del CC. (Hay que recordar que el comando STAB toma como argumento la función de transferencia en

bucle abierto, es decir,

)()( sHsKG Y devuelve el resultado de resolver la ecuación 1 0+ =KG s H s( ) ( ) .

Por ejemplo, para trazar el lugar de las raíces a mano, se calcula la posición de los polos de bucle cerrado para K=1, deberemos hacer lo siguiente:

CC> g1= 1*(s+3)/(s*(s+2)) CC> STAB,g1

El resultado obtenido es la solución de 1 32

0+++

=s

s s( ), es decir:

s j= − ±15 0 866, ,

Usando el comando STAB, se propone obtener la posición de los polos en bucle cerrado para los

siguientes valores de K:

K

p1 p2

0,2 0,5

0,55 1

2 3,5

5 6,6

7,3 7,5

100 Si ahora representamos los valores de la tabla anterior en un diagrama R – jw, estamos

representando los polos en bucle cerrado para los distintos valores de K, que han formado un “dibujo”, lo que se conoce como lugar geométrico de las raíces.



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Para representar el lugar geométrico de las raíces del sistema anterior, dibujaremos en la siguiente gráfica:

- Un círculo en el lugar que ocupa el cero de bucle abierto: s = −3. - Un aspa en el lugar que ocupan cada uno de los polos en bucle abierto: . s s= = −0 2; - Un punto por cada uno de los polos en bucle cerrado calculados en la tabla anterior para

distintos valores de K. -

Recordad que un lugar geométrico es un conjunto de puntos que cumplen una determinada

condición, por ejemplo, los puntos que satisfacen la ecuación y ax b= + forman una recta. Así pues los puntos que satisfacen la ecuación característica

(1 0+ =KG s H s( ) ( ) ) forman el lugar geométrico de las raíces. Es decir, el conjunto de todos los polos de bucle cerrado que se obtienen al variar K de 0 hasta infinito.

La FDT en bucle abierto de cualquier sistema, G s H s( ) ( )

nmpspspspszszszszssHsG

m

n ≤−−−−−−−−

= ;)())()((

)())()(()()(321

321

L

Lse puede expresar como:

Los puntos del lugar de las raíces, que son las soluciones, raíces de 1 0+ =KG s H s( ) ( ) y que

para los distintos valores de K, satisfacen la ecuación y la cumplen, siempre además, cumplen con los dos criterios siguientes, el Criterio del argumento y el Criterio del módulo que veremos después.



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8.2.- TRAZADO DEL LUGAR DE LAS RAÍCES CON EL CC Nosotros no vamos a utilizarlas, pero nos dan una serie de normas y propiedades que podemos

aprovechas.

El trazado del lugar de las raíces a mano resulta especialmente tedioso, aunque existen unas reglas que nos permiten realizar este trazado sin tener que calcularlo punto a punto, estas reglas se resumen en el cuadro siguiente:

Estas reglas permiten de manera sencilla y cálculos los justos, realizar el diagrama de una manera



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aproximada, aunque suficientemente precisa para el cálculo habitual. Y puesto que tratamos el lugar de las raíces, solo para K > 0, puesto que para K < 0 se denomina lugar inverso de las raíces, y no lo comentaremos. El programa CC ó Matlab, nos permite trazar el lugar de las raíces de forma automática.

Al igual que en el cálculo manual, partimos del la FDT en bucle abierto:

)()( sHsKG Para el trazado automático usamos el comando ROOT. El parámetro que debemos dar como entrada será la función de transferencia en bucle abierto, es

decir, G s . H s( ) ( ) ROOT dibujará las soluciones a la ecuación 1 0+ =KG s H s( ) ( ) para valores de K entre cero e

infinito. Si queremos dibujar el lugar de las raíces del ejemplo anterior,

)(10)3()2( sKGsKss +==+++ deberemos escribir lo siguiente: CC> g1=(s+3)/(s*(s+2)) CC> ROOT,g1,a Obteniendo: Una vez en la pantalla gráfica podemos usar además de los comandos vistos hasta ahora en los

gráficos, los siguientes comandos son especialmente útiles en el caso del lugar de las raíces, pues el cálculo mas aproximado y la mejor medida, ha de apoyarse en esos elementos prácticos.



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C : Nos presenta un cursor de pantalla completa, que se desplaza a lo largo de toda la pantalla, pero aquí no sigue la curva del luga, se desplaza libremente por todo el plano..

Este cursor nos da dos lecturas, una de ellas es la posición del cursor y otra es el valor de K

correspondiente al punto actual, pero solo tieen sentido las medidas que realizaramos con el cursor situado en un punto del lugar, por ello como al realizar el c´lculo el programa, realiza aproximaciones, calcula “erróneamente” valores de K con parte comleja, por ello “solamente los valores de K con parte imaginaria nula tienen sentido”.

Pero eso solo ocurre en contados casos, si usaramosprecisión infinita de cálculo, por tanto cuando

el cursor se sitúa en un punto del lugar, la certeza de esa situación, la tenemos si la parte imaginaria de la ganancia K, es menor que la que calcula en todos los 4 puntos situados alrededor del que ocupa el cursor.

Para realizar una medida, situamos el cursor C en un punto encima de la curva del lugar en el

plano, y movemos el cursor arriba, abajo, izquierda, y derecha y hasta comprobar que la parte imaginaria de K, en los 4 puntos que rodean al que estamos midiendo, donde tenemos puesto el curcor, tiene para K, una parte imaginaria mayor.

Además si teniendo el cursor en un punto del lugar en que el sistema tiene características de:

amortiguamiento crítico, subamortiguado u oscilador, al pulsar la tecla x, se cambia la representación de los dos parámetros anteriores, a forma polar (módulo * exp (-j * argumento)).

Si se vuelve a pulsar x, en la posición del cursor se presenta en forma de coeficiente de

amortiguamiento ξ, (lo llama zeta) y frecuencia natural ωn (lo llama mag). La tercera vez que pulsemos x, volveremos a la forma de lectura inicial, es decir, parte real +

j*parte imaginaria. Para salir del cursor, pulsamos enter. E : Al igual que con el comando TIME, cambia la extensión de la gráfica, y modificamos los

valores de representación. U : Muestra la posición de los polos en bucle cerrado que se obtendrían para un valor dado de K.,

permitiendo además listarlos o señalarlos en el dibujo. I : Muestra la siguiente información sobre el lugar de las raíces: - Polos de bucle abierto y ángulos de salida del lugar de las raíces. - Ceros de bucle abierto y ángulos de llegada del lugar de las raíces. - Centro de gravedad. - Asíntotas del lugar de las raíces.

- Puntos de ruptura. Es decir toda la información calculada analíticamente, según la propuesta de reglas de trazado,

resumidas en la figura anterior.

Para salir de la opción I, se pulsa la tecla R (Redibujado). R : recalcula el lugar de las raíces, con intervalos menores o mayores, según sea la precisión

necesaria en cada caso. Conviene utilizarla la aumentar la precisión tras el primer dibujo, y después de centrar al máximo la curva realiza e primer lugar de manera aproximada.



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8.3.- Aplicación al trazado del lugar de las raices: Veamos sobre el trazado de un lugar, de manera práctica, el trazado, ajuste y comprobación de los puntos indicados en el trazado manual. Ejercicio:

1º) Usando el comando ROOT, y sobre el mismo sistema visto antes, comprobar si los puntos siguientes pertenecen al lugar de las raíces, y encontrar el valor de K correspondiente, en el caso de que pertenezcan:

)3)(2)(1(1)()(

+++=

ssssHsG Realización del trazado de:

Para dibujarlo, escribimos: G1 = 1/((s+1)*(s+2)*(s+3)) Con Root, G1, auto

Para conseguir una mejor representación ajustamos mediante E, que se vea el corte del lugar con el

eje imaginario, y un poco mas allá del polo situado en –3, es decir los parámetros de representación siguientes.

Añadimos las tramas de fondo con la opción d = 1 , 2 Y si probamos a redibujar el lugar, veremos que al cambiar las escalas, el dibujo no ha aumentado

su representación, por lo que debemos acordarnos de utilizar R, opción de recalcular con un paso de cálculo menor, es aconsejable no bajar de 0.1, con esa opción obtenemos:



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Comprobamos y señalamos los puntos de lugar:

1º) Número de ramas, o trazos diferenciados, que comienzan en K = 0 y terminan en K = ∞ Es igual al nº de polos en bucle abierto en este caso 3 polo = 3 ramas 2º) Tantos puntos de comienzo como polos y/o ramas, puesto que cada rama comienza en un plo, y

termina en un cero, o en los “ceros situados en el infinito”, si no hay suficientes polos reales. 3º) Pertenencia al eje real, pertenecen al eje real, los tramos del eje que dejan a su derecha número

impar de polos y/o ceros. No se cuentan los que estén en el plano, puesto que además se dan por pares complejos conjugados. Y si hay polos y/o ceros dobles, se cuentan como dos.

En nuestro caso tenemos dos tramos que pertenecen. 4º) Simetría: el lugar de las raíces es siempre simétrico respecto al eje real. Por ello cualquier

medida que realicemos en una rama en la parte superior del plano, es idéntica para el polo complejo situado en la parte inferior.

Vayamos pues a concretar estos puntos en la figura siguiente: En la figura siguiente recopilamos los puntos comentados:



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5º) Asíntotas: puesto que pueden haber ramas del L. de R. que vayan al infinito, podemos calcular

las asíntotas que serán tangentes en el infinito a las ramas del L. de R., podemos calcularlas, Primero cuantas habrá:

ººº polosdenncerosdenmsiendoasíntotasnmn ===− En nuestro caso 3 ramas por 3 polos y ningún cero. Que forman unos ángulos con el eje real, dados por :

1,.....,2,1,0ºº

π)12(º

−−===−+

=

mnqypolosdenncerosdenmsiendomn

qasíntotasden

En nuestro caso:

2)103(,1,0

π3

5π3

π)12*2(

π3

3π3

π)11*2(3π

3π)10*2(

π)12(º

=−−=

==+

==+

=+

=−+

=

qsiendo

mnqasíntotasn

En nuestro caso tenemos 3 polos y ningún cero, tenemos pues: 3 asíntotas



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6º) Forman las asíntotas con el eje real unos ángulos que calculamos antes, y las asíntotas están

centradas en el centroide, centro de asíntotas, centro de gravedad, dado por :

asíntotascentromn

sHsdeGcerossHsdeGpolos=

−

−∑ ∑ )()()()( En nuestro caso :

203

321−=

−−−−

Así pues en la figura, se resumen estos 3 puntos:

7º) los ángulos de salida los calculamos mediante la expresión indicada, que se puede rescribir como:

0)()(arg

pps sHsGtg=

+= πα y el ángulos de llegada a los ceros mediante

0)()(arg

ppll sHsGtg=

−= πα En nuestro caso son para p = -1 ángulo –180 para p= -2 ángulo 0 y para p=-3 angulo –180 8º) El punto de arranque, de confluencia o de dispersión, que así se denomina, los obtenemos de la E.C..



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despejando K y obteniendo su derivada respecto a s. Así en

38.42.138.57.2

0111230/

611606116

0)3)(2)(1(

)3)(2)(1()()(

2

2323

=−−=−

=−−−

=−−−−==++++

=++++

+++=

kconyKraícescomotieneque

ssedsdkderivando

sssKksss

Ksss

obtenemossss

KsHsG

De todas las soluciones que obtengamos solo si:

- El punto pertenece al lugar en el eje real. - La ganancia K es positiva, >0.

Entonces, y solo entonces existe punto de arranque, y tiene un valor de K. En el punto de arranque, al tener polos múltiples en el eje real, se produce el punto en que el

coeficiente de amortiguamiento, vale la unida, y tenemos en el sistema amortiguamiento crítico. 9º Por último calculamos el punto de corte con el eje imaginario: Los calculamos sustituyendo en la ecuación s por jw e igualando a cero por separado parte real y parte imaginaria: Así para:

66066

1101106116

0611)(6)(06116

2

23

23

2323

kwluegokw

jwluegojwjwkjwwjw

kjwjwjwjwsconksss

+==++−

==+−=+++−−

=++++==++++

Y obtenemos K = 60 y w = 3.32

Estos dos últimos puntos se resumen en la gráfica siguiente: En que se señalan los lugares de medida.



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Se propone: 1º) Usando la gráfica del lugar de las raíces calculado, medir en él ¿Para qué valores de K es estable el sistema propuesto?

Para K:... ¿Cuánto vale K en –1+0j

2º) En sistema de E. C. completar la tabla? )(10)3()2( sKGsKss +==+++

Puntos propuesto ¿ Pertence al lugar ? Valor de K.

Error en parte imagin.

s=-2+j1,415

s=-4,5+j1,5

s=-3+j1,75



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8.4.- CRITERIO DEL ARGUMENTO.

El criterio del argumento se puede expresar como:

πqpszsm

mn

n =−−− ∑∑ )arg()arg(

, siendo q un número impar, que puede ser positivo o negativo. Es decir una vez tengamos representado el lugar de las raíces, la condición, o comprobación de

que un punto pertenezca al lugar de las raíces, se limita a comprobar que la suma de los ángulos que forma el vector que une dicho punto con cada uno de los ceros, menos la suma de los ángulos a cada uno de los polos debe de ser un número impar de veces π .

En la gráfica anterior debemos comprobar, usando el criterio del argumento si los siguientes

puntos pertenecen al lugar de las raíces: -2+j1,415 ; -4,5+j1,5. Para ello seguiremos los siguientes pasos: - Dibujamos el punto que queremos probar si pertenece al lugar de las raíces o no. - Uniremos dicho punto con líneas rectas con todos los ceros y polos de bucle abierto. - Mediremos o calculamos los ángulos que forman dichas líneas con la horizontal. (eje Real +) - Sumaremos los ángulos de los ceros y restaremos la suma de los ángulos de los polos. - Si el resultado es un número impar de veces π , el punto pertenece al lugar de las raíces, sino no.

Probemos:

- Punto en -2+j1,415 a) Ángulos con polos y ceros:

s=0 s=-2 s=-3

b) Suma de ángulos a los ceros menos suma de ángulos a los polos:................................ c) ¿Pertenece al lugar de las raíces?: .....................

- Punto en -4,5+j1,5 -

a) Ángulos con polos y ceros:

s=0 s=-2 s=-3

b) Suma de ángulos a los ceros menos suma de ángulos a los polos:................................ c) ¿Pertenece al lugar de las raíces?: .....................

En un lugar de las raíces dibujado previamente podemos pues de esta manera comprobar si

pertenece o no al lugar de las raíces propuesto.



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8.5.- CRITERIO DEL MÓDULO

Una vez que sabemos que un punto pertenece al lugar de las raíces, nos puede interesar saber cual es el valor de K, que nos hace que las raíces en bucle cerrado estén en ese punto.

El criterio del módulo nos dice que el valor de K, ganancia en bucle abierto, es igual al producto

de las distancias del punto propuesto a los polos, dividido por el producto de las distancias del punto a los ceros en bucle abierto.

=−−−−−−−−

==

===+

=+

)())()(()())()((

)()(1

)()(1)()(10)()(1

tendremosmódulos tomando0)()(1

321

321

n

m

zszszszspspspsps

sHsGK

sHsGKsHsKGsHsKG

sHsKG

L

L

Supongamos que queremos hallar el valor de K que hace que los polos en bucle cerrado estén en

. Para ello seguiremos el siguiente procedimiento: s = -2 + j1,415 - Trazaremos una recta entre el punto -2+j1,415 y cada uno de los polos y ceros de bucle abierto. - Mediremos la distancia entre el punto -2+j1,415 y cada uno de los polos y ceros. - El valor de K buscado corresponde al producto de las distancias del punto a los ceros dividido

por el producto de las distancias del punto a los ceros.

- Punto en -2+j1,415

a) Distancias a los polos y ceros: b)

s=0 s=-2 s=-3

b) Producto de las distancias del punto a los ceros dividido por el producto de las distancias del

punto a los ceros: K=...................... c) Comprobad con STAB que realmente, al substituir K por el valor que os ha dado en el punto b),

obtenéis las raíces en bucle cerrado en s=-2+j1,415. Nota: El valor de K obtenido por el procedimiento anterior es válido solamente si se

expresa como: G s H s( ) ( )

)())()(()())()(()()(

321

321

m

n

pspspspszszszszssHsG

−−−−−−−−

=L

L



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Problemas propuestos: 1º) Usando el lugar de las raíces responder a las siguientes preguntas:

¿Para qué valores de K es estable el sistema propuesto? ..................................................................

)3)(2)(1(1)()(

+++=

ssssHsG

¿Y el sistema siguiente? .............................................................................

2º) 3º) 4º)



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….



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8.5.- ANÁLISIS DEL LAS CARACTERÍSTICAS DEL SISTEMA EN EL LUGAR. El interés en el trazado del lugar, radica en las características de análisis, tanto de transitorio como de estacionarios que podemos obtener, dado el dibujo, o cálculo y dibujado el lugar de las raíces de un sistema dado. Empecemos por reconsiderar algunas consideraciones teóricas vistas anteriormente. .- Criterio de estabilidad: Un sistema es estable en lazo cerrado, solo si tiene sus polos, raíces de la ecuación característica a la izquierda del eje imaginario. Será tanto mas estable cuanto mas alejados del eje imaginario se encuentren, la lejanía es una medida de la mayor o menor estabilidad relativa, entre dos puntos de funcionamiento, es mas estable relativamente, el que tiene situado el punto de funcionamiento mas lejos, a la izquierda del eje imaginarios.

La situación de un punto en el lugar viene “fijado” por el valor de “K” a que funciona, y el valor de K estará siempre comprendido entre el mínimo, K = 0, que tiene lugar en los polos, y el máximo, K=∞ que tiene lugar en los ceros, salvo que la rama del lugar corte antes al eje imaginario, en cuyo caso, el valor de K en el punto de corte, es la ganancia margen de ganancia, y la w correspondiente es la pulsación mas alta posible.

.- Polos del bucle cerrado: En un punto del lugar, si ce encuentra situado en el plano y fuera de los ejes, corresponde a polos complejos conjugados, si en los ejes, a polos reales, y si los dos polos son iguales, polos dobles, en el lugar se corresponde con un punto de arranque.

.- Sistema reducido equivalente: Para un sistema cualquiera, las características de transitorio, que marcan su funcionamiento, vienen dadas por los polos mas cercanos al eje imaginario, por tanto el mayor hincapié en el estudio, debemos enfocarlo sobre esos polos, sin olvidar el resto de polos y ceros por muy alejados que estén, únicamente se eliminan los polos y ceros que tengan el mismo valor, se dice que “se cancelan”. Por tanto si estudiamos un sistema “como si solo tuviera los polos y ceros mas cercanos al eje imaginario” estamos estudiando el denominado sistema reducido equivalente. En el estudio de los sistema anteriormente, fijamos el criterio que:

- Sistemas con polos en el eje real se comportan de manera similar a “como si” solo existiera el mas cercano al eje imaginario.



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- Sistema con polos complejos conjugados, se consideran que influirán en mayor medida en el comportamiento transitorio del sistema, el par de polos conjugado mas cercanos al eje imaginario, sin sobrepasarlo.

- Sistemas con polos reales (en el eje real negativo), y polos complejo conjugados, se consideran dominantes los polos reales, solamente si se encuentran a una distancia del eje imaginario inferior al doble de la distancia a que e encuentran los polos complejo conjugados.

- Siendo siempre ωn ξ el denominador de la expresión del tiempo de posicionado. El amortiguamiento crítico ξ = 1 solo en el punto de arranque, si existe y si tiene ganancia K = 0 El Tiempo de pico, y el tiempo de posicionado, los calculamos siempre en los tramos del lugar en que no está en el plano, y sus limites on el eje real en que ξ ≥ 0 y el eje imaginario en que ξ = 0

El error en régimen estacionario. Como siempre, solo para el error de posición, velocidad, etc.. en que según el tipo del bucle abierto, sea constante, lo podemos calcular en el lugar, pues siempre podemos calcular e¡n cualquier punto del lugar, K, por la condición del módulo, ayudándonos del trazado, y el cálculo que va dando con el cursor. La constante de error, para el error en que sea constante, es siempre proporcional a la K del lugar, luego siempre podemos estables la relación inversa con el error.

Por ejemplo para )3(*)2(*)1(1

+++=

sssKG el lugar es el de la figura siguiente.

En un punto del lugar, el error de posición es

61

11

1

6)3(*)2(*)1(0

KKe

Ksss

KLimK

pp

sp

+=

+=

=+++

=→

EJEMPLO Sigamos paso a paso en un ejemplo real, laS características que podemos ir deduciendo. Partimos de un diagrama de bloque como el de la figura, del que nos quedamos siempre para el trazado, con la FDT en cadena abierta. Para un punto cualquiera como el señalado en la figura, suus coordenadas, nos dan las características temporales del “sistema reducido equivalente de segundo orden “

Así el tiempo de posicionado al 98% lo calculamos dividiendo en la expresión del tiempo de

posicionado, 4 dividido por la parte real de la coordenada del punto de que se trate, en este caso 4 / 1.2 .

El coeficiente de amortiguamiento calculando el ángulo que forma el radio vector trazado con el

eje de coordenadas, en este caso obtendríamos 0.67, y la ganancia K en ese punto aplicando la condición modular, lo que nos daría 2.03

Este calculo de K además nos permite calcular el error del sistema dado, ante entradas en escalón,

pues ya conocemos la FDT en cadena abierta y la K en el punto de que se trata.



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Del cálculo del coeficiente de amortiguamiento, y del tiempo de posicionado obtenemos tofdas las

demás características del transitorio del sistema.

Del cálculo de K obtenemos las características del estacionario. Podemos además calcular algunos valores en puntos singulares, así en el punto de arranque, se

cumple que la dK / ds es nula, y además tenemos dos polos reales e iguales, puesto que coinciden las ramas del lugar, por tanto como el angulo que formaría el radio vector sería nulos, el cos oº =1 nos da el punto donde tenemos amortiguamiento crítico, -1.42 y podemos calcular para que ganancia se produce pues calculamos K = 0.192.

Si ampliamos el campo de mira, es decir variamos los límites de la gráfica podemos encontrar al

igual que hicimos en la estabilidad, los límites de ganancia del sistema Puesto que el lugar de las raíces circula desde K=0 que ocurre en los polos, hasta k infinito que

ocurre en los ceros, si ampliamos la gráfica tendremos. Y situando el cursor en el corte del lugar con el eje calculamos la k a la que oscila el sistema,

puesto que es cuando tenemos polos imaginarios puros, y la w a que tendría lugar la oscilación. El mismo resultado que obtenemos cuando en la Ecuación característica sustituimos s por jw.



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En la gráfica también podemos ver y calcular que para ganancia K > 0 (polo) y k < 0.192 (punto de arranque) el sistema se comporta como sobre amortiguado, por tanto no tiene sentido el cálculo de coeficientes de amortiguamiento o w equivalentes.

Al mismo tiempo, preguntas sobre el lugar que se puedan proponer, pueden no tener solución,

como por ejemplo: Para K = 40, ¿ cual es el coeficiente de amortiguamiento? No es posible saberlo, pues corresponde

a la zona inestable del sistema en bucle cerrado. Para –1 + 2.5j ¿ cual es el tiempo de posicionado? . Pues tampoco puede ser, pues si aplicamos la

condición del argumento, se comprueba que no pertenece al lugar de las raíces aquí dibujado. Del lugar de las raíces pues podemos extraer una gran cantidad de información, del “sistema

reducido equivalente de segundo orden” del sistema que nos hayan propuesto, pues estamos siempre trabajando con el par de polos, mas cercano al eje imaginario, por tanto el par de polos dominantes.

Lo que siempre está prohibido es intentar identificar la ecuación del sistema con solo esos dos

polos, pues el lugar resultante si que sería muy distinto.

Problema resuelto: Un sistema se comporta según la siguiente función de transferencia: Se pide: a) Determinar si el sistema es estable en lazo abierto. b) Determinar para qué rango de ganancias el sistema es estable en lazo cerrado. c) Escoger una ganancia adecuada para que el sistema tenga un coeficiente de amortiguamiento de aproximadamente por el método del lugar de las raíces. d) Determinar el error en el estado estacionario del sistema para la ganancia escogida. Resolución: a) Denominador del sistema en la lazo abierto: Como un polo (s = 1) tiene parte real positiva, el sistema es inestable, en bucle abierto. O también si aplicamos pzf, a la FDT, para calcular sus polos, saldrá inestable por (s-1). Nunca debemos aplicar Stab o Rout, como comandos directamente, pues lo calcularía mal, al añadirle realimentación. Si calculamos la ecuación del denominador, veríamos que es una ecuación de 3º grado con un coeficiente negativo, los que de acuerdo con las condiciones estabilidad establecidas en el criterio de Rout-H, indica que el sistema es inestable. b) Podemos por esta vez, aplicar el criterio de Routh a la ecuación característica del sistema en lazo cerrado: Función de transferencia en lazo cerrado:



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El criterio de Routh, produce: Ecuación característica en lazo cerrado: O aplicando Routh, a la ecuación anterior, ojo, sin K, el programa se encarga de añadirla, obtenemos el Rango ganancias para que el sistema sea estable:

16.25 < K <74 c) Lugar de las raíces: Con el comando Root obtenemos el dibujo, cuyos cálculos son;

Polos en lazo abierto: s = 1 s = –4+0.5j s = –4–0.5j Eje Real que pertenece al lugar de las raíces: (–¥ ,+1] Asíntotas: Nº Asíntotas = Nº Polos – Nº Ceros = 3 Ángulos de las asíntotas: 60º, 180º, 300º Centro de asíntotas: (Σ Parte Real Polos - Σ Parte Real Ceros) --------------------------------------------------- = -2.33 (Nº Polos – Nº Ceros) Corte con el Eje Imaginario:



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Si calculamos en la E. Característica, anulando parte real y parte imaginaria:

2221.872025.167

025.8025.1625.8)(7)(

2

3

23

===−+−

=+−

=−+++

wKkw

jwjwkjwjwjw

Luego corta en s = 0 ± 2.8221 Puntos de dispersión: Las soluciones: s = –0.6918 y s = –3.9748. Las dos soluciones caen dentro del lugar de las raíces, luego los dos puntos son puntos de dispersión. Ángulos de salida de los polos complejos: Ángulo del polo –4+0.5j: Σ Ángulos desde los Ceros – Σ Ángulos desde los Polos = 180º –90º –174.2894º –a = 180º a = –444.2894º y a = –84.2894º Ángulo del polo –4+0.5j: a = 84.2894º Si escogemos una ganancia para conse-guir, por ejemplo, un amortiguamiento de z = 0.7 en los polos dominantes, del sistema reducido equivalente de 2º orden, tendremos que situar los polos en un punto que:

• Pertenezca al lugar de las raíces. • Que Cos ϕ= 0.7

Es el punto señalado en la figura: Lo podemos obtener aproximadamente situándonos en el diagrama del lugar en el punto en que se cumple Cos ϕ= 0.7 En ese punto aproximadamente: k = 20.95 (estamos dentro del rango de ganancias en el que el sistema es estable) Situación de polos en lazo cerrado en este valor de ξ s = –5.69 s = –0.65+0.63j s = –0.65–0.63j Por tanto escogemos k = 21 Como comprobación podemos ahora aplicar la condición del argumento a los 3 polos y comprobaremos que la cumple:. d) Error en estado estacionario:



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Calculamos la salida por el Teorema del valor final y Como el escalón era unitario, error = 1 – 4.421 = –3.421

Es decir, se estabiliza por encima del escalón unitario, y el error si tuviéramos en cuenta el signo, sería negativo, pero no lo tenemos en cuenta, simplemente el sistema amplifica. ----------------------- --------------------------------------------- Problema:

Usando los criterios del módulo y del argumento, y el comando ROOT del CC, resolver los problemas siguientes:

1º ) Dada la función de transferencia en bucle abierto siguiente :

G s H s ss s s

( ) ( ) =+

+ + +10 1006 13 23 2 0

a) Determinar analíticamente (criterio del argumento) si es posible que los siguientes números complejos pueden ser polos de la función de transferencia :

M s K G sK G s H s

( ) ( )( ) ( )

=⋅

+ ⋅1

s = 5.17j

s = 5 s = -7

s = 0.7 + 9j s = -1 + 4j

s = -10j

Solo para los que pertenezacan al lugar, calcular el Módulo, K.

Apuntes de regulación Automática. Prácticas y Problemas. Tema 8 Lugar de...

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