Apuntes de Transferencia de Calor Versión 2013

Transferencia de Calor Prof. Dr.-Ing. Gonzalo Salinas-Salas

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Universidad de Talca Facultad de Ingeniera

Departamento de Tecnologas Industriales

Apuntes

Transferencia de Calor

Dr. - Ing. Gonzalo E. Salinas Salas Ingeniero Civil Mecnico

2013


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Transferencia de Calor 1. Introduccin

El presente texto tiene por objeto presentar los principales tpicos de transferencia de calor aplicables a la asignatura de Transferencia de Calor. El fenmeno de transferencia de calor corresponde al traspaso de energa trmica, represen-tada a travs de la propiedad temperatura, entre dos cuerpos o dos posiciones de un mismo cuerpo. Genricamente los mecanismos de transferencia de calor pura son dos, a saber: Conduccin Radiacin

Sin embargo, la energa trmica puede intercambiarse junto a cambio de energa mecnica asociada a la cantidad de movimiento o impulso que se presenta cuando un fluido escurre por una superficie slida, a este fenmeno se le considera tambin como un mecanismo de inter-cambio de calor y se le denomina: Conveccin

2. Modelacin fsico-matemtica de los mecanismos de transferencia de calor A continuacin se presentan los fenmenos fsicos que constituyen los mecanismos de transfe-rencia de calor y la modelacin matemtica de estos a travs de las llamadas leyes de transfe-rencia de calor, las que a su vez deben cumplir las cuatro leyes de la termodinmica y en parti-cular en lo referente a que todo flujo de energa trmica fluye desde una fuente de alta tempe-ratura hacia un sumidero de baja temperatura.

2.1. Conduccin de calor: El mecanismo de traspaso de energa trmica entre dos cuerpos slidos en contacto o dos po-siciones espaciales de un mismo cuerpo que se encuentren a un distinto nivel de energa tr-mica, niveles que son representadas por dos distintas temperaturas, se realiza desde el mayor nivel trmico (mayor temperatura) hacia el cuerpo o la zona menor nivel trmico (menor tem-peratura), mediante la difusin de electrones libres presentes en la estructura molecular de la materia y el incremento de los niveles de vibracin de las redes moleculares. El modelo matemtico que representa a este fenmeno se le denomina Ley de Fourier y se plantea para una pared slida con una rea transversal al flujo de calor (A) y un espesor (e), en que una de sus caras se encuentra a una temperatura (T1) mayor que la existente en la otra (T2), el flujo de calor (q) resulta inversamente proporcional al gradiente de temperatura respec-to de la posicin y directamente proporcional al rea de intercambio de calor y a una constante caracterstica o propiedad de la sustancia que conforma la pared. T(x) k A

Ley de Fourier

T1 dxdTAkq =

q T2 e x


2

2.2. Radiacin de calor: El mecanismo de traspaso de energa trmica entre dos cuerpos con un distinto nivel de energ-a trmica y por ende de temperatura, situados a una cierta distancia entre s, pudiendo existir o no un medio fsico entre ellos (un slido, fluido o incluso el vaco total), se realiza mediante el transporte de energa a travs de la emisin y absorcin de ondas electromagnticas, lo que obviamente se traduce en el color del cuerpo. Por las caractersticas del transporte de la energ-a trmica mediante ondas, produce que este mecanismo adquiera importancia slo cuando la diferencia de temperaturas entre el cuerpo emisor y el cuerpo receptor sea muy alta, ay que se requiere que el cuerpo emisor irradie calor y por ende luz en diferentes espectros de onda. El modelo matemtico que representa a este fenmeno se le denomina Ley de Stefan-Boltzmann y se plantea para dos cuerpos separados a una distancia dada, donde uno de ellos, el emisor, posee una temperatura superficial (T1), la que le permite irradiar ondas lumnicas y que es considerablemente superior a la temperatura del cuerpo receptor (T2). El flujo de calor (q) absorbido por el cuerpo de baja temperatura es directamente proporcional al rea irradiada, a un factor de emisividad, a un factor de forma, a una constante general, denominada constan-te de Stefan-Boltzmann y a la diferencia de las temperaturas elevadas a la cuarta potencia. El valor de la constante de Stefan-Boltzmann es:

=

42

8

KmW1067,5

T1 T2 Ley de Stefan-Boltzmann A ( )4241T TTFFAq =

2.3. Conveccin de calor:

El mecanismo de traspaso de energa entre un fluido y un cuerpo slido, se presenta en dos formas principales, las que son el intercambio de energa trmica y el cambio de la cantidad de movimiento o impulso del fluido debido por los efectos viscosos que se presentan al entrar en contacto con el cuerpo slido. De modo que, la energa intercambiada entre el fluido y el cuer-po slido en la prctica es la suma de estas dos formas energticas, no diferencindose entre los dos tipos, considerndose as al valor total de la energa intercambiada como el flujo de ca-lor que fluye desde el medio a mayor temperatura (slido o fluido) hacia el medio de ms baja temperatura. El modelo matemtico que representa a este fenmeno se le denomina Ley de enfriamiento de Newton y plantea que para un fluido viscoso a cierta temperatura (T) que escurre por sobre un cuerpo slido a una diferente temperatura superficial (Tw), el flujo de calor (q) intercambiado es directamente proporcional de contacto, al valor absoluto de la diferencia de las temperaturas y a un factor denominado coeficiente pelicular convectivo medio (), el que depende del tipo de escurrimiento, del tipo de fluido, las fuerzas que impulsan el movimiento entre otras.

T(x) Ley de Newton T v T wTTAq = h v Tw x


3

3. Mtodo anlogo electro-trmico El mtodo anlogo-trmico es la mxima simplificacin que puede realizarse en los fenmenos de transferencia de calor y solo puede aplicarse cuando se cumplen las siguientes condiciones: Flujo de calor constante e independiente del tiempo Propiedades de la materia constantes Condiciones de temperatura constantes Es posible plantear una analoga fsico-matemtica entre los mecanismos de conduccin de calor y la conduccin de energa elctrica, la que se modela a travs de la Ley de Ohm, ya que ambas poseen como mecanismo de transporte de la energa el flujo de electrones a travs de la seccin transversal del slido conductor. La analoga puede plantearse considerando que el flujo de calor es equivalente a la intensidad de la corriente elctrica, la diferencia de temperaturas es anloga a la diferencia de tensiones o potencial o voltaje y por ende pude plantearse una resistencia trmica que sera equivalente a la resistencia elctrica. Esta analoga permite resolver una considerable cantidad de problemas industriales de transferencia de calor al asimilarlos como problemas de circuitos elctricos y aplicar as las distintas tcnicas de solucin que para estos existen. La forma general de aplicacin del mtodo anlogo es la siguiente: q

T1 T2 t

21

RTT

q=

Rt T1 > T2

3.1. Conduccin de calor:

a) Aplicacin para cuerpos de geometra cartesiana (paraleleppedos) T(x) k

Ake

TTq 21

= ; Ak

eRt =

q A

x e


4

b) Aplicacin para cuerpos de geometra cilndrica (tubos)

Ti > Te

k A

Te di Ti

de i e

Lk2d

dln

TTq

ie

21

=

Lk2d

dlnR i

e

t

=

L

3.2. Radiacin de calor:

T1 >> T2

T1 ( )( )( )4241T42

41

21

TTFFATTTTq

=

T2 ( )( )4241T42

41

t TTFFATTR

= A

3.3. Conveccin de calor:

T(x)

T v T

A1

TTq w

=

h

; A

1Rt = h

v Tw x


5

3.4. Aplicaciones del mtodo anlogo Las aplicaciones del mtodo anlogo corresponden a las que se presentan en los circuitos

en serie y en paralelo, los que se indican a continuacin: a) Circuito en serie: Situacin fsica Circuito anlogo-trmico

T(x) T1 > T2 > T3 q T1 A T1 T2 T3

q T2 Ake

1

1

Ake

2

2

T3 k1 k2 e1 e2 x

Anlisis como circuito anlogo-trmico:

=

=n

1iieq RR

+=+= 21

1221

2

2

1

1eq kk

kekeA1

Ake

Ake

R

( ) ( ) ( )Ak

eTT

RTT

Ake

TTR

TTkeke

TTkkAR

TTq

2

2

22

2

23

1

1

12

1

12

1221

1321

eq

13

==

==+==

b) Circuito en paralelo: Situacin fsica Circuito anlogo-trmico

T1 > T2

T(x) 11 Ak

e

T2 q1 A2

k2 q T1 T1 T2

T2 q2

q k1 A1 22 Ak

e

e x


6

Anlisis como circuito anlogo-trmico:

=

=n

1i ieq R1

R1 ( )

2211

2211

2211

eqAkAk

AkAke1

Ake

Ake

1R

1

+=

+=

( )2211

2211eq AkAk

AkAkeR

+= Tras reducir el circuito en paralelo a uno en serie, el circuito equivalente toma la forma si-guiente:

q T1 T2

( )2211

2211

AkAkAkAk

e +

4. Coeficiente global de transferencia de calor

El coeficiente global de transferencia de calor permite representar en la forma un valor nico, a un conjunto de mecanismos de transferencia de calor que se presentan simultneamente y en una determinada situacin fsica, permitiendo as evaluar el flujo de calor. Analticamente el coeficiente global de transferencia de calor se define como:

TAUq = Esta definicin se relaciona con la resistencia anlogo-trmica de la manera siguiente, conside-rando, adems, las unidades del coeficiente global de transferencia de calor en el sistema uni-dades internaciones (SI)

AR

1Ut

= Cm

W2

4.1. Aplicaciones

En general las aplicaciones a considerar sern al combinarse los mecanismos de conduccin y conveccin en serie, lo que da lugar a aplicaciones como las siguientes: a) Cuerpos de forma prismtica (paraleleppedos)

En este caso se considera la existencia de una pared plana de conductividad trmica cons-tante y espesor conocido, que se encuentra expuesta en su lado derecho e izquierdo, en relacin al flujo de calor, a medios convectivos, los que estn representado por temperatu-ras y coeficientes peliculares convectivos medios constantes. Finalmente se debe destacar que el rea de intercambio de calor, esto es el rea transversal al flujo de calor, es cons-tante e igual para los tres mecanismos involucrados, esto es: conveccin, conduccin y conveccin. En otras palabras el flujo de calor que se intercambia entre el medio convectivo ubicado a la izquierda la pared y la superficie exterior de la pared es igual al que se intercambia entre las dos superficies exteriores de la pared, o sea el flujo de calor que atraviesa por conduc-cin a la pared y este es idntico al intercambiado por la superficie exterior de la pared de-recha con el medio convectivo que existe a la derecha de la pared. La situacin fsica es la siguiente:


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T1 A 1 Tw1 k Tw2 T2 e 2 El flujo de calor es:

( ) ( ) ( )2w222w1w1w11 TTATTeAkTTAq === hh

Donde el coeficiente global de transferencia de calor de calor es para el caso de paredes:

21

1ke11U

++

=hh

b) Cuerpos de forma cilndrica (tubos) Ti > Te

A

Ti di i k Ti Te Twi Twe de i e Te

e L

El flujo de calor es: TAUTAUq eeii ==

Considerando a cada mecanismo de transferencia de calor por separado se cumple la si-guiente relacin:

( ) ( ) ( )eweeei

e

wewiwieii TTLd

Lk2d

dln

TTTTLdq =

== hh

Dado el cambio de rea de transferencia de calor que impone una geometra circular, don-de el rea del manto del cilindro se incrementa en funcin del dimetro, esto obliga a con-


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siderar la existencia de dos coeficientes globales de transferencia de calor, los que se plan-tean en funcin de los dimetros asociados a las reas del manto del cilindro. De esta ma-nera se reconocen dos coeficientes globales de transferencia de calor, uno planteado para el dimetro interior y por ende rea interior del manto, denominado como coeficiente global de transferencia de calor interior, mientras que existe tambin un coeficiente global de transferencia de calor exterior, asociado al dimetro exterior y al rea exterior. Sus respectivas expresiones matemticas son las siguientes. Coeficiente global de transferencia de calor interior:

ee

iie

i

i

i

dd

k2d

dlnd1

1U

+

+

=

hh

Coeficiente global de transferencia de calor exterior:

e

ie

e

ii

e

e

1k2

ddlnd

dd

1U

+

+

=

hh

La relacin que existe entre estas dos expresiones del coeficiente global de transferencia de calor es la siguiente:

eeii AUAU = Donde las expresiones del rea de intercambio de calor son: LdA ii = ; LdA ee = Finalmente:

ei

ei Ud

dU =

4.2. Evaluacin de espesor de aislacin trmica

Uno de los problemas clsicos y ms prcticos de transferencia de calor esta asociado a la de-terminacin del espesor optimo de aislacin para un cuerpo de seccin circular, como lo son tubos y alambres. Este problema es singular ya que es necesario obtener una solucin de compromiso entre dos situaciones fsicas distintas, ya que mientras mayor sea el espesor de un material aislante que se utilice en la periferia del manto de un cilindro, implica que se reduce el flujo de calor ya que la resistencia trmica conductiva se incrementa, esto conlleva, a su vez, a que el rea exterior del cilindro, se incremente con lo que aumenta el flujo de calor. De hecho es imposible aislar completamente un cilindro o cualquier cuerpo de acuerdo a la Segunda Ley de la termodinmica. Esta situacin lleva conduce entonces a la existencia de un espesor de aislante donde el flujo de calor que lo atraviese sea mximo, lo que en algunos casos es en extremo conveniente, por ejemplo en conductores elctricos, intercambiadores de calor, pero en otros casos es en ex-tremo inconveniente por el costo de generacin de energa trmica, sea esta de alta o baja temperatura, que lleva asociada el flujo de calor cedido al medio externo, llamada comnmente perdida de calor. Por su lado, los costos que impone el uso aislante, como costo inicial y de mantencin obliga a aceptar un espesor de aislacin que compatibilice el costo de perdida de energa con los cos-tos de aislacin, el que obviamente corresponde al costo mnimo de la suma de los costos de energa perdida ms el costo de aislacin para el periodo de vida til del aislante o del proyecto trmico en cuestin. La situacin fsica para realizar un anlisis del problema de aislacin es la siguiente:


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ka et dit kt Ti e da Tet Tia Tea det i ea L

El circuito anlogo-trmico aplicado al aislante, teniendo como limites el dimetro exterior del tubo que se asume idntico al dimetro interior del aislante y por lo tanto su temperatura es igual y el medio convectivo exterior al cilindro, es el siguiente:

Tet = Tia Tea Tea

Lk2

ddln

a

etea

Lr21

eae h

Luego el flujo de calor que se intercambia con el medio externo es: ( ) ( )

eeaa

etea

eia

eeaa

etea

eia

r1

kr

rln

TTL2

r1

kd

dln

TTL2q

+

=

+

=

hh

El espesor de aislante en el cual este flujo de calor o perdida trmica es mxima, se pude de-terminar a partir de determinar el punto de inflexin de la funcin flujo de calor, derivando la expresin anterior respecto del radio exterior del aislante e igualar esta funcin a cero, para luego despejar el valor del radio exterior del aislante, el pasa a determinarse como: radio crtico de aislacin. ( )

0dr

rdq

ea

ea = Despejando, se tiene que el radio crtico de aislante es:

e

accrtico

krr

== h

En este radio crtico el flujo de calor intercambiado entre la superficie exterior del cilindro y el medio convectivo es mximo y por ende la perdida o ganancia de calor es mxima. Grficamente el comportamiento del flujo de calor respecto del espesor de aislante utilizado es:


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El valor mximo del flujo de calor intercambiado corresponde al valor del espesor crtico de ais-lacin y obviamente al radio crtico de aislacin. Como se aprecia la funcin de calor intercambiado tiene un comportamiento asinttico respec-to del espesor de aislante, de ah que en clculos de ingeniera es necesario realizar un anli-sis econmico para determinar el espesor prctico de la aislacin trmica a utilizarse en una aplicacin especfica. Este anlisis considera los siguientes costos: a) Los costos de generacin de energa asociados a la perdida a travs de la aislacin para

el periodo de vida til de sta o del proyecto en funcin del espesor de aislante trmico considerado

b) Los costos de adquisicin, montaje y mantencin de la aislacin para el periodo de vida til de sta o del proyecto en funcin del espesor de aislante trmico considerado

c) La suma de estos costos en funcin del espesor de aislante trmico considerado Realizada la suma corresponde determinar el costo mnimo y el espesor de aislante asociado a este costo pasa a denominarse espesor econmico de aislacin y corresponde al espesor de aislacin en que el flujo de calor intercambiado o perdida trmica, es la combinacin de efectos ms conveniente en trminos econmicos, vale decir la perdida de dinero por la operacin de un sistema aislado es minimizada. Grficamente esta situacin se ilustra a continuacin:

Flujo de calor intercambiado por un tubo en funcin del espesor de aislante

0

40

80

120

160

200

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25

Espesor de aislacin

Fluj

o de

cal

or in

terc

ambi

ado


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5. Conduccin de calor

El modelo matemtico general que representa el mecanismo de transferencia de calor por conduccin se extrae a partir del balance trmico de un elemento diferencial de un material s-lido sujeto slo a un flujo de calor en una de sus direcciones, segn se indica en la figura y a la cual se le aplica un balance entre el flujo de calor que ingresa al elemento ms la generacin interna de energa, el cambio de energa interna del elemento y el flujo de calor que abandona el elemento, obviamente deben considerarse los respectivos signos que identifican el sentido del flujo de energa.

T(x) A

0qUEq dxxx =+++ + qx qx+dx

Considerando los signos, se tiene:

dxxx qUEq ++=+

dx x

Comportamiento del costos para evaluacin del espesor econmico de aislacin

0

150

300

450

600

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25

Espesor de aislacin

Cos

to e

n un

idad

es m

onet

aria

s

Costo de generacin de energaCosto de la aislacinCosto total


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Analizando cada trmino del balance trmico por separado, se tiene:

a) El flujo de calor que ingresa al elemento es: xTAkqx =

b) La generacin interna de energa y por ende calor es: dxAqE = & c) El cambio de energa interna es:

tTACU v =

d) El flujo de calor que egresa al elemento es:

+=+ dxx

TAkxx

TAkq dxx

Reemplazando estos trminos en la ecuacin del balance trmico y anulando los trminos per-tinentes, se tiene que para el caso de conduccin unidimensional, se tiene la siguiente ecua-cin diferencial que modela el mecanismo de conduccin de calor:

tTCq

xTk

x =+

& Si se expande la ecuacin anterior a un flujo de calor tridimensional en un sistema de coorde-nadas cartesianas, la ecuacin de conduccin de calor o ecuacin de Fourier toma la forma si-guiente:

tTCq

zTk

zyTk

yxTk

x zyx =+

+

+

& Si se asume que la propiedad conductividad trmica del slido permanece constante y es in-dependiente de cualquiera de las direcciones que puede tomar el flujo de calor, es posible res-cribir la ecuacin de Fourier para coordenadas cartesianas, de la manera siguiente:

tT

1

kq

zT

yT

xT

2

2

2

2

2

2

=+

++

& En notacin simplificada la ecuacin anterior queda como sigue:

tT

1

kqT2

=+ & Esta ecuacin planteada para los dems sistemas de coordenadas y considerando que la con-ductividad trmica del slido es constante, se tiene para coordenadas cilndricas:

tT

1

kq

zT

T

r1

rT

r1

rT

2

2

2

2

22

2

=+

++

+ &

Mientras que para coordenadas esfricas se tiene:

tT

1

kq

Tsenr

1

T

sen

senr1

rT

r1

2

2

2222

2

=+

+

+ &

Como se aprecia, en el proceso de deduccin de las ecuaciones anteriores se introdujo ya el concepto de restriccin, vale decir de una simplificacin que depende de la situacin fsica y que una vez aplicada a la ecuacin de Fourier, permite un manejo reducir considerablemente el manejo matemtico que se requiere para obtener una solucin para la situacin fsica anali-zada. El aplicar una o ms restricciones implica necesariamente una reduccin en la precisin de los resultados alcanzados, producto de la simplificacin que de la situacin fsica hace la restriccin. En trminos generales existen cuatro tipos de restricciones, las que pueden aplicarse tanto por separado como en conjunto. Estas se indican en el siguiente listado: a) Conductividad trmica constante e independiente de la posicin y el tiempo b) Dimensionalidad espacial del flujo de calor (unidimensional, bidimensional o tridimensional) c) Existencia o inexistencia de generacin interna de calor d) Temporalidad o estacionaridad del flujo de calor A continuacin se expone a modo de ejemplo la metodologa de aplicacin de las restricciones a la forma general de la ecuacin de conduccin o Fourier, a fin de aplicarla a un problema es-


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pecifico de conduccin de calor, con flujo de calor constate a travs de una pared de conducti-vidad trmica constante y sin generacin interna de calor. Considerando la forma general de la ecuacin de Fourier, se tiene:

tTCq

zTk

zyTk

yxTk

x zyx =+

+

+

& Aplicando la restriccin de conductividad trmica constante, se tiene:

zyx kkkk === Reemplazando y simplificando se tiene:

tT

1

kq

zT

yT

xT

2

2

2

2

2

2

=+

++

& Aplicando la restriccin de unidimensionalidad del flujo de calor, se tiene que:

0zT

yT

2

2

2

2=

= Reemplazando se tiene:

tT

1

kq

xT2

2

=+

& Aplicando la restriccin de inexistencia de generacin interna de calor, se tiene que:

0q =& Reemplazando se tiene:

tT

1

xT2

2

=

Aplicando la restriccin de estacionaridad del flujo de calor, se tiene que:

0tT = Reemplazando se tiene:

0xT2

2=

A esta ltima ecuacin se le denomina ecuacin de Poisson, y corresponde a un flujo de calor con conductividad trmica constante, unidimensional, sin generacin interna de calor y esta-cionario. Fsicamente la ecuacin Poisson, es aplicable a una gran cantidad de situaciones como las si-guientes: paredes, ventanas, herramientas, etc.

T(x) k

A

e x

Para fines de obtener una solucin matemtica de la ecuacin de Poisson, es conveniente rea-lizar la siguiente aproximacin:

0dx

TdxT

2

2

2

2=


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Aplicando las tcnicas de integracin para esta aproximacin, se tiene:

0dx

Td2

2=

Tras la primera integracin, se tiene:

1cdxdT = Tras la segunda integracin, se obtiene la funcin temperatura: ( ) 21 cxcxT += Como se aprecia esta es una solucin de carcter general, que solo indica que el comporta-miento dela temperatura es lineal con respecto de al posicin, por lo que debe ser particulari-zada a fin de que entregue una solucin adecuada a cada caso a analizarse. El procedimiento de particularizacin de la solucin se realiza de acuerdo a las denominadas condiciones de borde o contorno, las que dan cuenta de la situacin fsica que existe en los li-mites del cuerpo slido. En este corresponden a las condiciones existentes en las posiciones 0 y e del cuerpo segn el eje x. Las condiciones de borde se agrupan, segn la literatura anglosajona en tres, mientras que la literatura rusa da cuenta de cuatro, siendo las tres primeras las mismas, presentndose solo una diferencia en el caso particular de contacto entre dos cuerpos slido. Las condiciones de borde son: a) Condicin de Borde Tipo N1 o de Diriclet

Esta condicin de borde planteada para fines de transferencia de calor significa fsicamen-te que la temperatura para una posicin dada es conocida. Luego: ( ) 00 TxT = ( ) 00 TxTxx ==

b) Condicin de Borde Tipo N2 o de Neumann Esta condicin de borde planteada para fines de transferencia de calor significa fsicamen-te que el gradiente de temperatura para una posicin dada es conocido y si este es igual a 0, (cero) implica que existe en esta posicin una aislacin perfecta, ya que la diferencia en-tre las temperaturas del gradiente es cero y por lo tanto no existe flujo de calor. Luego: ( ) 0

dxxdT

0xx=

= ( ) 0

dxxdTxx 0 ==

Por lo tanto: 00 == qxx

c) Condicin de Borde Tipo N3 o de Robbins Esta condicin de borde planteada para fines de transferencia de calor significa fsicamen-te que el flujo de calor que se intercambia entre una pared slida y un medio convectivo o viceversa, en una posicin de frontera conocida se realiza sin cedencias de calor a un ter-cer medio, vale decir todo el calor del slido se traspasa al medio convectivo o viceversa. Matemticamente esta condicin queda expresada de la manera siguiente: ( ) ( )0

xxxTT

kdxxdT

0

= =

h ( ) ( )xTTkdx

xdTxx 0 == h d) Condicin de Borde Tipo N4 y situacin de resistencia de contacto

Esta condicin de borde planteada para fines de transferencia de calor significa fsicamen-te que el flujo de calor que se intercambia entre una pared slida de una determinada con-ductividad trmica con otra pared slida con una conductividad trmica de distinto valor, que se encuentran en contacto, en una posicin de frontera conocida se realiza sin ceden-cias de calor a un tercer medio, vale decir todo el calor del primer slido se traspasa al se-gundo slido, dependiendo de la diferencia de temperatura. Matemticamente esta condicin queda expresada de la manera siguiente: ( ) ( )

00 xx2

xx1 dx

xdTkdx

xdTk==

= ( ) ( )dx

xdTkdx

xdTkxx 210 ==


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La literatura anglosajona, en general, no menciona esta condicin de borde y se concentra en el problema de la resistencia de contacto, ya que parte de la premisa que dos slidos distintos no pueden fsicamente alcanzar un contacto absoluto entre sus superficies debido a su rugosidad natural, luego asumen que siempre existir o una delgadsima pelcula de aire o vaco entre las superficies en contacto, generndose as una resistencia trmica adi-cional producto del aire atrapado o del vaco que existe entre los poros superficiales de los slidos, ya que la conductividad trmica es muy pequea en el caso del aire y nula en el caso del vaco. Grficamente considerando que los slidos y el aire se comportan siguiendo la ecuacin de Poisson, la situacin fsica adopta la forma siguiente:

T(x) A

kcontacto k1 k2 x

Considerando el problema planteado a partir de la solucin general de la ecuacin de Poisson y aplicndole a esta para fines de su particularizacin a condiciones de Borde del Tipo N1 o de Diriclet, se tiene que el problema adopta la forma siguiente:

T(x) T1 > T2 Las condiciones de borde del Tipo N1 son: x = 0 u T = T1 T1 A

x = e u T = T2 T2 k e x Aplicando las condiciones de borde a la solucin general, se tiene: ( ) 21 cxcxT += Aplicando para el valor de la posicin cero, x = 0, se tiene ( ) 2211 cc0cT0T =+== 12 Tc = Aplicando para el valor de la posicin cero, x = e, se tiene


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( ) 11212 TeccecTeT +=+== eTT

c 121=

Reemplazando en la forma general, se obtiene la denominada funcin temperatura para el ca-so de conduccin de calor a travs de una pared de conductividad trmica constante, unidi-mensional, sin generacin interna de calor y estacionario, con condiciones de borde del tipo N1, lo que implica conocer dos temperaturas en posiciones dadas. Lo anterior permite obtener la siguiente funcin:

( ) 112 TxeTT

xT +

= El flujo de calor se determina a partir de la funcin temperatura aplicando la Ley de Fourier.

dxdTAkq =

Aplicando la Ley de Fourier para el caso de al ecuacin de Poisson, se tiene:

+

= 112 TxeTT

dxdAkq

Reemplazando y sustituyendo

Ake

TTe

TTAkq 2112

=

=

Adicionalmente, la ecuacin anterior se puede rescribir de la manera siguiente:

t

2121

RTT

Ake

TTq

=

=

Como se aprecia a partir de la expresin del flujo de calor obtenida para este caso particular, permite inferir que el mtodo anlogo-trmico corresponde a la particularizacin de la ecuacin de Poisson con condiciones de borde del tipo N1, de modo que este mtodo es slo la mxi-ma simplificacin que se puede realizar a la ecuacin de Fourier. En cuanto a los mtodos matemticos que se utilizan para la solucin de problemas ms com-plejos, tales como los que incorporan casos tales como: materiales con conductividades trmi-cas variables (dependientes de la temperatura), multidimensionalidad en el flujo de calor, gene-racin interna de calor (por metabolismo, par efecto del paso de corriente elctrica, reacciones qumicas) y/o procesos transientes, generan una amplia gama de posibilidades, las que gene-ralmente se ven limitadas por la capacidad de resolver ecuaciones diferenciales complejas, lo que a llevado al desarrollo de diversas tcnicas para obtener de soluciones aproximadas, en particular para los problemas multidimensionales y transientes, tales como: el mtodo de anlisis grafico, el mtodo de factor de forma para conduccin de calor, el mtodo de capaci-tancia trmica, mtodo del slido semi-infinito, mtodo de las curvas de Heisler, entre otros. El ejemplo ms comn de solucin aproximada a un problema de transferencia de calor, es el mtodo de capacitancia trmica que permite evaluar el comportamiento transientes de la tem-peratura de cuerpos cuya resistencia trmica conductiva se puede asumir como nula, lo que significa que la temperatura de todo el cuerpo para un determinado tiempo es la misma. Esta condicin se puede asumir cuando el nmero de Biot es despreciable. Donde el nmero de Biot, Bi, representa la relacin entre los mecanismos de conduccin y de conveccin de calor en un determinado cuerpo. La ecuacin que permite determinar el nmero de Biot es independiente de la geometra de ste y adopta la forma siguiente:

AkV

Bi = h

Si el Bi 0,001, se puede aplicar el mtodo de capacitancia trmica. Donde se realiza un equi-librio entre el flujo de calor disipado por conveccin a travs de la superficie del cuerpo a un fluido de temperatura T y el cambio de energa interna de ste, a partir de su temperatura ini-cial T0. Matemticamente esto toma la forma siguiente:


17

( )( ) ( )dt

tdTVCpTtTA = h Asumiendo a: ( ) ( ) = TtTt La ecuacin anterior adopta la forma siguiente:

( ) ( )dt

tdVCptA =h Cuya solucin con condiciones de borde iniciales del tipo N1, ((0) = T0 T), es:

( ) ( ) tVCpAe0t = h Donde en funcin del tiempo es:

( ) ( ) tVCpA0 eTTTtT

=h

Finalmente, el flujo de calor instantneo se puede evaluar se puede evaluar a partir de la ecua-cin de conveccin y el calor intercambiado en le tiempo por integracin. ( ) ( )( ) = TtTAtq h Luego,

= t0 dtqQ En los ltimos aos con el desarrollo de computadores personales los mtodos numricos apli-cados a la solucin de los problemas de transferencia de calor han adquirido una gran relevan-cia, siendo los ms utilizados: a) Mtodo de las diferencias finitas b) Mtodo de los elementos finitos Claro esta que existen otros mtodos como el mtodo de los volmenes de control finitos y el mtodo de los elementos de borde, que gozan de menos popularidad que los anteriores. Actualmente es posible encontrar numerosos paquetes computacionales diseados para PC, basados en el mtodo de los elementos finitos, que permiten con relativa facilidad solucionar problemas complejos de transferencia de calor. Sin embargo, el mtodo de las diferencias finitas es tradicionalmente el ms popular en la lite-ratura, por lo que a continuacin se planearan las bases de la metodologa basado en la solu-cin explicita del sistema de ecuaciones que se genera con la aplicacin de mtodo. El mtodo se basa en aproximar los elementos diferenciales a una forma discreta, construyen-do una malla o red de puntos donde en ellos se concentran las propiedades de la materia, de modo que los trminos diferenciales toman la forma siguiente:

( )x

TT

x

TT

dxt,z,y,xdT

pk,j,1i

pk,j,i

pk,j,i

pk,j,1i + ==

( )2

pk,j,1i

pk,j,i

pk,j,1i

2

2

x

TT2T

dxt,z,y,xTd + +=

( )tTT

dtt,z,y,xdT

pk,j,i

1pk,j,i =+

Considerando a: i, j, k como coordenadas espaciales y a: p como coordenada temporal, con lo que la ecuacin de Fourier aplicando las restricciones: conductividad trmica constante, con-duccin unidimensional de calor y sin generacin interna de calor, queda de la forma siguiente:

tT

1

xT2

2

=

La que expresada en trminos de diferencias finitas toma la forma siguiente:

t

TT

1

x

TT2T p k,j,i1p

k,j,i2

pk,j,1i

pk,j,i

pk,j,1i =+

++

De donde se despeja el valor de:


18

[ ] [ ]Fo21TTTFoT p k,j,ip k,j,1ip k,j,1i1p k,j,i ++= ++ Donde el nmero de Fourier toma la forma de:

2xtFo =

Este nmero de Fourier, por condiciones de convergencia del mtodo debe restringirse segn el grado de dimensionalidad del problema, de la manera siguiente: Problema unidimensional => Fo [ 0,500 Problema bidimensional => Fo [ 0,250 Problema tridimensional => Fo [ 0,167 Si se considera el valor lmite del nmero de Fourier para un caso de conduccin de calor uni-dimensional con conductividad trmica constante y sin generacin interna de calor se tiene: [ ]

2TT

Tp

1ip

1i1pk,j,i

++ += En otras palabras, la temperatura en un tiempo t+t para el nodo intermedio, es igual al pro-medio de las temperaturas de los nodos adyacentes en el tiempo t. La solucin grfica de este sistema de ecuaciones se le denomina como mtodo grafico de Schmidt. Finalmente, es necesario considerar el evento que alguna de condiciones de borde sean del ti-po N3, vale decir una superficie slida en contacto con un medios convectivo, para este caso se debe considerar la existencia del denominado nmero de Biot, el que se define como:

kxBi = h

Las relaciones entre los nmeros de Fourier y Biot permiten utilizar las condiciones de borde y a partir de ellas evaluar los valores de las temperaturas de cada uno de los nodos y por ende en el interior del slido. Dentro de las tcnicas de programacin y mtodos de solucin destacan los mtodos de Gauss-Siedel, las formulaciones implcita, de Crank-Nicolson, etc.

6. Teora de aletas

Las aletas o superficies extendidas es el medio que comnmente se utiliza para incrementar el flujo de calor intercambiado entre un cuerpo slido y un medio convectivo que se encuentren a diferentes temperaturas, ya que se aumenta significativamente el rea de intercambio de calor. Estos elementos se emplean cuando un slido no posee el rea externa lo suficientemente grande como para permitir el flujo de calor que una aplicacin en particular requiera, como es el caso de los intercambiadores de calor (radiadores, evaporadores, colectores solares, etc.), cilindros automotrices, compresores, etc. El caso ms sencillo de aleta corresponde a las denominadas aletas rectas, llamadas as por-que su seccin transversal permanece constante. La situacin fsica para este caso es la si-guiente:

dx T e Tw b L x


19

Geomtricamente se obtienen las siguientes relaciones para el permetro y el rea o seccin transversal de la aleta: ( )be2P += ebA = Para la aleta es posible plantear el siguiente balance de energa para un elemento de slido de espesor diferencial ubicado en una posicin dada, el que indica que el flujo de calor conductivo que ingresa al elemento es igual al flujo de calor cedido al medio convectivo ms el flujo de ca-lor conductivo que egresa del elemento, que en trminos matemticos toman la forma siguien-te:

convectivodxxx qqq += + Reemplazando en esta ecuacin las expresiones de las leyes de Fourier y Newton, y tomando en cuenta las caractersticas geomtricas de la aleta, se obtiene la siguiente ecuacin:

( )( ) dxTxTPdxxTAk

xxTAk

xTAk +

=

h Eliminando trminos y ordenando se obtiene la siguiente ecuacin:

( ) ( )( ) 0TxTAkP

dxxTd

2

2=

h Dado que la ecuacin anterior queda en funcin de una diferencia de temperaturas entre la temperatura de la aleta en la posicin dada y la temperatura basal de la aleta, conviene susti-tuir la funcin temperatura por la funcin diferencia de temperaturas, la que cumple con las si-guientes condiciones:

( ) ( ) = TxTx ( ) ( )dxxdT

dxxd = ( ) ( )2

2

2

2

dxxTd

dxxd =

Reemplazando se tiene la denominada ecuacin de la aleta, la que es: ( ) ( ) 0x

AkP

dxxd

2

2=

h Si se considera el siguiente reemplazo a fin de obtener una forma general de la ecuacin dife-rencial y a partir de sta la solucin para la ecuacin:

AkP

m2 = h

La ecuacin de la aleta toma la forma siguiente: ( ) ( ) 0xm

dxxd 2

2

2=

Siendo su solucin general, la siguiente: ( ) mx2mx1 ececx + +=

Donde la particularizacin de la solucin general de la ecuacin de aleta se realiza al aplicarle a esta las condiciones de borde que restringen el problema que en particular se analice. En general la condicin de borde para la base de cualquier aleta o superficie extendida es misma para todos lo casos y corresponde a una condicin del Tipo N1 y queda planteada de la forma siguiente: ( ) 0w TT0 == ( ) wTxT0x == Para el extremo de la aleta o superficie extendida pueden presentarse tres posibles casos, los que obviamente estn asociados a los tres tipos condiciones de borde que son aplicables, esto es las condiciones tipo N1, N2 y N3. Segn el tipo de condicin de borde que se aplique en el extremo de la aleta, permite clasificarlas mediante un nombre en los siguientes casos: a) Aleta larga; este tipo de aleta corresponde al caso en que al extremo de la aleta se le pue-

de aplicar una condicin de borde del tipo N1, o sea la temperatura en el extremo de la aleta es conocida e idntica a la del medio convectivo. Matemticamente corresponde a lo siguiente: ( ) 0L = ( ) == TxTLx

b) Aleta corta; en este caso se asume que al extremo de la aleta se le puede aplicar una con-dicin de borde del tipo N2, lo que significa que el extremo de al aleta se encuentra total-


20

mente aislado trmicamente y por lo tanto el flujo de calor slo puede intercambiarse con el medio convectivo por las superficies laterales de la aleta. Matemticamente corresponde a lo siguiente:

0dxd

Lx=

= ( ) 0

dxxdTLx

Lx==

=

c) Aleta media este tipo de aleta corresponde al caso en que al extremo de la aleta se le pue-de aplicar una condicin de borde del tipo N3, esto implica que existe intercambio de calor en el extremo de la aleta. Matemticamente corresponde a lo siguiente: ( )

0Lx

Adx

xdAk = =

h ( ) ( )=

== TTAdx

xdTAkLx wLx

h

A fin de ejemplarizar el manejo de las condiciones de borde y la evaluacin del flujo de calor que puede mediante el uso de aletas realizarse, se analizara en detalle el caso de aleta larga. Considerando la solucin general de la ecuacin de aleta que es: ( ) mx2mx1 ececx + +=

Aplicando la condicin de borde del tipo N1 a la base de la aleta, se tiene: ( ) 1020100 cecec mm =+== + 01 c = Aplicando la condicin de borde del tipo N1 al extremo de la aleta y asumiendo que en esta posicin su temperatura es idntica a la del medio convectivo y que el largo de la aleta es en trminos matemticos infinito, se tiene: ( ) mL2mL1 ecec0L + +== 0c2 =

Reemplazando estas constantes en la forma general de solucin, se tiene que la funcin dife-rencia de temperaturas respecto de la posicin para una aleta recta larga es:

( ) xAk P0mx0 eex ==

h

Donde se puede obtener la funcin de la temperatura de la aleta respecto de la posicin, la que es:

( ) ( ) ( )

+=+=

TeTTTeTTxTx

AkP

wmx

w

h

Grficamente la funcin temperatura respecto de la posicin es:

Comportamiento de la temperatura respecto de la longitud para el caso de una aleta larga

0

20

40

60

80

100

120

0 0,04 0,08 0,12 0,16 0,2Largo de la aleta

Tem

pera

tura

de

la a

leta


21

Finalmente, aplicando la ley de Fourier, es posible obtener el flujo de calor intercambiado entre la aleta y el medio convectivo, que es: ( )

00x

AkPdx

xdTAkq == =

h

Como es posible deducir de la expresin anterior, el flujo de calor que intercambia una aleta con el medio convectivo es slo una fraccin del flujo de calor que intercambiara la aleta si es-ta mantuviera en toda sus superficies la temperatura basal. Esta situacin conduce a la apari-cin del concepto de eficiencia de aleta, el que se define de la manera siguiente:

( ) ( ) ( )[ ] 0efectivo

mximo

efectivoa ebLe2Lb2

qqq

e ++== h

La eficiencia de una aleta, para fines industriales, puede ser graficado en funcin de su tama-o, geometra, conductividad trmica del material de que esta construida y el coeficiente pelicu-lar convectivo medio del fluido en el cual la aleta se encuentra sumergido.

ek2L h

7. Conveccin

Los procesos de conveccin son modelados en terminos generales, por la ley de enfriamiento de Newton, la que establece que en los procesos convectivos, el flujo de calor es proporcional a un coeficiente numrico que es denominado como: Coeficiente Pelicular Convectivo Medio o simplemente: coeficiente pelicular. El valor que toma este coeficiente pelicular depende de la situacin fsica de que se trate y por lo tanto de las variables que gobiernan el tipo de escurri-miento del fluido por sobre la pared donde se produce el proceso convectivo. De estas varia-bles, la ms relevante en una primera instancia, es la referida al origen de las fuerzas que en-gendran el movimiento del fluido, lo que permite catalogar el tipo de escurrimeinto en dos cate-gorias, las que son: Conveccin forzada Coveccin natural o libre La primera categoria o conveccin forzada se presenta cuando las fuerzas que originan el mo-vimiento del fluido son externas al fluido y por ende no tiene como origen el proceso de transfe-rencia de calor en si mismo.

Eficiencia de aleta para casos de aletas de secciones rectangular y triangular

0

20

40

60

80

100

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5

Efic

ienc

ia d

e al

eta rectangular

triangular


22

Por su lado, la segunda categoria o conveccin natural o libre ocurre cuando las fuerzas que originan el movimiento del fluido son propias a los cambios que en sus propiedades tiene el fluido cuando como producto del proceso de transferencia de calor cambian, generandose un cambio de densidad y por ende aparecen fuerzas de flotacin las que engendran una circula-cin o flujo. Si bien el origen del movimiento puede ser diferente, la situacin fsica es la misma y corres-ponde a la situacin ilustrada:

T(x) v T v(x,y) dA Tw x

Como se puede desprender de la figura, por lo efectos viscosos del fluido el valor de la velocidad de escurrimiento del fluido, el espesor de la capa lmite de velocidades, etc, generan que el valor del coeficiente pelicular convectivo sea un valor del tipo local, por lo que se cum-ple:

( )wx TThdAdq =

Dado que en la prectica de ingeriera resulta muy complejo trabajar con valores locales, resulta en extremo conveniente y hasta necesario el determinar un valor medio para el coeficiente pe-licular convectivo, lo que es posible establecerlo de la manera siguiente:

= dAhA1 xh Por su lado, los efectos viscosos generan una pelicula de fluido que provoca una modificacin significativa de las propiedades del escurrimiento en las proximidades de la pared, que es don-de se realiza el intercambio de calor, lo que hace que el valor de estas propiedades sea espe-cialmente relevante, esto conduce a la necesidad de evaluar las propiedades del fluido existen-te en la pelicula a partir de una temperatura que permita evaluar adecuadamente estas propie-dades. Esta temperatura se le denomina Temperatura de Pelicula y se evalua como la media entre las temperaturas de la pared y del fluido no perturabado por los efectos de pared. Matematicamente corresponde a:

2

TTT w

+= Dado que el proceso convectivo tiene por origen la combinacin del traspaso de energa trmi-ca y mecnica, las ecuaciones que permiten modelar este proceso deben satisfacer simulta-neamente las ecuaciones de concervacin de masa, de la energa y de la cantidad de movi-miento o impulso, lo que supone la existencia de un sistema de ecuaciones. Esta particularidad genera un elevado grado de complejidad en los metodos de solucin analiticos que puedan uti-lizarse para resolver este sistema de ecuaciones, de ah que se recurra a utilizar un conjunto de relaciones empiricas que permiten determinar los valores que tomaria el coeficiente pelicu-lar convectivo medio para un conjunto de situaciones fsicas particulares en que el fenomeno convectivo se presente. Para facilitar el uso de este tipo de soluciones empericas, estas se plantean a traves de distintos numeros adimensionales, los que relacionan adecuadamente las distintas propiedades del fluido entre s y con las caractersticas del escurrimiento, dando lugar a numeros cuyas dimensiones son unitarias, vale decir son adimensionales. Para efectos de los problemas de transferencia de calor por el mecanismo de conveccin, los numeros adimencionales ms relevantes son:


23

Nmero de Nusselt, Nu: El nmero de Nusselt representa la relacin entre el coeficiente pelicular convectivo medio, la caracteristica geometrica y la conductividad termica del fluido. La ecuacin que evalua el nmero de Nusselt, toma dos formas segn sea la geometria relevante de la pared o del slido, presentando las siguientes formas: Caso de pared prismatica

kxNu = h

Caso de pared circular o esferica

kdNu = h

Nmero de Reynolds, Re: El nmero de Reynolds representa la relacin entre las fuerzas de inercia que impulsan el movimiento, representadas por la velocidad, respecto de las fuerzas viscosas que se opo-nen a ste, representadas por la viscosidad. La ecuacin que evalua el nmero de Rey-nolds, toma dos formas segn sea la geometria relevante de la pared del slido, presen-tando las siguientes formas: Caso de pared prismatica

vx

vx

gvxRe ===

Caso de pared circular o esferica

vd

vd

gvdRe ===

Nmero de Prandt, Pr: El nmero de Prandt representa la relacin que existe entre la capacidad de absorber calor por parte del fluido respecto de su capacidad de conducirlo, adoptando la forma de las si-guientes ecuaciones:

kC

Pr p == Nmero de Grasshof, Gr:

El nmero de Grasshof representa la relacin entre las fuerzas de flotacin que impulsan el movimiento, representadas por el coeficiente de expancin volumetrica, respecto de las fuerzas viscosas que se oponen a este movimiento, las que son representadas por la vis-cosidad. La ecuacin que evalua el nmero de Grasshof genricamente adopta variadas formas dependiendo de la geometria relevante de la pared del slido, la que se representa a traves del simbolo L*, de modo que la ecuacin generica toma la forma siguiente:

2

w3*

TTLgGr

=

Donde el coeficiente de expancin volumetrica,, se evalua como:

( ) ==

T1

TT

En la practica no se presenta un tipo unico de conveccin sino una combinacin de con-veccin forzada y natural, situacin de complica enormemente la resolucin de un determi-nado problema, ya que se hace necesario utilizar el principio de superposicin, lo que im-plica analizar por separado los fenomenos y luego superponer sus efectos. De ah que resulte en extremo conveniente el determinar la importancia relativa que tienen los efectos de estos dos tipos de conveccin en el proceso total de transferencia de calor por conveccin, de manera de eliminar del analisis al que sea menos relevante. El criterio que permite definir cual de los dos tipos de conveccin proceso puede no considerarse se basa en la importancia relativa que existe entre las fuerzas de flotacin, representadas por el nmero de Grasshof, y las fuerzas de inercia, representadas por el nmero de Reynolds.


24

Este criterio se manifiesta en la comparacin de la divisin del nmero de Grasshof por el nmero de Reynolds con el valor unitario. Si el producto de la divisin es mucho menor que 1, que en la prctica es 0,1, se asume como despreciable a la conveccin natural. Si por lo contrario el valor es mucho mayor que 1, que en la prctica es 100, se asume como des-preciable a la convecin forzada. Dentro de los lmites de 0,1 a 100, de la divisin entre los nmeros de Grasshof y Reynolds, se debe utilizar el metodo de superposicin. Resumiendo los crireios anteriores, se tiene:

1ReGr

2= o sea 100

ReGr1,0

2 Proceso convectivo combinado

1ReGr

2 o sea 1,0ReGr

2 Proceso convectivo forzado

1ReGr

2 o sea 100

ReGr

2 Proceso convectivo natural

7.1 Conveccin forzada

Como ya se indic, el proceso de conveccin forzada se caracteriza por el hecho que las fuerzas que engendran el movimiento del fluido sobre la pared son independientes del pro-ceso de transferencia de calor, de ah que se indique que las fuerzas relevantes son del ti-po mecnico, las que generan que la transformacin de trabajo mecnico en calor, sea ex-terno al proceso de mismo de transferencia de calor. Por lo anterior los nmeroa dimencionales que tiene una participacin relevante en la mo-delacin de este fenomeno sean, el nmero de Nusselt, el nmero de Reynolds y el nme-ro de Prandt, los que genericamente para los procesos de conveccin forzada se relacio-nan de la manera siguiente:

cb PrReaNu = Donde los valores de: a, b, c son constantes que dependen de la situacin fsica que se es-tudie. Esta forma general se aplica a las distintas situaciones fsicas que se presenten, pudiendo en algunas de ellas sufrir algunas modificaciones a fin de representar ms adecuadamente el femomeno en estudio. A continuacin se analizan los casos ms comunes de conveccin forzada, los que co-rresponden a: Escurrimiento por interior de tubos de seccin circular

El analisis de este caso parte de la identificacin del tipo de regimen de escurrimiento del fluido que exista por el interior del tubo, de modo que los modelos que sean validos para un escurrimiento de regimen laminar no deben necesariamente ser validos para un escurrimiento de regimen turbulento. Por otro lado, deben tenerse en cuenta las restricciones de aplicabilidad de los mode-los, ya que estos son empericos y por lo tanto son validos solo para un tipo o conjunto de situaciones concretas, las que por lo general, en el caso de tubos, implica la exis-tencia de un flujo desarrollado, esto sin influencia de los efectos de entrada y/o salida del fluido del tubo, lo que comunmente ocurre a una distancia de 50 dimetros desde la entrada o salida del fluido del tubo. Vale decir la aplicabilidad de las ecuaciones esta restringida a la longitud del tubo existente a partir de 50 dimetros desde la entrada y hasta 50 dimetros de la salida de ste.


25

Tw d T Flujo desarrollado 50 d o zona de validez 50 d Rgimen Laminar: Para el caso de escurrimiento de fluido en regimen laminar, lo que implica que el nmero de Reynolds es menor o igual a 2000, se presentan dos de las situaciones ms comunes: - Flujo de calor intercambiado constante (q = cte.)

En este caso se determin que la temperatura varia en forma lineal con la posicin axial del tubo, dando lugar a la siguiente ecuacin:

364,4Nu = Despejando el valor del coeficiente pelicular convectivo medio, se tiene:

dk364,4 =h

- Temperatura de la pared constante (Tw = cte.) Para este caso la forma generica de evaluacin del coeficiente pelicular convectivo medio, sufre una variacin a fin de utilizar una ecuacin que represente ms fielmen-te este fenomeno para la zona de flujo desarrollado. La ecuacin en cuestin es la siguiente:

PrRedL0688,066,3Nu +=

Esta ecuacin a su vez puede modificarse a fin de que considere los efectos entrada y salida del flujo, extendiendo con ello su campo de aplicabilidad a todo el tubo. La ecuacin en este caso pasa a ser la siguiente:

32

PrRedL04,01

PrRedL0688,066,3

Nu

+

+=

Rgimen Turbulento: Para el caso de escurrimiento de fluido en regimen laminar, lo que implica que el nmero de Reynolds es mayor a 2000, la siguiente ecuacin es la ms aceptada para modelar el comportamiento convectivo:

318,0 PrRe027,0Nu =

De una manera analoga al caso anterior, esta ecuacin puede modificarse a fin de que considere los efectos que tiene sobre la viscosidad del fluido la temperatura de la pa-red, lo que se realiza mediante una correccin de la ecuacin anterior. Esta nueva ecuacin llamada de Sieder&Tate, es de aplicacin general para los problemas de conveccin forzada en el inetrior de tubos en condiciones de escurrimeinto turbulento.


26

14,0

W

318,0

PrRe027,0Nu

=

Despejando el valor del coeficiente pelicular convectivo medio, para este caso se tiene:

dk

PrRe027,0

14,0

W

318,0

=h

Escurrimiento transversal por sobre tubos cilindricos

Para este caso se debe evaluar el nmero de Reynolds a partir del dimetro exterior del cilindro, de modo que la ecuacin toma la forma siguiente:

vd

vd

Re extext==

Luego el modelo que da cuenta del comportamiento convectivo considerado para el flujo por el exterior de cilindros es independiente del tipo de regimen de escurrimiento, dependiendo solo del largo del cilindro y adopta la forma siguiente:

181

318,0

LdPrRe036,0Nu

=

Escurrimiento por exterior de esferas

Para este caso se debe evaluar el nmero de Reynolds a partir del dimetro exterior de la esfera, de modo que se ecuacin toma la forma siguiente:

vd

vd

Re extext==

Luego el modelo que da cuenta del comportamiento convectivo considerado para el flujo por el exterior de esferas es independiente del tipo de regimen de escurrimiento y toma la forma siguiente:

316,0 PrRe37,0Nu =

Escurrimiento por sobre placas planas

En el caso de escurrimiento de un fluido sobre una placa, se presenta un fenomeno que es especialmente relevante, el que corresponde al cambio del regimen de escu-rrimiento del fluido en contacto con la placa, por efecto de la viscosidad, a medida de que ste avanza en su direccin de movimiento. En otras palabras, el nmero de Rey-nolds depende de la posicin del fluido respecto de la placa y por lo tanto en la medi-da que el fluido cuando entra en contacto con la placa se estable un regimen laminar que a medida que avanza en placa se transforma en turbulento, manteniendo estas condiciones al desarrollarse completamente el flujo. En terminos del problema de mecanica de fluidos, el escurrimiento por sobre la placa se genera la denominada: capa limite hidrodinmica, fenomeno que es extensivo al caso de flujo de gases, y que es especialmente relevante en la parte turbulenta del es-currimiento. La transicin entre el escurrimiento laminar y el transicional comienza cuando el nmero de Reynolds supera el valor de 500.000 (5%105), valor denominado como nmero de Reynolds crtico.

000.500Rec = El valor de la posicin de la placa en el sentido de escurrimiento del fluido (direccin x), que esta asociada a este valor se le denomina como longitud critica y se determina a partir del nmero de Reynolds crtico.


27

=

v000.500xc

Luego se cumple lo siguiente, considerando a: x como la direccin de escurrimiento del fluido: x [ xc e se presenta solo escurrimiento laminar sobre la placa x > xc e se presentan escurrimientos laminar, transicional y eventualmente

turbulento sobre la placa El comportamiento del escurrimiento y la existencia de las capas lmites se ilustra en la siguiente figura:

y capa lmite turbulenta v v h v(x) h subcapa laminar xc x regin laminar regin transicional regin turbulenta L

Tanto para la zona laminar como para la zona turbulenta es posible determinar el es-pesor de la capa lmite hidrodinmica, (h), la que se determina a partir del analisis del perfil de velocidades del fluido en la direccin transvesal a la placa, (direccin y), bajo la consideracin de que los efectos de la pared producen slo una dismininucin de un 1% de la velocidad de escurrimiento del fluido no perturbado. En otras palabras la ve-locidad del fluido es un 99% de la velocidad del fluido no perturbado. Matematicamente se definiria al espesor de capa limite hidrodinmica como el espesor en el sentido transvesal a la placa (direccin y) donde la velocidad del fluido varia entre 0 y 0,99$v. El espesor de la capa limite depende del tipo de regimen de escurrimiento existente en la posicin de la placa donde esta se evalue, ya que depende directamente de la posi-cin y del nmero de Reynolds. Por lo tanto existen diferentes ecuaciones que permiten evaluar el espesor de la capa limite hidrodinmica, siendo una para la zona laminar, denominada como ecuacin de Blaussius y diferentes formas empiricas para las zonas transicional y turbulenta, de las cuales se propone una en particular para este caso: Regimen laminar; Re [ 500.000 (5%105)

xh

Rex5

=

Regimenes transicional y turbulento; Re > 500.000 (5%105)

2,0x

hRe

x37,0

=


28

De una manera analoga es posible plantaear el concepto de capa limite trmica, (t), al considerar a esta como el espesor en la direccin transversal a la placa, donde se produce una variacin de la temperatura del fluido por efecto de la temperatura de la placa. El tamao de esta varia desde el valor de la temperatura de la pared, hasta la posicin donde los efectos en el fluido de la temperatura de la placa se anulan, lo que corresponde matematicamente a un 99% de la diferencia de temperaturas entre la pa-red y el fluido ms la temperatura de la pared, o sea es la variacin de la posicin y, entre Tw y 0,99$(T.-Tw). En terminos de ecuacin, el espesor de la capa limite trmica se puede evaluar como:

31h

tPr

=

Como ya fue indicado y puede deprenderse del analisis anterior, es de vital importan-cia el tener en cuenta los efectos viscosos del fluido y sus efectos en las propiedades trmicas de este, por lo que resulta indispensable el evaluar las propiedades del fluido a partir de las temperatura de pelicula, que es el promedio de las temperaturas del flui-do y de la placa. Luego, todas las propiedades del fluido se determinan a partir de la temperatura de pe-licula, que se evalua de la siguiente manera:

2TT

T w+=

Las relaciones que permiten evaluar los coeficientes peliculares para los fenomenos de conveccin forzada sobre placas planas, se pueden realizar a partir de valores locales y valores medios. Cabe destacar que estas relaciones son por lo general de caracter empirico, por lo que a continuacin se presentan slo las relaciones ms usuales: Regimen laminar: En este caso existen relaciones tanto locales como medias, entendiendo a estas lti-mas como aplicables a toda la zona laminar de una placa.

31

21xx PrRe332,0Nu = s x [ xc Valor local

31

21

LL PrRe664,0Nu = s L [ xc Valor medio Rgimen transicional y turbulento En este caso existen slo relaciones medias, las que son aplicables a toda la placa in-cluyendo tanto a la zona laminar como a las zonas transicional y turbulenta, por lo que son relaciones aplicables a toda la placa y no a una zona especifica. Las relaciones ms usuales son: ( ) 318,0LL Pr836Re036,0Nu = ReL m 5%105 ( ) 318,0LL Pr872Re037,0Nu = 5%105 < ReL [ 107

( )( )( ) 31584,2LLL Pr872RelogRe228,0Nu = 107 < ReL < 109 A partir de las relaciones anteriores, es posible evaluar el coeficiente pelicular convec-tivo medio para la placa y a partir de este el flujo total de calor intercambiado entre el fluido y la placa, lo que se realiza a traves de la siguiente ecuacin: ( )wtotaltotaltotal TTAq = h Por su lado, a partir del el coeficiente pelicular convectivo medio para la seccin de la placa donde se presenta regimen laminar, se puede determinar el flujo de calor inter-cambiado entre el fluido y la placa en esta seccin, lo que se realiza a traves de la si-guiente ecuacin: ( )warminlaarminlaarminla TTAq = h Finalmente por diferencia entre los flujos de calor intercambiados por toda la placa y por la seccin laminar de sta y asociando la ley de enfriamiento de Newton, es posi-


29

ble establecer un coeficiente pelicular convectivo medio para la zonas transicional y turbulenta, valor que se obtiene a partir de la siguiente ecuacin:

( )wturbolentoarminlatotal

turbolento TTAqq

=

h

7.2 Conveccin natural o libre

El fenomeno de conveccin natural se caracteriza por el hecho que las fuerzas que impul-san el movimiento del fluido por sobre la placa, tienen por origen el cambio del su nivel de energa interna en la zona de contacto con la placa, lo que se traduce en un cambio de la densidad de ste, lo que da lugar a la aparcicin de fuerzas de flotacin, generandose as una circulacin del fluido por sobre la placa. La forma generica de evaluar los coeficientes peliculares convectivos medios para los pro-cesos de conveccin natural es la siguiente:

( )bPrGraNu = Donde el valor del nmero de Nusselt se evalua a partir de la siguiente relacin:

kLNu

*= h Debe tenerse en cuenta que los valores de las constantes a y b, dependen de cada situa-cin fsica que en particular se analice. A su vez, el valor de la denominada: longitud crtica (L*), tambien depende de la situacin en estudio pudiendo hasta cambiar para cuerpos de igual geometria. Por otro lado, el valor que puede tomar el coeficiente pelicular convectivo medio depende del regimen de escurrimiento que se presente, pero dado que las fuerzas de inercia no tie-ne un papel relevante en este fenomeno, la caracterizacin del regimen se realiza a traves de una relacin entre el nmero de Grasshof y el nmero de Prandt, siguiendo el siguiente criterio: Regimen laminar implica: Gr $ Pr [ 109 Regimen transicional y turbulento implica: Gr $ Pr > 109 Teniendo en cuenta este criterio, se presentan las relaciones que se aplican generalmente a los casos ms comunes de conveccin natural: Caso de placas planas y cilindros verticales En este caso, como en todos los de que involucra conveccin natural, se debe considerar con especial cuidado el valor que toma la longitud critica, que en este caso corresponde a la altura del cuerpo y a partir de ella se pueden utilizar las relaciones de propiedades que conducen al valor del coeficiente pelicular convectivo medio. Debe tenerse en cuenta que las propiedades del fluido deben evaluarse a partir de la temperatura de pelcula.

L1 d L L2

L* = L L* = L2


30

Regimen laminar (Gr $ Pr [ 109)

( ) 41PrGr59,0Nu = s 0 [ Gr $ Pr [ 109 Regimen transicional y turbulento (Gr $ Pr > 109)

( ) 31PrGr13,0Nu = s Gr $ Pr > 109 Caso de cilindros horizontales En este caso la longitud crtica corresponde al diametro exterior del cilindro y es indepen-diente de su longitud.

d L* = d

Regimen laminar (Gr $ Pr [ 109) 4,0Nu = s 0 [ Gr $ Pr [ 10-5

( ) 41PrGr53,0Nu = s 10-5 [ Gr $ Pr [ 109 Regimen transicional y turbulento (Gr $ Pr > 109)

( ) 31PrGr3,0Nu = s Gr $ Pr > 109

Caso de placas planas horizontales En este caso no slo la longitud critica juega un rol relevante, que en este caso correspon-de a la longitud mayor, sino que tambin la situacin fsica respecto de las temperaturas relativas entre el fluido y la placa que se presentan para una situacin en particular y luego el regimen de escurrimiento que se presente. De modo que para aplicar una determinada relacin es necesario tener especialmente en cuenta todos estos factores.

L1 L2 L* = L1 s L1 > L2


31

Situacin fsica: Conveccin sobre placa caliente o bajo placa fra, tomando en cuenta como referencia la temperatura del fluido. Regimen laminar (Gr $ Pr [ 2$107)

( ) 41PrGr54,0Nu = s 0 [ Gr $ Pr [ 2$107 Regimen laminar, transicional y turbulento (Gr $ Pr > 2$107)

( ) 31PrGr14,0Nu = s Gr $ Pr > 2$107

Situacin fsica: Conveccin bajo placa caliente o sobre placa fra, tomando en cuenta como referencia la temperatura del fluido. Regimen laminar, transicional y turbulento (Gr $ Pr > 0)

( ) 41PrGr27,0Nu = s Gr $ Pr > 0 Relaciones aproximadas para el caso de que el fluido sea aire En el caso que el fluido sea aire en condiciones de presin atmosferica, es posible plantear un conjunto de relaciones aproximadas en trminos de la longitud caracterstica y la dife-rencia de temperaturas entre el aire y la placa (T en C o K), que permite evaluar el coefi-ciente pelicular convectivo medio con un error del orden de un 5% en (W/m2C) Estas relaciones se presentan en la siguiente tabla: Situacin fsica de conveccin natural Laminar Transicional y turbulento Fluido aire 0 [ Gr $ Pr [ 109 Gr $ Pr > 109 Cilindros y placas verticales 41

LT42,1

= h 3

1T31,1 =h

Cilindros horizontales 41

LT32,1

= h 3

1T24,1 =h

Flujo sobre placa caliente o bajo pla-ca fra

41

LT32,1

= h 3

1T52,1 =h

Flujo bajo placa caliente o sobre pla-ca fra

41

LT59,0

= h a

7.3 Conveccin con cambio de fase

El proceso de conveccin conlleva en algunos casos el cambio de fase del fluido que inter-cambia calor, lo que implica cambios sustanciales en las propiedades del escurrimiento, como de las del fluido. Adems, que debe considerarse la energa requerida o liberara en el proceso mismo de cambio de fase. En general se presentan dos grandes casos, los que son la ebullicin o cambio de fase lquido-gas, con su contraparte que es la condensacin o cambio de fase gas-lquido y la solidificacin o cambio de fase lquido-slido, con su contraparte que es la fusin o cambio de fase slido-lquido . Obviamente, los efectos dinmicos permiten subdividir cada caso en conveccin for-zada y conveccin natural. Adems, que debe tenerse en cuenta los efectos que la geometra donde ocurre el fenmeno impone a su modelacin matemtica.


32

A continuacin se presenta un listado con algunas situaciones comunes y sus respectivas mo-delaciones matemticas. Ebullicin en el interior de un recipiente

Para este caso se asumen condiciones de conveccin libre y la formacin de burbujas nu-cleadas como su crecimiento, se establecen mediante las siguientes relaciones: Nmero de Reynolds de las burbujas de vapor:

f

bbb

GdRe

= Donde: db Dimetro de la burbuja Gb Velocidad de masa de las burbujas por unidad de rea f Viscosidad del lquido Nmero de Nusselt para las burbujas de vapor es:

f

bbb k

dhNu

= Donde: hb Coeficiente pelicular convectivo medio para las burbujas kf Conductividad prmica del lquido f Viscosidad del lquido A su vez, el Coeficiente pelicular convectivo medio para las burbujas es:

x

*

b Tqh =

Donde: q* Flujo calrico por unidad de rea Tx Gradiente o potencial de temperaturas significativo

Donde: q* Flujo calrico por unidad de rea, W/m2 ci Calor especfico de lquido saturado, J/kgK hfg Entalpa de cambio de fase lquido-gas, J/kg g Aceleracin de la gravedad, J/kg Tensin superficial de la interfaz lquido-vapor, N/m f Densidad de lquido saturado, kg/m3 g Densidad de vapor saturado, kg/m3 Prf Nmero de Prandt de lquido saturado f Viscosidad del lquido, Pas n Constante emprica: 1,0 para agua, 1,7 para otros lquidos Cwf Constante emprica que depende de la naturaleza de la superficie de calentamien-

to del fluido cuyo valor numrico vara de un sistema a otro.

( )

=

gffgf

*

swnffg

xi

g

hqC

PrhTc


33

Una relacin simplificada para evaluar el flujo calrico por unidad de rea es:

33,310

cr

2,1

cr

17,0

cr

3,2cr

33,3x

*

PP10

PP4

PP8,1PT000481,0q

+

+

=

Donde: q* Flujo calrico por unidad de rea, W/m2 P Presin de operacin, atm. Pcr Presin crtica, atm.

Ebullicin en el interior de tubos en trminos de produccin neta de vapor

Para este caso se denomina como ebullicin nucleada saturada, en forma anular en el in-terior de un tubo, de dimetro D. Su modelacin considera efectos aditivos de los procesos que ocurren en la regin anular del tubo y la del fluido. Por lo que el coeficiente pelicular convectivo medio para obtener un vapor con titulo x, se evala como:

bc hhh += Donde:

( ) FDk

Pr

Dx1G023,0h f4,0f

8,0

fc

=

SPTh

ck00122,0h 75,0fg

24,0x24,0

g24,0

fg29,0

f5,0

49,0f

45,0f

79,0f

c

=

A su vez, el parmetro F, se evala como:

1,0

f

g5,0

g

f9,0

tt

x1x

X1

=

Considerando: F = 1,0

1,0Xtt1 <

736,0

tt213,0

X135,2F

+= 1,0Xtt

1 >

Por su parte, el parmetro S, se evala como: ( ) 114,1

TPRe12,01S

+= ReTP < 32,5

( ) 178,0TP

Re42,01S+= 32,5 70


34

Finalmente, el nmero de Reynolds adopta la forma siguiente: ( ) 425,1

fTP 10F

Dx1GRe = Condensacin por el exterior de tubos y esferas.

Para estos casos se asumen que el vapor se condensa completamente en el exterior de la superficie slida de temperatura Tw, lo que se modela a travs de la siguiente ecuacin: ( )( )

=

wfgf

3ffggff

TTDkhg

ch

Donde: c = 0,815 para esferas c = 0,725 para cilindros D = nD, para condensadores de n tubos.

Solidificacin Para este caso se debe recurrir a una solucin parametrizada en funcin del tiempo reque-rido para la formacin de un espesor de slido , producto de un potencial de temperatu-ras. De modo que la razn de flujo de calor por unidad de rea se evala de la forma si-guiente:

s0

sf*

k

h1

TTAq

+=

Donde los parmetros adimensionales son:

s

0

kh

=+

0

hh

R =+

+

=

TTTT

Tsf

sff

( ) +++

+++++

+++

+

++

=

TR

TR1TR1ln

TR

1t2

Donde: Espesor de la interfaz slido-lquido, la cual es una funcin del tiempo t h0 Coeficiente pelicular convectivo medio de la interfaz gas- slido h Coeficiente pelicular convectivo medio de la interfaz lquido- slido Tf Temperatura del lquido Tsf Temperatura del cambio de fase T Temperatura del fluido disipador de calor hsf Entalpa de cambio de fase slido-lquido ks Conductividad trmica del slido


35

El diagrama adimensional permite evaluar el comportamiento del espesor de slido en fun-cin del tiempo.

Para alimentos se puede emplear la modelacin de Plank, que plantea al tiempo como:

+

=

1k4

N1

TTh

tssf

s

Donde: t Tiempo h Variacin de entalpa de la sustancia s Densidad de la sustancia slida Tsf Temperatura del cambio de fase T Temperatura del fluido disipador de calor N Coeficiente de forma, N = 2 para placa, N = 4 para cilindro y N = 6 para esfera Espesor de la interfaz slido-lquido, la cual es una funcin del tiempo t ks Conductividad trmica del slido s Coeficiente superficial de transmisin trmica entre el medio refrigerante y el sli-

do en (W/mC).

8. Radiacin

La radiacin trmica es energa emitida por la materia que se encuentra a una temperatura da-da, emitindose directamente desde la fuente en todas las direcciones. Esta energa es produ-cida por los cambios en las configuraciones electrnicas de los tomos o molculas constituti-vos y transportada por ondas electromagnticas o fotones, por lo recibe el nombre de radiacin electromagntica. La masa en reposo de un fotn es nula. Por lo tanto, atendiendo a relatividad especial, un fotn viaja a la velocidad de la luz y no se puede mantener en reposo. Luego, la radiacin electromagntica es una combinacin de campos elctricos y magnticos oscilantes y perpendiculares entre s, que se propagan a travs del espacio transportando energa de un lugar a otro, independientemente de la materia existente entre el cuerpo emisor y receptor, de hecho, la transferencia de energa por radiacin es ms efectiva en el vaco. Sin embargo, la velocidad, intensidad y direccin de su flujo de energa se ven influidos por la presencia de ma-teria. As, estas ondas pueden atravesar el espacio interplanetario e interestelar y llegar a la Tierra desde el Sol y las estrellas. La longitud de onda y su frecuencia, son importantes para


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determinar la energa transportada, su visibilidad, su poder de penetracin y otras caractersti

Apuntes de Transferencia de Calor Versión 2013

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