Apuntes Del Blogg Pracial 2

7/17/2019 Apuntes Del Blogg Pracial 2

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ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGENEAS

Para resolver una ecuación diferencial homogénea se utiliza un

cambio de variables utilizando la variable “u” para dicho proceso

con los siguientes valores:

U = y/x

Y = ux

Dy = u*dx + x * du

ALGORITMO DE SOLUCIÓN:

1.- Identificar la variable “y” y la derivada con respecto a y “dy” en

la ecuación diferencial y sustituirlas, simplificando los términos

semejantes.

2.- Se separan las variables en cada miembro de la ecuación dejando

las x de un lado de la igualdad y las y del otro lado.

3.- Se resuelve la integral, simplifica y se despeja “c” para encontrar

la solución general.

4.- Se calcula el valor de la constante para el cálculo de las

soluciones particulares sustituyendo los valores de “x” y “y” con los

puntos dados.



EJEMPLO:

(x2

– xy – y2

) dx – xydy = 0 (-3,2)

(x2 – x (ux) – (ux)

2) dx – x (ux) (udx + xdu) = 0

(x2 – ux

2 – u

2x

2) dx – ux

2(udx + xdu) = 0

X2dx – ux

2dx – u

2x

2dx – u

2x

2dx – ux

3du = 0

X2dx – ux

2dx – 2u

2x

2dx – ux

3du = 0

X

2

dx (-u -2u

2

) = ux

3

duX

2dx / x

3= udu / -2u

2 – u

ʃ dx / x = ʃ udu / -2u2 – u

e(ln x = ln -2u -1 + c)

x = c * e -2u

-1 Ec. General

Sol. Particular

X = c * e-2(2/-3)

-1

C = -3 / e-2(2/-3)

-1

C = -1.7909

X = -1.7909 * e -2(2/-3) -1



ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS

Una ecuación diferencial exacta es aquella que cuenta con la

siguiente estructura:

(M (x, y) dx + (N (x, y) dy) = 0

Para comprobar la existencia de una ecuación diferencial exacta se

debe cumplir la siguiente condición:

aM / ay = aN / ax


1.- Se procede a comprobar si la ecuación es exacta.

2.-Integrar a la función “M” con respecto a la derivada parcial de

“y” “ax“ y sustituir a la constante “c” por la función h (y)

3.- Se deriva a la función encontrada con respecto a “y” y se iguala

con la función “m” (x, y)

af / ay = N (x, y)

4.- Se integra a la función con respecto a la variable “y” y se despeja

h (y)

ʃ [af / ay = N (x, y) ] desp. h (y)

5.- Se encuentra la solución general con la ecuación del paso 2

sustituyendo el valor h / (y) e igualarla con una constante de

integración.



EJERCICIO:

(2y2x - 3) + (2yx

2 +4) y

’= 0

aM / ay = 4yx aN / ax = 4yx

ʃ (2y2x - 3) dx

f (x, y) = 2y2x

2 / 2 – 3x + h (y)

af / ay = 2y2x

2 + h (y) = 2yx

2 + 4

ʃ h (y) = ʃ 4 dy

h (y) = 4y

R= y2x

2 – 3x + 4y + c Sol. General

Sol. Particular (3, 2)

(2)2(3)

2 – 3 (3) + 4 (2)

(4) (9) – 9+ 8

36 – 1= 35



ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES

Una ecuación diferencial lineal es aquella en donde las derivadas

disminuyen en forma proporcional y se representan de la siguiente

forma:

y’+ p (x) y – q (x) = 0

y’ + p (x) y = q (x)


1.- Identificar el factor integrante, sustituirlo y simplificarlo

M = e ʃ p (x) dx

2.- Multiplicar la ecuación diferencial por el factor integrante

3.- Sustituir en el primer miembro la derivada del resultado de la

función por el factor integrante

d / dx y * M

4.- Integrar la ecuación y despejar la variable independiente

EJEMPLO:

y’ + 2xy = x3

p (x) = 2x

M = e ʃ 2xdx

= ex2

ex2

y’+ 2xy e

x2= x

3e

x2



ʃ d / dx y * ex2

= ʃ x2e

x2xdx

y * ex2

= x2 / 2 e

x2 – x / 2 e

x2+ 1 / 4 e

x2+ c

y =(x

2 / 2 e

x2 – x / 2 e

x2+ 1 / 4 e

x2+ c) / e

x2

y = x2/ 2 – x / 2 + 1 / 4 + c / e

x2Sol. General

en el punto dado (1, 3)

C = y ex2

– x2

/ 2 ex2

+ x / 2 ex2

– 1 / 4 ex2

C = e

x2(y – x

2 / 2 + x / 2 – 1 / 4)

C = e1(3 – 1 / 2 + 1 / 2 – 1 / 4)

C = e1(11 / 4)

C = 7.4752 Sol. Particular

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