Apuntes Del Curso Física IV

Universidad Nacional Mayor de San Marcos Facultad de Ciencias Fsicas

Fsica IV

Apuntes del Curso de Teora

Prof.: Lic. Csar Jimnez

2014

Temario del Curso

Captulo I: Ecuaciones de Maxwell Captulo II: Ondas Electromagnticas Captulo III: ptica Geomtrica Captulo IV: ptica Fsica Captulo V: Fundamentos de Relatividad Captulo VI: Fundamentos de Fsica Cuntica

Apuntes del Curso de Fsica IV

Lic. Csar Jimnez T. Pg. 2

Prlogo Esta publicacin est conformada por los apuntes del curso de Fsica IV, dictado en las Facultades de Ing. Electrnica e Ing. Qumica de la UNMSM, durante los semestres correspondientes a los aos 2009, 2010 y 2012 a 2014. La informacin contenida en este trabajo es complementaria y referencial, es susceptible de ser revisada, corregida y aumentada. Se invita al estudiante a revisar la bibliografa para obtener un mejor conocimiento de los tpicos correspondientes a Fsica IV. Es importante incluir un captulo con tpicos de Fsica Moderna (relatividad y Fsica Cuntica) para los estudiantes de las Facultades de Ing. Electrnica e Ing. Qumica, puesto que servir como una introduccin para algunos cursos de inters, como Dispositivos Electrnicos de Estado Slido y Qumica Cuntica, respectivamente. Se sugiere al alumno que revise exhaustivamente la bibliografa recomendada y que trate de entender el concepto fsico y la Fsica del problema antes de tratar de resolver los problemas y ejercicios de aplicacin. Un paradigma, errado por supuesto, entre muchos estudiantes de ingeniera, es considerar que la Fsica slo consiste en saber resolver problemas difciles. Sin embargo, no debe descuidarse el aprendizaje del concepto fsico para explicar el problema fsico en s.

Lima, marzo de 2014



SILABO DEL CURSO DE FISICA IV I. INFORMACION GENERAL

1.1 Asignatura : FISICA IV 1.2 Carcter : Obligatorio 1.3 Requisitos : Fsica III, Ecuaciones Diferenciales 1.4 Crditos : 04 1.5 Semestre Acadmico : 2014-I 1.6 Profesor : Lic. C. Jimnez ([email protected])

II. OBJETIVOS

1. Describir y formular fsica y matemticamente las leyes y principios de los fenmenos pticos desde el punto de vista clsico y los principios de la Fsica Moderna.

2. Introducir en forma equilibrada los conceptos, leyes y principios ms importantes de la ptica de modo que proporcione al alumno una base slida para un estudio posterior.

III. SUMILLA

Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnticas. Luz. ptica geomtrica: reflexin y refraccin. Instrumentos pticos. ptica fsica: interferencia y difraccin. Polarizacin. Fundamentos de Fsica Moderna.

IV. CONTENIDO ANALITICO

CAP 1. ECUACIONES DE MAXWELL Operadores vectoriales: gradiente, divergencia, rotacional, laplaciano. Forma diferencial e integral de las Ecuaciones de Maxwell. Ecuaciones de Maxwell en el espacio libre. Ecuacin de onda para las ondas electromagnticas. Energa y cantidad de movimiento de una onda electromagntica. El vector de Poynting. Espectro electromagntico. Problemas.

CAP. 2. OPTICA GEOMETRICA Naturaleza de la luz. Reflexin y refraccin. Reflexin total interna. Principio de Huygens: reflexin y refraccin. Principio de Fermat: reflexin y refraccin. Problemas sobre la luz. Espejos planos y esfricos: Diagrama de rayos. La fibra ptica. Imgenes formadas por refraccin. Lentes delgadas: Diagrama de rayos. Lentes mltiples. Problemas. Primer Examen

CAP. 3. OPTICA FISICA

Experimento de la doble rendija de Young. Interferencia en pelculas delgadas. Diagrama de interferencia de dos rendijas. Diagrama de difraccin de una sola rendija. Diagrama de interferencia-difraccin de dos rendijas. Difraccin de Fraunhofer y de Fresnel. Anillos de Newton. Resolucin de una rendija y aberturas circulares. Rejilla de difraccin. Polarizacin de la luz. Polarizacin lineal. Polarizacin circular. Problemas.



CAP. 4. FUNDAMENTOS DE FISICA MODERNA Principios de Relatividad. Radiacin trmica. Constante de Planck. Efecto fotoelctrico. Efecto Compton. Rayos X. Postulado de De Broglie. Principio de Incertidumbre. Modelo atmico de Bohr. Teora de Schrodinger de la mecnica cuntica. Ecuacin de Schrodinger. Aplicaciones. Problemas.

Examen Final EXAMEN SUSTITUTORIO

V. METODOS Y TECNICAS DE ENSEANZA

Exposiciones de clases magistrales terico-prcticas utilizando pizarra y medios audiovisuales.

VI. METODO DE EVALUACION El sistema de calificacin usado en cada una de las evaluaciones es vigesimal, de acuerdo a lo indicado: 1. Se tomarn dos (02) exmenes parciales de teora (E1, E2) y un (01)

examen sustitutorio (ES) cuya nota reemplazar a la ms baja calificacin obtenida en los exmenes.

2. La nota final del curso (NF) se obtendr mediante la siguiente frmula:

5.10321

PLEENF

VII. BIBLIOGRAFIA

1. Serway, Raymond; Fsica, Sptima Edicin, Tomo II; Editorial McGraw- Hill, Mxico 2008. 2. Alonso, Marcelo - Finn, Edward; Fsica, Volumen II: Campos y Ondas;

Editorial Addison-Wesley Iberoamericana, Delaware 1987. 3. Hecht, Eugene - Zajac, Alfred; ptica; Editorial Addison-Wesley

Iberoamericana, Delaware, 1986. 4. Eisberg, R. Fundamentos de Fsica Moderna. Editorial Limusa. Mxico, 1978. 5. Jimnez, C. Apuntes del Curso de Fsica IV, UNMSM, 2013. 6. Pgina web con informacin del curso:

http://fenlab.9k.com/fisica4 7. Tarasov y Tarasova. Preguntas y Problemas de Fsica. Editorial MIR.



CAPTULO I: LAS ECUACIONES DE MAXWELL DESDE UNA PERSPECTIVA SIMPLIFICADA

En este captulo se vern las ecuaciones de Maxwell, pero, desde una perspectiva simplificada: no habr necesidad del uso del clculo superior (diferencial e integral), slo el lgebra y la geometra sern las herramientas matemticas ms que suficientes. Estas ecuaciones resumen las principales leyes del electromagnetismo, fueron reunidas y sintetizadas por el fsico ingls J. Maxwell durante la segunda mitad del siglo XIX y constituyen uno de los ltimos triunfos de la fsica clsica, luego de la cual surgira la fsica moderna a principios del siglo XX. Maxwell logr predecir que las ondas electromagnticas se propagaban a la velocidad de la luz en el vaco (3x108 m/s). Esto constituye la base de la tecnologa de la comunicacin inalmbrica en la actualidad. James Clerk Maxwell (1831-1879), fue un fsico britnico cuyas investigaciones y escritos explican las propiedades del electromagnetismo. Estos trabajos le convirtieron en uno de los cientficos ms importantes del siglo XIX. Tambin elabor la teora cintica de los gases, que explica las propiedades fsicas de los gases y su naturaleza. Naci en Edimburgo y estudi en las universidades de Edimburgo y Cambridge. Fue profesor de fsica en la Universidad de Aberdeen desde 1856 hasta 1860. En 1871 fue el profesor ms destacado de fsica experimental en Cambridge, donde supervis la construccin del Laboratorio Cavendish. Maxwell ampli la investigacin de Michael Faraday sobre los campos electromagnticos, demostrando la relacin matemtica entre los campos elctricos y magnticos. Tambin mostr que la luz est compuesta de ondas electromagnticas. Su obra ms importante es el Tratado sobre Electricidad y Magnetismo, en donde, por primera vez, public su conjunto de cuatro ecuaciones diferenciales en las que describe la naturaleza de los campos electro-magnticos en trminos de espacio y tiempo. El trabajo de Maxwell prepar el terreno para las investigaciones de Heinrich Hertz, que realiz experimentos para apoyar sus teoras electromagnticas. Posteriormente, el trabajo de Maxwell ayud a los cientficos a determinar la igualdad numrica de la velocidad de la luz en las unidades del sistema cegesimal y la relacin de las unidades electromagnticas con las electrostticas. La unidad de flujo magntico en el sistema cegesimal se denomin maxwell en su honor. Incrementos Sea y=f(x), una funcin, el punto ),( yyxx pertenece a la curva, donde los deltas son cantidades muy pequeas:

)( xxfyy (1.1)

Luego, obtenemos: )()( xfxxfy (1.2)



Fig. 1.1 Geometra del modelo Ejemplo: Sea la funcin parablica y = x2, entonces aplicando las ecuaciones (1.1) y (1.2) y considerando (x)2 insignificante, tendremos el incremento y = 2xx. Flujo de un campo vectorial () Es una magnitud fsica escalar que nos informa acerca del nmero de lneas de campo (perpendiculares a la superficie) que atraviesan dicha superficie. Se define un vector S perpendicular a la superficie, cuyo mdulo es numricamente igual al rea y cuyo sentido est dado por la regla de la mano derecha: se cierra los 4 dedos sobre la palma de la mano siguiendo la direccin del recorrido sobre la curva C, el dedo pulgar extendido indicar el sentido del vector S. Matemticamente, el flujo es un producto escalar:

cos. SVVS

(1.3) Donde: V

: campo vectorial S

: vector normal a la superficie : ngulo formado por S y V

Fig. 1.2 Diagrama para la definicin de flujo. LEY DE GAUSS PARA EL CAMPO ELECTRICO E

Las principales propiedades de las lneas de fuerza son las siguientes: a) Toda lnea de fuerza nace en una carga positiva (fuente) y termina en una negativa (sumidero). Son continuas, en caso contrario, se propagan hasta el infinito.



b) El vector campo elctrico E

tiene una direccin tangente a la lnea de fuerza en todo punto. c) Dos lneas de fuerza de un mismo campo no pueden cruzarse, de lo contrario, habra dos direcciones del campo elctrico en el mismo punto. La ley de Gauss sostiene que: El flujo elctrico a travs de una superficie cerrada que encierra a una carga neta es directamente proporcional a dicha carga. En forma matemtica:

0q

E (1.4)

donde: 0 8.85x10

-12 C2/Nm2 : permitividad elctrica en el vaco. La carga elctrica es de naturaleza monopolar, es decir, pueden existir monopolos elctricos aislados. Pero, cul es la utilidad prctica de esta ecuacin? Ser til para facilitar los clculos para hallar el campo elctrico E

para sistemas de alta simetra, como se ver a

continuacin. Obtencin de la ley de Coulomb Sea una carga q puntual, el flujo a travs de una superficie gaussiana esfrica de radio r estar dada por la ecuacin (1.4), pero de la definicin de flujo:

ESESE cos donde vale cero, puesto que los vectores E

y S

son radiales y apuntan hacia fuera. El

rea S es la de una esfera, entonces: )4( 2rEE

Reemplazando en la ecuacin (4):

0

2 )4(

qrE => 2

041

rqE

(1.5)

El campo elctrico producido por una carga puntual Q en un punto a una distancia r es la fuerza de interaccin entre esta carga y otra carga de prueba q dividido entre q:

qFE

(1.6)

Luego de (1.5) y (1.6) tenemos:

204

1rqQF

o en forma vectorial:

rrqQF

41

20

(1.7)



donde r es un vector unitario en la direccin radial.

Fig. 1.3 Campo elctrico E

de una carga puntual. LEY DE GAUSS PARA EL CAMPO MAGNTICO B

En un material magntico, las lneas de fuerza salen del polo norte e ingresan al polo sur, del mismo modo como el nmero de lneas que salen de un polo debe ser igual al nmero de lneas que entran al polo contrario del mismo imn. De esto se deduce que: El flujo magntico a travs de una superficie cerrada es nulo: 0B (1.8) En otras palabras, el flujo entrante es igual al flujo saliente. La unidad del flujo magntico es el weber (Wb). De esta ley, se puede inferir lo siguiente: a) Las lneas de fuerza del campo magntico se cierran sobre s mismas. Es como si fuera un crculo vicioso: no tienen principio ni fin. b) No pueden existir fuentes (lugar donde nacen las lneas) ni sumideros (lugar donde terminan las lneas) de campos magnticos. c) Y lo ms importante: dentro de la fsica clsica no existen monopolos magnticos aislados.

Fig. 1.4 Campo magntico B

de un imn. Esto explica el hecho de que al romper un imn por la mitad, automticamente se obtienen dos imanes independientes, cada uno con su propio polo norte y sur.



LEY DE AMPERE-MAXWELL El fsico dans Oersted comprob que la corriente elctrica interaccionaba de una manera misteriosa con los imanes. De esto, se puede deducir que las cargas elctricas en movimiento generan campos magnticos. Una aplicacin prctica de este principio es el electroimn. La ley de Ampere para campos y corrientes estacionarias, es decir, que no dependen del tiempo, se puede expresar como:

ILBn

iii 0

1.

(1.9)

Donde:

70 104

Wb/(amp m): constante de permeabilidad magntica en el vaco. I : corriente total encerrada por la trayectoria cerrada. Unidad: amperio. B

: densidad de flujo magntico o campo magntico. Unidad: Tesla = 1 Wb/m2 L

: vector tangente a la trayectoria cerrada. Debe observarse que la sumatoria debe hacerse siguiendo un camino cerrado arbitrario. Sin embargo, se debe hacer todo lo posible, al escoger el camino, de tal manera que B sea constante y los vectores B

y L

formen ngulos conocidos. Para un mejor

entendimiento, el siguiente ejemplo puede disipar las dudas sobre el concepto mencionado: Campo magntico producido por un conductor muy largo Sea un conductor muy largo por el cual circula una corriente I dirigida hacia arriba. Por la regla de la mano derecha el campo magntico B

a una distancia r del conductor est

dirigido como indica la Figura 1.5. La trayectoria cerrada o circulacin ser una circunferencia de radio r con sentido antihorario. El vector L

es tangente a la trayectoria

y tiene la misma direccin y sentido que el vector B

en todo punto. Adems, debido a la alta simetra B es constante en mdulo en todo punto de la trayectoria. Luego, de la ley de Ampere:

n

i

n

iii

n

iii LBLBLB

1 11cos..

siendo = 0, entonces cos = 1

n

ii

n

iii LBLB

11.

Pero, la suma de todos los desplazamientos pequeos ser igual a la longitud de la circunferencia: 2r, luego:



Fig. 1.5 Campo magntico B de un conductor largo.

IrBLBn

iii 0

1)2(.

, entonces:

rIB

2

0 (1.10)

Campo magntico producido por un plano infinito Sea un plano infinito que conduce una corriente por unidad de longitud horizontal: =I/a, hacia abajo. De acuerdo a la regla de la mano derecha B est dirigido como se muestra en la Figura 1.6. La circulacin es un rectngulo de lados a y 2b, en sentido antihorario. De acuerdo a la ley de Ampere:

44332211

4

1..... LBLBLBLBLB

iii

333222111 coscoscos LBLBLB 444 cosLB pero, 9031 y 18042 , luego:

)180cos()180cos( 44220 LBLBI

Fig. 1.6 Campo magntico B de un plano

donde: BBB 42 y aLL 42



BaBaBaI 2)1()1(0 Pero, la corriente est dirigida hacia abajo: aI , por lo tanto: Baa 2)(0 Finalmente:

20B (1.11)

Y que ocurre si los campos son variables en el tiempo? Maxwell generaliz la ecuacin (1.9) para campos dependientes del tiempo agregando un trmino conocido como corriente de desplazamiento:

tI Ed

0 (1.12)

Luego, la ecuacin de Ampere-Maxwell ser:

t

ILB En

iii

000

1

(1.13)

En ausencia de corrientes netas encerradas por la circulacin (I=0), tenemos:

tLB E

n

iii

00

1

(1.14)

de donde se deduce mas claramente que los campos elctricos variables en el tiempo tambin generan campos magnticos. LEY DE FARADAY Faraday saba (por los trabajos de Oersted) que las corrientes elctricas generaban campos magnticos, siendo el electroimn una aplicacin prctica de este principio. Pero, sera cierto lo inverso: puede un campo magntico generar una corriente elctrica? Se preguntaba Faraday y obsesionado por esta interrogante, la cual le llev a investigar en su laboratorio durante ms de 9 aos, encontrando en 1831 la respuesta a su interrogante. El voltaje inducido en una espira de alambre es directamente proporcional a la variacin del flujo magntico en un intervalo de tiempo:

tV B

(1.15)

Y por qu el signo negativo? La regla de Lenz sostiene que el sentido de la corriente elctrica inducida es tal que sus efectos se oponen a la causa que la origina (accin y reaccin). Para que exista voltaje inducido debe haber una variacin del flujo magntico o tambin un movimiento relativo entre el conductor y el flujo magntico. Se sabe que el voltaje o diferencia de potencial en un punto es proporcional al campo elctrico en ese punto y a la distancia de la carga generadora del campo al punto considerado:



EdV (1.16) Para un caso general tenemos:

n

iii LEV

1

(1.17)

Juntando las ecuaciones (1.15) y (1.17):

tLE B

n

iii

1.

(1.18)

De donde se deduce que los campos magnticos variables en el tiempo generan campos elctricos. Gran parte del progreso de la ciencia y la tecnologa actual ha sido posible debido a esta ley. Se obtuvo la posibilidad de obtener corriente elctrica en forma eficiente y a bajo precio. Es el principio fsico por el cual se basa el funcionamiento de los generadores en las centrales elctricas. EL CAMPO ELECTROMAGNETICO Llegado a este punto, se sabe que la variacin de un campo magntico produce un campo elctrico (efecto Faraday) y que la variacin de un campo elctrico genera un campo magntico (efecto Oersted). Maxwell se pregunt: qu ocurrira si en algn punto del espacio, un campo magntico fuera variable en el tiempo? Entonces, este generara un campo elctrico variable y este a su vez, producira un campo magntico variable y as sucesivamente. La variacin de uno generara al otro y al conjunto de ambos se le denomina campo electromagntico, el cual se propaga por el espacio mediante ondas electromagnticas a la velocidad de la luz (en el vaco), segn lo demostr Maxwell en 1864. Sea un plano infinito con densidad lineal de corriente =I/a dirigido hacia arriba. Inicialmente no circula corriente =0. Luego, se conecta el circuito y se analiza: se generar un campo magntico B

dirigido hacia adentro (en el lado 2 de la Figura 1.7) y

un campo elctrico E

dirigido hacia abajo. La onda de B ha recorrido una distancia x muy pequea, de modo que B todava es nulo en los extremos 2 y 4. De la ecuacin (1.13):



Fig. 1.7 Modelo para el clculo del campo electromagntico.

tI E

0000

donde:

)2()180cos(. xaEESSE oE

entonces: )2(0 000 aExta

txE

000 20

Pero txv

, luego: Ev0002

Y de la ecuacin (1.11) se obtiene: vEB 00 (1.19) Sea un camino rectangular vertical de lados a y x (ver Figura 1.8), de la ecuacin (1.18):

44332211

4

1.... LELELELELE

iii

333222111 coscoscos LELELE 444 cosLE donde: 9031 , 04 E , luego:

)1(cos. 2224

1

EaLELEi

ii



Fig. 1.8 Modelo para el clculo del campo electromagntico.

Porque de la Fig. 1.6: 1802 y aL 2 El flujo a travs del rectngulo es: cosBSSBB

=> BxaBxaB 180cos

Luego, en la ecuacin (18) se tiene: BavtxBa

tBaxEa

)(

Entonces: vBE Ev

B 1 (1.20)

De las ecuaciones (19) y (20) se tiene:

vv 100 =>

00

1

v (1.21)

Remplazando los valores numricos: 8103v m/s LA PARADOJA ELECTROMAGNETICA Y EL PRINCIPIO DE RELATIVIDAD Las leyes de la fsica son invariables para cualquier sistema de referencia inercial. No existe un sistema de referencia privilegiado o algn mtodo para determinar la velocidad absoluta. Este es el principio de relatividad de Galileo. No obstante, las leyes del electromagnetismo violan claramente este principio de relatividad (a menos que se haga algo por reconciliarlos). Un observador en movimiento y otro en reposo obtendrn resultados diferentes para un mismo experimento. Consideremos una carga puntual "q" a una distancia r de un alambre muy largo de densidad lineal de carga constante. La magnitud de la fuerza sobre q es F = q E. Aplicando la ley de Gauss el campo elctrico producido por el alambre ser:

rE

02



Luego, para un observador en reposo la fuerza es:

r

qF02

Fig. 1.9 Clculo de la fuerza elctrica para un observador en reposo.

Fig. 1.10 Clculo de la fuerza electromagntica para un observador en movimiento. Ahora, consideremos un observador en movimiento paralelo al alambre y velocidad dirigida a la izquierda (esto es arbitrario). El ver que el alambre y la carga puntual se mueven hacia la derecha con velocidad v. Adems observar una corriente I = Q/t = v. De la ecuacin de la fuerza de Lorentz:

)( BvEqF

(1.22)

donde: rv

rIB

2200

Luego:

rvv

rqvBEqF

22)( 0

0

)1(2

200

0

vr

qF



Pero, oo = 1/c2, entonces el observador en movimiento obtiene:

)1(2 2

2

0 cv

rqF (1.23)

Ambos resultados difieren por un factor de (1-v2/c2), por lo tanto, segn las leyes del electromagnetismo se obtienen dos resultados distintos para diferentes sistemas de referencia inercial. Quin tiene la razn: el observador en reposo, el observador en movimiento o ninguno? Fallan las ecuaciones de Maxwell o se debe corregir los conceptos de la mecnica? Es vlido el principio de relatividad tanto para la mecnica como para la electrodinmica? Esta paradoja electromagntica es una de las brechas que abrieron paso a la teora de la Relatividad de Einstein a principios del siglo XX. Einstein reconcili a la mecnica y al electromagnetismo con el principio de relatividad modificando algunas definiciones de la mecnica y las propiedades del espacio y el tiempo. En aquellos tiempos esta teora resulto ser tan escandalosa (pues muchas de sus conclusiones entraban en contradiccin aparente con el sentido comn) que muchos cientficos se resistan a aceptarla e incluso algunos fsicos alemanes antisemitas la ridiculizaron. No obstante, el tiempo y las pruebas cientficas le dieron la razn, y esta teora se erigi en un pilar de la fsica moderna.

CONCLUSIONES Las ondas electromagnticas se propagan a la velocidad de la luz en el vaco. La luz es un fenmeno electromagntico. Para los tiempos de Maxwell esto pareca increble. Poco despus de la muerte del ltimo fsico terico clsico se comprob experimentalmente, con los trabajos de Hertz, que su prediccin era evidentemente cierta. Esto abri la puerta a una posibilidad fantstica: la comunicacin inalmbrica, donde la onda electromagntica es el mensajero que se propaga a travs del espacio libre a la velocidad de 3x108 m/s. Para hacer todo esto, Maxwell emple un aparato matemtico muy complicado; sin embargo, en el presente captulo se ha omitido el clculo superior y solo se ha utilizado el lgebra y la geometra.



n

CAPTULO II: ONDAS ELECTROMAGNTICAS Antes de describir las ecuaciones de Maxwell y las ondas electromagnticas, debemos hacer un repaso del clculo vectorial: Operadores Vectoriales Operador Nabla

zk

yj

xi

(2.1)

Gradiente: Es un campo vectorial que se genera con la aplicacin del operador nabla sobre un campo escalar: grad : funcin o campo escalar

zk

yj

xi

(2.2)

Ejemplo: 31( ) rr r

S

P El gradiente representa la mxima derivada direccional. Divergencia: Es un escalar que se genera al aplicar el producto escalar del operador nabla y un campo vectorial A.

Sea _

A un campo vectorial: _

x y zA i A j A k A

Se define la divergencia como: z

Ay

Ax

AAAdiv zyx

. (2.3)

Ejemplo: _r i x j y k z

entonces: 3

zz

yy

xxrdiv

Flujo:

dSnAd A

S

A dSnA



Teorema de la Divergencia:

S V

dVAdivdSnA )(

S V

Rotacional: de un campo vectorial es un vector que se genera cuando se aplica un producto vectorial entre el operador y el campo vectorial. Se aplica sobre un campo vectorial.

zyx AAAzyx

kji

AArot

(2.4)

Circulacin: Sea A un campo vectorial, se define la circulacin de A en la trayectoria C como la integral de lnea cerrada:

C

rdAC

(2.5)

Teorema de Stokes Establece que la circulacin de un campo vectorial puede representarse como la integral de superficie del producto escalar del rotacional del campo vectorial con el vector normal a la superficie:

C S

dSnAldA )(

(2.6)



Laplaciano: Es un operador que se aplica sobre un campo escalar y viene a ser la divergencia del gradiente de dicho campo escalar:

22

2

2

2

22

zyx

(2.7)

La ecuacin de Laplace: 2 0 donde : funcin potencial armnica. Ecuaciones de Maxwell Maxwell sintetiz las ecuaciones de electricidad y magnetismo. Demostr que las ondas electromagnticas se propagan a la velocidad de la luz. En forma integral:

1) Ley de Gauss para E : 0

qdSnE

(2.8)

2) Ley de Gauss para B : 0dSnB

(2.9)

3) Ley de Ampere-Maxwell:

dt

dIldB E000

(2.10)

Corriente de desplazamiento: dt

dI Ed

0 (2.11)

Es una corriente virtual que se manifiesta en capacitores sometidos a un potencial elctrico variable en el tiempo.

Tarea

Calcular

2 1r

Donde: 2 2 2r x y z



4) Ley de Faraday:: dt

dV B (2.12)

entonces:

dt

dldE B

En su forma diferencial:

1) Ley de Gauss para E Aplicando el teorema de la divergencia:

S V

dVEdivdSnE

Por otro lado V

dVq

Luego: VVV

dVdVdVE00

1

Entonces: 0

E

(2.13)

2) Ley de Gauss para el campo magntico: 0 B

(2.14)

3) Ley de Ampere-Maxwell:

dt

dIldB E000

Por el teorema de Stokes: dSnBldBS

Tambin, la corriente: dSnJIS

Flujo elctrico: dSnES

E

Luego:

SSS

dSntEdSnJdSnB 000

SS

dSntEJdSnB 000

Entonces al final tenemos: tEJB

000 (2.15)

4) Ley de Faraday: tBE

(2.16)

Para el espacio libre de cargas y de corrientes: 00J



1) 0 E

2) 0 B

3) tEB

00

4) tBE

Ecuacin de onda para el campo electromagntico

Para un espacio libre de cargas y corrientes: 00J

tBE

(2.17)

tEB

00 (2.18)

De la identidad vectorial FFF

2)()( (2.19) Aplicando el operador rotacional a la ecuacin (2.17):

)()(tBE

)()( 2 Bt

EE

tE

tE

00

2

Entonces: 22

002

tEE

(2.20)

Esto es la ecuacin de onda del campo elctrico, donde: 0021

v

00

1

v (2.21)

Reemplazando valores: 70 104

T m/Amp y 120 1085.8 N m2/C2

8103v m/s Entonces: v c

Nota: Las ondas electromagnticas se propagan en el vacio a la velocidad de la luz.



Para el campo magntico B : Aplicando el operador rotacional a (2.18):

)()( 00 tEB

)()( 002

tEBB

)()( 00002

tB

tE

tB

2

2

002

tBB

(2.22)

donde 0 0

1v

Onda Electromagntica Plana Una solucin (la ms simple) de la ecuacin de onda para E es:

).cos(),( 0 trkEtrE (2.23)

Donde: k es el nmero de onda: 2

k

es la frecuencia angular: T

2

es la fase inicial. Para el caso particular en que la direccin de propagacin es a lo largo del eje Z, tendramos: itkzEtzE )cos(),( 0

, entonces: XE E i

Ahora, el problema consiste en calcular el campo magntico asociado. De la ecuacin 1, hallemos el rotacional del campo elctrico:

)()(

00

yEk

zEj

Ezyx

kji

E xx

x

)()cos( 00 tkzksenEtkzzE

zEx

Por lo tanto:

jtkzksenEE )(0

(2.24)



De la ecuacin de Maxwell:

jtkzsenkEtB

tBE )(0

Luego: dttkzsenjkEdtjtkzksenE )()( 00

jtkzkEBtkzjkEB )cos()cos( 00

jtkzBtzB )cos(),( 0

Donde: 000

0 BcEcEB (2.25)

Energa de las Ondas Electromagnticas Las ondas electromagnticas transportan momentum lineal y energa. La densidad de energa U se puede expresar como:

0

22

0 221

BEEEU BE (2.26)

20

22022

00 2)(cos

)(cos21

ctkzE

tkzEU

)(cos)(2

2

0

000

20 tkzEU

Entonces: )(cos2200 tkzEU

Nota: E

y B

son ondas transversales mutuamente perpendiculares.



)(cos)( 2000 tkzcBEU Valor medio de la energa:

0 0 0

0 0

0

( )U E cB

E BUc

Densidad de flujo de energa:

0 00

E Bc U

Vector de Poynting: BES

0

1

(2.27)

Impulso por unidad de volumen:

2

1vP Sc (2.28)

Presin ejercida por la OEM sobre una superficie:

1P Sc

: en superficie absorbente (2.29)

2P Sc

: en superficie reflectora

Nota: 1) El mdulo del vector de Poynting representa al flujo de energa. 2) La direccin del vector de Poynting S

coincide con la direccin de

propagacin de la onda electromagntica.



Espectro Electromagntico



PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Demostrar que en el caso de un condensador de placas paralelas, la corriente de

desplazamiento viene dada por: dtdVCI d

donde C es la capacidad y V la tensin aplicada al condensador. Un condensador de placas paralelas con C=5 nF se conecta a una fuente E = E0 cos(t), siendo E0 = 3V y = 500 rad/s. Hallar la corriente de desplazamiento entre las placas en funcin del tiempo. Despreciar las resistencias del circuito. 2. El campo elctrico de una onda plana ( = 2x108 rad/s) en el vaco est dado por:

jtczE )(cos7.1

a) Hallar el campo magntico asociado. b) Hallar el vector de Poynting. c) Hallar la direccin y sentido de propagacin de la onda. d) Hallar la longitud de onda. Qu unidades tiene el nmero 1.7? 3. Una onda electromagntica tiene una frecuencia lineal de 50 MHz y se propaga en el vaco. El campo magntico es: itkztzB )cos(5),( 8

Hallar: a) La frecuencia angular, la longitud de onda y la direccin de propagacin de la onda. b) El vector campo elctrico asociado. c) El vector de Poynting. 4. En la superficie de la Tierra existe un flujo solar medio aproximado de 0.75 kW/m2. Una familia desea construir un sistema de conversin de la energa solar en potencia para su casa. Si el sistema de conversin tiene un rendimiento del 30% y la familia necesita un mnimo de 25 kW, qu rea efectiva deber tener la superficie de los colectores suponiendo que son absorbentes perfectos? 5. Partculas suficientemente pequeas pueden alejarse del sistema solar por la presin de la radiacin del sol. Suponer que las partculas son esfricas con radio r y densidad 1 g/cm3 y absorben toda la radiacin con un rea eficaz de r2. Estn a una distancia R del sol, que tiene una potencia de emisin de 3.83x1025 W. Cul es el radio r para el cual la fuerza repulsiva de la radiacin equilibre exactamente la fuerza gravitatoria de atraccin del Sol? 6. Se desea sostener en posicin horizontal un papel negro de 100 cm2 de rea y 1 g de masa haciendo incidir luz sobre su cara inferior. Hallar: a) El flujo de energa o mdulo del vector de Poynting. b) Qu potencia deber tener dicha luz? Es posible hacerlo?



CAPTULO III: PTICA GEOMTRICA Evolucin de las teoras sobre la naturaleza de la luz Griegos: Pensaban que la luz era una emanacin que sala de los ojos de las personas. Newton: Consideraba que la luz tena una naturaleza corpuscular. Su teora fallaba al tratar de interpretar los fenmenos de interferencia y difraccin. Huygens: Consideraba que la luz tena una naturaleza ondulatoria, pero se pensaba que era una onda mecnica que se propagaba a travs del ter (medio elstico que llenaba todo el espacio). Maxwell: Demostr que la luz era un fenmeno electromagntico, y por lo tanto ondulatorio. Planck: La energa (de la luz) es discreta, cada paquete unitario de energa es llamado quantum de energa. Einstein: Basado en la teora de Planck, retoma la teora corpuscular para explicar el efecto fotoelctrico. De Broglie: Propone la dualidad del comportamiento de la materia. La materia tiene una naturaleza dual: ondulatoria y corpuscular. La luz en el vaco se mueve con velocidad: v = 3x108 m/s. Conceptos preliminares ndice de refraccin o densidad ptica.- Es la relacin entre el valor de la velocidad de la luz en el vaco y la velocidad de la luz en el medio ptico considerado.

cnv

(3.1)

v: velocidad de la luz en el medio, c = velocidad de la luz en el vaco. Principio de Fermat Es un principio de mnima accin que sostiene que: la luz recorre aquella trayectoria para la cual el tiempo de recorrido es mnimo. Medio homogneo ( n : constante): trayectoria recta Medio no homogneo ( n : variable): trayectoria curva



Fig. 3.1 Trayectoria de un rayo de luz

Camino ptico

op geomL nL (3.2) Si 1n entonces op geomL L Reflexin de la luz Para superficies pulidas se cumplen las siguientes leyes:

Fig. 3.2 Incidencia normal de un rayo sobre una superficie reflectora

(a) El rayo incidente, el reflejado y la normal (a la superficie) se encuentran en el mismo plano y ese plano es perpendicular a la superficie reflectora o especular.

(b) El ngulo de incidencia es igual al ngulo de reflexin: i r Tarea: Demostrar a partir del Principio de Fermat las leyes de la reflexin de la luz. Espejos planos

Objeto Imagen -------------p--------------q------------

Zona virtual Zona real



La distancia focal del espejo plano es infinita: f La zona real se encuentra delante del espejo, mientras que la zona virtual est detrs del espejo. Las distancias en la zona real son positivas mientras que en la zona virtual son negativas. Si un objeto se mueve con velocidad v, entonces la velocidad relativa de la imagen especular con respecto al objeto ser de 2v. Imgenes mltiples Para dos espejos que forman 90o

Fig. 3.4 Imgenes mltiples para 2 espejos que forman 90. Si los espejos forman un ngulo , entonces el nmero de imgenes es:

360 1N

(3.3)

Si los espejos son paralelos ( 0 ) entonces el nmero de imgenes es infinito:

N



Espejos esfricos Pueden ser cncavos (convergentes) o convexos (divergentes). Una condicin importante es que las dimensiones del espejo esfrico deben ser mucho menores que el radio de curvatura (agregar dibujo).

Espejo cncavo: Espejo convexo:

Diagrama de rayos principales

Elementos: V: Vrtice F: Foco C: Centro de curvatura AV: Eje principal

Distancia focal: 2Rf (3.4)

Formacin de imgenes

Rayo (1): paralelo al eje principal, se refleja en el espejo pasando por el foco. Rayo (2): pasa por el foco y se refleja en el espejo en forma paralela al eje principal. El punto de interseccin del rayo (1) y el rayo (2) sirve para formar la imagen.



pq

Casos de acuerdo a la posicin del objeto:

(a) Objeto: 2p f

Imagen real, invertida y de menor tamao.

(b) Objeto: 2f p f (el objeto est ubicado entre centro y el foco).

Imagen real, invertida y de mayor tamao.

(c) Objeto: 0 p f (el objeto est ubicado entre el foco y el vrtice)

Imagen virtual, derecha y de mayor tamao.

Parmetros: p : distancia objeto-vrtice, siempre es real, 0p q : distancia imagen-vrtice, Si imagen Real: 0q Virtual: 0q Frmula de Descartes

fqp111

(3.5)

Donde: 2Rf , es la distancia focal.

f Espejo cncavo: 0f Espejo convexo: 0f



Problemas Un punto luminoso se encuentra a una distancia de 15 cm y sobre el eje ptico de un espejo cncavo cuyo radio de curvatura es igual a 50 cm En donde se encuentra la imagen del punto? Qu suceder con la imagen si alejamos el espejo 15 cm del objeto? Solucin: Radio de curvatura (R): 50R cm

Distancia focal (f): 252

fRf cm

Distancia objeto (p): p = 15 cm

Aplicando la ecuacin de Descartes:

qpf111

q1

151

251

151

2511

q

5.37q cm

Entonces esto quiere decir que la imagen es virtual, derecha y ms grande que el objeto y se encuentra a -37.5 cm del punto del vrtice (centro geomtrico del objeto) Que pasa si alejamos el espejo 15 cm del punto luminoso (objeto)? La nueva distancia objeto: p = 15 + 15 => p = 30 cm

qpf111

q1

301

251

301

2511

q

150q cm

Aumento: A = q/p 530

150

pq

Entonces, esto quiere decir que la imagen es real, invertida y de mayor tamao y se encuentra a 150 cm del punto del vrtice del espejo.



Refraccin de la luz Es la desviacin de los rayos de luz al pasar por medios de diferente ndice de refraccin n. Recordando la ecuacin (3.1):

cnv

c : velocidad de la luz en el vaco, v : velocidad de la luz en un medio ptico. Ejemplo:

( ) 1n vacio ( ) 1n aire ( ) 1.33n agua

Leyes de la refraccin

(1) Los ngulos de incidencia, reflexin y de refraccin estn ubicados en el mismo plano, el cual es perpendicular a la superficie de interface.

(2) Ley de Snell: para un rayo de luz que viaja de un medio ptico a otro se cumple:

)'()( 21 rsennisenn (3.6) Demostracin de la Ley de Snell usando el principio de Fermat Decimos que la lnea horizontal representa el plano de separacin de dos medios diferentes, cuyas velocidades de propagacin son respectivamente v1 y v2; sea AOB la trayectoria de un rayo que se propaga desde A hasta B, y los ngulos de incidencia y de refraccin. El tiempo invertido desde A hasta B resulta ser:

1n

2n

Nota: (a) El ndice de refraccin depende de la longitud de onda de la luz

( )n n



21

secsecv

bv

at

Si desplazamos ligeramente el punto o, los ngulos y experimentarn variaciones d y d, y la correspondiente variacin del tiempo dt ser:

dv

bdv

adt21

tansectansec

Si el tiempo mnimo, dt = 0, por lo tanto:

d

vbd

va

21

tansectansec (1)

Pero las diferenciales d y d no son independientes entre s, entonces se deduce fcilmente que: Diferenciando ambos miembros:

Luego, dividiendo (1)/(2), se obtiene: 21 v

senv

sen

Teniendo en cuenta ahora que y que la anterior expresin se reduce a: sennsenn 21 Reflexin total interna Este fenmeno ocurre cuando el rayo de luz pasa de un medio de mayor densidad ptica a otro de menor densidad ptica, para un ngulo llamado crtico:



)90(21 sennsenn c

Para el caso donde el medio 2 es aire ( 2n =1), tenemos: 1( )csen n

1( )c arcsen n (3.7)

donde: c : ngulo crtico

Aplicacin: La fibra ptica Si 1 2n n La fibra ptica transmite seales a travs de luz visible, mediante el fenmeno de reflexin total interna.

2n

1n

( ) 1n aire

( )n medio n

Nota: Para ngulos de incidencia mayores al ngulo crtico c ocurrir el fenmeno de reflexin total interna.



Lmina delgada Para una lmina delgada (de paredes paralelas) de ndice de refraccin n, hallar el desplazamiento x entre la proyeccin del rayo incidente y el rayo emergente.

airen sen nsen => .........(1)sensen

n

Del tringulo rectngulo ABC:

dsec

sec)(

dxsen =>

cos)(

sendx (2)

De (1) y (2) se obtiene el valor exacto de x:

coscos11

ndx

x



Lentes Delgadas Una condicin importante es que las dimensiones de la lente delgada debe ser mucho menor que el radio de curvatura de dicha lente. Tipos Lentes gruesas Lentes delgadas Tipos de lentes delgadas

Plano convexa Plano cncava Biconvexa Bicncava Ecuacin del fabricante de lentes En general se cumple que:

1 2 2 1n n n np q R

(3.8)

Para una lente delgada (siendo 1n = 1, aire)

1 1 1np q R

Tambin se cumple que:

1 2

1 1 1 1 1( 1)( )np q R R f

Entonces habremos obtenido la distancia focal en funcin de los parmetros de la lente.

Ecuacin de Descartes: 1 1 1f p q

p q

2n1n



Formacin de Imgenes Rayo (1) sale de la punta del objeto paralelo al eje principal, al llegar al lente se refracta y pasa por el foco. Rayo (2) sale de la punta el objeto y pasa por el centro de la lente sin desviarse. La imagen se forma en la interseccin de los rayos (1) y (2). Adems, el rayo (3) que pasa por el primer foco emerge paralelo al eje principal. Caso (a): p f

Zona virtual Zona real

Imagen real, invertida y mayor tamao

Caso (b): objeto ubicado en el foco, p f

No se forma imagen. Los rayos (1) y (2) son paralelos al atravesar el lente.

Caso (c): objeto entre el foco y la lente p f Zona virtual Zona real

Imagen virtual, derecha y de mayor tamao

p q

F F



Para una lente divergente (cncava) Caso (a): p f

Imagen virtual, derecha y de menor tamao.

Caso (b): p f : Se intercambia el objeto por la imagen: Objeto entre el foco y la lente, forma una imagen virtual, derecha y de mayor tamao. Caso (c): p = f : Qu sucede cuando el objeto est ubicado en la posicin del foco? La imagen es virtual, derecha y de menor tamao. Problema: En una lente se midi los radios de curvatura: 1 20R cm , 2 20R cm , 1.5n . Hallar:

a) La distancia focal. Qu tipo de lente es? b) Un objeto se coloca a 30 cm de la lente, hacer un diagrama de imgenes. c) Valor de la distancia imagen q Qu tipo de imagen es? d) Aumento de la lente.

Solucin: (a)

1

2

2020

1.5

R cmR cmn

1 2

1 1 1 1 1( 1)( )np q R R f =>

20100

20100)15.1(1

f

f = 20 cm Entonces como 0f , la lente es convergente. b)

Imagen real, invertida y de mayor tamao

p q



(c) 1 1 1p q f => 1 1 1

30 20q

60q cm

d) Aumento de la imagen: 6030

q cmMp cm

=> 2M

Esta lente produce un aumento del doble Sistema ptico compuesto Zona virtual Zona real Espejo Objeto

Analizar primero La imagen del lente es el objeto para el espejo. Por ejemplo, el microscopio tiene 2 lentes, uno con distancia focal grande (objetivo) y otro con distancia focal pequea (ocular). Un sistema ptico compuesto es la combinacin de ms de un lente y/o espejo (plano o esfrico). La metodologa para resolver problemas es la siguiente: 1. Se resuelve primero para el objeto 1 (O1), luego obtenemos la imagen 1 (I1) que ser el objeto (O2) para la lente 2 (L2). 2. Se considera solo lente 2 y objeto 2 (es decir I1). 3. El aumento M = M1 x M2 4. Si hay lentes en contacto entonces:

Aplicaciones: Cmara fotogrfica Ojo humano Microscopio compuesto El telescopio

1 2f f f

1 2

1 1 1f f f

Tarea Investigar las aplicaciones como la cmara fotogrfica y el ojo humano.



Problema: En una expresin de la ecuacin de la lente utilizada por Newton, y que es til en algunos casos, se miden las distancias objeto e imagen a partir de los puntos focales. Demostrar que si x=p-f y x=q-f, puede escribirse la ecuacin de las lentes delgadas como xx=f2, y que la amplificacin lateral viene dada por: m=-x/f=-f/x. Hacer un esquema de una lente y sobre el indicar x y x.

Si x p f x q f

Demostrar: 2xx f

x fMf x

Sabemos que la relacin de Descartes es:

1 1 1p q f

ffxfx1

'11

=> ffxfx

fxfx 1)')((

'

=>

22 ''2' ffxxfxxfxffx Entonces: 2x x f

Amplificacin: 'q x f fMp x f x

Problema: A qu distancia mxima x de una pantalla una lente convergente de distancia focal

4.2f m formar la imagen de un objeto luminoso situado a 20m de la pantalla?

x x

x

q p

20m

1 1 1p q f

20p xf x

1

2

1 1 120 4.2146

x xx mx m



PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Investigar el efecto sobre el ngulo crtico de una delgada capa de agua sobre una superficie de vidrio para los rayos que se originan en el vidrio. Tmese n = 1.33 para l agua y n = 1.5 para el vidrio. Cul es el ngulo crtico para reflexin total interna en la superficie vidrio agua? Son posibles rayos incidentes de ngulo mayor que c para la reflexin vidrio-aire, de modo que los rayos de luz abandonen el vidrio y el agua y pasen al aire? 2. Un haz laser incide sobre una placa de vidrio de 3 cm de espesor. El vidrio tiene una densidad ptica de 1.5 y el ngulo de incidencia es 40. Las superficies superior e inferior del vidrio son paralelas y ambas producen haces reflejados de casi la misma intensidad Cul es la distancia perpendicular d entre los dos haces reflejados adyacentes? 3. Un foco puntual istropo se coloca debajo de una superficie de un gran estanque lleno de lquido que tiene un ndice de refraccin n Qu fraccin de energa luminosa abandona directamente la superficie? 4. Una mujer utiliza un espejo cncavo de 1.5 m de radio para maquillarse A qu distancia del espejo deber estar su cara para que la imagen se encuentre a 80 cm de la cara? 5. Cuando se coloca 30 cm delante de una lente un foco luminoso brillante, aparece una imagen derecha a 7.5 cm de la lente. Aparece tambin una imagen invertida dbil a 6 cm delante de la lente debida a la reflexin en la cara delantera de la misma. Cuando se da la vuelta a la lente, esta imagen ms dbil e invertida, resulta estar a 10 cm delante de la lente. Hallar el ndice de refraccin de la lente. 6. En una expresin de la ecuacin de la lente utilizada por Newton, y que es til en algunos casos, se miden las distancias objeto e imagen a partir de los puntos focales. Demostrar que si x=p-f y x`=q-f, puede escribirse la ecuacin de las lentes delgadas como xx`=f2, y que la amplificacin lateral viene dada por: m=-x`/f=-f/x. Hacer un esquema de una lente y sobre el indicar x y x`. 7. (a) Demostrar que una pequea variacin dn en el ndice de refraccin del material de una lente produce un pequeo cambio en la distancia focal df dado aproximadamente por:

1

n

dnf

df

(b) Utilizar este resultado para hallar la distancia focal de una lente delgada para la luz azul, con n=1.53, si la distancia focal para la luz roja con n=1.47, es 20 cm. 8. Un rayo de luz incide perpendicularmente en la hipotenusa del prisma 45-45-90, cuyo ndice de refraccin es n1=1.645. a) Demuestre que hay reflexin total interna y el rayo emergente es paralelo al incidente. b) Los dos lados reflectantes se cubren con una capa delgada y uniforme de dielctrico



(n2=1.42). Seguir siendo totalmente reflectante el prisma? c) Qu valores debe tener el ndice del dielctrico para que el prisma siga siendo totalmente reflectante? 9. a) Los espejos retrovisores usados en autos, son convexos o cncavos? Por qu? b) Se desea utilizar un espejo esfrico de 60 cm de radio para proyectar una pelcula de 35 mm sobre una pantalla situada a 20 m. Debe ser convexo o cncavo? En qu posicin colocara la pelcula y cul sera el aumento? c) Un objeto de 2 cm se coloca sobre el eje de un espejo esfrico convexo de 40 cm de radio y a 5 cm del vrtice. Construya la imagen y calcule el aumento. 10. Se desea construir una lente convergente con vidrio de n=1.5 tal que al usarlo dentro del agua (n=4/3) tenga una distancia focal de 12 cm. Qu radios pueden tener las superficies que la conforman? 11. Un objeto se encuentra a 8 cm de una lente convergente de 5 cm de distancia focal. A qu distancia de la lente debe colocarse una segunda lente de distancia focal 10 cm para que la imagen final sea real, derecha y del mismo tamao que el objeto? 12. Una lmina delgada de vidrio (n = 1.5) de espesor 1 cm, se introduce en agua (n= 1.33). Un rayo de luz incide sobre la lmina bajo un ngulo de incidencia de 30. Hallar: a) El ngulo de refraccin. b) El ngulo crtico para que ocurra reflexin total interna en la lmina de vidrio. c) El desplazamiento del rayo emergente del vidrio con respecto a la direccin del rayo original incidente. d) Hallar la longitud de camino ptico del rayo a su paso por la lmina. 13. Un objeto (de 10 cm de longitud) se encuentra a una distancia de 15 cm y sobre el eje ptico de un espejo cncavo cuyo radio de curvatura es igual a 50 cm. a) Dnde se encuentra la imagen del objeto? b) Hallar el tamao de la imagen. c) Es real o virtual, derecha o invertida, de mayor tamao o ms pequea? d) Qu suceder con la imagen si alejamos el espejo 15 cm del objeto?



CAPTULO IV: PTICA FSICA INTERFERENCIA Es un fenmeno ondulatorio que se origina por la superposicin de ondas electromagnticas. Su desarrollo matemtico es netamente vectorial. Sean dos fuentes puntuales 1S y 2S Funciones de onda

1d r 2d r

Donde: d = separacion entre las fuentes k = nmero de onda El desfasaje o diferencia de fase ser:

1 2kr kr

1 22 ( )r r

(4.1)

Entonces el desfasaje resultante es: 2 2

10 20 10 20( ) 2 cosres

( )res comprendido entre 10 20 cos 1 2n 10 20 cos 1 (2 1)n 2n : interferencia constructiva (2 1)n : interferencia destructiva Tambin, la diferencia de camino es: n : interferencia constructiva

= 1( )2

n : interferencia destructiva

Experimento de Young de la doble rendija

Fuente puntual

1 10 1

2 20 2

( )( )

sen wt krsen wt kr

1S 2S

1r

2r

d

1 2r r

a DS



Por el principio de Huygens, al incidir el frente de ondas sobre las rendijas, estas se comportarn como nuevas fuentes puntuales.

a : Separacin entre las rendijas D : Distancia entre la pantalla y las rendijas

Si D a Entonces: 10 20

10 01 cos( ) 2 cos( )

2 2res

0( ) 2 cos( )2res

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Si es pequeo entonces: Dytgsen

1 2yr r asen aD

Tambin:

1 22 ( )r r

=> 2 ( )yaD

Intensidad luminosa: 20 cos ( )asenI I

=>

20 cos ( )ayI ID

(4.2)

La intensidad mxima ocurre cuando: 2cos ( ) 1ayD

1S

2S

a

1r

2r

y

D



Puntos de intensidad mxima (franjas brillantes) asen n

Entonces: asen n

Tambin: ay nD

aDnyn

, ... 1,0,1, 2...n (4.3)

Separacin entre franjas brillantes: y(n+1) y(n)

aDy (4.4)

Puntos de intensidad mnima: franjas oscuras

aDnyn)

21( (4.5)

Patrn de interferencia Problema Dos rendijas separadas por una distancia de 1 mm, se iluminan con luz roja ( 76.5 10x m ). La pantalla se coloca a un metro de las rendijas.

(a) Hallar la distancia entre dos franjas brillantes consecutivas. (b) Hallar la distancia de la tercera franja oscura (c) Hallar la distancia de la quinta franja brillante

7

3

6.5 10101

x ma mD m

a) Clculo de la separacin de dos franjas brillantes

74

3

1 6.5 10 6.5 1010

D x xy x ma

b) ynyn )21( => 41(3 )6.5 10

2ny x

32.3 10ny x m

c) 45 6.5 10ny n y x x m

39.25 10ny x m

JHONResaltado



Problema En el experimento de Young, las 2 rendijas estan separadas 0.8 mm. Se ilumina con luz monocromtica de longitud de onda: 75.9 10x m . La pantalla se ubica a 0.5 m de las rendijas. Hallar la separacin entre 2 franjas oscuras consecutivas. Solucin:

3

7

0.8 0.8 105.9 100.5

a mm x mx m

D m

La separacin entre dos franjas oscuras consecutivas es igual a la separacin entre 2 franjas brillantes, es por ello que:

7

4

0.5 5.9 108 10

D x xya x

43.7 10y x m

Interferencia en una pelcula delgada Sea una pelcula delgada de espesor uniforme e ndice de refraccin n. Reflexin por pelculas delgadas

(1) (2) n

(1) Una onda que se propaga en un medio de bajo ndice de refraccin n sufre un cambio de fase de 180 al reflejarse en un medio de mayor ndice de refraccin.

Tarea (Pregunta tentativa para el 2do exmen) Una antena de TV emite una seal de 1200 kHz. Un pueblo (P) est situado a 80 km de la antena y en una direccin que forma 30o con la lnea este-oeste. Hallar: a) La longitud de onda. b) La distancia mnima a la que habr que colocar una segunda antena al norte de la primera, para que operando las dos antenas en fase, la amplitud de la seal recibida en P sea dos veces mayor.

JHONResaltado



(2) La longitud de onda de la luz n en un medio cuyo indice de refraccin es n, est

dado por: n n

Condicin de interferencia constructiva: mtn 12

Condicin de interferencia destructiva: )21(2 1 mtn

donde: t = espesor de la pelcula delgada Interferometra radar INSAR Es una tcnica relativamente nueva que utiliza imgenes satelitales (obtenidas por radar de apertura sinttica) para estudiar la deformacin de la corteza terrestre debido a la interaccin de las placas tectnicas, terremotos, deslizamientos, volcanes, etc. mediante la teora de interferencia de ondas electromagnticas.

Fig. 4.x Patrn tpico de interferometra INSAR.



DIFRACCIN Es un fenmeno ondulatorio que se observa cuando una onda se distorsiona debido a un obstculo cuyas dimensiones son comparables a la longitud de onda de aquella. Difraccin de Fresnel: Los rayos incidentes se originan en una fuente puntual o se observan los rayos difractados en un punto determinado del espacio (campo cercano). Difraccin de Fraunhofer: Se supone que los rayos incidentes son paralelos y que se observa un patrn de difraccin a una distancia muy grande como para que se reciba solo rayos difractados paralelos (campo lejano).

Difraccin de Fraunhofer solo para una rendija

Ep

Diagrama de rotores Ep: Campo elctrico en P. : Diferencia de fase entre el rayo que procede de la franja inferior y el procedente de la franja superior.

a

asen

o

p



En el lmite: # de franjas Tenemos un arco de circunferencia:

Radio = S

Amplitud resultante: Ep

( / 2)/ 2p

senE S

La diferencia de recorrido entre el rayo superior e inferior es asen por lo tanto: 2 asen

Luego:

( )

p

asensenE S asen

La intensidad luminosa es proporcional al cuadrado de la amplitud del campo elctrico Ep 2

0

( )asensenI I asen

(4.5)

Obtendremos el siguiente patrn de difraccin:

El mnimo valor de asen

para 0I es . sena

S 2

2

0I



En general : mmsena

(4.6)

Problema: La intensidad de la luz en la difraccin de Fraunhofer de una sola rendija es:

2

0( )senI I

, donde asen

a) Demostrar que la ecuacin que da los valores de para I mximo es: tg b) Cmo se resuelve esta ecuacin?

Solucin:

a) Clculo de mximos: 0dId

2

0 0( ) ( ) ( )( ) 2 ( ) ( )dI d sen sen d senI I

d d d

0 2

( ) cos2 ( )( ) 0dI sen senId

cos 0sen

cossen

Entonces: tg

b) Esta ecuacin puede resolverse por mtodos grficos o mtodos numricos, por ejemplo se puede aplicar el mtodo de Newton-Rhapson:

1 '

( )( )

nn n

n

f xx xf x

donde: ( )f x tgx x

JHONResaltado



Difraccin de Fraunhofer para una abertura circular - - - - - - - - - Patrn de difraccin El ngulo correspondiente al primer disco oscuro est dado por la condicin:

2 3.8317Rsen

(4.7)

Si 0 entonces 1.22 1.222

senR D

, por lo tanto:

1.22D

(4.8)

Esta expresin da adems el poder resolvente (o resolucin) de una abertura circular definido segn Rayleigh, como el ngulo mnimo entre las direcciones de las incidencias de 2 ondas planas provenientes de 2 fuentes puntuales diferentes. Red de difraccin Es un conjunto de rendijas, todas paralelas y del mismo ancho, separadas por intervalos iguales.

d : constante de la red

El problema de hallar la intensidad de la luz transmitida por la red combina los principios de interferencia y difraccin.

1m : mximo de primer orden 2m : mximo de segundo orden

d

2

dab



Para que haya interferencia constructiva es necesario que ab m

mmsend

(4.9)

0,1, 2,...m

Condicin necesaria para un mximo. El ngulo es tambin el ngulo de desviacin de los rayos que forman el mximo, respecto a la direccin de la luz incidente. Problema Los lmites del espectro visible son de 400 nm (violeta) a 700 nm (rojo). Hallar la amplitud angular ( r v ) del espectro visible, de primer orden producido por una red plana que tiene 600 rendijas por milmetro, cuando la luz incide normalmente sobre la red. Solucin:

63

1067.1600101)(

rendijasNredlongitudd m

Se cumple: mmsend

Para violeta: 9

6

400 105 103

vxsen

x

3 1

1200 2410 10 0.245 10

x x 13.88ov

Para el rojo: 9

6

700 105 103

rxsen

x

3

2100 10 0.425

x 24.83or

Por lo tanto, la desviacin angular es: 10.95or v

Nota: El disco ptico (CD o DVD) puede actuar como una red de difraccin.



POLARIZACIN

(a) Solo se observa en ondas transversales, por ejemplo la luz. (b) El plano de polarizacin es aquel en el cual oscila el campo elctrico E.

Antena Luz linealmente polarizada

Luz ordinaria Luz polarizada

Polarizacin por reflexin Cuando la luz natural incide sobre una superficie reflectante se observa que existe reflexin preferente para aquellas ondas en las que el vector elctrico vibra perpendicularmente al plano de incidencia.

Existe polarizacin total cuando el rayo reflejado y el rayo refractado forman un ngulo de 90.

Incidente Reflejado

Refractado

90 180o op

E

E

E

E

E

2n

1np p



90op

90o p De la ley de Snell: 1 2pn sen n sen

1

2

nn

sensen p

=>

1

2

cos nnsen

p

p

Por lo tanto tenemos:

1

2

nntg p (4.10)

Esta ecuacin es conocida como la Ley de Brewster. Para la interface aire-agua: n1 = 1, n2 = 4/3, luego:

34

13/4ptg => 53

op

53op esto se cumple para una piscina, ro, mar, charco de agua, etc.

Problema: Hallar a qu hora se da el fenmeno de polarizacin por reflexin.

Hora 0o 12 90o 6 30o 10

Si: h m b Si 0 12b

Si 190 6 90( ) 1215

m m

Entonces 1215

h (horario de la maana)

1215

h (horario de la tarde)

12m10am

8am

6am 6 pm



Entonces si 53op entonces 5312 8.4715

h horas

Que es equivalente a 08h con 28 minutos. La hora correspondiente a la tarde es 15 horas con 32 minutos. Doble refraccin o birrefringencia Muchas sustancias transparentes cristalinas que, aunque homogneas, son anistropas. Es decir, la velocidad de la luz que se propaga en ellas no es la misma en todas las direcciones.

Un rayo se refracta segn la ley de Snell (rayo ordinario) pero otro rayo (rayo extraordinario) toma un camino distinto. Dicroismo Ciertos cristales birrefringentes presentan dicroismo, esto es, una de las componentes es observada con mucha mayor intensidad que la otra. Si el cristal se corta a un espesor adecuado, una de las componentes se extingue por absorcin, mientras que la otra se transmite en proporcin apreciable.



Polaroide o polarizador Un polaroide es un filtro ptico que permiten polarizar la luz. Analizador (tambin es un

polarizador)

Sensor fotoelctrico

Fig. XX Esquema de un polaroide

Porcentaje de polarizacin: max minmax min

100%I I xI I

(4.11)

Ley de Malus.- La cantidad de energa es proporcional al cuadrado del coseno de :

2cosoI I (4.12)

: es el ngulo formado por el analizador y el polaroide (polarizador).



PROBLEMAS PROPUESTOS 1) En el experimento de Young, dos rendijas separadas por una distancia de 1mm. Se iluminan con luz roja ( = 6.5x10-7 m). La pantalla se coloca a 1 m de las rendijas. a) Hallar la distancia entre dos franjas brillantes. b) Hallar la distancia de la 3ra franja oscura (a partir de la franja central). c) Hallar la distancia de la 5ta franja brillante (a partir de la franja central). 2) La intensidad de luz en la difraccin de Fraunhofer para una sola rendija es:

20 )(

senII

sena

a) Esbozar una grfica de I vs b) Demostrar que la ecuacin que da los valores de para I mximo es: )(tg c) Cmo puede resolver esta ecuacin? Halle un valor de . 3) Una calle de 10 m de ancho se encuentra inundada. A un costado de la calle hay un poste de 5 m de altura que sostiene un foco. En la vereda del frente una persona observa que la luz del foco reflejada en el agua est polarizada. Hallar: a) El ngulo de polarizacin. b) La estatura de la persona si la distancia de los ojos a la coronilla es de 5 cm. c) Qu hora aproximada piensa que puede ser? 4) Responda los siguientes puntos: a) Cmo funciona una fibra ptica? b) Cmo se forman los anillos de Newton? c) En qu consiste la polarizacin de la luz? d) Explique la interferencia en una pelcula delgada.

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CAPTULO V: FUNDAMENTOS DE RELATIVIDAD RELATIVIDAD ESPECIAL O RESTRINGIDA Los postulados de la Relatividad restringida son: 1. Las leyes fsicas pueden ser expresadas mediante ecuaciones de la misma forma en todos los marcos de referencia que se muevan a velocidad constante los unos respectos a los otros. 2. La velocidad de la luz en el espacio libre (c = 3x108 m/s) tiene el mismo valor para todos los observadores independientemente de su estado de movimiento. La transformacin de Galileo

(velocidad relativa)

Las ecuaciones de transformacin son:

' .........(1)' .........(2)' .........(3)' .........(4)

x x vty yz zt t

Derivando con respecto al tiempo:

'' .........(5)

'' .........(6)

'' .........(7)

xVx Vx VtyVy VytzVz Vzt

Si Vx c , entonces 'c c V Entonces vemos que no cumple con el segundo postulado. Luego, se necesita una transformacin diferente, como la transformacin de Lorentz.

y y

x x

z z

S 'S

'v

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Transformacin de Lorentz Es razonable que: )(' vtxkx (5.8) donde k: factor de proporcionalidad, no depende de x ni de t, pero puede ser funcin de la velocidad v. Del primer postulado: )''( vtxkx (5.9)

Tambin: '''

y yz zt t

Reemplazando (8) en (9):

')(')(

2 kvtvtxkxvtvtxkkx

De donde: xkv

kktt

21' (5.10)

El segundo postulado nos permite hallar k. Si en t=0, t=0, ambos sistemas S y S coinciden. Se enciende una luz en el origen, entonces ambos observadores miden:

: .........(11)' : ' '.........(12)

S x ctS x ct

Reemplazando x y t mediante (8) y (10) en (12):

x

kvkktcvtxk

21)(

Despejando x:

ckv

kk

vktcktx 21

=>

ckv

kk

kcvk

ctx 21 =>

vc

k

cv

ctx)11(1

1

2

Luego, el parntesis debe ser igual a la unidad:

1)11(1

1

2

vc

k

cv

=> vc

kcv )11(11 2

Entonces: 2/11

cvk

(5.13)



Luego:

2/1

'cv

vtxx

(5.14)

yy ' (5.15) zz ' (5.16)

2

2

/1'

cvcvxt

t

(5.17)

Si v c se obtiene la transformacin de Galileo. La transformacin inversa de Lorentz se obtiene haciendo el cambio de variable:

'x xv v

2)/(1''cv

vtxx

(5.18)

'.........(19)y y

'.........(20)z z

22

/1

''

cvcvxt

t

(5.21)

Contraccin de Lorentz Fitzgerald Dimensiones pueden cambiar f (velocidad) Longitud de la varilla: 120 xxL (5.22)

0L : longitud de la varilla en reposo Para un observador en movimiento se tendr lo siguiente:

0L

1x 2x

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11 2

22 2

' '

1

' '

1

x vtxvc

x vtxvc

2 1

2 12

' '

1

oL x xx x

vc

Definimos:

'1

'2 xxL (5.23)

Luego, la longitud de la varilla para un observador en movimiento ser:

20 )(1 cvLL (5.24)

Dilatacin del tiempo Los relojes que se mueven con respecto a un observador parece que tienen un tic-tac menos rpido que cuando estn en reposo respecto al mismo. Sea un reloj ubicado en x del sistema en movimiento S cuando un observador en S encuentra que el tiempo es t un observador en S medir:

22

'1

1/1

'

cvcvxt

t

Despus de un intervalo t0 para el sistema S, Smedir que el tiempo es t2 segn su reloj:

'1

'20 ttt (5.25)

Sin embargo, el observador en S mide al final del mismo intervalo:

2

2'2

2/1

/'

cv

cvxtt

De manera que para l la duracin del intervalo t es:

Notas: 1) La longitud de un objeto en movimiento respecto a un observador parece a

este ms corta que cuando esta en reposo. 2) La contraccin relativista de longitud es despreciable para velocidades

ordinarias, pero es un efecto importante a velocidades cercanas a la de la luz.

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2

'1

'2

12/1 cv

ttttt

Entonces:

2

0

/1 cv

tt

(5.26)

t : estacionario 0t : en movimiento

Relatividad de la Masa La masa de un cuerpo que se mueve a velocidad v con respecto a un observador es:

20

/1 cv

mm

(5.27)

donde: 0m : masa en reposo Los incrementos de masa relativista slo son apreciables a velocidades cercanas a la de la luz. Si cv , entonces: m . Esto implica que ninguna partcula podra viajar a la velocidad de la luz porque su masa se incrementara infinitamente. Masa y Energa La relacin ms clebre que obtuvo Einstein de los postulados de la relatividad especial es: 2E mc Deduccin:

Energa cintica: S

sdFT0

.

(5.28)

si F y ds son parelelos: )(mvdtd

dtdpF

s mvs

mvvdmvddtdsds

dtmvdT

0 00

)()()(

Nota: Un reloj estacionario mide mayores intervalos de tiempo entre acontecimientos que ocurren en un marco de referencia en movimiento que un reloj situado en el marco en movimiento

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Entonces:

)/1

(0

20

mv

cv

vmvdT

Esta integral se resuelve usando el mtodo de integracin por partes: udvuvvdu Donde: v = v

2

0

/1 cvvmu

v

cv

vdvm

cv

vmT0

2

0

2

20

/1/1

v

cvcm

cv

vm

0

22

02

20 1

/1

Entonces:

11/1

22

02

20

cvcm

cv

vmT

2

02

20

/1cm

cv

cmT

Por lo tanto tenemos: 20

2 cmmcT (5.30) 2

02 cmTmc (5.31)

Energa total Energa en reposo 2mcE (5.32) La energa cintica relativista es:

2

02

202

02

/1cm

cv

cmcmmcT

=

1

/1

12

20

cvcm

Si v c entonces: 2

2 1vc

Se puede expresar la raiz en forma exponencial:

2/12

2)(1

/1

1

c

v

cv

Entonces se tiene que: 222/12

211/1

cvcv

Observacin:



Si 1x , entonces: nxx n 1)1(

2

22

02

22

0 211

211

cvcm

cvcmT

20

12

T m v esto es la energa cintica clsica.

Importante: la formulacin correcta de la mecnica se basa en la relatividad y con la mecnica clsica se obtiene solamente una aproximacin que es correcta nicamente en determinadas circunstancias: v c .



CAPTULO VI: FUNDAMENTOS DE FSICA CUNTICA INTRODUCCIN RADIACIN DEL CUERPO NEGRO Ley de Stefan: 4TI donde: = 5.67x10-8 J/(m2 s K4 ) Ley de Wien: 2max 102898.0

T mK

Modelo clsico (Ley de Rayleigh-Jeans): 42),(

ckTTI

Si 0 , entonces f , luego: I , lo que se conoce como catstrofe ultravioleta. Max Planck propuso lo siguiente: 1) Las molculas emiten valores discretos de energa E: nhfEn donde: h = 6.63x10-34 J.s, constante de Planck 2) Los estados energticos estn cuantizados:

)1(

2),( /52

kThce

hcTI

EFECTO FOTOELCTRICO EFECTO COMPTON MODELO ATMICO DE BOHR POSTULADO DE DE BROGLIE PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE DE HEISEMBERG FUNCIN DE ONDA ECUACIN DE SHRODINGER

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PROBLEMAS PROPUESTOS 1) Responda los siguientes puntos: a) Enuncie los postulados de la Teora de la Relatividad. b) Cules son las Transformaciones de Galileo? c) Una varilla mide 10m para un observador en reposo, cunto medir dicha varilla para un observador en una nave espacial con v = c/2? d) Si la masa en reposo de la nave espacial es 9000 kg, cul ser su masa para v = c/2? 2) Un rayo de luz de longitud de onda =5.893x10-7 m incide sobre una superficie de potasio. El potencial retardado para los electrones emitidos es 0.36 V. Hallar: a) La energa mxima del fotoelectrn en eV. b) La funcin trabajo realizado por el electrn en eV. c) La frecuencia lmite de la radiacin resultante. d) Si luz de frecuencia f=4.8x1014 Hz incide sobre dicho metal, hallar la energa cintica del electrn emitido. 3) En relacin con el postulado de De Broglie y el fenmeno de difraccin de electrones, se ha demostrado el comportamiento ondulatorio de partculas del mundo microscpico. En mrito a las relaciones de momentum y energa de De Broglie, hallar: a) El momentum relativstico correspondiente a un electrn de 100 keV de energa cintica. b) La longitud de onda de las ondas asociadas de De Broglie. c) Si la indeterminacin en la posicin del electrn es comparable a la longitud de onda de De Broglie, hallar la indeterminacin en su momentum lineal. 4) Una partcula cuntica se encuentra en un pozo de potencial infinito de ancho L. U(x) = 0 si 0 < x < L a) Hallar una solucin de la ecuacin de Schrodinger para la regin 0 < x < L. b) Hallar la constante de normalizacin. c) Hallar la probabilidad de encontrar a la partcula entre 0 y L/2. 5) Explique cada uno de los siguientes conceptos: a) El efecto fotoelctrico. b) El efecto Compton. c) El principio de De Broglie. d) El principio de Incertidumbre.

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REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS

Serway, Raymond; Fsica, Sptima Edicin, Tomo II; Editorial McGraw-Hill, Mxico 2008. Hecht, E., Zajac, A. ptica. Editorial Addison-Wesley Iberoamericana, Delaware, 1986. Eisberg, R. Fundamentos de Fsica Moderna. Editorial Limusa. Mxico, 1978. Alonso, Marcelo - Finn, Edward; Fsica, Volumen II: Campos y Ondas; Editorial Addison-Wesley Iberoamericana, Delaware 1987. Jay Orear. Fsica Fundamental. Editorial Limusa-Wiley, S.A., Mxico, 1966 R. Stollberg & F. Hill. Fsica, fundamentos y fronteras. Publicaciones Cultural S.A., Mxico, 1967. Tarasov y Tarasova. Preguntas y Problemas de Fsica. Editorial MIR, Mosc.

Apuntes Del Curso Física IV

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