CÁLCULO D IFERENCIAL

CCuuaaddeerrnnoo ddee AAppuunntteess

AApprreennddeemm@@ss

SSoobbrree::

DDeerriivvaaddaass IImmppllíícciittaass

IInngg.. MMiigguueell AAnnggeell CCaarrrriilllloo VVaalleennzzuueellaa

CÁLCULO D IFERENCIAL

DDeerriivvaaddaass iimmppllíícciittaass

EEss aaqquuééllllaa qquuee ssee oobbttiieennee ddee uunnaa eeccuuaacciióónn qquuee nnoo ttiieennee nniinngguunnaa vvaarriiaabbllee

ddeessppeejjaaddaa..

EEjjeemmpplloo ddee uunnaa eecc.. iimmppllíícciittaa xx22 ++ yy

22 == 55yy

EEjjeemmpplloo ddee uunnaa eeccuuaacciióónn eexxppllíícciittaa yy == xx22 ++ 55xx

AA eessttaa eeccuuaacciióónn nnoo ddeessppeejjaaddaa ssee llee aapplliiccaann llaass ffóórrmmuullaass ddee llaa ddeerriivvaaddaa ttaannttoo eenn

llaa ppaarrttee iizzqquuiieerrddaa ccoommoo eenn llaa ppaarrttee ddeerreecchhaa ddee llaa eeccuuaacciióónn.. AAll tteerrmmiinnaarr ddee

aapplliiccaarr ffóórrmmuullaass ddeebbee qquueeddaarr ddyy//ddxx eenn aallggúúnn lluuggaarr ((ppuueeddee qquueeddaarr uunnoo oo vvaarriiooss

ddyy//ddxx))..

EEssttee ttéérrmmiinnoo ddyy//ddxx ssee ccaammbbiiaa ppoorr uunnaa mm ((ppeennddiieennttee)) yy ssee ddeessppeejjaa ppaarraa oobbtteenneerr

llaa ddeerriivvaaddaa ddee llaa eeccuuaacciióónn..

EEjjeemmpplloo 11 OObbtteenneerr llaa ddeerriivvaaddaa ddee sseenn((yy)) == eexx

dd((sseenn((yy)) == dd((eexx))

ddxx ddxx

FFóórrmmuullaa ddee llaa ppaarrttee iizzqquuiieerrddaa

dd((SSeenn((vv)))) == CCooss((vv)) ddvv

ddxx ddxx

FFóórrmmuullaa ddee llaa ppaarrttee ddeerreecchhaa

dd((eevv)) == ee

vvddvv

ddxx ddxx

SSuussttiittuuyyeennddoo eenn aammbbaass ppaarrtteess

ccooss((yy)) ddyy == eexx ddxx

ddxx ddxx

CCoollooccaannddoo mm eenn lluuggaarr ddee ddyy//ddxx

ccooss((yy)) mm == eexx

DDeessppeejjaannddoo mm

ddyy == mm == eexx ..

ddxx ccooss((yy))

EEjjeemmpplloo 22 OObbtteenneerr llaa ddeerriivvaaddaa ddee xxyy == eexxyy

dd((xxyy)) == dd((eexxyy

))

ddxx ddxx

dd((uuvv)) == uudd((vv)) ++ vvdd((uu)) dd((eevv)) == ee

vv dd((vv))

ddxx ddxx ddxx ddxx ddxx

uu == xx vv == xx

vv == yy

xx ddyy ++ yy ddxx == eexxyy

dd((xxyy))

ddxx ddxx ddxx

xx ddyy ++ yy ddxx == eexxyy

((xx ddyy ++ yy ddxx))

ddxx ddxx ddxx ddxx

xxmm ++ yy == eexxyy

((xxmm ++ yy))

xxmm ++ yy == eexxyy

xxmm ++ eexxyy

yy

xxmm –– eexxyy

xxmm == eexxyy

yy –– yy

mm((xx –– eexxyy

)) == eexxyy

yy -- yy

mm == eexxyy

yy –– yy

xx -- eexxyy

Ejercicios para hacer en Casa

Despejar la m de las siguientes ecuaciones

1. exy – ln(x / y2) = Sen(x2y)

2. 5x/y – Arctg(x2y) = Csc(xy2)

CÁLCULO D IFERENCIAL

RReeggllaa ddee llaa ccaaddeennaa

EEssttee eess uunn mmééttooddoo qquuee nnooss ppeerrmmiittee oobbtteenneerr uunnaa ddeerriivvaaddaa aa ppaarrttiirr ddee ddooss

eeccuuaacciioonneess..

EEjjeemmpplloo

11.. OObbtteenneerr llaa ddeerriivvaaddaa ddyy // ddxx ssii tteenneemmooss ccoommoo eeccuuaacciioonneess yy == uu22 uu== SSeenn((xx))

DDeebbiiddoo aa qquuee llaa ddeerriivvaaddaa qquuee ssee ppiiddee eess ddyy//ddxx yy uunnaa vvaarriiaabbllee ((yy)) ddee eellllaass eessttáá eenn

uunnaa eeccuuaacciióónn yy llaa oottrraa vvaarriiaabbllee ((xx)) eessttáá eenn oottrraa eeccuuaacciióónn,, tteenneemmooss qquuee uussaarr llaa

rreeggllaa ddee llaa ccaaddeennaa ppaarraa oobbtteenneerr eell rreessuullttaaddoo..

PPrriimmeerraammeennttee ssee ddeerriivvaa uunnaa eeccuuaacciióónn ppaarraa oobbtteenneerr ddyy // dduu

ddyy == dd((uu22)) == ddyy == 22uu

dduu dduu dduu

TTaammbbiiéénn ssee ddeerriivvaa llaa oottrraa eeccuuaacciióónn

dduu == dd((SSeenn((xx)))) == dduu == CCooss((xx))

ddxx ddxx ddxx

PPaarraa oobbtteenneerr ddyy // ddxx ssee mmuullttiipplliiccaann llaass ddooss ddeerriivvaaddaass aanntteerriioorreess yy ssee iigguuaallaann aa llaa

mmuullttiipplliiccaacciióónn ddee ssuuss rreessuullttaaddooss..

ddyy .. dduu == 22uu CCooss((xx))

dduu ddxx

SSee eelliimmiinnaann llooss dduu yy ssoolloo qquueeddaa ddyy//ddxx ==22uu CCooss((xx))

CCoommoo ssee ssaabbee qquuee uu == SSeenn((xx))

SSee ssuussttiittuuyyee ppaarraa oobbtteenneerr eell rreessuullttaaddoo ffiinnaall

ddyy//ddxx == 22 SSeenn((xx)) CCooss((xx))

Ejercicios para hacer en Casa

Obtener dy/dx y dx/dy de las siguientes problemas

1. y = esen(u) u = Arctg(3 / x2 )

2. x = 3ln(u) u = Ctg(3y2 )

3. y = elog(2u) u = ln( 3 /Sen(x2 ) )

CÁLCULO D IFERENCIAL

DDeerriivvaaddaass SSuucceessiivvaass

SSee llllaammaa ddeerriivvaaddaass ssuucceessiivvaass aa aaqquuééllllaass qquuee ssee ggeenneerraann aa ppaarrttiirr ddee uunnaa

eexxpprreessiióónn ddiiffeerreenncciiaall,, eess ddeecciirr ddeerriivvaarr lloo qquuee yyaa eessttáá ddeerriivvaaddoo..

EEjjeemmpplloo

11.. OObbtteenneerr llaa sseegguunnddaa ddeerriivvaaddaa ddee yy == xx33

PPrriimmeerraa ddeerriivvaaddaa

ddyy //ddxx == dd ((xx33)) // ddxx eemmpplleeaannddoo llaa ffóórrmmuullaa dd((vv

nn)) == nnvv

nn--11ddvv

ssee oobbttiieennee qquuee ddyy // ddxx == 33xx22

SSeegguunnddaa ddeerriivvaaddaa

AAhhoorraa llaa eexxpprreessiióónn eess 33xx22

yy ssoobbrree ééssttaa ssee aapplliiccaann ffóórrmmuullaass ddee ddeerriivvaacciióónn

ddyy22 // dd22xx == 33 dd ((xx22)) // ddxx ddyy22 // dd22xx == 66xx

AAssíí ssoonn llaass ddeerriivvaaddaass ssuucceessiivvaass,, nnooss ppeerrmmiitteenn oobbtteenneerr uunn nnuueevvoo rreessuullttaaddoo

ddeerriivvaannddoo eell rreessuullttaaddoo ddee llaa ddeerriivvaaddaa aanntteerriioorr

Ejercicios para hacer en Casa

Obtener la tercera derivada de los siguientes problemas

1. y = 3x4 – 2x3 + 5x2 – 3x – 6

2. y = Sen4 (x) – x3

3. y = e2x – ln(x3)

4. y = 3x + 3x5

CÁLCULO D IFERENCIAL