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UNIDADES TECNOLOacuteGICAS DE SANTANDER

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BAacuteSICAS Versioacuten 1 ndash 2013

APUNTES DOCENTES

PROFESOR ESP PEDRO ALBERTO ARIAS QUINTERO

ASIGNATURA ANALISIS NUMERICO



1 ERRORES Y ARITMETICA DE PUNTO FLOTANTE

11 Introduccioacuten a la Computacioacuten Numeacuterica

El primer computador electroacutenico en base a la tecnologiacutea de tubos al vaciacuteo fue el ENIAC de la Universidad

de Pensilvania en la deacutecada del 40 Durante la deacutecada del 50 el primer uso de los computadores fue para las

aplicaciones cientiacuteficas

En la deacutecada del 60 el uso de los computadores se amplioacute a los negocios y el propoacutesito maacutes extendido fue el

tratamiento de todo tipo de informacioacuten

En las tres uacuteltimas deacutecadas (70 a 90) continuoacute extendieacutendose hacia las medianas empresas en los 70 y hacia

varios millones de pequentildeas empresas y personas en la llamada revolucioacuten de las PC en los 80 y 90

La mayor parte de esos usuarios del computador no consideran de primer intereacutes a la computacioacuten como

medio de caacutelculo con nuacutemeros En realidad lo que maacutes se utiliza es el procesamiento de la informacioacuten en

otros campos como los negocios y la administracioacuten Sin embargo en muchas disciplinas cientiacuteficas el

caacutelculo con nuacutemeros permanece como el uso maacutes importante de los computadores

Ejemplos

Fiacutesicos resolucioacuten de complicadas ecuaciones en modelos tales como la estructura del universo o del aacutetomo

Meacutedicos que usan los computadores para disentildear mejores teacutecnicas

Meteoroacutelogos usan la computacioacuten numeacuterica para resolver ecuaciones en modelos que pronostican el clima

Ingenieros Aeronaacuteuticos Disentildeo de cohetes espaciales

En la Ciencia de la Computacioacuten la computacioacuten numeacuterica tiene mayor importancia por los requerimientos

de algoritmos confiables y raacutepidos para computacioacuten graacutefica roboacutetica etc

12 Nuacutemeros Reales Una clasificacioacuten de los nuacutemeros reales es R = Q U F y a su vez Q = Z UF donde R reales Q racionales I

irracionales Z enteros F fraccionarios

Los nuacutemeros reales que no pueden representarse como enteros o fracciones se llaman irracionales

Ejemplo

πse define como la razoacuten entre la longitud de una circunferencia y su diaacutemetro

e se define como el liacutemite de (1+1n) cuando n rarrinfin un liacutemite de una sucesioacuten de nuacutemeros racionales

2946427

13 Sistemas de representacioacuten de nuacutemeros reales

Histoacutericamente los Romanos usaban distintos siacutembolos para representar las potencias de 10 X C M etc lo

que es engorroso para grandes nuacutemeros El uso del cero como siacutembolo fue usado en la India y luego

introducido en Europa por medio de los Arabes hace aproximadamente 1000 antildeos

El uacutenico sistema que usaba el cero (sin influencia de los Indios) fue el de los Mayas Este sistema posicional

teniacutea como base 20



Nuestro sistema actual se llama decimal o de base 10 pues requiere 10 siacutembolos 0123456789 El

sistema se llama posicional pues el significado del nuacutemero depende de la posicioacuten de los siacutembolos

Los Babilonios usaban el sistema de base 60 cuyas influencias llegan a nuestro tiempo con el sistema de

medicioacuten del tiempo (1 hora = 60 min 1 min= 60 seg)

El sistema de base igual a 2 que no es tan natural para los humanos es el maacutes conveniente para los

computadores Todo nuacutemero n estaacute formado por una sucesioacuten (cadena o string) de ceros y unos

Todo nuacutemero real posee una representacioacuten decimal y otra binaria y por lo tanto una representacioacuten en toda

base B(n tal que n gt1

14 Conversiones entre representaciones de sistemas maacutes

usuales

Caso de nuacutemeros enteros x (10 = 61(10 = 6101 + 1100

Nota La mayor potencia de 10 en el segundo miembro es igual al nuacutemero de cifras del nuacutemero x (10

menos 1

Caso de nuacutemeros fraccionarios

Los nuacutemeros irracionales siempre tienen una representacioacuten infinita no perioacutedica

radic2 = (1414213 )(10

Reglas Praacutecticas

1) Para convertir un nuacutemero x escrito en base B = 2 a base B = 10 se aplica el algoritmo de descomposicioacuten

del nuacutemero seguacuten las potencias de 2

Ej x = 100111(2= 123

022

021

12012

-1 12

-2 = 8+1+12+14 = 975

2) Para convertir un nuacutemero x de base B = 10 a base B = 2 se determinan los coeficientes a0a1an de la

base Brsquo ceros (0) o unos (1) de modo tal que



Se divide x por 2 lo que da a 0 como resto y un cociente que dividido por 2 da a1 como resto y asiacute siguiendo

hasta que el uacuteltimo cociente (es menor que 2) da como resto an

3) Conversioacuten de Binario a Octal

Se comienza agrupando las cifras binarias de tres en tres de derecha a izquierda luego se escribe el

equivalente en base 8 en cada grupo

Si se aplica el desarrollo polinoacutemico a partir del coeficiente de 8n-1 (n = nuacutemero de grupos) trabajando en

base 10 se obtiene la expresioacuten decimal del nuacutemero binario dado

4) Conversioacuten de Binario a Hexadecimal

Para pasar un nuacutemero escrito en base 2 a base 16 se agrupan las cifras binarias en grupos de 4 desde la

derecha a izquierda y luego se sustituye en cada grupo su equivalente por la cifra hexadecimal

correspondiente

Las relaciones entre grupos de cifras binarias y los sistemas de bases 2810 y 16 siendo sus cifras

B(2 = 01 B(8 =017 B(16 = 019ABCDEF B10 = 019 se muestran en el sig cuadro

Decimal Binario Octal Hexadecimal Decimal Binario Octal Hexadecimal

1 1 1 1 2 10 2 2

3 11 3 3 4 100 4 4

5 101 5 5 6 110 6 6

7 111 7 7 8 1000 10 8

9 1001 11 9 10 1010 12 A

11 1011 13 B 12 1100 14 C

13 1101 15 D 14 1110 16 E

15 1111 17 F 16 10000 20 10

17 10001 21 11 18 10010 22 12

19 10011 23 13 20 10100 24 14

21 10101 25 15 22 10110 26 16

23 10111 27 17 24 11000 30 18

25 11001 31 19 26 11010 32 1A

27 11011 33 1B 28 11100 34 1C

29 11101 35 1D 30 11110 36 1E



15 Representacioacuten de Nuacutemeros Racionales Para la representacioacuten de los nuacutemeros Racionales existen dos meacutetodos muy conocidos como el del punto

fijo y la representacioacuten en punto flotante

1) Punto Fijo

El sistema usa palabras divididas en 3 campos

Signo Parte del nuacutemero precedente al punto binario Parte posterior al pto

Binario Desventajas soacutelo se puede representar una pequentildea cantidad de nuacutemeros En nuestro caso la palabra

de 32 se divide en campos de 1 15 y 16 bits respectivamente y los nuacutemeros estaacuten en el rango

Nota raramente usada hoy en aplicaciones cientiacuteficas

2) Sistema de nuacutemeros de punto flotante

bull Basado en la notacioacuten cientiacutefica

bull Capaz de representar nuacutemeros muy grandes y muy pequentildeos sin incrementar el nuacutemero de bits

bull Capaz de representar nuacutemeros con componentes enteros y fraccionarios

bull Nuacutemero de punto flotante = nuacutemero real

16 Definicioacuten de Nuacutemero en Punto Flotante Consta de dos partes y un signo

1 Mantisa La magnitud del nuacutemero

2 Exponente El nuacutemero de lugares que se va a mover el punto

3 Signo Positivo o negativo

Ejemplo decimal

bull Nuacutemero decimal 241506800

bull Mantisa = 2415068

bull Exponente = 9

02415068 x 10 ^ 9

Para los nuacutemeros de punto flotante binarios el formato se define por el standard ANSI

IEEE 754-1985 de tres formas

bull Precisioacuten sencilla - 32 bits

bull Precisioacuten doble - 64 bits

bull Precisioacuten extendida - 80 bits

bull Se trabaja con nuacutemeros normalizados

Decimos que un nuacutemero binario estaacute normalizado si el diacutegito a la izquierda del punto

es igual a 1



Precisioacuten Sencilla

bull En la mantisa se entiende que el punto binario estaacute a la izquierda de los 23 bits De

hecho hay 24 bits porque en cualquier nuacutemero binario el bit maacutes significativo

siempre es 1 Por lo tanto se entiende que esta ahiacute aunque no ocupe una posicioacuten

bull Los 8 bits de exponente representan un exponente en exceso que se obtiene

antildeadiendo 127 al exponente real El propoacutesito es permitir nuacutemeros muy grandes o

muy pequentildeos sin requerir un bit de signo aparte para el exponente Esto permite un

rango de exponentes de -126 a +128

Ejemplo

Representar 1011010010001

1011010010001 = 1011010010001 x 2^12

Asumiendo que es un nuacutemero positivo

Bit de signo = 0

Exponente 12 + 127 = 139 = 10001011

Mantisa Parte fraccionaria 011010010001 a 23 bits (el 1 a la izq del punto se omite

porque siempre estaacute presente)

Punto flotante a decimal Ejemplo

Utilizar la foacutermula rarr

El bit de signo es 1 El exponente en exceso es 10010001 = 145

Aplicando la foacutermula obtenemos



rarr - 407680

Ejemplo Convertir el nuacutemero decimal 3248 x 10 ^ 4 a un nuacutemero binario de punto flotante

precisioacuten sencilla

Convertir de decimal a binario 3248 x 10 ^ 4 = 32480 = 111111011100000 =

111111011100000 x 2 ^ 14

Mantisa (23 bits) = 11111011100000000000000

Exponente en exceso = 14 + 127 = 141 = 10001101

Resultado -----------

Ejemplos 2 a) Convertir 0510 a binario y hallar su representacioacuten en IEEE precisioacuten simple 050

(050-0) 2 = 1 d0=0

(100-1) 2 = 0 d1=1

05010 = 012 = 10 x 2-1

exponente en exceso= -1 + 127 = 12610 = 0111 11102

0 01111110 00000000000000000000000

b) Convertir 37510 a binario y hallar su representacioacuten en IEEE precisioacuten simple 375

(375-3) 2 = 150 d0=3

(150-1) 2 = 100 d1=1

(100-1) 2 = 000 d2=1

37510 = 11112 = 1111 x 21

exponente en exceso= 1 + 127 = 12810 = 1000 00002



Ejercicio

Convierta los siguientes valores decimales en valores binarios

a) 123 _________________

b) 202 _________________

c) 67 _________________

d) 7 _________________

e) 252 _________________

f) 91 _________________

Convierta los siguientes valores binarios en valores decimales

a 1110 _______________________________________________

b 100110_____________________________________________

c 11111111____________________________________________

d 11010011___________________________________________

e 01000001 __________________________________________

f 11001110 ___________________________________________

g 01110101___________________________________________

h 10001111 ___________________________________________

bull Determine el valor binario y decimal del siguiente nuacutemero binario en punto flotante

0 10011000 10000100010100110000000

bull Mencione las partes de un nuacutemero binario en punto flotante

bull iquestCuaacutentos bits tiene en total un nuacutemero binario en punto flotante de precisioacuten sencilla doble y

extendida

Convertir los siguientes nuacutemeros a punto flotante binario

-175610

157510

562510

10 x 10-1

10

575251010

















Resumen Los meacutetodos numeacutericos nos sirven para resolver problemas que no puedan manejarse con los

meacutetodos analiacuteticos tradicionales o no sea sencillo aplicarlos Estos meacutetodos proporcionan una

sucesioacuten de valores que se aproxima a la solucioacuten del problema

Al resolver un problema siempre tendremos presente errores El error de redondeo el error inherente

y el error de truncamiento

El error de redondeo es praacutecticamente inevitable y puede invalidar por completo la solucioacuten de un

problema Puede minimizarse su efecto ya sea reduciendo de alguna manera eacutel numero de caacutelculos

a realizar oacute reformulando la solucioacuten de un problema de tal forma que se evite las operaciones

aritmeacuteticas que ocasionan mas error

La suposicioacuten comuacuten de que trabajamos con nuacutemeros reales al realizar caacutelculos no es cierta Puede



acarrearnos serias discrepancias entre valores teoacutericos y valores calculados

La precisioacuten y la exactitud no son sinoacutenimas Una nos indica que tan confiable es un valor y la otra

que tan cerca estamos de el

1 Error absoluto El error se define como la diferencia entre el valor real Vr y una

aproximacioacuten a este valor Va

e = Vr ndash Va

2 Error relativo El error relativo se define como el cociente del error entre el valor real Vr

(siacute )

119890119903 =119890

119907119903=

119907119903minus119907119886

119907119903

3 Error porcentual El error porcentual es simplemente el error relativo expresado en por

ciento ()

Tambieacuten es usual emplear el valor absoluto en los paraacutemetros anteriores en cuyo caso se denominan

respectivamente error absoluto error relativo absoluto y error porcentual absoluto

4 Errores de redondeo

Los errores de redondeo se originan al realizar los caacutelculos que todo meacutetodo numeacuterico o analiacutetico

requieren y son debidos a la imposibilidad de tomar todas las cifras que resultan de operaciones

aritmeacuteticas como los productos y los cocientes teniendo que retener en cada operacioacuten el nuacutemero de

cifras que permita el instrumento de caacutelculo que se este utilizando Por ejemplo al calcular el valor

de tenemos que quedarnos solo con la mayor cantidad de cifras 3 que maneje nuestro

instrumento de calculo

Existen dos tipos de errores de redondeo

Error de redondeo inferior se desprecian los diacutegitos que no se pueden conservar dentro de la

memoria correspondiente

Error de redondeo superior este caso tiene dos alternativas seguacuten el signo del nuacutemero en

particular

- par nuacutemeros positivos el uacuteltimo diacutegito que se puede conservar en la localizacioacuten de

memoria incrementa en una unidad si el primer diacutegito despreciado es mayor o igual a

5

- para nuacutemeros negativos el uacuteltimo diacutegito que se puede conservar en la localizacioacuten

de la memoria se reduce en una unidad si el primer diacutegito despreciado es mayor o

igual a 5



5 Error numeacuterico total

El error numeacuterico total se entiende como la suma de los errores de redondeo y truncamiento

introducidos en el caacutelculo

Mientras maacutes caacutelculos se tengan que realizar para obtener un resultado el error de redondeo se iraacute

incrementando Pero por otro lado el error de truncamiento se puede minimizar al incluir maacutes

teacuterminos en la ecuacioacuten disminuir el paso o proseguir la iteracioacuten (o sea mayor nuacutemero de caacutelculos

y seguramente mayor error de redondeo)

6 Errores de equivocacioacuten

Son los errores por negligencia o equivocacioacuten Las computadoras pueden dar nuacutemeros erroacuteneos por

su funcionamiento Actualmente las computadoras son muy exactas y el error es atribuido a los

hombres

Se pueden evitar con un buen conocimiento de los principios fundamentales y con la posesioacuten de

meacutetodos y el disentildeo de la solucioacuten del problema

Los errores humanos por negligencia son praacutecticamente inevitables pero se pueden minimizar

7 Cifras Significativas

El concepto de cifras significativas se ha desarrollado para designar formalmente la confiabilidad de

un valor numeacuterico El nuacutemero de cifras significativas es el nuacutemero de diacutegitos que se puede usar con

plena confianza Por ejemplo podemos calcular un nuacutemero irracional con varias cifras pero de ellas

no todas sobre todo las uacuteltimas pueden tomarse con plena confianza de que son correctas Por otro

lado los ceros no siempre son cifras significativas ya que pueden usarse solo para ubicar al punto

decimal Por ejemplo los siguientes nuacutemeros tienen todos 4 cifras significativas 000001985

00001985 0001985 1985 19851 Para asegurar que un cero nos represente una cifra significativa

es comuacuten emplear la notacioacuten cientiacutefica

8 Precisioacuten y exactitud

Los errores asociados con los caacutelculos y mediciones se pueden caracterizar observando su precisioacuten

y exactitud La mayoriacutea de la gente piensa que estos teacuterminos son sinoacutenimos pero no es asiacute La

precisioacuten se refiere al nuacutemero de cifras significativas que representan una cantidad La exactitud se

refiere al grado de aproximacioacuten que se tiene de un nuacutemero o de una medida al valor verdadero que

se supone representa es decir que tan cerca estamos del valor buscado

9 Tipos de redondeo

Al realizar los caacutelculos que todo meacutetodo numeacuterico o analiacutetico requiere debemos de redondear Para

redondear se emplea usualmente

Redondeo truncado

Redondeo simeacutetrico

10 Redondeo truncado

El redondeo truncado consiste en truncar el resultado de una operacioacuten al nuacutemero de cifras

significativas que se esteacuten utilizando Por ejemplo siacute redondeamos a 4 cifras significativas



tenemos 07777

11 Redondeo simeacutetrico

El redondeo simeacutetrico consiste en aumentar en uno la uacuteltima cifra retenida siacute la primera cifra

descartada esta entre 5 y 9 o dejarla igual siacute la primera cifra descartada esta entre 0 y 4 Por ejemplo

siacute redondeamos a 4 cifras significativas tenemos 07778

Por ejemplo En la praacutectica puede no ser asiacute Siacute Realizamos la suma empleando

uacutenicamente 4 cifras significativas y usamos ambos tipos de redondeo Se obtiene

03333+06666=09999 (Redondeo truncado)

03333+06667=1000 (Redondeo simeacutetrico)

USO DE MATLAB EN METODOS NUMERICOS

1 Vectores y Funciones En esta primera Praacutectica aprenderemos a utilizar las oacuterdenes baacutesicas de MATLAB para trabajar con

escalares vectores y matrices evaluar funciones de una y dos variables y representarlas

graacuteficamente En praacutecticas posteriores usaremos habitualmente MATLAB para efectuar los caacutelculos

MATLAB (MATrix LABoratory) es un programa orientado al caacutelculo con matrices al que se

reducen muchos de los algoritmos que resuelven problemas de Matemaacutetica Aplicada e Ingenieriacutea

MATLAB ofrece un entorno interactivo sencillo mediante una ventana (que llamaremos ventana de

comandos) en la que podemos introducir ordenes en modo texto y en la que aparecen los resultados

Los graacuteficos se muestran en ventanas independientes Cada ventana dispone de una barra de menuacutes

que controla su funcionalidad

Aprenderemos a asignar borrar guardar y recuperar variables utilizar las funciones incorporadas y

maacutes adelante a definir funciones nuevas

En MATLAB todas las instrucciones tienen que estar escritas en minuacutesculas de esa forma nos

evitaremos errores de ejecucioacuten

MATLAB opera directamente con nuacutemeros complejos y con nuacutemeros reales como caso

particular

Lo que distingue a MATLAB de otros sistemas de caacutelculo es su facilidad para trabajar con vectores

y matrices Las operaciones ordinarias suma producto potencia operan por defecto sobre matrices

sin maacutes restriccioacuten que la compatibilidad de tamantildeos en cada caso



11 Comandos Baacutesicos 111 Help Dir Pwd

Help nos da una lista de temas sobre los que hay informacioacuten de ayuda

Helpwin abre una ventana de ayuda que es uacutetil para consultar informacioacuten sobre oacuterdenes de

MATLAB sin interferir con la ventana principal help tema explica concisamente el tema elegido y

antildeade informacioacuten sobre temas relacionados

Ejemplo 1

La instruccioacuten clc borra la ventana de comandos esa informacioacuten la obtendraacutes al ejecutar help clc

12 Variables En MATLAB las variables se asignan de modo natural Basta escribir un nombre de variable a

continuacioacuten el signo igual y luego el valor que toma esa variable Para aceptar como siempre hay

que pulsar [Intro] Escribiendo soacutelo el nombre de una variable previamente asignada MATLAB

devuelve su valor

Los signos + minus y ^ denotan las operaciones aritmeacuteticas de suma resta multiplicacioacuten divisioacuten

y elevacioacuten a una potencia (de modo que resultan vaacutelidas para matrices como veremos maacutes

adelante) Si el resultado de una operacioacuten no es asignado a ninguna variable MATLAB lo asigna a

la variable del sistema ans

Al poner punto y coma no se muestra el resultado por pantalla Naturalmente la asignacioacuten de la

variable no resulta afectada

121 Who Whos

La orden who lista las variables definidas y con la orden whos obtenemos ademaacutes el tipo de variable

y su tamantildeo

Ejemplo 3

a = 3 b = 4 a

a + b

c = ans

who

whos

122 Variables especiales format

MATLAB utiliza ciertos nombres de variable para fines especiales como i o j que designan ambas a

la unidad imaginaria (i2 = j2 = ndash1) o pi para el nuacutemero π El nuacutemero e base de los logaritmos

neperianos no estaacute preasignado pero se obtiene faacutecilmente como exp(1)

La precisioacuten relativa en operaciones de coma flotante se llama eps El resultado de 10 en MATLAB

es Inf y el de 00 NaN 10 Infinito



00 Indeterminado

Podemos utilizar estos nombres de variable para almacenar otros valores prevaleciendo nuestra

asignacioacuten sobre el valor por defecto de MATLAB Por ejemplo si no utilizamos nuacutemeros

complejos no hay inconveniente en representar por i y j los iacutendices de fila y columna de una matriz

Igualmente podriacuteamos llamar eps a una cantidad a utilizar como criterio de convergencia pero en

general conviene evitar equiacutevocos empleando otros nombres de variable

Internamente MATLAB trabaja con mucha precisioacuten aunque por defecto muestra los resultados con

cuatro decimales La apariencia de los resultados se modifica por menuacute o con la orden format

format long aumenta el nuacutemero de decimales visibles

format short vuelve al estado inicial format rat aproxima el resultado por un cociente de enteros

pequentildeos Explora otras opciones con help format

piformat long pi

format rat pi

123 Cadenas De Caracteres

Podemos usar tambieacuten cadenas de caracteres para manejar texto en funciones de MATLAB Para

introducir una cadena basta escribir el texto entre comillas

Un texto sin comillas produce error porque MATLAB lo interpreta como un nombre de variable o

funcioacuten El mandato ischar nos dice si una expresioacuten es o no un caraacutecter (responde 1 si es verdadero

y 0 si es falso)

Ejemplo 4

a=Esto es una cadena

b=Esto no

c=3

ischar(a)

ischar(c)

13 Vectores 131 Edicioacuten de Vectores

Los vectores se utilizan entre otras cosas para representar Puntos del plano y del espacio

Puntos de un espacio n-dimensional

Magnitudes fiacutesicas

Filas o columnas de una matriz (recuerda la discusioacuten de sistemas de ecuaciones lineales)

Para introducir un vector en MATLAB escribimos sus componentes entre corchetes Separando las

componentes con comas o espacios obtenemos un vector fila

Separaacutendolas por punto y coma o por [Intro] obtenemos un vector columna

Ejemplo 5



u = [1 2 3] v = [123] Vectores fila

w = [123]

Para calcular la longitud de un vector se utiliza el mandato length ahora bien como MATLAB

trabaja siempre todas las variables como matrices tanto si son matrices como si son escalares como

si son vectores para obtener la dimensioacuten de cualquier variable podemos utilizar la funcioacuten size que

devuelve un vector de dos componentes que son el nuacutemero de filas y el nuacutemero de columnas de la

matriz

Ejemplo 6


w = [123] raquo z=[1

raquo 2

raquo 3] Vectores columna

length(u)

length(w)

[fc]=size(u)

dimension=size(w)

132 Vectores Progresivos

Es muy frecuente tener que editar vectores con componentes equiespaciadas por ejemplo para crear una tabla de valores de una funcioacuten

Con ahb creamos un vector de componentes que van de a hasta b y distan h cada una de la

siguiente

La orden linspace(abn) crea n teacuterminos en progresioacuten aritmeacutetica desde a hasta b

Ejemplo 7

x=0011

y=linspace(0111)

133 Suma y producto por un escalar

La suma de dos vectores del mismo tamantildeo se efectuacutea componente a componente y se obtiene con

MATLAB escribiendo directamente

raquo u + v

La orden sum(u) proporciona la suma de todas las componentes del vector u Para multiplicar un

vector u por un escalar a basta escribir raquo au

En ocasiones hay que multiplicar dos vectores elemento a elemento y eso MATLAB lo hace con la

versioacuten punto del producto uv Producto elemento a elemento

Si intentamos multiplicar por las buenas dos vectores del mismo tamantildeo nos da un



error pues MATLAB aplica el producto matricial y los tamantildeos no son coherentes

El producto matricial requiere que el primer factor tenga tantas columnas como filas tiene el

segundo Por ejemplo podemos multiplicar una fila por una columna del mismo nuacutemero de

elementos o viceversa

raquo uw Fila times Columna = Escalar

raquo wu Columna times Fila = Matriz de rango 1

Finalmente el producto de todas las componentes de un vector se obtiene con la funcioacuten prod

134 Producto escalar y vectorial de dos vectores

El producto escalar de dos vectores de la misma dimensioacuten se efectuacutea con dot y el producto

vectorial de dos vectores de longitud 3 con cross

Ejemplo 8

a = [1 2 3]

b = [4 5 6]

c = dot(ab)

d = cross(ab)

e = prod(a)

f = prod(b)

135 flipud fliplr

La transpuesta (conjugada) de un vector (complejo) v es v su instruccioacuten equivalente es ctranspose

la transpuesta (no conjugada) de un vector (complejo) v es v su instruccioacuten equivalente es

transpose

Mediante fliplr volteamos un vector fila de izquierda a derecha y con flipud ponemos cabeza abajo

un vector columna

Ejemplo 9

z=[1 i 2-i]

v=z

w=z

136 Diferencias sumas y productos acumulados

La instruccioacuten diff aplicada a un vector X=[X(1) X(2) X(n)] realiza la diferencia entre sus

componentes de la siguiente forma [X(2)-X(1) X(3)-X(2) X(n)- X(n-1)]

Las instrucciones cumsum y cumprod efectuan respectivamente las suma y los productos

acumulados de un vector son interesantes para el estudio de sumatorios y productorios finitos

Ejemplo 10

a = 16



b = cumsum(a)

c = cumprod(a)

14 Matrices 141 Edicioacuten de Matrices

Por defecto MATLAB trabaja con matrices Esto supone la ventaja substancial de no tener que

declarar tipos de variable ni tamantildeos de fila o columnas para trabajar tanto con matrices de nuacutemeros

reales o complejos como con vectores o escalares que se consideran casos particulares de matrices

Las matrices se escriben por filas Los elementos de una fila se separan por comas y las distintas

filas por puntos y comas A = [1234]

Lo mismo que con vectores podemos tambieacuten separar los elementos de una fila con espacios y las

filas pulsando la tecla [Intro] raquo B = [-1 -2

-3 -4]

El elemento en la fila i y la columna j de la matriz A se denota por A(ij)

Modifica por ejemplo el elemento 21 de A raquo A(21) = 0

A(i) denota la fila i de la matriz A Anaacutelogamente A(j) es la columna j de A raquo A(2) A(1)

En ocasiones resulta coacutemodo construir una matriz a partir de bloques Con tal de que sus tamantildeos

sean coherentes basta escribir los bloques por filas como si se tratase de elementos individuales raquo M = [ABBA]

Para extraer una submatriz indicaremos las filas y columnas de que se compone raquo M41 = M(1324)

Las filas o columnas no tienen por que ser consecutivas raquo fil = [124] col = [134]

raquo M32 = M(filcol)

142 Matrices usuales

Ya hemos visto coacutemo se escriben las matrices MATLAB tiene varias funciones que facilitan la

edicioacuten de matrices de uso frecuente

eye(n) proporciona la matriz identidad de orden n

zeros(nm) inicializa una matriz m por n con todos los elementos nulos

ones hace lo mismo con elementos de valor 1

rand crea matrices con elementos aleatorios uniformemente distribuidos en el intervalo [01]

Ejemplo 11

M = eye(4)

N = zeros(3)

O = ones(2)

P = rand(32)

143 Operaciones con Matrices



Para sumar dos matrices del mismo tamantildeo se suma cada elemento de una con el elemento

correspondiente de la otra raquo A + B

El producto de matrices se hace multiplicando fila por columna y sumando los resultados

Comprueba que el elemento (11) de la matriz producto AB es raquo A(11)B(11)+A(12)B(21)

Observa que el producto de matrices NO es conmutativo raquo AB - BA

MATLAB interpreta AB como el producto de A por la inversa de B Prueba raquo AB Ainv(B) Ainv(A)

La no conmutatividad del producto justifica que inv(A)B se abrevie a AB

Asimismo la solucioacuten del sistema Ax=b que formalmente es x=Andash1b se obtiene en MATLAB con

Ab Bien entendido que la solucioacuten no se obtiene calculando la inversa

de A sino aplicando meacutetodos numeacutericamente maacutes eficientes (ver help slash )

Para multiplicar dos matrices elemento a elemento en lugar de filas por columnas usamos las

variantes punto de las operaciones correspondientes Comprueba la diferencia entre raquo AB AB A^-1 A^-1

Si A es una matriz real A es la transpuesta de A En el caso complejo A es la transpuesta

conjugada La transpuesta sin conjugar se obtiene con A

15 Funciones MATLAB conoce las funciones matemaacuteticas elementales

Trigonomeacutetricas seno coseno tangente cosecante secante y cotangente

Trigonomeacutetricas inversas arco seno arco coseno arco tangente

Exponencial y logaritmos neperiano decimal y en base 2

Hiperboacutelicas seno hiperboacutelico coseno hiperboacutelico tangente hiperboacutelica

Hiperboacutelicas inversas argumento seno hiperboacutelico coseno tangente

Raiacutez cuadrada parte entera valor absoluto

151 sqrt abs

La funcioacuten sqrt realiza la raiacutez cuadrada de un nuacutemero si este es negativo da como resultado un

complejo

La orden abs calcula el valor absoluto de un nuacutemero si este es complejo devuelve su moacutedulo

Ejemplo 12

sqrt(4)sqrt(-4)

abs(4)abs(-4)abs(3+4i)

152 exploglog10

Los mandatos exp log y log10 realizan respectivamente la exponencial el logaritmo neperiano y el

logaritmo decimal de un nuacutemero

Ejemplo 13

exp(1)



log(ans)

log10(10)

153 sin cos tan atan atan2

Las funciones trigonomeacutetricas tienen el argumento en radianes aparte de estar el nombre en ingleacutes

Ejemplo 14

sin(pi2)

sin(90)

Cuidado en este ejemplo MATLAB daraacute un resultado para ambas ordenes pero solo la

primera es correcta pues su argumento de entrada es correcto ya que el aacutengulo esta en

radianes

La funcioacuten atan devuelve la arcotangente de un nuacutemero sin embargo la funcioacuten atan2 que en este

caso tiene dos argumentos de entrada devuelve la arcotangente teniendo en cuenta el cuadrante

Ejemplo 15

Si intentamos determinar el aacutengulo de un punto (xy) en el plano este viene dado por

arcotangente(yx) teniendo en cuenta el cuadrante para dar la respuesta correcta Los puntos (11) y

(-1-1) se obtendrian con el mismo valor de la arcotangente que si expresamos el resultado en

grados seria

atan(1)180pi ans = 45

luego considerando el cuadrante obtendriamos que los aacutengulos son respectivamente 45

y 225 (o ndash135) grados Ahora bien si utilizamos la instruccioacuten atan2(yx) el resultado se

obtiene directamente

atan2(11)180piatan2(-1-1)180pi ans = 45 ans = -135

154 sinh cosh tanh

Estas oacuterdenes representan a las funciones hiperboacutelicas recuerda que para nuacutemeros reales se definen

como

Ejemplo 16

sinh(1)(exp(1)-exp(-1))2



cosh(1)(exp(1)+exp(-1))2

tanh(1)sinh(1)cosh(1)

Una caracteriacutestica destacable de MATLAB es que evaluacutea una funcioacuten sobre todas

las componentes de un vector simultaacuteneamente lo cual es muy praacutectico

Ejemplo 17

x = -10011

y = tanh(x)

plot(xy)

Aparte de estas funciones MATLAB tiene definidas otras tantas menos conocidas

pero no menos uacutetiles tanto funciones elementales que puedes consultar su sintaxis

con help elfun Y otras funciones especiales disponibles con help specfun

16 Graacuteficas 161 Tipos de liacutenea colores y marcadores

En la siguiente tabla se muestran los tipos de color marcadores y tipos de liacutenea que admite la

instruccioacuten graacutefica plot Asiacute como el coacutedigo que los genera en el graacutefico

Ejemplo 18

x = -10011

y = sin(x)

plot(xym)



17 Ficheros de funcioacuten 171 Funcioacuten y=f(x)

La programacioacuten en MATLAB de efectuacutea mediante ficherosm Son simplemente ficheros de texto

que contienen oacuterdenes de MATLAB Su utilizacioacuten requiere Editar el fichero con el editor de MATLAB o con un editor ASCII

Guardarlo con extensioacuten m

Indicar a MATLAB doacutende estaacute el archivo con path(pathdireccioacuten)

Ejecutarlo escribiendo en la liacutenea de oacuterdenes el nombre de fichero y los paraacutemetros de entrada necesarios

Como ejemplo creamos un fichero para evaluar la llamada funcioacuten de Runge que utilizaremos maacutes

adelante en la teoriacutea de interpolaciones

Debemos escribir en el editor

function y=runge(x)

Funcioacuten de Runge

y=1(1+25x^2)

Despueacutes de grabarlo con el nombre rungem e indicar el path a Matlab podremos ejecutar llamadas

a la funcioacuten

Noacutetese que se han utilizado las operaciones con el punto delante esto es por si la entrada es un

vector o matriz efectuaraacute las operaciones indicadas para cada uno de los elementos

A su vez hay que fijarse que el nombre asignado a la funcioacuten es el mismo que el del archivo

que se graba en el disco tambieacuten es aconsejable que este no contenga signos ni acentos y si es

posible no supere 8 caracteres

Ejemplo 19

runge(0)

runge([-1 0 1])

El fichero rungem es un archivo de funcioacuten al incluir la palabra clave function A continuacioacuten es

obligatorio poner el nombre de funcioacuten

Notar que las primeras liacuteneas de comentario que escribimos inmediatamente despueacutes del

nombre de la funcioacuten son las que se obtienen con el help de matlab

help runge



El nombre de funcioacuten suele ir precedido de los argumentos de salida entre corchetes y seguido de

los nombres de los argumentos de entrada entre pareacutentesis Entre estos y el nombre de funcioacuten

aparece el signo igual

Consideremos la funcioacuten que da las coordenadas cartesianas de un punto a partir de su radio vector

y su aacutengulo respecto al eje OX

Que llamaremos por ejemplo cartpol en referencia al paso de polares a cartesianas la definiriacuteamos

de la siguiente forma

function [xy]=cartpol(rz)

Entradas rradio vector

y z aacutengulo respecto al eje OX

Salidas xy coordenadas cartesinas

x=rcos(z)

y=rsin(z)

Ejemplo 20

ro=ones(13)

zeta=[pi2 pi 3pi2]

[xy]=cartpol(rozeta)

help cartpol



TEOREMA DE ROLLE

Si una func i oacuten es

Cont inua en [a b ]

Der ivable en (a b )



Y s i f (a) = f(b)

Entonces ex i s t e a l guacuten punto c (a b ) en e l que f (c ) = 0

La in terpretacioacuten graacute f ica de l teorema de Rol le nos d i ce que hay un punto en

e l que l a t angente es paral e l a a l e j e de absc i sas

Ejemplos

1 Es tud i a r s i se ve r i f i ca e l teorema de Rol le en e l i n t e rval o [ 0 3] de l a func i oacuten

En p r imer l ugar comprobamos que l a func i oacuten es cont i nua en x = 1

En segundo l ugar comprobamos s i l a func i oacuten es de r i vabl e en x = 1



Como l as de r i vadas l a te ra l es no co i nc iden l a func i oacuten no es de r i vabl e en e l i n t e rva l o ( 0

3) y por t anto no se cump l e e l t eorema de Ro l l e

2iquestEs ap l i cabl e e l t eorema de Rol l e a l a func i oacuten f (x ) = l n (5 minus x 2 ) en e l i nt e rva l o [minus 2

2]

En p r imer l ugar ca l cul amos e l domi ni o de l a func i oacuten

La func i oacuten es cont i nua en e l i n t e rva l o [minus2 2] y de r i vabl e en (minus2 2) porque l os

i n t e rval os estaacuten conten i dos en

Ademaacutes se cump le que f (minus 2) = f (2) por t anto es ap l i cabl e e l teorema de Rol l e

3Comprobar que l a ecuac i oacuten x 7 + 3x + 3 = 0 t i ene una uacuten i ca so l uc i oacuten real

La func i oacuten f (x ) = x 7 + 3x + 3 es cont i nua y de r i vabl e en middot

Teorema de Bolzano

f (minus1 ) = minus1

f (0) = 3



Por t anto l a ecua c i oacuten t i ene a l menos una so l uc i oacuten en e l i n t e rval o (minus 1 0)

Teorema de Rol le

f (x ) = 7x 6 + 3

Como l a de r i vada no se anu l a en n i nguacuten va l o r es taacute en cont rad i c c i oacuten con e l teorema de

Rol le por t anto soacute l o t i ene una ra iacute z rea l

Ejemplo Matlab syms x t w declaracion de un objeto simbolico v = [] variable auxiliar ------------------------------- Ejemplo 1 ------------------------------- y_1 = 4x^3-9x funcion dada disp(--------------------------- Ejemplo 1 ---------------------------) disp(y_1(x) = ) pretty(y_1) disp(|) disp( Teorema de Rolle) En este problema la cota inferior es -15 y la superior es 15 a_1 = input(cota inferior ) captura una entrada en la ventana de b_1 = input(cota superior ) comandos disp() disp(Verificando las hipotesis del teorema de Rolle) disp(i) derivada de la funcion y_1(x) = ) der_1 = diff(y_1x) derivada de una funcion pretty(der_1) y1 = sym2poly(y_1) pasa los coeficientes de una funcion polinomial a un vector disp(ii) raices (cruces por el eje x) de la funcion y_1(x) = ) r_1 = roots(y1) devuelve las raices de una funcion polinomial v = [a_1 b_1] las cotas de entrada se guardan en un vector ciclo for para evaluar las 2 raices for n = 12 y_11(n) = 4v(n)^3-9v(n) funcion dada igual que la simbolica end se utilizara como auxiliar para evaluar la funcion en la cota inferior y superior condicional if para tomar la decision si se cumple o no la condicion iii) if(y_11(1) ~= 0) disp(no se cumple la condicion iii f(a) = f(b) = 0 ) break else disp(se cumple la condicion iii) f(a) = f(b) = 0 ) end encontrando el numero c que satisface la hipotesis del teorema d1 = sym2poly(der_1) captura los coeficientes de la derivada disp(raices que satistacen Dx(y(x)) = 0) r_2 = roots(d1) w = r_2 variable auxiliar para evaluar la funcion en sus puntos criticos



for n = 1 2 y_12(n) = 4w(n)^3-9w(n) funcion original evaluada en los puntos criticos end figure(NameEjemplo 1) ezplot(y_1[a_1 b_1]) hold on grid axis([-15 15 -8 8]) for n = 12 y_t(n) = y_12(n) variable auxiliar y_t1(n) = poly2sym(y_t(n)) los elementos de un vector los pasa a una funcion polinomial simbolica ezplot(y_t1(n)) end title(y_1 = 4x^3-9x) disp(-----------------------)

TEOREMA DEL VALOR MEDIO O TEOREMA DE LAGRANGE Si f es una funcioacuten en la que se cumple que

f es continua en el intervalo cerrado [a b]

f es diferenciable en el intervalo abierto (a b)

Entonces existe un nuacutemero c que pertenece a (a b) tal que

A continuacioacuten se observa una ilustracioacuten de la interpretacioacuten geomeacutetrica del Teorema del Valor

medio El teorema afirma que si la funcioacuten es continua en [ab] y diferenciable en (ab) existe un

punto C en la curva entre A y B donde la recta tangente es paralela a la recta que pasa por A y B

Asiacute se obtiene






Asiacute se obtiene

EL TEOREMA DE TAYLOR

INTRODUCCION

Sabemos que la recta tangente como la mejor aproximacioacuten lineal a la graacutefica de f en las cercaniacuteas

del punto de tangencia (xo f(xo)) es aquella recta que pasa por el mencionado punto y tiene la

misma pendiente que la curva en ese punto (primera derivada en el punto) lo que hace que la recta

tangente y la curva sean praacutecticamente indistinguibles en las cercaniacuteas del punto de tangencia

Graacuteficamente podemos observar que la curva se pega suavemente a la recta en este entorno de tal

manera que de todas las rectas que pasan por el punto es esta recta la que maacutes se parece a la

curva cerca del punto



Noacutetese que cerca del punto de tangencia la curva se comporta casi linealmente como se puede

apreciar si hacemos acercamientos a la graacutefica anterior

Como observamos en los problemas de diferencial si x se encuentra lejos de xo la recta tangente

ya no funciona como aproximador Parece pues natural preguntarnos por otra funcioacuten (no lineal) que

sirva a nuestros propoacutesitos La recta tangente es un polinomio de grado 1 el maacutes sencillo tipo de

funcioacuten que podemos encontrar por lo que podemos tratar de ver si es posible encontrar un

polinomio de grado dos que nos sirva para aproximar nuestra funcioacuten en un rango maacutes grande que la

recta tangente

Veamos que sucede si en lugar de aproximarnos con una recta tratamos de hacerlo con una paraacutebola

es decir tratemos de encontrar de todas las paraacutebolas que pasan por (xo f(xo)) la que mejor

aproxima a la curva es decir tratemos de encontrar la paraacutebola tangente Noacutetese que la paraacutebola

tangente a una curva no es uacutenica



Naturalmente a esta paraacutebola P(x) = a + b(x- xo) + c(x- xo)2 debemos pedirle que pase por el punto

que tenga la misma inclinacioacuten (primera derivada) y la misma concavidad que la paraacutebola (segunda

derivada) es decir debemos pedirle

a) P(xo) = f (xo)

b) P (xo) = f (xo)

c) P (xo) = f (xo)

Como P(xo ) = a P(x) = b y P(x) = 2c concluimos que

a = f (xo) b = f (xo) y c = (12)f (xo)

quedando la ecuacioacuten de la paraacutebola que mejor aproxima a la curva en las cercaniacuteas de (xof(xo))

como

En la figura de abajo observamos graacuteficamente los tres sumandos de la expresioacuten de la paraacutebola

tangente Los dos primeros nos dan la altura sobre la recta tangente y antildeadieacutendole el tercero nos da

la altura sobre la paraacutebola tangente



Verifiquemos lo anterior en el caso particular de la funcioacuten xo = 0 y valores de x cercanos a 0

En la tabla de abajo observamos que la paraacutebola tangente a la graacutefica de f en (01) efectivamente es

una mejor aproximacioacuten para f que la recta tangente para valores cercanos a 0

x 1+x

1 2 25 2718281828

05 15 1625 16487212707

03 13 1345 134985880757

01 11 1105 110517091807

001 101 101005 1010050167

0001 1001 10010005 100100050016



LOS COEFICIENTES DE UN POLINOMIO EN TERMINOS DE SUS DERIVADAS

Un polinomio de grado n estaacute completamente determinado por sus (n+1) coeficientes

P(x) = ao + a1 (x- xo) + a2 (x- xo)2 + + an (x- xo)

n

En lo sucesivo expresaremos al polinomio en potencias de (x - xo) y encontraremos sus coeficientes

en teacuterminos de las derivadas evaluadas en xo

P (x) = a1 +2 a2 (x- xo) + 3a3 (x- xo)2 + 4a4 (x-xo )

3 + + nan (x- xo)

n-1

P(2)

(x) = 2 a2 + (2)(3)a3 (x- xo ) + (3)(4)a4 (x-xo )2 + + n(n-1)an (x- xo)

n-2

P(3)

(x) = (2)(3)a3 + (2)(3)(4)a4 (x-xo ) + + n(n-1)(n-2)an (x- xo)n-3

P(n)

(x) = (1)(2)(n) an = n an

De donde evaluando cada una de estas derivadas en xo obtenemos los coeficientes del polinomio

ao = P(xo) a1 = P (xo)

y en consecuencia la expresioacuten del polinomio seraacute

( I )

Observacioacuten En base a lo anterior podemos afirmar que dado un polinomio cualquiera

podemos expresarlo en potencias de (x-x0) para cualquier xo Asimismo si conocemos las

derivadas en un punto xo podemos encontrar el polinomio como se veraacute en los siguientes

ejemplos

Ejemplo 1 Encuentre el polinomio de grado 4 que satisface

P(2) = 3 P (2) = 5 P (2)

(2) = 4 P (3)

(2) =24 y P (4)

(2) =48

Solucioacuten Para encontrar la expresioacuten del polinomio en teacuterminos de (x-2) simplemente sustituimos

xo = 2 y n = 4 en la expresioacuten ( I ) obteniendo



y por lo tanto el polinomio buscado es

P(x) = 3 + 5(x-2) + 2(x-2)2 + 4(x - 2)

3 + 2(x - 2)

4

Ejemplo 2 Exprese al polinomio P(x) = 7x3 + x

2 + 8 en potencias de (x - 1)

Solucioacuten Evaluemos al polinomio y a sus 3 primeras derivadas en xo = 1

P(x) = 7x3 + x

2 +8 P(1) = 16

P (x) = 21x2 + 2x P (1) = 23

P (2)

(x) = 42x + 2 P (2)

(1) = 44

P (3)

(x) = 42 P (3)

(1) = 42

Sustituimos en ( I ) con xo =1 y n = 3 obteniendo la expresioacuten busacada

P(x) =16 + 23(x - 1) + (442)(x - 1)2 + (426)(x - 1)

3

Es decir

P(x) =16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)2 + 7(x - 1)

3

Que puede comprobarse faacutecilmente efectuando las operaciones para concluir que

7x3 + x

2 +8 = 16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)

2 + 7(x - 1)

3

Volviendo a la representacioacuten (I) si f no es un polinomio obviamente no podraacute representarse de la

misma manera sin embargo en vista de que para la recta tangente que es un polinomio de grado 1

se cumple que para x cercano a xo

y graacuteficamente observamos que para x cercano a xo la funcioacuten es muy parecida a su paraacutebola

tangente es decir



surge de manera natural preguntarnos si para valores cercanos a xo se cumpliraacute

y podriacuteamos intentar verlo en algunos casos particulares Al polinomio

le llamaremos el POLINOMIO DE TAYLOR de grado n para f en el punto xo

En estos teacuterminos la recta tangente y la paraacutebola tangente vienen siendo los polinomios de Taylor

para f de grados 1 y 2 respectivamente

En la siguiente tabla compararemos a la funcioacuten exponencial (uacuteltima columna) con los

polinomios de Taylor correspondientes de grados 1 hasta 4 Obseacutervese que la segunda columna

corresponde a la recta tangente y la tercera columna a la paraacutebola tangente

x 1+x

1 2 25 2666666 27083333 2718281828

05 15 1625 1645833 16484375 16487212707

03 13 1345 13495 13498375 134985880757

01 11 1105 110516667 110517083 110517091807

001 101 101005 101005017 101005017 1010050167

0001 1001 10010005 100100050000 100100050017 100100050016

Si analizamos con detenimiento la informacioacuten proporcionada por esta tabla veremos lo siguiente

1 En cada columna vemos que la aproximacioacuten del correspondiente polinomio de Taylor es mejor

cuanto maacutes cercano se encuentre x a 0

2 En cada rengloacuten vemos que para cada valor fijo de x no importa si estaacute cerca o no de 0 la

aproximacioacuten va mejorando conforme aumentamos el grado del polinomio de Taylor

Una representacioacuten graacutefica de esta situacioacuten se muestra a continuacioacuten para los polinomios de

Taylor de grado 12 y 3



Vea la siguiente animacioacuten en la cual se representan sucesivamente los primeros 10 polinomios

de Taylor aproximaacutendose cada vez maacutes a las funciones

f(x) = exp(x)

f(x) = sen(x)

f(x) = cos(x)

El Teorema de Taylor que a continuacioacuten enunciaremos sin demostracioacuten nos dice que bajo ciertas

condiciones una funcioacuten puede ser expresarse como un polinomio de Taylor mas un cierto error es

decir

f(x) = Pn(x) + En

y ademaacutes nos diraacute como estimar este error

TEOREMA DE TAYLOR Sea f continua en [a b] y con derivadas hasta de orden n continuas

tambieacuten en este intervalo cerrado supoacutengase que f (n+1)

(x) existe en (ab) entonces para x y

xo (ab) se tiene

donde En = y c es un punto que se encuentra entre x y xo

Observacioacuten El Teorema del valor medio es un caso particular del Teorema de Taylor ya que

para n = 0 en eacuteste uacuteltimo tenemos



con E0 = para c entre x y xo es decir

f(x) = f(xo) + f (c) (x - xo) con c entre x y xo o bien la conocida expresioacuten para el Teorema del Valor

Medio

LA FORMULA DE TAYLOR Y DE MAC LAURIN

A la Expresioacuten

le llamaremos FORMULA DE TAYLOR DE f EN xo y en en el caso particular de x0 = 0

le llamaremos FORMULA DE MAC LAURIN DE f

Ejemplo 3 Encuentre la foacutermula de Mac Laurin para las siguientes funciones

a) f(x) = senx

b) f(x) = cosx

c) f(x) = ex

Solucioacuten Encontremos primero la foacutermula de Mac Laurin para f(x) = senx

f(x) = senx f(0) = 0

f (x) = cos(x) f (0) = 1

f (2)

(x) = -senx f (2)

(0) = 0

f (3)

(x) = -cos(x) f (3)

(0) = -1



f (4)

(x) = sen(x) f (4)

(0) = 0

f (5)

(x) = cos(x) f (5)

(0) = 1

En general observamos que las derivadas de orden par evaluados en cero se anulan y las impares

valen alternadamente 1 y -1

En consecuencia la Foacutermula de mac Laurin para f(x) = sen x es

que expresada en notacioacuten sumatoria nos queda como

Anaacutelogamente podemos encontrar que

o bien

0 bien



CALCULO DE APROXIMACIONES Y ESTIMACION DEL ERROR

A continuacioacuten veremos algunos ejemplos para aproximar una funcioacuten utilizando la foacutermula de

Taylor con residuo

Ejemplo 4 Encuentre un valor aproximado para sen(35ordm) utilizando un polinomio de Taylor de

grado 3 y estime el error

Solucioacuten Al igual que cuando utilizamos la recta tangente para efectuar aproximaciones queremos

aproximar a la funcioacuten sen(x) en el valor de 35ordm para lo cual debemos conocer a f y sus derivadas en

un punto xo cercano a eacuteste el cual es

xo = 6 (30ordm expresados en radianes) es decir

a) f(x) = sen(x)

b) xo = 6 30ordm en radianes

f (x) = sen(x) f( 6) = 05

f (x) = cos(x) f ( 6) = 08660254

f (x) = -sen(x) f ( 6) = -05

f (3)

(x) = -cos(x) f ( 6) = -08660254

f (4)

(x) = sen(x)

En este caso particular la foacutermula de Taylor nos quedariacutea

Que sustituyendo nos da la foacutermula de Taylor de f(x) = sen(x) en xo = 6

Esta expresioacuten nos serviraacute para estimar valores de sen(x) para x cercanos a 6

En particular para x = 6 +



sen(35ordm) = 05 + 00755749 - 0001903858 - 0000095922 + E3

sen(35ordm) = 057357512 + E3

En la expresioacuten para el error al aproximar con un polinomio de grado 3

E3 = = (000000241)sen(c)

El error siempre lo obtendremos en teacuterminos de un valor c entre x y xo sin embargo como esta

indeterminada c aparece en sen(c) la cual se encuentra acotada entre -1 y 1 es decir

entonces podremos tener una cota para el error es decir

y en consecuencia la aproximacioacuten se obtuvo con un error que no excede de 000000241

Observacioacuten En general si la (n+1) derivada de f estaacute acotada por una constante M en el

intervalo (ab) que se menciona en el Teorema de Taylor es decir si

para x en el intervalo (ab)

entonces

Asiacute pues si al aproximar por un polinomio de grado n la siguiente derivada estaacute acotada por Mgt0

entonces podemos estimar de la siguiente manera el error

Claramente vemos que si | x - xo | 1 cuando n crece indefinidamente el numerador de la fraccioacuten anterior se acerca a cero y el denominador tiende a infinito por lo que la fraccioacuten tenderaacute a cero es



decir En 0 cuando n Con un poco maacutes de anaacutelisis podemos ver que en general

para todo valor real de k

por lo que si | x - xo | gt 1 tambieacuten se cumpliraacute que En 0 cuando n Puede observarse en

casos particulares que si x estaacute alejada de xo para lograr una aproximacioacuten prefijada muy pequentildea

debemos tomar un polinomio de Taylor con grado muy grande

Ejemplo 5 Encuentre un valor aproximado para utilizando un polinomio de grado dos y

estime el error

Solucioacuten Los datos a considerar en la foacutermula de taylor son

a) f(x) =

b) xo = 27

f(27) = 3

La foacutermula de Taylor es este caso nos queda

y al sustituir x =28 obtenemos

= 3036579789




E2 =

El error siempre lo obtendremos en teacuterminos de un valor c entre 27 y 28 sin embargo como esta

indeterminada c aparece en la fraccioacuten de la derecha el error seraacute lo maacutes grande posible cuando el

denominador sea lo maacutes pequentildeo posible lograacutendose esto en c = 27 es decir


Ejemplo 6 Encuentre un valor aproximado para utilizando un polinomio de Taylor de grado 3 y

estime el error

Solucioacuten Obseacutervese que = e05

es decir se nos pide evaluar a la funcioacuten exponencial en 05 el

cual es un valor cercano a x0 = 0 punto en que conocemos a la funcioacuten exponencial y a sus

derivadas

Asiacute pues encontremos la foacutermula de Taylor

para f(x) = ex en xo = 0 y posteriormente evaluaremos en x = 05

Como la funcioacuten exponencial y todas sus derivadas son iguales f (n)

(0) = 1 la foacutermula nos queda

evaluando en x = 05 tenemos

e05

= 164583333 + E3



E3 =

Como f (4)

(x) = ex para x [0 1] es decir la derivada estaacute acotada por 3 y en consecuencia

= 00078125

En base a todo lo anterior podemos afirmar que

1645833333 con un error que no excede de 8 mileacutesimas

Observacioacuten Noacutetese que la estimacioacuten del error puede hacerse independientemente del caacutelculo

de la aproximacioacuten es decir antes de calcular eacutesta podemos preguntarnos por el grado del

polinomio de Taylor que nos deacute la precisioacuten deseada

Ejemplo 7 iquestDe que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para encontrar una aproximacioacuten a

con un error que no exceda de una diezmileacutesima

Solucioacuten En referencia al ejemplo anterior el error que se comete al utilizar un polinomoio de

Taylor de grado n es

En =

De nuevo la (n+1)-eacutesima derivada estaacute acotada por 3 obteniendo

Para n = 4 = 000078 es decir el error no excede de 7 diezmileacutesimas

Para n = 5 = 0000065 es decir el error no excede de 6 cienmileacutesimas

Por lo tanto debe tomarse un polinomio de grado 5



La foacutermula de Taylor para f(x) = ex en xo = 0 para n = 5 es

y evaluando en x = 05 obtenemos

= 1648697917

Ejemplo 8 iquestDe que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para encontrar una aproximacioacuten

al nuacutemero e de Euler con un error que no exceda de una milloneacutesima

Solucioacuten Noacutetese que tomaremos f(x) = ex con xo = 0 y x = 1 y aunque 1 esteacute alejado del 0 como

las derivadas estaacuten acotadas podemos encontrar la aproximacioacuten con el grado de precisioacuten que se

desee con tal de tomar un polinomio de Taylor de grado suficientemente grande

Veamos pues de que grado tendremos que tomar el polinomio

El error que se comete al utilizar un polinomio de Taylor de grado n es

En =


Para n = 5 = 00039 es decir el error no excede de 3 mileacutesimas

Para n = 8 = 0000008 es decir el error no excede de 8 milloneacutesimas

Para n = 9 = 00000008 es decir el error no excede de 8 diezmilloneacutesimas





expresado en notacioacuten sumatoria


= 2718281526

CRITERIO DE MAXIMOS Y MINIMOS UTILIZANDO DERIVADAS DE ORDEN

SUPERIOR

El criterio de la segunda derivada para encontrar valores extremos para una funcioacuten de una variable

funciona cuando para un punto criacutetico xo la segunda derivada evaluada en xo es diferente de cero

siendo un valor maacuteximo si f (xo) lt 0 y un valor miacutenimo si f (xo) gt 0

Sin embargo hay funciones con valores extremos en un punto criacutetico xo en las que tambieacuten se anula

la segunda derivada como se muestra en el siguiente sencillo ejemplo

Ejemplo 9 Utilice el criterio de la segunda derivada para encontrar los valores extremos de la

funcioacuten f(x) = x4

Solucioacuten Los puntos criacuteticos satisfacen f (x) = 4x3 = 0

Lo cual se satisface uacutenicamente para xo = 0

Como f (x) = 12x2 entonces f (0) = 0 fallando el criterio de la segunda derivada Si utilizamos el

criterio de la primera derivada vemos faacutecilmente que esta funcioacuten tiene un valor miacutenimo en xo = 0

A continuacioacuten demostraremos utilizando el Teorema de Taylor un criterio para detectar valores

extremos relativos cuando el de la segunda derivada falla

Teorema Sea con n derivadas continuas en un intervalo (ab) que contiene a xo y

supoacutengase que f (xo) = 0 f (xo) =0 f (3)

(xo) = 0 f (n-1)

(xo) = 0 y f (n)

(xo) 0 entonces si n

es par

1 Si n es par



a) f (n)

(xo) lt 0 f toma un maacuteximo relativo en xo

b) f (n)

(xo) gt 0 f toma un miacutenimo relativo en xo

2 Si n es impar la funcioacuten no alcanza un valor extremo en xo

Demostracioacuten 1 Supongamos primero que n es par

Como f (n)

(x) es continua en un intervalo (a b) que contiene a xo y f (n)

(xo) lt 0 podemos encontrar

un subintervalo

(xo - xo + ) (a b) de tal manera f (n)

(x) sea negativa en este subintervalo Graacuteficamente lo vemos en la siguiente ilustracioacuten para la funcioacuten f

(n)

Consideremos x en el intervalo (xo - xo + ) por el Teorema de Taylor

con En = y c entre x y xo

como las primeras (n-1) derivadas se anulan en xo se tiene

f (n)

(c) lt 0 por estar c entre x y xo y a su vez estos puntos en el intervalo (xo - xo + ) donde la n-

eacutesima derivada es negativa

Al ser f (n)

(c) lt 0 y n par la expresioacuten (x - xo)n lt 0 y por lo tanto y en

consecuencia f(x) lt f(xo) para toda x en el intervalo (xo - xo + ) lo cual significa que f(xo) es el mayor de los valores de f en dicho intervalo es decir f alcanza un maacuteximo relativo en xo



La demostracioacuten de b) y 2) se dejan como ejercicio

Ejemplo 10 Encuentre los valores extremos de f(x) = x4 + 4x

3 + 6x

2 +4x

Solucioacuten Encontremos primero los puntos criacuteticos

f (x) = 4x3 + 12x

2 + 12x +4 = 0

f (x) = 4(x3 + 3x

2 + 3x + 1) = 4(x + 1)

3 = 0 x = -1

Por lo tanto el uacutenico punto criacutetico es xo = -1

Tratemos ahora de determinar su naturaleza

f (x) = 12x2 + 24x + 12 f (-1) = 0

f (3)

(x) = 24x + 24 f (3)

(-1) = 0

f (4)

(x) = 24 f (4)

(-1) = 24

Como la primera derivada diferente de cero en -1 es la de grado 4 y 4 es par el signo positivo de

esta cuarta derivada nos dice que f alcanza un miacutenimo en xo = -1

Comandos de Matlab

taylor taylor(fn+1a) Calcula el polinomio de Taylor de la funcioacuten f en el punto a de grado n Ejemplo syms x f=xsin(x+1) taylor(f50) Devuelve el polinomio de Taylor de f en el punto 0 de grado 4

Herramienta taylortool En esta praacutectica utilizaremos una herramienta de Matlab que permite obtener el polinomio de Taylor de una funcioacuten y su representacioacuten graacutefica junto con la funcioacuten Ejecuta en la ventana de comandos la orden



gtgt taylortool Se abriraacute una ventana (ver figura) en la que puedes introducir la funcioacuten el grado del polinomio y el intervalo en el que quieres representar la funcioacuten y el correspondiente polinomio

EJERCICIOS

I En cada caso encuentre los polinomios de Taylor de grado uno grado dos grado tres y

grado cuatro en el punto xo que se indica escriacutebalos en la tabla como P1(x) P2(x) P3(x) y

P4(x) y complete la tabla evaluando en los puntos que se indican en la columna de la

izquierda

P1(x) P2(x) P3(x) P4(x)

xo + 11



xo + 09

xo + 03

xo + 01

xo + 001

xo + 0001

xo - 11

xo - 09

xo - 03

xo - 01

xo - 001

xo - 0001

1) en xo = 0

2) en xo = 0

3) en xo = 6

4) f(x) = tanx en xo = 3

5) f(x) = lnx en xo = 1

6) f(x) = arctanx en xo = 1

II Exprese en cada caso al polinomio dado en las potencias x - xo que se indican

1) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x - 2


3) P(x) = 3x4 + 2x + 5 en potencias de x + 1

4) P(x) = 4 - x2 +6x

3 en potencias de x + 1

5) P(x) = 2 + (x - 3)2 -x




6) P(x) = x4 en potencias de x - 1

III Encuentre en cada caso un polinomio que satisface

1) P(0) = 7 P (0) = 3 P (2)

(0) = 8 P (3)

(0) =54

2) P(1) = 1 P (1) = 5 P (2)

(1) = 32 P (3)

(1) =42

3) P(-2) = 2 P (-2) = 4 P (2)

(-2) = 8 P (3)

(-2) =66

IV Encuentre en cada caso la aproximacioacuten que se pide utilizando el teorema de Taylor y

estime el error

1) polinomio de grado 2



4) sen 6ordm polinomio de grado 3


6) arctan(13) polinomio de grado 3

7) ln (1015 ) polinomio de grado 3


9) cos (65ordm) polinomio de grado 4

10) tan ( 44ordm ) polinomio de grado 2

V Diga en cada caso de que grado hay que tomar el polinomio de Taylor para obtener la

aproximacioacuten deseada y obteacutengala

a) cos (32ordm ) con un error menor que 000001

b) sen (700 ) con un error menor que 00001

c) sen (47ordm ) con un error menor que 000001



d) con un error menor que 00001

e) con un error menor que 00001

f) con un error menor que 000001

g) e con un error menor que 0000000001

h) ln(19) con un error menor que 000001

VI

Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (x) = 0 para toda x real entonces f(x) es una funcioacuten constante

Utilizando el Teorema de Taylor demuestre que si f (2)

(x) = c (constante) para toda x real

entonces f(x) es un polinomio

METODO DE BISECCION

En matemaacuteticas el meacutetodo de biseccioacuten es un algoritmo de buacutesqueda de raiacuteces que trabaja

dividiendo el intervalo a la mitad y seleccionando el subintervalo que tiene la raiacutez

Este es uno de los meacutetodos maacutes sencillos y de faacutecil intuicioacuten para resolver ecuaciones en una variable Se basa en el teorema del valor intermedio (TVI) el cual establece que toda funcioacuten continua f en un intervalo cerrado ab+ toma todos los valores que se hallan entre f(a) y f(b) Esto es que todo valor entre f(a) y f(b) es la imagen de al menos un valor en el intervalo ab+ En caso de que f(a) y f(b) tengan signos opuestos el valor cero seriacutea un valor intermedio entre f(a) y f(b) por lo que con certeza existe un p en ab+ que cumple f(p)=0 De esta forma se asegura la existencia de al menos una solucioacuten de la ecuacioacuten f(a)=0

EJEMPLO HALLAR UNA RAIZ POSITIVA PARA



f(x) = frac12 xsup2 ndash 1

1 Escoger a y b tal que f(a)f(b)lt0 a = 1 b = 2 Error aprox 05

f(a) = frac12(1)sup2-1 f(b) = frac12(2)sup2-1

f(a) = -05 f(b) = 1

F(a)f(b) = -05 si cumple la primera condicioacuten

2 Hacemos r = a+b2 r = 15

3 Determinar el subintervalo en el que esta R

bull Si f(a)f(r) lt0 r = b

bull Si f(a)f(r) gt0 r = a

bull Si f(a)f(r) =0 r = R

4 Iteramos hasta el error aproximado de 05

Primera iteracioacuten f(1)f(15) = (-05)(0125) lt0 r=b

Segunda iteracioacuten f(1)f(125) = (-05)(-0218) gt0 r=a Ea=ractual ndashranteriorractual

Tercera iteracioacuten f(125)f(1375) = (-0218)(-005) gt0 r=a

Cuarta iteracioacuten f(1375)(14375) = (-005)(003) lt0 r=b

Quinta iteracioacuten f(1375)(14063) = (-005)(-0011) gt0 r=a

Sexta iteracioacuten f(14063)(14219) = (-0011)(001) lt0 r=b

Seacuteptima iteracioacuten f(14063)(14141) = (-0011)(-000016) gt0 r=a

EJEMPLO MATLAB METODO BISECCIOacuteN

disp( METODO DE LA BISECCION ) disp( ---------------------- ) f=input(INGRESE FUNCION s) xai=input(INGRESE LIMITE INFERIOR DEL INTERVALO a ) xbi=input(INGRESE LIMITE SUPERIOR DEL INTERVALO b ) tol=input(INGRESE PORCENTAJE DE ERROR ) f=inline(f) i=1



ea(1)=100 if f(xai)f(xbi) lt 0 xa(1)=xai xb(1)=xbi xr(1)=(xa(1)+xb(1))2 fprintf(It xa xr xb Error aprox n) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f nixa(i)xr(i)xb(i)) while abs(ea(i)) gt= tol if f(xa(i))f(xr(i))lt 0 xa(i+1)=xa(i) xb(i+1)=xr(i) end if f(xa(i))f(xr(i))gt 0 xa(i+1)=xr(i) xb(i+1)=xb(i) end xr(i+1)=(xa(i+1)+xb(i+1))2 ea(i+1)=abs((xr(i+1)-xr(i))(xr(i+1))100) fprintf(2d t 117f t 117f t 117f t 73f n i+1xa(i+1)xr(i+1)xb(i+1)ea(i+1)) i=i+1 end else fprintf(No existe una raz en ese intervalo) end ezplot(f)graficamos la funcion grid on

Resultado de su ejecucioacuten

Desde el pront de comandos se invoca el archivo

Grafica



Otro ejemplo de biseccioacuten Metodo de Biseccion - Metodos Numericos Matlab clc Fx=input(Ingrese la funcion s) a=input(Ingrese a ) c=input(Ingrese c ) e=input(Ingrese el error ) x=a Fa=eval(Fx) x=c Fc=eval(Fx) fprintf(n 6s 7s 8s 10s 8s 8s 8s n

ABCF(a)F(b)F(c)|c-a|) while abs(c-a)gte b=(a+c)2 x=b Fb=eval(Fx) fprintf(n 84f 84f 84f 84f 84f 84f 84f

nabcFaFbFcabs(c-a))

FaFblt=0 c=b

end

Cibergrafia httpwwwyoutubecomwatchv=6gwJmj3RjAoampfeature=related httpwwwyoutubecomwatchv=VDM9c6uU46Mampfeature=related

EJEMPLOS EN EXCEL

EJEMPLO 1

Encontrar la raiacutez de f(x) = x^10 ndash 1 utilizando el Meacutetodo de la Biseccioacuten con a = 0 b = 13 Tol = 001



Graacutefico de la Funcioacuten

La raiacutez aproximada de la funcioacuten es 1000391 con un error de 001

Como se puede apreciar en la graacutefica la raiacutez exacta de la funcioacuten es de 1 pero con 8 iteraciones se llegoacute a

1000391 Si se continuara con maacutes iteraciones se podriacutea llegar a un valor aun maacutes cercano al 1 exacto

pero el error tendriacutea en ese caso que ser menor que 001 que es el 1

EJEMPLO 2

Resolver utilizando el meacutetodo de la Biseccioacuten





EJEMPLO 3

Resolver utilizando el meacutetodo de Biseccioacuten





FOacuteRMULAS PARA PROGRAMAR EL MEacuteTODO DE LA BISECCIOacuteN EN MICROSOFT EXCEL

En la tabla que se presentaraacute a continuacioacuten no aparecen las foacutermulas para cada una de las celdas

porque seriacutean demasiadas foacutermulas Basta con presentar algunas y todas las demaacutes se deducen

faacutecilmente Ademaacutes al estar trabajando en Excel bastaraacute con copiar y luego pegar las foacutermulas o celdas

de una de las filas superiores porque las celdas de todas las demaacutes filas seraacuten las mismas y Excel

automaacuteticamente iraacute cambiando correctamente todos los valores de forma apropiada La tabla de

foacutermulas utilizada es la siguiente

Celda Foacutermula

B15 = 1

D15 = 2

F15 = 0001

A18 = 1

B18 = B15



C18 = D15

D18 = PROMEDIO (B18C18) oacute PROMEDIO(B18C18)

E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5

F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5

G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5

A19 = A18+1

B19 = SI(B18G18gt0D18B18)

C19 = SI(B19=D18C18D18)

D19 = PROMEDIO(B19C19)

E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5

F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5

G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5

H19 = ABS(D19-D18)

I19 = H19D19

J19 = SI(I19lt=F$3D19)

J24 SI(I19lt=F$3D24)

METODO DE PUNTO FIJO

Este meacutetodo se aplica para resolver ecuaciones de la forma

Si la ecuacioacuten es entonces puede despejarse oacute bien sumar en ambos lados de la ecuacioacuten para ponerla en la forma adecuada



Ejemplos

1) La ecuacioacuten se puede transformar en


Dada la aproximacioacuten la siguiente iteracioacuten se calcula con la foacutermula

Supongamos que la raiacutez verdadera es es decir

Restando las uacuteltimas ecuaciones obtenemos

Por el Teorema del Valor Medio para derivadas sabemos que si es contiacutenua

en y diferenciable en entonces existe tal que

En nuestro caso existe en el intervalo determinado por y tal que

De aquiacute tenemos que

O bien

Tomando valor absoluto en ambos lados

Observe que el teacutermino es precisamente el error absoluto en la eacutesima

iteracioacuten mientras que el teacutermino corresponde al error absoluto en la eacutesima iteracioacuten

Por lo tanto solamente si entonces se disminuiraacute el error en la siguiente iteracioacuten En caso contrario el error iraacute en aumento

En resumen el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo converge a la raiacutez

si para en un intervalo que contiene a la raiacutez y donde es



contiacutenua y diferenciable pero diverge si en dicho intervalo

Analicemos nuestros ejemplos anteriores

En el ejemplo 1 y claramente se cumple la condicioacuten de que Por lo tanto el meacutetodo siacute converge a la raiacutez

En el ejemplo 2 y en este caso Por lo tanto el meacutetodo no converge a la raiacutez

Para aclarar el uso de la foacutermula veamos dos ejemplos

Ejemplo 1

Usar el meacutetodo de iteracioacuten del punto fijo para aproximar la raiacutez de

comenzando con y hasta que

Solucioacuten Como ya aclaramos anteriormente el meacutetodo siacute converge a la raiacutez Aplicando la foacutermula iterativa tenemos

Con un error aproximado de

Aplicando nuevamente la foacutermula iterativa tenemos

Y un error aproximado de

Intuimos que el error aproximado se iraacute reduciendo muy lentamente En efecto se necesitan hasta 13 iteraciones para lograr reducir el error aproximado menor al 1 El

resultado final que se obtiene es

Con un error aproximado igual al

Ejemplo 2



Solucioacuten

Si despejamos la del teacutermino lineal vemos que la ecuacioacuten equivale a

de donde



En este caso tenemos que Un vistazo a la graacutefica

nos convence que para lo que es suficiente para deducir que el meacutetodo siacute converge a la raiacutez buscada

Aplicando la foacutermula iterativa tenemos

Con un error aproximado del 100


Con un error aproximado igual al 2841

En este ejemplo el meacutetodo solo necesita de 5 iteraciones para reducir el error menor al 1 Resumimos los resultados en la siguiente tabla

Aprox a la raiacutez Error aprox

0

-02 100

-01557461506 2841

-01663039075 634

-0163826372 151



-0164410064 035

De donde vemos que la aproximacioacuten buscada es

Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la Punto Fijo con la siguiente ecuacioacuten

METODO DE LA SECANTE

Este meacutetodo se basa en la foacutermula de Newton-Raphson pero evita el caacutelculo de la derivada usando la

siguiente aproximacioacuten

Sustituyendo en la foacutermula de Newton-Raphson obtenemos



Que es la foacutermula del meacutetodo de la secante Noacutetese que para poder calcular el valor de necesitamos

conocer los dos valores anteriores y

Obseacutervese tambien el gran parecido con la foacutermula del meacutetodo de la regla falsa La diferencia entre una

y otra es que mientras el meacutetodo de la regla falsa trabaja sobre intervalos cerrados el meacutetodo de la

secante es un proceso iterativo y por lo mismo encuentra la aproximacioacuten casi con la misma rapidez

que el meacutetodo de Newton-Raphson Claro corre el mismo riesgo de eacuteste uacuteltimo de no converger a la raiacutez

mientras que el meacutetodo de la regla falsa va a la segura

Ejemplo 1

Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando con

y hasta que

Solucioacuten

Tenemos que y que sustituiacutemos en la foacutermula de la secante para

calcular la aproximacioacuten


Como todaviacutea no se logra el objetivo continuamos con el proceso Resumimos los resultados en la

siguiente tabla


0

1 100

0612699837 632

0653442133 623

0652917265 008

De lo cual concluiacuteamos que la aproximacioacuten a la raiacutez es



Ejemplo 2

Usar el meacutetodo de la secante para aproximar la raiacutez de comenzando

con y y hasta que

Solucioacuten

Tenemos los valores y que sustituimos en la foacutermula de la secante

para obtener la aproximacioacuten



siguiente tabla


0

1 100

0823315073 214

0852330280 340

0853169121 009


Veremos a continuacioacuten un ejemplo del meacutetodo de la secante con la siguiente ecuacioacuten



METODO DE NEWTON RAPHSON

Este meacutetodo el cual es un meacutetodo iterativo es uno de los maacutes usados y

efectivos A diferencia de los meacutetodos anteriores el meacutetodo de Newton-Raphson

no trabaja sobre un intervalo sino que basa su foacutermula en un proceso iterativo

Supongamos que tenemos la aproximacioacuten a la raiacutez de

Trazamos la recta tangente a la curva en el punto eacutesta cruza al

eje en un punto que seraacute nuestra siguiente aproximacioacuten a la raiacutez

Para calcular el punto calculamos primero la ecuacioacuten de la recta

tangente Sabemos que tiene pendiente

Y por lo tanto la ecuacioacuten de la recta tangente es



Hacemos

Y despejamos

Que es la foacutemula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente

aproximacioacuten

si

Note que el meacutetodo de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde nos

asegure que encontraremos la raiacutez y de hecho no tenemos ninguna garantiacutea de que

nos aproximaremos a dicha raiacutez Desde luego existen ejemplos donde este meacutetodo

no converge a la raiacutez en cuyo caso se dice que el meacutetodo diverge Sin embargo

en los casos donde si converge a la raiacutez lo hace con una rapidez impresionante

por lo cual es uno de los meacutetodos preferidos por excelencia

Tambieacuten observe que en el caso de que el meacutetodo no se puede aplicar

De hecho vemos geomeacutetricamente que esto significa que la recta tangente es

horizontal y por lo tanto no intersecta al eje en ninguacuten punto a menos que

coincida con eacuteste en cuyo caso mismo es una raiacutez de

Ejemplo 1

Usar el meacutetodo de Newton-Raphson para aproximar la raiacutez de


Solucioacuten

En este caso tenemos que


Comenzamos con y obtenemos



En este caso el error aproximado es

Continuamos el proceso hasta reducir el error aproximado hasta donde se pidioacute

Resumimos los resultados en la siguiente tabla


1

1268941421 2119

1309108403 306

1309799389 0052

De lo cual concluiacutemos que la cual es correcta en todos sus

diacutegitos

La misma idea puede aplicarse para crear algoritmos que aproximen raiacuteces -

eacutesimas de nuacutemeros reales positivos

Observe que cuando el meacutetodo de Newton-Raphson converge a la raiacutez lo hace de

una forma muy raacutepida y de hecho observamos que el error aproximado disminuye a

pasos agigantados en cada paso del proceso Aunque no es nuestro objetivo

establecer formalmente las cotas para los errores en cada uno de los meacutetodos que

hemos estudiado cabe mencionar que si existen estas cotas que miden con mayor

precisioacuten la rapidez oacute lentitud del meacutetodo en estudio

Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de Newton Raphson con la siguiente

ecuacioacuten



METODO DE FALSA POSICION

Como mencionamos anteriormente seriacutea bueno considerar si la raiacutez de una

ecuacioacuten estaacute localizada maacutes cerca de alguno de los extremos del intervalo

Consideremos nuevamente una graacutefica como la anterior

Donde hemos agregado la liacutenea recta que une los puntos extremos de la graacutefica en

el intervalo

Es claro que si en lugar de considerar el punto medio del intervalo tomamos el

punto donde cruza al eje esta recta nos aproximaremos mucho maacutes raacutepido a la

raiacutez eacutesta es en siacute la idea central del meacutetodo de la regla falsa y eacutesta es

realmente la uacutenica diferencia con el meacutetodo de biseccioacuten puesto que en todo lo

demaacutes los dos meacutetodos son praacutecticamente ideacutenticos

Supongamos que tenemos una funcioacuten que es contiacutenua en el

intervalo y ademaacutes y tienen signos opuestos

Calculemos la ecuacioacuten de la liacutenea recta que une los puntos

Sabemos que la pendiente de esta recta esta dada por

Por lo tanto la ecuacioacuten de la recta es

Para obtener el cruce con el eje hacemos



Multiplicando por nos da

Finalmente de aquiacute despejamos

Este punto es el que toma el papel de en lugar del punto medio del meacutetodo

de biseccioacuten

Asiacute pues el meacutetodo de la regla falsa sigue los siguientes pasos

Sea contiacutenua

i) Encontrar valores iniciales tales que y tienen

signos opuestos es decir

ii) La primera aproximacioacuten a la raiacutez se toma igual a

iii) Evaluar Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos

En este caso tenemos que y tienen signos opuestos y por lo

tanto la raiacutez se encuentra en el intervalo



En este caso tenemos que y tienen el mismo signo y de aquiacute

que y tienen signos opuestos Por lo tanto la raiacutez se encuentra

en el intervalo

En este caso se tiene que y por lo tanto ya localizamos la raiacutez

El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo hasta que

Ejemplo 1

Usar el meacutetodo de la regla falsa para aproximar la raiacutez de

comenzando en el intervalo y hasta que

Solucioacuten

Este es el mismo ejemplo 1 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos

que es contiacutenua en el intervalo dado y que toma signos opuestos en los

extremos de dicho intervalo Por lo tanto podemos aplicar el meacutetodo de la regla

falsa

Calculamos la primera aproximacioacuten

Puesto que solamente tenemos una aproximacioacuten debemos seguir con el proceso

Asiacute pues evaluamos

Y hacemos nuestra tabla de signos

De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo

Con este nuevo intervalo calculamos la nueva aproximacioacuten



En este momento podemos calcular el primer error aproximado

Puesto que no se cumple el objetivo seguimos con el proceso

Evaluamos y hacemos la tabla de signos

De donde vemos que la raiacutez se encuentra en el intervalo con el

cual podemos calcular la nueva aproximacioacuten

Y el error aproximado

Como se ha cumplido el objetivo concluiacutemos que la aproximacioacuten buscada es

Observe la rapidez con la cual converge el meacutetodo de la regla falsa a la raiacutez a

diferencia de la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten

Ejemplo 2



Solucioacuten

Este es el mismo ejemplo 2 del meacutetodo de la biseccioacuten Asiacute pues ya sabemos que

se cumplen las hipoacutetesis necesarias para poder aplicar el meacutetodo es decir

que sea contiacutenua en el intervalo dado y que tome signos opuestos

en los extremos de dicho intervalo

Calculamos pues la primera aproximacioacuten



Como solamente tenemos una aproximacioacuten debemos avanzar en el proceso

Evaluamos


De lo cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo

Asiacute pues calculamos la nueva aproximacioacuten

Y calculamos el error aproximado

Puesto que no se cumple el objetivo seguimos avanzando en el proceso

Evaluamos


De los cual vemos que la raiacutez se localiza en el intervalo con

el cual podemos calcular al siguiente aproximacioacuten

Y el siguiente error aproximado




Nuevamente observamos el contraste entre la rapidez del meacutetodo de la regla falsa

contra la lentitud del meacutetodo de la biseccioacuten

Por supuesto que puede darse el caso en el que el meacutetodo de la regla falsa

encuentre la aproximacioacuten a la raiacutez de forma maacutes lenta que el meacutetodo de la

biseccioacuten Como ejercicio el estudiante puede aplicar ambos meacutetodos a la

funcioacuten comenzando en el intervalo donde notaraacute que

mientras que el meacutetodo de biseccioacuten requiere de 8 aproximaciones para lograr

que el meacutetodo de la regla falsa necesita hasta 16 aproximaciones

Veremos a continuacioacuten un ejemplo del metoacutedo de la Posicioacuten Falsa con la

siguiente ecuacioacuten



1 ERRORES Y ARITMETICA DE PUNTO FLOTANTE

11 Introduccioacuten a la Computacioacuten Numeacuterica

El primer computador electroacutenico en base a la tecnologiacutea de tubos al vaciacuteo fue el ENIAC de la Universidad

de Pensilvania en la deacutecada del 40 Durante la deacutecada del 50 el primer uso de los computadores fue para las

aplicaciones cientiacuteficas

En la deacutecada del 60 el uso de los computadores se amplioacute a los negocios y el propoacutesito maacutes extendido fue el

tratamiento de todo tipo de informacioacuten

En las tres uacuteltimas deacutecadas (70 a 90) continuoacute extendieacutendose hacia las medianas empresas en los 70 y hacia

varios millones de pequentildeas empresas y personas en la llamada revolucioacuten de las PC en los 80 y 90

La mayor parte de esos usuarios del computador no consideran de primer intereacutes a la computacioacuten como

medio de caacutelculo con nuacutemeros En realidad lo que maacutes se utiliza es el procesamiento de la informacioacuten en

otros campos como los negocios y la administracioacuten Sin embargo en muchas disciplinas cientiacuteficas el

caacutelculo con nuacutemeros permanece como el uso maacutes importante de los computadores

Ejemplos

Fiacutesicos resolucioacuten de complicadas ecuaciones en modelos tales como la estructura del universo o del aacutetomo

Meacutedicos que usan los computadores para disentildear mejores teacutecnicas

Meteoroacutelogos usan la computacioacuten numeacuterica para resolver ecuaciones en modelos que pronostican el clima

Ingenieros Aeronaacuteuticos Disentildeo de cohetes espaciales

En la Ciencia de la Computacioacuten la computacioacuten numeacuterica tiene mayor importancia por los requerimientos

de algoritmos confiables y raacutepidos para computacioacuten graacutefica roboacutetica etc

12 Nuacutemeros Reales Una clasificacioacuten de los nuacutemeros reales es R = Q U F y a su vez Q = Z UF donde R reales Q racionales I

irracionales Z enteros F fraccionarios

Los nuacutemeros reales que no pueden representarse como enteros o fracciones se llaman irracionales

Ejemplo

πse define como la razoacuten entre la longitud de una circunferencia y su diaacutemetro

e se define como el liacutemite de (1+1n) cuando n rarrinfin un liacutemite de una sucesioacuten de nuacutemeros racionales

2946427

13 Sistemas de representacioacuten de nuacutemeros reales

Histoacutericamente los Romanos usaban distintos siacutembolos para representar las potencias de 10 X C M etc lo

que es engorroso para grandes nuacutemeros El uso del cero como siacutembolo fue usado en la India y luego

introducido en Europa por medio de los Arabes hace aproximadamente 1000 antildeos

El uacutenico sistema que usaba el cero (sin influencia de los Indios) fue el de los Mayas Este sistema posicional

teniacutea como base 20












usuales



menos 1



radic2 = (1414213 )(10




Ej x = 100111(2= 123

022

021

12012

-1 12

-2 = 8+1+12+14 = 975















correspondiente




1 1 1 1 2 10 2 2

3 11 3 3 4 100 4 4

5 101 5 5 6 110 6 6

7 111 7 7 8 1000 10 8

9 1001 11 9 10 1010 12 A

11 1011 13 B 12 1100 14 C

13 1101 15 D 14 1110 16 E

15 1111 17 F 16 10000 20 10

17 10001 21 11 18 10010 22 12

19 10011 23 13 20 10100 24 14

21 10101 25 15 22 10110 26 16

23 10111 27 17 24 11000 30 18

25 11001 31 19 26 11010 32 1A

27 11011 33 1B 28 11100 34 1C

29 11101 35 1D 30 11110 36 1E





1) Punto Fijo















Ejemplo decimal



bull Exponente = 9

02415068 x 10 ^ 9








es igual a 1











Ejemplo


1011010010001 = 1011010010001 x 2^12


Bit de signo = 0

Exponente 12 + 127 = 139 = 10001011









rarr - 407680




111111011100000 x 2 ^ 14

Mantisa (23 bits) = 11111011100000000000000




(050-0) 2 = 1 d0=0

(100-1) 2 = 0 d1=1

05010 = 012 = 10 x 2-1


0 01111110 00000000000000000000000


(375-3) 2 = 150 d0=3

(150-1) 2 = 100 d1=1

(100-1) 2 = 000 d2=1

37510 = 11112 = 1111 x 21




Ejercicio


a) 123 _________________

b) 202 _________________

c) 67 _________________

d) 7 _________________

e) 252 _________________

f) 91 _________________


a 1110 _______________________________________________

b 100110_____________________________________________

c 11111111____________________________________________

d 11010011___________________________________________

e 01000001 __________________________________________

f 11001110 ___________________________________________

g 01110101___________________________________________

h 10001111 ___________________________________________


0 10011000 10000100010100110000000



extendida


-175610

157510

562510

10 x 10-1

10

575251010


































e = Vr ndash Va


(siacute )

119890119903 =119890

119907119903=

119907119903minus119907119886

119907119903


ciento ()














particular



5



igual a 5













hombres



















9 Tipos de redondeo



Redondeo truncado







tenemos 07777
























particular











Ejemplo 1





devuelve su valor







121 Who Whos


y su tamantildeo

Ejemplo 3

a = 3 b = 4 a

a + b

c = ans

who

whos









00 Indeterminado











piformat long pi

format rat pi






y 0 si es falso)

Ejemplo 4


b=Esto no

c=3

ischar(a)

ischar(c)









Ejemplo 5




w = [123]





matriz

Ejemplo 6


w = [123] raquo z=[1

raquo 2


length(u)

length(w)

[fc]=size(u)

dimension=size(w)




siguiente


Ejemplo 7

x=0011

y=linspace(0111)




raquo u + v


















Ejemplo 8

a = [1 2 3]

b = [4 5 6]

c = dot(ab)

d = cross(ab)

e = prod(a)

f = prod(b)

135 flipud fliplr



transpose


un vector columna

Ejemplo 9

z=[1 i 2-i]

v=z

w=z






Ejemplo 10

a = 16



b = cumsum(a)

c = cumprod(a)









-3 -4]
















Ejemplo 11

M = eye(4)

N = zeros(3)

O = ones(2)

P = rand(32)

























151 sqrt abs


complejo


Ejemplo 12

sqrt(4)sqrt(-4)


152 exploglog10



Ejemplo 13

exp(1)



log(ans)

log10(10)



Ejemplo 14

sin(pi2)

sin(90)



radianes



Ejemplo 15




grados seria






154 sinh cosh tanh


como

Ejemplo 16








Ejemplo 17

x = -10011

y = tanh(x)

plot(xy)







Ejemplo 18

x = -10011

y = sin(x)

plot(xym)












function y=runge(x)


y=1(1+25x^2)


a la funcioacuten






Ejemplo 19

runge(0)

runge([-1 0 1])





help runge














x=rcos(z)

y=rsin(z)

Ejemplo 20

ro=ones(13)

zeta=[pi2 pi 3pi2]


help cartpol



TEOREMA DE ROLLE


Cont inua en [a b ]




Y s i f (a) = f(b)




Ejemplos









2]







Teorema de Bolzano


f (0) = 3




Teorema de Rol le

f (x ) = 7x 6 + 3














Asiacute se obtiene






Asiacute se obtiene


INTRODUCCION

















recta tangente










a) P(xo) = f (xo)

b) P (xo) = f (xo)

c) P (xo) = f (xo)


a = f (xo) b = f (xo) y c = (12)f (xo)


como









x 1+x

1 2 25 2718281828

05 15 1625 16487212707

03 13 1345 134985880757

01 11 1105 110517091807

001 101 101005 1010050167

0001 1001 10010005 100100050016






n




3 + + nan (x- xo)

n-1

P(2)


n-2

P(3)


P(n)

(x) = (1)(2)(n) an = n an




( I )




ejemplos


P(2) = 3 P (2) = 5 P (2)

(2) = 4 P (3)

(2) =24 y P (4)

(2) =48






P(x) = 3 + 5(x-2) + 2(x-2)2 + 4(x - 2)

3 + 2(x - 2)

4




P(x) = 7x3 + x

2 +8 P(1) = 16

P (x) = 21x2 + 2x P (1) = 23

P (2)

(x) = 42x + 2 P (2)

(1) = 44

P (3)

(x) = 42 P (3)

(1) = 42


P(x) =16 + 23(x - 1) + (442)(x - 1)2 + (426)(x - 1)

3

Es decir

P(x) =16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)2 + 7(x - 1)

3


7x3 + x

2 +8 = 16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)

2 + 7(x - 1)

3





tangente es decir











x 1+x

1 2 25 2666666 27083333 2718281828

05 15 1625 1645833 16484375 16487212707

03 13 1345 13495 13498375 134985880757

01 11 1105 110516667 110517083 110517091807

001 101 101005 101005017 101005017 1010050167

0001 1001 10010005 100100050000 100100050017 100100050016












f(x) = exp(x)

f(x) = sen(x)

f(x) = cos(x)



decir

f(x) = Pn(x) + En





xo (ab) se tiene








Medio


A la Expresioacuten




a) f(x) = senx

b) f(x) = cosx

c) f(x) = ex


f(x) = senx f(0) = 0

f (x) = cos(x) f (0) = 1

f (2)

(x) = -senx f (2)

(0) = 0

f (3)

(x) = -cos(x) f (3)

(0) = -1



f (4)

(x) = sen(x) f (4)

(0) = 0

f (5)

(x) = cos(x) f (5)

(0) = 1






o bien

0 bien





Taylor con residuo







a) f(x) = sen(x)


f (x) = sen(x) f( 6) = 05

f (x) = cos(x) f ( 6) = 08660254

f (x) = -sen(x) f ( 6) = -05

f (3)

(x) = -cos(x) f ( 6) = -08660254

f (4)

(x) = sen(x)







sen(35ordm) = 05 + 00755749 - 0001903858 - 0000095922 + E3

sen(35ordm) = 057357512 + E3


E3 = = (000000241)sen(c)








entonces












estime el error


a) f(x) =

b) xo = 27

f(27) = 3



= 3036579789




E2 =






estime el error




derivadas






e05

= 164583333 + E3



E3 =

Como f (4)


= 00078125










En =









= 1648697917








En =











= 2718281526


SUPERIOR
















(xo) = 0 f (n-1)

(xo) = 0 y f (n)


es par

1 Si n es par



a) f (n)


b) f (n)




Como f (n)



un subintervalo



(n)




f (n)



Al ser f (n)







3 + 6x

2 +4x


f (x) = 4x3 + 12x

2 + 12x +4 = 0

f (x) = 4(x3 + 3x

2 + 3x + 1) = 4(x + 1)

3 = 0 x = -1



f (x) = 12x2 + 24x + 12 f (-1) = 0

f (3)

(x) = 24x + 24 f (3)

(-1) = 0

f (4)

(x) = 24 f (4)

(-1) = 24



Comandos de Matlab






EJERCICIOS




izquierda

P1(x) P2(x) P3(x) P4(x)

xo + 11



xo + 09

xo + 03

xo + 01

xo + 001

xo + 0001

xo - 11

xo - 09

xo - 03

xo - 01

xo - 001

xo - 0001

1) en xo = 0

2) en xo = 0

3) en xo = 6


5) f(x) = lnx en xo = 1






4) P(x) = 4 - x2 +6x


5) P(x) = 2 + (x - 3)2 -x






1) P(0) = 7 P (0) = 3 P (2)

(0) = 8 P (3)

(0) =54

2) P(1) = 1 P (1) = 5 P (2)

(1) = 32 P (3)

(1) =42

3) P(-2) = 2 P (-2) = 4 P (2)

(-2) = 8 P (3)

(-2) =66


estime el error























VI





METODO DE BISECCION










f(a) = -05 f(b) = 1






















Grafica





nabcFaFbFcabs(c-a))

FaFblt=0 c=b

end


EJEMPLOS EN EXCEL

EJEMPLO 1









EJEMPLO 2






EJEMPLO 3













Celda Foacutermula

B15 = 1

D15 = 2

F15 = 0001

A18 = 1

B18 = B15



C18 = D15


E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5

F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5

G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5

A19 = A18+1

B19 = SI(B18G18gt0D18B18)

C19 = SI(B19=D18C18D18)


E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5

F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5

G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5

H19 = ABS(D19-D18)

I19 = H19D19

J19 = SI(I19lt=F$3D19)







Ejemplos










O bien














Ejemplo 1










Ejemplo 2



Solucioacuten


de donde











0

-02 100

-01557461506 2841

-01663039075 634

-0163826372 151



-0164410064 035
















Ejemplo 1


y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0612699837 632

0653442133 623

0652917265 008




Ejemplo 2


con y y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0823315073 214

0852330280 340

0853169121 009

















Hacemos

Y despejamos


aproximacioacuten

si











Ejemplo 1



Solucioacuten










1

1268941421 2119

1309108403 306

1309799389 0052


diacutegitos










ecuacioacuten








el intervalo

















de biseccioacuten


Sea contiacutenua











en el intervalo



Ejemplo 1



Solucioacuten




falsa


















Ejemplo 2



Solucioacuten









Evaluamos






Evaluamos





























usuales



menos 1



radic2 = (1414213 )(10




Ej x = 100111(2= 123

022

021

12012

-1 12

-2 = 8+1+12+14 = 975















correspondiente




1 1 1 1 2 10 2 2

3 11 3 3 4 100 4 4

5 101 5 5 6 110 6 6

7 111 7 7 8 1000 10 8

9 1001 11 9 10 1010 12 A

11 1011 13 B 12 1100 14 C

13 1101 15 D 14 1110 16 E

15 1111 17 F 16 10000 20 10

17 10001 21 11 18 10010 22 12

19 10011 23 13 20 10100 24 14

21 10101 25 15 22 10110 26 16

23 10111 27 17 24 11000 30 18

25 11001 31 19 26 11010 32 1A

27 11011 33 1B 28 11100 34 1C

29 11101 35 1D 30 11110 36 1E





1) Punto Fijo















Ejemplo decimal



bull Exponente = 9

02415068 x 10 ^ 9








es igual a 1











Ejemplo


1011010010001 = 1011010010001 x 2^12


Bit de signo = 0

Exponente 12 + 127 = 139 = 10001011









rarr - 407680




111111011100000 x 2 ^ 14

Mantisa (23 bits) = 11111011100000000000000




(050-0) 2 = 1 d0=0

(100-1) 2 = 0 d1=1

05010 = 012 = 10 x 2-1


0 01111110 00000000000000000000000


(375-3) 2 = 150 d0=3

(150-1) 2 = 100 d1=1

(100-1) 2 = 000 d2=1

37510 = 11112 = 1111 x 21




Ejercicio


a) 123 _________________

b) 202 _________________

c) 67 _________________

d) 7 _________________

e) 252 _________________

f) 91 _________________


a 1110 _______________________________________________

b 100110_____________________________________________

c 11111111____________________________________________

d 11010011___________________________________________

e 01000001 __________________________________________

f 11001110 ___________________________________________

g 01110101___________________________________________

h 10001111 ___________________________________________


0 10011000 10000100010100110000000



extendida


-175610

157510

562510

10 x 10-1

10

575251010


































e = Vr ndash Va


(siacute )

119890119903 =119890

119907119903=

119907119903minus119907119886

119907119903


ciento ()














particular



5



igual a 5













hombres



















9 Tipos de redondeo



Redondeo truncado







tenemos 07777
























particular











Ejemplo 1





devuelve su valor







121 Who Whos


y su tamantildeo

Ejemplo 3

a = 3 b = 4 a

a + b

c = ans

who

whos









00 Indeterminado











piformat long pi

format rat pi






y 0 si es falso)

Ejemplo 4


b=Esto no

c=3

ischar(a)

ischar(c)









Ejemplo 5




w = [123]





matriz

Ejemplo 6


w = [123] raquo z=[1

raquo 2


length(u)

length(w)

[fc]=size(u)

dimension=size(w)




siguiente


Ejemplo 7

x=0011

y=linspace(0111)




raquo u + v


















Ejemplo 8

a = [1 2 3]

b = [4 5 6]

c = dot(ab)

d = cross(ab)

e = prod(a)

f = prod(b)

135 flipud fliplr



transpose


un vector columna

Ejemplo 9

z=[1 i 2-i]

v=z

w=z






Ejemplo 10

a = 16



b = cumsum(a)

c = cumprod(a)









-3 -4]
















Ejemplo 11

M = eye(4)

N = zeros(3)

O = ones(2)

P = rand(32)

























151 sqrt abs


complejo


Ejemplo 12

sqrt(4)sqrt(-4)


152 exploglog10



Ejemplo 13

exp(1)



log(ans)

log10(10)



Ejemplo 14

sin(pi2)

sin(90)



radianes



Ejemplo 15




grados seria






154 sinh cosh tanh


como

Ejemplo 16








Ejemplo 17

x = -10011

y = tanh(x)

plot(xy)







Ejemplo 18

x = -10011

y = sin(x)

plot(xym)












function y=runge(x)


y=1(1+25x^2)


a la funcioacuten






Ejemplo 19

runge(0)

runge([-1 0 1])





help runge














x=rcos(z)

y=rsin(z)

Ejemplo 20

ro=ones(13)

zeta=[pi2 pi 3pi2]


help cartpol



TEOREMA DE ROLLE


Cont inua en [a b ]




Y s i f (a) = f(b)




Ejemplos









2]







Teorema de Bolzano


f (0) = 3




Teorema de Rol le

f (x ) = 7x 6 + 3














Asiacute se obtiene






Asiacute se obtiene


INTRODUCCION

















recta tangente










a) P(xo) = f (xo)

b) P (xo) = f (xo)

c) P (xo) = f (xo)


a = f (xo) b = f (xo) y c = (12)f (xo)


como









x 1+x

1 2 25 2718281828

05 15 1625 16487212707

03 13 1345 134985880757

01 11 1105 110517091807

001 101 101005 1010050167

0001 1001 10010005 100100050016






n




3 + + nan (x- xo)

n-1

P(2)


n-2

P(3)


P(n)

(x) = (1)(2)(n) an = n an




( I )




ejemplos


P(2) = 3 P (2) = 5 P (2)

(2) = 4 P (3)

(2) =24 y P (4)

(2) =48






P(x) = 3 + 5(x-2) + 2(x-2)2 + 4(x - 2)

3 + 2(x - 2)

4




P(x) = 7x3 + x

2 +8 P(1) = 16

P (x) = 21x2 + 2x P (1) = 23

P (2)

(x) = 42x + 2 P (2)

(1) = 44

P (3)

(x) = 42 P (3)

(1) = 42


P(x) =16 + 23(x - 1) + (442)(x - 1)2 + (426)(x - 1)

3

Es decir

P(x) =16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)2 + 7(x - 1)

3


7x3 + x

2 +8 = 16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)

2 + 7(x - 1)

3





tangente es decir











x 1+x

1 2 25 2666666 27083333 2718281828

05 15 1625 1645833 16484375 16487212707

03 13 1345 13495 13498375 134985880757

01 11 1105 110516667 110517083 110517091807

001 101 101005 101005017 101005017 1010050167

0001 1001 10010005 100100050000 100100050017 100100050016












f(x) = exp(x)

f(x) = sen(x)

f(x) = cos(x)



decir

f(x) = Pn(x) + En





xo (ab) se tiene








Medio


A la Expresioacuten




a) f(x) = senx

b) f(x) = cosx

c) f(x) = ex


f(x) = senx f(0) = 0

f (x) = cos(x) f (0) = 1

f (2)

(x) = -senx f (2)

(0) = 0

f (3)

(x) = -cos(x) f (3)

(0) = -1



f (4)

(x) = sen(x) f (4)

(0) = 0

f (5)

(x) = cos(x) f (5)

(0) = 1






o bien

0 bien





Taylor con residuo







a) f(x) = sen(x)


f (x) = sen(x) f( 6) = 05

f (x) = cos(x) f ( 6) = 08660254

f (x) = -sen(x) f ( 6) = -05

f (3)

(x) = -cos(x) f ( 6) = -08660254

f (4)

(x) = sen(x)







sen(35ordm) = 05 + 00755749 - 0001903858 - 0000095922 + E3

sen(35ordm) = 057357512 + E3


E3 = = (000000241)sen(c)








entonces












estime el error


a) f(x) =

b) xo = 27

f(27) = 3



= 3036579789




E2 =






estime el error




derivadas






e05

= 164583333 + E3



E3 =

Como f (4)


= 00078125










En =









= 1648697917








En =











= 2718281526


SUPERIOR
















(xo) = 0 f (n-1)

(xo) = 0 y f (n)


es par

1 Si n es par



a) f (n)


b) f (n)




Como f (n)



un subintervalo



(n)




f (n)



Al ser f (n)







3 + 6x

2 +4x


f (x) = 4x3 + 12x

2 + 12x +4 = 0

f (x) = 4(x3 + 3x

2 + 3x + 1) = 4(x + 1)

3 = 0 x = -1



f (x) = 12x2 + 24x + 12 f (-1) = 0

f (3)

(x) = 24x + 24 f (3)

(-1) = 0

f (4)

(x) = 24 f (4)

(-1) = 24



Comandos de Matlab






EJERCICIOS




izquierda

P1(x) P2(x) P3(x) P4(x)

xo + 11



xo + 09

xo + 03

xo + 01

xo + 001

xo + 0001

xo - 11

xo - 09

xo - 03

xo - 01

xo - 001

xo - 0001

1) en xo = 0

2) en xo = 0

3) en xo = 6


5) f(x) = lnx en xo = 1






4) P(x) = 4 - x2 +6x


5) P(x) = 2 + (x - 3)2 -x






1) P(0) = 7 P (0) = 3 P (2)

(0) = 8 P (3)

(0) =54

2) P(1) = 1 P (1) = 5 P (2)

(1) = 32 P (3)

(1) =42

3) P(-2) = 2 P (-2) = 4 P (2)

(-2) = 8 P (3)

(-2) =66


estime el error























VI





METODO DE BISECCION










f(a) = -05 f(b) = 1






















Grafica





nabcFaFbFcabs(c-a))

FaFblt=0 c=b

end


EJEMPLOS EN EXCEL

EJEMPLO 1









EJEMPLO 2






EJEMPLO 3













Celda Foacutermula

B15 = 1

D15 = 2

F15 = 0001

A18 = 1

B18 = B15



C18 = D15


E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5

F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5

G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5

A19 = A18+1

B19 = SI(B18G18gt0D18B18)

C19 = SI(B19=D18C18D18)


E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5

F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5

G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5

H19 = ABS(D19-D18)

I19 = H19D19

J19 = SI(I19lt=F$3D19)







Ejemplos










O bien














Ejemplo 1










Ejemplo 2



Solucioacuten


de donde











0

-02 100

-01557461506 2841

-01663039075 634

-0163826372 151



-0164410064 035
















Ejemplo 1


y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0612699837 632

0653442133 623

0652917265 008




Ejemplo 2


con y y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0823315073 214

0852330280 340

0853169121 009

















Hacemos

Y despejamos


aproximacioacuten

si











Ejemplo 1



Solucioacuten










1

1268941421 2119

1309108403 306

1309799389 0052


diacutegitos










ecuacioacuten








el intervalo

















de biseccioacuten


Sea contiacutenua











en el intervalo



Ejemplo 1



Solucioacuten




falsa


















Ejemplo 2



Solucioacuten









Evaluamos






Evaluamos






























correspondiente




1 1 1 1 2 10 2 2

3 11 3 3 4 100 4 4

5 101 5 5 6 110 6 6

7 111 7 7 8 1000 10 8

9 1001 11 9 10 1010 12 A

11 1011 13 B 12 1100 14 C

13 1101 15 D 14 1110 16 E

15 1111 17 F 16 10000 20 10

17 10001 21 11 18 10010 22 12

19 10011 23 13 20 10100 24 14

21 10101 25 15 22 10110 26 16

23 10111 27 17 24 11000 30 18

25 11001 31 19 26 11010 32 1A

27 11011 33 1B 28 11100 34 1C

29 11101 35 1D 30 11110 36 1E





1) Punto Fijo















Ejemplo decimal



bull Exponente = 9

02415068 x 10 ^ 9








es igual a 1











Ejemplo


1011010010001 = 1011010010001 x 2^12


Bit de signo = 0

Exponente 12 + 127 = 139 = 10001011









rarr - 407680




111111011100000 x 2 ^ 14

Mantisa (23 bits) = 11111011100000000000000




(050-0) 2 = 1 d0=0

(100-1) 2 = 0 d1=1

05010 = 012 = 10 x 2-1


0 01111110 00000000000000000000000


(375-3) 2 = 150 d0=3

(150-1) 2 = 100 d1=1

(100-1) 2 = 000 d2=1

37510 = 11112 = 1111 x 21




Ejercicio


a) 123 _________________

b) 202 _________________

c) 67 _________________

d) 7 _________________

e) 252 _________________

f) 91 _________________


a 1110 _______________________________________________

b 100110_____________________________________________

c 11111111____________________________________________

d 11010011___________________________________________

e 01000001 __________________________________________

f 11001110 ___________________________________________

g 01110101___________________________________________

h 10001111 ___________________________________________


0 10011000 10000100010100110000000



extendida


-175610

157510

562510

10 x 10-1

10

575251010


































e = Vr ndash Va


(siacute )

119890119903 =119890

119907119903=

119907119903minus119907119886

119907119903


ciento ()














particular



5



igual a 5













hombres



















9 Tipos de redondeo



Redondeo truncado







tenemos 07777
























particular











Ejemplo 1





devuelve su valor







121 Who Whos


y su tamantildeo

Ejemplo 3

a = 3 b = 4 a

a + b

c = ans

who

whos









00 Indeterminado











piformat long pi

format rat pi






y 0 si es falso)

Ejemplo 4


b=Esto no

c=3

ischar(a)

ischar(c)









Ejemplo 5




w = [123]





matriz

Ejemplo 6


w = [123] raquo z=[1

raquo 2


length(u)

length(w)

[fc]=size(u)

dimension=size(w)




siguiente


Ejemplo 7

x=0011

y=linspace(0111)




raquo u + v


















Ejemplo 8

a = [1 2 3]

b = [4 5 6]

c = dot(ab)

d = cross(ab)

e = prod(a)

f = prod(b)

135 flipud fliplr



transpose


un vector columna

Ejemplo 9

z=[1 i 2-i]

v=z

w=z






Ejemplo 10

a = 16



b = cumsum(a)

c = cumprod(a)









-3 -4]
















Ejemplo 11

M = eye(4)

N = zeros(3)

O = ones(2)

P = rand(32)

























151 sqrt abs


complejo


Ejemplo 12

sqrt(4)sqrt(-4)


152 exploglog10



Ejemplo 13

exp(1)



log(ans)

log10(10)



Ejemplo 14

sin(pi2)

sin(90)



radianes



Ejemplo 15




grados seria






154 sinh cosh tanh


como

Ejemplo 16








Ejemplo 17

x = -10011

y = tanh(x)

plot(xy)







Ejemplo 18

x = -10011

y = sin(x)

plot(xym)












function y=runge(x)


y=1(1+25x^2)


a la funcioacuten






Ejemplo 19

runge(0)

runge([-1 0 1])





help runge














x=rcos(z)

y=rsin(z)

Ejemplo 20

ro=ones(13)

zeta=[pi2 pi 3pi2]


help cartpol



TEOREMA DE ROLLE


Cont inua en [a b ]




Y s i f (a) = f(b)




Ejemplos









2]







Teorema de Bolzano


f (0) = 3




Teorema de Rol le

f (x ) = 7x 6 + 3














Asiacute se obtiene






Asiacute se obtiene


INTRODUCCION

















recta tangente










a) P(xo) = f (xo)

b) P (xo) = f (xo)

c) P (xo) = f (xo)


a = f (xo) b = f (xo) y c = (12)f (xo)


como









x 1+x

1 2 25 2718281828

05 15 1625 16487212707

03 13 1345 134985880757

01 11 1105 110517091807

001 101 101005 1010050167

0001 1001 10010005 100100050016






n




3 + + nan (x- xo)

n-1

P(2)


n-2

P(3)


P(n)

(x) = (1)(2)(n) an = n an




( I )




ejemplos


P(2) = 3 P (2) = 5 P (2)

(2) = 4 P (3)

(2) =24 y P (4)

(2) =48






P(x) = 3 + 5(x-2) + 2(x-2)2 + 4(x - 2)

3 + 2(x - 2)

4




P(x) = 7x3 + x

2 +8 P(1) = 16

P (x) = 21x2 + 2x P (1) = 23

P (2)

(x) = 42x + 2 P (2)

(1) = 44

P (3)

(x) = 42 P (3)

(1) = 42


P(x) =16 + 23(x - 1) + (442)(x - 1)2 + (426)(x - 1)

3

Es decir

P(x) =16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)2 + 7(x - 1)

3


7x3 + x

2 +8 = 16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)

2 + 7(x - 1)

3





tangente es decir











x 1+x

1 2 25 2666666 27083333 2718281828

05 15 1625 1645833 16484375 16487212707

03 13 1345 13495 13498375 134985880757

01 11 1105 110516667 110517083 110517091807

001 101 101005 101005017 101005017 1010050167

0001 1001 10010005 100100050000 100100050017 100100050016












f(x) = exp(x)

f(x) = sen(x)

f(x) = cos(x)



decir

f(x) = Pn(x) + En





xo (ab) se tiene








Medio


A la Expresioacuten




a) f(x) = senx

b) f(x) = cosx

c) f(x) = ex


f(x) = senx f(0) = 0

f (x) = cos(x) f (0) = 1

f (2)

(x) = -senx f (2)

(0) = 0

f (3)

(x) = -cos(x) f (3)

(0) = -1



f (4)

(x) = sen(x) f (4)

(0) = 0

f (5)

(x) = cos(x) f (5)

(0) = 1






o bien

0 bien





Taylor con residuo







a) f(x) = sen(x)


f (x) = sen(x) f( 6) = 05

f (x) = cos(x) f ( 6) = 08660254

f (x) = -sen(x) f ( 6) = -05

f (3)

(x) = -cos(x) f ( 6) = -08660254

f (4)

(x) = sen(x)







sen(35ordm) = 05 + 00755749 - 0001903858 - 0000095922 + E3

sen(35ordm) = 057357512 + E3


E3 = = (000000241)sen(c)








entonces












estime el error


a) f(x) =

b) xo = 27

f(27) = 3



= 3036579789




E2 =






estime el error




derivadas






e05

= 164583333 + E3



E3 =

Como f (4)


= 00078125










En =









= 1648697917








En =











= 2718281526


SUPERIOR
















(xo) = 0 f (n-1)

(xo) = 0 y f (n)


es par

1 Si n es par



a) f (n)


b) f (n)




Como f (n)



un subintervalo



(n)




f (n)



Al ser f (n)







3 + 6x

2 +4x


f (x) = 4x3 + 12x

2 + 12x +4 = 0

f (x) = 4(x3 + 3x

2 + 3x + 1) = 4(x + 1)

3 = 0 x = -1



f (x) = 12x2 + 24x + 12 f (-1) = 0

f (3)

(x) = 24x + 24 f (3)

(-1) = 0

f (4)

(x) = 24 f (4)

(-1) = 24



Comandos de Matlab






EJERCICIOS




izquierda

P1(x) P2(x) P3(x) P4(x)

xo + 11



xo + 09

xo + 03

xo + 01

xo + 001

xo + 0001

xo - 11

xo - 09

xo - 03

xo - 01

xo - 001

xo - 0001

1) en xo = 0

2) en xo = 0

3) en xo = 6


5) f(x) = lnx en xo = 1






4) P(x) = 4 - x2 +6x


5) P(x) = 2 + (x - 3)2 -x






1) P(0) = 7 P (0) = 3 P (2)

(0) = 8 P (3)

(0) =54

2) P(1) = 1 P (1) = 5 P (2)

(1) = 32 P (3)

(1) =42

3) P(-2) = 2 P (-2) = 4 P (2)

(-2) = 8 P (3)

(-2) =66


estime el error























VI





METODO DE BISECCION










f(a) = -05 f(b) = 1






















Grafica





nabcFaFbFcabs(c-a))

FaFblt=0 c=b

end


EJEMPLOS EN EXCEL

EJEMPLO 1









EJEMPLO 2






EJEMPLO 3













Celda Foacutermula

B15 = 1

D15 = 2

F15 = 0001

A18 = 1

B18 = B15



C18 = D15


E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5

F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5

G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5

A19 = A18+1

B19 = SI(B18G18gt0D18B18)

C19 = SI(B19=D18C18D18)


E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5

F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5

G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5

H19 = ABS(D19-D18)

I19 = H19D19

J19 = SI(I19lt=F$3D19)







Ejemplos










O bien














Ejemplo 1










Ejemplo 2



Solucioacuten


de donde











0

-02 100

-01557461506 2841

-01663039075 634

-0163826372 151



-0164410064 035
















Ejemplo 1


y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0612699837 632

0653442133 623

0652917265 008




Ejemplo 2


con y y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0823315073 214

0852330280 340

0853169121 009

















Hacemos

Y despejamos


aproximacioacuten

si











Ejemplo 1



Solucioacuten










1

1268941421 2119

1309108403 306

1309799389 0052


diacutegitos










ecuacioacuten








el intervalo

















de biseccioacuten


Sea contiacutenua











en el intervalo



Ejemplo 1



Solucioacuten




falsa


















Ejemplo 2



Solucioacuten









Evaluamos






Evaluamos






















1) Punto Fijo















Ejemplo decimal



bull Exponente = 9

02415068 x 10 ^ 9








es igual a 1











Ejemplo


1011010010001 = 1011010010001 x 2^12


Bit de signo = 0

Exponente 12 + 127 = 139 = 10001011









rarr - 407680




111111011100000 x 2 ^ 14

Mantisa (23 bits) = 11111011100000000000000




(050-0) 2 = 1 d0=0

(100-1) 2 = 0 d1=1

05010 = 012 = 10 x 2-1


0 01111110 00000000000000000000000


(375-3) 2 = 150 d0=3

(150-1) 2 = 100 d1=1

(100-1) 2 = 000 d2=1

37510 = 11112 = 1111 x 21




Ejercicio


a) 123 _________________

b) 202 _________________

c) 67 _________________

d) 7 _________________

e) 252 _________________

f) 91 _________________


a 1110 _______________________________________________

b 100110_____________________________________________

c 11111111____________________________________________

d 11010011___________________________________________

e 01000001 __________________________________________

f 11001110 ___________________________________________

g 01110101___________________________________________

h 10001111 ___________________________________________


0 10011000 10000100010100110000000



extendida


-175610

157510

562510

10 x 10-1

10

575251010


































e = Vr ndash Va


(siacute )

119890119903 =119890

119907119903=

119907119903minus119907119886

119907119903


ciento ()














particular



5



igual a 5













hombres



















9 Tipos de redondeo



Redondeo truncado







tenemos 07777
























particular











Ejemplo 1





devuelve su valor







121 Who Whos


y su tamantildeo

Ejemplo 3

a = 3 b = 4 a

a + b

c = ans

who

whos









00 Indeterminado











piformat long pi

format rat pi






y 0 si es falso)

Ejemplo 4


b=Esto no

c=3

ischar(a)

ischar(c)









Ejemplo 5




w = [123]





matriz

Ejemplo 6


w = [123] raquo z=[1

raquo 2


length(u)

length(w)

[fc]=size(u)

dimension=size(w)




siguiente


Ejemplo 7

x=0011

y=linspace(0111)




raquo u + v


















Ejemplo 8

a = [1 2 3]

b = [4 5 6]

c = dot(ab)

d = cross(ab)

e = prod(a)

f = prod(b)

135 flipud fliplr



transpose


un vector columna

Ejemplo 9

z=[1 i 2-i]

v=z

w=z






Ejemplo 10

a = 16



b = cumsum(a)

c = cumprod(a)









-3 -4]
















Ejemplo 11

M = eye(4)

N = zeros(3)

O = ones(2)

P = rand(32)

























151 sqrt abs


complejo


Ejemplo 12

sqrt(4)sqrt(-4)


152 exploglog10



Ejemplo 13

exp(1)



log(ans)

log10(10)



Ejemplo 14

sin(pi2)

sin(90)



radianes



Ejemplo 15




grados seria






154 sinh cosh tanh


como

Ejemplo 16








Ejemplo 17

x = -10011

y = tanh(x)

plot(xy)







Ejemplo 18

x = -10011

y = sin(x)

plot(xym)












function y=runge(x)


y=1(1+25x^2)


a la funcioacuten






Ejemplo 19

runge(0)

runge([-1 0 1])





help runge














x=rcos(z)

y=rsin(z)

Ejemplo 20

ro=ones(13)

zeta=[pi2 pi 3pi2]


help cartpol



TEOREMA DE ROLLE


Cont inua en [a b ]




Y s i f (a) = f(b)




Ejemplos









2]







Teorema de Bolzano


f (0) = 3




Teorema de Rol le

f (x ) = 7x 6 + 3














Asiacute se obtiene






Asiacute se obtiene


INTRODUCCION

















recta tangente










a) P(xo) = f (xo)

b) P (xo) = f (xo)

c) P (xo) = f (xo)


a = f (xo) b = f (xo) y c = (12)f (xo)


como









x 1+x

1 2 25 2718281828

05 15 1625 16487212707

03 13 1345 134985880757

01 11 1105 110517091807

001 101 101005 1010050167

0001 1001 10010005 100100050016






n




3 + + nan (x- xo)

n-1

P(2)


n-2

P(3)


P(n)

(x) = (1)(2)(n) an = n an




( I )




ejemplos


P(2) = 3 P (2) = 5 P (2)

(2) = 4 P (3)

(2) =24 y P (4)

(2) =48






P(x) = 3 + 5(x-2) + 2(x-2)2 + 4(x - 2)

3 + 2(x - 2)

4




P(x) = 7x3 + x

2 +8 P(1) = 16

P (x) = 21x2 + 2x P (1) = 23

P (2)

(x) = 42x + 2 P (2)

(1) = 44

P (3)

(x) = 42 P (3)

(1) = 42


P(x) =16 + 23(x - 1) + (442)(x - 1)2 + (426)(x - 1)

3

Es decir

P(x) =16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)2 + 7(x - 1)

3


7x3 + x

2 +8 = 16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)

2 + 7(x - 1)

3





tangente es decir











x 1+x

1 2 25 2666666 27083333 2718281828

05 15 1625 1645833 16484375 16487212707

03 13 1345 13495 13498375 134985880757

01 11 1105 110516667 110517083 110517091807

001 101 101005 101005017 101005017 1010050167

0001 1001 10010005 100100050000 100100050017 100100050016












f(x) = exp(x)

f(x) = sen(x)

f(x) = cos(x)



decir

f(x) = Pn(x) + En





xo (ab) se tiene








Medio


A la Expresioacuten




a) f(x) = senx

b) f(x) = cosx

c) f(x) = ex


f(x) = senx f(0) = 0

f (x) = cos(x) f (0) = 1

f (2)

(x) = -senx f (2)

(0) = 0

f (3)

(x) = -cos(x) f (3)

(0) = -1



f (4)

(x) = sen(x) f (4)

(0) = 0

f (5)

(x) = cos(x) f (5)

(0) = 1






o bien

0 bien





Taylor con residuo







a) f(x) = sen(x)


f (x) = sen(x) f( 6) = 05

f (x) = cos(x) f ( 6) = 08660254

f (x) = -sen(x) f ( 6) = -05

f (3)

(x) = -cos(x) f ( 6) = -08660254

f (4)

(x) = sen(x)







sen(35ordm) = 05 + 00755749 - 0001903858 - 0000095922 + E3

sen(35ordm) = 057357512 + E3


E3 = = (000000241)sen(c)








entonces












estime el error


a) f(x) =

b) xo = 27

f(27) = 3



= 3036579789




E2 =






estime el error




derivadas






e05

= 164583333 + E3



E3 =

Como f (4)


= 00078125










En =









= 1648697917








En =











= 2718281526


SUPERIOR
















(xo) = 0 f (n-1)

(xo) = 0 y f (n)


es par

1 Si n es par



a) f (n)


b) f (n)




Como f (n)



un subintervalo



(n)




f (n)



Al ser f (n)







3 + 6x

2 +4x


f (x) = 4x3 + 12x

2 + 12x +4 = 0

f (x) = 4(x3 + 3x

2 + 3x + 1) = 4(x + 1)

3 = 0 x = -1



f (x) = 12x2 + 24x + 12 f (-1) = 0

f (3)

(x) = 24x + 24 f (3)

(-1) = 0

f (4)

(x) = 24 f (4)

(-1) = 24



Comandos de Matlab






EJERCICIOS




izquierda

P1(x) P2(x) P3(x) P4(x)

xo + 11



xo + 09

xo + 03

xo + 01

xo + 001

xo + 0001

xo - 11

xo - 09

xo - 03

xo - 01

xo - 001

xo - 0001

1) en xo = 0

2) en xo = 0

3) en xo = 6


5) f(x) = lnx en xo = 1






4) P(x) = 4 - x2 +6x


5) P(x) = 2 + (x - 3)2 -x






1) P(0) = 7 P (0) = 3 P (2)

(0) = 8 P (3)

(0) =54

2) P(1) = 1 P (1) = 5 P (2)

(1) = 32 P (3)

(1) =42

3) P(-2) = 2 P (-2) = 4 P (2)

(-2) = 8 P (3)

(-2) =66


estime el error























VI





METODO DE BISECCION










f(a) = -05 f(b) = 1






















Grafica





nabcFaFbFcabs(c-a))

FaFblt=0 c=b

end


EJEMPLOS EN EXCEL

EJEMPLO 1









EJEMPLO 2






EJEMPLO 3













Celda Foacutermula

B15 = 1

D15 = 2

F15 = 0001

A18 = 1

B18 = B15



C18 = D15


E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5

F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5

G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5

A19 = A18+1

B19 = SI(B18G18gt0D18B18)

C19 = SI(B19=D18C18D18)


E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5

F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5

G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5

H19 = ABS(D19-D18)

I19 = H19D19

J19 = SI(I19lt=F$3D19)







Ejemplos










O bien














Ejemplo 1










Ejemplo 2



Solucioacuten


de donde











0

-02 100

-01557461506 2841

-01663039075 634

-0163826372 151



-0164410064 035
















Ejemplo 1


y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0612699837 632

0653442133 623

0652917265 008




Ejemplo 2


con y y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0823315073 214

0852330280 340

0853169121 009

















Hacemos

Y despejamos


aproximacioacuten

si











Ejemplo 1



Solucioacuten










1

1268941421 2119

1309108403 306

1309799389 0052


diacutegitos










ecuacioacuten








el intervalo

















de biseccioacuten


Sea contiacutenua











en el intervalo



Ejemplo 1



Solucioacuten




falsa


















Ejemplo 2



Solucioacuten









Evaluamos






Evaluamos




























Ejemplo


1011010010001 = 1011010010001 x 2^12


Bit de signo = 0

Exponente 12 + 127 = 139 = 10001011









rarr - 407680




111111011100000 x 2 ^ 14

Mantisa (23 bits) = 11111011100000000000000




(050-0) 2 = 1 d0=0

(100-1) 2 = 0 d1=1

05010 = 012 = 10 x 2-1


0 01111110 00000000000000000000000


(375-3) 2 = 150 d0=3

(150-1) 2 = 100 d1=1

(100-1) 2 = 000 d2=1

37510 = 11112 = 1111 x 21




Ejercicio


a) 123 _________________

b) 202 _________________

c) 67 _________________

d) 7 _________________

e) 252 _________________

f) 91 _________________


a 1110 _______________________________________________

b 100110_____________________________________________

c 11111111____________________________________________

d 11010011___________________________________________

e 01000001 __________________________________________

f 11001110 ___________________________________________

g 01110101___________________________________________

h 10001111 ___________________________________________


0 10011000 10000100010100110000000



extendida


-175610

157510

562510

10 x 10-1

10

575251010


































e = Vr ndash Va


(siacute )

119890119903 =119890

119907119903=

119907119903minus119907119886

119907119903


ciento ()














particular



5



igual a 5













hombres



















9 Tipos de redondeo



Redondeo truncado







tenemos 07777
























particular











Ejemplo 1





devuelve su valor







121 Who Whos


y su tamantildeo

Ejemplo 3

a = 3 b = 4 a

a + b

c = ans

who

whos









00 Indeterminado











piformat long pi

format rat pi






y 0 si es falso)

Ejemplo 4


b=Esto no

c=3

ischar(a)

ischar(c)









Ejemplo 5




w = [123]





matriz

Ejemplo 6


w = [123] raquo z=[1

raquo 2


length(u)

length(w)

[fc]=size(u)

dimension=size(w)




siguiente


Ejemplo 7

x=0011

y=linspace(0111)




raquo u + v


















Ejemplo 8

a = [1 2 3]

b = [4 5 6]

c = dot(ab)

d = cross(ab)

e = prod(a)

f = prod(b)

135 flipud fliplr



transpose


un vector columna

Ejemplo 9

z=[1 i 2-i]

v=z

w=z






Ejemplo 10

a = 16



b = cumsum(a)

c = cumprod(a)









-3 -4]
















Ejemplo 11

M = eye(4)

N = zeros(3)

O = ones(2)

P = rand(32)

























151 sqrt abs


complejo


Ejemplo 12

sqrt(4)sqrt(-4)


152 exploglog10



Ejemplo 13

exp(1)



log(ans)

log10(10)



Ejemplo 14

sin(pi2)

sin(90)



radianes



Ejemplo 15




grados seria






154 sinh cosh tanh


como

Ejemplo 16








Ejemplo 17

x = -10011

y = tanh(x)

plot(xy)







Ejemplo 18

x = -10011

y = sin(x)

plot(xym)












function y=runge(x)


y=1(1+25x^2)


a la funcioacuten






Ejemplo 19

runge(0)

runge([-1 0 1])





help runge














x=rcos(z)

y=rsin(z)

Ejemplo 20

ro=ones(13)

zeta=[pi2 pi 3pi2]


help cartpol



TEOREMA DE ROLLE


Cont inua en [a b ]




Y s i f (a) = f(b)




Ejemplos









2]







Teorema de Bolzano


f (0) = 3




Teorema de Rol le

f (x ) = 7x 6 + 3














Asiacute se obtiene






Asiacute se obtiene


INTRODUCCION

















recta tangente










a) P(xo) = f (xo)

b) P (xo) = f (xo)

c) P (xo) = f (xo)


a = f (xo) b = f (xo) y c = (12)f (xo)


como









x 1+x

1 2 25 2718281828

05 15 1625 16487212707

03 13 1345 134985880757

01 11 1105 110517091807

001 101 101005 1010050167

0001 1001 10010005 100100050016






n




3 + + nan (x- xo)

n-1

P(2)


n-2

P(3)


P(n)

(x) = (1)(2)(n) an = n an




( I )




ejemplos


P(2) = 3 P (2) = 5 P (2)

(2) = 4 P (3)

(2) =24 y P (4)

(2) =48






P(x) = 3 + 5(x-2) + 2(x-2)2 + 4(x - 2)

3 + 2(x - 2)

4




P(x) = 7x3 + x

2 +8 P(1) = 16

P (x) = 21x2 + 2x P (1) = 23

P (2)

(x) = 42x + 2 P (2)

(1) = 44

P (3)

(x) = 42 P (3)

(1) = 42


P(x) =16 + 23(x - 1) + (442)(x - 1)2 + (426)(x - 1)

3

Es decir

P(x) =16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)2 + 7(x - 1)

3


7x3 + x

2 +8 = 16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)

2 + 7(x - 1)

3





tangente es decir











x 1+x

1 2 25 2666666 27083333 2718281828

05 15 1625 1645833 16484375 16487212707

03 13 1345 13495 13498375 134985880757

01 11 1105 110516667 110517083 110517091807

001 101 101005 101005017 101005017 1010050167

0001 1001 10010005 100100050000 100100050017 100100050016












f(x) = exp(x)

f(x) = sen(x)

f(x) = cos(x)



decir

f(x) = Pn(x) + En





xo (ab) se tiene








Medio


A la Expresioacuten




a) f(x) = senx

b) f(x) = cosx

c) f(x) = ex


f(x) = senx f(0) = 0

f (x) = cos(x) f (0) = 1

f (2)

(x) = -senx f (2)

(0) = 0

f (3)

(x) = -cos(x) f (3)

(0) = -1



f (4)

(x) = sen(x) f (4)

(0) = 0

f (5)

(x) = cos(x) f (5)

(0) = 1






o bien

0 bien





Taylor con residuo







a) f(x) = sen(x)


f (x) = sen(x) f( 6) = 05

f (x) = cos(x) f ( 6) = 08660254

f (x) = -sen(x) f ( 6) = -05

f (3)

(x) = -cos(x) f ( 6) = -08660254

f (4)

(x) = sen(x)







sen(35ordm) = 05 + 00755749 - 0001903858 - 0000095922 + E3

sen(35ordm) = 057357512 + E3


E3 = = (000000241)sen(c)








entonces












estime el error


a) f(x) =

b) xo = 27

f(27) = 3



= 3036579789




E2 =






estime el error




derivadas






e05

= 164583333 + E3



E3 =

Como f (4)


= 00078125










En =









= 1648697917








En =











= 2718281526


SUPERIOR
















(xo) = 0 f (n-1)

(xo) = 0 y f (n)


es par

1 Si n es par



a) f (n)


b) f (n)




Como f (n)



un subintervalo



(n)




f (n)



Al ser f (n)







3 + 6x

2 +4x


f (x) = 4x3 + 12x

2 + 12x +4 = 0

f (x) = 4(x3 + 3x

2 + 3x + 1) = 4(x + 1)

3 = 0 x = -1



f (x) = 12x2 + 24x + 12 f (-1) = 0

f (3)

(x) = 24x + 24 f (3)

(-1) = 0

f (4)

(x) = 24 f (4)

(-1) = 24



Comandos de Matlab






EJERCICIOS




izquierda

P1(x) P2(x) P3(x) P4(x)

xo + 11



xo + 09

xo + 03

xo + 01

xo + 001

xo + 0001

xo - 11

xo - 09

xo - 03

xo - 01

xo - 001

xo - 0001

1) en xo = 0

2) en xo = 0

3) en xo = 6


5) f(x) = lnx en xo = 1






4) P(x) = 4 - x2 +6x


5) P(x) = 2 + (x - 3)2 -x






1) P(0) = 7 P (0) = 3 P (2)

(0) = 8 P (3)

(0) =54

2) P(1) = 1 P (1) = 5 P (2)

(1) = 32 P (3)

(1) =42

3) P(-2) = 2 P (-2) = 4 P (2)

(-2) = 8 P (3)

(-2) =66


estime el error























VI





METODO DE BISECCION










f(a) = -05 f(b) = 1






















Grafica





nabcFaFbFcabs(c-a))

FaFblt=0 c=b

end


EJEMPLOS EN EXCEL

EJEMPLO 1









EJEMPLO 2






EJEMPLO 3













Celda Foacutermula

B15 = 1

D15 = 2

F15 = 0001

A18 = 1

B18 = B15



C18 = D15


E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5

F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5

G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5

A19 = A18+1

B19 = SI(B18G18gt0D18B18)

C19 = SI(B19=D18C18D18)


E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5

F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5

G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5

H19 = ABS(D19-D18)

I19 = H19D19

J19 = SI(I19lt=F$3D19)







Ejemplos










O bien














Ejemplo 1










Ejemplo 2



Solucioacuten


de donde











0

-02 100

-01557461506 2841

-01663039075 634

-0163826372 151



-0164410064 035
















Ejemplo 1


y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0612699837 632

0653442133 623

0652917265 008




Ejemplo 2


con y y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0823315073 214

0852330280 340

0853169121 009

















Hacemos

Y despejamos


aproximacioacuten

si











Ejemplo 1



Solucioacuten










1

1268941421 2119

1309108403 306

1309799389 0052


diacutegitos










ecuacioacuten








el intervalo

















de biseccioacuten


Sea contiacutenua











en el intervalo



Ejemplo 1



Solucioacuten




falsa


















Ejemplo 2



Solucioacuten









Evaluamos






Evaluamos




















rarr - 407680




111111011100000 x 2 ^ 14

Mantisa (23 bits) = 11111011100000000000000




(050-0) 2 = 1 d0=0

(100-1) 2 = 0 d1=1

05010 = 012 = 10 x 2-1


0 01111110 00000000000000000000000


(375-3) 2 = 150 d0=3

(150-1) 2 = 100 d1=1

(100-1) 2 = 000 d2=1

37510 = 11112 = 1111 x 21




Ejercicio


a) 123 _________________

b) 202 _________________

c) 67 _________________

d) 7 _________________

e) 252 _________________

f) 91 _________________


a 1110 _______________________________________________

b 100110_____________________________________________

c 11111111____________________________________________

d 11010011___________________________________________

e 01000001 __________________________________________

f 11001110 ___________________________________________

g 01110101___________________________________________

h 10001111 ___________________________________________


0 10011000 10000100010100110000000



extendida


-175610

157510

562510

10 x 10-1

10

575251010


































e = Vr ndash Va


(siacute )

119890119903 =119890

119907119903=

119907119903minus119907119886

119907119903


ciento ()














particular



5



igual a 5













hombres



















9 Tipos de redondeo



Redondeo truncado







tenemos 07777
























particular











Ejemplo 1





devuelve su valor







121 Who Whos


y su tamantildeo

Ejemplo 3

a = 3 b = 4 a

a + b

c = ans

who

whos









00 Indeterminado











piformat long pi

format rat pi






y 0 si es falso)

Ejemplo 4


b=Esto no

c=3

ischar(a)

ischar(c)









Ejemplo 5




w = [123]





matriz

Ejemplo 6


w = [123] raquo z=[1

raquo 2


length(u)

length(w)

[fc]=size(u)

dimension=size(w)




siguiente


Ejemplo 7

x=0011

y=linspace(0111)




raquo u + v


















Ejemplo 8

a = [1 2 3]

b = [4 5 6]

c = dot(ab)

d = cross(ab)

e = prod(a)

f = prod(b)

135 flipud fliplr



transpose


un vector columna

Ejemplo 9

z=[1 i 2-i]

v=z

w=z






Ejemplo 10

a = 16



b = cumsum(a)

c = cumprod(a)









-3 -4]
















Ejemplo 11

M = eye(4)

N = zeros(3)

O = ones(2)

P = rand(32)

























151 sqrt abs


complejo


Ejemplo 12

sqrt(4)sqrt(-4)


152 exploglog10



Ejemplo 13

exp(1)



log(ans)

log10(10)



Ejemplo 14

sin(pi2)

sin(90)



radianes



Ejemplo 15




grados seria






154 sinh cosh tanh


como

Ejemplo 16








Ejemplo 17

x = -10011

y = tanh(x)

plot(xy)







Ejemplo 18

x = -10011

y = sin(x)

plot(xym)












function y=runge(x)


y=1(1+25x^2)


a la funcioacuten






Ejemplo 19

runge(0)

runge([-1 0 1])





help runge














x=rcos(z)

y=rsin(z)

Ejemplo 20

ro=ones(13)

zeta=[pi2 pi 3pi2]


help cartpol



TEOREMA DE ROLLE


Cont inua en [a b ]




Y s i f (a) = f(b)




Ejemplos









2]







Teorema de Bolzano


f (0) = 3




Teorema de Rol le

f (x ) = 7x 6 + 3














Asiacute se obtiene






Asiacute se obtiene


INTRODUCCION

















recta tangente










a) P(xo) = f (xo)

b) P (xo) = f (xo)

c) P (xo) = f (xo)


a = f (xo) b = f (xo) y c = (12)f (xo)


como









x 1+x

1 2 25 2718281828

05 15 1625 16487212707

03 13 1345 134985880757

01 11 1105 110517091807

001 101 101005 1010050167

0001 1001 10010005 100100050016






n




3 + + nan (x- xo)

n-1

P(2)


n-2

P(3)


P(n)

(x) = (1)(2)(n) an = n an




( I )




ejemplos


P(2) = 3 P (2) = 5 P (2)

(2) = 4 P (3)

(2) =24 y P (4)

(2) =48






P(x) = 3 + 5(x-2) + 2(x-2)2 + 4(x - 2)

3 + 2(x - 2)

4




P(x) = 7x3 + x

2 +8 P(1) = 16

P (x) = 21x2 + 2x P (1) = 23

P (2)

(x) = 42x + 2 P (2)

(1) = 44

P (3)

(x) = 42 P (3)

(1) = 42


P(x) =16 + 23(x - 1) + (442)(x - 1)2 + (426)(x - 1)

3

Es decir

P(x) =16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)2 + 7(x - 1)

3


7x3 + x

2 +8 = 16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)

2 + 7(x - 1)

3





tangente es decir











x 1+x

1 2 25 2666666 27083333 2718281828

05 15 1625 1645833 16484375 16487212707

03 13 1345 13495 13498375 134985880757

01 11 1105 110516667 110517083 110517091807

001 101 101005 101005017 101005017 1010050167

0001 1001 10010005 100100050000 100100050017 100100050016












f(x) = exp(x)

f(x) = sen(x)

f(x) = cos(x)



decir

f(x) = Pn(x) + En





xo (ab) se tiene








Medio


A la Expresioacuten




a) f(x) = senx

b) f(x) = cosx

c) f(x) = ex


f(x) = senx f(0) = 0

f (x) = cos(x) f (0) = 1

f (2)

(x) = -senx f (2)

(0) = 0

f (3)

(x) = -cos(x) f (3)

(0) = -1



f (4)

(x) = sen(x) f (4)

(0) = 0

f (5)

(x) = cos(x) f (5)

(0) = 1






o bien

0 bien





Taylor con residuo







a) f(x) = sen(x)


f (x) = sen(x) f( 6) = 05

f (x) = cos(x) f ( 6) = 08660254

f (x) = -sen(x) f ( 6) = -05

f (3)

(x) = -cos(x) f ( 6) = -08660254

f (4)

(x) = sen(x)







sen(35ordm) = 05 + 00755749 - 0001903858 - 0000095922 + E3

sen(35ordm) = 057357512 + E3


E3 = = (000000241)sen(c)








entonces












estime el error


a) f(x) =

b) xo = 27

f(27) = 3



= 3036579789




E2 =






estime el error




derivadas






e05

= 164583333 + E3



E3 =

Como f (4)


= 00078125










En =









= 1648697917








En =











= 2718281526


SUPERIOR
















(xo) = 0 f (n-1)

(xo) = 0 y f (n)


es par

1 Si n es par



a) f (n)


b) f (n)




Como f (n)



un subintervalo



(n)




f (n)



Al ser f (n)







3 + 6x

2 +4x


f (x) = 4x3 + 12x

2 + 12x +4 = 0

f (x) = 4(x3 + 3x

2 + 3x + 1) = 4(x + 1)

3 = 0 x = -1



f (x) = 12x2 + 24x + 12 f (-1) = 0

f (3)

(x) = 24x + 24 f (3)

(-1) = 0

f (4)

(x) = 24 f (4)

(-1) = 24



Comandos de Matlab






EJERCICIOS




izquierda

P1(x) P2(x) P3(x) P4(x)

xo + 11



xo + 09

xo + 03

xo + 01

xo + 001

xo + 0001

xo - 11

xo - 09

xo - 03

xo - 01

xo - 001

xo - 0001

1) en xo = 0

2) en xo = 0

3) en xo = 6


5) f(x) = lnx en xo = 1






4) P(x) = 4 - x2 +6x


5) P(x) = 2 + (x - 3)2 -x






1) P(0) = 7 P (0) = 3 P (2)

(0) = 8 P (3)

(0) =54

2) P(1) = 1 P (1) = 5 P (2)

(1) = 32 P (3)

(1) =42

3) P(-2) = 2 P (-2) = 4 P (2)

(-2) = 8 P (3)

(-2) =66


estime el error























VI





METODO DE BISECCION










f(a) = -05 f(b) = 1






















Grafica





nabcFaFbFcabs(c-a))

FaFblt=0 c=b

end


EJEMPLOS EN EXCEL

EJEMPLO 1









EJEMPLO 2






EJEMPLO 3













Celda Foacutermula

B15 = 1

D15 = 2

F15 = 0001

A18 = 1

B18 = B15



C18 = D15


E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5

F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5

G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5

A19 = A18+1

B19 = SI(B18G18gt0D18B18)

C19 = SI(B19=D18C18D18)


E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5

F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5

G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5

H19 = ABS(D19-D18)

I19 = H19D19

J19 = SI(I19lt=F$3D19)







Ejemplos










O bien














Ejemplo 1










Ejemplo 2



Solucioacuten


de donde











0

-02 100

-01557461506 2841

-01663039075 634

-0163826372 151



-0164410064 035
















Ejemplo 1


y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0612699837 632

0653442133 623

0652917265 008




Ejemplo 2


con y y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0823315073 214

0852330280 340

0853169121 009

















Hacemos

Y despejamos


aproximacioacuten

si











Ejemplo 1



Solucioacuten










1

1268941421 2119

1309108403 306

1309799389 0052


diacutegitos










ecuacioacuten








el intervalo

















de biseccioacuten


Sea contiacutenua











en el intervalo



Ejemplo 1



Solucioacuten




falsa


















Ejemplo 2



Solucioacuten









Evaluamos






Evaluamos




















Ejercicio


a) 123 _________________

b) 202 _________________

c) 67 _________________

d) 7 _________________

e) 252 _________________

f) 91 _________________


a 1110 _______________________________________________

b 100110_____________________________________________

c 11111111____________________________________________

d 11010011___________________________________________

e 01000001 __________________________________________

f 11001110 ___________________________________________

g 01110101___________________________________________

h 10001111 ___________________________________________


0 10011000 10000100010100110000000



extendida


-175610

157510

562510

10 x 10-1

10

575251010


































e = Vr ndash Va


(siacute )

119890119903 =119890

119907119903=

119907119903minus119907119886

119907119903


ciento ()














particular



5



igual a 5













hombres



















9 Tipos de redondeo



Redondeo truncado







tenemos 07777
























particular











Ejemplo 1





devuelve su valor







121 Who Whos


y su tamantildeo

Ejemplo 3

a = 3 b = 4 a

a + b

c = ans

who

whos









00 Indeterminado











piformat long pi

format rat pi






y 0 si es falso)

Ejemplo 4


b=Esto no

c=3

ischar(a)

ischar(c)









Ejemplo 5




w = [123]





matriz

Ejemplo 6


w = [123] raquo z=[1

raquo 2


length(u)

length(w)

[fc]=size(u)

dimension=size(w)




siguiente


Ejemplo 7

x=0011

y=linspace(0111)




raquo u + v


















Ejemplo 8

a = [1 2 3]

b = [4 5 6]

c = dot(ab)

d = cross(ab)

e = prod(a)

f = prod(b)

135 flipud fliplr



transpose


un vector columna

Ejemplo 9

z=[1 i 2-i]

v=z

w=z






Ejemplo 10

a = 16



b = cumsum(a)

c = cumprod(a)









-3 -4]
















Ejemplo 11

M = eye(4)

N = zeros(3)

O = ones(2)

P = rand(32)

























151 sqrt abs


complejo


Ejemplo 12

sqrt(4)sqrt(-4)


152 exploglog10



Ejemplo 13

exp(1)



log(ans)

log10(10)



Ejemplo 14

sin(pi2)

sin(90)



radianes



Ejemplo 15




grados seria






154 sinh cosh tanh


como

Ejemplo 16








Ejemplo 17

x = -10011

y = tanh(x)

plot(xy)







Ejemplo 18

x = -10011

y = sin(x)

plot(xym)












function y=runge(x)


y=1(1+25x^2)


a la funcioacuten






Ejemplo 19

runge(0)

runge([-1 0 1])





help runge














x=rcos(z)

y=rsin(z)

Ejemplo 20

ro=ones(13)

zeta=[pi2 pi 3pi2]


help cartpol



TEOREMA DE ROLLE


Cont inua en [a b ]




Y s i f (a) = f(b)




Ejemplos









2]







Teorema de Bolzano


f (0) = 3




Teorema de Rol le

f (x ) = 7x 6 + 3














Asiacute se obtiene






Asiacute se obtiene


INTRODUCCION

















recta tangente










a) P(xo) = f (xo)

b) P (xo) = f (xo)

c) P (xo) = f (xo)


a = f (xo) b = f (xo) y c = (12)f (xo)


como









x 1+x

1 2 25 2718281828

05 15 1625 16487212707

03 13 1345 134985880757

01 11 1105 110517091807

001 101 101005 1010050167

0001 1001 10010005 100100050016






n




3 + + nan (x- xo)

n-1

P(2)


n-2

P(3)


P(n)

(x) = (1)(2)(n) an = n an




( I )




ejemplos


P(2) = 3 P (2) = 5 P (2)

(2) = 4 P (3)

(2) =24 y P (4)

(2) =48






P(x) = 3 + 5(x-2) + 2(x-2)2 + 4(x - 2)

3 + 2(x - 2)

4




P(x) = 7x3 + x

2 +8 P(1) = 16

P (x) = 21x2 + 2x P (1) = 23

P (2)

(x) = 42x + 2 P (2)

(1) = 44

P (3)

(x) = 42 P (3)

(1) = 42


P(x) =16 + 23(x - 1) + (442)(x - 1)2 + (426)(x - 1)

3

Es decir

P(x) =16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)2 + 7(x - 1)

3


7x3 + x

2 +8 = 16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)

2 + 7(x - 1)

3





tangente es decir











x 1+x

1 2 25 2666666 27083333 2718281828

05 15 1625 1645833 16484375 16487212707

03 13 1345 13495 13498375 134985880757

01 11 1105 110516667 110517083 110517091807

001 101 101005 101005017 101005017 1010050167

0001 1001 10010005 100100050000 100100050017 100100050016












f(x) = exp(x)

f(x) = sen(x)

f(x) = cos(x)



decir

f(x) = Pn(x) + En





xo (ab) se tiene








Medio


A la Expresioacuten




a) f(x) = senx

b) f(x) = cosx

c) f(x) = ex


f(x) = senx f(0) = 0

f (x) = cos(x) f (0) = 1

f (2)

(x) = -senx f (2)

(0) = 0

f (3)

(x) = -cos(x) f (3)

(0) = -1



f (4)

(x) = sen(x) f (4)

(0) = 0

f (5)

(x) = cos(x) f (5)

(0) = 1






o bien

0 bien





Taylor con residuo







a) f(x) = sen(x)


f (x) = sen(x) f( 6) = 05

f (x) = cos(x) f ( 6) = 08660254

f (x) = -sen(x) f ( 6) = -05

f (3)

(x) = -cos(x) f ( 6) = -08660254

f (4)

(x) = sen(x)







sen(35ordm) = 05 + 00755749 - 0001903858 - 0000095922 + E3

sen(35ordm) = 057357512 + E3


E3 = = (000000241)sen(c)








entonces












estime el error


a) f(x) =

b) xo = 27

f(27) = 3



= 3036579789




E2 =






estime el error




derivadas






e05

= 164583333 + E3



E3 =

Como f (4)


= 00078125










En =









= 1648697917








En =











= 2718281526


SUPERIOR
















(xo) = 0 f (n-1)

(xo) = 0 y f (n)


es par

1 Si n es par



a) f (n)


b) f (n)




Como f (n)



un subintervalo



(n)




f (n)



Al ser f (n)







3 + 6x

2 +4x


f (x) = 4x3 + 12x

2 + 12x +4 = 0

f (x) = 4(x3 + 3x

2 + 3x + 1) = 4(x + 1)

3 = 0 x = -1



f (x) = 12x2 + 24x + 12 f (-1) = 0

f (3)

(x) = 24x + 24 f (3)

(-1) = 0

f (4)

(x) = 24 f (4)

(-1) = 24



Comandos de Matlab






EJERCICIOS




izquierda

P1(x) P2(x) P3(x) P4(x)

xo + 11



xo + 09

xo + 03

xo + 01

xo + 001

xo + 0001

xo - 11

xo - 09

xo - 03

xo - 01

xo - 001

xo - 0001

1) en xo = 0

2) en xo = 0

3) en xo = 6


5) f(x) = lnx en xo = 1






4) P(x) = 4 - x2 +6x


5) P(x) = 2 + (x - 3)2 -x






1) P(0) = 7 P (0) = 3 P (2)

(0) = 8 P (3)

(0) =54

2) P(1) = 1 P (1) = 5 P (2)

(1) = 32 P (3)

(1) =42

3) P(-2) = 2 P (-2) = 4 P (2)

(-2) = 8 P (3)

(-2) =66


estime el error























VI





METODO DE BISECCION










f(a) = -05 f(b) = 1






















Grafica





nabcFaFbFcabs(c-a))

FaFblt=0 c=b

end


EJEMPLOS EN EXCEL

EJEMPLO 1









EJEMPLO 2






EJEMPLO 3













Celda Foacutermula

B15 = 1

D15 = 2

F15 = 0001

A18 = 1

B18 = B15



C18 = D15


E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5

F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5

G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5

A19 = A18+1

B19 = SI(B18G18gt0D18B18)

C19 = SI(B19=D18C18D18)


E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5

F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5

G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5

H19 = ABS(D19-D18)

I19 = H19D19

J19 = SI(I19lt=F$3D19)







Ejemplos










O bien














Ejemplo 1










Ejemplo 2



Solucioacuten


de donde











0

-02 100

-01557461506 2841

-01663039075 634

-0163826372 151



-0164410064 035
















Ejemplo 1


y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0612699837 632

0653442133 623

0652917265 008




Ejemplo 2


con y y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0823315073 214

0852330280 340

0853169121 009

















Hacemos

Y despejamos


aproximacioacuten

si











Ejemplo 1



Solucioacuten










1

1268941421 2119

1309108403 306

1309799389 0052


diacutegitos










ecuacioacuten








el intervalo

















de biseccioacuten


Sea contiacutenua











en el intervalo



Ejemplo 1



Solucioacuten




falsa


















Ejemplo 2



Solucioacuten









Evaluamos






Evaluamos



















































e = Vr ndash Va


(siacute )

119890119903 =119890

119907119903=

119907119903minus119907119886

119907119903


ciento ()














particular



5



igual a 5













hombres



















9 Tipos de redondeo



Redondeo truncado







tenemos 07777
























particular











Ejemplo 1





devuelve su valor







121 Who Whos


y su tamantildeo

Ejemplo 3

a = 3 b = 4 a

a + b

c = ans

who

whos









00 Indeterminado











piformat long pi

format rat pi






y 0 si es falso)

Ejemplo 4


b=Esto no

c=3

ischar(a)

ischar(c)









Ejemplo 5




w = [123]





matriz

Ejemplo 6


w = [123] raquo z=[1

raquo 2


length(u)

length(w)

[fc]=size(u)

dimension=size(w)




siguiente


Ejemplo 7

x=0011

y=linspace(0111)




raquo u + v


















Ejemplo 8

a = [1 2 3]

b = [4 5 6]

c = dot(ab)

d = cross(ab)

e = prod(a)

f = prod(b)

135 flipud fliplr



transpose


un vector columna

Ejemplo 9

z=[1 i 2-i]

v=z

w=z






Ejemplo 10

a = 16



b = cumsum(a)

c = cumprod(a)









-3 -4]
















Ejemplo 11

M = eye(4)

N = zeros(3)

O = ones(2)

P = rand(32)

























151 sqrt abs


complejo


Ejemplo 12

sqrt(4)sqrt(-4)


152 exploglog10



Ejemplo 13

exp(1)



log(ans)

log10(10)



Ejemplo 14

sin(pi2)

sin(90)



radianes



Ejemplo 15




grados seria






154 sinh cosh tanh


como

Ejemplo 16








Ejemplo 17

x = -10011

y = tanh(x)

plot(xy)







Ejemplo 18

x = -10011

y = sin(x)

plot(xym)












function y=runge(x)


y=1(1+25x^2)


a la funcioacuten






Ejemplo 19

runge(0)

runge([-1 0 1])





help runge














x=rcos(z)

y=rsin(z)

Ejemplo 20

ro=ones(13)

zeta=[pi2 pi 3pi2]


help cartpol



TEOREMA DE ROLLE


Cont inua en [a b ]




Y s i f (a) = f(b)




Ejemplos









2]







Teorema de Bolzano


f (0) = 3




Teorema de Rol le

f (x ) = 7x 6 + 3














Asiacute se obtiene






Asiacute se obtiene


INTRODUCCION

















recta tangente










a) P(xo) = f (xo)

b) P (xo) = f (xo)

c) P (xo) = f (xo)


a = f (xo) b = f (xo) y c = (12)f (xo)


como









x 1+x

1 2 25 2718281828

05 15 1625 16487212707

03 13 1345 134985880757

01 11 1105 110517091807

001 101 101005 1010050167

0001 1001 10010005 100100050016






n




3 + + nan (x- xo)

n-1

P(2)


n-2

P(3)


P(n)

(x) = (1)(2)(n) an = n an




( I )




ejemplos


P(2) = 3 P (2) = 5 P (2)

(2) = 4 P (3)

(2) =24 y P (4)

(2) =48






P(x) = 3 + 5(x-2) + 2(x-2)2 + 4(x - 2)

3 + 2(x - 2)

4




P(x) = 7x3 + x

2 +8 P(1) = 16

P (x) = 21x2 + 2x P (1) = 23

P (2)

(x) = 42x + 2 P (2)

(1) = 44

P (3)

(x) = 42 P (3)

(1) = 42


P(x) =16 + 23(x - 1) + (442)(x - 1)2 + (426)(x - 1)

3

Es decir

P(x) =16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)2 + 7(x - 1)

3


7x3 + x

2 +8 = 16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)

2 + 7(x - 1)

3





tangente es decir











x 1+x

1 2 25 2666666 27083333 2718281828

05 15 1625 1645833 16484375 16487212707

03 13 1345 13495 13498375 134985880757

01 11 1105 110516667 110517083 110517091807

001 101 101005 101005017 101005017 1010050167

0001 1001 10010005 100100050000 100100050017 100100050016












f(x) = exp(x)

f(x) = sen(x)

f(x) = cos(x)



decir

f(x) = Pn(x) + En





xo (ab) se tiene








Medio


A la Expresioacuten




a) f(x) = senx

b) f(x) = cosx

c) f(x) = ex


f(x) = senx f(0) = 0

f (x) = cos(x) f (0) = 1

f (2)

(x) = -senx f (2)

(0) = 0

f (3)

(x) = -cos(x) f (3)

(0) = -1



f (4)

(x) = sen(x) f (4)

(0) = 0

f (5)

(x) = cos(x) f (5)

(0) = 1






o bien

0 bien





Taylor con residuo







a) f(x) = sen(x)


f (x) = sen(x) f( 6) = 05

f (x) = cos(x) f ( 6) = 08660254

f (x) = -sen(x) f ( 6) = -05

f (3)

(x) = -cos(x) f ( 6) = -08660254

f (4)

(x) = sen(x)







sen(35ordm) = 05 + 00755749 - 0001903858 - 0000095922 + E3

sen(35ordm) = 057357512 + E3


E3 = = (000000241)sen(c)








entonces












estime el error


a) f(x) =

b) xo = 27

f(27) = 3



= 3036579789




E2 =






estime el error




derivadas






e05

= 164583333 + E3



E3 =

Como f (4)


= 00078125










En =









= 1648697917








En =











= 2718281526


SUPERIOR
















(xo) = 0 f (n-1)

(xo) = 0 y f (n)


es par

1 Si n es par



a) f (n)


b) f (n)




Como f (n)



un subintervalo



(n)




f (n)



Al ser f (n)







3 + 6x

2 +4x


f (x) = 4x3 + 12x

2 + 12x +4 = 0

f (x) = 4(x3 + 3x

2 + 3x + 1) = 4(x + 1)

3 = 0 x = -1



f (x) = 12x2 + 24x + 12 f (-1) = 0

f (3)

(x) = 24x + 24 f (3)

(-1) = 0

f (4)

(x) = 24 f (4)

(-1) = 24



Comandos de Matlab






EJERCICIOS




izquierda

P1(x) P2(x) P3(x) P4(x)

xo + 11



xo + 09

xo + 03

xo + 01

xo + 001

xo + 0001

xo - 11

xo - 09

xo - 03

xo - 01

xo - 001

xo - 0001

1) en xo = 0

2) en xo = 0

3) en xo = 6


5) f(x) = lnx en xo = 1






4) P(x) = 4 - x2 +6x


5) P(x) = 2 + (x - 3)2 -x






1) P(0) = 7 P (0) = 3 P (2)

(0) = 8 P (3)

(0) =54

2) P(1) = 1 P (1) = 5 P (2)

(1) = 32 P (3)

(1) =42

3) P(-2) = 2 P (-2) = 4 P (2)

(-2) = 8 P (3)

(-2) =66


estime el error























VI





METODO DE BISECCION










f(a) = -05 f(b) = 1






















Grafica





nabcFaFbFcabs(c-a))

FaFblt=0 c=b

end


EJEMPLOS EN EXCEL

EJEMPLO 1









EJEMPLO 2






EJEMPLO 3













Celda Foacutermula

B15 = 1

D15 = 2

F15 = 0001

A18 = 1

B18 = B15



C18 = D15


E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5

F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5

G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5

A19 = A18+1

B19 = SI(B18G18gt0D18B18)

C19 = SI(B19=D18C18D18)


E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5

F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5

G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5

H19 = ABS(D19-D18)

I19 = H19D19

J19 = SI(I19lt=F$3D19)







Ejemplos










O bien














Ejemplo 1










Ejemplo 2



Solucioacuten


de donde











0

-02 100

-01557461506 2841

-01663039075 634

-0163826372 151



-0164410064 035
















Ejemplo 1


y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0612699837 632

0653442133 623

0652917265 008




Ejemplo 2


con y y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0823315073 214

0852330280 340

0853169121 009

















Hacemos

Y despejamos


aproximacioacuten

si











Ejemplo 1



Solucioacuten










1

1268941421 2119

1309108403 306

1309799389 0052


diacutegitos










ecuacioacuten








el intervalo

















de biseccioacuten


Sea contiacutenua











en el intervalo



Ejemplo 1



Solucioacuten




falsa


















Ejemplo 2



Solucioacuten









Evaluamos






Evaluamos






























hombres



















9 Tipos de redondeo



Redondeo truncado







tenemos 07777
























particular











Ejemplo 1





devuelve su valor







121 Who Whos


y su tamantildeo

Ejemplo 3

a = 3 b = 4 a

a + b

c = ans

who

whos









00 Indeterminado











piformat long pi

format rat pi






y 0 si es falso)

Ejemplo 4


b=Esto no

c=3

ischar(a)

ischar(c)









Ejemplo 5




w = [123]





matriz

Ejemplo 6


w = [123] raquo z=[1

raquo 2


length(u)

length(w)

[fc]=size(u)

dimension=size(w)




siguiente


Ejemplo 7

x=0011

y=linspace(0111)




raquo u + v


















Ejemplo 8

a = [1 2 3]

b = [4 5 6]

c = dot(ab)

d = cross(ab)

e = prod(a)

f = prod(b)

135 flipud fliplr



transpose


un vector columna

Ejemplo 9

z=[1 i 2-i]

v=z

w=z






Ejemplo 10

a = 16



b = cumsum(a)

c = cumprod(a)









-3 -4]
















Ejemplo 11

M = eye(4)

N = zeros(3)

O = ones(2)

P = rand(32)

























151 sqrt abs


complejo


Ejemplo 12

sqrt(4)sqrt(-4)


152 exploglog10



Ejemplo 13

exp(1)



log(ans)

log10(10)



Ejemplo 14

sin(pi2)

sin(90)



radianes



Ejemplo 15




grados seria






154 sinh cosh tanh


como

Ejemplo 16








Ejemplo 17

x = -10011

y = tanh(x)

plot(xy)







Ejemplo 18

x = -10011

y = sin(x)

plot(xym)












function y=runge(x)


y=1(1+25x^2)


a la funcioacuten






Ejemplo 19

runge(0)

runge([-1 0 1])





help runge














x=rcos(z)

y=rsin(z)

Ejemplo 20

ro=ones(13)

zeta=[pi2 pi 3pi2]


help cartpol



TEOREMA DE ROLLE


Cont inua en [a b ]




Y s i f (a) = f(b)




Ejemplos









2]







Teorema de Bolzano


f (0) = 3




Teorema de Rol le

f (x ) = 7x 6 + 3














Asiacute se obtiene






Asiacute se obtiene


INTRODUCCION

















recta tangente










a) P(xo) = f (xo)

b) P (xo) = f (xo)

c) P (xo) = f (xo)


a = f (xo) b = f (xo) y c = (12)f (xo)


como









x 1+x

1 2 25 2718281828

05 15 1625 16487212707

03 13 1345 134985880757

01 11 1105 110517091807

001 101 101005 1010050167

0001 1001 10010005 100100050016






n




3 + + nan (x- xo)

n-1

P(2)


n-2

P(3)


P(n)

(x) = (1)(2)(n) an = n an




( I )




ejemplos


P(2) = 3 P (2) = 5 P (2)

(2) = 4 P (3)

(2) =24 y P (4)

(2) =48






P(x) = 3 + 5(x-2) + 2(x-2)2 + 4(x - 2)

3 + 2(x - 2)

4




P(x) = 7x3 + x

2 +8 P(1) = 16

P (x) = 21x2 + 2x P (1) = 23

P (2)

(x) = 42x + 2 P (2)

(1) = 44

P (3)

(x) = 42 P (3)

(1) = 42


P(x) =16 + 23(x - 1) + (442)(x - 1)2 + (426)(x - 1)

3

Es decir

P(x) =16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)2 + 7(x - 1)

3


7x3 + x

2 +8 = 16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)

2 + 7(x - 1)

3





tangente es decir











x 1+x

1 2 25 2666666 27083333 2718281828

05 15 1625 1645833 16484375 16487212707

03 13 1345 13495 13498375 134985880757

01 11 1105 110516667 110517083 110517091807

001 101 101005 101005017 101005017 1010050167

0001 1001 10010005 100100050000 100100050017 100100050016












f(x) = exp(x)

f(x) = sen(x)

f(x) = cos(x)



decir

f(x) = Pn(x) + En





xo (ab) se tiene








Medio


A la Expresioacuten




a) f(x) = senx

b) f(x) = cosx

c) f(x) = ex


f(x) = senx f(0) = 0

f (x) = cos(x) f (0) = 1

f (2)

(x) = -senx f (2)

(0) = 0

f (3)

(x) = -cos(x) f (3)

(0) = -1



f (4)

(x) = sen(x) f (4)

(0) = 0

f (5)

(x) = cos(x) f (5)

(0) = 1






o bien

0 bien





Taylor con residuo







a) f(x) = sen(x)


f (x) = sen(x) f( 6) = 05

f (x) = cos(x) f ( 6) = 08660254

f (x) = -sen(x) f ( 6) = -05

f (3)

(x) = -cos(x) f ( 6) = -08660254

f (4)

(x) = sen(x)







sen(35ordm) = 05 + 00755749 - 0001903858 - 0000095922 + E3

sen(35ordm) = 057357512 + E3


E3 = = (000000241)sen(c)








entonces












estime el error


a) f(x) =

b) xo = 27

f(27) = 3



= 3036579789




E2 =






estime el error




derivadas






e05

= 164583333 + E3



E3 =

Como f (4)


= 00078125










En =









= 1648697917








En =











= 2718281526


SUPERIOR
















(xo) = 0 f (n-1)

(xo) = 0 y f (n)


es par

1 Si n es par



a) f (n)


b) f (n)




Como f (n)



un subintervalo



(n)




f (n)



Al ser f (n)







3 + 6x

2 +4x


f (x) = 4x3 + 12x

2 + 12x +4 = 0

f (x) = 4(x3 + 3x

2 + 3x + 1) = 4(x + 1)

3 = 0 x = -1



f (x) = 12x2 + 24x + 12 f (-1) = 0

f (3)

(x) = 24x + 24 f (3)

(-1) = 0

f (4)

(x) = 24 f (4)

(-1) = 24



Comandos de Matlab






EJERCICIOS




izquierda

P1(x) P2(x) P3(x) P4(x)

xo + 11



xo + 09

xo + 03

xo + 01

xo + 001

xo + 0001

xo - 11

xo - 09

xo - 03

xo - 01

xo - 001

xo - 0001

1) en xo = 0

2) en xo = 0

3) en xo = 6


5) f(x) = lnx en xo = 1






4) P(x) = 4 - x2 +6x


5) P(x) = 2 + (x - 3)2 -x






1) P(0) = 7 P (0) = 3 P (2)

(0) = 8 P (3)

(0) =54

2) P(1) = 1 P (1) = 5 P (2)

(1) = 32 P (3)

(1) =42

3) P(-2) = 2 P (-2) = 4 P (2)

(-2) = 8 P (3)

(-2) =66


estime el error























VI





METODO DE BISECCION










f(a) = -05 f(b) = 1






















Grafica





nabcFaFbFcabs(c-a))

FaFblt=0 c=b

end


EJEMPLOS EN EXCEL

EJEMPLO 1









EJEMPLO 2






EJEMPLO 3













Celda Foacutermula

B15 = 1

D15 = 2

F15 = 0001

A18 = 1

B18 = B15



C18 = D15


E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5

F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5

G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5

A19 = A18+1

B19 = SI(B18G18gt0D18B18)

C19 = SI(B19=D18C18D18)


E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5

F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5

G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5

H19 = ABS(D19-D18)

I19 = H19D19

J19 = SI(I19lt=F$3D19)







Ejemplos










O bien














Ejemplo 1










Ejemplo 2



Solucioacuten


de donde











0

-02 100

-01557461506 2841

-01663039075 634

-0163826372 151



-0164410064 035
















Ejemplo 1


y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0612699837 632

0653442133 623

0652917265 008




Ejemplo 2


con y y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0823315073 214

0852330280 340

0853169121 009

















Hacemos

Y despejamos


aproximacioacuten

si











Ejemplo 1



Solucioacuten










1

1268941421 2119

1309108403 306

1309799389 0052


diacutegitos










ecuacioacuten








el intervalo

















de biseccioacuten


Sea contiacutenua











en el intervalo



Ejemplo 1



Solucioacuten




falsa


















Ejemplo 2



Solucioacuten









Evaluamos






Evaluamos




















tenemos 07777
























particular











Ejemplo 1





devuelve su valor







121 Who Whos


y su tamantildeo

Ejemplo 3

a = 3 b = 4 a

a + b

c = ans

who

whos









00 Indeterminado











piformat long pi

format rat pi






y 0 si es falso)

Ejemplo 4


b=Esto no

c=3

ischar(a)

ischar(c)









Ejemplo 5




w = [123]





matriz

Ejemplo 6


w = [123] raquo z=[1

raquo 2


length(u)

length(w)

[fc]=size(u)

dimension=size(w)




siguiente


Ejemplo 7

x=0011

y=linspace(0111)




raquo u + v


















Ejemplo 8

a = [1 2 3]

b = [4 5 6]

c = dot(ab)

d = cross(ab)

e = prod(a)

f = prod(b)

135 flipud fliplr



transpose


un vector columna

Ejemplo 9

z=[1 i 2-i]

v=z

w=z






Ejemplo 10

a = 16



b = cumsum(a)

c = cumprod(a)









-3 -4]
















Ejemplo 11

M = eye(4)

N = zeros(3)

O = ones(2)

P = rand(32)

























151 sqrt abs


complejo


Ejemplo 12

sqrt(4)sqrt(-4)


152 exploglog10



Ejemplo 13

exp(1)



log(ans)

log10(10)



Ejemplo 14

sin(pi2)

sin(90)



radianes



Ejemplo 15




grados seria






154 sinh cosh tanh


como

Ejemplo 16








Ejemplo 17

x = -10011

y = tanh(x)

plot(xy)







Ejemplo 18

x = -10011

y = sin(x)

plot(xym)












function y=runge(x)


y=1(1+25x^2)


a la funcioacuten






Ejemplo 19

runge(0)

runge([-1 0 1])





help runge














x=rcos(z)

y=rsin(z)

Ejemplo 20

ro=ones(13)

zeta=[pi2 pi 3pi2]


help cartpol



TEOREMA DE ROLLE


Cont inua en [a b ]




Y s i f (a) = f(b)




Ejemplos









2]







Teorema de Bolzano


f (0) = 3




Teorema de Rol le

f (x ) = 7x 6 + 3














Asiacute se obtiene






Asiacute se obtiene


INTRODUCCION

















recta tangente










a) P(xo) = f (xo)

b) P (xo) = f (xo)

c) P (xo) = f (xo)


a = f (xo) b = f (xo) y c = (12)f (xo)


como









x 1+x

1 2 25 2718281828

05 15 1625 16487212707

03 13 1345 134985880757

01 11 1105 110517091807

001 101 101005 1010050167

0001 1001 10010005 100100050016






n




3 + + nan (x- xo)

n-1

P(2)


n-2

P(3)


P(n)

(x) = (1)(2)(n) an = n an




( I )




ejemplos


P(2) = 3 P (2) = 5 P (2)

(2) = 4 P (3)

(2) =24 y P (4)

(2) =48






P(x) = 3 + 5(x-2) + 2(x-2)2 + 4(x - 2)

3 + 2(x - 2)

4




P(x) = 7x3 + x

2 +8 P(1) = 16

P (x) = 21x2 + 2x P (1) = 23

P (2)

(x) = 42x + 2 P (2)

(1) = 44

P (3)

(x) = 42 P (3)

(1) = 42


P(x) =16 + 23(x - 1) + (442)(x - 1)2 + (426)(x - 1)

3

Es decir

P(x) =16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)2 + 7(x - 1)

3


7x3 + x

2 +8 = 16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)

2 + 7(x - 1)

3





tangente es decir











x 1+x

1 2 25 2666666 27083333 2718281828

05 15 1625 1645833 16484375 16487212707

03 13 1345 13495 13498375 134985880757

01 11 1105 110516667 110517083 110517091807

001 101 101005 101005017 101005017 1010050167

0001 1001 10010005 100100050000 100100050017 100100050016












f(x) = exp(x)

f(x) = sen(x)

f(x) = cos(x)



decir

f(x) = Pn(x) + En





xo (ab) se tiene








Medio


A la Expresioacuten




a) f(x) = senx

b) f(x) = cosx

c) f(x) = ex


f(x) = senx f(0) = 0

f (x) = cos(x) f (0) = 1

f (2)

(x) = -senx f (2)

(0) = 0

f (3)

(x) = -cos(x) f (3)

(0) = -1



f (4)

(x) = sen(x) f (4)

(0) = 0

f (5)

(x) = cos(x) f (5)

(0) = 1






o bien

0 bien





Taylor con residuo







a) f(x) = sen(x)


f (x) = sen(x) f( 6) = 05

f (x) = cos(x) f ( 6) = 08660254

f (x) = -sen(x) f ( 6) = -05

f (3)

(x) = -cos(x) f ( 6) = -08660254

f (4)

(x) = sen(x)







sen(35ordm) = 05 + 00755749 - 0001903858 - 0000095922 + E3

sen(35ordm) = 057357512 + E3


E3 = = (000000241)sen(c)








entonces












estime el error


a) f(x) =

b) xo = 27

f(27) = 3



= 3036579789




E2 =






estime el error




derivadas






e05

= 164583333 + E3



E3 =

Como f (4)


= 00078125










En =









= 1648697917








En =











= 2718281526


SUPERIOR
















(xo) = 0 f (n-1)

(xo) = 0 y f (n)


es par

1 Si n es par



a) f (n)


b) f (n)




Como f (n)



un subintervalo



(n)




f (n)



Al ser f (n)







3 + 6x

2 +4x


f (x) = 4x3 + 12x

2 + 12x +4 = 0

f (x) = 4(x3 + 3x

2 + 3x + 1) = 4(x + 1)

3 = 0 x = -1



f (x) = 12x2 + 24x + 12 f (-1) = 0

f (3)

(x) = 24x + 24 f (3)

(-1) = 0

f (4)

(x) = 24 f (4)

(-1) = 24



Comandos de Matlab






EJERCICIOS




izquierda

P1(x) P2(x) P3(x) P4(x)

xo + 11



xo + 09

xo + 03

xo + 01

xo + 001

xo + 0001

xo - 11

xo - 09

xo - 03

xo - 01

xo - 001

xo - 0001

1) en xo = 0

2) en xo = 0

3) en xo = 6


5) f(x) = lnx en xo = 1






4) P(x) = 4 - x2 +6x


5) P(x) = 2 + (x - 3)2 -x






1) P(0) = 7 P (0) = 3 P (2)

(0) = 8 P (3)

(0) =54

2) P(1) = 1 P (1) = 5 P (2)

(1) = 32 P (3)

(1) =42

3) P(-2) = 2 P (-2) = 4 P (2)

(-2) = 8 P (3)

(-2) =66


estime el error























VI





METODO DE BISECCION










f(a) = -05 f(b) = 1






















Grafica





nabcFaFbFcabs(c-a))

FaFblt=0 c=b

end


EJEMPLOS EN EXCEL

EJEMPLO 1









EJEMPLO 2






EJEMPLO 3













Celda Foacutermula

B15 = 1

D15 = 2

F15 = 0001

A18 = 1

B18 = B15



C18 = D15


E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5

F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5

G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5

A19 = A18+1

B19 = SI(B18G18gt0D18B18)

C19 = SI(B19=D18C18D18)


E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5

F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5

G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5

H19 = ABS(D19-D18)

I19 = H19D19

J19 = SI(I19lt=F$3D19)







Ejemplos










O bien














Ejemplo 1










Ejemplo 2



Solucioacuten


de donde











0

-02 100

-01557461506 2841

-01663039075 634

-0163826372 151



-0164410064 035
















Ejemplo 1


y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0612699837 632

0653442133 623

0652917265 008




Ejemplo 2


con y y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0823315073 214

0852330280 340

0853169121 009

















Hacemos

Y despejamos


aproximacioacuten

si











Ejemplo 1



Solucioacuten










1

1268941421 2119

1309108403 306

1309799389 0052


diacutegitos










ecuacioacuten








el intervalo

















de biseccioacuten


Sea contiacutenua











en el intervalo



Ejemplo 1



Solucioacuten




falsa


















Ejemplo 2



Solucioacuten









Evaluamos






Evaluamos

























Ejemplo 1





devuelve su valor







121 Who Whos


y su tamantildeo

Ejemplo 3

a = 3 b = 4 a

a + b

c = ans

who

whos









00 Indeterminado











piformat long pi

format rat pi






y 0 si es falso)

Ejemplo 4


b=Esto no

c=3

ischar(a)

ischar(c)









Ejemplo 5




w = [123]





matriz

Ejemplo 6


w = [123] raquo z=[1

raquo 2


length(u)

length(w)

[fc]=size(u)

dimension=size(w)




siguiente


Ejemplo 7

x=0011

y=linspace(0111)




raquo u + v


















Ejemplo 8

a = [1 2 3]

b = [4 5 6]

c = dot(ab)

d = cross(ab)

e = prod(a)

f = prod(b)

135 flipud fliplr



transpose


un vector columna

Ejemplo 9

z=[1 i 2-i]

v=z

w=z






Ejemplo 10

a = 16



b = cumsum(a)

c = cumprod(a)









-3 -4]
















Ejemplo 11

M = eye(4)

N = zeros(3)

O = ones(2)

P = rand(32)

























151 sqrt abs


complejo


Ejemplo 12

sqrt(4)sqrt(-4)


152 exploglog10



Ejemplo 13

exp(1)



log(ans)

log10(10)



Ejemplo 14

sin(pi2)

sin(90)



radianes



Ejemplo 15




grados seria






154 sinh cosh tanh


como

Ejemplo 16








Ejemplo 17

x = -10011

y = tanh(x)

plot(xy)







Ejemplo 18

x = -10011

y = sin(x)

plot(xym)












function y=runge(x)


y=1(1+25x^2)


a la funcioacuten






Ejemplo 19

runge(0)

runge([-1 0 1])





help runge














x=rcos(z)

y=rsin(z)

Ejemplo 20

ro=ones(13)

zeta=[pi2 pi 3pi2]


help cartpol



TEOREMA DE ROLLE


Cont inua en [a b ]




Y s i f (a) = f(b)




Ejemplos









2]







Teorema de Bolzano


f (0) = 3




Teorema de Rol le

f (x ) = 7x 6 + 3














Asiacute se obtiene






Asiacute se obtiene


INTRODUCCION

















recta tangente










a) P(xo) = f (xo)

b) P (xo) = f (xo)

c) P (xo) = f (xo)


a = f (xo) b = f (xo) y c = (12)f (xo)


como









x 1+x

1 2 25 2718281828

05 15 1625 16487212707

03 13 1345 134985880757

01 11 1105 110517091807

001 101 101005 1010050167

0001 1001 10010005 100100050016






n




3 + + nan (x- xo)

n-1

P(2)


n-2

P(3)


P(n)

(x) = (1)(2)(n) an = n an




( I )




ejemplos


P(2) = 3 P (2) = 5 P (2)

(2) = 4 P (3)

(2) =24 y P (4)

(2) =48






P(x) = 3 + 5(x-2) + 2(x-2)2 + 4(x - 2)

3 + 2(x - 2)

4




P(x) = 7x3 + x

2 +8 P(1) = 16

P (x) = 21x2 + 2x P (1) = 23

P (2)

(x) = 42x + 2 P (2)

(1) = 44

P (3)

(x) = 42 P (3)

(1) = 42


P(x) =16 + 23(x - 1) + (442)(x - 1)2 + (426)(x - 1)

3

Es decir

P(x) =16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)2 + 7(x - 1)

3


7x3 + x

2 +8 = 16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)

2 + 7(x - 1)

3





tangente es decir











x 1+x

1 2 25 2666666 27083333 2718281828

05 15 1625 1645833 16484375 16487212707

03 13 1345 13495 13498375 134985880757

01 11 1105 110516667 110517083 110517091807

001 101 101005 101005017 101005017 1010050167

0001 1001 10010005 100100050000 100100050017 100100050016












f(x) = exp(x)

f(x) = sen(x)

f(x) = cos(x)



decir

f(x) = Pn(x) + En





xo (ab) se tiene








Medio


A la Expresioacuten




a) f(x) = senx

b) f(x) = cosx

c) f(x) = ex


f(x) = senx f(0) = 0

f (x) = cos(x) f (0) = 1

f (2)

(x) = -senx f (2)

(0) = 0

f (3)

(x) = -cos(x) f (3)

(0) = -1



f (4)

(x) = sen(x) f (4)

(0) = 0

f (5)

(x) = cos(x) f (5)

(0) = 1






o bien

0 bien





Taylor con residuo







a) f(x) = sen(x)


f (x) = sen(x) f( 6) = 05

f (x) = cos(x) f ( 6) = 08660254

f (x) = -sen(x) f ( 6) = -05

f (3)

(x) = -cos(x) f ( 6) = -08660254

f (4)

(x) = sen(x)







sen(35ordm) = 05 + 00755749 - 0001903858 - 0000095922 + E3

sen(35ordm) = 057357512 + E3


E3 = = (000000241)sen(c)








entonces












estime el error


a) f(x) =

b) xo = 27

f(27) = 3



= 3036579789




E2 =






estime el error




derivadas






e05

= 164583333 + E3



E3 =

Como f (4)


= 00078125










En =









= 1648697917








En =











= 2718281526


SUPERIOR
















(xo) = 0 f (n-1)

(xo) = 0 y f (n)


es par

1 Si n es par



a) f (n)


b) f (n)




Como f (n)



un subintervalo



(n)




f (n)



Al ser f (n)







3 + 6x

2 +4x


f (x) = 4x3 + 12x

2 + 12x +4 = 0

f (x) = 4(x3 + 3x

2 + 3x + 1) = 4(x + 1)

3 = 0 x = -1



f (x) = 12x2 + 24x + 12 f (-1) = 0

f (3)

(x) = 24x + 24 f (3)

(-1) = 0

f (4)

(x) = 24 f (4)

(-1) = 24



Comandos de Matlab






EJERCICIOS




izquierda

P1(x) P2(x) P3(x) P4(x)

xo + 11



xo + 09

xo + 03

xo + 01

xo + 001

xo + 0001

xo - 11

xo - 09

xo - 03

xo - 01

xo - 001

xo - 0001

1) en xo = 0

2) en xo = 0

3) en xo = 6


5) f(x) = lnx en xo = 1






4) P(x) = 4 - x2 +6x


5) P(x) = 2 + (x - 3)2 -x






1) P(0) = 7 P (0) = 3 P (2)

(0) = 8 P (3)

(0) =54

2) P(1) = 1 P (1) = 5 P (2)

(1) = 32 P (3)

(1) =42

3) P(-2) = 2 P (-2) = 4 P (2)

(-2) = 8 P (3)

(-2) =66


estime el error























VI





METODO DE BISECCION










f(a) = -05 f(b) = 1






















Grafica





nabcFaFbFcabs(c-a))

FaFblt=0 c=b

end


EJEMPLOS EN EXCEL

EJEMPLO 1









EJEMPLO 2






EJEMPLO 3













Celda Foacutermula

B15 = 1

D15 = 2

F15 = 0001

A18 = 1

B18 = B15



C18 = D15


E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5

F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5

G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5

A19 = A18+1

B19 = SI(B18G18gt0D18B18)

C19 = SI(B19=D18C18D18)


E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5

F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5

G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5

H19 = ABS(D19-D18)

I19 = H19D19

J19 = SI(I19lt=F$3D19)







Ejemplos










O bien














Ejemplo 1










Ejemplo 2



Solucioacuten


de donde











0

-02 100

-01557461506 2841

-01663039075 634

-0163826372 151



-0164410064 035
















Ejemplo 1


y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0612699837 632

0653442133 623

0652917265 008




Ejemplo 2


con y y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0823315073 214

0852330280 340

0853169121 009

















Hacemos

Y despejamos


aproximacioacuten

si











Ejemplo 1



Solucioacuten










1

1268941421 2119

1309108403 306

1309799389 0052


diacutegitos










ecuacioacuten








el intervalo

















de biseccioacuten


Sea contiacutenua











en el intervalo



Ejemplo 1



Solucioacuten




falsa


















Ejemplo 2



Solucioacuten









Evaluamos






Evaluamos




















00 Indeterminado











piformat long pi

format rat pi






y 0 si es falso)

Ejemplo 4


b=Esto no

c=3

ischar(a)

ischar(c)









Ejemplo 5




w = [123]





matriz

Ejemplo 6


w = [123] raquo z=[1

raquo 2


length(u)

length(w)

[fc]=size(u)

dimension=size(w)




siguiente


Ejemplo 7

x=0011

y=linspace(0111)




raquo u + v


















Ejemplo 8

a = [1 2 3]

b = [4 5 6]

c = dot(ab)

d = cross(ab)

e = prod(a)

f = prod(b)

135 flipud fliplr



transpose


un vector columna

Ejemplo 9

z=[1 i 2-i]

v=z

w=z






Ejemplo 10

a = 16



b = cumsum(a)

c = cumprod(a)









-3 -4]
















Ejemplo 11

M = eye(4)

N = zeros(3)

O = ones(2)

P = rand(32)

























151 sqrt abs


complejo


Ejemplo 12

sqrt(4)sqrt(-4)


152 exploglog10



Ejemplo 13

exp(1)



log(ans)

log10(10)



Ejemplo 14

sin(pi2)

sin(90)



radianes



Ejemplo 15




grados seria






154 sinh cosh tanh


como

Ejemplo 16








Ejemplo 17

x = -10011

y = tanh(x)

plot(xy)







Ejemplo 18

x = -10011

y = sin(x)

plot(xym)












function y=runge(x)


y=1(1+25x^2)


a la funcioacuten






Ejemplo 19

runge(0)

runge([-1 0 1])





help runge














x=rcos(z)

y=rsin(z)

Ejemplo 20

ro=ones(13)

zeta=[pi2 pi 3pi2]


help cartpol



TEOREMA DE ROLLE


Cont inua en [a b ]




Y s i f (a) = f(b)




Ejemplos









2]







Teorema de Bolzano


f (0) = 3




Teorema de Rol le

f (x ) = 7x 6 + 3














Asiacute se obtiene






Asiacute se obtiene


INTRODUCCION

















recta tangente










a) P(xo) = f (xo)

b) P (xo) = f (xo)

c) P (xo) = f (xo)


a = f (xo) b = f (xo) y c = (12)f (xo)


como









x 1+x

1 2 25 2718281828

05 15 1625 16487212707

03 13 1345 134985880757

01 11 1105 110517091807

001 101 101005 1010050167

0001 1001 10010005 100100050016






n




3 + + nan (x- xo)

n-1

P(2)


n-2

P(3)


P(n)

(x) = (1)(2)(n) an = n an




( I )




ejemplos


P(2) = 3 P (2) = 5 P (2)

(2) = 4 P (3)

(2) =24 y P (4)

(2) =48






P(x) = 3 + 5(x-2) + 2(x-2)2 + 4(x - 2)

3 + 2(x - 2)

4




P(x) = 7x3 + x

2 +8 P(1) = 16

P (x) = 21x2 + 2x P (1) = 23

P (2)

(x) = 42x + 2 P (2)

(1) = 44

P (3)

(x) = 42 P (3)

(1) = 42


P(x) =16 + 23(x - 1) + (442)(x - 1)2 + (426)(x - 1)

3

Es decir

P(x) =16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)2 + 7(x - 1)

3


7x3 + x

2 +8 = 16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)

2 + 7(x - 1)

3





tangente es decir











x 1+x

1 2 25 2666666 27083333 2718281828

05 15 1625 1645833 16484375 16487212707

03 13 1345 13495 13498375 134985880757

01 11 1105 110516667 110517083 110517091807

001 101 101005 101005017 101005017 1010050167

0001 1001 10010005 100100050000 100100050017 100100050016












f(x) = exp(x)

f(x) = sen(x)

f(x) = cos(x)



decir

f(x) = Pn(x) + En





xo (ab) se tiene








Medio


A la Expresioacuten




a) f(x) = senx

b) f(x) = cosx

c) f(x) = ex


f(x) = senx f(0) = 0

f (x) = cos(x) f (0) = 1

f (2)

(x) = -senx f (2)

(0) = 0

f (3)

(x) = -cos(x) f (3)

(0) = -1



f (4)

(x) = sen(x) f (4)

(0) = 0

f (5)

(x) = cos(x) f (5)

(0) = 1






o bien

0 bien





Taylor con residuo







a) f(x) = sen(x)


f (x) = sen(x) f( 6) = 05

f (x) = cos(x) f ( 6) = 08660254

f (x) = -sen(x) f ( 6) = -05

f (3)

(x) = -cos(x) f ( 6) = -08660254

f (4)

(x) = sen(x)







sen(35ordm) = 05 + 00755749 - 0001903858 - 0000095922 + E3

sen(35ordm) = 057357512 + E3


E3 = = (000000241)sen(c)








entonces












estime el error


a) f(x) =

b) xo = 27

f(27) = 3



= 3036579789




E2 =






estime el error




derivadas






e05

= 164583333 + E3



E3 =

Como f (4)


= 00078125










En =









= 1648697917








En =











= 2718281526


SUPERIOR
















(xo) = 0 f (n-1)

(xo) = 0 y f (n)


es par

1 Si n es par



a) f (n)


b) f (n)




Como f (n)



un subintervalo



(n)




f (n)



Al ser f (n)







3 + 6x

2 +4x


f (x) = 4x3 + 12x

2 + 12x +4 = 0

f (x) = 4(x3 + 3x

2 + 3x + 1) = 4(x + 1)

3 = 0 x = -1



f (x) = 12x2 + 24x + 12 f (-1) = 0

f (3)

(x) = 24x + 24 f (3)

(-1) = 0

f (4)

(x) = 24 f (4)

(-1) = 24



Comandos de Matlab






EJERCICIOS




izquierda

P1(x) P2(x) P3(x) P4(x)

xo + 11



xo + 09

xo + 03

xo + 01

xo + 001

xo + 0001

xo - 11

xo - 09

xo - 03

xo - 01

xo - 001

xo - 0001

1) en xo = 0

2) en xo = 0

3) en xo = 6


5) f(x) = lnx en xo = 1






4) P(x) = 4 - x2 +6x


5) P(x) = 2 + (x - 3)2 -x






1) P(0) = 7 P (0) = 3 P (2)

(0) = 8 P (3)

(0) =54

2) P(1) = 1 P (1) = 5 P (2)

(1) = 32 P (3)

(1) =42

3) P(-2) = 2 P (-2) = 4 P (2)

(-2) = 8 P (3)

(-2) =66


estime el error























VI





METODO DE BISECCION










f(a) = -05 f(b) = 1






















Grafica





nabcFaFbFcabs(c-a))

FaFblt=0 c=b

end


EJEMPLOS EN EXCEL

EJEMPLO 1









EJEMPLO 2






EJEMPLO 3













Celda Foacutermula

B15 = 1

D15 = 2

F15 = 0001

A18 = 1

B18 = B15



C18 = D15


E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5

F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5

G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5

A19 = A18+1

B19 = SI(B18G18gt0D18B18)

C19 = SI(B19=D18C18D18)


E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5

F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5

G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5

H19 = ABS(D19-D18)

I19 = H19D19

J19 = SI(I19lt=F$3D19)







Ejemplos










O bien














Ejemplo 1










Ejemplo 2



Solucioacuten


de donde











0

-02 100

-01557461506 2841

-01663039075 634

-0163826372 151



-0164410064 035
















Ejemplo 1


y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0612699837 632

0653442133 623

0652917265 008




Ejemplo 2


con y y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0823315073 214

0852330280 340

0853169121 009

















Hacemos

Y despejamos


aproximacioacuten

si











Ejemplo 1



Solucioacuten










1

1268941421 2119

1309108403 306

1309799389 0052


diacutegitos










ecuacioacuten








el intervalo

















de biseccioacuten


Sea contiacutenua











en el intervalo



Ejemplo 1



Solucioacuten




falsa


















Ejemplo 2



Solucioacuten









Evaluamos






Evaluamos





















w = [123]





matriz

Ejemplo 6


w = [123] raquo z=[1

raquo 2


length(u)

length(w)

[fc]=size(u)

dimension=size(w)




siguiente


Ejemplo 7

x=0011

y=linspace(0111)




raquo u + v


















Ejemplo 8

a = [1 2 3]

b = [4 5 6]

c = dot(ab)

d = cross(ab)

e = prod(a)

f = prod(b)

135 flipud fliplr



transpose


un vector columna

Ejemplo 9

z=[1 i 2-i]

v=z

w=z






Ejemplo 10

a = 16



b = cumsum(a)

c = cumprod(a)









-3 -4]
















Ejemplo 11

M = eye(4)

N = zeros(3)

O = ones(2)

P = rand(32)

























151 sqrt abs


complejo


Ejemplo 12

sqrt(4)sqrt(-4)


152 exploglog10



Ejemplo 13

exp(1)



log(ans)

log10(10)



Ejemplo 14

sin(pi2)

sin(90)



radianes



Ejemplo 15




grados seria






154 sinh cosh tanh


como

Ejemplo 16








Ejemplo 17

x = -10011

y = tanh(x)

plot(xy)







Ejemplo 18

x = -10011

y = sin(x)

plot(xym)












function y=runge(x)


y=1(1+25x^2)


a la funcioacuten






Ejemplo 19

runge(0)

runge([-1 0 1])





help runge














x=rcos(z)

y=rsin(z)

Ejemplo 20

ro=ones(13)

zeta=[pi2 pi 3pi2]


help cartpol



TEOREMA DE ROLLE


Cont inua en [a b ]




Y s i f (a) = f(b)




Ejemplos









2]







Teorema de Bolzano


f (0) = 3




Teorema de Rol le

f (x ) = 7x 6 + 3














Asiacute se obtiene






Asiacute se obtiene


INTRODUCCION

















recta tangente










a) P(xo) = f (xo)

b) P (xo) = f (xo)

c) P (xo) = f (xo)


a = f (xo) b = f (xo) y c = (12)f (xo)


como









x 1+x

1 2 25 2718281828

05 15 1625 16487212707

03 13 1345 134985880757

01 11 1105 110517091807

001 101 101005 1010050167

0001 1001 10010005 100100050016






n




3 + + nan (x- xo)

n-1

P(2)


n-2

P(3)


P(n)

(x) = (1)(2)(n) an = n an




( I )




ejemplos


P(2) = 3 P (2) = 5 P (2)

(2) = 4 P (3)

(2) =24 y P (4)

(2) =48






P(x) = 3 + 5(x-2) + 2(x-2)2 + 4(x - 2)

3 + 2(x - 2)

4




P(x) = 7x3 + x

2 +8 P(1) = 16

P (x) = 21x2 + 2x P (1) = 23

P (2)

(x) = 42x + 2 P (2)

(1) = 44

P (3)

(x) = 42 P (3)

(1) = 42


P(x) =16 + 23(x - 1) + (442)(x - 1)2 + (426)(x - 1)

3

Es decir

P(x) =16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)2 + 7(x - 1)

3


7x3 + x

2 +8 = 16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)

2 + 7(x - 1)

3





tangente es decir











x 1+x

1 2 25 2666666 27083333 2718281828

05 15 1625 1645833 16484375 16487212707

03 13 1345 13495 13498375 134985880757

01 11 1105 110516667 110517083 110517091807

001 101 101005 101005017 101005017 1010050167

0001 1001 10010005 100100050000 100100050017 100100050016












f(x) = exp(x)

f(x) = sen(x)

f(x) = cos(x)



decir

f(x) = Pn(x) + En





xo (ab) se tiene








Medio


A la Expresioacuten




a) f(x) = senx

b) f(x) = cosx

c) f(x) = ex


f(x) = senx f(0) = 0

f (x) = cos(x) f (0) = 1

f (2)

(x) = -senx f (2)

(0) = 0

f (3)

(x) = -cos(x) f (3)

(0) = -1



f (4)

(x) = sen(x) f (4)

(0) = 0

f (5)

(x) = cos(x) f (5)

(0) = 1






o bien

0 bien





Taylor con residuo







a) f(x) = sen(x)


f (x) = sen(x) f( 6) = 05

f (x) = cos(x) f ( 6) = 08660254

f (x) = -sen(x) f ( 6) = -05

f (3)

(x) = -cos(x) f ( 6) = -08660254

f (4)

(x) = sen(x)







sen(35ordm) = 05 + 00755749 - 0001903858 - 0000095922 + E3

sen(35ordm) = 057357512 + E3


E3 = = (000000241)sen(c)








entonces












estime el error


a) f(x) =

b) xo = 27

f(27) = 3



= 3036579789




E2 =






estime el error




derivadas






e05

= 164583333 + E3



E3 =

Como f (4)


= 00078125










En =









= 1648697917








En =











= 2718281526


SUPERIOR
















(xo) = 0 f (n-1)

(xo) = 0 y f (n)


es par

1 Si n es par



a) f (n)


b) f (n)




Como f (n)



un subintervalo



(n)




f (n)



Al ser f (n)







3 + 6x

2 +4x


f (x) = 4x3 + 12x

2 + 12x +4 = 0

f (x) = 4(x3 + 3x

2 + 3x + 1) = 4(x + 1)

3 = 0 x = -1



f (x) = 12x2 + 24x + 12 f (-1) = 0

f (3)

(x) = 24x + 24 f (3)

(-1) = 0

f (4)

(x) = 24 f (4)

(-1) = 24



Comandos de Matlab






EJERCICIOS




izquierda

P1(x) P2(x) P3(x) P4(x)

xo + 11



xo + 09

xo + 03

xo + 01

xo + 001

xo + 0001

xo - 11

xo - 09

xo - 03

xo - 01

xo - 001

xo - 0001

1) en xo = 0

2) en xo = 0

3) en xo = 6


5) f(x) = lnx en xo = 1






4) P(x) = 4 - x2 +6x


5) P(x) = 2 + (x - 3)2 -x






1) P(0) = 7 P (0) = 3 P (2)

(0) = 8 P (3)

(0) =54

2) P(1) = 1 P (1) = 5 P (2)

(1) = 32 P (3)

(1) =42

3) P(-2) = 2 P (-2) = 4 P (2)

(-2) = 8 P (3)

(-2) =66


estime el error























VI





METODO DE BISECCION










f(a) = -05 f(b) = 1






















Grafica





nabcFaFbFcabs(c-a))

FaFblt=0 c=b

end


EJEMPLOS EN EXCEL

EJEMPLO 1









EJEMPLO 2






EJEMPLO 3













Celda Foacutermula

B15 = 1

D15 = 2

F15 = 0001

A18 = 1

B18 = B15



C18 = D15


E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5

F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5

G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5

A19 = A18+1

B19 = SI(B18G18gt0D18B18)

C19 = SI(B19=D18C18D18)


E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5

F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5

G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5

H19 = ABS(D19-D18)

I19 = H19D19

J19 = SI(I19lt=F$3D19)







Ejemplos










O bien














Ejemplo 1










Ejemplo 2



Solucioacuten


de donde











0

-02 100

-01557461506 2841

-01663039075 634

-0163826372 151



-0164410064 035
















Ejemplo 1


y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0612699837 632

0653442133 623

0652917265 008




Ejemplo 2


con y y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0823315073 214

0852330280 340

0853169121 009

















Hacemos

Y despejamos


aproximacioacuten

si











Ejemplo 1



Solucioacuten










1

1268941421 2119

1309108403 306

1309799389 0052


diacutegitos










ecuacioacuten








el intervalo

















de biseccioacuten


Sea contiacutenua











en el intervalo



Ejemplo 1



Solucioacuten




falsa


















Ejemplo 2



Solucioacuten









Evaluamos






Evaluamos






























Ejemplo 8

a = [1 2 3]

b = [4 5 6]

c = dot(ab)

d = cross(ab)

e = prod(a)

f = prod(b)

135 flipud fliplr



transpose


un vector columna

Ejemplo 9

z=[1 i 2-i]

v=z

w=z






Ejemplo 10

a = 16



b = cumsum(a)

c = cumprod(a)









-3 -4]
















Ejemplo 11

M = eye(4)

N = zeros(3)

O = ones(2)

P = rand(32)

























151 sqrt abs


complejo


Ejemplo 12

sqrt(4)sqrt(-4)


152 exploglog10



Ejemplo 13

exp(1)



log(ans)

log10(10)



Ejemplo 14

sin(pi2)

sin(90)



radianes



Ejemplo 15




grados seria






154 sinh cosh tanh


como

Ejemplo 16








Ejemplo 17

x = -10011

y = tanh(x)

plot(xy)







Ejemplo 18

x = -10011

y = sin(x)

plot(xym)












function y=runge(x)


y=1(1+25x^2)


a la funcioacuten






Ejemplo 19

runge(0)

runge([-1 0 1])





help runge














x=rcos(z)

y=rsin(z)

Ejemplo 20

ro=ones(13)

zeta=[pi2 pi 3pi2]


help cartpol



TEOREMA DE ROLLE


Cont inua en [a b ]




Y s i f (a) = f(b)




Ejemplos









2]







Teorema de Bolzano


f (0) = 3




Teorema de Rol le

f (x ) = 7x 6 + 3














Asiacute se obtiene






Asiacute se obtiene


INTRODUCCION

















recta tangente










a) P(xo) = f (xo)

b) P (xo) = f (xo)

c) P (xo) = f (xo)


a = f (xo) b = f (xo) y c = (12)f (xo)


como









x 1+x

1 2 25 2718281828

05 15 1625 16487212707

03 13 1345 134985880757

01 11 1105 110517091807

001 101 101005 1010050167

0001 1001 10010005 100100050016






n




3 + + nan (x- xo)

n-1

P(2)


n-2

P(3)


P(n)

(x) = (1)(2)(n) an = n an




( I )




ejemplos


P(2) = 3 P (2) = 5 P (2)

(2) = 4 P (3)

(2) =24 y P (4)

(2) =48






P(x) = 3 + 5(x-2) + 2(x-2)2 + 4(x - 2)

3 + 2(x - 2)

4




P(x) = 7x3 + x

2 +8 P(1) = 16

P (x) = 21x2 + 2x P (1) = 23

P (2)

(x) = 42x + 2 P (2)

(1) = 44

P (3)

(x) = 42 P (3)

(1) = 42


P(x) =16 + 23(x - 1) + (442)(x - 1)2 + (426)(x - 1)

3

Es decir

P(x) =16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)2 + 7(x - 1)

3


7x3 + x

2 +8 = 16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)

2 + 7(x - 1)

3





tangente es decir











x 1+x

1 2 25 2666666 27083333 2718281828

05 15 1625 1645833 16484375 16487212707

03 13 1345 13495 13498375 134985880757

01 11 1105 110516667 110517083 110517091807

001 101 101005 101005017 101005017 1010050167

0001 1001 10010005 100100050000 100100050017 100100050016












f(x) = exp(x)

f(x) = sen(x)

f(x) = cos(x)



decir

f(x) = Pn(x) + En





xo (ab) se tiene








Medio


A la Expresioacuten




a) f(x) = senx

b) f(x) = cosx

c) f(x) = ex


f(x) = senx f(0) = 0

f (x) = cos(x) f (0) = 1

f (2)

(x) = -senx f (2)

(0) = 0

f (3)

(x) = -cos(x) f (3)

(0) = -1



f (4)

(x) = sen(x) f (4)

(0) = 0

f (5)

(x) = cos(x) f (5)

(0) = 1






o bien

0 bien





Taylor con residuo







a) f(x) = sen(x)


f (x) = sen(x) f( 6) = 05

f (x) = cos(x) f ( 6) = 08660254

f (x) = -sen(x) f ( 6) = -05

f (3)

(x) = -cos(x) f ( 6) = -08660254

f (4)

(x) = sen(x)







sen(35ordm) = 05 + 00755749 - 0001903858 - 0000095922 + E3

sen(35ordm) = 057357512 + E3


E3 = = (000000241)sen(c)








entonces












estime el error


a) f(x) =

b) xo = 27

f(27) = 3



= 3036579789




E2 =






estime el error




derivadas






e05

= 164583333 + E3



E3 =

Como f (4)


= 00078125










En =









= 1648697917








En =











= 2718281526


SUPERIOR
















(xo) = 0 f (n-1)

(xo) = 0 y f (n)


es par

1 Si n es par



a) f (n)


b) f (n)




Como f (n)



un subintervalo



(n)




f (n)



Al ser f (n)







3 + 6x

2 +4x


f (x) = 4x3 + 12x

2 + 12x +4 = 0

f (x) = 4(x3 + 3x

2 + 3x + 1) = 4(x + 1)

3 = 0 x = -1



f (x) = 12x2 + 24x + 12 f (-1) = 0

f (3)

(x) = 24x + 24 f (3)

(-1) = 0

f (4)

(x) = 24 f (4)

(-1) = 24



Comandos de Matlab






EJERCICIOS




izquierda

P1(x) P2(x) P3(x) P4(x)

xo + 11



xo + 09

xo + 03

xo + 01

xo + 001

xo + 0001

xo - 11

xo - 09

xo - 03

xo - 01

xo - 001

xo - 0001

1) en xo = 0

2) en xo = 0

3) en xo = 6


5) f(x) = lnx en xo = 1






4) P(x) = 4 - x2 +6x


5) P(x) = 2 + (x - 3)2 -x






1) P(0) = 7 P (0) = 3 P (2)

(0) = 8 P (3)

(0) =54

2) P(1) = 1 P (1) = 5 P (2)

(1) = 32 P (3)

(1) =42

3) P(-2) = 2 P (-2) = 4 P (2)

(-2) = 8 P (3)

(-2) =66


estime el error























VI





METODO DE BISECCION










f(a) = -05 f(b) = 1






















Grafica





nabcFaFbFcabs(c-a))

FaFblt=0 c=b

end


EJEMPLOS EN EXCEL

EJEMPLO 1









EJEMPLO 2






EJEMPLO 3













Celda Foacutermula

B15 = 1

D15 = 2

F15 = 0001

A18 = 1

B18 = B15



C18 = D15


E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5

F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5

G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5

A19 = A18+1

B19 = SI(B18G18gt0D18B18)

C19 = SI(B19=D18C18D18)


E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5

F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5

G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5

H19 = ABS(D19-D18)

I19 = H19D19

J19 = SI(I19lt=F$3D19)







Ejemplos










O bien














Ejemplo 1










Ejemplo 2



Solucioacuten


de donde











0

-02 100

-01557461506 2841

-01663039075 634

-0163826372 151



-0164410064 035
















Ejemplo 1


y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0612699837 632

0653442133 623

0652917265 008




Ejemplo 2


con y y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0823315073 214

0852330280 340

0853169121 009

















Hacemos

Y despejamos


aproximacioacuten

si











Ejemplo 1



Solucioacuten










1

1268941421 2119

1309108403 306

1309799389 0052


diacutegitos










ecuacioacuten








el intervalo

















de biseccioacuten


Sea contiacutenua











en el intervalo



Ejemplo 1



Solucioacuten




falsa


















Ejemplo 2



Solucioacuten









Evaluamos






Evaluamos




















b = cumsum(a)

c = cumprod(a)









-3 -4]
















Ejemplo 11

M = eye(4)

N = zeros(3)

O = ones(2)

P = rand(32)

























151 sqrt abs


complejo


Ejemplo 12

sqrt(4)sqrt(-4)


152 exploglog10



Ejemplo 13

exp(1)



log(ans)

log10(10)



Ejemplo 14

sin(pi2)

sin(90)



radianes



Ejemplo 15




grados seria






154 sinh cosh tanh


como

Ejemplo 16








Ejemplo 17

x = -10011

y = tanh(x)

plot(xy)







Ejemplo 18

x = -10011

y = sin(x)

plot(xym)












function y=runge(x)


y=1(1+25x^2)


a la funcioacuten






Ejemplo 19

runge(0)

runge([-1 0 1])





help runge














x=rcos(z)

y=rsin(z)

Ejemplo 20

ro=ones(13)

zeta=[pi2 pi 3pi2]


help cartpol



TEOREMA DE ROLLE


Cont inua en [a b ]




Y s i f (a) = f(b)




Ejemplos









2]







Teorema de Bolzano


f (0) = 3




Teorema de Rol le

f (x ) = 7x 6 + 3














Asiacute se obtiene






Asiacute se obtiene


INTRODUCCION

















recta tangente










a) P(xo) = f (xo)

b) P (xo) = f (xo)

c) P (xo) = f (xo)


a = f (xo) b = f (xo) y c = (12)f (xo)


como









x 1+x

1 2 25 2718281828

05 15 1625 16487212707

03 13 1345 134985880757

01 11 1105 110517091807

001 101 101005 1010050167

0001 1001 10010005 100100050016






n




3 + + nan (x- xo)

n-1

P(2)


n-2

P(3)


P(n)

(x) = (1)(2)(n) an = n an




( I )




ejemplos


P(2) = 3 P (2) = 5 P (2)

(2) = 4 P (3)

(2) =24 y P (4)

(2) =48






P(x) = 3 + 5(x-2) + 2(x-2)2 + 4(x - 2)

3 + 2(x - 2)

4




P(x) = 7x3 + x

2 +8 P(1) = 16

P (x) = 21x2 + 2x P (1) = 23

P (2)

(x) = 42x + 2 P (2)

(1) = 44

P (3)

(x) = 42 P (3)

(1) = 42


P(x) =16 + 23(x - 1) + (442)(x - 1)2 + (426)(x - 1)

3

Es decir

P(x) =16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)2 + 7(x - 1)

3


7x3 + x

2 +8 = 16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)

2 + 7(x - 1)

3





tangente es decir











x 1+x

1 2 25 2666666 27083333 2718281828

05 15 1625 1645833 16484375 16487212707

03 13 1345 13495 13498375 134985880757

01 11 1105 110516667 110517083 110517091807

001 101 101005 101005017 101005017 1010050167

0001 1001 10010005 100100050000 100100050017 100100050016












f(x) = exp(x)

f(x) = sen(x)

f(x) = cos(x)



decir

f(x) = Pn(x) + En





xo (ab) se tiene








Medio


A la Expresioacuten




a) f(x) = senx

b) f(x) = cosx

c) f(x) = ex


f(x) = senx f(0) = 0

f (x) = cos(x) f (0) = 1

f (2)

(x) = -senx f (2)

(0) = 0

f (3)

(x) = -cos(x) f (3)

(0) = -1



f (4)

(x) = sen(x) f (4)

(0) = 0

f (5)

(x) = cos(x) f (5)

(0) = 1






o bien

0 bien





Taylor con residuo







a) f(x) = sen(x)


f (x) = sen(x) f( 6) = 05

f (x) = cos(x) f ( 6) = 08660254

f (x) = -sen(x) f ( 6) = -05

f (3)

(x) = -cos(x) f ( 6) = -08660254

f (4)

(x) = sen(x)







sen(35ordm) = 05 + 00755749 - 0001903858 - 0000095922 + E3

sen(35ordm) = 057357512 + E3


E3 = = (000000241)sen(c)








entonces












estime el error


a) f(x) =

b) xo = 27

f(27) = 3



= 3036579789




E2 =






estime el error




derivadas






e05

= 164583333 + E3



E3 =

Como f (4)


= 00078125










En =









= 1648697917








En =











= 2718281526


SUPERIOR
















(xo) = 0 f (n-1)

(xo) = 0 y f (n)


es par

1 Si n es par



a) f (n)


b) f (n)




Como f (n)



un subintervalo



(n)




f (n)



Al ser f (n)







3 + 6x

2 +4x


f (x) = 4x3 + 12x

2 + 12x +4 = 0

f (x) = 4(x3 + 3x

2 + 3x + 1) = 4(x + 1)

3 = 0 x = -1



f (x) = 12x2 + 24x + 12 f (-1) = 0

f (3)

(x) = 24x + 24 f (3)

(-1) = 0

f (4)

(x) = 24 f (4)

(-1) = 24



Comandos de Matlab






EJERCICIOS




izquierda

P1(x) P2(x) P3(x) P4(x)

xo + 11



xo + 09

xo + 03

xo + 01

xo + 001

xo + 0001

xo - 11

xo - 09

xo - 03

xo - 01

xo - 001

xo - 0001

1) en xo = 0

2) en xo = 0

3) en xo = 6


5) f(x) = lnx en xo = 1






4) P(x) = 4 - x2 +6x


5) P(x) = 2 + (x - 3)2 -x






1) P(0) = 7 P (0) = 3 P (2)

(0) = 8 P (3)

(0) =54

2) P(1) = 1 P (1) = 5 P (2)

(1) = 32 P (3)

(1) =42

3) P(-2) = 2 P (-2) = 4 P (2)

(-2) = 8 P (3)

(-2) =66


estime el error























VI





METODO DE BISECCION










f(a) = -05 f(b) = 1






















Grafica





nabcFaFbFcabs(c-a))

FaFblt=0 c=b

end


EJEMPLOS EN EXCEL

EJEMPLO 1









EJEMPLO 2






EJEMPLO 3













Celda Foacutermula

B15 = 1

D15 = 2

F15 = 0001

A18 = 1

B18 = B15



C18 = D15


E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5

F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5

G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5

A19 = A18+1

B19 = SI(B18G18gt0D18B18)

C19 = SI(B19=D18C18D18)


E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5

F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5

G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5

H19 = ABS(D19-D18)

I19 = H19D19

J19 = SI(I19lt=F$3D19)







Ejemplos










O bien














Ejemplo 1










Ejemplo 2



Solucioacuten


de donde











0

-02 100

-01557461506 2841

-01663039075 634

-0163826372 151



-0164410064 035
















Ejemplo 1


y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0612699837 632

0653442133 623

0652917265 008




Ejemplo 2


con y y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0823315073 214

0852330280 340

0853169121 009

















Hacemos

Y despejamos


aproximacioacuten

si











Ejemplo 1



Solucioacuten










1

1268941421 2119

1309108403 306

1309799389 0052


diacutegitos










ecuacioacuten








el intervalo

















de biseccioacuten


Sea contiacutenua











en el intervalo



Ejemplo 1



Solucioacuten




falsa


















Ejemplo 2



Solucioacuten









Evaluamos






Evaluamos









































151 sqrt abs


complejo


Ejemplo 12

sqrt(4)sqrt(-4)


152 exploglog10



Ejemplo 13

exp(1)



log(ans)

log10(10)



Ejemplo 14

sin(pi2)

sin(90)



radianes



Ejemplo 15




grados seria






154 sinh cosh tanh


como

Ejemplo 16








Ejemplo 17

x = -10011

y = tanh(x)

plot(xy)







Ejemplo 18

x = -10011

y = sin(x)

plot(xym)












function y=runge(x)


y=1(1+25x^2)


a la funcioacuten






Ejemplo 19

runge(0)

runge([-1 0 1])





help runge














x=rcos(z)

y=rsin(z)

Ejemplo 20

ro=ones(13)

zeta=[pi2 pi 3pi2]


help cartpol



TEOREMA DE ROLLE


Cont inua en [a b ]




Y s i f (a) = f(b)




Ejemplos









2]







Teorema de Bolzano


f (0) = 3




Teorema de Rol le

f (x ) = 7x 6 + 3














Asiacute se obtiene






Asiacute se obtiene


INTRODUCCION

















recta tangente










a) P(xo) = f (xo)

b) P (xo) = f (xo)

c) P (xo) = f (xo)


a = f (xo) b = f (xo) y c = (12)f (xo)


como









x 1+x

1 2 25 2718281828

05 15 1625 16487212707

03 13 1345 134985880757

01 11 1105 110517091807

001 101 101005 1010050167

0001 1001 10010005 100100050016






n




3 + + nan (x- xo)

n-1

P(2)


n-2

P(3)


P(n)

(x) = (1)(2)(n) an = n an




( I )




ejemplos


P(2) = 3 P (2) = 5 P (2)

(2) = 4 P (3)

(2) =24 y P (4)

(2) =48






P(x) = 3 + 5(x-2) + 2(x-2)2 + 4(x - 2)

3 + 2(x - 2)

4




P(x) = 7x3 + x

2 +8 P(1) = 16

P (x) = 21x2 + 2x P (1) = 23

P (2)

(x) = 42x + 2 P (2)

(1) = 44

P (3)

(x) = 42 P (3)

(1) = 42


P(x) =16 + 23(x - 1) + (442)(x - 1)2 + (426)(x - 1)

3

Es decir

P(x) =16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)2 + 7(x - 1)

3


7x3 + x

2 +8 = 16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)

2 + 7(x - 1)

3





tangente es decir











x 1+x

1 2 25 2666666 27083333 2718281828

05 15 1625 1645833 16484375 16487212707

03 13 1345 13495 13498375 134985880757

01 11 1105 110516667 110517083 110517091807

001 101 101005 101005017 101005017 1010050167

0001 1001 10010005 100100050000 100100050017 100100050016












f(x) = exp(x)

f(x) = sen(x)

f(x) = cos(x)



decir

f(x) = Pn(x) + En





xo (ab) se tiene








Medio


A la Expresioacuten




a) f(x) = senx

b) f(x) = cosx

c) f(x) = ex


f(x) = senx f(0) = 0

f (x) = cos(x) f (0) = 1

f (2)

(x) = -senx f (2)

(0) = 0

f (3)

(x) = -cos(x) f (3)

(0) = -1



f (4)

(x) = sen(x) f (4)

(0) = 0

f (5)

(x) = cos(x) f (5)

(0) = 1






o bien

0 bien





Taylor con residuo







a) f(x) = sen(x)


f (x) = sen(x) f( 6) = 05

f (x) = cos(x) f ( 6) = 08660254

f (x) = -sen(x) f ( 6) = -05

f (3)

(x) = -cos(x) f ( 6) = -08660254

f (4)

(x) = sen(x)







sen(35ordm) = 05 + 00755749 - 0001903858 - 0000095922 + E3

sen(35ordm) = 057357512 + E3


E3 = = (000000241)sen(c)








entonces












estime el error


a) f(x) =

b) xo = 27

f(27) = 3



= 3036579789




E2 =






estime el error




derivadas






e05

= 164583333 + E3



E3 =

Como f (4)


= 00078125










En =









= 1648697917








En =











= 2718281526


SUPERIOR
















(xo) = 0 f (n-1)

(xo) = 0 y f (n)


es par

1 Si n es par



a) f (n)


b) f (n)




Como f (n)



un subintervalo



(n)




f (n)



Al ser f (n)







3 + 6x

2 +4x


f (x) = 4x3 + 12x

2 + 12x +4 = 0

f (x) = 4(x3 + 3x

2 + 3x + 1) = 4(x + 1)

3 = 0 x = -1



f (x) = 12x2 + 24x + 12 f (-1) = 0

f (3)

(x) = 24x + 24 f (3)

(-1) = 0

f (4)

(x) = 24 f (4)

(-1) = 24



Comandos de Matlab






EJERCICIOS




izquierda

P1(x) P2(x) P3(x) P4(x)

xo + 11



xo + 09

xo + 03

xo + 01

xo + 001

xo + 0001

xo - 11

xo - 09

xo - 03

xo - 01

xo - 001

xo - 0001

1) en xo = 0

2) en xo = 0

3) en xo = 6


5) f(x) = lnx en xo = 1






4) P(x) = 4 - x2 +6x


5) P(x) = 2 + (x - 3)2 -x






1) P(0) = 7 P (0) = 3 P (2)

(0) = 8 P (3)

(0) =54

2) P(1) = 1 P (1) = 5 P (2)

(1) = 32 P (3)

(1) =42

3) P(-2) = 2 P (-2) = 4 P (2)

(-2) = 8 P (3)

(-2) =66


estime el error























VI





METODO DE BISECCION










f(a) = -05 f(b) = 1






















Grafica





nabcFaFbFcabs(c-a))

FaFblt=0 c=b

end


EJEMPLOS EN EXCEL

EJEMPLO 1









EJEMPLO 2






EJEMPLO 3













Celda Foacutermula

B15 = 1

D15 = 2

F15 = 0001

A18 = 1

B18 = B15



C18 = D15


E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5

F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5

G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5

A19 = A18+1

B19 = SI(B18G18gt0D18B18)

C19 = SI(B19=D18C18D18)


E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5

F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5

G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5

H19 = ABS(D19-D18)

I19 = H19D19

J19 = SI(I19lt=F$3D19)







Ejemplos










O bien














Ejemplo 1










Ejemplo 2



Solucioacuten


de donde











0

-02 100

-01557461506 2841

-01663039075 634

-0163826372 151



-0164410064 035
















Ejemplo 1


y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0612699837 632

0653442133 623

0652917265 008




Ejemplo 2


con y y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0823315073 214

0852330280 340

0853169121 009

















Hacemos

Y despejamos


aproximacioacuten

si











Ejemplo 1



Solucioacuten










1

1268941421 2119

1309108403 306

1309799389 0052


diacutegitos










ecuacioacuten








el intervalo

















de biseccioacuten


Sea contiacutenua











en el intervalo



Ejemplo 1



Solucioacuten




falsa


















Ejemplo 2



Solucioacuten









Evaluamos






Evaluamos




















log(ans)

log10(10)



Ejemplo 14

sin(pi2)

sin(90)



radianes



Ejemplo 15




grados seria






154 sinh cosh tanh


como

Ejemplo 16








Ejemplo 17

x = -10011

y = tanh(x)

plot(xy)







Ejemplo 18

x = -10011

y = sin(x)

plot(xym)












function y=runge(x)


y=1(1+25x^2)


a la funcioacuten






Ejemplo 19

runge(0)

runge([-1 0 1])





help runge














x=rcos(z)

y=rsin(z)

Ejemplo 20

ro=ones(13)

zeta=[pi2 pi 3pi2]


help cartpol



TEOREMA DE ROLLE


Cont inua en [a b ]




Y s i f (a) = f(b)




Ejemplos









2]







Teorema de Bolzano


f (0) = 3




Teorema de Rol le

f (x ) = 7x 6 + 3














Asiacute se obtiene






Asiacute se obtiene


INTRODUCCION

















recta tangente










a) P(xo) = f (xo)

b) P (xo) = f (xo)

c) P (xo) = f (xo)


a = f (xo) b = f (xo) y c = (12)f (xo)


como









x 1+x

1 2 25 2718281828

05 15 1625 16487212707

03 13 1345 134985880757

01 11 1105 110517091807

001 101 101005 1010050167

0001 1001 10010005 100100050016






n




3 + + nan (x- xo)

n-1

P(2)


n-2

P(3)


P(n)

(x) = (1)(2)(n) an = n an




( I )




ejemplos


P(2) = 3 P (2) = 5 P (2)

(2) = 4 P (3)

(2) =24 y P (4)

(2) =48






P(x) = 3 + 5(x-2) + 2(x-2)2 + 4(x - 2)

3 + 2(x - 2)

4




P(x) = 7x3 + x

2 +8 P(1) = 16

P (x) = 21x2 + 2x P (1) = 23

P (2)

(x) = 42x + 2 P (2)

(1) = 44

P (3)

(x) = 42 P (3)

(1) = 42


P(x) =16 + 23(x - 1) + (442)(x - 1)2 + (426)(x - 1)

3

Es decir

P(x) =16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)2 + 7(x - 1)

3


7x3 + x

2 +8 = 16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)

2 + 7(x - 1)

3





tangente es decir











x 1+x

1 2 25 2666666 27083333 2718281828

05 15 1625 1645833 16484375 16487212707

03 13 1345 13495 13498375 134985880757

01 11 1105 110516667 110517083 110517091807

001 101 101005 101005017 101005017 1010050167

0001 1001 10010005 100100050000 100100050017 100100050016












f(x) = exp(x)

f(x) = sen(x)

f(x) = cos(x)



decir

f(x) = Pn(x) + En





xo (ab) se tiene








Medio


A la Expresioacuten




a) f(x) = senx

b) f(x) = cosx

c) f(x) = ex


f(x) = senx f(0) = 0

f (x) = cos(x) f (0) = 1

f (2)

(x) = -senx f (2)

(0) = 0

f (3)

(x) = -cos(x) f (3)

(0) = -1



f (4)

(x) = sen(x) f (4)

(0) = 0

f (5)

(x) = cos(x) f (5)

(0) = 1






o bien

0 bien





Taylor con residuo







a) f(x) = sen(x)


f (x) = sen(x) f( 6) = 05

f (x) = cos(x) f ( 6) = 08660254

f (x) = -sen(x) f ( 6) = -05

f (3)

(x) = -cos(x) f ( 6) = -08660254

f (4)

(x) = sen(x)







sen(35ordm) = 05 + 00755749 - 0001903858 - 0000095922 + E3

sen(35ordm) = 057357512 + E3


E3 = = (000000241)sen(c)








entonces












estime el error


a) f(x) =

b) xo = 27

f(27) = 3



= 3036579789




E2 =






estime el error




derivadas






e05

= 164583333 + E3



E3 =

Como f (4)


= 00078125










En =









= 1648697917








En =











= 2718281526


SUPERIOR
















(xo) = 0 f (n-1)

(xo) = 0 y f (n)


es par

1 Si n es par



a) f (n)


b) f (n)




Como f (n)



un subintervalo



(n)




f (n)



Al ser f (n)







3 + 6x

2 +4x


f (x) = 4x3 + 12x

2 + 12x +4 = 0

f (x) = 4(x3 + 3x

2 + 3x + 1) = 4(x + 1)

3 = 0 x = -1



f (x) = 12x2 + 24x + 12 f (-1) = 0

f (3)

(x) = 24x + 24 f (3)

(-1) = 0

f (4)

(x) = 24 f (4)

(-1) = 24



Comandos de Matlab






EJERCICIOS




izquierda

P1(x) P2(x) P3(x) P4(x)

xo + 11



xo + 09

xo + 03

xo + 01

xo + 001

xo + 0001

xo - 11

xo - 09

xo - 03

xo - 01

xo - 001

xo - 0001

1) en xo = 0

2) en xo = 0

3) en xo = 6


5) f(x) = lnx en xo = 1






4) P(x) = 4 - x2 +6x


5) P(x) = 2 + (x - 3)2 -x






1) P(0) = 7 P (0) = 3 P (2)

(0) = 8 P (3)

(0) =54

2) P(1) = 1 P (1) = 5 P (2)

(1) = 32 P (3)

(1) =42

3) P(-2) = 2 P (-2) = 4 P (2)

(-2) = 8 P (3)

(-2) =66


estime el error























VI





METODO DE BISECCION










f(a) = -05 f(b) = 1






















Grafica





nabcFaFbFcabs(c-a))

FaFblt=0 c=b

end


EJEMPLOS EN EXCEL

EJEMPLO 1









EJEMPLO 2






EJEMPLO 3













Celda Foacutermula

B15 = 1

D15 = 2

F15 = 0001

A18 = 1

B18 = B15



C18 = D15


E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5

F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5

G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5

A19 = A18+1

B19 = SI(B18G18gt0D18B18)

C19 = SI(B19=D18C18D18)


E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5

F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5

G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5

H19 = ABS(D19-D18)

I19 = H19D19

J19 = SI(I19lt=F$3D19)







Ejemplos










O bien














Ejemplo 1










Ejemplo 2



Solucioacuten


de donde











0

-02 100

-01557461506 2841

-01663039075 634

-0163826372 151



-0164410064 035
















Ejemplo 1


y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0612699837 632

0653442133 623

0652917265 008




Ejemplo 2


con y y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0823315073 214

0852330280 340

0853169121 009

















Hacemos

Y despejamos


aproximacioacuten

si











Ejemplo 1



Solucioacuten










1

1268941421 2119

1309108403 306

1309799389 0052


diacutegitos










ecuacioacuten








el intervalo

















de biseccioacuten


Sea contiacutenua











en el intervalo



Ejemplo 1



Solucioacuten




falsa


















Ejemplo 2



Solucioacuten









Evaluamos






Evaluamos
























Ejemplo 17

x = -10011

y = tanh(x)

plot(xy)







Ejemplo 18

x = -10011

y = sin(x)

plot(xym)












function y=runge(x)


y=1(1+25x^2)


a la funcioacuten






Ejemplo 19

runge(0)

runge([-1 0 1])





help runge














x=rcos(z)

y=rsin(z)

Ejemplo 20

ro=ones(13)

zeta=[pi2 pi 3pi2]


help cartpol



TEOREMA DE ROLLE


Cont inua en [a b ]




Y s i f (a) = f(b)




Ejemplos









2]







Teorema de Bolzano


f (0) = 3




Teorema de Rol le

f (x ) = 7x 6 + 3














Asiacute se obtiene






Asiacute se obtiene


INTRODUCCION

















recta tangente










a) P(xo) = f (xo)

b) P (xo) = f (xo)

c) P (xo) = f (xo)


a = f (xo) b = f (xo) y c = (12)f (xo)


como









x 1+x

1 2 25 2718281828

05 15 1625 16487212707

03 13 1345 134985880757

01 11 1105 110517091807

001 101 101005 1010050167

0001 1001 10010005 100100050016






n




3 + + nan (x- xo)

n-1

P(2)


n-2

P(3)


P(n)

(x) = (1)(2)(n) an = n an




( I )




ejemplos


P(2) = 3 P (2) = 5 P (2)

(2) = 4 P (3)

(2) =24 y P (4)

(2) =48






P(x) = 3 + 5(x-2) + 2(x-2)2 + 4(x - 2)

3 + 2(x - 2)

4




P(x) = 7x3 + x

2 +8 P(1) = 16

P (x) = 21x2 + 2x P (1) = 23

P (2)

(x) = 42x + 2 P (2)

(1) = 44

P (3)

(x) = 42 P (3)

(1) = 42


P(x) =16 + 23(x - 1) + (442)(x - 1)2 + (426)(x - 1)

3

Es decir

P(x) =16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)2 + 7(x - 1)

3


7x3 + x

2 +8 = 16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)

2 + 7(x - 1)

3





tangente es decir











x 1+x

1 2 25 2666666 27083333 2718281828

05 15 1625 1645833 16484375 16487212707

03 13 1345 13495 13498375 134985880757

01 11 1105 110516667 110517083 110517091807

001 101 101005 101005017 101005017 1010050167

0001 1001 10010005 100100050000 100100050017 100100050016












f(x) = exp(x)

f(x) = sen(x)

f(x) = cos(x)



decir

f(x) = Pn(x) + En





xo (ab) se tiene








Medio


A la Expresioacuten




a) f(x) = senx

b) f(x) = cosx

c) f(x) = ex


f(x) = senx f(0) = 0

f (x) = cos(x) f (0) = 1

f (2)

(x) = -senx f (2)

(0) = 0

f (3)

(x) = -cos(x) f (3)

(0) = -1



f (4)

(x) = sen(x) f (4)

(0) = 0

f (5)

(x) = cos(x) f (5)

(0) = 1






o bien

0 bien





Taylor con residuo







a) f(x) = sen(x)


f (x) = sen(x) f( 6) = 05

f (x) = cos(x) f ( 6) = 08660254

f (x) = -sen(x) f ( 6) = -05

f (3)

(x) = -cos(x) f ( 6) = -08660254

f (4)

(x) = sen(x)







sen(35ordm) = 05 + 00755749 - 0001903858 - 0000095922 + E3

sen(35ordm) = 057357512 + E3


E3 = = (000000241)sen(c)








entonces












estime el error


a) f(x) =

b) xo = 27

f(27) = 3



= 3036579789




E2 =






estime el error




derivadas






e05

= 164583333 + E3



E3 =

Como f (4)


= 00078125










En =









= 1648697917








En =











= 2718281526


SUPERIOR
















(xo) = 0 f (n-1)

(xo) = 0 y f (n)


es par

1 Si n es par



a) f (n)


b) f (n)




Como f (n)



un subintervalo



(n)




f (n)



Al ser f (n)







3 + 6x

2 +4x


f (x) = 4x3 + 12x

2 + 12x +4 = 0

f (x) = 4(x3 + 3x

2 + 3x + 1) = 4(x + 1)

3 = 0 x = -1



f (x) = 12x2 + 24x + 12 f (-1) = 0

f (3)

(x) = 24x + 24 f (3)

(-1) = 0

f (4)

(x) = 24 f (4)

(-1) = 24



Comandos de Matlab






EJERCICIOS




izquierda

P1(x) P2(x) P3(x) P4(x)

xo + 11



xo + 09

xo + 03

xo + 01

xo + 001

xo + 0001

xo - 11

xo - 09

xo - 03

xo - 01

xo - 001

xo - 0001

1) en xo = 0

2) en xo = 0

3) en xo = 6


5) f(x) = lnx en xo = 1






4) P(x) = 4 - x2 +6x


5) P(x) = 2 + (x - 3)2 -x






1) P(0) = 7 P (0) = 3 P (2)

(0) = 8 P (3)

(0) =54

2) P(1) = 1 P (1) = 5 P (2)

(1) = 32 P (3)

(1) =42

3) P(-2) = 2 P (-2) = 4 P (2)

(-2) = 8 P (3)

(-2) =66


estime el error























VI





METODO DE BISECCION










f(a) = -05 f(b) = 1






















Grafica





nabcFaFbFcabs(c-a))

FaFblt=0 c=b

end


EJEMPLOS EN EXCEL

EJEMPLO 1









EJEMPLO 2






EJEMPLO 3













Celda Foacutermula

B15 = 1

D15 = 2

F15 = 0001

A18 = 1

B18 = B15



C18 = D15


E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5

F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5

G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5

A19 = A18+1

B19 = SI(B18G18gt0D18B18)

C19 = SI(B19=D18C18D18)


E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5

F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5

G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5

H19 = ABS(D19-D18)

I19 = H19D19

J19 = SI(I19lt=F$3D19)







Ejemplos










O bien














Ejemplo 1










Ejemplo 2



Solucioacuten


de donde











0

-02 100

-01557461506 2841

-01663039075 634

-0163826372 151



-0164410064 035
















Ejemplo 1


y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0612699837 632

0653442133 623

0652917265 008




Ejemplo 2


con y y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0823315073 214

0852330280 340

0853169121 009

















Hacemos

Y despejamos


aproximacioacuten

si











Ejemplo 1



Solucioacuten










1

1268941421 2119

1309108403 306

1309799389 0052


diacutegitos










ecuacioacuten








el intervalo

















de biseccioacuten


Sea contiacutenua











en el intervalo



Ejemplo 1



Solucioacuten




falsa


















Ejemplo 2



Solucioacuten









Evaluamos






Evaluamos





























function y=runge(x)


y=1(1+25x^2)


a la funcioacuten






Ejemplo 19

runge(0)

runge([-1 0 1])





help runge














x=rcos(z)

y=rsin(z)

Ejemplo 20

ro=ones(13)

zeta=[pi2 pi 3pi2]


help cartpol



TEOREMA DE ROLLE


Cont inua en [a b ]




Y s i f (a) = f(b)




Ejemplos









2]







Teorema de Bolzano


f (0) = 3




Teorema de Rol le

f (x ) = 7x 6 + 3














Asiacute se obtiene






Asiacute se obtiene


INTRODUCCION

















recta tangente










a) P(xo) = f (xo)

b) P (xo) = f (xo)

c) P (xo) = f (xo)


a = f (xo) b = f (xo) y c = (12)f (xo)


como









x 1+x

1 2 25 2718281828

05 15 1625 16487212707

03 13 1345 134985880757

01 11 1105 110517091807

001 101 101005 1010050167

0001 1001 10010005 100100050016






n




3 + + nan (x- xo)

n-1

P(2)


n-2

P(3)


P(n)

(x) = (1)(2)(n) an = n an




( I )




ejemplos


P(2) = 3 P (2) = 5 P (2)

(2) = 4 P (3)

(2) =24 y P (4)

(2) =48






P(x) = 3 + 5(x-2) + 2(x-2)2 + 4(x - 2)

3 + 2(x - 2)

4




P(x) = 7x3 + x

2 +8 P(1) = 16

P (x) = 21x2 + 2x P (1) = 23

P (2)

(x) = 42x + 2 P (2)

(1) = 44

P (3)

(x) = 42 P (3)

(1) = 42


P(x) =16 + 23(x - 1) + (442)(x - 1)2 + (426)(x - 1)

3

Es decir

P(x) =16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)2 + 7(x - 1)

3


7x3 + x

2 +8 = 16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)

2 + 7(x - 1)

3





tangente es decir











x 1+x

1 2 25 2666666 27083333 2718281828

05 15 1625 1645833 16484375 16487212707

03 13 1345 13495 13498375 134985880757

01 11 1105 110516667 110517083 110517091807

001 101 101005 101005017 101005017 1010050167

0001 1001 10010005 100100050000 100100050017 100100050016












f(x) = exp(x)

f(x) = sen(x)

f(x) = cos(x)



decir

f(x) = Pn(x) + En





xo (ab) se tiene








Medio


A la Expresioacuten




a) f(x) = senx

b) f(x) = cosx

c) f(x) = ex


f(x) = senx f(0) = 0

f (x) = cos(x) f (0) = 1

f (2)

(x) = -senx f (2)

(0) = 0

f (3)

(x) = -cos(x) f (3)

(0) = -1



f (4)

(x) = sen(x) f (4)

(0) = 0

f (5)

(x) = cos(x) f (5)

(0) = 1






o bien

0 bien





Taylor con residuo







a) f(x) = sen(x)


f (x) = sen(x) f( 6) = 05

f (x) = cos(x) f ( 6) = 08660254

f (x) = -sen(x) f ( 6) = -05

f (3)

(x) = -cos(x) f ( 6) = -08660254

f (4)

(x) = sen(x)







sen(35ordm) = 05 + 00755749 - 0001903858 - 0000095922 + E3

sen(35ordm) = 057357512 + E3


E3 = = (000000241)sen(c)








entonces












estime el error


a) f(x) =

b) xo = 27

f(27) = 3



= 3036579789




E2 =






estime el error




derivadas






e05

= 164583333 + E3



E3 =

Como f (4)


= 00078125










En =









= 1648697917








En =











= 2718281526


SUPERIOR
















(xo) = 0 f (n-1)

(xo) = 0 y f (n)


es par

1 Si n es par



a) f (n)


b) f (n)




Como f (n)



un subintervalo



(n)




f (n)



Al ser f (n)







3 + 6x

2 +4x


f (x) = 4x3 + 12x

2 + 12x +4 = 0

f (x) = 4(x3 + 3x

2 + 3x + 1) = 4(x + 1)

3 = 0 x = -1



f (x) = 12x2 + 24x + 12 f (-1) = 0

f (3)

(x) = 24x + 24 f (3)

(-1) = 0

f (4)

(x) = 24 f (4)

(-1) = 24



Comandos de Matlab






EJERCICIOS




izquierda

P1(x) P2(x) P3(x) P4(x)

xo + 11



xo + 09

xo + 03

xo + 01

xo + 001

xo + 0001

xo - 11

xo - 09

xo - 03

xo - 01

xo - 001

xo - 0001

1) en xo = 0

2) en xo = 0

3) en xo = 6


5) f(x) = lnx en xo = 1






4) P(x) = 4 - x2 +6x


5) P(x) = 2 + (x - 3)2 -x






1) P(0) = 7 P (0) = 3 P (2)

(0) = 8 P (3)

(0) =54

2) P(1) = 1 P (1) = 5 P (2)

(1) = 32 P (3)

(1) =42

3) P(-2) = 2 P (-2) = 4 P (2)

(-2) = 8 P (3)

(-2) =66


estime el error























VI





METODO DE BISECCION










f(a) = -05 f(b) = 1






















Grafica





nabcFaFbFcabs(c-a))

FaFblt=0 c=b

end


EJEMPLOS EN EXCEL

EJEMPLO 1









EJEMPLO 2






EJEMPLO 3













Celda Foacutermula

B15 = 1

D15 = 2

F15 = 0001

A18 = 1

B18 = B15



C18 = D15


E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5

F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5

G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5

A19 = A18+1

B19 = SI(B18G18gt0D18B18)

C19 = SI(B19=D18C18D18)


E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5

F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5

G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5

H19 = ABS(D19-D18)

I19 = H19D19

J19 = SI(I19lt=F$3D19)







Ejemplos










O bien














Ejemplo 1










Ejemplo 2



Solucioacuten


de donde











0

-02 100

-01557461506 2841

-01663039075 634

-0163826372 151



-0164410064 035
















Ejemplo 1


y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0612699837 632

0653442133 623

0652917265 008




Ejemplo 2


con y y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0823315073 214

0852330280 340

0853169121 009

















Hacemos

Y despejamos


aproximacioacuten

si











Ejemplo 1



Solucioacuten










1

1268941421 2119

1309108403 306

1309799389 0052


diacutegitos










ecuacioacuten








el intervalo

















de biseccioacuten


Sea contiacutenua











en el intervalo



Ejemplo 1



Solucioacuten




falsa


















Ejemplo 2



Solucioacuten









Evaluamos






Evaluamos































x=rcos(z)

y=rsin(z)

Ejemplo 20

ro=ones(13)

zeta=[pi2 pi 3pi2]


help cartpol



TEOREMA DE ROLLE


Cont inua en [a b ]




Y s i f (a) = f(b)




Ejemplos









2]







Teorema de Bolzano


f (0) = 3




Teorema de Rol le

f (x ) = 7x 6 + 3














Asiacute se obtiene






Asiacute se obtiene


INTRODUCCION

















recta tangente










a) P(xo) = f (xo)

b) P (xo) = f (xo)

c) P (xo) = f (xo)


a = f (xo) b = f (xo) y c = (12)f (xo)


como









x 1+x

1 2 25 2718281828

05 15 1625 16487212707

03 13 1345 134985880757

01 11 1105 110517091807

001 101 101005 1010050167

0001 1001 10010005 100100050016






n




3 + + nan (x- xo)

n-1

P(2)


n-2

P(3)


P(n)

(x) = (1)(2)(n) an = n an




( I )




ejemplos


P(2) = 3 P (2) = 5 P (2)

(2) = 4 P (3)

(2) =24 y P (4)

(2) =48






P(x) = 3 + 5(x-2) + 2(x-2)2 + 4(x - 2)

3 + 2(x - 2)

4




P(x) = 7x3 + x

2 +8 P(1) = 16

P (x) = 21x2 + 2x P (1) = 23

P (2)

(x) = 42x + 2 P (2)

(1) = 44

P (3)

(x) = 42 P (3)

(1) = 42


P(x) =16 + 23(x - 1) + (442)(x - 1)2 + (426)(x - 1)

3

Es decir

P(x) =16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)2 + 7(x - 1)

3


7x3 + x

2 +8 = 16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)

2 + 7(x - 1)

3





tangente es decir











x 1+x

1 2 25 2666666 27083333 2718281828

05 15 1625 1645833 16484375 16487212707

03 13 1345 13495 13498375 134985880757

01 11 1105 110516667 110517083 110517091807

001 101 101005 101005017 101005017 1010050167

0001 1001 10010005 100100050000 100100050017 100100050016












f(x) = exp(x)

f(x) = sen(x)

f(x) = cos(x)



decir

f(x) = Pn(x) + En





xo (ab) se tiene








Medio


A la Expresioacuten




a) f(x) = senx

b) f(x) = cosx

c) f(x) = ex


f(x) = senx f(0) = 0

f (x) = cos(x) f (0) = 1

f (2)

(x) = -senx f (2)

(0) = 0

f (3)

(x) = -cos(x) f (3)

(0) = -1



f (4)

(x) = sen(x) f (4)

(0) = 0

f (5)

(x) = cos(x) f (5)

(0) = 1






o bien

0 bien





Taylor con residuo







a) f(x) = sen(x)


f (x) = sen(x) f( 6) = 05

f (x) = cos(x) f ( 6) = 08660254

f (x) = -sen(x) f ( 6) = -05

f (3)

(x) = -cos(x) f ( 6) = -08660254

f (4)

(x) = sen(x)







sen(35ordm) = 05 + 00755749 - 0001903858 - 0000095922 + E3

sen(35ordm) = 057357512 + E3


E3 = = (000000241)sen(c)








entonces












estime el error


a) f(x) =

b) xo = 27

f(27) = 3



= 3036579789




E2 =






estime el error




derivadas






e05

= 164583333 + E3



E3 =

Como f (4)


= 00078125










En =









= 1648697917








En =











= 2718281526


SUPERIOR
















(xo) = 0 f (n-1)

(xo) = 0 y f (n)


es par

1 Si n es par



a) f (n)


b) f (n)




Como f (n)



un subintervalo



(n)




f (n)



Al ser f (n)







3 + 6x

2 +4x


f (x) = 4x3 + 12x

2 + 12x +4 = 0

f (x) = 4(x3 + 3x

2 + 3x + 1) = 4(x + 1)

3 = 0 x = -1



f (x) = 12x2 + 24x + 12 f (-1) = 0

f (3)

(x) = 24x + 24 f (3)

(-1) = 0

f (4)

(x) = 24 f (4)

(-1) = 24



Comandos de Matlab






EJERCICIOS




izquierda

P1(x) P2(x) P3(x) P4(x)

xo + 11



xo + 09

xo + 03

xo + 01

xo + 001

xo + 0001

xo - 11

xo - 09

xo - 03

xo - 01

xo - 001

xo - 0001

1) en xo = 0

2) en xo = 0

3) en xo = 6


5) f(x) = lnx en xo = 1






4) P(x) = 4 - x2 +6x


5) P(x) = 2 + (x - 3)2 -x






1) P(0) = 7 P (0) = 3 P (2)

(0) = 8 P (3)

(0) =54

2) P(1) = 1 P (1) = 5 P (2)

(1) = 32 P (3)

(1) =42

3) P(-2) = 2 P (-2) = 4 P (2)

(-2) = 8 P (3)

(-2) =66


estime el error























VI





METODO DE BISECCION










f(a) = -05 f(b) = 1






















Grafica





nabcFaFbFcabs(c-a))

FaFblt=0 c=b

end


EJEMPLOS EN EXCEL

EJEMPLO 1









EJEMPLO 2






EJEMPLO 3













Celda Foacutermula

B15 = 1

D15 = 2

F15 = 0001

A18 = 1

B18 = B15



C18 = D15


E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5

F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5

G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5

A19 = A18+1

B19 = SI(B18G18gt0D18B18)

C19 = SI(B19=D18C18D18)


E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5

F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5

G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5

H19 = ABS(D19-D18)

I19 = H19D19

J19 = SI(I19lt=F$3D19)







Ejemplos










O bien














Ejemplo 1










Ejemplo 2



Solucioacuten


de donde











0

-02 100

-01557461506 2841

-01663039075 634

-0163826372 151



-0164410064 035
















Ejemplo 1


y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0612699837 632

0653442133 623

0652917265 008




Ejemplo 2


con y y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0823315073 214

0852330280 340

0853169121 009

















Hacemos

Y despejamos


aproximacioacuten

si











Ejemplo 1



Solucioacuten










1

1268941421 2119

1309108403 306

1309799389 0052


diacutegitos










ecuacioacuten








el intervalo

















de biseccioacuten


Sea contiacutenua











en el intervalo



Ejemplo 1



Solucioacuten




falsa


















Ejemplo 2



Solucioacuten









Evaluamos






Evaluamos




















TEOREMA DE ROLLE


Cont inua en [a b ]




Y s i f (a) = f(b)




Ejemplos









2]







Teorema de Bolzano


f (0) = 3




Teorema de Rol le

f (x ) = 7x 6 + 3














Asiacute se obtiene






Asiacute se obtiene


INTRODUCCION

















recta tangente










a) P(xo) = f (xo)

b) P (xo) = f (xo)

c) P (xo) = f (xo)


a = f (xo) b = f (xo) y c = (12)f (xo)


como









x 1+x

1 2 25 2718281828

05 15 1625 16487212707

03 13 1345 134985880757

01 11 1105 110517091807

001 101 101005 1010050167

0001 1001 10010005 100100050016






n




3 + + nan (x- xo)

n-1

P(2)


n-2

P(3)


P(n)

(x) = (1)(2)(n) an = n an




( I )




ejemplos


P(2) = 3 P (2) = 5 P (2)

(2) = 4 P (3)

(2) =24 y P (4)

(2) =48






P(x) = 3 + 5(x-2) + 2(x-2)2 + 4(x - 2)

3 + 2(x - 2)

4




P(x) = 7x3 + x

2 +8 P(1) = 16

P (x) = 21x2 + 2x P (1) = 23

P (2)

(x) = 42x + 2 P (2)

(1) = 44

P (3)

(x) = 42 P (3)

(1) = 42


P(x) =16 + 23(x - 1) + (442)(x - 1)2 + (426)(x - 1)

3

Es decir

P(x) =16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)2 + 7(x - 1)

3


7x3 + x

2 +8 = 16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)

2 + 7(x - 1)

3





tangente es decir











x 1+x

1 2 25 2666666 27083333 2718281828

05 15 1625 1645833 16484375 16487212707

03 13 1345 13495 13498375 134985880757

01 11 1105 110516667 110517083 110517091807

001 101 101005 101005017 101005017 1010050167

0001 1001 10010005 100100050000 100100050017 100100050016












f(x) = exp(x)

f(x) = sen(x)

f(x) = cos(x)



decir

f(x) = Pn(x) + En





xo (ab) se tiene








Medio


A la Expresioacuten




a) f(x) = senx

b) f(x) = cosx

c) f(x) = ex


f(x) = senx f(0) = 0

f (x) = cos(x) f (0) = 1

f (2)

(x) = -senx f (2)

(0) = 0

f (3)

(x) = -cos(x) f (3)

(0) = -1



f (4)

(x) = sen(x) f (4)

(0) = 0

f (5)

(x) = cos(x) f (5)

(0) = 1






o bien

0 bien





Taylor con residuo







a) f(x) = sen(x)


f (x) = sen(x) f( 6) = 05

f (x) = cos(x) f ( 6) = 08660254

f (x) = -sen(x) f ( 6) = -05

f (3)

(x) = -cos(x) f ( 6) = -08660254

f (4)

(x) = sen(x)







sen(35ordm) = 05 + 00755749 - 0001903858 - 0000095922 + E3

sen(35ordm) = 057357512 + E3


E3 = = (000000241)sen(c)








entonces












estime el error


a) f(x) =

b) xo = 27

f(27) = 3



= 3036579789




E2 =






estime el error




derivadas






e05

= 164583333 + E3



E3 =

Como f (4)


= 00078125










En =









= 1648697917








En =











= 2718281526


SUPERIOR
















(xo) = 0 f (n-1)

(xo) = 0 y f (n)


es par

1 Si n es par



a) f (n)


b) f (n)




Como f (n)



un subintervalo



(n)




f (n)



Al ser f (n)







3 + 6x

2 +4x


f (x) = 4x3 + 12x

2 + 12x +4 = 0

f (x) = 4(x3 + 3x

2 + 3x + 1) = 4(x + 1)

3 = 0 x = -1



f (x) = 12x2 + 24x + 12 f (-1) = 0

f (3)

(x) = 24x + 24 f (3)

(-1) = 0

f (4)

(x) = 24 f (4)

(-1) = 24



Comandos de Matlab






EJERCICIOS




izquierda

P1(x) P2(x) P3(x) P4(x)

xo + 11



xo + 09

xo + 03

xo + 01

xo + 001

xo + 0001

xo - 11

xo - 09

xo - 03

xo - 01

xo - 001

xo - 0001

1) en xo = 0

2) en xo = 0

3) en xo = 6


5) f(x) = lnx en xo = 1






4) P(x) = 4 - x2 +6x


5) P(x) = 2 + (x - 3)2 -x






1) P(0) = 7 P (0) = 3 P (2)

(0) = 8 P (3)

(0) =54

2) P(1) = 1 P (1) = 5 P (2)

(1) = 32 P (3)

(1) =42

3) P(-2) = 2 P (-2) = 4 P (2)

(-2) = 8 P (3)

(-2) =66


estime el error























VI





METODO DE BISECCION










f(a) = -05 f(b) = 1






















Grafica





nabcFaFbFcabs(c-a))

FaFblt=0 c=b

end


EJEMPLOS EN EXCEL

EJEMPLO 1









EJEMPLO 2






EJEMPLO 3













Celda Foacutermula

B15 = 1

D15 = 2

F15 = 0001

A18 = 1

B18 = B15



C18 = D15


E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5

F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5

G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5

A19 = A18+1

B19 = SI(B18G18gt0D18B18)

C19 = SI(B19=D18C18D18)


E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5

F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5

G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5

H19 = ABS(D19-D18)

I19 = H19D19

J19 = SI(I19lt=F$3D19)







Ejemplos










O bien














Ejemplo 1










Ejemplo 2



Solucioacuten


de donde











0

-02 100

-01557461506 2841

-01663039075 634

-0163826372 151



-0164410064 035
















Ejemplo 1


y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0612699837 632

0653442133 623

0652917265 008




Ejemplo 2


con y y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0823315073 214

0852330280 340

0853169121 009

















Hacemos

Y despejamos


aproximacioacuten

si











Ejemplo 1



Solucioacuten










1

1268941421 2119

1309108403 306

1309799389 0052


diacutegitos










ecuacioacuten








el intervalo

















de biseccioacuten


Sea contiacutenua











en el intervalo



Ejemplo 1



Solucioacuten




falsa


















Ejemplo 2



Solucioacuten









Evaluamos






Evaluamos




















Y s i f (a) = f(b)




Ejemplos









2]







Teorema de Bolzano


f (0) = 3




Teorema de Rol le

f (x ) = 7x 6 + 3














Asiacute se obtiene






Asiacute se obtiene


INTRODUCCION

















recta tangente










a) P(xo) = f (xo)

b) P (xo) = f (xo)

c) P (xo) = f (xo)


a = f (xo) b = f (xo) y c = (12)f (xo)


como









x 1+x

1 2 25 2718281828

05 15 1625 16487212707

03 13 1345 134985880757

01 11 1105 110517091807

001 101 101005 1010050167

0001 1001 10010005 100100050016






n




3 + + nan (x- xo)

n-1

P(2)


n-2

P(3)


P(n)

(x) = (1)(2)(n) an = n an




( I )




ejemplos


P(2) = 3 P (2) = 5 P (2)

(2) = 4 P (3)

(2) =24 y P (4)

(2) =48






P(x) = 3 + 5(x-2) + 2(x-2)2 + 4(x - 2)

3 + 2(x - 2)

4




P(x) = 7x3 + x

2 +8 P(1) = 16

P (x) = 21x2 + 2x P (1) = 23

P (2)

(x) = 42x + 2 P (2)

(1) = 44

P (3)

(x) = 42 P (3)

(1) = 42


P(x) =16 + 23(x - 1) + (442)(x - 1)2 + (426)(x - 1)

3

Es decir

P(x) =16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)2 + 7(x - 1)

3


7x3 + x

2 +8 = 16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)

2 + 7(x - 1)

3





tangente es decir











x 1+x

1 2 25 2666666 27083333 2718281828

05 15 1625 1645833 16484375 16487212707

03 13 1345 13495 13498375 134985880757

01 11 1105 110516667 110517083 110517091807

001 101 101005 101005017 101005017 1010050167

0001 1001 10010005 100100050000 100100050017 100100050016












f(x) = exp(x)

f(x) = sen(x)

f(x) = cos(x)



decir

f(x) = Pn(x) + En





xo (ab) se tiene








Medio


A la Expresioacuten




a) f(x) = senx

b) f(x) = cosx

c) f(x) = ex


f(x) = senx f(0) = 0

f (x) = cos(x) f (0) = 1

f (2)

(x) = -senx f (2)

(0) = 0

f (3)

(x) = -cos(x) f (3)

(0) = -1



f (4)

(x) = sen(x) f (4)

(0) = 0

f (5)

(x) = cos(x) f (5)

(0) = 1






o bien

0 bien





Taylor con residuo







a) f(x) = sen(x)


f (x) = sen(x) f( 6) = 05

f (x) = cos(x) f ( 6) = 08660254

f (x) = -sen(x) f ( 6) = -05

f (3)

(x) = -cos(x) f ( 6) = -08660254

f (4)

(x) = sen(x)







sen(35ordm) = 05 + 00755749 - 0001903858 - 0000095922 + E3

sen(35ordm) = 057357512 + E3


E3 = = (000000241)sen(c)








entonces












estime el error


a) f(x) =

b) xo = 27

f(27) = 3



= 3036579789




E2 =






estime el error




derivadas






e05

= 164583333 + E3



E3 =

Como f (4)


= 00078125










En =









= 1648697917








En =











= 2718281526


SUPERIOR
















(xo) = 0 f (n-1)

(xo) = 0 y f (n)


es par

1 Si n es par



a) f (n)


b) f (n)




Como f (n)



un subintervalo



(n)




f (n)



Al ser f (n)







3 + 6x

2 +4x


f (x) = 4x3 + 12x

2 + 12x +4 = 0

f (x) = 4(x3 + 3x

2 + 3x + 1) = 4(x + 1)

3 = 0 x = -1



f (x) = 12x2 + 24x + 12 f (-1) = 0

f (3)

(x) = 24x + 24 f (3)

(-1) = 0

f (4)

(x) = 24 f (4)

(-1) = 24



Comandos de Matlab






EJERCICIOS




izquierda

P1(x) P2(x) P3(x) P4(x)

xo + 11



xo + 09

xo + 03

xo + 01

xo + 001

xo + 0001

xo - 11

xo - 09

xo - 03

xo - 01

xo - 001

xo - 0001

1) en xo = 0

2) en xo = 0

3) en xo = 6


5) f(x) = lnx en xo = 1






4) P(x) = 4 - x2 +6x


5) P(x) = 2 + (x - 3)2 -x






1) P(0) = 7 P (0) = 3 P (2)

(0) = 8 P (3)

(0) =54

2) P(1) = 1 P (1) = 5 P (2)

(1) = 32 P (3)

(1) =42

3) P(-2) = 2 P (-2) = 4 P (2)

(-2) = 8 P (3)

(-2) =66


estime el error























VI





METODO DE BISECCION










f(a) = -05 f(b) = 1






















Grafica





nabcFaFbFcabs(c-a))

FaFblt=0 c=b

end


EJEMPLOS EN EXCEL

EJEMPLO 1









EJEMPLO 2






EJEMPLO 3













Celda Foacutermula

B15 = 1

D15 = 2

F15 = 0001

A18 = 1

B18 = B15



C18 = D15


E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5

F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5

G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5

A19 = A18+1

B19 = SI(B18G18gt0D18B18)

C19 = SI(B19=D18C18D18)


E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5

F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5

G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5

H19 = ABS(D19-D18)

I19 = H19D19

J19 = SI(I19lt=F$3D19)







Ejemplos










O bien














Ejemplo 1










Ejemplo 2



Solucioacuten


de donde











0

-02 100

-01557461506 2841

-01663039075 634

-0163826372 151



-0164410064 035
















Ejemplo 1


y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0612699837 632

0653442133 623

0652917265 008




Ejemplo 2


con y y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0823315073 214

0852330280 340

0853169121 009

















Hacemos

Y despejamos


aproximacioacuten

si











Ejemplo 1



Solucioacuten










1

1268941421 2119

1309108403 306

1309799389 0052


diacutegitos










ecuacioacuten








el intervalo

















de biseccioacuten


Sea contiacutenua











en el intervalo



Ejemplo 1



Solucioacuten




falsa


















Ejemplo 2



Solucioacuten









Evaluamos






Evaluamos























2]







Teorema de Bolzano


f (0) = 3




Teorema de Rol le

f (x ) = 7x 6 + 3














Asiacute se obtiene






Asiacute se obtiene


INTRODUCCION

















recta tangente










a) P(xo) = f (xo)

b) P (xo) = f (xo)

c) P (xo) = f (xo)


a = f (xo) b = f (xo) y c = (12)f (xo)


como









x 1+x

1 2 25 2718281828

05 15 1625 16487212707

03 13 1345 134985880757

01 11 1105 110517091807

001 101 101005 1010050167

0001 1001 10010005 100100050016






n




3 + + nan (x- xo)

n-1

P(2)


n-2

P(3)


P(n)

(x) = (1)(2)(n) an = n an




( I )




ejemplos


P(2) = 3 P (2) = 5 P (2)

(2) = 4 P (3)

(2) =24 y P (4)

(2) =48






P(x) = 3 + 5(x-2) + 2(x-2)2 + 4(x - 2)

3 + 2(x - 2)

4




P(x) = 7x3 + x

2 +8 P(1) = 16

P (x) = 21x2 + 2x P (1) = 23

P (2)

(x) = 42x + 2 P (2)

(1) = 44

P (3)

(x) = 42 P (3)

(1) = 42


P(x) =16 + 23(x - 1) + (442)(x - 1)2 + (426)(x - 1)

3

Es decir

P(x) =16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)2 + 7(x - 1)

3


7x3 + x

2 +8 = 16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)

2 + 7(x - 1)

3





tangente es decir











x 1+x

1 2 25 2666666 27083333 2718281828

05 15 1625 1645833 16484375 16487212707

03 13 1345 13495 13498375 134985880757

01 11 1105 110516667 110517083 110517091807

001 101 101005 101005017 101005017 1010050167

0001 1001 10010005 100100050000 100100050017 100100050016












f(x) = exp(x)

f(x) = sen(x)

f(x) = cos(x)



decir

f(x) = Pn(x) + En





xo (ab) se tiene








Medio


A la Expresioacuten




a) f(x) = senx

b) f(x) = cosx

c) f(x) = ex


f(x) = senx f(0) = 0

f (x) = cos(x) f (0) = 1

f (2)

(x) = -senx f (2)

(0) = 0

f (3)

(x) = -cos(x) f (3)

(0) = -1



f (4)

(x) = sen(x) f (4)

(0) = 0

f (5)

(x) = cos(x) f (5)

(0) = 1






o bien

0 bien





Taylor con residuo







a) f(x) = sen(x)


f (x) = sen(x) f( 6) = 05

f (x) = cos(x) f ( 6) = 08660254

f (x) = -sen(x) f ( 6) = -05

f (3)

(x) = -cos(x) f ( 6) = -08660254

f (4)

(x) = sen(x)







sen(35ordm) = 05 + 00755749 - 0001903858 - 0000095922 + E3

sen(35ordm) = 057357512 + E3


E3 = = (000000241)sen(c)








entonces












estime el error


a) f(x) =

b) xo = 27

f(27) = 3



= 3036579789




E2 =






estime el error




derivadas






e05

= 164583333 + E3



E3 =

Como f (4)


= 00078125










En =









= 1648697917








En =











= 2718281526


SUPERIOR
















(xo) = 0 f (n-1)

(xo) = 0 y f (n)


es par

1 Si n es par



a) f (n)


b) f (n)




Como f (n)



un subintervalo



(n)




f (n)



Al ser f (n)







3 + 6x

2 +4x


f (x) = 4x3 + 12x

2 + 12x +4 = 0

f (x) = 4(x3 + 3x

2 + 3x + 1) = 4(x + 1)

3 = 0 x = -1



f (x) = 12x2 + 24x + 12 f (-1) = 0

f (3)

(x) = 24x + 24 f (3)

(-1) = 0

f (4)

(x) = 24 f (4)

(-1) = 24



Comandos de Matlab






EJERCICIOS




izquierda

P1(x) P2(x) P3(x) P4(x)

xo + 11



xo + 09

xo + 03

xo + 01

xo + 001

xo + 0001

xo - 11

xo - 09

xo - 03

xo - 01

xo - 001

xo - 0001

1) en xo = 0

2) en xo = 0

3) en xo = 6


5) f(x) = lnx en xo = 1






4) P(x) = 4 - x2 +6x


5) P(x) = 2 + (x - 3)2 -x






1) P(0) = 7 P (0) = 3 P (2)

(0) = 8 P (3)

(0) =54

2) P(1) = 1 P (1) = 5 P (2)

(1) = 32 P (3)

(1) =42

3) P(-2) = 2 P (-2) = 4 P (2)

(-2) = 8 P (3)

(-2) =66


estime el error























VI





METODO DE BISECCION










f(a) = -05 f(b) = 1






















Grafica





nabcFaFbFcabs(c-a))

FaFblt=0 c=b

end


EJEMPLOS EN EXCEL

EJEMPLO 1









EJEMPLO 2






EJEMPLO 3













Celda Foacutermula

B15 = 1

D15 = 2

F15 = 0001

A18 = 1

B18 = B15



C18 = D15


E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5

F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5

G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5

A19 = A18+1

B19 = SI(B18G18gt0D18B18)

C19 = SI(B19=D18C18D18)


E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5

F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5

G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5

H19 = ABS(D19-D18)

I19 = H19D19

J19 = SI(I19lt=F$3D19)







Ejemplos










O bien














Ejemplo 1










Ejemplo 2



Solucioacuten


de donde











0

-02 100

-01557461506 2841

-01663039075 634

-0163826372 151



-0164410064 035
















Ejemplo 1


y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0612699837 632

0653442133 623

0652917265 008




Ejemplo 2


con y y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0823315073 214

0852330280 340

0853169121 009

















Hacemos

Y despejamos


aproximacioacuten

si











Ejemplo 1



Solucioacuten










1

1268941421 2119

1309108403 306

1309799389 0052


diacutegitos










ecuacioacuten








el intervalo

















de biseccioacuten


Sea contiacutenua











en el intervalo



Ejemplo 1



Solucioacuten




falsa


















Ejemplo 2



Solucioacuten









Evaluamos






Evaluamos





















Teorema de Rol le

f (x ) = 7x 6 + 3














Asiacute se obtiene






Asiacute se obtiene


INTRODUCCION

















recta tangente










a) P(xo) = f (xo)

b) P (xo) = f (xo)

c) P (xo) = f (xo)


a = f (xo) b = f (xo) y c = (12)f (xo)


como









x 1+x

1 2 25 2718281828

05 15 1625 16487212707

03 13 1345 134985880757

01 11 1105 110517091807

001 101 101005 1010050167

0001 1001 10010005 100100050016






n




3 + + nan (x- xo)

n-1

P(2)


n-2

P(3)


P(n)

(x) = (1)(2)(n) an = n an




( I )




ejemplos


P(2) = 3 P (2) = 5 P (2)

(2) = 4 P (3)

(2) =24 y P (4)

(2) =48






P(x) = 3 + 5(x-2) + 2(x-2)2 + 4(x - 2)

3 + 2(x - 2)

4




P(x) = 7x3 + x

2 +8 P(1) = 16

P (x) = 21x2 + 2x P (1) = 23

P (2)

(x) = 42x + 2 P (2)

(1) = 44

P (3)

(x) = 42 P (3)

(1) = 42


P(x) =16 + 23(x - 1) + (442)(x - 1)2 + (426)(x - 1)

3

Es decir

P(x) =16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)2 + 7(x - 1)

3


7x3 + x

2 +8 = 16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)

2 + 7(x - 1)

3





tangente es decir











x 1+x

1 2 25 2666666 27083333 2718281828

05 15 1625 1645833 16484375 16487212707

03 13 1345 13495 13498375 134985880757

01 11 1105 110516667 110517083 110517091807

001 101 101005 101005017 101005017 1010050167

0001 1001 10010005 100100050000 100100050017 100100050016












f(x) = exp(x)

f(x) = sen(x)

f(x) = cos(x)



decir

f(x) = Pn(x) + En





xo (ab) se tiene








Medio


A la Expresioacuten




a) f(x) = senx

b) f(x) = cosx

c) f(x) = ex


f(x) = senx f(0) = 0

f (x) = cos(x) f (0) = 1

f (2)

(x) = -senx f (2)

(0) = 0

f (3)

(x) = -cos(x) f (3)

(0) = -1



f (4)

(x) = sen(x) f (4)

(0) = 0

f (5)

(x) = cos(x) f (5)

(0) = 1






o bien

0 bien





Taylor con residuo







a) f(x) = sen(x)


f (x) = sen(x) f( 6) = 05

f (x) = cos(x) f ( 6) = 08660254

f (x) = -sen(x) f ( 6) = -05

f (3)

(x) = -cos(x) f ( 6) = -08660254

f (4)

(x) = sen(x)







sen(35ordm) = 05 + 00755749 - 0001903858 - 0000095922 + E3

sen(35ordm) = 057357512 + E3


E3 = = (000000241)sen(c)








entonces












estime el error


a) f(x) =

b) xo = 27

f(27) = 3



= 3036579789




E2 =






estime el error




derivadas






e05

= 164583333 + E3



E3 =

Como f (4)


= 00078125










En =









= 1648697917








En =











= 2718281526


SUPERIOR
















(xo) = 0 f (n-1)

(xo) = 0 y f (n)


es par

1 Si n es par



a) f (n)


b) f (n)




Como f (n)



un subintervalo



(n)




f (n)



Al ser f (n)







3 + 6x

2 +4x


f (x) = 4x3 + 12x

2 + 12x +4 = 0

f (x) = 4(x3 + 3x

2 + 3x + 1) = 4(x + 1)

3 = 0 x = -1



f (x) = 12x2 + 24x + 12 f (-1) = 0

f (3)

(x) = 24x + 24 f (3)

(-1) = 0

f (4)

(x) = 24 f (4)

(-1) = 24



Comandos de Matlab






EJERCICIOS




izquierda

P1(x) P2(x) P3(x) P4(x)

xo + 11



xo + 09

xo + 03

xo + 01

xo + 001

xo + 0001

xo - 11

xo - 09

xo - 03

xo - 01

xo - 001

xo - 0001

1) en xo = 0

2) en xo = 0

3) en xo = 6


5) f(x) = lnx en xo = 1






4) P(x) = 4 - x2 +6x


5) P(x) = 2 + (x - 3)2 -x






1) P(0) = 7 P (0) = 3 P (2)

(0) = 8 P (3)

(0) =54

2) P(1) = 1 P (1) = 5 P (2)

(1) = 32 P (3)

(1) =42

3) P(-2) = 2 P (-2) = 4 P (2)

(-2) = 8 P (3)

(-2) =66


estime el error























VI





METODO DE BISECCION










f(a) = -05 f(b) = 1






















Grafica





nabcFaFbFcabs(c-a))

FaFblt=0 c=b

end


EJEMPLOS EN EXCEL

EJEMPLO 1









EJEMPLO 2






EJEMPLO 3













Celda Foacutermula

B15 = 1

D15 = 2

F15 = 0001

A18 = 1

B18 = B15



C18 = D15


E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5

F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5

G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5

A19 = A18+1

B19 = SI(B18G18gt0D18B18)

C19 = SI(B19=D18C18D18)


E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5

F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5

G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5

H19 = ABS(D19-D18)

I19 = H19D19

J19 = SI(I19lt=F$3D19)







Ejemplos










O bien














Ejemplo 1










Ejemplo 2



Solucioacuten


de donde











0

-02 100

-01557461506 2841

-01663039075 634

-0163826372 151



-0164410064 035
















Ejemplo 1


y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0612699837 632

0653442133 623

0652917265 008




Ejemplo 2


con y y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0823315073 214

0852330280 340

0853169121 009

















Hacemos

Y despejamos


aproximacioacuten

si











Ejemplo 1



Solucioacuten










1

1268941421 2119

1309108403 306

1309799389 0052


diacutegitos










ecuacioacuten








el intervalo

















de biseccioacuten


Sea contiacutenua











en el intervalo



Ejemplo 1



Solucioacuten




falsa


















Ejemplo 2



Solucioacuten









Evaluamos






Evaluamos




























Asiacute se obtiene






Asiacute se obtiene


INTRODUCCION

















recta tangente










a) P(xo) = f (xo)

b) P (xo) = f (xo)

c) P (xo) = f (xo)


a = f (xo) b = f (xo) y c = (12)f (xo)


como









x 1+x

1 2 25 2718281828

05 15 1625 16487212707

03 13 1345 134985880757

01 11 1105 110517091807

001 101 101005 1010050167

0001 1001 10010005 100100050016






n




3 + + nan (x- xo)

n-1

P(2)


n-2

P(3)


P(n)

(x) = (1)(2)(n) an = n an




( I )




ejemplos


P(2) = 3 P (2) = 5 P (2)

(2) = 4 P (3)

(2) =24 y P (4)

(2) =48






P(x) = 3 + 5(x-2) + 2(x-2)2 + 4(x - 2)

3 + 2(x - 2)

4




P(x) = 7x3 + x

2 +8 P(1) = 16

P (x) = 21x2 + 2x P (1) = 23

P (2)

(x) = 42x + 2 P (2)

(1) = 44

P (3)

(x) = 42 P (3)

(1) = 42


P(x) =16 + 23(x - 1) + (442)(x - 1)2 + (426)(x - 1)

3

Es decir

P(x) =16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)2 + 7(x - 1)

3


7x3 + x

2 +8 = 16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)

2 + 7(x - 1)

3





tangente es decir











x 1+x

1 2 25 2666666 27083333 2718281828

05 15 1625 1645833 16484375 16487212707

03 13 1345 13495 13498375 134985880757

01 11 1105 110516667 110517083 110517091807

001 101 101005 101005017 101005017 1010050167

0001 1001 10010005 100100050000 100100050017 100100050016












f(x) = exp(x)

f(x) = sen(x)

f(x) = cos(x)



decir

f(x) = Pn(x) + En





xo (ab) se tiene








Medio


A la Expresioacuten




a) f(x) = senx

b) f(x) = cosx

c) f(x) = ex


f(x) = senx f(0) = 0

f (x) = cos(x) f (0) = 1

f (2)

(x) = -senx f (2)

(0) = 0

f (3)

(x) = -cos(x) f (3)

(0) = -1



f (4)

(x) = sen(x) f (4)

(0) = 0

f (5)

(x) = cos(x) f (5)

(0) = 1






o bien

0 bien





Taylor con residuo







a) f(x) = sen(x)


f (x) = sen(x) f( 6) = 05

f (x) = cos(x) f ( 6) = 08660254

f (x) = -sen(x) f ( 6) = -05

f (3)

(x) = -cos(x) f ( 6) = -08660254

f (4)

(x) = sen(x)







sen(35ordm) = 05 + 00755749 - 0001903858 - 0000095922 + E3

sen(35ordm) = 057357512 + E3


E3 = = (000000241)sen(c)








entonces












estime el error


a) f(x) =

b) xo = 27

f(27) = 3



= 3036579789




E2 =






estime el error




derivadas






e05

= 164583333 + E3



E3 =

Como f (4)


= 00078125










En =









= 1648697917








En =











= 2718281526


SUPERIOR
















(xo) = 0 f (n-1)

(xo) = 0 y f (n)


es par

1 Si n es par



a) f (n)


b) f (n)




Como f (n)



un subintervalo



(n)




f (n)



Al ser f (n)







3 + 6x

2 +4x


f (x) = 4x3 + 12x

2 + 12x +4 = 0

f (x) = 4(x3 + 3x

2 + 3x + 1) = 4(x + 1)

3 = 0 x = -1



f (x) = 12x2 + 24x + 12 f (-1) = 0

f (3)

(x) = 24x + 24 f (3)

(-1) = 0

f (4)

(x) = 24 f (4)

(-1) = 24



Comandos de Matlab






EJERCICIOS




izquierda

P1(x) P2(x) P3(x) P4(x)

xo + 11



xo + 09

xo + 03

xo + 01

xo + 001

xo + 0001

xo - 11

xo - 09

xo - 03

xo - 01

xo - 001

xo - 0001

1) en xo = 0

2) en xo = 0

3) en xo = 6


5) f(x) = lnx en xo = 1






4) P(x) = 4 - x2 +6x


5) P(x) = 2 + (x - 3)2 -x






1) P(0) = 7 P (0) = 3 P (2)

(0) = 8 P (3)

(0) =54

2) P(1) = 1 P (1) = 5 P (2)

(1) = 32 P (3)

(1) =42

3) P(-2) = 2 P (-2) = 4 P (2)

(-2) = 8 P (3)

(-2) =66


estime el error























VI





METODO DE BISECCION










f(a) = -05 f(b) = 1






















Grafica





nabcFaFbFcabs(c-a))

FaFblt=0 c=b

end


EJEMPLOS EN EXCEL

EJEMPLO 1









EJEMPLO 2






EJEMPLO 3













Celda Foacutermula

B15 = 1

D15 = 2

F15 = 0001

A18 = 1

B18 = B15



C18 = D15


E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5

F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5

G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5

A19 = A18+1

B19 = SI(B18G18gt0D18B18)

C19 = SI(B19=D18C18D18)


E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5

F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5

G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5

H19 = ABS(D19-D18)

I19 = H19D19

J19 = SI(I19lt=F$3D19)







Ejemplos










O bien














Ejemplo 1










Ejemplo 2



Solucioacuten


de donde











0

-02 100

-01557461506 2841

-01663039075 634

-0163826372 151



-0164410064 035
















Ejemplo 1


y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0612699837 632

0653442133 623

0652917265 008




Ejemplo 2


con y y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0823315073 214

0852330280 340

0853169121 009

















Hacemos

Y despejamos


aproximacioacuten

si











Ejemplo 1



Solucioacuten










1

1268941421 2119

1309108403 306

1309799389 0052


diacutegitos










ecuacioacuten








el intervalo

















de biseccioacuten


Sea contiacutenua











en el intervalo



Ejemplo 1



Solucioacuten




falsa


















Ejemplo 2



Solucioacuten









Evaluamos






Evaluamos























Asiacute se obtiene


INTRODUCCION

















recta tangente










a) P(xo) = f (xo)

b) P (xo) = f (xo)

c) P (xo) = f (xo)


a = f (xo) b = f (xo) y c = (12)f (xo)


como









x 1+x

1 2 25 2718281828

05 15 1625 16487212707

03 13 1345 134985880757

01 11 1105 110517091807

001 101 101005 1010050167

0001 1001 10010005 100100050016






n




3 + + nan (x- xo)

n-1

P(2)


n-2

P(3)


P(n)

(x) = (1)(2)(n) an = n an




( I )




ejemplos


P(2) = 3 P (2) = 5 P (2)

(2) = 4 P (3)

(2) =24 y P (4)

(2) =48






P(x) = 3 + 5(x-2) + 2(x-2)2 + 4(x - 2)

3 + 2(x - 2)

4




P(x) = 7x3 + x

2 +8 P(1) = 16

P (x) = 21x2 + 2x P (1) = 23

P (2)

(x) = 42x + 2 P (2)

(1) = 44

P (3)

(x) = 42 P (3)

(1) = 42


P(x) =16 + 23(x - 1) + (442)(x - 1)2 + (426)(x - 1)

3

Es decir

P(x) =16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)2 + 7(x - 1)

3


7x3 + x

2 +8 = 16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)

2 + 7(x - 1)

3





tangente es decir











x 1+x

1 2 25 2666666 27083333 2718281828

05 15 1625 1645833 16484375 16487212707

03 13 1345 13495 13498375 134985880757

01 11 1105 110516667 110517083 110517091807

001 101 101005 101005017 101005017 1010050167

0001 1001 10010005 100100050000 100100050017 100100050016












f(x) = exp(x)

f(x) = sen(x)

f(x) = cos(x)



decir

f(x) = Pn(x) + En





xo (ab) se tiene








Medio


A la Expresioacuten




a) f(x) = senx

b) f(x) = cosx

c) f(x) = ex


f(x) = senx f(0) = 0

f (x) = cos(x) f (0) = 1

f (2)

(x) = -senx f (2)

(0) = 0

f (3)

(x) = -cos(x) f (3)

(0) = -1



f (4)

(x) = sen(x) f (4)

(0) = 0

f (5)

(x) = cos(x) f (5)

(0) = 1






o bien

0 bien





Taylor con residuo







a) f(x) = sen(x)


f (x) = sen(x) f( 6) = 05

f (x) = cos(x) f ( 6) = 08660254

f (x) = -sen(x) f ( 6) = -05

f (3)

(x) = -cos(x) f ( 6) = -08660254

f (4)

(x) = sen(x)







sen(35ordm) = 05 + 00755749 - 0001903858 - 0000095922 + E3

sen(35ordm) = 057357512 + E3


E3 = = (000000241)sen(c)








entonces












estime el error


a) f(x) =

b) xo = 27

f(27) = 3



= 3036579789




E2 =






estime el error




derivadas






e05

= 164583333 + E3



E3 =

Como f (4)


= 00078125










En =









= 1648697917








En =











= 2718281526


SUPERIOR
















(xo) = 0 f (n-1)

(xo) = 0 y f (n)


es par

1 Si n es par



a) f (n)


b) f (n)




Como f (n)



un subintervalo



(n)




f (n)



Al ser f (n)







3 + 6x

2 +4x


f (x) = 4x3 + 12x

2 + 12x +4 = 0

f (x) = 4(x3 + 3x

2 + 3x + 1) = 4(x + 1)

3 = 0 x = -1



f (x) = 12x2 + 24x + 12 f (-1) = 0

f (3)

(x) = 24x + 24 f (3)

(-1) = 0

f (4)

(x) = 24 f (4)

(-1) = 24



Comandos de Matlab






EJERCICIOS




izquierda

P1(x) P2(x) P3(x) P4(x)

xo + 11



xo + 09

xo + 03

xo + 01

xo + 001

xo + 0001

xo - 11

xo - 09

xo - 03

xo - 01

xo - 001

xo - 0001

1) en xo = 0

2) en xo = 0

3) en xo = 6


5) f(x) = lnx en xo = 1






4) P(x) = 4 - x2 +6x


5) P(x) = 2 + (x - 3)2 -x






1) P(0) = 7 P (0) = 3 P (2)

(0) = 8 P (3)

(0) =54

2) P(1) = 1 P (1) = 5 P (2)

(1) = 32 P (3)

(1) =42

3) P(-2) = 2 P (-2) = 4 P (2)

(-2) = 8 P (3)

(-2) =66


estime el error























VI





METODO DE BISECCION










f(a) = -05 f(b) = 1






















Grafica





nabcFaFbFcabs(c-a))

FaFblt=0 c=b

end


EJEMPLOS EN EXCEL

EJEMPLO 1









EJEMPLO 2






EJEMPLO 3













Celda Foacutermula

B15 = 1

D15 = 2

F15 = 0001

A18 = 1

B18 = B15



C18 = D15


E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5

F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5

G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5

A19 = A18+1

B19 = SI(B18G18gt0D18B18)

C19 = SI(B19=D18C18D18)


E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5

F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5

G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5

H19 = ABS(D19-D18)

I19 = H19D19

J19 = SI(I19lt=F$3D19)







Ejemplos










O bien














Ejemplo 1










Ejemplo 2



Solucioacuten


de donde











0

-02 100

-01557461506 2841

-01663039075 634

-0163826372 151



-0164410064 035
















Ejemplo 1


y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0612699837 632

0653442133 623

0652917265 008




Ejemplo 2


con y y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0823315073 214

0852330280 340

0853169121 009

















Hacemos

Y despejamos


aproximacioacuten

si











Ejemplo 1



Solucioacuten










1

1268941421 2119

1309108403 306

1309799389 0052


diacutegitos










ecuacioacuten








el intervalo

















de biseccioacuten


Sea contiacutenua











en el intervalo



Ejemplo 1



Solucioacuten




falsa


















Ejemplo 2



Solucioacuten









Evaluamos






Evaluamos



























recta tangente










a) P(xo) = f (xo)

b) P (xo) = f (xo)

c) P (xo) = f (xo)


a = f (xo) b = f (xo) y c = (12)f (xo)


como









x 1+x

1 2 25 2718281828

05 15 1625 16487212707

03 13 1345 134985880757

01 11 1105 110517091807

001 101 101005 1010050167

0001 1001 10010005 100100050016






n




3 + + nan (x- xo)

n-1

P(2)


n-2

P(3)


P(n)

(x) = (1)(2)(n) an = n an




( I )




ejemplos


P(2) = 3 P (2) = 5 P (2)

(2) = 4 P (3)

(2) =24 y P (4)

(2) =48






P(x) = 3 + 5(x-2) + 2(x-2)2 + 4(x - 2)

3 + 2(x - 2)

4




P(x) = 7x3 + x

2 +8 P(1) = 16

P (x) = 21x2 + 2x P (1) = 23

P (2)

(x) = 42x + 2 P (2)

(1) = 44

P (3)

(x) = 42 P (3)

(1) = 42


P(x) =16 + 23(x - 1) + (442)(x - 1)2 + (426)(x - 1)

3

Es decir

P(x) =16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)2 + 7(x - 1)

3


7x3 + x

2 +8 = 16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)

2 + 7(x - 1)

3





tangente es decir











x 1+x

1 2 25 2666666 27083333 2718281828

05 15 1625 1645833 16484375 16487212707

03 13 1345 13495 13498375 134985880757

01 11 1105 110516667 110517083 110517091807

001 101 101005 101005017 101005017 1010050167

0001 1001 10010005 100100050000 100100050017 100100050016












f(x) = exp(x)

f(x) = sen(x)

f(x) = cos(x)



decir

f(x) = Pn(x) + En





xo (ab) se tiene








Medio


A la Expresioacuten




a) f(x) = senx

b) f(x) = cosx

c) f(x) = ex


f(x) = senx f(0) = 0

f (x) = cos(x) f (0) = 1

f (2)

(x) = -senx f (2)

(0) = 0

f (3)

(x) = -cos(x) f (3)

(0) = -1



f (4)

(x) = sen(x) f (4)

(0) = 0

f (5)

(x) = cos(x) f (5)

(0) = 1






o bien

0 bien





Taylor con residuo







a) f(x) = sen(x)


f (x) = sen(x) f( 6) = 05

f (x) = cos(x) f ( 6) = 08660254

f (x) = -sen(x) f ( 6) = -05

f (3)

(x) = -cos(x) f ( 6) = -08660254

f (4)

(x) = sen(x)







sen(35ordm) = 05 + 00755749 - 0001903858 - 0000095922 + E3

sen(35ordm) = 057357512 + E3


E3 = = (000000241)sen(c)








entonces












estime el error


a) f(x) =

b) xo = 27

f(27) = 3



= 3036579789




E2 =






estime el error




derivadas






e05

= 164583333 + E3



E3 =

Como f (4)


= 00078125










En =









= 1648697917








En =











= 2718281526


SUPERIOR
















(xo) = 0 f (n-1)

(xo) = 0 y f (n)


es par

1 Si n es par



a) f (n)


b) f (n)




Como f (n)



un subintervalo



(n)




f (n)



Al ser f (n)







3 + 6x

2 +4x


f (x) = 4x3 + 12x

2 + 12x +4 = 0

f (x) = 4(x3 + 3x

2 + 3x + 1) = 4(x + 1)

3 = 0 x = -1



f (x) = 12x2 + 24x + 12 f (-1) = 0

f (3)

(x) = 24x + 24 f (3)

(-1) = 0

f (4)

(x) = 24 f (4)

(-1) = 24



Comandos de Matlab






EJERCICIOS




izquierda

P1(x) P2(x) P3(x) P4(x)

xo + 11



xo + 09

xo + 03

xo + 01

xo + 001

xo + 0001

xo - 11

xo - 09

xo - 03

xo - 01

xo - 001

xo - 0001

1) en xo = 0

2) en xo = 0

3) en xo = 6


5) f(x) = lnx en xo = 1






4) P(x) = 4 - x2 +6x


5) P(x) = 2 + (x - 3)2 -x






1) P(0) = 7 P (0) = 3 P (2)

(0) = 8 P (3)

(0) =54

2) P(1) = 1 P (1) = 5 P (2)

(1) = 32 P (3)

(1) =42

3) P(-2) = 2 P (-2) = 4 P (2)

(-2) = 8 P (3)

(-2) =66


estime el error























VI





METODO DE BISECCION










f(a) = -05 f(b) = 1






















Grafica





nabcFaFbFcabs(c-a))

FaFblt=0 c=b

end


EJEMPLOS EN EXCEL

EJEMPLO 1









EJEMPLO 2






EJEMPLO 3













Celda Foacutermula

B15 = 1

D15 = 2

F15 = 0001

A18 = 1

B18 = B15



C18 = D15


E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5

F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5

G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5

A19 = A18+1

B19 = SI(B18G18gt0D18B18)

C19 = SI(B19=D18C18D18)


E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5

F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5

G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5

H19 = ABS(D19-D18)

I19 = H19D19

J19 = SI(I19lt=F$3D19)







Ejemplos










O bien














Ejemplo 1










Ejemplo 2



Solucioacuten


de donde











0

-02 100

-01557461506 2841

-01663039075 634

-0163826372 151



-0164410064 035
















Ejemplo 1


y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0612699837 632

0653442133 623

0652917265 008




Ejemplo 2


con y y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0823315073 214

0852330280 340

0853169121 009

















Hacemos

Y despejamos


aproximacioacuten

si











Ejemplo 1



Solucioacuten










1

1268941421 2119

1309108403 306

1309799389 0052


diacutegitos










ecuacioacuten








el intervalo

















de biseccioacuten


Sea contiacutenua











en el intervalo



Ejemplo 1



Solucioacuten




falsa


















Ejemplo 2



Solucioacuten









Evaluamos






Evaluamos























a) P(xo) = f (xo)

b) P (xo) = f (xo)

c) P (xo) = f (xo)


a = f (xo) b = f (xo) y c = (12)f (xo)


como









x 1+x

1 2 25 2718281828

05 15 1625 16487212707

03 13 1345 134985880757

01 11 1105 110517091807

001 101 101005 1010050167

0001 1001 10010005 100100050016






n




3 + + nan (x- xo)

n-1

P(2)


n-2

P(3)


P(n)

(x) = (1)(2)(n) an = n an




( I )




ejemplos


P(2) = 3 P (2) = 5 P (2)

(2) = 4 P (3)

(2) =24 y P (4)

(2) =48






P(x) = 3 + 5(x-2) + 2(x-2)2 + 4(x - 2)

3 + 2(x - 2)

4




P(x) = 7x3 + x

2 +8 P(1) = 16

P (x) = 21x2 + 2x P (1) = 23

P (2)

(x) = 42x + 2 P (2)

(1) = 44

P (3)

(x) = 42 P (3)

(1) = 42


P(x) =16 + 23(x - 1) + (442)(x - 1)2 + (426)(x - 1)

3

Es decir

P(x) =16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)2 + 7(x - 1)

3


7x3 + x

2 +8 = 16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)

2 + 7(x - 1)

3





tangente es decir











x 1+x

1 2 25 2666666 27083333 2718281828

05 15 1625 1645833 16484375 16487212707

03 13 1345 13495 13498375 134985880757

01 11 1105 110516667 110517083 110517091807

001 101 101005 101005017 101005017 1010050167

0001 1001 10010005 100100050000 100100050017 100100050016












f(x) = exp(x)

f(x) = sen(x)

f(x) = cos(x)



decir

f(x) = Pn(x) + En





xo (ab) se tiene








Medio


A la Expresioacuten




a) f(x) = senx

b) f(x) = cosx

c) f(x) = ex


f(x) = senx f(0) = 0

f (x) = cos(x) f (0) = 1

f (2)

(x) = -senx f (2)

(0) = 0

f (3)

(x) = -cos(x) f (3)

(0) = -1



f (4)

(x) = sen(x) f (4)

(0) = 0

f (5)

(x) = cos(x) f (5)

(0) = 1






o bien

0 bien





Taylor con residuo







a) f(x) = sen(x)


f (x) = sen(x) f( 6) = 05

f (x) = cos(x) f ( 6) = 08660254

f (x) = -sen(x) f ( 6) = -05

f (3)

(x) = -cos(x) f ( 6) = -08660254

f (4)

(x) = sen(x)







sen(35ordm) = 05 + 00755749 - 0001903858 - 0000095922 + E3

sen(35ordm) = 057357512 + E3


E3 = = (000000241)sen(c)








entonces












estime el error


a) f(x) =

b) xo = 27

f(27) = 3



= 3036579789




E2 =






estime el error




derivadas






e05

= 164583333 + E3



E3 =

Como f (4)


= 00078125










En =









= 1648697917








En =











= 2718281526


SUPERIOR
















(xo) = 0 f (n-1)

(xo) = 0 y f (n)


es par

1 Si n es par



a) f (n)


b) f (n)




Como f (n)



un subintervalo



(n)




f (n)



Al ser f (n)







3 + 6x

2 +4x


f (x) = 4x3 + 12x

2 + 12x +4 = 0

f (x) = 4(x3 + 3x

2 + 3x + 1) = 4(x + 1)

3 = 0 x = -1



f (x) = 12x2 + 24x + 12 f (-1) = 0

f (3)

(x) = 24x + 24 f (3)

(-1) = 0

f (4)

(x) = 24 f (4)

(-1) = 24



Comandos de Matlab






EJERCICIOS




izquierda

P1(x) P2(x) P3(x) P4(x)

xo + 11



xo + 09

xo + 03

xo + 01

xo + 001

xo + 0001

xo - 11

xo - 09

xo - 03

xo - 01

xo - 001

xo - 0001

1) en xo = 0

2) en xo = 0

3) en xo = 6


5) f(x) = lnx en xo = 1






4) P(x) = 4 - x2 +6x


5) P(x) = 2 + (x - 3)2 -x






1) P(0) = 7 P (0) = 3 P (2)

(0) = 8 P (3)

(0) =54

2) P(1) = 1 P (1) = 5 P (2)

(1) = 32 P (3)

(1) =42

3) P(-2) = 2 P (-2) = 4 P (2)

(-2) = 8 P (3)

(-2) =66


estime el error























VI





METODO DE BISECCION










f(a) = -05 f(b) = 1






















Grafica





nabcFaFbFcabs(c-a))

FaFblt=0 c=b

end


EJEMPLOS EN EXCEL

EJEMPLO 1









EJEMPLO 2






EJEMPLO 3













Celda Foacutermula

B15 = 1

D15 = 2

F15 = 0001

A18 = 1

B18 = B15



C18 = D15


E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5

F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5

G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5

A19 = A18+1

B19 = SI(B18G18gt0D18B18)

C19 = SI(B19=D18C18D18)


E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5

F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5

G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5

H19 = ABS(D19-D18)

I19 = H19D19

J19 = SI(I19lt=F$3D19)







Ejemplos










O bien














Ejemplo 1










Ejemplo 2



Solucioacuten


de donde











0

-02 100

-01557461506 2841

-01663039075 634

-0163826372 151



-0164410064 035
















Ejemplo 1


y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0612699837 632

0653442133 623

0652917265 008




Ejemplo 2


con y y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0823315073 214

0852330280 340

0853169121 009

















Hacemos

Y despejamos


aproximacioacuten

si











Ejemplo 1



Solucioacuten










1

1268941421 2119

1309108403 306

1309799389 0052


diacutegitos










ecuacioacuten








el intervalo

















de biseccioacuten


Sea contiacutenua











en el intervalo



Ejemplo 1



Solucioacuten




falsa


















Ejemplo 2



Solucioacuten









Evaluamos






Evaluamos























x 1+x

1 2 25 2718281828

05 15 1625 16487212707

03 13 1345 134985880757

01 11 1105 110517091807

001 101 101005 1010050167

0001 1001 10010005 100100050016






n




3 + + nan (x- xo)

n-1

P(2)


n-2

P(3)


P(n)

(x) = (1)(2)(n) an = n an




( I )




ejemplos


P(2) = 3 P (2) = 5 P (2)

(2) = 4 P (3)

(2) =24 y P (4)

(2) =48






P(x) = 3 + 5(x-2) + 2(x-2)2 + 4(x - 2)

3 + 2(x - 2)

4




P(x) = 7x3 + x

2 +8 P(1) = 16

P (x) = 21x2 + 2x P (1) = 23

P (2)

(x) = 42x + 2 P (2)

(1) = 44

P (3)

(x) = 42 P (3)

(1) = 42


P(x) =16 + 23(x - 1) + (442)(x - 1)2 + (426)(x - 1)

3

Es decir

P(x) =16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)2 + 7(x - 1)

3


7x3 + x

2 +8 = 16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)

2 + 7(x - 1)

3





tangente es decir











x 1+x

1 2 25 2666666 27083333 2718281828

05 15 1625 1645833 16484375 16487212707

03 13 1345 13495 13498375 134985880757

01 11 1105 110516667 110517083 110517091807

001 101 101005 101005017 101005017 1010050167

0001 1001 10010005 100100050000 100100050017 100100050016












f(x) = exp(x)

f(x) = sen(x)

f(x) = cos(x)



decir

f(x) = Pn(x) + En





xo (ab) se tiene








Medio


A la Expresioacuten




a) f(x) = senx

b) f(x) = cosx

c) f(x) = ex


f(x) = senx f(0) = 0

f (x) = cos(x) f (0) = 1

f (2)

(x) = -senx f (2)

(0) = 0

f (3)

(x) = -cos(x) f (3)

(0) = -1



f (4)

(x) = sen(x) f (4)

(0) = 0

f (5)

(x) = cos(x) f (5)

(0) = 1






o bien

0 bien





Taylor con residuo







a) f(x) = sen(x)


f (x) = sen(x) f( 6) = 05

f (x) = cos(x) f ( 6) = 08660254

f (x) = -sen(x) f ( 6) = -05

f (3)

(x) = -cos(x) f ( 6) = -08660254

f (4)

(x) = sen(x)







sen(35ordm) = 05 + 00755749 - 0001903858 - 0000095922 + E3

sen(35ordm) = 057357512 + E3


E3 = = (000000241)sen(c)








entonces












estime el error


a) f(x) =

b) xo = 27

f(27) = 3



= 3036579789




E2 =






estime el error




derivadas






e05

= 164583333 + E3



E3 =

Como f (4)


= 00078125










En =









= 1648697917








En =











= 2718281526


SUPERIOR
















(xo) = 0 f (n-1)

(xo) = 0 y f (n)


es par

1 Si n es par



a) f (n)


b) f (n)




Como f (n)



un subintervalo



(n)




f (n)



Al ser f (n)







3 + 6x

2 +4x


f (x) = 4x3 + 12x

2 + 12x +4 = 0

f (x) = 4(x3 + 3x

2 + 3x + 1) = 4(x + 1)

3 = 0 x = -1



f (x) = 12x2 + 24x + 12 f (-1) = 0

f (3)

(x) = 24x + 24 f (3)

(-1) = 0

f (4)

(x) = 24 f (4)

(-1) = 24



Comandos de Matlab






EJERCICIOS




izquierda

P1(x) P2(x) P3(x) P4(x)

xo + 11



xo + 09

xo + 03

xo + 01

xo + 001

xo + 0001

xo - 11

xo - 09

xo - 03

xo - 01

xo - 001

xo - 0001

1) en xo = 0

2) en xo = 0

3) en xo = 6


5) f(x) = lnx en xo = 1






4) P(x) = 4 - x2 +6x


5) P(x) = 2 + (x - 3)2 -x






1) P(0) = 7 P (0) = 3 P (2)

(0) = 8 P (3)

(0) =54

2) P(1) = 1 P (1) = 5 P (2)

(1) = 32 P (3)

(1) =42

3) P(-2) = 2 P (-2) = 4 P (2)

(-2) = 8 P (3)

(-2) =66


estime el error























VI





METODO DE BISECCION










f(a) = -05 f(b) = 1






















Grafica





nabcFaFbFcabs(c-a))

FaFblt=0 c=b

end


EJEMPLOS EN EXCEL

EJEMPLO 1









EJEMPLO 2






EJEMPLO 3













Celda Foacutermula

B15 = 1

D15 = 2

F15 = 0001

A18 = 1

B18 = B15



C18 = D15


E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5

F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5

G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5

A19 = A18+1

B19 = SI(B18G18gt0D18B18)

C19 = SI(B19=D18C18D18)


E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5

F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5

G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5

H19 = ABS(D19-D18)

I19 = H19D19

J19 = SI(I19lt=F$3D19)







Ejemplos










O bien














Ejemplo 1










Ejemplo 2



Solucioacuten


de donde











0

-02 100

-01557461506 2841

-01663039075 634

-0163826372 151



-0164410064 035
















Ejemplo 1


y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0612699837 632

0653442133 623

0652917265 008




Ejemplo 2


con y y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0823315073 214

0852330280 340

0853169121 009

















Hacemos

Y despejamos


aproximacioacuten

si











Ejemplo 1



Solucioacuten










1

1268941421 2119

1309108403 306

1309799389 0052


diacutegitos










ecuacioacuten








el intervalo

















de biseccioacuten


Sea contiacutenua











en el intervalo



Ejemplo 1



Solucioacuten




falsa


















Ejemplo 2



Solucioacuten









Evaluamos






Evaluamos























n




3 + + nan (x- xo)

n-1

P(2)


n-2

P(3)


P(n)

(x) = (1)(2)(n) an = n an




( I )




ejemplos


P(2) = 3 P (2) = 5 P (2)

(2) = 4 P (3)

(2) =24 y P (4)

(2) =48






P(x) = 3 + 5(x-2) + 2(x-2)2 + 4(x - 2)

3 + 2(x - 2)

4




P(x) = 7x3 + x

2 +8 P(1) = 16

P (x) = 21x2 + 2x P (1) = 23

P (2)

(x) = 42x + 2 P (2)

(1) = 44

P (3)

(x) = 42 P (3)

(1) = 42


P(x) =16 + 23(x - 1) + (442)(x - 1)2 + (426)(x - 1)

3

Es decir

P(x) =16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)2 + 7(x - 1)

3


7x3 + x

2 +8 = 16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)

2 + 7(x - 1)

3





tangente es decir











x 1+x

1 2 25 2666666 27083333 2718281828

05 15 1625 1645833 16484375 16487212707

03 13 1345 13495 13498375 134985880757

01 11 1105 110516667 110517083 110517091807

001 101 101005 101005017 101005017 1010050167

0001 1001 10010005 100100050000 100100050017 100100050016












f(x) = exp(x)

f(x) = sen(x)

f(x) = cos(x)



decir

f(x) = Pn(x) + En





xo (ab) se tiene








Medio


A la Expresioacuten




a) f(x) = senx

b) f(x) = cosx

c) f(x) = ex


f(x) = senx f(0) = 0

f (x) = cos(x) f (0) = 1

f (2)

(x) = -senx f (2)

(0) = 0

f (3)

(x) = -cos(x) f (3)

(0) = -1



f (4)

(x) = sen(x) f (4)

(0) = 0

f (5)

(x) = cos(x) f (5)

(0) = 1






o bien

0 bien





Taylor con residuo







a) f(x) = sen(x)


f (x) = sen(x) f( 6) = 05

f (x) = cos(x) f ( 6) = 08660254

f (x) = -sen(x) f ( 6) = -05

f (3)

(x) = -cos(x) f ( 6) = -08660254

f (4)

(x) = sen(x)







sen(35ordm) = 05 + 00755749 - 0001903858 - 0000095922 + E3

sen(35ordm) = 057357512 + E3


E3 = = (000000241)sen(c)








entonces












estime el error


a) f(x) =

b) xo = 27

f(27) = 3



= 3036579789




E2 =






estime el error




derivadas






e05

= 164583333 + E3



E3 =

Como f (4)


= 00078125










En =









= 1648697917








En =











= 2718281526


SUPERIOR
















(xo) = 0 f (n-1)

(xo) = 0 y f (n)


es par

1 Si n es par



a) f (n)


b) f (n)




Como f (n)



un subintervalo



(n)




f (n)



Al ser f (n)







3 + 6x

2 +4x


f (x) = 4x3 + 12x

2 + 12x +4 = 0

f (x) = 4(x3 + 3x

2 + 3x + 1) = 4(x + 1)

3 = 0 x = -1



f (x) = 12x2 + 24x + 12 f (-1) = 0

f (3)

(x) = 24x + 24 f (3)

(-1) = 0

f (4)

(x) = 24 f (4)

(-1) = 24



Comandos de Matlab






EJERCICIOS




izquierda

P1(x) P2(x) P3(x) P4(x)

xo + 11



xo + 09

xo + 03

xo + 01

xo + 001

xo + 0001

xo - 11

xo - 09

xo - 03

xo - 01

xo - 001

xo - 0001

1) en xo = 0

2) en xo = 0

3) en xo = 6


5) f(x) = lnx en xo = 1






4) P(x) = 4 - x2 +6x


5) P(x) = 2 + (x - 3)2 -x






1) P(0) = 7 P (0) = 3 P (2)

(0) = 8 P (3)

(0) =54

2) P(1) = 1 P (1) = 5 P (2)

(1) = 32 P (3)

(1) =42

3) P(-2) = 2 P (-2) = 4 P (2)

(-2) = 8 P (3)

(-2) =66


estime el error























VI





METODO DE BISECCION










f(a) = -05 f(b) = 1






















Grafica





nabcFaFbFcabs(c-a))

FaFblt=0 c=b

end


EJEMPLOS EN EXCEL

EJEMPLO 1









EJEMPLO 2






EJEMPLO 3













Celda Foacutermula

B15 = 1

D15 = 2

F15 = 0001

A18 = 1

B18 = B15



C18 = D15


E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5

F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5

G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5

A19 = A18+1

B19 = SI(B18G18gt0D18B18)

C19 = SI(B19=D18C18D18)


E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5

F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5

G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5

H19 = ABS(D19-D18)

I19 = H19D19

J19 = SI(I19lt=F$3D19)







Ejemplos










O bien














Ejemplo 1










Ejemplo 2



Solucioacuten


de donde











0

-02 100

-01557461506 2841

-01663039075 634

-0163826372 151



-0164410064 035
















Ejemplo 1


y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0612699837 632

0653442133 623

0652917265 008




Ejemplo 2


con y y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0823315073 214

0852330280 340

0853169121 009

















Hacemos

Y despejamos


aproximacioacuten

si











Ejemplo 1



Solucioacuten










1

1268941421 2119

1309108403 306

1309799389 0052


diacutegitos










ecuacioacuten








el intervalo

















de biseccioacuten


Sea contiacutenua











en el intervalo



Ejemplo 1



Solucioacuten




falsa


















Ejemplo 2



Solucioacuten









Evaluamos






Evaluamos





















P(x) = 3 + 5(x-2) + 2(x-2)2 + 4(x - 2)

3 + 2(x - 2)

4




P(x) = 7x3 + x

2 +8 P(1) = 16

P (x) = 21x2 + 2x P (1) = 23

P (2)

(x) = 42x + 2 P (2)

(1) = 44

P (3)

(x) = 42 P (3)

(1) = 42


P(x) =16 + 23(x - 1) + (442)(x - 1)2 + (426)(x - 1)

3

Es decir

P(x) =16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)2 + 7(x - 1)

3


7x3 + x

2 +8 = 16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)

2 + 7(x - 1)

3





tangente es decir











x 1+x

1 2 25 2666666 27083333 2718281828

05 15 1625 1645833 16484375 16487212707

03 13 1345 13495 13498375 134985880757

01 11 1105 110516667 110517083 110517091807

001 101 101005 101005017 101005017 1010050167

0001 1001 10010005 100100050000 100100050017 100100050016












f(x) = exp(x)

f(x) = sen(x)

f(x) = cos(x)



decir

f(x) = Pn(x) + En





xo (ab) se tiene








Medio


A la Expresioacuten




a) f(x) = senx

b) f(x) = cosx

c) f(x) = ex


f(x) = senx f(0) = 0

f (x) = cos(x) f (0) = 1

f (2)

(x) = -senx f (2)

(0) = 0

f (3)

(x) = -cos(x) f (3)

(0) = -1



f (4)

(x) = sen(x) f (4)

(0) = 0

f (5)

(x) = cos(x) f (5)

(0) = 1






o bien

0 bien





Taylor con residuo







a) f(x) = sen(x)


f (x) = sen(x) f( 6) = 05

f (x) = cos(x) f ( 6) = 08660254

f (x) = -sen(x) f ( 6) = -05

f (3)

(x) = -cos(x) f ( 6) = -08660254

f (4)

(x) = sen(x)







sen(35ordm) = 05 + 00755749 - 0001903858 - 0000095922 + E3

sen(35ordm) = 057357512 + E3


E3 = = (000000241)sen(c)








entonces












estime el error


a) f(x) =

b) xo = 27

f(27) = 3



= 3036579789




E2 =






estime el error




derivadas






e05

= 164583333 + E3



E3 =

Como f (4)


= 00078125










En =









= 1648697917








En =











= 2718281526


SUPERIOR
















(xo) = 0 f (n-1)

(xo) = 0 y f (n)


es par

1 Si n es par



a) f (n)


b) f (n)




Como f (n)



un subintervalo



(n)




f (n)



Al ser f (n)







3 + 6x

2 +4x


f (x) = 4x3 + 12x

2 + 12x +4 = 0

f (x) = 4(x3 + 3x

2 + 3x + 1) = 4(x + 1)

3 = 0 x = -1



f (x) = 12x2 + 24x + 12 f (-1) = 0

f (3)

(x) = 24x + 24 f (3)

(-1) = 0

f (4)

(x) = 24 f (4)

(-1) = 24



Comandos de Matlab






EJERCICIOS




izquierda

P1(x) P2(x) P3(x) P4(x)

xo + 11



xo + 09

xo + 03

xo + 01

xo + 001

xo + 0001

xo - 11

xo - 09

xo - 03

xo - 01

xo - 001

xo - 0001

1) en xo = 0

2) en xo = 0

3) en xo = 6


5) f(x) = lnx en xo = 1






4) P(x) = 4 - x2 +6x


5) P(x) = 2 + (x - 3)2 -x






1) P(0) = 7 P (0) = 3 P (2)

(0) = 8 P (3)

(0) =54

2) P(1) = 1 P (1) = 5 P (2)

(1) = 32 P (3)

(1) =42

3) P(-2) = 2 P (-2) = 4 P (2)

(-2) = 8 P (3)

(-2) =66


estime el error























VI





METODO DE BISECCION










f(a) = -05 f(b) = 1






















Grafica





nabcFaFbFcabs(c-a))

FaFblt=0 c=b

end


EJEMPLOS EN EXCEL

EJEMPLO 1









EJEMPLO 2






EJEMPLO 3













Celda Foacutermula

B15 = 1

D15 = 2

F15 = 0001

A18 = 1

B18 = B15



C18 = D15


E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5

F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5

G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5

A19 = A18+1

B19 = SI(B18G18gt0D18B18)

C19 = SI(B19=D18C18D18)


E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5

F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5

G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5

H19 = ABS(D19-D18)

I19 = H19D19

J19 = SI(I19lt=F$3D19)







Ejemplos










O bien














Ejemplo 1










Ejemplo 2



Solucioacuten


de donde











0

-02 100

-01557461506 2841

-01663039075 634

-0163826372 151



-0164410064 035
















Ejemplo 1


y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0612699837 632

0653442133 623

0652917265 008




Ejemplo 2


con y y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0823315073 214

0852330280 340

0853169121 009

















Hacemos

Y despejamos


aproximacioacuten

si











Ejemplo 1



Solucioacuten










1

1268941421 2119

1309108403 306

1309799389 0052


diacutegitos










ecuacioacuten








el intervalo

















de biseccioacuten


Sea contiacutenua











en el intervalo



Ejemplo 1



Solucioacuten




falsa


















Ejemplo 2



Solucioacuten









Evaluamos






Evaluamos




























x 1+x

1 2 25 2666666 27083333 2718281828

05 15 1625 1645833 16484375 16487212707

03 13 1345 13495 13498375 134985880757

01 11 1105 110516667 110517083 110517091807

001 101 101005 101005017 101005017 1010050167

0001 1001 10010005 100100050000 100100050017 100100050016












f(x) = exp(x)

f(x) = sen(x)

f(x) = cos(x)



decir

f(x) = Pn(x) + En





xo (ab) se tiene








Medio


A la Expresioacuten




a) f(x) = senx

b) f(x) = cosx

c) f(x) = ex


f(x) = senx f(0) = 0

f (x) = cos(x) f (0) = 1

f (2)

(x) = -senx f (2)

(0) = 0

f (3)

(x) = -cos(x) f (3)

(0) = -1



f (4)

(x) = sen(x) f (4)

(0) = 0

f (5)

(x) = cos(x) f (5)

(0) = 1






o bien

0 bien





Taylor con residuo







a) f(x) = sen(x)


f (x) = sen(x) f( 6) = 05

f (x) = cos(x) f ( 6) = 08660254

f (x) = -sen(x) f ( 6) = -05

f (3)

(x) = -cos(x) f ( 6) = -08660254

f (4)

(x) = sen(x)







sen(35ordm) = 05 + 00755749 - 0001903858 - 0000095922 + E3

sen(35ordm) = 057357512 + E3


E3 = = (000000241)sen(c)








entonces












estime el error


a) f(x) =

b) xo = 27

f(27) = 3



= 3036579789




E2 =






estime el error




derivadas






e05

= 164583333 + E3



E3 =

Como f (4)


= 00078125










En =









= 1648697917








En =











= 2718281526


SUPERIOR
















(xo) = 0 f (n-1)

(xo) = 0 y f (n)


es par

1 Si n es par



a) f (n)


b) f (n)




Como f (n)



un subintervalo



(n)




f (n)



Al ser f (n)







3 + 6x

2 +4x


f (x) = 4x3 + 12x

2 + 12x +4 = 0

f (x) = 4(x3 + 3x

2 + 3x + 1) = 4(x + 1)

3 = 0 x = -1



f (x) = 12x2 + 24x + 12 f (-1) = 0

f (3)

(x) = 24x + 24 f (3)

(-1) = 0

f (4)

(x) = 24 f (4)

(-1) = 24



Comandos de Matlab






EJERCICIOS




izquierda

P1(x) P2(x) P3(x) P4(x)

xo + 11



xo + 09

xo + 03

xo + 01

xo + 001

xo + 0001

xo - 11

xo - 09

xo - 03

xo - 01

xo - 001

xo - 0001

1) en xo = 0

2) en xo = 0

3) en xo = 6


5) f(x) = lnx en xo = 1






4) P(x) = 4 - x2 +6x


5) P(x) = 2 + (x - 3)2 -x






1) P(0) = 7 P (0) = 3 P (2)

(0) = 8 P (3)

(0) =54

2) P(1) = 1 P (1) = 5 P (2)

(1) = 32 P (3)

(1) =42

3) P(-2) = 2 P (-2) = 4 P (2)

(-2) = 8 P (3)

(-2) =66


estime el error























VI





METODO DE BISECCION










f(a) = -05 f(b) = 1






















Grafica





nabcFaFbFcabs(c-a))

FaFblt=0 c=b

end


EJEMPLOS EN EXCEL

EJEMPLO 1









EJEMPLO 2






EJEMPLO 3













Celda Foacutermula

B15 = 1

D15 = 2

F15 = 0001

A18 = 1

B18 = B15



C18 = D15


E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5

F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5

G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5

A19 = A18+1

B19 = SI(B18G18gt0D18B18)

C19 = SI(B19=D18C18D18)


E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5

F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5

G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5

H19 = ABS(D19-D18)

I19 = H19D19

J19 = SI(I19lt=F$3D19)







Ejemplos










O bien














Ejemplo 1










Ejemplo 2



Solucioacuten


de donde











0

-02 100

-01557461506 2841

-01663039075 634

-0163826372 151



-0164410064 035
















Ejemplo 1


y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0612699837 632

0653442133 623

0652917265 008




Ejemplo 2


con y y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0823315073 214

0852330280 340

0853169121 009

















Hacemos

Y despejamos


aproximacioacuten

si











Ejemplo 1



Solucioacuten










1

1268941421 2119

1309108403 306

1309799389 0052


diacutegitos










ecuacioacuten








el intervalo

















de biseccioacuten


Sea contiacutenua











en el intervalo



Ejemplo 1



Solucioacuten




falsa


















Ejemplo 2



Solucioacuten









Evaluamos






Evaluamos






















f(x) = exp(x)

f(x) = sen(x)

f(x) = cos(x)



decir

f(x) = Pn(x) + En





xo (ab) se tiene








Medio


A la Expresioacuten




a) f(x) = senx

b) f(x) = cosx

c) f(x) = ex


f(x) = senx f(0) = 0

f (x) = cos(x) f (0) = 1

f (2)

(x) = -senx f (2)

(0) = 0

f (3)

(x) = -cos(x) f (3)

(0) = -1



f (4)

(x) = sen(x) f (4)

(0) = 0

f (5)

(x) = cos(x) f (5)

(0) = 1






o bien

0 bien





Taylor con residuo







a) f(x) = sen(x)


f (x) = sen(x) f( 6) = 05

f (x) = cos(x) f ( 6) = 08660254

f (x) = -sen(x) f ( 6) = -05

f (3)

(x) = -cos(x) f ( 6) = -08660254

f (4)

(x) = sen(x)







sen(35ordm) = 05 + 00755749 - 0001903858 - 0000095922 + E3

sen(35ordm) = 057357512 + E3


E3 = = (000000241)sen(c)








entonces












estime el error


a) f(x) =

b) xo = 27

f(27) = 3



= 3036579789




E2 =






estime el error




derivadas






e05

= 164583333 + E3



E3 =

Como f (4)


= 00078125










En =









= 1648697917








En =











= 2718281526


SUPERIOR
















(xo) = 0 f (n-1)

(xo) = 0 y f (n)


es par

1 Si n es par



a) f (n)


b) f (n)




Como f (n)



un subintervalo



(n)




f (n)



Al ser f (n)







3 + 6x

2 +4x


f (x) = 4x3 + 12x

2 + 12x +4 = 0

f (x) = 4(x3 + 3x

2 + 3x + 1) = 4(x + 1)

3 = 0 x = -1



f (x) = 12x2 + 24x + 12 f (-1) = 0

f (3)

(x) = 24x + 24 f (3)

(-1) = 0

f (4)

(x) = 24 f (4)

(-1) = 24



Comandos de Matlab






EJERCICIOS




izquierda

P1(x) P2(x) P3(x) P4(x)

xo + 11



xo + 09

xo + 03

xo + 01

xo + 001

xo + 0001

xo - 11

xo - 09

xo - 03

xo - 01

xo - 001

xo - 0001

1) en xo = 0

2) en xo = 0

3) en xo = 6


5) f(x) = lnx en xo = 1






4) P(x) = 4 - x2 +6x


5) P(x) = 2 + (x - 3)2 -x






1) P(0) = 7 P (0) = 3 P (2)

(0) = 8 P (3)

(0) =54

2) P(1) = 1 P (1) = 5 P (2)

(1) = 32 P (3)

(1) =42

3) P(-2) = 2 P (-2) = 4 P (2)

(-2) = 8 P (3)

(-2) =66


estime el error























VI





METODO DE BISECCION










f(a) = -05 f(b) = 1






















Grafica





nabcFaFbFcabs(c-a))

FaFblt=0 c=b

end


EJEMPLOS EN EXCEL

EJEMPLO 1









EJEMPLO 2






EJEMPLO 3













Celda Foacutermula

B15 = 1

D15 = 2

F15 = 0001

A18 = 1

B18 = B15



C18 = D15


E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5

F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5

G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5

A19 = A18+1

B19 = SI(B18G18gt0D18B18)

C19 = SI(B19=D18C18D18)


E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5

F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5

G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5

H19 = ABS(D19-D18)

I19 = H19D19

J19 = SI(I19lt=F$3D19)







Ejemplos










O bien














Ejemplo 1










Ejemplo 2



Solucioacuten


de donde











0

-02 100

-01557461506 2841

-01663039075 634

-0163826372 151



-0164410064 035
















Ejemplo 1


y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0612699837 632

0653442133 623

0652917265 008




Ejemplo 2


con y y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0823315073 214

0852330280 340

0853169121 009

















Hacemos

Y despejamos


aproximacioacuten

si











Ejemplo 1



Solucioacuten










1

1268941421 2119

1309108403 306

1309799389 0052


diacutegitos










ecuacioacuten








el intervalo

















de biseccioacuten


Sea contiacutenua











en el intervalo



Ejemplo 1



Solucioacuten




falsa


















Ejemplo 2



Solucioacuten









Evaluamos






Evaluamos






















Medio


A la Expresioacuten




a) f(x) = senx

b) f(x) = cosx

c) f(x) = ex


f(x) = senx f(0) = 0

f (x) = cos(x) f (0) = 1

f (2)

(x) = -senx f (2)

(0) = 0

f (3)

(x) = -cos(x) f (3)

(0) = -1



f (4)

(x) = sen(x) f (4)

(0) = 0

f (5)

(x) = cos(x) f (5)

(0) = 1






o bien

0 bien





Taylor con residuo







a) f(x) = sen(x)


f (x) = sen(x) f( 6) = 05

f (x) = cos(x) f ( 6) = 08660254

f (x) = -sen(x) f ( 6) = -05

f (3)

(x) = -cos(x) f ( 6) = -08660254

f (4)

(x) = sen(x)







sen(35ordm) = 05 + 00755749 - 0001903858 - 0000095922 + E3

sen(35ordm) = 057357512 + E3


E3 = = (000000241)sen(c)








entonces












estime el error


a) f(x) =

b) xo = 27

f(27) = 3



= 3036579789




E2 =






estime el error




derivadas






e05

= 164583333 + E3



E3 =

Como f (4)


= 00078125










En =









= 1648697917








En =











= 2718281526


SUPERIOR
















(xo) = 0 f (n-1)

(xo) = 0 y f (n)


es par

1 Si n es par



a) f (n)


b) f (n)




Como f (n)



un subintervalo



(n)




f (n)



Al ser f (n)







3 + 6x

2 +4x


f (x) = 4x3 + 12x

2 + 12x +4 = 0

f (x) = 4(x3 + 3x

2 + 3x + 1) = 4(x + 1)

3 = 0 x = -1



f (x) = 12x2 + 24x + 12 f (-1) = 0

f (3)

(x) = 24x + 24 f (3)

(-1) = 0

f (4)

(x) = 24 f (4)

(-1) = 24



Comandos de Matlab






EJERCICIOS




izquierda

P1(x) P2(x) P3(x) P4(x)

xo + 11



xo + 09

xo + 03

xo + 01

xo + 001

xo + 0001

xo - 11

xo - 09

xo - 03

xo - 01

xo - 001

xo - 0001

1) en xo = 0

2) en xo = 0

3) en xo = 6


5) f(x) = lnx en xo = 1






4) P(x) = 4 - x2 +6x


5) P(x) = 2 + (x - 3)2 -x






1) P(0) = 7 P (0) = 3 P (2)

(0) = 8 P (3)

(0) =54

2) P(1) = 1 P (1) = 5 P (2)

(1) = 32 P (3)

(1) =42

3) P(-2) = 2 P (-2) = 4 P (2)

(-2) = 8 P (3)

(-2) =66


estime el error























VI





METODO DE BISECCION










f(a) = -05 f(b) = 1






















Grafica





nabcFaFbFcabs(c-a))

FaFblt=0 c=b

end


EJEMPLOS EN EXCEL

EJEMPLO 1









EJEMPLO 2






EJEMPLO 3













Celda Foacutermula

B15 = 1

D15 = 2

F15 = 0001

A18 = 1

B18 = B15



C18 = D15


E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5

F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5

G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5

A19 = A18+1

B19 = SI(B18G18gt0D18B18)

C19 = SI(B19=D18C18D18)


E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5

F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5

G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5

H19 = ABS(D19-D18)

I19 = H19D19

J19 = SI(I19lt=F$3D19)







Ejemplos










O bien














Ejemplo 1










Ejemplo 2



Solucioacuten


de donde











0

-02 100

-01557461506 2841

-01663039075 634

-0163826372 151



-0164410064 035
















Ejemplo 1


y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0612699837 632

0653442133 623

0652917265 008




Ejemplo 2


con y y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0823315073 214

0852330280 340

0853169121 009

















Hacemos

Y despejamos


aproximacioacuten

si











Ejemplo 1



Solucioacuten










1

1268941421 2119

1309108403 306

1309799389 0052


diacutegitos










ecuacioacuten








el intervalo

















de biseccioacuten


Sea contiacutenua











en el intervalo



Ejemplo 1



Solucioacuten




falsa


















Ejemplo 2



Solucioacuten









Evaluamos






Evaluamos




















f (4)

(x) = sen(x) f (4)

(0) = 0

f (5)

(x) = cos(x) f (5)

(0) = 1






o bien

0 bien





Taylor con residuo







a) f(x) = sen(x)


f (x) = sen(x) f( 6) = 05

f (x) = cos(x) f ( 6) = 08660254

f (x) = -sen(x) f ( 6) = -05

f (3)

(x) = -cos(x) f ( 6) = -08660254

f (4)

(x) = sen(x)







sen(35ordm) = 05 + 00755749 - 0001903858 - 0000095922 + E3

sen(35ordm) = 057357512 + E3


E3 = = (000000241)sen(c)








entonces












estime el error


a) f(x) =

b) xo = 27

f(27) = 3



= 3036579789




E2 =






estime el error




derivadas






e05

= 164583333 + E3



E3 =

Como f (4)


= 00078125










En =









= 1648697917








En =











= 2718281526


SUPERIOR
















(xo) = 0 f (n-1)

(xo) = 0 y f (n)


es par

1 Si n es par



a) f (n)


b) f (n)




Como f (n)



un subintervalo



(n)




f (n)



Al ser f (n)







3 + 6x

2 +4x


f (x) = 4x3 + 12x

2 + 12x +4 = 0

f (x) = 4(x3 + 3x

2 + 3x + 1) = 4(x + 1)

3 = 0 x = -1



f (x) = 12x2 + 24x + 12 f (-1) = 0

f (3)

(x) = 24x + 24 f (3)

(-1) = 0

f (4)

(x) = 24 f (4)

(-1) = 24



Comandos de Matlab






EJERCICIOS




izquierda

P1(x) P2(x) P3(x) P4(x)

xo + 11



xo + 09

xo + 03

xo + 01

xo + 001

xo + 0001

xo - 11

xo - 09

xo - 03

xo - 01

xo - 001

xo - 0001

1) en xo = 0

2) en xo = 0

3) en xo = 6


5) f(x) = lnx en xo = 1






4) P(x) = 4 - x2 +6x


5) P(x) = 2 + (x - 3)2 -x






1) P(0) = 7 P (0) = 3 P (2)

(0) = 8 P (3)

(0) =54

2) P(1) = 1 P (1) = 5 P (2)

(1) = 32 P (3)

(1) =42

3) P(-2) = 2 P (-2) = 4 P (2)

(-2) = 8 P (3)

(-2) =66


estime el error























VI





METODO DE BISECCION










f(a) = -05 f(b) = 1






















Grafica





nabcFaFbFcabs(c-a))

FaFblt=0 c=b

end


EJEMPLOS EN EXCEL

EJEMPLO 1









EJEMPLO 2






EJEMPLO 3













Celda Foacutermula

B15 = 1

D15 = 2

F15 = 0001

A18 = 1

B18 = B15



C18 = D15


E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5

F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5

G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5

A19 = A18+1

B19 = SI(B18G18gt0D18B18)

C19 = SI(B19=D18C18D18)


E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5

F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5

G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5

H19 = ABS(D19-D18)

I19 = H19D19

J19 = SI(I19lt=F$3D19)







Ejemplos










O bien














Ejemplo 1










Ejemplo 2



Solucioacuten


de donde











0

-02 100

-01557461506 2841

-01663039075 634

-0163826372 151



-0164410064 035
















Ejemplo 1


y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0612699837 632

0653442133 623

0652917265 008




Ejemplo 2


con y y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0823315073 214

0852330280 340

0853169121 009

















Hacemos

Y despejamos


aproximacioacuten

si











Ejemplo 1



Solucioacuten










1

1268941421 2119

1309108403 306

1309799389 0052


diacutegitos










ecuacioacuten








el intervalo

















de biseccioacuten


Sea contiacutenua











en el intervalo



Ejemplo 1



Solucioacuten




falsa


















Ejemplo 2



Solucioacuten









Evaluamos






Evaluamos






















Taylor con residuo







a) f(x) = sen(x)


f (x) = sen(x) f( 6) = 05

f (x) = cos(x) f ( 6) = 08660254

f (x) = -sen(x) f ( 6) = -05

f (3)

(x) = -cos(x) f ( 6) = -08660254

f (4)

(x) = sen(x)







sen(35ordm) = 05 + 00755749 - 0001903858 - 0000095922 + E3

sen(35ordm) = 057357512 + E3


E3 = = (000000241)sen(c)








entonces












estime el error


a) f(x) =

b) xo = 27

f(27) = 3



= 3036579789




E2 =






estime el error




derivadas






e05

= 164583333 + E3



E3 =

Como f (4)


= 00078125










En =









= 1648697917








En =











= 2718281526


SUPERIOR
















(xo) = 0 f (n-1)

(xo) = 0 y f (n)


es par

1 Si n es par



a) f (n)


b) f (n)




Como f (n)



un subintervalo



(n)




f (n)



Al ser f (n)







3 + 6x

2 +4x


f (x) = 4x3 + 12x

2 + 12x +4 = 0

f (x) = 4(x3 + 3x

2 + 3x + 1) = 4(x + 1)

3 = 0 x = -1



f (x) = 12x2 + 24x + 12 f (-1) = 0

f (3)

(x) = 24x + 24 f (3)

(-1) = 0

f (4)

(x) = 24 f (4)

(-1) = 24



Comandos de Matlab






EJERCICIOS




izquierda

P1(x) P2(x) P3(x) P4(x)

xo + 11



xo + 09

xo + 03

xo + 01

xo + 001

xo + 0001

xo - 11

xo - 09

xo - 03

xo - 01

xo - 001

xo - 0001

1) en xo = 0

2) en xo = 0

3) en xo = 6


5) f(x) = lnx en xo = 1






4) P(x) = 4 - x2 +6x


5) P(x) = 2 + (x - 3)2 -x






1) P(0) = 7 P (0) = 3 P (2)

(0) = 8 P (3)

(0) =54

2) P(1) = 1 P (1) = 5 P (2)

(1) = 32 P (3)

(1) =42

3) P(-2) = 2 P (-2) = 4 P (2)

(-2) = 8 P (3)

(-2) =66


estime el error























VI





METODO DE BISECCION










f(a) = -05 f(b) = 1






















Grafica





nabcFaFbFcabs(c-a))

FaFblt=0 c=b

end


EJEMPLOS EN EXCEL

EJEMPLO 1









EJEMPLO 2






EJEMPLO 3













Celda Foacutermula

B15 = 1

D15 = 2

F15 = 0001

A18 = 1

B18 = B15



C18 = D15


E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5

F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5

G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5

A19 = A18+1

B19 = SI(B18G18gt0D18B18)

C19 = SI(B19=D18C18D18)


E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5

F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5

G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5

H19 = ABS(D19-D18)

I19 = H19D19

J19 = SI(I19lt=F$3D19)







Ejemplos










O bien














Ejemplo 1










Ejemplo 2



Solucioacuten


de donde











0

-02 100

-01557461506 2841

-01663039075 634

-0163826372 151



-0164410064 035
















Ejemplo 1


y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0612699837 632

0653442133 623

0652917265 008




Ejemplo 2


con y y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0823315073 214

0852330280 340

0853169121 009

















Hacemos

Y despejamos


aproximacioacuten

si











Ejemplo 1



Solucioacuten










1

1268941421 2119

1309108403 306

1309799389 0052


diacutegitos










ecuacioacuten








el intervalo

















de biseccioacuten


Sea contiacutenua











en el intervalo



Ejemplo 1



Solucioacuten




falsa


















Ejemplo 2



Solucioacuten









Evaluamos






Evaluamos




















sen(35ordm) = 05 + 00755749 - 0001903858 - 0000095922 + E3

sen(35ordm) = 057357512 + E3


E3 = = (000000241)sen(c)








entonces












estime el error


a) f(x) =

b) xo = 27

f(27) = 3



= 3036579789




E2 =






estime el error




derivadas






e05

= 164583333 + E3



E3 =

Como f (4)


= 00078125










En =









= 1648697917








En =











= 2718281526


SUPERIOR
















(xo) = 0 f (n-1)

(xo) = 0 y f (n)


es par

1 Si n es par



a) f (n)


b) f (n)




Como f (n)



un subintervalo



(n)




f (n)



Al ser f (n)







3 + 6x

2 +4x


f (x) = 4x3 + 12x

2 + 12x +4 = 0

f (x) = 4(x3 + 3x

2 + 3x + 1) = 4(x + 1)

3 = 0 x = -1



f (x) = 12x2 + 24x + 12 f (-1) = 0

f (3)

(x) = 24x + 24 f (3)

(-1) = 0

f (4)

(x) = 24 f (4)

(-1) = 24



Comandos de Matlab






EJERCICIOS




izquierda

P1(x) P2(x) P3(x) P4(x)

xo + 11



xo + 09

xo + 03

xo + 01

xo + 001

xo + 0001

xo - 11

xo - 09

xo - 03

xo - 01

xo - 001

xo - 0001

1) en xo = 0

2) en xo = 0

3) en xo = 6


5) f(x) = lnx en xo = 1






4) P(x) = 4 - x2 +6x


5) P(x) = 2 + (x - 3)2 -x






1) P(0) = 7 P (0) = 3 P (2)

(0) = 8 P (3)

(0) =54

2) P(1) = 1 P (1) = 5 P (2)

(1) = 32 P (3)

(1) =42

3) P(-2) = 2 P (-2) = 4 P (2)

(-2) = 8 P (3)

(-2) =66


estime el error























VI





METODO DE BISECCION










f(a) = -05 f(b) = 1






















Grafica





nabcFaFbFcabs(c-a))

FaFblt=0 c=b

end


EJEMPLOS EN EXCEL

EJEMPLO 1









EJEMPLO 2






EJEMPLO 3













Celda Foacutermula

B15 = 1

D15 = 2

F15 = 0001

A18 = 1

B18 = B15



C18 = D15


E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5

F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5

G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5

A19 = A18+1

B19 = SI(B18G18gt0D18B18)

C19 = SI(B19=D18C18D18)


E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5

F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5

G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5

H19 = ABS(D19-D18)

I19 = H19D19

J19 = SI(I19lt=F$3D19)







Ejemplos










O bien














Ejemplo 1










Ejemplo 2



Solucioacuten


de donde











0

-02 100

-01557461506 2841

-01663039075 634

-0163826372 151



-0164410064 035
















Ejemplo 1


y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0612699837 632

0653442133 623

0652917265 008




Ejemplo 2


con y y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0823315073 214

0852330280 340

0853169121 009

















Hacemos

Y despejamos


aproximacioacuten

si











Ejemplo 1



Solucioacuten










1

1268941421 2119

1309108403 306

1309799389 0052


diacutegitos










ecuacioacuten








el intervalo

















de biseccioacuten


Sea contiacutenua











en el intervalo



Ejemplo 1



Solucioacuten




falsa


















Ejemplo 2



Solucioacuten









Evaluamos






Evaluamos


























estime el error


a) f(x) =

b) xo = 27

f(27) = 3



= 3036579789




E2 =






estime el error




derivadas






e05

= 164583333 + E3



E3 =

Como f (4)


= 00078125










En =









= 1648697917








En =











= 2718281526


SUPERIOR
















(xo) = 0 f (n-1)

(xo) = 0 y f (n)


es par

1 Si n es par



a) f (n)


b) f (n)




Como f (n)



un subintervalo



(n)




f (n)



Al ser f (n)







3 + 6x

2 +4x


f (x) = 4x3 + 12x

2 + 12x +4 = 0

f (x) = 4(x3 + 3x

2 + 3x + 1) = 4(x + 1)

3 = 0 x = -1



f (x) = 12x2 + 24x + 12 f (-1) = 0

f (3)

(x) = 24x + 24 f (3)

(-1) = 0

f (4)

(x) = 24 f (4)

(-1) = 24



Comandos de Matlab






EJERCICIOS




izquierda

P1(x) P2(x) P3(x) P4(x)

xo + 11



xo + 09

xo + 03

xo + 01

xo + 001

xo + 0001

xo - 11

xo - 09

xo - 03

xo - 01

xo - 001

xo - 0001

1) en xo = 0

2) en xo = 0

3) en xo = 6


5) f(x) = lnx en xo = 1






4) P(x) = 4 - x2 +6x


5) P(x) = 2 + (x - 3)2 -x






1) P(0) = 7 P (0) = 3 P (2)

(0) = 8 P (3)

(0) =54

2) P(1) = 1 P (1) = 5 P (2)

(1) = 32 P (3)

(1) =42

3) P(-2) = 2 P (-2) = 4 P (2)

(-2) = 8 P (3)

(-2) =66


estime el error























VI





METODO DE BISECCION










f(a) = -05 f(b) = 1






















Grafica





nabcFaFbFcabs(c-a))

FaFblt=0 c=b

end


EJEMPLOS EN EXCEL

EJEMPLO 1









EJEMPLO 2






EJEMPLO 3













Celda Foacutermula

B15 = 1

D15 = 2

F15 = 0001

A18 = 1

B18 = B15



C18 = D15


E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5

F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5

G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5

A19 = A18+1

B19 = SI(B18G18gt0D18B18)

C19 = SI(B19=D18C18D18)


E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5

F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5

G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5

H19 = ABS(D19-D18)

I19 = H19D19

J19 = SI(I19lt=F$3D19)







Ejemplos










O bien














Ejemplo 1










Ejemplo 2



Solucioacuten


de donde











0

-02 100

-01557461506 2841

-01663039075 634

-0163826372 151



-0164410064 035
















Ejemplo 1


y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0612699837 632

0653442133 623

0652917265 008




Ejemplo 2


con y y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0823315073 214

0852330280 340

0853169121 009

















Hacemos

Y despejamos


aproximacioacuten

si











Ejemplo 1



Solucioacuten










1

1268941421 2119

1309108403 306

1309799389 0052


diacutegitos










ecuacioacuten








el intervalo

















de biseccioacuten


Sea contiacutenua











en el intervalo



Ejemplo 1



Solucioacuten




falsa


















Ejemplo 2



Solucioacuten









Evaluamos






Evaluamos





















E2 =






estime el error




derivadas






e05

= 164583333 + E3



E3 =

Como f (4)


= 00078125










En =









= 1648697917








En =











= 2718281526


SUPERIOR
















(xo) = 0 f (n-1)

(xo) = 0 y f (n)


es par

1 Si n es par



a) f (n)


b) f (n)




Como f (n)



un subintervalo



(n)




f (n)



Al ser f (n)







3 + 6x

2 +4x


f (x) = 4x3 + 12x

2 + 12x +4 = 0

f (x) = 4(x3 + 3x

2 + 3x + 1) = 4(x + 1)

3 = 0 x = -1



f (x) = 12x2 + 24x + 12 f (-1) = 0

f (3)

(x) = 24x + 24 f (3)

(-1) = 0

f (4)

(x) = 24 f (4)

(-1) = 24



Comandos de Matlab






EJERCICIOS




izquierda

P1(x) P2(x) P3(x) P4(x)

xo + 11



xo + 09

xo + 03

xo + 01

xo + 001

xo + 0001

xo - 11

xo - 09

xo - 03

xo - 01

xo - 001

xo - 0001

1) en xo = 0

2) en xo = 0

3) en xo = 6


5) f(x) = lnx en xo = 1






4) P(x) = 4 - x2 +6x


5) P(x) = 2 + (x - 3)2 -x






1) P(0) = 7 P (0) = 3 P (2)

(0) = 8 P (3)

(0) =54

2) P(1) = 1 P (1) = 5 P (2)

(1) = 32 P (3)

(1) =42

3) P(-2) = 2 P (-2) = 4 P (2)

(-2) = 8 P (3)

(-2) =66


estime el error























VI





METODO DE BISECCION










f(a) = -05 f(b) = 1






















Grafica





nabcFaFbFcabs(c-a))

FaFblt=0 c=b

end


EJEMPLOS EN EXCEL

EJEMPLO 1









EJEMPLO 2






EJEMPLO 3













Celda Foacutermula

B15 = 1

D15 = 2

F15 = 0001

A18 = 1

B18 = B15



C18 = D15


E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5

F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5

G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5

A19 = A18+1

B19 = SI(B18G18gt0D18B18)

C19 = SI(B19=D18C18D18)


E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5

F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5

G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5

H19 = ABS(D19-D18)

I19 = H19D19

J19 = SI(I19lt=F$3D19)







Ejemplos










O bien














Ejemplo 1










Ejemplo 2



Solucioacuten


de donde











0

-02 100

-01557461506 2841

-01663039075 634

-0163826372 151



-0164410064 035
















Ejemplo 1


y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0612699837 632

0653442133 623

0652917265 008




Ejemplo 2


con y y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0823315073 214

0852330280 340

0853169121 009

















Hacemos

Y despejamos


aproximacioacuten

si











Ejemplo 1



Solucioacuten










1

1268941421 2119

1309108403 306

1309799389 0052


diacutegitos










ecuacioacuten








el intervalo

















de biseccioacuten


Sea contiacutenua











en el intervalo



Ejemplo 1



Solucioacuten




falsa


















Ejemplo 2



Solucioacuten









Evaluamos






Evaluamos




















E3 =

Como f (4)


= 00078125










En =









= 1648697917








En =











= 2718281526


SUPERIOR
















(xo) = 0 f (n-1)

(xo) = 0 y f (n)


es par

1 Si n es par



a) f (n)


b) f (n)




Como f (n)



un subintervalo



(n)




f (n)



Al ser f (n)







3 + 6x

2 +4x


f (x) = 4x3 + 12x

2 + 12x +4 = 0

f (x) = 4(x3 + 3x

2 + 3x + 1) = 4(x + 1)

3 = 0 x = -1



f (x) = 12x2 + 24x + 12 f (-1) = 0

f (3)

(x) = 24x + 24 f (3)

(-1) = 0

f (4)

(x) = 24 f (4)

(-1) = 24



Comandos de Matlab






EJERCICIOS




izquierda

P1(x) P2(x) P3(x) P4(x)

xo + 11



xo + 09

xo + 03

xo + 01

xo + 001

xo + 0001

xo - 11

xo - 09

xo - 03

xo - 01

xo - 001

xo - 0001

1) en xo = 0

2) en xo = 0

3) en xo = 6


5) f(x) = lnx en xo = 1






4) P(x) = 4 - x2 +6x


5) P(x) = 2 + (x - 3)2 -x






1) P(0) = 7 P (0) = 3 P (2)

(0) = 8 P (3)

(0) =54

2) P(1) = 1 P (1) = 5 P (2)

(1) = 32 P (3)

(1) =42

3) P(-2) = 2 P (-2) = 4 P (2)

(-2) = 8 P (3)

(-2) =66


estime el error























VI





METODO DE BISECCION










f(a) = -05 f(b) = 1






















Grafica





nabcFaFbFcabs(c-a))

FaFblt=0 c=b

end


EJEMPLOS EN EXCEL

EJEMPLO 1









EJEMPLO 2






EJEMPLO 3













Celda Foacutermula

B15 = 1

D15 = 2

F15 = 0001

A18 = 1

B18 = B15



C18 = D15


E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5

F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5

G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5

A19 = A18+1

B19 = SI(B18G18gt0D18B18)

C19 = SI(B19=D18C18D18)


E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5

F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5

G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5

H19 = ABS(D19-D18)

I19 = H19D19

J19 = SI(I19lt=F$3D19)







Ejemplos










O bien














Ejemplo 1










Ejemplo 2



Solucioacuten


de donde











0

-02 100

-01557461506 2841

-01663039075 634

-0163826372 151



-0164410064 035
















Ejemplo 1


y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0612699837 632

0653442133 623

0652917265 008




Ejemplo 2


con y y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0823315073 214

0852330280 340

0853169121 009

















Hacemos

Y despejamos


aproximacioacuten

si











Ejemplo 1



Solucioacuten










1

1268941421 2119

1309108403 306

1309799389 0052


diacutegitos










ecuacioacuten








el intervalo

















de biseccioacuten


Sea contiacutenua











en el intervalo



Ejemplo 1



Solucioacuten




falsa


















Ejemplo 2



Solucioacuten









Evaluamos






Evaluamos






















= 1648697917








En =











= 2718281526


SUPERIOR
















(xo) = 0 f (n-1)

(xo) = 0 y f (n)


es par

1 Si n es par



a) f (n)


b) f (n)




Como f (n)



un subintervalo



(n)




f (n)



Al ser f (n)







3 + 6x

2 +4x


f (x) = 4x3 + 12x

2 + 12x +4 = 0

f (x) = 4(x3 + 3x

2 + 3x + 1) = 4(x + 1)

3 = 0 x = -1



f (x) = 12x2 + 24x + 12 f (-1) = 0

f (3)

(x) = 24x + 24 f (3)

(-1) = 0

f (4)

(x) = 24 f (4)

(-1) = 24



Comandos de Matlab






EJERCICIOS




izquierda

P1(x) P2(x) P3(x) P4(x)

xo + 11



xo + 09

xo + 03

xo + 01

xo + 001

xo + 0001

xo - 11

xo - 09

xo - 03

xo - 01

xo - 001

xo - 0001

1) en xo = 0

2) en xo = 0

3) en xo = 6


5) f(x) = lnx en xo = 1






4) P(x) = 4 - x2 +6x


5) P(x) = 2 + (x - 3)2 -x






1) P(0) = 7 P (0) = 3 P (2)

(0) = 8 P (3)

(0) =54

2) P(1) = 1 P (1) = 5 P (2)

(1) = 32 P (3)

(1) =42

3) P(-2) = 2 P (-2) = 4 P (2)

(-2) = 8 P (3)

(-2) =66


estime el error























VI





METODO DE BISECCION










f(a) = -05 f(b) = 1






















Grafica





nabcFaFbFcabs(c-a))

FaFblt=0 c=b

end


EJEMPLOS EN EXCEL

EJEMPLO 1









EJEMPLO 2






EJEMPLO 3













Celda Foacutermula

B15 = 1

D15 = 2

F15 = 0001

A18 = 1

B18 = B15



C18 = D15


E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5

F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5

G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5

A19 = A18+1

B19 = SI(B18G18gt0D18B18)

C19 = SI(B19=D18C18D18)


E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5

F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5

G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5

H19 = ABS(D19-D18)

I19 = H19D19

J19 = SI(I19lt=F$3D19)







Ejemplos










O bien














Ejemplo 1










Ejemplo 2



Solucioacuten


de donde











0

-02 100

-01557461506 2841

-01663039075 634

-0163826372 151



-0164410064 035
















Ejemplo 1


y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0612699837 632

0653442133 623

0652917265 008




Ejemplo 2


con y y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0823315073 214

0852330280 340

0853169121 009

















Hacemos

Y despejamos


aproximacioacuten

si











Ejemplo 1



Solucioacuten










1

1268941421 2119

1309108403 306

1309799389 0052


diacutegitos










ecuacioacuten








el intervalo

















de biseccioacuten


Sea contiacutenua











en el intervalo



Ejemplo 1



Solucioacuten




falsa


















Ejemplo 2



Solucioacuten









Evaluamos






Evaluamos






















= 2718281526


SUPERIOR
















(xo) = 0 f (n-1)

(xo) = 0 y f (n)


es par

1 Si n es par



a) f (n)


b) f (n)




Como f (n)



un subintervalo



(n)




f (n)



Al ser f (n)







3 + 6x

2 +4x


f (x) = 4x3 + 12x

2 + 12x +4 = 0

f (x) = 4(x3 + 3x

2 + 3x + 1) = 4(x + 1)

3 = 0 x = -1



f (x) = 12x2 + 24x + 12 f (-1) = 0

f (3)

(x) = 24x + 24 f (3)

(-1) = 0

f (4)

(x) = 24 f (4)

(-1) = 24



Comandos de Matlab






EJERCICIOS




izquierda

P1(x) P2(x) P3(x) P4(x)

xo + 11



xo + 09

xo + 03

xo + 01

xo + 001

xo + 0001

xo - 11

xo - 09

xo - 03

xo - 01

xo - 001

xo - 0001

1) en xo = 0

2) en xo = 0

3) en xo = 6


5) f(x) = lnx en xo = 1






4) P(x) = 4 - x2 +6x


5) P(x) = 2 + (x - 3)2 -x






1) P(0) = 7 P (0) = 3 P (2)

(0) = 8 P (3)

(0) =54

2) P(1) = 1 P (1) = 5 P (2)

(1) = 32 P (3)

(1) =42

3) P(-2) = 2 P (-2) = 4 P (2)

(-2) = 8 P (3)

(-2) =66


estime el error























VI





METODO DE BISECCION










f(a) = -05 f(b) = 1






















Grafica





nabcFaFbFcabs(c-a))

FaFblt=0 c=b

end


EJEMPLOS EN EXCEL

EJEMPLO 1









EJEMPLO 2






EJEMPLO 3













Celda Foacutermula

B15 = 1

D15 = 2

F15 = 0001

A18 = 1

B18 = B15



C18 = D15


E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5

F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5

G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5

A19 = A18+1

B19 = SI(B18G18gt0D18B18)

C19 = SI(B19=D18C18D18)


E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5

F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5

G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5

H19 = ABS(D19-D18)

I19 = H19D19

J19 = SI(I19lt=F$3D19)







Ejemplos










O bien














Ejemplo 1










Ejemplo 2



Solucioacuten


de donde











0

-02 100

-01557461506 2841

-01663039075 634

-0163826372 151



-0164410064 035
















Ejemplo 1


y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0612699837 632

0653442133 623

0652917265 008




Ejemplo 2


con y y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0823315073 214

0852330280 340

0853169121 009

















Hacemos

Y despejamos


aproximacioacuten

si











Ejemplo 1



Solucioacuten










1

1268941421 2119

1309108403 306

1309799389 0052


diacutegitos










ecuacioacuten








el intervalo

















de biseccioacuten


Sea contiacutenua











en el intervalo



Ejemplo 1



Solucioacuten




falsa


















Ejemplo 2



Solucioacuten









Evaluamos






Evaluamos




















a) f (n)


b) f (n)




Como f (n)



un subintervalo



(n)




f (n)



Al ser f (n)







3 + 6x

2 +4x


f (x) = 4x3 + 12x

2 + 12x +4 = 0

f (x) = 4(x3 + 3x

2 + 3x + 1) = 4(x + 1)

3 = 0 x = -1



f (x) = 12x2 + 24x + 12 f (-1) = 0

f (3)

(x) = 24x + 24 f (3)

(-1) = 0

f (4)

(x) = 24 f (4)

(-1) = 24



Comandos de Matlab






EJERCICIOS




izquierda

P1(x) P2(x) P3(x) P4(x)

xo + 11



xo + 09

xo + 03

xo + 01

xo + 001

xo + 0001

xo - 11

xo - 09

xo - 03

xo - 01

xo - 001

xo - 0001

1) en xo = 0

2) en xo = 0

3) en xo = 6


5) f(x) = lnx en xo = 1






4) P(x) = 4 - x2 +6x


5) P(x) = 2 + (x - 3)2 -x






1) P(0) = 7 P (0) = 3 P (2)

(0) = 8 P (3)

(0) =54

2) P(1) = 1 P (1) = 5 P (2)

(1) = 32 P (3)

(1) =42

3) P(-2) = 2 P (-2) = 4 P (2)

(-2) = 8 P (3)

(-2) =66


estime el error























VI





METODO DE BISECCION










f(a) = -05 f(b) = 1






















Grafica





nabcFaFbFcabs(c-a))

FaFblt=0 c=b

end


EJEMPLOS EN EXCEL

EJEMPLO 1









EJEMPLO 2






EJEMPLO 3













Celda Foacutermula

B15 = 1

D15 = 2

F15 = 0001

A18 = 1

B18 = B15



C18 = D15


E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5

F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5

G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5

A19 = A18+1

B19 = SI(B18G18gt0D18B18)

C19 = SI(B19=D18C18D18)


E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5

F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5

G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5

H19 = ABS(D19-D18)

I19 = H19D19

J19 = SI(I19lt=F$3D19)







Ejemplos










O bien














Ejemplo 1










Ejemplo 2



Solucioacuten


de donde











0

-02 100

-01557461506 2841

-01663039075 634

-0163826372 151



-0164410064 035
















Ejemplo 1


y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0612699837 632

0653442133 623

0652917265 008




Ejemplo 2


con y y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0823315073 214

0852330280 340

0853169121 009

















Hacemos

Y despejamos


aproximacioacuten

si











Ejemplo 1



Solucioacuten










1

1268941421 2119

1309108403 306

1309799389 0052


diacutegitos










ecuacioacuten








el intervalo

















de biseccioacuten


Sea contiacutenua











en el intervalo



Ejemplo 1



Solucioacuten




falsa


















Ejemplo 2



Solucioacuten









Evaluamos






Evaluamos






















3 + 6x

2 +4x


f (x) = 4x3 + 12x

2 + 12x +4 = 0

f (x) = 4(x3 + 3x

2 + 3x + 1) = 4(x + 1)

3 = 0 x = -1



f (x) = 12x2 + 24x + 12 f (-1) = 0

f (3)

(x) = 24x + 24 f (3)

(-1) = 0

f (4)

(x) = 24 f (4)

(-1) = 24



Comandos de Matlab






EJERCICIOS




izquierda

P1(x) P2(x) P3(x) P4(x)

xo + 11



xo + 09

xo + 03

xo + 01

xo + 001

xo + 0001

xo - 11

xo - 09

xo - 03

xo - 01

xo - 001

xo - 0001

1) en xo = 0

2) en xo = 0

3) en xo = 6


5) f(x) = lnx en xo = 1






4) P(x) = 4 - x2 +6x


5) P(x) = 2 + (x - 3)2 -x






1) P(0) = 7 P (0) = 3 P (2)

(0) = 8 P (3)

(0) =54

2) P(1) = 1 P (1) = 5 P (2)

(1) = 32 P (3)

(1) =42

3) P(-2) = 2 P (-2) = 4 P (2)

(-2) = 8 P (3)

(-2) =66


estime el error























VI





METODO DE BISECCION










f(a) = -05 f(b) = 1






















Grafica





nabcFaFbFcabs(c-a))

FaFblt=0 c=b

end


EJEMPLOS EN EXCEL

EJEMPLO 1









EJEMPLO 2






EJEMPLO 3













Celda Foacutermula

B15 = 1

D15 = 2

F15 = 0001

A18 = 1

B18 = B15



C18 = D15


E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5

F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5

G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5

A19 = A18+1

B19 = SI(B18G18gt0D18B18)

C19 = SI(B19=D18C18D18)


E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5

F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5

G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5

H19 = ABS(D19-D18)

I19 = H19D19

J19 = SI(I19lt=F$3D19)







Ejemplos










O bien














Ejemplo 1










Ejemplo 2



Solucioacuten


de donde











0

-02 100

-01557461506 2841

-01663039075 634

-0163826372 151



-0164410064 035
















Ejemplo 1


y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0612699837 632

0653442133 623

0652917265 008




Ejemplo 2


con y y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0823315073 214

0852330280 340

0853169121 009

















Hacemos

Y despejamos


aproximacioacuten

si











Ejemplo 1



Solucioacuten










1

1268941421 2119

1309108403 306

1309799389 0052


diacutegitos










ecuacioacuten








el intervalo

















de biseccioacuten


Sea contiacutenua











en el intervalo



Ejemplo 1



Solucioacuten




falsa


















Ejemplo 2



Solucioacuten









Evaluamos






Evaluamos





















EJERCICIOS




izquierda

P1(x) P2(x) P3(x) P4(x)

xo + 11



xo + 09

xo + 03

xo + 01

xo + 001

xo + 0001

xo - 11

xo - 09

xo - 03

xo - 01

xo - 001

xo - 0001

1) en xo = 0

2) en xo = 0

3) en xo = 6


5) f(x) = lnx en xo = 1






4) P(x) = 4 - x2 +6x


5) P(x) = 2 + (x - 3)2 -x






1) P(0) = 7 P (0) = 3 P (2)

(0) = 8 P (3)

(0) =54

2) P(1) = 1 P (1) = 5 P (2)

(1) = 32 P (3)

(1) =42

3) P(-2) = 2 P (-2) = 4 P (2)

(-2) = 8 P (3)

(-2) =66


estime el error























VI





METODO DE BISECCION










f(a) = -05 f(b) = 1






















Grafica





nabcFaFbFcabs(c-a))

FaFblt=0 c=b

end


EJEMPLOS EN EXCEL

EJEMPLO 1









EJEMPLO 2






EJEMPLO 3













Celda Foacutermula

B15 = 1

D15 = 2

F15 = 0001

A18 = 1

B18 = B15



C18 = D15


E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5

F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5

G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5

A19 = A18+1

B19 = SI(B18G18gt0D18B18)

C19 = SI(B19=D18C18D18)


E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5

F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5

G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5

H19 = ABS(D19-D18)

I19 = H19D19

J19 = SI(I19lt=F$3D19)







Ejemplos










O bien














Ejemplo 1










Ejemplo 2



Solucioacuten


de donde











0

-02 100

-01557461506 2841

-01663039075 634

-0163826372 151



-0164410064 035
















Ejemplo 1


y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0612699837 632

0653442133 623

0652917265 008




Ejemplo 2


con y y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0823315073 214

0852330280 340

0853169121 009

















Hacemos

Y despejamos


aproximacioacuten

si











Ejemplo 1



Solucioacuten










1

1268941421 2119

1309108403 306

1309799389 0052


diacutegitos










ecuacioacuten








el intervalo

















de biseccioacuten


Sea contiacutenua











en el intervalo



Ejemplo 1



Solucioacuten




falsa


















Ejemplo 2



Solucioacuten









Evaluamos






Evaluamos




















xo + 09

xo + 03

xo + 01

xo + 001

xo + 0001

xo - 11

xo - 09

xo - 03

xo - 01

xo - 001

xo - 0001

1) en xo = 0

2) en xo = 0

3) en xo = 6


5) f(x) = lnx en xo = 1






4) P(x) = 4 - x2 +6x


5) P(x) = 2 + (x - 3)2 -x






1) P(0) = 7 P (0) = 3 P (2)

(0) = 8 P (3)

(0) =54

2) P(1) = 1 P (1) = 5 P (2)

(1) = 32 P (3)

(1) =42

3) P(-2) = 2 P (-2) = 4 P (2)

(-2) = 8 P (3)

(-2) =66


estime el error























VI





METODO DE BISECCION










f(a) = -05 f(b) = 1






















Grafica





nabcFaFbFcabs(c-a))

FaFblt=0 c=b

end


EJEMPLOS EN EXCEL

EJEMPLO 1









EJEMPLO 2






EJEMPLO 3













Celda Foacutermula

B15 = 1

D15 = 2

F15 = 0001

A18 = 1

B18 = B15



C18 = D15


E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5

F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5

G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5

A19 = A18+1

B19 = SI(B18G18gt0D18B18)

C19 = SI(B19=D18C18D18)


E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5

F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5

G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5

H19 = ABS(D19-D18)

I19 = H19D19

J19 = SI(I19lt=F$3D19)







Ejemplos










O bien














Ejemplo 1










Ejemplo 2



Solucioacuten


de donde











0

-02 100

-01557461506 2841

-01663039075 634

-0163826372 151



-0164410064 035
















Ejemplo 1


y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0612699837 632

0653442133 623

0652917265 008




Ejemplo 2


con y y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0823315073 214

0852330280 340

0853169121 009

















Hacemos

Y despejamos


aproximacioacuten

si











Ejemplo 1



Solucioacuten










1

1268941421 2119

1309108403 306

1309799389 0052


diacutegitos










ecuacioacuten








el intervalo

















de biseccioacuten


Sea contiacutenua











en el intervalo



Ejemplo 1



Solucioacuten




falsa


















Ejemplo 2



Solucioacuten









Evaluamos






Evaluamos






















1) P(0) = 7 P (0) = 3 P (2)

(0) = 8 P (3)

(0) =54

2) P(1) = 1 P (1) = 5 P (2)

(1) = 32 P (3)

(1) =42

3) P(-2) = 2 P (-2) = 4 P (2)

(-2) = 8 P (3)

(-2) =66


estime el error























VI





METODO DE BISECCION










f(a) = -05 f(b) = 1






















Grafica





nabcFaFbFcabs(c-a))

FaFblt=0 c=b

end


EJEMPLOS EN EXCEL

EJEMPLO 1









EJEMPLO 2






EJEMPLO 3













Celda Foacutermula

B15 = 1

D15 = 2

F15 = 0001

A18 = 1

B18 = B15



C18 = D15


E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5

F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5

G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5

A19 = A18+1

B19 = SI(B18G18gt0D18B18)

C19 = SI(B19=D18C18D18)


E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5

F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5

G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5

H19 = ABS(D19-D18)

I19 = H19D19

J19 = SI(I19lt=F$3D19)







Ejemplos










O bien














Ejemplo 1










Ejemplo 2



Solucioacuten


de donde











0

-02 100

-01557461506 2841

-01663039075 634

-0163826372 151



-0164410064 035
















Ejemplo 1


y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0612699837 632

0653442133 623

0652917265 008




Ejemplo 2


con y y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0823315073 214

0852330280 340

0853169121 009

















Hacemos

Y despejamos


aproximacioacuten

si











Ejemplo 1



Solucioacuten










1

1268941421 2119

1309108403 306

1309799389 0052


diacutegitos










ecuacioacuten








el intervalo

















de biseccioacuten


Sea contiacutenua











en el intervalo



Ejemplo 1



Solucioacuten




falsa


















Ejemplo 2



Solucioacuten









Evaluamos






Evaluamos

























VI





METODO DE BISECCION










f(a) = -05 f(b) = 1






















Grafica





nabcFaFbFcabs(c-a))

FaFblt=0 c=b

end


EJEMPLOS EN EXCEL

EJEMPLO 1









EJEMPLO 2






EJEMPLO 3













Celda Foacutermula

B15 = 1

D15 = 2

F15 = 0001

A18 = 1

B18 = B15



C18 = D15


E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5

F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5

G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5

A19 = A18+1

B19 = SI(B18G18gt0D18B18)

C19 = SI(B19=D18C18D18)


E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5

F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5

G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5

H19 = ABS(D19-D18)

I19 = H19D19

J19 = SI(I19lt=F$3D19)







Ejemplos










O bien














Ejemplo 1










Ejemplo 2



Solucioacuten


de donde











0

-02 100

-01557461506 2841

-01663039075 634

-0163826372 151



-0164410064 035
















Ejemplo 1


y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0612699837 632

0653442133 623

0652917265 008




Ejemplo 2


con y y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0823315073 214

0852330280 340

0853169121 009

















Hacemos

Y despejamos


aproximacioacuten

si











Ejemplo 1



Solucioacuten










1

1268941421 2119

1309108403 306

1309799389 0052


diacutegitos










ecuacioacuten








el intervalo

















de biseccioacuten


Sea contiacutenua











en el intervalo



Ejemplo 1



Solucioacuten




falsa


















Ejemplo 2



Solucioacuten









Evaluamos






Evaluamos























f(a) = -05 f(b) = 1






















Grafica





nabcFaFbFcabs(c-a))

FaFblt=0 c=b

end


EJEMPLOS EN EXCEL

EJEMPLO 1









EJEMPLO 2






EJEMPLO 3













Celda Foacutermula

B15 = 1

D15 = 2

F15 = 0001

A18 = 1

B18 = B15



C18 = D15


E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5

F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5

G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5

A19 = A18+1

B19 = SI(B18G18gt0D18B18)

C19 = SI(B19=D18C18D18)


E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5

F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5

G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5

H19 = ABS(D19-D18)

I19 = H19D19

J19 = SI(I19lt=F$3D19)







Ejemplos










O bien














Ejemplo 1










Ejemplo 2



Solucioacuten


de donde











0

-02 100

-01557461506 2841

-01663039075 634

-0163826372 151



-0164410064 035
















Ejemplo 1


y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0612699837 632

0653442133 623

0652917265 008




Ejemplo 2


con y y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0823315073 214

0852330280 340

0853169121 009

















Hacemos

Y despejamos


aproximacioacuten

si











Ejemplo 1



Solucioacuten










1

1268941421 2119

1309108403 306

1309799389 0052


diacutegitos










ecuacioacuten








el intervalo

















de biseccioacuten


Sea contiacutenua











en el intervalo



Ejemplo 1



Solucioacuten




falsa


















Ejemplo 2



Solucioacuten









Evaluamos






Evaluamos























Grafica





nabcFaFbFcabs(c-a))

FaFblt=0 c=b

end


EJEMPLOS EN EXCEL

EJEMPLO 1









EJEMPLO 2






EJEMPLO 3













Celda Foacutermula

B15 = 1

D15 = 2

F15 = 0001

A18 = 1

B18 = B15



C18 = D15


E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5

F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5

G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5

A19 = A18+1

B19 = SI(B18G18gt0D18B18)

C19 = SI(B19=D18C18D18)


E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5

F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5

G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5

H19 = ABS(D19-D18)

I19 = H19D19

J19 = SI(I19lt=F$3D19)







Ejemplos










O bien














Ejemplo 1










Ejemplo 2



Solucioacuten


de donde











0

-02 100

-01557461506 2841

-01663039075 634

-0163826372 151



-0164410064 035
















Ejemplo 1


y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0612699837 632

0653442133 623

0652917265 008




Ejemplo 2


con y y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0823315073 214

0852330280 340

0853169121 009

















Hacemos

Y despejamos


aproximacioacuten

si











Ejemplo 1



Solucioacuten










1

1268941421 2119

1309108403 306

1309799389 0052


diacutegitos










ecuacioacuten








el intervalo

















de biseccioacuten


Sea contiacutenua











en el intervalo



Ejemplo 1



Solucioacuten




falsa


















Ejemplo 2



Solucioacuten









Evaluamos






Evaluamos






















nabcFaFbFcabs(c-a))

FaFblt=0 c=b

end


EJEMPLOS EN EXCEL

EJEMPLO 1









EJEMPLO 2






EJEMPLO 3













Celda Foacutermula

B15 = 1

D15 = 2

F15 = 0001

A18 = 1

B18 = B15



C18 = D15


E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5

F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5

G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5

A19 = A18+1

B19 = SI(B18G18gt0D18B18)

C19 = SI(B19=D18C18D18)


E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5

F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5

G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5

H19 = ABS(D19-D18)

I19 = H19D19

J19 = SI(I19lt=F$3D19)







Ejemplos










O bien














Ejemplo 1










Ejemplo 2



Solucioacuten


de donde











0

-02 100

-01557461506 2841

-01663039075 634

-0163826372 151



-0164410064 035
















Ejemplo 1


y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0612699837 632

0653442133 623

0652917265 008




Ejemplo 2


con y y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0823315073 214

0852330280 340

0853169121 009

















Hacemos

Y despejamos


aproximacioacuten

si











Ejemplo 1



Solucioacuten










1

1268941421 2119

1309108403 306

1309799389 0052


diacutegitos










ecuacioacuten








el intervalo

















de biseccioacuten


Sea contiacutenua











en el intervalo



Ejemplo 1



Solucioacuten




falsa


















Ejemplo 2



Solucioacuten









Evaluamos






Evaluamos

























EJEMPLO 2






EJEMPLO 3













Celda Foacutermula

B15 = 1

D15 = 2

F15 = 0001

A18 = 1

B18 = B15



C18 = D15


E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5

F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5

G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5

A19 = A18+1

B19 = SI(B18G18gt0D18B18)

C19 = SI(B19=D18C18D18)


E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5

F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5

G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5

H19 = ABS(D19-D18)

I19 = H19D19

J19 = SI(I19lt=F$3D19)







Ejemplos










O bien














Ejemplo 1










Ejemplo 2



Solucioacuten


de donde











0

-02 100

-01557461506 2841

-01663039075 634

-0163826372 151



-0164410064 035
















Ejemplo 1


y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0612699837 632

0653442133 623

0652917265 008




Ejemplo 2


con y y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0823315073 214

0852330280 340

0853169121 009

















Hacemos

Y despejamos


aproximacioacuten

si











Ejemplo 1



Solucioacuten










1

1268941421 2119

1309108403 306

1309799389 0052


diacutegitos










ecuacioacuten








el intervalo

















de biseccioacuten


Sea contiacutenua











en el intervalo



Ejemplo 1



Solucioacuten




falsa


















Ejemplo 2



Solucioacuten









Evaluamos






Evaluamos






















EJEMPLO 3













Celda Foacutermula

B15 = 1

D15 = 2

F15 = 0001

A18 = 1

B18 = B15



C18 = D15


E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5

F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5

G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5

A19 = A18+1

B19 = SI(B18G18gt0D18B18)

C19 = SI(B19=D18C18D18)


E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5

F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5

G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5

H19 = ABS(D19-D18)

I19 = H19D19

J19 = SI(I19lt=F$3D19)







Ejemplos










O bien














Ejemplo 1










Ejemplo 2



Solucioacuten


de donde











0

-02 100

-01557461506 2841

-01663039075 634

-0163826372 151



-0164410064 035
















Ejemplo 1


y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0612699837 632

0653442133 623

0652917265 008




Ejemplo 2


con y y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0823315073 214

0852330280 340

0853169121 009

















Hacemos

Y despejamos


aproximacioacuten

si











Ejemplo 1



Solucioacuten










1

1268941421 2119

1309108403 306

1309799389 0052


diacutegitos










ecuacioacuten








el intervalo

















de biseccioacuten


Sea contiacutenua











en el intervalo



Ejemplo 1



Solucioacuten




falsa


















Ejemplo 2



Solucioacuten









Evaluamos






Evaluamos





























Celda Foacutermula

B15 = 1

D15 = 2

F15 = 0001

A18 = 1

B18 = B15



C18 = D15


E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5

F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5

G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5

A19 = A18+1

B19 = SI(B18G18gt0D18B18)

C19 = SI(B19=D18C18D18)


E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5

F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5

G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5

H19 = ABS(D19-D18)

I19 = H19D19

J19 = SI(I19lt=F$3D19)







Ejemplos










O bien














Ejemplo 1










Ejemplo 2



Solucioacuten


de donde











0

-02 100

-01557461506 2841

-01663039075 634

-0163826372 151



-0164410064 035
















Ejemplo 1


y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0612699837 632

0653442133 623

0652917265 008




Ejemplo 2


con y y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0823315073 214

0852330280 340

0853169121 009

















Hacemos

Y despejamos


aproximacioacuten

si











Ejemplo 1



Solucioacuten










1

1268941421 2119

1309108403 306

1309799389 0052


diacutegitos










ecuacioacuten








el intervalo

















de biseccioacuten


Sea contiacutenua











en el intervalo



Ejemplo 1



Solucioacuten




falsa


















Ejemplo 2



Solucioacuten









Evaluamos






Evaluamos




















C18 = D15


E18 = 2718281828^(-B18)+4(B18)^(3)-5

F18 = 2718281828^(-C18)+4(C18)^(3)-5

G18 = 271828182^(-D18)+4(D18)^(3)-5

A19 = A18+1

B19 = SI(B18G18gt0D18B18)

C19 = SI(B19=D18C18D18)


E19 = 2718281828^(-B19)+4(B19)^(3)-5

F19 = 2718281828^(-C19)+4(C19)^(3)-5

G19 = 2718281828^(-D19)+4(D19)^(3)-5

H19 = ABS(D19-D18)

I19 = H19D19

J19 = SI(I19lt=F$3D19)







Ejemplos










O bien














Ejemplo 1










Ejemplo 2



Solucioacuten


de donde











0

-02 100

-01557461506 2841

-01663039075 634

-0163826372 151



-0164410064 035
















Ejemplo 1


y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0612699837 632

0653442133 623

0652917265 008




Ejemplo 2


con y y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0823315073 214

0852330280 340

0853169121 009

















Hacemos

Y despejamos


aproximacioacuten

si











Ejemplo 1



Solucioacuten










1

1268941421 2119

1309108403 306

1309799389 0052


diacutegitos










ecuacioacuten








el intervalo

















de biseccioacuten


Sea contiacutenua











en el intervalo



Ejemplo 1



Solucioacuten




falsa


















Ejemplo 2



Solucioacuten









Evaluamos






Evaluamos




















Ejemplos










O bien














Ejemplo 1










Ejemplo 2



Solucioacuten


de donde











0

-02 100

-01557461506 2841

-01663039075 634

-0163826372 151



-0164410064 035
















Ejemplo 1


y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0612699837 632

0653442133 623

0652917265 008




Ejemplo 2


con y y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0823315073 214

0852330280 340

0853169121 009

















Hacemos

Y despejamos


aproximacioacuten

si











Ejemplo 1



Solucioacuten










1

1268941421 2119

1309108403 306

1309799389 0052


diacutegitos










ecuacioacuten








el intervalo

















de biseccioacuten


Sea contiacutenua











en el intervalo



Ejemplo 1



Solucioacuten




falsa


















Ejemplo 2



Solucioacuten









Evaluamos






Evaluamos

























Ejemplo 1










Ejemplo 2



Solucioacuten


de donde











0

-02 100

-01557461506 2841

-01663039075 634

-0163826372 151



-0164410064 035
















Ejemplo 1


y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0612699837 632

0653442133 623

0652917265 008




Ejemplo 2


con y y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0823315073 214

0852330280 340

0853169121 009

















Hacemos

Y despejamos


aproximacioacuten

si











Ejemplo 1



Solucioacuten










1

1268941421 2119

1309108403 306

1309799389 0052


diacutegitos










ecuacioacuten








el intervalo

















de biseccioacuten


Sea contiacutenua











en el intervalo



Ejemplo 1



Solucioacuten




falsa


















Ejemplo 2



Solucioacuten









Evaluamos






Evaluamos




























0

-02 100

-01557461506 2841

-01663039075 634

-0163826372 151



-0164410064 035
















Ejemplo 1


y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0612699837 632

0653442133 623

0652917265 008




Ejemplo 2


con y y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0823315073 214

0852330280 340

0853169121 009

















Hacemos

Y despejamos


aproximacioacuten

si











Ejemplo 1



Solucioacuten










1

1268941421 2119

1309108403 306

1309799389 0052


diacutegitos










ecuacioacuten








el intervalo

















de biseccioacuten


Sea contiacutenua











en el intervalo



Ejemplo 1



Solucioacuten




falsa


















Ejemplo 2



Solucioacuten









Evaluamos






Evaluamos




















-0164410064 035
















Ejemplo 1


y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0612699837 632

0653442133 623

0652917265 008




Ejemplo 2


con y y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0823315073 214

0852330280 340

0853169121 009

















Hacemos

Y despejamos


aproximacioacuten

si











Ejemplo 1



Solucioacuten










1

1268941421 2119

1309108403 306

1309799389 0052


diacutegitos










ecuacioacuten








el intervalo

















de biseccioacuten


Sea contiacutenua











en el intervalo



Ejemplo 1



Solucioacuten




falsa


















Ejemplo 2



Solucioacuten









Evaluamos






Evaluamos



























Ejemplo 1


y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0612699837 632

0653442133 623

0652917265 008




Ejemplo 2


con y y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0823315073 214

0852330280 340

0853169121 009

















Hacemos

Y despejamos


aproximacioacuten

si











Ejemplo 1



Solucioacuten










1

1268941421 2119

1309108403 306

1309799389 0052


diacutegitos










ecuacioacuten








el intervalo

















de biseccioacuten


Sea contiacutenua











en el intervalo



Ejemplo 1



Solucioacuten




falsa


















Ejemplo 2



Solucioacuten









Evaluamos






Evaluamos




















Ejemplo 2


con y y hasta que

Solucioacuten





siguiente tabla


0

1 100

0823315073 214

0852330280 340

0853169121 009

















Hacemos

Y despejamos


aproximacioacuten

si











Ejemplo 1



Solucioacuten










1

1268941421 2119

1309108403 306

1309799389 0052


diacutegitos










ecuacioacuten








el intervalo

















de biseccioacuten


Sea contiacutenua











en el intervalo



Ejemplo 1



Solucioacuten




falsa


















Ejemplo 2



Solucioacuten









Evaluamos






Evaluamos
































Hacemos

Y despejamos


aproximacioacuten

si











Ejemplo 1



Solucioacuten










1

1268941421 2119

1309108403 306

1309799389 0052


diacutegitos










ecuacioacuten








el intervalo

















de biseccioacuten


Sea contiacutenua











en el intervalo



Ejemplo 1



Solucioacuten




falsa


















Ejemplo 2



Solucioacuten









Evaluamos






Evaluamos
























1

1268941421 2119

1309108403 306

1309799389 0052


diacutegitos










ecuacioacuten








el intervalo

















de biseccioacuten


Sea contiacutenua











en el intervalo



Ejemplo 1



Solucioacuten




falsa


















Ejemplo 2



Solucioacuten









Evaluamos






Evaluamos

























el intervalo

















de biseccioacuten


Sea contiacutenua











en el intervalo



Ejemplo 1



Solucioacuten




falsa


















Ejemplo 2



Solucioacuten









Evaluamos






Evaluamos























de biseccioacuten


Sea contiacutenua











en el intervalo



Ejemplo 1



Solucioacuten




falsa


















Ejemplo 2



Solucioacuten









Evaluamos






Evaluamos






















en el intervalo



Ejemplo 1



Solucioacuten




falsa


















Ejemplo 2



Solucioacuten









Evaluamos






Evaluamos





























Ejemplo 2



Solucioacuten









Evaluamos






Evaluamos





















Evaluamos






Evaluamos


















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