APUNTES DOCENTES DE CÁLCULO INTEGRAL

1

APUNTES DOCENTES DE CÁLCULO INTEGRAL 2014

APUNTES DOCENTES DE CÁLCULO INTEGRAL

YASMITH BOCANEGRA ARAGON

MARISEL ARDILA AMADOR

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER

2


TABLA DE CONTENIDO

INTRODUCCIÓN................................................................................................................................ 4

1 LA INTEGRAL……………………………. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1 Anti derivada o primitiva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ………. 5

1.2 Integral Indefinida……………... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Área de una región en el plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4 Sumatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . 9

1.4.1 Propiedades de la Sumatoria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . ..9

1.5 Partición de un intervalo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.6 Suma de Riemann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... 10

1.7 Integral Definida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.8 Área e integral definida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10

1.8.1 Propiedades de la integral definida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . .10

1.8.2 Primer teorema Fundamental del Cálculo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . .15

1.8.3 Segundo teorema Fundamental del Cálculo... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.8.4 Teorema del valor Medio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 16

1.9 Valor Promedio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2. TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19

2.1 Regla de la Sustitución Simple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19

2.2 Integración por Partes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .20

2.3 Integración de Funciones Trigonométricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.4 Sustitución Trigonométrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.5 Integración por Fracciones Parciales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3. APLICACIONES DE LA INTEGRAL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3


3.1 Área entre Curvas: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2 Volúmenes de Sólidos de Revolución. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 32

3.2.1 Método de Discos y Arandelas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.2.2 Método de Cascarones Cilíndricos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. ... 34

3.2.3 Volumen por Secciones Transversales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .35

4. COORDENADAS POLARES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.1 Sistema de Coordenadas s Polares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38

4.2 Representación de Puntos en el Plano Polar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 38

4.3 Coordenadas Polares y Cartesianas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.4 Ecuaciones Polares... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 39

4.5 Área entre Curvas Polares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

BIBLIOGRAFÍA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4


INTRODUCCIÓN

Esta asignatura contribuye a desarrollar un pensamiento lógico, heurístico y algorítmico al modelar fenómenos y resolver problemas en los que interviene la variación. Hay una diversidad de problemas en la ingeniería que son modelados y resueltos a través de una integral, por lo que resulta importante que el ingeniero domine el Cálculo integral. Buscando la comprensión del significado de la integral se propone un tratamiento que comience por lo concreto y pase luego a lo abstracto, así se sugiere que la integral definida se estudie antes de la indefinida puesto que aquélla puede ser abordada a partir del acto concreto de medir áreas. Se incluye la notación sumatoria para que el alumno la conozca y la maneje en la representación de sumas de Riemann. La función primitiva se define junto con el Teorema Fundamental por estar íntimamente ligados. Las integrales impropias se ubican en esta unidad por ser un caso de integral definida, para aprovechar el contexto. Una vez que se abordó la construcción conceptual de la integral definida, se estudian la integral indefinida y los métodos de integración, para tener más herramientas en la construcción de la anti derivada, necesaria para aplicar el Teorema Fundamental. Las aplicaciones incluidas en el temario son las básicas, adecuadas a las competencias previas de los estudiantes, con el objetivo que sean ellos quienes planteen por sí mismos la integral a aplicar y resolver. Se complementa el tratamiento de aplicaciones con la identificación, por parte del alumno, de la integral en diferentes temas de ingeniería. Por último se incluye el estudio del sistema de coordenadas polares para que de esta manera extrapole los concepto trabajados en las coordenadas cartesianas a otro sistema de representación de magnitudes y funciones. Como es el sistema polar.

5


UNIDAD 1 LA INTEGRAL Definición 1.1 Anti derivada o primitiva

Se dice que la función F es una anti derivada o primitiva de f , en un intervalo I si y solo si

( ) ( )F x f x para todo x en I

Ejemplo 1.1

Si se quiere encontrar una función F cuya derivada sea 2( ) 3f x x . Por lo que se sabe de

derivadas es posible afirmar que

3( )F x x Porque 3 23

dx x

dx

Teorema 1.1.1

Si F es una anti derivada de f en un intervalo I, entonces G es una anti derivada de f en el intervalo I si y sólo si G es de la forma G(x)= F(x) +C, para toda x en I, donde es una constante.

A continuación se presentan las antiderivadas de algunas funciones:

Función : f x Antiderivada : F x

nx

1

1

nxC

n

senx cos x C

cos x

senx C

2sec x

tan x C

2csc x

cot x C

sec tanx x sec x C

csc xcotx

csc x C

2

1

1 x

1sen x C

2

1

1 x

1tan x C

2

1

1x x

1sec x C

x

x C

xa

ln

xaC

a

1

x

ln x C

6


Definición 1.2 Integral Indefinida La integral indefinida de la función f con respecto a x es igual a la anti derivad de f.

Ejemplo1.2 Escribamos la integral definida de las funciones reales básicas.

7


Ejemplo 1.3 Halle las siguientes integrales indefinidas:

Los antiguos griegos dieron una regla para calcular la medida del área de un rectángulo (producto de la base por la altura), de aquí se deduce que el área de un triángulo rectángulo es igual a "un medio del producto de los catetos". Debido a que un polígono se puede descomponer en triángulos, la obtención de su área se consigue mediante la suma de las áreas de los triángulos en que se ha dividido. Este procedimiento de medir áreas sólo es aplicable a figuras planas limitadas por segmentos de rectas.

Para medir el área de una figura limitada por curvas se debe recurrir a otro método, que es el que vamos a estudiar a continuación.

Definición 1.3 Área de una región en el plano

Entonces si )(xfy

es una función positiva y se quiere encontrar el área bajo la curva desde

ax hasta bx ,tomando )( ixf

el mayor valor que toma la función )(xf

en el intervalo

ii xx ,1 y )( 1ixf

el menor valor de la función en el intervalo (si la función f

es creciente

en ba,

), haciendo una partición regular del intervalo ba,

donde nabx /)(

, si )( icf

es

el valor de f

en el ésimoi subintervalo. La medida de la región R está dada por:

n

i

in

xcfA1

)(lim .

Un método de aproximación al área que se está buscando es, haciendo una subdivisión del

intervalo ba, en subintervalos de longitudes iguales nabx /)( (a lo que se le llamará

partición regular del intervalo). La Partición de un intervalo ba, es un conjunto finito de

puntos de ba, de los cuales uno es a y otro es b . Donde: ,0 ax ,...,1 xax

8


,...,xiaxi ,)1(1 xnaxn bxn . Asimismo, se denota el i-ésimo intervalo por

ii xx ,1 , siendo Nn es una manera de numerar los puntos de la partición; n es el número de

partes.

Figura 2

Puesto que f es continua el teorema del valor extremo garantiza la existencia de unos valores

mínimo y máximo de )(xf en cada subintervalo:

imf valor mínimo de )(xf en el i-ésimo intervalo

iMf valor mínimo de )(xf en el i-ésimo intervalo

Por tanto, podemos definir un rectángulo inscrito y un rectángulo circunscrito como se muestra en la figuras 3 y 4

Figura 3 Figura 4

La relación entre las áreas de estos dos rectángulos es la siguiente:

(Área del rectángulo inscrito) = imf x iMf x = (área del rectángulo circunscrito)

Sumando estas dos áreas, tenemos

Suma inferior =

n

i

in xmfs1

)( Suma superior =

n

i

in xMfS1

)( ; donde nn Ss

De hecho, si tomamos el límite cuando n , ambas sumas superior e inferior existen y son

iguales. De este modo, la elección de x en el intervalo i-ésimo no afecta el valor del límite, por lo

que podemos elegir libremente un valor y lo definiremos como ic . Esto es

9


n

i

i

n

in

in

xMxmf11

)(lim)(lim

n

i

in

xcf1

)(lim

Definición 1.4 Sumatoria

Dado un conjunto de números),...,,,( 21 niii aaaa , el símbolo

n

ik

na

representa su suma indicada

o sumatoria. Esto es niii

n

ik

n aaaaa

...21

. La letra griega sigma mayúscula, ,

denota la sumatoria, karepresenta el k-ésimo término, la letra k se llama índice de sumatoria y

adquiere valores enteros sucesivos, los números i y n son los valores extremos del índice de sumatoria. Teorema 1.4.1 Propiedades de la Sumatoria:

1.

n

k

cnc1

; c: constante 2. ;11

n

k

k

n

k

k acac c: constante

3.

n

k

n

k

kk

n

k

kk baba1 11

4.

b

ak

cb

cak

ckFkF )()(

5.

b

ak

cb

cak

ckFkF )()( 6. )0()()1()(1

FnFkFkFn

k

7.1 Si n entonces

n

k

nnk

1 2

)1(

7.2

n

k

nnnk

1

2

6

)12)(1(

7.3

n

k

nnk

1

223

4

)1(

7.4

n

k

nnnnnk

1

234

30

)196)(1(

Definición 1.5 Partición de un Intervalo cerrado:

Una partición de un intervalo cerrado ba, es el conjunto de todos los subintervalos de la forma

,, 10 xx ,, 21 xx ,, 32 xx ,,..., 1 nn xx y ,... 13210 bxxxxxxa nn .n

La longitud del ésimoi subintervalo ii xx ,1 , ,ix está dada por 1 iii xxx . La longitud

del subintervalo más largo de la partición se llama norma de la partición y se denota por .

En la figura 4 se ilustra una partición cualquiera de ba, .

10


Definición 1.6 Suma de Riemann:

Sea f una función definida en ba, , y sea una partición cualquiera de ba, , una suma de

Riemann (llamada así en memoria del matemático alemán G.F. Bernard Riemann (1826- 1886)) es la que está dada por:

xfxfxfxfxfxf nni

i

ii

)(...)(...)()()()( 433221

1

1

Donde i es un punto cualquiera del ésimoi subintervalo y, xi es la longitud de este

ésimoi subintervalo.

Definición 1.7 la Integral definida:

Sea f una función definida en ba, , la integral definida de f entre a y b , denota como

b

adxxf ,)( está dada por:

n

i

iin

i

n

i

i

b

ax

xfxfdxxf110

.)()()( limlim

En b

adxxf ,)( las denominaciones son: : signo de integración ( es una “s” estirada); a :

extremo inferior; :b extremo superior; )(xf integrando.

Definición 1.8 Área e Integral definida:

Si f es continua en ba, , y 0)( xf bax , , entonces el Área A de la Región R bajo la

gráfica de f entre a y b , está dada por: b

adxxfA )(

Teorema 1.8.1 Propiedades de la Integral Definida: Para facilitar el cálculo de una integral definida, sin tener que recurrir a la definición dada en función de la sumatoria, se proporcionan las siguientes propiedades fundamentales:

1. si ,ba entonces: b

a

a

bdxxfdxxf )()(

2. si )(af existe, entonces: a

adxxf 0)(

3. Si k es una constante cualquiera, entonces

b

aabkkdx )(

4. Si f es integrable en ba, y, k es una

constante arbitraria, entonces:

b

a

b

adxxfkdxxfk )()(

5. Si f y g son integrables en ba, , entonces

gf también es integrable en ba, y:

b

a

b

a

b

adxxgdxxfdxxgxf )()()()(

6. Si f es integrable en ,,ba ca, y bc, , y

bca , entonces:

b

a

c

a

b

cdxxfdxxfdxxf )()()(

6. Si f es integrable en un Intervalo cerrado I y,

,,, Icba entonces:

7. Si f es integrable en ba, y 0)( xf

bax , , entonces: b

adxxf 0)(

11


b

a

c

a

b

cdxxfdxxfdxxf )()()(

8. Si f y g son integrables en ba, y

)()( xgxf bax , , entonces

b

a

b

adxxgdxxf )()(

9. Sea f continua en ba, . Si m es el valor

mínimo absoluto y M el valor máximo absoluto de

f en ba, , y ,)( Mxfm bxa

entonces,

b

aabMdxxfabm )()()(

La interpretación geométrica es: Como

0)( xf ,,bax el área de la región

bajo la curva de )(xf , encerrada entre las

rectas ax y bx y el eje x , está dada

por la integral b

adxxf )( . El área de la región

rectangular de dimensiones M y (b-a) es mayor que el área dada por la integral, y el área de la región rectangular de dimensiones m y (b-a) es menor que el área dada de la integral.

Ejemplo 1.4 Determine la suma por medio de la definición y propiedades de la sumatoria:

2

2 3k k

k

33

3

32

2

31

1

30

0

31

1

32

2

2

1

5

2

4

10

2

12

6

3

5

2

4

1

3

0

2

1

1

2

20

2350

20

10851040

=

20

27

20

1

2 )2(3k

kk =

20

1

20

1

20

1

33 63)63(k k k

kkkk

2

)21(206

4

)21(203

22

212034

4414003

1260132300 = 133560

Ejemplo 1.5 Evalúe el área de la región dada, emplee rectángulos inscritos o circunscritos según se indique. Para cada ejercicio trace una figura que muestre la región y el i-ésimo rectángulo.

a. La región acotada por la curva de 2xy , el eje x , y la recta 2x , rectángulos inscritos,

(figura a). Dividimos 2,0 en n subintervalos, cada uno de longitud x : ,00 x xx 1 ,

xx 22 , ..., xixi )1(1 , xixi , …, .2nx nn

x202

; 2)( xxf . Como f

12


es creciente en 2,0 , el valor mínimo absoluto de f en el i-ésimo subintervalo ),( 1 ii xx es

)( 1ixf , Por lo tanto: ,))1((lim)(lim1

2

1

1 xxixxfAn

i

n

in

in

figura a

figura b

b. La región acotada por xy 2 , el eje x , y las rectas 1x y ;4x rectángulos circunscritos,

(Figura b)

Dividimos 4,1 en n subintervalos, cada uno de longitud x : ,10 x xx 11 ,

xx 212 ,…,

4,...,1 ni xxix . nn

x314

, . Como f es creciente en 4,1 , el valor máximo

absoluto de f en el i-ésimo subintervalo ),( 1 ii xx es ).( ixf Por lo tanto:

,)1(lim)(lim11

n

in

n

i

in

xxixxfA

n

i

n

in

n

in

n

i

n

inn

inn

innnn

ixxiA1 1

21

211

36

lim)3(6

lim33

12lim)1(2lim

)05(33

5lim33

53lim2

356lim

2

)1(36lim

2

2

2

2

nn

nn

n

nnn

nA

nnnn

15A unidades cuadradas

Ejemplo 1.6

Halle la suma de Riemann para la función x

xf1

)( en el intervalo 31 x , (Figura c); emplee

la partición dada : ,10 x ,3

51 x ,

4

92 x ,

3

83 x ;34 x y los valores de :i

13


,4

51 ,22 ,

2

53

4

114 . Trace la gráfica de la función en el intervalo dado, y muestre los

rectángulos cuyas medidas de área sean los términos de la suma de Riemann

xfxfxfxfxf i

i

i 44332211

4

1

)()()()(

3

83

4

11

4

9

3

8

2

5

3

5

4

9)2(1

3

5

4

54

1

ffffxf i

i

i

3

1

11

4

12

5

5

2

12

7

2

1

3

2

5

4)(

4

1i

ii xf 33

4

6

1

24

7

15

8 =

1320

1469

Figura c

Ejemplo 1.7

Encuentre el área exacta de la región acotada por la recta 12 xy , el eje x y las rectas 1x y

5x , como se indica: a) Exprese la medida del área como límite de una suma de Riemann con

particiones regulares; b) Exprese este límite con la notación de integral definida; c) Evalúe la

integral definida con el método de esta sección y una elección indicada de 1 . Trace una grafica

que muestre la región.

a)

n

i

in

xfA1

1)(lim (1). Haciendo una partición regular de 5,1 en n subintervalos,

entonces:

nnxxi

415

(2). Sustituyendo (2) en (1)

n

in n

fA1

1

4)(lim

b) 5

1)12( dxxA

c) Si escogemos 1 como el punto extremo derecho de cada subintervalo, se tienen

411

,n

812 ,...,

,..,4

1 in

i .5n Puesto que 12)( xxf , entonces

;142

14

2)(

in

nn

inf i

14


n

inn

dxxAn

in

414

2lim)12(

1

5

1

n

i

n

i

n

in

n

in

innn

innn 11 11

1424

lim1424

lim

22

2

2 464

lim)1(224

lim nnnn

nnnnnn nn

nnnn

n nnnn

4lim5lim4

45lim445

4lim 2

2

2054054)12(5

1 dxxA unidades cuadradas

Ejemplo 1.8

Encuentre el valor exacto de la integral definida 2

0

2dxx por Sumas de Riemann.

Consideremos una partición regular del intervalo 2,0 en n subintervalos. Entonces nx 2 . Si

escogemos 1 como el punto extremo derecho de cada subintervalo, se tiene:

,2

1n

2,...,2

,...,2

22

ni

ni

n . Como

2)( xxf , entonces 2

2242

)(n

i

n

if i

nnnn

nnn

ni

nnn

idxx

n

n

inn

n

in

23

331

2

31

2

22

0

2 323

4lim

6

)12)(1(8lim

8lim

24lim

2

0

2

22

3

8

0023

41lim

3lim2lim

3

4132lim

3

4

dxx

nnnn nnnn

Nota: La interpretación geométrica del resultado es la siguiente: como ,02 x ,2,0x la

región ,R acotada por la curva ,2xy el eje x y las rectas 0x y ,2x tiene un área cuya

medida es de 38 unidades cuadradas.

Ejemplo 1.9 Aplique las propiedades de la integral definida para evaluar las siguientes integrales:

1. 5

24dx = )3(4)25(44

5

2 dx

5

2124dx 2.

3

3

24 dxx = 043

3

2 dxx

Ejemplo 1.10 Use las propiedades para resolver los siguientes ejercicios:

15


1. 7

32xdx

f es una función polinomial, por lo que es continua en

R , y en particular, continua en 7,3

:2)(' xf Siempre existe y nunca es 0; por lo que no

tiene números críticos.

:6)3(2)3( f Valor mínimo absoluto

:14)7(2)7( f Valor máximo absoluto.

Por lo tanto de acuerdo con el teorema 10, se tiene:

7

3

7

356224)37(142)37(6 xdxxdx R

espuesta: El valor de la integral está en el 56,24

2. 6

33 dxx

,3303:3)( Domxxxxf

f es continua en ,3 y particular en 6,3

,32

1)('

xxf

'f no existe en 3x y )(' xf nunca

es cero, entonces el único número critico de f es 3

:0)3( f Valor máximo absoluto de f en 6,3

:3)6( f Valor mínimo absoluto de f en 6,3

De acuerdo con el teorema 10, se tiene:

6

3

6

32730)36(33)36(0 dxxdxx

Respuesta: El valor de la integral está en el 27,0

b) 2

2

3 4)1( dxx . Solución:

2

2

2

2

33 )(4)1())2(2)(()1( zfdxxzfdxx ,

Pero 2

2

3 4)1( dxx , esto es ,4)(4 zf 1)( zf es

decir, ;011 33 zz 0z

De tal modo que :

2

2

3 ))2(2)(0()1( fdxx

Teorema 1.8.2 Primer Teorema Fundamental del Cálculo

Sea f continua en el intervalo cerrado [a,b], y sean x un punto en (a,b). Entonces,

Ejemplo 1.11

Calcule la derivada: a)

x

dttdx

d

2 4 4

1=

4

14 x

b) 3

1

3 2 1x

dttdx

d Aplicamos la regla de la cadena:

33

1

3 2

1

3 2 11xx

dx

dudtt

du

ddtt

dx

d. (1)

Si 23 3, x

dx

duxu , sustituyendo en (1) se obtiene:

ux

xdttdu

ddtt

dx

d

1

23 2

1

3 2 ,3113

16


3

3

1

3 623 2

23 623 2323 2

1

3 2

131

3131)(311

x

x

xxdttdx

d

xxxxxudttdx

d

Teorema 1.8.3 Segundo Teorema Fundamental del Cálculo

Sea f continua en [a,b], y sea F cualquier anti derivada de f en [a,b],. Entonces

Ejemplo 1.12

Evalúe la siguiente integral

Teorema. 1.8.4 Teorema del valor Medio:

Si f es una función continua en ba, , entonces existe un número z en ba, , tal que:

b

aabzfdxxf ))(()(

Sea 0)( xf , bax , ; en este caso, b

adxxf )( se toma como el área de la región encerrada

por la curva de )(xf , las rectas ax y bx y el eje x . Entonces, existe un número

baz , tal que el área del rectángulo ABCD cuyas dimensiones son la altura )(zf y el ancho

)( ab es igual área de la región ABDF.

El número z no es necesariamente único, no obstante, el teorema 11, garantiza al menos la existencia de un número que satisfaga la igualdad.

17


Definición1.9 El Valor Promedio

Sea f continua en ba, , el valor medio ( o promedio ), ,medf de f en ba, es:

b

amed dxxf

abf )(

1

Ejemplo 1.13 Halle el valor promedio de f(x) = 3x

2 - 2x en el intervalo [1, 4]. Calculamos:

16)111664(3

1

2

2

3

3

3

1)23(

3

1)(

14

1

234

1

2

xxdxxxdxxf

abf

b

a

prom

Ejemplo 1.14 En los siguientes ejercicios encuentre el valor de z que satisfaga el Teorema del valor medio para

la integral definida. Emplee los siguientes resultados: 2

0

2 38dxx , 2

2

3 4)1( dxx

18


a) 2

0

2dxx . Solución:

2

0

2

0

22 )(2)02)(( zfdxxzfdxx , Pero

2

0

2 ;3/8)(2,3/8 zfdxx ,3/4)( zf

Esto es ,3/323/42 zz como 2,03/32

se toma 3/32z de tal modo que

)02)(3/32(2

0

2 fdxx

19


UNIDAD 2 TECNICAS DE INTEGRACIÓN

2.1 Regla de la sustitución simple o cambio de variable Sea g una función derivable y supóngase que F es una anti derivada de f., entonces

dxxgxgf )())((.

La sustitución o cambio de variable )(xgu

la transforma en duuf )( = F(u) = F(g(x)) +C

Ejemplo 2.1

Aplique el método de la sustitución simple par a evaluar las siguientes integrales

.a dxxxdxxx 21031032 3)1(3

1)1(

dxxduxu 23 31

Entonces

Cu

duudxxx 333

1)1(

11101032

Cxdxxx 1131032 )1(

33

1)1(

dtt

tb

3sec.

2

=

t

dtt

2

33sec

3

2 2

dtt

dutu2

33

Entonces

Cuududtt

t tan

3

2sec

3

23sec 22

ctdtt

t 3tan

3

23sec2

xdxd sec.

dxxx

xxxdx

xx

xxxxdx

tansec

tansecsec

tansec

)tan(secsecsec

2

dxxxxdu

xxu

)sectan(sec

tansec

2

Cuu

duxdx lnsec

cxxxdx tanseclnsec

20


2.2 Integración por partes Sean u y v funciones derivables e integrables entonces aplicando la regla del producto para derivar y posteriormente integrando a ambos lados obtenemos una fórmula para integral un producto de funciones

vduvuudv

vduudvvud

vduudvvud

.

).(

).(

Ejemplos 2.2 Usando l integración por partes evalúe las siguientes integrales

xsenxdxa.

xvsenxdxdv

dxduxu

cos

Aplicando la regla de por partes se obtiene

xdxxxxsenxdx coscos

csenxxxxsenxdx cos

xdxxb ln. 2

3

ln

32 x

vdxxdv

x

dxduxu

Aplicando la regla de por partes se obtiene

dxxxx

xdxx 23

2

3

1ln

3ln

cxxxxdxx 332

9

1ln

3

1ln

xdxxxc tansec.

xvxdxxdv

dxduxu

sectansec

xdxxxxdxxx secsectansec

cxxxxxdxxx tanseclnsectansec

dxxd cos.

21


Primero se realiza una sustitución simple

dxwdwxwxw 22

El integrando quedaría

wdwwdxx cos2cos

Aplicando integración por partes

senwvwdwdv

dwduwu

cos

Aplicando la regla de integración por partes se obtiene:

)cos(cos 1 cwwsenwsenwdwwsenwwdww

Y el resultado sería

cwwsenwcwwsenwdxx cos22))cos((2cos 1

Reemplazando xw , entonces:

cxxsenxdxx cos22cos

2.3 Integración de funciones trigonométricas En este apartado aprenderemos a integrar funciones que presentan potencias trigonométricas, es decir, funciones con alguna de las siguientes formas:

Caso: sen

mxcos

nx

-Si al menos uno de los exponentes es impar, se separa un término de la potencia impar se hace la sustitución con la función que no se separó el factor y se utiliza la identidad sen

2x + cos

2x = 1.

Ejemplo 2.3

xsenxdxxsenxdxxsenxdxxsenxdxxx

xsenxdxxxsenxdxxsenxdxxsena

642242

22222225

coscos2coscos)coscos21(

cos)cos1(cos)(cos.

Cuuuduuduuduu

senxdxdu

xu

753642

7

1

5

2

3

12

cos

cxxxxdxxsen 75325 cos

7

1cos

5

2cos

3

1cos

22


- Si ambos exponentes son pares se usan las identidades trigonométricas: Cos

2x = (1+cos2x)/2 y sen

2x =(1-cos2x)/2

Ejemplo 2.4

Cxsenxdxx

xdxsendxxdxxxdxxxsenb

1296

1

8

1)12cos1(

8

1

64

1)6cos1(

4

1)6cos1)(6cos1(

4

13cos3. 2222

cxsenxdxxxsen 1296

1

8

13cos3 22

Caso: tan

mx sec

nx

- Si el exponente de secx es par, se separa un factor sec

2x , se hace u=tanx , se utiliza la identidad

1+tan2x = sec

2x

Ejemplo 2.5

Cuu

duuduuduuu

xdxdu

xu

xdxxxxdxxxdxxxd

97)1(

sec

tan

sec)tan1(tansecsectansectan.

978626

2

22622646

cxxdxxx 7946 tan

7

1tan

9

1sectan

- Si el exponente de tanx es impar, se separa el factor sec x tanx y se hace u= secx. 2.4 Sustitución trigonométrica A menudo es posible hallar la antiderivada de una función cuando el integrando presenta expresiones de la forma:

222222 ;; auuaua . Siendo a una constante y u una función de x

Se elimina el radical haciendo la sustitución trigonométrica pertinente; el resultado es un integrando que contiene funciones trigonométricas cuya integración nos es familiar. Completa la siguiente tabla:

Expresión en el integrando Sustitución trigonométrica Radical se convierte

22 ua asenu cosa

22 ua tanau seca

22 au secau tana

23


Ejemplo 2.6 Usando una sustitución trigonométrica evalúe la integral

Solución

En este ejercicio la expresión dentro del radical es de la forma 22 ua ; por lo que la sustitución

debe ser:

ddx

senx

cos2

2

cx

x

xx

dx

Cddsenxx

dx

4

4

4

cot4

1csc

4

1

cos24

cos2

4

2

22

2

222

dzzz

b

2

)52(

1.

2

Solución

ddz

z

z

dzdz

zz

2

222

sec2

tan21

)4)1(()52(

12

Cz

zz

zdz

zz

Csendzzz

Csenddddzzz

2

1tan

16

1

)52(

1

8

1

)52(

1

cos16

1

16

1

)52(

1

232

1

16

1)2cos1(

16

1cos

8

1

sec16

sec2

)52(

1

1

22

2

2

4

2

2

2

2

2

cz

zz

zdz

zz

2

1tan

16

1

)52(

1

8

1

)52(

1 1

22 2

22 4

.xx

dxa

24


dxxsen

xsenc

9

2.

4

Solución: Primero debe realizarse una sustitución simple de la siguiente forma

xsenu 2 xdxsenduxdxsenxdu 2cos2

Por lo que la integral se transforma a 92u

du

Sea dduu tansec3sec3

Con estos datos construye el triangulo______________________

xu tan392

cxsenxsen

cuu

cdd

u

du

3

94

3

2

ln3

92

3lntanseclnsec

tan3

tansec3

92

2.5 Integración por fracciones parciales Veremos cómo integrar cualquier función racional expresándola como una suma de fracciones

más simple. Una función racional tiene la forma general )(

)(

xQ

xP donde P(x) y Q(x) son polinomios.

Las funciones racionales se clasifican en:

Impropias: Cuando el grado de P es mayor que el grado de Q, entonces se realiza la división entre P y Q hasta obtener un cociente C y un residuo R tal que el grado de R es menor que el grado de Q

)()(

)(

xQ

RC

xQ

xP donde R y Q son polinomios

Propias: Cuando el grado se P es menor que el grado de Q, entonces puede descomponerse en una suma de fracciones simples siempre que Q sea factorizable (factores lineales y cuadráticos) de las siguientes cuatro formas:

Factores lineales distintos

)()())((

)(

bx

B

ax

A

bxax

xP

Donde a, b, A y B son constantes

Factores lineales repetidos

nn ax

C

ax

B

ax

A

ax

xP

)(...

)()()(

)(2

Donde n es un entero positivo y a, A, B y C son

constantes

25


Factores cuadráticos distintos

)()())((

)(2222 dcx

DCx

bax

BAx

dcxbax

xP

donde a, b, c y d, A, B, C y D son constantes

Factores cuadráticos repetidos

nn bax

FEx

bax

DCx

bax

BAx

bax

xP

)(....

)()()(

)(22222

Donde n es un entero

positivo y a, b, A, B, C, D, E y F son constantes

Ten en cuenta que existe la combinación de las formas anteriores

Ejemplo 2.7 Evalúe las siguientes integrales

dx

xxa

249

1.

Es una función racional propia entonces el primer paso es factorizar el denominador y separar en

fracciones parciales así:

19)19(

12222

x

DCx

x

B

x

A

xx

Los coeficientes A, B, C y D se pueden encontrar de la siguiente manera:

Se multiplica cada término de la identidad por el mínimo común divisor 222 )()19()19(1 xDCxxBxxA

Se destruyen los paréntesis 2332 991 DxCxBxBxAAx

Se agrupan términos semejantes

ABxxDAxCB 23 )9()9(1 Se encuentran las ecuaciones para determinar coeficiente

1

0

09

09

A

B

DA

CB

Se resuelve el sistema y se obtiene

19

91

19

9001

)19(

1222222

xxx

x

xxxx

De tal manera que:

26


dxxx

dxxx

19

91

9

12224

Se integra y se obtiene

cxx

dxxx

3tan31

9

1 1

24

dxxx

xb 6.

2

2

Es una función racional impropia por lo que se realiza la división de polinomios y se reescribe de la forma: parte entera y fracción propia.

6

61

6 22

2

xx

x

xx

x

Para integrar la fracción propia se procede como en el ejemplo anterior

Se Factoriza el denominador y se separar en fracciones parciales

)2()3()2)(3(

6

x

B

x

A

xx

x

Los coeficientes A y B se pueden encontrar de la siguiente manera:

Se multiplica cada término de la identidad por el mínimo común divisor

)3()2(6 xBxAx

Se destruyen los paréntesis

)326 BBxAAxx

Se agrupan términos semejantes

)23()(6 ABxBAx Se encuentran las ecuaciones para determinar coeficiente

623

1

AB

BA

Se resuelve el sistema y se obtiene

)2(5

4

)3(5

9

)2)(3(

6

xxxx

x

De tal manera que:

)2(5

4

)3(5

9

62

2

x

dx

x

dxdxdx

xx

x

Se integra y se obtiene

Cxxxdxxx

x

)2ln(5

4)3ln(

5

9

62

2

27


UNIDAD 3 APLICACIÓN DE LA INTEGRAL

3.1 Área entre curvas

Si f y g son continuas en ba, y )(xg )(xf para todo x en ba, , entonces el

área de la región limitada por las gráficas de f y g y las líneas verticales ax y bx es

dxxgxfAb

a)()(

Es importante tener en cuenta que el desarrollo de la fórmula del área en el teorema anterior

depende solamente de la continuidad de f y g y del supuesto de que )(xg ).(xf No

depende de las posiciones de las gráficas de f y g con respecto al eje x .

Si las gráficas de las figuras se localizan por encima del eje x , podemos interpretar

geométricamente el área de la región entre las gráficas como el área de la región situada debajo de

la gráfica de f menos el área de la región situada debajo de la gráfica de g , como se muestra

en la figura.

Utilizaremos el mismo procedimiento que se usó para encontrar el área bajo una curva. Se aproximará el área entre las dos curvas haciendo una partición del intervalo [a,b] en n subintervalos de longitud (b-a)/n. En cada subintervalo escogemos un valor particular de x, al que llamaremos x*.

1. Evaluamos f(x*) y g(x*) y formamos rectángulos de base (b-a)/n y de altura f(x*)-g(x*) (si f(x*)>g(x*)).

2. El área de dicho rectángulo es (f(x*)-g(x*))((b-a)/n). Al sumar las áreas de los rectángulos obtenemos una aproximación al valor del área entre las curvas.

3. Tomando el límite cuando n--->Infinito obtendremos el valor exacto del área buscada. 4. Por definición, el límite de la sumatoria de Riemann es la integral definida de f(x)-g(x) en

[a,b]. 5. Si g(x)>f(x) en alguna parte del intervalo, entonces la altura de los rectángulos es g(x*)-

f(x*).

Ejemplo 3. 1

Hallar el área de la región limitada por las gráficas de 22)( xxf y .)( xxg

28


(Dos gráficas que se cortan)

Vemos que las gráficas f y g tienen dos puntos de intersección. Para hallar las coordenadas

x de estos puntos, igualamos )(xf con )(xg y despejamos a x .

22 x x

22 xx 0

012 xx

Por tanto 2a y 1b . Por ser )(xg )(xf en el intervalo 1,1 . Por tanto el área de

la región es:

2

942

3

82

2

1

3

12

232

1

2

2321

2

x

xxdxxxA

Ejemplo 3. 2

Hallar el área de la región limitada por las gráficas de 22 xy , xy , 0x y 1x .

(Región delimitada por dos gráficas que no se cortan)

Por el teorema mencionado anteriormente el área de la región es:

6

172

2

1

3

12

232)(2)()(

1

0

2321

0

21

0

x

xxdxxxdxxxdxxgxfA

b

a

Ejemplo 3.3

Calcular el área de la región situada entre las gráficas de 12)( 23 xxxxf y

.13)( 2 xxxg

29


Para hallar las coordenadas x de estos puntos, igualamos )(xf con )(xg y despejamos a x

.

12 23 xxx 132 xx

1132 223 xxxxx 0

022 xxx

012 xxx

Por tanto los puntos de corte son ,0x ,2x .1x

Podemos apreciar en la figura que )(xg )(xf en 0,1 , sin embargo las curvas se cruzan

en el punto 1,0 y )()( xgxf en 2,0 .

Entonces

dxxxxdxxxxdxxfxgdxxgxfA 22)()()()( 232

0

230

1

2

0

0

1

12

374

3

841

3

1

4

1

3434

2

0

234

0

1

234

xxx

xxx

Ejemplo 3. 4

Calcular el área de la región limitada por la gráficas de 23 yx y 1 xy Imaginemos que

rebanamos esta región en dirección vertical. Afrontamos el problema de que el límite inferior consta de dos curvas diferentes. Las rebanadas del extremo izquierdo se extienden de la rama inferior de la parábola a la recta. (ver figura)

30


x

y

( 1AR Rebanadas del extremo izquierdo)

Las rebanadas del extremo derecho se extienden de rama inferior de la parábola a su rama superior.(ver figura)

x

y

( 2AR Rebanadas del extremo derecho)

Resolver este problema con rebanadas verticales requiere que dividamos primero nuestra región en dos partes, formulemos una integral para cada parte y evaluemos después ambas integrales.

Primero necesitamos los puntos de intersección de estas dos curvas. Luego las coordenadas de estos puntos se pueden encontrar igualando las dos expresiones:

213 xx

123 2 xxx

03122 xxx

022 xx

31


012 xx

Por tanto los puntos de corte son ,2x .1x

Sea )(xf 1x y sea xxg 3)(

Podemos apreciar en la figura que )(xg )(xf en 3,1

Entonces

dxxgxfdxxgxfA ARAR )()()()(3

2

2

1 21

dxxxdxxx 33313

2

2

1

dxxxdxxx 33313

2

2

1

dxxdxxdxxdxx 3331

3

2

3

2

2

1

2

1

3

2

3

2

2

1

2

1

2

2

3

2

3

2

3

33

23

3

23

3

2

2xxxx

x

2

9

3

2

3

2

3

14

2

310

3

210

3

281

3

21

2

1

En general, para determinar el área entre dos curvas, hacemos:

dxAx

xabajo de curvaarriba de curva2

1 Rectángulos verticales

Si la gráfica de una función de y es el borde de una región, con frecuencia es conveniente usar

rectángulos representativos horizontales y calcular el área integrando respecto a y .

dyAy

yizquierda curvaderecha curva2

1 Rectángulos horizontales

Luego el ejercicio anterior se puede realizar de una manera más sencilla, es decir, tomando rectángulos representativos horizontales, así:

Estas curvas se cortan en ,2y .1y Como )(yf )(yg tenemos que:

1

2

2321

2

21

22

23213 y

yydyyydyyyA

2

94

2

2

3

82

2

1

3

1

Ejemplo 3. 5. Hallar el área de la región limitada por las gráficas de xxxxf 103)( 23 y

xxxg 2)( 2

f(x)= 3x3 - x

2 - 10x g(x)= - x

2 + 2x

32


Se encuentran los puntos de corte igualando las ecuaciones )()( xgxf

xxx 103 23 xx 22

0123 3 xx

0)2)(2(3 xxx

Entonces los puntos de corte son 0x , 2x y 2x

Para encontrar el área se tiene en cuenta los puntos de corte y por la gráfica se observa la curva que está por arriba y la que está por debajo, además se encuentran dos áreas asi:

2

0

232

0

2

223

21 )103()2()2()103( dxxxxxxdxxxxxxAAA

2

0

3

0

2

3 312123 dxxxdxxxA

A =0

3. 2 Volúmenes de Sólidos de Revolución

Al tratar de hallar el volumen de un sólido enfrentamos el mismo tipo de problema que el de buscar áreas. Este tipo de sólidos suele aparecer frecuentemente en ingeniería y en procesos de producción. Son ejemplos de sólidos de revolución: ejes, embudos, pilares, botellas y émbolos.

33


Si giramos una región del plano alrededor de una línea, el sólido resultante es conocido como sólido de revolución y la línea como eje de revolución.

3.2.1 Método de discos y arandelas

El más simple de los sólidos de revolución es el cilindro circular recto o disco, que se forma al girar un rectángulo alrededor de un eje adyacente a uno de los lados del rectángulo.

Para calcular el volumen de un sólido de revolución por el método de discos, se usa una de las siguientes fórmulas:

Eje horizontal de revolución Eje vertical de revolución

Volumen dxxRVb

a

2)( Volumen dyyRV

d

c

2)(

Si la región limitada por un semicírculo y su diámetro gira en torno a éste, genera un sólido esférico. Si la región interior de un triángulo rectángulo gira alrededor de uno de sus catetos, genera un sólido cónico. Cuando una región circular gira alrededor de una recta en un plano que no intercepta al círculo genera un toro (o una dona). En cada caso, es posible representar el volumen como una integral definida.

Ejemplo 3.6

Hallar el volumen de un sólido formado al girar la región limitada por la gráfica de xxf sin)(

y el eje x x0 alrededor del eje x.

(Región plana)

Del rectángulo representativo de la figura anterior se observa que el radio de este sólido viene dado por:

xxfxR sin)()(

y se sigue que su volumen es:

dxxRVb

a

2)( dxx

2

0sin

211cossin 00

xxdx

Sólido de revolución

34


Ejemplo 3.7

Hallar el volumen del sólido generado por la rotación de la región limitada por la curva 3xy el

eje de las y y la recta 3y en torno al eje de las y .

(Región plana)

Aquí rebanamos horizontalmente, lo que hace que y sea la elección apropiada para la variable de

integración. Observe que 3xy equivale a 3 yx . Luego la integral quedaría:

dyyV2

3

03

1

5

99

5

3 33

0

3

5

dyy

3.2.2 Método de cascarones cilíndricos

Hay otro método para encontrar el volumen de un sólido de revolución: el método de cascarones cilíndricos o envolventes. En muchos casos, es mejor utilizar los métodos vistos anteriormente (discos y arandelas)

Un cascarón cilíndrico es un sólido limitado por dos cilindros circulares rectos concéntricos. Si el

radio interior es r1 , el exterior es r2 y la altura es h , entonces el volumen está dado por:

1221212

2

1

2

2122alturabase la de área rrhhrrrrhrrVrr

Por

tanto:

grosoralturamedio radio2V

rrhV 2

Ejemplo 3.8

La región limitada por xy /1 , el eje de las x , 1x , 4x gira alrededor del eje de las x

Encuentre el volumen del sólido resultante.

35


32.292223

284

1324

114

12

3

2

1

xdxxdxxVx

3.2.3 Volumen por Secciones Transversales

Hasta aquí los sólidos vistos han tenido secciones transversales circulares. Sin embargo, nuestro método funciona también para sólidos cuya sección transversal son cuadrados o triángulos. En realidad lo único que se necesita es calcular el área de la sección trasversal.

Ejemplo 3.9

La base de un sólido es la región plana del primer cuadrante limitada por 4

2

1 xy , el eje de las

x y el eje de las y. Suponga que las secciones transversales perpendiculares al eje de las x

son cuadradas. Encuentre el volumen del sólido.

Cuando rebanamos este sólido mediante planos perpendiculares al eje de las x , se obtienen

delgadas cajas cuadradas.

36


07.115

16

80

32

6

82

8061621

2

0

53422

0

xxxdx

xxV

Ejemplo 3.10

La base de un sólido es la región comprendida entre el arco de xy sin y el eje de las x .

Cada sección transversal perpendicular al eje de las x es un triángulo equilátero apoyado sobre

su base. Encuentre el volumen del sólido.

Necesitamos conocer el área del triángulo equilátero. Entonces supongamos que u es el lado del

triángulo equilátero, luego el área va a ser igual a 3u2 /4 (veamos en la figura)

4/33 2

412

2

3

21 uuuuA

37


Para realizar la integración indicada, usamos la fórmula de ángulo medio 2/2cos1sin 2 xx

dxxdxdxuV x2

2cos104

32

04

32

04

3 sin

dxxxdx 2cos1sin08

32

04

3

xdxdx 2cos102

108

3

021

8

3 2sin xx

68.08

3

38


UNIDAD 4 COORDENADAS POLARES

Definición 4.1 Sistema de coordenadas polares

Las coordenadas polares o sistemas polares son un sistema de coordenadas bidimensional en el cual cada punto del plano se determina por un ángulo ϴ y una distancia r

4.2 Representación de Puntos en el Plano Polar

Se traza una circunferencia de radio r y centro O, se dibuja el ángulo ϴ, con lado inicial el eje polar. El punto de intersección de la circunferencia y el lado terminal del ángulo ϴ, corresponde al punto de coordenadas P(r, ϴ)

Ejemplos 4.1

a) El punto (3, 60º) indica que está a una distancia de 3 unidades desde O, medidas con un ángulo de 60º sobre OL.

b) El punto (4, 210º) indica que está a una distancia de 4 unidades desde O y un ángulo de 210º sobre OL.

http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_coordenadas

http://es.wikipedia.org/wiki/Bidimensional

http://es.wikipedia.org/wiki/Punto_%28geometr%C3%ADa%29

http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulo

http://es.wikipedia.org/wiki/Distancia

39


4. 3 Coordenadas Polares y Cartesianas

A partir de la siguiente gráfica podemos establecer las relaciones que se establecen entre la representación en coordenadas cartesianas y polares.

a)

b)

c)

d)

Ejemplos 4.2

a) El punto en coordenadas polares P (2, 30º) convertirlo a coordenadas cartesianas

x= 2 cos 30º, x= 1,7 y= 2 sen30º, y = 1 b) El punto en coordenadas cartesianas P (1, -2) r= ((1)

2 + 2

2)

½ r= 2.2

ϴ = tan

-1 (-2/1) = -63.4°

4.4 Ecuaciones polares Se le llama ecuación polar a la ecuación r = f (ϴ) que define una curva expresada en coordenadas polares. La curva resultante consiste en una serie de puntos en la forma ( (θ), θ) y se puede representar

http://es.wikipedia.org/wiki/Curva

40


como la gráfica de una función . Ejemplos 4.3 a) Circunferencias: r= asen ϴ; r = acos ϴ¸ b) Cardioides: r= a+b sen ϴ ; r= a+b cos ϴ c) rosas: r= asenk ϴ ; r= acos k ϴ Para hacer la representación gráfica de una curva se hace una tabla de algunas coordenadas y se representan los puntos en el plano polar.

ϴ

r= sen2 ϴ

0 0

45° 1

90° 0

135° -1

180° 0

225° 1

270° 0

315° -1

360° 0

La gráfica obtenida es:

http://es.wikipedia.org/wiki/Gr%C3%A1fica_de_una_funci%C3%B3n

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4.5 Área de curvas polares

Sea R una región del plano delimitada por la curva continua r(θ) y las semirrectas θ = a y θ = b, donde 0 < b − a < 2π. Entonces, el área de R viene dado por

l intervalo [a, b] se divide en n subintervalos, donde n es un entero positivo cualquiera. Por lo tanto Δθ, la longitud de cada subintervalo, es igual a b − a (la longitud total del intervalo) dividido por n (el número de subintervalos). Para cada subintervalo i = 1, 2, …, n, sea θi su punto medio. Se puede construir un sector circular con centro en el polo, radio r(θi), ángulo central Δθ y longitud de arco

. El área de cada sector es entonces igual a

.

Por lo tanto, el área total de todos los sectores es

En el límite, cuando n → ∞, converge en la integral

Ejemplos 4.4

a) hallar el área de la región encerrada por la curva r= sen 2 θ , como la gráfica está formada por 4 pétalos, hallamos el área de un pétalo y lo multiplicamos por 4.

http://es.wikipedia.org/wiki/Sector_circular

42


El área es igual a 1.57 unidades cuadradas.

b. Hallar el área dentro de la curva r= 2 y fuera de la curva r= 1+senϴ

- Hallamos el punto de corte de las curvas igualando las ecuaciones:

2= 1+senϴ, se tiene que senϴ = 1 por tanto ϴ= π/2

43


BIBLIOGRAFÍA

LARSON, Edwards, Cálculo Sexta Edición. España: McGraw Hill, 1998.

PURCELL, Vargerg Rigdon. Cálculo Novena Edición. México: Pearson Hill Educación, 2007.

STEWART, James. Cálculo Trascendente Temprano, Sexta Edición. México: Cengage Learning, 2008.

APUNTES DOCENTES DE CÁLCULO INTEGRAL

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