MATEMÁTICA FINANCIERAAPUNTES EN CLASE

PROFESOR: MARTÍN ARZUZA ARZUZA

1 LA MATEMÁTICA FINANCIERA COMO HERRAMIENTA DE DECISIÓN.

Quienes tienen la responsabilidad de administrar dinero, no pueden marginarse del estudio de la MATEMÁTICA FINANCIERA, disciplina que le ofrece los fundamentos necesarios para tomar las mejores decisiones cuando le corresponda aprovechar una oportunidad de negocio, invertir excedentes de tesorería, obtener recursos para invertir en un proyecto u obtener financiamiento para cubrir el déficit del flujo de caja.

A través del manejo de conceptos, relaciones entre variables, procedimientos matemáticos y uso de la tecnología, se logran resultados o cifras con las cuales el interesado en resolver una situación de crédito o inversión se llena de razones para actuar.

2 SITUACIONES DE ESTUDIO.

Toda situación tratada en el módulo que nos ocupa, está relacionada de alguna manera con inversión, financiamiento y / o equivalencia entre tasas de interés.

La inversión contempla la colocación de excedentes en alternativas tales como: fondos, títulos valores o actividades empresariales; en tanto que las de financiamiento, comprenden: crédito en dinero, crédito en especie y refinanciación.

3 VARIABLES, CONCEPTOS Y FÓRMULAS INHERENTES A LAS OPERACIONES DE INVERSIÓN Y CRÉDITO.

3.1 VARIABLES BÁSICAS.

Son las variables propias de la inversión y el financiamiento, tales como capital o valor presente (P), número de períodos o cuotas (n), número de períodos por año (m), tasa de interés efectiva periódica (i), tasa nominal (j), valor futuro (F), cuota o pago (A), crecimiento en pesos de una cuota (G), crecimiento en tasa de cuotas (K). Estas son las que denominaremos variables básicas.

3.1.1 CAPITAL O VALOR PRESENTE. Simbolizado por P, corresponde al monto cedido por el inversionista o acreedor al deudor, al comienzo de la operación.

También representa el total en el cual se convierte un valor antes de la fecha de su vencimiento, descontado a una tasa de interés(i), durante un número de períodos(n).

3.1.2 NÚMERO DE PERÍODOS O NÚMERO DE CUOTAS. Simbolizado por n, se refiere a la cantidad de períodos durante los cuales permanece expuesto un capital a una tasa de interés para convertirse al cabo de ese tiempo en un valor futuro. También se utiliza para simbolizar el número de cuotas o valores periódicos involucrados en una negociación.

3.1.3 NÚMERO DE PERÍODOS POR AÑO. Simbolizado por m, es una variable indispensable en la relación entre una tasa nominal y una efectiva.

Si los períodos de capitalización son diarios, m vale 360 o 365 según la base acordada; si son mensuales, m vale 12; si son trimestrales, m vale 4; si son semestrales, m vale 2; si son anuales, m vale 1.

3.1.4 TASA DE INTERÉS. Se le considera el pago por el uso del dinero que realiza un deudor a su acreedor. Toda tasa pactada lleva consigo tres características: Presentación (Nominal o efectiva), periodicidad (diaria, mensual, trimestral,...) y vencimiento (anticipada o vencida)

3.1.5 TASA DE INTERÉS EFECTIVA APLICADA POR PERÍODO O PERIÓDICA. Simbolizada por i, es la variable central, responsable de la equivalencia entre valores con diferentes fechas de vencimiento, la cual implica costo para el deudor y rendimiento para el acreedor.

La tasa de interés efectiva periódica traduce la cantidad de dinero reconocido por el deudor a su acreedor por cada $100 que utiliza durante un período.

3.1.6 TASA NOMINAL. Simbolizada por j, es otra forma de presentar la tasa de interés, en términos del promedio anual de la efectiva periódica; de esta manera, el 2% efectivo mensual es equivalente al 24% nominal capitalizable mensualmente.

La relación entre la nominal y la efectiva periódica está dada por: j=m*i (1)

3.1.7VALOR FUTURO. Simbolizado por F. Se considera valor futuro al valor en el cual se convierte un capital (p), colocado a una tasa de interés efectiva periódica (i), durante un número de períodos(n). F = P + I

3.1.8 CUOTA O PAGO. Simbolizado por A. Se entiende como el valor de una serie de cuotas o pagos iguales y periódicos, llamada anualidad. También se emplea para designar el valor de la primera cuota o pago, de una serie de cuotas o pagos variables con comportamiento periódico de progresión aritmética o geométrica.

3.1.9 DIFERENCIA. Simbolizada por G. Denota la suma en que crece o disminuye una serie de cuotas, llamada gradiente aritmético. G es positivo si la serie es creciente y negativo si es decreciente. Cada cuota a partir de la segunda es la diferencia sumada a su anterior; por lo tanto, para que una serie sea gradiente aritmético debe cumplirse que An – An-1 = An-1 – An-2

3.1.10 TASA DE CRECIMIENTO. Simbolizada por K. Se conoce así al crecimiento porcentual que sufre una serie de cuotas, llamada gradiente geométrico. Si K es positivo la serie es creciente y si es negativo la serie es decreciente.

3.1.11 RAZÓN. Simbolizada por 1 + K. Es en el gradiente geométrico el resultado del cociente entre una cuota y su anterior, por lo que cualquier cuota a partir de la segunda se obtiene multiplicando su anterior por 1 + K. Debe cumplirse entonces que An / An-1 = An-1 / An-2

3.2 CONCEPTOS BÁSICOS.

3.2.1 VALOR ÚNICO. Un valor aislado, que no pertenezca a una serie, se le llama valor único o independiente y puede hacer las veces de presente cuando se traslada al futuro o de futuro cuando se traslada al presente.

3.2.2 SERIES DE VALORES. Las operaciones definidas como de inversión y crédito se pactan con cuotas independientes, anualidades y / o gradientes, estas dos últimas pueden ser: Diferidas, vencidas, anticipadas o perpetuas. Al trasladar estos valores en el tiempo se

requiere el empleo de equivalencias entre las cuotas y un valor futuro o un valor presente.

3.2.3 ANUALIDADES. Serie de cuotas uniformes y periódicas.

Se emplean mucho en créditos donde el sistema de amortización determina un pago fijo periódico, mediante el cual en la medida en que se abona al capital el interés disminuye. En la constitución de fondos de amortización se utiliza cuando se decide hacer depósitos periódicos de un mismo valor a fin de reunir una suma determinada al cabo de algún tiempo.

3.2.4 GRADIENTE. Serie de cuotas variables y periódicas con comportamiento de progresión aritmética o Geométrica.

3.2.4.1GRADIENTE ARITMÉTICO. Serie de cuotas variables y periódicas que crecen o disminuyen en una suma fija g.

3.2.4.2GRADIENTE GEOMÉTRICO. Serie de cuotas variables y periódicas que crecen o disminuyen en una tasa fija k.

3.2.5 PERPETUIDADES. Series que pueden ser anualidades o gradientes y se caracterizan por un número de cuotas indeterminado o tan grande que se asume tiende a infinito.

3.2.6 SERIES VENCIDAS. A las anualidades y los gradientes se les llama vencidos cuando sus cuotas vencen al final de cada período.

ANUALIDADES VENCIDAS

0 1 2 3 n-1 n (número del período) 1 2 3 n-1 n (número de la cuota) ------------ A ----------

GRADIENTES ARITMÉTICOS VENCIDOS

0 1 2 3 n-1 n (número del período) 1 2 3 n-1 n (número de la cuota)

3.2.7 SERIES ANTICIPADAS. Cuando las cuotas de una serie vencen al comienzo de cada período, se les denomina anualidades o gradientes anticipados según el caso.

ANUALIDADES ANTICIPADAS

0 1 2 3 n-1 n (número del período) 1 2 3 4 n (número de la cuota) ------------ A ----------

GRADIENTES ANTICIPADOS

0 1 2 n-1 n (número del período) 1 2 3 n (número de la cuota)

3.2.8 SERIES DIFERIDAS. Se refiere a los casos en los cuales la primera cuota de la serie vence en fecha posterior al final del primer período. De ser así se les conoce como anualidades o gradientes diferidos.

ANUALIDADES DIFERIDAS

0 1 2 3 n (número del período) 1 n-3 n-2 (número de la cuota) ------- A ------

GRADIENTES DIFERIDOS

0 1 2 3 n-1 n (número del período) 1 2 n-2 n-1 (número de la cuota)

4 TASAS EQUIVALENTES

Dos tasas son equivalentes, si al actuar sobre un mismo capital y durante un mismo período, producen un mismo valor futuro.

Al comparar tasas para elegir entre varias, se requiere unificarlas en sus tres características como son:

a. PRESENTACIÓN. Las tasas pueden pactarse de dos formas en cuanto a su presentación: nominales o efectivas.

b. PERIODICIDAD. En una negociación, la periodicidad de la tasa indica cada cuánto tiempo el interés se convierte en capital. Entonces puede ser diaria, mensual, bimestral, trimestral, etc.

c. VENCIMIENTO. Al efectuar una transacción donde se da valor al dinero en el tiempo, la tasa podrá negociarse con pago de intereses anticipados o vencidos.

Se pueden encontrar dos tasas que tengan diferente presentación (nominal y efectiva), o diferente periodicidad (Mensual y trimestral), o diferente vencimiento (vencida y anticipada) y que produzcan el mismo efecto, resultando indiferente invertir a la una o a la otra.

Es de mucha utilidad conocer cómo se cambian las características de una tasa, ya que para poder comparar dos de ellas, se requiere que estén dadas con las mismas características de presentación, periodicidad y vencimiento.

4.1 CAMBIO DE UNA CARACTERÍSTICA EN LA TASA.

Al utilizar una de las siguientes fórmulas para cambiar una característica a una tasa de interés, tenga presente que éstas fórmulas solo le cambian una y solo una característica.

4.1.1 PRESENTACION. Las tasas pueden ser presentadas nominal o efectiva y se debe aprender a reconocerla de acuerdo con la expresión utilizada.

4.1.1.1EXPRESIONES QUE DEFINEN LAS TASAS NOMINAL Y EFECTIVA.

Es conveniente, antes de conocer las estructuras empleadas para enunciar una tasa nominal o una tasa efectiva, recordar que cada tasa de interés pactada lleva consigo tres propiedades como son: PRESENTACION (Nominal o efectiva), PERIODICIDAD (Diaria, mensual, trimestral, etc.) Y VENCIMIENTO (Anticipada o vencida).

4.1.1.1.1 EXPRESIONES UTILIZADAS EN LA TASA NOMINAL:a) 36% nominal anual, capitalizable mensualmente.b) 36% nominal capitalizable mensualmente.c) 36% capitalizable mensualmente.d) 36% convertible mensualmente.e) 36% liquidable mensualmentef) 36% AMV; 36% ASV; 40% ATA; 38% ATV.g) 36% MV; 36% SA; 30% MA.

4.1.1.1.2 EXPRESIONES EMPLEADAS PARA ENUNCIAR LA TASA EFECTIVA:

a) 2% efectiva mensual.b) 2% mensualc) 2% EM

El cambio de presentación utiliza las siguientes fórmulas:J = m * i; i = J / m. Donde i es la tasa efectiva y J es la tasa nominal. EJEMPLO: Qué tasa trimestral es equivalente al 36% ATV?.

SOLUCION: i = 0.36 / 4 = 0.09 = 9% trim.

Esta fórmula también es válida para cambiar de presentación a las anticipadas.

4.1.2 PERIODICIDAD, Utiliza la siguiente fórmula: if = (1 + i0)(m0 / mf) – 1. Donde if es la tasa efectiva vencida a calcular con nueva periodicidad; mf es el número de capitalizaciones en un año de esa tasa final a calcular; i0 es la tasa efectiva vencida a la que se va a cambiar la periodicidad, y m0 es el número de capitalizaciones de i0. EJEMPLO:

Qué tasa mensual es equivalente al 15% semestral? SOLUCION: i1 = 1.15(2 / 12) – 1 = 0.023567 mensual.

EL CAMBIO DE PERIODICIDAD SOLO SE DA ENTRE TASAS EFECTIVAS VENCIDAS.

4.1.3 VENCIMIENTO, Utiliza las siguientes fórmulas:

ia = i / (1 + i); i = ia / (1 - ia)

EJEMPLO: Qué tasa semestral vencida es equivalente al 42% ATA?

SOLUCION: ia = 0.42 / 4 = 0.105 trimestral. i =0.105/(1-0.105) = 0.117318435trim. i1 = 1.1173184354/2 – 1 = 0.2484 semestral.

NOTA: EN UNA EXPRESION DONDE NO SE DIGA QUE LA TASA ES ANTICIPADA SE DEBE ENTENDER COMO VENCIDA.

5 MODALIDADES DE CÁLCULO EN OPERACIONES DONDE SE DA VALOR AL DINERO EN EL TIEMPO.

5.1 INTERES SIMPLE. Se caracteriza porque el capital permanece constante durante toda la operación. Esta modalidad ha perdido vigencia en las operaciones del mercado financiero, pues ningún inversionista está dispuesto a pactar intereses donde el deudor los utilice sin reconocer pago por ello.

5.2 INTERES COMPUESTO. A diferencia del simple, el interés se convierte en capital periódicamente. Es este el modo de cálculo más frecuente en las operaciones del mercado financiero Colombiano.

5.3 FÓRMULAS BÁSICAS.

La relación entre las variables tiene su fundamento en el principio del valor del dinero en el tiempo, principio que conviene explicar.

VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO. La equivalencia entre valores con distintas fechas de vencimiento se apoya en el siguiente razonamiento: Cuando un inversionista se desprende de su dinero, lo hace motivado por la oportunidad de recibir una cantidad adicional como compensación por el riesgo asumido cuando lo deja en manos de su deudor. El costo del dinero nace entonces de la necesidad que de él tienen, demandantes dispuestos a pagar por el uso de excedentes que poseen los oferentes. Explica este concepto la razón de ser de las matemáticas financieras, es el fundamento o naturaleza de las transacciones relacionadas con la inversión y el crédito. Es el valor del dinero en el tiempo lo que permite establecer la equivalencia entre valores con distintas fechas de vencimiento.

Atendiendo la característica que se pacta en la operación, según sea a Interés Simple o a Interés Compuesto, las fórmulas relacionan las variables de la siguiente forma:

5.3.1 A interés simple: Si un valor P se coloca a una tasa de interés simple i durante n períodos, el P se convertirá en un valor futuro F de tal forma que: F = P(1+i*n)

La fórmula del valor futuro F, le suman intereses al valor P, pero en casos donde se hace necesario descontar y no sumar los intereses, por ejemplo, cuando un deudor decide cancelar antes del vencimiento su obligación, se requiere trabajar con una fórmula diferente donde se descuenten los intereses. Para esos casos se aplicará la fórmula de valor presente P como resultado de despejar a P en la fórmula de F: Entonces P = F( 1 + i*n )-1

Al requerir la tasa de interés, conociendo el valor P y el valor F en el cual se ha convertido P al cabo de n períodos, la fórmula a emplear será:I = (F / P-1) / n

Cuando la incógnita es el número de períodos se aplica: n = (F / P – 1) / i

5.3.2 A interés compuesto: Si un valor P se coloca a una tasa de interés compuesto i durante n períodos, el P se convertirá en un valor futuro F de tal forma que: F = P(1+i)n Esta fórmula se encuentra entre las funciones financieras de Excel y que se invoca por fx como VF

Cuando se descuenten intereses al trasladar un valor futuro al presente, se aplicará la fórmula de valor presente P que surge como resultado de despejar a P en la fórmula de F: Entonces P = F(1+i)-1

Esta fórmula se encuentra entre las funciones financieras de Excel y que se invoca por fx como VASi lo que pretendemos es la tasa de interés en una operación de una sola entrada y una sola salida (Diagramas Simples), conociendo el número de períodos n, el valor P y el valor F, la fórmula a emplear será:i = (F / P)(1 / n) – 1 Esta fórmula se encuentra entre las funciones financieras de Excel y que se invoca por fx como TASA

Para cuando la incógnita sea el número de períodos en una operación de diagrama simple, conociendo la tasa de interés i, el valor P y el valor F, la fórmula a aplicar será: n = Log (F/P) / Log (1+i)Esta fórmula se encuentra entre las funciones financieras de Excel y que se invoca por fx como NPER

Las fórmulas a Interés Simple no se encuentran como funciones de Excel, sin embargo, es posible personalizarlas, siguiendo las siguientes instrucciones:

5.3.3 CÓMO PERSONALIZAR UNA FUNCIÓN EN EXCEL

Paso uno: Se selecciona una celda vacía en la hoja de cálculo, verificándose que no esté activado el cursor de la edición.Paso dos: Simultáneamente se pulsan las teclas de ALT y F11.Paso tres: Una vez se esté en el editor, se hace clic en INSERTAR, MÓDULO.Paso cuatro: Se introduce la función en el módulo, digitándola de acuerdo con la siguiente estructura:

FUNCTION NOMBREDELAFUNCION(VARIABLE1,VARIABLE2,VARIABLE3,....) NOMBREDELAFUNCION=FORMULAEND FUNCTION

A fin de no cometer errores en la programación, tenga en cuenta las siguientes OBSERVACIONES:

a) El NOMBREDELAFUNCION debe ser el mismo tanto en la definición como en la fórmula.

b) El operador de una multiplicación en la fórmula debe mostrarse con asterisco. Los solos paréntesis no le indican a Excel que se trata de una multiplicación por lo que deberá registrarse el operador * indicando así producto.

c) Se debe verificar igual número de paréntesis que abran y cierren.d) De acuerdo a la configuración del equipo, los argumentos o variables

independientes (VARIABLE1,VARIABLE2,VARIABLE3,……..) se separan con comas o con punto y coma (si se hace con coma y la configuración exige punto y coma, se registrará un error, igual que si la configuración exige separar con coma y se hace con punto y coma).

e) La función se puede introducir en mayúsculas o minúsculas.f) Al presionar el Enter, luego de cerrar el paréntesis donde se han

indicado los argumentos o variables independientes, debe aparecer automáticamente el cierre de la estructura con la expresión: End Function; en caso contrario significa que hay error en la sintaxis.

g) La fórmula debe registrarse entre FUNCTION y END FUNCTION.h) Una vez escrita la fórmula no se recomienda Enter pero sí, click en

Cerrar y volver a Microsoft Excel en el menú Archivo o hacer click en el botón de Excel que se señala en la parte inferior de la pantalla.

i) La función quedará grabada una vez guarde el libro de Excel donde ella se encuentre.

j) Para invocar o trabajar con una función personalizada, se debe llegar a la ventana de insertar función y elegir en categoría las definidas por

el usuario y luego en el área de la derecha de la ventana, escoger la función que nos interesa.

k) Al abrir un libro que contiene funciones personalizadas inmediatamente se debe aparecer una ventana donde se nos pregunta si se va a habilitar o deshabilitar las macros que contiene; entonces para trabajar con las funciones personalizadas contenidas, se deberá pulsar habilitar macros.

l) En el menú herramientas se debe verificar que en MACROS, el nivel de seguridad sea medio para evitar que al abrir el libro del archivo, no pueda mostrar las funciones personalizadas.

m) Para poder habilitar las macros contenidas en el libro, el nivel de seguridad del equipo no deberá ser ni alto ni muy alto.

n) Los errores más frecuentes son los siguientes:

1. La estructura no está bien definida: Ej: La función no es reconocida si se edita FUNTCION en vez de FUNCTION.

2. Existencia de otra función con el mismo nombre.3. El número de paréntesis que cierran no es el mismo de los que

abren.4. Se ha repetido la función en el módulo o en módulos diferentes.5. El nombre de la función no es el mismo en la definición y en la

fórmula. 6. Falta algún operador. 7. La fórmula no ha sido copiada correctamente.

Cuando se ha producido un error, al llamar la función, esta no devuelve valor alguno o no devuelve el valor correcto, se deberá regresar al módulo para realizar las correcciones y luego en el menú se hace clic en EJECUTAR, RESTABLECER y entonces sí se podrá emplear la función.

5.4 FÓRMULAS BÁSICAS A INTERÉS COMPUESTO SOBRE EQUIVALENCIAS ENTRE VALORES.

F = P*(1+i) n Futuro de un presente

P = F*(1+i) - n Presente de un futuro

F = A*[(1+i) n -1] / i Futuro de una anualidad vencida

P = A*[1-(1+i) - n]/ i Presente de una anualidad vencida

F = {A*[(1+i) n -1]/ i }*(1+i) Futuro de una anualidad anticipada

P = {A*[1-(1+i) - n]/ i }(1+i) Presente de una anualidad anticipada

P = A / i Presente de una anualidad perpetua vencida

P = (A / i)*(1 + i) Presente de una anualidad perpetua anticipada

F = A*[(1+i)n-1]/ i + G/ i*{[(1+i)n-1]/ i - n} Futuro de un gradiente aritmético vencido

P = A*[1-(1+i ) - n]/i + G/ i*{[1-(1+i) - n]/ i – n / (1+i) n} Presente de un gradiente aritmético vencido

F = {A*[(1+ i) n –1]/i + G/ i*{[(1+ i)n -1]/ i - n}}*(1 + i) Futuro de un gradiente aritmético anticipado

P = {A*[1-(1+i ) - n]/ i+G/ i*{[1-(1+i )-n]/ I - n/(1+i ) n

}}*(1+i)Presente de un gradiente

aritmético anticipadoP = 1/i*(A+G/ i ) Presente de un gradiente

aritmético perpetuo vencidoP = 1/ i*(A+G/ i)*(1+ i) Presente de un gradiente

aritmético perpetuo anticipadoF = A*[(1+i)n - (1+k) n] / (i - k) Futuro de un gradiente

geométrico vencido si:(i<>K)F = n*A*(1+i) n-1 Futuro de un gradiente

geométrico vencido si:(i=K)P = A*{1 - [(1+k)/(1+i)] n}/(i - k) Presente de un gradiente

geométrico vencido si:(i<>K)P = n*A/(1+ i) Presente de un gradiente

geométrico vencido si:(i=K)F = {A*[(1+i) n - (1+k) n] / (i - k)}*(1+ i) Futuro de un gradiente

geométrico anticipado si:(i<>K)F = n*A*(1+i) n Futuro de un gradiente

geométrico anticipado si:(i=K)P = A*{1 - [(1+k)/(1+i)] n}*(1+ i) Presente de un gradiente

geométrico anticipado si:(i<>K)P = n*A Presente de un gradiente

geométrico anticipado si:(i=K)

P = A/(i – k)Presente de un gradiente

geométrico perpetuo vencido si:(i>K)

P = A/(i - k)(1+ i)Presente de un gradiente

geométrico perpetuo anticipado si:(i>K)

6 TRASLADO DE VALORES EN EL TIEMPO.

6.1 ECUACIONES DE VALORLa ecuación de valor es un mecanismo facilitador de los cálculos, planteada para equilibrar dos conjuntos de valores en una fecha llamada FECHA FOCAL, a fin de que exista conformidad entre las partes que intervienen en la transacción (deudor y acreedor).

Hoy Excel trae consigo una función (Buscar Objetivo), con la que es posible resolver de manera rápida, sencilla y con exactitud, casos que en el pasado resultaban ser lentos, complejos y con posibilidad de error significativa. Para ello, se requiere trabajar con tablas de amortización para crédito y de fondos de amortización para inversión.

7 TABLAS DE AMORTIZACIÓN Y DE FONDOS DE AMORTIZACIÓN.

7.1 TABLAS DE AMORTIZACIÓN. Muestran los cambios generados por período, en cuanto a intereses vencidos, abonos a capital y saldos finales; además de convertirse en objeto de control, es de gran ayuda para los asientos contables, donde se deben especificar la parte de gasto por intereses y de pago de pasivos que de la cuota se destina a cada uno.

A continuación se muestra una tabla de amortización en Excel, indicándose en ella la manera como debe formularse cada celda.

UN CASO DE CRÉDITO: Un activo vale de contado $4,000,000 y se financia para pagar con cantidades iguales en los meses 8, 10 y 15, reconociendo un interés del 4% ETV. Calcule el valor de las cuotas.

La primera fase comprende la formulación del caso planteado en la

siguiente tabla, donde: a) los períodos van del cero al quince, b) los

intereses se obtienen por la multiplicación de la tasa con el saldo

anterior, c) las cuotas o pagos que corresponden a cifras iguales, se

formulan a partir de la primera de ellas como celda incógnita,

identificándola con color, y luego las restantes con la misma dirección

de la señalada como incógnita para que concluido el proceso, asuma

el mismo valor de la celda incógnita, d) los abonos a capital son

calculados como lo que resta de la cuota, después de cancelar los

intereses del período, y e) el saldo del período cero se indica como el

valor adeudado por quien se beneficia del crédito en el inicio de la

transacción, que para el caso es de $4,000,000; a partir del período

uno, el saldo será la diferencia entre el saldo con el cual arrancó el

período, o saldo anterior, y el abono de capital del período.

Haciendo uso de los trucos de Excel en el copiado, la formulación de

las columnas, excepto la de las cuotas que es particular en cada

ejercicio, se copia hasta el último de los períodos.

Como resultado de esta formulación la tabla mostrará los siguientes

valores:

Estando ubicados en la celda: saldo del último período, se invoca

la función buscar objetivo (en Windows XP se encuentra en el

menú, herramientas; en Windows Vista en el menú Datos, Análisis y

Si), con lo cual aparece la siguiente ventana de diálogo:

Inicialmente la ventana nos pregunta qué celda se va a definir; sin

embargo, ella misma sugiere sombreada, la celda donde nos

encontramos (la del saldo del último período) y como es esa

precisamente la celda a definir, se pasa al campo siguiente: “con el valor” donde se registra el valor 0, pues el saldo del último período

deberá alcanzar ese valor una vez se cancele la última de las cuotas.

En el siguiente campo “para cambiar la celda” se indica la dirección

de la celda incógnita, la cual se recordará como la celda de color.

Por último, al pulsar el botón de aceptar dos veces,

instantáneamente la hoja de cálculo mostrará en la celda color el

resultado.

Nótese que este resultado es exactamente igual al obtenido con las

fórmulas.

7.2 TABLAS DE FONDO DE AMORTIZACIÓN. Revelan las variaciones producidas por período en los intereses devengados por una inversión, los depósitos, los retiros y los saldos finales.

Obsérvese en la siguiente imagen la formulación de una tabla de fondo de amortización:

UN CASO DE INVERSIÓN: Establezca un fondo de amortización con

tres depósitos trimestrales iguales y anticipados, para de allí realizar

dos retiros así: $1.000.000 en el mes dos y $2.000.000 en el mes seis.

Calcule el valor de los depósitos para una tasa de interés del 24% MV.

A continuación se muestra con pantallazos la solución al caso

propuesto, inicialmente mostrando cómo se formula en la tabla y luego

cómo se realiza el cálculo en la misma.

Obsérvese cómo se construye cada columna, a partir de su formulación

en la tabla del fondo de amortización, de acuerdo a la información del

caso en estudio:

:

Nótense los seis períodos, empezando siempre con la fecha cero; el

interés en la inversión, formulándose de igual manera que en el crédito:

tasa por saldo de período anterior; los depósitos y retiros en orden a la

información del caso; el saldo inicial igualado al depósito inicial y a partir

del primer período, el saldo calculado como saldo del período anterior,

más intereses del período, más depósitos del período, menos retiros del

mismo período. Esta formulación arroja los valores que se muestran en

la siguiente tabla:

Ubicados en la celda del saldo del último período se invoca la función

buscar objetivo (se recuerda que en Windows XP se halla en el menú,

herramientas; mientras en Windows Vista en el menú Datos, Análisis y

Si), con lo cual aparece la ventana de diálogo así:

Inicialmente la ventana nos pregunta qué celda se va a definir; sin

embargo, ella misma sugiere sombreada la celda donde nos

encontramos (la del saldo del último período) y como es esa

precisamente la celda a definir, pasamos al campo siguiente “con el valor” donde registramos el valor 0, pues el saldo del último período

deberá alcanzar ese valor una vez se efectúe el último de los retiros.

En el campo “para cambiar la celda” se indica la dirección de la celda

incógnita, la cual corresponde a la celda de color; en el paso siguiente

se da aceptar dos veces e inmediatamente, la hoja de cálculo arroja en

la celda color, el resultado del depósito preguntado, tal como se

observa a continuación. El valor resultante $967,076 es exactamente el

mismo obtenido con la ecuación de valor.

8 SALDOS Y REFINANCIACIONES.

8.1 SALDOS. En las operaciones de crédito puede ser útil conocer como calcular el saldo de una deuda en una fecha determinada, para esto se pueden emplear dos métodos:

a) Una forma consiste en trasladar todas las cuotas no canceladas hasta la fecha en la cual se desea establecer el saldo.

b) Una segunda lo calcula como la diferencia entre la deuda original y los valores pagados, luego de trasladar ambos, tanto la primera como los segundos hasta la fecha en cuestión. Por cualquiera de los métodos el resultado debe ser el mismo.

8.2 REFINANCIACIONES. Como ya se mencionaba, las refinanciaciones consisten en sustituir compromisos adquiridos a través de un crédito vigente, por unos nuevos que satisfagan a deudor y acreedor. Su relación con los saldos obedece a que los créditos se replantean a partir del saldo de la deuda en el momento de la refinanciación; convirtiéndose este saldo en el valor a financiar.

9 ÍNDICES QUE MIDEN LA BONDAD ECONÓMICA DE LOS PROYECTOS DE INVERSIÓN.

Al tomar decisiones de inversión en proyectos, las matemáticas financieras ofrecen ciertos índices con los cuales se facilita la elección; son ellos: el valor presente neto (VPN), el costo anual uniforme equivalente (CAUE) y la tasa interna de retorno (TIR).

Conviene advertir sobre estos índices que al definir los criterios de decisión, en ellos sólo se considera la variable rentabilidad. El inversionista entonces deberá adicionalmente tener en cuenta las variables de riesgo y liquidez.

El modelo de gráfico para indicar el flujo de caja de un proyecto es el siguiente, donde se destaca la inversión inicial en el punto cero y los costos o gastos como flechas hacia abajo por representar salidas de dinero, mientras que los ingresos y el valor del mercado (valor que se puede recuperar del proyecto al final de su vida útil) como flechas hacia arriba por representar entradas para el inversionista.

---- INGRESOS ---- VR. DE MERCADO 0 1 2 3 n-1 n (número del período) INV. -----COSTOS -------- INICIAL

9.1 VALOR PRESENTE NETO (VPN)

Al Iniciar el estudio del VPN se requiere conocer el concepto de tasa de

oportunidad, la cual se constituye en el referente de este índice.

Se puede considerar la TASA DE INTERÉS DE OPORTUNIDAD (TIO)

como el máximo rendimiento que puede alcanzar un inversionista, entre

las alternativas que posee para colocar sus fondos; o también como la

rentabilidad mínima que él esperaría al considerar un nuevo proyecto.

El valor presente neto se calcula como la diferencia entre el valor

presente de las entradas y el valor presente de las salidas de dinero,

involucradas en el flujo de caja de un proyecto. Para trasladar cada uno

de los valores al punto cero, se emplea como tasa de descuento, la tasa

de oportunidad del inversionista.

VPN (en el punto cero) =

Cuando el resultado es positivo nos indica que la sumatoria de los

ingresos es mayor que la sumatoria de los desembolsos; y su valor

representa el dinero, a precios del día cero, en que aumentaría la utilidad

del inversionista al dirigir sus fondos al nuevo proyecto y no a las

alternativas habituales. En el caso de ser negativo traduce la pérdida que

lograría al invertir en el proyecto en estudio.

Si el VPN es cero, la regla de decisión indica indiferencia, al entenderse

que el nuevo proyecto rinde la misma tasa de oportunidad (TIO).

9.1.1 CRITERIOS DE DECISIÓN CON VPN

Al decidir sobre un proyecto:

SI VPN > 0............. Se acepta el proyecto

SI VPN < 0............. No se acepta el proyecto

SI VPN = 0.............El proyecto produce indiferencia

Al decidir sobre proyectos alternos:

SI VPNA > VPNB............. Se acepta el proyecto A

SI VPNA > VPNB............. No se acepta el proyecto B

SI VPNA = VPNB............. El resultado genera indiferencia

Los criterios descritos anteriormente se tornan relativos cuando se trata

de definir sobre proyectos que impliquen solo costos; por ejemplo:

Adecuar instalaciones para brindar un mejor ambiente a los visitantes de

una empresa o construir infraestructura para la comunidad; en estos

casos la mejor alternativa será aquella de mayor VPN.

En proyectos de vida útil diferente, los flujos de caja se repiten, de ser

necesario, hasta que cada uno complete una vida útil total igual al

mínimo común múltiplo de sus respectivas vidas útiles.

I.9.1.2 La función VNA de Excel para resolver un caso con VPN:

Entre las funciones de Excel no existe la del VPN, existe sí una muy cercana

con la cual se calcula VPN, ella es el VNA o valor neto actual. El VNA traslada

al punto cero, sólo los valores que no se encuentren en ese punto; es por ello

que el VPN resultará al sumar al VNA lo que esté en el punto cero, es decir, el

flujo de caja resultante (FCR) del período cero. Es el FCR la resultante de

entradas menos salidas de dinero en cada período.

Ejemplo. Un inversionista que presenta una tasa de oportunidad del 36%

A.M.V lo contrata para que le asesore en la elección de una de las

siguientes alternativas:

Un proyecto A que consiste en comprar a crédito una máquina, mediante

diez cuotas mensuales, la primera de ellas por valor de $450,000, e

incremento del 1% mensual. La máquina generará ingresos por la venta

de 12,000 unidades mensuales que produce, a un precio de $100 la

unidad durante el primer semestre, precio que se incrementa en $5 al

final de cada semestre; por su parte, los costos se estiman en el 40% de

los ingresos totales y la inversión inicial en la adecuación de

instalaciones es de $3,000,000.

Un proyecto B que consiste en arrendar una máquina de las mismas

características con pagos anticipados de $480,000 mensuales,

reajustables al inicio de cada trimestre en un 2%. Tanto los ingresos

como los costos serán los mismos del proyecto A.Si se considera año y medio de vida útil para los proyectos, decida con

VPN la mejor alternativa, interpretando los resultados.

SOLUCIÓN: Inicialmente se registran los períodos con sus respectivas

entradas y salidas; se formulan las columnas atendiendo las condiciones

expresadas en el enunciado y se calcula la columna del flujo de caja

resultante, siendo positivas las entradas y negativas las salidas. Este

procedimiento se repite tanto para A como para B:

PROYECTO A

Solución proyecto A: Luego de formular los períodos, las entradas y las salidas, desde una celda vacía se invoca la función VNA que es la encargada de llevar al punto cero todos los valores involucrados en la operación, exceptuándose los que ya se encuentren en ese punto. Luego de obtener el VNA se le suma el flujo de caja resultante del punto cero para hallar así el VPN.

PROYECTO B

Solución proyecto B: Al igual que en el proyecto A, después de formular los períodos, las entradas y las salidas, desde una celda vacía se demanda la función VNA que es la encargada de llevar al punto cero todos los valores de la transacción, excepto los que ya se encuentren en él. Luego de obtener el VNA, se le suma el flujo de caja resultante del punto cero para hallar así el VPN.

La decisión, de acuerdo con los resultados será la de comprar, pues el

proyecto A entrega un VPN de $487,602, mayor al VPN del proyecto B,

que resultó ser de $98,094. Estos valores se interpretan como el valor

adicional al rendimiento esperado, entregado por cada proyecto y medido

a precios del punto cero.

9.2 TASA INTERNA DE RETORNO (TIR)

Se puede definir como la tasa de rendimiento entregada por los dineros

que permanecen invertidos en el proyecto. También de ella puede

decirse que es la tasa a la cual el VPN del flujo se hace igual a cero.

Como la TIR es la tasa que hace el VPN = 0, entonces la sumatoria de

las entradas del proyecto llevadas al punto cero con la TIR, menos la

sumatoria de sus salidas llevadas igualmente al punto cero con la TIR, es

igual a cero.

0 = -

9.2.1 CRITERIOS DE DECISIÓN CON TIR

Los siguientes criterios son válidos para elegir proyectos donde sólo

la variable rentabilidad sea la que pese en la decisión.

Al decidir sobre un proyecto:

Siendo la TIO la tasa mínima esperada por un inversionista, entonces

resulta claro que si la decisión depende de la rentabilidad, se debe

cumplir que:

SI TIR > TIO............. Se acepta el proyecto

SI TIR < TIO............. No se acepta el proyecto

SI TIR = TIO............. Sería indiferente invertir en él.

Al decidir sobre proyectos alternos:

Cuando debe elegirse entre proyectos, será lógico elegir a aquel que

mayor TIR genere, en consecuencia:

SI TIRA > TIRB............. Se acepta el proyecto A

SI TIRA < TIRB...... .......Se acepta el proyecto B

SI TIRA = TIRB..............Sería indiferente invertir en cualquiera de ellos

Ejemplo: Usted compró un vehículo por $35,000,000; un mes más tarde

lo arrienda por $950,000 mensuales durante dos años, asumiendo usted

los costos de mantenimiento que aumentan en $1,000 mensuales,

empezando con $65,000. Al final del mes 24 lo vende por $45,000,000.

Empleando la función TIR analice si la negociación le favoreció o no y

por qué, con una tasa de oportunidad del 38% E.A.

FÓRMULACIÓN DE LA TABLA, CON LA SOLUCIÓN AL CASO EN

EXCEL:

Al invocar la función TIR en el campo VALORES se registra el rango del

flujo de caja resultante. Cuando esta función no devuelve valor, se debe

utilizar el campo estimar (se sugiere empezar con cero).

SOLUCIÓN FINAL EN EXCEL:

El valor de la TIR encontrada indica que el proyecto retorna el 47.63% anual de rendimiento sobre los valores que permanecen invertidos en el proyecto. Al comparar la TIO del inversionista (38% anual) con la TIR del proyecto (47.63), se puede deducir que desde el punto de vista de la rentabilidad, al inversionista le conviene aceptar el nuevo proyecto.