CENTRO DE ESTUDIOS TECNOLGICOS Industrial y de servicios No. 17 APUNTES DE FSICA I Aporta: M.C. Flix Vicente Jimnez Ros febrero de 2012 Apuntes Fsica I M.C. Flix Vicente Jimnez RosFebrero 2012 1 8. CONTENIDOS TEMTICOS DE LAS ASIGNATURAS DE FSICA FSICAI,COMPONENTEDEFORMACINBSICA4SEMESTRE4HORAS/SEMANA FSICAIICOMPONENTEDE FORMACIN BSICA 5SEMESTRE 4 HORAS/SEMANATEMASDEFSICACOMPONENTEDE FORMACIN PROPEDUTICA5 HORAS/SEMANA UNIDAD I 1.1CONCEPTOS INTRODUCTORIOS 1.1.1Definicin de fsica y ubicacin de la asignatura. 1.1.2Fenmenos fsicos naturales. 1.1.3Mtodo cientfico 1.1.4Conversin de unidades 1.1.5Despeje de variables 1.1.6Suma de vectores 1.2MECNICA1.2.1Tipos de movimiento 1.2.1.1Movimiento lineal uniforme 1.2.1.2Movimiento lineal uniformemente Acelerado 1.2.1.3Movimiento Circular Uniforme 1.2.1.4Movimiento Circular Uniformemente Acelerado UNIDAD II 2.1Segunda ley de Newton 2.2Ley de la gravitacin universal2.2.1Campo gravitacional de la tierra 2.2.2Cada libre 2.2.3Movimiento de proyectiles 2.3Tercera ley de Newton 2.3.1Friccin 2.3.2Fuerza centrpeta2.4Equilibrio traslacional 2.5Momento de torsin2.6Equilibrio rotacional 2.7Equilibrio total 2.8Energa mecnica y trabajo 2.8.1Energa potencial y energa cintica2.8.2Interconversindeenergascintica,potencialy trmica 2.9Trabajo 2.10 Potencia mecnica 2.11 PrimeraLey de Newton (inercia) 2.11.1 Impulso y cantidad de movimiento 2.11.2Conservacindelacantidaddemovimientoy coeficiente de restitucinUNIDAD III 3.1Hidrulica3.1.1 Hidrosttica 3.1.1.1Propiedades de los fluidos 3.1.1.2Principios de Pascal y sus aplicaciones 3.1.1.3Principio de Arqumedes y sus aplicaciones 3.1.2Hidrodinmica 3.1.2.1Principio de Venturi 3.1.2.2Principio de Torricelli3.1.2.3Principio de Bernoulli y sus aplicaciones 3.2 Propiedades mecnicas de los materiales 3.2.1 Mdulo de Young3.2.2 Ley de Hooke UNIDAD I1.1ENERGATRMICA,CALORY TEMPERATURA 1.1.1Escalas de temperatura 1.1.2Cambios provocados por el calor 1.1.3Dilatacin 1.1.4Formas de transmisin del calor 1.1.5Cantidad de calor 1.1.6Transferencia de calor 1.1.7Leyes de los gases 1.1.8Ley General de los Gases 1.1.9Gases ideales 1.2ELECTRICIDAD (electrosttica) 1.2.1Carga elctrica 1.2.2Conservacin de la carga elctrica 1.2.3Formas de electrizacin 1.2.4Ley de Coulomb UNIDAD II 2.1 Campo y potencial elctrico 2.1.1Campo elctrico 2.1.2Intensidad del Campo Elctrico 2.1.3Potencial elctrico2.2Capacitancia 2.2.1Limitacionesdecargaenun conductor 2.2.2El capacitor 2.2.3Clculo de la capacitancia 2.2.4Constante dielctrica 2.2.5Capacitores en serie y en paralelo 2.2.6Energa de un capacitor cargado 2.3ELECTRICIDAD (electrodinmica;Corriente elctrica continua o directa) 2.3.1Intensidad de corriente elctrica 2.3.2Leyes y Circuitos elctricos 2.4ELECTRICIDAD(electrodinmica; corriente elctrica alterna) 2.4.1 Solucin de circuitos UNIDAD III 3.1MAGNETISMO 3.1.1 Campo magntico 3.1.2 Imanes 3.1.3 Propiedadesdelosmateriales magnticos 3.1.4 Circuitos magnticos 3.1.5 Leyes magnticas. 3.2Electromagnetismo 3.2.1 Electroimn 3.2.2 Aplicaciones 3.2.3 Motores 3.2.4 Generadores 3.2.5 Transformadores UNIDAD I 1.1SISTEMA BIDIMENSIONAL 1.1.1 Tiro parablico. 1.1.2 Interpretacingraficadetiro parablico 1.1.3 Movimiento circular 1.1.4 Velocidad angular 1.1.5 Periodo y frecuencia 1.1.6 Aceleracin angular 1.2SISTEMA TRIDIMENSIONAL 1.2.1Condiciones de equilibrio 1.2.2Momento de fuerzas 1.2.3Centro de masas 1.2.4Centro de gravedad UNIDAD II 2.1Procesos termodinmicos 2.1.1Isotrmicos 2.1.2Isobricos 2.1.3Isocricos 2.1.4Adiabticos 2.1.5Diatrmicos 2.2ptica 2.2.1Electricidad de la luz 2.2.2Caractersticas de la luz 2.2.3Espejos y lentes 2.2.4Interferencia 2.2.5ELECTRICIDAD y Refraccin 2.2.6Polarizacin UNIDAD III 3.1ELECTRICIDAD3.1.1 Circuitos elctricos de C.D. 3.1.2 Leyes de Kirchoff 3.1.3 Mallas y nodos3.1.4 Circuitos elctricos de C. A. 3.1.5 Circuitos R-L 3.1.6 Circuitos R-C 3.1.7 Circuitos R-L-C 3.2INTERACCIONESMATERIA-ENERGA FSICA MODERNA 3.2.1Mecnica cuntica 3.2.2Teora Atmica. 3.2.3Teora Nuclear. 3.2.4Mecnica relativista 3.2.5Teora de la Relatividad. 3.2.6Cosmologa. Apuntes Fsica I M.C. Flix Vicente Jimnez RosFebrero 2012 2 UNIDAD I 1.1.1FSICA.Es la ciencia que estudia los conceptos fundamentales de la materia, la energa, el espacio y la relacin entre ellos, con lo que se pueden explicar los siguientes: 1.1.2Fenmenos fsicos naturales -La cada de los objetos -Las descargas atmosfricas -Los colores del arco iris -La lluvia -Los tornados -El sonido -Y todo lo que ocurre a nuestro alrededor Las reas de la fsica son: mecnica, calor, luz, sonido, electricidad y estructura atmica. Es importante especificar que la mecnica estudia la posicin (esttica) y el movimiento (dinmica) de la materia en el espacio. Relacin interdisciplinariaUna de las herramientas ms tiles de la fsica es la matemtica, porque gracias a ella se pueden justificar todos sus principios. Ademslafsicatieneuncampodeaplicacinmuyamplio,atalgradoqueactualmenteexistenvariasespecialidadesquela aplican, entre ellas estn la biofsica, la fisicoqumica, la astrofsica, la geofsica, y muchas otras. 1.1.3MTODO CIENTFICO Por qu estudiar ciencia? Porque la ciencia es importante para todos los seres humanos, pues usada sabiamente puede mejorar nuestra calidad de vida. Pero debemos aprender a pensar de manera cientfica y sistemtica, para no aceptar ciegamente todo lo que se dice y as no emitir juicios apresurados de los hechos. El mtodo cientfico es una aproximacin sistemtica a la solucin de problemas. Es un plan para organizar una investigacin. Los pasos del mtodo cientfico varan dependiendo de la ciencia que se trate, pero bsicamente son los siguientes: 1.Determinar el problema o sistema a justificar 2.Observacin del problema o sistema en cuestin3.Bsqueda y clasificacin de informacin 4.Medicin de parmetros significativos del problema o sistema 5.Formulacin o reformulacin de hiptesis 6.Comprobacin experimental de la hiptesis (si no se logra, repetir desde el paso 4) 7.Conclusinde resultados para llevarlos a su aplicacin Ejemplo.Seobservaqueunresortehelicoidalaumentasulongitudcuandoseleaplicamasfuerza.Deacuerdoaesta observacin se pretende obtener un modelo matemtico que relacione la fuerza aplicada al resorte con el estiramiento del mismo. Entonces los pasos son: 1. Determinar el modelo matemtico 2. La observacin es que al aumentar la fuerza aplicada al resorte, este cambia su longitud 3. -Todos los resortes tienen una constante de elasticidad que depende de su dureza -Laelasticidadesunadelaspropiedadesdelosmateriales,debidoalacualunmaterialrecobrasuestadooriginal cuando cesa la fuerza que lo deforma 4.-Colgar el resorte en un soporte y medir su longitud sin carga -Colgarle al resorte una masa que lo estire ligeramente. Observa y registra los datos (masa y longitud) en una tabla.-Agregar al resorte otra carga igual a la anterior y registrar los datos -Agregarsucesivamentehasta5masassimilaresyparacadaincrementode masa registrar los datos Masa total (g)Longitud (cm) 015.1 2017.2 4018.8 6020.9 8023.1 9025.2 0 2040 608090100 Masa (g)Longitud(cm)25232119171513Apuntes Fsica I M.C. Flix Vicente Jimnez RosFebrero 2012 3 5.En la grfica se observa que prcticamente existe una variacin lineal entre el peso (masa) y la longitud del resorte. Para este caso serequiere informacin paradeterminarlarazn de cambiomasa-longitud.Esta sedeterminafcilmente mediante la razn masa de incrementolongitud de incremento observando que esta razn prcticamente es la misma para cada incremento El promedio de las razones de los incrementos con respecto a las masas es la constante de proporcionalidad del resorte:098 . 0509 . 0 11 . 0 09 . 0 095 . 0 105 . 0=+ + + +, muy aproximada a 0.1. Entonces se puede definir la siguiente hiptesis: La longitud del resorteaumentaraunadcimadecentmetroporcadagramoqueseagreguealresorte(L=0.1m)obienlalongituddel resorte aumentara 10.2 cm por cada newton (peso) que se aplique al resorte (L = 10.21 peso). 6. a.Agregar tres masas diferentes de las indicadas en la tabla y tomar la lectura de longituddelresorteparacadamasaagregadaycomprobarelincrementode longitudmediantelafrmula.Registrelosdatosyclculosenlasiguiente tabla: b.Repetir los pasos 4,5 y 6a para otro resorte diferente. 7.Conclusiones.Lalongituddeunresorteesdirectamenteproporcionalala fuerzaqueseleaplique,siendoestovalidohastaunvalormximodefuerza aplicada, porque despus de este lmite de fuerza el resorte pierde su propiedad elstica. 1.1.4CONVERSIN DE UNIDADES Sistemas de unidades de medida 1.1.4.1CONVERSIN DE UNIDADES DE UN MISMO SISTEMA 1.1.4.1 Conversin de unidades lineales de un mismo sistema Enlasiguientetablaestnenordenascendentelasunidadesdemedidadelongitudodedesplazamiento.Asseobserva fcilmenteque:10mm=1cm,10cm=1dm,10dm=1m,100mm=1dm,1000mm=1m,1000cm=Dm,100dm=1Dm,100,000 cm=1 km, 10Dm=10000cm, etctera. mmcmdmmDmHmkm 101 0.10.010.0010.00010.00001 1001010.10.0010.00010.00001 10001001010.10.0010.0001 1000010001001010.10.001 1000000100000100001000100101 1000001000010001001010.1 Masa (g)Peso total (N)Longitud (cm) Razn de incrementos 0015.1****** 200.196217.2105 . 00 201 . 15 2 . 17= 400.392419.1095 . 020 402 . 17 1 . 19= 600.588620.90.09 800.784823.10.11 900.882924.90.09 Masa(g) Incremento de Longitudcalculada (cm) Incremento de Longitudmedida(cm) SISTEMA INTERNACIONAL CantidadUnidadSmbolo LongitudmetroM Masakilogramokg Tiemposegundos Corriente elctricaAmpereA TemperaturakelvinK Intensidad luminosaCandelacd Cantidad de sustanciamolMol ngulo planoradianrad ngulo slidoEstereorradinsr SISTEMA INGLES CantidadUnidadSmbolo LongitudPieM MasaSlug, libra masaSlug, lbm TiemposegundoS Fuerza (peso)Libra fuerzalb temperaturaRankineR Apuntes Fsica I M.C. Flix Vicente Jimnez RosFebrero 2012 4 Ejemplo. Convertir 10 metros a su equivalente en kilmetros Solucin 10 m = 0.01 km Lgica de la conversin De acuerdo a la tabla anterior, se observa que la unidad de medida kilometro es 1000 veces mayor que la unida metro, por lo queparaestablecerlaigualdadelnmeroqueprecedeakmdebeser1000vecesmenor,queeslomismoarecorrerelpunto decimal 3 lugares a la izquierda. Si la unidad de medida a convertir es 10n mayor, su nmero debe ser 10n menor Loanteriorsepuedevisualizarmediantelagrficadeuna balanzalacualestarenequilibriosolamentesilacantidad depositada en unos de sus lados es igual a la cantidad depositada en el otro Observequeparaconservarlaigualdad(balanza equilibrada)sedebencolocarlacantidadgrandeconla unidad pequea de un lado y la cantidad pequea con la unidad grande del otro lado. Es obvio que no habrigualdad (balanza desequilibrada) si se colocan unidad pequea con cantidad pequea de un lado y cantidad grande con unidad grande del otro. Ejemplo: convertir 35.2 cm a Hm Solucin. En la figura anterior se observa que el Hectmetro es 10,000 veces mayor que el centmetro, por lo que el nmero que precede a Hm debe ser 10,000 veces menor (lo que equivale a recorrer el punto 4 lugares a la izquierda) que el numero que precede a cm 35.2 cm = 0.000352 Hm Ejemplo: convertir 35.2 Hm a dm Solucin. En la figura anterior se observa que decmetros es 1000 veces menor que hectmetros, por lo que el nmero que precede a cm debe ser 1000 veces mayor (lo que equivale a recorrer el punto 3 lugares a la derecha) que el numero que precede a Hm 35.2 Hm = 35200 dm Notacincientfica de un nmero. Se forma con el primer digito significativo del nmero, un punto decimal y los otros dos otresdgitossiguientesseguidosporlapotenciadediez,conelexponenteigualaloslugaresquesedeberecorrerelpunto decimal para obtener el nmero original # . # # # x 10n Ejemplo. La siguiente tabla muestra 6 nmeros y su representacin cientfica CORRECTA Una potencia negativa de diez recorre el punto decimal a la izquierda el mismo nmero de lugares que el valor del exponente. Una potencia positiva de diez recorre el punto decimal a laderechaelmismonmerodelugaresqueelvalordel exponente. Ejemplo. Las filas de la siguiente tabla se llenaron a partir del dato indicado en negrita. Con la finalidad de practicar la notacin cientfica, Los nmeros estn en notacin decimal y cientfica, pero en la prctica solo los nmeros con varios dgitos (ms de 5) se representan con notacin cientfica. mmcmdmmDmHmkm 5=5x100 0.5=5x10-10.05=5x10-20.005=5x10-30.0005=5x10-40.00005=5x10-50.000005=5x10-6 0.012=1.2x10-2 0.001=1.2x10-3 0.00012=1.2x10-40.000012=1.2x10-50.0000012=1.2x10-60.00000012=1.2x10-70.000000012=1.2x10-8270=2.7x10227=2.7x1012.7=2.7x1000.27=2.7x10-10.027=2.7x10-20.0027=2.7x10-3 0.00027=2.7x10-4 20=2x101 2=2x1000.2=2x10-10.02=2x10-20.002=2x10-30.0002=2x10-40.00002=2x10-5 853000=8.53x105 85300=8.53x1048530=8.53x103853=8.53x10285.3=8.53x1018.53=8.53x1000.853=8.53x10-1235600000=2.356x10823560000=2.356x1072356000=2.356x106235600=2.356x10523560=2.356x1042356=2.356x103235.6=2.356x103 6.32x1013 6.32x10126.32x10116.32x10106.32x1096.32x108 63200000=6.32x107 NumeroNotacin cientfica 0.002562.56x10-34536294.53629x10523.2362.3236x1010.012361.236x10-2236.89x1062.369x1080.000235x10-92.35x10-13La unidad kg es mil veces mayor a la unidadg Por lo tanto el numero 25 debe ser mil veces mayor que 25000 25000g La unidad g es mil veces menor a la unidadkg Por lo tanto el numero 2500 debe ser mil veces menor que 25000 25 kg Apuntes Fsica I M.C. Flix Vicente Jimnez RosFebrero 2012 5 Ejercicio.Llenar la siguiente tabla desordenada, representando los nmeros en notacin normal y cientfica HgmgDgcgkggdg 5=5x100 0.0012=1.2x10-3 2.7=2.7x100 0.02=2x10-2 85.3=8.53x10 2356=2.356x103 63200000=6.32x107 1.1.4.2 y 1.1.4.3 Conversin de unidades cuadrticas y cbicas de un mismo sistema Los siguientes cuadrados tienen las mismas dimensiones y por lo tanto tienen la misma rea Deacuerdoalosejerciciosanterioressedeterminafcilmenteque4cm=40mmyde acuerdo a la figura de la izquierda se observa que 4cm2=400 mm2 Ahorasetienendoscubosconlasmismasdimensionesyporlotantotienenelmismo volumen De acuerdo a los ejercicios anteriores se determina que: -8 cm = 80 mm -8 cm2 = 800 mm2 y-8cm3 = 8000 mm3 (de acuerdo a la figura) Entonces si nos apoyamos en la figura de la derecha donde aparecen ordenadas ascendentemente las unidades de masa, podemos hacer conversiones lineales, cuadrticas y cbicas. Ejemplo: Obtenga las siguientes conversiones 1.23.6 Hg a cg.2.23.6 Hg2 a cg2 3.23.6 Hg3 a cg3 Solucin. 1.Como la unidad de medida cg es 104 veces menor que la unidad de medida Hg (segn la figura hay que dar 4 pasos de Hg a cg ), entonces el nmero que precede a cg debe ser 104 veces mayor23.6 Hg = 236000 cg = 2.36x105 cg 2.Comolaunidaddemedidacg2es108vecesmenorquelaunidaddemedidaHg2,entonceselnmeroqueprecedeacg2 debe ser 108 veces mayor 23.6 Hg2 = 2360000000 cg2 = 2.36x109 cg2 3.Como la unidad demedida cg3 es 1012veces menor que la unidad demedida Hg3, entonces el nmero que precede a cg3 debe ser 1012 veces mayor 23.6 Hg3 = 23600000000000 cg3 Ejemplo.Lasfilasdelasiguientetablasellenaronapartirdeldatoindicadoennegritaenestecasosoloseusaranotacin cientfica si el dato consta de mas de cinco dgitos mm2 cm2dm2m2Dm2Hm2 Km25 0.050.00055x10-65x10-85x10-105x10-12 0.12 0.0012 1.2x10-51.2x10-71.2x10-91.2x10-111.2x10-13 270002702.70.0270.000272.7x10-5 2.7x10-7 20000 20020.020.0002 2x10-62x10-8 8.53x109 8.53x107853000853085.3 0.8530.008532.356x1013 2.356x10112.356x1092.356x1072.356x105235623.56 6.32x10196.32x10176.32x10156.32x10136.32x10116.32x109 6.32x107 1.1.4.2CONVERSIN DE UNIDADES DE SISTEMAS DIFERENTES Para realizar estas conversiones es necesario conocer las equivalencias entre unidades de diferentes sistemas. A continuacin se muestran las equivalencias entre las unidades ms usuales de los sistemas mtrico decimal e ingles SubmltiplosMltiplos mgcgdggDgHgkg 20 mm 20 mm A=400 mm22 cm 2 cm A=4 cm2 2 cm 2 cm 2 cm 20 mm20 mm 20 mmV=8 cm3V=8000 mm3Apuntes Fsica I M.C. Flix Vicente Jimnez RosFebrero 2012 6 Medidas de longitud 1m = 1.094 yd = 3.2808 ft = 39.37 in = 0.000621372 mi = 0.5467469 bz mi= milla yd=yarda bz=brazaoz= onza mil=rea con dimetro de una milsima de pulgada ft= pie m=metroin=pulgada L = litro kg=kilogramo gal=galn lb=libra Medidas de superficie 1m2 = 1.196 yd2 = 10.764 ft2 = 1550 in2 = 3.86x10-7 mi2 = 0.298932 bz2 Medidas de volumen 1m3=1.308yd3=35.314ft3=61023.38in3=2.399x10-10mi3=0.16344bz3=1000L=264gal= 33814.628 oz Medidas de masa 1 kg = 2.2046 lb = 35.27 oz Para realizar conversiones de unidades de diferentes sistemas se usara el mtodo producto unitario Caractersticas de un producto unitario -Al multiplicar una expresin matemtica por la unidad el resultado es la misma expresin matemtica Ejemplos:4X(1)=4X 645XYZ2(1)=645XYZ2 D CY XD CY X= 345) 1 (3453 3 -Al dividir dos expresiones iguales o equivalentes el resultado es la unidad Ejemplos: 12808 . 3094 . 1132321264314 . 3513 . 5253 . 5253====ftydXYZXYZgalft Para eliminar una unidad de medida empleando el producto unitario, esta debe colocarse en el lugar opuesto, esto es:-Si la unidad de medida a eliminar esta arriba, en el producto unitario esta debe colocarse abajo y su equivalencia arriba-Si la unidad de medida a eliminar esta abajo, en el producto unitario esta debe colocarse arriba y su equivalencia abajo Ejemplo. A cuantas libras equivalen 34.7 kg Solucin. lbkglbkg 5 . 7612046 . 27 . 34 =||.|

\|.Observarquecomoqueremosquitarkg,entonceskgsecolocaabajoenelproductounitarioy entonces kg entre kg es la unidad y esta se puede omitir, quedando el resultado en libras. Ejemplo. Cul es su equivalente de 65.23x105 kgm/s2 en lbft/h2? Solucin. 2 1422 5/ 10 1145 . 61360012808 . 312046 . 2/ 10 23 . 65 h ft lb xhsmftkglbs m kg x = |.|

\||.|

\|||.|

\| Ejemplo. Obtener la equivalencia de 0.0231lbgal/ft3oz2 en kgl/cm3g2 Solucin. 2 3 92 32 3/ 10 744 . 1100027 . 351002808 . 326410002046 . 21/ 0231 . 0 g cm l kg xgozcmftgalllbkgoz ft gal lb =||.|

\||.|

\|||.|

\||.|

\| Ejercicios.Convertirlassiguientesunidades:(Lasunidadescompuestasdelosejerciciossiguientesnorepresentanninguna cantidad fsica, solo se usan para propsitos de prctica de conversin de unidades) a. 253.26 oz2lb/ftgalin3 en g2kg/ydLcm3 b. 3.23x10-4 kgLcm2/gms en ozgalyd2/lbfth c. 5263 gm4/kg2cm3 en ozin4/lb2ft3 d. 0.0236 ftoz2lb3/gal3inyd2 en cmg2kg3/cm9mcm2 1.1.5DESPEJE DE VARIABLES Despejar una variable es quitar todas la otras variables que le rodean de tal manera que quede sola en cualquier lado de la ecuacin. Apuntes Fsica I M.C. Flix Vicente Jimnez RosFebrero 2012 7 El principio para despejar una variable se fundamenta en la conservacin de la igualdad en una ecuacin Paraconservarlaigualdadenunaecuacin,sedebenrealizarlasmismasoperacionesmatemticasenambosmiembrosdela ecuacin. Por ejemplo en la siguiente igualdad 9 = 6+3 Si al primer miembro le sumamos 2, (9+2), para que se conserve la igualdad, al segundo miembro tambin se le debe sumar 2, (6+3+2), de tal manera que 11=11 Sialsegundomiembrolomultiplicamospor4,(6+3)*4,paraqueseconservelaigualdad,alprimermiembrotambinlo multiplicamos por 4, (9*4), de tal manera que 36=36. Sialsegundomiembroloelevamosalcuadrado,(6+3)2,paraqueseconservelaigualdad,alprimermiembrotambinlo elevamos al cuadrado, (9)2, de tal manera que 81=81. Los trminos que se pueden eliminar ms fcilmente en una expresin matemtica son los que estn sumando o restando, despus los que estn multiplicando o dividiendo y al ltimo las potencias. Para realizar el despeje de una variable se deben seguir los siguientes pasos: Paso1.Identificarlaubicacindelavariableadespejar(primeroosegundomiembro),enelcasoqueesteenambos miembros, primero hay que trasladarlas a uno de los dos miembros y despus factorarla para que solo quede una sola variable Paso 2.Identificar la operacin general en dicho miembro, la cual si es: a.Suma o resta. Los trminos que no contienen la variable se eliminan del miembro, restando o sumando a ambos miembros de la ecuacin esos mismos trminos que estn sumando o restando. b.Multiplicacinodivisin.Lostrminosquenocontienenlavariableseeliminan,multiplicandoodividiendoaambos miembros de la ecuacin esos mismos trminos que estn dividiendo o multiplicando. c.Potencia o raz. Para quitar una potencia se saca su respectiva raz a ambos miembros de la ecuacin, o para quitar una raz, se eleva a su respectiva potencia ambos miembros de la ecuacin. Sieliminadounterminoaunnoquedadespejadalavariable,sedeberepetirelpasodostantasvecessea necesario Cuandolavariable a despejar este en ambosmiembros,primero hayque trasladarlaa unmismo miembroyrepetirel paso No. 2 hasta que la variable quede completamente despejada. Para comprobar los despejes de variables iniciaremos con DESPEJES DE NMEROS Esindiscutibleque4+6-3+12=(10+2)*2-5esunaecuacinoigualacin,yaquesimplificandoambosmiembrosseobtiene 19=19.Deaququeparaconservarlaigualacinoecuacin,laoperacinqueserealiceaunodelosmiembrostambindebe realizarse al otro. -Sialprimermiembrosesuman6entoncesparaconservarlaigualdadalsegundomiembrotambinsesuman6: 19+6=19+6 o sea 25=25 -Sielsegundomiembrosedivideentre5,paraconservarlaigualdadelprimermiembrotambinsedivideentre5: 19/5=19/5 o sea 3.8=3.8, etctera, etctera, etctera. Ejemplo. De la ecuacin4+6-3+12 = (10+2)*2-5 despejar el numero 6 Paso 1. El nmero a despejar est en el primer miembro Paso2.Laoperacingeneralenelprimermiembrosonsumas.Porloqueparaeliminarlostrminosnorequeridosse suman o restan estos en ambos miembros de la ecuacin: 4-4+6-3+3+12-12=(10+2)*2-5-4+3-12,quedandoelnumero6despejado6=(10+2)*2-5-4+3-12.Realizandolas operaciones en el segundo termino se comprueba que 6 = 6, que indica que se realizo correctamente el despeje Ejemplo. De la ecuacin4+6-3+12 = (10+2)*2-5 despejar el numero 10 Paso 1. El nmero a despejar est en el segundo miembro Paso2.Laoperacingeneralenelsegundomiembroesunaresta.Por loqueparaeliminarel -5hayquesumar5alsegundo miembro y para conservar la igualacin, se suma 5 al primer miembro: 4+6-3+12+5 = (10+2)*2-5+5, simplificando la ecuacin 4+6-3+12+5 = (10+2)*2.Como an no est despejado el nmero 10, se repite el paso 2 Apuntes Fsica I M.C. Flix Vicente Jimnez RosFebrero 2012 8 Paso2.La operacin general en el segundo miembro es una multiplicacin, para eliminar el 2 hay que dividir entre 2 a ambos miembros de la ecuacin: 22 * ) 2 10 (25 12 3 6 4 +=+ + +.Simplificando el segundo miembro se observa que 2 entre 2 es igual a1porloqueenuntrminooproductoelunonoseescribe,quedandolaecuacindelasiguienteforma ) 2 10 (25 12 3 6 4+ =+ + +. Como an no est despejado el nmero 10, se repite el paso 2 2.La operacin general en el segundo miembro es una suma; para eliminar el 2 hay que restar 2 en ambos miembros de la ecuacin:2 2 10 225 12 3 6 4 + = + + + Simplificandoelsegundomiembroentonceselnumero10quedadespejado 10 225 12 3 6 4= + + +.Realizandolasoperacionesenelprimermiembroseobtiene10=10.Loqueindocaqueel despeje es correcto Ejemplo. De la ecuacin8215 134 322 7 * 61 54 * 2 42+= |.|

\||.|

\|+, despejar el numero 3 Paso 1.El nmero a despejar se encuentra en el primer miembro Paso2.Laoperacingeneralendondeestael3esunamultiplicacin.Enestecasoparaquelaecuacinnosevuelvamuy compleja, para eliminar el factor|.|

\|+1 54 * 2 4 se multiplican ambos miembros de la ecuacinpor su reciproco |.|

\|+4 * 2 41 5, quedando laecuacindelasiguientemanera|.|

\|+ |.|

\|+ += |.|

\||.|

\|+|.|

\|+4 * 2 41 584 * 2 41 5215 134 322 7 * 61 54 * 2 44 * 2 41 52.Simplificandoel primer miembro se tiene: |.|

\|+ |.|

\|+ += |.|

\|4 * 2 41 584 * 2 41 5215 134 322 7 * 62. Como aun no esta despejado el 3 se repite el paso 2 Paso2.Laoperacingeneraldondeestael3esunarazcuadrada.Paraeliminarelradicalyparaconservarlaigualdad,se elevanambosmiembrosalcuadrado: 2224 * 2 41 584 * 2 41 5215 134 322 7 * 6||.|

\||.|

\|+ |.|

\|+ +=||.|

\||.|

\|.Simplificandoelprimermiembro: 224 * 2 41 584 * 2 41 5215 134 322 7 * 6||.|

\||.|

\|+ |.|

\|+ +=. Como aun no esta despejado el 3 se repite el paso 2. Paso 2 La operacin general es una divisin, para eliminar la expresin 6*7-22 hay que dividir ambos miembros de la ecuacin entre 6*7-22, obteniendo:224 * 2 41 584 * 2 41 5215 1322 7 * 614 322 7 * 622 7 * 61||.|

\||.|

\|+ |.|

\|+ +|.|

\|=|.|

\|simplificando el primer miembro:

224 * 2 41 584 * 2 41 5215 1322 7 * 614 31||.|

\||.|

\|+ |.|

\|+ +|.|

\|=. Para pasar el tres arriba se saca el reciproco a ambos miembros:( )224 * 2 41 584 * 2 41 5215 1322 7 * 6 4 3||.|

\||.|

\|+ |.|

\|+ + = . Como aun no esta despejado el 3 se repite el paso 2 Paso2.Laoperacingeneralesunarestaentonceshayquesumar4aambosmiembrosdelaecuacin: ( ) 44 * 2 41 584 * 2 41 5215 1322 7 * 6 322+||.|

\||.|

\|+ |.|

\|+ + =. Como aun no esta despejado el 3 se repite el paso 2 Paso 2.La operacin general es una potencia. Para despejar el 3 hay que sacar raz cuadrada a ambos miembros de la ecuacin: ( ) 44 * 2 41 584 * 2 41 5215 1322 7 * 6 32+||.|

\||.|

\|+ |.|

\|+ + =.Observequealsacarrazcuadradaal32,lapotenciadesaparece,quedandoel nmero 3 despejado. Al simplificar el segundo miembro se obtiene 3=3, lo cual indica que el despeje es correcto Ejemplo. De la ecuacin 6x-3y = 4x(2b-3c)-5, despejar la variable x Paso 1.La variable esta en ambos miembros, entonces primero hay que trasladar todas la x a un solo miembro Paso 2. Para este caso es ms fcil trasladar 6x al segundo miembro, restando a ambos miembros de la ecuacin 6x:6x-6x-3y = 4x(2b-3c)-5-6x. Simplificando el primer miembro y desarrollando el segundo se tiene: -3y = 8xb-12xc-5-6x .Factorando x en el segundo miembro se tiene 3y = x(8b 12c 6) 5. Se repite el paso 2 Paso 2. La operacin general en el segundo miembro es una resta. Entonces para eliminar 5 y conservar la igualdad, se suman 5 aambos miembros de la ecuacin: 3y+5 = x(8b 12c 6). Se repite el paso 2 Apuntes Fsica I M.C. Flix Vicente Jimnez RosFebrero 2012 9 Paso2.Laoperacingeneralenelsegundomiembroesunamultiplicacinentoncesseobservaqueparadespejarx,ypara conservarlaigualdadhayquedividirambosmiembrosdelaecuacinentre8b-12c-6: xc by= + 6 12 85 3. Quedando x despejada. Se acostumbra ubicar la variable despejada en el primer miembro:6 12 85 3 + =c byxEjemplo. De la siguiente ecuacinhc ad cdb zy x+= 5 23 464 23 63 2, despejar z Paso 1.La variable esta en el primer miembro Paso 2. La operacin general es una resta. Por lo que hay que sumar a ambos miembros 6d, obteniendo:d hc ad cb zy x65 23 44 23 63 2+ += Se repite l paso 2 Paso2.Laoperacingeneralesunadivisin,porloquesedividenambosmiembrospor6x-3y,obteniendo: y xd hc a y xd cb z3 66) 5 2 )( 3 6 (3 44 213 2 ++ =. Se repite el paso 2 Paso 2. La operacin general es una divisin pero, no se puede eliminar el uno sobre la lnea del quebrado. Entonces se procede a obtener el reciproco en ambos miembros: 13 23 66) 5 2 )( 3 6 (3 44 2||.|

\|++ = y xd hc a y xd cb z. Se repite el paso 2 Paso2.Laoperacingeneralesunarazcbica.Paraeliminarlayconservarlaequivalenciahayqueelevaralcuboambos miembros: 323 66) 5 2 )( 3 6 (3 44 2||.|

\|++ = y xd hc a y xd cb z. Se repite paso 2 Paso 2. La operacin general es una resta, por lo que hay que sumar 4b a ambos miembros: by xd hc a y xd cz 43 66) 5 2 )( 3 6 (3 4232+||.|

\|++ =. Se repite paso 2 Paso 2.La operacin general es multiplicacin, por lo que hay que dividir ambos miembros entre 2, obteniendo:243 66) 5 2 )( 3 6 (3 42132by xd hc a y xd cz +||.|

\|++ =. Se repite paso 2 Paso2.Finalmentelaoperacingeneralesunapotencia,lacualseeliminasacandorazcuadradaaambosmiembrodela ecuacin: by xd hc a y xd cz 23 66) 5 2 )( 3 6 (3 4213+||.|

\|++ = Ejercicios.1.para la ecuacinx h x d c b a y x 3 ) 8 )( 2 ( ) 6 4 )( 3 6 (2 = , despejar: a. x b. y c. d 2. Para la ecuacin 5x-4z3+4r=4x(3+n)-5y, despejar a. x b. y c. n d. r 1.1.6 SUMA DE VECTORES Nota.Observeenlatablaquela representacin de las cantidades vectoriales es con letras negritas Vector.Esla representacinde unacantidad vectorial,lacual tiene:magnitud,direccinysentido.Lamagnitudserepresentaporlalongituddeunaflecha,la longitudesproporcionalalamagnituddelacantidad,ladireccinserepresentaporngulodeinclinacindelalneayel sentido mediante la punta de flecha. La figura a la derecha indica las partes de un vector. CANTIDADES FSICAS ESCALARES Cantidades que solo tienen magnitud VECTORIALES Cantidades que tienen magnitud, direccin y sentido Cantidad Unidad (smbolo)Cantidad Unidad (smbolo) DistanciasMetro (m)desplazamiento sMetro (m) RapidezvMetro/segundo (m/s) Velocidad vMetro/segundo (m/s)Aceleracin aMetro/segundo2 (m/s2)Aceleracin aMetro/segundo2 (m/s2)TemperaturaTKelvin (K)Fuerza F Newton (N) MasamKilogramo (kg) SentidoDireccin Magnitud Apuntes Fsica I M.C. Flix Vicente Jimnez RosFebrero 2012 10 UN VECTOR SE PUEDE REPRESENTAR DE DOS FORMAS: Forma Polar.Magnitudngulo . Ejemplo 25 60. Su representacin grafica es: Forma rectangular. Componente en X, componente en Y.Ejemplo. El mismo vector anterior en representacin rectangular es: 12.5, 21.65. Su representacin grfica es: Para sumar algebraicamente dos o ms cantidades vectoriales estas debende ser colineales. La suma de vectores se puede aplicar para determinar: -Qu equipo ganar en el juego de tiro de cuerda -Latensinquesoportacadaunadelascuerdasquesostienenun determinado peso -La carga de cada uno de los soportes en una estructura -El desplazamiento efectivo de un mvilSuma de vectores colineales Losvectoresmsfcilesdesumarconcualquiermtodo(graficooanaltico)sonlos vectorescolineales (vectores que comparten una misma lnea), ya que la resultante se obtiene con solo sumar algebraicamente los vectores que estn en la misma lnea. Ejemplo. Sumar los 5 vectores colineales mostrados en el dibujo Solucin.Observarquelaresultanteesunsolovectorconladireccindelosque ganan en la suma algebraica Suma de vectores coplanares por el Mtodo grfico. Conservando todos los vectores: su magnitud, direccin y sentido, y todos a una misma escala apropiada: 1.Se inicia dibujando cualquiera de los vectores2.Se dibuja otro vector cualquiera a partir de la punta de flecha del anterior (uniendo inicio de flecha con punta de flecha) 3.Se repite el paso anterior hasta unir todos los vectores 4.Elvectorresultanteeselquevadeliniciodeflechadelprimervectordibujadoalapuntadeflechadelltimovector dibujado 5.La magnituddel vector resultante es la longitud de la flecha multiplicada por la escala empleada, su direccin es el ngulo medido con el transportador a partir de la abscisa positiva. EJEMPLO DE SUMA DE VECTORES COPLANARES POR EL MTODO GRAFICO a.Representar los siguientes vectores de fuerzas concurrentes en el plano cartesiano:b.Sumarlos por el mtodo grafico Solucin. a. Solucin b. El material requerido para sumar vectores por el mtodo grafico es: regla, transportador y lpiz PROCEDIMIENTOPASOAPASOPARASUMARVECTORESPORELMTODO GRAFICO, (los pasos descritos se indican tambin en los dibujos ms abajo) 1.Para dibujar un primer vector (cualquiera). Dibuje una marca de centro (una cruz) y coloque en esta, la marca de centro del transportador para medir el ngulo. Marque el ngulo medido Resultante 3 N20 N30 N 25 N12 N10 N 50 N47 N Representacinenformapolar.Serepresentamediantelamagnituddelvectorysu ngulo.Magnitudngulo.Porejemplo553.13Enlafiguradeladerechael vector est representado por la flecha con lnea continua con un ngulo .Representacinde un vectorRepresentacinenformarectangular.Serepresentamediantedosvectores ortogonales unidos (fin de flecha con inicio de flecha). En la figura de la derecha son los vectores representados con lnea punteada. El vector en su representacin polar: 5 53.13 equivale al vector 3X+4Y( 3+4j) en su representacin rectangular 5 4 3=53.1 12.521.65 6025 3020; -2050 ; -40-6030 N20 N40 N20 30 40La abscisa positiva es lareferencia para medir los ngulos0El ngulo es negativo si se mide en sentido de las manecillas del reloj + - El ngulo es positivo si se mide en sentido contrario de las manecillas del relojApuntes Fsica I M.C. Flix Vicente Jimnez RosFebrero 2012 11 2.Retire el transportador y con una regla trace una lnea que pase por las dos marcas, remarque el vector que va desde la marca de centro y que tiene una longitud acorde a la magnitud y a una escala apropiada de tal manera que el vector no sea ni muy pequeo ni muy grande. 3.Dibujelosotrosvectoressiguiendolosmismospasos(1y2),soloqueahoralamarcadecentroeslapuntadeflechadel ltimo vector dibujado. 4.El vector resultante es el vector que va desde el inicio de flecha del primer vector dibujado hasta la punta de flecha del ltimo vector dibujado. La magnitud se obtiene multiplicando la longitud del vector por la escala elegida 5.Con el transportador colocado horizontalmente se mide el ngulo del vector resultante. SUMA DE VECTORES COPLANARES POR EL MTODO ANALTICO 1.TodoslosvectoressedescomponenensuscomponentesrectangularesXyYdelplanocartesianoyaseamediantelas funciones coseno y seno La componente en X = magnitudcos La componente en Y = magnitudsen mediante la funcin REC i.REC(magnitud ,ngulo con esto obtenemosla componente en X , y si la calculadora no indica la componente Y, teclear ALPHA F para obtenerla. 2.Se suman algebraicamente todos los vectores en X obteniendo uno solo 3.Se hace lo mismo para los vectores en Y 4.Se usa el teorema de Pitgoraspara obtener la RESULTANTE=( ) ( )2 2Y X E + E 5.Se usa la funcin tangente inversa para obtener el ngulo del vector resultante: =|.|

\|XY1tan, pero cuando la resultante cae en el II o III cuadrante, se debe corregir el ngulo obtenido por la funcin tan-1, sumando o restando 180 al ngulo NOTA: Los pasos 4 y 5 se pueden realizar mediante la funcin POLAR, en donde el ngulo ya no se tiene que corregir, ya que esta funcin opera los 360. El procedimiento es: POL(X,Y, si la calculadora no indica el ngulo, teclear ALPHA F para obtenerlo. EJEMPLO DE SUMA DE VECTORES NO COLINEALES POR EL MTODO ANALTICO Sumar los mismos vectores anteriores del ejemplo para el mtodo grafico Se tabulan todos los vectores en su forma polar (Magnitudngulo) El ngulo se mide a partir de la abscisa positiva,es negativo si se mide en el sentido de las manecillas del reloj y positivo si se mide en sentido opuesto. La siguiente tabla indica el procedimiento para pasar de representacin polar a rectangular. Para pasar de representacin rectangular a polar pulsar: POL(x,y)para obtiene la magnitud del vector, inmediatamente despus con ALPHA Fse obtiene el ngulo Vector resultante 29.5100Paso 3,1Paso 3,2Paso 4Paso 5 40 N40 N40 NPaso 1Paso 2Paso 3,1Paso 3,2 30 N 40 N30 N40 NVector resultante 29.5N30 N20 N40 N ngulo del Vector resultante 10030 N40 N====Apuntes Fsica I M.C. Flix Vicente Jimnez RosFebrero 2012 12 ======Representacin polar Magnitud Angulo Representacin rectangular X=Magnitudcoseno Y=Magnitudseno 30 2030 cos 20= REC(30,20 28.1930 sen 20 = ALPHA F10.26 40 120 40cos 120 = REC(40,120 -2040 sen 120 = ALPHA F34.64 20 -13020cos -130= REC(20,-130 -12.8620 sen-130 =ALPHA F -15.32 RESULTANTE29.9598.97X = - 4.67X = 29.58 Resultante en polar: POL(-4.67,29.58 29.95 ALPHA F98.97 Mecnica ii.Tipos de movimiento 1.2.1.1 Movimiento lineal uniforme Velocidadpromediov .Seobtienedividiendoeldesplazamientorecorrido,entreeltiempoenqueesteserecorre, independientemente si hubo o no cambios de velocidad.tsv =(1) Siendo: s= desplazamiento;t= tiempo en que se recorre la distancia s Velocidad promediov para un movimiento uniformemente acelerado: 20v vvf += .(2) 1.2.1.2 Movimiento lineal uniformemente acelerado Aceleracinpromedio tv vaf 0= .(3) Con las tres formulas anteriores se pueden obtener todas las utilizadas en el movimiento uniformemente acelerado Combinando las formulas (1) y (2) ;20v vtsf +=despejandotv vsf20+=..(4) Despejando de ecuacin (3) 0v at vf+ =y sustituirla en ecuacin (4)tv v ats20 0 + +=la cual al simplificar se obtiene la siguiente ecuacin: 2210at t v s + = (5) Despejandodelaecuacin(3) av vtf 0=ysustituirlaenlaecuacin(4)) (20 0av v v vsf f +=quesimplificadose obtiene: av vsf2202=..(6) 1.2.1.3y 1.2.1.4 Movimiento circular uniforme y movimiento circular uniformemente acelerado Para el movimiento circular se emplean formulas similares a las del movimiento lineal. Ver tabla comparativa de formulas Movimiento lineal Movimiento circularSignificado de literales t s v =t / = t Tiempo en segundos; (s) S Desplazamiento lineal en metros; (m) Desplazamiento angular en radianes; (rad) u Velocidad lineal promedio en metros/segundo; (m/s) m Velocidad angular promedio en radianes/segundo; (rad/s) vf, v0Velocidades lineales final e inicial en metros/segundo; (m/s) f, 0Velocidades angulares final e inicial en metros/segundo; (m/s) aAceleracin lineal en metros/segundo2; (m/s2) Aceleracin angular en radianes/segundo2; (rad/s2) RRadio DDimetro ffrecuencia en ciclos por segundo o revoluciones por segundo TPeriodo. Es el tiempo que tarda en realizarse un ciclo Nota. Los vectores se indican con letras en negrita 20v vv+=f 20 +=f atf 0v v =tf 0 =2as202v v =f 202 2 =fu+ =0v vfattf + =0 210 + = t v s at2 2210t t + =vt=R=D/t; f=1/T; =2f; a_t=R;=t o Rectilneo uniforme. Movimiento en lnea recta con velocidad constante o Rectilneo Uniformemente Acelerado. Movimiento en lnea recta con aceleracin constante o Circular uniforme. Movimiento circular con velocidad angular constante o Circular Uniformemente acelerado.Movimiento circular con aceleracin angular constante ==Apuntes Fsica I M.C. Flix Vicente Jimnez RosFebrero 2012 13 Un Radian. Es el ngulo que se forma cuando la longitud (S) del arco es igual a la longitud (R) del radio. Ver figura. El ngulo en radianes se puede calcular mediante la formula =SR Observe en la figura de la izquierda que 180 son un poco ms de 3 radianes (3.1416 aproximadamente) y por lo tanto 360 son aproximadamente 6.28 radianes. 180 es equivalente a radianes Relacin entre velocidad tangencial y velocidad angular u =St(1) m =0t(2) 0 =SR(3) Sustituyendo 0 =SR en la ecuacin =0tse obtiene =SRt; o bien R =St Obtenindosela relacin entre velocidad lineal y velocidad angular: v=R Relacin entre aceleracin lineal y aceleracin angular Si ambos miembros de la ecuacin v=R se dividen entre el tiempo, se obtiene: t =oRt; o bien o = oR Ejemplo.Un auto tarda 3.5 hrs en trasladarse de la ciudad A a la ciudad B. Si la distancia entre ciudades es de 200 km. Calcule la rapidez promedio a la que viajo. Solucin. s msmbien o h kmhkmtsv / 87 . 1512600200000/ 14 . 575 . 3200= = = = Es obvio que el auto no viajo a velocidad constante (57.14 km/h) debido al trfico, a las curvas del camino o algn otro factor. Ejemplo. Un disco da 3 vueltas en 2 segundos. Calcule su velocidad angular promedio Solucin. s radt/ 425 . 922 * 3= = =t ue En este caso no se indica si las 3 vueltas se dieron a una misma velocidad Ejemplo.Un automvil transita por una curva en forma de U y recorre una distancia de 400 m en 30 s. Sin embargo su posicin final esta a solo 40 m de la posicin inicial. Cul fue su rapidez promedio y cual es la magnitud de su velocidad promedio? SolucinLa rapidez promedio es s msmts/ 3 . 1330400v= = = La magnitud de la velocidad promedio es: s msmt/ 3 . 13040= = =sv.NOTA. Los vectores se indican con letras negritas Ejemplo.Una persona camina 4 min (0.066667 h) en direccin norte a una velocidad promedio de 6km/h; despus camina hacia el este a 4 km/h durante 10 min (0.166667 h) a.Cul es su rapidez promedio? b.Cul es su velocidad promedio? Solucin a. La distancia total recorrida es: s=(6 km/h)(0.066667h)+(4 km/h)(0.166667h) = 0.4 km+0.6667km = 1.066667 km Por lo tanto la rapidez promedio es h kmhkmv / 57 . 423333 . 006666667 . 1= = Solucin b. De acuerdo a la figura de la izquierda, la velocidad promedio es: h kmh hkmts/ 332 . 36667 . 1 06667 . 07775 . 0=+= = v 0.4 km0.6667 km180SRApuntes Fsica I M.C. Flix Vicente Jimnez RosFebrero 2012 14 Observe la diferencia entre rapidez y velocidad Ejemplo. Un disco de 20 cm de radio gira a una velocidad constante de 60 revoluciones por minuto (rev/min). Calcular: a.La velocidad angular en rad/s?b.La velocidad tangencial de un punto colocado a 5 cm del centro c.La velocidad tangencial de un punto colocado a 10 cm del centro SolucinUnarevolucinesungirocompletoounciclo(360)porloquesepuedeexpresarcomo60 ciclos/min. Siseexpresaenciclos/s,aestaunidadselesuelellamarhertzlacualeslaunidaddela frecuencia. a. La velocidad angular en rad/s se obtiene fcilmente mediante el producto unitario 60 rev/mins rads revrad/ 28 . 660min 112=||.|

\||.|

\| t b. Se observa en la figura que tanto el punto A como el B recorren simultneamente 500 rev/min, pero el punto A recorre una circunferencia menor que la recorrida por el punto B.La distancia recorrida por el punto A en su circunferencia es su permetro (D = 10 = 31.416 cm). Por lo que la velocidad del punto A es: s cm s msm cmtsv / 5236 . 0 / 005236 . 06031416 . 0min 1416 . 31= = = = = Pero como el punto est girando, el vector de velocidad cambia constantemente de direccin. La direccin del vector velocidad en un punto determinado es tangente a la circunferencia que recorre justo en ese punto (ver direccin de v en punto c) c. Similar al inciso b:s m cmcm Dtsv / 01047 . 0 min / 83 . 62min 120min 1= = = = =t t Ejemplo.Un tren monorriel que viaja a 80 km/h tiene que detenerse en una distancia de 40 m a.Qu aceleracin promedio se requiere? b.Cul es el tiempo de frenado? Solucina. primero convertimos 80 km/hs mshkmm/ 22 . 223600111000= |.|

\||.|

\| 22202/ 17 . 6) 40 ( 2) / 22 . 22 ( 02s mms msv vaf ===b.ss ms mav vtf6 . 3/ 17 . 6/ 22 . 22 020=== Ejemplo Una ciclista parte del reposo y aumenta constantemente su velocidad alcanzando los 60 km/h justo a los 100 m de recorrido. Si el dimetro de las ruedas de la bicicletaes de 70 cm, calcule a.La aceleracin lineal b.La velocidad lineal a los 50 m del recorrido c.La velocidad tangencial en el borde de las ruedas a los 50 m del recorrido d.La velocidad tangencial en un punto que esta a 15 cm del centro de la rueda de la bicicleta, a los 50 m de recorrido e.La velocidad angular a los 50 m del recorrido f.La aceleracin angular g.La aceleracin tangencial al borde de la rueda yh.La aceleracin tangencial a 15 cm del centro de la rueda Solucin Primero se hace la conversin de todos los datos del problema a unidades del sistema internacional (SI) v = 60km/hs mshkmm/ 67 . 163600111000= |.|

\||.|

\|;D = 70 cm = 0.7 m a.La bicicleta tieneun movimiento uniforme acelerado, por lo que la aceleracin lineal es: 20 cm5 cm 10 cmABc vApuntes Fsica I M.C. Flix Vicente Jimnez RosFebrero 2012 15 22 2202/ 389 . 1) 100 ( 20 ) / 67 . 16 (2s mms msv vaf=== b.La velocidad lineal a los 50 m es:s m m s m v as v v as vf f/ 786 . 11 0 ) 50 )( / 389 . 1 ( 2 2 22 2 20202= + = + =+ =c.La velocidadtangencial tambin se puede definir como la rapidez con la que se recorre un permetro, o la rapidez con la que un punto recorre una circunferencia. Paraesteejemplo,losmetrosdecircunferenciarecorridosenelbordedelallantaenunsegundoson11.786m,porloquela velocidadtangencialenelbordedelallantaalos50m,eslamismaquelavelocidadlinealdelabicicletaes: s m vt/ 786 . 11 =d.Para calcular la velocidad tangencial a 15 cm del centro de la rueda, primero se calculan otros parmetros: A los 50 m de recorrido la bicicleta tiene una velocidad lineal de 11.786 m/s. Si los 11.786 m se dividen entre el permetro de la ruda se obtiene el numero de vueltas que la rueda da en un segundo la cual es 5.36 vueltas/s El permetro de la circunferencia a 15 cmdel centro de la llanta es 0.3 m = 0.942 m Cualquierpunto dentrode laruedadar 5.36vueltas/s o 5.36permetrospor segundo.Entonces la circunferenciade15cmde radio recorre (5.36)(0.942) = 5.05 m/s la cual es la velocidad tangencial de un punto colocado a 15 cm del centro de la bicicleta. e.Con la velocidad tangencial a los 50 m de recorrido, se obtiene la velocidad s radms mRvt/ 674 . 3335 . 0/ 786 . 11= = = e

Con la velocidad a 15 cm del centro se obtienes radms radRvt/ 667 . 3315 . 0/ 05 . 5= = = eObserve que prcticamente es la misma velocidad angular, la diferencia se debe al redondeo. f.Alos50mderecorridolaruedagira22.736vueltas,[50/permetro=50/(0.7)],ycomocadavueltaes2radianes, entonces la r2ueda gira 142.857 radianes. Entonces la aceleracin angular es: 22 2202/ 967 . 3857 . 142 20 ) / 667 . 33 (2s radrads radaf===ue e g.La aceleracin tangencial al borde de la rueda la calculamos con el dato obtenido en el inciso c: 22 2202/ 389 . 150 20 ) / 786 . 11 (2s mms msv vat tft===o tambin se obtiene usando el dato del inciso f: 2 2/ 388 . 1 ) 7 . 0 )( / 967 . 3 ( s m m s rad R at= = =ola pequea diferencia se debe al redondeo h.La aceleracin tangencial de un punto a 15 cm del centro de la rueda es: 2 2/ 595 . 0 ) 15 . 0 )( / 967 . 3 ( s m m s rad R at= = =oObservaciones:-La velocidad y aceleracin angular NO dependen del radio de giro -La velocidad y aceleracin tangencial SI depende del radio de giro UNIDAD II 2.1Segunda ley de Newton Todafuerzaresultantediferentedeceroaplicadaaunobjetoleprovocaunaaceleracincuyamagnitudesdirectamente proporcional a la fuerza resultante e inversamente proporcional a la masa del objeto. mRFa =. NOTA: La fuerza es un VECTOR y por tanto la aceleracin debe se en la MISMA direccin de la fuerza. a F mR = , si m en kg y a en m/s2, entonces las unidades de la fuerza son kgm/s2 o Newtons (N) Ejemplo.Una fuerza horizontal de 200 N empuja unacaja de 50 kgsobre una superficie horizontal sin friccin. Calcular la aceleracin de la caja. Solucins mkgNmFaR/ 450200= = = 2.1.1 Aplicaciones de la segunda ley de Newton Ejemplo200 N 30 50 kgFxApuntes Fsica I M.C. Flix Vicente Jimnez RosFebrero 2012 16 Una fuerza oblicua de 200 N empuja una caja de 50 kg sobre una superficie horizontal sin friccin. Calcular la aceleracin de la caja. Ver figura Solucin. Como el bloque se desliza sobre una superficie horizontal, entones primero hay que identificar la componente horizontal (Fx) de la fuerza oblicua de 200 N, la cual se obtiene mediante trigonometra bsica: Fx = 200cos30 =173.21 N Entonces la aceleracin de la caja es: 2/ 46 . 35021 . 173s mkgNmFa = = =Ejemplo. Dos botes remolcan una barcaza de 200 kg que estaba en reposos con fuerzas constantes mostradas en la siguiente figura.Si se desprecia la fuerza de oposicin del agua, calcular a.La aceleracin de la barcaza b.La direccin de desplazamiento de la barcaza c.La distancia que la barcaza recorre en 5 minutos SolucinPrimero se determina la fuerza resultante debida a las dos fuerzas: Fx= 100cos30+50cos15=134.9 N Fy = 100sen30-50sen15 =37.1 N FR =N 9 . 139 1 . 37 9 . 1342 2= +a.La aceleracinde la barcaza es: 22/ 7 . 0200/ 9 . 139s mkgs mmFa = = = b. La direccin de desplazamiento de la barcaza es: = tan-1 4 . 159 . 1341 . 37= |.|

\| c.s=v0t+1/2at2 =(0)(300s)+1/2(0.7m/s2)(300 s)2=31,500 m o 31.5 km 2.2 Ley de la gravitacin universal La fuerza de atraccin entre dos objetos es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa. F=22 1dm m G En donde: GEs la constante universal de la gravedad y su valor es: 6.6667x10-11 Nm2/kg2 m1, m2 Son las masas (kg)

d Es la distancia entre los centros de las masas (m) La constante G se determino mediante la balanza de torsin de Cavendish Una versin inicial del experimento fue propuesta por John Michell, quien lleg a construir una balanza de torsin para estimar el valor de la constante de gravedad. Sin embargo, muri en 1783 sin poder completar su experimento y el instrumento que haba construido fue heredado porFrancisJohnHydeWollaston,quienseloentregaHenryCavendish.CavendishseinteresporlaideadeMichellyreconstruyel aparato,realizandovariosexperimentosmuycuidadososconelfindedeterminarG.Susinformesaparecieronpublicadosen1798enla Philosophical Transactions de la Royal Society. El valor que obtuvo para la constante de gravitacin difera del actual en menos de un 1% ElinstrumentoconstruidoporCavendishconsistaenunabalanzadetorsinconunavarahorizontaldeseispiesdelongitudencuyos extremosseencontrabandosesferasmetlicas.Estavaracolgabasuspendidadeunlargohilo.CercadelasesferasCavendishdispusodos esferas de plomo de unos 175 kg cuya accin gravitatoria deba atraer las masas de la balanza produciendo un pequeo giro sobre esta. Para impedirperturbacionescausadasporcorrientesdeaire,Cavendish emplazsubalanzaenunahabitacinapruebadevientoymidila pequea torsin de la balanza utilizando un telescopio. A partir de las fuerzas de torsin en el hilo y las masas de las esferas Cavendish fue capaz de calcular el valor de la constante de gravitacin universal. Dado que la fuerza de la gravedad de la Tierra sobre cualquier objeto en su superficie puede ser medida directamente, la medida de la constante de gravitacin permiti determinar la masa de la Tierra por primera vez.La balanza de gravitacin es un instrumento muy sensible que permite demostrar la atraccin entre dos masas y determinar el valor de la constante G. Ejemplo.Cul es la fuerza de atraccin entre una esfera de 200 g y otra de 400 g separadas 10 cm.? Solucin. 3015100N50 N10 cm200 g 400 gNmkg kg kg Nm xF 334 . 5) 1 . 0 () 4 . 0 )( 2 . 0 )( / 10 667 . 6 (22 2 11= =Balanza de torsin de CavendishApuntes Fsica I M.C. Flix Vicente Jimnez RosFebrero 2012 17 PRACTICA DE LABORATORIO 1. Determinarexperimentalmenteelvalordelaaceleracindebidoalafuerzadegravedad(g), empleandounpndulohechoconunaesferade200gyunhiloNOelsticode1mde longitud. Ver figura Solucin. SehacomprobadoqueeltiempoquetardaunpnduloenrecorrerelarcoAB(enbajadaoensubida)esigualaltiempoque tarda un objeto en recorrer la distancia vertical h en cada libre. De acuerdo a lo anterior

1.Levante el pndulo una altura h = 0.5 m, sultelo y Tome el tiempo en que tarda en hacer 3 ciclos (recorrer doce veces h). Registre el dato en la tabla de la derecha 2.Repita 4 veces el punto anterior 3.Obtenga el promedio de los 4 tiempos: 44 3 2 1t t t ttpromedio+ + +=4.Divida tpromedio entre 12 para obtener el tiempo en que se recorre h Coneltiempoenqueserecorreh,h=0.5mydespejandogdelafrmula 2210gt t v s + = : 2 22 2thtsg = =, se obtiene el valor de la aceleracin debido a la gravedad (g), la cual debe ser muy prxima a 9.81 m/s2 Medicin del radio de la tierra En Aswan, algunos 800 km al sudeste de Alejandra en Egipto, los rayos del sol caen perpendicularmente al medioda durante el solsticio de verano. Erasttenes not que en Alejandra, el mismo da y a la misma hora, los rayos del sol formaban un ngulo de 7gradosconlavertical.Dadaladistanciaestimativaentrelasdosciudades,EratstenescalcullacircunferenciadelaTierra usandosimplegeometra.Comoexistendudassobrelaunidaddemedidausada,laexactituddesuresultadoesinciertapero podra haber variado entre un 5 y un 17 por ciento del valor aceptado actualmente El radio de la tierra calculado actualmente es de 6.38x106 m. Ejemplo.Calcular la masa de la tierra si su radio es de 6.38x106 m y la aceleracin debida a la gravedad es 9.81 m/s2 Solucin. La fuerza entre una masa m y la tierra se define por la formula 2TTRGmmF = y de acuerdo con la segunda ley de Newton (F=mg), esta misma fuerza al actuar sobre la misma masa le produce una aceleracin g(ya determinada experimentalmente)Igualando ambas ecuaciones se tiene, en donde eliminando m y despejando mTkg xkg Nm xs m m xGg RmTT242 2 112 2 6 210 99 . 510 667 . 6) / 81 . 9 ( ) 10 38 . 6 (= = = 2.2.1Campo gravitacional de la tierra.Es una regin del espacio en donde una masa muy pequea experimenta una fuerza de atraccin. Todas las masas estn rodeadas por un campo gravitacional cuyo valor esla aceleracin debido a la fuerza de atraccin que estas producensobre una masa muy pequea. Para el caso de la tierra el valor del campo gravitacional (g) en un determinado punto se obtiene mediante la igualacin de las fuerzas de las ecuaciones de fuerza gravitacional y de la segunda ley de Newton mgdGmmTT=2, en donde la masa m es una masa muy pequea comparada con mT(masa de la tierra). Despejando 2TT GdGmmFg = = En donde m=Es una masa muy pequea dentro del campo gravitacional mT=Es la masa de la tierra d=Es la distancia del centro de la tierra al punto donde se desea calcular el campo gravitacional Fg=Es la fuerza gravitacional g=Es el campo gravitacional o aceleracin debido a la gravedad El valor del campo gravitacional de la tierra a nivel del mar es: g = 9.81 m/s2 PESO: Es la fuerza de atraccin de entre masas Experimento No. Tiempo en que se realizan los 3 ciclos1 2 3 4 tpromedio 12promediott = 1 mhBAApuntes Fsica I M.C. Flix Vicente Jimnez RosFebrero 2012 18 2.2.2Cada libre. Es el movimiento de los objetos debidos nicamente al campo gravitacional de la tierra (g),Para la solucin de problemas de cada libre se emplean las frmulas de movimiento uniformemente acelerado: CONVENCIN DE SIGNOS DE LOS VECTORES -La fuerza del campo gravitacional de la tierra es hacia el centro de la misma, y para nuestras referencias es hacia abajo, por lo que le asignaremos signo negativo -La aceleracin debido a la gravedad (g) tiene la misma direccin de la fuerza que la produce por lo tanto es tambin hacia el centro de la tierra, o hacia abajo en nuestras referencias, por lo que tambin tiene signo negativo -El desplazamiento es positivo hacia arriba o negativo hacia abajo Ejemplo.Se arroja verticalmente hacia arriba una pelota de 30 g con una velocidad inicial de 20 m/s. Calcular: a.La altura mxima que alcanza b.El tiempo en que tarda en llegar al punto de lanzamiento SolucinLos datos que se tienen son: v0 = 20 m/s m = 30 g (dato no requerido) g = -9.81 m/s2 a.Para obtener la altura mxima se considera la velocidad de la pelota a la altura mxima, la cual es vf = 0 m/s Despejandosdelafrmula4delatablaysustituyendodatosseobtienelaalturamxima: ms ms mgv vsf39 . 20) / 81 . 9 ( 2) / 20 ( 0222 2202===

b.Lavelocidadcuandolapelotaregresaalpuntodelanzamientoesigualalavelocidadconlaqueselanzo(v0)peronegativa porque va hacia abajo Despejando t de la frmula 3 de la tabla y sustituyendo datos: ss ms m s mgv vtf08 . 4/ 81 . 9) / 20 ( ) / 20 (20= ==

Tambin se puede calcular t con la frmula 5 de la tabla, en donde el desplazamiento vertical s es cero cuando la pelota regresa a la altura del punto de lanzamiento: 0 = v0t + gt2. Dividiendo todo entre t : 0 = v0 + gt Despejando y sustituyendo datos: ss ms mgvt 08 . 4/ 81 . 9) / 20 ( 2 220=== Ejemplo Sedisparaverticalmentehaciaarribaunaflechaconunavelocidadde40m/s.tressegundosdespus,otraflechaesdisparada hacia arriba con una velocidad de 60 m/s. En que tiempo y posicin se encontraran ambas flechas? SolucinDatos: Velocidad inicial de la flecha que se lanza primero: v01 = 40 m/sVelocidad inicial de la flecha que se lanza despus: v02 = 60 m/s El desplazamiento de la flecha 1 es: 2 22122101 1905 . 4 40 ) 81 . 9 ( 40 t t t t gt t v s = + = + =El desplazamiento de laflecha2 es: 2 22122102 2) 3 ( 905 . 4 ) 3 ( 60 ) 3 )( 81 . 9 ( ) 3 ( 60 = + = + = t t t t gt t v s.El -3 en la formulase debe a que esta flecha se lanz 3 segundos despus de la primera Cuando las flechas se encuentran, ambas tienen el mismo desplazamiento (s1 = s2) No Movimiento En cada libre Significado de literales 1 t s v =t Tiempo en segundos; (s) s Desplazamiento lineal en metros; (m) v Velocidad lineal promedio en metros/segundo; (m/s) vf Velocidad final en metros/segundo; (m/s) v0Velocidad inicial en metros/segundo; (m/s) gAceleracin debido a la gravedad en metros/segundo2; (m/s2) Nota. Los vectores se indican con letras en negrita 2 20v vv+=f 3gtf 0v v =42gs202v v =f 5 210 + = t v s gt2 Apuntes Fsica I M.C. Flix Vicente Jimnez RosFebrero 2012 19 uuy ux uy ux uy = ux uuy

ux

uy uy ux uy uy uy = uy uy 145 . 44 43 . 29 905 . 4 180 60 905 . 4 40) 3 ( 905 . 4 ) 3 ( 60 905 . 4 402 22 2 + = = t t t t tt t t t Simplificando la ecuacin:145 . 224 43 . 49 = tDespejando s t 5346 . 443 . 49145 . 224= =. A los 4.53 segundos despus de lanzar la primera flecha, ambas flechas se encuentran. Esto se comprueba al sustituir este valor de tiempo en las ecuacionesde s1 y s2 m sm s5247 . 80 ) 3 5346 . 4 ( 905 . 4 ) 3 5346 . 4 ( 605245 . 80 ) 5346 . 4 ( 905 . 4 ) 5346 . 4 ( 402221= == = Las flechas se encuentran a una altura aproximada de 80.5245 m. El pequeo error se debe al redondeo de datos 2.2.3 Movimiento de proyectiles Proyectil: Es un objeto que se mueve debido a un impulso ya que carece de fuerza propia de propulsin El movimiento de proyectiles se puede dividir en dos grupos: -Proyectiles lanzados en direccin vertical -Proyectiles lanzados en direccin NO vertical Caractersticas de movimiento y posicin de los proyectiles lanzados NO verticalmente: -La componente horizontal de velocidad del proyectil se mantiene constante o:0x = :x ox = :0xt -Lacomponenteverticaldevelocidaddeunproyectilcambiadebidoalafuerzadegravedad,deigualformaenque cambialavelocidaddeunobjetoencadalibre.Enlasiguientefiguraseobservaloscambiosdemagnituddela componenteverticaldevelocidaddeunobjetolanzadoconunngulo,yloscambiosdemagnituddelavelocidad vertical de un objeto que se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial igual a la componente vertical del objeto lanzado con un ngulo . Se observa que son los mismos cambios en ambos movimientos. o: = :0 + gt oy = :0 +12gt2 o2gy = :2 -:02

Ejemplo. Unesquiadorrealizaunsaltohorizontalmenteconunavelocidad inicial de 25m/s, como se muestra en la siguiente figura. La altura de la rampa con respecto al punto donde hace contacto al caer es de 80 m. a.Cunto tiempo permanece en el aire el esquiador? b.Cul es la distancia horizontal recorrida? c.Culessonlascomponenteshorizontalyverticaldela velocidad al tocar la nieve? d.El ngulo del vector velocidad al tocar la nieve Solucin a.Eltiempoquepermaneceenelaireeselmismoenque tarda en caer los 80 m, y como se lanza horizontalmente, la velocidad vertical inicial es :0 = u ms Usando la frmula: y = :0 +12gt2 Despejamos el tiempo: t = _2g= _2(80 m)9.8 ms2 = 4.u4u6 s b.Como la componente horizontal de la velocidad semantiene constante, entonces la distancia recorrida en 4.0406 s es: x = :0xt = [2Sms (4.u4u6) = 1u1.u1S m c.La componente horizontal de la velocidad al tocar la nieve es: 25 m/s La componente vertical de la velocidad al tocar la nieve se puede calcular usando la formula: 2gy = :2 -:02, como el lanzamiento es horizontal, :0 = u ms entonces:ux = 25mxy = 8 mux = 25mxuy =. x =. ux

uyApuntes Fsica I M.C. Flix Vicente Jimnez RosFebrero 2012 20 : = 2gy = 2(9.8 ms2)(8um) = S9.6 ms d.0 = ton-1[jx = ton-1[39.6 ms25 ms = S7.74 2.3Tercera ley de Newton. A toda accin le corresponde una reaccin de la misma magnitud pero con sentido opuesto 2.3.1Friccin.Eslafuerzadedebidaalrozamientoentredossuperficies,cuyamagnitudestenfuncindelanaturalezade dichas superficies y de la fuerza de contacto entre ellas. Lafriccinentredossuperficiessindeslizamientoentreellas(friccinesttica)esdiferentealafriccindelas mismas cuando se deslizan (friccin dinmica). La fuerza de friccin para cada caso se determina por las siguientes formulas: fs = s Nfk = k N En donde: fs=Fuerzadebidoalafriccinesttica.Fuerzaqueseoponealmovimientorelativodedosobjetosencontactoquenose mueven fk = Fuerza debido a la friccin dinmica. Fuerza que se opone al movimiento relativo de dos objetos en contactoquese mueven s = Coeficiente de friccin esttico (depende de la naturaleza de las superficies en contacto que tratan de deslizarse). s puede valer desde0 hasta 1 k = Coeficiente de friccin dinmico (depende de la naturaleza de las superficies en contacto que se deslizan). kpuedevaler desde0 hasta 1 N = Fuerza normal (perpendicular) de contacto (fuerza con la que hacen contacto las superficies que se deslizan o tratan de) s >kypor consecuenciafs > fk LA FUERZAS DE FRICCIN ESTTICA Y DINAMICA SON FUERZAS DE REACCIN, DEBIDO A QUE SE OPONEN A UNA FUERZA DE ACCION. Ejemplo.Calcular la fuerza de friccin esttica mxima entre el bloque y la superficie horizontal que se muestran en la figura Solucin. fs = sN Comolasuperficiesobrelaqueestalacajaeshorizontal,elpeso(mg)delacajaeslafuerzanormalalassuperficiesen contacto, entonces: N = mg = (10kg)(9.81 m/s2) = 98.1 kg m/s2 o Newtons (N) . Entonces: fs = sN = (0.3)(98.1 N) = 29.43 N Ejemplo Llenar la tabla con los valores correctos de la fuerza de friccin esttica fs y la fuerza de friccin dinmica fk, segn el valor de la fuerza de accin F que acta sobre el bloque de la figuraSolucin. Primero se determina el valor mximo de la fuerza de friccin, el cual ya se determino en el ejemplo anterior fs = 29.43 N Entonces ya se puede llenar la columna fs de la tabla Para llenar la columna de fuerza de friccin dinmica fk primero hay que calcular: fk = k N = 0.2 (98.1 N) = 19.62 N Ejemplo. Calcularlavelocidadyeldesplazamientodespusde5segundosdeaplicarcontinuamenteunafuerzade40Nalbloquedel ejemplo anterior. La fuerza se aplica cuando el bloque esta en reposo SolucinDel ejemplo anterior se observa que la fuerza de friccin esttica mxima es de 29.43 N, pero como la fuerza aplicada es de 40 N, entonces el bloque se mueve y por lo tanto la friccin que afecta al movimiento es la fuerza de friccin dinmica (19.62 N) Lafuerzaresultantequemueveelbloqueeslasumadelosvectoresenladireccindel movimiento FR = 40-19.62 = 20.38 N Con esta fuerza resultante se puede calcular la aceleracin del bloque: 2/ 038 . 21038 . 20s mkgNmFa = = = F (N) fs (N) fk (N) 1010No existe 15.515.5No existe 2020No existe 30No existe19.62 40No existe19.62 10kgs = 0.310kg s = 0.3k = 0.2F fk = 19.62 NF = 40 N10 kgApuntes Fsica I M.C. Flix Vicente Jimnez RosFebrero 2012 21 -La velocidad despus de 5 s es:s m s s m s m at v vf/ 19 . 10 ) 5 )( / 038 . 2 ( ) / 0 (20= + = + = -El desplazamiento despus de 5 s es:m s s m s s m at t v s 475 . 25 ) 5 )( / 038 . 2 ( ) 5 )( / 0 (2 2212210= + = + =Ejemplo Dos bloques en reposo distan 200 m uno del otro. Si se aplican simultneamente las fuerzas indicadas en la figura calcule: a.A que distancia del punto A se encuentran los bloques b.En que tiempo se encuentran ambos bloques Solucin. La condicin de solucin cuando los bloque se encuentran es: SA - SB = 200 m.El signo menos se debe a que es una suma de vectores De la formula S = v0t + at2 se aplica para el desplazamiento de cada bloque: SA = v0At + aA t2 SB = v0Bt + aB t2 Si SA - SB = 200m,entonces:v0At + aA t2 - v0Bt + aB t2= 200 m.............................................................(1) La aceleracin para cada bloque se determina mediante la segunda ley de Newton kgfmFaAARAA10 30 cos 100 = = 100cos30 es la fuerza sobre el bloque A en direccin del desplazamientokgfmFaBBRBB20 45 cos 200 + = =-200cos45 es la fuerza sobre el bloque B en direccin del desplazamientoPara calcular fA y fB se aplica la formula f = Npara cada bloque Como la superficie es horizontal entonces la fuerza normal de contacto N para ambos bloques es el peso mg de cada bloque NA = mAg = (10kg)(9.81 m/s2) = 98.1 N NB = mBg = (20kg)(9.81m/s2) = 196.2 m/s2

Entonces: fA = NA = (0.3)(98.1N) = 29.43 N fB = NB = (0.4)(196.2N) = 78.48 N 2/ 72 . 51043 . 29 30 cos 10010 30 cos 100s mkg kgfmFaAARAA=== = 2/ 15 . 32048 . 78 45 cos 20020 45 cos 200s mkg kgfmFaBBRBB =+ =+ = = Sustituyendo valores en la formula (1) (0m/s)t +(5.72m/s2)t2 - (0m/s)(-3.15m/s2)t2 = 200 mUna ves que se observa que las unidades son homogneas, se pueden suprimir 2.86t2 + 1.575t2 = 200 4.435t2 = 200 s t 72 . 6435 . 4200= =En 6.72 s ambos bloques se encuentran SA = v0At + aA t2 = 0t+(5.72)(6.72)2 = 129.15 m SB = v0Bt + aB t2 = 0t + (-3.15)(6.72)2 = 71.12 m 2.3.2FUERZA CENTRPETA. Es una fuerza dirigida hacia el centro de rotacin de un objeto que gira,yseproducedebidoalcambiodedireccindelvectorvelocidaddedichoobjeto.La fuerza centrfuga es opuesta a la fuerza centrpeta y apunta radialmente hacia afuera Direccin de la aceleracin centrpetaDe la formula a =u-ut se observa que la direccin de la aceleracin es la misma que obtenida por la diferenciadevelocidadesv=vfv0.SielpuntoBestcercadelpuntoA,ladireccindelvector aceleracin se aproxima al centro. Cuando el punto B est muy prximo al punto A SR , pero s=vt tR, ordenando la ecuacin de la siguiente format2R y sabiendo que t= o , pero como el vector aceleracin se dirige al centro entonces se dice que es aceleracin centrpeta ac =u2R 45 30200 m 10 kg 20 kg200 N100 Nk=0.3k=0.4AB-v0vfvf-v0v0RS ABApuntes Fsica I M.C. Flix Vicente Jimnez RosFebrero 2012 22 Ejemplo. Se coloca un bloque de plstico de 50 g sobre un disco de plstico horizontal a 20 cm del eje de giro. Cul es la velocidad mxima en revoluciones por minuto (RPM) a al que puede girar el disco sin que el bloque se mueva? Considerar s = 0.5 Solucin La fuerza de friccin f=Ns = mgs= 0.05kg(9.81m/s2)(0.5) = 0.24525 N, el cual es el valor lmite de la fuerza centrifuga De la segunda ley de Newton F=ma; . o =Pm =0.24525 N0.05 kg= 4.9uS ms2

De la ecuacin ac = 2R, = _ucR se sustituyen valores = _4.905 ms20.2 m= 4.9S2S roJs Se usa el producto unitario para pasar rad/s a rev/min o RPM 4.9523 rad/s[1 c2n [60 s1 mn = 47.291 rc: min o RPH Ejemplo. Una cuerda de 0.5 m de longitud tiene atada en su extremo una esfera de 0.5 kg. Si la cuerda soporta una tensin de 50 N Cul es la velocidad angular mnima a la que se que rompe? Solucin. De la segunda ley de Newton F=ma; o =Pm =50 N0.5 kg = 1uu ms2

De la ecuacin ac = 2R, = _ucR , se sustituyen valores = _100 ms20.5 m= 14.142 roJs Ejemplo. Calcular la velocidad angular de la luna alrededor de la tierra en vueltas por da. Si se sabe que la distancia entre la luna y la tierra es 384,400 km, la masa de la tierra es 5.9736x1024 kg y la masa de la luna es 7.349x1022 kg Solucin. De la ley universal de gravitacin F =km1m2d2=6.6667x10-11Nm2kg2(5.9736x1024 kg)(7.349 x1022kg)(384.4x106m)2= 1.981 x1u20 NDe la segunda ley de Newton F=ma; o =Pm =1.981x1020 N7.349x1022 kg = 2.69SSx1u-2 ms3 De la ecuacin ac = 2R, = _ucR , se sustituyen valores = _2.6953x10-3ms2384.4x106m= 2.64796x1u-6 roJs. Se usa el producto unitario para pasar a revoluciones por da 2.64796x10-6 rad/s[1 c2n ud [3600 s1 h [24 h1 du = u.uS641 rc:Jio. Si sacamos el reciproco obtenemos 27.463 dias/rev. O sea que la luna tarda 27.463 dias en dar una vuelta a la tierra. 2.4EQUILIBRIO TRASLACIONAL Para lograr el equilibrio traslacional en un plano se deben cumplir las dos reglas siguientes: 1.EFx = 0. Esto indica que la sumatoria de fuerzas en el eje X es cero, por lo que el objeto no se mueve horizontalmenteo se mueve a velocidad constante 2.EFy = 0. Esto indica que la sumatoria de fuerzas en el eje Y es cero, por lo que el objeto no se mueveverticalmente ose mueve a velocidad constante Para facilitar la solucin de sistemas se siguiere: -Trazar su correspondiente diagrama de cuerpo libre (solo los vectores del sistema). En donde la direccin de los vectores es a consideracin personal.oSi el resultado es positivo la direccin del vector es correcta oSi el resultado es negativo, el sentido del vector es opuesto -Descomponer los vectores oblicuos en sus componentes X y Y -Aplicar las condiciones de equilibrio traslacional EFx = 0, EFy = 0 Ejemplo. 3bloquesidnticoscadaunodeunpesode8Nestnatadosconcuerdasycuelgancomosemuestraenlafigura. Calcular el peso en cada tramo de cuerda SolucinPara la cuerda C, la fuerza de gravedad sobre el bloque inferior es de 8 N. Entonces si el sistema est en equilibrio la EFy = 0, por lo que Fg + Fc = 0. Asignando valores:-8 N + Fc = 0. La cuerda C ejerce una fuerzaFc = 8 N hacia arriba Para la cuerda B, Fg + FB = 0. Asignando valores:-16 N + FB = 0. Entonces la cuerda B ejerce una fuerza FB = 16 N hacia arriba. Para la cuerda B, Fg + FA = 0. Asignando valores:-24 N + FA = 0. Entonces la cuerda A ejerce una fuerza FA = 24 N hacia arriba. ABC8 N8 N8 NApuntes Fsica I M.C. Flix Vicente Jimnez RosFebrero 2012 23 Ejemplo Para el sistema esttico mostrado en figura siguiente, calcule las tensiones de las cuerdas A y B Solucin Se dibuja diagrama de cuerpo libre Apoyndose en el diagrama de cuerpo libre se definen las ecuacionesde equilibrio EFx = 0; FB FAsen30 = 0.(1) EFy = 0; FA cos30 - 100 = 0(2) La ecuacin (2) solo tiene una incgnita y de esta se despeja FA FA =100cos 30 = 11S.47 N Se sustituye FA en ecuacin (1)FB = FAsen30 = (115.47)sen30 = 57.74 N Ejemplo 1 Para el sistema esttico mostrado en figura siguiente, calcule las tensiones de las cuerdas A y B Solucin Se dibuja diagrama de cuerpo libre Apoyndose en el diagrama de cuerpo libre se definen las ecuaciones de equilibrio EFx = 0; -FAcos30 + FBcos60 = 0..(1) EFy = 0;FAsen30 + FBsen60 - 200 = 0(2) Emplearemos el mtodo de suma y resta para determinar las fuerzas Dividiendo la ecuacin (1) entre cos 30; -FA +FB C0S60C0S30 = u(3) Dividiendo la ecuacin (2) entre sen30; FA +FB scn60scn30-200scn30 = u ..(4) Sumar las ecuaciones (3) y (4);FB[cos 60cos30 +scn60scn30 -200scn30 = u Simplificando 2.31FB 400 = 0de donde FB =4002.31 = 173. 1 NSustituyendo el valor de FB en la ecuacin (3): FA = FB cos60cos30 = (17S.16)(u.S77) = 99. 974 N Ejemplo 2 Un bloque de 200 lb sobre un plano inclinado sin friccin, que tiene una pendiente de 30. El bloque est atado a una cuerda que pasa por una polea sin friccin colocada en el extremo superior del plano inclinadoyatadaaotrobloquesuspendido.Culeselpesodelbloquesuspendidosielsistemase encuentra esttico?. Despreciar el peso de la cuerdaSolucin Se dibuja diagrama de cuerpo libre Apoyndose en el diagrama de cuerpo libre se definen las ecuaciones de equilibrio Nota. Considerar el eje X paralelo al plano inclinado y el eje Y perpendicular al mismo EFx = 0;P 200sen30 = 0..(1) EFy = 0;N 200cos30 = 0..(2) De la ecuacin (1) se puede obtener el peso del bloque suspendido (P) P = 200sen30; P = 100 N Ejemplo 3 Unbloquede100Nestaenreposoenunplanoinclinadode30.Sielcoeficientedefriccin dinmico d = 0.1, que fuerza paralela al plano hacia arriba se requiere para que el bloque se mueva a velocidad constante: a)Hacia arriba b)Hacia abajo Solucin Nota. Considerar el eje X paralelo al plano inclinado y el eje Y perpendicular al mismo a)Se dibuja diagrama de cuerpo libre en donde la fuerza de friccin dinmica fd va hacia abajo debido a que el bloque se mueve hacia arriba Apoyndose en el diagrama de cuerpo libre se define la ecuacion de equilibrio en X Primero se calcula fd = dN = (0.1) (100cos30) = 8.66 N EFx = 0;F 100sen30 -8.66 = 0..(1) 30 A B100 N 30 AB200 N60XY P200 N30N200 NAB30 60 30AB100 N100 N30 Fd=0.1Y XXYF100 N30Nfd200 lb30PY XPApuntes Fsica I M.C. Flix Vicente Jimnez RosFebrero 2012 24 Despejando F = 100sen30 + 8.66;F = 58.66 N b)Se dibuja diagrama de cuerpo libre en donde la fuerza de friccin dinmica fd va hacia arriba debido a que el bloque se mueve hacia abajo Apoyndose en el diagrama de cuerpo libre se define la ecuacin de equilibrio en X EFx = 0;F 100sen30 + 8.66 = 0..(1) DespejandoF = 100sen30 - 8.66;F = 41.34 N Ejemplo 4 Para el sistema mostrado en la siguiente figura, si el sistema debe permanecer esttico a. Cunto es el peso mximo P? b. Cunto es el peso mnimo P? Solucin a)Se dibuja el diagrama de cuerpo libre y en base a este se establecen las ecuaciones de equilibrio Fx = Pcos30 40cos 45 fs = 0 EFy = 40sen45 + Psen30 -300 + N = 0 De la ecuacin anterior N = 300 - 40sen45 - Psen30 fs = s N = (0.3)( 300 40sen45 Psen30) = 90 - 12sen45 - 0.3Psen30 Pcos30-40cos 45 90 + 12sen45 + 0.3Psen30 = 0 1.016P = 109.8 P = 108.071 lb b) Se dibuja el diagrama de cuerpo libre y en base a este se establecen las ecuaciones de equilibrio Fx = Pcos30 + fs - 40cos 45 = 0 EFy = 40sen45 + Psen30 -300 + N = 0 De la ecuacin anterior N = 300 - 40sen45 - Psen30 fs = s N = (0.3)( 300 40sen45 Psen30) = 90 - 12sen45 - 0.3Psen30 Fx= Pcos30 +90 - 12sen45 - 0.3Psen30 - 40cos 45= 0 0.716P = -53.23 P = -74.344 lb Esto significa que aunque P=0 el bloque no se mueve porque fs es mayor que la componente horizontal de 40 lb. Entonces el signo negativo indica que hay que empujar con 74.344 libras al bloque con una inclinacin de 30 2.5MOMENTO DE TORSIN ElMomentodetorsinotorqueesproducidoporunafuerzaquegiraotratardegirarunobjetoconrespectoauneje.Su magnitud se determina mediante la frmula: = Fd El smbolo indica que la fuerza y el brazo de palanca son perpendiculares entre s. Momento de torsin o torque FFuerza dBrazo de palanca (Distancia del eje de giro a la lnea de accin de la fuerza) Momento de torsin positivo. Cuando la fuerza gira o trata de girar un objeto en el sentido de las manecillas del reloj Momento de torsin negativo. Cuando la fuerza gira o trata de girar un objeto en el sentido contrario de las manecillas del reloj Nota. Si la lnea de accin de la fuerza toca el eje de giro el momento de torsin es cero Ejemplo 1 Calcular el momento de torsin que se produce en el tornillo de la figura de la derecha. = Fd = (100 N)(0.2 m) = 20 Nm Ejemplo 2 Calcular el momento de torsin que se produce en el tornillo de la siguiente de la derecha Este ejemplo se puede resolver de dos formas 1.Obtener la componente de la fuerza perpendicular al brazo de palanca 2.Obtener la componente del brazo de palanca perpendicular ala fuerza Primero vamos a resolverlo obteniendo la fuerza perpendicular al brazo de palanca. Ver figura a la derecha. La fuerza perpendicular al brazo de palanca es 100sen 35, entonces el torque es: = (100sen35 N)(0.2 m) = 11.472 Nm XYF100 N30Nfd300 lb 40 lbPs=0.330 45 300 lb40 lbP3045fs NN300 lb40 lbP30 45fs100 N20 cm 100 N20 cm35100 sen 35 100 N20 cm35Apuntes Fsica I M.C. Flix Vicente Jimnez RosFebrero 2012 25 Ahora seva a resolver elmismoproblemaobteniendo el brazode palanca perpendicular a la fuerza, Ver figura a la derecha. El brazo perpendicularalafuerzaes20sen35,entonceseltorquees;= (100 N)(0.2sen35 m) = 11.472 Nm Ejemplo 3 Para la placa mostrada en la figura de la izquierda, calcular el momento de torsin resultante en: a.Punto A b.Punto B c.Punto C d.Punto D e.Punto E Solucin (se obtienen las fuerzas perpendiculares a los brazos de palanca) a.EA = (70)(0) - (150sen40)(0.4) (100sen30)(0.2) + (100cos30)(0.4) + (80)(0) = 0-38.567-10+36.641+0 = -13.926 Nm b.EB = (70sen60)(0.2) - (150sen40)(0.2) + (100cos30)(0.2) - (100sen30)(0.2) - (80)(0.2) = 12.124 19.284 + 17.321-10-16= -15.839 Nm c.EC=70cos60(0.1)+150cos40(0.1)150sen40(0.4)+100cos30(0.4)100sen30(0.1)=3.5+11.49138.567+34.641-5=0.936 Nm d.ED=70sin(60)(0.2)-70cos(60)(0.1)+150cos(40)(0.1)-150sin(40)(0.2)+100cos(30)(0.2)100sin(30)(0.1)-80(0.2)=-2.848 Nm e.EE = 70sin(60)(0.4)-70cos(60)(0.2)+150cos(40)(0.2)-80(0.4) = 8.230 Nm Ejemplo 4 Una pieza angular de hierro articulada sobre un gozne es afectada por dos fuerzas, como semuestra en la figura de la derecha. Determine el momento de torsin en la articulacin (punto A). Solucin (se obtienen las componentes de los brazos de palanca perpendiculares a las fuerzas) EE = -0.12sin 50(60)+0.1cos20(80) = 2.002 Nm 2.6Para que un objeto este en equilibrio rotacional se debe cumplir la regla siguiente: E = 0 2.7EQUILIBRIO TOTAL Un objeto o sistema est en equilibrio total si cumple las reglas siguientes: 1.EFx = 0. Esto indica que la sumatoria de fuerzas en el eje X es cero, por lo que el objeto no se mueve horizontalmente,o se mueve con velocidad lineal constante 2.EFy = 0. Esto indica que la sumatoria de fuerzas en el eje Y es cero, por lo que el objeto no se mueveverticalmente, ose mueve con velocidad lineal constante 3.E = 0.Esto indica que la sumatoria de los momentos con respecto a un punto de giro es cero, por lo que el objeto no gira, o gira con velocidad angular constante Ejemplo1 Lafiguraaladerechamuestraunavigauniformequepesa200Nlacualest sostenida por dos soportes. Cul es el peso que carga cada soporte? Solucin Iniciamos dibujando el diagrama de cuerpo libre Observemos que con las condiciones de equilibrio traslacional es imposible resolver este problema, pero con las condiciones de equilibrio rotacional se facilita. EA = -300(2)-200(8)+B(12)-400(16) = 0. Despejando B B = 300(2)+200(8)+400(16)12 = 716.667 N EA = -A(12)+300(10)+200(4)-400(4) = 0. Despejando A A=300(10)+200(4)-400(4)12 = 183.333 N EstosdosresultadossedebecomprobarmediantelacondicindeequilibrioverticalEFy= 183.333-300-200+716.667-400 = 0 Ejemplo 2 Una viga de 200lbest articuladaensu extremo izquierdo (puntoA), yenel derecho (puntoB) soporta una carga de 500 lb. Si el sistema permanece esttico calcular: 20 sen35100 N20 cm3540 cm 20 cm 6040 150 N70 N80 N100 N ---A -B D C E --305010 cm12 cm2060 N80 NA300 N400 N12 m 10 m4 mAB400 N2 m 6 m4 m 4 m300 NA B200 N500 lb200 lb24 ft30 B A Apuntes Fsica I M.C. Flix Vicente Jimnez RosFebrero 2012 26 a. tensin de la cuerda yb.Magnitud y direccin de la fuerza ejercida por el perno en el punto A Solucin a.Se dibuja el diagrama de cuerpo libre en donde se obtiene: EA = -200(12)-500(24) + Tsin(30)(24) = 0 Despejando T =200(12)+500(24)24scn(30)= 1200 lb b.Paraestecasoseobtienenlascomponentesrectangularesydespusseobtienela magnitud F con su respectivo ngulo. Si las direcciones supuestas de los vectores no son las correctas, los resultados de estos tendrn signo negativo, lo que significa que solo hay que cambiar el sentido del vector EFx = Rx 1200cos(30) = 0;Rx = 1039.23 EFy = Ry +1200sin(30) 200 500 = 0 ; Ry = 100 R = 1uS9.2S2 +1uu2 = 1044.03 lb = ton-1[1001039.23 = 5.496 Ejemplo 3 Determinar el punto de equilibrio para el sistema formado por dos esferas unidas por una varilla de peso despreciable. Ver figura a la derecha. Solucin Para que el sistema este en equilibrio se requiere que la suma de momentos con respecto al punto de equilibrio sea igual a cero ( = 0) Si se considera la esfera de 8lb el punto de referencia, entonces: x = 8x 16(40+30cos(30)-x) = 0 8x 1055.692 +16x = 0 24x = 1055.692 x = 43.987 cm Si se ata o se apoya el sistema a 43.987 de la masa de 8 lb, el sistema permanecer en equilibrio 2.8Energa mecnica y trabajo Energa. Es todo aquello que se puede convertir en trabajo o en calor y se calcula con la formula E = Fs EEnerga en Joules (J), unidad trmica britnica (Btu), caloras (Btu) FFuerza en Newton (N) sDesplazamiento, en metros (m) 2.8.1Energa potencial y energa cinticaEnerga `potencial. Es la energa que posee un objeto de acuerdo a su posicin o su estado Laenergapotencialdeposicinogravitacionalsepresentasolosiexisteuncampogravitacional.Cuandose levanta un objeto, aumenta su energa potencial y disminuye cuando decrece su altura La energa potencial se calcula mediante la frmula EP = mgh = Ph EPenerga potencial en Joules (J) mMasa del objeto en kilogramos (kg) g Aceleracin debida a la gravedad en metros por segundos cuadrados (m/s2) hAltura con respecto a un punto de referencia, en metros (m) PPeso en Newtons (N) Laenergapotencialdeestadosepresentadeacuerdoalestadodelobjeto.Porejemplounresortesinser comprimido o estirado tiene una energa potencial nula, pero si se estira o comprime su energa potencial es mayor que cero. En trminos generales un objeto aumenta su energa potencial si consume energa y disminuye si libera energa Ejemplo 1 Para la caja de 50 N mostrada en la figura de la derecha, calcule su energa potencial gravitacional con respecto al: a.Piso b.Asiento de la silla c.MezaSolucinNota. Si no se especifica la aceleracin gravitacional, se debe considerar el valor9.81 m/s2 a.EP = (50 N)(1.7 m) = 85 Nm o J b.EP = (50 N)(1.2 m) = 60 Nm o J c.EP = (50 N)(0.8 m) = 40 Nm o J 3024 ft200 lb 500 lbB A TR 40 cm 30 cm8 lb16 lb30x8 lb 16 lb40 cm30 cm3050 N 90 cm 50 cm80 cm Apuntes Fsica I M.C. Flix Vicente Jimnez RosFebrero 2012 27 Ejemplo 2 Un resorte se comprime 5 cm con una fuerza promedio de 30 N. Cunto aumenta su energa potencial? Solucin EP = (30 N)(0.05 m) = 1.5 J Ejemplo 3 Se deja deposita una caja de 50 kg sobre un contenedor que contiene un resorte amortiguador. Si el contenedor disminuye 15 cm debido al peso, Cul es la energa potencial en el resorte? Solucin EP = (50 kg)(9.81 m/s2)(0.15 m) = 73.575 J Energacintica. Es la energa que posee un objeto de acuerdo a su movimiento, la cual se calcula mediante la frmula: EC = mv2; sus unidades son tambin son: Joule (J), unidad trmica britnica (Btu), o caloras (cal) Relacionando las ecuaciones de la segunda ley de Newton a = Fm, y del de movimiento uniformemente acelerado a = vI2v022S Se obtiene Pm =]2-022s, de donde Fs =m(]2-02)2 Fs= 12m:]2 -12m:02

Esto significa que la energa o el trabajo aplicado a un objeto, le cambia su energa cintica Ejemplo 1 Calcular la energa cintica de un automvil de 350 kg que se mueve a 60 km/h SolucinPrimero convertimos todas las unidades en el sistema internacional (60 km/h)(1h/3600s)(1000 m/1km) = 16.667 m/s EC = mv2 = (350 kg)(16.667 m/s)2 = 48,613.056 J Ejemplo 2 Qu fuerza promedio se requiere para detener una bala de 16 g que viaja a 260 m/s y que penetra una madera una distancia de 12 cm? Solucin EC = (0.016 kg)(260 m/s)2 = 540.8 J. Se sabe que Fs = ECfinal ECinicial. Al detenerse la bala ECfinal = 0. Por lo queFs = ECinicial ; F(0.12 m) = -540.8 JF =-540.8 ]0.12 m= - 4506.667 N. El signo negativo indica que la fuerza es en sentido contrario al movimiento Ejemplo 3 Una esfera de 5 kg se deja caer desde una altura de 2m. Calcular su energa cintica a.a la mitad de su recorrido b.cuando toca el sueloSolucinPrimero se calculan las velocidades de la esfera a la mitad del recorrido y cuando toca el suelo Las velocidades se calculan con la formula 2os = :]2 -:02 , como se deja caer v0 = 0, entonces 2as = vI2, por lo que:] = 2os a.Velocidad a la mitad del recorrido v =2(9.81 ms2)(1 m)= 4.429 m/s EC = (5 kg)(4.429)2 = 49.04 J b.Velocidad cuando toca el suelo v = 2(9.81 ms2)(2m)= 6.264 m/s EC = (5kg)(6.264)2 = 98.094 J 2.8.2 Interconversinentre energas cintica, potencial y trmica Ley de la conservacin de la energa. La energa no se crea ni se destruye solamente se transforma Deacuerdoaestaleysepuededecirquelaprdidaogananciadeenergacinticaproduceunagananciaoprdida respectivamente de energa potencial, y viceversa. Obien la suma delasenergas potencialycintica en cualquierpunto esla misma para un determinado objeto. En caso de que no sea igual, la parte faltante se pudo haber transformado en energa trmica o en algn otro tipo de energa. Ejemplo 1 Selanzaunaesferade100gverticalmentehaciaarribaconunavelocidadde20m/s.Despreciandoelrozamientodelairey considerandoelpuntodelanzamientocomoreferenciaparamedirlaaltura,calcularlasenergaspotencial,cinticaytotal(la suma de las energas potencial y cintica) a.Justo al lanzar la esfera b.En su altura mximac.Al 20 % de altura en ascenso d.Al 50 % de altura en ascenso e.Al 50 % de altura en descenso Solucin 1 m1 m5 kgApuntes Fsica I M.C. Flix Vicente Jimnez RosFebrero 2012 28 a.EP = mgh = (0.1 kg)(9.81 m/s2)(0 m) = 0 J EC = (0.1 kg)(20 m/s)2 = 20 J ET = 0 J + 20 J = 20 J b.Primerosecalculalaalturamximaconlaformula 2as = vI2v02;vf=0alaalturamxima.Entonces s =-022u=-(20 ms)22(-9.81 ms2) smax ==20.387 m EP = (0.1 kg)(9.81 m/s2)(20.387 m) = 20 J EC = (0.1 kg)(0 m/s)2 = 0 J ET = 20 J + 0 J = 20 J c.El20%delaalturaenascensoes0.2x20.387=4.077m.Lavelocidadaestaalturaseobtienedespejandovfdela formula 2os = :]2 -:02 .:] = 2os +:02 = _2(-9.81ms2)(4.u77 m) + (2u ms)2)= 17.889 m/s EP = mgh = (0.1 kg)(9.81 m/s2)(4.077 m) = 4 J EC = (0.1 kg)(17.889 m/s)2 = 16 J ET = 4 + 16 = 20 J d.El 50 % de altura es 0.5x20.387 = 10.194 m. La velocidad a esta altura se obtiene despejando vfde la formula2os = :]2 -:02;:] = 2os +:02 = _2(-9.81ms2)(1u.194 m) +(2u ms)2) = 14.142 ms = 14.142 m/s EP = mgh = (0.1 kg)(9.81 m/s2)(10.194 m) = 10 J EC = (0.1 kg)(14.142 m/s)2 = 10 J ET = 10 + 10 = 20 J e.El 50 % de altura endescensotambin es 0.5x20.387=10.194m,ylavelocidada estaalturaes lamismaqueladel inciso anterior solo que como va hacia abajo la esfera la velocidad es negativa (-14.142 m/s). como la energa es escalar no se usan los signos de los vectores 2as = vI2v02. EP = mgh = (0.1 kg)(9.81 m/s2)(10.194 m) = 10 J EC = (0.1 kg)(14.142 m/s)2 = 10 J ET = 10 + 10 = 20 J Ejemplo 2 Untrineode20kgempiezaaresbalardesdelacimadeunapendientede80mde longitudyde30deinclinacin,comoseobservaenlafiguradeladerecha.Si k=0.2 a. Cul es la energa del potencial del trineo cuando inicia su descenso? b.Cul ser la energa cintica al pie del plano inclinado? c.Cunta energa se perdi debido a la friccin? Solucin a.EP = (20 kg)(9.81 m/s2)(80sen30) = 7848 J b.En base al diagrama de cuerpo libre se obtiene la fuerza resultante, que acelera al trineo y en base a esta se obtiene la velocidad al pie del plano inclinado f=(169.914N)(0.2)=33.983 N FR = 98.1-33.983=64.117 N o = FRm= 64.117 N2u kg= S.2u6 ms2 2os = :]2 -:02; :] = 2os + :02 = _2(S.2u6ms2)(8u m) +[ums2) = 22.649 ms = 22.649 m/s EC = (20 kg)(22.649 m/s)2 = 5129.772 J c.Efriccin = (33.983 N)(80 m) = 2718.64 J.Tambin se puede obtener mediante la diferencia EP EC = 7848 5129.772 = 2718.228 J Ejemplo 3 Despreciandolasperdidasporrozamiento,calcularlavelocidadenelpuntomsbajodelaesferade 40 kg que oscila en forma de pndulo. Ver figura a la derecha Solucin.La EC a 1.6 m de altura es cero y EP = (40 kg)(9.81 m/s2)(1.6 m) = 627.84 J LaEPcuandoelpnduloestensupartemsbajaesceroyEC=627.84Jyaquetodalaenerga potencial se convirti en energa cintica Entonces la velocidad en el punto ms bajo es v= _2Lcm= _2(627.84 ])40 kg= S.6uS [ f=N196.2N169.914N98.1N1.6 m40 kg=0.220 kg3080 mApuntes Fsica I M.C. Flix Vicente Jimnez RosFebrero 2012 29 2.9 TRABAJO MECNICOTrabajo.Esunacantidadescalarigualalproductodeldesplazamientoydelafuerzaaplicadaenlamismadireccindel desplazamiento. T = F// s Ejemplo 1 Calculareltrabajorealizadoporlafuerzade100Naplicadaparamoverelbloquede50kg una distancia de 50 m. observe la inclinacin de la fuerza con respecto a la horizontal SolucinA la pendiente -0.5 le corresponde un ngulo de -26.565 T = (100cos26.565 N)(50 m) = 4472.138 J Ejemplo 2 Para subir un bloque de 20 kg que est en reposo por un plano inclinado, se aplica una fuerza constante paralela al plano de 200 N. Si el coeficiente de rozamiento dinmico entre el bloque y el plano es de 0.3. Calcular:a.Eltrabajorealizadoporlafuerzade200Nylasenergascintica, potencial, total y perdida a 1.5 m de altura b.El trabajo realizado por la fuerza de 200 N y las energas cintica, potencial, total y perdida a 2 m de altura Solucina.T = F//s = (200 N)(1.5/sen30 m) = 600 J EP = (20 kg)(9.81 m/s2)(1.5 m) = 294.3 J Para calcular la EC primero se debe calcular la velocidad, para lo cual se dibuja el diagrama de cuerpo libre y se obtiene la fuerza resultante que mueve el bloque La fuerza de friccin f = N = (0.3)(169.914 N) = 50.974 N FR = 200 50.974 98.1 = 50.926 N o =PRm=50.926 N20 kg= 2.S46 ms2 :] = 2os +:02 = _2 [2.S46ms2 (S m) +(u ms)2 = S.9u8 ms EC=(20 kg)(3.908m/s)2 = 152.725 J ET = 294.3 + 152.725 = 447.025 J Eperdida = f s = (50.974 N)(3 m) = 152.922 J Observar que la suma de ET + Eperdida = trabajo aplicado; 447.025 + 152.922 = 599.95 6uu } De acuerdo a la ley de la conservacin de la energa: el trabajo que entra a un sistema debe ser igual a la suma de las energas en que se transforma b.T = F//s = (200 N)(2/sen30 m) = 800 J EP = (20 kg)(9.81 m/s2)(2 m) = 392.4 J :] = 2os +:02 = _2 [2.S46ms2 (4 m) +(u ms)2 = 4.S1S ms EC=(20 kg)(4.513m/s)2 = 203.672 J ET = 392.4 + 203.672 = 596.072 J Eperdida = f s = (50.974 N)(4 m) = 203.896 J Observar que la suma de ET + Eperdida = trabajo aplicado; 596.072 + 203.896 = 799.97 8uu } De acuerdo a la ley de la conservacin de la energa: el trabajo que entra a un sistema debe ser igual a la suma de las energas en que se transforma Ejemplo 3 Un automvil de 1500 kg tiene un coeficiente de friccin dinmico de frenado k=0.7. Si se aplica el freno cuando el automvil viaja a una velocidad de 60 km/h a.Qu trabajo deben realizar los frenos para detener el automvil? b.Cul es la distancia de frenado? Solucin a.La EC que tiene el automvil antes de aplicar los frenos es el igual al trabajo que deben realizar los frenos para detener al automvil EC = T =(1,500 kg)(60 km/h)2[1000 m1 km2[1 h3600 s2= 208,333.333 J b.De la formula T = F//sse despejas =1P F es la fuerza de friccin f = N = (1500 kg)(9.81 m/s2)(0.7) = 10,300.5 N s = IF = 2u8,SSS.SSS [1u,Suu.S N= 2u.226 m 2.10POTENCIA MECNICA.Potencia es la rapidez con la que se realiza un trabajo y se calcula con la formula P =1t PPotencia mecnica en watts (W) 100 Nf196.2N169.914N98.1N1.5 m2 m=0.3 20 kg 30200 Nm=-0.5100 N50 m50 kgApuntes Fsica I M.C. Flix Vicente Jimnez RosFebrero 2012 30 Ttrabajo en Joules (J) ttiempo en segundos (s) Ejemplo 1 Una carga de 40 kg se levanta hasta una altura de 25 m en 1 minuto. Calcular la potencia a.en wattsyb.en caballos de fuerza Solucina.T = F//s = (40 kg)(9.81m/s2)(25 m) = 9810 J P =9810 ](1 mn)[60 s1 min = 16S.S wb.1 hp=746 W P = (163.5 W)[1 hp746 w = u.219 bp Ejemplo 2 Un ascensor de personal con una carga mxima de 2000 lb debe recorre un altura 200 ft en 10 s. Calcular la potencia del motor que debe accionar dicho ascensor. SolucinT = (2000 lb)(200 ft) = 400,000 lbft P = 4uu,uuu lb t1u s= 4u,uuu lb ts Se sabe que 1 hp = 550 lbft/s P = [4u,uuu lb ]ts _1 hp550 Ib]ts_ = 72.727 bp Ejemplo 3 A qu velocidad constante podra levantar un ascensor de 40 hp una carga de 2 ton, despreciando cualquier tipo de perdida? SolucinDe la formula P =1t se despeja T=PtPero T =Fsentonces Fs = Pt Como se busca velocidad: st =PP En el SI 1ton = 1000 kg En el sistema americano 1 tonelada corta = 907.18474 kg= 2000 lb En el sistema britnico 1 tonelada larga = 1,016.05 kg = 2240 lb Para este ejemplo consideraremos que es una tonelada americana st =(40 hp)[46 W1 hp(2907.1847 kg)(9.81 ms2) = 1.667 ms, convertido al sistema ingls (1.677m/s)[1 ]t0.3048 m = S.Su2 ts 2.11PRIMERA LEY DE NEWTON O LEY DE LA INERCIA Todo objeto conserva su estado de reposo o de movimiento rectilneo uniforme, mientras no actu sobre l una fuerza externa. 2.11.1IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO Impulso. Es una cantidad vectorial cuya magnitud es igual al producto de la fuerza por el intervalo de tiempo que acta sobre un objeto.I = FT Iimpulso(Ns) Ffuerza(N) tintervalo de tiempo en el que acta la fuerza (s) Cantidad de movimiento. Es una cantidad vectorial cuya magnitud es el producto de la masa del objeto por su velocidad.p = mv pcantidad de movimient