Apuntes formulas fundamentales_de_integración
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C ÁLCULO I NTEGRAL C C u u a a d d e e r r n n o o d d e e A A p p u u n n t t e e s s A A p p r r e e n n d d e e m m @ @ s s S S o o b b r r e e : : F F ó ó r r m m u u l l a a s s F F u u n n d d a a m m e e n n t t a a l l e e s s d d e e I I n n t t e e g g r r a a c c i i ó ó n n Ing. Miguel Angel Carrillo Valenzuela
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CÁLCULO INTEGRAL
CCuuaaddeerrnnoo ddee AAppuunntteess
AApprreennddeemm@@ss
SSoobbrree::
FFóórrmmuullaass FFuunnddaammeennttaalleess ddee
IInntteeggrraacciióónn
IInngg.. MMiigguueell AAnnggeell CCaarrrriilllloo VVaalleennzzuueellaa
CÁLCULO INTEGRAL
FFóórrmmuullaass FFuunnddaammeennttaalleess ddee IInntteeggrraacciióónn
EExxpplliiccaacciióónn ddee llaa iinntteeggrraall..
LLaa iinntteeggrraall eess uunnaa ooppeerraacciióónn mmaatteemmááttiiccaa ccoonnttrraarriiaa aa llaa ddeerriivvaaddaa;; eess ddeecciirr qquuee eell
pprroobblleemmaa eemmppiieezzaa ccoonn uunnaa ddeerriivvaaddaa oo ddiiffeerreenncciiaall yy tteerrmmiinnaa ccuuaannddoo eennccoonnttrraammooss
uunnaa eeccuuaacciióónn oorriiggiinnaall ((ffuunncciióónn pprriimmiittiivvaa)) aa ppaarrttiirr ddee llaa ccuuaall ssee oobbttuuvvoo llaa ddeerriivvaaddaa..
EEjjeemmpplloo 11..
yy ==xx22 yy == xx
22 ++ 11 yy ==xx
22 –– 77
ddyy==dd((xx22)) ddyy==dd((xx
22++11)) ddyy==dd((xx
22 –– 77))
ddxx ddxx ddxx ddxx ddxx ddxx
ddyy==22xx ddyy ==22xx ddyy ==22xx
ddxx ddxx ddxx
ddyy==22xxddxx ddyy ==22xxddxx ddyy ==22xxddxx
FFóórrmmuullaa ddee iinntteeggrraacciióónn
vvnnddvv== vv
nn++11 ++ cc
nn++11
TTooddaass llaass ffóórrmmuullaass ddiirreeccttaass ddee iinntteeggrraacciióónn
tteerrmmiinnaann ccoonn uunnaa ccoonnssttaannttee qquuee ssee llllaammaa
ccoonnssttaannttee ddee iinntteeggrraacciióónn..
TTooddooss llooss nnúúmmeerrooss qquuee eessttéénn ddeennttrroo ddee uunnaa
iinntteeggrraall mmuullttiipplliiccaannddoo,, ssee ssaaccaann ddee llaa iinntteeggrraall..
SSee iiddeennttiiffiiccaa ccuuááll eess llaa ooppeerraacciióónn pprriinncciippaall qquuee
ssee eessttáá pprreesseennttaannddoo eenn llaa iinntteeggrraall.. DDee aaccuueerrddoo
aa eessaa ooppeerraacciióónn ssee sseelleecccciioonnaa llaa ffóórrmmuullaa ddee
iinntteeggrraacciióónn aa uuttiilliizzaarr..
CCuuaannddoo ssee ddeerriivvaa uunnaa ffuunncciióónn ppiieerrddee ssuu
ccoonnssttaannttee ppoorr lloo qquuee aall iinntteeggrraall ssee aaññaaddee llaa
ccoonnssttaannttee ddee iinntteeggrraacciióónn..
SSee iinntteeggrraann
ddiiffeerreenncciiaalleess
22xxddxx
22 xx ddxx
nn==11 vv==xx
22 ((xx22))
22
yy== xx22++cc
FFuunncciióónn oorriiggiinnaall
CCaaddaa uunnaa ddee llaass
ffuunncciioonneess ddeell eejjeemmpplloo
ssoonn pprriimmiittiivvaass ddee eessttaa
ffuunncciióónn..
CÁLCULO INTEGRAL
EEjjeemmpplloo 22.. EEjjeemmpplloo 33..
((xx22++11))
55 22xxddxx ((xx33
++11))22 xx
22ddxx
22((xx22++11))
55 xxddxx SSeelleecccciioonnaammooss llaa ffóórrmmuullaa ddee aaccuueerrddoo aa llaa ooppeerraacciióónn pprriinncciippaall..
vvnn ddvv== vv
nn++11 ++cc vvnn
ddvv== vvnn++11
++cc
nn++11 nn++11
SSee iiddeennttiiffiiccaann llooss ttéérrmmiinnooss ddee llaa ffóórrmmuullaa ccoommoo llooss ddaattooss ddeell pprroobblleemmaa..
nn ==55 nn ==22
vv == xx22++11 vv ==xx
33++11
ssoobbrraa ddvv ==xx ddxx ssoobbrraa ddvv== xx22
ddxx
LLaa vv ssiieemmpprree ssee ddeerriivvaa yy ssuu rreessuullttaaddoo ddeebbee ddee sseerr iigguuaall aa lloo qquuee ccoollooccaammooss eenn
ssoobbrraa,, ssii nnoo ssoonn iigguuaalleess,, ssóólloo ssee ppuueeddee ccoommpplleettaarr ssoobbrraa ccoonn ppuurraass ccoonnssttaanntteess..
dd((xx22++11)) dd((xx
33++11))
ddxx ddxx
ddvv ==22xxddxx ddvv== 33xx22ddxx
ssoobbrraa ddvv ==xx ddxx ((22)) ccoommpplleettaarr ssoobbrraa ssoobbrraa ddvv== xx22
ddxx ((33))
CCuuaannddoo ssee ccoollooccaa uunnaa ccoonnssttaannttee mmuullttiipplliiccaannddoo aa ssoobbrraa,, eenn eell rreessuullttaaddoo ffiinnaall ssee
ppoonnee mmuullttiipplliiccaannddoo eell iinnvveerrssoo ddee eessaa ccoonnssttaannttee..
11 (( 22 ((xx22++11))
66 ++cc )) 11 ((xx
33++11))
33 ++cc
22 66 33 33
SSee ppuueeddee ssiimmpplliiffiiccaarr eell rreessuullttaaddoo ffiinnaall rreeaalliizzaannddoo llaass mmuullttiipplliiccaacciioonneess mmááss
ssiimmpplleess..
((xx22++11))
66 ++cc ((xx
33++11))
33 ++cc
66
((xx33++11))
33 ++cc ((xx
33++11))
33 ++cc
99
Nota. Para calcular la constante de integración, se asignan valores a las variables, tanto dependientes como independientes de la ecuación y se despeja la constante. Cada ocasión en que las variables cambien de valor, la constante cambiará y así
se obtendrá una primitiva de la función.
CÁLCULO INTEGRAL
EEjjeemmpplloo 44..
((xx22++1100xx--11))
33 ((xx++55)) ddxx
nn ==33 SSoobbrraa
vv == xx22++1100xx--11 ((xx++55)) ddxx
ddvv== ((xx++55)) ddxx
ddvv == 22 ((xx++55)) ddxx
SSoobbrraa
((xx++55)) ddxx ((22))
11 ((xx22++1100xx--11))
44 ++cc
22 44
EEjjeemmpplloo 55..
(( xx ++11))55 ddxx
xx
SSoobbrraa
nn ==55 ddxx
vv == xx ++11 xx
dd vv == ddvv == 11 ..
ddxx ddxx 22 xx
ddvv == 11 ddxx
22 xx
SSoobbrraa
ddxx (( ½½ ))
xx
((22)) ((xx ++11))66 ++cc
66
Siempre se selcciona el término más
complejo del problema y sobre ese
término se identifica la fórmula a
utilizar.
Recordemos que la v siempre se
deriva y se debe de comparar con el
sobrante.
Si lo que sobra es una constante, se
puede completar el sobrante, de lo
contario, se deben de realizar otros
procedimientos para resolver la
integral.
Todo lo que se le añada al sobrante se
coloca también en el resultado final.
Al sobrante se le pueden añadir
términos enteros o fraccionarios. En el
resultado final siempre se pone el
mismo término pero inverso.
El signo de lo añadido siempre es el
mismo.
Cuando no se puede completar lo que
Sobra (o diferencial), se pueden
realizar operaciones algebráicas tales
como: desarrollo de binomios,
multiplicaciones, identidades,
productos notables etc.
CÁLCULO INTEGRAL
EEjjeemmpplloo 66
((xx33++11))
33 xxddxx RReessoollvveemmooss ccoonn llaa ffóórrmmuullaa vvnn
ddvv
nn ==33 SSoobbrraa CCuuaannddoo ssee ddeerriivvaa vv,, ssee ppuueeddee oobbsseerrvvaarr qquuee nnoo eess
vv ==xx33++11 xx ddxx iigguuaall aa SSoobbrraa yy qquuee llee ffaallttaa uunnaa xx,, aaddeemmááss ddee uunn 33,,
ddvv ==33xx22ddxx ppaarraa qquuee sseeaann iigguuaalleess.. CCuuaannddoo ffaalltteenn vvaarriiaabblleess
para completar sobra, se deben de realizar otras operaciones antes de volver a integrar.
SSee ddeessaarrrroollllaa eell bbiinnoommiioo aall ccuubboo ((((xx33))33++33((xx
22))((11))++33((xx
33))((11))
22++((11))
33)) xx
SSee mmuullttiipplliiccaa ccaaddaa ttéérrmmiinnoo ddeell bbiinnoommiioo ppoorr llaa xx qquuee eessttáá aaffuueerraa ddee ééll.. CCaaddaa ssuummaa
oo rreessttaa eess uunnaa iinntteeggrraall..
((xx99++ 33xx
66++ 33xx
33++11)) xx xx
1100++ 33xx
77++ 33xx
44++ xx
xx1100 ddxx ++ 33 xx77
ddxx ++ 33 xx44ddxx ++ xxddxx TTooddaass llaass iinntteeggrraalleess ssoonn vvnn
ddvv
xx1111
++ 33xx88 ++ 33xx
55 ++ xx
22++ cc
1111 88 55 22
EEjjeemmpplloo 77..
SSeenn55 ((xx
22)) CCooss ((xx
22)) xx ddxx NNuueevvaammeennttee ssee uussaa llaa ffóórrmmuullaa vvnn
ddvv
nn ==55 SSoobbrraa == CCooss ((xx22)) xx ddxx
vv ==SSeenn ((xx22))
dd SSeennxx22 == CCoossxx
22 ddxx
22
ddxx ddxx
ddvv == CCooss((xx22)) 22xxddxx LLaa ddeerriivvaaddaa ssee ppaarreeccee aa SSoobbrraa ssóólloo
ffaallttaa uunn 22..
SSoobbrraa == CCooss ((xx22)) xx ddxx ((22))
RReessuullttaaddoo FFiinnaall
11 ((SSeenn ((xx22))))
66 ++cc
22 66
CÁLCULO INTEGRAL
EEjjeemmpplloo 88..
((xx22++1100xx –– 11 ))
33 ((xx ++ 55)) ddxx
nn==33 SSoobbrraa ((xx ++ 55)) ddxx
vv == xx22++1100xx ––11
ddvv== ((22xx++1100)) ddxx
ddvv ==22((xx++55)) ddxx
RReessuullttaaddoo FFiinnaall
11 ((xx22++1100xx--11))
44 ++cc
22 44
EEjjeemmpplloo 99..
AArrccttgg33((xx)) ddxx
11++xx22
nn ==33 SSoobbrraa == ddxx
vv == AArrccttgg ((xx)) 11++xx22
ddvv == 11 ddvv == ddxx
ddxx 11++xx22
11++xx22
RReessuullttaaddoo FFiinnaall
((AArrccttgg((xx))))44 ++cc
44
EEjjeemmpplloo 1100..
llnn ((xx)) ddxx
xx
nn ==11 SSoobbrraa == ddxx
vv == llnn ((xx)) xx
ddvv == 11 ddxx ddvv == ddxx
ddxx xx ddxx xx
RReessuullttaaddoo FFiinnaall
(( llnn ((xx))))22 ++cc
22
Cuando hay dos o más términos, se
debe de seleccionar el más complejo
para, de éste, identificar la fórmula de
integración a utilizar.
En este caso, el término que tiene el
exponente más elevado nos servirá de
guía para seleccionar la fórmula.
En un buen porcentaje la fórmula más
empleada es
vvnn ddvv== vv
nn++11 ++cc
nn++11 Recordemos que siempre se deriva el
dato llamado v, para obtener dv, este dv
se compara con sobra (que en realidad
se llama diferencial), si lo que le falta a
sobra es una constante, se añade esa
constante a sobra y se coloca en el
resultado final el inverso con el mismo
signo.
En estos ejemplos, la constante siempre
está multiplicando pero hay ocasiones en
que faltará sumando o restándose, esa
clase de problemas se verán más
adelante.
Sobra siempre será todo aquel término
que no se consideró en la fórmula
incluyendo dx (el diferencial).
El resultado final es la función original
derivable, este resultado tiene una
constante ya que pueden pertenecer
varias funciones primitivas las que dieron
el diferencial a integral.
Una función primitiva es aquélla que ya
tiene un valor de la constante.
CÁLCULO INTEGRAL
Fórmulas Fundamentales de Integración
11)) ddvv == vv++cc
22)) ((vv ++-- uu)) ddvv == vv ddvv ++-- uu ddvv
33)) cc ddvv == cc ddvv
44)) vvnn
ddvv == vvnn++11
++cc
nn++11
55)) ddvv == llnn((vv)) ++cc
vv
66)) aavv == aa
vv ++cc
llnn((aa))
77)) eevv== ee
vv++cc
88)) SSeenn ((vv)) ddvv == --CCooss((vv)) ++cc
99)) CCooss ((vv)) ddvv == SSeenn ((vv)) ++cc
1100)) TTgg ((vv)) ddvv == LLnn((SSeenn ((vv)))) ++cc
1111)) SSeecc ((vv)) ddvv == LLnn ((SSeecc ((vv)) ++TTgg ((vv)))) ++cc
1122)) CCsscc ((vv)) ddvv == LLnn ((CCsscc ((vv)) ++CCttgg((vv)))) ++cc
1133)) CCttgg ((vv)) ddvv == LLnn ((CCooss ((vv)))) ++cc
1144)) SSeecc22((vv)) ddvv == TTgg ((vv)) ++cc
2255)) aa22--vv
22 ddvv == ½½ vv aa
22 –– vv
22 ++ ½½ aa
22 AArrssccSSeenn ((vv//aa)) ++ cc
2266)) vv22++aa
22 ddvv == ½½ vv vv
22 ++ aa
22 ++ ½½ aa
22 llnn (( vv ++ vv
22++aa
22 )) ++ cc
2277)) vv22––aa
22 ddvv == ((½½ vv vv
22 –– aa
22 )) –– ½½ aa
22 llnn || vv ++ vv
22 –– aa
22 || ++ cc
1155)) CCsscc22 ((vv)) ddvv == --CCttgg ((vv)) ++cc
1166)) SSeecc ((vv)) TTgg ((vv)) ddvv == SSeecc ((vv)) ++cc
1177)) CCsscc ((vv)) CCttgg ((vv)) ddvv == --CCsscc ((vv)) ++cc
1188)) ddvv == AArrccsseecc vv ++cc
aa22--vv
22 aa
1199)) ddvv == 11 AArrccttgg vv ++cc
aa22++vv
22 aa aa
2200)) ddvv == 11 AArrccsseecc vv ++cc
vvvv22--aa
22 aa aa
2211)) ddvv == 11 llnn || vv –– aa || ++ cc
vv22--aa
22 22aa vv ++ aa
2222)) ddvv == 11 llnn || vv ++ aa || ++ cc
aa22--vv
22 22aa vv –– aa
2233)) ddvv == llnn(( vv ++ vv22++aa
22 )) ++ cc
vv22++aa
22
2244)) ddvv == llnn(( vv ++ vv22 –– aa
22 )) ++ cc
vv22--aa
22
