CÁLCULO INTEGRAL

CCuuaaddeerrnnoo ddee AAppuunntteess

AApprreennddeemm@@ss

SSoobbrree::

FFóórrmmuullaass FFuunnddaammeennttaalleess ddee

IInntteeggrraacciióónn

IInngg.. MMiigguueell AAnnggeell CCaarrrriilllloo VVaalleennzzuueellaa

CÁLCULO INTEGRAL

FFóórrmmuullaass FFuunnddaammeennttaalleess ddee IInntteeggrraacciióónn

EExxpplliiccaacciióónn ddee llaa iinntteeggrraall..

LLaa iinntteeggrraall eess uunnaa ooppeerraacciióónn mmaatteemmááttiiccaa ccoonnttrraarriiaa aa llaa ddeerriivvaaddaa;; eess ddeecciirr qquuee eell

pprroobblleemmaa eemmppiieezzaa ccoonn uunnaa ddeerriivvaaddaa oo ddiiffeerreenncciiaall yy tteerrmmiinnaa ccuuaannddoo eennccoonnttrraammooss

uunnaa eeccuuaacciióónn oorriiggiinnaall ((ffuunncciióónn pprriimmiittiivvaa)) aa ppaarrttiirr ddee llaa ccuuaall ssee oobbttuuvvoo llaa ddeerriivvaaddaa..

EEjjeemmpplloo 11..

yy ==xx22 yy == xx

22 ++ 11 yy ==xx

22 –– 77

ddyy==dd((xx22)) ddyy==dd((xx

22++11)) ddyy==dd((xx

22 –– 77))

ddxx ddxx ddxx ddxx ddxx ddxx

ddyy==22xx ddyy ==22xx ddyy ==22xx

ddxx ddxx ddxx

ddyy==22xxddxx ddyy ==22xxddxx ddyy ==22xxddxx

FFóórrmmuullaa ddee iinntteeggrraacciióónn

vvnnddvv== vv

nn++11 ++ cc

nn++11

TTooddaass llaass ffóórrmmuullaass ddiirreeccttaass ddee iinntteeggrraacciióónn

tteerrmmiinnaann ccoonn uunnaa ccoonnssttaannttee qquuee ssee llllaammaa

ccoonnssttaannttee ddee iinntteeggrraacciióónn..

TTooddooss llooss nnúúmmeerrooss qquuee eessttéénn ddeennttrroo ddee uunnaa

iinntteeggrraall mmuullttiipplliiccaannddoo,, ssee ssaaccaann ddee llaa iinntteeggrraall..

SSee iiddeennttiiffiiccaa ccuuááll eess llaa ooppeerraacciióónn pprriinncciippaall qquuee

ssee eessttáá pprreesseennttaannddoo eenn llaa iinntteeggrraall.. DDee aaccuueerrddoo

aa eessaa ooppeerraacciióónn ssee sseelleecccciioonnaa llaa ffóórrmmuullaa ddee

iinntteeggrraacciióónn aa uuttiilliizzaarr..

CCuuaannddoo ssee ddeerriivvaa uunnaa ffuunncciióónn ppiieerrddee ssuu

ccoonnssttaannttee ppoorr lloo qquuee aall iinntteeggrraall ssee aaññaaddee llaa

ccoonnssttaannttee ddee iinntteeggrraacciióónn..

SSee iinntteeggrraann

ddiiffeerreenncciiaalleess

22xxddxx

22 xx ddxx

nn==11 vv==xx

22 ((xx22))

22

yy== xx22++cc

FFuunncciióónn oorriiggiinnaall

CCaaddaa uunnaa ddee llaass

ffuunncciioonneess ddeell eejjeemmpplloo

ssoonn pprriimmiittiivvaass ddee eessttaa

ffuunncciióónn..

CÁLCULO INTEGRAL

EEjjeemmpplloo 22.. EEjjeemmpplloo 33..

((xx22++11))

55 22xxddxx ((xx33

++11))22 xx

22ddxx

22((xx22++11))

55 xxddxx SSeelleecccciioonnaammooss llaa ffóórrmmuullaa ddee aaccuueerrddoo aa llaa ooppeerraacciióónn pprriinncciippaall..

vvnn ddvv== vv

nn++11 ++cc vvnn

ddvv== vvnn++11

++cc

nn++11 nn++11

SSee iiddeennttiiffiiccaann llooss ttéérrmmiinnooss ddee llaa ffóórrmmuullaa ccoommoo llooss ddaattooss ddeell pprroobblleemmaa..

nn ==55 nn ==22

vv == xx22++11 vv ==xx

33++11

ssoobbrraa ddvv ==xx ddxx ssoobbrraa ddvv== xx22

ddxx

LLaa vv ssiieemmpprree ssee ddeerriivvaa yy ssuu rreessuullttaaddoo ddeebbee ddee sseerr iigguuaall aa lloo qquuee ccoollooccaammooss eenn

ssoobbrraa,, ssii nnoo ssoonn iigguuaalleess,, ssóólloo ssee ppuueeddee ccoommpplleettaarr ssoobbrraa ccoonn ppuurraass ccoonnssttaanntteess..

dd((xx22++11)) dd((xx

33++11))

ddxx ddxx

ddvv ==22xxddxx ddvv== 33xx22ddxx

ssoobbrraa ddvv ==xx ddxx ((22)) ccoommpplleettaarr ssoobbrraa ssoobbrraa ddvv== xx22

ddxx ((33))

CCuuaannddoo ssee ccoollooccaa uunnaa ccoonnssttaannttee mmuullttiipplliiccaannddoo aa ssoobbrraa,, eenn eell rreessuullttaaddoo ffiinnaall ssee

ppoonnee mmuullttiipplliiccaannddoo eell iinnvveerrssoo ddee eessaa ccoonnssttaannttee..

11 (( 22 ((xx22++11))

66 ++cc )) 11 ((xx

33++11))

33 ++cc

22 66 33 33

SSee ppuueeddee ssiimmpplliiffiiccaarr eell rreessuullttaaddoo ffiinnaall rreeaalliizzaannddoo llaass mmuullttiipplliiccaacciioonneess mmááss

ssiimmpplleess..

((xx22++11))

66 ++cc ((xx

33++11))

33 ++cc

66

((xx33++11))

33 ++cc ((xx

33++11))

33 ++cc

99

Nota. Para calcular la constante de integración, se asignan valores a las variables, tanto dependientes como independientes de la ecuación y se despeja la constante. Cada ocasión en que las variables cambien de valor, la constante cambiará y así

se obtendrá una primitiva de la función.

CÁLCULO INTEGRAL

EEjjeemmpplloo 44..

((xx22++1100xx--11))

33 ((xx++55)) ddxx

nn ==33 SSoobbrraa

vv == xx22++1100xx--11 ((xx++55)) ddxx

ddvv== ((xx++55)) ddxx

ddvv == 22 ((xx++55)) ddxx

SSoobbrraa

((xx++55)) ddxx ((22))

11 ((xx22++1100xx--11))

44 ++cc

22 44

EEjjeemmpplloo 55..

(( xx ++11))55 ddxx

xx

SSoobbrraa

nn ==55 ddxx

vv == xx ++11 xx

dd vv == ddvv == 11 ..

ddxx ddxx 22 xx

ddvv == 11 ddxx

22 xx

SSoobbrraa

ddxx (( ½½ ))

xx

((22)) ((xx ++11))66 ++cc

66

Siempre se selcciona el término más

complejo del problema y sobre ese

término se identifica la fórmula a

utilizar.

Recordemos que la v siempre se

deriva y se debe de comparar con el

sobrante.

Si lo que sobra es una constante, se

puede completar el sobrante, de lo

contario, se deben de realizar otros

procedimientos para resolver la

integral.

Todo lo que se le añada al sobrante se

coloca también en el resultado final.

Al sobrante se le pueden añadir

términos enteros o fraccionarios. En el

resultado final siempre se pone el

mismo término pero inverso.

El signo de lo añadido siempre es el

mismo.

Cuando no se puede completar lo que

Sobra (o diferencial), se pueden

realizar operaciones algebráicas tales

como: desarrollo de binomios,

multiplicaciones, identidades,

productos notables etc.

CÁLCULO INTEGRAL

EEjjeemmpplloo 66

((xx33++11))

33 xxddxx RReessoollvveemmooss ccoonn llaa ffóórrmmuullaa vvnn

ddvv

nn ==33 SSoobbrraa CCuuaannddoo ssee ddeerriivvaa vv,, ssee ppuueeddee oobbsseerrvvaarr qquuee nnoo eess

vv ==xx33++11 xx ddxx iigguuaall aa SSoobbrraa yy qquuee llee ffaallttaa uunnaa xx,, aaddeemmááss ddee uunn 33,,

ddvv ==33xx22ddxx ppaarraa qquuee sseeaann iigguuaalleess.. CCuuaannddoo ffaalltteenn vvaarriiaabblleess

para completar sobra, se deben de realizar otras operaciones antes de volver a integrar.

SSee ddeessaarrrroollllaa eell bbiinnoommiioo aall ccuubboo ((((xx33))33++33((xx

22))((11))++33((xx

33))((11))

22++((11))

33)) xx

SSee mmuullttiipplliiccaa ccaaddaa ttéérrmmiinnoo ddeell bbiinnoommiioo ppoorr llaa xx qquuee eessttáá aaffuueerraa ddee ééll.. CCaaddaa ssuummaa

oo rreessttaa eess uunnaa iinntteeggrraall..

((xx99++ 33xx

66++ 33xx

33++11)) xx xx

1100++ 33xx

77++ 33xx

44++ xx

xx1100 ddxx ++ 33 xx77

ddxx ++ 33 xx44ddxx ++ xxddxx TTooddaass llaass iinntteeggrraalleess ssoonn vvnn

ddvv

xx1111

++ 33xx88 ++ 33xx

55 ++ xx

22++ cc

1111 88 55 22

EEjjeemmpplloo 77..

SSeenn55 ((xx

22)) CCooss ((xx

22)) xx ddxx NNuueevvaammeennttee ssee uussaa llaa ffóórrmmuullaa vvnn

ddvv

nn ==55 SSoobbrraa == CCooss ((xx22)) xx ddxx

vv ==SSeenn ((xx22))

dd SSeennxx22 == CCoossxx

22 ddxx

22

ddxx ddxx

ddvv == CCooss((xx22)) 22xxddxx LLaa ddeerriivvaaddaa ssee ppaarreeccee aa SSoobbrraa ssóólloo

ffaallttaa uunn 22..

SSoobbrraa == CCooss ((xx22)) xx ddxx ((22))

RReessuullttaaddoo FFiinnaall

11 ((SSeenn ((xx22))))

66 ++cc

22 66

CÁLCULO INTEGRAL

EEjjeemmpplloo 88..

((xx22++1100xx –– 11 ))

33 ((xx ++ 55)) ddxx

nn==33 SSoobbrraa ((xx ++ 55)) ddxx

vv == xx22++1100xx ––11

ddvv== ((22xx++1100)) ddxx

ddvv ==22((xx++55)) ddxx

RReessuullttaaddoo FFiinnaall

11 ((xx22++1100xx--11))

44 ++cc

22 44

EEjjeemmpplloo 99..

AArrccttgg33((xx)) ddxx

11++xx22

nn ==33 SSoobbrraa == ddxx

vv == AArrccttgg ((xx)) 11++xx22

ddvv == 11 ddvv == ddxx

ddxx 11++xx22

11++xx22

RReessuullttaaddoo FFiinnaall

((AArrccttgg((xx))))44 ++cc

44

EEjjeemmpplloo 1100..

llnn ((xx)) ddxx

xx

nn ==11 SSoobbrraa == ddxx

vv == llnn ((xx)) xx

ddvv == 11 ddxx ddvv == ddxx

ddxx xx ddxx xx

RReessuullttaaddoo FFiinnaall

(( llnn ((xx))))22 ++cc

22

Cuando hay dos o más términos, se

debe de seleccionar el más complejo

para, de éste, identificar la fórmula de

integración a utilizar.

En este caso, el término que tiene el

exponente más elevado nos servirá de

guía para seleccionar la fórmula.

En un buen porcentaje la fórmula más

empleada es

vvnn ddvv== vv

nn++11 ++cc

nn++11 Recordemos que siempre se deriva el

dato llamado v, para obtener dv, este dv

se compara con sobra (que en realidad

se llama diferencial), si lo que le falta a

sobra es una constante, se añade esa

constante a sobra y se coloca en el

resultado final el inverso con el mismo

signo.

En estos ejemplos, la constante siempre

está multiplicando pero hay ocasiones en

que faltará sumando o restándose, esa

clase de problemas se verán más

adelante.

Sobra siempre será todo aquel término

que no se consideró en la fórmula

incluyendo dx (el diferencial).

El resultado final es la función original

derivable, este resultado tiene una

constante ya que pueden pertenecer

varias funciones primitivas las que dieron

el diferencial a integral.

Una función primitiva es aquélla que ya

tiene un valor de la constante.

CÁLCULO INTEGRAL

Fórmulas Fundamentales de Integración

11)) ddvv == vv++cc

22)) ((vv ++-- uu)) ddvv == vv ddvv ++-- uu ddvv

33)) cc ddvv == cc ddvv

44)) vvnn

ddvv == vvnn++11

++cc

nn++11

55)) ddvv == llnn((vv)) ++cc

vv

66)) aavv == aa

vv ++cc

llnn((aa))

77)) eevv== ee

vv++cc

88)) SSeenn ((vv)) ddvv == --CCooss((vv)) ++cc

99)) CCooss ((vv)) ddvv == SSeenn ((vv)) ++cc

1100)) TTgg ((vv)) ddvv == LLnn((SSeenn ((vv)))) ++cc

1111)) SSeecc ((vv)) ddvv == LLnn ((SSeecc ((vv)) ++TTgg ((vv)))) ++cc

1122)) CCsscc ((vv)) ddvv == LLnn ((CCsscc ((vv)) ++CCttgg((vv)))) ++cc

1133)) CCttgg ((vv)) ddvv == LLnn ((CCooss ((vv)))) ++cc

1144)) SSeecc22((vv)) ddvv == TTgg ((vv)) ++cc

2255)) aa22--vv

22 ddvv == ½½ vv aa

22 –– vv

22 ++ ½½ aa

22 AArrssccSSeenn ((vv//aa)) ++ cc

2266)) vv22++aa

22 ddvv == ½½ vv vv

22 ++ aa

22 ++ ½½ aa

22 llnn (( vv ++ vv

22++aa

22 )) ++ cc

2277)) vv22––aa

22 ddvv == ((½½ vv vv

22 –– aa

22 )) –– ½½ aa

22 llnn || vv ++ vv

22 –– aa

22 || ++ cc

1155)) CCsscc22 ((vv)) ddvv == --CCttgg ((vv)) ++cc

1166)) SSeecc ((vv)) TTgg ((vv)) ddvv == SSeecc ((vv)) ++cc

1177)) CCsscc ((vv)) CCttgg ((vv)) ddvv == --CCsscc ((vv)) ++cc

1188)) ddvv == AArrccsseecc vv ++cc

aa22--vv

22 aa

1199)) ddvv == 11 AArrccttgg vv ++cc

aa22++vv

22 aa aa

2200)) ddvv == 11 AArrccsseecc vv ++cc

vvvv22--aa

22 aa aa

2211)) ddvv == 11 llnn || vv –– aa || ++ cc

vv22--aa

22 22aa vv ++ aa

2222)) ddvv == 11 llnn || vv ++ aa || ++ cc

aa22--vv

22 22aa vv –– aa

2233)) ddvv == llnn(( vv ++ vv22++aa

22 )) ++ cc

vv22++aa

22

2244)) ddvv == llnn(( vv ++ vv22 –– aa

22 )) ++ cc

vv22--aa

22