Apuntes geom analitica_3_d_pob

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Ing. POB

Año 2014 v 0.9.0

Apuntes de GEOMETRIA ANALÍTICA EN EL ESPACIO Un enfoque práctico

Ing. POB Apuntes de Geometría Analítica en el Espacio 2014 v 0.9.0 Página 1

Para Sofi; ésta es mi forma de expresarte cuánto te quiero

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Ing. Pablo Ortiz Bochard M.Sc. Montevideo, Uruguay, 2014


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Tabla de contenido

CAPITULO 1. Introducción ........................................................................................................................ 6

1.1 Objetivos ............................................................................................................................................. 6

1.2 Algo de Historia .................................................................................................................................. 6

1.3 Coordenadas Cartesianas en el Espacio ..................................................................................... 7

Ejercicios Resueltos ................................................................................................................................ 11

Problemas ............................................................................................................................................... 14

CAPITULO 2. Vectores.............................................................................................................................. 15

2.1 Combinación Lineal de Vectores ................................................................................................. 17

2.2 Producto Escalar de dos vectores ................................................................................................ 20

2.3 Producto Vectorial de dos vectores ............................................................................................. 23

2.4 Aplicación de vectores a problemas geométricos ................................................................... 25


Problemas ............................................................................................................................................... 36

CAPITULO 3. Rectas ................................................................................................................................. 37

3.1 Ecuaciones de la Recta ................................................................................................................. 37

3.2 Posiciones Relativas de las Rectas ................................................................................................ 43


Problemas ............................................................................................................................................... 62

CAPITULO 4. Planos ................................................................................................................................. 63

4.1 Definición .......................................................................................................................................... 63

4.2 Ecuaciones del Plano...................................................................................................................... 65

4.3 Posiciones relativas del Plano ........................................................................................................ 68


Problemas ............................................................................................................................................... 79

CAPITULO 5. Posiciones relativas de Planos y Rectas.......................................................................... 80

5.1 Posiciones de un Plano y una Recta ............................................................................................ 80


5.2 Medida de ángulos entre rectas y planos ................................................................................... 83

5.3 Distancia entre puntos, rectas y planos ...................................................................................... 84


Problemas ............................................................................................................................................... 94

CAPÍTULO 6. Medidas de Áreas y Volúmenes ....................................................................................... 96

6.1 Área de un triángulo .................................................................................................................. 96

6.2 Área del paralelogramo ............................................................................................................ 97

6.3 Volumen de un tetraedro .......................................................................................................... 97

6.4 Volumen del paralepípedo....................................................................................................... 98


Problemas ............................................................................................................................................. 100

CAPÍTULO 7. Cuádricas........................................................................................................................... 101

7.1 Esfera .......................................................................................................................................... 101

7.2 Elipsoide ...................................................................................................................................... 103

7.3 Hiperboloide de una hoja ....................................................................................................... 105

7.4 Hiperboloide de dos hojas ...................................................................................................... 106

7.5 Cuadro Resumen ...................................................................................................................... 109

Ejercicios Resueltos .............................................................................................................................. 110

Problemas ............................................................................................................................................. 117


Cuadros

Cuadro 1. Posición relativa de las rectas. Método 1 ........................................................................... 44 Cuadro 2. Posición relativa de las rectas. Método 2 ........................................................................... 45 Cuadro 3. Posiciones relativas de los planos ......................................................................................... 69 Cuadro 4. Posiciones relativas de Planos y Rectas .............................................................................. 81


CAPITULO 1. Introducción

Largo es el camino de la enseñanza por medio de teorías; breve y eficaz por medio de ejemplos.

Séneca.

1.1 Objetivos

Estas notas apuntan a un objetivo netamente práctico, que es complementar la teoría brindada en los cursos con la escueta, por lo general, contraparte de ejemplos y problemas mismos. No obstante se exponen los principales conceptos teóricos, principalmente las definiciones y teoremas más importantes. No obstante, no es un sustituto teórico y debe necesariamente complementarse con los conceptos del curso y la infinidad de libros sobre el tema.

1.2 Algo de Historia Los inventores de la Geometría Analítica, Descartes y Fermat (siglo XVIII), se interesaron por el estudio de superficies, pero dedicaron poca atención a ello, centrándose casi exclusivamente en el estudio de curvas planas. Fue en el siglo XVIII cuando se desarrolló la geometría analítica del espacio. Clairut, Euler y Lagrange fueron pioneros

Por su extraordinario nivel de geómetra y su vocación pedagógica, puede considerarse a Monge (1746-1818) como el auténtico padre de la geometría analítica tridimensional: entre sus muchos libros, publicó uno para sus alumnos de la Escuela Politécnica de París, en el que desarrolló la geometría analítica del

espacio prácticamente como se encuentra en la actualidad.


1.3 Coordenadas Cartesianas en el Espacio

A partir de la representación deℝ, como una recta numérica, los elementos (�, �) � ℝ�se

asocian con puntos de un plano definido por dos rectas perpendiculares que al mismo tiempo definen un sistema de coordenadas rectangulares donde la intersección representa a (0, 0) y

cada (�, �) se asocia con un punto de coordenada a en la recta horizontal (eje X) y la

coordenada b en la recta vertical (eje Y).

Análogamente, los elementos (�, �, �)� ℝ�se asocian con puntos en el espacio tridimensional

definido con tres rectas mutuamente perpendiculares. Estas rectas forman los ejes del sistema de coordenadas rectangulares (ejes , � y �).

DEFINICION 1.1. Un sistema de coordenadas tridimensional se construye trazando un eje Z, perpendicular en el origen de coordenadas a los ejes X e Y. Cada punto viene determinado por tres coordenadas �(�, �, �).


DEFINICION 1.2. Un sistema de coordenadas es un conjunto de valores y puntos que permiten definir unívocamente la posición de cualquier punto de un espacio euclídeo.

Un sistema de referencia en el espacio consiste en el conjunto formado:

ℝ = ��, ��, ��, �� formado por:

• Un punto fijo, O, llamado origen.

• Una base ��, ��, �� para los vectores.

• Y a cada punto se le asocia el vector ��de coordenadas del espacio (�, �, �)

En términos prácticos, tres números (�, �, �) que sirven para pasar desde el punto �(origen) al

punto (extremo) del vector dado:

• “"” son las unidades a desplazarse sobre la dirección X (hacia adelante si " es positivo y hacia atrás si " es

negativo)

• “$” son las unidades a desplazarse sobre la dirección Y (hacia la derecha si $ es positivo y hacia la izquierda si $ es negativo).

• “%” son las unidades a desplazarse la dirección Z (hacia arriba si % es positivo y hacia abajo si % es negativo).

En la figura de la derecha, a=5, b=5y c=5.

Ejemplo

Representar los siguientes puntos del espacio ordinario:

�(5,2,3); (3,−2,5); +(1,4,0); .(0,0,4); /(0,6,3) Solución


Ejemplo 2

Representar los siguientes puntos del espacio ordinario:

( )3,2,5P ( )5,2,3−Q ( )0,4,1R ( )4,0,0S ( )3,6,0T

Solución

Ejemplo 3

Graficar el conjunto de puntos (�, �, �� que cumplen x=2, y=3.

Solución

Los puntos que satisfacen la condición anterior tienen la forma (2, 3, z), donde z toma todos los valores posibles. El resultado es la recta que pasa por el punto (2, 3, 0) y paralela al eje �.

Gráficamente:


Planos y Octantes

Los tres ejes de coordenadas determinan tres planos. El plano �� consiste de todos los puntos

con la coordenada � = 0, el plano �� que consiste de todos los puntos con la coordenada y=0

y el plano �� que son todos aquellos puntos cuya coordenada � = 0.

A su vez estos tres planos dividen el espacio tridimensional en 8 subplanos llamados octantes. El octante más referenciado es el primero, el cual está determinado por los ejes positivos �, �, �.


Ejercicios Resueltos

Ejercicio 1

Representar gráficamente: 12 = 2� 3 3� 3 5�1� = 3� 3 7� 3 � = 0� 3 0� 3 2�Solución

Ejercicio 2

Las coordenadas de los puntos representados en esta figura son: (0, 0, 3); (0, 3, 3); (3, 3, 3); (3, 0, 3); (3, 0, 0); (3, 3, 0); (0, 3, 0); (0, 3/2, 3); (0, 3, 3/2); (3, 3/2, 0) ;(3, 0, 3/2)

Asociar cada punto a sus coordenadas

Solución

A (0, 0, 3); B (0, 3, 3); C (3, 3, 3); D (3, 0, 3); E(3, 0, 0); F (3, 3, 0); G(0, 3, 0); P (0, 3/2, 3); Q (0, 3, 3/2); R (3, 3/2, 0); S (3, 0, 3/2)


Ejercicio 3

Graficar el plano � = 4

Solución

Cuando se quiere graficar el plano z=4 se deben considerar todos los puntos de la forma (�, �, 4). Dado que no se impone ninguna condición sobre � y �, éstos toman todos los valores posibles.

Gráficamente:

Ejercicio 4

Calcular a y b para que los puntos A (1, 2, –1), B (3, 0, –2) y C (4, a, b) estén alineados.

Solución

56�� = (2,−2,−1) Para que estén alieneados se debe cumplir:

57�� = (3, � − 2, � + 1) �� = 89�� = :;292 ⇒ � = −1; � = −5/2

Ejercicio 5

Determinar la figura que resulta de la ecuación: >� = 0� = 0

Solución

El resultado es la intersección de los planos � = 0 y � = 0, el resultado es el eje ��

Ejercicio 6

Determinar la figura que resulta de la ecuación � = 0.


Solución

� = 0 y �, � pueden tomar cualquier valor, el resultado es el plano ��


Problemas

Problema 1

Graficar los puntos A(-20,18,3) , B(0,18,0) y C(28,0,0)

Problema 2

Graficar el resultado de la ecuación �. � = 0

Problema 3

Graficar la ecuación:

?� 3 � 3 � ≤ 1� ≥ 0� ≥ 0� ≥ 0

Sugerencia: comenzar calculando la intersección de la primera ecuación con los ejes.


CAPITULO 2. Vectores

Se asume que el lector está familiarizado con el concepto de vector en el plano por lo que el desarrollo de los temas se enfocará en el espacio real de tres dimensiones ℝ�. Las características de los vectores en el espacio, así como las operaciones, son idénticas a las de los vectores en el plano. Se hace un breve repaso de los principales conceptos.

Vector como segmento orientado

A los puntos P y Q que definen el vector se les llama respectivamente: origen y extremo del

vector y se representa como � ��. Todo vector se caracteriza por:

Módulo: que es la distancia del punto P al Q.

Dirección: que es la misma que la recta que lo contiene (o paralela).

Sentido: para un vector, lo marca el del recorrido de P a Q (cada dirección tiene dos sentidos opuestos de recorrido).

DEFINICIÓN 2.1. Dos vectores son iguales si tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido.

Los vectores: →

PQ y →RS cumplen las tres condiciones de

igualdad, de ahí que cuando queramos hacer uso de un vector podamos tomar uno cualquiera de los que son iguales a él.

Todos ellos son representantes de un único vector.

Habitualmente al vector se le designa con una flecha encima

de una letra minúscula B� (por ejemplo), mediante un letra en

negrita C o bien indicando el origen y el extremo como se indicó.

Q

P

S

R

�

+.


Vector en término de sus componentes

También los vectores se pueden expresar en términos de sus componentes cartesianos.

Un vector D�� en el espacio puede escribirse como:

D�� = (D2, D�, D�� donde los números reales D2, D�, D� son llamados los componentes de D��.

Producto de un vector por un escalar (real). Colinealidad

Dado un escalar � E 0 , con � ∈ � y un vectorD�� definimos el vector �D�� como aquel que cumple �D�� = (�D2, �D�, �D�� Propiedades

1. tiene la misma dirección que D�� 2. el mismo sentido que D�� si 0>k y sentido contrario al de D�� si

0<k

3. su módulo es igual al de multiplicado por el valor absoluto de |�||D��| = |�D��| Si 1−=k el vector

→uk se denomina opuesto del vector

→u , y se

escribe: *D�� Si 0=k el vector �D�� es el vector cero: 0��cuyo extremo y origen coinciden.

El vector B� es colineal con D�� si se cumple que ∃� ∈ � ∶ B� = �D��o D�� = �B�

Suma y Resta de Vectores

Dados dos vectores B�(B2, B�, B�� y D��(D2, D�, D�� cualesquiera.

Para sumarlos hay que tomar un representante de cada uno de ellos con origen común(O).

En ese caso el vector suma: J�� = D��3 B�� es la diagonal cuyo origen es (O) y se cumple que:

J��(B1 3 D1, B2 3 D2, B3 3 D3� (2.1)


El vector resta: D�� * B�es la diagonal que va del extremo de B� al extremo de D��. El vector

resultante es la resta de los componentes de ambos vectores.

Ejemplo

Sean los vectores D�� = (*1,4,3) y B� = (−2,−3,1) elementos de ℝ�. Calcular D�� +B� y 3D�� Solución

D�� +B� = (−1,4,3) + (−2,−3,1) = (−3, 1, 4) 3D�� = 3(−1,4,3) = (−3,12,9)

Propiedades de la suma

Conmutativa: D�� +B� = B� +D��∀D��, B� ∈ ℝ� Asociativa: D�� + (B� +J��) = (D�� + B�) + J��∀D��, B�,J�� ∈ ℝ� Neutro: ∃0�� ∈ ℝ� ∶ D�� + 0�� = 0�� + D��∀D�� ∈ ℝ� Opuesto: ∃(−D��) ∈ ℝ�:D�� + (−D��) = 0��∀D�� ∈ ℝ�

2.1 Combinación Lineal de Vectores

DEFINICION 2.2. Un vector B� es una combinación lineal de un subconjunto S de un espacio vectorial V si existen vectores B�2, B��, … , B�O en S y escalares �2, ��, … , �O tal que:

B = �2B�2 +��B�� +⋯+ �OB�O En el ejemplo en la figura, tenemos una combinación lineal de los vectores D�� y B� (D�� es colineal

con B�) si se cumple:

D�� = QB� ∶ (D2, D�, D�) = (QB2, QB�, QB�) =>

(2.2)


STUT = SVUV = SWUW = Q

DEFINICIÓN 2.3. Un conjunto de vectores S= { B�2, B��, … . . B�O} en �O se dice Linealmente Independientente (L.I.) si el vector ecuación:

�2B�2 3��B�� 3⋯3 �OB�O = 0

admite únicamente la solución trivial ( �Y = 0∀Z�. El conjunto {B�2, B��, … . . B�O} se dice Linealmente Dependiente (L.D.) si los escalares �2, ��, … . , �O no todos son cero cumpliéndose:

�2B�2 3��B�� 3⋯3 �OB�O = 0

Es decir, si varios vectores se pueden poner como combinación lineal de los restantes entonces son L.D. en caso contrario son L.I.

Propiedades

1. Un conjunto de vectores compuesto por vectores no nulos es LI, pero el vector 0 es L.D. 2. Un conjunto de 2 vectores es L.D. si y solo si uno de los vectores es múltiplo del otro

3. Cada subconjunto de ℝ� que contenga más de [ vectores es L.D.

4. Dos vectores colineales son L.D. 5. Dos vectores no colineales son L.I.

6. Tres vectores coplanarios (pertenecientes al mismo plano) son L.D.

Expliquemos la última propiedad:

6a. Así el vector �� es coplanario con los vectores D�� y B�, si cumple que �� es combinación

lineal de D�� y B�: �� = 2D�� + 1B� 6b. Por el contrario tres vectores no coplanarios son L.I.

Ejemplo 1

Veamos la propiedad 1 que afirma que el vector 0�� (ó 0) es L.D.

Solución

El vector nulo se puede poner como combinación lineal de \ vectores cualquiera D��2, D��,……..,D��O

ya que se cumple:

(2.4)

(2.3)


0D��20D�� 3⋯3 0D��O = 0�� Por tanto si 0�� es uno de los vectores de un sistema de un sistema S, entonces S es LD.

Ejemplo 2

Sean los vectores D�� = (1, −3,5), B� = (2, 2, 4)�J�� = (4,−4,14) probar que el conjunto de vectores es LD

Solución

Expresando la ecuación como un sistema de combinaciones lineales:

] D��2 + 2B�� + 4J�� = 0(1)−3D��2 + 2B�� − 4J�� = 0(2)5D��2 + 4B�� + 14J�� = 0(3)

Aplicando el método de eliminación Gaussiano (o equivalente) si multiplicamos la ecuación (1) por 3 y sumamos la (2) se obtiene el resultado:

3D��2 + 6B�� + 12J�� = 0 −3D��2 + 2B�� − 4J�� = 0

� 8B�� + 8J�� = 0 =>B�� +J�� = 0 (4)

Ahora procedamos realizando -5. (1)+(3), se obtiene:

−5D��2 − 10B�� − 20J��2 = 0 5D��2 + 4B�� + 14J�� = 0

� −6B�� − 6J�� = 0 => B�� +J�� = 0 (5)

Finalmente si sustituimos la igualdad (4) en (2) y (3) y procedemos a eliminar se obtiene el sistema:

_ D��2 + 2B�� + 4J�� = 0B�� +J�� = 00 = 0


El sistema tiene infinitas soluciones, por ej. se puede fijar J��3=1, entonces resulta B�� = *1 y D��2 = −2, por tanto es LD, es decir el sistema se puede expresar como una combinación de vectores donde no todos son cero.

Bases

Dados tres vectores no coplanarios ��, ��, �� del espacio tridimensional.

En estas condiciones, cualquier otro vector D�� de ese espacio se puede escribir como

combinación lineal única de los vectores ��, ��, �� . Se dice que los vectores ��, ��, �� forman una base del espacio tridimensional.

Si los vectores de la base son perpendiculares entre sí la base se dice ortogonal y si además de perpendiculares entre sí, tienen todos módulo uno decimos que la base es ortonormal.

A partir de ahora, salvo indicación en contrario, trabajaremos siempre con la base canónica del espacio tridimensional (que es ortonormal).

2.2 Producto Escalar de dos vectores

DEFINICIÓN 2.4. Se define el producto escalar de dos vectores D�� = (D2, D�, D�� y B� = (B2, B�, B�� como el número (escalar) que se obtiene del siguiente modo:

�̀�� ∙ b�� = D2B2 3 D�B� 3D�B�

(2.5)


Adviértase que el resultado de un producto escalar es un número.

Otra forma equivalente de expresar la ecuación anteriores es:

�̀��. b�� = |D|��|B|��cos(D��, B�)

Propiedades

Si f es el ángulo entre dos vectores no cero, D�� y B� entonces:

1. Si f=90º (recto), cos(D��, B�) = 0 y por tanto: D�� ∙ B� = 0 2. Si 0 ≤ f ≤ 90º (agudo), entonces �hi(D��, B�) > 0 y por tantoD�� ∙ B� > 0

3. Si 90º < f ≤ 180º (obtuso), �hi(D��, B�) < 0 y por tanto D�� ∙ B� < 0

En consecuencia, el producto escalar de dos vectores no nulos es cero si y solamente si ambos son perpendiculares. Es decir:

D�� E B��B� E 0��; D��. B� = 0 ⇔D�� ⊥ B�

Otras propiedades del producto escalar

Resulta conveniente conocer otras propiedades que son relevantes y que se usarán en los ejercicios y problemas sucesivos.

• Conmutatividad del producto escalar: D�� ∙ B� = B� ∙ D��

• Propiedad asociativa: Q(D��, B�) = (QD��). B� = D��. (QB�)

• Propiedad distributiva: D��. (B� 3 J��) = D��. B� 3 D��. J��

• Módulo de un vector: |D��| = √D��. D�� = nD2� 3 D�� 3 D��, también es usual notarlo como ‖D��‖

• Ángulo de dos vectores cos(D��, B�) = S��∙U��|S��||U��| = STUT;SVUV;SWUWpSTV;SVV;SWVpUTV;UVV;UWV

• Segmento proyección: S��∙U��|U��| = STUT;SVUV;SWUWn(UT)V;(UV)V;(UW)V (Proyección de D�� sobre B�)

• Vector proyección: S��∙U��|U|��V B� = STUT;SVUV;SWUW(UT)V;(UV)V;(UW)V (B2, B�, B�)

(2.7)

(2.6)


• Proyección ortogonal de un vector sobre un punto (B): qrhstB� = U��.t‖t‖V 6

Ejemplo 1

Respecto de una base ortonormal, las coordenadas de tres vectores son:

D��(3,−1,5), B�(4,7,11�, J��(−2, �, 3) a) Calcular D��. B� b) Determinar ( )k para que B�y J�� sean perpendiculares.

Solución

a) D��. B� = (3)(4) + (−1)7 + (5)(11) = 60

b) 0�� = B� ∙ J�� = 4(−2) + 7(�) + 11.3 = −8 + 7� + 33 ⇒ 7s = −25 ⇒ � = 925u Ejemplo 2

Sean D��(3, −4,12), B��(5,−2,−6), J��(7, �, −2) y el punto 6(1,0,1). Calcular: a) D�� ∙ B� b) |D��|y |B�| c) ángulo que forman D�� y B� d) vector proyección de D�� sobre B� e) determinar � para que D�� ⊥ J�� f) Calcular la proyección ortogonal de B� sobre el punto 6

Solución

a)D�� ∙ B�� = −49

b) |D��| = √D��. D�� = pD12+D22+D32 |B�| = √65 = 8,0623

c) cos(D��, B�) = S��∙U��|S��||U��| = STUT;SVUV;SWUWpSTV;SVV;SWVpUTV;UVV;UWV; (D��, B�) = 117º52′ d) Segmento proyección:

S��∙U��|U��| = STUT;SVUV;SWUWn(UT)V;(UV)V;(UW)V = 9wx√yz ≈ −6,07 el vector

proyección es de módulo: 6,07 y sentido contrario a B�. Vector proyección:

S��⋅U��|U��|V B� = D1B1+D2B2+D3B3pD12+D22+D32pB12+B22+B32 = 9wxyz (5, −2,−6)


e) 0. =⇔⊥→→→→wuwu ;

4

3−=k

f) qrhs6B��=B��.6‖6‖2 6 = �5,−2,−6�.(1,0,1)}(1,0,1)}2 (1,0,1)= �5+0−6�~n2�2 (1,0,1) = −12 (1,0,1)= ~−12 ,0, 12�

2.3 Producto Vectorial de dos vectores

DEFINICIÓN 2.5. El producto vectorial de dos vectoresD��(D2, D�, D�)�B�(B2, B�, B�), notado

como �̀�� × b��, es un nuevo vector que se define del siguiente modo:

�̀�� × b�� = (D�B� −B�B�)��+ (D�B2 − D2B�)��+ (D2B� −D�B2)��

Adviértase que el resultado de un producto vectorial es un vector.

Si D��, B� son LI, entonces el vector �̀�� × b�� se caracteriza por:

• Módulo: |D�� × B�| = |D��||B�||i�\(D�� × B�)|

• Dirección: perpendicular a ambos: (D�� × B�) ⊥ D�� y : (D�� × B�) ⊥ B�

• Sentido: depende del ángulo que forman los vectores D��, B�

a) Si (D��, B�) < 180°hacia arriba. b) Si (D��, B�) > 180° hacia abajo. b) La medida del ángulo se considera en sentido positivo como se ha dicho.

Si D��, B� son L.D., o sea alguno de ellos es el vector →0 o tienen la misma dirección, entonces el

vector D�� × B� es el vector cero.

(2.8)


Ejemplo 1

Dados los vectores D��(1, −1,2)y B�(2,0,0), calcular el producto vectorial.

Solución

Una regla más fácil para calcular el producto vectorial D�� × B� es recurrir al concepto de determinante, de la siguiente forma:

D�� × B� = � Z s �D2 D� D�B2 B� B�� Para el ejemplo se sustituyen los valores de los componentes y se aplica la regla de Sarrus:

D�� × B� = �Z s �1 −1 22 0 0� = 4s + 2� = (0,4,2)

Ejemplo 2

Determinar un vector de módulo 9 perpendicular a los vectores:

D��(3,2, −2)B�(−1,1,4) Solución

El vector (D�� × B)�� ⊥ D�� y también (D�� × B�) ⊥ B�usando el determinante:

D�� × B� = � Z s �3 2 −22−1 1 4 � = 10�� − 10��+ 5�� = (10, −10,5) |D�� ×B��| = n(D�� × B�)(D�� × B�) = √225 = 15

Un vector unitario en la dirección de (D��, B�) es: 2|S��×U��| (D�� × B�)

2|S��×U��| (D�� × B�) = 22z (10, −10,5) = ~�� , 9�� , 2�� por tanto basta multiplicar por 9:

9 1�D��×B��(D�� × B�� = 915 (10,−10,5) = (6,−6,3) o su opuesto ( )3,6,6 −−


Ejemplo 3

Calcular el área del triángulo ⊿� +donde �(2,4,*7�, �3,7,18� y +�*5, 12,8�. Solución

Definamos B� � � �� y J�� +�� tal como se indica en la figura, por tanto: B� � �1,3,25� y J�� *7,8, 15�. El vector D�� J�� por definición

es perpendicular a los dos (ver Cap. 6 por más detalles)

Área triángulo= 2� |D�� J��| � �� 1 3 25*7 8 15� aplicando Sarrus resulta:

Área triángulo=2� |-155 �� -190 �� +29 �� |=

2� | * 155,*190,29|= 2� n�*155�� 3 �*190�� 329�~123,5

2.4 Aplicación de vectores a problemas geométricos

Coordenadas de un vector que une dos puntos Observar la siguiente igualdad vectorial:

→→→→→→−=⇒=+ OPOQPQOQPQOP

Por tanto si las coordenadas de los puntos son ��, �, �� y ��, ��, �� las coordenadas de →

PQ son:

� �� * �, �� * �, �� * ��

(2.9)


Vector Normal

El vector \�� 5, 6, 7� es un vector normal al plano � es decir,

perpendicular al plano.

Si P(x0,y0,z0) es un punto del plano �, el vector � �� * ��, � *��,� *�� es perpendicular al vector \�� por tanto el producto

escalar es cero:

� ��. \��=0

Comprobación de que tres puntos están alineados (paralelismo)

Los puntos de coordenadas: ��2, �2, �2�, ��, ��, ��, +��, ��, �� están alineados siempre que tengan la misma dirección � �� * �2, �� * �2, �� * �2� y +�� * ��, �� * ��, �� * ��. Es decir, si se cumple la siguiente proporcionalidad:

�2*�1�3*�2 � �2*�1�3*�2 � �2*�1�3*�2

Punto medio de un segmento

Si los puntos del segmento tienen de coordenadas: ( )cbaP ,, ( )cbaQ ′′′ ,,

Sea la siguiente igualdad vectorial: →→→

+= PQOPOM2

1

Las coordenadas del punto medio M se obtienen operando en la fórmula anterior y obtenemos:

( ) ( )ccbbaacbaOM −′−′−′+=→

,,2

1,,

(2.10)

(2.11)


� ~8;8�� , :;:�� , �;�� Simétrico de un punto respecto a otro

El simétrico del punto �(�, �, �) (que llamaremos P′ ) respecto a

otro (��, ��, ��) se caracteriza como aquel para el que Q es el

punto medio del segmento que une P′ y P .

Si aplicamos el resultado visto anteriormente tenemos que:

+++2

,2

,2

γβα cbaQ

Es decir: ( )

+++=′′′2

,2

,2

,,γβα cba

cba

Despejando en esta última igualdad los valores de γβα ,, tenemos que:

�′(�, �, �) = (2�� − �, 2�� − �, 2�� − �) Ejemplo

Calcular los valores de � y \ para que los puntos:

�(7, −1,�), (8,6,3), +(10, \, 9) estén alineados.

Solución

Sabemos que están alineados si se cumple la fórmula (2.12): 8 − 710 − 8 = 6 + 1\ − 6 = 3 − �9 −�

despejando de las dos igualdades:

\ − 6 = 14 ⇒ \ = 20; 6 − 2� = 6 ⇒ � = 0

(2.12)

(2.13)


Baricentro de un Triángulo

Sean A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2) y C(x3, y3, z3) los vértices del triángulo. Las coordenadas del baricentro (punto de corte de las medianas) son:

� � ~�T;�V;�W� , �T;�V;�W� , �T;�V;�W� �

(2.14)



Ejercicio 1

Sean los vectoresB2 � �123�, B� = �456� �B� = �210�

a. Determinar si el conjunto {B2, B�, B�} es un conjunto LI de vectores b. Si es posible, encuentre una relación de dependencia entre B1, B2�B3

Solución

a. Se debe determinar si existe una solución no trivial (distinta de cero) a las siguientes ecuaciones:

�2 �123� + �� 456� + ��

210� = �000� Resolviendo el sistema:

x1 + 4x2 + 2x3 = 0 (1)

2x1+ 5x2+3x3= 0 (2)

3x1+ 6x2 = 0 (3)

De la ecuación (3) se deduce que: x1+ 2x2= 0 => x1=2x2

Si sustituimos en (2): 9x2+ 3x3= 0 => 3x2= -x3

Si se hace lo mismo en la ecuación (1): 6x2+ 2x3= 0 => 3x2= -x3

Por tanto el sistema es Linealmente Dependiente

b. x1= 2x2 ; x2= -1/3 x3

Ejercicio 2

a) En ℝ� verificar que el vector (-1,2,-1) es combinación lineal de los vectores D�� = (2,−1,1), B� =(−2,1, −1)�J�� = (1,1,0) siendo los escalares: a=2, b=3 y c=1

b) Expresar los vectores D�� = (0,4)�B� = (−2,4) como combinación lineal de los vectores �� =(1,0)�� = (0,1)


Solución

a) Probaremos componer �*1,2,−1) = �D�� + �B� + �J�� es decir como una combinación lineal

de los tres vectores multiplicados por los escalares

2(2,-1,1)+ 3(-2,1,-1)+ 1(1,1,0) = (4,-2,2)+(-6,3,-3)+(1,1,0)= (4-6+1, -2+3+1,2-3)=(-1,2,-1)

Por tanto es combinación lineal deD��, B��J�� b) Veamos de expresar D�� como combinación lineal de �� = (1,0)�� = (0,1).

D�� = �Z�+ �s� => (0,4) = �(1,0) + �(0,1) = (�, 0) + (0, �) = (�, �) � = 0, � = 4

D�� = 0�� + 4�� = 4�� Siguiendo el mismo procedimiento para B� :

B� = �Z�+ �s� => (−2,4) = �(1,0) + �(0,1) = (�, 0) + (0, �) = (�, �) � = −2, � = 4

B� = −2�� + 4�� Ejercicio 3

Como se definió si hay una combinación no trivial de vectores de un conjunto A, cuyo resultado es el vector nulo, entonces A es linealmente dependiente (LD).

Sea 5 = {B�2, B��, B��} donde B�2 = (3, −1,0); B�� = (−4,6, −1);B�� = (1,2,1) Planteamos:

(0,0,0) = �B�2 + �B�� + �B�� = �(3,−1,0) + �(−4,6,0) + �(1,2,0) = (4)

= (3�,−1�, 0�) + (−4�, 6�, 0�) + (�, 2�, 0�) =

= (3� − 4� + �;−� + 6� + 2�; 0 + 0 + 0) = (0,0,0) � 3� − 4� + � = 0(1)−� + 6� + 2� = 0(2)

Resulta un sistema de 2 ecuaciones con 3 incógnitas, resolviendo el sistema por sustitución:

Despejando en (1): � = −3� + 4� (3) luego reemplazando � en (2) se obtiene:


*� 3 6� 3 2(4� − 3�) = 0 => −7� + 14� = 0

Si se pone �en función de � : � = �� reemplazando en (3):

� = 4 �2 − 3� => � = −�

Por tanto es posible afirmar que para cualquier � ≠ 0; ��son distintos de cero.

Por ejemplo, si � = 1; � = 2� ; � = −1todos ≠ 0

Entonces si sustituimos los valores en la ecuación (4) resulta:

Los vectores de A son LI.

Ejercicio 4

Demostrar que el vector (3, -4, -6) no puede ser expresado como una combinación lineal de los vectores (1, 2, 3), (-1, -1, -2) y (1, 4, 5).

Solución

Se debe demostrar que la combinación de vectores es LI, para ello se debe cumplir que no exista una combinación lineal, a excepción de la trivial, que cumpla: �2(1,2,3) + ��(−1,−1,−2) + ��(1,4,5) = (3,−4,−6) Planteemos el sistema de ecuaciones:

_ �2 − �� + �� = 32�2 − �� + 4�� = −43�2 − 2�� + 5�� = −6

El sistema no tiene Solución.

Por tanto (3, -4, -6) no es una combinación lineal de los vectores (1, 2, 3), (-1, -1, -2) y (1, 4, 5).

Ejercicio 5

Examinar si los vectores 5� + 6� + 7�, 7� − 8� + 9��3� + 20� + 5� (�, �, � no coplanares) son LI o

LD.

Solución

Para que sean independientes debe existir una combinación de escalares (�, �, �) no todos cero, de tal forma que se cumpla:

)0,0,0()0,2,1()0,3,2()0,1,3( =−−+−+−=v


��5� 3 6� 3 7�) 3 �(7� − 8� 3 9�) 3 �(3� 3 20� + 5�) = 0

� (5� + 7� + 3�)� + (7� − 8� + 9�)� + (3� + 20� + 5�)� = 0

Como �, �, � son no coplanares:

]5� + 7� + 3� = 0(1)7� − 8� + 9� = 0(2)3� + 20� + 5� = 0(3)

Aplicando eliminación: (1) . 7- (2).5: � 35� + 49� + 21� = 0(4)−35� + 40� − 45� = 0(5) Resulta:

89�-24�=0 (6)

De la ecuación (1). 3- (3). 5:

� 15� + 21� + 9� = 0(7)−15� − 100� + 25� = 0(8) Resulta:

-79� + 34� = 0 (9)

Ejercicio 6

Dados los vectores: J2 = (2,−1, 4), J� = (5, 2, 3)�J� = (0, 0, 0) en ℝ� determinar si son LI o LD.

Solución

Cualquier conjunto de vectores que incluyan al vector cero es linealmente depediente. Efectivamente, se puede escribir la siguiente combinación:

0D + 0B + J = 0 es una combinación no trivial (no todos los coeficientes iguales a cero) igual a cero.


Ejercicio 7

Dados los siguientes sistemas expresados en forma matricial determinar si son LI o LD.

5 � � 3 0 *2−1 0 57 0 1 � , 6 = �−4 −1012 306 15 � 7 = �−3 2 −17 9 00 0 2 � , 1 = �2 −1 140 3 1 − 21 2 13 �

Solución

Dado que la matriz A contiene la columna 0 es LI, según lo explicado en el ejercicio anterior.

En el caso de la matrix B analizaremos si cualquiera de filas o las columnas es múltplo de otra cualquiera. Dado que se cumple:

52 �−4126 � = �−103015 � Por tanto B es LI. En este caso a simple vista se puede deducir la relación de dependencia, lo cual no es siempre posible y sedeberá recurrir a los procedimientos como en los siguientes casos.

En el caso de la matric C consideremos primero el subconjunto S={C1, C2} de las 2 primeras columnas. Ninguna de las columnas es múltiplo de la otra, por tanto S es LI.

Considerando la tercer columna : 7� = �−102 � Dado que los vectores son combinaciones lineales y que en la tercer fila las 2 primeras , columnas tienen 0, el valor de la tercera debería ser 0 y no lo es (=2), por tanto C es LI.

En el caso de la matriz D es LI por la propiedad 4 de conjuntos LI o LD.

Ejercicio 8

Dados los vectores D�� = (√2,√2,n2) y B� = (�, �, �) determinar si son colineales.

Solución

Para que sean colineales se debe cumplir que ∃�:D�� = �B� o lo que es lo mismo se verifique la ecuación (2.2)

√2� = √2� =√2� = �


Por tanto, son colineales.

Ejercicio 9

Dados los vectores B� � �*√2�, √2�,−5�/√2) y J�� = (2�,−2�, 5�) determinar si son colineales

Solución

Aplicando (2.2) se debe cumplir que:

B� = QJ�� ⇒ Q = B�J�� ∴

9√� �¡ = √� 9�¡ =9z /√�z¡ luego operando: √�� = √�√��√� = 2√�

Resulta Q = 9 ¡√� por tanto son colineales

Ejercicio 10

Dados los puntos 5(2,3,5) y 6(1,0,8), hallar las coordenadas de los vectores 56�� y 65�� Solución

Aplicando (2.8):

56�� = (1 − 2,0 − 3,8 − 5) = (−1,−3,3) y 65�� = (2 − 1,3 − 0,5 − 8) = (1,3,−3)

Ejercicio 11

Sean los vectores D�� = (5,−2,3) y B� = (−4,2,1), hallar la suma y graficarla

Solución

Usando (2.1)

D�� + B� = (5 − 4,−2 + 2,3 + 1) = (1,0,4) Ejercicio 12

Hallar el simétrico del punto 5(−2,3,0) respecto al punto �(1,−1,2).


Solución

Sea 5’��, �, �) el simétrico de 5. Como � es el punto medio del segmento 55’, entonces:

� =~�9�� , �;�� , �� = (1, −1,2) igualando las coordenadas:

� = 4; � = −5; � = 4 => 5’(4,−5,4)

Ejercicio 14

Las coordenadas de los vértices consecutivos de un paralelogramo son 5(1, 0, 0) y 6(0, 1, 0). Las coordenadas del centro M son �(0, 0,1). Hallar las coordenadas de los vértices C y D.

Solución

(0,0,1) = ~2;�£� , �;�£� , �;�£� �

Igualando y operando:

�� = −1�� = 0�� = 0 => 7(−1,0,2) (0,0,1) = ¤1 + �12 , 0 + �12 , 0 + �12 ¥

Ídem: �¦ = 0; �¦ = −1; �¦ = 2 => 1(0,−1,2)

Ejercicio 15

Calcular a y b para que los puntos 5(1,2, −1), 6(3,0, −2) y 7(4, �, �) estén alineados.


Solución

56��2,−2,−1)57��(3, � − 2, � + 1)§ para que estén alineados se debe cumplir (2.11):

32 = � − 2−2 = � + 1−1 ⇒ � = 1; � = −52

Problemas

1. Dados los vectores: D�� = (7,7�, 0),B� = (2,-1,0)

determinar el valor de � que hace que D�� ∙ B� = 1

2. Calcular los puntos q y ¨ para que los puntos �(7,−1, q), (8,6,3) y +(10, \, 9)estén alineados.

3. Determinar si los vectores: D�� = (2,3,1), B� = (1,0,1), J�� = (0,3, −1) son linealmente

dependientes o independientes

4. Discutir, según el parámetro Q�ℝ, la dependencia lineal de los conjuntos siguientes:

a. 5 = {(1,1, Q), (2,2,1), (1, Q, 1)} b. 6 = {(1,2, Q), (Q, 1,0), (2,1, Q)} c. 7 = {(1,2,1), (1, −2,1), (2, Q, 1)}

5. Sea © = {(1, �, 2), (2,2�), (0,1, −1)}.¿Qué relación deben satisfacer a y b para que conjunto ©

sea L.I.?. Solución. � − 2� = 2

6. Sean 5(1,2, −1) y 6(3, Q, ª). a. Hallar Q y ª para que los vectores 56�� y B�=(-4,6,-12) sean colineales

b. ¿Es posible asignar valores a Q y ª para obtener un vector 56�� colineal con el vector B� = (3,2,0)?

c. ¿Es posible asignar valores a Q y ª para obtener un vector 56�� colineal con el vector B� = (0,3,2)?


CAPITULO 3. Rectas

En la geometría del plano las rectas estaban determinadas por una punto una dirección o pendiente.

En el espacio una recta r queda determinada vectorialmente conociendo:

Un punto ��, �, �) por el que pasa dicha recta « Un vector ¬�(¬2, ¬�, ¬�) paralelo a « llamado vector director (o vector dirección)

Observar en el dibujo de la derecha como los

vectores q�, �q� + 1¬��, �q� + 2¬��, … , �q� + Q¬�� todos

tienen un extremo sobre la recta r y origen común. En

general el vector: �q� + Q¬�� tiene su extremo sobre la

recta r . Al variar el valor de Q (Q� ℝ) el punto se

mueve sobre r.

3.1 Ecuaciones de la Recta

DEFINICIÓN 3.1. Sea ® un punto de ℝ� y sea �̄�� un vector de ℝ�. Una recta « se define como el

conjunto de puntos P en ℝ� que contiene a �� y tal que los vectores B� = �� son paralelos a �̄�� .

Es decir:

r = {�(�, �, �) ∶ �� r � ¬� ∥ B �� donde B� = �� }

Donde �� es el punto fijo y ¬� es el vector director de la recta.

Gráficamente:

(3.1)


A continuación veremos distintas alternativas para representar las rectas.

Ecuación Vectorial

El punto ��, �, �) es el extremo de un vector con origen en O que llamamos vector posición del

punto P . El punto arbitrario X de la recta « determina un vector posición que llamamos ³��. En

estas condiciones tenemos que:

r��, ¬��: = � 3 Q¬�h(�, �, �) = (�, �, �) 3 Q(¬2, ¬�, ¬�),Q ∈ ℝ

Esta ecuación se llama ecuación vectorial de la recta r

Ecuaciones Paramétricas

Si operamos en la expresión en coordenadas de la ecuación vectorial de la siguiente forma:

��, �, �) = (�, �, �) 3 Q(¬2, ¬�, ¬�) o de forma similar:

r: _� = � 3 Q¬2� = � 3 Q¬�� = � 3 Q¬�

Son las ecuaciones paramétricas de la recta «

Para cada valor de λ obtenemos las coordenadas de un punto de « .

(3.2)

(3.3)


Ecuación General de la recta

Si en cada ecuación paramétrica despejamos el parámetro λ obtenemos:

� * �¬2 � � * �¬� �� * �¬�

Esta es la forma general de la ecuación de una recta en el espacio, también llamada simétrica o continua.

A veces se nos presenta una recta en forma continua con algún cero en el denominador. Tal expresión no es correcta aritméticamente, pero se admite simbólicamente (los denominadores son las coordenadas del vector director).

Ejemplo 1

Sea la rectar:� 3 2 = 5−�2 =−2− � , determinar el vector director ¬� Solución

Considerando la ecuación (3.4) y reescribiendola:

r: � − (−2)1 = � − 5−2 = � − (−2)−1

Por tanto ¬� = (1,−2,−1) Ecuación Reducida de una recta

De la forma continua de la recta obtenemos dos ecuaciones (más adelante veremos que cada una de ellas es la ecuación de un plano) de forma general.

Al resolver las ecuaciones: �98´T = �9:´V y �98´T = �9�´W

Operando se obtienen las dos ecuaciones que se denominan reducidas o implícitas:

(3.4)


r: � 5� 3 6� 3 7� 3 1 � 05�� 3 6�� 3 7�� 3 1� = 0

La recta «se obtiene como resultado de la intersección de dos planos.

Ejemplo 2

Obtener las ecuaciones paramétricas, la ecuación en forma general y las ecuaciones reducidas de la recta que pasa por los puntos:

�(*5,3,7); (2,−3,3)Solución

Vector normal: �� = (2 − (−5),−3 − 3, 3 − 7) = (7,−6,−4) = (2,−3,3) + Q(7,−6,−4) Punto P0= (2,-3,3), vector director ¬� = (7,−6,−4) Ecuaciones paramétricas:

_ � = 2 + 7Q� = −3 − 6Q� = 3 − 4Q Ecuación general (despejando e igualando en Q):

µ¶·¶̧ � − 27 = Q� + 36 = Q� − 3−4 = Q

� − 27 = � + 3−6 = � − 3−4

Ecuaciones reducidas: � − 27 = � + 3−6 =>−6� + 12 = 7� + 21

� − 27 = � − 3−4 =>−4� + 8 = 7� − 21

>6� + 7� + 9 = 04� − 7� − 9 = 0

(3.5)


Ejemplo 3

Hallar en todas las formas la ecuación de la recta i: � � * � 3 � * 4 = 03� 3 3� 3 7� − 6 = 0

Solución

Teniendo en cuenta la definición, procederemos primera a obtener un punto y un vector director.

Punto: se da un valor cualquier a una de las incógnitas y se resuelve el sistema:

� = 0 ⇒ � � * � = 43� 3 3� − 6 = 0 ⇒ � 6� = 18� = � * 4 ⇒ � � = 3� = −1 ⇒punto (3,−1,0� Vector director: se calcula a partir del producto vectorial de los vectores normales de la ecuación. Tener presente que el producto vectorial de los vectores directores del plano,

digamos D��yB� determinan un vector perpendicular \�� a dicho plano:

D�� × B� = \��

Vectores directores: (1,-1,1) y (3,3,7) (coef. de las ecuaciones):

\�� = �� 1 *1 13 3 7� = −5i − 2j + 3k vector \�� = (−5, 2, 3) Ecuaciones:

Vectorial: (�, �, �) = (−3,−1,0) + Q(−5,2,3)Parámetrica: _� = 3 − 5Q� = 1 − 2Q� = 0 + 3Q

General: �9�9z = �;29� = ��

Ejemplo 4

Convertir la ecuación general de la recta al formato paramétrico y vectorial

(3.6)


� * 23 = � + 1−2 = �4

Solución

� − 23 = � + 1−2 = �4 = Q => _ � − 2 = 3Q� + 1 = −2Q� = 4Q ⇒

La forma paramétrica es: _ � = 2 + 3Q� = −1 − 2Q� = 4Q Q ∈ ℝ ⇒

la ecuación vectorial es r:(2,−1,0) + Q(3, −2,4) Ejemplo 5

Sean las ecuaciones de la recta expresada en formato implícito:

r: � � − � + � − 4 = 03� + 3� + 7� − 6 = 0

Expresarla en formato paramétrico.

Solución

En general hay dos formas de resolverlo.

Método 1. Obteniendo un punto y un vector director

Como es un sistema con más incógnitas que ecuaciones, se fija arbitrariamente el valor de una de las incógnitas, por ej. � = 0

� = 0 ⇒ �� − � = 43� + 3� = 6 resolviendo el sistema resulta: � = 3, � = −1, el punto es (3,-1,0)

Hallado el punto, debemos hallar el vector director. Este resulta del producto vectorial de los vectores normales D�� = (1,−1,1) y B� = (3,3,7),que son los coeficientes de las ecuaciones reducidas.

D�� × B� = � �� 1 −1 13 3 7� = −5��− 2��+ 3�� el vector director es (-5,-2,3)

Ecuación vectorial: (3,−1,0) + Q(−5,−2,3) Ecuaciones paramétricas: _� = 3 − 5Q� = −1 − 2Q� = 3Q


Método 2. Resolviendo el sistema compatible indeterminado.

Se toma una variable cualquiera y se iguala al parámetro:

r: � � * � 3 � * 4 = 03� 3 3� 3 7� − 6 = 0 se toma por ej. � = Q, sustituyendo:

�� * � = 4 * Q(1�3� 3 3� = 6 − 7Q(2) luego se multiplica la ecuación (1).3 y se la suma a la (2):

6� = 18 − 10Q ⟹ � = 3 − z� Q , luego sustituyendo en (1) o (2) indistintamente:

� = −1 − 23 Q

La ecuación paramétrica resultante es:

µ¶·¶̧ � = 3 − 53 Q� = −1 − 23 Q� = 0 + Q

Condición de Colinealidad de Vectores

Dados dos vectores: B� = (�2, �2, �2) y D = (��, ��, ��) se dicen que D�� y B� si ∃�, con� ∈ ℝ tal que

se cumple: D�� = �B�, por tanto:

_�� = ��2�� = ��2�� = ��2 ⇒ �V�T = �V�T = �V�T = �

Se cumple además: ‖D��‖ = �‖B�‖

3.2 Posiciones Relativas de las Rectas

Sean dos rectas r: ¾ �(�, �, �)¬�(¬2, ¬�, ¬�) y i: ¾ �′(��, ��, ��)¬��(¬2� , ¬�� , ¬�� ) Éstas pueden adoptar en el espacio las siguientes posiciones:

(3.7)

(3.8)


Coinciden

1. Secantes: Un punto en común y distinta dirección. 2. Paralelas: Ningún punto en común y la misma dirección 3. Coincidentes: Tienen un punto en común y la misma dirección. 4. Se Cruzan/Alabeadas: Ningún punto en común y distinta dirección.

Método 1

Expresadas las rectas en formato paramétrico, se forma un sistema igualando en �, �, �, el

resultado de la solución del sistema puede ser:

Cuadro 1. Posición relativa de las rectas. Método 1

Sistema compatible determinado Se cortan en un punto

SECANTES

Sistema compatible indeterminado Infinitas soluciones

COINCIDENTES

Sistema incompatible

Si ¬� � �¬′��; colineales PARALELAS

No colineales SE CRUZAN

Paralelas

Secantes Se cruzan (alabeadas)


Método 2

A efectos de determinar cuál es la posición entre dos rectas, se aplican los siguientes criterios resumidos en el siguiente cuadro:

Cuadro 2. Posición relativa de las rectas. Método 2

Si ´T´T� � ´V´V� � ´W´W� ⇒ ¬� ∥ ¬�� COINCIDENTES

� ∈ r ⇒ � ∈ i

PARALELAS

� ∈ r ⇒ � ∉ i Si ´T´T� ≠ ´V´V� ≠ ´W´W� ⇒ ¬� ∦ ¬�� SECANTES

det��∗� � 0

SE CRUZAN

det(�∗� E 0

�∗ = ÂÃÃÃÄ¬1 ¬1′ q2� * q2¬2 ¬2′ q�� − q�¬3 ¬3′ q�� − q�ÅÆÆ

ÆÇ Del cuadro se puede deducir que dos rectas son paralelas sin los vectores directores son colineales (ver ecuación 2.2)

Ejemplo 1

Dadas las rectas r y s definidas de la siguiente forma paramétrica (si están expresadas de otra forma, se deben llevar al formato paramétrico):

r: _� = 1 + 3ª� = 3 + 2ª� = 2 + ª ; i: _� = 4 + 2Q� = 5 + 5Q� = 3 + Q

Establecer la posición relativa de las rectas.

Solución

Método 1. Igualando ambas ecuaciones y luego resolviendo el sistema:

1 + 3ª = 4 + 2Q(1)3 + 2ª = 5 + 5Q(2)2 + ª = 5 + 5Q(3)


Es un sistema de 3 ecuaciones con 2 incógnitas, resolvamos el subsistema de 2x2 tomando las ecuaciones (2) y (3):

Si hacemos (2) -2. (3), el resultado es Q � 0, luego sustituyendo en (2) o (3) resulta ª = 1.

Ahora verificando en la ecuación no usada (1): 1 3 3ª = 4 3 2Q => 1 + 3 = 4

Por tanto se cortan, para determinar el punto, se sustituyen los valores en r ó i: � = 1 + 3.1 = 4� = 3 + 2.1 = 5 => r ∩ i = (4, 5, 3) las rectas son secantes

� = 2 + 1 = 3Método 2. Aplicando los criterios del cuadro (3.9):

�� ≠ �z ≠ 22 por tanto se cruzan o son secantes. Calculando el determinante de M*:

det(�∗) = �3 2 (4 − 1)2 5 (5 − 3)1 5 (3 − 2)� = 0 ; son secantes

Ejemplo 2

Determinar las posiciones de las rectas:

r: (1,0,1) + Q(−1,1,0) ; i: (0,1,2) + ª(2,0,1)

Solución

En formato paramétrico:

r: _ � = 1 − Q� = 0 + Q� = 1 + 0Q i: _� = 0 + 2ª� = 1 + 0ª� = 2 + ª

Luego, aplicando el Método 1, procedamos a igualar las ecuaciones: 1 − Q = 2ª(1)Q = 1(2)1 = 2 + ª(3) Sustituyendo Q = 1 en la ecuación (1) resulta ª = 0, valor que sustituido en (3) es inconsistente.


El sistema es incompatible, no posee solución, por tanto de acuerdo teniendo en cuenta que los vectores directores no son colineales, se cruzan.

Ángulo entre dos rectas

Para medir el ángulo que forman dos vectores D��D2, D�, D�)y B�(B2, B�, B�) usaremos la fórmula del producto escalar de ambos:

cos(D��, B�) = ‖S��∙U��‖‖S��‖‖U��‖ = |STUT;SVUV;SWUW|pSTV;SVV;SWVpUTV;UVV;UWV

Al tomar valor absoluto en el numerador, esta fórmula nos da el menor de los ángulos que forman ambos vectores.

Según vemos en el dibujo del lado derecho el menor de los dos ángulos (� y su suplementario)

es: � � �D��, B�)

Distancia entre dos rectas a. Si las rectas r y i son secantes la distancia ¬(r, i) = 0.

b. Si las rectas r y i son paralelas, tomamos un punto �

cualquiera de r y calculamos a continuación la

distancia de � a i ; ( ) ( )sPdsrd ,, =

c. Si las rectas r y i se cruzan, hay varios métodos para

calcular la distancia:

A) método del producto mixto (cálculo directo)

El volumen del paralelepípedo es:

=→→→

PQvuV ,,

(3.9)


El área de la base es:

5 � |D�� B�| La altura h es la ( )π,Qd que coincide con la distancia entre ambas rectas: ( )srd ,

Por tanto tendremos la fórmula:

¬�r, i) = ¬( , �) = ℎ = Ê5 = �ËD��, B�, � ��Ì�|D�� B�|

Ejemplo

Calcular la distancia entre las rectas:

+=−=+=

+=−=

+=

µµµ

λ

λ

45

3

34

:

28

1

5

:

z

y

x

s

z

y

x

r

Solución

( ) ( ) ( ) ( ) ( )3,4,1;5,3,4,8,1,5;4,1,3;2,0,1 −−−−→→→

PQQPvu

Las rectas se cruzan pues:

−=42

10

31

M y

−−

−=′

342

410

131

M

3)'(2)( == MrangoMrango

Por tanto:

( ) ( ) ( ) uvxu

PQvu

A

VhQdsrd 3

3

9

1,2,2

342

410

131

,,

,, ==−

−−

−

=

====→→

→→→

π

B) método constructivo

Determinamos el plano π paralelo a la recta s y que contiene a la recta r :


¬�r, i) = ¬(i, �) Ejemplo


+=−=+=

+=−=

+=

µµµ

λ

λ

45

3

34

:

28

1

5

:

z

y

x

s

z

y

x

r

Solución

Vamos a determinar el plano π calculando un vector normal a dicho plano:

\�� = D�� × B� = �� 1 0 23 −1 4� = 2��+ 2��− 1�� = (2,2 − 1) El punto ( ) rP ∈− 8,1,5 Por tanto la ecuación del plano π es:

( ) ( ) ( ) 022:0811252: =−+⇒=−−++− zyxzyx ππ

Para calcular la distancia entre las rectas r y s (se cruzan) aplicamos:

( ) ( ) ( ) ( )( ) udQdsdsrd 33

9

144

53.24.2,5,3,4,,, ==

++

−+==== πππ

Ejemplo 2


r: _� = 13 + 12Q� = 2� = 8 + 5Q y i: _� = 6� = 6 + ª� = −9 Solución

Hallemos el plano � que contiene a r y es paralelo a i: (12,0,5) ∥ r(0,1,0) ∥ i Í(12,0,5) × (0,1,0) = (−5,0,12) ⊥ �

El punto (13,2,8) pertenece a ry por tanto a �.


Entonces aplicando la ecuación (5.1) resulta:

�: * 5(� − 13) + 0(� − 2) + 12(� − 8) = 0, o sea:

�: − 5� + 12� − 31 = 0

¬(r, i) = ¬(i, �) = ¬�(6,6, −9), �� = | − 30 − 108 − 31|√25 + 144 = 13

C) método del vector variable

Llamamos R a un punto genérico de la recta r

Las coordenadas de R dependen del parámetro λ

Llamamos S a un punto genérico de la recta s

Las coordenadas de S dependen del parámetro µ

→RS es un vector con origen en + y extremo en ..

Las coordenadas del vector →

RS dependen de los parámetros: λ y µ

Obligamos al vector →

RS a que sea perpendicular a las rectas r y s . Para ello

+.��. D�� = 0+.��. B� = 0

Da lugar a un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas ( µλ y ). Al resolverlo, obtenemos

dos valores para µλ y y dos puntos ⇒00 SyR un vector: →

00SR perpendicular a r y s .

Ahora para calcular la distancia entre las rectas r y s tenemos que ¬(r, i) = ¬(+�, .�) Ejemplo


r: _� = 13 + 12Q� = 2� = 8 + 5Q i: _� = 6� = 6 + ª� = −9


Solución

Punto genérico de r:+�13 + 12Q, 2,8 + 5Q) Punto genérico de i:.(6,6 + ª,−9) El vector +.�� = (−7 − 12Q, 4 + ª,−17 − 5Q) De todos los vectores +.�� nos quedamos con aquel que sea perpendicular a las dos rectas.

Para ello calculamos el producto escalar de los vectores directores con el vector +.��: ¾+.�� ∙ (12,0,5) = 0 ⇒ 169Q − 169 = 0 ⇒ Q = −1+.�� ∙ (0,1,0) = 0 ⇒ 4 + ª = 0 ⇒ ª = −4

Sustituyendo en los puntos se obtienen los valores concretos de los mismos:

+(1,2,3); .(6,2, −9), entonces:

¬(r, i) = ¬(+, .) = n5� + 0 + (−12)� =√169 = 13



Ejercicio 1

Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos �2�1,2, 3) y ��(0, 1, 2) expresando las ecuaciones paramétricas y general.

Solución

]� = �2 + Q(�2 − ��) = 1 + Q� = �2 + Q(�2 − ��) = 2 + Q� = �2 + Q(�2 − ��) = 3 + Q

Despejando Q:

Q = � − 11 = � − 21 = � − 31

Ejercicio 2

Obtener las ecuaciones paramétricas, general y reducidas de la recta que pasa por los puntos:

5 = (– 5, 3, 7) y 6 = (2, – 3, 3) Solución

Vector director: 56�� = (7,−6,−4) Ecuaciones paramétricas: _ � = 2 + 7Q� = −3 − 6Q� = 3 − 4Q

Ecuación general: �9�u = �;�9y = �9�9w

Ecuaciones reducidas:

�9�u =�;�y ⇒ −6� + 12 = 7� + 21

�9�u = �9�9w ⇒ 4� + 7� − 29 = 0

Ejercicio 3

Hallar las ecuaciones paramétricas de las rectas que pasan por:

6� + 7� + 9 = 9


a) A (2, 0, 5) y B (–1, 4, 6)

b) M (5, 1, 7) y N (9, –3, –1)

c) P (1, 0, –3) y Q (1, 4, –3)

d) R (0, 2, 3) y S (0, 2, 1)

Solución

a) Vector director: 56�� *1 * 2,4 − 0,6 − 5) = (−3,4,1) Ecuaciones paramétricas: _� = 2 − 3Q� = 4Q� = 5 + Q

b) Vector director: �Ï�� = (4,−4 − 8)~(1,−1,2)

Ecuaciones paramétricas: _� = 5 + Q� = 1 − Q� = 7 − 2Q c) Vector director: � �� = (0,4,0)

Ecuaciones paramétricas: _ � = 1� = 4Q� = −3

d) Vector director: +.�� = (0,0, −2)

Ecuaciones paramétricas: _� = 0� = 2� = 3 − 2Q

Ejercicio 4

Escribir las ecuaciones que la recta que pasan por los puntos 5(−3,2,1) y 6(−5/2, 3/2,0) Solución

Un vector director de la recta es: 56�� = (2� , 92� , −1) Se puede tomar este vector o siempre tomar un vector paralelo tal como: D��= (1,-1,-2) lo cual

facilita los cálculos.


Ecuación vectorial: ��, �, �) = (−3,2,1) + Q(1,−1 − 2) Ecuaciones paramétricas: _� = −3 + Q� = 2 − Q� = 1 − 2Q

Forma general: �;�2 = �9�92 = �929�

Forma reducida: �;�2 =�9�92 => � + � + 1 = 0

� + 31 = � − 1−2 => 2� + � + 5 = 0

Ejercicio 5

Obtener las ecuaciones paramétricas, general y reducidas de la recta que pasa por los puntos: 5 = (–5, 3, 7) y 6 = (2, – 3, 3) Solución

Vector director: 56�� = (7,−6,−4) Ecuaciones paramétricas: _ � = 2 + 7Q� = −3 − 6Q� = 3 − 4Q

Ecuación general: �9�u = �;�9y = �9�9w


�9�u = �;�y ⇒ −6� + 12 = 7� + 21 6� + 7�+ 9 = 9 �9�u = �9�9w ⇒ −4� + 8 = 7� − 21 4� + 7� − 29 = 0

Ejercicio 6

Obtener las ecuaciones paramétricas, general y reducidas de la recta que pasa por los puntos: 5(−5,3,7) y 6(2,−3,3).

Solución


Vector director: �2,−3,3) − (−5,3,7) = (7, −6,−4) Ecuaciones paramétricas:

_� = −5 + 7Q� = 3 − 6Q� = 7 − 4Q Ecuación general (se despeja Q e iguala): � + 57 = −� + 36 = −� + 74


]�;zu =9�;�y ⇒ 6� + 30 = −7� + 21�;zu =9�;uw ⟹ 4� + 20 = −7� + 49 ⟹ > 6� + 7� + 9 = 04� + 7� − 29 = 0

Ejercicio 7

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (8, 2, 3) y l leva la dirección del vector ��. Solución

5(8,2,3)�� = (0,1,0) _ � = 8� = 2 + Q� = 3 Ejercicio 8

Dados los puntos 5 = (2, 6,−3) y 6 = (3, 3, −2), hallar los puntos de la recta 56 que tienen al menos una coordenada nula.

Solución

56�� = (3 − 2,3 − 6,−2 + 3) = (1,−3,1) _ � = 2 + Q� = 6 − 3Q� = −3 + Q

λ = −2 => A(0,12,−5)


λ � 2 => B(4,0, −1) λ = 3 => C(5,−3,0)

Ejercicio 9

Hallar una ecuación continua de la recta que es paralela a los planos: � − 3� + � =0 y 2� − � + 3� − 5 = 0, y pasa por el punto 5 = (2,−1, 5). Solución

El vector director de la recta es perpendicular a los vectores normales de cada

plano.

\��2 = (1,−3,1); \�� = (2,−1,3) D�� = \��2 × \�� = �� 1 −3 12 −1 3� = −9��+ 2��− �� + 6�� − 3��+ �� = −8��− ��+ 5�� = (−8,−1,5)

Teniendo en cuenta que pasa por el punto A(2,-1,5):

� − 2−8 = � + 1−1 =� − 55

Ejercicio 10

Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto 5(1,−1, 0) y corta a las rectas:

r: � − 23 = �2 = � − 11 ; i: �−1 = � − 21 = �−2

Solución

La recta pedida es la intersección de los dos planos que pasan por A y contienen a las rectas r y i. Plano que contiene a A y r.


56�� 2 − 1,0 + 1,1 − 0) = (1,1,1) 5(1,−1,0)D�� = (3,2,1)56�� = (1,1,1)

�� − 1 3 1� + 1 2 1� 1 1� = 0 ⇒ � − 2� + � − 3 = 0

Plano que contiene a A y i. 57�� = (0 − 1,2 + 1,0 − 0) = (−1,3,0) 7(0,2,0)B� = (−1,1,2)57�� = (−1,3,0)

� � −1 −1� − 2 1 3� −2 0 � = 0 ⇒ �6� + 2� − 2� − 4 = 03� + � − � − 2 = 0

La recta pedida es:

Ô: �� − 2� + � − 3 = 03� + � − � − 2 = 0

Ejercicio 11

Dadas las rectas r: _� = 2 + Q� = −1 − Q� = 1 + 2Q y i: �2� − � = 0�� − � = 0 hallar � ∈ ℝ de tal forma que i y r sean

paralelas.

Solución

Dado i: �2� − � = 0�� − � = 0 existe un grado de libertad, definamos � = Ô, sustituyendo en el sistema y

despejando las variables se obtiene el sistema:

_ � = Ô 2⁄ � = −� 4⁄ Ô� = Ô ; luego para que ambas rectas sean paralelas sus vectores directores (1,−1,2) y

(1/2,−�/4, 1) deben ser colineales:

22/� = 929Ö/w = �2 = ℎ ⇒ ℎ = 2 por tanto: wÖ = 2 ⇒ � = 2


Ejercicio 12

Determinar las posiciones relativas de las rectas:

r: �1,0,1� 3 Q(*1,1,0� ; i: (0,1,2) + ª(−4,4,0) Solución

Pasemos a su formato paramétrico:

r: _ � = 1 − Q� = 0 + Q� = 1 + 0Q; i = _� = 0 − 4ª� = 1 + 4ª� = 2 + 0ª

Igualando ambas ecuaciones:

_1 − Q = −4ªQ = 1 + 4ª� = � ⟹ sistema incompatible

Luego, dado que los vectores directores son colineales: D�� = (−1,1,0);B� = (−4,4,0) se cumple que B� = 4D��, por tanto las rectas son paralelas.

Ejercicio 13

Para las siguientes rectas determinar su posición relativa:

r: _ � = 1 + Q� = 3 − 2Q� = 1 − Q y i: _� = −1 − ª� = −3 + 2ª� = −1 + ª

Solución

Vector director de r: (1,−2,1) Vector director de i: (−1,2,1) Se cumple que: −1. (1,−2,1) = (−1,2,1), es decir los vectores son colineales, por tanto las rectas son paralelas o coincidentes.

] 1 + Q = −1 − ª(1)3 − 2Q = −3 + 2ª(2)1 − Q = −1 + ª(3)

De (3) se infiere que: Q = −2 − ª ; sustituyendo en (2):


3 − 2(−2 − ª) = −3 + 2ª ⇒ 7 = −3

El sistema es incompatible, por tanto no existe punto de intersección. Las rectas son paralelas

Ejercicio 14

Determinar la posición relativa de las siguientes rectas:

×2 :�92�� = �;2� = �9�92 y ×� :�;�y = �;2xx = �9Ø9�

Solución

El vector director de ×2 es: (2,3,-1) y el de ×� : (6,9.-3). Se verifica que 3. (2,3,-1)= (6,9,-3) por tanto ambos vectores son colineales, las rectas son paralelas o coincidentes.

Si son coincidentes el punto (10,-1,2) de la recta ×2 debe verificar la recta ×�, sustituyendo: 10 + 26 = −1 + 199 = 2 − 8−3 = 2

Por tanto son coincidentes.

Ejercicio 15

Determinar el valor de Q para que las siguientes rectas se corten.

r: �;�� = �9� = �92w y i: �9�Ù = �92w = �9u�

Solución

Transformando las ecuaciones de su forma general a la paramétrica:

r: _ � = −2 + 2ª� = −3ª� = 1 + 4ª i: _� = 3 + QÔ� = 1 + 4Ô� = 7 + 2Ô

Igualando ambas ecuaciones en �, �, �: ]−2 + 2ª = 3 + QÔ(1)−3ª = 1 + 4Ô(2)1 + 4ª = 7 + 2Ô(3)

Si realizamos las siguientes operaciones equivalente: (2)+-2.(3) resulta ª = 1. Sustituyendo este valor en (2):


*3. (1� = 1 3 4Ô ⟹ Ô = *1

Luego si sustituimos ambos valores en la ecuación (1), se obtiene que Ú = Û. Las rectas quedan expresadas como:

r: �;�� = �9� = �92w y i: �9�� =�92w = �9u�

Si se sustituye los valores de los parámetros en la expresión de la recta r, se obtiene el punto de

corte de ambas rectas: r ∩ i = (0, −3,5)

Ejercicio 16

Sea una recta que pasa por el punto 5(�2, ��,��) y es paralela al vector B� = (1,3, −1�. Hallar los

valores de las coordenadas de A, sabiendo que pertenece a la rectar dada por la ecuación

vectorial �(Ô� = (1 * 2Ô, −Ô, 1 + Ô) y que la recta corta a la recta idada por:

� + 54 = � − 72 = � + 33

Solución

El vector director es paralelo a B�por tanto:

r: ]� = (1 − 2Ô) + 1Q� = (−Ô) + 3Q� = (1 + Ô) − 1Q y i: _� = −5 + 4ª� = 7 + 2ª� = −3 + 3ª

Igualando ambas ecuaciones:

] 1 − 2Ô + Q = −5+ 4ª(1)−Ô + 3Q = 7 + 2ª(2)1 + Ô − Q = −3 + 3ª(3)

Luego, sumando (1)+(3) se obtiene: 2 − Ô = −8 + 7ª(4) De la misma forma: (1)+ 3. (3) resulta en: 3 + 2Ô = −2 + 11ª(5) Eliminemos ª : 11.(4)-7.(5), de los cual resulta: Ô = 3.

Los valores de las coordenadas serán entonces:

�2 = 1 − 2. (3) = −5; �� = −3;�� = 1 + 3 = 4

5 = (−5, −3,4)


Ejercicio 17

Determinar las posiciones relativas de las siguientes rectas dadas por sus ecuaciones reducidas:

r: �*2� + 4� = 105� − 4� = −3 y i: � 5� − 4� = −6−2� − 5� = 22

Solución

La variable que aparece duplicada en el primer sistema es �, por tanto consideremos tomar � =Q, se obtiene:

µ¶·¶̧−2Q + 4� = 105Q − 4� = −3 ⇒ r:

µ¶·¶̧� = Q� = 34 − 54 Q� = 52 − 12 Q

En el segundo sistema consideramos � = ª, sustituyendo y operando se obtiene:

� 5� − 4ª = −6−2ª − 5� = 22 ⟹ i:µ¶·¶̧ � = −65 + 45 ª� = ª� = −225 − 25 ª

Igualando ambos sistemas:

µ¶·¶̧Q = −65 + 45 ª(1)34 − 54 Q = ª(2)52 − 12 Q = −225 − 25 ª(3)

Operando con las ecuaciones (2) y (3) se obtienen los valores de Q y ª: Q = �yz ; ª = − ��w

Luego sustituyendo en (1):

�yz =− yz+ wz . ~− ��w � ⟹ 7,2 ≠ −7,8; el sistema es incompatible, por tanto las rectas son

paralelas o se cruzan. Analicemos si las rectas son colineales.

El vector director de r es: D�� = ~1,− 54 , − 12� y el de i: B� = ~45 , 1,− 25�, si son colineales se debe

cumplir que D�� = �B� Ü1,− 54 ,− 12Ý = � Ü45 , 1, − 25Ý = Ü4�5 , �, −2�5 Ý


Igualando el segundo componente se obtiene: � � *5/4.

Este valor no verifica en el primer componente: 1 = wz . * zw = *1, por tanto no son colineales.

Por tanto, las rectas se cruzan (alabeadas).

Problemas

1. Determine la posición relativa de las rectas r y i definidas por las ecuaciones:

r: �*2� + � + � = 0� + 2� − 3� = 0 i: �−� + 3� − 2� = 13� + � − 4� = −1

2. Determine la posición relativa de las rectas r y i siguientes:

r: _ � = 3 + Q� = 7 − 2Q� = 4 + 3Q i: � 2� + � = 33� + 2� = 29

3. Considere los puntos 5(0,0,0), 6(−6,−2,1), 7(15,5,2) y 1(18, �, 3) y las rectas r y i tales que 5, 6 ∈ r y 7,1 ∈ i. Determinar el valor de � para que las rectas se corten en un punto.

4. Para el par de rectas siguientes determinar si son secantes, paralelas o se cruzan:

r: �;2� = �9�� = � y s: �9�� = �;w� = � − 1


CAPITULO 4. Planos

4.1 Definición

DEFINICIÓN 4.1. Un plano � en el espacio queda determinado vectorialmente conociendo:

1. Un punto ��, �, �) perteneciente a dicho plano � y

2. Dos vectores directores D�� = (D2, D�, D�) y B� = (B2, B�, B�) linealmente independientes y

paralelos a �

En el gráfico anterior el vector de posición q� nos lleva hasta el punto � del plano � . A

continuación la combinación lineal QD�� 3 ªB� nos permite acceder desde P a cualquier punto

X del plano �.


DEFINICIÓN 4.2. Ecuación normal del plano

Si conocemos un punto ��, �, �) del plano � y una

dirección perpendicular:

\��(5, 6, 7) (vector normal)

a dicho plano, cualquier punto X del plano determina,

(con P), un vector � ��(� − �, � − �, � − �) que es

perpendicular a \�� y por tanto podemos establecer la

siguiente ecuación vectorial:

\�� ∙ � �� = 0h5(� * �� 3 6(� * �� 3 7(� * �� = 0

Esta es la llamada ecuación normal del plano � , definida por un punto y un vector perpendicular.

Recíprocamente si conocemos la ecuación reducida del plano π .

Efectivamente, sea �:5� 3 6� 3 7� 3 1 = 0, sabemos que el vector de coordenadas \��(5, 6, 7) es un vector perpendicular al plano �. Por tanto la ecuación de cualquier plano se puede

encontrar con un punto del plano y el vector normal a él.

Ejemplo

Hallar la ecuación del plano que contiene a los puntos �2(1,2,3), ��(−1,0,1)y��(2,−1,0). Solución

Con los puntos dados se definen dos vectores, no importando el orden, luego calculando el producto vectorial de ellos se obtiene un vector normal al plano.

(4.1)


Calculemos D��, B�y\�� : D�� = �2�� = (−1 * 1,0 * 2,1 − 3) = (−2,−2, −2) B� = �2�� = (2 − 1,−1 − 2,0 − 3) = (1,−3,−3)

Aplicando (2.8):

\�� = D�� × B� = � �� −2 −2 −21 −3 −3� = 0��+ 8��− 8�� \�� = 0Þ Z�+ 8Þ s�− 8Þ��

Sea el punto fijo �2(1,2,3) (o cualquier otro del plano), entonces aplicando la ecuación (4.1) resulta:

0(� − 1) + 8(� − 2) − 8(� − 3) = 0

� − � + 1 = 0

4.2 Ecuaciones del Plano

Ecuación vectorial del plano

Según acabamos de describir para el plano � tenemos su ecuación vectorial.

Los parámetros λ y µ pueden tomar cualquier valor. Al hacerlo el punto X recorre el plano

π .

Ecuaciones paramétricas del plano

Si operamos la ecuación vectorial obtenemos las ecuaciones paramétricas:

�� = q� + QD�� + ªB�h(�, �, �) = (�, �, �) + Q(D2, D�, D�) + ª(B2, B�, B�) (4.2)

a b c


�: _� � � 3 QD2 3 ªB2� � � 3 QD� 3 ªB�� 3 QD� 3 ªB�

Ecuación reducida del plano

Si en las ecuaciones paramétricas eliminamos los parámetros Q y ª obtenemos una única

ecuación llamada ecuación implícita o reducida del plano �:

5� 3 6� 3 7� 3 1 � 0{(5, 6, 7, 1) ≠ 0 ∧∈ ℝ}

Ecuación por tres puntos

Dados tres puntos 5(�2, �2, �2), 6(��, ��, ��) y 7(��, ��, ��), pasa un plano que se puede hallar resolviendo el siguiente determinante e igualándolo a cero:

� � − �� − �� − ��2 − �� 2 − �� 2 − �� − �� − �� − �� = 0

Ecuación segmentaria o canónica del plano

Sean los puntos 5(�,0,0�, 6(0, �, 0� y 7(0,0, �), la ecuación canónica se obtiene:

• Calculando la ecuación implícita: 5� 3 6� 3 7� 3 1 = 0• Luego para obtener la ecuación canónica:

�8 3�: 3 �� = 1

Se opera de la siguiente forma:

(4.4)

(4.5)

(4.6)

(4.3)


� � 9¦à � � 9¦t � � 9¦á

Ejemplo 1

Hallar la ecuación segmentaria del plano que pasa por los puntos 5�1,1,0�, 6(1,0,1� y 7(0,1,1�. Solución

Aplicando la ecuación de tres puntos

� � * �� * �� * ��2 * �� 2 * �� 2 * ��9�� * �� 9�� = 0 Se llega a la forma implícita: *� * � * � 3 2 = 0Dividendo por -2 se obtiene la ecuación segmentaria: �2 + �2 +�2 = 1

Ejemplo 2

Hallar en cada caso las ecuaciones vectoriales, paramétricas y reducidas del plano que pasa por los puntos 5(2,3,0), 6(−2,3,4) y 7(0,6,0). Solución Método 1

56�� = B� = (B2, B�, B�) y 67�� = D�� = (D2, D�, D�)

B� = (−2 − 2,3 − 3,4 − 0) = (−4,0,4) D�� = (0 + 2,6 − 3,0 − 4) = (2,3,−4) La ecuación vectorial es:

�: (�, �, �) = (2,3,0) + Q(−4,0,4) + ª(2,3, −4) Para hallar el plano en su forma general, debemos obtener el vector normal.


\�� D�� B� � � �� *4 0 42 3 −4� = −12��− 8��− 12�� ⟹ \�� = (−12,−8,−12) luego aplicando

(4.1):

−12(� − 2) − 8(� − 3) − 12� = 0 ⟹ −3� − 2� − 3� + 12 = 0 que es la ecuación general del

plano.

Para obtener las ecuaciones paramétricas del plano se debe considerar un punto y los dos vectores directores:

5(2,3,0);B� = (−4,0,4);D�� = (2,3, −4) �: _� = 2 − 4Q + 2ª� = 3 + 3ª� = 4Q − 4ª

Método 2

Este método alternativo no requiere calcular el vector normal y por tanto no se auxilia del cálculo matricial.

Partiendo de la ecuación paramétrica:

�: ]� = 2 − 4Q + 2ª(1)� = 3 + 3ª(2)� = 4Q − 4ª(3) Luego de la ecuación (2) resulta: ª = �9�� ; sustituyendo este valor en la ecuación (3): � = 4Q −4 â�9�� ã ⟹ Q = 22� (3� + 4(� − 3)) luego, sustituyendo en (1) los valores de Q y ª , se obtiene la

ecuación reducida del plano 3� − 2� − 3� + 12 = 0

4.3 Posiciones relativas del Plano

Dos planos �2 ��y pueden situarse en el espacio de tres modos:


Sean las ecuaciones implícitas: �2: 5� + 6� + 7� + 1 = 0 y ��: 5′� + 6′� + 7′� + 1′ = 0 las condiciones necesarias y suficientes para que se cumpla alguna de las situaciones anteriores es:

Cuadro 3. Posiciones relativas de los planos

Caso Ecuación Planos Coincidentes 5

5′= 66′ � 77′ � 11′

Planos Paralelos 55′ � 66′ � 77′ ≠ 11′

Planos Secantes (se cortan en una recta) 55′ ≠ 66′ ≠ 77′

Planos Perpendiculares (caso particular de Secantes) 55� 3 66� 3 77� � 0

Secantes Paralelos Coincidentes



Ejercicio 1

Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos 5�1, −2, 4) , 6(0, 3, 2) y es

paralelo a la recta:

� − 14 = � − 21 = � + 12

Solución

5(1,−2,4);56�� = (−1,5, −2);D�� = (4,1,2) �� − 1 −1 4� + 2 5 1� − 4 −2 2� = 0 => 4� − 2� − 7� + 20 = 0

Ejercicio 2

Dadas las rectas:

r: �;�� = �92� = �;292 y i: �929� = �9�9� = ��

Determinar la ecuación del plano que contiene a la recta r y es paralelo a la

recta i. Solución

5(−2,1, −1)D�� = (3,2, −1)B� = (−2,−2,3) �� + 2 3 −2� − 1 2 −2� + 1 −1 3 � = 0 ⇒ 4� − 7� − 2� + 13 = 0


Ejercicio 3

Sea � un plano que pasa por ��1,2, 1) y corta a los semiejes coordenados positivos en los puntos A, B y C. Sabiendo que el triángulo ABC es equilátero, hallar las ecuaciones de �.

Solución

5(�, 0,0); 6(0, �, 0); 7(0,0, �) �� + �� + �� = 1 ⇒ � = � = �

Como el triángulo es equilátero, los tres segmentos son iguales.

�� + �� + �� = 1; � + � + � = �

1 + 2 + 1 = � ⟹ � = 4 por tanto: � + � + � = 4

Ejercicio 4

Hallar la ecuación del plano que contiene a las rectas:

r: �;�2 = �92� = �;�92 ; i: �;�92 = �92w = �;�9�

Solución

5(−2,1, −3)D�� = (1,3, −1)B� = (−1,4, −2) �� + 2 1 −1� − 1 3 4� + 3 −1 −2� = 0 ⇒ −2� + 3� + 7� + 14 = 0

Ejercicio 5

Hallar en cada caso las ecuaciones vectoriales, paramétricas y reducidas del

plano que pasa por los puntos �(1,1, −1), (−2,−2,2) y +(1,−1,2)


Solución Por el Método 2

� �� B� � �*3,−3,3) y �+�� = D�� = (0, −2,3)

La ecuación vectorial es:

�: (�, �, �) = (1,1, −1) + Q(−3,−3,3) + ª(0, −2,3) Las ecuaciones paramétricas respectivas son:

�: ]� = 1 − 3Q(1)� = −3 − 3Q − 2ª(2)� = −1 + 3Q + 3ª(3) De la ecuación (1) se deduce: Q = �92� luego sustituyendo en (2): ª = 2� (−� − � − 2). Finalmente se reemplazan los valores de Q y ª en (3), obteniéndose la ecuación

reducida: −3� + 6� + � + 6 = 0

Ejercicio 6

Hallar las coordenadas del punto común al plano � + 2� − � − 2 = 0 y a la recta

determinada por el punto (1, −3, 2) y el vector D�� = (2,4,1) Solución

_� = 1 + 2Q� = −3 + 4Q� = 2 + Q (1 + 2Q) + 2(−3 + 4Q) − (2 + Q) − 2 = 0

Q = 1 => 6(3,1,3)


Ejercicio 7

Hallar la ecuación implícita del plano que pasa por el punto ��1,1,1� y es paralelo

a:

_� = 1 3 2Q − 3ª� = 3 + 2ª� = −1 − ª Solución

�(1,1,1)D�� = (2,0,0)B� = (−3,2, −1) �� − 1 2 −3� − 1 0 2� − 1 0 1 � = 0 ⇒ −2(−� + 1 − 2� + 2) = 0 ⟹ � + 2� − 3 = 0

Ejercicio 8

Hallar la ecuación del plano que contiene al punto A (2, 5, 1) y a la recta de ecuación:

� − 24 = � − 11 = � + 12

Solución

6(2,1, −1)56�� = (2 − 2,1 − 5,−1 − 1) = (0,−4,−2) 5(2,5,1)D�� = (1,3,1)56�� = (0,−4,−2) �� − 2 1 0� − 5 3 −4� − 1 1 −2� = 0 ⟹ � − � + 2� + 1 = 0

Ejercicio 9

Hallar la ecuación del plano que contiene a la recta �9�2 = �9�9� = �9w� y es

paralelo a la recta.


_� � 1 3 3Q� = 1 3 2Q� = Q Solución

El punto 5(2, 2, 4) y el vector D�� = (1,−2,3) pertenecen al plano, ya que la primera

recta está contenida en el plano.

El vector B� = (3,2,1) es un vector del plano, por ser paralelo a la recta.

5(2,2,4)D�� = (1,−2,3)B� = (3,2,1) �� − 2 1 3� − 2 −2 2� − 4 3 1� = 0 => � − � − � + 4 = 0

Ejercicio 10

Hallar la ecuación del plano paralelo a las rectas de ecuaciones:

r: �9�92 = �2 = �;2� y i: �2� − � + � = −2−� + � + 3� = 1

y que pasa por el punto (1, 1, 2).

Solución

�2� − � + � = −2−� + � + 3� = 1 ⟹ �2� − � = −2− �(1)−� + � = 1 − 3�(2) Para despejar � se procede a realizar: 2.(2)+(1):

� = −7�, luego sustituyendo en (1): � = 1 − 4�, luego asignando � = Q: i: _� = 1 − 4Q� = −7Q� = Q


5�1,1,2);D�� = (−1,1,2); B� = (−4,−7,1) �� − 1 −1 −4� − 1 1 −7� − 2 2 1 � = 015� − 7� + 11� − 30 = 0

Ejercicio 11

Estudiar la posición relativa de la recta y el plano:

�: 2� − � + 3� = 8 r: _ � = 2 + 3Q� = −1+ 3Q� =−Q Solución

Se deben hallar los puntos de corte de � y r:

(2 + 3Q) − (−1 + 3Q) + 3(−Q) = 8

El resultado es 0 = 3.

La recta y el plano son paralelos dados que no tienen punto en común

Ejercicio 12

Dados los siguientes planos, estudiar la posición relativa de cada uno de ellos:

_ 2� − � + 3� = 8� + 3� − � = 52� + 6� − 2� = 5

Solución

2� − � + 3� = 8� + 3� − � = 5 Í � + 3 − � = 52� + 6� − 2� = 5Í 2� − � + 3� = 82� + 6� − 2� = 5Í

Se cortan en una recta

Son paralelos

Se cortan en una recta


Ejercicio 13

Dado el plano �:3� − 5� 3 � − 2 = 0 determinar la ecuación de un plano �′, paralelo

que contenga al punto 5(−3,2,4). Solución

Un vector normal al plano es \�� = (3,−5 − 1) como �′ debe ser paralelo a �, el vector anterior también es normal a �′, y por tanto tendrá la forma:

��: 3� − 5� + � + 1 = 0

Se debe determinar D, aplicando la condición de paralelismo, debe satisfacer que pase por el punto A para estar contenido en él, por tanto:

3(-3)-5(2)+4+D=0 => D= 15

El plano es: ��: 3� − 5� + � + 15 = 0

Ejercicio 14

Determinar la ecuación del plano � , que corta a los ejes coordenados ��, �� y �� en 5, 8 y 2 respectivamente.

Solución

El ejercicio trata de hallar el plano que pasa por tres puntos: 5(5,0,0), 6(0,8,0) y 7(0,0,2). Apl icando la fórmula (4.5):

� � − �� − �� − ��2 − �� 2 − �� 2 − �� − �� − �� − �� = �� − 0 � − 0 � − 25 − 0 0 − 9 0 − 20 − 0 8 − 0 0 − 2� = 0

Aplicando la regla de Sarrus se obtiene la ecuación del plano:

34� + 10� + 40� = 80


Ejercicio 15

Hallar en cada caso las ecuaciones vectoriales, paramétricas y reducidas del

plano que cumple:

a. Pasa por los puntos 5�2,3,0), 6(−2,3,4) y 7(0,6,0) b. Pasa por los puntos �(1,1, −1), (−2,−2,2) y +(1,−1,2) c. Corta a los ejes de coordenada en los puntos � = 1, � = 2 y � = 3

Solución

a. 56�� = B� = (B2, B�, B�) y 67�� = D�� = (D2, D�, D�)

B� = (−2 − 2,3 − 3,4 − 0) = (−4,0,4) D�� = (0 + 2,6 − 3,0 − 4) = (2,3,−4) La ecuación vectorial es:

�: (�, �, �) = (2,3,0) + Q(−4,0,4) + ª(2,3, −4) Para hallar el plano en su forma general, debemos obtener el vector normal.

\�� = D�� × B� = � �� −4 0 42 3 −4� = −12��− 8��− 12�� ⟹ \�� = (−12,−8,−12) luego aplicando(4.1)

considerando el punto A:

−12(� − 2) − 8(� − 3) − 12� = 0 ⟹ −3� − 2� − 3� + 12 que es la ecuación general del

plano.

Para obtener las ecuaciones paramétricas del plano se debe considerar un punto y los dos vectores directores:

5(2,3,0);B� = (−4,0,4);D�� = (2,3, −4) Ejercicio 16

Dados los puntos 5(2,5,0), 6(2,5,1), 7(−3,5,5) y 1(−3,5,0) determinar la ecuación del

plano que pasa por ellos.


Solución

Para determinar si hay un plano por los cuatro puntos, se toman tres de ellos, luego se determina la ecuación del plano aplicando la ecuación (4.5) y se verifica si el cuarto punto cumple con la ecuación.

Consideremos los puntos 5�2,5,0), 6(2,5,1), 7(−3,5,5), luego por (4.5):

�� + 3 � − 5 � − 52 + 3 5 − 5 0 − 52 + 3 5 − 5 1 − 5� = −5� + 25 = 0 ⇒ � − 5 = 0

Verificando el punto 1(−3,5,0):5 − 5 = 0 ; pertenece al plano

Ejercicio 17

Encontrar la ecuación del plano por los puntos 5(0,−2,0), 6(2,1, −1) y 7(1,−1,2) usando los vectores directores.

Solución

56�� = (2 − 0,1 − (−2),−1 − 0) = (2,3, −1) 67�� = (1 − 0, −1 − (−2), 2 − 0) = (1,1,2)

Luego se realiza el producto vectorial para obtener el vector normal al plano:

\�� = 56�� × 67�� = (7, −5,−1) (ecuación 2.8)

La ecuación del plano es 5� + 6� + 7� + 1 = 0 donde A, B y C son las coordinadas del vector normal:

7� − 5� − � + 1 = 0, luego dado que el punto A pertenece al plano se cumple:

7(0) − 5(−2) − 0 + 1 = 0 ⇒ 1 = 10 la ecuación del plano es entonces:

7� − 5� − � − 10 = 0


Problemas

1. Hallar la distancia del punto ��3,4,2) al plano que pasa por los puntos 5(3,0,0), 6(0,3,0), 7(0,03) 2. Determinar un vector normal al plano de ecuaciones paramétricas:

_� = 1 + 2Q + ª� = 2 − Q + ª� = 3 − Q − ª


CAPITULO 5. Posiciones relativas de Planos y Rectas

5.1 Posiciones de un Plano y una Recta

Una recta r: ¾ ��, �, �)¬�(¬2, ¬�, ¬�)y un plano �: 5� 3 6� 3 7� 3 1 = 0 pueden adoptar las siguientes

posiciones relativas en el espacio:

A) Si la recta restá contenida en el plano �, existe un número infinito de puntos

de intersección entre la recta y el plano

B) Si la recta r no intercepta al plano � y es paralela al mismo

C) Si �\�� ∙ ¬� ≠ 0 ⇒ recta res secante con el plano � y lo intercepta en el punto �

Otra forma de determinar la posición relativa, sin necesidad de calcular los vectores directores, es siguiendo los pasos del siguiente cuadro:

�\��. ¬� = 0� ∉ � ⇒

�\��. ¬� = 0� ∈ � ⇒


Cuadro 4. Posiciones relativas de Planos y Rectas

r: _� � � 3 QD2� � � 3 QD�� 3 QD�

�: 5� 3 6� 3 7� 3 1 � 0

Se sustituyen las coordenadas del punto de la recta en la ecuación del plano: 5(� 3 QD2� 3 6(� 3 QD�� 3 7(� 3 QD�� 3 1 = 0 ⇒ �Q = \

�Q = \

� E 0 ⇒ Sistema Compatible Determinado; solución única

SE CORTAN

� = 0, \ ≠ 0 ⇒Sistema Incompatible; no existe solución

PARALELAS

� = 0, \ = 0 ⇒Sistema Compatible Indeterminado; infinitas soluciones

CONTENIDA

Ejemplo

Determinar el punto de intersección de la recta r�: (3,1,2) + Q(1,−4,−8),Q ∈ ℝy el plano �: 4� + 2� − � − 8 = 0

Solución

Primero se debe convertir la recta de su forma vectorial a la forma paramétrica: � = 3 + Q,� = 1 − 4Q,� = 2 − 8Q

Luego se sustituyen los valores en �: 12 + 4Q + 2 − 8Q − 2 + 8Q − 8 = 0

Q = −1, observando el cuadro resulta a=1, por tanto se corta en un punto �(q2, q�, q�). Para hallar las coordenadas del punto, se sustituye el valor de Q en la ecuación paramétrica y se obtiene �(2, 5,10).


Plano paralelo a dos rectas

Si el plano � es paralelo a las rectas r y i con vectores directores D��yB� respectivamente,

entonces un vector normal al plano es \�� D�� B� En este caso, si conocemos un punto ��, �, �) del plano �: 5� 3 6� 3 7� 3 1 = 0 y si la dirección

perpendicular tiene de coordenadas \�� = D�� ×B� = (5, 6, 7) , podemos determinar la ecuación normal de dicho plano:

\�� ∙ � ��o5(� − �) 3 6(� − �) 3 7(� − �) = 0

Recta definida por dos planos

Cuando una recta se da de forma implícita (intersección de dos planos)

r: ¾5� 3 6� 3 7� 3 1 = 05�� 3 6�� 3 7�� 3 1� = 0 ⇒ ¾\��(5, 6, 7) ⊥ �\′��(5�, 6�, 7�) ⊥ �

Un vector director para la recta r se obtiene

calculando ¬� = \�� × \′�� . Un punto P para esa recta lo obtenemos al resolver el sistema que forman las dos ecuaciones de los

planos cuya intersección es r.

Así pues ya tenemos una determinación vectorial para la recta r que es:

r: ��, ¬�� = (�, \�� × \��) A partir de aquí ya podemos escribir cualquier ecuación de r.

(5.2)

(5.1)


5.2 Medida de ángulos entre rectas y planos

Para determinar el ángulo entre rectas, entre planos y entre rectas y planos, necesitamos disponer para cada figura de un vector que caracterice su dirección. En la recta es obvio que su vector director la caracteriza, mientras que en el plano ese papel lo desempeña su vector normal (para un plano cualquiera solo hay una dirección perpendicular a ese plano).

Ejemplo

Calcular el ángulo � que forman las rectas:

r: � * 35 = � 3 13 = �−1 i: � 2� + 3� − 5� + 4 = 0� − 2� + 5 = 0 Solución

Como D��(5,3, −1) y B� = (2,3, −5) × (1,−2,0) = (−10,−5,−7) cos(�) = ‖D�� ∙ B�‖‖D��‖‖B�‖ = |D2B2 + D�B� + D�B�|nD2� + D�� +D��nB2� + B�� +B�� = 58√6090 = 0,7432 ⇒ � = 41°59′35"

Ángulo entre dos planos

El ángulo � entre dos planos � y �′ es el mismo que el que forman

sus respectivos vectores normales: \�� y \′��, por tanto:

�hi(�) = |O��∙O��||O��||O��| Ángulo entre recta y plano

El ángulo � entre una recta r y un plano � es el que forma la recta r con su proyección sobre plano �.

Se puede observar que este ángulo � es complementario del

ángulo que forman el vector director ¬� de la recta r y el vector

normal \�� del plano �. Por tanto:

(5.3)


� � ��, r); cos(90° * �� = |O��∙ �́||O��|| �́|

Ejemplo 1

Calcular el ángulo que forman el plano �: 2� − 5� + 7� − 11 = 0y la recta

r: � − 32 = � + 15 = � − 1−1

Solución

Los dos vectores directores son: ¬� = (2,5, −1) y \�� = (2,−5,7) Aplicando la fórmula anterior:

� = (�, r);cos(90º − �) = �O��∙ �́�|O��|� �́� =

|9�Ø|�√��√uØ�= 0,5788 ⟹ 90º * � ⟹ 55º ⟹ � = 35º

Ejemplo 2

Calcular el ángulo entre: �: � − 2� + 4� = 0 y ��: 2� − � + 3 = 0

Solución

\��(1,−2,4) y \��(2,−1,0) (coeficientes de las ecuaciones de los planos) son los vectores normales respectivos:

cos(�) = |O��∙O��||O��||O��| = w√2�z = 0,39 ⇒ � ≈ 67º

5.3 Distancia entre puntos, rectas y planos

Distancia entre dos puntos

La distancia entre dos puntos �(�, �, �) y (��, ��, ��) es el

módulo del vector � ��(�� − �, �� − �, �� − �) o sea:

(5.4)


¬��, ) = �� = n(�� − �)� 3 (�� − �)� 3 (�� − �)�

Distancia de un punto a una recta

La distancia de un punto �(�, �, �) a una recta r: (+, ¬�) es igual a la

longitud del segmento perpendicular que une �con la recta r.

Coincide con la distancia entre los puntos P y 'P , siendo �’ la proyección

de P sobre r. Es decir:

¬(�, r) = ¬(�, ��)

Para calcular el valor de esa distancia hay varios métodos:

Método 1. Producto Vectorial

El área del paralelogramo de la figura izquierda es:

�+�� ×¬�� . Si esta área la dividimos por la longitud de la base del

paralelogramo: �¬��obtenemos la altura ℎ del paralelogramo, que coincide

con la distancia buscada.

¬(�, r) = �åæ��× �́�� ́�

Ejemplo

Calcular la distancia de �(5,−1,6) a la recta r : �929� = �92 = �9z2

Solución

+(1,05);¬�(−2,−1,1) ⇒ �¬�� = √6 �+�� × ¬�� = |0, −6,−6| = √72

(5.6)

(5.7)

(5.8)


¬��, r) = �+�� × ¬��¬�� = √72√6 = √12

Método 2. Constructivo

Determinamos el plano � perpendicular a la recta r: (+, ¬�) que pasa

por el punto �(�, �, �). La intersección de este plano � con la recta r

nos da el punto 'P (proyección de P sobre r). La distancia del punto �a la recta r se calcula como la distancia entre los puntos � y �’.

¬(�, r) = ¬(�, ��)Ejemplo

Calcular la distancia de �(5,−16) a la recta r: �−1−2 = �−1= �−51

Solución

El plano �, perpendicular a la recta r, tiene por vector normal el vector director de la recta r,

es decir, ( )1,1,2−−==→→dn ecuación normal de �.

( )( ) ( )( ) ( )( ) 0320161125 =−−+⇒=−+−++−− zyxzyx

+=−=−=

⇒−=

−=

−−

λλλ

5

0

21

:1

5

12

1:

z

y

x

rzyx

r

Sustituyendo en la ecuación del plano π las coordenadas de robtenemos 'P

( ) ( ) ( ) ( )4,1,3'1035212 P⇒−=⇒=−+−−+− λλλλ

¬(�, r) = ¬(�, ��) = n(5 − 3)� + (−1 − 1)� + (6 − 4)� = √12


Método 3. Del Punto Genérico

El punto genérico Q de la recta r tiene sus coordenadas dependientes del parámetro λ . Si

obligamos a que el vector →

PQ sea perpendicular a r (producto escalar por →d sea cero)

obtenemos λ para determinar 'P

Ejemplo

Calcular la distancia de ( )6,1,5−P a la recta 1

5

12

1:

−=−

=−− zyx

r .

Solución

( )λλλ +−− 5,,21Q ( )λλλ +−−−−→

1,1,24PQ ( )1,1,2−−→d

( )( ) ( )( ) ( )( ) 1011112420. −=⇒=+−+−−+−−−⇒=→→

λλλλPQd

( )4,1,3'1

PQ−=

=λ

; ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) uPPdQPdrPd 12461135',,, 222 =−+−−+−===

Distancia de un punto a un plano

La distancia de un punto ��, �, �) a un plano � es igual a la distancia entre el punto P y la

proyección 'P de ese punto sobre el plano:

¬(�, �) = ¬(�, ��)

Existen diversos métodos de cálculo, veamos algunos de ellos.

Método 1. Directo

Sea �: 5� 3 6� 3 7� 3 1 = 0 y el punto �(�, �, �). Sea �’ la

proyección de � sobre �.

Tomemos un punto ��(��, ��, ��)del plano �.

(5.9)


Sabemos que \��5, 6, 7), entonces se puede concluir que la distancia del punto �(�, �, �) al

plano � es igual al módulo del vector: �′�� = ¬(��, �).

¬(�, �) = |à8;t:;á�;¦|√àV;tV;áV

Método 2. Constructivo

Determinamos la recta r que pasa por P y es perpendicular a π .

La intersección de r y π es el punto 'P

La distancia de P a π coincide con la distancia entre los

puntos P y 'P : ¬��, �) = ¬(�, ��)

Ejemplo

Calcular la distancia de �(3,1,7) a �: � − 3� 3 5� − 1 = 0

Solución

B) determinamos ( )5,3,1,,: −=⇒⊥

→→→ndrdPr π

+=−=+=

λλ

λ

57

31

3

:

z

y

x

r

( ) ( ) ( )

−⇒

−=⇒=−++−−+35

415,

35

67,

35

71'

35

34015753133 Pλλλλ

( ) ( ) uPPdPd 74,5331225

40460',, =≈==π

Comprobar que por el método A) obtienes el mismo resultado.

Distancia de una recta a un plano

(5.10)


Si la recta ry el plano � son secantes la distancia ¬�r, �) = 0

Si no son secantes puede ocurrir que:

• r esté contenida en �, por tanto: ¬(r, �) = 0 • r sea paralela a �, en ese caso si � ∈ r: ¬(r, �) = ¬(�, �)

Distancia entre dos planos

Si los planos � y �′ son secantes la distancia ¬(�, �′) = 0

Si los planos no son secantes puede ocurrir:

• � coincide con �′, por tanto: ¬(�, ��) = 0 • � es paralelo a �′, en ese caso si ��:¬(�, ��) = ¬(�, ��)

Ejemplo

Calcular la distancia de r: �9�z = �92� = �;�92 a �: � − 3� − � 3 6 = 0

Solución

El vector director de r : ( )1,2,5 −→d y el vector normal de �: \��(1, −3,−1�:

¬� ∙ \�� 5.1 3 2. (−3) + (−1). (−1) = 0

En consecuencia la recta y el plano son paralelos.

Tomamos un punto � cualquiera de la recta r, por ejemplo: �(3,1, −2) ( ) ( ) uPdrd 41,2

11

8

191

6).2(1.33,, ≈=

++

+−−−== ππ

Ejemplo 2

Calcula la distancia del plano 01925: =−+− zyxπ al 04102:' =+− zyxπ

Solución

El vector normal del plano �: \��(1,−5,2) y el de ��:\��(2,−10,4) 2

4

5

10

1

2 =−−=


Los planos son pues paralelos.

Si tomamos un punto P cualquiera de π , por ejemplo: ( )9,0,1P

( ) ( ) uPdd 47,3120

38

161004

9.40.101.2',', ≈=

++

+−== πππ



Ejercicio 1

Determinar el punto de intersección entre la recta r:�3,1,2) + Q(1, −4, −8) y el

plano �:4� − 2� − � − 8 = 0

Solución

El primer paso es convertir la ecuación de la recta de su forma vectorial a paramétrica, y luego sustituir las variables en la ecuación del plano.

r:(3,1,2) + Q(1, −4,−8) es equivalente a:

_ � = 3 + Q� = 1 − 4Q� = 2 + 8Q

Sustituyendo en �:4(3 + Q)− 2(1 − 4Q)− (2 + 8Q)− 8 = 0 . Resolviendo la ecuación

resulta Q = −1 . Luego si sustituimos este valor en la ecuación paramétrica, obtenemos el punto de intersección (2, 5,10). Ejercicio 2

Determinar si existe punto de intersección entre el plano �: 2� − 5� + � − 6 = 0 y la

recta r: _� = 2 + Q� = 2 + 2Q� = 9 + 8Q

Solución

Sustituyendo los valores de las variables de la recta en la ecuación del plano:

2(2 + Q) − 5(2 + 2Q) + (9 + 8Q) − 6 = 0 reordenando:

−3 + 0Q = 0 ⇒ 0Q = 3 , por tanto es un sistema incompatible; las rectas son paralelas


Ejercicio 3

Determinar las posiciones relativas de la recta y el plano siguientes:

r: _� � 2Ô − 3� = 4 − 7Ô� = 3Ô ; �: 4� + 2� + 2� = 9

Solución

Siguiendo el procedimiento indicado en el Cuadro 4:

4(−3 + 2Ô) + 2(4 − 7Ô) + 2(3Ô) = 9 ⟹

(8Ô − 14Ô + 6Ô) + (−12 + 8) = 9 ⇒ −4 = 0

Es un sistema incompatible; no existe solución, por tanto r ∥ �

Ejercicio 4

Determinar las posiciones relativas de la recta y el plano siguientes:

r: �� = � − 4� = 2� − 3 ; �: 2� − 3� + 4� = 1

Solución

Definamos � = Q ⇒ _ � = −4 + Q� = −3 + 2Q� = Q sustituyendo los valores en la ecuación del plano:

2(−4 + Q) − 3(−3 + 2Q) + 4Q = 1 ⇒ 0Q = 0 ;

es un sistema compatible indeterminado, por tanto la recta está contenida.

Ejercicio 5

Sea el plano �: − 5� − 9� +�� + 15 = 0 y la recta Ô: ¾ 2� � + 5� + 2�� = 0−� + � + � + 3 = 0

Si la recta Ô es paralela al plano �, determinar el valor de �.


Solución

Expresemos la recta Ô en su formato paramétrico. Dado que el sistema tiene un grado de l ibertad, se puede fijar arbitrariamente � � Q.

?13� 3 5� 3 Q 3 133 = 0 ⇒ � + 15� + 3Q + 13 = 0−� + � + Q + 3 = 0� = Q

Resolviendo el sistema se obtiene: ?� = 2 + �w Q� = −1 − 2w Q� = Q

Luego, sustituyendo estos valores en la ecuación del plano:

−5 Ü2 + 34QÝ − 9 − Ü1 − 14QÝ + Q� + 15 = 0

Q(−6 + 4�) = −54

De acuerdo al Cuadro 4, la condición para que sean paralelas es que:

>(−6 + 4�) = 0−54 ≠ 0

Despejando m de la primera ecuación resulta � = �� Ejercicio 6

Una recta es paralela a los planos �2:� + � = 0, ��:� + � = 0 y pasa por el punto �(2, 0, 0). Hallar sus ecuaciones.

Solución

El vector normal al plano �2es \��2 = (1,1,0) por su parte la normal al plano �� es \�� =(1,0,1). Una recta es paralela a un plano si su vector director es perpendicular al vector normal del plano. Por tanto se determina una recta perpendicular a ambos planos que pase por (2,0,0)

D�� = \��1 × \�� = �� 1 1 01 0 1� = ��− �� − �� El vector resultante es D�� = (1,−1,1), la ecuación de la recta será:


r��, D��):� − 21 = �−1 = �−1

Problemas

1. Sean r y � la recta y el plano definidos por las ecuaciones:

r: �2� + 2� − 3� = 3� + � + � = −1 �: � − � + � = 1

Determinar la posición de la recta ren relación al plano �

2. Se considera la recta r de ecuaciones:

r: >−2� + � + � = 4−2� + � = 2

Determinar la ecuación del plano que pasa por el punto (1,1,-1) y es perpendicular a r.

3. Determinar el punto de intersección de la recta que pasa por los puntos (0,0,3)y (1,1,5) corta al plano de ecuación � + � + � = 1

4. Hallar el valor de � para el punto (0,0, �) en que el eje �� corta a la recta

intersección de los planos de las ecuaciones paramétricas:

_� = 8 + 2Q + ª� = 8 + 2Q� = 2Q − ª _� = 8 + 3Q + 2ª� = 4 + 3Q + ª� = −4 + 4Q + ª

5. Dados el plano �: � + 2� = 0 y el punto �(3,−3,4) a. Hallar la ecuación reducida del plano � tal que � ∈ � y � ∥ �

b. Hallar las ecuaciones de la recta r tal que corta al eje ��, r ∥ � y ��r

6. Hallar la distancia del punto P(3,4,2) al plano que pasa por los puntos A(3,0,0), B(0,3,0),

C(0,0,3)

7. Dadas las rectas r: _ � = 2 + Q� = −1 − Q� = 1 + 2Q ; i: � 2� − � = 0�� − 2� = 0


a. Determinar ��ℝ sabiendo que las rectas r y i son paralelas

b. Determinar la ecuación del plano � ∶ r ⊂ � y i ⊂ �

c. Siendo ��1,3,1� probar �� ⊥ � y hallar P’ simétrico del punto P respecto del plano �

d. Determinar : = Ô ∩ � siendo Ô: _� = *1 3 2ª� = −5 + 3ª� = −4 − ª y hallar el área del triángulo ��’

8. Sean los punto 5(1,2,3), 6(5,5,5) y 7(3,13/6,6) a. Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta r que pasa por los puntos A y B

b. Halle J�� vector proyección ortogonal de 57 sobre el vector dirección de la recta r

c. Halle ��r tal que ¬(7, �) = ¬(7, r)


CAPÍTULO 6. Medidas de Áreas y Volúmenes

6.1 Área de un triángulo

Sean ⊿� + y � +. son un triángulo y un paralelogramo respectivamente tal como lo muestra la figura a continuación:

Se observa que el paralelogramo queda determinado por dos vectores B� y J�� que son

linealmente independientes.

Pensemos el triángulo como si existiera en ℝ� e identifiquemos los lados QR y QP con los vectores B� y J��, respectivamente, en ℝ�. Sea f el ángulo entre B� y J��. El área 5� + del ⊿� +

está definido por la fórmula :.è� . En consecuencia se pueden deducir las siguientes

ecuaciones:

� = ‖B�‖ y ℎ = ‖J��‖. i�\f

5æéå = 2� ‖B�‖‖J‖. i�\f = 2� ‖B� × J��‖

5æéå = 2� } +�� × ��} = B� × J�� Ejemplo

Calcular el á rea del triángulo de vértices:

5(*5,2,1), 6(1,7,5), 7(−1,0,4)

(6.1)


Solución

56��6,5,4), 57��(4,−2,3) ⇒ 56�� × 57�� = (23,−2,−32) Ár��⊿567 = 12 }56�� × 57��} = 12‖(23,−2,32)‖ = 12√1557 ≈ 19,73

6.2 Área del paralelogramo

Consecuentemente el área del paralelogramo se puede obtener multiplicando la base por la altura, para la figura anterior:

Ár�� = ‖B�‖. ‖J��‖. i�\f

Operando resulta:

Ár��q�r�×�×hër��h = p‖B�‖�‖J��‖2− ~��, ��2 = ìí(��, ��) (��, ��)(��, ��) (��, ��)í

6.3 Volumen de un tetraedro

Considerando el tetraedro de la figura, el volumen resulta:

Êh×D��\¬�×Ô�Ôr��¬rh = 2y }�56��, 71��, 51��}

Otra fórmula de aplicación frecuente es:

Êh×D��\¬�×Ô�Ôr��¬rh = Áî¡8´¡ï8:8ð¡×àïñSî8�

Ejemplo

Calcular el volumen del tetraedro de vértices: 5(3,5,7), 6(1,0, −1), 7(7, −1,4), 1(11,4, −6)

(6.3)

(6.2)

(6.4)


Solución

56��*2,−5,−8), 57��(4,−6,−3), 51��(8,−1,−13)

Êh×ú��\Ô�Ô��¬rh = 16}56��, 57��, 51��} = 16ó−2 −5 −84 −6 −38 −1 −13ó = 16 |−642| = 107D�

6.4 Volumen del paralepípedo

Un método alternativo para el cálculo del volumen del tetraedro se basa en la propiedad que el valor absoluto del producto mixto de tres vectores nos da el volumen del paralelepípedo determinado por ellos.

Comencemos calculando el volumen del paralepípedo P que se muestra en la figura. Sean los lados del paralepípedo representados por los vectores D��, B�, J�� en ℝ�.

El área del paralepípedo se calcula como el área del paralelogramo (A) por la altura ℎ. Entonces el volumen del

paralepípedo es igual a:

Êh×ú��\¬�×q�r�×�qíq�¬h = D�� ∙ (B� × J��)

Teniendo en cuenta que el paralelepípedo se descompone en seis tetraedros iguales, si dividimos la ecuación anterior por 6, se obtiene la fórmula (6.3).

(6.5)



Ejercicio 1

Demostrar que los 3 puntos 5�1,*1,3�, 6�2,1,7� y 7�4,2,6) son vértices de un triángulo rectángulo y calcule su área

Solución

�56�� = n(2 * 1�� 3 �1 3 1�� 3 �7 * 3�� √21

�67�� n�4 * 2�� 3 �2 * 1�� 3 �6 * 7)� = √6

�57�� = n(4 * 1�� 3 �2 3 1�� 3 �6 * 3)� = √27

El tr iángulo ABC es rectángulo si un ángulo es recto y se puede aplicar el teorema de Pitágoras:

�56�� 3�67�� 21 3 6 = 27 � �57�� Para el área se aplica la fórmula del triángulo:

:8ð¡�8ïñSî8� � √�2√y� � �√2w�

Ejercicio 2

Calcular el área del paralelogramo � +., donde � ��1,1�, � �2,3�, + � �5,4� y . � �4,2�. Solución

Sea B� � .� y J�� .+ , por tanto B� � �*3,*1� J�� 1,2� y, estos son vectores en ℝ� pero el producto vectorial solo está definido en ℝ�, no obstante puede pensarse como un subconjunto donde � � 0 , por tanto los vectores pueden reescribirse como B� � �*3,*1,0� y J�� 1,2,0�, entonces el área A de PQRS:

5 � ‖B� � J��‖‖� �*3,*1,0� � �1,2,0�‖ � 5


Problemas

1. Sea r la recta dada por las ecuaciones paramétricas:

r: _ � � 1 3 Q� = *1 3 2Q� = 4 − Q y i la recta que pasa por �(5,2,2) y (11,4,0).

a) Hallar las ecuaciones paramétricas de ib) Hallar las ecuaciones reducidas der y ic) Hallar r ∩ i = {5}d) Hallar las proyecciones ortogonales de � y sobre la recta r siendo las mismas �’ y ’

respectivamentee) Calcular el área del trapecio � ’�’

2. Considere los valores del problema 5, capítulo 5 y halle el punto ∈ � cuya distancia a P es mínima y calcule el área del triángulo ��

3. Sean .(3,4,2), 6(4,2,3) y 7(�, 3,1).

a) Hallar � para que el triángulo ABC sea equilátero. El resto del problema tomará el valor

de � hallado b) Hallar la ecuación del plano � que pasa por los tres puntos dados c) Hallar la ecuación de la recta r que pasa por el baricentro del triángulo ABC y es

perpendicular al plano � d) La recta r corta al plano �: �� + 2� + � = 28 en el punto D, hallar sus coordenadas e) Hallar el volumen de la pirámide ABCD


CAPÍTULO 7. Cuádricas

Una cuádrica es el lugar geométrico de los puntos del espacio ��, �, �) que verifican una ecuación de segundo grado del tipo:

5�� 3 6�� 3 7�� 3 1� 3 õ� 3 ö� 3 �� 3 ÷�� 3 ø�� 3 ù = 0

La primera superficie que analizaremos será la esfera.

7.1 Esfera

La superficie esférica es el lugar geométrico de los puntos del espacio cuya distancia al centro �(�, �, �) es constante y que denominaremos

radio («). Si (�, �, �) es un punto genérico de la esfera de centro �(�, �, �) y radio rentonces cumplen la siguiente condición:

¬( , �) = r ⇔(� − �)� 3 (� − �)� 3 (� − �)� = r�

denominada representación canónica. Desarrollando la expresión anterior llegamos a una expresión del tipo:

�� 3 �� 3 �� 3 5� 3 6� 3 7� 3 1 = 0

Recíprocamente, una ecuación como la anterior corresponde a una esfera de centro:

� ~9à� , 9t� , 9á� � y radio r = p~à�� 3 ~t�� 3 ~á�� − 1 .

(7.1)

(7.2)


Ejemplo

a) Determinar el centro y radio de la esfera:

�� 3�� 3 �� * 2� + 4� + 8� − 4 = 0

b) Determinar el centro y radio de la circunferencia intersección de la esfera anterior y el plano � = 0

Solución

a) Para obtener fácilmente el centro y radio de la circunferencia, completemos cuadrados para representarla en su forma canónica: �� +�� + �� − 2� + 4� + 8� − 4 = (� − 1)� + (� + 2)� + (� + 4)� + �

Donde � es una constante a determinar. Expandiendo los términos se deduce que � = 25, por tanto, el centro y el radio serán: 7(1,−2,−4) y r = 5

b) Si se sustituye � = 0 en la ecuación de la esfera se obtiene:

(� − 1)� + (� + 2)� + (0 + 4)� = 5� ⇒ (� − 1)� + (� + 2)� = 9

Por tanto la circunferencia tiene centro y radio: 7(1,−2) y r = 3.

Ejemplo 2

Determinar si la ecuación: �� + �� + �� − 4� + 6� − 12 = 0 corresponde a una esfera, y en caso afirmativo, obtener el radio y el centro.

Solución

r = p~à�� + ~t�� + ~á�� − 1 =√25 = 5 y � ~− à� , − t� , − á�� = (2,0, −3) La ecuación corresponde a una esfera de centro �(2,0, −3) y radio r = 5.


Ejemplo 3

Hallar la ecuación del plano tangente a la esfera

�� * 1�� 3 (� 3 4�� 3 (� * 2)� = 9

en el punto �(3,−2,3). Solución

El centro de la esfera es 7(1,−4,2), el plano tangente en � es perpendicular al vector:

7�� = (3 − 1,−2 + 4, 3 − 2) = (2,2,1) Por tanto se cumple que: 7�� ∙ � �� = 0

Operando: (2,2,1) ∙ (� − 3, � + 2, � − 3) = 0 ⇒ 2(� − 3) + 2(� + 2) + 1(� − 3) = 0 ⇒

2� + 2� + � = 5

Ejemplo 4

Para el ejemplo anterior, calcule la distancia del centro de la esfera ℰ al punto �(3,−2,3) del

plano.

Solución

En primer lugar expresaremos la ecuación en formato canónico:

�� + �� + �� − 2� + 8� − 4� + 12 = 0

Recurriendo a la ecuación (5.10) de distancia de un punto (el centro, en este caso) al plano:

¬(�, �) = |à8;t:;á�;¦|√àV;tV;áV = |9�.�;Ø.(9�);2�.(�);2�|√9�V;ØV;9wV = �yww =0,6

7.2 Elipsoide

Se la denomina elipsoide dado que todas sus trazas son elipses. Su expresión canónica es:


�V8V 3�V:V 3 �V�V � 1

Por ejemplo la elipsoide: �� 3�Vx 3 �Vw � 1 se representa como:

En algunos casos la ecuación no viene expresada en su forma canónica, sino que es necesaria transformarla, por ejemplo:

�� 3 Ï�� 3 ��

Aplicando los siguientes cambios de variable se obtiene la ecuación canónica:

�/ � 1/��; Ï/ � 1/��; �/ � 1/��; / � 1

Ejemplo

Sea la superficie dada por la ecuación �� 3 2�� 3 �� * 4� 3 4� * 2� 3 3 � 0 identificar la superficie.

Solución

Primero tratemos de llevarla a una de las formas conocidas:

�� * 4� 3…� 3 2�� 3 2� 3⋯.� 3 �� * 2� 3⋯.� � *3

Ahora se trata de formar binomios:

�� * 4� 3 4� 3 2�� 3 2� 3 1� 3 �� * 2� 3 1� � *3 3 4 3 2 3 1

�� * 2�� 3 2�� 3 1�� 3 �� * 1�� 4

��9��Vw 3 ��;2�V� 3 ��92�Vw = 1

Se trata de una elipsoide centrada en el punto (2,-1,1).

(7.4)


7.3 Hiperboloide de una hoja

La hiperboloide de una hoja se representa mediante tres tipos de ecuaciones:

c�*�2�2 3�2�2 3�2�2 � 1

El caso a) es el de una hiperboloide de una hoja con eje en el eje �.

El caso b) es el de una hiperboloide de una hoja con eje en el eje �.

El caso c) es el de una hiperboloide de una hoja con eje en el eje �.

a) �V8V 3 �V:V *�V�V � 1

b) �V8V * �V:V 3�V�V � 1

(7.5)


Ejemplo

Sea el siguiente hiperboloide: 9�Vw 3�Vx 3 �Vw � 1 construyamos las trazas:

Plano Ecuación Traza Plano �� 0� ��9 * ��4 � 1

Hipérbola

Plano �� 0� ��4 * ��4 � 1 Hipérbola

Plano �� 0� ��9 3��4 � 1 Elipse

Cuando se dibuja una hiperboloide de una hoja, es usualmente útil dibujar una elipse en el plano de coordenadas (en el ej. el plano �� ) dos elipses paralelas equidistantes de plano de

coordenadas y dos elipses equidistantes del plano de coordenadas, por ejemplo � � 4 y � �*4.

7.4 Hiperboloide de dos hojas

La hiperboloide de dos hojas admite tres ecuaciones también:


En el caso a) corresponde a una hiperboloide de dos hojas con eje en el eje �. Dos términos

negativos y uno positivo (�).

En el caso b) corresponde a una hiperboloide con eje en el eje �. Tiene dos términos negativos y

uno positivo (�).

Por último el caso c) corresponde a una hiperboloide con eje en el eje �. Tiene dos términos

negativos y uno positivo (�).

a��2�2* �2�2*�2�2 � 1 b�* �2�2* �2�23�2�2 � 1

c�*�2�23�2�2 *�2�2 � 1


Ejemplo

Identificar y representar la superficie: 4�� * �� 3 2�� 3 4 � 0

Solución

El primer paso es pasar la ecuación a su forma canónica. Entonces dividendo por -4:

*�� 3 ��4 *��2 � 1

que representa una hiperboloide de dos hojas del tipo c).

Las trazas de los planos �� e �� son las hipérbolas:

µ·̧*�� 3 ��4 � 1� � 0��4 *��2 � 1� � 0

La superficie no tiene traza en el plano ��. Sin embargo, las trazas en el los planos verticales � � � para |�| R 2 son elipses.

�� 3 �V� � ÖVw * 1; � � �

Esto puede ser escrito como:

�� 4ý * 1 3 ��2 ~�� 4ý * 1� � 1� � �

Estas trazas facilitan hacer el diagrama siguiente:


7.5 Cuadro Resumen



Ejercicio 1

Demostrar que �� 3 �� 3 �� * 4� * 6� 3 2� + 6 = 0 es la ecuación de una esfera. Encuentre además su centro y radio.

Solución

Para representarla en la forma canónica de una esfera debemos completar los

cuadrados:

(�� + 4� + 4) + (��6� + 9) + (�� + 2� + 1) = −6 + 4 + 9 + 1

(� + 2)� + (� − 3)� + (� + 1)� = 8

Comparándola con la forma estándar, se advierte que corresponde a una esfera

con centro en (−2,3, −1) y radio √8

Ejercicio 2

Dados �(2,1,3) y �: � + � + � − 9 = 0, hallar la ecuación de la esfera ℰ de centro � tangente al plano �

Solución

Por (7.1), la ecuación de la esfera es: ℰ:(� − 2)� + (� − 1)� + (� − 3)� =r� Recurriendo a la ecuación (5.10) de distancia de un punto al plano:

¬(�, �) = |à8;t:;á�;¦|√àV;tV;áV = |2.�;2.2;2.�9x|√2V;2V;2V = �√� = √3

ℰ:(� − 2)� + (� − 1)� + (� − 3)� = 3

Ejercicio 3

Sea la ecuación: 9�� + 4�� +�� = 36 Indicar el tipo de superficie representa que

representa y bosquejarla.


Solución

En primer lugar se debe tratar que el término independiente quede = 1. Operando

y simplificando para l levarla a la forma canónica.

��4 3 ��9 3 ��36 = 1

Corresponde a un elipsoide.

Para bosquejar se deben aplicando el método de las trazas, que es la intersección con los planos coordenados

� = 0 => �Vw 3 �Vx = 1 que es la ecuación de

una elipse en el plano ��. Si � = 0 ⇒ � = ±3. Lo mismo si hacemos � = 0 ⇒ � = ±2.

� = 0 => �Vx + �V�y = 1 ⇒ si � = 0 ⇒ � = ±6 y si � = 0 ⇒ � = ±3

� = 0 => �Vw + �V�y = 1 ⇒ � =±2; � = ±6


Ejercicio 4

Sea la ecuación: 16�� * 4�� *�� = *1 indicar el tipo de superficie que representa y

bosquejarla.

Solución

De forma similar al ejercicio anterior, el término independiente debe ser =*1.

Por tanto dividiendo por *1:

*16�� 3 4�� 3�� = 1

Pongámosla ahora de forma canónica, tal como fue presentada la hiperboloide, para ello realicemos las siguientes operaciones:

*��1/16 3 ��1/4 3�� = 1

*��(1/4�� 3 ��(1/2)� +�� = 1

Nuevamente para bosquejar se debe aplicar el método de las trazas:

� = 0: 9�V(2/w)V +�� = 1

corresponde a una hipérbola como la de la figura.

� = 0: � = 0 ⇒ � = ±1, � = 0 ⇒ � = ±1/2 ��1/4 +�� = 1

Corresponde a la elipse de la figura. � = 0:

� = 0; � = ±¼; � = 0:� = ±1/2

−��1/16 + ��1/4 = 1


También es otra elipse.

Finalmente el bosquejo de la gráfica queda como:

Ejercicio 5

Graficar la superficie: �Vw 3�� * �Vw � 1

Solución

Representar una hipérbola de una hoja,

Las trazas en los planos �� e �� son las hipérbolas:

��4 *��4 = 1; � = 0

�� *��4 = 1; � = 0

Ejercicio 6

Identificar y graficar la superficie: �� * �� 3 3�� − 2� = 0.

Solución

Como se advierte no corresponde a ninguna ecuación canónica de la tabla 7.5


�� * �� 3 3�� − 2� = 0

Como primer paso, llevemos la ecuación a su forma canónica, para ello se agrupa en la variable � y se completan los binomios: �� − (� + 1)� + 3�� + 1 = 0 Simplificando:

−�� + �� 3 1�� * 3�� = 1 Esta ecuación tiene corresponde a la gráfica de un hiperboloide de dos hojas (por tener 2

términos negativos) que se extiende a lo largo del eje de la variable correspondiente a (y+1)2,

por ser éste un término positivo, luego el hiperboloide se extiende a lo largo de y. Además

como ésta ecuación puede escribirse: *(� * 0�� 3 (� 3 1�� * (� * 0��(1 √3)⁄ � = 1

entonces el centro del hiperboloide es (0, −1,0�. El gráfico es:

Graficando ahora las trazas: Plano ��: valor: k=0 → z=0, �� 3 1�� * �� * 3�� = 1 (� 3 1�� * �� = 1


hipérbola en el plano �� valor: k=−1 → z=−1, �� 3 1�� * �� * 3 = 1 => (� 3 1�� * �� = 4 hipérbola en el plano xy Graficando:

Sección transversal del

hiperboloide de dos hojas

para x=0, x=−1. en el plano xy

Plano��: valor: � = 0 → � = 0, (� 3 1�� * �� * 3�� = 1 �� * 3�� = 1

elipse degradada al punto (0,0), en el plano xz: valor: � = *3 → � = −3, 4 − �� − 3�� = 1 4�� 3 3�� = 3

elipse en el plano �� valor: � = −4 → � = −4, 9 − �� − 3�� = 1 �� 3 3�� = 8

elipse en el plano ��. Vemos que el hiperboloide de dos hojas es elíptico.



hiperboloide elíptico de dos hojas

para y=0,y=−3,y=−4. en el plano xz

Plano ��: valor: � � 0 → � = 0, �� 3 1�� * �� * 3�� = 1 (� 3 1�� * 3�� = 1 hipérbola en el plano �� valor: � = 1 → � = 1, �� 3 1�� * 1 * 3�� = 1

(� 3 1�� * 3�� = 2

hipérbola en el plano ��.


hiperboloide elíptico para x=0,x=1. en el plano yz


Problemas

1. Hallar la ecuación de la esfera de radio 1 que es tangente al plano de ecuación: �w 3�� 3 � = 3 en el punto (4,3,1� y que tiene puntos con el menor valor posible de la

coordenada �.

2. Sea la esfera ℰ: (� 3 1�� 3 (� 3 9�� 3 (� * 2)� = 86 y el plano � tangente a ella en el punto /,

siendo:�: ]� = z�− uy Q + 2yª� = Q� = ª Hallar las coordenadas de /.

3. Considere la cuádrica de ecuación: �Vx − �V�z − �Vw = 1

a) Bosquejar el sólido limitado en el primer octante por la cuádrica y el plano de ecuación � = 5

b) Calcule el volumen

4.

a) Hallar las ecuaciones paramétricas y la ecuación reducida del plano �, que pasa por los puntos 5(5,0,0), 6(0,4,0), 7(0,0,3). b) Hallar la ecuación de la esfera ℰ de centro �(0,0,0) y tangente a � en el punto 1

c) Hallar el punto de tangencia 1

6. Dado el punto �(1,1,1) y el plano �: � + � + � = 6

a. Determinar la ecuación de la esfera ℰ tangente al plano � que tiene centro en �

b. Determinar los puntos 5, 6 y 7tales que: 5 = � ∩ ��, 6 = � ∩ �� y 7 = � ∩ �� c. Hallar el volumen del tetraedro 567�

7. Determinar la ecuación del plano tangente a la esfera de ecuación (� − 1)� + (� − 2)� + �� =3 en el punto (2,3,1).

Apuntes geom analitica_3_d_pob

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