Apuntes Hidraulica Muy Buenos

7/29/2019 Apuntes Hidraulica Muy Buenos

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APUNTES DE HIDRULICA

2 Curso de Ing. Tcnica en Obras Pblicas

Almandoz Berrondo, JabierMongelos Oquiena, M Beln

Pellejero Salaberria, IdoiaJimenez Redal, Ruben

Dpto: Ingeniera Nuclear y

Mecnica de Fluidos

Escuela Universitaria PolitcnicaUnibertsitate Eskola Politeknikoa

Donostia-San Sebastin


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ISBN-13: 978-84-690-5899-2N REGISTRO: 07/38553


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El curso 2002-2003 comenz en esta EscuelaUniversitaria Politcnica de Donostia-San Sebastin aimpartirse la titulacin de Ingeniero Tcnico en Obras

Pblicas. La asignatura de Hidrulica e Hidrologapertenece al 2 Curso de dicha titulacin, por ello elcurso 2003-2004 fue el primero en el que se imparti

Durante el primer curso de la asignatura secomenzaron a elaborar apuntes de algunos captulos dela misma, con el fin de facilitar a los alumnos su estudioy comprensin.

En el curso 2004-05 se completaron los apuntescorrespondientes a la segunda parte de la asignatura, esdecir, al estudio de las aplicaciones de la Hidrulica.

En el curso 2006-07, se aadi un problema tipo,resuelto, de instalaciones de bombeo.

La numeracin de los diferentes temas respondea la del programa de la asignatura, y se aborda desde el

Anlisis dimensional y estudio de modelos reducidos,pasando por el estudio del flujo en conductos cerrados,anlisis de los transitorios, es decir, estudio del golpede ariete, y terminando con el estudio del flujo ensuperficie libre, es decir, canales.

El captulo dedicado al estudio del golpe de arietees un resumen del que presenta en su libro: Mecnicade Fluidos incompresibles el Profesor Jos AgeraSoriano

Con esta aportacin se pretende que el alumnoadquiera los cimientos o la base necesaria paracontinuar con otras asignaturas de la titulacin,

pertenecientes al rea de Ingeniera Hidrulica, comoInstalaciones Sanitarias o Instalaciones Hidrulicas enEdificios Urbanos, as como para abordar cualquier

problema que, en este tema, le pueda surgir en su vida

profesional.

Nuestro deseo es que sean de utilidad a nuestrosalumnos y que ellos nos aporten sus ideas, crticasconstructivas, as como erratas que puedan existir, conel fin de poder mejorarlos.

Donostia- San Sebastin. Febrero 2009

Los profesores


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ndice de materias i

ndice de materias pg

Tema 5.- Anlisis dimensional y Teora de modelos

0.- Introduccin ......................................................................... 11.- Anlisis dimensional ............................................................. 11.1.- Magnitudes fundamentales y derivadas............................. 21.1.1.- Primer principio del anlisis dimensional ........................ 21.1.2.- Segundo principio del anlisis dimensional..................... 21.2.- Principio de homogeneidad dimensional ........................... 31.3.- Teorema de o de Vaschy-Buckingham ........................... 31.3.1.- Obtencin de los parmetros ....................................... 41.4.- Parmetros fundamentales en el estudio de los fluidos..... 51.5.- Problema ........................................................................... 72.- Semejanza de modelos ........................................................ 122.1.- Leyes de semejanza.......................................................... 132.2.- Semejanza absoluta y anlisis dimensional....................... 142.3.- Semejanza restringida o incompleta.................................. 142.4.- Semejanzas en flujos de fluidos incompresibles................ 152.4.1.- Flujos en carga ............................................................... 162.4.2.- Flujos en superficie libre ................................................. 16

Tema 6.- Movimiento laminar y turbulento

0.- Introduccin.......................................................................... 191.- Flujos externos e internos..................................................... 19

2.- Experiencias de Reynolds, consecuencias, n de Reynolds . 203.- Capa lmite ........................................................................... 224.- Resistencia y sustentacin sobre cuerpos sumergidos.......... 245.- Flujos laminar y turbulento en flujos internos.- Distribucin de

velocidades........................................................................... 26

Tema 7.- Flujo en tuberas (en rgimen permanente)

0.- Introduccin.......................................................................... 291.- Resistencia al flujo en conductos cerrados. Ecuacin de

Darcy-Weisbach .................................................................. 292.- Tubos lisos y rugosos desde el punto de vista hidrulico.

Fronteras ............................................................................. 333.- Expresiones para el clculo del coeficiente de frotamiento.

Fenmeno de la intermitencia. Experiencias de Nikuradse . 353.1.- Flujo laminar ...................................................................... 353.2.- Flujo turbulento.................................................................. 353.2.1.- Coeficientes de friccin en tuberas lisas........................ 363.2.2.- Fenmeno de la intermitencia......................................... 363.2.3.- Coeficiente de friccin en tuberas rugosas .................... 373.2.4.- Experiencias de Nikuradse ............................................. 383.2.5.- Coeficiente de friccin en tuberas semilisas o

semirrugosas................................................................. 39


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ndice de materias ii

pg

3.2.6.- Coeficientes de friccin, explcitos aproximados, para

tuberas lisas y semilisas ............................................... 403.3.- baco de Moody................................................................ 413.4.- Utilizacin del baco de Moody......................................... 434.- Prdidas menores. Longitud equivalente y factor de paso.... 474.1.- Mtodo de la longitud equivalente ..................................... 474.2.- Mtodo de los factores de paso o coeficientes .................. 485.- Envejecimiento en tuberas................................................... 486..- Instalaciones de bombeo. Punto de funcionamiento............ 496.1.-Alturas manomtricas de la instalacin y de la bomba ....... 496.2.- Seleccin de una bomba, punto de funcionamiento .......... 517.- Lnea piezomtrica y de altura total ..................................... 547.1.- Casos particulares ............................................................. 55

7.1.1.- Salida mediante boquilla................................................. 557.1.2.- Pieza especial................................................................. 567.1.3.- Bomba ............................................................................ 577.1.4.- Turbina............................................................................ 577.1.5.- Depresin por bomba ..................................................... 587.1.6.- Sifn ............................................................................... 588.- Frmulas empricas de clculo de prdidas de carga........... 608.1.- Frmula de Hazen-Williams............................................... 619.- Tuberas en serie y en paralelo. Leyes de circulacin de los

fluidos en un circuito ............................................................ 629.1.- Tuberas en serie............................................................... 629.2.- Tuberas en paralelo.......................................................... 63

9.3.- Tuberas ramificadas ........................................................ 6310.- Problema tipo de resolucin de instalaciones de bombeo .. 6410.1.- Obtencin de la curva caracterstica de la instalacin ..... 6410.2.- Seleccin de la bomba ms idnea ................................. 6710.3.- Punto de funcionamiento ................................................. 7010.4.- Costo energtico.............................................................. 72

Tema 8.- Flujo variable en tuberas.- Golpe de ariete

1.- Descripcin del fenmeno del golpe de ariete ...................... 732.- Propagacin de la onda elstica. Celeridad de la onda ........ 733.- Valor del golpe de ariete mximo. Frmula de Allievi ........... 74

4.- Velocidad del sonido............................................................. 755.- Celeridad de la onda en tuberas.......................................... 766.- Oscilaciones de presin en la tubera ................................... 777.- Cierre gradual....................................................................... 797.1.- Clasificacin....................................................................... 797.2.- Techo de presiones en conducciones largas ..................... 797.3.- Longitud crtica .................................................................. 817.4.- Golpe de ariete en conducciones cortas ............................ 817.5.- Tiempo de anulacin del caudal. Expresin de Mendiluce. 828.- Formas de atenuacin del golpe de ariete ............................ 839.- Conducciones en centrales hidroelctricas........................... 84


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ndice de materias iii

Tema 9.- Flujo en conductos abiertos.- Canales

0.- Introduccin.......................................................................... 85

1.- Resistencia al flujo permanente y uniforme .......................... 852.- Coeficiente de Chezy............................................................ 872.1.- Formula de Manning.......................................................... 873.- Distribucin de velocidades y presiones en una seccin

transversal ........................................................................... 883.1.- Distribucin de velocidades ............................................... 883.2.- Distribucin de presiones................................................... 884.- Secciones hidrulicamente ptimas...................................... 884.1.-Seccin rectangular ........................................................... 894.2.- Seccin trapecial .............................................................. 904.3.-.Seccin ms econmica ................................................... 905.- Clculo prctico de canales de seccin rectangular y trapecial 90

6.- Clculo de canales de seccin circular ................................ 916.1.- Clculo prctico de canales de seccin circular ................ 926.2.- Ejemplos prcticos ............................................................ 957.- Tipos de flujo ....................................................................... 988.- Energa especfica y profundidad crtica .............................. 1009.- Resalto hidrulico ................................................................ 10210.- Secciones de control .......................................................... 10311.- Aforo por profundidad crtica .............................................. 104

Bibliografa utilizada................................................................ 105


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Hidrulica e Hidrologa. Tema 5 1

Dto. Ing. Nuclear y Mecnica de Fluidos. E.U.Politcnica de Donostia- San Sebastin

TEMA 5.- ANLISIS DIMENSIONAL Y TEORA DE MODELOS

0.-INTRODUCCIN

En la Hidrulica hay muchos problemas que, por su complejidad, no se puedenresolver analticamente. Se hace necesario recurrir a mtodos experimentales.

Sin embargo, realizar experimentos en un laboratorio es caro y lleva muchotiempo. Adems, en un fenmeno cualquiera del flujo pueden intervenir muchas variables:viscosidad, densidad, dimetro, que dificulta su resolucin etc...

El Anlisis Dimensional es la herramienta que nos ayuda a simplificarel estudiode un problema concreto, ya que nos permite reducir el nmero de variables necesariaspara analizar un determinado sistema. Mediante este mtodo podemos obtener una serie

deparmetros adimensionales que relacionan las variables fsicas implicadas en el flujo aestudiar.

Al trabajar con menos variables tendremos que realizar menos experimentos, loque supone un considerable ahorro de tiempo y dinero.

Una ventaja adicional, muy importante que nos proporciona la teora dimensionales la de predecir los resultados de un proyecto, en base a los obtenidos ensayando conun modelo a escala reducida. Por ejemplo no parece razonable construir un avin aescala natural para comprobar si proporciona la sustentacin suficiente. Se ensaya con unmodelo a escala reducida y, mediante las leyes de semejanza, se calculan los resultadospara el prototipo.

El anlisis dimensional es un mtodo de anlisis que puede utilizarse paracualquier fenmeno fsico y cuya base fundamental est en el conocimiento de lasvariables fsicas que intervienen en el fenmeno, es decir, la base es el estudio yconocimiento previo del proceso y de todas las variables que intervienen en l, y en laecuacin de dimensiones de cada una de dichas variables fsicas

1.- ANLISIS DIMENSIONAL.

El anlisis dimensional es un mtodo matemtico de considerable valor en laresolucin de cualquier fenmeno fsico. Todas las variables o entidades fsicas se

pueden expresar en funcin de unas variables o entidades fundamentales, que enmecnica son : Longitud (L), Masa (M) y tiempo ( T). Por ejemplo:

Fuerza = masa . aceleracin = masa . longitud/tiempo2

Por tanto la ecuacin de dimensiones de la Fuerza es : MLT-2

En cualquier ecuacin que represente un fenmeno fsico real, cada trmino debede contener la misma potencia de las variables fundamentales (L, M, T). En otraspalabras, si se comparan los trminos entre s, tienen que tener todos las mismas


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2 Anlisis Dimensional y Teora de Modelos


dimensiones, ya que si no, la ecuacin no tiene sentido, aunque pueda dar el mismoresultado numrico.

En muchos casos al estudiar un fenmeno fsico se conocen las variables queintervienen en dicho fenmeno, mientras que la relacin entre las variables se desconoce;mediante el anlisis dimensional, el fenmeno puede formularse como una relacin entreun conjunto de grupos adimensionales de las variables, siendo el nmero de gruposmenor que el de variables.

La razn de lo anterior es que la naturaleza no se preocupa por las coordenadas ydimensiones que el hombre utiliza cuando trata de imitar un proceso real.

Por ello los grupos adimensionales mencionados antes, son mejores para imitarprocesos reales que las variables mismas en s.

1.1.- MAGNITUDES FUNDAMENTALES Y DERIVADAS.

Las magnitudes fundamentales son aquellas entidades o variables fsicas a partirde las cuales pueden deducirse todas las dems, que sern llamadas magnitudesderivadas.

Si trabajamos en el Sistema Internacional, se suelen tomar como variablesfundamentales la masa, la longitud y el tiempo, aadiendo la temperatura cuando hayfenmenos de transmisin de calor.

Ejemplos: la velocidades una magnitud derivada de la longitud y del tiempo:

[ ] 1== LTTLv (1)

por otra parte, la densidades la relacin entre la masa y el volumen:

[ ] 33

==

= MLL

MM (2)

Las igualdades (1) y (2) son las expresiones o ecuaciones de dimensiones de lavelocidad y la densidad, respectivamente. Se han tomado como magnitudesfundamentales la masa M, la longitud L y el tiempo T.

1.1.1- Primer principio del anlisis dimensional.

Toda ecuacin de dimensiones de cualquier magnitud fsica tiene que adoptar laforma de producto de potencias de las dimensiones fundamentales.

1.1.2.- Segundo principio del anlisis dimensional.

En algunas expresiones de clculo aparecen constantes dimensionales, cuyo valornumrico depende del sistema de magnitudes fundamentales que utilicemos. En estoscasos debe cumplirse el siguiente principio: las constantes dimensionales que aparezcan


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en frmulas de uso cientfico deben estar constituidas, sus dimensiones, por productos depotencias de las dimensiones del sistema elegido.

1.2.- PRINCIPIO DE HOMOGENEIDAD DIMENSIONAL

Enunciado: En una ecuacin fsica o matemtica, todos sus trminos deben tenerla misma ecuacin de dimensiones, es decir, deben ser homogneos.

Ejemplo: Ecuacin de Bernoulli para un flujo incompresible, en rgimenestacionario y despreciando las prdidas de carga.

.ctezgvP

=++2

2

Ecuaciones de dimensiones de estos trminos:

2

2

23

22

VT

LL

T

L

LM

LTML

M

AFP=

===

=

2

2

2v

T

LL

T

Lzg =

==

Como se puede comprobar, todos los trminos de la ecuacin tienen la mismaecuacin de dimensiones, luego son homogneos.

1.3.-TEOREMA DE O DE VASCHY - BUCKINGHAM.

El anlisis dimensional puede emplearse antes de abordar un problema oprograma experimental. Los fenmenos fsicos pueden formularse mediante una funcinde grupos adimensionales. Cada uno de estos grupos adimensionales se conocen comoparmetros .

La raznde lo anterior es que en cualquier fenmeno fsico la naturaleza no sepreocupa por las coordenadas y dimensiones que el hombre utiliza cuando trata unproceso real. Por ello los grupos adimensionales ya indicados son mejores para imitarprocesos reales que las variables mismas en s.

La pregunta que nos podemos plantear es: cuntos parmetros adimensionales podemos obtener a partir de las variables que intervienen en un determinado problema?Para responder a esta pregunta estudiamos el teorema de Buckingham.

Supongamos un fenmeno fsico en el que intervienen n variables.Matemticamente, la relacin entre ellas podra expresarse del siguiente modo:

f (q1, q2,...,qn) = 0 ;

El teorema de dice: Las cosas en la naturaleza no suceden aleatoriamente ypor ello un fenmeno fsico puede ser estudiado con arreglo a la variacin de (n-m)


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parmetros adimensionales siendo (n-1) el nmero de variables independientes delfenmeno y ( m) el nmero de entidades fundamentales.

De manera que:

F (1,2 ,......n-m) = 0 ; o bien: 1= F (2 , 3,..... n-m)

La funcin F que relaciona los parmetros adimensionales debe determinarseexperimentalmente.

1.3.1.- Obtencin de los parmetros .

El procedimiento que se debe seguir para determinar los parmetrosadimensionales consta de los siguientes pasos:

1) Analizar el fenmeno fsico a estudiar y determinar todas las variablesimplicadas en el mismo. Se deben incluir todas aquellas variables que se sospecha queinfluyen en el sistema. Si una de las variables es extraa, se obtendr un parmetro que, a travs de los experimentos, se comprobar que su influencia en el fenmeno quese est estudiando es pequea o nula, es decir, que no tiene importancia y puededespreciarse.

2) Seleccionar las variables o entidades fundamentales o primarias. Lo msfrecuente es tomar la masa M, la longitud L y el tiempo T.

3) Obtener la ecuacin de dimensiones de todas las variables queintervienen en el fenmeno fsico en funcin de las dimensiones de las variables oentidades fundamentales.

4) Seleccionar las variables repetidas, tantas como entidadesfundamentales.Dichas variables deben incluir todas las variables fundamentales. En ningn caso dosvariables repetidas pueden tener las mismas dimensiones diferencindose solamente porel exponente. Por ejemplo, no se pueden tomar como variables repetidas una longitud (L)y un volumen (L3).

5) Establecer las n-m ecuaciones dimensionales, combinando las variablesrepetidas del punto 4 con el resto de las variables, formando los n-m parmetrosadimensionales.

6) Comprobar que los parmetros que se han obtenido son realmenteadimensionales.


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Por ltimo, destacar que los parmetros que se obtienen son independientes perono son nicos, porque los cocientes que resultan dependen de las entidadesfundamentales y de las variables repetidas que hayamos elegido.

1.4.- PARMETROS FUNDAMENTALES EN EL ESTUDIO DE LOS FLUIDOS.

Nmero de Reynolds.

Es el parmetro adimensional ms importante en la Mecnica de Fluidos. Tieneimportancia en prcticamente todos los casos, haya o no superficie libre. Representa larelacin entre las fuerzas de inercia y las fuerzas de viscosidad.

Dv

=Re

Donde es la densidad, v es la velocidad del flujo, D es el dimetro u otra longitudcaracterstica y es la viscosidad dinmica. Con nmeros de Reynolds elevadostendremos un flujo turbulento, mientras que con Reynolds pequeos nos encontraremoscon un flujo laminar.

En general, si trabajamos con flujos viscosos a bajas velocidades y sin superficielibre, el nico parmetro adimensional importante es el nmero de Reynolds.

Nmero de Euler.

Resulta de especial inters cuando las disminuciones de presin en el flujo sonimportantes. Representa el cociente entre las fuerzas de presin y las de inercia:

2V

pEu

=

siendo p la variacin de presin, la densidad del fluido y v su velocidad.

Cuando la variacin de presin se refiere a la presin de vapor del fluido se habladel nmero de cavitacin:

2V

ppCa v

=

donde pv es la presin de vapor del fluido.


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Este parmetro derivado del nmero de Euler es de gran importancia en tuberas,mquinas, instalaciones, etc, en general en fenmenos donde puede aparecer lacavitacin.

Nmero de Froude.

Muy importante en flujos con superficie libre, como en los canales abiertos,desages en orificios y en todas las situaciones donde la gravedad juega un papelimportante. En el resto de los casos, suele ser despreciable. Representa la relacin entrelas fuerzas de inercia y las gravitatorias:

gL

vFr

2

=

donde v es la velocidad del flujo, g es la aceleracin de la gravedad y L es unalongitud caracterstica del sistema.

Nmero de Weber.

Tiene importancia cuando su valor es 1 o menor, en aquellos casos en que lacurvatura de la superficie es comparable en tamao a la profundidad del lquido (gotas,flujos capilares). Si el nmero de Weber toma un valor grande, su efecto puededespreciarse. Cuanto menor sea el n de Weber, mayor es la importancia de la tensin

superficial.

Representa el cociente entre las fuerzas de inercia y las de tensin superficial:

LvWe

2

=

siendo la densidad, v la velocidad del flujo, L una longitud caracterstica del mismo y la tensin superficial. Si nos encontramos con un problema en el que no hay superficie

libre, su efecto es despreciable.

Los efectos de la tensin superficial tienen gran influencia en las industriasrelacionadas con la pulverizacin y atomizacin, como por ejemplo en la fabricacin despray.


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Nmero de Mach.

Tiene influencia cuando trabajamos con fluidos compresibles que se mueven con

velocidades altas. Sirve para caracterizar los efectos de compresibilidad en un flujo.Representa el cociente entre las fuerzas de inercia y las fuerzas de compresibilidad:

c

v

E

vM

LE

LvM

vv

===

2

222

donde v es la velocidad del flujo y c es la velocidad del sonido local.

Los flujos con un nmero de Mach mayor de 1 se denominan flujos supersnicos ysi es menor de 1, se trata de un flujo subsnico. Cuando el nmero de Mach es menor de0,3 nos encontraremos estudiando un flujo incompresible.

1.5.- PROBLEMA.

La cada de presin P, en una tubera es una funcin de las siguientes variables:dimetro D, longitud L, rugosidad , velocidad media del flujo V, viscosidad dinmica del fluido circulante, densidad del mismo, tensin superficial , aceleracin gravitatoriag y mdulo de elasticidad volumtrico K.

P = f( D, L,, V,, , , g, K)

Encontrar los parmetros adimensionales ms adecuados para el estudio delsistema. Utilizar el Teorema o de Vaschy-Buckingham.

Solucin: Este ejercicio se puede resolver siguiendo el procedimiento que seexplica en Obtencin de parmetros de Teora.

1) Variables fsicas que intervienen en el problema: dimetro D, longitud L,rugosidad , velocidad media V, viscosidad dinmica , densidad , tensin superficial ,aceleracin de la gravedad g y mdulo de elasticidad volumtrico K.

Nmero de variables fsicas: n = 10

2) Variables fundamentales o primarias: de acuerdo con el SistemaInternacional, tomamos la masa M, la longitud L y el tiempo T.

Nmero de magnitudes fundamentales: m = 3


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3) Expresar las dimensiones de todas las variables fsicas en funcin de lasvariables fundamentales. En la siguiente tabla se indican los exponentes de lasdiferentes variables fsicas en funcin de las magnitudes fundamentales.

P D L g K V

M 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0

L -1 1 1 1 -3 -1 0 1 -1 1

T -2 0 0 0 0 -1 -2 -2 -2 -1

A modo de ejemplo, consideremos el caso de la tensin superficial , que setoma como fuerza por unidad de longitud:

[ ][ ] [ ]

= = = = =

F

L

M a

L

MLT

L

M

TMT

2

2

2

4) Seleccionar las variables repetidas: tomaremos el dimetro D, la densidady la velocidad media V. Estas variables recogen las tres variables fundamentales: masa,longitud y tiempo. Adems, nos sirven para reflejar las caractersticas geomtricas(dimetro D), cinemticas (velocidad V) y dinmicas (densidad ) del sistema.

5) Establecer las ecuaciones dimensionales para obtener los parmetrosadimensionales. Aplicando el Teorema o de Vaschy-Buckingham, el nmero degrupos adimensionales que podemos obtener es de:

n - m = 10 - 3 = 7

En consecuencia tenemos que plantear 7 ecuaciones dimensionales, combinandoen ellas las variables repetidas con cada una de las dems variables fsicas queintervienen en el sistema:

000

321 TLMT

L

L

M

LLT

M

vDP

cbacba

=

==

Masa M: 1 + b = 0 b = -1Longitud L: -1 + a -3b + c = 0 a = 3b - c + 1 a = 0Tiempo T: -2 - c = 0 c = - 2

1 2=PV


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000

32TLM

T

L

L

MLLvDL

cbacba =

==

Masa M: b = 0Longitud L: 1 + a -3b + c = 0 a = 3b - c - 1 a = -1Tiempo T: c = 0

2 =L

D

000

33TLM

T

L

L

MLLvD

cbacba =

==

Masa M: b = 0Longitud L: 1 + a -3b + c = 0 a = 3b - c - 1 a = -1Tiempo T: c = 0

3 = D

000

34TLM

T

L

L

ML

LT

MvD

cbacba =

==


4

=D V

000

325 TLMT

L

L

MLT

MvD

cbacba

=

==

Masa M: 1 + b = 0 b = -1Longitud L: a -3b + c = 0 a = 3b - c a = -1Tiempo T: -2 - c = 0 c = - 2

5 2= D V


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000

326TLM

T

L

L

ML

T

LvDg

cbacba =

==

Masa M: b = 0Longitud L: 1 + a -3b + c = 0 a = 3b - c - 1 a = 1Tiempo T: -2 - c = 0 c = - 2

6 2=gD

V

000327 TLMTLLMLLTMvDK

cb

acba ===


7 2

=K

V

6) Comprobar que los parmetros obtenidos son adimensionales. Lo que sedebera hacer es comprobar los siete parmetros que hemos obtenido. A modo deejemplo, comprobaremos slo uno de ellos:

5 2

2

3 2 2

2

2 1 3 2

2

2 1= = = = =

+

D V

MT

L ML L T

MT

MT L

MT

MT

Por lo tanto, este parmetro es adimensional. Lo mismo se debe hacer con el resto

de los parmetros. En algunos de ellos se observa rpidamente que son adimensionales,sin necesidad de plantear ecuaciones.

Comprobados los parmetros se puede expresar:

P / V2 = ( L/D , /D , /VD , /V2D , gD/V2 , k/V2 )

La experiencia dice que los parmetros /V2D , gD/V2 , k/V2 no tieneninfluencia en el estudio de la cada de presin en el flujo de fluidos incompresibles enconductos cerrados. Por tanto :


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P / V2 = ( L/D , /D , /VD )

Adems la cada de presin es directamente proporcional a la longitud de latubera. Por tanto :

P / V2 = L/D ( /D , /VD )

P / = V2. (L/D) ( /D , /VD )

P / = (V2/2g). (L/D) ( /D , /VD ) = f .(L/D).(V2/2g)

f = ( /D , /VD ) = coeficiente de frotamiento y P / = hf

Sustituyendo:

hf = f .(L/D).(V2/2g)

Ecuacin de Darcy-Weisbach para el clculo de prdidas de carga en conductoscerrados


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2.- SEMEJANZA DE MODELOS

En el estudio de muchos fenmenos fsicos, en particular en el estudio de los

fluidos y en especial en las mquinas y estructuras hidrulicas es absolutamentenecesario recurrir al mtodo experimental si se desea conocer el fenmeno con ciertaprofundidad.

Se trata de un procedimiento muy laborioso que requiere mucho tiempo paraobtener resultados y que por tanto se recurre a l cuando los otros mtodos hanfracasado y el tema lo exige por su trascendencia econmica, por motivos de seguridad ode otra ndole.

Las dificultades del mtodo experimental se agravan cuando el tamao de losfenmenos que han de reproducirse alcanzan grandes dimensiones, como es el caso demuchas turbomquinas, que conllevan instalaciones de gran tamao y trabajar con

enormes caudales resultando todo ello prohibitivo y rozando lo imposible.

Para resolver tal dificultad se recurre al estudio de modelos en tamao reducido ya aplicar entre la mquina o proceso real, llamada prototipo, y el modelo determinadasrelaciones de semejanza.

Fig 5.1.- Semejanza dinmica entre dos flujos del modelo y prototipo (a y b)

Fueron los franceses Charles de Bossut y el Conde de Buat, en el siglo XVIII, losprimeros que reprodujeron en laboratorio fenmenos hidrulicos y son considerados lospadres de los laboratorios hidrulicos de hoy en da. Sin embargo fue ms tarde,avanzado el siglo XIX, cuando el francs Frederic Reech y el ingls Willian Froudeestablecieron los primeros criterios de semejanza, siendo los precedentes de los grandeslaboratorios de este siglo.


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Para llevar a cabo el diseo de un determinado fenmeno de importancia serealizan los pasos siguientes:

La mquina o proceso que se trata de construir o reproducir interesa que trabajede manera ptima con unas condiciones o parmetros predeterminados, como son elcaudal, su potencia, su velocidad de giro o desplazamiento y el rendimiento deseado,entre otros. Con estos datos de partida, con los conocimientos tericos disponibles ysobre todo con datos y la experiencia de anteriores construcciones, se efecta unprediseo.

Basado en este prototipo de partida se reproduce o construye una mquinasemejante a la diseada, realizada a la escala conveniente, que se denomina modelo.

Esta mquina o proceso se ensaya en un laboratorio especial para comprobar susresultados; a la vista de estos se modifican determinadas partes con el fin de mejorar su

comportamiento y por lo tanto su rendimiento; as se contina hasta el momento en quese considere que se ha alcanzado un techo en su perfeccionamiento.

Una vez concluidos los ensayos se construye la mquina o instalacin a escalareal, que se denomina prototipo, semejante al modelo definitivo que habr recibido unaserie de mejoras sobre el modelo de partida.

2.1.- LEYES DE SEMEJANZA.

Para realizar lo relatado en el apartado anterior, previamente se habr decontestar a una serie de preguntas: Cmo habrn de ser las mquinas o procesossemejantes para poder aplicar los resultados de uno al otro? Cmo se trasladarn losresultados de una mquina o proceso a su semejante? Es suficiente con que existasemejanza geomtrica entre las dos mquinas o procesos? Qu se necesita para quehaya semejanza de funcionamiento entre el comportamiento de los dos? ...

Analizando la cuestin se deduce que indudablemente entre modelo y prototipo,trabajando de manera semejante, debern existir ciertas analogas, que sern de ordengeomtrico, cinemtico, dinmico, etc, las cuales reciben el nombre de semejanzas y seexplican a continuacin.

1. Semejanza geomtrica: La primera semejanza o analoga que deber existir esla geomtrica, habiendo de tener entre dos mquinas o procesos semejantes unacorrespondencia biunvoca punto por punto. A estos puntos correspondientes deprototipo y modelo se les denomina homlogos.

Igualmente habr correspondencia entre lneas, superficies, volmenes y masa demodelo y prototipo.

Si las mquinas se comportaran como esculturas y carecieran de movimientobastara la semejanza geomtrica para declararlas semejantes.


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En algunos casos es factible que la semejanza geomtrica exista solo en lo que serefiere a las dimensiones sobre planos horizontales y las dimensiones verticales puedenquedardistorsionadas con otra escala de lneas, como es el caso de los modelos de ros

o de puertos, donde el conservar la misma escala de lneas en las tres direccionessignificara tener anchuras o profundidades muy pequeas en el modelo. La escalavertical distorsionada no conviene que sea mayor de cinco veces la escala horizontal.

La semejanza geomtrica se extiende tambin a la rugosidad superficial de lasparedes que limitan el flujo, ya que si el modelo tiene un tamao igual a una dcima delprototipo, la altura de las proyecciones de las rugosidades tiene que estar en la mismarelacin. Esto es difcil de lograr en la prctica, por lo que en ocasiones es necesaria unadistorsin geomtrica en la dimensin longitudinal de la conduccin respecto a las otrasdos dimensiones, con objeto de lograr la misma relacin de prdidas de energa enambas estructuras

2. Semejanza cinemtica: Si en sistemas geomtricamente semejantes seproducen movimientos, ser necesario introducir el concepto de tiempos y posicioneshomlogas.

Para que exista semejanza cinemtica es preciso que puntos correspondientesocupen posiciones correspondientes en instantes correspondientes, lo cual exige ademsque aquellos estn sometidos a velocidades y aceleraciones correspondientes, no siendosuficiente que sean solo en mdulo sino tambin en direccin y sentido.

Resumiendo, cuando las velocidades en puntos correspondientes de modelo yprototipo tienen la misma direccin y sentido; sus mdulos se relacionan por medio de unfactor de escala constante. De tal manera que dos flujos cinemticamente semejantes

tienen lneas de corriente relacionadas por una escala constante.

Puesto que las fronteras de un cuerpo son las que determinan las lneas decorriente del flujo, los flujos que son cinemticamente semejantes deben sergeomtricamente semejantes.

3. Semejanza dinmica: Al producirse fuerzas, es necesario que exista, ademsde las dos semejanzas sealadas en los prrafos precedentes, semejanzadinmica, esdecir que puntos correspondientes estn sometidos a fuerzas correspondientes.

Para que se verifique, los flujos deben poseer tanto la semejanza geomtrica,como la cinemtica; de tal modo que en dos flujos dinmicamente semejantes los

tringulos de fuerzas son paralelos y sus magnitudes o mdulos estn relacionadas porun factor de escala constante.

2.2.- SEMEJANZA ABSOLUTA Y ANLISIS DIMENSIONAL

Cuando dos sistemas son semejantes, los parmetros adimensionales que regulanel fenmeno fsico a estudiar, son los mismos y la ley que los relaciona es tambin lamisma; por ello para que se verifique la semejanza dinmica absoluta entre modelo yprototipo es condicin necesaria que se verifique la igualdad de todos los parmetrosadimensionales que intervienen en el fenmeno.


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Lgicamente como todos estos parmetros adimensionales estn relacionados porla funcin que define el funcionamiento de la mquina, instalacin o fenmeno tanto enprototipo como en modelo, es suficiente verificar que todos los parmetros menos uno

sean iguales, ya que por la funcin que los relaciona, se verificar la igualdad de todos.

2.3.- SEMEJANZA RESTRINGIDA O INCOMPLETA

En algunos casos, no es posible obtener la semejanza dinmica completa entremodelo y prototipo debido a que las condiciones que se tienen que cumplir para dichasemejanza, no dejan ningn grado de libertad por lo que modelo y prototipo deberan seriguales. Por ejemplo, supongamos un caso en que se requiere que sean iguales losnmeros de Froude y de Reynolds para conseguir la semejanza dinmica total. Igualandolos nmeros de Froude se obtiene la relacin de velocidades entre modelo y prototipo:

21

22

===

p

m

p

m

p

p

m

mpm LLvvgLvgLvFrFr

.Al igualar los nmeros de Reynolds:

23

===

p

m

p

m

p

pp

m

mmpm L

LLvLv

ReRe

Las condiciones de semejanza obligan a que los fluidos a utilizar en modelo yprototipo deben cumplir esa relacin de viscosidades. Sin embargo, en los ensayosexperimentales se emplean generalmente el aire y el agua por ser los fluidos ms baratos

y ms comunes a nuestro alcance. Resulta prcticamente imposible encontrar un fluidocon una viscosidad muy concreta.

Entonces resulta que si la gravedad, que interviene en el nmero de Froude, y laviscosidad de los fluidos a emplear en prototipo y modelo han de ser iguales, la escalageomtrica, segn se observa de las relaciones anteriores, habr de ser la unidad:, Lm/Lp= 1, lo cual atestigua que no se puede obtener una semejanza hidrodinmica absolutaentre prototipo y modelo.

Por todo esto, es importante analizar en el fenmeno o flujo que se estestudiando, la importancia de cada uno de los parmetros adimensionales queintervienen. Afortunadamente en un buen nmero de casos puede prescindirse de la

influencia de alguna fuerza o parmetro adimensional, originndose as las semejanzasincompletas o restringidas.

Como conclusin el conocimiento completo del fenmeno y la experiencia sonindispensables para definir el tipo de semejanza a utilizar.

2.4.- SEMEJANZAS EN FLUJOS DE FLUIDOS INCOMPRESIBLES.

En el estudio de semejanza aplicada al flujo de fluidos se pueden diferenciar, porsu comportamiento, dos tipos de flujo:


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-Flujos en carga.-Flujos en superficie libre.

Flujos en carga podramos definirlos como aquellos flujos, aislados de la atmsferaexterior, en los que, a menudo, la variacin de energa de presin y de posicin severifica de forma conjunta y se expresa por la variacin de la presin hidrosttica,mientras que en flujos en superficie libre, al estar en contacto con la atmsfera, las dosvariables fsicas son independientes, ya que la presin depende de la atmsfera queintervenga, y la cota o energa de posicin depender de las condiciones o caractersticasgeomtricas del flujo. Por la diferencia indicada, los parmetros predominantes en cadacaso son diferentes.

En el estudio de flujos la funcin adimensional que define el proceso es :

P / V2

= ( L/D , /D , /VD, V2

/gD ) es decir

P / V2 = ( L/D , /D , Re, Fr )

Para que se verifique la semejanza absoluta entre dos flujos se tiene queverificar, que adems de la semejanza geomtrica, se tiene que cumplir la igualdad denmeros de Reynolds y de Froude como se ha indicado anteriormente.

2.4.1.- Flujos en carga.

En el caso de flujos en carga, en muchos casos, se puede prescindir de lainfluencia de la gravedad es decir del n de Froude, ya que la variacin de cota se puede

agrupar con la presin en forma de presin hidrosttica. Por tanto adems de lasemejanza geomtrica se deber de verificar la igualdad de nmeros de Reynolds.

La igualdad de (L/D)m y (L/D)p se verifica por la semejanza geomtrica:

(L/D)m = (L/D)p Lm /Lp = Dm /Dp = (escalageomtrica)

Anlogamente ocurre con la igualdad de /D entre modelo y prototipo.

Por tanto si se verifica adems Rem = Rep , se verificar asimismo la igualdaddel parmetro de Euler, por ser funcin de los anteriores, y de todos sus derivados.

(P / V2)m = (P / V2)p (P)m/(P)p = (V2)m / (V2)p

Realmente se prescinde del nmero de Froude por lo que ser una semejanzarestringida pero con buenos resultados prcticos.

2.4.2.- Flujos en superficie libre

En el estudio de flujos en superficie libre la funcin adimensional que define elproceso es igual que en el caso anterior.


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En este caso la presin permanece constante al estar la superficie en contactocon la atmsfera, mientras las fuerzas gravitatorias varan segn vara la cota.

Luego, adems de la semejanza geomtrica, se tiene que verificar la igualdad denmeros de Reynolds y Froude entre modelo y prototipo para que se verifique lasemejanza u homologa total o absoluta.

En general es necesario recurrir a la semejanza restringida, y la experienciaindica que en un flujo en superficie libre, la importancia de las fuerzas gravitatorias esmuy superior a la de las fuerzas viscosas. Normalmente, por ello, cuando no se puedealcanzar la semejanza absoluta, no se tiene en cuenta el nmero de Reynolds y se debeverificar adems de la semejanza geomtrica la igualdad de nmeros de Froude.

Con estas condiciones adems se verificar la igualdad del nmero de Euler, porser funcin de los anteriores, y de todos sus derivados como se ha visto en el caso de

flujos en carga.


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TEMA 6: MOVIMIENTO LAMINAR Y TURBULENTO

0.- INTRODUCCIN

En el comienzo de la asignatura de Hidrulica e Hidrologa se defini unapropiedad que caracteriza a los fluidos y los distingue de los slidos, es la viscosidad.

Sin embargo, a lo largo de la asignatura, hasta este momento, no se ha tenido encuenta la viscosidad, debido a que en los fluidos en reposo (esttica) no aparecen losefectos de la misma y en el estudio de la dinmica se hace la abstraccin de que losfluidos son perfectos, es decir, tienen viscosidad nula, con el fin de simplificar el problema.

Partiendo de la Ecuacin de Euler o ecuacin fundamental de los fluidos perfectos,y mediante una serie de hiptesis simplificatorias, se llega a la expresin de Bernoulli, quelgicamente no tiene en cuenta los efectos de la viscosidad.

Con el fin de poder aplicar la ecuacin de Bernoulli a problemas prcticos, hay queintroducir unas modificaciones de las hiptesis utilizadas en su deduccin, que permitenampliar su campo de aplicacin.

Entre estas modificaciones, est la de considerar que el fluido es real, por tantotiene viscosidad, existiendo prdidas de energa.

A partir de este captulo se va a tener en cuenta los efectos de la viscosidad y seestudia el clculo de las prdidas de energa.

En el presente captulo, en particular, se van a establecer los fundamentos departida definiendo los flujos externos e internos, seguido de las experiencias de Reynoldsy sus consecuencias, terminando con el concepto de capa lmite y la distribucin develocidades en los flujos internos laminares y turbulentos.

1.- FLUJOS EXTERNOS E INTERNOS

Flujo interno: flujo completamente limitado por superficies slidas. Incluyen flujosa travs de tuberas, toberas, difusores, ensanchamientos y estrechamientos bruscos,vlvulas,...

Los flujos internos pueden ser laminares y turbulentos. Algunos casos de flujolaminar pueden resolverse analticamente. En el caso de flujo turbulento no son posibleslas soluciones analticas, por lo que se debe confiar en teoras semiempricas y en datosexperimentales. Para flujos internos el rgimen de flujo (laminar o turbulento) esfundamentalmente una funcin del nmero de Reynolds.

Flujo externo: es aquel flujo sobre cuerpos sumergidos en un fluido sin fronteras.La corriente de fluido en la cual el cuerpo est inmerso, con frecuencia, se consideracomo infinita en extensin.


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20 Movimiento Laminar y Turbulento


Las teoras actuales del flujo sobre cuerpos inmersos proporcionan explicacionescualitativas excelentes para casi todas las situaciones del flujo externo. Solamente sedispone de predicciones puramente analticas para unos cuantos flujos simples. Las

teoras tanto cualitativas como cuantitativas del flujo externo se basan en el concepto dedividir el campo en dos zonas: zona de flujo viscoso (capa lmite) y zona de flujo noviscoso o ideal.

2.- EXPERIENCIAS DE REYNOLDS. CONSECUENCIAS. NMERO DEREYNOLDS

Se sabe por captulos anteriores que flujo laminar es aqul en que el fluido semueve en capas paralelas, mientras que en el flujo turbulento las partculas del fluidotienen un movimiento errtico.

La naturaleza del flujo laminar o turbulento, viene definida por el nmero deReynolds.

En 1883 el investigador Osborne Reynolds estudi el movimiento de un fluido.Mediante las ecuaciones diferenciales generales que describen el flujo, dedujo lascondiciones para que dos flujos fuesen dinmicamente semejantes, encontrando que elgrupo adimensional VL / deba ser el mismo para ambos casos; por ello esteparmetro se conoce como nmero de Reynolds (Re):

Re = VL/Siendo:

V una caracterstica del flujo, que para el caso de tuberas es la velocidadmedia V.

L una longitud caracterstica del entorno que rodea al fluido, que suele serel dimetro de la tubera.

la densidad del fluido. la viscosidad dinmica del fluido

Para determinar el significado del grupo adimensional, Reynolds llev a cabo susexperimentos con flujo de agua a travs de tubos de vidrio, para lo cual dispuso un tubohorizontalmente con un extremo abocinado dentro de un depsito y en el otro extremo

una vlvula reguladora del caudal, segn se observa en la figura 6.1.En el interior del tubo de ensayo inyect un colorante y observ que para caudales

y velocidades pequeos, y por tanto n de Reynolds bajo, el filete coloreado se movatrazando una lnea recta sin entremezclarse con el agua que le rodeaba, es decir el flujoera laminar. Al aumentar el caudal y por tanto la velocidad, aument el nmero deReynolds, y lleg a la condicin en que dicha lnea se iba ondulando, llegando unmomento en que se rompa bruscamente, difundindose por el tubo, es decir, sealcanzaba el rgimen turbulento.


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Fig.6.1.- Aparato de Reynolds

Reynolds obtuvo un valor de Re=12.000 antes de que se estableciera la

turbulencia. Investigadores posteriores, usando el equipo original de Reynolds, obtuvieronun valor de 40.000 al mantener el agua en reposo en el tanque durante varios das antesde realizar el experimento, y teniendo cuidado en evitar vibraciones del agua o del equipo.

Estos nmeros, llamados como nmeros crticos superiores de Reynolds, notienen significado prctico ya que las instalaciones ordinarias tienen irregularidades quecausan flujo turbulento para valores muy inferiores del nmero de Reynolds.

Comenzando con flujo turbulento en el tubo de vidrio, Reynolds encontr quesiempre se volva laminar cuando se reduca la velocidad hasta hacer Re menor que2000. Este se denomina Nmero crtico inferior de Reynolds para flujos en tubos y esimportante en los clculos prcticos. Anlogamente al aumentar el flujo de laminar aturbulento observ que para Re mayor de 4000, era turbulento. Este se denomina Nmerocrtico superior de Reynolds.

Consecuencias de los ensayos:

Como resultado de sus experiencias, Reynolds dedujo lo siguiente:

La transicin entre el rgimen laminar y el turbulento se produce bruscamente.

La mayor o menor laminaridad del flujo depende directamente de la velocidaddel fluido y de los dimetros de los distintos tubos, e inversamente de laviscosidad del fluido.

La frontera de paso laminar a turbulento es muy difcil de precisar, ya quedepende mucho de las condiciones del flujo (vibraciones,...). En condicionesprcticas se verifica:

Para n Re 2000: flujo laminar. Predominan las fuerzas viscosas.Se verifica la ley de Newton de la viscosidad.

Para n Re 4000: flujo turbulento. Las fuerzas viscosas quedancasi anuladas por las de turbulencia. No se verifica la ley de Newtonde la viscosidad.


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Para 2000< Re


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Fig.6.2.- Capa lmite

En el interior de la capa lmite se producen tensiones de cortadura originadas porel gradiente de velocidad entre las capas de fluido adyacentes.

En flujo laminardy

du =

Donde es la tensin de cortadura, la viscosidad dinmica del fluido y u lavelocidad del fluido a una distancia ymedida perpendicularmente desde la superficie del

slido.

Los factores principales que influyen en la formacin de la capa lmite son, por lotanto, la condicin de no-deslizamiento en la superficie de contacto entre el slido y elfluido y la tensin de cortadura debida al gradiente de velocidad.

La figura 6.2 muestra una capa lmite creciente sobre una placa plana delgada,con un borde de ataque puntiagudo, donde la capa lmite empieza siendo laminar. Lacapa lmite aumenta de espesor a medida que nos alejamos del borde de la pared.

Cuando el espesor de la capa lmite alcanza un valor determinado la estructuralaminar se hace inestable y desaparece, comenzando a ser turbulenta. La transicin de

capa lmite laminar a turbulenta se ha deducido experimentalmente que se verifica para

un nmero de Reynolds que oscila entre 500.000 y 1.000.000, siendo Re =

xV.

En la zona turbulenta la tensin de cortadura es debida a los efectos de las

turbulencias siendo su expresindy

du = , siendo la viscosidad de turbulencia de

remolino.


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Sin embargo, una vez pasado el punto de transicin, en los puntos muy cercanosa la pared de la placa, la presencia de sta hace imposible todo movimiento transversal,es decir perpendicular a la pared. La experiencia demuestra que, por grande que sea la

turbulencia de la masa fluida, su accin se anula en contacto con la placa; se forma porconsiguiente, en las proximidades inmediatas de sta, una delgada capa en la que elrgimen es laminar y que est comprendida entre la pared y la masa de fluido enmovimiento turbulento. A esta pelcula de fluido se la denomina subcapa laminaro capalmite laminar secundaria (figura 6.3)

Fig.6.3.- Capa lmite laminar y turbulenta

En realidad no hay discontinuidad muy definida entre las tres zonas: fluido libre,capa lmite turbulenta y subcapa laminar.

En flujos externos, el flujo lejos del cuerpo slido puede considerarseprcticamente no viscoso, mientras que se utiliza la tcnica de la teora de la capa lmitepara determinar el movimiento en la capa viscosa cerca de las paredes.

4.-RESISTENCIA Y SUSTENTACIN SOBRE CUERPOS SUMERGIDOS

Se llama Resistencia a la componente de la fuerza ejercida sobre el cuerpo por elmovimiento del fluido,paralela a lavelocidad de aproximacin del fluido.

La resistencia viene expresada por la siguiente expresin:

R = CR A V2/2

Siendo:

la densidad del fluido V la velocidad media de aproximacin del fluido


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A el rea proyectada por el cuerpo sobre un plano normal a ladireccin del flujo

CR el coeficiente de resistencia, cuyos valores son experimentales;

dependen del numero de Reynolds y de la forma del obstculo

En el cuadro n 16 del cuaderno de Tablas y bacos se exponen los coeficientesde resistencia, segn el obstculo, para un intervalo determinado del nmero deReynolds, en el cual dicho parmetro vara muy poco.

El caso particular de cilindros circulares infinitamente largos (L/D = ) vienerepresentado en la figura 6.4.

Fig. 6.4.- Coeficiente de resistencia para cilindros circulares infinitos

Se llama Sustentacin a la componente de la fuerza ejercida sobre el cuerpo porel movimiento del fluido, en direccin normal a la velocidad de aproximacin del fluido.

La sustentacin viene dada por la expresin:

S = CS A V2 /2

Siendo: la densidad del fluido V la velocidad de aproximacin del fluido A el rea proyectada por el cuerpo en la direccin paralela al flujo


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CS el coeficiente de sustentacin, que en el caso particular del alade un avin viene representado en la figura 6.5, conjuntamente conel coeficiente de resistencia

Fig. 6.5.- Coeficiente de sustentacin para un perfil de ala

5.-FLUJOS LAMINAR Y TURBULENTO EN FLUJOS INTERNOS.DISTRIBUCIN DE VELOCIDADES

Consideremos una tubera por la que circula un fluido en condiciones tales que el

movimiento sea necesariamente laminar (figura 6.6). A la entrada de la tubera, el perfil develocidades es casi uniforme en toda la seccin transversal.

La accin del esfuerzo cortante en la pared es retardar el flujo cerca de dichapared. Como consecuencia la velocidad debe aumentar en la zona central.

Debido a este esfuerzo cortante se crea una capa lmite laminar, cuyo espesor,nulo a la entrada de la tubera, va creciendo hasta llenar totalmente el conducto a partir deuna cierta seccin situada a una distancia lde la entrada. La capa lmite que presentabahasta esa abscisa l un estado de transicin, se ha transformado en la configuracin


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laminar; se dice que el rgimen est dinmicamente establecido. A partir de aqu ladistribucin de velocidades es parablica.

Fig. 6.6.- Flujo interno laminar

La formacin del rgimen turbulento en el interior de una tubera cilndrica obedeceel mismo esquema que en una placa plana.

El fluido entra en la tubera con una velocidad sensiblemente uniforme. A partir dela entrada, las partculas de fluido prximas a la pared de la tubera se adhieren a sta yel efecto de retraso que resulta de ello provoca la aparicin de la capa lmite.

Esta es primeramente laminar y su espesor aumenta gradualmente hasta un valoren que se hace inestable, desarrollndose entonces una capa turbulenta hasta casi lasmismas paredes de la tubera en que se desarrolla la subcapa laminar. Se establece asuna configuracin permanente a lo largo de la tubera y el rgimen est dinmicamenteestablecido.

La distribucin de velocidades es la de la figura 6.7; una vez establecido elrgimen, la variacin de la velocidad es muy rpida en la subcapa laminar y en la zonaturbulenta la distribucin es logartmica.

Fig.6.7.- Flujo interno turbulento

Este tipo de rgimen es el que se establece normalmente en las tuberasindustriales, de ah el inters que tiene el estudio de las prdidas de carga provocadas porla turbulencia del mismo y que son distintas de las del rgimen laminar por laconfiguracin distinta de ste. Como se observa la distribucin de velocidades en flujoturbulento es prcticamente uniforme.


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TEMA 7: FLUJO EN TUBERAS (EN RGIMEN PERMANENTE)

0.- INTRODUCCIN

El captulo comienza con la demostracin de la ecuacin de Darcy-Weisbach, quedefine la prdida de carga en regmenes permanentes y uniformes, en funcin delcoeficiente de frotamiento.

Un trabajo que ha durado dcadas y que todava no parece concluido ha sidoanalizar este valor del coeficiente de frotamiento para cada caso, sea el rgimen laminar oturbulento, sea el tubo liso, semirrugoso o rugoso. En el captulo se establecen lasexpresiones desarrolladas, en orden cronolgico, por Prandtl, Karman, Colebrook y otrosinvestigadores, sin describir todo el trabajo desarrollado por ellos, que resultara muy

extenso.Estas expresiones obtenidas por los investigadores mencionados son

complicadas, por lo que llevarlas a bacos ha facilitado durante muchos aos laresolucin de problemas.

Se presenta el trabajo realizado por Moody mediante su baco, y se incluyenexpresiones aproximadas para el clculo directo del coeficiente de frotamiento, queresultan muy tiles en la actualidad, ya que el grado de aproximacin es elevado.

Se estudian las prdidas de carga en las piezas especiales, conocidas con elnombre de prdidas menores o puntuales, que se calculan mediante dos mtodos: el delas longitudes equivalentes y el de los coeficientes de paso.

A continuacin se estudia el envejecimiento de las tuberas, las instalaciones debombeo simples y se define el concepto de lnea piezomtrica y de alturas totales,presentndose varios casos particulares.

Teniendo en cuenta que adems del baco de Moody y de la expresin de Darcy-Weisbach existen numerosas frmulas empricas para el clculo de las prdidas de cargase analiza la expresin de Hazen-Williams, muy valida para clculos rpidos con agua.

Por ltimo se explican las tuberas en serie, en paralelo y ramificadas.

1.- RESISTENCIA AL FLUJO EN CONDUCTOS CERRADOS. ECUACIN DEDARCY-WEISBACH

En esta apartado se estudian las prdidas de carga o energa llegando a laexpresin general de las mismas, denominada ecuacin de Darcy-Weisbach.

Se realiza el estudio considerando rgimen turbulento, utilizando la expresin de latensin de cortadura obtenida mediante la teora de la longitud de mezcla de Prandtl, sindeducirla, y se generaliza la expresin obtenida para rgimen laminar mediante sucoeficiente de friccin especfico.


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30 Flujo en tuberas en rgimen permanente


Hiptesis de partida:

Se realiza el estudio para las siguientes condiciones de validez:

Flujo turbulento Rgimen permanente y uniforme Fluido incompresible Conducto cerrado Flujo unidimensional

Se considera dentro de un conducto cerrado un volumen de control formado por unelemento de fluido de longitud L, seccin transversal A y permetro P.

Las fuerzas actuantes sobre dicho elemento de fluido, que se representan en lafigura 7.1, son las siguientes:

Fuerza debida a la presin aguas arriba = p1 A Fuerza debida a la presin aguas abajo = p2 A Fuerza debida a la gravedad = A L Fuerza debida a la tensin de cortadura a lo largo de todo el contorno

del conducto = L P

Fig.7.1.- Flujo en conductos cerrados. Representacin de fuerzas

Teniendo en cuenta las fuerzas actuantes la ecuacin de equilibrio resultante,proyectada sobre el eje del movimiento, es la siguiente:

p1 A p2 A + A L sen = L P

Teniendo en cuenta que sen = z/L


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(p1 p2)A + A z = L P

p A + A z = L P

Dividiendo por el volumen (A L), se tiene:

p/L + z/L = P/A (1)

Segn la teora de la longitud de mezcla de Prandtl, el valor de la tensin decortadura para flujo turbulento resulta ser proporcional a la densidad del fluido y a lavelocidad del flujo al cuadrado:

= v2/2

Donde es un factor, adimensional, de proporcionalidad. Sustituyendo el valor de en la expresin (1):

p/L + z/L =A

PV

2

2

Se llama radio hidrulico R al cociente entre el rea de la seccin transversal (A) yel permetro mojado (P), es decir:

R = A / P

Por tanto la expresin de equilibrio puede expresarse de la siguiente manera:

p/L + z/L = v2 /2 R (2)

Aplicando la ecuacin de Bernoulli entre las secciones 1 y 2 de la figura 7.1, setiene:

B1 hf= B2

P1/ + z1 hf = P2/ + z2

Al ser el rgimen permanente y uniforme, las velocidades en 1 y 2 son iguales.

Operando: (P1/ - P2/ ) + (z1 z2 ) = hf

p/ + z = hf

p+ z = hf (3)

Sustituyendo la expresin (3) en la (2)

hf /L = v2 /2 R

Operando resulta:

hf =g

V

R

L

2

2

(4)


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Expresin de Darcy-Weisbach, para el caso de conductos cerrados de seccincualquiera.

Para el caso de tubos circulares el valor del radio hidrulico es :

R = A / P =D

D

4

2

= D/4

Sustituyendo este valor en la expresin (4)

hf = 4g

V

D

L

2

2

Al factor 4 se le denomina coeficiente de frotamiento del conducto y serepresenta porf.

La expresin de Darcy-Weisbach para conductos circulares que proporciona laprdida de carga hfpor unidad de peso resulta entonces:

hf =g

V

D

Lf

2

2

El coeficiente de frotamiento es adimensional y depende, como se vio en el

captulo dedicado a anlisis dimensional, de las caractersticas del flujo y del material dela tubera, es decirf = f (Re, /D)

Para el caso de tuberas de seccin no circularla expresin de las prdidas decarga es la siguiente:

hf =g

V

R

L

2

2

=g

V

R

Lf

24

2

que representa la frmula de Darcy-Weisbach para conductos cerrados de seccin nocircular, considerando el coeficiente de frotamiento f.

En esta expresin cada trmino representa lo siguiente:

f: el coeficiente de frotamiento, que se determina como en el caso de lastuberas circulares.

L: longitud del conducto. V: velocidad media del flujo R: radio hidrulico, es decir R = A/P P: permetro mojado A: seccin transversal de la tubera.


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2.- TUBOS LISOS Y RUGOSOS DESDE EL PUNTO DE VISTA HIDRULICO.FRONTERAS.

En el captulo anterior se estudi la capa lmite y se mencion la formacin de lasubcapa laminar. El espesor de esta subcapa laminar es inversamente proporcional alnmero de Reynolds, de manera que al aumentar ste el espesor de la subcapa laminardisminuye, tal y como se deduce de la siguiente expresin:

fDsl 8

Re

6.11=

Se denomina al espesor medio de la rugosidad de las paredes del conducto,caracterstico del material, cuyos valores se encuentran tabulados en el cuadro n 18 del

cuaderno o documento: Cuadros y bacos de la asignatura.

Espesor relativo de la tubera se llama al cociente entre la rugosidad y el dimetrode la tubera: / D

Se dice que un tubo se comporta como hidrulicamente liso cuando el espesor dela subcapa laminar es netamente superior a la altura de las rugosidades del material dela tubera, segn se observa en la figura 7.2, es decir sl >> .

En este caso el coeficiente de frotamiento slo depende de las caractersticas delflujo f = f (Re)

Fig.7.2.- Tubo hidrulicamente liso, semiliso y rugoso


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Se dice que un tubo se comporta como hidrulicamente rugoso cuando el espesorde la subcapa laminar es netamente inferior a la altura de las rugosidades del materialde la tubera, segn se observa en la figura 7.2, es decir sl


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3.- EXPRESIONES PARA EL CLCULO DEL COEFICIENTE DEFROTAMIENTO. FENMENO DE LA INTERMITENCIA. EXPERIENCIAS DENIKURADSE.

En el apartado anterior se ha obtenido la expresin de Darcy-Weisbach para tuboscirculares, que nos da la prdida de carga:

hf =g

V

D

Lf

2

2

En la misma, aparece el coeficiente de frotamiento f, que es preciso determinarsegn sea el tipo de flujo (laminar turbulento) y el comportamiento de la tubera (lisa,rugosa o semirrugosa)

En este apartado se va a determinar el valor de dicho coeficiente, siguiendo elorden cronolgico en que se fueron obteniendo.

3.1.- FLUJO LAMINAR

Para el caso de flujo laminar(Re 2000), los investigadores Hagen y Poiseuille,el primero alemn y el segundo francs, estudiaron por separado el flujo laminar,obteniendo en 1839, la expresin para el clculo de las prdidas de carga en dicho flujo:

hf =

g

V

D

L

g

V

D

L

DVgD

VL

2

64

2

64

2

64 22

Re

==

Por comparacin con la ecuacin de Darcy-Weisbach, deducida en la primerapregunta de este captulo, se puede observar que coincide con dicha ecuacin, siendo elcoeficiente de friccin en este caso: f = 64 / Re.

La prdida de carga es, segn se observa en la expresin anterior, funcin de laprimera potencia de la velocidad y el coeficiente de frotamiento depende solamente de lascaractersticas del flujo, es decir del nmero de Reynolds: f = f (Re).

La expresin para flujo laminar: f = 64 / Re, se le conoce como expresin deHagen-Poiseuille en honor a los investigadores que la obtuvieron.

3.2.- FLUJO TURBULENTO

El estudio del flujo turbulento(Re 4000), es muy complicado, y est basado en laTeora de la longitud de mezcla de Prandtl, es una teora emprica muy imaginativa, quetiene muchos detractores, pero es la nica que existe, y que fue completada con ensayosy estudios experimentales por Prandtl y sus discpulos. En estos apuntes no se hadesarrollado la teora de Prandtl que puede encontrarse en la bilbliografa de Mecnicade Fluidos.


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En las prdidas de carga en flujo turbulento no solo intervienen las caractersticasdel flujo sino adems las del conducto o tubera, mediante su rugosidad relativa, siendodiferente el coeficiente de friccin para cada tipo de tubera.

3.2.1.- Coeficientes de friccin en Tuberas lisas

3.2.1.1.- Re 105

Blasius (1913),mediante su tesis doctoral, y a travs de ensayos experimentalesestudio el flujo turbulento en conductos lisos, obteniendo para el coeficiente defrotamiento la expresin, llamada de Blasius,:

f = (100.Re)-1/4 = 0.316/ Re0.25 para flujos cuyo Re 105

Es decir si: Re 105y tubera lisa (Re 105

En 1925 los alemanes Von Karman y Prandtl obtuvieron la expresin para el casode flujo turbulento (Re 4000) y tubera lisa (Re 105,

denominada expresin de Karman-Prandtl, que es la siguiente:

51.2

Relog2

1 f

f=

Nuevamente se observa que f = f (Re), ya que la tubera se comporta como lisa.

3.2.2.- Fenmeno de la intermitencia

Cuando se trabaja en un intervalo de valores del nmero de Reynoldscomprendido entre 2000< Re < 4000 se produce el fenmeno de la intermitencia, en elcual el flujo pasa de laminar a turbulento y de turbulento a laminar de una formaintermitente. Este fenmeno se explica a continuacin.

Se considera una tubera de pequeo dimetro alimentada por un depsito denivel constante, segn se observa en la figura 7.3.


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El desnivel existente (H) entre la lmina superior de agua y la salida de la tuberase transforma en energa de velocidad y en prdida de carga.

H = V22/2g + hf1-2 = Cte.

Fig.7.3.- Fenmeno de la intermitencia

Supongamos que el flujo en un instante determinado es turbulento, pero cercano allaminar. En ese momento la prdida de carga es proporcional a la velocidad elevada auna potencia entre 1.75 y 2. La prdida de carga, en este caso, es mayor que en ellaminar con lo cual la velocidad disminuye, ya que la energa total H es constante, y portanto el numero de Reynolds se hace ms pequeo, pasando el flujo a ser laminar.

En este rgimen laminar, la prdida de carga es proporcional a la primera potencia

de la velocidad V, es decir, disminuye la prdida de carga con relacin al rgimenturbulento, con lo cual la velocidad aumenta y por tanto el nmero de Reynolds se hacemayor, pasando el flujo de laminar a turbulento. El fenmeno contina repitindose deforma intermitente.

3.2.3.- Coeficiente de friccin en Tuberas rugosas

El mismo ao (1925) Karman y Prandtl obtuvieron la expresin valida para flujo

turbulento (Re 4000) y tuberas rugosas (Re >Re =

D

560), sin concretar el campo de

aplicacin de la misma, que es la siguiente:

2

10

71.3log

25.0

=

D

f

Se observa que el coeficiente de frotamiento en tubos rugosos es funcinexclusiva de la rugosidad relativa /D del material de la tubera f = f(/D) y la prdida de


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carga es funcin de la segunda potencia de la velocidad, por ser f independiente delnmero de Reynolds.

3.2.4.- Experiencias de Nikuradse

El alemn J. Nikuradse, discpulo de VON KARMAN, realiz en 1932 experienciascon tuberas de rugosidad artificial, para determinar el campo de validez de la expresinde Karman-Prandtl para tuberas rugosas.

Las experiencias consistieron en tomar tuberas de diferentes dimetros y arenastamizadas de distintos dimetros, pero constante para cada ensayo, con las que enlucilas tubera, consiguiendo de esta forma tuberas con rugosidades diferentes peroexcesivamente homogneas, en comparacin con las tuberas comerciales.

Con estas tuberas realiz ensayos en laboratorio, calculando el coeficiente defrotamiento y llevndolo a un grfico, tal como se representa en la figura 7.4.

Fig.7.4.- Experiencias de Nikuradse

Del grfico obtuvo las siguientes importantes consecuencias:

Para rgimen laminar, el coeficiente de frotamiento dependa slo del nmerode Reynolds y era independiente de la rugosidad, siguiendo fielmente laexpresin de Hagen-Poiseuille para tuberas lisas: f = 64/Re.

Exista una zona crtica, para valores del nmero de Reynolds entre 2000 y4000, en que se desconoca lo que ocurra, al igual que en el caso de lastuberas lisas.

Al aumentar el nmero de Reynolds los resultados comenzaban a separarsede los de las tuberas lisas, y se separaban tanto ms cuanto mayor era el


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nmero de Reynolds y tanto antes cuanto mayor era la rugosidad relativa de latubera.

A partir de un cierto valor del nmero de Reynolds, que resultaba variable, elcoeficiente de frotamiento se hacia independiente de dicho nmero y dependasolamente de la rugosidad relativa, siendo aplicable la frmula de Karman-Prandtl para tubos rugosos.

3.2.5.- Coeficiente de friccin en Tuberas semilisas o semirrugosas

Nikuradse obtuvo con sus experiencias, una serie de valores del coeficiente defrotamiento para tuberas con rugosidad perfectamente homognea, sin llevar dichosvalores a una frmula.

Los valores obtenidos por Nikuradse son inferiores a los que se obtienen en larealidad con tuberas comerciales, de rugosidad heterognea.

Seguidamente los ingleses Colebrook y White (1939) desarrollaron unaexpresin emprica para el caso de flujo turbulento (Re 4000) y tuberassemirrugosas (Re Re Re), que es la siguiente:

+=

71.3Re

51.2log2

1 Dff

Se observa que el coeficiente de frotamiento depende de las caractersticas delflujo y del material f = f(Re, /D), ya que la tubera se comporta como semirrugosa.

En 1944 el norteamericano L.F. Moody public uno de los grficos ms prcticospara la determinacin del coeficiente de frotamiento de tuberas y que es vlido para todaclase de fluidos, denominado baco de Moody.

En el siguiente cuadro se presentan, como resumen, las expresiones para elclculo del coeficiente de frotamiento, indicando su campo de validez.


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COEFICIENTES DE FROTAMIENTO EN TUBERAS

Tipo de Flujo Comportamientode la tubera

Expresin hf

Flujo laminarRe 2000

Hagen-Poiseuille f = 64 / Re hf = f (v)

2000< Re < 4000Flujo

indeterminado Zona crtica, no se debe de trabajar

Re 105Blasius f = 0.316/ Re0.25 hf = f (v1.75)Tubera Lisa

Re 105Karman-Prandtl 512

21

.

Relog

f

f=

Flujoturbulento

(Re 4000),

Tuberasemirrugosa

Re Re Re

Colebrook- White

+=

71.3

/

Re

51.2log2

1 D

ff

Tubera rugosa

Re >Re =

D

560

Karman-Prandtl 2

10

71.3log

25.0

=

D

f

hf = f (v2)

La expresin de Karman-Prandtl para tubera lisa y la de Colebrook-White paratubera semirrugosa son implcitas, logartmicas e irracionales, por lo que es necesarioiterar.

3.2.6.- Coeficientes de friccin, explcitos aproximados, para tuberas lisas ysemilisas

Los investigadores indios Prabhata K. Swamee y Akalank.K. Jain (P.S.A.K.)desarrollaron expresiones explcitas, con el fin de simplificar el clculo en el caso de las


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dos expresiones implcitas ya indicadas, cuyos resultados son bastante aproximados a losobtenidos a travs de dichas expresiones.

Para el caso de tubera lisa y Re > 105

la expresin aproximada de P.S.A.K esla siguiente:

Para el caso de tubera semirrugosa la expresin aproximada de P.S.A.K es lasiguiente.

2

90

745

713

250

+

=

.Re

.

.log

.

D

f

3.3.- ABACO DE MOODY

El valor del coeficiente de frotamiento f viene dado por formulas de difcilresolucin (implcitas, logartmicas, exponenciales) que incluso con las modernascalculadoras llevara bastante tiempo resolverlas y ms an si son implcitas.

Por esta razn dichas formulas se llevaron a bacos o grficos que han facilitadodurante mucho tiempo la resolucin de los problemas.

Esta fue la labor realizada por el norteamericano L.F.Moody, que en 1944 publicuno de los grficos ms prcticos para la determinacin del coeficiente de frotamiento detuberas y que es vlido para toda clase de fluidos.

En la actualidad, bien en un ordenador o una calculadora programable, se puedeprogramar, con las expresiones ya dadas, todo el clculo de los coeficientes de friccin.No obstante el baco de Moody sigue siendo una herramienta muy til e intuitiva paraconocer el comportamiento de la tubera y para un clculo rpido de los coeficientes.

El baco de Moody representa las frmulas obtenidas anteriormente por Hagen-Poiseuille, Blasius, Karman-Prandtl, y Colebrook-White, indicadas por los nmeros (1),(2), (3), (4) y (5).

2

9.010 Re

74.5log

25.0

=f


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Ecuacin (1): Hagen-Poiseuille; Rgimen laminar(Re2000).

Ecuacin (2): Blasius; Rgimen turbulento y tubos lisos(4000Re105)

Ecuacin (3) :Karman-Prandtl; Rgimen turbulento y tubos lisos (Re>105)

Ecuacin (4): Karman-Prandtl; Rgimen turbulento y tubos rugosos

(Re> Re =fD

200 )

Ecuacin (5): Colebrook-White; Rgimen turbulento y tubos semirrugosos(Re< Re> Re)

Fig.7.5.- Construccin del baco de Moody

En el grfico logartmico de la figura 7.5 se sealan de forma esquemtica estasecuaciones as como la frontera Re, representando en ordenadas el coeficiente defrotamiento f, en abscisas el nmero de Reynolds Re y tomando la rugosidad relativa /Dcomo parmetro variable.

El baco de Moody no define la frontera entre tuberas lisas y semirrugosas,

conocida posteriormente a su publicacin. Dicha frontera, como se ha indicadoanteriormente, es la siguiente Re = 23//D.

Se ha considerado conveniente definirla en el baco de Moody, modificando steligeramente.

En la figura 7.6 se representa el baco de Moody, perfectamente perfilado,realizado en papel logartmico, representando el coeficiente de frotamiento f enordenadas, el nmero de Reynolds en abscisas y la rugosidad relativa /D comoparmetro variable.

1

2

3

4

4

4

5


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Fig.7.6.- Abaco de Moody

3.4.- UTILIZACIN DEL BACO DE MOODY

Los tres tipos de problemas sencillos que se presentan referentes al flujo entuberas y que son la base de otros problemas ms complejos, son los siguientes:

TIPO DATOS INCOGNITAI Q, L, D, , hf (prdida de carga)II hf , L, D, , Q (caudal)III hf, L, Q, , D (dimetro)

El tipo I es el ms frecuente y mediante el baco de Moody y la expresin deDarcy-Weisbach se resuelve directamente.

Los tipos II y III hay que asimilarlos al tipo I, para lo cual hay que hacersuposiciones y realizar tanteos.


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PROBLEMA TIPO I

Datos: Q, L, D, , Incgnita: hf (prdida de carga)

El procedimiento de clculo es el siguiente: con los datos de partida se calcula lavelocidad, el nmero de Reynolds y la rugosidad relativa; con estos dos ltimos valores seentra en el baco de Moody obtenindose el coeficiente de frotamiento f y mediante lafrmula de Darcy-Weisbach se determina la prdida de carga.

Para mayor claridad se presenta un organigrama de dicha resolucin.

PROBLEMA TIPO II

Datos: hf, L, D, , Incgnita: Q (caudal)

Caso a) hf= Cte = K

Al ser la prdida de carga un valor constante se puede obtener el parmetro Ref,que corresponde a otra entrada ms al baco de Moody (parte superior del baco).

Mediante la expresin de Darcy-Weisbach y el n de Reynolds:

hf =g

V

D

Lf

2

2

L

gDhf

Vf

212/1 =

Re f = CteL

gDhfD=

2

Re =

DV


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Caso b) hf= expresin matemtica

Si la prdida de carga no es una constante, mediante la ecuacin de Bernoulli y la

expresin de la prdida de carga se obtiene una ecuacin con dos incgnitas: la velocidadV y el coeficiente de frotamiento f, por lo que es necesario iterar.

El procedimiento de clculo es el siguiente: se supone un valor arbitrario delcoeficiente de frotamiento f; con este valor y mediante la ecuacin de Darcy-Weisbach secalcula la velocidad, y con los datos de partida se puede conocer el nmero de Reynoldsy la rugosidad relativa. Entrando con stos en el baco de Moody se obtiene un nuevocoeficiente de frotamiento.

Si los coeficientes de frotamiento supuesto y obtenido son del mismo orden devalores (es admisible un 5% de diferencia) el problema esta resuelto, calculando el caudalsolicitado.

Si no es as, con el coeficiente de frotamiento obtenido se repite el proceso hastaque los valores supuesto y obtenido sean similares. Normalmente no suele ser necesariorealizar ms de tres iteraciones.

Es muy conveniente con el fin de facilitar las iteraciones preparar todas lasexpresiones para su utilizacin rpida y confeccionar un cuadro de iteraciones.

Es usual partir de un valor para f = 0.03 similar (punto medio del eje deordenadas).

Para mayor claridad se acompaa un organigrama que facilita la resolucin del

problema.


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PROBLEMA TIPO III

Datos: hf, L, Q, , Incgnita: D (dimetro)

Al ser el dimetro desconocido no se dispone de ninguna de las tres entradas albaco de Moody por lo que nuevamente es necesario iterar.

El procedimiento de clculo es el siguiente: se supone un valor arbitrario delcoeficiente de frotamiento f; con este valor y mediante la ecuacin de Darcy-Weisbach secalcula el dimetro y a partir de stos se determinan el nmero de Reynolds y larugosidad relativa. Entrando con stos en el baco de Moody se obtiene un nuevocoeficiente de frotamiento.

Si los coeficientes de frotamiento supuesto y obtenido son del mismo orden devalores el problema esta resuelto. Si no es as, con el coeficiente de frotamiento obtenidose repite el proceso hasta que los valores supuesto y obtenido sean similares.

Normalmente el dimetro obtenido no coincide con uno comercial, por lo que habrde tomarse el inmediatamente superior al obtenido.

Es muy conveniente con el fin de facilitar las iteraciones preparar todas lasexpresiones para su utilizacin rpida y confeccionar un cuadro de iteraciones.

Para mayor claridad se acompaa un organigrama que facilita la resolucin delproblema.


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4.- PRDIDAS MENORES. LONGITUD EQUIVALENTE Y FACTOR DE PASO.

En el captulo anterior se han estudiado las prdidas de carga en conducciones,

considerando que estn constituidas solamente por la tubera es decir por tramos detubera recta, ya que una de las hiptesis de partida es flujo uniforme.

La realidad es que en una conduccin existen muchos puntos singulares,entendiendo por stos todo tipo de vlvulas, codos o curvas, bifurcaciones, juntas deunin, ventosas, filtros, contadores y, en general, cualquier singularidad de la tubera.

Todas estas particularidades, denominadas tambin piezas especiales producenlo que se llama prdidas de carga menores, puntuales, singulares o particulares.

Aunque se consideren como prdidas menores, en algunos casos tienenextraordinaria importancia, sobretodo en instalaciones industriales, urbanas y domsticas.

Estas prdidas se consideran despreciables en caso de conducciones largas, conpequeo nmero de piezas especiales.

Existe una regla prctica que consiste en suponer despreciables dichas prdidascuando entre una pieza especial y la siguiente hay una separacin del orden de mil vecesel dimetro de la conduccin.

La evaluacin de las prdidas menores se realiza, con no pocas dificultades,experimentalmente. Solamente en el caso de ensanchamiento y estrechamiento bruscosse pueden determinar analticamente dichas prdidas, aplicando el teorema de la cantidadde movimiento.

Los mtodos empleados para determinar las prdidas de carga son dos, el de lalongitud equivalente y el del factor de paso

4.1.- MTODO DE LA LONGITUD EQUIVALENTE

Se llama longitud equivalente de una pieza especial a la longitud de tubera que,con el mismo dimetro que el de la pieza, produce igual prdida de carga.

Segn la frmula de Darcy-Weisbach, la prdida de carga viene dada por laexpresin:

hf =g

VDLf

2

2

En el caso de piezas especiales L representa la longitud equivalente, es decir:

hf =g

V

D

Lef

2

2

Por medio del baco de las longitudes equivalentes, construido por la casaWhortington (baco n 20 de Cuadros y bacos:), se puede determinar pe

Apuntes Hidraulica Muy Buenos

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