apuntes MATEMÁTICAS

TEMA 1NÚMEROS RACIONALES E IRRACIONALES

Ejercicios:

1) De los siguientes números:

E

scribe los que son racionales:

Escribe los que son irracionales:

Escribe los no reales:

Escribe los reales:

2) Escribe 5 números irracionales, 5 racionales, 5 reales y 5 no reales

1.- Realizar las siguientes operaciones:

(+2) + (-5) + (-2) + (+6) + (-4) + (-2) =

(-8) + (+5) + (-7) + (+2) + (-10) + (+2) =

(+4) – (-6) = (-7) – (-6) = (-4) – (+6) =

(+4) · (-6) = (-7) · (-6) = (+4) – (+6) =

(+2) · (+6) = (-8) : (-2) = (+4) : (+2) =

(-15) : (-3) = (+12) : (-3) = (-6) : (+2) =

(+3) · (-5) · (-2) ·(-3) · (+10)= (-1) · (+6) · (+4) ·(-5) ·(-3) · (-1)=

2.- Efectuar:

1

h) [( ) ( )] ( )

( ) [( ) ( )]( ):( )

14 3 4 3 5

3 7 2 9 1011 13 11 10

i) ( ) [( ) ( ) ( )]

[ ( ) ( )] ( )[( ) ( )]

5 12 3 14 9

3 11 4 1 212 10 7 8

j) [( ) ( )] ( )

( ) [( ) ( )]( ) ( )

4 5 8 10 4

2 10 4 3 812 16 7 9

Ejercicios:

Hallar las fracciones generatrices de los siguientes números decimales:

2’37, 3’023023023023023........, 4’73555555............,

0’2787878........., 3´4, 0’353535............ , 0’45

1.- REALIZA LAS SIGUIENTES OPERACIONES CON NÚMEROS RACIONALES

1) Calcula de 750

2) Decir si los siguientes pares de fracciones son equivalentes:

a) y b) y c) y d) y

3) Escribe una fracción equivalente a que tenga a 4 por numerador

4) Escribe una fracción equivalente a que tenga por denominador 18

5) Busca el término desconocido en cada par de fracciones equivalentes:

a) b)

Calcula y simplifica el resultado:

6) 7)

2

8) 9)

10)

11) Escribe 5 fracciones propias y 5 impropias

2.- Efectuar las siguientes operaciones con fracciones:

g) h)

i)

j)

3.-Problemas con números racionales

1) He recorrido los 2/7 de un camino y aún me faltan 3 km. para llegar a su mitad. ¿Cuánto mide el camino?

2) Los 2/5 de mi dinero me permiten comprar 8 lapiceros a 15 céntimos. cada uno. ¿Cuánto tengo?

3) Hemos vendido los 2/5 de una parcela de terreno por 108.000 céntimos ganando en la operación 36.000 céntimos. ¿Cuánto nos costó la parcela?

3

4) Hemos vaciado los 4/5 de un estanque y aún nos quedan por sacar 1.080 litros. ¿Cuál es la capacidad del estanque?

5) Las páginas de un libro de Sociales se distribuyen así: 3/5 Geografía, 2/3 del resto Historia, 7/8 del nuevo resto Ética y las 8 páginas finales Vocabulario. ¿Cuántas páginas tiene el libro y cuántas cada apartado?

EJERCICIOS CON POTENCIAS Y NÚMEROS RACIONALES

1.- Efectúa utilizando las propiedades de las potencias:

a) b)

d) e)

f)

g)

2.- Efectúa utilizando las propiedades de las potencias:

1) = 2) =

3) = 4)

5) 6) =

7) = 8) =

9 = 10) = 11)

4

3.- Halla el valor de las siguientes expresiones

a) -32= b) (-3)2=

c) d)

e) f) (-3)6: (-3)6=

g)

h)

i)

j)

k)

l)

TEORIA DE RADICALES

Definición de raíz n-esima de un número realLlamamos raíz n-ésima de un número real a, a otro número real b que, elevado a la potencia n, nos da como resultado el radicando

5

En la siguiente raíz los elementos que la componen reciben el nombre de

Todas las operaciones en las que aparece el signo radical se llaman operaciones con radicales o simplemente radicales

Un radical es igual a una potencia de exponente fraccionario que tiene de base la base del radicando y de exponente una fracción cuyo numerador es el exponente del radicando y cuyo denominador es el índice del radical

Propiedad fundamental de los radicales: El valor de un radical no cambia si se multiplican o se dividen el exponente del radicando y el índice del radical por un mismo número

Esta propiedad nos permite transformar radicales en otros equivalentes y se utiliza para:

1) Simplificar radicales: si dividimos el exponente de radicando y el índice del radical por el

mismo número.

2) Reducir radicales a índice común: para ello calculamos previamente el mínimo común múltiplo de los índices y éste será el índice común. Posteriormente multiplicaremos el exponente de cada radical por el mismo número que hemos multiplicado sus índices( es el que resulta de dividir el índice común por el índice que tenía el radical)

Racionalizar radicales es sustituir una fracción por otra equivalente que no tenga raíces en el denominador. Estudiaremos los casos siguientes:1 ) Si el denominador es un monomio con un radical de índice dos, se multiplican numerador y denominador por el radical del denominador.

2) Si el denominador es un monomio con un radical de índice n, multiplicaremos los dos términos de la fracción por la raíz n-ésima de una expresión cuyo producto por el radicando del denominador sea potencia n-ésima perfecta

6

3) Si en el denominador aparecen binomios con radicales de índice dos, se multiplican el numerador y el denominador por el conjugado del denominadorEl conjugado se obtiene al cambiar el signo de uno de los términos del binomioEn el denominador queda el producto de una suma por una diferencia que es igual a la diferencia de sus cuadrados y de esta manera eliminamos sus raíces

Los radicales son homogéneos si tienen el mismo índice.

Los radicales son semejantes si tienen el mismo índice y el mismo radicando.

Para introducir un factor dentro de un radical, basta elevar ese factor a un exponente igual al

índice del radical.

Para extraer factores de un radical realizamos la división del exponente entre el índice. El cociente es el exponente del factor que extraemos de la raíz y el resto es el exponente del factor que se queda en el radicando. Sólo se pueden extraer los factores que tienen un

exponente mayor o igual que el índice.

Operaciones con radicales.

Para sumar radicales tienen que ser semejantes. Para sumar radicales semejantes se suman los coeficientes de los sumandos y se deja el mismo radical.En el caso de que los radicales no sean semejantes, hay que intentar transformarlos en otros equivalentes que sí lo sean (Reduciendo a índice común, racionalizando o sacando factores) En el caso que no se pueda, la operación se deja indicada.

Para multiplicar radicales tienen que ser homogéneos. Para multiplicar radicales homogéneos se multiplican los radicandos y los coeficientes dejando el mismo índice. Si los radicales no son homogéneos los transformamos reduciendo a índice común.

Para elevar un radical a una potencia: elevaremos su radicando a dicha potencia.

Raíz de una raíz es una raíz que tiene por índice el producto de los índices y el mismo

radicando.

Operaciones con radicales

1.- Extrae las siguientes raíces:

7

2.- Escribe como potencias los siguientes radicales:

3.- Escribe con radicales las potencias fraccionarias:

4.- Realiza las siguientes operaciones y pon el resultado en forma de radical:

5.- Extraer los factores posibles:

6.- Introduce los factores en el radical y simplifica:

8

7.- Racionalizar:

8.- Calcula el valor de las siguientes expresiones:

9.- Transforma los siguientes radicales en otros equivalentes (tres de cada uno)

10.- Reduce a índice común los siguientes radicales:

a) b)

c) d)

e) f)

9

11.- Efectuar las siguientes sumas:

12. – Efectúa las siguientes operaciones:

10

= =

13.- Escribe las siguientes expresiones bajo un solo radical y simplifica los resultados:

11

SOLUCIONES TEMA 1

Ejercicios propuestos

Pág. 1:

1) Racionales:

Irracionales R

2) Irracionales Racionales

Reales: No reales

Pág. 2:

1.- -5; -16; +10; -1; -10; -24; +42; -2; +12; +4; +2; +5; -4; -3; -900; +360; -10.

Pág. 3:

2.- a) -10; b) -5; c) -18; d) -3; e) -10; f) +12; g) -6; h) +10; i) -2; j) +3.

Pág. 4:

.

Pág. 5:

1.- 1) 300; 2a) si 2b) no 2c) si 2d) no; 3) ; 4) ; 5a) x = 30, 5b) x = 14; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ; 10) ; 11) propias: impropias:

Pág. 6:

2.- a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) -3; g) ; h) 2

1; i) ; j) 39; k) ;

12

l) ; m) ; n) ; o) .

3.- 1) 14 km; 2) 1000 cts. 3) 180 000 cts. 4) 5 400 l. 5) 480 pág. Geografia 288, Historia 128, Ética 56, Dibujo 8.

Pág. 8:

1.- a) -23; b) 36; c) ; d) 16; e) ; f) 28= 512; 3-2 = , 26 = 64, 2-6= , 1;

g) 560, 65, 4, .

2.- 1) 5; 2) 28= 512; 3) ; 4) 2 3 · 3 2 = 72; 5) 4; 6) 1; 7) 5 2 ·2 5 = 800;

8) 2 5 ·5 = 160; 9) 2 3 · 3 2 = 72; 10) 3 6 =729; 11) 2 8 = 512

Pág. 9:

3.- a) -9; b) 9; c) 3 6 =729; d) -3 6 = -729; e) 3 6 =729; f) (-3)0= 1; g) ;

h) 36; i) ; j) – 11; k) ; l) ; m) ; n) ; o) .

SOLUCIONES AL TEMA 1 (TEXTO)

Pág. 8-24

1) son equivalentes ; a) impropia b) propia c) impropia d) propia

2) a) 15 b) -6

3) 4) 5) 6)El primer premio para Raúl y el tercero para Juan,

porque

7)

8)

9)

10)

11) Conmutativa:

Asociativa:

12)

13)

13

14)

15)

16) En las tres series recorro 240 m 300 m y 360 m, en el calentamiento 140 m en total recorro 1040 m 17) a) Decimal exacta b) decimal periódico mixto c) decimal periódico puro d) decimal periódico mixto

18) decimal periódico puro decimal exacto

decimal periódico mixto decimal periódico puro

19) Es la misma

20)

21)

22) Los decimales cuyo periodo sea la cifra 9 tienen

una fracción generatriz que corresponde a un número decimal exacto

23)

24) 25) La longitud y el área son números racionales

26) no existe

27) 28)

29)

30)

31) 4 y 3’15

34) a) b) -3 c) d) -

35) a) b) c) 3 -3 d)

36) a) b) 3· c) d) e) 1 f) 3

Pág. 24

1) Como no sobra ninguna: la 6ª recibe: 6+ =6, la 5ª: 5 + =6, la 4ª: 4+ , la 3ª 3+

=6; la 2ª: 2+ = 6; la 1ª: 1+ =6. Son 36 perlas

2) El 3º recibe 1cabra El 2º recibe 2 cabras El1º recibe 4 cabras

ACTIVIDADES Pág. 26

8)

14

9)

10)

11) Sara, porque

12) Primer mes, ; segundo, ; tercero, ;y cuarto, le quedan

13)

14)

15)

16) Un número racional está constituido por todas las fracciones que sean equivalentes entre sí

17) +

18) x

1

19) 420€ para la hipoteca, 42€ para la luz y 350€ para la comida

20) Aproximadamente, respiramos 18 veces en un minuto; por tanto, en un día realizamos 25920 inspiraciones, lo que implica que inspiramos 15120 litros de aire

21) +

=

- +

15

-

:

x=

=12

1=

22)

23)

24)

25) Actividad resuelta

26)

27) a) 4 b) 7 y 1 c) 3 d) 4 e) 7 f) 13 y 228)

30

3

29) Se comieron de kilo ,vale 93 céntimos


31) Tiene de 1’5 Kg de tarta y vale 25 céntimos

32) Se obtienen dos valores el inicial que elijas y el primer resultado obtenido

33) En las dos queda de litro de leche

34) Cada persona recibe del pan

35)

36)

El kilo vale de €; 3’5 kilos de €

37) Han reunido del total de atletas y el nº debe ser múltiplo de 100 y para que sea

menor que 50 el total debe ser 100

38) El tonel contiene falta de 10 litros, vale 2’5€

39) Cabeza 7 cm, tronco 21 cm y 28cm la cola

16

- 2=

x +

:=

= =

40) 3 hermanos y 4 hermanas, enuncia el texto una de las hermanas

41) por cada 3 partes de amoniaco hay 4 de agua

42) decimal exacto decimal periódico puro decimal periódico

mixto decimal periódico puro

43)

44)

45)

46) Podría pastar en partes de una circunferencia de radio 6m y en de una

circunferencia de radio 3m así pastaría en un área de m2

47) Amplia la cuerda hasta una longitud de 100 m 48) a) verdadera b) verdadera

49)

50) Para que se encuentren: imposible pues la fracción no

puede ser irracional

51) lo cual es imposible, luego no se encuentran

52) 53) Actividad resuelta54)

55) ;

63 ) a) b) c) -3 d) e) 2 f) 1

64) a) b) c) d)

65) a) b) c) d)

66) Si cada pan se divide en tres partes, cada individuo se come , por lo que el

pastor de los tres panes realmente reparte de upan, y el otro pastor reparte del

pan. Así pues, un pastor reparte siete veces más que el otro; si le da 16 monedas al pastor que tenia tres panes, le corresponden 2 monedas y al otro 14 monedas


68) a) 11 b) c) d) 0

El rebaño: realmente no reparte toda la herencia, sino , por tanto,

cuando tiene 12 ovejas reparte 11 de 12 por eso le sobra una.Sucede con los múltiplos del m.c.m.(2,4,6)=12 menos 1,es decir con 11,23,35,…

SOLUCIONES DE LOS RADICALES PROPUESTOS

17

Pág. 12 (orden de soluciones por filas)

1.- 8, , no real, , , 12, 9, , no real, 4, -3, -6, , 9,

- 5, 2, , no real, , 5, no real, , 2x3y6, 11

2.-

3.-

4.-

5.-

, ,

,

, ,

6.-

7.-

8.- a) -2; b) 0; c) 2; d) 4.

9.- ;

;

10.- a) ; b)

c) ; d) ;

e) ;

f)

11.- a) ; b) 0; c) 5 ; d) 75 ; e) ; f) -2 ; g) ; h) ;

i) ; j) ; k) ; l) 121 ; m) 13 ; n) ; o) 14 p) -3 ;

18

q) ; r) ; s) ; t) 0; u) 7 ; v) 9 ; y) ;

z) ; 1) 20 ; 2) 35 ; 3) 16 ; 4) 57 ; 5) -39 2 ; 6) -6 ; 7) 24 ;

8 ) -9 ; 9) 12 12.- 1) 108; 2) 28 ; 3) 60 ; 4) 150; 5) 135 ; 6) 4; 7 ) 108; 8) 60; 9) 40; 10) 12; 11) 2; 12) 6; 13) 20; 14) 36; 15) 1078; 16) 32; 17) 24; 18) 768; 19) 13 + 4 20) 13 + 4 a) 96; b) 130; c) 48; d) 7 + ; e) 7 - ; f) 3; g) -1; h)

130; i) 4; j) 21; k) ; l) 2 ; m) 4 36 43 32232 ; n) ; o) 9; p)

; q) 13 -30;

13.- a) ; b) ; c) ; d) e) ; f) ; g) ; h) ; i) j) ; k)

; l) 30; m) 2; n) 2a; o)

19

TEMA 2

PROPORCIONALIDAD NUMÉRICA

PROBLEMAS DE PORCENTAJES

1.- Un mueble me ha costado 6000 euros. ¿Qué precio debo marcarle para que haciendo una rebaja del 10% gane todavía el 20% sobre el precio de compra?2.- Vendí géneros por 7500 euros. Vendiéndolos en 500 euros más hubiera ganado 2000 euros ¿Cuánto gané en % sobre el precio de la compra?3.- ¿Cuánto pesaba una mercancía que después de perder el 20% de su peso pesa 8’8 Kg.?4.- Un viajante cobra 600 euros de dietas y el 2’5 % sobre el importe de sus ventas. Tras una gira de 18 días le entregan 34.800 euros por dietas y comisiones ¿Cuál fue el importe de las ventas que realizó?5.- Un comerciante compra 5 piezas de paño de 40m a 450 euros el metro. Las revende ganando el 12% sobre la compra ¿En cuánto las vendió?6.- Se pagaron 5290 euros por cierta cantidad de azúcar cuyo precio acababa de subir el 15% ¿Cuánto se hubiera pagado antes de la subida?7.- Un labrador revende en 109.600 euros una cosechadora, ganando el 15% sobre el precio de la venta. ¿Cuánto le costó la máquina?

INTERÉS1.- Una persona coloca 1/3 de su capital al 4 % y el resto, es decir, 600.000 euros al 3 %. Halla el interés que obtiene en 8 meses.2.- Debo los intereses de 5000 euros durante 6 meses al 5 %. ¿Cuánto tiempo debo colocar 4500 euros al 4 % para compensar aquellos intereses?3.- Un granjero vende una tierra y coloca su importe al 5 % que le produce 7200 euros anuales. ¿Qué extensión tenía la tierra si el comprador pagó 2400 euros por área?4.- He metido en el banco 6500 euros y 8 meses después se han convertido en 6630 euros ¿A qué % las coloqué?5.- ¿Qué es más ventajoso, colocar 480.000 euros al 4’5 % o comprar con ellas un piso que se puede alquilar en 2000 euros mensuales?6.- 6000 euros han dado 45 euros de interés desde el 23 de marzo al 21 de junio del mismo año. ¿A qué 5 % se colocaron?7.- Un viajero presta, en el momento de su partida, 34.000 euros al 4%. A su regreso recibe 40.800 euros por capital e intereses. ¿Cuánto duró su ausencia?8.- Meto cada mes 120 euros en una hucha. Después de la sexta vez retiro la cantidad ahorrada y la pongo a interés. Después de 8 meses retiro en total 732 euros. ¿ A qué % las coloqué?9.- Un tendero realiza en 3 meses un beneficio neto de 15.000 euros ¿ Cuánto tendría que colocar al 4 % los 250.000 euros que comprometió en el negocio para tener un interés igual a ese beneficio?10.- ¿Qué cantidad hay que colocar al 5% durante 10 meses para pagar con sus intereses los 1420 euros gastados en un arreglo de una casa?11.- ¿A qué % se han colocado 15.000 euros si al cabo de 3 meses y 9 días se han convertido en 15.165 euros?12.- UN señor dispone de 34.830 euros. Coloca los 8/15 al 15 % y el resto al 4’75 %. Halla su renta anual.13.- Debía pagar una deuda el 20 de enero; la pago el 8 de agosto, por lo que aumenta la deuda en 90 euros. El interés es del 3% ; halla la deuda.14.- Se han colocado 15.000 euros al 5 % y 5.000 al 3’75 %. ¿A qué % hay que colocar 20.000 euros, para obtener anualmente los 4/5 de interés que se obtenía en el primer caso?

20

15.- Tomé prestados 6.000 euros al 5 % el 1 de junio. ¿ En qué fecha los devolví si entregué 6.225 euros por capital e intereses?

REPARTOS PROPORCIONALES

1.- Descomponer 11.400 en 3 sumandos que sean inversamente proporcionales a 4, 9 y al medio proporcional de esos dos números.2.- En una carrera intervienen 3 corredores entre los que se reparten 11.840 euros. Los tiempos que han intervenido han sido 4, 5 y 6 minutos, respectivamente. ¿Cuánto toca a cada uno?3.- Una herencia de 600.000 euros se reparte entre 3 hermanos proporcionalmente a sus edades. La de los menores es de 2 y 5 años; el 1º cobra 80.000 euros. ¿Qué edad tiene el mayor y cuánto cobró cada uno?4.- Un billete de lotería costó 300 euros y resultó premiado con 225.000 euros. Lo compraron 3 individuos a quienes correspondió 60.000, 75.000, y 90.000 euros respectivamente. ¿Cuánto aportó cada uno a la compra?5.- Cuatro socios reúnen 5.418.000 euros para un negocio, en el que obtienen 1. 548.000 euros de ganancia. Repartida ésta, corresponden: al 1º, 350.000 euros; al 2º, 420.000 euros; al 3º,180.000 euros y al 4º, el resto. Halla el capital de cada socio.6.- Una industria paga de impuestos el 20 % de sus ganancias brutas. Si por tal motivo pagó 145.000 euros y los capitales de sus 3 socios son 1.750.000, 3.000.000 y 2.500.000 euros ¿Cuál es la ganancia neta de cada uno?

MEZCLAS Y ALEACIONES

1.- Un lingote de plata de ley 0’85 que pesa 3 kg. se funde con otro lingote de plata de ley 0’74 que pesa 2’5 kg. ¿Cuál será la ley del nuevo lingote?2.- ¿Cuántos kg. de café de 80 euros se han de mezclar con 10 kg. de 106 euros para vender la mezcla a 92 euros el kg.?3.- ¿Qué cantidad de plata pura es preciso añadir a 800 g de plata de ley 0’835 para obtener una aleación de ley 0’900?4.- ¿Qué cantidad de agua se ha de añadir a 224 litros de vino de 6 euros el litro para poder rebajar el litro a 3’5 euros?5.- Se han fundido 250 g de oro de ley 0’7 con 300 g de ley de 0’8 y con 50 g de oro puro. ¿Cuál será la ley de la aleación que resulta?6.- Con café de 90 euros y 120 euros el kg. se quiere obtener una mezcla de 100 euros el kg. Calcula cuánto hay que poner de cada clase para obtener 150 kg. de mezcla.7.- Un barril de 1 hectolitros de capacidad contiene 3 decalitros de aceite de 40 euros el litro, se completa con aceite de inferior calidad a 32 euros el litro. Calcula el precio del litro de la mezcla.8.- Se mezclan 25 hectolitros de vino que costaron 20.000 euros con 270 decalitros de otro vino que costó 10 euros el litro. Se desea ganar 5000 euros. ¿A cómo se tiene que vender el litro de la mezcla?9.- Se quieren obtener 800 gr. de oro de 0’87 de ley fundiendo oro de 0’8 y de 0’9 de ley. ¿Qué cantidad se ha de fundir de cada clase?10.- La ley de un lingote de oro que pesa 130 gr. es de 0’85. ¿Qué cantidad de oro puro habría que fundir con él para que resultará un nuevo lingote de 0’9 de ley?11.- Un orfebre tiene dos lingotes, el 1º contiene 540 gr. de oro y 60 gr. de cobre y el 2º, 400 gr. de oro y 100 gr. de cobre. ¿Qué cantidad deberá tomar de cada uno de ellos para formar un lingote de 640 gr. y 0’825 de ley?12.- En qué proporción habrá que mezclar café de 75 euros el kg. con otro de 60 para que vendiendo la mezcla a 78’4 euros el kg. se gane el 12% del precio de coste ?

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SOLUCIONES TEMA 2

Soluciones a los problemas propuestos Porcentajes: 1) 8 000 € 2) 25 % 3) 11 kg 4) 93 600 € 5) 100 800 6) 4 600 7) 95 304’35

Interés:1) 20 000 € 2) 250 días 3) 144 000 € , 60 áreas 4) 3 % 5) 1 800 € de interés mejor alquilar el piso 6) 90 días, 3 % 7) 5 años 8) 2’5 % 9) 18 meses 10) 34 080 € 11) 4 % 12) 1 700’865 € 13) 200 días, 5400 € 14) r = 3’75 15) 270 días, el 25 de febrero

Repartos proporcionales 1) A 4 x = 5 400, a 9 y = 2 400 y a 6 z = 3 600

2) A 4 x = 4 800, a 5 y = 3 840 y a 6 z = 3 200

3) El mayor 8 años, A 2 x = 80 000, a 5 y = 200 000 y a 8 z = 320 000

4) A 60 000 x = 80 , a 75 000 y = 100 y a 90 000 z = 120

5) A 350000 x = 1225000, a 420000 y = 1470000, a 180000 z = 6300000 y a 598000

t = 2093000

6) A 1 750 000 x = 35 000, ganancia = 175 000

A 3 000 000 y = 60 000, ganancia = 300 000 A 2 500 000 z = 50 000, ganancia = 250 000

Mezclas y aleaciones1) 0’8 2) 11’67 3) 520gr 4) 160 5) 0’775 6) 100kg de 90 y 50kg de 120 7) 34’4 € 8) 10 9) 240gr de 0’8 y 560gr de 0’9 10) 65gr 11) 160gr de 0’9 y 480gr de 0’8

12)

SOLUCIONES AL TEMA 2 (TEXTO)

Pág. 341) a) mm3 de sangre 1 2 9 3Nº de glóbulos rojos 4’5 9 40’5 13’5 b)

c) k=

d) Hablamos del triple de volumen en sangre: 6mm3

2)

3) Son magnitudes proporcionales e inversas : k = 50·15 = 100·7’5 = 750

4) Número de pintores y paredes pintadas, velocidad y tiempo…..

5) Menos, 5 días 6) 10 ·x = 20 · 300 = y · 1200 x = 600 y = 5

7)121 botellas enteras y sobra 0’21 8) 1890 millas 9) 8 alumnos tienen gripe 10) 3 días

11) 6’6 rollos, compraremos 7 rollos 12) 25 rollos

13) durante 6 días tendrán alimento 18 pájaros 14) 6 días

22

15) precio de un libro 5’922 €solo compro 1 16)16’60€

17) 309’12 € 18) No cuesta lo mismo antes 300€ y después 293’25 €

19)

20) 90 km 21) La escala será 1: 200 000

22)

23) Que cada cm del plano equivale a 2 m en la realidad

24) 500+25+26’25 = 551’25 €

25) 175 € en el primer banco, 900€ en el 2º Conviene esperar

26) Cfinal = Cinicial+ 0’046 · Cinicial 27)a) 1850 € b) 1356’66 € al mes 28) 5000 € 29) 12 %

30) a = 20€, b= 26’67€, c= 53’33€ 31) a = 1363’64€, b = 1090’91€, c = 545’45€

32) El 1º: 2857’14 m2, el 2º: 2142’857 m2 33) El 1º:76’59º, el2º: 57’44º , el 3º : 45’95º

34) El 1º: 461’53, el 2º : 307’69, el 3º : 230’76

Pág. 44-45:

35) 36) 0’026 €

Practica tú

1) No, Sí, Sí , Son divisibles si el número de cifras es par 2) S =

3) S = n2 4) d = 2n -1 siendo n el primer número

ACTIVIDADES6) Precio y peso, son directamente proporcionales 7) Una recta 8) No9) a ) no b) sí , directa, d) no 10) a) en la tienda A b) K = 3’50 11) a = 258 b = 172 c = 430 12) Actividad resuelta13) a = 400 b = 100 c = 430 14) 484’84 km 15) 12’5 m 16) 1423902’1317) 105 platos llanos, 35 platos hondos 18) 37’5 min. 50 min. 19) 500 botellas20) 30 días 21) 150 azulejos 22) Actividad resuelta 23) x = 8 cajas31) a) x= 20 b) x = 11’5 c) x = 68’625 32) si, es 20033) Precio final 23’ 76 €, será menor 34) aumentó 9’27 % 35) 85 kg

40) a) b) 375 m 41) La escala es 1:10 42) Nueva escala 1:666’67

43) a) 102720€ b) 16’25 cm2 c) 3656’25 cm 2 d)

44) a) 137’5€ b) 412’5€ c) 43’92 € d) 17’19€ 45) 8’33 + 66’67=75 € 46) 8640 €47) Actividad resuelta 48) 2’5 % 49) t = 6’85 años 50) t = 40 años, t = 60 años51) 0’63% 52) i = 133’33€ 53) t = 1’33 años 54) José 1600€, María 2000€, Inés 2400€55) a = 2735’92 €, b= 1641’55 € , c= 1172’54€56) el 1º: 576’5 €, el 2º: 2306€, el 3º: 2767’2€ 57) Pedro 1635’51 €, Javier 1962’61€, Elena 1401’87€58) 1ª pareja 187’5€, la 2ª :187’5, la 3ª : 62’5€ y la 4ª: 62’5€59) El 1º: 506’7 ha, el 2º; 337’22 ha, el3º : 1156’03 ha. 60) 61)62) 53’33€ 63) 2€+15%2=2’3€ 64) 6’67 kg 65) 16 ‘ 66 Kg y 33’3 Kg 66) 0’ 7 de ley67) 123’9 l de 3 € , 171’1 l de 2€

23

TEMA 3

SUCESIONES. PROGRESIONES ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS.

1) Escribe los tres primeros términos y el término 20 de las siguientes sucesiones:

2) Escribe el término general de las siguientes sucesiones:

a) 6, 12, 18, 24,...... b) 7, 10, 13, 16,...... c) 1

2

2

3

3

4

4

5, , , ,...... d)

1

5

3

7

5

9

7

11, , , ,......

3) Forma una progresión aritmética de 5 términos con los datos de cada apartado:

a) a1=5, d = - 3 b) a1= , d = c) a1=2

3, d = -2 d) a1= - 12, d =

3

2e) a1= 3 2 ,d = 2 2

4) Los datos de cada uno de los apartados corresponden a una progresión aritmética. Calcula la diferencia de la progresión en cada caso:a) a5= -10 y a13= -8 b) a6= 3 y a14= -1 c) a19= -14 y a24= 16 d) a11= 6 y a35= 65 5) Interpola cinco medios diferenciales entre los dos datos de cada apartado:

a) 1 y 19 b) - 51 y - 27 c) 3

5 y

23

5 d) -7 y 29 e) 3 y 27

6) Resuelve los problemas siguientes cuyos datos e incógnitas corresponden a progresiones aritméticas:

a) Dados a1= 20, d = 2 y S = 780, determina an y n b) Dados a1= 1, d = 2 y S = 7 744, determina an y nc) Dados an= 56, d = 3 y S = 516, determina a1 y n

7) Dada la progresión aritmética 0’4, 0’6, 0’8, ..... de 50 términos, determina an y S

8) Dada la progresión aritmética 9,......, 162, de 52 términos calcula d y S.

9) Dada la progresión aritmética 2, 4, 6, 8, ..... de 100 términos, determina an y S

10) En una progresión aritmética, la suma de los términos primero y noveno es seis. El término undécimo excede al octavo en dos unidades. Halla la diferencia de la progresión y el primer término.

11) En una progresión aritmética, la suma de los términos primero y segundo es –51 y la del tercero y cuarto, nueve. Forma la progresión sabiendo que tiene cinco términos.

12) El menor de los ángulos de un triángulo mide 20º. Averigua los otros dos ángulos sabiendo que las amplitudes de los tres forman una progresión aritmética.

13) El ángulo mayor de un cuadrilátero mide 120º. Calcula los otros tres ángulos sabiendo que las amplitudes de los cuatro forman una progresión aritmética.

14) Calcula la suma de:

a) Los múltiplos de seis comprendidos entre 100 y 1000

b) Los veinticinco primeros múltiplos de nueve.c) Los múltiplos de once menores que 300d) Los quince primeros términos de la progresión aritmética 3,

7,11,15,.....e) Los múltiplos de siete comprendidos entre 1000 y 10 000f) Los múltiplos de seis menores que 200

24

15) La suma de los términos segundo y noveno de una progresión aritmética es – 8 y

la suma de los términos quinto y décimo, - . Halla el primer término.

16) La suma de tres números en progresión aritmética es 12 y su producto, 63. Averigua esos números.

17) La suma de tres números en progresión aritmética es 18 y su producto, 162. Averigua esos números.

18) La suma de los términos tercero y quinto de una progresión aritmética es 20 y la suma de los términos sexto y séptimo, 35. Halla el vigésimo término.

19) Calcula los lados de un triángulo rectángulo sabiendo que sus medidas, expresadas en metros, son tres números que forman una progresión aritmética cuya diferencia es siete.

20) Calcula en las siguientes progresiones geométricas el término que se indica:

a) a15 b) 1,3,9,27,81,......a15

21) En una progresión geométrica limitada, el primer término es 7, el último 448 y la suma 889. Calcula la razón y el número de términos de la progresión.

22) Calcula la suma se los: a) Seis primeros términos de la progresión geométrica 6, 12, 24,.....

b) Siete primeros términos de la progresión geométrica

c) 0cho primeros términos de la progresión geométrica

d) Nueve primeros términos de la progresión geométrica

23) ¿Cuál es el sexto término de una progresión geométrica cuyo primer término es 0’73 y su razón, 0’01?

24) ¿Cuál es el séptimo término de una progresión geométrica cuyo primer término es

y su razón, 6?

25) Calcula la razón de las siguientes progresiones geométricas conociendo los

términos que se indican en cada apartado:

a) a1 = y a6 = 54 b) a1 = y a7 = c) a1 = 3 y a4 = d) a1 = 2 y a7 =

26) La suma de tres primeros términos de una progresión geométrica es 105 y su producto, 8 000. Averigua esos números.

27) La suma de los infinitos términos de una progresión geométrica ilimitada y decreciente es dos y el primer término, 0’5. Calcula la razón de la progresión.

28) La suma de tres números en progresión geométrica es 26 y su producto, 216. Averigua esos números.

29) La suma de tres números en progresión aritmética es 65 y su producto, 3 375. Averigua esos números.

25

30) Interpola entre los dos números de cada apartado el número de medios geométricos que se indica:

a) Siete medios entre 3 y 48 b) Cinco medios entre 2 y c) Tres medios entre

486 y 6

d) Cuatro medios entre y e) Cuatro medios entre y 81 f) Seis medios

entre 2 187 y 1

31) Averigua el producto de los seis primeros términos de cada una de las siguientes progresiones:a) 1, 3, 9, 27,...... b) 4, 8,16, 32, ....... c) 5, 20, 80, 320,......

32) Los datos de cada uno de los apartados corresponden a una progresión geométrica. Calcula lo que se indica en cada uno de ellos:

a) Determina a1 y an si r = 2, n = 7 y S = 635 a) Determina n y a n si a1 = 3, r =

2 y S = 765

33) Halla la suma de los términos de cada una de las siguientes progresiones geométricas ilimitadas:

a) 3, 1, b) 6, 3, c) 1, d) 18, 6, 2,

34) Las amplitudes de los tres ángulos de un triángulo están en progresión

geométrica, siendo la amplitud del menor 25º y de grado. Halla las amplitudes de

los otos dos ángulos del triángulo.

35) Un mendigo pide hospitalidad a un avaro, haciéndole la siguiente proposición: Yo pagaré un euro por el primer día, dos por el segundo, tres por el tercero, y así sucesivamente. En cambio, usted me dará 0’001 céntimos de euro el primer día, 0’002 céntimos de euro el segundo, 0’004 céntimos de euro el tercero, y así sucesivamente, duplicando siempre la cantidad anterior. El avaro encontró esta proposición como un buen negocio y consintió en el arreglo por 30 días. ¿Quién salió ganando? Liquida la cuenta al finalizar los 30 días.

36) Asaphad, historiador árabe, cuenta que Sessa presentó el invento del juego del ajedrez a Scheran, pr´ncipe de la India, y éste le preguntó cuánto pedía como recompensa. Sessa pidió un grano de trigo por el primer cuadrado del tablero, dos por el segundo, cuatro por el tercero, ocho por el cuarto, y así sucesivamente, duplicándose siempre hasta el último cuadrado. Averigua los granos de trigo que pidió Sessa. Suponiendo que en un hectolitro hay dos millones de trigo y que una hectárea produce 25 hectolitros, ¿Qué superficie tendría que cultivar Scheran para obtener la cantidad de trigo pedida? La superficie no sumergida de la Tierra es de 13.109 ha, aproximadamente. ¿Cuántos años tardaría Scheran en saldar su deuda?

37) En una progresión geométrica la diferencia entre los términos cuarto y segundo es 120 y se sabe que el valor del tercer término es 32. Averigua la razón y los cuatro primeros términos.

38) En una progresión geométrica, la suma de los términos primero y segundo es 12 y la de los términos tercero y cuarto,108. Halla la razón y la suma de los siete primeros términos.

26

SOLUCIONES TEMA 3

Soluciones a los problemas propuestos

1) 1a) –1,1,3,.....a20 = 37 1b) , 1, ,..... a20 = 1c) 0,1,4,..... a20 =361

2)

3) 3a) 5,2,-1, -4.- 7 3b) 3c)2

3

4

3

10

3

16

3

22

3, , , ,

3d)

3 2 5 2 7 2 9 2 11 2, , , ,

4) 4a) d= 1

4 4b) d=

1

2 4c) d = 6 4d) d =

59

245) 5a) d = 3 1,4, 7,10,13,16,19 5b) d = 4 - 51, - 47, - 43, - 39, - 35, - 31, -27

5c) d = 5d) d = 6 -7, -1, 5, 11, 17, 23, 29

5e) d =

6) 6a) n = 20, an = 58 6b) n = 88, an = 175 6c) n = 24, a1 = -13 7) an = 10’2, S = 265

8) d = 3, S = 4 446 9) an= 200 S = 10 100 10) d = , a1 =

11) 33, 48, 63, 78, 93 12) 20º, 60º, y 100º 13) 60º, 80º, 100º y 120º14) 14a) S = 82 350 14b) S = 2 925 14c) S = 4 158 14d) S = 465 14e) S = 7 071 07114 f) S = 3 366 15) a1= -10

16) , 4 y 17) 3, 6, y 9 18) d = 3, a1 = 1 a20 = 58 19) 21, 28, 35

20) 20 a) a15= 20b) a15= 4 782 969 21) r = 2, n = 7

22 ) 22 a) S = 378 22b) S = 22c) S = 22d) S =

23 ) a6 = 0’ 000 000 000 073 24) a7 = 1 25) 25a) r = 3 25b) r = 25c) r = 25d) r =

26) 5, 20, 80 27) r = 0 ’75 28) 6, 6, 6 2, 6, 18 -18, 6, -229) 15, 15, 15 5,15, 45 - 45,15, -5

30) 30a) 30b)

30c) 486, 162, 54, 18, 6 30d) 30e) ,1, 3, 9, 27, 81

30f) 2187, 729, 243, 81, 27, 9, 3, 131) 31 a) 14 348 907 31b) 134 217 728 31c) 16 777 216 000 00032)32 a) a1 = 5, a7 =320 32b) n = 8, a8 = 384

33) 33a) 33b) 12 33c) 33 d) 27

34) los ángulos son: 25 ’ 714º, 51 ‘ 428º, 102 ‘ 856º 35) El mendigo paga 465 euros. El avaro paga 10 737’41 euros.10 272’41 euros favorable al mendigo36) Resuelto en la página 109 37) 2, 8, 32, 128 38) r = 3 S = 3 279

SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS TEMA 3 (TEXTO)

Pág. 54

27

1) a) 1,4,9,16,25 b) 3,5,7,9,11 c) d)

2)

3) a) 4, 7, 12 b) c) d) 3,1,1

4) a30=2 + (30-1)·2 = 60 millones de euros 5) a30= -2 + 29 ·3 = 856) a1 = 56 7) n = 9 semanas

8) a) 5,9,13,17,21,25,29 b) -7,5,17,29,41 c)

d)

9) En los kms

10) a17 = 46 11) S20 = 1610 12) n = 9 S9 = 90

13) a30 = 1 · 229 = 536870912 € 14) r = 15) a5 =

16) La razón en la que aumenta el perímetro del copo de nieve es , a1 = 3, a8 = 22’47

La razón en la que aumenta el área del copo de nieve es , a1 = , a8 = 3’34

17) a1>0

r >1 creciente {3,6,12,24,…..} 0<r<1 decreciente

r<0 oscilante {3,-6,12,-24,48,…} a1<0

r >1 decreciente {-2,-6,-18,-54,…} 0<r<1 creciente

r<0 oscilante {-2,4-8,16,-32,…} r=1 constante {a1,a1,a1,a1,…}

18) 128,64,32,16,8,4

19)

20) a10 = , a11 = , - 0’004,- 0’0027 , - 0’0019, - 0’001321) P5=104857622) S10 = 341 23) S8 =58818’34 litros 24) a) S = 8 m2 b)S = 27’314 m

25) a) 34’75 = 34 + 0’75 + 0’0075 + …..= b) 2’17+0’002+0’0002+…=

26) a) r = b) r = 29) 2231’47 € 30) 15693’88 € anuales

Practica tú

1) es una progresión constante con an = 2) {0’27, 4 y 58’73} o { 58’73, 4 y 0’27}

3) 4) { -2, 0, 2, 4, 6, 12,….}

Actividades:

28

5) a) 4 y 6 b) 8 c) 2 · n 6)

2 4 6 10 16

{a, b, a + b, a + 2b, 2a +3b, 3a + 5b,.....}

7) n = 36 8) a30 = 20 9) n = 17 10) actividad resuelta 11) 15, 12 y 9 12) a1 = 6613) Los lados son 1, 3 y 5, V = 15 cm3 14) {9, 6, 3, 0, - 3, - 6, - 9}15) 2, 5, 8, 11, 14, 17 16) 15m, 14m, 13m, 12m, 11m, 10m, 9m, 8m, 7m, 6m17) 70º,90º,110º, 130º, 150º y 170º 18) S = - 793 19) 78 · 2 =156 campanadas20) Actividad resuelta 21) a1 = 3 , a10 = 39 22) a1 = 1, d = 2 23) 55 bolas24) 12 filas 25) a) 19 personas b) 10 filas 26) d = 3 27) 16, 20, 24, 2828) debemos añadir 8 términos 29) Actividad resuelta 31) 800 m

32) a3 = - 12’5, a7 = 3’5, a14 = 31’5 y a21 = 59’5 33)

34) Actividad resuelta 35) n = 13 36) a1 = 38) Actividad resuelta

40) Actividad resuelta 41) las aristas son 18, 6 y 2 A = 156 cm2 42) 43) Las vallas estarían a 400m, 800m, 1600m, 3200m44) Es una progresión geométrica de razón – 3, P8 = 2’29 · 1013

45) P7 = 46) S6=- 7’875

47) a) S = 2 cm b) S= cm2

48) En cada etapa el área se reduce en . Elárea del triángulo de lado 4 es 4 m2 En

la primera fase el área es 3 · m2, en la segunda m2… S = 12

51) actividad resuelta 52)m =

53) Actividad resuelta Prueba tu ingenio

S= 264-1=1’84467 · 1019

El error se comete al considerar nuevamente S a la sucesión (1+2+4+…) después de haber suprimido el 1 y haberle sacado factor común

El precio de los clavos sigue una progresión geométrica de razón 2, la suma de los 24 primeros términos es 16777215 €

TEMA 4

POLINOMIOS

Operaciones con polinomios

1. – Dados los siguientes polinomios:

A = 2x5 - 4x3 + 6x2 - 7x B = 4x4 - 6x3 - 2x2 + 5x - 4C = 3x4 - 5x3 - 6x2 - 9x + 3 D = 6x5 - 4x3 + 2x2 - 7x + 6Calcula:

29

a) A + B + C + Db) A – B – C + Dc) (2A - 3B) - (2C + D)

2. – Efectúa los siguientes productos:

a) (2x4 - 6x3 + 5x2 - 4x + 3) . (2x2 - 9x + 6)b) (2x3 - 4x2 + 5x - 4) . (3x2 - 5x + 6)

3. – Calcula: 2x2 - 5x + 3 . 4x2 + 2x - 5 . 2x3

2x2 - 4x + 5 . 3x2 - 4x + 7 - 5x2 - 4x + 32 4. - Efectúa las siguientes divisiones

18x6 - 33x5 + 7x4 - 11x3 + 31x2 - 21x + 9 : 2x2 - 5x + 3

10x7 - 26x5 + 33x4 + 6x3 - 31x2 + 32x - 15 : 2x3 - 4x + 5

6x6 + 22x5 + 23x4 - 5x3 - 34x2 + 45x - 18 : 2x2 + 4x - 3

18x7 - 6x6 + 27x5 - 41x4 + 6x3 + 6x2 - 17x + 12 : 2x3 + 3x - 4

8x6 - 20x5 + 22x4 - 32x3 + 30x2 - 20x + 12 : 2x3 - 2x2 - 4

5 . – Calcula el cociente y el resto empleando las Reglas de Ruffini

6x4 - 4x3 + 2x - 6 : x - 3

5x5 - 3x4 + 4x3 - 2x2 + 5 : x + 1

3x6 + 3 : x + 1

x4 - 4x2 + 8 : x - x4 - 6x2 + 12 : x -

6. – Calcula los ceros (raíces enteras) y factoriza

x5 + 3x4 - 5x3 - 15x2 + 4x + 12 x4 + 9x3 + 19x2 - 9x - 20

x4 + 8x3 + 11x2 - 32x - 60 x4 + 2x3 - 19x2 - 8x + 60

7. – Calcula el valor numérico de los polinomios

x4 - 5x2 + 2x - 3 para x = 2 x5 - 3x2 + 2x - 8 para x = ½

8. – Calcula el verdadero valor de las siguientes fracciones

9. – Dada la siguiente fracción

a) Factoriza sus dos términos.b) Una vez factorizados, simplifícala.

30

c) Una vez simplificada, calcula su valor numérico para x =

10. – La expresión x4 – 7x3 + 11x2 + 7x – 12 = 0 es un polinomio ecuacional que admite como soluciones enteras x = 3; x = 4 y x = -1. ¿Cuál es la cuarta solución?

11. – Sin necesidad de hacer las divisiones, explica cuál de ellas son exactas y cuáles no

(x5 – 32) : (x + 2) (x5 + 32) : (x - 2)

(x5 – 32) : (x - 2) (x5 + 32) : (x + 2)

13. – Calcula el verdadero valor de la fracción

14. – Dada la fracción:

a) Factoriza sus dos términos.

b) Una vez factorizada, simplifícala.c) Una vez simplificada, calcula su valor numérico para x =

15. - ¿Para qué valor de “m” el polinomio

x4 + 8x3 + 11x2 - mx - 60 es divisible por x + 3?

DESCOMPONED EN FACTORES LOS SIGUIENTES POLINOMIOS:

HALLAD EL m.c.d. y el m.c.m. DE LOS SIGUIENTES CONJUNTOS DE POLINOMIOS:

SIMPLIFICAD LAS SIGUIENTES FRACCIONES:

31

SUMA y SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS:

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS

32

SOLUCIONES TEMA 4

Soluciones a operaciones con polinomios

1)1a ) 8x5+7x4-19x3-18x+5 1b) 8x5-7x4+3x3+16x2-10x+7 1c) -2x5-18x4+24x3+28x2-4x

2)2a ) 4x6-30x5+76x4-89x3+72x2-51x+18 2b) 6x5-22x4+47x3-61x2+50x-24

3)3a ) 16x7-32x6-16x5+62x4-30x3 3b) -19x4+20x3-x2-24x+26

4)4a) 9x4+6x3+5x2-2x+3 4b) 5x4-3x2-4x-3 resto 40x 4c) 3x4+5x3+6x2-7x+6 4d) 9x4-3x3+2x-3 4e) 4x3-6x2+5x-3 resto 30x2

5)5a) C = 6x3+14x2+42x+128 R = 378 5b) C = 5x4-8x3+ 12x2-14x+14 R = -95c) C = 3x5-3x4+3x3-3x2+3x-3 R = 6

5d) C = x3+ x2- x- R= 5e) C = x3+ x2- x- R=

6)6a) (x-1)(x+1)(x+2)(x-2)(x+3) 6c) (x-1)(x+1)(x-4)(x+5)6b) (x+2)(x-2)(x+5) (x+3) 6d) (x+2)(x-2)(x+5) (x-3)

7)7a) -3 7b) 8)8a) 8b) 8c) 8d)

9)9a) 9b) 9c) –5 10)10a) x = 1

11)11a) no, resto –64 11b) no, resto 64 11c) si, resto 0 11d) si, resto 0 13)

14)14a) 9b) 9c) 7

15)15a) m = 32

Descomponed en factores

1.- a) a(a2- x2- ax); b) a(2b – 3x + 1); c) (a + b) (3a – 4b); d)

2.- a) (x-3)2; b) (2x – 3)2; c) (x3 –y)2; d) (ab2-y)2; e) ; f) ( x + 3y)2

3.- a) (4x +3y) (4x – 3y); b) (m - n) (m + n); c) ; d) (x

+ a –b) (x – a + b); e) (x –y) (x – 4+ y); f) (2a – b) (-3b)

4.- a) (x -1)(x + 1)(x – 2)(2x – 1); b) (x -1)(x -2)(2x +1); c) (x -7)(x – 2)

5.- a) (x +2)(x2 -2x + 4); b) (y - a)(y2 + ya + a2); c) ; d)

(5a + 1)( 25a2 - 5a + 1)

6.- a) (y + z)(v – x); b) (a + b)(2 – x); c) (a + d)(3b + c); d) (a – b)(x – y); e) (m + n)(a – b); f) (m + x)(m – n)

Hallad el m.c.d. y el m.c.m. de los siguientes conjuntos de polinomios

33

a) m.c.d.= xy (x - y); m.c.m.= 2x2y2(x - y)2(x + y); b) m.c.d. = (a + b) ; m.c.m. = (a + b)2(a - b) (a2 – ab + b2 ) c) m.c.d. = (x - y); m.c.m. = (x + y) (x – y)2xd) m.c.d. = (a + 1); m.c.m. = (a + 1)2(a - 1) (a2 – a + 1 )

Simplificad las fracciones

a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) ;

g) ;

h) -2; i) ; j) ; k) ;

Suma y sustracción de fracciones algebraicas

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5)

6) ;

7) ; 8) ; 9) ; 10) ;

Multiplicación y división de fracciones algebraicas

1) ; 2) ; 3) 1; 4) -3; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ;

SOLUCIONES TEMA 4 (TEXTO)

Pág. 76

1) a) 9 b) 7 c) 6 d) 6 e) 4 f) 82) a) ya está ordenado en forma decreciente b) no es completo faltan los monomios de grado 8,7,6,5,4,1 c) B8x) = 2x9 + 3x8-9x7+ 6x6- x5+ 4x4+ x3 -12x2+ 8x+1

3) a) tiene grado 4 b) A(n) = 4n4 + mn2 + 7n + c) No falta el término de grado 3

4) 9 b) 7 c) 4 d) 2 5) c) 9x7 es el de mayor grado, no hay término independiente

6) a) A(- 1) = b) A (2) = 7) a) A(1) = b) A(2) =

8) El valor numérico de un polinomio cualquiera para x = 0 es el valor del término independiente9) El polinomio nulo. Ej. : (5x3-3x + 6) +(-5x3+3x - 6) = (0x3-0x + 0)10) a) A(x) + B(x) = 5x4 + 20x3 - 6x – 6 ; A(x) - B(x) = x4 -10x3 - 6x + 10

a) A(x) + B(x) = x4 + x3 - 2x ; A(x) - B(x) =2x5 - x4 + x3 - 2x +

a) A(x) + B(x) = x6 –x5 + 2x4 + 5x3 - 9x + 3 ; A(x) - B(x) = x6 +5x5 - 6x4 - 5x3 + 7x - 1 11)

34

Grado de A(x) Grado de B(x) Grado de A(x) + B(x) Grado de A(x) – B(x)4 4 4 45 5 4 56 5 6 6

El grado de la suma o la resta es siempre igual al grado del polinomio de mayor grado, excepto cuando tengan el mismo grado y coeficientes opuestos que en la suma bajaría de grado o cuando tengan el mismo grado y coeficientes iguales que en la resta bajaría de grado

12) a) x6 + 7x4 - 22x3 - x2 + 10x + b) x6 - 5x4 -18x3 - x2 - 4x +

c) x6 + 5x4 - 22x3 + x2 - 4x +

13) a) 6x7 + 10x6 – 12x4 + 4x3 b) – x10 – 4x8 + 2x6 –x5 c) x7 + 3x6 – 3x5 - x2 + x

d) 35 a4 – 56 a2 + a

14) a) X5+10 X4 - X3 - 85X2 + 78X -16 b) 9 x7 + X5 - X3 +9 X2 +X-

c) 5x9 + 18x8 - 18x7 -14x6 +20 X5 -9X4 + 5X3 + 8X2 -10X + 2

15) a) 10 b) 5 c) 12 d) 10,15, - 12

16) a) (5x5 + 4x3 – 6x + 2) · 2x4 b) x4 +2x3 - x + 5) · ( 3x2 )

17) a) A(x) · B(x) = B(x) · A(x) (3x4 + 5x3 ) · (15x3- 8) =(15x3- 8) · (3x4 + 5x3 )45x7+ 75 x6- 24 x4 – 40 x3 = 45x7+ 75 x6- 24 x4 – 40 x3 b) A(x)·B(x)· C(X)=A(X)· B(x)·C(X) (3x4 + 5x3 ) · (15x3- 8) · (-2x +3) = (3x4 + 5x3 ) · (15x3- 8) · (-2x +3) -90x8 -15 x7 + 225x6 + 48x5 + 8x4-120x3=-90x8 -15 x7 + 225x6 + 48x5 + 8x4-120x3

c) A(X)· B(x)+C(X)= A(x)·B(x)+ A(x)· C(X) (3x4 + 5x3 ) · (15x3- 8)+ (-2x +3) = (3x4 + 5x3 ) ·(15x3- 8) +(3x4 + 5x3 ) · (-2x +3) 45x7+75x6-6x5-25x4 -25x3=45x7+75x6-6x5-25x4 -25x3

18) a) 5x2(3y - 4z) b) xy (y2 + 8y - 6) c) no hay, se puede hacer así : x(6x2 - 3y + 2xy)-3y2 o bien y(-3x + 2x2 - 3y) + 6x3 d) z(6z +10y -2 +2z - 4y2) = z(-4y2 +10y +8z – 2)19) a) x2 + 4x + 4 b) 16 + 8y + y2 c) 4a2 + 12a + 9 d) 36 + 12z + z2 e) x2 - 4x + 4 f)) 16 - 8y + y2 g) 4a2 - 12a + 9 h) 36 - 12z + z2

20) a) 4 x2 + 12x y + 9y2 b) ) a2 + a + c) x2 + x + 4 d) z2+ za + 4a2

e) 4m2 -4mn +n2 f) 4c2 + c + g) x2 - xz + 4z2 h) z2+ 3zx + x2

21) a) 8m3 -12m2n +6mn2 – n3 b) 8c3+ c2 + c +

c) x3 - x2z +4xz2 – 8z3 d) z3 + z2x + zx2 + x3

22) Sale de efectuar (a+b) · (a+b)2

23) a) a2- 1 b) 4ª2 - 9 c) 25x2 - 1 d) 16ª2- 424) a) (2x+3)(2x-3) b) (1 – 4x)2 c) (b - 3)3 d) (5x +4y)2

25) a) C(x) =x2- 7x + 24 ; R=-74 b) C(x) = x3+ 2x2- x – 4; R =- 8c) C(x) = x3 -12x ; R(x) = 95x d) C(x) = 2x3+ 8x2+ 14x + 20; R(x) =31x + 5 26) a) b) x2 - 10x + 25 Sí, B(x) es divisor de A(x) c) 0 , la división es exacta27) a) x-1 b) Se obtiene el polinomio A(x), porque B(x) y el polinomio x2 - 10x + 25 son divisores de A(X)28) a) C(x) =x2- 7x + 24 ; R = -74 b) C(x) = x3+ 2x2- x – 4; R = - 8 c) C(X) = x4 -5 x3 + 18x2 -90x +485; R = - 2425 d) C(x) = x2 + x + 6 ; R = 31

35

29)a)b)C(x) = x2 – 10x + 25 c)R = 0, la división es exacta d)Sí,B(x) es un divisor de A(x)30) a) C(x) = x2 – 6x + 5 R = 0 b) C(x) = x-1 R = 031) Nos da A(x) = x3 - 11x2 + 35x – 25, Luego (x-1) y (x-5)2 son los divisores de A(x)32) a) x6 - 2x5 + x3 +7x2 - 21x + 15 b) –x3 + x2 +19x + 9 c) x-133) a) No puede ser una raíz porque no es divisor de 36 b) Todos los divisores de 3634) a) Las posibles raíces son -1, - 2, - 4, 1, 2, y 4; Como B(-1) = 6, B(- 2) = 0, B(- 4) = - 60 B(1) = 0, B(2) = 0 B(4) = 36 las raíces son - 2, 1, 238) a) No se puede simplificar. Se podría si el denominador fuese x3 – x2 + 4x – 4 y

que daría b) No se puede simplificar c) d)

Practica tú

1) 11 y 1 2) 0 y 1 ; 14 y 15

Actividades2) Son monomios los apartados a) y c)3)

Monomio Coeficiente Parte literal Grado - 3xz - 3 xz 212x3zy2 12 x3zy2 6 abc4 1 abc4 6

x

1

4) a) 19x b) c) – 2x4 d) zy

5) a) 12x3y2z2 b) 45z9x3 c) 12x2z4y d)

6)

8) a) 11 b) 8 c) 6 d) 10 e) 7 f) 8

9) a) No es completo, faltan los de grado 6, 3, 2 y 0; A(x) = x7 – x5 + 3x4 + 10x

b) el coeficiente principal es y no tiene término independiente o de grado 0

c) A(x) = x7 – x6 – x5 + 3x4 + 5x3 -11x2 + 10x + 8

10) a) A(-2) = - 85 b) A(1) = - 4 c) A(2) = - 1

11) a) A (1) = 6 b) A (2) = c) A(-1) =

12) a) Es de grado 4, A( c) = 7ab2c4 - 2c3a + a3b b) No, faltan los términos de grado 2 y 1

13) a) Es de grado 4, A(n) = 4n4 + mn2 +7n + m b) No, falta el término de grado 3

14)Para x = 1 es la suma de los coeficientes de los términos del polinomio. Par x = 0 el valor numérico es el término independiente15) a) P(x) = x + (x+1) b) P(x) = x(x-1) c) P(x) = x2 + x3 d) P(x) = x(x+3)

16) a) x5 + x4 + 6x3 - 6x - 5 b) 3x5 + 25x4 + x3 + 6x2 - x +

17) a) x5 - x4 - 4x3 - 10x + 7 b) x5 - 15x4 - x3 + 8x2 - x +

36

18) No se obtiene el mismo resultado pues la resta no tiene la propiedad conmutativa A(x) – B(x) B(x) - A(x)19) a) x6 - x5 + 2x4 + 5x3 - 6x +6 b) x6 - x5 + 2x4 + 5x3 - 6x +6 c) Sí, es la propiedad asociativa de la suma d) x6 - x5 + 2x4 + 5x3 - 12x e) x6 + 5 x5 - 6x4 - 5x3 + 10x + 2 f) x6 + 5 x5 - 6x4 - 5x3 + 4x - 4 20) a) –A(x) = -x7 - 3x5 + x4 + x - 1 b) El polinomio nulo 21) a) (5x5 + 4x4- 6x+2)+(-x5+ x4-2x -3)= - 4x5 + 5x4 - 8x+(-1)

b)

22) a) 15x7 + 12x5 - 18x3 + 6x2 b) 4x10 + x9 -2x6 – 3x5

c) d) 6a4 -7a2+ a

23) a) x4 – x3 – x2 + 10x b) 9x8 + x6 - x5 -18x4 + x3 +x -

c) 4x8 + 12x7 -7x6 -8x5 + 4x4 +3x3 + x2 - x + 124) a) - 14x5 – 27x4 - 9x3 b) 4x5 + 6x4 - 10x3-15x2 c) - 14x4 – 6x3 + 35x2 + 15x d) Sí, pues es la propiedad conmutativa e) - 28x7 - 54x6+ 52x5 +1 35x4 + 45x3 f) No, pues es la propiedad asociativa g) -10x5 -21x4 -19x3 -15x2 h) -10x5 -21x4 -19x3 -15x2 i) Sí, Pues es la propiedad distributiva25) El 1 monomio de grado 0 y coeficiente 1, siempre existe26)En general no, sólo se puede hallar el inverso de un monomio de grado 0

27) a) 9x2 + 24xy + 16y2 b) 9b2 + 4b + c) d)

28) a) 16z2 +16zx + 4x2 b) c) d) 9y2 + 9xy+ x2

29) a) b) 4x2 -

30) Se efectúa (a- b) (a - b)3

31) a) x3 + 9x2 + 27x +27 b) 125 +75z +15z2 + z3 c) x3 - 9x2 + 27x - 27 d) 8 - 12z +6z2 - z3

32) a) 64z3 – 96z2x + 48zx2- x3 b)

c) d)

33) a) (x – 2)2 b) (x + 4)2 c) (x + 6)2 d) (2x – 3)2

34) a)(x+1)(x-1) b) (x + 6)(x– 6) c) (2x + 5)(2x-5) d) (1+ 3x)(1– 3x) e) (x + 1)3 f) (x-2)3


36) a) b) c) No se puede d)

37) a) C(x) = x4 - x3 - x2 + 2x – 2; R = -3 b) C(x) = x3 + 4x2 + 11x + 33; R = 99 c) C(x)= x3 + 4x2 + 13x +60; R = 240 d) C(x) = x + 8; R = - 11 38) a) C(x) = x + 2 ; R(x) = - 4x – 8 b) C(x) = x2-6x +3 ; R(x) = - 16x + 9c)C(x) = x4 + 2 x3 - 3x2 - 16x – 17;R(x) = 51x +90 d) C(x) =2x2 + 3x + 9 ; R(x) = 21x +33 39) a) C(x) = x4 - x3 - x2 + 2x – 2; R = -3 b) C(x) = x3 + 4x2 + 11x + 33; R = 99 c) C(x)= x3 + 4x2 + 13x +60; R = 240 d) C(x) = x + 8; R = - 11

40) a) b) C(x) = x2 – 9 c) R = 0, la división es exacta d) B(x) es divisor de A(x)41) a) C(x) = x – 2 b) A(x) pues es su descomposición factorial42) A(x) = x3 - 2x2 - 9x +18 pues x2 - 9 = (x + 3)(x – 3) 43) a) x6 - 4x5 + x4 - 4x3 + x2 + 33x – 13 b) -5x3 +x2 +18x +1

c) d) x -2

37

e) C(x) =

44) Sí, son divisibles

45) C(x) =


47) a) m = 10 b) m = c) m =

48) a) no, porque 4 no es divisor del término independiente. b) 1, - 1, 2, -2 c) 1, -1, 2 d) A(x) = (x-1)(x+1)(x-2)49) a) Las raíces son 1, 3 y - 3 b) B(x) = (x-1)(x- 3)(x + 3)50) a) 1, - 1 y – 2 b) A(x) = 3(x-1)(x+1)(x+2) 52) a = - 33 53) a = -8

54) a) 3(x + 2) b) No se puede c) d) 55) Actividad resuelta

Prueba tu ingenio

El área del triángulo El área del rombo

38

TEMA 5

ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES

Ecuaciones de 1 er grado

a) b )

c) d)

e) f)

g) h)

i)

Ecuaciones de 2º grado

a) x2 - 11x + 28 = 0 b) 10x2 - 7x + 1 = 0 c) 8x2 - 10x + 3 = 0

d) x2 - 15x + 56 = 0 f) 16x2 - 10x + 1 = 0 g) 18x2 - 21x + 5 = 0

h) i) . j)

k)

l) m)

n) o) . p)

q)

r) s)

39

t)

u)

v). w)

Ecuaciones bicuadradas

a) 400x4 - 41x2 + 1 = 0 b) 225x4 - 61x2 + 4 = 0

c ) 4x4 - 101x2 + 25 = 0 d) 16x4 - 73x2 + 36 = 0

e) 2500x4 - 925x2 + 9 = 0 f) 4x4 - 65x2 + 16 = 0

g) x4-17x2+16 = 0 h) x4-26x2+25 = 0 i) x4-10x2+ 9 = 0

j) x6-9x3 + 8 = 0 k) x6-7x3-8 = 0 l) x6-28x3 + 27 = 0

Sistemas

Resuelve por sustitución los siguientes sistemas:

a) b) c)

Resuelve por igualación los siguientes sistemas

d) e) f)

Resuelve los siguientes sistemas por el método de reducción:

g) h) i)

Resuelve por reducción

j) k)

Resuelve los siguientes sistemas:

l) m) n)

40

o) p) q)

r) s) t)

u) v) w)

x) y) z)

PROBLEMAS DE PLANTEO

Problemas de números 1.- El doble de un número es igual a 38. ¿De qué número se trata? 2.- Al sumar seis unidades al triple de un número, se obtiene 33, ¿Qué número es?3.- La suma de dos números consecutivos es 121 ¿Qué números son?4.- Calcula un número cuya tercera parte, sumada con el doble de ese número, es igual a 14.5.- Si a un número se le suma su tercera parte, se obtiene 148. ¿Cuál es ese número?6.- Dos números suman 100, y el mayor supera al menor en 10 unidades. Calcula los dos números.7.- Calcula un número cuya tercera parte, sumada con el triple de ese número dé como resultado 40. 8.- Halla dos números impares consecutivos cuya suma sea 80.9.- Una fracción (razón de dos números) es equivalente a 3/4, Si se suman 10 unidades al numerador y 10 al denominador, la fracción que resulta es equivalente a 11/14. Halla la fracción.10.- Si sumamos 5 unidades al doble de un número el resultado es el mismo que si le sumamos 7 unidades. ¿Cuál es el número?11.- La suma de tres números naturales consecutivos es 84. Halla dichos números.12.- La suma de dos números es 24, y el doble del primero menos el segundo es 6, ¿Cuáles son estos números?13.- Descompón el número 1000 en dos números de manera que al dividir el mayor entre el menor el cociente sea 2 y el resto 220.14.- Una fracción es equivalente a 3/5, y, si aumentamos el denominador una unidad y disminuimos el numerador en dos unidades, la nueva fracción es equivalente a 4/11. ¿De qué fracción se trata?15.- Dividir el número 77 en dos partes de modo que una de ellas dividida por la otra dé un cociente de 2 y un resto de 2.16.- ¿Qué número hay que sumar a la fracción 11/5 para obtener las 3/5 partes del número que se ha sumado?17.- La suma de dos números impares consecutivos es 104 ¿Cuáles son los dos números?18.- Los cuadrados de dos números consecutivos se diferencian en 23 unidades. ¿Cuáles son los dos números?19.- Si aumentamos en ocho unidades el quíntuplo de un número, obtenemos 7 veces ese número. ¿Cuál es?20.- Si sumamos los números anterior y posterior a uno dado, y lo dividimos todo entre dos, obtenemos el mismo número.¿ Qué número es?21.- La diferencia de los cuadrados de dos números consecutivos es 9 ¿Cuales son los dos números?

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22.- Los dos tercios de un número exceden en dos unidades a la mitad de ese número, ¿Cuál es?23.- Lucia le dice a Gema: “Piensa un número, ¿ya lo tienes? Vale, ahora multiplícalo por 4 y súmale después 6. ¿De acuerdo? Calcula sus tres medios y dime lo que te sale”. Gema le responde que el número obtenido es el 33 ¿En qué número pensó Gema?24.- Las dos cifras de un número suman 12. Si se suman 48 unidades al cuadrado de dicho número se obtiene un tercio del cuadrado del cuadrado del número que resulta de invertir el orden de las cifras del primero ¿Cuál es ese número?25.- Las dos cifras de un número suman 11 y el producto de dicho número por el que se obtiene de invertir el orden de las cifras es 3154 ¿Cuál es ese número?26.- Halla dos números cuya suma es 175, y 5 veces el menor es igual al mayor aumentado en 11.27.- Divide 65 en dos partes, de modo que la mayor tenga dos unidades más que el duplo de la menor.

28.- Halla la fracción que vale 1

3 cuando se añade uno al numerador, y que vale si

se añade uno al denominador.29.- El triple de un número más el cuádruple de otro es 10 y el cuádruple del primero más el segundo es nueve ¿Qué números son?30.- Encuentra dos números cuya suma sea igual a 100 y su diferencia 4631.- Divide el número 38 en dos partes, de modo que la suma del duplo del mayor con 8 veces el menor sea igual a 100.32.- La suma de dos números es 50. Calcula dichos números si siete veces el menor es igual al duplo del mayor disminuido en uno33.- Un número excede en tres unidades al duplo de otro. La diferencia entre cinco veces el menor y el duplo del mayor es igual al cuarto. Calcula ambos números.34.- Halla un número cuyas dos cifras suman 11 y sabiendo que si se escribe invirtiendo el orden de sus cifras, el número disminuye en 63 unidades.35.- Un número de dos cifras es igual al triple de la suma de dichas cifras más tres. Si se invierte el orden de sus cifras, el número que resulta vale el séptuplo de la suma de sus cifras más nueve ¿Cuál es el número dado?36.- Halla dos números, sabiendo que están en la proporción de cinco a tres y que si se restan 10 del primero y se aumentan 10 al segundo la proporción en que se hallan es inversa de la anterior.37.- Halla dos números tales que si se divide el primero por cinco y el segundo por cuatro, la suma de los cocientes es 6; y si se multiplica el primero por tres y el segundo por dos la suma de los productos es 69.38.- La suma de dos números es 21. si de ocho veces el primero más el segundo se resta ocho veces el segundo más el primero, la diferencia es 63. ¿Cuáles son esos números? 39.- Un número está formado por dos cifras cuya suma es 9. Si se invierte el orden de colocación de las cifras, resulta otro número que es igual a cuatro veces el primero más 9 ¿De qué número se trata?

40.- La suma de un número más su inverso es Halla el número

Problemas de edades

1.- La suma de las edades de cuatro hermanos es 34 años. Averigua la edad de cada uno sabiendo que se llevan, consecutivamente, tres años cada uno.2.- Un hijo tiene 25 años menos que su padre. Dentro de 10 años la edad del padre será doble de la edad del hijo. ¿Qué edad tiene cada uno?3.- Un padre tiene 38 años y su hijo 10. ¿Dentro de cuántos años la edad del padre será tres veces la de su hijo?4.- Un hijo tiene 30 años menos que su padre y éste tiene cuatro veces la edad de su hijo, ¿Qué edad tiene cada uno?

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5.- Las tres cuartas partes de la edad de Luis, más sus seis quintas partes nos da como resultado un año menos que el doble de su edad. ¿Qué edad tiene? 6.- Hace 10 años la edad de Alicia era la mitad de la de Santiago, pero hoy en día, la edad de Santiago es los 16/9 de la de Alicia. ¿Cuáles son las dos edades?7.- La edad de un alumno es el triple de la que tenía hace 8 años. ¿Cuál es esa edad?8.- La edad de una madre es triple de la de su hijo, Dentro de 10 años su edad será del doble. ¿Qué edad tiene cada uno?9.- La suma de las edades de dos hermanos es 18 años. Si uno de ellos tiene doble edad que el otro ¿Cuántos años tiene cada uno?10.- Un padre tiene el triple de edad que su hijo. Si entre los dos suman 48 años ¿Cuántos años tiene cada uno?11.- Dentro de tres años, la edad de Juan será el triple de la de Cristina, y hace dos años la edad de Cristina era la octava parte de la de Juan ¿Cuántos años tiene cada uno?12.- Un padre tenía 25 años cuando nació su hijo La media geométrica de las edades de ambos supera en 10 al número de años del hijo. Halla las edades actuales de los dos.13.- La suma de las edades de un padre y de su hijo es de 42 años. Dentro de nueve años la edad del padre será tres veces la del hijo. ¿Qué edad tienen ahora el padre y el hijo?

Problemas de geometría

1.-La proyección de un triángulo rectángulo sobre la hipotenusa mide 54 cm y la suma de la altura con la proyección del otro cateto sobre la hipotenusa mide 60 cm ¿Calcula dicha proyección?2.- El perímetro de un triángulo rectángulo mide 90 m y el cateto mayor, 3 m menos que la hipotenusa. Halla los tres lados del triángulo.3.- Determina las dimensiones de un rectángulo cuya superficie mide 8 m2, sabiendo que una diagonal mide 2 5 m.4.- La razón entre los lados de dos cuadrados es tres y la suma de los cuadrados de sus diagonales es 100 cm2. Averigua dichos lados.5.- Tres segmentos miden, respectivamente, 8, 22 y 24 cm. Si se añade a los tres una misma longitud, el triángulo construido con ellos es rectángulo. Halla dicha longitud.6.- La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 13cm. Averigua las longitudes de los catetos sabiendo que su diferencia es 7 cm.7.- Si se aumenta la longitud de un cuadrado en cuatro metros, y la anchura en 1’5 m, resulta un rectángulo cuya área es igual a la del cuadrado aumentada en 28 m2, Calcula el lado del cuadrado.8.- Calcula la medida de los lados de un rectángulo tal que si se aumenta la base en 5 m y se disminuye la altura en 5 m, el área no varía, pero si se aumenta la base en 5 m y se disminuye la altura en 4 m, el área aumenta en 4 m2.

Problemas varios:

1.- Queremos repartir un dinero entre varios chicos. Si damos 10€ a cada uno sobran 1’5 €., mientras que si les damos 12’5 € faltan 3’5€. ¿Cuántos chicos hay? ¿Cuánto dinero tenemos?2.- Beatriz se ha gastado 345 € al comprar una cazadora para Juan y otra para Laura. La de Juan costó 35 € más que la de Laura. ¿Cuánto costó cada una?3.- Calcula el número de ovejas de un redil sabiendo que se han contado 348 patas.

4.- EL tronco de un gato mide de largo de su longitud total y la cabeza mide igual

que la cola, 6 cm. ¿Cuánto mide el gato?

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5.- Un poste de teléfono tiene bajo tierra 2/7 de su longitud y la parte exterior mide 8 m. ¿Cuánto mide en total el poste? 6.- Un grupo de amigos prepara un fondo común de 1000€ para organizar la acampada de las vacaciones. A última hora, algunos amigos no pueden ir al campamento, por lo que los 10 amigos que van a asistir deben pagar 37’5 € más. ¿Cuántos amigos pensaban irse de vacaciones al principio?7.- Una empresa de alimentación ofrece a sus clientes dos tipos de cesta de Navidad, la especial y la extra. La extra cuesta el doble que la especial, pero, si no tenemos en cuenta el coste de la cesta (25 €), la especial costaría tres veces menos que la extra. ¿Cuánto vale cada cesta?8.- Julia e Iván van de compra. A Julia le gustan los yogures de frutas que se venden en paquetes de 2 unidades, mientras que Iván prefiere los desnatados que se venden en paquetes de 4 unidades. Si entre los dos han comprado 15 paquetes de yogures, que son 44 unidades, ¿cuántos yogures ha comprado cada uno?9.- Diez vecinos de un barrio, dueños de coches y motos, encuentran todas las ruedas pinchadas, En el taller les dicen que hay que cambiar en total 34 neumáticos. ¿Cuántas motos y cuántos coches había? 10.- La caja de un despacho de aceite arroja al día el siguiente resultado: 820 botellas vendidas, 2730 € ingresados. Si en ese despacho se vende la botella de aceite de 1º a 3’1 € y la de 0’4º a 3’6 €, ¿Cuál es el número de botellas que se han vendido de cada clase?11.- Tres amigos tienen en total de 1260 € El primero tiene doble cantidad que el segundo, y éste el triple que el tercero ¿Cuánto dinero tiene cada uno?12.- Escribe una ecuación de segundo grado, suponiendo que la media aritmética de sus raíces es -5 y su media proporcional 4.13.- En un recorrido de 150 Km, un ciclista llegaría dos horas y media antes si llevase una media de 5 km más por hora. Averigua el tiempo que tarda en el recorrido.14.- Un barquero sube por un río 1800 m. Para bajar emplea 9 minutos menos que para subir, pues la corriente aumenta la velocidad en 100 metros por minuto respecto ala velocidad que llevaba al subir ¿Cuál es el tiempo que emplea en subir? ¿Y en bajar?15.- Dos grifos vierten a la vez en un depósito y tardan dos horas en llenarlo. ¿Cuánto tiempo empleará cada grifo en llenar dicho depósito sise sabe que el segundo tarda tres horas más que el primero en llenarlo?16.- Al mezclar dos líquidos, se obtiene un volumen de 5 litros cuya densidad es de 0’85 kg por litro. Averigua el volumen de cada uno de los líquidos que se han mezclado, sabiendo que sus densidades son 0’7 y 1’2 kg por litro, respectivamente.17.- Si mezclamos un tipo de café de 5’76 € por kg con otro de 7’44 € por kg, conseguimos 24 kg fe café que se vende a 6’46 € por kg ¿Qué cantidad de cada clase de café se ha mezclado?18.- Tenemos dos capitales de 30 000 y 70 000 de €, depositados a distintos réditos, que juntos producen 4 300 € cada año. Si los réditos se invierten, los intereses de un año suman 4 700 € Halla los dos réditos19.- Un buque navega a razón de 20 km por hora en un río cuando lleva la dirección de la corriente. Si va en dirección contraria a la corriente, recorre 12 km por hora. Halla la velocidad del agua del río y la del buque en agua tranquila.20.- Disponemos de dos clases de billetes. Cinco billetes de la primera clase y veinte de la segunda suman 300€; cuatro billetes de la primera y cuatro de la segunda suman120€. ¿Cuál es el valor de un billete de cada clase?21.- Dos personas han hecho una apuesta de 20 €. Si gana la primera, tendrá, después de cobrar los 20€, el triple dinero que la segunda. En el caso contrario, las dos tendrán igual.¿Cuántos euros tenía cada una antes de hacer la apuesta?

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SOLUCIONES TEMA 5

Soluciones de las ecuaciones de primer grado

a) x = 3; b) x = 2; c) x = 6; d) x = 10; e) x = 9; f) x = 7; g) x = 5; h) x = 5; i) x = 8

Soluciones de las ecuaciones de segundo grado

a) x = 7, x = 4; b) x = , x = ; c) x = , x = ; d) x = 8, x = 7; f) x = , x = ;

g) x = , x = ; h) x = 2, x = ; i) x = 6, x = ; j) x = 5, x = ; k) x = 5, x = ;

l) x = 10, x = ; m) x = 2, x= ; n) x = 5, x = ; o) x = 2, x = - 5; p) x =4, x = 3;

q) x = 2, x = ; r) x = 7, x = ; s) x = 1; t) x = , x= ; u) x = -1, x = -3

v) x = 5, x = -1 w) x = , x = 4

Soluciones a las ecuaciones bicuadradas

a) x= , x=- , x = , x = - b) x = , x = - , x = , x = -

c) x= 1, x = -1, x= , x = - d) x = 2, x = -2, x = , x

e) x= , x = - , x = , x= - f) x = 4, x = -4, x = , x = -

g) x = 4, x = -4, x = 1, x = -1 h) x = 5, x = -5, x = 1, x =-1

i) x = 3, x = -3, x = 1, x = -1 J) x = 2, x = 1 K) x = 2, x = -1 l) x = 3, x = 1

Soluciones de los sistemas

a) x = 2, y = 1; b) x = 3, y = 1; c) x = 5, y = 0; d) x = 1, y = 2; e) x = -2, y = 5; f) x =

4,y = 9; g) x = 2, y = 4; h) x = 9, y = 6; i) x = , y = ; j) x = 9, y = 10; k) x = 1, y =

11;l) x = 8, y = 4 ; x = 4, y = 8; m) x = 11, y = 4; x = - 4, y = -11;

n) x = 5, y = 3; x = , y = - 10; o) x = 10, y = 3; x = , y = - 4;

p) x = , y = 4; x = - 6, y = - 3; q) x = 9, y = 10; x = - 6, x = - 15; r) x = 6,

y = 4; x = - 8, y = -10; s) x = 13, y = 12; t) x = 3, y = 4; x

= , y = ; u) no tiene solución real; v) x = 5, y =

2; x = , y = w) x = 5, y = 6; x = 3, y = 2; x) x = 7, y = 11;

y) x = 7, y = 11; z) x = 11, y = 7

Soluciones de los problemas de planteo

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Problemas de números

1) Sea x el número. Solución: x =19 2) Sea x el número. Solución: x = 9

3) Solución: 60 y 61 4) Sea x el número. Solución : x =6

5) Sea x el número. Solución : x = 111

6) Sea y el mayor, x el menor

Planteo: x=45, y=55 Solución; el mayor 55, el menor 45

7) Sea x el número. Solución: x = 12 8) Solución: 39 y 41

9) Sea la fracción Planteo: Solución:

10) Sea x el número. Solución: x =2 11) Solución: 27, 28 y 2912) Sea un número x, el otro y

Planteo: x=10, y=14 Solución: Los números son 10 y 14

13) Sea x el mayor, y el menor


14) Sea la fracción Planteo: Solución:



16) Sea x el número.

Planteo: x=11 Solución: el número es 11

17) Solución: 51 y 53 18) Solución: 11 y 13

19) Sea x el número. Planteo: 5x + 8 = 7x Solución: 4

20) Es una identidad 21) Solución : 5 y 6





24) Sea x la cifra de las decenas e y la de las unidades, el número será: 10 x + y. El número que resulta de invertir el orden de las cifras:10 y +x

Planteo: Solución: 48


47

Planteo: Solución: 38 ó 83

26) sea x el mayor, y el menor


27) Si la parte mayor es x la menor será 65- xPlanteo: x – 2 = 2 (65 – x) Solución: una parte es 44 y la otra 21

29) Sea un número x, el otro y




31) Si la parte mayor es x la menor será 38- xPlanteo: 2x+8(38 – x) = 100 Solución: una parte es 34 y la otra 4










Planteo: x=25, y=15 Solución: los números son 25 y 15


48

Planteo: x=15, y=12 Solución: los números son 15 y 12


Planteo: x=15, y=6 Solución: son el 15 y el 6




Planteo: x=6 Solución: el número es 6 ó

Problemas de edades 1) Solución: 4, 7, 10 y 13

2) Edad del hijo x, la del padre x+25Planteo: 2(x + 10) = x + 35 x=15 Solución: el hijo 15, el padre 40

3) Sea x el número de añosPlanteo: 3(x + 10) = x + 38 x=14 Solución: 4

4) 2) Edad del hijo x, la del padre x+30Planteo: 4x = x + 30 x=10 Solución: el hijo 10, el padre 40

5) Sea x la edad de Luis Solución: 20

6) Edad de Alicia x, la de Santiago y

Planteo: Solución: Alicia 45, Santiago 80

7) Sea x la edad del alumno. Solución: 12

8) Edad del hijo y, la de la madre x, dentro de 10 años la edad del hijo y+10 y la del padre x+10

Planteo: x=30, y=10 Solución: el hijo 10, el padre 30

9) Sea x la edad del mayor, y la del menor


10) Edad del hijo y, la del padre x


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11) Edad de Cristina y, la Juan x, dentro de 3 años la edad Cristina y+3, la de Juan x+3, hace 2 años la edad deCristina y-2, la de Juan x-2

Planteo: x=18, y=4 Solución: Cristina 4, Juan 18

12) Edad del hijo x, la del padre x+25Planteo: x=20 Solución: el hijo 20, el padre 45

13) Edad del hijo y, la del padre x, dentro de 9 años la edad del hijo y+9 y la del padre x+9


Problemas de geometría

1) Sea x la proyección, h la altura, luego x = 60-hPlanteo: por el teorema de la altura h=36Solución x=24

2) Sea x el cateto mayor, la hipot. x+3, el cateto menor

Planteo: x=36 Solución: 36, 38 y 15

3) Sea x un lado e y el otro.

Planteo: x=4, y=2 Solución:las dimensiones son 4 y 2

4) Si un lado es x , el otro lado será 3x pues y sus diagonales serán:

Planteo:

5) Sea x la longitud añadida, los catetos serán 22+x y 8 +x, la hipotenusa 24+x. Planteo: x = 2

6) Si un cateto es x el otro será x+7Planteo: x = 5 la longitud de los catetos es 5 y 12

7) Sea x el lado del cuadrado, las dimensiones del rectángulo serán x+4 y x+1’5 Planteo: (x+5)(x+1’5) = x = 4 Solución: el lado mide 4

8) Sea x la base, y la altura

Planteo: No tiene solución

Problemas varios

1) Sea x el nº de Chicos. Planteo: 10x+1’5 = 12’5x-3’5 Solución: 2 chicos 21’5€

2) Sea x la de Laura. Planteo x + (53+ x) = 345 Solución La de Laura 155€ y la de Juan 190€

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3) Sea x el nº de ovejas. Solución: 87

4) Sea x la longitud. Solución: 24cm

5) Sea x la longitud. Solución: 11’2 m

6) Sea x el nº de amigos y, lo que pagaban

Planteo: x= 14 , y = 62’5 Solución: 14

7) Sea x el coste de la extra, y el de la especial

Planteo: x=100, y=50

8) Sea x los paquetes de 2, y los de 4

Planteo: x=8, y=7 solución 16 de frutas y 28 desnatados

9) Sea x las motos , y los coches

Planteo: x=3, y=7 solución 3 motos y 7 coches

10) Sea x de iº , y de 0’4º

Planteo: x=444, y=376 solución 444 de 1º y 376 de 0’4

11) Sea x la cantidad del 3º Planteo : x+3x+2(3x)=1260 Solución : 126, 378 y 756

12) Sean x, y las raíces. Planteo Solución x2 + 10x + 16 = 0

Planteo: x=3 Solución El primero 3 horas, el segundo 6

13) Planteo: Solución: 10 h

14) Planteo: t= 18 Solución:

16) Sea x el volumen se un líquido, y el del otro

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Planteo: x= 3’5, y=1’5 Sol.: 3’5 del 1º y 1’5 del 2º

17) Sea x los kilos del primer tipo, y los del otro

Planteo: x= 14, y=10 Sol.: 14 del 1º y 10 del 2º

18) Sea x el rédito primero, y el segundo

Planteo: Solución x=5%, y=4%

19) Sea x la velocidad del buque, y la velocidad de la corriente.

Planteo: x=16, y=4 Solución: v buque 16 , v corriente 4

20) Sea x los billetes de 1ª clase, y los de 2ª clase

Planteo: x=20, y=10 Solución: son de 20 y 10 euros

21) Sea x la primera, y la segunda

Planteo: x=100, y=60 Solución: Tenían 100 y 60


Pág. 981) a) 1er grado, una incógnita, 2x- 3=0, b) 2º grado, dos incógnitas, x y – 2y - 4 = 0 c)

2º grado, una incógnita, x2 – 2x + 3= 0 d) 1er grado, una incógnita, -2 + t = 0 e) 1er

grado, dos incógnitas, x -2y – 4 = 0 f) 2º grado, una incógnita, (x - 2) · 2x = 0

2)a) No b) No c) Sí 3) a) 3 b) c) d) Sin solución e) Identidad f)

4) Por ej.:a) 3x = 2 b) 12 = 3x c) x2 = 45) NO, son de distinto grado, la 2ª tiene también la solución x = -2

6) a) x =1 b) x = 6 c) x = d) x = 7) - 34, - 33 y- 32

8) a) x = b) x = c) x = d) x = e) x = -11 f) x =

9) a) 3 y - 3 b) No tiene solución c) 9 y – 9 d) -1 y 3

10) a) x(x- 2) = 0 x = 0 y x = 2 b) x(4x- 5) = 0 x = 0 y x = c) x (7- 17x)= 0 x =

0 y x = d) x(25x +5) = 0 x = 0 y x =

11) a) = 49 >0 dos soluciones: x = 5 y x = -2 b) =- 4< 0 No tiene solución real c)

= 0 una solución: x = 3 12) a) x = 1 b) x = 1 y x =

52

13) a) a = -2, b = - 9, c = 2, completa, x = y x = b) a = 6, b = 0, c = -12,

incompleta, x = y x = - c) a = 12, b = 3, c = 0, incompleta, x = 0 y x = d)

a = -33, b = 0, c = 0, incompleta, x = 0

14) a) x = 3, x = - 3, x = 1 y x = -1 b) x = 2 c) No tiene solución d) x = 0, x = 5 e)

x = 1’3 f) x = 1’36

15) a) x< b) x< c) x 0 d) Cualquier número es solución

16) Solo es solución el número 1017) a) (0, -2), (1, 1), (2, 4), (- 1, - 5) b) (0, - 1), (1, - 2), (2, - 3), (-1, 0) c) (0, -2),

, (2, -1), d) (0, 8), (3, 12), ( -3, 4), (- 6, 0)

18) Gráfico 19) Gráfico, con dos soluciones basta, pues por dos puntos pasa una y una sola recta 20) (0 – 3), (1, - 1), (2, 1)21) a) Es compatible determinado, una solución (1,1) b) Incompatible, no tiene solución c) Compatible indeterminado, infinitas soluciones 22) Gráfico

23) a) b)

c)

24) a) (3, 1) b) c) (1, 3) d) (5, 1) 25) a) (1, 1) b) (2, -1) c) (3, -1) d) (5, 1)

26) a) (6, 8) b) (0, 1) c) d) (1, 0) 27) a) b) (0, -1) c) (4, 4) d) (4, 3)

28) 52 t +37 t = 267 t = 3 h, 156 km 29) x = 20 m

30) (x + 18)2 = 242 + x2 x = 7, miden 7, 24, 25 cm, perímetro 56 cm, área 84 cm2

37) y = 5, x = 10 , hay 5 artículos de uno y 10 de otro, ahorro 5€

38) 180 + 60x<100x, solución los números mayores que 4’ 5; vendiendo 5 0 más artículos conviene cambiar de empresaPractica tú1) 2’10 +0’30x = 28’55 + 0’15x x = 176’33 días, ningún día tendrá el mismo dinero2) 3x- 30 = x + 8 x = 19, 19 años el hijo y el padre 57Actividades

8) a) 4 b) 4 c) 90 d) 2 e) - f) g) h) 9)

10)

13) Por ej. : a) x + y = 2 b) x = x - 2 c) x + 5 = 0 d) x + 2 = 5

14) a) 0 y b) 0 y 12 c) 0 y 4 d) 0 y e) No tiene solución f) 0 y -1 g) 3 y -3

h) i) j) 0 y – 4 15) a) 1 y – 3 b) c)

53

16) a) 3 y b) 6 c) No tiene solución d) 5 y e) 3 y 2 f) y -1 g) h) No

tiene solución i) j) 0 y – 4 17) Gráfico

18) a) 2 y b) 3 y -1 c) y 4 d) 3 y -1 19) Por ejemplo 3x2 + 9x – 30 = 0

20) a) 1, -1, 2 y – 2 b) c) 3 y – 3 d) 1 y -1 e) Sin solución f) g) 3

y - 3 h) i) y 0 j) 0

22) a) los números reales x tal que x>2, b) los números reales x tal que x<2 , c) los números reales x tal que x<2 , c) los números reales x tal que

x d) los números reales x tal que x e) los números reales x tal

que x< , f) los números reales x tal que x g) los números reales

x tal que -1>3 , imposible, no tiene solución h) los números reales x tal que x

i) los números reales x tal que x<2 ,

23) Los números reales menores que – 5 24) El lado menor debe medir más de 20m

25)a) x<0 b) x 0 c) x > d) x<

26) El discriminante es: 18- 8c. Si c = 2, la ecuación tiene una solución. Si c>2, no tiene solución. Si c<2, tiene dos soluciones27) El discriminante es b2+ 4, que es siempre positivo, la ecuación tendrá dos soluciones para cualquier valor de b 28) Gráfico 29) Gráfico

30) a) (3 , 1) b) (1, 1) c) (3, 0) d)

31) a) (3, 4) b) (3, 1) c) d)

32) a) (1, -1) b) c) (2, 2) d) (-1, 1)

33) a) b) (-1, 1) c) d) (1,-1) 34) Gráfico

35) a) Tiene una solución b) tiene una solución

36) a) b) (-1, 5) c) d) (6, 0) e) (11, 13)

37) acertó 6 y falló 4

38) x+ 3x + (2x – 15) = 90 17’5º, 52’5º y 20º

39) 8 amigos, alquiler 960€

40) 24 = x = 2, los lados miden 6, 8 y 10 cm 41) Actividad resuelta

42) 2 y 5 años 43) La alcanza a una distancia de 480 km a las 12 h

44) 90x + 110x = 189 x = 0’945 h = 56 min y 42 s. Se cruzan a las 3h 56min 42s a una distancia del pueblo A de 85’05 km y del pueblo B de 103’95 km 45) Resuelto

54

46)

47)

48)

49)

50) Actividad resuelta 51) x+2 +x+x+2 = 19 x=5 miden 5,7,7 cm

52) 53)

54) Actividad resuelta55) 12x =30 +x x=2 min y 43’6 sSe encuentran por 1ª vez a las 6 h, 32min y 43’6 s56) 12x = 45 + x x = 4 min 5’45s. Forman un ángulo llano a las 3h 49 min y 5’45 s57) 12x = 25 +x x = 2min 16’4 s; se encuentran por ¡º vez a las 5 h 27min 16’4 s

58) 12x = 30 +x x = =2min 43 s, formaran por 1ª vez ángulo recto a las 3h32min

43’6 s; ha transcurrido 32 min y 43’6 s

59) Una entrada de cine 6’36 € y una de teatro 14’36 €

60) 12x = x + 60 x = 5min 27’3s,Estarán en esa posición a las 7h 5min y 27’3 s61) 48x +144x =36 x = 11min 15 s. Se encuentran a las 6h 11 min 15s de la tarde. Recorrido del coche 27 km y del ciclista 9 km 62) Actividad resuelta

63) Los números mayores que 800

64) No tiene solución, no sale entero. Si se pone 51 de exceso sale 23, 24, 25 y 2665) 10x +4 (x + 3) = 82 x =5,cada niño 5€,cada hombre 8€

66)

67) Carlos tenía x = 60 caramelos, le quedan 25

68) (10x +7)+(10 ·7 +x)=132 x=5 El número 57

69) El padre 42 años, el hijo 10 años

70) Juan alcanza a Luis a una distancia se 45 km de la posada, 2 h

y 30’ después de la salida de Juan, a las 10h y 30 min

71) El primer grifo x= 3 h,44 min.55’7 s., el segundo 3h más

72) x + 2x + =11 x = 3, luego 3 de1º, 6 de 2º y 2 de 3º

73) x(x-36) + 4320 = (x+30)(x-16) 96cm base y 60cm altura

Prueba tu ingenio

10’ 73 codos; 150 codos; (50 – 18) pasos

55

TEMA 6

FIGURAS PLANASTEORÍA

POLÍGONOS: Nº de diagonales = ;

Suma de los ángulos interiores =180º (n-2)

POLÍGONOS REGULARES: Ángulo interior =

Ángulo exterior =180º- ángulo interior; Ángulo central = = Ángulo exterior

Resolver los ejercicios siguientes

1.-Calcular cuánto miden los ángulos interiores, exteriores y centrales de los siguientes polígonos:a) Pentágono b) Eneágono c) Hexágono d) Dodecágono e) Octógono f) Pentadecágono g) Decágono h) Icoságono

2.- ¿Cuál es el polígono cuyos ángulos interiores suman 10 rectos? ¿ Y 16 rectos? ¿Cuántas diagonales tiene cada polígono?

3.- ¿Cuál es el polígono que tiene 14 diagonales? ¿Cuánto miden sus ángulos interiores?

4.- ¿Cuál es el polígono que tiene 20 diagonales? ¿Cuánto miden sus ángulos interiores?

5.- Averigua el número de diagonales y la suma de sus ángulos interiores en los polígonos que tienen los siguientes números de lados: 8, 11 y 13

Unidades para las medidas de ángulos

Los ángulos se miden en grados sexagesimales o en radianesGrado sexagesimal es la medida del ángulo central que resulta al dividir la circunferencia en 360 partes iguales. 1 grado sexagesimal es igual a 60 minutos y 1 minuto es igual a 60 segundos 1º = 60’ 1’ = 60’’Por su definición un ángulo central que abarca toda la circunferencia mide 360ºRadian es la medida de un arco que sobre una circunferencia tiene la longitud de su radio. Por su definición un arco que abarca toda la circunferencia mide 2 radianes.

360º = 2 radianes.

ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA

1.- Una circunferencia tiene 4 cm de radio. Halla su longitud. ¿Cuál es la longitud del arco correspondiente a un ángulo central de 30º?

2.- Halla la longitud de un arco AB colocado sobre una circunferencia de 5 cm de radio y al que le corresponde un ángulo central de 25º ¿Cuál es la longitud del arco BA?

3.- ¿Cual es la amplitud del ángulo que abarca un arco de 20 cm sobre una circunferencia de radio 6 cm?

57

4.- En una circunferencia de radio r, un ángulo central mide αº. Expresa la longitud del arco que abarca en función de r y α

5.- Halla la longitud de un arco AB colocado sobre una circunferencia de 5 cm de radio y al que le corresponde un ángulo central de 30º




9.- ¿Cual es la amplitud del ángulo que abarca un arco de 30 cm sobre una circunferencia de radio 8 cm?

10.- Un circulo tiene 6 cm de radio. A) Halla su área b) ¿ Cuál es el área de la porción de disco limitada entre dos radios (sector), que forma un ángulo de 40º?

11.- Un circulo tiene 6 cm de radio un arco mide 6’28 cm. Halla el área del sector determinado por los radios correspondientes a los extremos de este arco.

12.- ¿Puedes adivinar cuánto mide un ángulo inscrito en una circunferencia si conoces la longitud del central correspondiente?

13.- ¿Cuál es la amplitud de un ángulo inscrito que abarca un arco de 68º?

14.- ¿Cuál es la amplitud de un ángulo inscrito que abarca un ángulo central de 140º 8’?

15.- ¿Cuál es la amplitud de un ángulo seminscrito que abarca un arco de 215º?

16.- ¿Cuál es la amplitud de un ángulo inscrito que abarque una semicircunferencia?

17.- ¿Cuál es la amplitud de un ángulo inscrito cuyos lados pasan por los extremos de un diámetro?

18.- ¿Cuál es la amplitud de un ángulo inscrito que, en una circunferencia de 6 cm de radio, abarca un arco de 6’28 cm ?

19.- ¿Cuál es la amplitud del ángulo inscrito formado por una tangente de una circunferencia y el radio que pase por el punto de contacto?

20.- ¿Cuántos arcos determina sobre una circunferencia, un cuadrilátero inscrito? ¿ Y un polígono de n lados?

21.- ¿Cuál es la amplitud del arco correspondiente al lado de un octógono regular, inscrito en una circunferencia?

22.- En una circunferencia dibujamos un ángulo central de 60º y señalamos la cuerda correspondiente. Demuestra que el triángulo que se forma es equilátero. ¿Cuál es la longitud de la cuerda si r = 5 cm?

23.- ¿Cuál es la amplitud del arco correspondiente al lado del triángulo equilátero inscrito en una circunferencia?

58

24.- ¿Cuánto mide el ángulo formado por dos diagonales consecutivas de un hexágono regular trazadas de un mismo vértice?

25.- ¿Cuánto mide el ángulo formado por dos diagonales no consecutivas de un hexágono regular trazadas de un mismo vértice?

26.- Un ángulo exterior determina dos arcos de 157º y 21º50’, respectivamente, sobre una circunferencia. ¿Cuál es su amplitud?

27.- Dos rectas concurrentes son tangentes a una circunferencia, sus puntos de tangencia son A y C. Si el arco AC es de 80º, calcular el valor del ángulo formado por dichas rectas.

28.- Dos rectas concurrentes son secantes a una circunferencia, determinando dos arcos de 12º y 70º . Calcula el valor del ángulo formado por dichas rectas.

29.- Un ángulo interior a una circunferencia determina dos arcos de 125º 8’ y 71º 50’.respectivamente ¿Cuál es su amplitud?

30.- Dos cuerdas de una circunferencia se cortan formando dos arcos de 90º y 30º 4’ 24’’. Calcula el valor del ángulo que forman.

59

TRIGONOMETRÍA

Teoría

Razones trigonométricas de ángulos agudos:

En un triángulo rectángulo en A el seno de un ángulo B es igual al cateto opuesto

dividido por la hipotenusa

En un triángulo rectángulo en A el coseno de un ángulo B es igual al cateto adyacente

o contiguo dividido por la hipotenusa

En un triángulo rectángulo en A la tangente de un ángulo B es igual al cateto opuesto

dividido por el cateto adyacente o contiguo

En un triángulo rectángulo en A la cosecante de un ángulo B es igual a la hipotenusa

dividida por el cateto opuesto

En un triángulo rectángulo en A la secante de un ángulo B es igual a la hipotenusa

dividida por el cateto contiguo

En un triángulo rectángulo en A la cotangente de un ángulo B es igual al cateto

contiguo dividido por el cateto opuesto.

Relaciones entre las razones trigonométricas:

Ejercicios de trigonometría

1.- Los catetos de un triángulo rectángulo miden 5 cm y 9 cm .Calcula las razones trigonométricas de los ángulos agudos.

2.- En un triángulo rectángulo se tiene que el ángulo B = 27º 21’ 24’’. Calcula el ángulo A.

3.- Te dan el triángulo rectángulo ABC de lados 30 cm, 40 cm y 50 cm.a) Dibuja el triángulo semejante más pequeño cuyos lados vengan dados en

centímetros enteros.b) Halla las razones trigonométricas del ángulo más pequeño.c) ¿Cuánto valen los ángulos?

4.- Calcula las razones de 30º, 45º y 60º utilizando el teorema de Pitágoras, y luego compruébalo con las teclas de la calculadora.

5.- Dibuja los ángulos menores de 90º cuyas razones trigonométricas son las siguientes y calcula a continuación el ángulo B

a) sen B = b) cos B = c) tg B = 1

6.- La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 12 cm y uno de los catetos mide 8 cm ¿Cuánto miden los ángulos agudos?

60

7.- En un triángulo rectángulo se tiene que tg B = 2. Halla las otras dos razones trigonométricas y el valor del ángulo B.

8.- Un triángulo tiene por lados 12 cm, 16 cm y 20 cm. Halla los ángulos.

9.- En un triángulo rectángulo ABC se conocen el lado a = 102’4 m y el ángulo A = 55º. Calcula los otros elementos.

10.- Dibuja un triángulo rectángulo. La hipotenusa mide 2 cm y uno de los catetos mide . Halla los valores de los ángulos.

11.- Los catetos de un triángulo rectángulo miden 10 cm y 3 cm. Halla los cuatro elementos del triángulo que faltan.

12.- Si el sen B = 0’3, calcula, aplicando las relaciones fundamentales (sin calculadora), las otras razones de B

13.- Si el cos B = , calcula, aplicando las relaciones fundamentales (sin calculadora),

las otras razones de B

14.- Si el cosec B = 4, calcula, aplicando las relaciones fundamentales (sin calculadora), las otras razones de B

15.- Si el sec B = 2 , calcula, aplicando las relaciones fundamentales (sin calculadora), las otras razones de B

16.- Si el tg B = , calcula, aplicando las relaciones fundamentales (sin calculadora),

las otras razones de B

17.- Si el cotg B = 7, calcula, aplicando las relaciones fundamentales (sin calculadora), las otras razones de B

18.- Calcula el radio, la apotema y el área de un octágono regular de 20 m de lado.

19.- Un grupo de alumnos quiere saber la inclinación de los rayos solares en un instante del día. Para ello clavan una vara verticalmente en el suelo. La parte que sobresale tiene 140 cm y la sombra proyectada mide 200 cm. ¿Cuál es la inclinación de los rayos solares en ese momento?

20.- Los rayos solares forman un ángulo de 45º con el horizonte. Calcula la altura de una torre si la sombra mide 30 m.

21.- La sombra de un árbol es de 20 m y el ángulo que forman los rayos solares con el suelo es de 40º ¿Cuál es la altura del árbol?

22.- Desde un barco cerca de la costa se puede ver la luz de un faro a 1 500 m de distancia bajo un ángulo de 15º con la horizontal. ¿Cuántos metros en línea recta hay que recorrer hasta llegar a la costa?

23.- Decir si son verdaderos o falsos los siguientes resultados: a) sen B = 5 b) cos B = 0’6 c) tg B = 123 d) cotg B = 0’7 e) sec B = 0’4 f ) cosec B = 10

24.- En un trozo recto de carretera aparece una señal de tráfico con la leyenda 12 % ¿ Cuál es el ángulo de inclinación de la carretera? ¿ Y si fuera 18%?

61

25.- Dibuja un triángulo rectángulo. La hipotenusa mide 6 cm y uno de los catetos mide 3 cm ¿ Se puede completar la figura de modo que se forme un triángulo equilátero? Sin hacer cálculos ¿Cuánto miden los ángulos del primer triángulo?

26.- Una cometa está unida al suelo por un hilo de 100 metros, que forma con horizontal del terreno un ángulo de 60º. Suponiendo que el hilo esté tirante, halla la altura de la cometa.

27.- Las autopistas tienen como límite de inclinación un 5% ¿Cuál es el ángulo de inclinación máximo admisible?

28.- En un trozo de carretera recta, la inclinación es 6º ¿ Cuánto sube la carretera en 100 m?

29.- Calcula la longitud de la sombra de la torre Eiffel (altura 300 m ) cuando la inclinación de los rayos solares de 60º.

30.- La base de un triángulo isósceles mide 12 cm y el ángulo desigual mide 40º. Halla la altura del triángulo y el área.

62

SOLUCIONES AL TEMA 6

Soluciones de ángulos sobre la circunferencia1) 25’ 12 cm, 2´07 cm 2) AB = 2’1 cm BA = 29’3 cm 3) 260º 6’ 56 ‘’ 4)

5) 2’ 61 cm 6) 3, 66 cm 7) 1’ 57 cm 8) 11’ 77 cm 9) 214º 58’ 7’’

10) 12’ 56 cm 11) 18 ‘ 84 cm 12) Mide la mitad del ángulo central 13) 34º 14) 70º 4’ 15) 107º 30’ 16) 90º 17) 90º 18) 60º 19) 90º 20) 4 arcos, n arcos 21) 45º 22) O = A = B = 60º , 5cm 23) 120º 24) 30º 25) 60º 26) 67º 35’ 27) 100º 28) 29º 29) 98º 29’ 30) 60º 8’ 31’’

Soluciones a los ángulos de polígonos1) 1a) i= 108º, e = 72º, c= 72º 1b) i = 140º, e = 40º, c= 40º 1c) i = 120º, e= 60º, c= 60º 1d ) i = 150º, e = 30º, c= 30º 1e) i= 135º, e = 45º, c= 45º 1f) i = 156º, e = 24º, c= 24º 1g) i = 144º, e= 36º, c= 36º 1d ) i = 162º, e = 18º, c= 18º 2) 7 lados, 10 lados, 14 diagonales, 35 diagonales3) 7 lados, 128º 30’ 4) 8 lados, 135º suma 1080º5) 8 lados, 20diagonales, 1080º ; 11 lados,44 diagonales, 1620º ; 13 lados, 65 diagonales, 1980º

SOLUCIONES DEL TEMA 6 (TEXTO)

Pág. 1241) 5 diagonales desde un mismo vértice. Total 20 diagonales2) a) 11 lados b) 8 diagonales

3) Suma de los ángulos interiores 540º, así:

4) a) 9 lados, eneágono b) Interior140º, exterior 40º y central 40º c) gráfico5) Gráfico a) la hipotenusa es la diagonal del rectángulo b) los catetos son una diagonal del romboide c) no se puede 6) 6 cm de lado 7) A= 2400cm2, sobran 7600cm2 = 0’ 76 m2 8) Queda 0’5 m2 9) A = 60 cm2 10) La mitad del rectángulo = 16 cm2 11) A = 210 m212) A = 30 cm2 13) A= 84’3 m2

19) a) x = 5’6 cm b) x = 3’5 cm

20) a) h = 4 cm b) h = 1’87 cm

21) La proyección del cateto de 3cm es cm, la proyección del cateto de 4cm

es cm, la altura sobre la hipotenusa cm

22) a) Mayor b) Menor c) Igual 23) Lado = m 20’62 m

24) El otro cateto = cm 25) h = dm 26) Lado = 5 cm

27) Gráfico, la circunferencia es circunscrita al triángulo 28) 49 = 25 + 36 -1229) h= 30 dm b = 39’05 dm a = 46’86 dm 30) A = 50 cm2

31) h = 6’9 cm 32) Lado = 4’3 cm 33) h = 3 cm, A = 48 cm2

37) Ángulo central 72º, = 36º, = 72º 38) Gráfica 39) 60º 40)

Manual 41) L=12 cm, A= 36 cm2

63

44) a)Circulo,P =5 dam, A=6’25 dam2 b)Sector circular, longitud arco= m, P=

+24 m, A = 32 m2 c)Trapecio circular, P=7 +5 +2+2=12 +4 m, A= 2 m2 d)

Segmento circular, P = + 8 cm , A= -16 cm2 45) A = 56’25 - 54 cm2

Practica tú1) a) A = 20’576 m2 Cuesta: 576’13 + 128 = 704’13 € b) A = 671’5 cm2 Cuesta: 1203’33 + 128 = 1331’33 €

Actividades7) a) 6 lados b) 9 diagonales 8) a) 720º:6 =120º b) 360º : 6=60º 9) 4 850 diagonales

10) Se han formado 16 triángulos 11) a) b)

12) Resuelto 13) a) 11’7 cm b) 10’53 cm2 c) 1’9 cm d) la suma de los ángulos interiores 1260º, el ángulo central y el exterior 40º y un ángulo interior 140º14) P = 66’08 cm S = 330’4 cm2 15) A= 3’5 cm2 16) Actividad resuelta17) El rectángulo:12cm de largo y 6 cm de ancho, el cuadrado 9 cm de lado. No tienen la misma superficie la del cuadrado es 81 cm2 y la del rectángulo 72 cm2

18) A =Coincide con la del triángulo = 72 cm2 19) A = 25 43’3 cm2

20) A =16’35 + 26’83 = 43’18 cm2 21) A = 2 478’41 m2 22) A =8 + 2·2 + 2·1=14 cm2 23) A = 2400 m2

24) l= 6 cm A= 54 cm2 28) a) P = 18’3 cm, S = 22’875 cm2 b) P = 30’6 cm S = 71’91 cm2 c) P = 48 dm, ap = 6’9 dm S = 165’6 dm2

29) r = 5 dm, P = 30 dm S = 165’6 dm2 30) Lado = 4’98 cm, Área =37’35 cm2

31) Apotema =2’5 cm. Área = 21’5 cm2 32) Lado = 4’8 m, Perímetro =33’72 m33) La apotema 10’39 cm y el área 374’04 cm2 35) Actividad resuelta

36) a) cm b) 5 cm y 7’8 cm, respectivamente. C) cm d) 40 cm2 37) La altura mide 4 cm y los catetos cm 42) A 15 m de la pared43) A = 351’47 cm2 44) A = 50-10’825 = 39’175 cm2

45) a) d = cm b) d=7cm, D= cm o bien d=10 y D=

cm c) En el trapezoide cóncavo d1= cm d2= cm en el convexo d1= cm d2=11’4 cm

46) A=

47) a) Inscrito, 55º b) Semiinscrito, 20º c) Exinscrito, 135º d) Exterior, 20º

48) 49) 8 +16 dm2

50) A = 25 cm2. Si se duplica el radio se cuadriplica el área55) Actividad resuelta 56) A = (36 - 36) cm2

57) El lado mide cm y la distancia cm 58) 30 cm

59) a) Área =

b) Área= 60) Área =

Soluciones a los ejercicios de trigonometría

1.- Sen B = Cos C = ; Cos B = Sen C = ; tg B = ctg C = ;

ctg B = tg C = ; cosec B = sec C = ; sec B = cosec C =

64

2.- 62º38’36’’

3.- b) Sen B = ; Cos B = ; tg B = ; ctg B = ; Cosec B = ; Sec B = ;

c ) B = 36º52’12’’ C = 53º7’48’’ A = 90º

4.- Sen 30º = Cos 60º = ; Cos 30º = Sen 60º = ; tg 30º = ctg 60º = ;

ctg 30º = tg 60º = ; cosec 30º = sec 60º = 2; sec 30º = cosec 60º =

Sen 45º = ; Cos 45º = ; tg 45º =1; ctg 45º =1; Cosec 45º = ; Sec 45º = ;

5.- a) = b) = 36º52’12’’ 6.- 41º48’37’’ y 48º11’23’’

7.- Sen B = ; Cos B = ; B = 63º26’5’82’’

8.- 36º52’12’’ , 53º7’48’’ y 90º9.- B = 90º, b = 124’88 m c = 71’70 m C = 35º10.- 30º, 60º y 90º11.- Hipotenusa , 16º41’57’18’’ , 73º18’2’72’’ y 90º

12.- Sen B = , cos B = , tg B = , cosec B = , sec B = , ctg B =

13.- Sen B = , cos B = , tg B = , cosec B = , sec B =3, ctg B =

14.- Sen B = , cos B = , tg = , cosec B = 4,sec B = , ctg B =

15.- Sen B = , cos B = 2

1, tg = 3 , cosec B = ,sec B = 2, ctg B =

16.- Sen B = , cos B = , tg = , cosec B = ,sec B = , ctg B = 5

17.- Sen B = , cos B = , tg = , cosec B = ,sec B = , ctg B = 7

18.- radio 26’13 m, apotema 24’14 m 19.- 34º59’31’’ 20.- altura 30 m 21.- altura 25’17 m 22.- distancia 1 448’88 m 23.- a) F; b) V; c) V; d) V; e) F; f) V24.- 6º50’3’’ ; 10º12’14’’ 25.- 30º y 60º 26.- altura 86’ 27.- 2º51’44’’ 28.- altura 10’45 29.- sombra 173’2 m 30.- altura 16’48 cm área 49’44 cm2

65

TEMA 7

VECTORES Y MOVIMIENTOS DEL PLANO

Teoría: VectoresPara representar gráficamente un punto en un plano utilizamos como sistema de referencia unos ejes cartesianos ( dos rectas perpendiculares con divisiones iguales que representan una unidad , el 0 en las dos rectas coincide con el punto de intersección de dichas rectas, son unidades positivas las de la derecha y negativas las de la izquierda en el eje horizontal (eje de las abscisas o eje OX) o positivas las de la parte superior y negativas las de la inferior en el vertical (eje de las ordenadas o eje OY) Un punto cualquiera del plano queda determinado por un par de números que se corresponden con las proyecciones sobre el eje X e Y respectivamente. El primero número es el valor de la x ( valor de la abscisa), el segundo el de la y (valor de la ordenada)Estos números son las coordenadas del punto. Se representan con letras mayúsculas y entre paréntesis sus coordenadas: A (x,y), A (2 , 3)Un punto sobre el eje OX tiene la ordenada 0 . Un punto sobre el eje OY tiene de abscisa 0En un plano cartesiano ( plano que tiene como sistema de referencia unos ejes cartesianos), un segmento viene determinado por los dos puntos de los extremos.

Vector fijo del plano es un segmento orientado del plano y se identifica por los puntos de sus extremos. Se representa con las dos letras mayúsculas de los puntos de sus extremos con una flecha encima o bien en negrita (para facilitar la escritura en la imprenta). La primera letra representa el punto origen y la segunda el extremo.Elementos de un vector:

Punto de aplicación: es el origen del vector

Dirección: la de la recta que une los dos puntos; La dirección de es la misma que

la de

Sentido: el que va del primer punto colocado al segundo; lo marca la punta de la

flecha. El sentido de es opuesto de la de

Módulo: Longitud del segmento

Dos vectores son equipolentes o equivalentes cuando tienen el mismo módulo el mismo sentido y direcciones iguales o paralelas

Vector libre es un conjunto de vectores equipolentes entre si. Para trabajar con vectores utilizaremos vectores libres tomando uno de ellos como representante. Se representan colocando entre llaves el vector fijo que lo representa o simplemente con una letra minúscula y una flecha encima o en negrita

Componentes de un vectorPara localizar un vector en un plano se utilizan sus componentes referidas a unos ejes cartesianos. Para hallar las componentes de un vector basta ver cuantas unidades avanza horizontalmente y verticalmente desde su origen hasta su extremo.Las componentes de un vector se calculan hallando la diferencia entre las coordenadas del punto extremo y las coordenadas del origen. Un vector libre queda determinado por sus componentes. Si A ( 2,3) y B = ( 8, 11) Las componentes de

son (8-2, 11-3) = (6, 8) y se representa = (6,8) o bien (6,8)

Las componentes de un vector que tiene como punto de aplicación el origen de coordenadas coinciden con las coordenadas del punto extremo.

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Las coordenadas del punto medio de un segmento son las que se obtienen con la semisuma de las coordenadas de los extremos . Si A(-3, 7) y B (1,5) las coordenadas

del punto medio del segmento AB son M3 1

2,7 5

2M( 1,6)

Calculo del módulo de un vector conocidas sus componentes:

Conocidas las componentes de un vector podemos hallar su módulo. Para ello basta con hallar la hipotenusa del triángulo rectángulo que tiene por catetos las componentes del vector. Si u (x,y) u x y Si u (6,8) u2 2

6 8 100 102 2

Si (x,y) el módulo de es: Ejemplo: Si = (6,8)

Para sumar vectores se puede hacer de forma analítica y de forma geométrica:

De forma analítica se hace sumando las componentes de los dos vectores. Si (3,8) ,

(7,-3) + = (3+7,8-3) = (10,5)

De forma geométrica tomando representantes de los vectores y colocándolos uno a continuación de otro, de forma que el origen de uno coincida con el extremo del otro. El vector suma es el que tiene el origen el origen del primero colocado y el extremo en el extremo del último colocadoOtra forma de hacer la suma geométricamente , es tomar representantes de dos vectores con el mismo punto de aplicación y formar un paralelogramo con las direcciones de estos dos vectores. La suma será el vector de la diagonal con el origen en el punto de aplicación de los sumandos.

Vector nulo es el que tiene módulo 0, el origen y el extremo es el mismo punto. Las componentes del vector nulo son (0,0)

Vector opuesto de un vector es el que tiene el mismo módulo, la misma dirección o direcciones paralelas pero sentido contrario. Un vector más su opuesto es el vector

nulo. Las componentes de un vector opuesto de otro son opuestas: Si (3,8) el

opuesto - ( -3, -8) ; Si su opuesto

Para restar vectores sumaremos al vector del minuendo el opuesto del vector del sustraendo, es decir restaremos sus componentes

SI (3,8) , (7,-3) - = (3-7,8+3) = (-4,11)

El producto de un vector por un número es un vector que tiene de módulo el producto del módulo del vector por el número , dirección la misma y sentido el mismo si el número es positivo y opuesto si el número es negativo

Para multiplicar un vector por un número multiplicaremos sus componentes: Si (3,8)

3 (9,24)

M ovimientos del plano

Un movimiento es una transformación puntual del plano que a toda figura F le hace corresponder otra F’ , conservando las distancias y los ángulos (igual en tamaño y forma).Un movimiento es directo si el sentido es el mismo e indirecto si el sentido de una es contrario al de la otra.

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Traslación: Movimiento directo que a cada punto P de la figura le hace corresponder otro P’ mediante la aplicación de un vector, llamado vector de traslación. Los puntos que se corresponden se llaman homólogos.

Sea P (x ,y) y queremos hacer una traslación de vector (a,b), las coordenadas del

punto P’homologo de P se obtienen sumando a las coordenadas de P las

componentes de P’(x’, y’) = P’(x+a , y+b)

Si queremos aplicar varias traslaciones seguidas aplicaremos a cada punto el vector que resulta de sumar todos los vectores traslación de las traslaciones que queramos realizar.

Giro: Dado un punto fijo O (llamado centro de giro) y un ángulo orientado (ángulo de giro). Se lama giro al movimiento directo que deja invariante el punto O y a cada punto P le hace corresponder otro P’ que cumple:

el ángulo POP’ = , Representamos el giro: G (O, )Si tenemos varios giros consecutivos con el mimo centro, aplicaremos como ángulo de giro la suma de los ángulos de giro que queremos realizar.

Simetría axial: Dada una recta r (eje de simetría), se llama simetría axial o simetría respecto de un eje a la transformación o movimiento indirecto que a cada punto P de una figura le hace corresponder otro P’ de modo que la recta r es mediatriz del segmento PP’ . La figura queda igual pero invierte el sentido de esta

Simetría central: Dado un punto fijo O (centro de simetría) se llama simetría central o simetría respecto a ese punto a la transformación o movimiento directo que a cada punto P la hace correspondes otro punto P’ alineado con P y O, tal que OP = -OP’. Una simetría central equivale a un giro de 180º

DEFINICIONES INTERESANTES

Greca es el adorno en edificios, muebles y objetos formado por elementos geométricos repetidos

Fenefa es una estrecha banda ornamental formada por dibujos que se repiten. Se utiliza como remate en los bordes.

Friso es una franja decorativa situada bajo una cornisa o en la parte alta de una paredEn todos estos motivos ornamentales el dibujo se forma por una traslación del dibujo base

Mosaico es una formación de losetas que se utiliza para cubrir suelos, fachadas etc.Si utilizamos polígonos iguales o distintos, unos al lado de otros, cubriendo el plano, de forma que no queden huecos (teselar el plano), habremos construido un mosaico. Para que no queden ángulos la suma de los ángulos que concurren en un vértice tiene que ser 360ºTodos los mosaicos tienen un motivo mínimo que se repite

Ejercicios

1.- Representa en el plano cartesiano los puntos A(2,4), B(6,7), C(-1,8) y D(-4,-4)

Halla las componentes de los vectores , ,

Averigua las componentes de los vectores , ,

¿Cómo son entre sí los vectores y , y , y ?

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Calcula el módulo de los vectores , ,

2.- Halla las longitudes de los lados de un triángulo de vértices los puntos A (3,2), B(5,8) y C(7,4)

3.- Halla el trasladado del punto c(-1,4), mediante el vector (-3,1)

4.- Si los extremos de un segmento son A(3,2) y B(7,-1), halla las coordenadas del

segmento , homólogo de , en la traslación definida por (7, 4)

5.- ¿Qué coordenadas tendrá el punto P (7,-3) al aplicarle sucesivamente unas

traslaciones definidas por los vectores (3,5), (-5,2) y (2,2)?

6.- Dibuja un segmento y tomando como centro de giro un punto cualquiera del plano, realiza un giro de ángulo 45º

7.- Dibuja un triángulo y tomando como centro de giro un punto cualquiera del plano, realiza un giro de ángulo 30º

8.- En el plano cartesiano, toma el origen de coordenadas O (0,0) como centro de giro. Sobre el eje de las abscisas, toma el punto P (5,0). Si le aplicas dos giros de 30º y 60º, respectivamente, ¿cuáles serán las coordenadas de P’? Y si al punto P’ le aplicas un giro de 180º, ¿qué coordenadas tendrá P’’?

9.- Dado un triángulo ABC de vértices A(2,5), B(7,9) y C(9,1):a) Dibújalo en el plano cartesiano. b) Dibuja su simétrico respecto del eje de ordenadas y calcula las coordenadas de sus vértices. c) Dibuja su simétrico respecto del eje de las abscisas y calcula las coordenadas de sus vértices.

10.- ¿Cuántos ejes de simetría tiene un cuadrado? ¿ Y un rombo? ¿Y un rectángulo? ¿ Y un trapecio isósceles?

11.- Dibuja en el plano cartesiano un triángulo ABC y halla su simétrico respecto al origen de coordenadas

12.- Un segmento tiene de extremos A(-3,5) y B(4,-1). Halla las coordenadas de los extremos del segmento simétrico respecto al punto O(1,1)

13.- ¿Tienen centro de simetría un triángulo equilátero, un cuadrado, un rombo, un pentágono regular y un hexágono regular?

14.- Traza en un pentágono regular, un hexágono regular y en un trapecio isósceles los ejes de simetría

15.- Dados los puntos A(4, -3) B (-3, 1) C (1, 1). Calcular analítica y gráficamente:

a) Las componentes de los vectores de los vectores AB y BCb) Las componentes de los vectores BA y CB ¿Cómo son estos vectores

respecto de los del apartado a ? c) Los módulos de los vectores anterioresd) La suma de los vectores AB y BCe) La resta de los vectores AB - BCf) El vector 4 · AB y - 3 · BC

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SOLUCIONES TEMA 7

Soluciones de los ejercicios propuestos

1.- AB = (4,3), AC = (-3,4), AD = (-6,-8) ; BA = (-4, -3), CA = (3, -4), DA= (6,8); opuestos; IABI = IACI = 5, IADI =102.- lado AB = , lado AC = , lado BC =

3.- (-4,5); 4.- A’ = (10, 6), B’ = (14,3); 5.- P’’’ (7,6);

6.- Respuesta libre; 7.- Respuesta libre 8.- P’ (0,5), P’’ (0,-5) 10.- cuadrado 4, rombo 4, rectángulo 2, trapecio 1

11.- Respuesta libre; 12.- A’ = (5,-3) B’= ( -2,3);

13.- Solo el cuadrado y el rombo;

15.- a) AB = (-7, 4), BC = (4,0); b) BA = (7, -4), CB = (-4,0) opuestosc) IABI = IBAI = , IBCI = ICBI = 4; d) (-3,4) ; e) (-11,4) ; f) (-22,-16) ; g) (-12,0)


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1) 2) Gráfico

3)

4) Misma dirección: . Mismo sentido

Mismo módulo Son equipolentes

5) No, los movimientos son transformaciones que conservan la forma6) a) No b) Sí, todos los puntos del lado AB7) P’(0,6) y Q’(2,0) 8) a) El nuevo triángulo tendrá de vértices A’ (-1,4), B’(3,4) y

C’(1,7) b) (1,3) que es idéntico al vector c) El vector (0,0) 9) 10) Las coordenadas del punto Original son : B ( 3, -4)

11) O (1,- 2) + (-1,-1) = O’(0,-3); O’ (0,-3)+ (4,-2) = O”(4,-5);

O (1,- 2) + (4,-2) = O’(5,-4); O’(5,-4) + (-1,-1) = O” (4, -5)

Sí, con la traslación de vector (3,-3), suma de los vectores y

12) 13) Gráfico 14) Gráfico, Se vuelve a la posición inicial, se ha girado 360º15) Sí, Es el punto de corte de las mediatrices de los segmentos obtenidos AA’ y BB’16) Los puntos girados volveran a la misma posición pues 123º+237º=360º. Sí, haciendo un giro del mismo centro y ángulo-123º17) En el centro de la circunferencia. Cualquier ángulo18) a) Cualquier ángulo que no sea multiplo de 360º b) El centro de giro19) a) uno, la altura del lado desigual b) tres, cada una de las alturas20) El romboide, tiene dos, las dos diagonales. El pentágono tiene 5, las rectas que unes los puntos medios de sus lados con el vértice opuesto. El Hexágono 6, las rectas que unen vértices opuestos y las rectas que unen los puntos medios de los lados opuestos 21) A’ (1, 3) y B’ (-1, 5)22) Es el que tiene por vértices los puntos A’ (- 5,6), B’ (- 4 ,10) y C’ (-1,7)

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23) Las coordenadas del simétricorespecto del eje de las abscisas son : A’ ( 1,- 1), B’ (1, -3) y C’ (3, -2); Y respecto del eje de ordenadas: A’ (-1,1), B’(-1,3) y C’ (- 3, 2)24) a) (0, - 4) b) (0, 4) 25) A’ (-1,2), B’(- 4,2) y C’(-1,3)

26) A una traslación de vector (0,6), cuyo módulo es el doble de la distancia entre los ejes 27) Pueden ser de ejes x =1 y x = 4 28) Pueden ser de ejes y = 3 e y = x + 3 P(3,2), P’(3,4) y P”(1,6)29) Tienen eje de simetría : A,B,C,D,E,H,I,K,M,O,U,V,W,X,Y. Tienen centro de simetría: H,I,N,O,S,X,Z 31) Giro de centro P (2,1) y ángulo 180º30) A’(-3,-2), B’(-6,-2), C’(-6,-3) y D’ (-3,-3). En ambos casos el ángulo es de 90º32) A’(-1,-1), B’(-1,-3), C’(-4,-3) y D’ (-4,-1). 33) Gráfico

Actividades

8) a ) Gráfico b)

c) 9) El extremo es ( -3,3) 10) Gráfico

11) D(1, - 1) 12) a) Gráfico , presenta varias simetrías axiales, así como traslaciones b) Gráfico 13)Gráfico 14) Los vértices son: A’(3,-3), B’(7,- 2) y C’(4, 1)

15) Los vértices son: A (9,-1), B (0, 2), C (4, 1) y D (2,3) 16) = (- 2, - 2) 17) a) las

rectas paralelas al vector de traslación b) el P(0,2) se transforma en P’ (1,- 4) que pertenece a la recta y el Q(-1,0) en Q’(0, - 2) que también pertenece a la recta18) Actividad resuelta

21) La composición de las traslaciones de vectores (3,2) y (4,2)

22) Con la traslación de vector =(3,0)

23) Se unen las dos ciudades con una recta y, en la intersección del río, se coloca el puente; a partir de la otra orilla se continúa hasta la otra ciudad24) a) Giros de 60º b) Giros de 90º c) Giros de 90º d) Giros de 72º25) a) Gráfico b) son iguales 26) a) Un hexágono dividido en 6 triángulos b) iguales c) Iguales. No cambia la orientación en los ángulos del mismo sentido 27) a) Gráfico b) Otro giro igual que el de a) o un giro del mismo centro y ángulo 270º c) Gráfico 28) a) La altura del lado desigual, b) Las dos rectas que unen puntos medios de lados opuestos c) La diagonal que falta por trazar29) Vuelve a su posición inicial 30) Gráfico 31) a) Gráfico b) Suponiendo la 1º fila y columna de puntos como los ejes coordenados, en la figura superior, los puntos P (0,7), Q(1,8) y R(2,7) se transforman en P’(10,7), Q’( 9,8) y R’(8,7). Y en la figura inferior P(0,2) Q(1,1) y R(2,3) se transforman en P’(10,2) Q’(9,1) y R’ (8,3)32) a) Gráfico b) A’ (3,0), B’ (4, 3) y C’ (2,4)33) Gráfico 34) Gráfico En la circunferenci cualquier diámetro35) A (0,10), B (9, 7), C (5, 8) y D (7,6) 36) a) Sí, el centro de giro.Y si se trata de un giro de ángulo 2. , cualquier punto. Cualquier circunferencia cuyo centro sea el centro de giro permanece invariante globalmente b) Los puntos del eje de simetría. El punto del centro de simetría. Cualquier recta perpendicular al eje, cualquier circunferencia que tenga su centro en el eje, y cualquier poligono regular, con un número par de lados, que tenga su centro en el eje de simetría , permanece invariante globalmente en la simetría axial. Cualquier recta que pase por el centro de simetría, cualquier circunferenciaque tenga por centro el centro de simetría y cualquier polígono regular, con un número par de lados,que tenga su centro en el centro de simetría, permanece invariante globalmente en la simetría central c) Ninún punto salvo que el vector de traslación sea (0,0), en cuyo caso todos los puntos son invariantes. Las rectas paralelas al vector de traslación permanecen invariantes globalmente37) A (6,6), B (- 3,5) y C (1, 4) 38) Aquellas cuyos ejes fueran rectas perpendiculares al eje de abscisas, o una simetría cuyo eje fuera la propia recta y = 239) a) A’(3, - 2), B’(-6, 1) y C’(-8, -5) b) c) ;

; Luego los triángulos son iguales y por tanto los

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ángulos homólogos iguales 40) Actividad resuelta 43) a) Gráfico b) A’(10,3), B’(5,-1) y C’(8, 4) c) Su mediatriz d) 5 unidades. También 5 unidades 44) a) Rectas perpendiculares al eje de abscisas, circunferencias con centro en el eje, polígonos regulares con un número par de lados. b) Sí, El punto P(-3,0) se transforma en el P’(-3,0) que pertenece a la recta, y el punto Q(-3,2) se transforma en el Q’(-3,-2)que, también, pertenece a la recta c) Sí 45) Gráfico

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TEMA 8

CUERPOS GEOMÉTRICOS

SOLUCIONES TEMA 8 TEXTO

Pág. 168

1) Caja de zapatos, libro, borrador, goma de borrar 2) a) 6 caras, 8 vértices y 12 aristas b) Hexaedro 4) a) Diagonal del poliedro b) El segmento que une dos vértices no consecutivos de la misma cara c) Vértice d) Cuando los segmentos que se obtienen al unir dos puntos cualesquiera del mismo están totalmente contenidos en el propio poliedro 3) a) No porque cada diagonal une dos vértices distintos b) No, porque la arista une dos vértices consecutivos y la diagonal no 5) Gráfica 6) a) Falsa, debe tener 12 aristas b) verdadera, 2 unidades más c) Falsa d) Falsa, debe ser convexo 7) Octaedro: 8 + 6 – 12 = 2, Sí se verifica. Dodecaedro: 12 + 20 – 30 = 2, Sí se verifica 8) Sí, por la fórmula de Euler 9) C + 7 – 11 = 2 C = 6, Cubo10)

Poliedro C V A C+V-A=2Tetraedro 4 4 6 4+4-6=2Octaedro 8 6 12 8+6-12=2Icosaedro 20 12 30 20+12-30=2

Cubo 6 8 12 6+8-12=2Dodecaedro 12 20 30 12+20-30=2

11) Mirar en internet 12) Por que el número de caras que debe haber por vértice Ha de ser mayor o igual que 3 y la suma de los 3 ángulos interiores de 3 hexagonos es 360º y la figura sería plana 13) Porque el trapecio no es un polígono regular14) a) Tetraedro b) =ctaedro c) Cubo d) Icosaedro e) Dodecaedro19) 216 dm2 20) 300 cm2 21) 80 cm2 22) 45 m2

27) Tetrabrik, caja de detergente, envase de pastillas,..28) Gráfico 29) A un prisma30) 2’5 m 31) Alateral = 12 000 cm2 Atotal = 12 018 cm2 32) l = 1 dm 33) V= 1’854 m3

34) Alateral = 140 cm2 Atotal = 164cm2 35) 12 de caras y 2 de poliedro 36) Caja de cerillas, aula, caja de bombones,… 37) d = 4 cm 38) En vertical no cabe, en diagonal si pues d = 34’64 cm39) Alateral = 180cm2 Atotal = 324 cm2 40) 2 rollos de papel 41) Caben 26 cajas de 100cm de arista. No cabe ninguna de 100dm de arista 42) 8 - 2 = 6 m3

43) Gráfico 44) Se forma un tronco de pirámide 45) Sí con el teorema de Pitágoras46) a) Falsa . No es igual, la altura de la cara es la apotema b) Falsa , la apotema es la altura de una cara lateral c) Falsa, sólo tiene una base d) Falsa,El plano tiene que ser paralelo a la base 47) Alateral = 31’12 m2 Atotal = 40’32 m2 48) A = 237 m2 51) V = 1948 cm3

52) Vtronco de pirámide = 1948’5 – 66 ’67 = 1881’83 cm3 · 2h = Abase· h

Practica tú1) Tiene 6 cuadrados y 7 triángulos equiláteros A = 6·25 + 7· 10’825 = 225’775 cm2

2) Tiene 6 trapecios, un hexágno y 3 rombos, A= 6·16’24+10’39+3·6= 25’ 83 cm2

Actividades9) Gráfico 10) a) Ortoedro b) Cubo u ortoedro c)Prisma d) Pirámide11) a) Falsa, sólo en los regulares b) Verdadera c) Verdadera d) Falsa12) Sólo el a) por ser convexo13)

6 8 12

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5 6 911 12 21

14) Cubo, tetraedro, dodecaedro, icosaedro, octaedro15) No, porque sus caras deben ser polígonos regulares y todas iguales16) Los tetraedros, los octaedros y los icosaedros17) Tetraedro: 6 aristas y 4 vértices. Cumple Euler: 4 + 4 = 6 + 2. Octaedro: 12 aristas y 6 vértices. Cumple Euler: 8 + 6 = 12 + 2. Icosaedro: 30 aristas y 12 vértices. Cumple Euler: 20+12=30+ 2 19) No 20) Si 21) No, las caras no son todas iguales, sus caras no son polígonos regulares, Sí porque forman ángulos rectos22) Fórmula de Euler:12 caras + 14 vértices = nº de aristas +2 24 aristas23) A = 4 · A cara = 4 · 36’96= 147’84 cm2 24) Actividad resuelta25) d= =cm 26) Una arista 4 cm, todas 12 · 4=48 cm29) En el recto la arista lateral y la altura coinciden, en el oblicuo no coinciden30) Gráfico, Vértices 12, aristas 18 31) Atotal = 32’4 + 2 · 1’494 = 35’208 m2 32) P = 9 m 33) h = 8 m 34) V = 5000cm3 35) V = 3’0268 dm2 Masa = 7’567 kg36) lHexágono= 2 m; h = 8 m ; Atotal= 96 + 6 cm2 37) h= 3’27 m38) Atotal= 51’46 cm2 39) d = 1331’64 cm 40)V= 5 200 cm3

41) Es un prisma cuyas bases y caras son paralelogramos. Ejemplos: caja de zapatos, armario, libro42) Cubo poliedro regular con caras cuadrados, es un paralelepípedo. El ortoedro es un paralelepípedo pero no es poliedro regular, sus caras son paralelogramos y son iguales dos a dos.43) Gráfico. Las caras del ortoedro son rectángulos y la altura coincide con la arista. Las caras del romboedro son romboides y la altura no coincide con la arista.44) Alateral = 100 cm2 Atotal = 150 cm2 45) Actividad resuelta 46) V = 125 cm3, 1250 l de plomo 47) No, la diagonal ortoedro 11’18 m < 13m48) Diagonal de cara = m, Diagonal de cubo = 49) Atotal = 232 m2, 1508€ 50) Actividad resuelta 51) A = 2 · d2

52) Alateral = 6514’28 cm2 53) A = 2 · d2 d = 6 cm 54) La diagonal del ortoedro

55) 2 · 40 + 2 · 50 + 4 · 20 + 20 = 280 cm 56) A = 6 · l2 l= m

57) Sí , la de base triangular regular, el tetraedro58) No, todas las caras laterales confluyen en un vértice59) Gráfico, apotema de la cara mayor que la apotema de la base60) Que todas sus caras sean polígonos regulares iguales. El único el tetraedro61) Actividad resuelta 62) Alateral = 86’10cm2 63) Alateral = 171’ 72 cm2

64) a) apotema= 10 cm b) h = 8 ’54 cm c) Arista lateral = 10’44 cm65) Alateral = 299’7 cm2 ; Atotal= 333’4 cm2

66) V= 2 867 885’3 m3 70) a = 19’97 cm 71) a) V = 8000 + 4500 + 16000 + 2000 = 30500 cm3 b) m = d·V = 82’35 kg

72) V= Abase·h h= 26’67 cm, hpluviometro= 3 · 26’67 = 80’01 cm

b) 2000 = 502·l l = 0’8 cm73) Lado del triángulo base 17’2m ; Abase=129 m2; V = 516 m3

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TEMA 9

CUERPOS DE REVOLUCIÓN


Pág. 1881)2)3)4) son gráficos5) Gráfico 6) A = 120 cm2 , V = 175 cm3

7) A = 138 cm2, total = 24 · 138 =10404 ’95 cm2 = 1 ’ 04 m2, 26 €8) Gráfico 9) a) r = cm b) r = ( +2) cm 10) A = 260 ‘ 47 cm2 V = 234 ‘ 57 cm3

11) Vcilindro= 20 cm3, Vtronco cono = 56 cm3

12) Gráfico 13) a) R = cm b) r = cm 14) A = 153’ 94 cm2, V = 179 ’59 cm3

15) a) A = 314 ’16 cm2, Acasquete= 62 ’83 cm2 b) A = 452 ’39 cm2, Acasquete= 101’03 cm2, Azona= 250’32 cm2 c) A = 804’25 cm2, Acasquete= 29 ‘15 cm2, Azona= 745 ‘ 94 cm2

17) a) 10h 50 min 33 s b) 5 horas c) A las 11 de la noche d) En TokioPractica tú1) Acupula= 2513’27 m2, 209’44 botes (210), 1050 € 2) 22min 42 s3) Si la densidas es =’5 gr/cm3 h = 7’87 cmActividades7) Gráfica 9) A = 3706 ‘ 77 10) a) A = 176 cm2 b) V = 3016- 10 ·150’7=1509 cm3

11) V = 311 cm3, h = 99 cm 12) 698’13 cm2 13) Actividad resuelta14) A = 10255 ’ 57 cm2 , V = 62 820 ’82 cm3 15) a) 0’3 cm b) 0’25 cm 16) l = 3 ’ 6 m19) A= 94’2 cm2; V = 59’6 cm3 20) 1083 ‘3 cm2 21) A = 431’45 cm2, V = 538’78 cm3

22) A = 301‘ 6 cm2 , V = 301‘6 cm3 ; A = 452’3 cm2 , V = 402’1 cm3 23) 3, 4 y 5 cm24) Vcilindro- 2 · Vcono = 188’5 cm3

25) A= 64 + 25 +243’5 =1043’32 cm2;V= (89 + 40 )18’5= 2499’14 cm3

26) Auna tulipa= 417’7 cm2, g = 8’9 cm 27) Actividad resuelta 28) A = 471’24 + 214’88 = 686’12 cm2; V = 622’03 + 223’84 = 845’87 cm3

29) Los catetos miden 9 cm y la generatriz 12’ 7 cm30) V = 50’3 – 16’8 = 33’5 cm3 31) A = 426’ 31 cm2, V = 551’44 cm3 32) Acono= 485’4 cm2, Vcono= 536’2 cm3, Atronco cono= 437’3 cm2, Vtronco cono= 310cm3

34) V = 14137’2 + 113097’3 + 381703’5 = 508938 cm3 35) Caben 1313’ 6 tierras 36) a) A = 339’29 cm2 b) V = 588’11 – 216 = 372’11 cm3 37) a) A = 36’21 + 14’14 = 50’35 cm2; V = 42’41 + 14’14 = 56’55 cm3 b) A= 2 · 286’51 + 138’23 = 711’25 cm2 V = 2 · 272’27 +113’1 = 657’64 cm3 39) Actividad resuelta 38) h = 5 cm 40) a) A = 804’25 cm2 b) r = 7’92 cm 41) a) Aesfera= 615’75 cm2; Ahemisferio = 307’88 cm2 ; Acasquete= 87’ 96 cm2 b)h = 2 cm, Acasquete= 125’66 cm2; h = (8 + 6) cm , Azona= 879’64 cm2; h = 4 cm, Acasquete= 251’32 cm2

42) r = 4’16 cm , A = 218’2 cm2 , V = 303 cm3

43) Acasquete mayor= 1231’47 cm2; Azona= 1180’45 cm2; Acasquete menor= 51’02 cm2

47) a) d= 70º = 4h 40 min b) d = 4 h c) A las 19 h d) En Madrid48) Recorre 60º (si es el camino más corto) que son 4972’ 79 km

75

TEMA 10

FUNCIONES

Teoría :

Conjunto: Grupo de objetos, números, personas.......Se nombran con letras mayúsculas y se representan colocando entre llaves los elementos del conjunto o bien la propiedad que caracteriza a los elementos del conjunto.Ejemplos: A = {2,4,6,-3,-5} B = {azul, rojo, amarillo} C = {conjunto de números naturales impares}

Correspondencia entre dos conjuntos A y B: es toda relación entre los elementos de A y de B. Se representa A B donde A es el conjunto inicial y B el conjunto final. Una correspondencia está definida si conocemos el conjunto inicial, el final y los pares de la correspondencia (un elemento del conjunto inicial y su correspondiente en el conjunto final) o bien la regla o propiedad que los relaciona.Ejemplo: si A = {1,2,3,4,5} y B = {1,2,3,4,5,6} se define la correspondencia A B por los siguientes pares (1,2), (2,4), (3,6) o bien por la regla ”a los elementos de A le hacemos corresponder su doble”Los elementos del conjunto inicial se llaman antecedentes, originales o antiimágenes y sus correspondientes en el conjunto final imágenes.Si los conjuntos inicial y final tienen por elementos números se dice que la correspondencia es numérica. Estudiaremos correspondencias numéricas entre conjuntos que son números reales.

Llamamos función a una correspondencia entre dos magnitudes en la que una de ellas (efecto o resultado o imagen de la de la correspondencia, llamada variable independiente y que se suele representar por la letra y) depende de la otra (causa o antiimagen, llamada variable independiente y que suele representarse con la letra x) y tal que a cada valor de la variable independiente x, le corresponde un único valor de la variable dependiente y

Una función real de variable real es una función en la que los conjuntos inicial y final son números reales. Son las que estudiamos en el curso.

Una función real de variable real es una función en que los conjuntos inicial y final son números reales Se representa con y = f(x) donde:

Ejemplo: y =f(x) = 2x +1 (1,3), (-2,-3), (0’5,2),.........Si y= f(x) también x= f-1(y) y se dice que x es la antiimagen, original o antecedente de y

Características de la función:

1.- Dominio de definición de la función: Es el conjunto de valores x que tienen imagen y = f(x)

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En el caso de funciones reales de variable real es el conjunto de números reales x que tienen como resultado de y = f(x) un número real, lo representamos por D(f): D(f) = {xR I y = f(x) R}No todas las funciones tienen imagen o correspondiente para todos los números

reales, por ejemplo: no da real (no está definida) para x = D(f)

= R-

2.- Recorrido de la función o conjunto imagen de una función o simplemente imagen de la función: es el conjunto de valores y = f(x) que son imágenes de algún valor x del dominio.En el caso de funciones reales de variable real es el conjunto de números reales que son imagen de algún número de D(f), lo representamos por Im (f): Im(f) = {yR I y = f(x) con x D(f)}

3.- Intersección con los ejes : puntos de cortes con los ejes: Corta al eje OX cuando y=0, corta al eje OY cuando x=0

4.- Signo de la función: Si f(x) > 0 el dibujo está por encima del eje OX y si f(x)<0 el dibujo está por debajo del eje OX

5.- Crecimiento: Una función es creciente si al aumentar o disminuir la variable independiente x, aumenta o disminuye respectivamente la variable dependiente y. La gráfica de la función va hacia arriba al mirar de izquierda a derecha. Decrecimiento: Una función es decreciente si al aumentar o disminuir la variable independiente x, disminuye o aumenta respectivamente la variable dependiente y. La gráfica de la función va hacia abajo al mirar de izquierda a derecha.

6.- Simetrías: Es simétrica con simetría par o simetría respecto el eje OY si f(-x) = f(x) para todo valor x del dominio. Es simétrica con simetría impar o simetría respecto del origen 0 de coordenadas si f(- x) = - f(x) para todo valor x del dominio. 7.- Continuidad: Una función es continua cuando su gráfica tiene un solo trazo: se puede recorrer entera sin levantar el lápiz. Una función es discontinua cuando su gráfica tiene más de un trazo: no se puede recorrer entera sin levantar el lápiz.

8.- Concavidad: En las gráficas no lineales, estudia hacia donde se dirige la curvatura.

9.- Máximos y mínimos relativos: Máximo es el punto en que la función continua pasa de crecer a decrecer. Mínimo es el punto en que la función continua pasa de decrecer a crecer

Función algebraica es una función que tiene como regla que la define una expresión algebraica: polinomios , fracciones .....

En este curso estudiaremos las funciones polinómicas de grado cero, de grado uno y de grado dos.

Llamamos grafo de una función al conjunto de pares de la correspondencia. Para representar gráficamente una función colocamos los pares del grafo en el plano cartesiano (la primera componente en el eje OX y la segunda en el eje OY).Es importante saber representar gráficamente una función y también interpretar la gráfica, para el estudio de la función. Para representar y estudiar gráficamente una función estudiamos sus características

77


Pág. 2081) 2) Respuesta libre 3) Respuesta libre 4) Gráfica

5) a) y = 5x Gráfica b) y = x Gráfica

6) a) D(f) =-4,4 , Im (f) =- 4,2 b) D(f) =- 4,2, Im (f) = -1,57) a) D(f) = (0, ) , Im (f) = R b) D (f) = 100,999, Im(f) = Los números enteros y los decimales con cinco décimas comprendidos en 50, 500) c) D(f) = Z, Im (f) = N d) D(f) = R, Im (f) = (0, )

8) a) P y Q(0, -2) b) P y Q c) P , Q y R

d) No tiene puntos de corte

12) a) Tiene que comenzar las clases b) Está realizando alguno de sus hobbies c) de 11:00 a 11:30 horas d9 Esá animada sobre las 11:15, en el recreo, y más desanimada en el periodo de clase de 9:00 a 11:0013) a) Máxio absoluto (-2,5); máximo relativo (3,0) y m´nimo absoluto (2,-4) b) Máximo absoluto (2’5, 1) Mínimo absoluto (-1, -5)14) Gráfico 15) a ) Función continua b) Función continua c) Función discontinua d) Función discontinua 16) a) Función discontinua b) Función discontinua17) a) Discontinuidad evitable en x = 0 y de salto finito de magnitud 3 en x = 1 b) Discontinuidad de salto finito de en x = 0 Discontinuidad evitable en x = 0 y de salto finito de magnitud 3 en x = 618) a) Gráfico, Es discontinua de salto finito, magnitud 4, en x = 6 y en x = 65 b) Gráfico, Es discontinua de salto finito, magnitud 4, en cada número natural de 0 a 99 y de magnitud 2, en cada número natural mayor o igual que 100 ( no se pueden hacer medias fotocopias) a) Gráfico, Es discontinua de salto finito, magnitud 1’2, en cada hora entera de 1 a 15, y continua a partir de x = 15 h 19) a) T = 4 b) T = 2 20) a) y b) gráficoPractica tú 1) Si los lados del triángulo son a y b b= 20-a A =a(20-a) A =-a2+20ª haciendo la gráfica se tiene máximo en a= 10 y b = 102) Tenemos para los contratos las siguientes funciones y = 1100 y = 40x + 600 Si representamos ambas rectas se comprueba que el punto de corte está en (12’5,1100); Por tanto, a partir de 13 productos vendidos interesa más el segundo contratoActividades4) a) Sí b) No c) Sí d) No, si se considera el doble signo5) a)

x -3-

2

f(x)- -

b)x -3

-2

f(x)

c)

79

x -3-

2

f(x) 0’14 64

d)

x -3-

2

f(x)

6) a) y (mujeres) = b) y = 3·x – 100 c) d = I · d) y = 2(x-5)

7) a) x -1 0 1f(x) 2 1 0

Gráfica b)

x -1 0 1f(x) 1 2

Gráfica c)

x -1 0 1f(x) 1

Gráfica d)

x -1 0 1f(x) 9 4 1

Gráfica

8) Texto a) con gráfica b) Texto b) con gráfica a)9) a) Dom (f ) = [-4,4 ; Im (f) = [-3,-3. b) ) Dom (f ) = [-5,4 ; Im (f) = [-3,7. 10) a) Las posibles puntuaciones vienendadas por los valores que toma la función y = 50 – x b) ) Dom (f ) = [0, 50 ; Im (f) = [0, 50. 11) ) Dom (f ) = [100,999 ; Im (f) = [1, 27. 12) El dominio de una función es mayor o igual, porque pueden existir valores de una imagen que procedan de varios puntos del dominio, mientras que la inversa es imposible13) Sí. No puede cortar al eje de coordenadas en más de un punto14) No. Si la función es continua, es necesario que corte al eje Y

15) a) No tiene puntos de corte con el eje de abscisas y (0,2) b) y c) (0,

5) y d) . No corta al eje de abscisas

80

16) a) y = - x + Puede haber comprado de pasteles y de

bombones b) ) Dom (f ) = ; Im (f) = . Los puntos de corte son los casos

en los que compra un solo producto26) a) ) Dom (f ) = [0, 24 ; Im (f) = [0, 60000. B) Porque en ningún instante están vacíos los medios de transporte público. A las 24:oo h, circulan 20000 viajeros. c) (4,8) (9,9’45). (14,16) (20,22). (0, 4) (8,9) (9’45,14) (16, 20) (22,24).d) El número de viajeros a las 24.00 h de la noche es bajo, y decrece progresivamente hasta las 4:00 de la madrugada. A partir de esta hora comienza a subir debido al desplazamiento al lugar de trabajo. Al principio poco a poco, pero a partir de las 6:00 asciende notablemente hasta llegar a su máximo a las 8:00 de la mañanaDe 8:00 a 10:00 sufre ligeras variaciones y, a partir de esta hora, se produce una pronunciada caída de presencia de viajeros hasta llegar a su mínimo a las 14:00 h27) Actividad resuelta 28) Existen varias soluciones, gráfico

29) Si x1<x2,¿Cuándo y1<y2? Sucederá cuando: a· x1+b<a·x2+b a· x1<a·x2 a>030) a ) Máximo absoluto: (5, 3); máximo relativo: (1,2); mínimo absoluto: (3, -2) y mínimo relativo: (-1,0). b) Máximo absoluto: (- 3, 3); máximo relativo: (2,2); mínimo absoluto: (0, -2)31) a) Dom (f ) = [20, 60 ; Im (f) = [100, 170. b) De 20 a 25 años. c) De 20 a casi 50 años d) Velocidad máxima: 170 km/h a los 25 años; Velocidad mínima: 100km/h a los 60 años e) Entre los 20 y los 30 años32) Sí, la función constantes y = 333) El máximo absoluto es el máximo valor que toma la función en todo su dominio, mientras que el máximo relativo es el máximo valor que toma la función en un entorno34) Presenta discontinuidades de salto finito, de magnitud 1. a) Los números enteros b) Son del tipo (x,0), donde x (-1,1)35) a) Dom (f ) =[-4,7)-{5}; Im (f) = (- ,0) (1, ) b) (-4,0) y (0, 0) c) Decreciente (-4,-2) (0,1). Crece en (-2,0) (3, 5) (5, 7). Constante en : (1,3) d) Máximo relativo en (0,0) y mínimo relativo en (-2,0). E) Discontinuidad de salto finito de magnitud 2 en x = 3, y de salto infinito en x = 5.36) No, porque deberia tomar todos los valores intermedios entre -1 y 125) a) Par b) impar c) No tiene simetría d) No tiene simetría26) Porque no es función, pues a un valor de x le corresponden dos valores de la variable y 27) Gráfico 28) El eje de las abscisas: y =0 38) a) T = 4 b) T = 237) Actividad resuelta 39) a) Dom (f ) = [-4,4 ; Im (f) = [-3,5. Ceciente en (-4,0) (1,2). Decreciente (0,1) (1,4). Máximo absoluto en (4,-3) y mínimo relativo en (1,-1). No tiene simetría ni periodicidad b) Dom (f ) = [-4, 4 ; Im (f) = [-2, 2. Ceciente en (-1’5,1’5) y constante en el resto del dominio. Máximo absoluto en (x,2) con x

y mínimo absoluto (x, -2) con x . Es impar, no tiene periodicidad 40) Gráfico

81

TEMA 11

FUNCIONES ELEMENTALES

Funciones polinómicas de grado cero o funciones constantes ;

La función representada por o bien y = K o bien f(x) = K es una función constante, su gráfica es una recta paralela al eje OX pasando por el punto (0,K).Características: D(f) = R; Im(f) = K; corta al eje OY en el punto (0,K) pero no corta al eje OX; el signo de f(x) es el signo de K; ni crece ni decrece; tiene simetría par: es continua. Por ejemplo: o bien y =5 son pares de la función (1.5) (2,5).... Su gráfica es:

Características: D(f) = R; Im(f) = 5; corta al eje OY en el punto (0,5) pero no corta al eje OX; el signo de f(x) positivo; ni crece ni decrece; tiene simetría par; es continua.Correspondencia x =KLa correspondencia representada por o bien x = K o bien K = f - 1(y) tiene por gráfica una recta paralela al eje OY pasando por el punto (K,0)Por ejemplo: x = 7 son pares de la correspondencia (7,1) (7,2) (7,3)....... Su gráfica es:

Funciones polinómicas de grado uno o funciones lineales:

La función representada por: o bien y = ax o bien f(x) = ax es una función polinómica de primer grado o función lineal o de proporcionalidad directa, su gráfica es una línea recta. Para representarla gráficamente se colocan dos pares de la correspondencia en el plano cartesiano y se unen, ya que por dos puntos pasa una recta y sólo una. Si x =0 se tiene que y = f(0) = 0, por tanto corta al eje OY y al eje OX en el punto (0,0) (pasa por el origen de coordenadas), el coeficiente de la x,: a, es la pendiente de la recta. Características: D(f) = R; Im(f) = R; corta al eje OY y al eje OX en el punto (0,0); crece si a (pendiente de la recta) es positiva, decrece si a es negativa; si a es positiva la función es negativa de a 0 y es positiva de 0 a y si a es negativa la función es positiva de a 0 y negativa de 0 a ; tiene simetría impar; es continua.Por ejemplo: o bien y =3x son pares de la función (0,0) y (1,3)Su gráfica es:

82

Características: D(f) = R; Im(f) = R; corta al eje OY y al eje OX en el punto (0,0); crece ya que la pendiente de la recta positiva; la función es negativa de a 0 y es positiva de 0 a , tiene simetría impar; es continua.

Función lineal afínLa función representada por: o bien y = ax+b o bien f(x) = ax+b es una función polinómica de primer grado o función lineal afín, su gráfica es una línea recta. Para representarla gráficamente se colocan dos pares de la correspondencia en el plano cartesiano y se unen, ya que por dos puntos pasa una recta y sólo una. Si x =0 se tiene que f(0) = b por lo que se dice que el termino independiente b es la ordenada en el origen, por tanto corta al eje OY en el punto (0,b), el coeficiente de primer grado a es la pendiente de la recta. Características: D(f) = R, Im(f) = R; corta al eje OY en el punto (0,b) y al eje OX en el punto

(- ,0); crece si a (pendiente de la recta) es positiva, decrece si a es negativa; si a es

positiva la función es negativa de a - , y es positiva de - , a y si a es negativa

la función es positiva de a - , y negativa de - , a ; no es simétrica; es

continua.

Las funciones y=ax e y = ax + b tienen por gráficas rectas paralelas pues tienen la misma pendiente, la recta de y = ax pasa por el punto (0,0) y la de y = ax + b es paralela y pasa por el punto (0,b) por lo que se dice que la función y = ax + b es una función afín a la función y = ax.

Por ejemplo: o bien y =3x-2 son pares de la función (0,-2) (2,4)Su gráfica es:

Características: D(f) = R; Im(f) = R; corta al eje OY en el punto (0,-2) y al eje OX en el

punto ( ,0); crece ya que la pendiente de la recta es positiva; la función es negativa

de a , y es positiva de a ; no es simétrica ; es continua.

Función polinómica de grado dos:

La función representada por o bien y =ax2+bx+c o bien f(x) =ax2+bx+c es una función polinómica de grado dos, su gráfica es una parábola. Para representarla gráficamente estudiaremos sus características propias:Concavidad: Es hacia las ordenadas positivas si el coeficiente de segundo grado a es mayor que cero, a>0. Es hacia las ordenadas negativas si el coeficiente de segundo grado es menor que cero, a<0.

Eje : recta

83

Vértice punto que pertenece al eje y a la parábola:

Tabla de valores y consideraremos que es simétrica respecto del eje

También las características de la función: D(f) = R; Im(f) = de a si a es positivo

y de a si a es negativo; corta al eje OY en el punto (0,c) y al eje OX en los

valores que hacen ax2+bx+c = 0 puntos (x1,0) y (x2,0); si a es positivo el signo de f(x) es positivo de a x1 y de x2 a , f(x) es negativo de x1 a x2, si a es negativo el signo de f(x) es negativo de a x1 y de x2 a , f(x) es positivo de x1 a x2; si a es mayor

que cero decrece de a , y crece de a ; es simétrica de simetría par

si el eje coincide con la recta x = 0 (eje OY) si no es así no tiene simetría; es continua.Por ejemplo: y =x2-5x+6Concavidad hacia las ordenadas positivas

Eje : recta

Vértice: punto

Cortes con los ejes: con eje 0X en (0,6) con eje OY en (2,0) (3,0)Tabla de valores (1,2) (4,2)Su gráfica es:

D(f) = R, Im(f) = de y = a , f(x) es positivo de a 2 y de 3 a es negativa de

2 a 3, decrece de a , y crece de a , no es simétrica, es continua.

Ejercicios 1.- Estudia y representa las siguientes funciones los siguientes apartados:, contestando en cada una las propiedades y características que se indican

a) y =f(x) = - 5¿Qué nombre recibe? Haz la gráfica

¿Cuál es su dominio? ¿Cuál es su recorrido? ¿Es simétrica?

Cortes con los ejes

¿Crece o decrece? Signo de f(x)

84

b) x = 6 Haz la gráfica

c) y = f(x) = - 5x + 1 ¿Qué nombre recibe? Haz la gráfica ¿Cuál es su dominio? ¿Cuál es su recorrido? ¿Es simétrica?

Cortes con los ejes

¿Crece o decrece? Signo de f(x) ¿Cuánto vale la pendiente? ¿Cuánto vale la ordenada en el origen?

d) y = f(x) = 2x ¿Qué nombre recibe? Haz la gráfica

¿Cuál es su dominio? ¿Cuál es su recorrido? ¿Es simétrica?

Cortes con los ejes

¿Crece o decrece? Signo de f(x) ¿Cuánto vale la pendiente? ¿Cuánto vale la ordenada en el origen?

e) ¿Qué nombre recibe? ¿Qué concavidad tiene?

¿Cuál es su eje de simetría? ¿Qué vértice tiene?

Cortes con los ejes

Haz la gráfica ¿Cuál es su dominio? ¿Cuál es su recorrido? Signo de f(x) =

¿Para qué valores crece? ¿Para qué valores decrece? ¿Tiene máximo o mínimo? ¿Cuál es?

f) ¿Qué nombre recibe? ¿Qué concavidad tiene?


Cortes con los ejes

Da dos valores a la x y obtienes la y Haz la gráfica ¿Cuál es su dominio? ¿Cuál es su recorrido? Signo de f(x) =


g) ¿Qué nombre recibe? ¿Qué concavidad tiene?


Cortes con los ejes

Haz la gráfica ¿Cuál es su dominio? ¿Cuál es su recorrido? Signo de f(x) =

85


86

SOLUCIONES DEL TEMA 11(TEXTO)

Pág. 228

1) a) Sí. b) No. c) Sí d) No 2) a) m = - 3 b) m = c) m = 4 d) m = -1

3) a) m = - 4 · y + 3 · x = 0 b) m = - 8 · y + 3 · x = 0 c) m = 5 y = 5 · x d) m

= - 2 · y - 15 · x = 0

4)Recta verde:y = x, Recta rosa: y = x, Recta azul: y = - x, Rectaroja: y = - x

5) a) x -5

-2 2 9

f(x)-

3

10-

6

b) x -2 -0’5 1’5 2’5 0’2 5y -1 -0’25 0’75 1’25 0’1 2’5

6) a) m = -1, ordenada en el origen: 4 b) m = - , ordenada en el origen: 1

c) m = 2, ordenada en el origen: -3 d) m = 3, ordenada en el origen: -4

7) y = -2·x + 13 8) a) y = , x = b) y = , x =

9) Gráfico 10) a) y = 15 · x + 200; b) y = 5 · x + 10; c) y = 10 · x ; d) y = 2 · x + 60

11) r: y = x + 1; t: y = 3 · x - 3; s: y = -2·x - 4; u: y = - x + 2

12) a) m = 0, n = - 4 b) m = 0, n = c) m = 0, n = 2 d) No tiene ni pendiente ( )

ni ordenada en el origen

13) a) ( -2,0), (0,4) y V(-2,0) b) (-2, 0), (5,0), (0,10) y V c) (0,0), (2,0) y

V(1, -1) d) ( -3, 0), (-1,0), (0,6) y V(-2, -2)14) a) V (1, 3), x = 1 b) V(4, 53), x = 4 c) V (- 3, - 2), x = - 3 d) V(1,0), x = 115) Gráfico16) a) Inversamente proporcional. b) Inversamente proporcional c) Directamente proporcional d) Inversamente proporcional17)

Tiempo 2 4 1Velocidad 100 50 200

y (velocidad) =

18) a) A cero b) Se reduce mucho el gas, casi al volumen 019) Gráfico20) Gráfico

87

21)

22) Gráfico

PRACTICA TÚ1) La distancia recorrida por el primer coche es y = 80 x. La del segundo coche y = 100 x – 200. El punto donde se encuentran es x = 10 h, a las 10 h después de haber recorrido 800 km se encontrarán2) Dimensiones del rectángulo a vallar 10 x 20 m3) Gráficamente se observa: Cobran lo mismo por mensajes de 15 letras; Si se escribe más interesa la 1ª compañía, y si se escribe menos, la segunda

ACTIVIDADES6) a) Directamente proporcional. b) Directamente proporcional9) Recta verde:y = 3x, Recta azul: y = x, Recta roja: y = - 2 x

10) a) 154 € b) 7 años c) y = 14 · x

11) a) 1’08 · 109 km/h b) 390000 km c) e = v· t d) 0’001 s

12) a) y = x b) 4’ 8 h c) 0’1 g 15) a) m = 0, n = - 4 b) m = - , n = 5

c) m = 3, n = 0 d) No tiene pendiente ni ordenada en el origen

16) a) y = - 5·x + 3 b) y = x + 7 c) y = x

17) Recta verde:y = - x + 3, Recta roja horizontal: y =2, Recta azul: y = 2 x - 2, Recta

roja vertical: x = - 3 18) 2 y – 3 x – 12 = 0 19) Actividad resuelta

20) y = x -1 21 ) a) y = 3x + 30 b) gráfico c) 500 m

22) a) Gráfica b) v = 0’25 km/min. La velocidad viene dada por la pendiente c) d) y = 0’25 x y = 0’25 x + 123) A partir de 16 000 km es más rentable el coche de gasóleo24) No, porque están alineados. Pertenecen a la recta y = 2 x - 325) Hasta ocho horas, es más barato la segunda opción y a partir de ocho horas, es mejor la primera opción 28) Gráfica29) a) V (-5, -3); x = -5 y (0, - 28) b) V (3, 0); x = 3; (3, 0) y (0, 9) c) V (1,5); x = 1 y (0, 7) d) V (-4, -2); x = -4 y (0, -50) 30) 100 salmones

31) El máximo rendimiento en x = , El rendimiento nulo en x = 0 y x = 1

32) Actividad resuelta 33) y= x2+6x+8 34) y = - x2 + 7x + 1

35) a) Gráfica b) gT=9’86 m/s2 gL=1’59 m/s2 c) tL=2’5 s tT= 1 s d) eL = 2862 m eT = 17748 m36) Gráfica 38) Gráfica 39) Actividad resuelta

40) Gráfica42) Gráfica

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43) a) b)

44) Gráfica45) Gráfico. Las dos rectas son y = 600, y = 2·x +100 Se observa que el número de libros para los que son iguales ambos contratos es 250 libros. Si se venden menos, interesa el primer contrato y, si se venden más, es el segundo contrato el que sale más rentable

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TEMA 12

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

TEORÍA

ESTADÍSTICA es la ciencia que observa los fenómenos de la vida y estudia e interpreta los resultados dando posibles solucionesLa palabra "estadística" procede del vocablo "estado", pues era función principal de los gobiernos de los estados establecer registros de la población, etc.. La estadística se puede describir mejor, sin embargo, como una ciencia que estudia la interpretación de los datos numéricos, obtenidos mediante una encuesta o como resultado de un experimento aleatorio

Dentro de la Estadística se distinguen dos ramas: La estadística descriptiva: describe el fenómeno (recoge, anota y organiza los datos que se quiera estudiar), y analiza los datos (mira las veces que se repite cada resultado (hace el recuento), calcula valores que los representen, los ordena, los clasifica, construye tablas, se representan gráficos y estudia si hay alguna explicación teórica que los justifique)La estadística inferencial: obtiene conclusiones y toma decisiones a partir del análisis de los datos. En esta fase se utiliza la probabilidad.En este curso estudiamos la estadística descriptiva

DEFINICIONES BÁSICAS

Se llama "población ", "universo" o "colectivo", al conjunto de todos los elementos que cumplen una determinada característica (motivo de la estadística). Los elementos de una población se denominan "individuos" o "unidades estadísticas".

Se llama "muestra " a un subconjunto de la población. Una muestra es válida si es representativa de la población. Para ello los elementos deben ser elegidos de forma aleatoria: todos y cada uno de los elementos de la población tienen la misma posibilidad de formar parte de la muestraLa muestra no es una porción cualquiera de la población, sino una porción representativa de ella. La composición de una muestra debe estar en proporción a la composición de la población a la que representa. Así, si se desea elegir una muestra formada por 1000 personas en la que el 60% de los individuos son mujeres, deberemos elegir para la muestra 600 mujeres y 400 hombres.Al número de elementos de una muestra se le denomina tamaño.

Se llama carácter estadístico a una propiedad que permite clasificar a los individuos de una población o bien la cualidad observable en una población y que es el motivo de la estadística. Se distinguen dos tipos de caracteres estadísticos, cualitativos y cuantitativos.Caracteres estadísticos cuantitativos son aquellos que se pueden medir (como por ejemplo, la talla de un individuo). Es evidente que un carácter cuantitativo toma distintos valores según el individuo que se examine. El conjunto de todos los valores que puede tomar un carácter estadístico cuantitativo se llama variable estadística y se representa por xi. Puede ser de dos tipos: discreta cuando la variable estadística toma valores aislados, esto es, entre dos valores consecutivos, no puede tomar los valores intermedios y continua cuando la variable estadística puede tomar entre dos valores cualquier valor intermedios Caracteres estadísticos cualitativos son aquellos que no se pueden medir (como por ejemplo, la profesión de una persona). Se llaman modalidades de un carácter estadístico a cada una de las diferencias que se pueden establecer dentro de un

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carácter estadístico cualitativo (por ejemplo, son modalidades del carácter profesión de una persona: biólogo, abogado,…).Según esto, los caracteres cuantitativos determinan a las variables estadísticas mientras que los caracteres cualitativos determinan atributos (modalidades).

Se llama frecuencia absoluta del valor xi y se representa por fi al número de veces que se repite dicho valor.Se llama frecuencia relativa del valor xi y se representa por hi al cociente entre la frecuencia absoluta de xi y el número total de datos (N), que intervienen en la distribución: hi = fi / NSe llama frecuencia absoluta acumulada (en sentido ascendente) del valor xi, y se representa por Fi a la suma de las frecuencias absolutas de todos los valores anteriores a xi más la frecuencia absoluta de xi: Fi = f1 + f2 + ... + fi

Si la frecuencia relativa la expresamos mediante porcentajes, encontramos la frecuencia porcentual. Se calcula multiplicando por 100 la frecuencia relativa. La frecuencia porcentual estará lógicamente comprendida entre 0 y 100 y la notaremos por Pi.

Para analizar una muestra debemos seguir ordenadamente los siguientes puntos:1) Recogida de datos: Consiste en tomar los datos numéricos procedentes de la muestra.2) Ordenación de los datos: Colocarlos por orden creciente o decreciente.3) Recuento de frecuencias: Contar los datos obtenidos.4) Agrupación de datos: En el caso de que la variable sea continua o un número de datos grande (intervalos). (Ver nota)5) Construcción de la tabla estadística: En dicha tabla estadística deberán figurar: a) Los valores de la variable - si es cuantitativa - o las modalidades - si es cualitativa - b) Las frecuencias: absolutas ,relativas, acumulada y porcentual c) Los cálculos necesarios para facilitar el cálculo de los parámetros

NotaEn el caso de que la variable sea bien continua o bien discreta, pero con un número de datos muy grande, es aconsejable agrupar los datos en clases o intervalos de clase, que son subconjuntos del conjunto de valores que puede tomar la variable continua.Para ello, hemos de tener en cuenta el rango o recorrido de la variable, que viene dado por la diferencia entre el valor máximo de la variable y el valor mínimo. El tamaño del intervalo es su amplitud, pueden ser constantes o variables, aunque debemos procurar que todos tengan la misma amplitud. Para hallar la amplitud del intervalo dividimos el recorrido por el número de intervalos n que queremos obtener. No existe ninguna ley que nos diga el número de intervalos que debemos formar, un mayor número de intervalos implica una menor claridad pero una exactitud mayor y al contrario, un número menor de intervalos significa ganar en claridad de expresión y en facilidad de cálculo, al igual que supone menos precisión y exactitud. Norclife establece que el número de clases debe ser aproximadamente igual a la raíz cuadrada positiva del número de datos.Los límites de un intervalo son los extremos de dicho intervalo; es aconsejable escoger los límites de modo que se sitúen en números enteros. Los intervalos se deben construir de tal forma que el límite superior de un intervalo coincida con el límite inferior del siguiente.A los puntos medios de cada clase se les llama marca de clase.

GRÁFICOS ESTADÍSTICOS

Diagrama de barras. Polígono de frecuencias

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El diagrama de barras se utiliza para representar variables discretas. Sobre el eje horizontal o eje de las abscisas se indican los valores de la variable (un punto cualquiera para cada valor) y sobre el vertical o de las ordenadas las frecuencias que les corresponden. A continuación se levantan trazos gruesos o barras por los puntos marcados en el eje de las abscisas, de longitud igual a la de la frecuencia correspondiente a cada valor. Si trazamos una línea poligonal que una los extremos de las barras, obtenemos el polígono de frecuencias.Si en vez de levantar barras, levantamos dibujos tenemos un Pictograma

Histograma. Polígono de frecuencias

El histograma se utiliza para representar variables cuantitativas continuas y cuando los datos se agrupan en intervalos. Sobre el eje horizontal se indican los extremos de los intervalos y se levantan rectángulos de base la amplitud del intervalo y altura la frecuencia. La línea poligonal que une los puntos medios de los lados superiores de cada rectángulo es el polígono de frecuencias.

Diagrama de sectores

El diagrama de sectores se usa para cualquier tipo de variable. Los datos se representan en un círculo, siendo la amplitud del sector circular que corresponde a un dato xi igual a 360º por la frecuencia relativa de xi (también se puede calcular haciendo una sencilla regla de tres ) Ejemplo:

La frecuencia de las vocales (a,e,i,o) que aparecen en una frase viene dada por la

siguiente tabla:

Nº grados de a =30

10·360º; Nº grados de e = ·360º ; Nº grados de i = ·360º Nº

grados de o =30

10·360º

vocal fi hi

a 10

30

10

e 13

I 4

0 3

Parámetros

Una característica casi continua a lo largo de la estadística es el manejo de una grancantidad de datos. Se ha visto ya que una forma de reducir la complejidad de los datos estadísticos de una distribución es la construcción de tablas estadísticas y las representaciones gráficas.

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Uno de los fines más importantes de la estadística descriptiva es el de resumir o sintetizar esas grandes cantidades de datos en unos pocos números que nos proporcionan una idea, lo más aproximada posible, de toda la distribución. Estos números se conocen con el nombre de parámetros estadísticos.

En general, se llama parámetros estadísticos a ciertos valores característicos que representan los aspectos más destacables de dicha distribución y facilitan su estudio.

Vamos a estudiar dos tipos: Parámetros centralización o de posición y los parámetros de dispersión

Los parámetros centralización o de posición, sirven para estudiar las características de los valores centrales de la distribución atendiendo a distintos criterios. Las medidas de posición más importantes son: la media aritmética, la mediana y la moda. También se utilizan los cuartiles, deciles y percentiles.

Media aritmética. Cálculo de la misma.

Se llama media aritmética simple de una variable estadística a la suma de todos los valores de dicha variable (o de las marcas de clase para datos agrupados en intervalos) dividida por el número de valores.

Cálculo:

Sea x una variable estadística que toma los valores x1, x2, ... xn.

Sea x una variable estadística que toma los valores x1, x2, ... xn, con frecuencias f1, f2,

... fn respectivamente, luego:

Mediana, cuartiles. Cálculo.

Si todos los valores que toma la variable están ordenados en forma creciente o decreciente, se llama mediana a aquel valor, xm, que ocupa el lugar central si hay un número impar de datos, o, en caso de ser par, a la media aritmética de los valores centrales xm y xm+1. Se representa por M e

La mediana, tal como indica su definición, tiene la propiedad de que el 50% de los datos son menores o iguales que ella y el 50% restante son mayores o iguales que ella.Para su cálculo distinguiremos dos casos:a) Mediana con datos no agrupados: Para calcular la mediana con datos no agrupados se ordenan los elementos en sentido creciente o decreciente y la mediana es el valor que ocupa el valor b) Mediana con datos agrupados por frecuencias. Para calcular la mediana ordenamos los datos de la variable de menor a mayor y calculamos las frecuencias absolutas acumuladas. La mediana viene dada por el primer valor de la variable cuya frecuencia absoluta acumulada exceda a la mitad del número de datos.

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Cuartiles

Si todos los valores que toma la variable están ordenados en forma creciente o decreciente, se llaman cuartiles a los valores que ocupan los lugares que se indican:

El primer cuartil, se representa por Q1, es el dato que ocupa el lugar del a tabla. El

segundo cuartil, se representa por Q2 es el dato que ocupa el lugar del a tabla

(coincide con la mediana). El tercer cuartil, se representa por Q3 es el dato que ocupa

el lugar del a tabla.

El cálculo de los cuartiles se hace de forma análoga al cálculo de la mediana

Moda

Es el valor que más veces se repite, es decir, el que tiene mayor frecuencia. Se representa por Mo

Los parámetros de dispersión: miden la mayor o menor concentración o dispersión de los valores alrededor de los parámetros de centralización.Los más característicos son el rango o recorrido, la varianza y la desviación típica.

Rango o recorrido

El rango o recorrido es la diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo

Desviación media

Se llama desviación de xi respecto a la media a la diferencia entre el valor x i y la media. Se representa por di di = xi - La desviación media es la media aritmética del valor absoluto de las desviaciones. Se

representa por dm dm

Varianza y desviación típicaLa varianza es la media aritmética de los cuadrados de las desviaciones d i, se representa por V(x) o por S2(x) o por

La desviación típica es la raíz cuadrada positiva de la varianza, se representa por S (x) o por ,

Coeficiente de variación

El coeficiente de variación es el cociente entre la desviación típica y la media

aritmética, se representa por C V CV=

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FÓRMULAS ESTADÍSTICA

MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN

Media aritmética simple ( o ): o bien

Mediana (M) (valor central)

Variable continua : Intervalo de la mediana el de frecuencia acumulada Fi >

Cuantiles

a) Cuartiles:

Moda : Variable discreta: Valor de mayor frecuencia absoluta.

Variable continua: Intervalo de la moda el de mayor frecuencia absoluta

MEDIDAS DE DISPERSIÓN

Rango o recorrido: máx ( ) – mín ( )

a) Rango intercuartílico:

Varianza ( ó )

Desviación típica (S ó )

Coeficiente de variación (se representa por C V) C V =

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Covarianza ( )

Recta de regresión de y sobre x

Recta de regresión de x sobre y

Coeficiente de correlación

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PROBLEMAS

1.- Un equipo ciclista quiere estudiar el estado de las bicicletas a lo largo de cuatro años. Toma una muestra de 20 bicicletas y mira los Kilómetros que han recorrido:

Kilómetros recorridos: xi 1 000 1 500 1 600 2 000 2 100Número de bicicletas: fi 2 3 7 3 5

a) Representa en un polígono de frecuencias este resultado. b) Calcula la media, la mediana y la moda. c) Halla los cuartíles. d) Determina la varianza, la desviación típica y el rango o recorrido.

2.- Los siguientes datos corresponden al número de billetes vendidos en una atracción de feria en un mes: 10, 20, 7, 15, 25, 7, 5, 10, 10, 20, 25, 6, 3, 15, 16, 20, 25, 30, 45, 30, 10, 7, 15, 25, 10, 20, 25, 7,15,10a) Realiza una tabla y un polígono de frecuencias. b) Calcula los cuartíles. c) Encuentra la desviación típica.

3.- Una casa de neumáticos para coches quiere probar 20 de los que ha fabricado. Para ello los somete a una prueba que consiste en ver cuántos Kilómetros aguantan a alta velocidad durante 2 horas. EL resultado es el siguiente

Kilómetros recorridos: xi 100 200 300Número de neumáticos: fi 5 12 3

a) Representa en forma de pictograma este resultado. b) Calcula la media, la mediana y la moda. c) Determina la varianza, la desviación típica y el rango o recorrido.

4.- En un laboratorio de Física se quiere estudiar la resistencia de un material. Para ello se someten 20 bloques de este material a cinco pesos diferentes. Los resultados son los siguientes:

Peso (Kilopondios): xi 100 200 300 400 500Número de trozos que resisten : fi 5 7 3 3 2

a) Representa en un polígono de frecuencias este resultado. b) Calcula la media, la mediana y la moda. c) Halla los cuartíles. d) Determina la varianza, la desviación típica y el rango o recorrido.

5.- Cáritas ha hecho un estudio sobre el número de niños abandonados en un año en veinte capitales de provincia, obteniendo los siguientes datos:

Número de niños: xi 10 12 15 25 30Número de capitales: fi 2 6 3 5 4

a) Calcula el número medio de niños abandonadosb) Averigua la desviación típicac) Halla los cuartiles

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6.- Una ONG que se dedica a la preservación del medio ambiente realiza un estudio sobre el número de truchas que se han pescado en un río durante treintas días. El resultado es el siguiente

Número de truchas: xi 10 20 25 29 30Número de días: fi 2 10 9 5 4

a) Representa gráficamente este resultado. b) Calcula la media, la mediana y la moda. c) Determina la varianza, la desviación típica y el rango o recorrido. 7.- Una compañía aérea quiere saber el número medio de viajeros al cabo de un mes. Realiza un estudio y obtiene los siguientes resultados:

Número de viajeros xi Número de días: fi

[0-300) 5[300-600) 10[600-900) 12

[900-1 200) 3

a) Representa gráficamente este resultado. b) Calcula la media c) Determina la varianza, la desviación típica y el rango o recorrido.

8.- Una cadena de comidas a domicilio quiere saber el tiempo medio que tardan en repartir a una determinada zona de la ciudad. Para ello manda a sus repartidores que apunten el tiempo que invierten. Preguntando a 25 repartidores, se obtuvieron los siguientes resultados:

Tiempo: xi [10, 12) [12, 14) [14, 16) [16, 18)Número de repartidores: fi 8 12 4 1

a) Representa la información en un histograma b) Calcula el tiempo medio y la desviación típica.

9.- La Inspección Técnica de Vehículos de la Comunidad de Castilla y León quiere saber cuántos vehículos pasan al año que no superan el test de gases contaminantes. Preguntados treinta centros de inspección se consiguieron los siguientes resultados:

Número de vehículos: xi [ 0, 3 ) [ 3, 6 ) [ 6, 9 ) [ 9, 12 )Número de ITV: fi 5 2 10 13

a) Representa la información en un histograma b) Calcula el número medio de vehículos que no superan el test y halla la desviación típica.

10.- Una compañía discográfica quiere estudiar el número de discos vendidos por un grupo de música independiente. Para ello realiza un seguimiento de las ventas durante un mes y llega a los siguientes resultados:

Número de discos xi Número de días: fi

[100-200) 10[200-300) 15[300-400) 3[400-500) 2

a) Representa la información en un histograma b) Calcula el número medio de discos vendidos y halla la desviación típica.

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11.- La protectora de animales quiere investigar el número de perros abandonados durante los meses de verano en una ciudad. Encarga, durante 70 días, un estudio estadístico del número de perros abandonados en la calle. Los resultados del estudio han sido:

Número de perros: xi [10, 15) [15, 20) [20, 25) [25, 30) [30, 35)Número de días: fi 20 10 15 17 8

a) Representa en un polígono de frecuencias este resultado. b) Halla el número medio de perros abandonados. c) Determina la varianza y la desviación típica.

12.- Las cifras siguientes corresponden al número de pólizas que una compañía de seguros realiza durante los meses de un año y al número de accidentes que ocurren al mes:

Pólizas 30 35 52 60 83 47 25 30 82 100 53 47

Accidentes 10 15 25 42 12 20 15 18 33 26 10 35

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Soluciones de los problemas propuestos

1.- b) = 1710 km, Mo: xi= 1600, Me: xi=1600; c) Q1: xi=1550, Q2=Me, Q3: xi=2050 d) = 2741900, = 1655’87, r = 1100

2.- b) Q1: xi =10, Q2: xi =15, Q3: xi = 2 c), = 9’383.- b) = 190, Mo: xi= 200, Me: xi= 200; c) = 3900, = 62’45, r = 2004.- b) = 250, Mo: xi= 200, Me: xi= 200; c) Q1: xi=150, Q2=Me, Q3: xi= 350 d)

= 16500, = 128’45, r = 4005.- a) = 19’1, Mo: xi= 12, Me: xi=15; b) = 7’64 c) Q1: xi=12, Q2=Me, Q3: xi=25 6.- b) = 23’66, Mo: xi= 20, Me: xi= 25; c) = 27’87, = 5’27, r = 207.- b) = 580; c) = 70100, = 264’76, r = 12008.- b) = 12’84 = 1’599.- b) = 7’6, = 3’2310.- b) = 240, = 83’0611.- b) = 21’28; c) = 48’17, = 6’9412.- más dispersos los accidentes

SOLUCIONES DEL TEMA 12(TEXTO)

Pág. 2481) Un estudio estadístico consiste en la recogida, organización, resumen y análisis de datos para, posteriormente, obtener conclusiones y tomar decisiones a partir del examen de esos datos.2)a) La población serían todos y cada uno de los trabajadores. Cada trabajador sería un individuo b) No, al inferir la información al resto de la población,daría como resultado que todos llegan pronto y eso puede no ser cierto 3) Libre4) Cualitativa, Las modalidades serían todas las distintas provincias de España5) a) Cuantitativo b ) Cuantitativo c) Cualitativo d) Cualitativo 6) Las modalidades de los signos del zodíaco son: Aries, Tauro, Géminis, Cáncer, Leo, Virgo, Libra, Escorpio, Sagitario, Capriconio, Acuario y Piscis. Las modalidades son todas las localidades de la provincia donde vivas.7) El día del mes es discreto y la distancia es continuo 8) Libre 9) Libre10) a) 16 personas han obtenido un 5 y 90 personas menos de un 8 b) Un cinco c) El cinco. También el cinco. Sí, ambos resultados van a coincidir siempre11)

xi ni hi % Ni Hi

0 5 0’25 25’00 5 0’251 8 0’4 40’00 13 0’652 6 0’3 30’00 19 0’953 1 0’05 5’00 20 1

a ) El 40% de las personas b) 5 personas c) El número total de personas preguntadas, 20 12) a) 2 personas miden menos de 160 cm y 9,menos de 170 cm b) 7 personas miden entre 160 y 170 cm c) El 35% pertenece al intervalo de mayor frecuencia que es [160, 170)13) a) Es una variable cuantitativa discreta. El rango es: 200 – 120 = 80b)

x ni hi % Ni Hi

[120, 130) 3 0’075 7’5 3 0’075[130, 140) 7 0’175 17’5 10 0’25

100

[140, 150) 14 0’35 35 24 0’60[150, 160) 8 0’20 20 32 0’80[160, 170) 5 0’125 12’5 37 0’925[170, 180) 2 0’05 5 39 0’975[180, 190) 0 0 0 39 0’975

1 0’025 2’5 40 1

c) 10 estudiantes han obtenido menos de 140 puntos y 39 estudiantes, menos de 180 puntos. 17’5% y 97’5% respectivamente14) Gráfico 15) Gráfico 16) Gráfico17) Es una población joven. El 50% de la misma está entre 20 y 60 años. Existe una cierta igualdad entre sexos18) La media es 1’22; Es decir, el número medio de transportes utilizados es 1, que coincide con la moda. Ambas medidas son representativas de los datos19) La media es 6’3, si redondeamos 5. Hay dos modas 4 y 7. Ambas medidas no coinciden. La media es más representativa que la moda, pues los valores de la moda no difieren mucho de los demás datos.20) La mediana es 2 21) a) La mediana es 3 b) La media es 3’1. en este caso el valor medio y el mediano es el mismo: 3 libros22) a) 3000-1000 = 2000€ b) 1250 - 1000 =250 € c) No es útil, porque hay un valor muy extremo23) Ordenamos los valores de menor a mayor y restamos a cada valor la media aritmética, 1400, y se obtienen las desviaciones: -400, -350, -300, -200, -150, y 1600. La suma es 0 24) Si eliminamos el salario mayor, la media es ahora 1133’33. Restamos a cada valor la media y se obtienen las desviaciones: -133’33, -83’33, -33’33, 66’67, 66’67 y 116’67. Sí, siempre es 0

25) Media = 1400, DM = 457’14, La varianza = = 433571’43, La desviación

típica = + 26) Sí, la media y la varianza bajará, pues son valores de dispersión y, quitando el más alto, los valores están menos dispersos. La media es 1133’33. DM 0= 83’33. La varianza es 8055’57 y la desviación típica es 89’7527) Con estos datos, lo normal sería elegir a Gema, pues sus puntuaciones son más

regulares. Comprobamos con el CV: Para Carmen : DM=

Para Gema: DM= , menos disperso Gema

PRACTICA TÚ1) Respuesta libre 2) Lo hacemos 23 = 8 veces mayor, en vez de solo el doble

ACTIVIDADES6) La estadística descriptiva se ocupa de la recogida, organización, resumen y análisis de los datos; y la estadística inferencial de la obtención de conclusiones y toma de decisiones a partir del análisis de datos7) a) la población serían todos y cada uno de los miembros de la comunidad escolar. Cada uno sería un individuo. b) No, para que fuera representativa habría que tomar en la muestra elementos de distintas edades.8) a) Cuantitativo b) Cualitativo c) Cuantitativo d ) Cualitativo9) Es discreto el número de veces que vas al cine durante un año, y continuo la longitud de los espárragos10) 0,1,2,3,4,5,…Una variable discreta puede tomar una cantidad infinita, numerable, de valores11) Una variable continua toma una cantidad infinita , no numerable, de valores, Un ejemplo la altura de un grupo de individuos

101

12) a) xi ni hi % Ni Hi

0 12 0’4 40’00 12 0’41 10 0’33333333 33’33 22 0’733333332 3 0’1 10’00 25 0’833333333 2 0’06777777 6’67 27 0’94 1 0’03333333 3’33 28 0’933333335 1 0’03333333 3’33 29 0’966666676 1 0’03333333 3’33 30 1

b) sumando las frecuencias absoluta c) 1 d) EL 33’33% de los alumnos, es decir, una tercera parte. Dos asignaturas, el 10%, y tres asignaturas, el 6’67% e) 12, 10 y 3, respectivamente

13) a) Cuantitativa continua b) El rango es: 2’00 – 1’20 = 0’80 cmc)

x ni hi %[1’20, 1’30) 3 0’075 7’5[1’30, 1’40) 7 0’175 17’5[1’40, 1’50) 14 0’35 35[1’50, 1’60) 8 0’20 20[1’60, 1’70) 5 0’125 12’5[1’70, 1’80) 2 0’05 5[1’80, 1’90) 0 0 0[1’90, 2’00 1 0’025 2’5

d) El 7’5% y el 2’5%,respectivamente

14) Gráfico15) Gráfico16) Gráfico 17) Gráfico dividido en 10 intervalos, cuyo intervalo modal es 18) a) La media es 3’62, la mediana es 3 y la moda es 4. Parámetros de centralización b) La media baja hasta 3’36, la mediana y la moda se mantienen en 3 y 4, respectivamente.19) Solo es falsa la primera20) a) 43 hoteles representan el 28’67% del total b) El 54% c) De 100 a 200 plazas d) La media de esos datos es 342’67. Por tanto, el número medio de plazas es 343. e) Hay 37 hoteles que tienen entre 100 y 200 plazas. Sí, con la moda, porque 37 es la mayor frecuencia, con lo que la moda es [100,200) f) El intervalo mediano es [300,400). Observa que la media pertenece a este intervalo21) Actividad resuelta22) Faltaría – 10 para que la media fuese 423) No hay ninguno que tenga mayor frecuencia que otros, por lo que no hay moda. En cuanto a la mediana, si se suma 3 a cada uno de los valores, estas aumentan en 324) La media aritmética de Etnografía es 146’17; es decir 146 libros, La media de aritmética es 74’5; es decir 75 libros. a) Ganó la apuesta el sociólogo, pues el doble de Matemáticas es 150 y supera los 147 de Etnografía b) El coeficiente de variación para

Etnografía es y para Matemáticas; es decir es mayor la

variabilidad para las Matemáticas25) a) El rango para los valores de reclusos varones es 2868 y para mujeres 283 . Este dato no sirve para comparar. Sería más adecuado el CV. b) La varianza de los varones es 840793, y de las mujeres 7843’83La unidad es personas al cuadrado, notiene sentido c) La desviación típica es 916’93 para varones y 88’57 para mujeres; el coeficiente de variación es 2’45% para varones y 2’75% para varones.Se mide la

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desvación típica en varone y mujeres respectivamente, el coeficiente de variación es adimensional. La desviación tíoica es representativa porque el CV es pequeño.21) Activiad resuelta

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TEMA 13

PROBABILIDAD

TEORÍAEn la naturaleza podemos encontrar dos tipos de fenómenos o experimentos: deterministas y aleatorios.Experimentos deterministas son los que se pueden saber los resultados antes de realizarlos. Sus resultados siguen una ley física.Experimentos aleatorios son los que no se pueden saber los resultados antes de realizarlos. Pueden dar lugar a varios resultados sin que se pueda saber, sin realizarlo, cual de ellos va a ocurrir.

SUCESOS:TIPOS DE SUCESOSEspacio muestral de un experimento aleatorio es el conjunto de todos los resultados posibles de dicho experimento. Se representa por la letra E.Se llama suceso aleatorio asociado al experimento aleatorio a cada uno de los subconjuntos que se pueden formar con los resultados del espacio muestral. Existen distintos tipos de sucesos:Suceso seguro el que ocurre siempre que se realiza el experimento y coincide con E.Suceso imposible, cuando no ocurra nunca. Redesigna por Suceso elemental. Cualquier resultado posible de un experimento aleatorio es un suceso elemental. Cualquier elemento de E es un suceso elemental.Suceso compuesto el que está formado por varios sucesos elementales Al efectuar un experimento aleatorio se dice que el suceso A se ha verificado si el suceso elemental resultado del experimento está incluido en A. Dado un suceso A se llama suceso contrario o complementario de A al que se verifica siempre que no se verifique A. Se le representa por . ESucesos dependientes e independientesCuando en un experimento aleatorio el resultado de un suceso no condiciona el resultado de otro suceso consecutivo decimos que los sucesos son independientes. En caso contrario los sucesos son dependientes.Experimentos aleatorios compuestosLos experimentos que resultan de combinar varios experimentos simples reciben el nombre de experimentos compuestos o complejos. Ejemplo: experimento que consiste en lanzar un dado y una monedaDiagrama en arbolUn diagrama en árbol es una representación gráfica de los posibles sucesos de un experimento

OPERACIONES CON SUCESOSDados dos sucesos A , B , se llama unión (o suma) de los sucesos A y B, y se representa por A B, al suceso que consiste en verificarse A o B o ambos. Se llama intersección (o producto) de A y B, y se representa por A B, al suceso que consiste en verificarse ambos sucesos.Dos sucesos asociados a un experimento aleatorio son incompatibles si no pueden verificarse simultáneamente. A y B son incompatibles, si el suceso A B no puede darse nunca y es el suceso imposible. A y B son compatibles, si el suceso A B no es el suceso imposible.

La unión de sucesos cumple las siguientes propiedades. A = A , A = E , A A = A

La intersección de sucesos cumple las siguientes propiedades:

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A E = A A = A A = A Otra operación de sucesos es la diferencia: A - B = A

FRECUENCIA RELATIVA Y PROBABILIDAD

Sea A un suceso asociado a un determinado experimento aleatorio. Efectuamos N pruebas y representamos por n el número de veces que se ha realizado A en las N pruebas.Frecuencia absoluta es el número de veces que se ha realizado A en el conjunto de pruebas, es decir, n.Frecuencia relativa es el cociente entre el número de veces que se ha realizado A en el conjunto de pruebas, es decir, n y el número total de pruebas, es decir N:

La frecuencia relativa de un suceso tiende a estabilizarse en torno a un número, a medida que el número de pruebas del experimento crece indefinidamente.Este número al que la frecuencia relativa de un suceso se acerca más cuanto mayor es el número de pruebas realizadas recibe el nombre de probabilidad del suceso y se representa por P (A)

Propiedades de la probabilidad1) la probabilidad de un suceso es siempre un número real comprendido entre cero y uno 0 < P(A) 1. La probabilidad de un suceso cualquiera del espacio de sucesos es positiva o nula.2) La probabilidad del suceso seguro es la unidad: p(E) = 1.3)La probabilidad del suceso imposible es cero: p( ) = 0. 4) Si A y B son sucesos incompatibles p(A B) = p(A) + p(B)5)La probabilidad del suceso contrario de un suceso es iguala la unidad menos la probabilidad del suceso p( ) = 1 - p(A)6) P(A-B) = p(A )= p(A) - p(A B). 7) Si A y B son dos sucesos compatibles p(A B) = p(A)+p(B) - p(A B) 8) Si A B p(A) < p(B)9) P(A) < 110) La probabilidad de la intersección de dos sucesos independientes es igual al producto de las probabilidades P(A B) = P(A) · P(B)

REGLA DE LAPLACE.Sea E un espacio muestral y sean {a1}, {a2}, ... {an} los n sucesos elementales de E. Si todos ellos son equiprobables y A es el suceso formado por k sucesos elementales, se tiene que: P(A) = k / nEs decir, que la probabilidad del suceso A es igual al cociente entre el número de sucesos favorables al suceso A y el número de casos posibles del experimento.

NOTA: Casos posibles son todos los resultados del experimento, es decir, todos los elementos del espacio muestral. Casos favorables son los elementos que componen el suceso A.

PROBLEMAS

1.- Sea el experimento aleatorio que consiste en lanzar un dado y una moneda. Si A es el suceso que la moneda salga cruz y B es el suceso de obtener 1 ó 2 con el dado, indicar el significado de los siguientes sucesos:

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a) b) c) A B d)

2.- El espacio muestral relativo a un experimento aleatorio es E = {1,2,3,4} y se consideran los sucesos A = {1,2} B = {2,4} C = {14}Calcular los siguientes sucesosa) b) c) A B d) e) C B f) A B g) C B h) A C

3.- Sean A, B y C tres sucesos de un mismo espacio muestral. Expresar mediante operaciones con sucesos los siguientes:a) se verifica A y C pero no B.b) Se verifica al menos uno de los tres sucesos.c) Se verifican al menos dos sucesos.d) No se verifica ninguno de los tres.e) Se verifica uno solo de los tres sucesos.

4.- se considera el experimento aleatorio de lanzar al aire dos dados y anotar los resultados. Se pide:a) El espacio muestral.b) Elementos del suceso "obtener siete puntos".c) Elementos del suceso "obtener ocho puntos".d) Elementos del suceso "obtener al menos ocho puntos".

5.- Se lanzan dos dados de distintos colores sobre una mesa y se anotan los números obtenidos. Determinar por extensión los sucesos A y B siguientes:- A: "sacar al menos un seis".- B: "sacar sólo un seis"

6.- . Se sacan dos bolas de una urna que se compone de una bola blanca, otra roja, otra verde y otra negra. Describir el espacio muestral cuando: a) La primera bola se devuelve a la urna antes de cacar la segunda.b) La primera bola no se devuelve.c) La aparición de al menos una cara en dos lanzamientos de una moneda.

7.- Se extrae una bola de una urna que contiene 4 bolas rojas, 5 blancas y 6 negras, ¿cuál es la probabilidad de que sea roja o blanca? ¿Cuál es la probabilidad de que no sea blanca?.

8.- ¿Cuál es la probabilidad de sacar de una sola vez dos bolas blancas o dos bolas rojas de una urna que contiene 5 bolas blancas y 7 bolas rojas?.

9.- Se lanzan dos dados al aire y se anota la suma de los puntos obtenidos. Se pide: a) La probabilidad de que salga el siete.b) La probabilidad de que el número obtenido sea par.c) La probabilidad de que el número obtenido sea múltiplo de 3.

10.-. La probabilidad de que un hombre viva 20 años es 1/4 y la que su mujer viva 20 años es 1/3. Se pide calcular la probabilidad:a) de que ambos vivan 20 años.b) de que el hombre viva 20 años y su mujer no.c) de que ambos mueran antes de los 20 años.

11. -¿Cuál es la probabilidad de que al tirar un dado tres veces aparezca siempre el mismo número?

12.- En un cierto conjunto de números naturales la probabilidad de que uno de ellos sea divisible para 2 es 1/6, la probabilidad de que sea divisible para 5 es 1/3 y la

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probabilidad de que sea divisible para 10 es 1/12. ¿Cuál es la probabilidad de que un número de ese conjunto sea divisible para 2 ó para 5?.

13.- Determinar la probabilidad de cada uno de los siguientes sucesos:a) La obtención de 6 puntos en una sola tirada de dos dados.b) La aparición de un rey al extraer una carta de una baraja de 40 cartas.c) La aparición de al menos una cara en dos lanzamientos de una moneda.

14.- De una caja que contiene 5 bolas blancas, 5 rojas y 4 azules, se extrae una al azar. Hallar la probabilidad de que la bola extraída sea:a) blanca; b) roja; c) azul; d) no blanca; e) roja o azul

15.-. Hallar la probabilidad de obtener al menos un 3 en dos lanzamientos de un dado.

16.- . Hallar la probabilidad de los siguientes sucesos:a) Obtener 8 puntos en una sola tirada de dos dados.b) Obtener en una sola tirada con dos dados una suma de 7 u 11.c) Obtener al menos una cara en tres lanzamientos con una moneda.

17.- Hallar la probabilidad de que al lanzar un dado dos veces salga al menos un 4.

18.- Se sacan al azar dos cartas de una baraja de 40 cartas. Hallar la posibilidad de que las dos sean oros. Hallar la posibilidad de que una sea oros y la otra espadas.

19.- En una caja hay 15 lámparas, de las que 5 son defectuosas. Se eligen 3 al azar. Hallar la probabilidad de que:a) ninguna sea defectuosa.b) una exactamente sea defectuosa.

20.- En una urna hay seis bolas blancas, cinco amarillas, siete azules, cinco rojas y nueve verdes. Se extrae una bola al azar. Hallar la probabilidad de que sea azul, roja o amarilla.

21.- ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar tres dados cuyas caras están numeradas del 1 al 6 la suma sea 18?.

22. -¿Cuál es la probabilidad de sacar un 5, por lo menos, al tirar un dado dos veces?.

23.- Se sacan sucesivamente tres cartas de una baraja de 40. ¿Cuál es la probabilidad de que las tres sean del mismo palo?.

24.- Se sacan sucesivamente tres cartas de una baraja de 40. ¿Cuál es la probabilidad de que cada una sea de palo diferente?.

25. -Una urna contiene ocho bolas rojas y cuatro bolas blancas. Se sacan tres bolas de la urna, una tras otra. Hallar la probabilidad de que las dos primeras sean rojas, y la tercera blanca.

26.- Se sacan 4 cartas de una baraja de 40. ¿Cuál es la probabilidad de que todas sean de oros?.

27.- De una baraja de 40 cartas se sacan sucesivamente dos al azar. Hallar la probabilidad de que la primera sea caballo y la segunda rey.

28.- Calcular la probabilidad de que al extraer dos cartas de una baraja española salgan: a) dos figuras; b) por lo menos una figura; c) una un tres y la otra un as;Considerar las dos posibilidades: a) con reemplazamiento y b) sin reemplazamiento.

107

29.- Una urna A contiene 4 bolas blancas y 6 rojas y otra B contiene 7 bolas blancas y 5 rojas. Se saca una bola de la urna A y se pasa a la urna B. Se extrae una bola de la urna B. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bola roja?.

30.- Una urna contiene 9 bolas blancas y 7 bolas negras. Hallar la probabilidad de que en dos extracciones consecutivas ambas bolas sean negras sabiendo:a) que la primera bola se reintegra a la urna antes de la segunda extracción.b) que la primera bola no se reintegra.

31.- Un aparato consta de dos partes A y B. El proceso de fabricación es tal que la probabilidad de que la parte A salga defectuosa es 0,1 y la probabilidad de un defecto en B es de 0,03. ¿Cuál es la probabilidad de que el aparato sea defectuoso?.

32.- Una urna contiene 2 bolas blancas y 3 negras y una segunda urna contiene 4 bolas blancas y 2 negras. Se trasladan dos bolas de la primera urna a la segunda y a continuación se extrae una bola de la segunda urna. ¿Cuál es la probabilidad de que sea blanca?.33.- Se tiene una urna vacía y se lanza una moneda al aire. Si sale cara se introduce en la urna una bola blanca y si sale cruz se introduce una bola negra. El experimento se repite tres veces y a continuación se introduce la mano en la urna y se saca una bola. ¿Cuál es la probabilidad de que en la urna quede una bola blanca y la otra negra?34.- La caja A contiene 5 fichas azules y 3 rojas, y la caja B contiene 4 azules y 6 rojas. Se traslada una ficha de la caja A a la caja B, a continuación se extrae una ficha de la caja B ¿Cuál es la probabilidad de que sea roja?.35.- Con los datos del problema anterior, se trasladan dos fichas de la caja A a la caja B, después se extrae una ficha de la caja B. ¿Cuál es la probabilidad de que la ficha extraída sea azul?36.- La urna A contiene 3 bolas blancas y 5 bolas negras, otra urna contiene 2 bolas blancas y 4 negras. Se saca una bola de A y sin verla se echa en la urna B. Después se saca una bola de la urna B ¿cuál es la probabilidad de que la bola sacada sea negra?

37.- Se tiene una bolsa con nueve bolas numeradas del uno al nueve. Se realiza un experimento que consiste en la extracción de una bola de la bolsa, se anota el número y se reintegra a la bolsa. a) Halla el espacio muestral.b) Construye los siguientes sucesos: A= "obtener número par". B= "obtener número primo". C= "obtener múltiplo de tres".c) Calcula la probabilidad de los sucesos anteriores

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Soluciones a los ejercicios propuestos

1) a) Suceso salga cara. b) Salga 3 ó 4 ó 5 ó 6 c) Salga cruz ó 1 ó 2.

d) Salga cara ó 3 ó 4 ó 5 ó 6

2) a) {3,4} b) {1,3,} c) {1,2,4} d) {1,3,4} e) {1,2,4} f) {2} g) {4} h) {1}

4) b) {1,6) (2,5) (3,4) (4,3) (5,2) (6,1)}

c) {(2,6) ( 3,5) (3,6) (4,4) (4,5) (4,6) (5,3) (6,2)}

d) {(2,6) (3,5) (3,6) (4,4) (4,5) (4,6) (5,3) (5,4) (5,6) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)}

5) A = {(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5)}

B = {(1,6) (2,6) (3,6) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5)}

6) a) {(B,B) (B,R) (B,V) (B,N) (R,B) (R,N) (R,V) (R,R) (V,B) (V,R) (V,N) (V,V)

(V,R) (N,B) (N,R) (N,N) (N,V)}

b) {(B,R) (B,V) (B,N) (R,B) (R,V) (R,N)(V,B) (V,R) (V,N) (N,B) (N,R) (N,V)}

8) P(BBRR) = 5/33 + 7/22 7) P(RB) = 9/15 P( ) =10/15

9) P(S 7) = 6/36 P(S par) = 18/36 P(S 3) =12/36

10) P(HM) = 1/12 P(HM) = 1/6 P(HM) = ½

11) 1/36 12) P(25) = 5/12

13) a) 5/36 b) 1/10 c) 3/4

14) a) 5/14 b) 5/14 c) 4/14 d) 9/14 e) 9/14

15) 11/36 16) a) 5/36 b) 8/36 c) 7/8

17) 11/36 18) 9/156; 5/39 19) a) 72/273 b) 45/91

20) 17/32 21) 1/63 22) 11/36 23)12/247 24) 25/247

25) 28/165 26) 21/9139 27) 2/195

28) a) 9/100; 51/100; 1/50 b) 11/130; 67/130; 4/195

29) 28/65 30) a) 49/256 b) 70/40

31) 0.1297 32) 3/5 33) 1/2 34) 51/88 35) 49/112 36) P(B)=19/56 P(N)=37/56

37) a) {1,2,3,4,5,6,7,8,9} b) A = {2,4,6,8} B = {1,2,3,5,7} C = {3,6,9} c) P(A) = 4/9 P(B) = 5/9 P(C) = 3/9

SOLUCONES AL TEMA 13 (Texto)

Pág. 266-267

1) Es aleatorio si en la urna tiene más de una bola. Es determinista si solo tiene una2) E = {roja, blanca}

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3) E = {CO, CC, CE, CB, RO, RC, RE, RB}( C = caballo, R = rey, O = oros, C = copas,

E = espadas, B = bastos) P ({extraer oro}) = P ({extraer rey}) =

4) Aquellos sucesos que tienen la misma probabilidad de ocurrir

5) a) E = {blanca, roja} b) P ({extraer roja}) = y P ({extraer blanca}) =

6) Si hemos aplicado Laplace, obtener una bola roja y blanca no son sucesos equiprobables. Obtener una cualquiera de las tres bolas si es equiprobable

Pág. 2681) a) aleatorio b) determinista, c) determinista, d) aleatorio e) determinista f) aleatorio2) a) Una moneda b) Una baraja de cartas, Cada palo sería un jugador y se extraería al azar una carta c) Un dado cúbico, cada jugador sería un número del 1 al 63) a) E = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} b) E = {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} c) E = {negra, roja, verde} d) E = {rojo, azul, negro}4) E = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2) (4,3),(4,4)} Es un experimento compuesto5) E = todas y cada una de las 40 cartas de la baraja, a) A = {obtener el 7 de oros}b) B = {obtener una figura cualquiera} c) C = {obtener el as de corazones} d) D = {obtener un número del 1 al 7 o una figura} 6) a) A = {obtener el número13} b) B = {obtener un número par} c) C = {obtener el número 50} d) D = {obtener un número menor que 50} 7) a) A = { Obtener una figura}, B = {Obtener un número del 1 al 7} b) A = { Obtener una figura}, B = {Obtener un oro} c) A = { Obtener una oro}, B = {Obtener una copa}8) a) A = {obtener un número par}, B = {obtener un número impar} b) A = {obtener un número impar} B = {obtener un número mayor que 25} c) A = {obtener un número menor que 10}, B = {obtener un número mayor que 20}9) a) Obtener 1, 2, 3 o 5 b) B = {obtener un número impar} c) C ={obtener el 4} Ac = {obtener un número compuesto} = {4,6}10) a) Es igualmente posible que se verifique B que Bc, y también C que Cc, porque se vuelve a tirar en cada ocasión la moneda; el resultado de un suceso no condiciona el resultado de otro suceso posterior b) Son sucesos independientes11) Ambas son extracciones sin reemplazamiento, porque las bolas no son devueltas12) a) A B = {1,2,3,4,5,6} b) A C = {1,2,3,5}, c) B C = {1,2,4,6} , d) A B = ; e) A C = {1}; f) B C = ={2} 13) Cc = {3, 4, 5, 6}. Al unir, se obtiene el espacio muestral y, al hacer la intersección, el conjunto vacio. b) el suceso contrario al suceso A es el suceso B. Al unir se obtiene el espacio muestral y, al hacer la intersección, el conjunto vacío14) Depende de los resultados obtenidos por cada alumno.15) Las frecuencias absolutas se obtienen multiplicando las frecuencias relativas por el número de lanzamientos y los resultados son 30, 34, 36, 32, 31 y 37 respectivamente16) a) La frecuencia relativa de A es 0’27 y la de B es 0’11. b) No, porque A y B son sucesos compatibles y no tenemos el dato de la frecuencia de la intersección de A y B17)18) Experimento. Obtendrán un valor en torno a 0’519) Asignaría una probabilidad de 0’0220) P(A) = 0’4, P(B) = 0’4, P(C)= 0’ 8 a) Los sucesos A y C son compatibles P ( A C) = 0’8 b) Los sucesos A y B son incompatibles P ( A B) = 0’8 c) Los sucesos B y C son compatibles P ( B C) = 1, luego B C = E21) Ac = {1,3,5}; Bc={2,3,4}; Cc={5}. Siempre vale 122) Como todos los sucesos son equiprobables, y la suma de las probabilidades debe ser 1, se obtiene que cada uno de los números tiene probabilidad 0’25 de aparecer

23)

110

24)

25) a) Sí, consideramos el suceso A = {1}, se tiene que Ac = {2,3,4,5,6} por tanto P (A)

+ P (Ac) = b) Sí, consideramos el suceso A = {1,3}, se tiene que B = {2,3,4}

son compatibles, por tanto P ( A B) =

26) a) Sí, cada alumno tiene la misma probabilidad de que le toque el libro b)

PRACTICA TÚ

3) Como generan números de 0 a 1, se puede asignar: [0,0’25): el uno, [0’25,0’5): el dos, [0’5, 0’75): el tres, el cuatro. La probabilidad es de 0’25 para cada número.4) Se deben obtener probabilidades en torno a los siguientes valores P (roja) = 0’66 y P(verde) = 0’33

PRACTICA TÚ

1) P =

2) Si consideramos que solo puede haber una bola azul P = . Si consideramos que

puede haber más de una bola azul P =

3) La probabilidad de llegar la segunda es P = . La probabilidad de que su hija haya

llegado la segunda después de Iralda es P =

ACTIVIDADES

4) En los experimentos aleatorios no se puede predecir el resultado, aunque el experimento se haga siempre en identicas condiciones y en los deterministas si se puede. Libre5) a) E = {0ros, copas, espadas, bastos} b) E = {negro, rojo, verde, azul}6) a) Determinista b) Determinista c) Determinista d) Determinista e) Aleatorio7) E = {0,1,2,3,4,5}8) a) A = { obtener un 5}, B = { obtener un número impar} b) A = { obtener un número mayor que 10}, B = { obtener un número menor que 20} c) Dos sucesos incompatibles serian A = { obtener un número par}, B = { obtener un número impar} y dos sucesos compatibles serían A = { obtener un número par}, B = { obtener un número menor que 5} d) Ac={3,4,6}; 9) a) A = { obtener un diamante}, B = { obtener una carta con número 1,2,3,4,5,6,7,10,11,12} b)) Dos sucesos incompatibles serian A = { obtener un oro}, B = { obtener una espada} y dos sucesos compatibles serían A = { obtener un número par}, B = { obtener una figura} c) A = { obtener un oro}, B = { obtener una copa} d) A = { obtener un oro o una espada}, B = { obtener una copa o un basto} 10) a) B = {obtener una bola azul} b) Ac = {obtener una bola negra o azul}. Es un suceso compuesto c) C = {obtener una bola blanca} d) D = {obtener una bola negra,roja o azul}11) a) Sucesos independientes b) Sucesos dependientes

111

12) a) Sí, son compatibles porque se pueden obtener ambos sucesos a la vez b) Son independientes, porque el resultado de un dado no influye en el resultado del otro dado13) a) A B ={1} ; B C = y A C = {2}; b) A B = {1,2,3,5,7} , A C = {1,2,3,4,8}, B C = {1,2,4,5,7,8,} 14) a) A B ={extraer una figura de oros} ; A D = y A C = {extraer la sota de oros}; b) B C ={extraer una sota}; B D ={extraer una figura de copas}; C D ={extraer la sota de copas} 15) a) A ={salir impar}={1,3,5, 7, 9}; b) B ={salir un múltiplo de 4}={4,8} ; c) C ={salir un número menor que 3}={1,2}; d) A B = ; B C = A C = {1}; e) A

B = {1,,3,4,5,7,8,9} , A C = {1,2,3,5,7,9}, B C = {1,2,4,8,} f) A B C = y A B C = {1,2,3,4,5,7,8,9}16) a) Como A B = {2}, los sucesos A y B son compatibles, ya que sí pueden verificarse a la vez b ) Como A C = {1,3,5} los sucesos A y C son compatibles, c) Como C B = , los sucesos B y C son incompatibles, no pueden verificarse a la vez17) a) Ac={1,4,5}; b) A Ac = {1,2,3,4,5,6} = E; c) B = {1} B Bc = E (espacio muestral; d) A Ac = ; B Bc = (suceso imposible)18) a) Las frecuencias relativas de rojo, amarillo y verde son 0’35, 0’33 y 0’32, respectivamente. Al sumar se obtiene 1 b) 0’68 es la frecuencia relativa del suceso Ac.

La suma de las frecuencias es 119) a) Estará entre 0 y 1. Todas las frecuencias sumarán 1 b) Obtener un 6. Obtener un número menor que 520) Depende de los resultados anteriores. a) Porque son sucesos contrarios b) Compatibles c) Compatibles d) Cc={1,2,5,6}. Uno; 21) 1, 3, 6, respectivamente22) La probabilidad empírica de un suceso es el valor en torno al cual tiende a estabilizarse la frecuencia relativa de ese suceso, a medida que aumenta el número de veces que se realiza el experimento. Libre23) a) La probabilidad de un suceso seguro es 1 b) La probabilidad de un suceso imposible es 0 c) La suma de las probabilidades de los sucesos elementales es 1 d) La probabilidad es un valor fijo que toma valores entre 0 y 1 e) P ( A B) = P(A) + P(B), si los sucesos A y B son incompatibles f) P ( A B) = P(A) + P(B) - P ( A B) , si los sucesos A y B son compatibles24) Depende de los resultados de cada alumno. El valor de la probabilidad debe obtenerse entorno a 0’16625) a) Hay 6 resultados elementales equiprobables que tienen que sumar 1, por lo que

cada resultado tiene probabilidad . Debería coincidir y, si no es así, al aumentar el

número de lanzamientos si debería coincidir con la probabilidad empírica. B) A = { obtener 7}, B = { obtener un número menor que 7} 26) a) P(A) = P({ obtener par}) = 0’17 + 0’14 +0’ 165 = 0’475 y P(A Ac ) =1 b) P(B) = P({ obtener primo}) = 0’695 y P(B Bc ) =1 c) P(C) = P({ obtener mayor que 4}) = 0’33 y P(C Cc ) =0 d) P ( A B) =1, P ( A C) =0’64 y P ( B C) = 0’86 27) a) Compatibles.0’1+0’1–0’11= 0’99 b) La probabilidad es 0, es un suceso imposible

28) 0’3 + 0’ 25 +2 · P(verde) + P(verde) = 1; P (verde) = ; P(amarillo) =

0’30

29) P(1) = P(3) = P(5) = P(2) = P(4) = P(6) =


31)

32) a) El 5 es el que tiene mayor probabilidad de salir, y el 3 el que menos.

b) P(1) = , P(2) = , P(3) = , P(4) = , P(5) = , b) P(6) = , P(7) =

112

c) P({2,4,6}) =

33)

34) La probabilidad de que toque el primer regalo , y si no ha tocado el primero, la

probabilidad de que te toque el segundo . Si te ha tocado el primero, la probabilidad

de que te toque el 2º es

35) E = {(C,C,C) , (C,C,X), (C,X,C), (X,C,C), (C,X,X), (X,C,X),(X,X,C),(X,X,X)} P({0

Caras}) = , P({2 Caras}) = , P({1 Caras}) = , P({3 Caras}) =

36) Los puede repartir de 6 formas distintas, La probabilidad de que reparta a los 3 su

cuaderno es , La probabilidad de que a un alumno le da su cuaderno correctamente

es

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