Apuntes Metodos Numericos Aproximacion Funcional e Interpolacion

8/20/2019 Apuntes Metodos Numericos Aproximacion Funcional e Interpolacion

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Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería

2.2. APROXIMACIÓN FUNCIONAL E INTERPOLACIÓN

2.2.0. INTRODUCCIÓN2.2.1. APROXIMACIÓN POLINOMIAL SIMPLE E INTERPOLACIÓN LINEAL

2.2.2. POLINOMIO DE APROXIMACIÓN DE LAGRANGE

2.2.3. DIFERENCIAS DIVIDIDAS

2.2.4. APROXIMACIÓN POLINOMIAL DE NEWTON

2.2.5. POLINOMIO DE APROXIMACIÓN DE NEWTON EN DIFERENCIASFINITAS: HACIA DELANTE – HACIA ATRS

2.2.!. ESTRUCTURA DEL POLINOMIO DE NEWTON EN DIFERENCIASDIVIDIDAS HACIA ATRS DE GRADO n EN x "

2.2.#. APROXIMACIÓN POLINOMIAL SEGMENTARIA

2.2.$. E%ERCICIOS & APLICACIONES SO'RE INTERPOLACIÓN &APROXIMACIÓN FUNCIONAL

Aproximación e Interpolacion Funcional Numérica 1


2/35


2.2. APROXIMACIÓN FUNCIONAL E INTERPOLACIÓN(

2.2.0. INTRODUCCIÓN

En el campo de la matemática aplicada es de gran importancia la manera comodeterminar una función o funciones a partir de un conjunto de datos discretos, i.e.,puntos tabulados, situación que siempre se enfrenta cualquier investigador, paradecir generalmente un Ingeniero siempre tiene al frente esta problemáticafenómeno que será el objetivo de este ítem.

Pues es común encontrar datos con valores discretos, y sin embargo nosotrosqueremos encontrar valores entre estos puntos discretos, y esto es lo que lollamamos ajuste de curvas y, generalmente se usa el procedimiento de mínimoscuadrados.

uando e!iste un conjunto de datos muy precisos, en este caso se usa lo que sellama interpolación.

"as funciones de apro!imación generalmente es obtenida por combinación linealde funciones elementales, que toman la forma de#

ni x g a x g a x g a x g a nnnn ≤≤++++ −− 0:)()(........)()( 001111

En donde#

ai : $on constantes que deseamos encontrar, i%&,',...,n

g i ) x *: $on funciones elementales específicas, i%&,',...,nE+,-/:

1. g i ) x *: Puede ser la familia de monomios en { }n x x x x ,.....,,: 10 luegotenemos la combinación lineal#

0

0

1

1

2

2

1

1 .............)( xa xa xa xa xa xa x p i

i

n

n

n

n +++++++= −

−

2. "a familia de funciones elementales de F, , en función de ( x” &, sen x, cos x, sen ' x, cos ' x, sen ) x, cos ) x,..

"a combinación lineal que genera apro!imaciones de la forma#

∑∑==

++n

i

i

n

i

i xi senb xiaa11

0 cos

3. "a familia de funciones e!ponenciales en x #...,,,,1 32 x x x eee

*ue proporciona la siguiente combinación lineal

nxn

ixi

x x xeaeaeaeaeaa +++++++ ......33

2210

O,6789":



3/35


&. +e las tres familias observadas podemos decir que la primera es la másutiliada y la más sencilla en su manejo.

'. -*u buscamos en esta unidad/0uscamos unan función f1!2 a partir de una tabulación funcional f 1 x 2#

Punto 3 & ' ..... n

4ariable x 0 x 1 x 2 .... x n5unción f 1 x 0 2 f 1 x 12 f 1 x 2 2 ....... f 1 x n2

Es decir queremos apro!imar a f 1 x 2 por medio de la familia elemental de

monomios { }ni x x x x x ,......,,.....,,, 210 es decir,

0

0

1

1

2

2

1

1 .............)( xa xa xa xa xa xa x p i

i

n

n

n

n +++++++= −

− , que se puede realiar por medio de los siguientes criterios#

• A+, ,;78• M


4/35


Encontrado el polinomio de apro!imación podemos utiliarlo para determinar otrospuntos que no están en la tabla, mediante una evaluación, fenómeno que se llamaI",/789"( así mismo se puede derivar o integrar con la finalidad de buscar alguna otra información adicional de la función tabular.

2.2.1. APROXIMACIÓN POLINOMIAL SIMPLE E INTERPOLACIÓN LINEALPodemos decir que la interpolación lineal es el eje para muc7os mtodosnumricos y de gran relevancia en la ingeniería, puesto que una gran informaciónse encuentra en su forma tabular como veremos más adelante y es usado por unadiversidad de mtodos numricos, por ejemplo si integramos este mtodotendremos el mtodo de integración trapeoidal.

-En qu consiste este mtodo/

$upongamos que tenemos los siguientes cuadros#

Puntos 3 & ' ) 8 9 :

f(x) 9: ;< &&) &88 &na maneramuy común es considerar la ecuación de una línea recta así#

xaa x p 10)( += , y sustituirlos valores de los puntos 3 y &, obteniendo dos

ecuaciones con variables a3 y a&

Punto (3? % 1&,9:26 punto 19,&&)26 1 x, f1 x 22

10

10

5113

56

aa

aa

+=

+=⇒−=−⇒ 574 1a

8.412.1456

2.144

57

0

1

=−=

==

a

a

"uego la ecuación de la función lineal#

p1 x 2 = 8&.< @ &8.' x

Esta ecuación puede ser usado para calcular f 1 x 2 cuando x % '


Cuadro 1

Cuadro 2


5/35


2.704.288.412)2.14(8.41)2( =+=+= f

O,6789":

$i queremos una mejor apro!imación para nuestra función deberíamos considerar

otro punto más y tendremos#

2

210)( xa xaa x p ++= ,

$ean los puntos

2103

2102

2100

40020181)181,20(

255113)113,5(

56)56,1(

aaa P

aaa P

aaa P

++=⇒=++=⇒=

++=⇒=

≈

125399190

572440

56

21

21

210

=++=++

=++

aa

aa

aaa

≈

125399190

572440

56

21

21

210

=++=++

=++

aa

aa

aaa

Aesolviendo el sistema, tenemos que#

34.7604.24.349.39)2(

51.02.179.39)(

505.0,2.17,9.39

2

210

=++=

++=

−===

p

x x x p

aaa

Bráficamente representa una parábola. En general tendremos la siguienteapro!imación polinomial.

n

n

i

in xa xa xa xaa x p ++++++= ..............)( 2

210

POLINOMIO DE INTERPOLACIÓN DE NEWTON

En esta oportunidad presentaremos los polinomios de llamados de CeDton comoprevios al proceso recursivo, p36 p&6 p'6....6 pn,en donde cada p se obtiene



6/35


simplemente aFadiendo un trmino a p=& , y al final del proceso pn se encuentraformado por una suma de trminos.

,

En otros trminos.

,

$e considera

, siempre que mG3

"os primeros trminos de la ecuación son

,

,

Estos serian los tres primeros polinomios de interpolación de CeDton.

abe destacar que e!iste un mtodo muy eficiente para evaluar p 1!2 suponiendoconocidos los coeficientes c3, c&, c',....c llamado algoritmo de Horner.

2.2.2. POLINOMIO DE APROXIMACIÓN DE LAGRANGE

C-,"7:

El mtodo anterior tiene su punto dbil en la apro!imación e!acta, al realiar lainterpolación, pues se tenía que solucionar un sistema de ecuaciones que suorden dependía de la e!actitud de la apro!imación, con la finalidad de salvar estos inconvenientes, surgen otros mtodos de apro!imación polinomial, querealicen cálculos directos sin desarrollar tales sistemas de ecuaciones queenvuelven cierta dificultad en su solución. Entre estos mtodos tendremos laapro!imación polinomial de "aBrange. El mtodo que consiste en#

P-,: $upongamos una función desconocida f 1 x 2 dada en forma tabular y se

asume un polinomio de primer grado es decir una línea recta el cual se puedeescribir de la siguiente manera#



7/35


&. $upongamos que la ecuación de un recta se escribe así#

)()()( 0110 x xa x xa x P −+−=

En donde#

x 3, x $on valores de la función en puntos conocidos x 3, f 1 x 32J, x &, f 1 x &2J

a3, a oeficientes por determinar, y lo encontramos 7aciendo lasconsideraciones siguientes#

+eterminando a3 para ello consideramos

#10

0

10

0

010000

)()()()(

x x

x f

x x

x P a x xa x P x x

−=

−=⇒−=⇒=

+eterminando a& para ello 7acemos#

01

1

01

1

101111

)()()()(

x x

x f

x x

x P a x xa x P x x

−=

−=⇒−=⇒=

"uego

)()()()()(

)(

)()(

)(

)()()(

)()(

)()(

)(

)()(

1100

01

0

1

10

1

0

0

01

1

1

10

0

x f x L x f x L x P

x x

x x x f

x x

x x x f x P

x x x x

x f x x

x x

x f x P

+=

−−

+−

−=

−−

+−−

=

'. S"?7- " /"- =, ,?"= ?7=

))(())(())(()( 1022012102 x x x xa x x x xa x x x xa x P −−+−−+−−=

E" ="=,:

x 3, x &, x ' son los valores de los puntos conocidos x 3, f1 x 32J, x &, f1 x &2J, x ', f1 x '2J

$i))((

)(

))((

)(

2010

0

2010

0200

x x x x

x f

x x x x

x P a x x

−−=

−−=⇒=

$i))((

)(

))((

)(

2101

1

2101

12

11 x x x x

x f

x x x x

x P a x x

−−=

−−=⇒=



8/35


$i))((

)(

))((

)(

1202

2

1202

2222

x x x x

x f

x x x x

x P a x x

−−=

−−=⇒=

"uego#)()()()()()()(

2211002 x f x L x f x L x f x L x P ++=

En donde#

))((

))(()(;

))((

))(()(;

))((

))(()(

1202

10

2

2101

20

1

2010

21

0 x x x x

x x x x x L

x x x x

x x x x x L

x x x x

x x x x x L

−−−−

=−−

−−=

−−−−

=

3. P=,- ", " /"- =, ?7= ":

)()(......)()(.....)()()()()( 1100 nniin x f x L x f x L x f x L x f x L x P +++++=

En donde#

))....().....()((

)).....().....()(()(

))....().....()((

)).....().....()(()(

))....().....()((

)).....().....()(()(

110

110

112101

201

002010

21

0

niiiii

ni

i

ni

ni

ni

ni

x x x x x x x x

x x x x x x x x x L

x x x x x x x x

x x x x x x x x x L

x x x x x x x x

x x x x x x x x x L

−−−−

−−−−=

−−−−

−−−−

=

−−−−

−−−−=

+

+

*ue en general el polinomio se puede escribir#

∑=

=n

i

iin x f x L x P 0

)()()( , polinomio "aBrange

En donde#

∏−

−=

≠=

n

i j j ji

ji

x x

x x x L

0 )(

)()(

,

"a apro!imación polinomial de "aBrange, es la combinación lineal de f1! i 2 y delos coeficientes "i1K2.

E+,-/:

$upongamos que tenemos la función tabular

i 3 & ' )



9/35


51Ki2 =) 3 9 ;

Ki 3 & ) :

a2 +eterminar la apro!imación polinomial de "aBrange usando todos los puntos

b2 +eterminar el valor apro!imado de f 1 x 2 para x % &.<

S/89":

+ebemos destacar que la tabla presenta cuatro puntos lo que induce la e!istenciade un polinomio de tercer orden

90

)3)(1(

)36)(16(6

)3)(1(

))()((

))()(()(

18

)6)(1(

)63)(13)(03(

)6)(3)(0(

))()((

))()(()(

10

)6)(3(

)61)(31)(01(

)6)(3)(0(

))()((

))()(()(

18

)6)(3)(1(

)60)(30)(10(

)6)(3)(1(

))()((

))()(()(

)7)(()5)(()0)(()3)(()(3

)()()()()()()()()(

231302

210

3

321202

310

2

312101

320

1

302010

321

0

3210

332211003

−−=

−−−−

=−−−

−−−=

−−−

=−−−−−−

=−−−

−−−=

−−=

−−−−−−

=−−−

−−−=

−−−−

=−−−−−−

=−−−

−−−=

+++−=

+++=

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x x L

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x x L

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x x L

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x x L

x L x L x L x L x P

x f x L x f x L x f x L x f x L x P

Lperando tenemos#

315

46

3030

23

3 −+−−= x x x

P

El valor apro!imado de la función cuando x % &.<

2176.23)8.1(15

46

30

)8.1(

30

)8.1()8.1(

23

3 =−+−−= P

2.2.3. DIFERENCIAS DIVIDIDAS Msí como podemos apro!imar una función mediante la apro!imaciónpolinomial de "aBrange, tambin podemos apro!imar la derivada y la integralde una función con diferencias divididas. "a derivada y la integralrespectivamente el polinomio de interpolación, que en realidad es el principiobásico para la diferenciación e integración de los mtodos numricos.

$upongamos una función f 1 x 2 con derivada en el punto x 3 analíticamente esta

dado por# )(')()(

lim0

0

0

x f x x

x f x f

x x=

−−

→

Pero cuando la función es dada de manera tabular, se tiene.



10/35


)(..........)(..........)()()(

....................

....................10

10

10

ni

ni

x f x f x f x f x f

x x x x x

ni Punto

"a derivada sólo puede obtenerse de manera apro!imada, por ejemplo si sedesea calcular la derivada de f1!2 en el punto ( x” tal que x 3 G x G x &

Esto se determina así#

10

01

01 ,)()(

)(' x x x x x

x f x f x f


11/35


O,6789":

Para formar la e!presión se requiere i @ & puntos. El numerador es la recta de dos diferencias de orden i N &.

El denominador es la recta de los argumentos no comunes en el numerador.

E+,-/:

$upongamos que tenemos la siguiente información

142722518)(

632012

543210

−−−−

−−

x f

x

Puntos

Lbtenido del polinomio 22 23 −− x x

"a primer diferencia dividida en los puntos 132, 1&2 y 1&2, 1'2

[ ] 13)2(1

)18(5)()(,

01

0110 =−−−

−−−=

−−

= x x

x f x f x x f

[ ] 3)1(0)5(2)()(

, 12

12

21 =−−

−−−

=−

−

= x x

x f x f

x x f

"a segunda diferencia dividida para 132, 1&2 y 1'2

[ ] [ ] [ ]

5)2(0

)13(3,,`,,

02

1021210 −=

−−

−=

−

−=

x x

x x f x x f x x x f

+e esta manera construimos la tabla de diferencias divididas

Puntos K f1!2 &O orden 'O orden )O 3rden 8O orden

3 =' =&<

&)

& =& =9 =9

) &

' 3 =' =& 3

3 &

) ' =' ) 3



12/35


&

8 ' ;

89

9 : &8'

O,6,- ,:

Qodas las diferencias divididas de tercer orden tienen el mismo valor independiente del valor de las ! que se usen para calcularse.

"as diferencias de cuarto orden todos tienen el valor de cero, lo que tiene afinidadcon el criterio que la derivada de tercer orden es una constante y la de cuarto

orden es cero, para cualquier valor de !.

El raonamiento anterior nos induce a decir que si al construir una tabla dediferencias divididas en alguna columna el valor es constante y la siguientecolumna es 8, /7 "@-789" 6,", =, " /"- =, ?7= ?7/ 7/=," =, /7 =@,,"87 , ,"?7" 67/, 8"7",.

El raonamiento anterior nos induce afirmar que nuestro polinomio es de grado )es decir mi polinomio será#

[ ] ( ) [ ] [ ] [ ] ...))((,,)(,,...,,)( 1021001001

00

10 +−−+−+=∏ −∑= −

==

x x x x x x x f x x x x f x f x x x x x f x pk

j

j

n

k

k

En nuestro ejemplo se tiene#

[ ] [ ] [ ] [ ] ))()((,,,))((,,)(,)( 2103210102100100 x x x x x x x x x x f x x x x x x x f x x x x f x f x p −−−+−−+−+=

)0)(1)(2(1)1)(2(5)2(1318)( −+++++−++−= x x x x x x x p

22)( 23 −−= x x x p

2.2.4. APROXIMACIÓN POLINOMIAL DE NEWTON

$upongamos que tenemos una función tabular y que queremos apro!imar mediante un polinomio de primer grado#

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]ni

ni

x f x f x f x f x f x f

x x x x x x

ni Puntos

210

210

)(

210

1. A;-789" " P/"- =, P-, G7=

)()(0101 x xaa x P −+=



13/35


En donde#

x 3 # Es la abscisa del punto (3?

a3, a& # onstantes por determinar

$i#

[ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

01

01

10

0

01

11

000000

)()(

)(

x x

x f x f a x x

x x

x f x P a x x

x f a x f x P a x x

−

−=−

−

−=⇒=

===⇒=

∴

∴

onsecuentemente tendremos# [ ]101 , x x f a =

[ ] [ ] [ ]

)()( 0

0

01

01 x x x x

x f x f x f x P −

−

−+= Pero# [ ]101 , x x f a =

"uego#

[ ] [ ]10001 ,)()( x x f x x x f x P −+=

Es un polinomio de primer grado en trminos de diferencias derivadas

2. A;-789" " P/"- =, S,?"= G7=

)()()()( 1020102 x x x xa x xaa x P −−+−+=En donde#

x 3, x & # $on las abscisas de los puntos (3? y (&?

a3, a&, a' # onstantes que debemos encontrar

$i#

[ ]

[ ] [ ]

[ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ][ ]210

011202

12010102

2

02

01

01

12

02

2

1202

02

01

01

02

2

1202

021022

22

101

01

01

1

01

012

11

00200

,,))()((

)()()()(

)(

)(

)(

)(

)(

))((

)()(

))((

)()(

,

)(

)(

x x x f x x x x x x

x x x f x f x x x f x f a

x x

x x

x f x f

x x

x f x f

a

x x x x

x x x x

x f x f x f x f

a x x x x

x xaa x P a x x

x x f a x x

x f x f

a x x

a x P

a x x

x f a x P a x x

=

−−−

−−−−−=⇒

−

−

−−

−

−

=⇒

−−

−−

−−−

=⇒−−

−−−=⇒=

=−

−

=⇒−

−

=⇒=

=⇒=⇒=

∴

"uego tenemos#



14/35


[ ] [ ] [ ]21010110002 ,,)()(,)()( x x x f x x x x x x f x x x f x P −−+−+=

3. GENERALIBACIÓN

)(...)()(...)()()()( 110102010 −−−−++−−+−+= nnn x x x x x xa x x x xa x xaa x P

En donde#

n x x x ,...,, 10 # $on las abscisas de los puntos 3, &, ', R, n

naaa ...,,, 10 # $on coeficientes por determinar y están dados por#

[ ] [ ] [ ] [ ]nn

x x x f a x x x f a x x f a x f a ,....,,;....;,,;,; 10210210100 ====

Esto es tendremos la siguiente apro!imación polinomial

[ ] [ ] [ ]

[ ]nn

n

x x x f x x x x x x

x x x f x x x x x x f x x x f x P

,...,,))...()((

...,,))((,)()(

1010

210101000

−−−+

+−−+−+=

( )i j

i

n

j jn x xa x P −∑=

−

==π

1

00)( Polinomio de apro!imación de N,"

E+,-/:

+eterminar la apro!imación polinomial de CeDton para la información tabular einterpolar para x % '

DIFERENCIAS DIVIDIDAS

D@,,"87 =6==7

P" X @; 1 =6==7 2 =6==7 3 =6==7

0 1 5!

14.2

1 5 113 0.31

4.5 0.01

2 20 1$1 0.0$1

1.!$



15/35


3 40 214

[ ] [ ] ( ) )1(2.1456,)()( 01000101 −+=−+=−+= x x x x x f x f x xaa x P

O,6789":

[ ] [ ] [ ]

2.144

57

15

56113,

01

01

10 ==−

−=

−

−=

x x

x f x f x x f

[ ] [ ]( )

[ ]( )( )10210

01001020102

,,

,))(()()(

x x x x x x x f

x x x x f x f x x x xa x xaa x P

−−+

−+=−−+−+=

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) 7.7153.12.70521251.0622.14562

2.70122.14562

5151.012.1456

5.415

68

15

113181,

51.019

7.91202.145.4,,,,

2

1

2

12

1221

02

1021210

=+=−−−−+=

=−+=

−−−−+=

==−

=−

−=

−=−=−

−=−−=

P

P

x x x x P

x x

x f x f x x f

x x x x f x x f x x x f

( ) ( )( ) ( )( )( )31031020103 )( x x x x x xa x x x xa x xaa x P −−−+−−+−+=

[ ] [ ] [ ][ ]

[ ] [ ]

011.039

429.0

140

51.0081.0,,,,,,,

;51.0,,;2.14,;56

03

21032132103

2102101100

==

−

+−=

−

−==

−======

x x

x x x f x x x f x x x x f a

x x x f a x x f a x f a

Pero#

[ ] [ ] [ ]

)20)(5)(1(019.0)5)(1(51.0)1(2.1456)(

081.0540

5.468.1,,,,

3

13

2132

321

−−−+−−−−+=

−=−

−=

−

−=

x x x x x x x P

x x

x x f x x f x x x f

$i# x % '

67.72969.07.71

)202)(52)(12(019.0)52)(12(51.0)12(2.1456)2()2(3

=+=

−−−+−−−−+== P f

E+,-/ 1. alcular la tabla de diferencias divididas finitas con los siguientesdatos#



16/35


S utiliar la información de dic7a tabla, para construir el polinomio deinterpolación de CeDton.

Solución.

Procedemos como sigue#

Por lo tanto el polinomio de interpolación de CeDton es #

E+,-/ 2. alcular la tabla de diferencias divididas finitas con los siguientesdatos#

S usar la información en la tabla, para construir el polinomio de interpolación deCeDton.

Solución. Procedemos como sigue#

Por lo tanto el polinomio de interpolación de CeDton nos queda #



17/35


2.2.5. POLINOMIO DE APROXIMACIÓN DE NEWTON EN DIFERENCIASFINITAS: HACIA DELANTE – HACIA ATRS

$upongamos que la distancia entre dos argumentos 1abscisas2 consecutivascualquiera es igual, en toda la función tabular y sea (7?.

El polinomio de apro!imación de CeDton se puede escribir de manera mássimple, para nuestro propósito, consideremos otro punto $6 definido por#

sh x x += 0 x # Es el valor que se quiere interpolar

Pero#niih x xh x xh x xh x x i ,....,2,1...,,3,2, 0030201 =+=+=+=+=

*ue ocurre ,7- x ," 7- -,-

)(;....);3();2();1(

,...,2,1;

)(

321

00

0

n sh x x sh x x sh x x sh x x

ni Para

i sh x x

ih x sh x

xi sh x x x

n

i

i

−=−−=−−=−−=−

=

−=−

−−+=

−+=−

$i consideramos el desarrollo general del polinomio de CeDton, i.e.#

))...()((...))(()()( 110102010 −−−−++−−+−+= nnn x x x x x xa x x x xa x xaa x P

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] ))1()...(1(,...,,..)2)(1(,...,,...

)2)(1(,,,)1(,,,)(

103

10

33210

22101000

−−−++−−++

−−+−++=+

n s s sh x x x f s s sh x x x f

s s sh x x x x f s sh x x x f hs x x f x f sh x P

nnn

n

ó#

∑ ∏ −==

−

=

n

k

k

i

k

k n i sha x P

0

1

0

)()(

Lbservemos que la última relación de apro!imación se puede simplificar si7acemos ingresar los operadores lineales y, conocidos como#

# Lperador lineal en diferencias 7acia delante

# Lperador lineal en diferencias 7acia atrás

En donde#

Primera Diferencia )( x f ∆

)()()( x f h x f x f −+=∆


1


18/35


La segunda diferencia: )(2 x f ∆

)()(2)2(

)()()()(

)()())()(()())(( 2

x f h x f h x f

x f h x f h x f hh x f

x f h x f x f h x f x f x f

++−+=

++−+−++=

∆−+∆=−+∆=∆=∆∆

La tercera diferencia: )(3 x f ∆

)()(3)2(3)3(

)()())()((2)2()2(

)()(2)2())()(2)2(())(( 2

x f h x f h x f h x f

x f h x f h x f hh x f h x f hh x f

x f h x f h x f x f h x f h x f x f

−+++−+=

−+++−++−+−++=

∆++∆−+∆=++−+∆=∆∆

En general:

))(()( 1 x f x f ii −∆∆=∆

+e manera análoga para el operador lineal de diferencia 7acia atrás

Primera Diferencia: )( x f ∇

)()()( h x f x f x f −−=∇

Segunda Diferencia: )(2 x f ∇

)2()(2)(

)2()()()(

)()())()(())((

h x f h x f x f

h x f h x f h x f x f

h x f x f h x f x f x f

−+−−=

−+−−−−=

−∇−∇=−−∇=∇∇

En general:

)(()( 1 x f x f ii −∇∇=∇

*ue ocurre si aplicamos ∆ al primer valor funcional f x 3J de una tablaproporcionada.

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

( ) [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

3

0

3

3

0123

3210

2

0

2

2

012

210

010100

1001

01

01

000

!332

)(33,,,

22

2,,

)(1

,,)(:

,

h

x f

h

x f x f x f x f x x x x f

para

h

x f

h

x f x f x f x x x f

Para

x f h

x x f x x f h x f ie

x x f h x x

x x

x f x f x f h x f x f

∆=

×

++−=

∆=

+−=

∆=⇒=∆

=−

−

−=−+=∆



19/35


En general:

[ ]n

n

nhn

x f x x x f

!

)(,...,, 010

∆=

+e manera análoga para el operador de diferencias 7acia atrás

[ ]n

n

n

nnhn

x f x x x x f

!

)(,,...,, 011

∇=

−

onsecuentemente al sustituir [ ] ni x x x f n ,...,2,1,0,,...,, 10 = en

[ ] [ ] [ ] )(!

))1()...(2)(1(...

!2

)1()( 00

2

000 x f n

n s s s s x f

s s x f s x f sh x P nn ∆

−−−−+++∆

−+∆+=+

Es conocido como el polinomio de CeDton en diferencia finita 7acia delante.

E+,-/:

$upongamos que tienen las siguientes tabulaciones#

30.5957.5084.4205.3671.3094.24)(

1009080706050

543210

x f

x

Puntos

Mpro!imar la función tabulada usando el polinomio de CeDton en diferencias

finitas 7acia delante e interpole para :8

S/89"

En este conjunto de datos tenemos que h % &3, el valor por interpolares :8

El valor de 4.14.110

50640=⇒=

−=

−= S

h

x x s

PARA UN POLINOMIO DE PRIMER ORDEN

Para n % &

[ ] [ ]17.32)17.5(4.194.24

)( 001

=+=

∆+= x f s x f x P 6

en donde

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] 17.594.2411.300

01000

=−=∆

−=−+=∆

x f

x f x f x f h x f x f


1


20/35


Es preciso destacar que en realidad se esta e!trapolando, pues el valor de x

queda fuera del intervalo de los puntos que se usan para formar el polinomio deapro!imación. +ebemos observar que el polinomio de apro!imación descrita en fue

estructurado considerando x 3 como pivote y luego si queremos aplicar para lospuntos 1&2 y 1'2 debemos modificar así#

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]112

11!

))1()...(1(...

!2

)1()( x f

n

n s s s x f

s s x f s x f sh x f x P

nin ∆

−−−++∆

−+∆+=+=

[ ] [ ]11)( x f s x f x P ∆+= en donde#

4.010

60641 =−

=−

=h

x x s "uego tenemos#

49.32)94.5(4.011.30)64( =+= f

+ebemos resaltar que si deseamos apro!imar con un polinomio de segundo

grado se requieren tres puntos, tendríamos dos alternativas, tomar como puntos132, 1&2 y 1'2 ó 1&2, 1'2 y 1)2, en este caso tomaría la primera serie por que el valor a interpolar está más al centro, luego tendríamos#

[ ] [ ] [ ]

385.3277.0!2

)14.1(4.1)17.5(4.194.24)64(

4.1;!2

)1()(

2

0

2

002

=−

++=

=∆−

+∆+=

P

s x f s s

x f s x f x P

2.2.!. ESTRUCTURA DEL POLINOMIO DE NEWTON EN DIFERENCIASDIVIDIDAS HACIA ATRS DE GRADO n EN x "

$upongamos n % ' y asumamos que el polinomio sea de 'O grado#

)()()()( 12102 −−−+−+= nnn x x x xa x xaa x P

En donde#

1; −nn x x # $on abscisas de los puntos (n? y (n N &T

210 , aa ya # $on las constantes por determinar


[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ]

[ ][ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ][ ]

[ ]

[ ]

[ ] 03.0

01.0

06.0

09.008.0

1

94.0

85.0

77.0

73.8

73.7

79.594.5

17.5

30.591005

57.50904

84.42803

05.36702

11.30601

94.24500

1

4

0

4

2

3

1

3

0

3

3

2

2

2

1

2

0

2

4

3

2

1

0

432

−=∆

=∆

=∆

=∆

=∆

=∆

=∆

=∆

=∆

=∆

=∆

=∆

=∆

=∆

∆∆∆∆

x f

x f

x f

x f x f

x f

x f

x f

x f

x f

x f

x f x f

x f

x f x f x f x f x f x Punto iiiiii

2

1

1


21/35


$i#

[ ]

[ ] [ ] [ ][ ]

[ ] [ ] [ ][ ]212

122

12

22

1

1

11

1

01211

020

,,)()(

,

,

)(

−−

−−−

−−

−

−

−

−

−

−

−

=⇒−−

−−=⇒=

=−

−

=⇒−

−

=⇒=

=⇒=⇒=

nnn

nnnn

nnnn

n

nn

nn

nn

nn

nn

nnn

x x x f a x x x x

x x f x f x f a x x

x x f x x

x f x f a x x

a x P a x x

x f a x P a x x

"uego tendremos que#

[ ] [ ] [ ] ))((,,)(,)( 12112 −−−− −−+−+= nnnnnnnnn x x x x x x x f x x x x f x f x P

enerali!ar

))...()((...)()()()( 111210 x x x x x xa x x x xa x xaa x P nnnnnnn −−−++−−+−+= −−

En donde#

[ ] [ ] [ ] [ ]011212110 ,,...,,;...;,,;,; x x x x f a x x x f a x x f a x f a nnnnnnnnn −−−− ====

onsiderando la diferencia de las abscisas consecutivas igual a h e introducimosuna variable paramtrica (s? definida como#

h

x x

s n−

= 6 x # el valor a interpolar

)(

)2(2

)1(

00

22

11

n shnhsh sh x x x x

sh shh sh x x x x

sh shh sh x x x x

sh x x

n

nnn

nnn

n

+==+−=−

+=+=+−=−+=+=+−=−

=−

−−

−−

"uego tenemos#

[ ] [ ] [ ] [ ]nn

nnnnn x f n

n s s s s x f s s x f x f sh x P ∇−+++

++∇+

+∇+=+!

))1()...(2()1(...!2

)1(3)( 2

Ecuación de Newton en diferencias hacia atrás

E"em#lo:

En el ejemplo realice la interpolación para x % < usando el polinomio de CeDton

$i usamos un polinomio de primer grado tenemos

[ ] [ ]

55.57)73.8(2.030.59)98(

2.010

10098

10;)(

1

551

=−=

−=−

=−

=∇+=

p

x x s x f s x f x P

n



22/35


$i usamos un polinomio de segundo grado tenemos

[ ] [ ] [ ]

63.57)1(!2

)12.0(2.0)73.8(2.3.59

!2

)1()98( 5

2

552

=

+−−

+−=

∇+

+∇+= x f s s

x f s x f P

2.2.#. APROXIMACIÓN POLINOMIAL SEGMENTARIA

En los ítems anteriores para interpolar entre n@& puntos se usaron polinomios degrado n, para decir para un conjunto de < puntos se puede obtener un polinomiode grado ;, parecerá que se llevaba todo correctamente pero sin embargo setenían resultados erróneos como errores de redondeo y los puntos lejanos.

>na alternativa para mitigar estos errores fue pensar considerar polinomios degrado inferior en subconjunto de datos y a tales polinomios se llamaran funcionessegmentarias.

Por ejemplo, las curvas de tercer grado usadas para unir cada par de puntos sellaman segmentarias cubicas. Qales funciones d se pueden construir de talmanera que las cone!iones entre las ecuaciones cubicas adyacentes seansuaves, pareciera que las apro!imaciones de tercer grado de las segmentariasserian inferior a la apro!imación de sptimo grado. 4eamos algunos gráficos queilustran mejor la idea.


[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ] 03.0

01.0

06.0

09.0

08.0

1

94.0

85.0

77.0

73.8

73.7

79.5

94.5

17.5

30.591005

57.50904

84.42803

05.36702

11.30601

94.24500

1

4

0

4

2

3

1

3

0

3

3

2

2

2

1

2

0

2

4

3

2

1

0

432

−=∆

=∆

=∆

=∆

=∆

=∆

=∆

=∆

=∆

=∆

=∆

=∆

=∆

=∆

∆∆∆∆

x f

x f

x f

x f

x f

x f

x f

x f

x f

x f

x f

x f

x f

x f

x f x f x f x f x f x Punto iiiiii

x

f(x

)

x

f(x

)


23/35


aso 1a2 aso 1b2

aso 1 c 2 aso 1d2

En definitiva las figuras plasman mejor la idea de la apro!imación segmentaria,las figuras de a 7asta c representan las oscilaciones de una función suave.+ebemos destacar que esta apro!imación tambin se le llama apro!imación

spline, en ingles para dibujar curvas suaves a travs de un conjunto de puntos.

2.2.#.1. INTERPOLACIÓN SEGMENTARIA LINEAL

"a unión mas simple entre dos puntos es una recta, las segmentarias de primer grado para un grupo de datos ordenados se define como un conjunto defunciones lineales.

,

,

#

,

+e donde la pendiente mi de la línea recta que une los puntos.

,

Esta relación se usa para evaluar la función de cualquier punto entre !3 y !&,


x

f(x

)

x

f(x

)


24/35


Ejemplo

+ado el siguiente conjunto de datos,

! ) 8.9 ;

f1!2 '. & '.9 3.9

Mjuste con segmentaras de primer orden y evalu la función en !%9

S/89"

P-,. >sar los datos para determinar las pendientes entre los puntos

Para decir en el intervalo 8.9 ,;J la pendiente calculamos usando el modeloplanteado.

,

,

,

El valor en !%9 es &.) .


x

f(x

)Segmentaria de primer

orden

x

f(x

)Segmentaria de Segundo

orden

x

f(x

)Segmentaria de Tercer

orden

Interpolacion cubica


25/35


2.2.7.2. INTERPOLACIÓN SEGMENTARIA CUADRTICA

En esta oportunidad el objetivo de las segmentarias cuadrática es obtener unpolinomio de segundo grado para cada intervalo en el conjunto de datos, enBeneral el polinomio en cada intervalo se representa así,

,

En donde a, b y c son tres constantes desconocidas y se requieren tresecuaciones, en el caso que se tengan n@& datos e!isten n intervalos y por cadaintervalo se requieren tres ecuaciones es decir )n, se deben tener enconsideración los siguientes criterios.

&. "os valores de la función de polinomios adyacentes deben de ser guales enlos nodos interiores esta condición lo representamos de la siguiente manera.

,

,,

Para i%' a n como solo se emplean dos nodos interiores cada ecuaciónproporciona n=& condiciones en total 'n=' .

'. "a primera y la ultima función deben de pasar a travs de los puntos e!tremos

esto agrega dos ecuaciones mas,

,

,

). "as primeras derivadas en los nodos interiores deben de ser iguales es decir,

,

En consecuencia en general tenemos,

, para i%' a n, esto proporciona otras n=&

condiciones.



26/35


8. $uponga que en el primer punto de la derivada es cero, esta condición se

representa así,

a&%3. Esto quiere decir que los dos primeros puntos se unirán con una línea

recta.

E+,-/.

onsiderando el conjunto de datos

! ) 8.9 ;

f1!2 '. & '.9 3.9

Mjuste usando segmentarias de segundo grado y estime el valor de !%9

S/89"En este problema tenemos cuatro datos y n%) intervalos por lo tanto )1)2%incógnitas que deben de determinarse, consideran las dos condiciones del primer criterio es decir '1)2='%8 condiciones

,

,

,

,

Evaluando las dos condiciones del segundo criterio se tienen ' ecuaciones

,

, M seguir consideramos la continuidad de las derivadas la cual crea )=&%'ecuaciones esto del tercer criterio.

,

,

Por ultimo consideramos el cuarto criterio que determina que a &%3, como estarelación nos dice de manera e!acta que a& tiene como valor cero entonces se

reduce a determinar oc7o ecuaciones simultaneas.



27/35


,

Este sistema se puede resolver usando cualquier tcnica analiado y tenemos#

a& %3 b&%=& c&%9.9

a'%3.:8 b'%=:.;: c'%&


28/35


'. "a primera y la ultima función deben pasar a travs de los puntos e!tremos1' condiciones2

). "as primeras derivadas en los puntos interiores deben de ser guales 1n=&condiciones2

8. "as segundas derivadas en los nodos interiores deben de ser iguales 1n=&condiciones2

9. "as segundas derivadas en los nodos e!tremos son ceros 1'condiciones 2 esta condición dice que la función en los e!tremos se vuelveen una línea recta, lo que induce a que se le llame segmentara natural olineal.

"as cinco condiciones anteriores permiten obtener 8n ecuaciones requeridas

para obtener los 8n coeficientes.

Para determinar las ecuaciones de la segmentaria cubica tenemos la siguiente

relación valida para cada intervalo.

, U

Esta ecuación solo contiene dos incógnitas las segundas derivadas en los

e!tremos de cada intervalo.

"as incógnitas se evalúan usando la siguiente relación.

, V

$i escribimos esta relación para todos los nodos interiores resultan n=&

ecuaciones simultáneas con n=& incógnitas. Co debemos olvidar que las

segundas derivadas en los puntos e!tremos son ceros.

E+,-/.

onsiderando el conjunto de datos

! ) 8.9 ;

f1!2 '. & '.9 3.9

Mjuste usando segmentarias de tercer grado y estime el valor de !%9

S/89" P-,: Usaremos la ultima relación llamado V con la finalidad de obtener unconjunto de ecuaciones para las segundas derivadas en los nodos.



29/35


K3%) , f1!32 %'.9, !&%8.9 , f1!&2 %& !'%; , f1!'2 %'.9 valores que serán sustituidas en

l relación V

, pero como por ser segmentaria natural

,

+e manera análoga se aplica al segundo punto interior y obtenemos

,

Estas dos ecuaciones se resuelven simultáneamente y tenemos

,

,

4alores que serán sustituidos en U junto con los valores de las ! y las f1!2,

,

3

,

Esta ecuación es la segmentaria cubica para el primer intervalo de igual manerase obtienen para el segundo y tercer intervalo.

,

S

,,

"as tres ecuaciones se pueden usar para calcular valores dentro de cada

intervalo.Por ejemplo !%9 se encuentra dentro del segundo intervalo se calcula comosigue



30/35


,

2.2.$. E%ERCICIOS & APLICACIONES SO'RE INTERPOLACIÓN &APROXIMACIÓN FUNCIONALI. +etermine el polinomio que interpolan los siguientes conjuntos de datos#Primer grado, segundo grado, tercer grado, y cuarto grado.7*

I 0 1 2 3 4

@);* 40 45 50 55 !0

; 2 3 5 ! $

*I 0 1 2 3 4

@);* 10 15 20 25 30

; 0 1 2 3 4

8*

I 0 1 2 3 4

@);* 140 245 450 !55 !0

; 1 5 10 15 20

=*

I 0 1 2 3 4

@);* 1 3 2 4 10

; 3 1 2 !

,*

I 0 1

@);* 3 #

; 5 1

@*

I 0 1 2

@);* 14! 2 1

; # 1 2

?*



31/35


I 0 1 2 3

@);* 10 14! 2 1

; 3 # 1 1J*

I 0 1 2 3

@);* 12 20 50 55

; 3 # 1 2

NOTA: >MC+L $EM CEE$MAIL, AE+LC+EM M ICL +EIWM"E$.

I.1. alcula el polinomio de interpolación de CeDton para los siguientes datos#

i)

ii)

Soluciones:

2. alcula el polinomio de "agrange para los siguientes datos#

i)

ii)

Soluciones:



32/35


II Encuentre un polinomio de Interpolación de "agrange, +iferencias +ivididas yCeDton

a2

I 3 & ' )

f1!i2 ) ' =8 9

!i & ' 3 )

b2

I 3 & '

f1!i2 && ; '<

!i ' 3 )

c2

I 3 & '

f1!i2 & =& 3

!i 3 & ='

d2

I 3 & '

f1!i2 &3 9 '3

!i ' & '

III +eterminar la interpolación en los puntos dados usando los dos polinomios #

a2 Para el caso 1a2K% =&6 K %&.96 K % '.3 K% 3.96 K% 8b2 Para el caso 1b2K% =&6 K %&.96 K % '.3 K% 3.96 K% 8c2 Para el caso 1c2K% =&6 K %&.96 K % '.3 K% 3.96 K% )

I4# $olucionar las siguientes problemáticas



33/35


&.= $e conoce que la densidad del carbonato neutro de potasio en soluciónacuosa varia en temperatura y en su concentración de acuerdo a la siguienteinvestigación#

Q1O2

c1X2

3 83 sando el polinomio de CeDton de segundo grado apro!ime el valorcorrespondiente a e % 3 voltios

I 3 & ' ) 8 9 :

E 83 :3


34/35


b2 5ormula de "agrange

c2 Mpro!imación de CeDton y +iferencias +ivididas.D



35/35

Métodos Numéricos Aplicados a la IngenieríaMNAISECA 2010

Apuntes Metodos Numericos Aproximacion Funcional e Interpolacion

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