Apuntes Modulo I Mat C 2014

Facultad de IngenierıaUNLP

Matematica C

I. Series de potencias y Serie de Taylor

2014

– 1 –

Temario por clase:

Clase 1: Repaso de series numericas y criterios de convergencia. Estimacion del error alaproximar una serie convergente mediante una suma parcial.

Clase 2: Series de potencias, intervalo de convergencia.

Clase 3: Propiedades de las funciones representadas por series de potencias.

Clase 4: Serie de Taylor. Teorema de Taylor. Aplicaciones.

Clase 5: Polinomios de Taylor. Aplicaciones.

Clase 6: Representaciones varias. Serie binomial. Aplicaciones.

Bibliografıa:

1. Larson, Hostetler, Edwards. E., Calculo, Volumen 1.

2. Smith, Minton, Calculo, Volumen 1.

3. Thomas G., Calculo Infinitesimal y Geometrıa.

– 2 –

1. Series Numericas

El concepto de serie esta ıntimamente relacionado con el concepto de sucesion.

Definicion 1: Si {an} es la sucesion a1, a2, a3, . . . , an, ... , entonces se simboliza laserie infinita mediante la expresion indicada por

a1 + a2 + a3 + · · ·+ an + · · · (1)

Los terminos “serie infinita” o “serie” se usan aquı indistintamente.Los elementos a1, a2, . . . se denominan terminos de la serie.an se denomina termino general.

En forma compacta la serie (1) se simboliza como

∞∑k=1

ak o bien∑

ak

Importante: La pregunta que trataremos de contestar en esta seccion y las siguientes es:

¿Cuando una serie infinita “tiene suma”, es decir un numero S como suma ?

Intuitivamente es de esperar que 13

sea la “suma” de la serie∞∑k=1

310k

, ya que ....

... 13

= 0,333333 . . . = 310

+ 3100

+ 31000

+ 310000

+ · · · .Tambien intuitivamente, deberıa concluirse que una serie como la que sigue ...

10 + 100 + 1000 + 10000 + 100000 + · · ·

... “no tiene Suma”.La intuicion nos dice que esta ultima serie “no tiene por suma un valor finito”, y de

ahı se concluye que no puede ser “convergente”.... En general ¿ como estudiar si tiene Suma una serie ? ...

1.1. Sucesion de sumas parciales

El concepto de convergencia de una serie infinita se pone en terminos de la conver-gencia de la sucesion de sus sumas parciales.

– 3 –

Definicion 2: Para cada serie∑∞

n=1 an, la sucesion de sumas parciales {Sn} esta de-finida por:

S1 = a1

S2 = a1 + a2

S3 = a1 + a2 + a3

...

Sn = a1 + a2 + a3 + · · ·+ an...

Ejemplo 1 La sucesion de sumas parciales de∞∑k=1

310k

es

S1 =3

10

S2 =3

10+

3

102

S3 =3

10+

3

102+

3

103

...

Sn =3

10+

3

102+

3

103+ · · ·+ 3

10n...

En el ejemplo anterior, cuando n es muy grande, Sn da una buena aproximacion a 13.

parece entonces razonable escribir

1

3= lım

n→∞Sn = lım

n→∞

n∑k=1

3

10k=∞∑k=1

3

10k

Esto conduce a

Definicion 3: Se dice que una serie infinita∞∑k=1

ak es convergente si “converge la suce-

sion de sumas parciales {Sn}”, es decir si

lımn→∞

Sn = lımn→∞

n∑k=1

ak = S

El numero S es la suma de la serie.Si lımn→∞ Sn “no existe” entonces se dice que la serie es divergente.

Ejemplo 2 Demostrar que la serie

∞∑k=1

1

(k + 4) (k + 5)

– 4 –

es convergente.Este tipo de serie se llama “telescopica”, como consecuencia del termino general an =1

(n+4)(n+5).

A continuacion se ven las consecuencias de tal caracterıstica del termino general

Solucion 1 El termino general de la serie se puede expresar por fracciones parciales como

ak =1

k + 4− 1

k + 5

(verificar que es cierta esa igualdad)Ası, el termino general de la sucesion de sumas parciales es

Sn =

[1

5− 1

6

]+

[1

6− 1

7

]+

[1

7− 1

8

]+ · · ·+

[1

n+ 4− 1

n+ 5

]=

1

5− 1

6+

1

6− 1

7+

1

7− 1

8+ · · ·+ 1

n+ 4− 1

n+ 5

=1

5− 1

n+ 5

Como lımn→∞1

n+5= 0...

... resulta que lımn→∞ Sn = 15. Por tanto, la serie converge y ası

∞∑k=1

1

(k + 4) (k + 5)=

1

5

Problema 3 Hallar las sumas parciales Sn y analizar si convergen, para la serie:

∞∑k=1

1

4k2 − 1

Luego, hallar la suma de la serie, si existe.

1.2. Series geometricas

La serie geometrica es de la forma

a+ a.r + a.r2 + · · ·+ a.rn + · · · =∞∑k=0

a.rk

donde la constante a 6= 0 representa el primer termino de la serie y r es la razon de laserie: El cociente entre dos terminos consecutivos de esta serie es constante e igual a r :

an+1

an=a.rn+1

a.rn= r

Ejemplo: La serie :1 + 12

+ 122

+ 123

+ · · ·+ 12n

+ · · · , es una serie geometrica con a = 1y r = 1/2.

– 5 –

Proposicion: Una serie geometrica converge a

a

1− r

si |r| < 1 y diverge si |r| ≥ 1, a 6= 0.

Demostracion. Considerese el termino general de la sucesion de sumas parciales de laserie geometrica:

Sn = a+ a.r + a.r2 + · · ·+ a.rn

Multiplicando por r ambos miembros de la igualdad anterior resulta

r.Sn = a.r + a.r2 + a.r3 + · · ·+ a.rn+1

Si se restan las dos igualdades previas y se despeja Sn:

Sn − r.Sn = a− a.rn+1

(1− r) .Sn = a.(1− rn+1

), y cuando r 6= 1,

Sn =a. (1− rn+1)

1− r

Como sabemos que lımn→∞ rn+1 = 0, si |r| < 1, se obtiene

lımn→∞

Sn = lımn→∞

a. (1− rn+1)

1− r=

a

1− r, |r| < 1

En cambio, si |r| > 1, el lımn→∞ rn+1 no existe. De esta forma,

el lımite de las Sumas Parciales “ no existe” cuando |r| > 1.

Problema 4 Completar:Para completar el resultado previo, demostrar que una serie geometrica “diverge” cuandor = ±1.Para responder, considerar directamente cada Sn, cuando r = 1, y analizar el lımite paran→∞ (hacer lo mismo para r = −1, y analizar Sn y su lımite).

Ejemplo 5 En la serie geometrica

∞∑k=0

(−1

3

)k= 1− 1

3+

1

9− 1

27+ · · ·

se identifica a = 1 y r = −13.

Como |r| < 1, se sabe que la serie converge. Por tanto ...... la suma de la serie es

∞∑k=0

(−1

3

)k=

1

1−(−1

3

) =3

4

– 6 –

Problema 6 Indicar si las siguientes series geometricas convergen o divergen. Si con-vergen, hallar su Suma.

(a)∞∑k=0

5

(3

2

)k= 5 +

15

2+

45

4+

135

8+ · · · , (b)

∞∑k=1

2k

3k+1=

2

9+

4

27+

8

54+ . . .

Problema 7 Decir para cuales x la siguiente serie tiene Suma, y calcular esa Suma.

∞∑k=1

(x2

)k−1

Ejercicio 8

1. A una partıcula que se mueve en lınea recta, se le aplica una fuerza, de manera queen cada segundo la partıcula recorre solo la mitad de la distancia que ha recorrido enel segundo previo. Si la partıcula recorre 10 cm en el primer segundo, ¿que distanciatotal recorrera?

2. Cuando una pelota se deja caer desde una altura h, demora T =√

2h/g segundosen llegar al suelo (¿por que?). Si la bola rebota siempre hasta cierta fraccion q(0 < q < 1) de su altura anterior, obtenga una formula para el tiempo que transcurrehasta que la pelota queda en reposo, y para la distancia total recorrida por la pelota.

1.3. Serie armonica

Un ejemplo de serie divergente es la denominada serie armonica:

1 +1

2+

1

3+

1

4+ · · ·+ 1

n+ · · · =

∞∑k=1

1

k

El termino general de la sucesion de sumas parciales de la serie armonica es

Sn = 1 +1

2+

1

3+

1

4+ · · ·+ 1

n

Si se considera

S2n = 1 +1

2+

1

3+

1

4+ · · ·+ 1

n+

1

n+ 1+

1

n+ 2+ · · ·+ 1

2n

= Sn +1

n+ 1+

1

n+ 2+ · · ·+ 1

2n

≥ Sn +1

2n+

1

2n+ · · ·+ 1

2n︸︷︷︸n terminos

= Sn + n.1

2n= Sn +

1

2

se observa que S2n ≥ Sn + 12

para todo n, lo que implica que la sucesion de sumasparciales no es acotada. Por tanto, concluimos que la serie armonica es divergente.Ası, vemos que en este caso, para n→∞, Sn →∞ a pesar de que an → 0 !!

– 7 –

Observacion: Si bien lımn→∞ Sn =∞, en la serie armonica Sn crece lentamente conn: Puede mostrarse que para n grande, Sn ≈ lnn+ γ, donde γ ≈ 0,577216....Ası, S100 ≈ 5,187, S1000 ≈ 7,485, S106 = 14,393 y S1012 ≈ 28,208.

Problema 9 A partir del resultado previo, mostrar que las series siguientes divergen:

(a)∞∑k=1

1

k + 3(b)

∞∑n=1

10

n+ 1000

1.4. Condicion necesaria de convergencia

Si an y Sn son el termino general de una serie y la correspondiente sucesion de sumasparciales, respectivamente,

... entonces se sabe que Sn + an+1 = Sn+1. Si la serie converge a un numero S

... entonces lımn→∞ Sn = S, y tambien lımn→∞ Sn+1 = S. Esto implica ...

... lımn→∞ an = lımn→∞ (Sn+1 − Sn) = S − S = 0.Se ha establecido ası, la siguiente propiedad:

Proposicion: Si la serie∞∑k=1

ak converge ⇒ lımn→∞

an = 0.

Observacion: Reflexionar sobre ese resultado. La relacion recıproca de ese enunciadoNO VALE ! O sea, puede ocurrir que lım

n→∞an = 0 y que la serie sea divergente. Ejemplo:

la serie armonica que hemos visto previamente. Explicar porque.

Problema 10 Proponer un ejemplo de una serie cuyo termino general an → 0, pero laserie no sea convergente.

1.5. Criterio para la divergencia de una serie

La proposicion anterior dice que “ para que una serie sea convergente es necesario quesu termino general tienda a cero”. Eso permite concluir que ...

Si el termino general de una serie infinita no tiende a cero cuando n→∞ ⇒ la serie noes convergente.

Formalizamos este resultado como un criterio de divergencia:

Proposicion: Si lımn→∞

an 6= 0, entonces la serie∞∑k=1

ak diverge.

– 8 –

Problema 11 Considere la serie∞∑k=1

4k − 1

5k + 3

Estudiar el termino general para ver si su comportamiento permite decidir respecto de laconvergencia o divergencia.

Problema 12 Decidir si convergen o divergen:

(a)∞∑k=1

(5k + 1) (b)∞∑k=1

k

2k + 1

Problema 13 Resultado util.Analizar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. En el primer caso debejustificar la validez, y en el caso de falsedad debe presentar un ejemplo que ponga demanifiesto ese resultado.

Dada una serie∞∑k=1

ak, con terminos no nulos.

“Si el cociente |an+1||an| > 1 , para todo n > n0”, entonces

1. Los terminos en valor absoluto satisfacen: |an+1| > |an| para todo n > n0: |an| escreciente.

2. Como para todo n > n0, se cumple |an| > |an0|

se concluye que la serie∞∑k=1

|ak| es divergente, y tambien,

que la serie original∞∑k=1

ak es divergente.

1.6. Propiedades de las series

Formularemos las siguientes propiedades (obvias) sin demostracion.

1. Si c 6= 0 es una constante, entonces tanto∞∑k=1

ak como∞∑k=1

c.ak son convergentes, o

bien, divergentes. En el primer caso, si son convergentes se tiene

∞∑k=1

c.ak = c.

∞∑k=1

ak

– 9 –

2. Si∞∑k=1

ak y∞∑k=1

bk son convergentes a S1 y S2 respectivamente, entonces∞∑k=1

(ak + bk)

converge a S1 + S2.

3. Si∞∑k=1

ak es convergente y∞∑k=1

bk es divergente, entonces∞∑k=1

(ak + bk) es divergente.

Ejemplo 14 Las series geometricas∞∑k=0

(12

)ky∞∑k=0

(13

)kconvergen a 2 y 3

2, respectivamen-

te. Por lo tanto, la propiedad 2 dice que la serie∞∑k=0

[(12

)k+(

13

)k]converge a 2 + 3

2= 7

2.

Ejemplo 15 Sabemos, por el Ejemplo 2, que la∞∑k=1

1(k+4)(k+5)

converge. Puesto que∞∑k=1

1k

es la serie armonica divergente, la propiedad 3 dice que

∞∑k=1

[1

(k + 4) (k + 5)+

1

k

]es tambien divergente.

Problema 16

1. Determinar si es valido el siguiente razonamiento:

“Si S = 1 + 2 + 4 + 8 + · · · , entonces 2S = 2 + 4 + 8 + 16 + · · · = S− 1. DespejandoS de 2S = S − 1, resulta S = −1”. Fundamentar su respuesta.

2. Si∑ak y

∑bk son dos series divergentes, ¿es

∑(ak + bk) una serie divergente?

3. Supongase que la sucesion {ak} converge a un numero L 6= 0. Demuestre que∑ak

es divergente?

4. Determine si∞∑n=1

(n∑k=1

1k

)converge o diverge.

Importante: Para determinar la convergencia es posible, y a veces conveniente, eliminar

u omitir los primeros terminos de una serie. En otras palabras, series infinitas como∞∑k=1

ak

y∞∑k=N

ak, para algun N > 1 difieren a lo sumo en los primeros terminos (un numero

finito), entonces son ambas convergentes o ambas divergentes. Desde luego, si eliminamoslos primeros N − 1 terminos de una serie convergente, se altera la suma de la serie.

– 10 –

2. Series con terminos positivos y Series alternantes

Criterios para analizar la convergencia

En general, salvo que∑∞

k=1 ak sea una serie telescopica o una serie geometrica, no estarea facil, y a veces imposible, demostrar la convergencia o la divergencia de una serie apartir del estudio de la sucesion de sumas parciales. Sin embargo,...

...usualmente es posible determinar si una serie converge o diverge aplicando criteriosde convergencia que utilizan solamente los terminos de la serie.

En esta seccion examinaremos cuatro criterios que son aplicables a series infinitascon terminos positivos, y tambien criterios aplicables a series alternadas. Ambos tipos deseries son los que mas aparecen en las aplicaciones.

Las de terminos positivos son :∑∞

k=1 ak, con ak ≥ 0, mientras las alternadas son deltipo:

∑∞k=1(−1)kck, con ck > 0.

2.1. Series de terminos positivos

Observacion: Lo primero que podemos ver es que si an ≥ 0 para todo n, entonces Sn+1−Sn = an+1 ≥ 0 ∀ n. la sucesion de sumas parciales satisface pues

Sn+1 ≥ Sn para todo n

Por lo tanto, es una sucesion creciente.

Luego,

Problema 17 Para este tipo de series, justificar que hay dos posibilidades:(1) Si la sucesion de sumas Sn es acotada ⇒ la serie converge;y en el caso contrario,(2) limn→∞Sn =∞ (diverge).

2.2. Criterio de la Integral

Este criterio relaciona los conceptos de convergencia y divergencia de una integralimpropia con la convergencia y divergencia de una serie infinita de terminos positivos.

Teorema: Consideremos una serie∑∞

k=1 ak, con terminos positivos y decrecientes (ak ≥ak+1). Sea f(x) una funcion contınua, decrec iente, no negativa, definida para x ≥ 1, tal

que satisface f(k) = ak para k ≥ 1. Entonces∫∞

1f(x)dx converge ⇔

∞∑k=1

ak converge.

Si una converge o diverge la otra converge o diverge, respectivamente.

Demostracion. Si la grafica de f es como la de la figura siguiente, considerando el areade los rectangulos, resulta

0 ≤ a2 + a3 + a4 + · · ·+ an ≤∫ n

1

f(x)dx ≤ a1 + a2 + a3 + · · ·+ an−1

– 11 –

y=fHxLarea = a1 1

area = a2 1

1 2 3 4 5x

y

y=fHxL

area = a2 1

area = a3 1

1 2 3 4 5x

y

O sea

Sn − a1 ≤∫ n

1

f(x)dx ≤ Sn−1

De la desigualdad Sn − a1 ≤∫ n

1f(x)dx, es claro que lımn→∞ Sn existe siempre que∫∞

1f(x)dx converja. Por otra parte, de

∫ n1f(x)dx ≤ Sn−1, se concluye que lımn→∞ Sn−1

no existe siempre que∫∞

1f(x)dx sea divergente.

Observacion 1: El razonamiento anterior nos proporciona tambien la desigualdad∫ n+1

1

f(x)dx ≤ a1 + a2 + . . .+ an ≤ a1 +

∫ n

1

f(x)ddx

que puede utilizarse para acotar la suma parcial Sn (y por ende la Suma S de la serie enel caso convergente:

∫∞1f(x)dx ≤ S ≤ a1 +

∫∞1f(x)dx).

Por ejemplo, para la serie armonica obtenemos ln(n+ 1) ≤ 1 + 12

+ . . .+ 1n≤ 1 + lnn, lo

que muestra tanto la divergencia de la suma parcial Sn para n→∞ como el crecimientologarıtmico de Sn con n para n grande.

Observacion 2: Si la serie de terminos positivos es de la forma∑∞

k=N ak, entonces enel criterio de la integral se debe considerar∫ ∞

N

f(x)dx, donde f(k) = ak

En general, el criterio se aplica desde el primer termino para el cual la serie es positivay decreciente (los primeros terminos no importan para decidir la convergencia)

Ejemplo 18 Determinar si∞∑k=3

ln kk

es convergente.

Solucion 2 La funcion f(x) = (ln x) /x es continua y decreciente1 en [3,∞) y f(k) =ak = (ln k) /k. Ahora bien,∫ ∞

3

lnx

xdx = lım

b→∞

∫ b

3

lnx

xdx = lım

b→∞

1

2(lnx)2

∣∣∣∣b3

= lımb→∞

1

2

[(ln b)2 − (ln 3)2] =∞

muestra que la serie diverge.

1Demuestrelo examinando f(x).

– 12 –

Ejercicio 19 La serie p: El criterio de la integral es particularmente util para la llamadaserie p:

∑∞n=1

1np , es decir...

∞∑k=1

1

kp= 1 +

1

2p+

1

3p+

1

4p+ · · ·

La serie armonica (divergente)∑∞

k=1 1/k es una serie p, con p = 1.El siguiente resultado se deduce inmediatamente del criterio de la integral y se deja

como ejercicio de aplicacion del criterio de la integral.

Teorema. La serie p,∞∑n=1

1np , converge para p > 1 y diverge para p ≤ 1.

Esta serie aparece frecuentemente en diferentes aplicaciones.

Para p > 1, la suma de la serie p es la denominada funcion Zeta de Riemann:Z(p) =

∑∞n=1

1np , p > 1.

Algunos valores exactos son: Z(2) =∑∞

n=11n2 = π2

6, Z(4) =

∑∞n=1

1n4 = π4

90.

Para p > 1, Z(p) es una funcion decreciente de p, con Z(p) → 1 para p → ∞ yZ(p)→∞ para p→ 1.

Ejemplo 20 a) La serie∑∞

k=11

k1/2diverge, ya que p = 1

2< 1.

b) La serie∑∞

k=11k3

converge, ya que p = 3 > 1.

Para hacer en PC usando MAPLE, Matlab o Mathematica, considere S1, S2,...S6,calculando Sn =

∑nk=1

1k2

y representando los pares (n, Sn). Se ve del dibujo cual esla suma de la serie?, si no se aprecia aun haga las sumas parciales siguientes.

Problema 21 Analizar mdiante el criterio de la integral la convergencia de las series

(a)∞∑n=2

lnn

n, (b)

∞∑n=0

1

n2 + 1, (c)

∞∑n=1

ne−n, (d)∞∑n=1

n

n2 + 3

2.3. Criterios de comparacion

A menudo es posible determinar la convergencia o divergencia de una serie∑ak

comparando sus terminos positivos con los de una serie de prueba∑bk, de terminos

positivos, que se sabe que es convergente o divergente.

– 13 –

Teorema. Sean∞∑k=1

ak y∞∑k=1

bk, series con terminos positivos,

(i) Si∞∑k=1

bk converge, y ak ≤ bk para todo entero k, entonces∞∑k=1

ak es tambien conver-

gente.

(ii) Si∞∑k=1

bk diverge y bk ≤ ak para todo entero k, entonces∞∑k=1

ak es divergente.

Ambos enunciados se mantienen si la comparacion se hace a partir de un k0, y lasdesigualdades de arriba valen para todos los k > k0.

Demostracion. Sean Sn = a1 +a2 + · · ·+an y Tn = b1 + b2 + · · ·+ bn las sumas parcialesde∑ak y

∑bk, respectivamente.

1. Si∑bk es una serie convergente, y ak ≤ bk, entonces Sn ≤ Tn. Como lımn→∞ Tn

existe, entonces {Sn} es una sucesion creciente acotada - y por lo tanto, es conver-gente. Luego, la serie

∑ak es convergente.

2. Por otro lado∑ak no puede ser convergente, ya que Tn ≤ Sn en este caso, y como

la serie de los bk diverge, lımn→∞ Tn =∞, luego tambien lımn→∞ Sn =∞ .

Ejemplo 22 Determinar si es convergente o divergente∞∑k=1

kk3+4

.

Solucion 3 Como ...k

k3 + 4≤ k

k3=

1

k2

... y la serie∑

1/k2 es una serie p con p = 2, convergente, se deduce que la serie dadatambien es convergente.

Problema 23 (i) Determinar si es convergente o divergente∞∑k=1

ln(k+2)k

.

Observar que ln (k + 2) > ln 3 para k > 1,

ln (k + 2)

k>

ln 3

k

Y como es la serie∑

(ln 3)/k ? Terminar el ejercicio.

(ii) Analizar∞∑n=1

13n+1

.

(iii) Analizar∞∑n=1

e−n2.

– 14 –

Problema 24 Dada una serie con terminos no nulos (no importa el signo)∞∑n=1

an

Si se conoce que el cociente |an+1||an| satisface |an+1|

|an| < r < 1 para todo n ≥ n0,entonces...

1. Probar que los terminos en valor absoluto de la serie

satisfacen..... |an0+p| < rp |an0| para todo p ≥ 1.

Y como consecuencia de lo anterior

2. “la serie∞∑

n=n0

|an|”, tiene sus terminos menores que los de una serie geometrica

convergente. Luego, esta serie converge.

2.4. Criterio de comparacion en el lımite

Este criterio de comparacion proviene de considerar el lımite del cociente del terminogeneral de una serie y el termino general de una serie de prueba (que se conoce que esconvergente o divergente).


ak y∞∑k=1

bk dos series con terminos positivos, tales que se conoce el

resultado de lımn→∞

anbn

= L. Entonces

(i) Si L existe y es L > 0, entonces ambas series son convergentes o ambas son diver-gentes;

(ii) Si L =∞ y∑∞

k=1 bk diverge, entonces∑∞

k=1 ak diverge tambien.

Demostracion. Demostramos la parte (i). Como lımn→∞ an/bn = L > 0, es posible elegirn suficientemente grande, por ejemplo n > N0 para cierto N0, tal que |an

bn− L| < L/2

...entonces para todo n > N0

1

2L ≤ an

bn≤ 3

2L

Esta desigualdad implica que an ≤ 32L.bn para n > N0.

Si la serie∑bk converge, por el criterio de comparacion se deduce que la serie

∑an

es convergente. Ademas,...... puesto que 1

2L.bn ≤ an para n > N0, se ve que si la serie

∑bn diverge, entonces∑

an tambien diverge.Lo que resta se deja como ejercicio.El criterio de comparacion en el lımite se aplica cuando el criterio de comparacion

es inconveniente, en particular cuando an es una expresion algebraica complicada o uncociente ya sea de potencias racionales de n o de raıces de polinomios en n. Se comparaentonces an con una serie p convergente o divergente segun el caso, identificando losterminos que dominan el comportamiento de an para n grande.

– 15 –

Ejemplo 25 El lector puede advertir que es difıcil aplicar el criterio de comparacion ala serie

∞∑k=1

1/(k3 − 5k2 + 1

)Sin embargo, sabemos que

∑∞k=1 1/k3 es una serie p convergente. Haciendo el cociente

entre

ak =1

k3 − 5k2 + 1y bk =

1

k3

tenemos

lımk→∞

akbk

= lımk→∞

k3

k3 − 5k2 + 1= lım

k→∞

k3

k3(1− 5/k + 1/k3)= 1 = L > 0

Por parte (i) del criterio dado previamente, resulta que la serie dada es convergente.Identificando el termino dominante del denominador, podemos entonces decir que ak

se comporta en este caso como 1k3

para k grande, es decir como una serie p con p = 3, ypor lo tanto la serie

∑∞k=1 ak resulta convergente.

Ejercicio 26 Determinar si es o no convergente

∞∑k=1

k3√

8k5 + 7

Para valores grandes de n, an = n/ 3√

8n5 + 7 “se comporta” como un multiplo cons-tante de

n3√n5

=n

n5/3=

1

n2/3

Aplicar el criterio y concluir un resultado.(ii) Analizar

∞∑n=1

1

n√n2 + 1

– 16 –

Resumen 1 Observaciones:

(i) Cuando se aplica el criterio de la integral, debe tenerse en cuenta que el valor de laintegral impropia convergente no es la suma de la serie.

(ii) Los criterios examinados en esta seccion dicen cuando una serie tiene suma, perono proporcionan el valor de la suma S.

No obstante, es importante conocer que converge una serie ya que eso permite sumarcinco, cien o mil terminos en una computadora para obtener una aproximacion a lasuma S (¿ porque es valido ?).

(iii) La conclusiones del criterio de la integral para la serie∞∑k=n

ak son validas tambien si

la funcion no negativa continua f no comienza a decrecer hasta que x ≥ N ≥ n.

Para la serie∑∞

k=1 (ln k) /k, la funcion f(x) = (lnx) /x decrece en el intervalo[3,∞). No obstante, en el criterio de la integral es posible utilizar

∫∞1f(x)dx.

(iv) Las hipotesis de la parte (i) y (ii) del criterio de comparacion tambien se puedendebilitar, lo cual da lugar a una propiedad mas fuerte. Solamente se requiere quean ≤ bn, o bien an ≥ bn, para k sufientemente grande y no para todos los k enterospositivos.

(v) En la aplicacion del criterio de comparacion basico, a menudo es facil llegar a unpunto en donde la serie dada es menor termino a termino que una serie divergente.

Por ejemplo, 1/(

5k +√k)< 1/

√k es verdadero y

∑∞k=1 1/

√k diverge.

Pero, ¿ este tipo de razonamiento prueba algo acerca de∑∞

k=1 1/(

5k +√k)

? De

hecho, esta serie converge (¿por que?).

De manera semejante no se puede llegar a ninguna conclusion demostrando que unaserie es mayor termino a termino que una serie convergente.

La tabla siguiente resume el criterio de comparacion (las series son series contermino positivos)

ak versus bk∑

bk(tipo) Conclusion sobre∑

akak ≤ bk converge convergeak ≤ bk diverge ningunaak ≥ bk diverge divergeak ≥ bk converge ninguna

– 17 –

2.5. Problemas diversos - criterio de la raız

1. Suponga que ak > 0 para k = 1, 2, 3, . . . . Demuestre que si∑ak converge, entonces∑

a2k tambien converge. ¿Es verdad la proposicion recıproca?

2. Sea∑ak una serie de terminos positivos para la cual lımn→∞ (an)1/n = L. El

criterio de la raız dice que si L < 1, la serie es convergente; si L > 1, olımn→∞ |an|1/n =∞, la serie diverge. Cuando L = 1 el criterio no decide. El criteriopuede derivarse comparando la serie con una serie geometrica. Aplique el criterio dela raız para determinar si la serie indicada converge o diverge.

(a)∞∑k=1

52k+1

kk, (b)

∞∑k=2

1

(ln k)k, (c)

∞∑k=1

(kk+1

)k2, (d)

∞∑k=1

(1− 2

k

)kObservacion: Recuerde que lımk→∞(1 + 1

k)k = e y lımk→∞(1 + x

k)k = ex

2.6. Ejercicios para repasar los criterios

1. Aplique el criterio apropiado para determinar si la serie indicada converge o diverge.En algunos casos puede aplicarse mas de un criterio.∞∑k=1

1k1,1

∞∑k=1

1k0,99

∞∑k=1

12k+7

∞∑k=1

110+√k

∞∑k=1

k3k+1

∞∑k=1

1k2+5

∞∑k=1

1k+√k

∞∑k=2

1k. ln k

∞∑k=3

ln kk5

∞∑k=2

(ln k)−2

k

∞∑k=2

1k√

ln k

∞∑n=2

1n√n2−1

∞∑k=1

(1,1)k

4k

∞∑k=1

13k+k

∞∑k=1

1+3k

2k

∞∑n=1

n3,2n+3

7n−1

∞∑k=1

k+ln kk3+2k−1

∞∑k=1

sen (1/k)k

– 18 –

2.7. Series alternantes y convergencia absoluta

Una serie que tenga cualquiera de las formas

c1 − c2 + c3 − c4 + · · ·+ (−1)n+1 cn + · · · =∞∑k=1

(−1)k+1 ck

o bien

−c1 + c2 − c3 + c4 − · · ·+ (−1)n cn + · · · =∞∑k=1

(−1)k ck

en donde ck > 0 para k = 1, 2, 3, . . . , se dice que es una serie alternante (o alterna).Puesto que

∑∞k=1 (−1)k ck es precisamente un multiplo de

∑∞k=1 (−1)k+1 ck, nos limi-

taremos a estudiar esta ultima serie.

Ejemplo 27

1− 1

2+

1

3− 1

4+ · · · =

∞∑k=1

(−1)k+1

k

yln 2

4− ln 3

8+

ln 4

16− ln 5

32+ · · · =

∞∑k=2

(−1)kln k

2k

son ejemplos de series alternantes.

2.8. Criterio de las series alternantes (Leibniz)

Lo primero para asociar ...

Problema 28 Dada una serie alternada si los coeficientes {ck} “no tienden a 0”, cuandok →∞, ...... ¿que se puede “asegurar”sobre esta serie? (pensar que ocurre con el termino generalpara series convergentes de cualquier tipo).

La primer serie de los ejemplos, se llama serie armonica alternante. Aunque laserie armonica

∑1/k diverge, la introduccion de terminos positivos y negativos en la

sucesion de sumas parciales de la serie armonica alternanada basta para producir unaserie convergente.

Demostraremos que la serie armonica alternada converge, por medio del criterio si-guiente:

Teorema. Si lımk→∞

ck = 0 y ck+1 ≤ ck, para todo entero positivo k, entonces∑∞k=1 (−1)k+1 ck converge.

Demostracion. Consideremos las sumas parciales que contienen 2n terminos:

S2n = c1 − c2 + c3 − c4 + · · ·+ c2n−1 − c2n

= (c1 − c2) + (c3 − c4) + · · ·+ (c2n−1 − c2n)

– 19 –

Puesto que ck − ck+1 ≥ 0 para k = 1, 2, 3, . . . tenemos que

S2 ≤ S4 ≤ S6 ≤ · · · ≤ S2n ≤ · · ·

Ası que la sucesion {S2n} de las sumas que contienen un numero par de terminos dela serie, es una sucesion monotona.

Reescribiendo lo anterior

S2n = c1 − (c2 − c3)− · · · − c2n

muestra que S2n < c1 para todo entero positivo n. Por tanto, {S2n} es acotada y creciente,entonces {S2n} es convergente a un lımite S.

Ahora bien,S2n+1 = S2n + c2n+1

... entonces,

lımn→∞

S2n+1 = lımn→∞

S2n + lımn→∞

c2n+1

= S + 0 = S

Esto demuestra que la sucesion de sumas parciales que contienen un numero impar determinos, tambien converge a S.

Ejemplo 29 Demostrar que la serie armonica alternante

∞∑k=1

(−1)k+1

k

es convergente.

Solucion. Con la identificacion cn = 1/n, tenemos de inmediato que

lımn→∞

cn = lımn→∞

1

n= 0 y cn+1 < cn

dado que 1/ (k + 1) ≤ 1/k para k ≥ 1. Luego, por el criterio de las series alternantes laserie armonica alternante es convergente.

Problema 30 Usando la computadora, calcular las sumas parciales S1, S2.....S20 y ve-rificar, dibujando los pares (n, Sn), que se acercan a la recta horizontal y = ln 2 (masadelante se demostrara que la suma de esa serie es ln 2).

Ejemplo 31 La serie alternante

∞∑k=1

(−1)k+1 2k + 1

3k − 1

diverge, ya que

lımn→∞

cn = lımn→∞

2k + 1

3k − 1=

2

36= 0

No hemos usado aquı el criterio previo.

– 20 –

En general no es necesariamente sencillo cuando se tiene una serie alternada ver silos coeficientes positivos cumplen o no ck+1 ≤ ck.

Ejercicio 32 (1) Determinar si∞∑k=1

(−1)k+1√k

k+1es convergente o divergente.

- Primero conviene ver si cn tiende a cero. Si es ası ...se sigue ...Para ver si los terminos de la serie satisfacen la condicion ck+1 ≤ ck, en este caso se

puede analizar si la funcion f(x) =√x/ (x+ 1) decrece para x > 1.

..... concluir ?.(2) Determinar si es convergente o divergente

∑∞k=1

(−1)k+1

1+k2.

(3) Determinar si es aplicable el criterio a la serie∑∞

n=1n

(−2)n−1 . Puede decidir si esconvergente o divergente ?

2.9. Convergencia absoluta

Definicion. Se dice que una serie∑ak es absolutamente convergente si

∑|ak|

converge.

Ejemplo 33 La serie alternante∞∑k=1

(−1)k+1

k2

es absolutamente convergente, ya que tomada en valores absolutos

∞∑k=1

∣∣∣∣∣(−1)k+1

k2

∣∣∣∣∣ =∞∑k=1

1

k2

es una serie p que converge.

2.10. Convergencia condicional

Definicion. Se dice que una serie∑ak es condicionalmente convergente si

∑ak

converge pero∑|ak| diverge.

Ejercicio 34 La serie armonica alternada... ¿ es absolutamente convergente o condicio-nalmente convergente?

– 21 –

El resultado siguiente demuestra que toda serie absolutamente convergentees tambien convergente.

Problema 35 Si la serie∑∞

k=1 |ak| converge, entonces∑∞

k=1 ak tambien converge.Demostracion. Si se considera una serie wk = ak + |ak|, entonces 0 ≤ wk ≤ 2 |ak|....Como

∑|ak| converge, entonces por el criterio de comparacion resulta que

∑wk es

convergente. Entonces,....que se puede decir sobre

∞∑k=1

(wk − |ak|)

converge?, ........concluir la justificacion.

Observar que como∑|ak| es una serie de terminos positivos, pueden utilizarse los

criterios de la seccion precedente para determinar la convergencia o divergencia.

Ejercicio 36 (1)Analizar si es convergente (absolutamente o condicionalmente), o si es

divergente∑∞

k=1(−1)k+1

1+k2.

(2) Idem para∑∞

n=1cosnπn+1

(recordar que cosnπ = (−1)n)(3) Idem para

∑∞n=1

cosnπn2+1

(3) Idem para∑∞

n=1sen((2n−1)π/2)

n

Ahora agregamos un criterio muy util para analizar la convergencia absolu-ta, tambien para decidir en algunos casos divergentes, y para el caso particularde series positivas.

La siguiente forma del Criterio de la razon puede ser aplicada tambien al analisisde series alternadas.

2.11. Criterio de la razon o del cociente

Teorema. Sea una serie∑ak con terminos no nulos, se considera el valor absoluto del

cociente an+1

an, y se calcula el lımite:

lımn→∞

∣∣∣∣an+1

an

∣∣∣∣ = L

Entonces

(i) Si L < 1, la serie es absolutamente convergente (e implica convergente).

(ii) Si L > 1, o si lımn→∞ |an+1/an| = ∞, la serie∑ak es divergente (... y por ende

tambien∑|ak|).

(iii) Si L = 1, el criterio no decide.

Demostracion. Demostramos la parte (i). Sea R un numero positivo tal que 0 ≤ L ≤R < 1 (hacer un dibujo en la recta), usando la definicion de lımite de la sucesion |an+1/an|,

– 22 –

existe un cierto N0, tal que para n suficientemente grande, n > N0 se cumple que∣∣∣an+1

an

∣∣∣ <R < 1, esto es,

|an+1| < R. |an| para todo n > N0

Esta desigualdad implica (recordar un ejercicio previo) quela serie∑∞

k=N0+1 |ak| con-

verge, debido a la comparacion con la serie geometrica convergente∑∞

k=1 |aN0 |.Rk, con0 < R < 1.

La segunda parte surge considerando que si el lımite

lımn→∞

∣∣∣∣an+1

an

∣∣∣∣ = L > 1, un numero L > 1

Considerando el intervalo (1, L) (hacer un dibujo con L > 1), existe un R, 1 < R < L,y un N0 tal que para todo n ≥ N0, el cociente∣∣∣an+1

an

∣∣∣ > R > 1, luego para todo n > N0,

|an+1| > |an|Luego facilmente se deduce (recordar un ejercicio previo) que |an| no tiende a cero, y

tampoco la sucesion an tiende a cero. Por tanto, la serie diverge.

Problema 37 Concluir la demostracion del teorema anterior, encontrando dos seriespara las que se cumpla la parte (iii), siendo una convergente y la otra divergente.Ejemplos tıpicos son la serie armonica y la serie p con p = 2. Verificar eso.

Ejemplo 38 Determinar si converge o diverge∞∑k=1

(−1)k+122k−1

k3k.

Solucion 4

lımn→∞

∣∣∣∣an+1

an

∣∣∣∣ = lımn→∞

∣∣∣∣∣(−1)n+2 22n+1

(n+ 1) 3n+1/

(−1)n+1 22n−1

n3n

∣∣∣∣∣= lım

n→∞

4n

3 (n+ 1)=

4

3

Puesto que L = 43> 1, por el criterio de la razon se desprende que la serie alterna es

divergente.

Problema 39 Determinar si convergen o divergen las series :

(a)∞∑n=1

2n+1n2

3n, (b)

∞∑n=1

nn

n!

(c)∞∑n=1

(−1)n√n

n+1, si se puede aplicar el criterio previo.

Si no decide, usar otros criterios adecuados, de series alternantes, o de comparacion si seconsidera la serie en valores absolutos.(d) Usando el criterio del cociente, encontrar para cuales x la serie

∞∑n=1

xn

n!

converge absolutamente. Retenga ese resultado. Se vera en lo que sigue la importancia delmismo.

– 23 –

Resumen 2 (i) La conclusion del criterio de las series alternadas permanece ciertacuando la hipotesis “ak+1 ≤ ak para todo entero positivo k” se reemplaza con lacondicion “ak+1 ≤ ak para k suficientemente grande”.

Ej.: Para la serie alternante∑

(−1)k+1 (ln k) /k1/3, se demuestra facilmente queak+1 ≤ ak para k ≥ 21, mediante el procedimiento empleado en el Ejemplo 3.Ademas, lımn→∞ an = 0. Luego, la serie converge por el criterio de las series alter-nantes.

(ii) Si se encuentra que la serie de valores absolutos∑|ak| es divergente, entonces no

se puede sacar una conclusion referente a la convergencia o divergencia de la serie∑ak.

(iii) Si∑ak es absolutamente convergente, entonces los terminos de la serie pueden ser

reacomodados o reagrupados de cualquier manera, y la serie resultante sera conver-gente al mismo numero que la serie original. Por el contrario, si los terminos deuna serie condicionalmente convergente se escriben en un orden distinto, la nuevaserie puede diverger o converger a un numero diferente.

Se deja como ejercicio demostrar que si S es la suma de la serie armonica alternada

S = 1− 1

2+

1

3− 1

4+

1

5− 1

6+ · · ·

entonces la serie reordenada

1 +1

3− 1

2+

1

5+

1

7− 1

4+ · · ·

converge a 32S.

(iv) Se recomienda tambien reflexionar sobre el siguiente “razonamiento”.

2S = 2

[1− 1

2+

1

3− 1

4+

1

5− 1

6+

1

7− 1

8+

1

9− · · ·

]= 2− 1 +

2

3− 1

2+

2

5− 1

3+

2

7− 1

4+

2

9− · · ·

= (2− 1)− 1

2+

(2

3− 1

3

)− 1

4+

(2

5− 1

5

)− 1

6+ · · ·

= S

Dividiendo por S, se obtiene la interesante conclusion que 2 = 1 !! ?? Entonces,cuando es condicionalmente convergente no se puede alterar el orden de los terminos,ya que altera tambien el resultado.

– 24 –

3. Aproximacion de la Suma de una serie convergente

por una suma parcial

Importante. Si se sabe que una serie∑∞

k=1 ak es convergente, se puede tomar unasuma parcial Sn =

∑nk=1 ak como aproximacion a la suma S de la serie. Damos a conti-

nuacion una estimacion de la diferencia o error

|Sn − S| = |∞∑

k=n+1

ak|

en algunos casos importantes.

3.1. Estimacion del error para una serie alternante

La propiedad siguiente es muy util para saber si una suma parcial Sn de una seriealternante convergente, es aceptable o no para aproximar a su suma S.

Proposicion. Si la serie alternante∑∞

k=1 (−1)k+1 ck, ck > 0, converge a un nume-ro S, y si ck+1 ≤ ck para todo k, entonces |S − Sn| < cn+1 para todo n, donde Sn =∑n

k=1(−1)k+1ck es la enesima suma parcial.

Esta propiedad expresa que el error |S − Sn| entre la n-esima suma parcial y la sumade la serie es menor que el valor absoluto del (n + 1)-esimo termino de la serie (o delsiguiente respecto de los terminos que se han considerado en Sn).

Problema 40 Demostracion: Considerar S − Sn = (−1)n+1(cn+1 − (cn+2 − cn+3) − . . .)y hacer alguna fundamentacion para ver que es cierto el resultado de la proposicion.

Ejercicio 41 Evaluar cual suma parcial se puede considerar para aproximar la suma dela serie convergente

∞∑k=1

(−1)k+1

(2k)!

con un error menor que 10−3. Puede usar la calculadora o PC para evaluar.

Ejercicio 42 El numero de terminos para un determinado error depende de la serie.Probar que para estimar las series

(i)∞∑k=1

(−1)k+1

k!, (ii)

∞∑k=1

(−1)k+1

k, (iii)

∞∑k=2

(−1)k+1

ln k

con un error menor a 10−3, se requieren solo 6 terminos en la primera, 1000 terminos enla segunda ! y del orden de e103 ≈ 2× 10434 terminos en la tercera !!Notar que las tres series son convergentes por el criterio de series alternantes, aunquesolo una de ellas (cual?) converge absolutamente.

– 25 –

Ejercicio 43 Encuentre el menor entero positivo n de modo que Sn aproxime la suma dela serie convergente con un error menor que 10−3.

(a)∞∑k=1

(−1)k+1

k3, (b)

∞∑k=1

(−1)k+1

√k

,

(c) 1− 14

+ 142− 1

43+ · · · , (d) 1

5− 2

52+ 3

53− 4

54+ · · · ,

3.2. Estimacion del error para una serie de terminos positivos

El test del cociente puede resultar tambien util para conocer el error cometido por unasuma finita Sn para aproximar a la suma S de la serie.

Proposicion. Supongamos que una serie∑∞

k=1 uk es absolutamente convergente (y porlo tanto convergente) por el criterio del cociente. Si

lımk→∞

|uk+1||uk|

= L < R < 1

entonces para M sufientemente grande

∞∑k=M+1

uk <|uM+1|1−R

Demostracion. Como lımk→∞|uk+1||uk|

= L < R, entonces para M suficientemente grande

y k > M se cumple |uk+1||uk|

< R.

Por lo tanto, |uM+2||uM+1|

< R, o sea |uM+2| < R|uM+1|, con R < 1. Tambien,

|uM+3| < R|uM+2| < R2|uM+1| y ası, |uM+p| < R|uM+p−1| < ...... < Rp−1|uM+1|En consecuencia,∑∞

k=M+1 |uk| < |uM+1|+R|uM+1|+R2|uM+1|+R3|uM+1|+ ...+Rp|uM+1|+ ...Luego, como la serie de la derecha es una serie geometrica con razon 0 < R < 1 y

primer termino |uM+1|, conocemos su suma Sg = |uM+1|1−R . Por lo tanto, vale∑∞

k=M+1 |uk| < |uM+1|/(1−R)Como |

∑∞k=M+1 uk| ≤

∑∞k=M+1 |uk|, se concluye que

|∑∞

k=M+1 uk| < |uM+1|/(1−R).

Ejercicio 44 1) Hallar una cota superior del error cometido por la suma parcial de los6 primeros terminos (|S6 − S|) de las series siguientes:

a)∞∑n=1

1

n5nb)

∞∑n=1

1

n!c)

∞∑n=1

(−1)n−1

n4nd)

∞∑n=1

(−1)n−1

2n− 1

2) Encontrar cuantos terminos m hay que sumar de las siguientes series para que el errorcometido |Sm − S| sea menor a 0.0005:

a)∑∞

n=1n

10nb)∑∞

n=11

2n+1c)

∞∑k=1

(−1)k+1

(2k−1)!

– 26 –

3) Calcule el error al emplear las sumas parciales indicadas.∞∑k=1

(−1)k+1

k; S9 y S99 ,

∞∑k=2

(−1)k+1

ln k; S9 y S99 ,

∞∑k=1

(−1)k+1

k2k; S9 ,

∞∑k=1

1k2k

; S9

3.3. Problemas diversos

1. Diga por que no es aplicable a la serie indicada el criterio de las series alternantes.Determine si la serie converge o diverge.∞∑k=1

sen (kπ/6)√k4+1

∞∑k=1

100+(−1)k2k

3k

1− 12− 1

4+ 1

8+ 1

16−−+ + · · ·

11− 1

4− 1

9+ 1

16+ 1

25+ 1

36−−−+ + + + · · ·

21− 1

1+ 2

2− 1

2+ 2

3− 1

3+ 2

4− 1

4+ · · ·

(Sugerencia: Considere las sumas parciales S2n para n = 1, 2, 3, . . .)12

+ 12− 1

3− 1

3− 1

3+ 1

4+ 1

4+ 1

4+ 1

4−−−−− · · ·

2. Determine si converge o diverge cada una de las series siguientes

1− 1 + 1− 1 + 1− 1 + · · ·(1− 1) + (1− 1) + (1− 1) + · · ·1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + · · ·1 + (−1 + 1) + (−1 + 1− 1) + (1− 1 + 1− 1) + · · ·

3. Si∑ak es absolutamente convergente, demuestre que

∑a2k converge. (Sugerencia:

Para n suficientemente grande, |ak| < 1. ¿Por que?)

4. Determine todos los valores reales x para los cuales converge la serie

∞∑k=1

xk

k!

Veremos mas adelante que para esta serie su suma es la funcion ex.

Por ahora, represente en la PC las sumas parciales S1(x), S2(x) ...., S4(x), sonfunciones ya que dependen de x, por lo tanto represente con plot(...) cada una delas curvas de las sumas parciales y muestrelas en forma conjunta.

Pasamos al tema fundamental de este modulo ...

– 27 –

4. Representacion de funciones mediante series

Las series cuyos terminos son funciones fn(x), definidas para x ∈ D, D un ciertodominio, se denominan series de funciones:

∞∑n=0

fn(x)

Por ejemplo, si fn(x) = cos(nx)n2 , se tiene la serie

∞∑n=1

cos(nx)

n2= cos(x) +

1

4cos(2x) +

1

9cos(3x) + . . .+

1

n2cos(nx) + . . .

que converge ∀ x real (explicar porque).Otro ejemplo es la serie geometrica

∑∞n=0 x

n = 1 + x+ x2 + x3 + .....+ xn + ..., cuyosterminos son las potencias de x: fn(x) = xn. Nos concentraremos en lo que sigue en seriesde potencias.

5. Series de potencias

Si cada termino fn(x) es del tipo cnxn, es decir, esta compuesto por un coeficiente cn

independiente de x multiplicado por la potencia xn de la variable x, la serie se denominaserie de potencias

Definicion 1 La serie

∞∑k=0

ckxk = c0 + c1x+ c2x

2 + · · ·+ cnxn + · · · (2)

donde los ck son constantes respecto de x y solo dependen de k, es una serie de poten-cias en x.Cuando la serie tiene potencias del tipo (x−a)k , siendo a un numero real fijo ( constante),

∞∑k=0

ck(x− a)k = c0 + c1(x− a) + c2(x− a)2 + · · ·+ cn(x− a)n + · · · (3)

se la denomina serie de potencias en x− a.

Ejemplo:

∞∑k=0

1

2k(x− 1)k = 1 +

1

2(x− 1) +

1

4(x− 1)2 + · · ·+ 1

2n(x− 1)n + · · · (4)

Importante. El problema que se plantea en esta seccion es:

Encontrar los valores de x para los cuales converge una Serie de Potencias, y conocer lafuncion suma S(x) correspondiente.

– 28 –

Observar que las series de potencias (2) siempre convergen para x = 0 al valor c0.Lo mismo ocurre para las (3) cuando x = a, ya que todos los terminos, salvo el primero,valen 0.

Observacion: Es conveniente tener presente que la potencia x0 = 1 y (x− a)0 = 1,aun cuando x = 0 o x = a, respectivamente.

Ejemplo 45 La serie de potencias con coeficientes ck = c constantes para todo k,

∞∑k=0

cxk = c+ cx+ cx2 + cx3 + · · ·+ cxn + · · · (5)

es la ya conocida serie geometrica con razon r = x, y primer termino igual a c. Por lotanto,la serie anterior converge unicamente para los valores de x que satisfacen|x| < 1, es decir, para los x en el intervalo −1 < x < 1.

Conclusion 1 Su suma es

S(x) =c

1− x, para los x tales que − 1 < x < 1

Es decir, S(x) =∑∞

k=0 c xk = c

1−x , para los x ∈ (−1, 1) (pero no para otros x).Dicho de otra forma, la funcion f(x) = c

1−x coincide con la serie de potencias (5) en elintervalo (−1, 1).

Ejemplo 46 Una serie que no es geometrica:Sea la serie de termino general cnx

n = xn

n!, es decir,

∑∞n=0

xn

n!. No es geometrica dado

que cn = 1n!

depende de n. Entonces,...¿como determinamos para cuales x converge? y mas dificil aun es saber cual es la

suma S(x), cuando converge para un cierto x.

– 29 –

5.1. Intervalo de convergencia de una serie de potencias

Al conjunto de todos los numeros reales x para los cuales converge una serie de po-tencias, se le llama su intervalo de convergencia (¿porque se piensa en un intervalo?)

Un resultado general...

Problema 47 Dada una serie de potencias∑∞

k=0 ckxk.

1. Demostrar que si converge en x = x1 ⇒ converge absolutamente para todos los xtales que |x| < |x1|.Considerar que como la serie

∑∞k=0 ckx1

k converge entonces los terminos |ckx1k|

estan acotados por alguna constante B (es cierto ? ). Ademas, para todo x tal que

|x| < |x1| el cociente |x||x1| < 1.

En consecuencia para tales x, el termino |cnxn| = |cnxn1 |(|x||x1|

)nesta acotado por los terminos B

(|x||x1|

)n.

Ası se puede decir que para cada x tal que |x| < |x1|, la serie∑∞k=0 |ckxk| tiene sus terminos acotados por los de una serie geometrica convergente.

Luego es convergente.

2. Si diverge en x = x2 ⇒ diverge para todos los x tales que |x| > |x2|.Para demostrar eso se hace por el absurdo. Suponga que bajo esas hipotesis, existeun x1 tal que |x1| > |x2| donde converge. Que pasarıa de acuerdo a la primer parteen x2 entonces ?.....ver que se llega a un absurdo.

Entonces se puede afirmar...

Conclusion 2 Considerando el caso general, la serie de potencias en x− a se comportade acuerdo a una de las siguientes posibilidades:

(i) Solo converge en el punto x = a (radio 0);

(ii) Converge absolutamente ∀x (radio ∞);

o...

(iii) Existe un R > 0, denominado radio de convergencia, tal que la serie converge abso-lutamente en el intervalo (a−R, a+R) y diverge para todo x tal que |x− a| > R .En los extremos del intervalo de convergencia (x = a−R y x = a+R) puede o noconverger de acuerdo a cada caso.

La figura siguiente ilustra el caso (iii).

– 30 –

Divergencia DivergenciaR

Radio deconvergencia

Convergencia

aa+Ra-R

xLH

5.2. Determinacion del radio e intervalo de convergencia

El criterio de la razon ( o tambien denominado del cociente) es especialmenteutil para encontrar el radio de convergencia.

Recordar que este criterio se aplica a terminos positivos, o sea a los terminos |an|.Se deben pues analizar los terminos de la serie de potencias en valor absoluto mediante

el criterio del cociente.

Ejemplo 48 Hallar el intervalo de convergencia de

∞∑k=0

xk

2k (k + 1)2

Solucion:

lımn→∞

∣∣∣∣an+1

an

∣∣∣∣ = lımn→∞

∣∣∣∣∣ xn+1

2n+1 (n+ 2)2 .2n (n+ 1)2

xn

∣∣∣∣∣= lım

n→∞

(n+ 1

n+ 2

)2 |x|2

=|x|2

En virtud del criterio de la razon, existe convergencia absoluta siempre que este lımitesea estrictamente menor que 1.

Ası, la serie es “absolutamente convergente” para aquellos valores de x que satisfacen|x| /2 < 1, o sea, |x| < 2:

Ademas para los x tales que |x| > 2, se tiene |an+1||an| > 1 para n grande; luego |an+1| >

|an| > 0, y por lo tanto, para |x| > 2 la serie diverge porque el termino general no tiendea cero (recordar el criterio del cociente).

Por lo tanto, mediante el criterio del cociente vemos que el radio de convergencia deesta serie es R = 2.

.... Sin embargo, en los extremos del intervalo (−2, 2), es decir cuando |x| = 2, elcriterio de la razon no da informacion.

Como el criterio del cociente “ no decide”, entonces ......se debe analizar la convergencia de la serie en esos puntos de la frontera

del intervalo, para cada uno de ellos por separado, por medio de un criteriodistinto al del cociente:

– 31 –

1. Sustituyendo x por el valor 2 se obtiene∑∞

k=0 1/ (k + 1)2 que es convergente porcomparacion con la serie p convergente

∑1/k2;

tambien...

2. se analiza el otro extremo del intervalo. Se sustituye x por el valor −2,...

... resultando la serie alternada∑∞

k=0 (−1)k / (k + 1)2, la cual es evidentemente con-vergente (¿porque?).

Ası, concluimos que el intervalo de convergencia de esta seriees el intervalo cerrado [−2, 2]. El radio de convergencia es 2 y la serie diverge si |x| > 2.

Problema 49 Determinar el intervalo de convergencia de

∞∑k=0

xk

k!

Debe encontrar que la serie “converge absolutamente” para todo x, es decir...

∞∑k=0

xk

k!= f(x), para todo x ∈ < (6)

... f(x) es la funcion suma de esta serie. Veremos en una seccion proxima queesta funcion es ex.

Problema 50 Usando la PC, graficar las sumas parciales S1(x) = 1 + x, S2 = 1 + x +x2/2!,... S6,... en un mismo grafico en un intervalo grande. Agregar tambien la funcionf(x) = ex. Observar como se aproximan a tal funcion.

Problema 51 Observar y justificar: Como la serie∑∞

k=0 xk/k! es absolutamente con-

vergente para todos los x ∈ <, su termino general debe tender a cero cuando n → ∞,cualquiera sea el x considerado.Por tanto, cualquiera sea x, se tiene que limk→∞x

k/k! = 0

– 32 –

Problema 52 Determinar el radio e intervalo de convergencia de

∞∑k=1

(x− 5)k

k3k

(i) Verificar que converge absolutamente si |x− 5| < 3, es decir que tiene radio 3.(ii) Analizar los extremos del intervalo hallado. Aclarar si converge absolutamente o con-verge condicionalmente o no converge en los puntos de la frontera.(iii) ¿Cual es el radio, el intervalo de convergencia y el intervalo de convergencia absoluta?

Problema 53 Obtener el intervalo de convergencia de

∞∑k=1

k! (x+ 10)k

Observar que al menos en x = −10 debe ser convergente..., pero debe hallar el radio deconvergencia.

5.3. Ejercicios para practicar

1. Encuentre el intervalo de convergencia de la serie de potencias indicada.∞∑k=1

(−1)k

kxk

∞∑k=1

xk

k2

∞∑k=1

2k

kxk

∞∑k=1

5k

k!xk

∞∑k=1

(x−3)k

k3

∞∑k=1

(x+7)k√k

∞∑k=1

(−1)k

10k(x− 5)k

∞∑k=1

k(k+2)2

(x− 4)k∞∑k=0

k!2kxk

∞∑k=2

xk

ln k

∞∑k=2

(−1)kxk

k ln k

∞∑k=1

k2

32k(x+ 7)k

∞∑k=0

(−3)k

(k+1)(k+2)(x− 1)k

∞∑k=1

3k

(k+1)(−2)kk(x+ 5)k

∞∑k=1

(−1)k+1

(k!)2

(x−2

3

)k5.4. Problemas diversos de aplicacion

1. La series indicadas no son series de potencias. No obstante, encuentre todos losvalores de x para los cuales converge la serie.∞∑k=1

1xk

∞∑k=1

7k

x2k

∞∑k=1

12k

cos(kx)∞∑k=0

(x2

)k2∞∑k=0

ekx∞∑k=1

k!e−kx2

2. Demuestre que∞∑k=1

(sin kx) /k2 converge para todos los valores reales de x.

– 33 –

6. Propiedades de las funciones definidas por series

de potencias

Una serie de potencias representa, en su intervalo de convergencia, una funcion f(x) =S(x), cuyo valor es el de la suma de la serie para tal x. Recordar el ejemplo previo (6).

Por conveniencia, limitamos el estudio a las series de potencias de x. Desde luego, losresultados de esta seccion se aplican tambien a las series de potencias de x − a, cuyosintervalos de convergencia estan centrados en a.

Ası, para cada x en el intervalo de convergencia, se define el valor funcional f(x)mediante la suma de la serie:

f(x) = c0 + c1x+ c2x2 + · · ·+ cnx

n + · · · =∞∑k=0

ckxk

Importante. Una vez definida f(x), suma de la serie de potencias, es natural preguntarsesi ...... (i)¿ Es f(x) contınua f(x) en ese intervalo ?... (ii)¿ Es f(x) derivable en ese intervalo ?...(iii)¿ Es f(x) integrable en ese intervalo ?, ya que... los terminos de la serie, y las sumas parciales Sn(x) lo son ( porque ?) y f(x) =limn→∞Sn(x).Es decir, ¿ Hereda f(x) las propiedades de las sumas parciales en los puntos x del intervalodonde la serie de potencias converge ?

6.1. Derivacion e integracion de series de potencias

Las tres propiedades siguientes, que se establecen sin demostracion, contestan algunaspreguntas fundamentales respecto de la funcion f(x) definida como la “suma” de la seriede potencias en su intervalo de convergencia.

En cada propiedad se supone que la serie converge en un intervalo (−r, r), donde elradio r es positivo, o bien ∞ (es decir, que no se aplican al caso con radio r = 0, caso deconvergencia en un unico punto).

– 34 –

Teorema. Si f(x) =∞∑k=0

ckxk, converge en el intervalo de radio r > 0, entonces f es

contınua, derivable e integrable en el intervalo (−r, r), r > 0. Ademas, la derivada yprimitiva de f son

1.

f(x) =∞∑k=1

ckkxk−1.

2. ∫f(x)dx =

∞∑k=0

ckk + 1

xk+1 + C

El “radio de convergencia” de la serie obtenida al “derivar o integrar” una serie de po-tencias “es el mismo que el de la serie original”. Aunque hay que notar que ...... el “intervalo” puede diferir respecto del “intervalo” de la original, como consecuenciaque los extremos de (−r, r) pueden agregarse en algun caso o desestimarse en otro ( estu-diando la convergencia de la respectiva serie en cada uno de los extremos del intervalo).

Observacion.

1. Estas propiedades, simplemente expresan que una serie de potencias puede derivarsee integrarse termino a termino como en el caso de un polinomio.

2. El radio de convergencia de f(x) es el mismo que el de f(x).

Aplicando la misma propiedad a la serie de f ′(x), tambien es diferenciable en cadax de (−r, r) y

f ′′(x) =∞∑k=2

ckk (k − 1)xk−2.

Continuando de esta manera se concluye que ...

3. Una funcion f representada por una serie de potencias en (−r, r), r > 0, “ poseederivadas de todos los ordenes en ese intervalo”.

4. Ademas, para numeros arbitrarios x1 y x2 en el intervalo (−r, r), la integral definidapuede representarse como∫ x2

x1

f(t)dt =∞∑k=0

ck

(∫ x2

x1

tkdt

)=∞∑k=0

ckxk+1

2 − xk+11

k + 1

EJERCICIOS para hacer en clase:

1. Recordar que la serie

f(x) =∞∑k=0

xk

k!,

– 35 –

converge para todo x, ası, f(x) esta definida para x tal que −∞ < x <∞.

(a) Demostrar que la serie que converge a f ′(x), satisface que f ′(x) = f(x), usandola derivacion de la serie respectiva, y considerando los intervalos de convergencia.

(b) Comprobar que f(0) = 1.

(c) A partir de (a) y (b), concluir que f(x) = ex ( pensando que si y = f(x), secumple la ecuacion diferencial : y′ = y , y(0) = 1).

Ası se conoce que ...

ex =∞∑k=0

xk

k!

para todo x ∈ <.

2. Aplique el resultado del ejercicio anterior para hallar una representacion en serie depotencias para las funciones indicadas:

(i) f1(x) = e−x

(ii) f2(x) = ex/5

(ii) f3(x) = e−x2

3. Encontrar una aproximacion, mediante una suma parcial de los terminos de la serieque corresponda, de las cantidades que se indican abajo, de tal manera que el errorcometido en valor absoluto sea menor a 10−3.

(i) 1e

(ii) e−1/2

4. Encontrar una cota superior del error cometido por la suma parcial de 6 terminosde la serie de ex =

∑∞k=0

xk

k!para calcular una aproximacion del numero e (recordar

estimacion del error de las aproximaciones en series de terminos positivos, estudiadoen seccion 3, pagina 25).

Problema 54 Obtener una representacion en serie de potencias de x de f(x) = 11+x

.

Para obtener esa serie para la f(x), recurrimos a conceptos ya estudiados.

Solucion. Sabemos que una serie geometrica converge a c1−r si |r| < 1, siendo r la

razon de esta serie y c el primer termino.Tomando en particular c = 1, r = −x, obtenemos

1

1 + x=∞∑k=0

(−x)k =∞∑k=0

(−1)k xk , |x| < 1 .

La anterior igualdad unicamente vale en el intervalo (−1, 1).Ası, ya tenemos la serie de potencias para f(x) = 1

1+x, en el intervalo (−1, 1).

– 36 –

Ejemplo 55 A partir de la derivacion de la funcion f(x) = 11+x

, en la serie que la

representa, termino a termino, se logra la serie que representa a 1/ (1 + x)2 en (−1, 1):

f ′(x) = − 1

(1 + x)2 =∞∑k=1

(−1)k k xk−1

Es decir,

1

(1 + x)2 =∞∑k=1

(−1)k+1 kxk−1

en el mismo intervalo (−1, 1).

El siguiente problema es realmente importante. Es totalmente recomendable su reso-lucion completa.

Problema 56 (1**)Obtener la representacion en serie de potencias de ln (1 + x), conx ∈ (−1, 1).Se conoce que ln(1 + x) =

∫ x0

11+tdt para los x del intervalo (−1, 1). En virtud de eso,

¿Como puede obtener para ln (1 + x), la serie de potencias que la representa en (−1, 1)?(2 **) Obtenida la serie que representa a ln (1 + x), en (−1, 1) del inciso previo.Analizar si esta serie converge o no en los extremos de ese intervalo (analizando porseparado en x = 1, y en x = −1, si la serie converge, ya que el teorema de integracion nodice nada acerca de los extremos del intervalo).- Luego, establecer claramente el intervalo de convergencia de la serie de potencias halladapara representar a ln (1 + x).Luego, continuar ...(3**) ... Por ser contınua la funcion ln(1+x) en el intervalo (−1, 1], ¿ puede deducir cuales realmente el intervalo donde vale la representacion de la serie de potencias encontrada?(Un elegante teorema del matematico noruego Niels Abel nos asegura que si una serie∑

n an converge, entonces la serie de potencias asociada∑

n anxn converge a una funcion

continua f(x) para x ∈ [0, 1]; esto implica (reemplazando an → anrn, x → x/r, r 6= 0)

que toda serie de potencias con radio de convergencia no nulo converge a una funcioncontinua en su intervalo de convergencia).(4**) Finalmente, teniendo en cuenta el resultado de (3**), ¿es cierto o no que la sumade la serie armonica alternada tiene suma ln 2 ?

Problema 57 En una PC graficar la funcion f(x) = ln(1 + x) en un intervalo [−3/4, 2].En el mismo grafico comparar con las curvas que dan las sumas parciales S1(x)... S5(x)de la serie hallada para la funcion ln(1 + x). Explicar lo que ocurre.

Problema 58 Aproximar ln (1,2) mediante una suma de un numero finito de terminos,de tal manera que se asegure que tal aproximacion tiene 4 cifras decimales exactas (esdecir, error menor que 5× 10−5).

– 37 –

Solucion 5 Sustituyendo x = 0,2 en la serie hallada en el ejercicio previo, resulta

ln (1,2) = ln(1 + 0,2) =∞∑k=0

(−1)k

k + 1(0,2)k+1

= 0,2− 0,02 + 0,00267− 2,0004 + 0,000064− 0,00001067 + · · ·≈ 0,1823

Recordando el estudio del error en la aproximacion de la suma de una serie alternadase tiene que 0,1823 es la aproximacion buscada, ya que para S5 se cumple que |S − S5| <a6 = 0,00001067 < 0,00005.

Es interesante advertir que si el intervalo de convergencia de la representacion en seriede potencias de una funcion f , es el intervalo abierto (−r, r), entonces la representacionen serie de potencias para

∫ x0f(t)dt puede converger en una o en ambas fronteras del

intervalo.Ejemplo de lo dicho es el caso de la serie de ln(1 + x).

6.2. Problemas diversos para hacer en clase

1. Si

f(x) =∞∑k=0

(−1)k

(2k + 1)!x2k+1,

para −∞ < x <∞, demuestre de f ′′(x) + f(x) = 0.

2. Hallar una serie que represente a ln(1 − x) en potencias de x e indicar el intervalodonde vale la representacion.

3. Hallar una serie que represente a 11+x2

, e indicar el intervalo donde vale la represen-tacion.

4. ¿Conoce una serie que represente a e−x2

en potencias de x?

Usarla para calcular∫ 1

0e−x

2dx como la suma de una serie.

¿Cuantos terminos de la serie debe tomar para aproximar la integral con error menorque 10−3?

5. Hallar una serie que represente a arctan(x), e indicar el intervalo donde vale larepresentacion.

Para eso, recordar que la derivada de arctan(x) es 11+x2

. Pensar como obtenerarctan(x) a partir de una serie de potencias sencilla.

6. Demuestre, como consecuencia del ejercicio previo, que

π

4= 1− 1

3+

1

5− 1

7+ · · ·

7. Se sabe que la serie del ejercicio anterior converge lentamente. Muestrelo encon-trando el menor entero positivo n, tal que Sn aproxime a π/4 con cuatro cifrasdecimales.

– 38 –


1. Obtenga una representacion en serie de potencias para las funciones que se indican,y establecer el intervalo donde vale.

f(x) = 11−x f(x) = 1

(1−x)2f(x) = 1

5+3x

f(x) = 62−x f(x) = 1

(1−x)3f(x) = x2

(1+x)3

f(x) = ln (4 + x) f(x) = ln (1 + 2x) f(x) = 11+x2

f(x) = x1+x2

f(x) = x/(1− x) f(x) = ln (1 + x2)

f(x) =∫ x

0ln (1 + t2) dt f(x) =

∫ x0

arctan(t) dt

2. Encuentre el dominio de la funcion indicada

f(x) =x

3− x2

32+x3

33− x4

34+ · · ·

f(x) = 1 + 2x+4x2

2!+

8x3

3!+ · · ·

3. Evalue mediante un desarrollo en serie la cantidad indicada con error menor que10−4.

ln (1,1), arctan (0,2),∫ 1/2

0dx

1+x3∫ 1/3

0x

1+x4dx

∫ 0,3

0xarctan(x) dx

∫ 1/2

0arctan(x2) dx

– 39 –

7. Relacion entre los coeficientes de la serie de po-

tencias y las derivadas de la funcion suma en x = a

Si una serie de potencias de (x − a) converge a una funcion f(x) en un intervalo(a− r, a+ r), r > 0 (la suma de la serie es f(x) en ese intervalo) entonces

f(x) = c0 + c1(x− a) + c2(x− a)2 + · · ·+ cn(x− a)n + · · ·

=∞∑k=0

ck(x− a)k

Demostraremos que existe una relacion entre los coeficientes ck y las derivadas de ordenk de f(x) evaluadas en x = a.

Derivando termino a termino, usando la propiedad sobre derivacion de series de po-tencias, en el intervalo (a− r, a+ r), se obtiene:

f ′(x) = c1 + 2c2(x− a) + 3 c3(x− a)2 + · · ·f ′′(x) = 2c2 + 2 · 3c3(x− a) + · · ·f ′′′(x) = 2 · 3c3 + · · ·

... y ası con las derivadas siguientes.Evaluando cada igualdad obtenida arriba en x = a, resulta

f(a) = c0 f ′(a) = 1! c1 f ′′(a) = 2! c2 f ′′′(a) = 3! c3

respectivamente.En general, f (n) (a) = n!cn. Por lo tanto,

cn =f (n) (a)

n!n ≥ 0

Para n = 0, se interpreta la derivada “de orden cero” como f(a) y 0! = 1.

Conclusion. Importante!Si una serie de potencias en (x − a) converge a una funcion f(x) en un intervalo(a− r, a+ r), r > 0, entonces f tiene derivadas de todo orden en ese intervalo, y la

serie de potencias∑∞

k=0f (k)(a)k!

(x− a)k coincide con la serie:

f(x) =∞∑k=0

ck(x− a)k =∞∑k=0

f (k) (a)

k!(x− a)k

Tal igualdad es valida para todos los valores de x en (a− r, a+ r), r > 0.

– 40 –

Unicidad de la serie que representa a f(x) en potencias de (x− a):El resultado previo muestra que la representacion de una funcion f(x) por una serie depotencias en (x−a) es unica, ya que los coeficientes de tal serie necesariamente coinciden

con los valores f (k)(a)k!

.

Por tanto la serie que representa a f(x), coincide con la serie de Taylor de f en a.

8. Serie de Taylor y de Maclaurin de una funcion

Definicion. Importante!! Dada una funcion f que tiene derivadas de todo orden enx = a, se llama serie de Taylor de esa funcion, desarrollada en x = a, a la serie :

∞∑k=0

f (k) (a)

k!(x− a)k

A esta serie se la denota como serie de Taylor de f en a.a

En el caso especial a = 0, la serie de Taylor de f(x),

∞∑k=0

f (k) (0)

k!xk

se llama serie de Maclaurin de f .b

aLlamada en honor del matematico ingles Brook Taylor (1685-1731), quien descubrio este resultadoen 1715.

bLlamada en honor del matematico escoses, y anteriormente alumno de Newton, Colin Maclaurin(1698-1746).

Conclusion.(1)El resultado obtenido en la seccion previa, nos dice que si una funcion f(x) esta re-presentada por una serie de potencias

∑∞0 ck(x− a)k en un intervalo, entonces esa serie

es la “serie de Taylor ” (o Maclaurin si a = 0) de esa funcion f(x), ya que coincide con∑∞k=0

f (k)(a)k!

(x− a)k.(2) Ademas, como los valores de las derivadas de f son unicos, la representacion f(x) =∑∞

0 ck(x− a)k en serie de potencias en (x− a) es unica (tener en cuenta!).Es decir, “no hay distintas series de potencias en (x − a) ” que representen a f(x), ya

que los coeficientes coinciden con f (k)(a)k!

.

Previamente hemos podido representar en series de potencias varias fun-ciones:

ex; e−x2,

11+x

, ln(1 + x),1

1+x2, arctan(x), 1

(1+x)2, ...etc.

– 41 –

Pero para otras funciones, como cos(x), sen(x), sen(x3), o∫

(sen(x3))dx, aunno hemos visto una serie que las represente....

... Es de sumo interes tener una serie para ellas, pues eso nos permitirıa, en primerlugar evaluarlas, y tambien calcular por ejemplo la integral de sen(x3), o de cosx2, etc,usando el teorema de integracion de series de potencias.

8.1. Calculo de la serie de Taylor de una funcion f(x) y estudiodel intervalo de convergencia a f(x)

Importante: Si se tiene una funcion f(x), que tiene derivadas de todo orden,surge la pregunta natural:

¿Es posible encontrar para f(x) una serie de Taylor en el entorno de unpunto a (en potencias de (x− a)) que la represente ? O sea, ¿ es posible

justificar que la serie de Taylor calculada converge a f(x) en algunintervalo (a− r, a+ r)?

Observaciones:(1) Dada la funcion f(x) con derivadas de todo orden en x = a, se puede formar laserie de Taylor de f(x), calculando simplemente los coeficientes mediante las sucesivasderivadas en a.(2) Pero hay que verficar si esa serie de Taylor tiene “suma S(x)” y si esa “ suma S(x)coincide o no con f(x)” en algun intervalo (a− r, a+ r).(3) Si la suma S(x) fuese f(x) en ese intervalo, existe la representacion en serie de f(x),y tal serie de Taylor es la unica serie de potencias en (x− a) que representa a f(x).

Ejemplo:

Ejemplo 59 Obtener la serie de Taylor de f(x) = ln x en a = 1.

Solucion. Se obtiene

f(x) = lnx, f(1) = 0

f ′(x) =1

x, f ′(1) = 1

f ′′(x) = − 1

x2, f ′′(1) = −1

f ′′′(x) =2

x3, f ′′′(1) = 2

...

f (n) (x) = (−1)n−1 (n− 1)!

xn, f (n) (1) = (−1)n−1 (n− 1)!

– 42 –

De modo que

(x− 1)− 1

2(x− 1)2 +

1

3(x− 1)3 − · · · =

∞∑k=1

(−1)k−1

k(x− 1)k

Con la ayuda del criterio de la razon, se encuentra que esta serie converge para todoslos valores de x en el intervalo (0, 2].

Pero en principio no sabemos aun si la suma S(x) de ella coincide con ln(x) en esteintervalo. No obstante, previamente habıamos visto, por integracion de la serie geometrica,

que ln(1 + t) =∑∞

k=0(−1)k−1

ktk para t ∈ (−1, 1]. Sustituyendo en esta t = x− 1 obtenemos

la igualdad ln(x) =∑∞

k=0(−1)k−1

k(x − 1)k para x ∈ (0, 2], que es precisamente la serie de

Taylor anterior.En resumen, para poder formar la serie de Taylor de una funcion en el entorno de

un punto a particular, es necesario que esta funcion posea derivadas de todo orden en a.Por ejemplo, f(x) = lnx no posee serie de Maclaurin (a = 0) (¿porque?), pero si serie deTaylor alrededor de a = 1.

Por otra parte, debe notarse que aun si f posee derivadas de todos los ordenes ygenera una serie de Taylor convergente en algun intervalo, no se sabe en principio si laserie converge a f(x) para todos los valores de x en ese intervalo

Veamos como se estudia ese tema.

8.2. Teorema de Taylor. Formula de Taylor

La respuesta a este problema puede obtenerse considerando el teorema de Taylor:

Teorema de Taylor. Sea f una funcion tal que existen todas sus derivadas hasta elorden f (n+1) (x) para todo x en el intervalo (a− r, a+ r). Entonces para todo x en esteintervalo,

f(x) = Pn(x) +Rn(x)

donde

Pn(x) = f(a) + f(a)(x− a) +f ′′ (a)

2(x− a)2 + · · ·+ f (n) (a)

n!(x− a)n

es el Polinomio de Taylor de grado n de f en a, es decir, la suma parcial de ordenn de la serie de Taylor, y Rn(x) = f(x)− Pn(x) es el residuo, que tiene la expresion

Rn (x) =f (n+1) (c)

(n+ 1)!(x− a)n+1

donde el numero c esta entre x y a. a

aExisten varias expresiones para el residuo. La presente se denomina forma de Lagrange, y se debe almatematico frances Joseph Louis Lagrange (1736-1813).

Como los Pn (x) son las sumas parciales Sn(x) de la serie de Taylor, tenemos

Sn(x) = Pn(x) = f(x)−Rn(x)

– 43 –

Por lo tanto,lımn→∞

Pn(x) = f(x)− lımn→∞

Rn(x)

Vemos ası que si Rn (x)→ 0 cuando n→∞, solo entonces la sucesion de sumas parcialesconverge a f(x). En otras palabras, la serie de Taylor converge a f(x) en un cierto intervalosi y solo si lımn→∞Rn(x) = 0 en el mismo. En resumen, tenemos el siguiente teorema:

Teorema. Si f tiene derivadas de todos los ordenes en todo x del intervalo (a− r, a+ r),y si lımn→∞Rn (x) = 0 para todo x en el intervalo, entonces

f(x) =∞∑k=0

f (k) (a)

k!(x− a)k

En la practica, la demostracion que el residuo Rn(x) tiende a cero cuando n → ∞depende a menudo del hecho que

lımn→∞

|x|n

n!= 0

Este ultimo resultado se deduce del conocimiento que la serie ex =∑∞

k=0 xk/k! es

convergente para todos los x ∈ <, y por lo tanto su termino general debe tender a cerocuando n→∞, cualquiera sea el x considerado.

Ejemplo 60 Representar f(x) = cos x con una serie de Maclaurin.

Solucion.Se tiene,

f(x) = cosx, f(0) = 1

f ′(x) = −sen(x), f ′(0) = 0

f ′′(x) = − cosx, f ′′(0) = −1

f ′′′(x) = sen(x), f ′′′(0) = 0

y ası sucesivamente. Entonces, obtenemos la serie ...

1− x2

2!+x4

4!− x6

6!+ · · · =

∞∑k=0

(−1)k

(2k)!x2k

El criterio de la razon muestra que esta serie de potencias converge absolutamentepara todos los valores reales de x ( verficarlo !).

Luego, para probar que cosx esta representada por esta serie de potencias, falta probarque lımn→∞Rn(x) = 0 para todo x.

Para tal fin, observamos que las derivadas de f satisfacen

∣∣f (n+1) (x)∣∣ =

{|senx| si n es par|cosx| si n es impar

– 44 –

En ambos casos∣∣f (n+1) (c)

∣∣ ≤ 1 para cualquier numero real c, y de esta manera

Rn (x) =

∣∣f (n+1) (c)∣∣

(n+ 1)!|x|n+1 ≤ |x|n+1

(n+ 1)!

Para cualquier eleccion fija, pero arbitraria, de x, lımn→∞ |x|n+1 / (n+ 1)! = 0.Eso dice, que lımn→∞Rn(x) = 0, para todo x.Entonces, concluimos que

cos(x) = 1− x2

2!+x4

4!− x6

6!+ · · ·+ (−1)n

x2n

(2n)!+ · · · =

∞∑k=0

(−1)k

(2k)!x2k

es una representacion valida del cosx para todo numero real x.

Problema 61 Usando la PC, represente f(x) = cos(x). Luego, en el mismo grafico su-perponer las curvas que representan a las sumas parciales Sn(x), es decir, los polinomiosde Taylor Pn(x), para n = 1, 2, 3, 4 de la serie de Maclaurin.Hacer algun comentario sobre lo que advierte.¿ Donde estas sumas parciales aproximan mejor? Dar una explicacion sobre ese compor-tamiento.

Se muestran a continuacion los graficos de f(x) = cos(x) y de los polinomios de Taylorasociados de grado 0, 2, 4 y 10 en a = 0.

P0HxL = 1

fHxL = CosHxL

-Π Π

x

-1

1 fHxL = CosHxL

P2HxL = 1-x2�2

-Π Π

x

-1

1

P4HxL

fHxL = CosHxL

-Π Π

x

-1

1

P10HxL

fHxL = CosHxL

-Π Π

x

-1

1

– 45 –

Problema 62(i) Representar f(x) = sen(x) con una serie de Taylor desarrollada en a = 0, ...... aplicando integracion o derivacion de series de potencias, y deducir el intervalo deconvergencia.(ii) Usando PC, representar f(x) = sen(x) y en el mismo grafico superponer las curvasque representan a las sumas parciales Sn(x) = Pn(x) para n = 1, 2, 3 de la serie deMaclaurin correspondiente.Hacer algun comentario sobre lo que advierte e indicar donde estas sumas parciales apro-ximan mejor.(iii) Representar f(x) = cos(x2) por una serie de potencias de x, usando alguna serieconocida. Dar el intervalo de convergencia correspondiente.(iv) (a) Calcular

∫ 1

0cos(x2)dx, mediante una serie. (recordar que no es posible expresar

la primitiva de cos(x2) en terminos de las funciones elementales que Ud. conoce).(b) ¿Cual suma parcial debe considerarse para que resulte una aproximacion de (a) conerror menor a 10−3? Hallarla.

Problema 63 Utilice un polinomio de Taylor adecuado para aproximar con error menorque 10−4 las integrales

(a)

∫ 1

0

sen(x2)dx (b)

∫ 1

0

sen(x)

xdx

El segundo item merece alguna justificacion, para poder usar la serie del sen(x) multipli-cada por α = 1

x6= 0 (recordar propiedades de series convergentes) para representar a la

funcion dada.Se define la funcion f : < → < como f(x) = sen(x)

xpara x 6= 0, y f(0) = 1. Tal funcion

f(x) es continua para todo x y en particular en [0, 1].

Ademas la serie de potencias que representa a sen(x)x

, en x 6= 0, es 1− x2

3!+ x4

5!− x6

7!· · · =∑∞

k=0(−1)k

(2k+1)!x2k

Para x = 0, tambien converge esa serie y su suma es 1. Podemos ver entonces que laserie representa a f(x) para todo x.

Problema 64 (a) Hallar una serie de potencias que represente a: f(x) = e−x2, indicando

el intervalo de validez. Utilizar en lo posible alguna serie de potencias conocida para seraplicada con ese fin.(b) En base a las caracterısticas de la serie hallada en (a), puede determinar cual “sumaparcial” deberıa usar para aproximar a f(x), para todo x ∈ [0, 1], con error menor a 10−2?Hallar esa suma parcial.(c) La integral I =

∫ 1

0e−t

2dt, ¿existe? Si existe, encontrar su expresion usando la repre-

sentacion en serie de potencias de e−t2, con t ∈ [0, 1]. Explicar, porque eso es conveniente

y porque es posible hacerlo ası.(d) ¿Es posible encontrar una aproximacion a I mediante una suma finita de terminosSm, cuyo error |I − Sm| sea menor a 10−2?

– 46 –

Problema 65 (a) Dada la funcion f(x) = ex, y la serie de potencias desarrollada alre-dedor de a = 0, que la representa para todo x ∈ < ( ya estudiada en clases previas),determinar cuantos terminos (suma parcial Sm(x)) hay que considerar para hallar unaaproximacion de ex, para x ∈ [0, 1], tal que |ex − Sm(x)| < 3

100.

(b) Hallar una serie de potencias que represente a: g(t) = et2, para t ∈ <. Utilizar en lo

posible alguna serie de potencias conocida para ser usada con ese fin.(c) En base a las caracterısticas de la serie usada en (b), puede determinar cual “sumaparcial” deberıa usar para aproximar a g(t), para todo t ∈ [0, 1], con error menor a 3/100?.Hallar esa “suma parcial aproximante”.(c) La integral I =

∫ 1

0et


sentacion en serie de potencias de et2, con t ∈ [0, 1]. Explicar, porque ese procedimiento

es conveniente y porque es posible hacerlo ası.(d) ¿ Es posible encontrar una aproximacion de I, mediante una suma finita de terminosSn, cuyo error |Sn − I| sea menor a 3/100?

Problema 66 Representar f(x) = sen(x) con una serie de Taylor en a = π/3Verificar que tal serie es

√3

2+

1

2 · 1!

(x− π

3

)−√

3

2 · 2!

(x− π

3

)2

− 1

2 · 3!

(x− π

3

)3

+ · · ·

Usando los mismos argumentos que en el primer ejemplo, ver que representa a sen(x)para todo x.Usando la PC, representar f(x) = sen(x). En el mismo grafico superponer las curvas querepresentan a las sumas parciales Sn(x) = Pn(x) para n = 1, 2, 3 de la serie de de Taylorhallada.Hacer algun comentario sobre lo que advierte.¿Donde estas sumas parciales aproximan mejor? Dar una explicacion sobre ese compor-tamiento.

Problema 67 (i) Demostrar que la serie

(x− 1)− 1

2(x− 1)2 +

1

3(x− 1)3 − · · · =

∞∑k=1

(−1)k−1

k(x− 1)k

representa a f(x) = ln x en el intervalo (0, 2].Justificar todos los pasos, viendo primero que es la serie de Taylor con a = 1 de la funciondada. Luego estudiar el radio de convergencia y terminar mostrando que representa aln(x).(ii) Una forma mas facil de hallar (i) serıa considerar que ln(x) =

∫ x1

1tdt para x ∈ (0, 2],

y usar el desarrollo 1t

= 11+(t−1)

=∑∞

k=0(−1)k(t− 1)k (recordar la serie geometrica).

– 47 –

Problema 68 (i) A partir de la serie de Maclaurin que representa a ex, encuentre unaserie de potencias en x (a = 0) para la funcion senh(x) = (ex − e−x)/2.Recordar que la suma de series convergentes converge a la suma de las funciones de cadauna, en un dominio comun a ambas.(ii) Idem para cosh(x) = (ex + e−x)/2. ¿Puede obtener esta serie por derivacion de laprevia?

Observacion importante. Funciones pares e impares.Si la funcion f(x) es par, es decir que satisface f(−x) = f(x) ∀x, entonces su desarrollode Maclaurin (asumimos que f es derivable a todo orden) contendra solo potencias paresde x, ya que en tal caso f (k)(0) = 0 para k impar (justificar!). Ejemplos de funciones paresson cos(x), cosh(x) y ex

2.

En forma similar, si la funcion f(x) es impar, es decir que satisface f(−x) = −f(x) ∀x,entonces su desarrollo de Maclaurin contendra solo potencias impares de x, ya que ental caso f (k)(0) = 0 para k par (justificar!). Ejemplos de funciones impares son sen (x),senh(x) y xex

2.

Observemos tambien que la derivada de una funcion par es impar, y la derivada de unafuncion impar es par (justificar!).

Resumen de algunas series de Maclaurin importantes:

ex = 1 + x+x2

2!+x3

3!+ · · · =

∞∑k=0

xk

k!−∞ < x <∞

cosx = 1− x2

2!+x4

4!− x6

6!+ · · · =

∞∑k=0

(−1)k

(2k)!x2k −∞ < x <∞

senx = x− x3

3!+x5

5!− x7

7!· · · =

∞∑k=0

(−1)k

(2k + 1)!x2k+1 −∞ < x <∞

coshx = 1 +x2

2!+x4

4!+x6

6!+ · · · =

∞∑k=0

x2k

(2k)!−∞ < x <∞

senhx = x+x3

3!+x5

5!+x7

7!· · · =

∞∑k=0

x2k+1

(2k + 1)!−∞ < x <∞

1

1− x= 1 + x+ x2 + x3 + · · · =

∞∑k=0

xk − 1 < x < 1

ln (1 + x) = x− x2

2+x3

3− x4

4· · · =

∞∑k=1

(−1)k+1

kxk − 1 < x ≤ 1

El lector puede demostrar la validez de estas representaciones como ejercicio.

– 48 –

Resumen 3 (i) El metodo de la serie de Taylor para encontrar una serie de potenciasde una funcion, y luego demostrar que la serie representa a la funcion, tiene unaobvia y gran desventaja. Es casi imposible obtener una expresion general para laenesima derivada de la mayorıa de las funciones. Ası que, a menudo se esta limitadoa encontrar solo los primeros coeficientes de las sumas parciales.

(ii) El teorema de Taylor tambien se llama Teorema del Valor Medio Generalizado. Elcaso n = 0 se reduce al teorema del valor medio usual (ver proxima seccion).

(iii) No siempre es necesario calcular las derivadas de una funcion para encontrar suserie de Maclaurin. Por ejemplo, la funcion f(x) = 1/ (1− x) se puede representarcomo serie de potencias utilizando la series geometrica, y el desarrollo en serie depotencias de ex

2puede obtenerse a partir del de ex, reemplazando x por x2.

Lo importante es: “Una serie de potencias, en su intervalo de convergencia, es laserie de Taylor o Maclaurin de la funcion Suma(x), sin que importe como se obtuvo”.

Observacion: Tener presente la conclusion de arriba cuando necesite encontrar para unafuncion particular la representacion en serie de ella.

Problema 69 Aplique resultados previos para hallar la serie de Maclaurin de las funcio-nes siguientes, indicando la region donde vale la representacion encontrada:f(x) = e−x

2/2, f(x) = x2e−3x, f(x) = x cosx, f(x) =∫ x

0e−t

2/2dtf(x) = x2cos (x2), f(x) = ln (1− x), f(x) = ln

(1+x1−x

), f(x) =

∫ x0t2 cos(t2)dt

Problema 70 Encuentre la serie de Maclaurin de

f(x) =

{e−1/x2 x 6= 0

0 x = 0

Solucion. Utilizando la definicion f ′(0) = lım4x→0

f(0+4x)−f(0)4x , puede mostrarse que esta

funcion es derivable a todo orden en x = 0, siendo f (n)(0) = 0 ∀ n. Por lo tanto,Pn(x) = 0 ∀ n y entonces la serie de Maclaurin converge a 0 ∀ x !!. Converge pues a f(x)solo en x = 0, a pesar de ser convergente ∀ x. Para x 6= 0 no converge a f(x).En este caso Rn(x) = f(x)− Pn(x) = f(x) ∀ x, y por lo tanto Rn(x) 6= 0 ∀ n si x 6= 0.La serie de Maclaurin no puede pues representar a esta funcion fuera del origen.Informalmente, su mınimo en x = 0 es “extremadamente chato”, y origina pues derivadasnulas a todo orden en el origen, aun cuando sea no nula para x 6= 0 (graficar!).

Notemos entonces que para g(x) = cos(x) + f(x), con f(x) la funcion anterior, la serie deMaclaurin correspondiente va a converger ∀ x a cos(x), ignorando a f(x) (justificar!).Las funciones que pueden desarrollarse en serie de potencias se denominan funcionesanalıticas. La funcion f(x) anterior no es analıtica en x = 0 (donde posee una singularidaddenominada esencial cuando se la considera funcion de una variable compleja x). No puedepues desarrollarse en serie de potencias de x, aunque sı puede desarrollarse en serie deTaylor alrededor de cualquier a 6= 0, convergiendo en un cierto intervalo finito.

– 49 –

8.3. Aproximaciones con Polinomios de Taylor

Daremos aquı algunos detalles adicionales sobre los polinomios de Taylor. Como hemosvisto, el polinomio de Taylor de grado n alrededor de x = a de una funcion f(x) es lasuma parcial de orden n de la serie de Taylor alrededor de dicho punto:

Pn(x) = f(a) + f ′(a)(x− a) +f ′′(a)

2!+ . . .+

f (n)(a)

n!(x− a)n

El polinomio de Taylor de grado 0, P0(x) = f(a), es una constante, que coincide con f(x)en x = a. El polinomio de Taylor de grado 1 en a,

P1(x) = f(a) + f ′(a)(x− a)

es la aproximacion lineal a f(x) en x = a: Es la unica funcion lineal (del tipo A + Bx)que satisface

P1(a) = f(a), P ′1(a) = f ′(a)

La grafica de P1(x) es la recta tangente a f en x = a (ver figura siguiente), que es la rectaque pasa por el punto (a, f(a)) y que tiene la misma pendiente que f(x) en x = a.

Del mismo modo, el polinomio de Taylor de grado 2 en a,

P2(x) = f(a) + f ′(a)(x− a) +f ′′(a)

2(x− a)2

es la unica funcion cuadratica (del tipo A+Bx+ Cx2) que satisface

P2(a) = f(a), P ′2(a) = f ′(a), P ′′2 (a) = f ′′(a)

Es decir, su valor, su derivada y su derivada segunda coinciden con los correspondientesvalores de f en x = a. Su grafica es la “parabola tangente” a f en x = a, que ademas depasar por el punto (a, f(a)) y tener la misma pendiente que f en ese punto, tiene ademasla misma derivada segunda que f en ese punto, es decir, la misma concavidad (curvatura).

Generalizando, el polinomio de Taylor de grado n en x = a, Pn(x), es el unico polinomiode grado n que satisface

Pn(a) = f(a), P ′n(a) = f ′(a), P ′′n (a) = f ′′(a), . . . , P (n)(a) = f (n)(a)

es decirP (k)n (a) = f (k)(a), k = 0, . . . , n

Su valor y sus primeras n derivadas coinciden todas con las de f(x) en x = a. Se diceentonces que tiene un contacto de orden n con f en x = a.

Hemos graficado antes los primeros polinomios de Taylor en x = 0 de cos(x), unafuncion par (para las cuales P2n(x) = P2n+1(x), ya que las derivadas impares se anulanen el origen). Se muestra en la figura siguiente la grafica de los primeros 4 polinomiosde Taylor de ex en a = 0. Esta funcion no es par ni impar, por lo que su desarrollo de

– 50 –

Maclaurin contiene tanto potencias pares como impares. La grafica de P1(x) = 1 + x esla recta tangente a la curva de ex en x = 0.

P0HxL = 1

fHxL = ex

-1 1x

2

4

P1HxL = 1+x

fHxL = ex

-1 1x

2

4

P2HxL = 1+x+x2�2

fHxL = ex

-1 1x

2

4 P3HxL =

1+x+x2�2+x3�6

fHxL = ex

-1 1x

2

4

Cuando el valor de x esta cerca del numero a (x ≈ a), se puede emplear el polinomiode Taylor Pn (x) de una funcion f en a para aproximar el valor funcional de f(x). El erroren esta aproximacion esta dado por el teorema de Taylor:

|f(x)− Pn(x)| = |Rn(x)|

donde, si f es derivable hasta orden n + 1 en un intervalo (a − r, a + r) y x pertenece aese intervalo,

Rn(x) =f (n+1)(c)

(n+ 1)!(x− a)n

con c un numero entre a y x.

Observacion. Para n = 0, el teorema de Taylor implica

f(x) = P0(x) +R0(x) = f(a) + f ′(c)(x− a)

es decir, si x 6= a,f(x)− f(a)

x− a= f ′(c)

con c entre a y x. Esta expresion es el teorema del valor medio. Por lo tanto, este teoremapuede considerarse un caso particular (n = 0) del teorema de Taylor.

– 51 –

Problema 71 Probar que si f(x) es un polinomio de grado n, entonces el polinomio deTaylor asociado de grado n en cualquier a coincide exactamente con f(x).

Este resultado muestra que un polinomio de grado n queda completamente determinadopor su valor y sus primeras n derivadas en un punto arbitrario (¿por que?). Ademas,Pm(x) = Pn(x) ∀ m ≥ n (justificar).Como ejemplo, para un polinomio de grado 1 tenemos

f(x) = A+Bx = (A+Ba) +B(x− a) = f(a) + f ′(a)(x− a)

En general, si la derivada n+ 1 de f esta acotada por una constante positiva M en elintervalo (a− r, a+ r), tal que |f (n+1)(c)| ≤M ∀ x ∈ (a− r, a+ r), podemos escribir

|Rn(x)| ≤M|x− a|n+1

(n+ 1)!

Por ejemplo, si podemos encontrar un M independiente de n en ese intervalo, entonces

lımn→∞Rn(x) = M lımn→∞|x−a|n+1

(n+1)!= 0 ∀ x ∈ (a− r, a+ r), lo cual garantiza que la cota

del error ira disminuyendo al aumentar n.

Ejemplo 72 Aproximar e−0,2 con P3(x). Determinar la precision de la aproximacion.

Solucion. Debido a que el valor x = −0,2 esta cerca de cero, se emplea el polinomiode Taylor P3(x) de f(x) = ex en a = 0. Sabemos que

P3(x) = 1 + x+1

2x2 +

1

6x3

y

P3(−0,2) = 1 + (−0,2) +1

2(−0,2)2 +

1

6(−0,2)3 ≈ 0,81867

Consecuentemente,e−0,2 ≈ 0,81867

Ahora bien, se puede escribir

|R3 (x)| = ec

4!|x|4 < |x|

4

4!

puesto que −0,2 < c < 0 y entonces 0 < e−0,2 < ec < e0 = 1, por ser ex positiva ycreciente. Ası,

|R3 (−0,2)| < |−0,2|4

4!< 0,0001

lo cual implica que la precision es hasta tres cifras decimales (|R3(−0,2)| < 5× 10−4).Observacion: Dado que la serie de Maclaurin de ex para x = −0, 2 es alternante

y cumple con las condiciones del criterio de Leibniz, y dado que sabemos que la serieconverge a ex ∀ x, podemos en este caso tambien utilizar la cota de error para seriesalternantes. En este problema esto conduce a la misma cota de error anterior (verificar!).

– 52 –

Ejemplo 73 Aproximar e con error menor que 10−10.

Solucion. Tenemos e = e1 = f(1), con f(x) = ex. Utilizando a = 0, y dado que f (n)(x) =

ex ∀ n, tenemos Pn(1) =∑n

k=01k

k!=∑n

k=01k!

y

|Rn(1)| = |f(1)− Pn(1)| = |ec(1− 0)n+1

(n+ 1)!| ≤ e

(n+ 1)!≤ 3

(n+ 1)!

dado que c esta entre 0 y 1 y ex es una funcion creciente (por lo que 1 < ec ≤ e1 = e).Hemos luego utilizado la cota e ≤ 3. De esta forma, para n = 13 obtenemos |Rn(1)| ≤3/14! ≈ 3,44× 10−11 < 10−10. Por lo tanto, obtenemos el valor aproximado

e ≈13∑k=0

1

k!= 2, 7182818284 . . .

con un error menor que 10−10.

Ejemplo 74 Estimar cos(10o) con un polinomio de grado 2, y dar una cota para el errorcometido.

Solucion. Pasando a radianes tenemos cos(10o) = cos( 10180π) = cos( π

18). Podemos

entonces utilizar el polinomio de Taylor de grado 2 en a = 0, P2(x) = 1−x2/2!, obteniendo

cos(π

18) = 1− 1

2(π

18)2 +R2(

π

18)

Como la serie de Maclaurin cosx =∑∞

k=0(−1)kx2k

(2k)!= 1− x2/2! + x4/4! + . . . es alternante

∀ x, cumpliendo en x = π/18 con las condiciones del criterio de Leibniz, y sabemos queconverge a cosx ∀ x, podemos directamente utilizar la cota de error para series alternantes,|R2(x)| = | cosx− (1− x2/2)| ≤ |x4/4!| = x4/4!. Por lo tanto,

|R2(π

18)| ≤

( π18

)4

4!≈ 3,87× 10−5

por lo que

cos(π

18) ≈ 1− 1

2(π

18)2 ≈ 0, 9848

con error menor que 10−4.Como cosx es par, P2(x) = P3(x) y entonces R2(x) = R3(x). Acotando R3(x) con elteorema de Taylor, se obtiene la misma cota de error anterior (verificar).


1. Encuentre la serie de Maclaurin de las funciones siguientes, indicando el radio eintervalo de convergencia, y obtenga de ella los polinomios de Taylor en a = 0 degrado 1, 2 y 4.

f(x) = 12−x , f(x) = 1

1+5x, f(x) = ln (1 + 2x)

f(x) = cos(2x), f(x) = x cos(x), f(x) = x2ex2

– 53 –

2. Encuentre la serie de Taylor en el valor indicado de a, y determine el radio e intervalode convergencia. Obtenga los correspondientes polinomios de Taylor de grado 2 y 4.

f(x) = 11+x

, a = 4 f(x) = ln x, a=1

f(x) = sen (x), a = π/4 f(x) = sen (x), a = π/2f(x) = cos x, a = π/3 f(x) = cos x, a = π/6f(x) = ex, a = 1 f(x) =

√x a = 1

3. Encuentre los dos primeros terminos no nulos de la serie de Maclaurin de

f(x) = tan x , f(x) = arcsen x

4. Aproxime la cantidad dada utilizando el polinomio de Taylor Pn (x) para los valoresindicados de n y a. Determine la precision de la aproximacion.

sin 10o, n = 1, a = 0 sin 10o, n = 3, a = 0sin 46◦, n = 2, a = π/4 cos 29◦, n = 2, a = π/6

e1/2, n = 4, a = 0√

82, n = 2, a = 81

5. Evalue, con error menor que 10−3, las siguientes integrales:∫ 1/2

0

t2e−t2

dt ,

∫ 1/2

0

sin(t2)dt

Orden de magnitud del error en la formula de Taylor.Se dice que una funcion f(x) es orden (x− a)n para x→ a, lo que se denota comof(x) = O(x − a)n para x → a, si existen constantes positivas M > 0 y δ > 0 tales que|f(x)| ≤M |x− a|n para |x− a| < δ, es decir, para todo x ∈ (a− δ, a+ δ).

Por lo tanto, f(x) = O(x − a)n para x → a implica que |f(x)| es no mayor que unaconstante por |x− a|n si x esta suficientemente cerca de a.Por ejemplo, f(x) = 2x2 es O(x2) para x→ 0, y tambien lo es f(x) = −x2/4 (justificar).Asimismo, f(x) = 2x2 + 4x3 es tambien O(x2) para x→ 0, pues |x3| � x2 para x cercanoa 0: |2x2 + 4x3| = |2x2(1 + 2x)| = 2x2|1 + 2x| ≤ 6x2 si |x| < 1.

Esta notacion se extiende tambien a comparaciones con otras funciones: Se dice quef(x) = O(g(x)) para x → a si existen M > 0 y δ > 0 tales que |f(x)| ≤ M |g(x)| para|x − a| < δ. El valor de a puede ser tambien ∞: f(x) = O(g(x)) para x → ∞ si existenconstantes M > 0 y r > 0 tales que |f(x)| ≤M |g(x)| para todo x > r.

Volviendo al error en la formula de Taylor, si ∃ M > 0 y δ > 0 tal que |f (n+1)(x)| < M

para todo x ∈ (a − δ, a + δ), entonces |Rn(x)| ≤ M |x−a|n+1

(n+1)!en este intervalo, por lo que

en este caso (justificar)Rn(x) = O(x− a)n+1 para x→ a

es decir,f(x) = Pn(x) +O(x− a)n+1 para x→ a

Esta notacion es muy empleada en ingenierıa y en todas las ciencias exactas. Es ademasla notacion estandar utilizada en programas como mathematica, etc.

– 54 –

Problema. Mostrar que para x→ 0,

(a) ex = 1 + x+O(x2), (b) sen(x) = x+O(x3), (c) e−x2

= 1− x2 +O(x4)

Por ejemplo, esto muestra que para x cercano a 0, sen(x) se comporta como x, siendo ladiferencia |sen(x)−x| no mayor que M |x3|, es decir, muy pequena (|x|3 � |x| si |x| � 1).

Aplicacion. Lımites y comportamiento cerca del lımite.Si f(x) = O(x− a)n, entonces (demostrarlo!)

lımx→a

f(x)

(x− a)k= 0, k < n

Es decir, si n > 0, f(x) = O(x− a)n para x → a no solo implica que f(x) se anula parax→ a, sino que se anula mas rapido que (x− a)k ∀ k < n.Por lo tanto, si Rn(x) = O(x− a)n+1 para x→ a tenemos

lımx→a

Rn(x)

(x− a)k= 0, k < n+ 1

Esto permite determinar ciertos lımites del tipo 0/0 en forma muy simple mediante eldesarrollo de Taylor. Como ejemplo, consideremos

lımx→0

ex − 1− xx2

que es del tipo 0/0. Utilizando el polinomio de Taylor de grado 2 de ex en a = 0, podemosescribir ex = 1 + x+ x2/2! +O(x3) para x→ 0 y por lo tanto

lımx→0

ex − 1− xx2

= lımx→0

1 + x+ x2/2! +O(x3)− 1− xx2

= lımx→0

x2/2 +O(x3)

x2=

1

2

El desarrollo de Taylor permite en realidad no solo calcular el lımite anterior sino tambienver como se comporta el cociente (ex − 1 − x)/x2 en la vecindad de x = 0: Utilizando elpolinomio de Taylor de grado 3 de ex, obtenemos ex = 1 + x + x2/2! + x3/3! + O(x4) ypor lo tanto,

ex − 1− xx2

=1

2+

1

6x+O(x2)

para x→ 0. Esto muestra que ex−1−xx2

se comporta como 1/2 + x/6 para x cercano a 0.

Problema: Evaluar los siguientes lımites por medio de un polinomio de Taylor adecuado,e indicar el comportamiento de la funcion cerca del lımite.

(a) lımx→0

sen(x)

x, (b) lım

x→0

sen(x)x− 1

x2, (c) lım

x→0

1− cosx

x2, (d) lım

x→π

1 + cos x

(x− π)2

(e) lımx→0

(1 + x)1/x (Sug. : (1 + x)1/x = eln(1+x)

x )

– 55 –


1. Utilice la serie de Maclaurin de cosx y una identidad trigonometrica para encontrarla serie de Maclaurin de sin2 x.

2. Para nivelar una carretera de gran longitud L, se debe establecer un margen debidoa la curvatura de la Tierra.

(i) Demuestre que los tres primer terminos no nulos de la serie de Maclaurin def(x) = sec x son

1 +1

2x2 +

5

24x4

(ii) Para valores pequenos de x, utilice la aproximacionsec x ≈ 1+ 12x2 y la siguiente

figura para demostrar que la correccion por nivelacion es y = L2/2R, donde Les la longitud, R es el radio de la Tierra.

Φ L

3. La energıa potencial de una masa m que cuelga de un hilo de longitud L esEp(φ) = mgL(1− cosφ), donde φ es el angulo que forma el hilo con la vertical.a) Muestre que si φ es pequeno, entonces Ep(φ) ≈ 1

2mgLφ2.

b) De una cota para el error relativo |Ep(φ)− 12mgLφ2|/(mgL) si φ ≤ 25o (recordar

que se debe convertir a radianes !).

4. Una onda de longitud L viaja de izquierda a derecha en agua de profundidad d, comose ilustra en la figura. Puede demostrarse que la velocidad v de la onda esta rela-cionada con L y d por la funcion v =

√(gL/2π) tanh (2πd/L).

a) Demuestre que en agua profunda v ≈√gL/2π.

b) Encuentre los dos primeros terminos no nulos de la serie de Maclaurin de f(x) =tanhx. Demuestre que cuando d/L es pequeno, v ≈

√gd. En otras palabras, en agua

poco profunda la velocidad de la onda es independiente de la longitud de onda.

– 56 –

9. Serie binomial

9.1. Teorema del binomio

Empezamos con los siguientes desarrollos

(1 + x)2 = 1 + 2x+ x2

(1 + x)3 = 1 + 3x+ 3x2 + x3

y, en general, si m es un entero no negativo,

(1 + x)m = 1 +mx+m (m− 1)

2!x2 + · · ·+ m (m− 1) ... (m− n+ 1)

n!xn + · · ·+ xm

Este desarrollo de (1 + x)m recibe el nombre de teorema del binomio o binomiode Newton.

Definicion 2 Para cualquier numero real r, la serie

1 + rx+r (r − 1)

2!x2 + · · ·+ r (r − 1) ... (r − n+ 1)

n!xn + · · ·

=∞∑k=0

r. (r − 1) ... (r − k + 1)

k!xk

recibe el nombre de serie binomial.

Observar que la serie binomial solamente termina cuando r es un entero no negativo.En este caso se reduce al binomio de Newton.

El criterio de la razon muestra que la serie binomial converge si |x| < 1, y divergesi |x| > 1. La serie binomial define ası una funcion f infinitamente diferenciable en elintervalo (−1, 1).

No debe causar gran sorpresa saber que la funcion representada por la serie binomiales f(x) = (1 + x)r.

Proposicion 75 Si |x| < 1, entonces para todo numero real r

(1 + x)r = 1 + rx+r (r − 1)

2!x2 + · · ·+ r (r − 1) ... (r − n+ 1)

n!xn + · · ·

Ejemplo 76 Obtener una representacion en serie de potencias para√

1 + x.

Solucion 6 Con r = 12

resulta que para |x| < 1

√1 + x = 1 +

1

2x+

12

(12− 1)

2!x2 +

12

(12− 1) (

12− 2)

3!x3 + · · ·

+12

(12− 1) (

12− 2)...(

12− n+ 1

)n!

xn + · · ·

= 1 +1

2x− 1

222!x2 +

1 · 3223!

x3 + · · ·+ (−1)n+1 1 · 3 · 5... (2n− 3)xn

2nn!+ · · ·

– 57 –

Graficar las sumas parciales primeras y la funcion representada en el dominio quecorresponda.

Comentarios 77 En ciencias se utiliza a menudo una serie binomial para obtener apro-ximaciones.

Ejemplo 78 En la teorıa de la relatividad de Einstein, la masa de una partıcula que semueve con una velocidad v en relacion a un observador, es

m =m0√

1− v2/c2

en donde m0 es la masa en reposo de la partıcula y c es la velocidad de la luz.Muchos resultados de la fısica clasica no se cumplen en el caso de partıculas como los

electrones, los cuales se mueven casi a a la velocidad de la luz. La energıa cinetica ya noes K = 1

2m0v

2, sino que se expresa como

K = mc2 −m0c2

Si se identifica r = −12

y x = −v2/c2, se tiene que |x| < 1, puesto que ningunapartıcula movil puede rebasar la velocidad de la luz. Ası se puede escribir

K =m0c

2

√1− x

−m0c2

= m0c2[(1− x)−1/2 − 1

]= m0c

2

[(1 +

1

2x+

3

8x2 +

5

16x3 + · · ·

)− 1

]= m0c

2

[1

2

(v2

c2

)+

3

8

(v4

c4

)+

5

16

(v6

c6

)+ · · ·

]En el caso en que v es mucho menor que c, los terminos posteriores al primero son

despreciables. Esto conduce al resultado bien conocido

K ≈ m0c2

[1

2

(v2

c2

)]=

1

2m0v

2

Problema 79 Aplicaciones de la serie binomial:

1. Obtenga los primeros cuatro terminos de la representacion en serie de potencias dela funcion indicada para a = 0, y calcule el radio de convergencia de la serie.

f(x) = 3√

1 + x f(x) =√

1− x f(x) =√

9− xf(x) = 1√

1+5xf(x) = 1√

1+x2f(x) = x

3√1−x2

f(x) = (4 + x)3/2 f(x) =√

1(1+x)5

f(x) = x(2+x)2

f(x) = x2 (1− x2)−3

– 58 –

2. Explique porque el error de la aproximacion dada es menor que la cantidad indicada.

(1 + x2)1/3 ≈ 1 + x2

3; 1

9x4

(1 + x2)−1/2 ≈ 1− x2

2+ 3

8x4; 5

16x6

3. Encuentre una representacion en serie de potencias para arcsen(x) empleando

arcsen(x) =

∫ x

0

dt√1− t2

4. En la figura un cable colgante esta sostenido en los puntos A y B, y soporta unacarga uniformemente distribuida (como el trayecto de ruta sobre un puente). Siy =

(4 dL2

)x2 es la ecuacion del cable, demuestre que su longitud esta dada por

s = L+8d2

3L− 32d4

5L3+ · · ·

5. Aproxime las integrales siguientes hasta tres cifras decimales∫ 0,2

0

√1 + x3dx

∫ 1/2

03√

1 + x4dx

– 59 –

10. Autoevaluacion

Un repaso sobre todo lo estudiado:

1. Conteste verdadero o falso, y piense una explicacion de su respuesta:

a) ¿Toda sucesion acotada converge?.

b) Si una sucesion es monotona decreciente, es convergente.

c) lımn→∞

|x|nn!

= 0 para todo valor de x.

d) Si {an} es una sucesion convergente, entonces∑∞

0 an siempre converge.

e) Si an → 0 cuando n→∞, entonces∑ak es convergente.

f ) Si∑a2k converge, entonces

∑ak tambien converge.

g)∞∑k=1

1kp

converge para p = 1,0001.

h) La serie 2 + 22

+ 23

+ 24

+ · · · es divergente.

i) Si∑|ak| diverge, entonces

∑ak diverge tambien.

j ) Si∑ak, con ak > 0, converge, entonces

∑(−1)k+1 ak es convergente.

k) Si∑

(−1)k+1 ak converge absolutamente, entonces∑

(−1)k+1 akk

converge?.

l) Si∑bk converge y ak ≥ bk para todo entero positivo k, entonces

∑ak es

convergente.

m) Toda serie de potencias tiene un radio de convergencia no nulo.

n) Una serie de potencias converge absolutamente para todo valor de x en suintervalo de convergencia?.

n) Una serie de potencias∑ckx

k representa a una funcion infinitamente diferen-ciable en un intervalo (−r, r) de convergencia.

o) Si una serie de potencias∑ckx

k converge para −1 < x < 1 y es convergentepara x = 1, la serie debe converger tambien para x = −1.

p) f(x) = ln x no puede ser representada por una serie de Maclaurin.

q) f(x) =∑∞

k=0f (k)(a)k!

(x− a)k en un intervalo si lımn→∞

Rn (x) = 0.

r) El intervalo de convergencia de la serie x− x2

2+ x3

3− x4

4+ · · · es (−1, 1).

2. Llene los espacios en blanco.

a) Para aproximar la suma de la serie∞∑k=1

(−1)k+1

10khasta cuatro cifras decimales, se

necesita solamente emplear la suma parcial.

b) La suma de la serie∞∑k=1

4(23)k es .

– 60 –

c) Si∑ak converge y

∑bk diverge, entonces

∑(ak + bk) .

d) La serie de potencias∞∑k=0

(−1)k xk

k!representa a la funcion f(x) = para todo

x.

e) La representacion en serie binomial de f(x) = (4 + x)1/2 tiene radio de conver-gencia .

f ) La serie geometrica∑

( 5x)k converge para los siguientes valores de x: .

g) Si el radio de convergencia de la serie∑

k ckxk es R > 0, entonces el radio de

convergencia de la serie∑

k ck 2kxk es .

h) lımx→0

1+x2−ex2

x4= .

i) lımx→0

1+x2−ex2

x2= .

3. Encuentre la suma de la serie convergente indicada.∞∑k=1

(−1)k−1+3

(1,01)k−1

∞∑k=1

1k2+11k+30

∞∑k=0

xk

2k k!

4. Halle la serie de Taylor de f(x) = cos x en a = π/2.

5. Demuestre que la serie del ejercicio anterior representa a la funcion probando queRn (x)→ 0 cuando n→∞.

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