Apuntes sobre lmites Jos Saquimux

Complejos cercanos a uno fijo En el plano complejo, alrededor de z0 = 1 + i existe un nmero infinito de complejos muy cercanos a l como se quiera, por ejemplo, z1 = 1.001 +i, z2 = 0.999 + i, z3 = 1 + 1.0001i, z3 = 1 + 0.999i, y z4 = 0.999 + 0.999i, estn cerca de z0, por su puesto usted puede mencionar otros mas, y ms prximos a z0. Veamos e imaginemos en el plano complejo.

Direcciones de acercamiento. Sobre el plano Z puede aproximarse o acercarse a z0 fijo en distintas formas o distintas direcciones, horizontal por la derecha, horizontal por la izquierda, vertical por arriba, a 60, a 135, a -120, acercamiento espiral, etc, existe un nmero infinito de formas o direcciones distintas de aproximarse a z0. En contraste con un punto sobre el eje real solo puede aproximarse a este por dos direcciones, por la derecha y por izquierda, recuerde MB2. Plano Z y

. x

0.998

0.9985

0.999

0.9995

1

1.0005

1.001

1.0015

1.002

0.998 0.9985 0.999 0.9995 1 1.0005 1.001 1.0015 1.002

1 + j

Puntos cerca de 1+j

Ideas de lmite complejo finito Considere una funcin w = f(z) definida en todos los puntos alrededor del punto fijo z0 del plano complejo, aunque no necesariamente est definida en z0, si sucede que cuando z se aproxima a z0 a travs de todas las formas distintas de aproximacin hacia z0, los valores de f(z) se aproximan a un nico valor w0 en plano de imgenes W; decimos que el lmite de w = f(z) cuando z tiende a z0 existe y es w0. En caso contrario se dice que el lmite no existe.

lim0

= 0

Plano Z Plano W Y v Z0 w = f(z)

u x W0

Note que los acercamientos hacia z0 se pueden dar sobre direcciones radiales y no radiales hacia z0, y los acercamientos correspondientes hacia w0 no necesariamente se dan de manera radial, y tampoco en todas las direcciones sobre el plano W. Note tambin que tambin que se puede decir, que para que exista el lmite, es necesario f(z) tienda a nico complejo w0 independientemente de la forma en que z se aproxime a z0. Una forma de considerar que z se aproxime a z0 por todas las distintas formas de aproximacin, es describir los lmites complejos en trminos de pequeos entornos alrededor de z0 y w0. Plano Z Plano W Entorno de z0 y z v z0 w w0 regin de imgenes del entorno de z0 x u Consideremos un crculo de radio pequeo centrado en z0, al conjunto de puntos de dicho crculo se le llama entorno circular de z0. Supongamos que w = f(z) est definida en dicho

entorno excepto quiz en z0, y que todas las imgenes bajo w = f(z) de los puntos del entorno de z0 (puntos dentro y sobre la circunferencia) quedan en una regin del plano W (regin de imgenes de los puntos del entorno de z0). Notemos que cuando hacemos que el radio del entorno circular tienda a cero, si z est sobre la circunferencia, hacemos que z tienda a z0 por todas las direcciones posibles de aproximacin hacia z0. Ahora imaginemos en el siguiente proceso, hagamos tender a cero el radio del entorno circular de z0, vea que as todos los puntos sobre la circunferencia del entorno circular tienden simultneamente a z0, en este proceso de aproximacin, si determinamos (de alguna manera) que la regin de imgenes tiende a un nico punto w0, decimos que el lmite de f(z), cuando z tiende a z0, existe y es w0; en caso contrario decimos que el limite no existe.

lim0

= 0

Ejemplo 1. Para

lim1+

5

4

Con el GeoGebra se visualiza el entorno circular de z = -1 + i y la regin de su imagen bajo dicha funcin en un mismo plano (descargue y explore el archivo asociado)

Usando dicho archivo, se visualiza que al acercar B hacia A = z0, el radio del entorno circular tiende a cero, Z tiende hacia -1 + i (en todas las distintas formas de aproximacin, aqu se seala la horizontal), y la regin imagen tiende al punto de 1 i, por lo que inducimos

lim1+

5

4= 1

Ejemplo 2. Para,

lim0

2 + + 4 2

2

Con el GeoGebra, visualizamos (descargue y explore el archivo asociado)

La imagen de cualquier z del plano complejo bajo dicha funcin es = 2 , es decir f(z) es funcin constante, as para cualquier entorno alrededor de cualquier z0 en el plano

Z su imagen es el nico punto = 2 en el plano W. Entonces cuando el radio del entorno tiende a cero, z tiende a z0, su imagen es siempre 2 , por tanto,

lim0

2 + + 4 2

2= 2

para cualquier z0 en el plano Z. El lmite de una constante es la constante. Ejemplo 3. Evaluemos,

lim0

sin()

Note que, f(z) = sin(z)/z no est definida en z = 0. Recuerde z es complejo, z = x + iy .a) Exploracin grfica visual. Usemos el GeoGebra para visualizar que pasa con la regin de imgenes del entorno circular alrededor de z = 0 cuando su radio tiende a cero. Descargue el archivo asociado correspondiente y explore.

Con un entorno de r = 0.6 alrededor de 0, las imgenes quedan dentro de un circulo con centro en 1 con radio menor que 0.1. Hagamos ms pequeo el radio del entorno de z0, r = 0.25

Observamos que las imgenes (en el plano W) quedan en un circulo de radio ms pequeo con centro en w = 1. De este proceso inducimos que el valor del lmite es 1 Explore el mismo lmite en otros puntos con este archivo asociado. .b) Exploracin numrica. Con el archivo para aproximar lmites con Python(x,y), para los valores de z cercanos a 0, se tienen los valores correspondientes de w. Descargue y use el archivo en Python asociado. real z imag. z real w imag. w 0.001000000 0.000000000 0.999999833 0.000000000 0.000540302 0.000841471 1.000000000 -0.000000167 -0.000416147 0.000909297 1.000000167 -0.000000000 -0.000989992 0.000141120 1.000000000 0.000000167 -0.000653644 -0.000756802 0.999999833 0.000000000 0.000283662 -0.000958924 1.000000000 -0.000000167 0.000960170 -0.000279415 1.000000167 -0.000000000 0.000753902 0.000656987 1.000000000 0.000000167

Vemos que si z toma valores cercanos alrededor de 0, w toma valores cercanos alrededor de 1 (real), por tanto inducimos que valor del lmite es 1. .c) Con sistema algebraico por computadora. Con la consola IPython(x,y) In [1]: from sympy import* In [2]: z = Symbol (z) In [3]: limit(sin(z)/z, z, 0) Out [3]: 1 La salida nos da el valor del lmite, 1. Aprovechamos para calcular el lmite cuando z0 = i, In [5]: limit(sin(z)/z, z, -I) Out[5]: sinh(1) In [6]: sinh(1).evalf() Out [6]:1.17520119364380 .d) Algebraico, con papel y lpiz. Como en z = 0, sen(z)/z es de la forma indeterminada 0/0, usemos la regla de LHospital, (claro est, sabiendo las formulas de derivadas de funciones complejas)

lim0

sin()

= lim

0

cos()

1= lim

0cos = 1

El ltimo paso porque cos(z) = cos(x + jy) = cos(x)cosh(y) isen(x)senh(y), entonces, si x & y toman valores cercanos a cero (positivos o negativos) el primer trmino tiende a 1 y el segundo tiende a cero. O por sustitucin directa pues las funciones reales presentes son continuas en 0. Ejemplo 4. Evaluemos,

lim0

2 + 1

Para z0 = j. Observe que f no est definida en z = j .a) Exploracin grfica visual. Con el GeoGebra. Descargue y use el archivo correspondiente. Haciendo tender a cero el radio de un entorno circular alrededor de z0 = j, veamos a qu tiende la regin de imgenes de dicho entorno.

Se visualiza que la regin de imgenes, del entorno circular centrado en z0 = j, es tambin circular centrad en 2j, y que cuando el radio del entorno circular de z0 = j tiende a cero, la circunferencia de imgenes tiende a 2j. En otras palabras, se visualiza que si z toma valores cercanos alrededor de j, w toma valores cercanos alrededor de 2j, por lo que se induce que el valor de lmite es 2j. .b) Exploracin numrica. Con el Python(x,y) (aproximacin numrica) real z imag. z real w imag. w 0.001000000 1.000000000 0.001000000 2.000000000 0.000540302 1.000841471 0.000707107 2.000707107 -0.000416147 1.000909297 0.000000000 2.001000000 -0.000989992 1.000141120 -0.000707107 2.000707107 -0.000653644 0.999243198 -0.001000000 2.000000000 0.000283662 0.999041076 -0.000707107 1.999292893 0.000960170 0.999720585 -0.000000000 1.999000000 0.000753902 1.000656987 0.000707107 1.999292893

Se observa que cuando z toma valores cercanos alrededor de z0 = j, las imgenes toman valores cercanos alrededor de w0 = 2j, se induce tambin que el valor del lmite es 2j. .c) Con sistema algebraico por computadora. Con la consola IPython(x,y) In [1]: from sympy import* In [2]: z = Symbol (z) In[3]: limit((z**2 + 1)/(z I), z, I) Out[3]: 2*I La salida nos el valor del lmite, 2j. .d) Con algebra (papel y lpiz)

lim

2 + 1

= lim

+ ( )

= lim

( + ) = 2

Esto ltimo porque, si z toma valores cercanos alrededor de j, z + j debe tomar valores cercanos alrededor de 2j, o por sustitucin directa. Use los archivos en GeoGebra, Python(x,y), IPython(x,y) y lgebra para determinar el lmite de esta funcin en otros puntos z0. Ejemplo 5. Evaluemos,

lim0

4

4

Cuando z0 = 2 +j Exploracin grfica visual. Con el GeoGebra,

La imagen del entorno circular de 2 + j queda sobre un arco circular de radio 1 centrado en el origen,

Cuando el radio del entorno tiende a cero las imgenes tienden a -0.28 + 0.96j aproximadamente, se concluye que el valor del lmite es aproximadamente dicho nmero (este valor se ve en la ventana auxiliar izquierda de valores de objetos dependientes) Exploracin numrica. Con el Python(x,y). real z imag z real w imag w 2.001000000 1.000000000 -0.279232218 0.960223603 2.000540302 1.000841471 -0.280542783 0.959841522 1.999583853 1.000909297 -0.281535334 0.959550861 1.999010008 1.000141120 -0.281629000 0.959523374 1.999346356 0.999243198 -0.280768218 0.959775603 2.000283662 0.999041076 -0.279456667 0.960158305 2.000960170 0.999720585 -0.278463335 0.960446860 2.000753902 1.000656987 -0.278370654 0.960473726 Se ve que si z toma valores cercanos a 2 + j, w toma valores cercanos a -0.28 + 0.96j, se induce que el valor del lmite es dicho nmero. Calculo con sistema algebraico por computadora. Con la consola IPython(x,y)

In [1]: from sympy import* In [2]: z = Symbol (z) In[3]: limit(z**4/(abs(z))**4, z, 2 + I) Out[3]: -7/25 + 24*I/25 In[4]: (-7.0/25 + 24*I/25).evalf() Out[4]: -0.28 + 0.96*I Las salidas nos dan el valor exacto y aproximado del lmite. Calculo algebraico con papel y lpiz. Hgalo por sustitucin directa. Calcule el mismo lmite para otros z0 no igual a cero, explore o calcule con GeoGebra, Python(x,y), IPython(x,y) y con papel y lpiz. Ejemplo 5a. El mismo lmite cuando z0 = 0, es decir

lim0

4

4

Exploracin grfica visual. Con el GeoGebra,

Las imgenes de los puntos del entorno circular de z0 = 0 quedan sobre la circunferencia de radio 1 con centro en el origen, hagamos que el radio de dicho entorno tienda a cero,

Se observa que cuando el radio tiende a cero, y z se aproxima en direccin horizontal-derecha hacia 0, las imgenes W no cambian quedndose en W =1, se induce que el valor del lmite por esta direccin es 1. Veamos el lmite en direccin vertical-arriba hacia 0.

Observamos que el valor del lmite en esta direccin tambin en 1. Ahora veamos el lmite cuando z tiende a 0 en direccin a 45

Se observa que cuando el radio tiende a cero, y z se aproxima en direccin de 45 hacia 0, las imgenes W no cambian quedndose en W =-1, se induce que el valor del lmite por esta direccin es -1. Tenemos,

lim0

4

4= 1, si 0, en direccin horizontal derecha hacia 0

lim0

4

4= 1, si 0, en direccin a 45 hacia 0

Como no son iguales en dos direcciones, se concluye que el lmite no existe. Nota. La no existencia del lmite tambin se puede advertir, observando, que cuando el entorno circular de z0 = 0 tiende a este punto, la regin de imgenes no tienden a un nico punto, todos quedan siempre sobre la circunferencia unitaria. Exploracin numrica. Con el Python(x,y).

real z imag z real w imag w 0.001000000 0.000000000 1.000000000 0.000000000 0.000540302 0.000841471 0.923879533 0.382683432 -0.000416147 0.000909297 0.707106781 0.707106781 -0.000989992 0.000141120 0.382683432 0.923879533 -0.000653644 -0.000756802 -0.000000000 1.000000000 0.000283662 -0.000958924 -0.382683432 0.923879533 0.000960170 -0.000279415 -0.707106781 0.707106781 0.000753902 0.000656987 -0.923879533 0.382683432 -0.000145500 0.000989358 -1.000000000 0.000000000 -0.000911130 0.000412118 -0.923879533 -0.382683432 Si z toma valores cercanos a 0, w toma distintos valores sobre la circunferencia unitaria. No se aproximan a un nico valor, se concluye que el lmite no existe. Calculo con sistema algebraico por computadora. Con la consola IPython(x,y)

In [1]: from sympy import* In [2]: z = Symbol (z) In[3]: limit(z**4/(abs(z))**4, z, 0) Out[3]: 1 Este valor corresponde al lmite en direccin horizontal-derecha, el IPython(x,y) trabaja en esta direccin y evala directamente, considerando a z con real. En este caso el IPython(x,y) no da la respuesta correcta. Pero se puede aprovechar esta caracterstica para estimar la existencia o no del lmite evaluando puntos cercanos a 0. In [1]: from sympy import* In [2]: z = Symbol (z) In[3]: apart((z**4/(abs(z))**4).subs(z, 0.0001 + 0.0001*I), I) Out[3]: -1 + 1.11022302462516e-16*I Tomando nmeros ms a cero en direccin a 45 se puede inducir que tiende a -1. Tomando nmeros en otras direcciones da otros valores, por tanto el lmite no existe. Calculo algebraico con papel y lpiz en cartesianas. Calculemos el valor cuando z tiende en direccin horizontal-derecha hacia 0 y direccin a 45. En el primer caso z = x + 0*y = x, mientras que en el segundo x = y, z = x + ix = x(1 + i). Y = 0 x= y Z= x Z = x + ix

En direccin horizontal-derecha

lim0

4

4= lim

0

4

4= 1

En direccin 45

lim0

4

4= lim

0

( 1 + )4

(1 + ) 4= 1

No son iguales por lo que se concluye que el lmite no existe. Calculo algebraico con papel y lpiz en polares. Pasemos a polares

lim0

4

4= lim

0

( )4

4= lim

04 = 4

y x

Expresin que no dice que depende del ngulo, as, si = 0 el lmite es 1, si = pi/8 el lmite es i, etc. Por tanto el lmite no existe. Ejemplo 6. Evaluemos

lim1

1

Grfica visual. Con el archivo en GeoGebra correspondiente,

Se observa que cuando el entorno de 1 tiende a cero, Z tiende a 1, las partes real e imaginaria de W crecen, se induce que el valor del lmite es infinito. Con el Python(x, y) >>> from sympy import*

>>> z = Symbol('z')

>>> limit((z - I)/(z - 1), z, 1)

-oo

>>>

Nos dice que el lmite es infinito. Con algebra con papel y lpiz. Si z tiende a 1 en alguna direccin, z i tiende a 1 i, y z 1 tiende a cero, por lo que w tiende a un complejo de mdulo infinito en alguna direccin. Se dice el lmite es infinito.