Apunts de Càlcul Tema 3. Integració de funcions d'una variable
Transcript of Apunts de Càlcul Tema 3. Integració de funcions d'una variable
Apunts de CalculTema 3. Integracio de funcions d’una variable
Lali Barriere, Josep M. OlmDepartament de Matematica Aplicada 4 - UPC
Enginyeria de Sistemes de TelecomunicacioEnginyeria Telematica
EETAC
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 1 / 72
Continguts
Continguts
3.1 Integral indefinida
3.2 Calcul de primitivesIntegrals immediates i quasi-immediatesIntegracio per partsIntegracio de funcions racionalsCanvis de variable i formules trigonometriques
3.3 Integral definida
3.4 Aplicacions
3.5 Integrals impropies
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 2 / 72
3.1 Integral indefinida
Primitiva d’una funcioI Definicio. Siguin F, f : A ⊆ R =⇒ R. Diem que F es una primitiva
de f en A si i nomes si
F ′(x) = f(x), ∀x ∈ AI Exemples.
1. F1(x) = x2 es una primitiva de f(x) = 2x.2. F2(x) = x2 + 1 es una primitiva de f(x) = 2x.
I Propietat. Siguin F1, F2 dues primitives d’una funcio f . Aleshores,la seva diferencia es una constant:
∃c ∈ R tal que F1(x)− F2(x) = c
I Exercici 1. Demostrar la propietat anterior.I Observacio. Aixo significa que, coneguda una primitiva F d’una
funcio f , totes les altres primitives son de la forma
F (x) + c, c ∈ R
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 3 / 72
3.1 Integral indefinida
Concepte d’integral indefinida
I Definicio. El conjunt de totes les primitives d’una funcio, f , rep elnom d’integral indefinida de f , i es representa per:
∫f(x) dx = F (x) + c, c ∈ R
on F es una primitiva qualsevol de f .
I La constant arbitraria c rep el nom de constant d’integracio, mentreque dx es l’anomenat diferencial de x.
I Observacio. Segons la definicio anterior:∫f(x) dx = F (x) + c, c ∈ R⇐⇒ F ′(x) = f(x)
I Exemple.∫
2x dx = x2 + c, c ∈ R, perque[x2]′
= 2x
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 4 / 72
3.1 Integral indefinida
Interpretacio geometrica (I)
Trobar una primitiva, F , d’una funcio, f , representa reconstruir F a partirde la informacio facilitada per la seva derivada, f , es a dir, a partir delpendent de la recta tangent a F en cada punt x.
y = F(x)
f(x) = F’(x)
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 5 / 72
3.1 Integral indefinida
Interpretacio geometrica (II)La integral indefinida de f representa la familia de funcions obtinguda per“desplacament vertical” d’una primitiva qualsevol, F .
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 6 / 72
3.1 Integral indefinida
Sobre el diferencial de x
I El diferencial de x, dx, representa una variacio molt, molt petita de x.De fet, escrivim
∆x = dx quan ∆x→ 0
I Donada una funcio y = f(x) derivable, definim el diferencial de y, dy,com:
dy = f ′(x) dx
I Exemple. Calcular dy per a y = x2.
y = x2 =⇒ dy =[x2]′dx = 2x dx
I D’altra banda, de dy = f ′(x) dx s’obte que
f ′(x) =dy
dx−→ notacio alternativa per a la derivada
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 7 / 72
3.1 Integral indefinida
Interpretacio de l’expressio dy = f ′(x) dxQuan x varia infinitesimalment, la variacio experimentada per y = f(x)coincideix amb la que experimenta la seva recta tangent:
Escrivim ∆y = f ′(x)∆x+ α.
Quan ∆x→ 0 es te
{∆x→ dx,α→ 0.
Per tant, ∆y → f ′(x) dx = dy.
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 8 / 72
3.1 Integral indefinida
Primeres propietats de la integral indefinidaSigui F una primitiva de f , es a dir, tal que F ′(x) = f(x). Aleshores:
P1.
[∫f(x) dx
]′= f(x)
Prova:
[∫f(x) dx
]′= [F (x) + c]
′= F ′(x) = f(x)
P2. d
[∫f(x) dx
]= f(x) dx
Prova:
d
[∫f(x) dx
]= d [F (x) + c] = [F (x) + c]
′dx = F ′(x) dx = f(x) dx
P3.
∫dF (x) = F (x) + c, c ∈ R
Prova:
∫dF (x) =
∫F ′(x) dx =
∫f(x) dx = F (x) + c
Aquestes propietats ens indiquen que la integracio es l’operacio inversa dela derivacio.
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 9 / 72
3.2 Calcul de primitives Integrals immediates i quasi-immediates
Integrals immediates
Son les que s’obtenen directament a partir de les taules de derivacio:
∫dx = x+ c
∫xn dx =
xn+1
n+ 1+ c, n 6= −1
∫1
xdx = ln |x|+ c
∫ax dx =
ax
ln a+ c, a > 0
∫cosx dx = sinx+ c
∫sinx dx = − cosx+ c
∫1
cos2 xdx =
∫(1 + tan2 x) dx = tanx+ c
∫1
sin2 xdx =
∫(1 + cot2 x) dx = − cotx+ c
∫1
1 + x2dx = arctanx+ c
∫1√
1− x2dx = arcsinx+ c = − arccosx+ c
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 10 / 72
3.2 Calcul de primitives Integrals immediates i quasi-immediates
Propietats de la integral indefinida: linealitat
I Propietat. Siguin f , g funcions i λ ∈ R. Aleshores:
1. Integral de la suma:
∫[f(x) + g(x)] dx =
∫f(x) dx+
∫g(x) dx
2. Integral d’un escalar per una funcio:
∫λf(x) dx = λ
∫f(x) dx
I Exercici 2. Calcular:
1.∫ (
2x2 − 3x+ 4)dx
2.∫ (−3 sinx+ 4
x
)dx
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 11 / 72
3.2 Calcul de primitives Integrals immediates i quasi-immediates
Integrals quasi-immediates (I)S’obtenen a partir de les integrals immediates i la regla de la cadena
∫g′ (f(x)) f ′(x) dx = g (f(x)) + c, c ∈ R
∫dx = x+ c
∫f ′(x) dx = f(x) + c∫
xn dx =xn+1
n+ 1+ c, n 6= −1
∫f ′(x)(f(x))n dx =
(f(x))n+1
n+ 1+ c, n 6= −1∫
1
xdx = ln |x|+ c
∫f ′(x)
f(x)dx = ln |f(x)|+ c∫
ex dx = ex + c
∫f ′(x)ef(x) dx = ef(x) + c∫
ax dx =ax
ln a+ c
∫f ′(x)af(x) dx =
af(x)
ln a+ c∫
cosx dx = sinx+ c
∫f ′(x) cos(f(x)) dx = sin(f(x)) + c∫
sinx dx = − cosx+ c
∫f ′(x) sin(f(x)) dx = − cos(f(x)) + c
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 12 / 72
3.2 Calcul de primitives Integrals immediates i quasi-immediates
Integrals quasi-immediates (II)
∫1
cos2 xdx =
∫(1 + tan2 x) dx =
∫f ′(x)
cos2(f(x))dx =
∫f ′(x)(1 + tan2(f(x))) dx =
= tanx+ c = tan(f(x)) + c∫1
sin2 xdx =
∫(1 + cot2 x) =
∫f ′(x)
sin2(f(x))dx =
∫f ′(x)(1 + cot2(f(x))) dx =
= − cotx+ c = − cot(f(x)) + c∫1√
a2 − x2dx = arcsin
x
a+ c =
∫f ′(x)√
a2 − (f(x))2dx = arcsin
f(x)
a+ c =
= − arccosx
a+ c = − arccos
f(x)
a+ c∫
dx
a2 + x2=
1
aarctan
x
a+ c
∫f ′(x)
a2 + (f(x))2dx =
1
aarctan
f(x)
a+ c
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 13 / 72
3.2 Calcul de primitives Integrals immediates i quasi-immediates
Integrals quasi-immediates (III)Exercici 3. Provar que:
∫f ′(x) (f(x))n dx =
(f(x))n+1
n+ 1+ c, c ∈ R, n 6= −1
Solucio. Sabem que:[(f(x))n+1]′ = (n+ 1) (f(x))n f ′(x), n 6= −1
per tant:
(f(x))n f ′(x) =
[(f(x))n+1]′n+ 1
=
[(f(x))n+1
n+ 1
]′, n 6= −1.
Fent
F (x) =(f(x))n+1
n+ 1
tenim que:∫(f(x))n f ′(x) dx =
∫F ′(x) dx = F (x) + c =
(f(x))n+1
n+ 1+ c, c ∈ R, n 6= −1.
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 14 / 72
3.2 Calcul de primitives Integrals immediates i quasi-immediates
Integrals quasi-immediates: exercicis
Exercici 4. Calcular i comprovar derivant que la solucio trobada escorrecta:
1.
∫2x(x2 + 1
)2dx
2.
∫e√x
√xdx
3.
∫3x3
x4 − 3dx
4.
∫e2x cos
(e2x)dx
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 15 / 72
3.2 Calcul de primitives Integracio per parts
Integracio per parts
Utilitza una relacio integral basada en la derivada del producte.
I Propietat. Siguin u = u(x) i v = v(x). Aleshores:
∫u · dv = u · v −
∫v · du
I Exercici 5. Demostrar la propietat anterior.Notem que:[uv]′ = u′v + uv′ =⇒ [uv]′ dx = (u′v + uv′) dx = vu′ dx+ uv′ dx.Aixı tenim que d (uv) = v du+ u dv i, per tant, u dv = d (uv)− v du.
Integrant:
∫u dv =
∫[d (uv)− v du] =
∫d(uv)−
∫v du = uv −
∫v du.
I Cal triar u i dv adequadament, de manera que∫dv i
∫v · du siguin
mes simples que∫u · dv.
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 16 / 72
3.2 Calcul de primitives Integracio per parts
Integracio per parts: exemples (I)
1. Calcular
∫xex dx.
Triem
{u = x −→ du = dxdv = ex dx −→ v =
∫ex dx = ex
}. Aixı:
∫xex dx = xex −
∫ex dx = xex − ex + c = x (ex − 1) + c, c ∈ R
2. Calcular
∫lnx dx.
Triem
{u = lnx −→ du = 1
x dxdv = dx −→ v =
∫dx = x
}. Aixı:
∫lnx dx = x lnx−
∫x · 1
xdx = x lnx−
∫dx =
= x lnx− x+ c = x (lnx− 1) + c, c ∈ R
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 17 / 72
3.2 Calcul de primitives Integracio per parts
Integracio per parts: exemples (II)
3. Calcular
∫ex cosx dx.
Triem
{u = ex −→ du = ex dxdv = cosx dx −→ v =
∫cosx dx = sinx
}. Aixı:
I =
∫ex cosx dx = ex sinx−
∫ex sinx dx
Integrem tambe per parts la integral resultant.
Triem
{u = ex −→ du = ex dxdv = sinx dx −→ v =
∫sinx dx = − cosx
}. Ara,
I = ex sinx−(−ex cosx−
∫ex(− cosx) dx
)=
= ex (sinx+ cosx)−∫ex cosx dx = ex (sinx+ cosx)− I
Per tant, 2I = ex(sinx+ cosx), i tenim:∫ex cosx dx =
1
2ex (sinx+ cosx) + c, c ∈ R
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 18 / 72
3.2 Calcul de primitives Integracio de funcions racionals
Integracio de funcions racionals (I)
I Les integrals racionals son integrals de la forma
∫p(x)
q(x)dx
on p(x) i q(x) son polinomis.
I Es resolen descomponent el quocient p(x)q(x) en una suma de termes
d’integral immediata o quasi-immediata.
Metode de descomposicio en suma d’integrals mes senzilles
1. Si grau(p(x)) ≥ grau(q(x)), dividim p(x) entre q(x).
2. Si grau(p(x)) < grau(q(x)):
2.1 Si p(x) = kq′(x), k ∈ R =⇒ La integral es immediata.2.2 Si p(x) 6= kq′(x) =⇒ Descomposicio en fraccions simples.
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 19 / 72
3.2 Calcul de primitives Integracio de funcions racionals
Integracio de funcions racionals (1.)
1. Si grau(p(x)) ≥ grau(q(x)), dividim p(x) entre q(x).Divisio: p(x) = c(x)q(x) + r(x), amb grau(r(x)) < grau(q(x)).
∫p(x)
q(x)dx =
∫c(x)q(x) + r(x)
q(x)dx =
∫c(x) dx+
∫r(x)
q(x)dx
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 20 / 72
3.2 Calcul de primitives Integracio de funcions racionals
Integracio de funcions racionals (2.)2. Si grau(p(x)) < grau(q(x))2.1 p(x) = k · q′(x), k ∈ R
I Aleshores:∫p(x)
q(x)dx =
∫kq′(x)
q(x)dx = k
∫q′(x)
q(x)dx = k ln |q(x)|+ c, c ∈ R
I Exemple. Calcular
∫3x2 + 4x+ 3
2x3 + 4x2 + 6xdx
∫3x2 + 4x+ 3
2x3 + 4x2 + 6xdx =
1
2
∫3x2 + 4x+ 3
x3 + 2x2 + 3xdx =
=1
2ln |x3 + 2x2 + 3x|+ c, c ∈ R
2.2 p(x) 6= k · q′(x)
En aquest cas, cal descomposar p(x)q(x) en suma de fraccions simples.
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 21 / 72
3.2 Calcul de primitives Integracio de funcions racionals
Integracio de funcions racionals (2.2)2.2 p(x) 6= k · q′(x)La descomposicio es basa en la factoritzacio de q(x) com a producte depolinomis irreduıbles.El teorema seguent ens diu que q(x) sempre factoritza en producte depolinomis reals irreduıbles de grau 1 o 2.
I Teorema. Sigui el polinomi de grau n
q(x) = anxn + an−1x
n−1 + · · ·+ a1x+ a0, ai ∈ R.
Aleshores existeixen α1, . . . , αr, β1, . . . , βs, γ1, . . . , γs ∈ R unics tals:
q(x) = an (x− α1)l1 · · · (x− αr)
lr(x2 + β1x+ γ1
)m1 · · ·(x2 + β1x+ γ1
)ms ,amb:
I α1, . . . , αr: arrels reals de q(x), amb multiplicitats respectivesl1, . . . , lr, i αi 6= αj , ∀i 6= j
I β2j − 4γj < 0, ∀j, i (βi, γi) 6= (βj , γj), ∀i 6= j
I n = l1 + · · ·+ lr + 2 (m1 + · · ·+ms)
I Observacio. Recordem que, per a β2 − 4γ < 0, tenim que:
x2 + βx+ γ = (x− a)2 + b2, a, b ∈ R
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 22 / 72
3.2 Calcul de primitives Integracio de funcions racionals
Integracio de funcions racionals (2.2.1)2.2.1 q(x) = (x− α) · (. . . )Es a dir, q(x) te una arrel real, α, de multiplicitat 1.
I Per a cada factor de la forma (x− α) tenim un terme en la
descomposicio de p(x)q(x) de la forma
A
x− αon A es una constant que s’ha de calcular.
I La integral d’un d’aquests termes es immediata:
∫A
x− α dx = A
∫1
x− α dx = A ln |x− α|+ c
I Exercici 6. Calcular
∫1
2x2 − 2dx.
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 23 / 72
3.2 Calcul de primitives Integracio de funcions racionals
Integracio de funcions racionals (2.2.2)2.2.2 q(x) = (x− β)m · (. . . )Es a dir, q(x) te una arrel real, β, de multiplicitat m.
I Per a cada factor de la forma (x− β)m tenim m termes en la
descomposicio de p(x)q(x) de la forma
B1
x− β +B2
(x− β)2+ · · ·+ Bm
(x− β)m
on B1, . . . , Bm son constants que s’han de calcular.I Les integrals de cadascun d’aquests termes son immediates:
∫B1
x− β dx = B1 ln |x− β|+ c∫
Bk
(x− β)kdx = − Bk
(k − 1)(x− β)k−1+ c, k 6= 1
I Exercici 7. Calcular
∫1
x(x− 1)2dx.
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 24 / 72
3.2 Calcul de primitives Integracio de funcions racionals
Integracio de funcions racionals (2.2.3)2.2.3 q(x) = ((x− a)2 + b2) · (. . . )Es a dir, q(x) te factors irreduıbles de grau 2, de multiplicitat 1.
I Per a cada factor de la forma (x− a)2 + b2, tenim un terme en la
descomposicio de p(x)q(x) de la forma
Mx+N
(x− a)2 + b2
que es pot descompondre en suma de dues parts:
Mx+N
(x− a)2 + b2=
M · (x− a)
(x− a)2 + b2+
N +M · a(x− a)2 + b2
I Les integrals de cadascun d’aquests termes son immediates:∫
x− a(x− a)2 + b2
dx =1
2ln((x− a)2 + b2) + c
∫1
(x− a)2 + b2dx =
1
barctan
x− ab
+ c
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 25 / 72
3.2 Calcul de primitives Integracio de funcions racionals
Integracio de funcions racionals (2.2.3)Exemple. Calcular ∫
5x
x2 − 4x+ 13dx
Notem que x2 − 4x+ 13 = (x− 2)2 + 9, per tant:∫
5x
x2 − 4x+ 13dx =
5
2
∫2x
x2 − 4x+ 13dx =
5
2
∫2x− 4 + 4
x2 − 4x+ 13dx =
=5
2
∫2x− 4
x2 − 4x+ 13dx+
5
2
∫4
x2 − 4x+ 13dx =
5
2ln |x2 − 4x+ 13|+
+10
∫1
9 + (x− 2)2dx =
5
2ln |x2 − 4x+ 13|+ 10
9
∫1
1 +(x−23
)2 dx =
=5
2ln |x2 − 4x+ 13|+ 10
3
∫ 13
1 +(x−23
)2 dx =
=5
2ln |x2 − 4x+ 13|+ 10
3arctan
(x− 2
3
)+ c, c ∈ R
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 26 / 72
3.2 Calcul de primitives Integracio de funcions racionals
Integracio de funcions racionals: exemple
I Exemple. Assajar la descomposicio en fraccions simples de
3x− 1
x(x− 1)3(x2 + 1)((x+ 2)2 + 32)
I Solucio.
3x− 1
x(x− 1)3(x2 + 1)((x+ 2)2 + 32)=A
x+
B
x− 1+
C
(x− 1)2+
+D
(x− 1)3+Ex+ F
x2 + 1+
Gx+H
(x+ 2)2 + 32
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 27 / 72
3.2 Calcul de primitives Canvis de variable i formules trigonometriques
Integracio per canvi de variable (I)
Propietat. Donada
∫f(x) dx, el canvi
{x = u(t)
dx = u′(t) dt
}fa que
∫f(x) dx =
∫f(u(t)) · u′(t) dt
I La idea es trobar un canvi adequat que faci el calcul de la novaintegral mes senzill que el de l’original.
I En acabar la integral cal desfer el canvi.
I Exemple. Calcular
∫1√
9− x2dx
Amb el canvi
{x = 3tdx = 3 dt
}tenim que:
∫1√
9− x2dx =
∫1√
9− (3t)23 dt =
∫3√
9− 9t2dt =
=
∫1√
1− t2dt = arcsin t+ c = arcsin
x
3+ c, c ∈ R
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 28 / 72
3.2 Calcul de primitives Canvis de variable i formules trigonometriques
Integracio per canvi de variable (II)
I A vegades el canvi es pot escriure:
{h(x) = t
h′(x) dx = dt
}.
I Exemple. Calcular
∫1
ex + e−xdx.
Fem el canvi
{ex = t
ex dx = dt −→ dx = dtex
= dtt
}. Aleshores:
∫1
ex + e−xdx =
∫1
t+ 1t
·dtt
=
∫1
1 + t2dt = arctan t+c = arctan ex+c, c ∈ R.
I Les integrals quasi-immediates tambe es poden fer amb canvis devariable.
I Exemple. Amb el canvi
{f(x) = t
f ′(x) dx = dt
}resulta que:
∫(f(x))n f ′(x) dx =
∫tn dt =
tn+1
n+ 1+ c =
(f(x))n+1
n+ 1+ c, c ∈ R, n 6= −1.
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 29 / 72
3.2 Calcul de primitives Canvis de variable i formules trigonometriques
Productes de potencies del sinus i el cosinus
1.
∫sinm ax · cosn ax dx, m,n ∈ Z, n senar.
Es poden resoldre amb el canvi:
sin ax = t⇒{a · cos ax · dx = dtcos2 ax = 1− t2
2.
∫sinm ax · cosn ax dx, m,n ∈ Z, m senar.
Es poden resoldre amb el canvi:
t = cos ax⇒{−a · sin ax · dx = dtsin2 ax = 1− t2
En alguns casos, les integrals d’aquest tipus es poden reduir a integralsquasi immediates utilitzant
sin2 ax+ cos2 ax = 1
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 30 / 72
3.2 Calcul de primitives Canvis de variable i formules trigonometriques
Productes de potencies del sinus i el cosinus
3.
∫sinm ax · cosn ax dx, m,n ∈ Z, m,n parells.
Es redueix el grau utilitzant les formules trigonometriques:
sin2A =1− cos 2A
2, cos2A =
1 + cos 2A
2
4. Integrals que contenen productes de sinus i cosinus d’angles diferents:es simplifiquen usant les identitats trigonometriques apropiades.
sin a · sin b = 12(cos(a− b)− cos(a+ b))
cos a · cos b = 12(cos(a+ b) + cos(a− b))
sin a · cos b = 12(sin(a+ b) + sin(a− b))
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 31 / 72
3.2 Calcul de primitives Canvis de variable i formules trigonometriques
Exemples
1. Calcular la integral
∫sin4 x · cos3 x dx.
Es tracta d’una integral de tipus 1. Canvi:
sinx = tcosx dx = dtcos2 x = 1− t2
∫sin4 x cos3 x dx =
∫sin4 x cos2 x cosx dx =
∫t4(1− t2
)dt =
∫ (t4 − t6
)dt =
t5
5− t7
7+ c =
sin5 x
5− sin7 x
7+ c, c ∈ R
Exercici 8. Resoldre la mateixa integral utilitzant sin2 x+ cos2 x = 1 perconvertir-la en una integral quasi-immediata.
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 32 / 72
3.2 Calcul de primitives Canvis de variable i formules trigonometriques
Exemples
2. Calcular la integral
∫1
sin 2xdx.
Es tracta d’una integral de tipus 2. Canvi:
cos 2x = t−2 · sin 2x · dx = dtsin2 2x = 1− t2
∫1
sin 2xdx =
∫sin 2x
sin2 2xdx =
∫sin 2x
1− cos2 2xdx =
1
2
∫1
t2 − 1dt
Resolent la integral racional s’obte:
∫1
sin 2xdx =
1
4
(∫1
t− 1dt−
∫1
t+ 1dt
)=
1
4ln|t− 1||t+ 1| + c =
= ln 4
√∣∣∣∣cos 2x− 1
cos 2x+ 1
∣∣∣∣+ c
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 33 / 72
3.2 Calcul de primitives Canvis de variable i formules trigonometriques
Exemples
3. Calcular la integral
∫sin2 x · cos2 x dx
Es tracta d’una integral de tipus 3. Usem:
sin2 x =1− cos 2x
2
cos2 x =1 + cos 2x
2∫
sin2 x cos2 x dx =
∫1− cos 2x
2· 1 + cos 2x
2dx =
∫1− cos2 2x
4dx
Ara: cos2 2x =1 + cos 4x
2=⇒
∫sin2 x cos2 x dx =
∫ (1
4− 1 + cos 4x
8
)dx =
1
8
∫(1− cos 4x) dx =
=1
8
(x− 1
4
∫4 cos 4x dx
)=
1
8
(x− 1
4sin 4x
)+ c, c ∈ R
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 34 / 72
3.2 Calcul de primitives Canvis de variable i formules trigonometriques
Exemples
4. Calcular la integral
∫sin 3x · cos 5x dx.
Es tracta d’una integral de tipus 4.
Utilitzem: sin 5x · cos 3x =1
2(sin 8x+ sin 2x).
∫sin 3x cos 5x dx =
∫1
2(sin 8x+ sin 2x) dx =
= −cos 8x
16− cos 2x
4+ c, c ∈ R
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 35 / 72
3.2 Calcul de primitives Canvis de variable i formules trigonometriques
Funcions racionals del sinus i el cosinus (I)
I Propietat. Donada la integral
∫R(sinx, cosx) dx amb
R(sinx, cosx) funcio racional del sinus i el cosinus, el canvi devariable
tanx
2= t
la converteix en∫F (sinx, cosx) dx =
∫F
(2t
1 + t2,1− t21 + t2
)· 2
1 + t2dt
es a dir, en la integral d’una funcio racional.Aquest canvi sol donar lloc a integrals racionals de resolucio llarga.
I Exercici 9. Demostrar que del canvi anterior es dedueix:
sinx =2t
1 + t2, cosx =
1− t21 + t2
, dx =2
1 + t2dt
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 36 / 72
3.2 Calcul de primitives Canvis de variable i formules trigonometriques
Funcions racionals del sinus i el cosinus (II)
Solucio.
sinx =sinx
1=
2 sin x2 cos x
2
sin2 x2 + cos2 x
2
=2 sin x
2 cos x2
cos2 x2
(1 +
sin2 x2
cos2 x2
) =
=2 tan x
2
1 + tan2 x2
=2t
1 + t2
cosx =cosx
1=
cos2 x2 − sin2 x
2
cos2 x2 + sin2 x
2
=cos2 x
2
(1− sin2 x
2cos2 x
2
)
cos2 x2
(1 +
sin2 x2
cos2 x2
) =
=1− tan2 x
2
1 + tan2 x2
=1− t21 + t2
t = tanx
2⇐⇒ x
2= arctan t⇐⇒ dx =
2
1 + t2dt
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 37 / 72
3.2 Calcul de primitives Canvis de variable i formules trigonometriques
Funcions racionals del sinus i el cosinus (III)Donada la integral
∫R(sinx, cosx) dx, amb R(sinx, cosx) funcio
racional del sinus i el cosinus:
I Si R(sinx,− cosx) = −R(sinx, cosx), es pot fer el canvi sinx = t.
sinx = t⇒ x = arcsin t, cosx dx = dt, cos2 x = 1− t2
Inclou productes de potencies de sinus i cosinus de tipus 1.
I Si R(− sinx, cosx) = −R(sinx, cosx), es pot fer el canvi cosx = t.
cosx = t⇒ x = arccos t, − sinx dx = dt, sin2 x = 1− t2
Inclou productes de potencies de sinus i cosinus de tipus 2.
I Si R(− sinx,− cosx) = R(sinx, cosx), es pot fer el canvi tanx = t.
tanx = t⇒ x = arctan t,1
cos2 xdx = dt,
cosx =1√
1 + t2, sinx =
t√1 + t2
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 38 / 72
3.2 Calcul de primitives Canvis de variable i formules trigonometriques
Integracio de funcions irracionals (I)
I Les funcions irracionals son les que contenen arrels.
I Es busquen canvis que converteixin la integral en una que no tinguiarrels.
Tipus
1.
∫F (
m√ax+ b, x) dx. Es poden resoldre fent el canvi m
√ax+ b = t
2.
∫F (√a2 − x2, x) dx. Es poden resoldre fent el canvi x = a sin t.
3.
∫F (√a2 + x2, x) dx. Es poden resoldre fent el canvi x = a tan t.
4.
∫F (√x2 − a2, x) dx. Es poden resoldre fent el canvi x = a
cos t .
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 39 / 72
3.2 Calcul de primitives Canvis de variable i formules trigonometriques
Integracio de funcions irracionals (II)
1.
∫F (
m√ax+ b, x) dx. Amb el canvi m
√ax+ b = t tenim:
m√ax+ b = t =⇒ x =
tm − ba
dx =mtm−1
adt
Exemple
∫ √x
2x−√x dx. Canvi:
{ √x = t =⇒ x = t2
dx = 2t dt
}
∫ √x
2x−√xdx =
∫ √t2
2t2 −√t22tdt =
∫2t2
2t2 − tdt =∫
2t
2t− 1dt =
∫2t− 1 + 1
2t− 1dt =
=
∫ (2t− 1
2t− 1+
1
2t− 1
)dt =
∫ (1 +
1
2t− 1
)dt =
∫dt+
1
2
∫2
2t− 1dt =
= t+1
2ln |2t− 1|+ c =
√x+
1
2ln |2√x− 1|+ c, c ∈ R
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 40 / 72
3.2 Calcul de primitives Canvis de variable i formules trigonometriques
Integracio de funcions irracionals (III)2.
∫F (√a2 − x2, x) dx. Amb el canvi x = a sin t tenim:
x = a sin t =⇒ t = arcsinx
a
dx = a cos t dt√a2 − x2 = a cos t
Exemple
∫1 + x√1− x2
dx. Canvi:
{x = sin t =⇒ t = arcsinxdx = cos t dt
}
∫1 + x√1− x2
dx =
∫1 + sin t√1− sin2 t
·cos tdt =∫
1 + sin t√cos2 t
·cos tdt =∫
1 + sin t
cos t·cos tdt =
=
∫(1 + sin t) dt = t− cos t+ c = t−
√1− sin2 t+ c =
= arcsinx−√
1− x2 + c, c ∈ R
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 41 / 72
3.2 Calcul de primitives Canvis de variable i formules trigonometriques
Integracio de funcions irracionals (IV)3.
∫F (√a2 + x2, x) dx. Amb el canvi x = a tan t tenim:
x = a tan t =⇒ t = arctanx
a
dx =a
cos2 tdt
√a2 + x2 = a
cos t
4.
∫F (√x2 − a2, x) dx. Amb el canvi x = a
cos t tenim:
x =a
cos t=⇒ t = arccos
a
x
dx =a sin t
cos2 tdt
√x2 − a2 = a tan t
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 42 / 72
3.3 Integral definida
Integral definida: definicio (I)
I Definicio. Donada f : [a, b] ⊂ R −→ R contınua i tal que f(x) ≥ 0,∀x ∈ [a, b], es defineix la integral definida de f en [a, b] com l’area, A,limitada per l’eix y = 0 i la corba y = f(x) entre les rectes x = a ix = b. Aixo ho escrivim:
A =
∫ b
af(x) dx
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 43 / 72
3.3 Integral definida
Integral definida: definicio (II)I Definicio. Donada f : [a, b] ⊂ R −→ R contınua no necessariament
positiva, es defineix la integral definida de f en [a, b] com:I la suma de les arees limitades per l’eix y = 0 i la corba y = f(x) entre
les rectes x = a i x = b, per sobre de l’eix y = 0,I menys la suma de les arees limitades per l’eix y = 0 i la corbay = f(x) entre les rectes x = a i x = b, per sota de l’eix y = 0.
a bA1
A2
A3
y=f(x)
En la figura tindrem:∫ b
af(x) dx = A1 +A3 −A2
I Observacio. En aquest cas, la integral definida no es una area.Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 44 / 72
3.3 Integral definida
Propietats de la integral definida (I)
P1.
∫ a
af(x) dx = 0.
P2. Si f(x) ≥ 0 =⇒∫ b
af(x) dx ≥ 0. Si f(x) ≤ 0 =⇒
∫ b
af(x) dx ≤ 0.
P3.
∫ b
af(x) dx = −
∫ a
bf(x) dx.
P4. Si a ≤ c ≤ b =⇒∫ b
af(x) dx =
∫ c
af(x) dx+
∫ b
cf(x) dx.
P5.
∫ b
a(f(x) + g(x)) dx =
∫ b
af(x) dx+
∫ b
ag(x) dx.
P6. λ
∫ b
af(x) dx =
∫ b
aλf(x) dx, ∀λ ∈ R.
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 45 / 72
3.3 Integral definida
Propietats de la integral definida (II)
P7. Si m ≤ f(x) ≤M =⇒ m(b− a) ≤∫ b
af(x) dx ≤M(b− a).
P8. Teorema del valor mitja ∃c ∈ [a, b];
∫ b
af(x) dx = f(c)(b− a).
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 46 / 72
3.3 Integral definida
Definicio d’integral definida: consideracions finals
I Observacio. La definicio d’integral definida es pot extendre afuncions no contınues: per exemple, les que tenen un nombre finit dediscontinuıtats de salt en [a, b].
I Definicio. Quan existeix la integral definida de f en [a, b] diem que fes integrable en [a, b].
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 47 / 72
3.3 Integral definida
Calcul d’integrals definides (I)
1. Descomposem la regio en rectangles que tenen per:I Base: un interval de x.I Altura: la imatge per f d’un punt de la base.
2. Calculem el lımit de la suma de les arees dels rectangles quan la basetendeix a 0.
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 48 / 72
3.3 Integral definida
Calcul d’integrals definides (II)
Exemple. Calcular l’area limitada per l’eix y = 0 i la corba f(x) = x,entre x = 0 i x = 1, usant l’aproximacio per rectangles.Notem que:
I Utilitzant l’aproximacio per rectangles: dividim l’interval d’integracio[0, 1] en n parts iguals, es a dir,cadascuna de longitud 1/n.
0n
nn
1n
2n
n!2n
n!1n
0 1
· · · · · ·
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 49 / 72
3.3 Integral definida
Calcul d’integrals definides (III)I Considerem els rectangles d’altura igual al valor maxim que pren la
funcio en cada interval, en aquest cas a l’extrem dret.f(1) = 1 = n
n
f!
2n
"= 2
n
f!
1n
"= 1
n
01n
2n
1 = nn
· · ·
I Aixı,
Sn =1
n
[f
(1
n
)+ f
(2
n
)+ · · ·+ f
(n− 1
n
)+ f(1)
]=
=1
n
(1
n+
2
n+ · · ·+ n− 1
n+n
n
)=
1
n2(1 + 2 + · · ·+ n) =
n(n+ 1)
2n2=n+ 1
2n
I Fem tendir el nombre de rectangles a ∞:
A = limn→∞
Sn = limn→∞
n+ 1
2n=
1
2
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 50 / 72
3.3 Integral definida
Teorema Fonamental del Calcul i regla de BarrowI Teorema Fonamental del Calcul. Donada f contınua en [a, b]
definim, ∀x ∈ [a, b],
F (x) =
∫ x
af(x) dx
Aleshores F es una primitiva de f , es a dir, F ′(x) = f(x).I Teorema [Regla de Barrow]. Sigui f contınua en [a, b] i sigui F
una primitiva de f . Aleshores:∫ b
af(x) dx = F (b)− F (a)
Es el que fem servir a la practica!I Exemple. Calcular l’area limitada per l’eix y = 0 i la corba f(x) = x,
entre x = 0 i x = 1.
A =
∫ 1
0x dx =
[x2
2
]1
0
=12
2− 02
2=
1
2
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 51 / 72
3.3 Integral definida
Teorema Fonamental del Calcul: demostracio
Teorema Fonamental del Calcul. Donada f contınua en [a, b] definim,∀x ∈ [a, b],
F (x) =
∫ x
a
f(x) dx
Aleshores F es una primitiva de f , es a dir, F ′(x) = f(x).Demostracio.
Notem que A = F (x+ h) = F (x) + ∆F (x).Pel teorema del valor mitja (P8), ∃c ∈ [x, x+ h] tal que ∆F (x) = h · f(c).
Aleshores: F (x+ h) = F (x) + hf(c)⇒ F (x+ h)− F (x)
h= f(c).
Fent pas al lımit per h→ 0: F ′(x) = limh→0
F (x+ h)− F (x)
h= lim
h→0f(c) = f(x).
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 52 / 72
3.3 Integral definida
Regla de Barrow: demostracio
Teorema. Sigui f contınua en [a, b] i sigui F una primitiva de f .Aleshores: ∫ b
af(x) dx = F (b)− F (a)
Demostracio. Sabem pel Teorema Fonamental del Calcul que, ∀x ∈ [a, b],
∫ x
a
f(x) dx = F (x) + c, c ∈ R, amb F ′(x) = f(x)
Aleshores, per la propietat P1,
∫ a
a
f(x) dx = F (a) + c = 0⇒ c = −F (a), de
manera que
∫ b
a
f(x) dx = F (b) + c = F (b)− F (a).
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 53 / 72
3.3 Integral definida
Canvi de variable en la integral definidaI S’han de canviar, a la vegada, els lımits d’integracio.
I Exemple. Calcular
∫ ln 2
0
ex
ex + 2dx.
Canvi: t = ex + 2, dt = ex dx =⇒{t(x = 0) = e0 + 2 = 1 + 2 = 3t(x = ln 2) = eln 2 + 2 = 2 + 2 = 4
Aleshores:∫ ln 2
0
ex
ex + 2dx =
∫ x=ln 2
x=0
ex
ex + 2dx =
∫ t=4
t=3
dt
t=
=
∫ 4
3
dt
t= [ln t]
43 = ln 4− ln 3 = ln
4
3I Observacio. Es pot calcular primer la integral indefinida, desfer el canvi, i
despres substituir en la integral definida sense canviar els lımits:∫
ex
ex + 2dx =
∫dt
t= ln t = ln(ex + 2)
⇒∫ ln 2
0
ex
ex + 2dx = [ln(ex + 2)]
ln 20 = ln 4− ln 3 = ln
4
3
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 54 / 72
3.4 Aplicacions
Calcul d’arees (I)I Problema. Al calcular una integral definida les arees “positives” i
“negatives” es compensen.I Exemple.
Integral:
∫ 1
−1x dx =
[x2
2
]1
−1=
12
2− (−1)2
2=
1
2− 1
2= 0
Area:∫ 1
−1|x| dx =
∫ 0
−1−x dx+
∫ 1
0
x dx =
[−x22
]0
−1+
[x2
2
]1
0
=1
2+
1
2= 1
|x|
I Propietat. Area limitada per l’eix y = 0, la funcio y = f(x) en [a, b]:
A =
∫ b
a|f(x)| dx
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 55 / 72
3.4 Aplicacions
Calcul d’arees (II)I A la practica es busquen els punts de tall de la funcio amb l’eix X i es
descompon la integral en suma:
A = A1 +A2 =
∫ c
af(x) dx−
∫ b
cf(x) dx
I Observacio. Si f no canvia de signe en [a, b], aleshores
A =
∣∣∣∣∫ b
af(x) dx
∣∣∣∣
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 56 / 72
3.4 Aplicacions
Calcul d’arees (III)
I En el cas de l’area limitada per dues funcions la idea es la mateixa:
A =
∫ b
a|f(x)− g(x)| dx
A = A1 +A2 =
∫ c
a[f(x)− g(x)] dx−
∫ b
c[f(x)− g(x)] dx
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 57 / 72
3.4 Aplicacions
Calcul d’arees (IV)
I Donat que els punts de tall de f amb l’eix X ens marquen elsintervals de signe constant de f en [a, b], no cal determinar-ne elsigne en cada subinterval. Podem fer:
A =
∣∣∣∣∫ c
af(x)dx
∣∣∣∣+
∣∣∣∣∫ b
cf(x)dx
∣∣∣∣I La tecnica es pot utilizar tambe per a calcular l’area tancada entre
dues funcions
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 58 / 72
3.4 Aplicacions
Calcul d’arees: exempleCalcular l’area tancada entre y = 9− x2 i y = x+ 3
I Punts de tall:
9− x2 = 3 + x⇔ x2 + x+ 6 = 0⇔{x = −3x = 2
I Area:
A =
∫ 2
−3(9−x2−(x+ 3)) dx =
∫ 2
−3
(6− x− x2
)dx =
[6x− x2
2− x3
3
]2
−3=
=
(6 · 2− 22
2− 23
3
)−(
6 · (−3)− (−3)2
2− (−3)
3
3
)=
125
6u2
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 59 / 72
3.4 Aplicacions
Calcul de volums de solids de revolucio: formula dels discs
I Propietat. El volum del solid de revolucio generat pel gir dey = f(x) al voltant de l’eix de les x entre x = a i x = b es
Vx = π
∫ b
a(f(x))2 dx
I Exemple. Fent girar al voltant de l’eix de les x la regio determinadaper y = x2 entre x = 0 i x = 1 s’obte un solid de volum:
V = π
∫ 1
0x4 dx =
π
5u3
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 60 / 72
3.4 Aplicacions
Calcul de volums de solids de revolucio: formula dels discs
I Propietat. El volum del solid de revolucio generat pel gir dex = g(y) al voltant de l’eix de les y entre y = c i y = d es:
Vy = π
∫ d
c(g(y))2 dy
I Exemple. Fent girar al voltant de l’eix de les y la regio determinadaper y = x2 entre y = 0 i y = 1 s’obte un solid de volum:
V = π
∫ 1
0(√y)2 dy =
π
2u3
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 61 / 72
3.5 Integrals impropies
Integrals impropiesDefinicio. Diem que una integral definida es una integral impropia si:
1. La funcio que a integrar te una assımptota vertical en algun(s)punt(s) de l’interval d’integracio. Son les integrals impropies deprimera especie o de funcio no fitada.
O be:
2. Almenys un dels lımits d’integracio es infinit. Son les integralsimpropies de segona especie o d’interval no fitat.
Observacio. Quan la integral impropia existeix diem que es convergent.Altrament diem que es divergent.
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 62 / 72
3.5 Integrals impropies
Calcul d’integrals impropies de primera especie (I)1.1 Sigui F una primitiva de f en [a, b]. Si lim
x→b−f(x) =∞, aleshores
∫ b
af(x) dx = lim
z→b−
∫ z
af(x) dx = lim
z→b−[F (x)]za = lim
z→b−[F (z)− F (a)]
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 63 / 72
3.5 Integrals impropies
Calcul d’integrals impropies de primera especie (II)1.2 Sigui F una primitiva de f en [a, b]. Si lim
x→a+f(x) =∞, aleshores
∫ b
af(x) dx = lim
z→a+
∫ b
zf(x) dx = lim
z→a+[F (x)]bz = lim
z→a+[F (b)− F (z)]
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 64 / 72
3.5 Integrals impropies
Calcul d’integrals impropies de primera especie (III)1.3 Sigui F una primitiva de f en [a, b]. Si lim
x→c+f(x) =∞ i/o
limx→c− f(x) =∞, amb c ∈ (a, b), aleshores∫ b
af(x) dx =
∫ c
af(x) dx+
∫ b
cf(x) dx
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 65 / 72
3.5 Integrals impropies
Integrals impropies de primera especie: exemples
I Calcular
∫ 4
2
33√x− 2
dx
∫ 4
2
33√x− 2
dx = limz→2+
∫ 4
z
33√x− 2
dx = limz→2+
[9 3√
(x− 2)2
2
]4z
=
= limz→2+
9
2
[3√4− 3
√(z − 2)2
]=
9 3√4
2
I Calcular
∫ −1
−2
1
(x+ 2)3dx
∫ −1
−2
1
(x+ 2)3dx = lim
z→−2+
∫ −1
z
1
(x+ 2)3dx = lim
z→−2+
[− 1
2 (x+ 2)2
]−1
z
=
= limz→−2+
1
2
[1
(z + 2)2− 1
]=
1
2
[1
(2− 2+)2− 1
]= +∞
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 66 / 72
3.5 Integrals impropies
Calcul d’integrals impropies de segona especie (I)Observacio. Es condicio necessaria per a la convergencia d’una integralimpropia de segona especie que f(x) tendeixi a 0 quan x tendeix al(s)extrem(s) no fitat(s).
2.1 Sigui F una primitiva de f en [a,+∞). Si limx→+∞
f(x) = 0:
∫ +∞
af(x) dx = lim
z→+∞
∫ z
af(x) dx = lim
z→+∞[F (z)− F (a)]
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 67 / 72
3.5 Integrals impropies
Calcul d’integrals impropies de segona especie (II)2.2 Sigui F una primitiva de f en (−∞, b]. Si lim
x→−∞f(x) = 0:
∫ b
−∞f(x) dx = lim
z→−∞
∫ b
zf(x) dx = lim
z→−∞[F (b)− F (z)]
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 68 / 72
3.5 Integrals impropies
Calcul d’integrals impropies de segona especie (III)2.3 Sigui F primitiva de f en (−∞,+∞). Si lim
x→±∞f(x) = 0:
∫ +∞
−∞f(x) dx =
∫ c
−∞f(x) dx+
∫ +∞
cf(x) dx, amb c ∈ R qualsevol.
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 69 / 72
3.5 Integrals impropies
Integrals impropies de segona especie: exemples (I)
Calcular
∫ +∞
2e−3x dx.
I Comprovem que en l’extrem no fitat la funcio te lımit 0.Si no fos aixı, la integral seria divergent!
En efecte: limx→+∞
=1
e3·(+∞)=
1
+∞ = 0.
I Calculem la integral:
∫ +∞
2e−3x dx = lim
z→+∞
∫ z
2e−3x dx = lim
z→+∞−1
3
[e−3x
]z2
=
= limz→+∞
−1
3
[e−3z − e−6
]=
1
3e6
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 70 / 72
3.5 Integrals impropies
Integrals impropies de segona especie: exemples (II)
Calcular
∫ 0
−∞xex dx.
I Comprovem que en l’extrem no fitat la funcio te lımit 0.Si no fos aixı, la integral seria divergent!
En efecte: limx→−∞
xex = −∞ · e−∞ =−∞e+∞
= −∞∞Apliquem la Regla de L’Hopital:
limx→−∞
xex = limx→−∞
x
e−x= lim
x→−∞(x)′
(e−x)′=
= limx→−∞
−1
e−x=−1
e+∞=−1
∞ = 0
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 71 / 72
3.5 Integrals impropies
Integrals impropies de segona especie: exemples (III)
I Calculem la integral:
∫ 0
−∞xex dx = lim
z→−∞
∫ 0
zxex dx = lim
z→−∞[ex (x− 1)]0z =
= limz→−∞
[−1− (z − 1)ez] = −1 + limz→−∞
ez − limz→−∞
zez= −1
Calcul (EETAC-UPC) Tema 3. Integracio de funcions d’una variable 72 / 72