Apunts de Matemàtica Discreta i ÀlgebraSegona part: Àlgebra Lineal

Tema 8: Espais vectorials

Robert Fuster

Darrera actualització: 7 de febrer de 2007

Índex

Unitat Temàtica 23. Espais i subespais. Combinacions Lineals. Indepen-dència lineal 3

23.1. Propietats immediates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.2. Subespais vectorials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

23.2.1. Intersecció i unió de subespais . . . . . . . . . . . . . . . . 723.3. Combinacions lineals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

23.3.1. Operacions elementals sobre un conjunt de vectors . . . . 923.4. Dependència i independència lineals . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

23.4.1. Combinacions lineals i dependència lineal en Rn . . . . . . 12

Unitat Temàtica 24. Espais de dimensió finita. Bases. Suma de subespais.Bases ortonormals en Rn 13

24.1. Base d’un espai vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1324.1.1. Exemples de bases i bases canòniques . . . . . . . . . . . . 13

24.2. Espais vectorials de dimensió finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1524.2.1. Extracció i completació de bases . . . . . . . . . . . . . . . 1624.2.2. La dimensió d’un espai vectorial . . . . . . . . . . . . . . . 1824.2.3. Canvi de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

24.3. Suma de subespais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2424.3.1. La suma directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

24.4. Bases ortonormals en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2624.4.1. El complement ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1

Unitat Temàtica 25. Espais vectorials i matrius 2925.1. Els quatre espais d’una matriu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2925.2. Subespais de Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

25.2.1. La base canònica d’un subespai . . . . . . . . . . . . . . . . 3325.2.2. Equacions d’un subespai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3325.2.3. Intersecció de subespais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3425.2.4. Suma de subespais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2

Unitat Temàtica 23. Espais i subespais. Combinaci-ons Lineals. Independència li-neal

Definició 1Un espai vectorial real és un conjunt E on hi ha definides dues ope-racions:

+ : E× E −→ E(~u,~v) → ~u +~v

· : R× E −→ E(λ,~v) → λ~v

que verifiquen les següents propietats:

Commutativa ~u +~v = ~v + ~u, ∀~u,~v ∈ E

Associativa (~u +~v) + ~w = ~u + (~v + ~w), ∀~u,~v, ~w ∈ E

Element neutre ∃~0 ∈ E / ~u +~0 = ~u, ∀~u ∈ E

Elements simètrics ∀~u ∈ E ∃ − ~u ∈ E / ~u + (−~u) =~0

(aquestes quatre propietats indiquen que es tracta d’un grup abelià)

Associativa dels productes (λµ)~u = λ(µ~u) ∀λ, µ ∈ R, ∀~u ∈ E

Distributiva respecte a la suma d’escalars(λ + µ)~u = λ~u + µ~u, ∀λ, µ ∈ R, ∀~u ∈ E

Distributiva respecte a la suma de vectorsλ(~u +~v) = λ~u + λ~v, ∀λ ∈ R, ∀~u,~v ∈ E

Element neutre 1~u = ~u, ∀~u ∈ E

Si E és un espai vectorial, llavors els elements de E s’anomenen vectors i sesolen representar amb lletres negretes (u, v...) o amb lletres marcades amb unafletxeta al damunt (~u, ~v...); els elements de R s’anomenen escalars i es costum derepresentar-los amb lletres gregues λ, µ...

En aquest curs treballarem pricipalment amb els espais vectorials que des-cribim tot seguit:

1. L’espai vectorial més simple és el que només té un element: E = {~0}, ambles operacions~0 +~0 =~0 i λ~0 =~0.

2. L’espai vectorial clàssic és el conjunt Rn, amb les operacions habituals,

3

suma de vectors i producte d’un escalar per un vector:

(u1, u2, . . . , un) + (v1, v2, . . . , vn) = (u1 + v1, u2 + v2, . . . , un + vn)λ(u1, u2, . . . , un) = (λu1, λu2, . . . , λun)

3. També són espais vectorials els conjunts Mm,n de les matrius m× n ambles operacions suma de matrius i producte d’un escalar per una matriu.

4. Un exemple molt interessant és el dels polinomis. Representarem per R[x]el conjunt dels polinomis de la indeterminada x amb coeficents reals, és adir, les expressions de la forma p(x) = a0 + a1x + a2x2 + · · · + anxn, ona0, a1 . . . , an són nombres reals. Amb les operacions habituals de suma dedos polinomis i de producte d’un nombre per un polinomi aquest conjunttambé és un espai vectorial.

Com veurem més endavant, aquest és l’exemple més simple d’espai vec-torial de dimensió infinita.

Molts altres espais vectorials estan relacionats amb l’Anàlisi Matemàtica: elconjunt de totes les funcions contínues en un interval, el de les successions con-vergents, el de les solucions d’una equació diferencial lineal i homogènia...

23.1. Propietats immediatesTeorema 1

Siga E un espai vectorial. Si λ, µ ∈ R i ~u,~v ∈ E, aleshores:

1. 0~u = λ~0 =~0

2. (−λ)~u = λ(−~u) = −λ~u

3. (−λ)(−~u) = λ~u

4. λ~u =~0 =⇒ λ = 0 ó ~u =~0

5. Si λ 6= 0 i λ~u = λ~v aleshores ~u = ~v

6. Si ~u 6=~0 i λ~u = µ~u aleshores λ = µ

Demostració:

4

1. Provarem que 0~u =~0 (l’altra igualtat és anàloga):

0~u = 0~u +~0 Perquè~0 és el neutre de la suma= 0~u + (0~u + (−0~u)) Elements simètrics= (0~u + 0~u) + (−0~u) Propietat associativa= (0 + 0)~u + (−0~u) Propietat distributiva= 0~u + (−0~u) Element neutre

=~0 Elements simètrics

2. Ací també provarem una de les igualtats: Si sumem (−λ)~u amb λ~u obtindrem

(λ)~u + λ~u = ((−λ) + λ)~u Propietat distributiva= 0

I, com que en un grup el simètric és únic, això significa que (−λ)~u = −λ~u.

3. Fent servir la propietat anterior,

(−λ)(−~u) = −(−λ)~u = −(−(λ~u)) = λ~u

4. Provarem que Si λ~u =~0 i λ 6= 0 aleshores ~u =~0: si suposem que λ 6= 0 aleshoresexisteix l’invers λ−1, de manera que

λ~u =~0 =⇒ λ−1λ~u = λ−1~0 =⇒ 1~u =~0 =⇒ ~u =~0 �

5. Si λ 6= 0 i λ~u = λ~v, aleshores 0 = λ~u + (−λ~v) = λ(~u + (−~v)), així que per lapropietat anterior, ~u + (−~v) =~0, o ~u = ~v.

6. Aquesta propietat és anàloga a l’anterior. �

23.2. Subespais vectorialsDefinició 2

Un subespai vectorial de l’espai E és un subconjunt F ⊂ E que, ambles mateixes operacions, és també espai vectorial.

El següent teorema ens dóna un criteri pràctic per a comprovar si un sub-conjunt és subespai vectorial d’un espai donat.

5

Teorema 2Siga E un espai vectorial i F un subconjunt de E. F és subespai vec-torial de E si i només si es compleixen les tres condicions següents:

1. ~0 ∈ F

2. Si ~u,~v ∈ F aleshores ~u +~v ∈ F

3. Si λ ∈ R i ~u ∈ F aleshores λ~u ∈ F

El conjunt {~0} i el mateix E són sempre subespai de E. Aquests dos subes-pais s’anomenen impropis. Tots els altres són els subespais propis.

Un altre exemple més interessant és el de les matrius diagonals: les matriusdiagonals d’ordre n són un subespai propi de l’espaiMn de les matrius quadra-des d’ordre n (perquè la matriu O és diagonal i la suma de matrius diagonals iel producte d’un escalar per una matriu diagonal són també matrius diagonals).

També és un subespai (de R2) el conjunt F = {(x, y) : 2x + 3y = 0}, perquè

1. Com que 2 · 0 + 3 · 0 = 0 resulta que (0, 0) ∈ F

2. Si (x1, y1), (x2, y2) ∈ F aleshores 2(x1 + x2) + 3(y1 + y2) = (2x1 + 3y1) +(2x2 + y2) = 0, així que (x1, y1) + (x2, y2) ∈ F

3. Si λ ∈ R i (x, y) ∈ F aleshores 2(λx) + 3(λy) = λ(2x + 3y) = 0, així queλ(x, y) ∈ F.

Aquest darrer exemple és molt interessant des de dos punts de vista: amb lainterpretació geomètrica de l’espai R2 com el conjunt dels punts d’un pla carte-sià, aquest subespai representa una recta que passa per l’origen de coordenades;des d’un altre punt de vista, observem que es tracta de la solució general d’unaequació lineal homogènia.

Altres exemples:

1. El conjunt Rn[x] dels polinomis de grau menor o igual que n és un subes-pai vectorial de R[x] (perquè la suma i el producte per un escalar no aug-menten el grau dels polinomis)

2. El conjunt de totes les funcions derivables en R és un subespai vectorialde l’espai de totes les funcions contínues en R.

6

23.2.1. Intersecció i unió de subespais

Propietat 1La intersecció de subespais vectorials de l’espai E és també subespaivectorial de E.

Demostració: Ho provarem per a la intersecció de dos subespais: si F i G són subespaisde l’espai E llavors el vector~0 pertany a tots dos subespais, així que també està en laintersecció:~0 ∈ F∩G. Daltra banda, si ~u,~v ∈ F∩G llavors ~u +~v ∈ F, perquè és la sumade dos elements de F; per la mateixa raó, ~u +~v ∈ G, de manera que ~u +~v ∈ F ∩ G. Demanera anàloga es prova que per a qualsevol escalar λ, λ~u ∈ F ∩ G. �

En canvi, la unió de subespais no té perquè ser un subespai. Per exemple,els conjunts

F = {(x, 0) : x ∈ R} G = {(0, y) : x ∈ R}són subespais vectorials de R2 però la seua unió

F ∪ G = {(x, y) : x = 0 ó y = 0}

no ho és, perquè (1, 0) i (0, 1) són elements de F ∪ G però la seua suma, (1, 0) +(0, 1) = (1, 1) no es troba en F ∪ G.

Per aquest motiu s’introdueix el concepte de suma de subespais, del qualparlarem més avant.

23.3. Combinacions linealsDefinició 3

Siguen E un espai vectorial i S un subconjunt de E. Diem que elvector ~u és combinació lineal dels vectors del conjunt S si existeixenescalars λ1, λ2, . . . , λp i vectors u1, u2, . . . , un ∈ S de manera que

~u = λ1~u1, +λ2~u2 + · · ·+ λp~up

Per exemple, en R3 el vector ~u = (1, 3,−5) és combinació lineal dels vectors delconjunt S = {(1, 0, 2), (0, 6,−14), (2, 6,−10)}, perquè

(1, 3,−5) = (1, 0, 2) +12(0, 6,−14)

Les combinacions lineals ens proporcionen una nova interpretació de la so-lució general d’un sistema d’equacions lineals: si A1, A2, . . . , An són les columnes

7

de la matriu A ∈ Mm,n llavors el sistema lineal AX = B es pot escriure en formavectorial com

x1A1 + x2A2 + · · ·+ xnAn = B

així que el sistema és compatible si i només si el vector B és combinació linealde les columnes de la matriu A.Definició 4

Siga S un subconjunt de l’espai vectorial E. L’embolcall lineal de Sés el conjunt 〈S〉 de totes les combinacions lineals d’elements de S.

Per exemple, l’embolcall lineal dels polinomis 1, x i x2 és l’espai vectorialR2[x] de tots els polinomis de grau menor o igual que 2. de tots els polinomisde grau menor o igual que 2.

Un altre exemple interessant: l’embolcall lineal de les matrius(

1 00 0)

i(

0 00 1)

és el conjunt format per totes les matrius diagonals d’ordre 2.I, per acabar, vegem un exemple en el qual el conjunt S és infinit: l’embolcall

lineal del conjunt de polinomis

S = {1, x, x2, x3, . . . , xn, . . . }

és l’espai de tots els polinomis en x, R[x].

La propietat més important de l’embolcall lineal d’un subconjunt és la se-güent:Teorema 3

Siguen S un conjunt de vectors en l’espai E. L’embolcall lineal de Sés el menor subespai vectorial de E que conté a S, és a dir,

1. S ⊂ 〈S〉

2. 〈S〉 és un subespai de E

3. Si F és un subespai de E i S ⊂ F, aleshores 〈S〉 ⊂ F.

Definició 5Donat l’espai vectorial E i un subespai F, direm que el sistema devectors S es un sistema generador de F si 〈S〉 = F. També es diuque S genera el subespai F.

Per exemple, és clar que el conjunt

S = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}

8

és sistema generador de l’espai R3, perquè qualsevol vector (x, y, z) es pot es-criure com (x, y, z) = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 0, 1).Definició 6

Dos conjunts de vectors S i T són equivalents si tenen el mateixembolcall lineal, és a dir, si 〈S〉 = 〈T〉.

23.3.1. Operacions elementals sobre un conjunt de vectors

Per a estudiar la equivalència de dos conjunts de vectors podem fer servir unavegada més les operacions elementals.Definició 7

Anomenem operació elemental sobre el conjunt finit

S = {~u1,~u2, . . . ,~um}

a qualsevol de les següents transformacions:

• Intercanvi en l’ordre entre dos vectors de S

• Multiplicació d’un vector de S per un escalar no nul

• Suma a un vector de S d’un múltiple d’un altre vector de S.

Propietats 2Siguen S i T dos subconjunts de l’espai vectorial E.

1. Si es fa una operació elemental sobre S el sistema de vectorsque en resulta és equivalent a S. En conseqüència, si T és el re-sultat d’efectuar un nombre finit d’operacions elementals so-bre S, aleshores S i T són equivalents.

2. Si T = S ∪ {~0} llavors S i T són equivalents.

3. Si T = S ∪ {~u} i ~u és una combinació lineal dels vectors de Saleshores S i T són equivalents.

9

Exemple 1

Provem que els conjunts de matrius en M2, S = {A1, A2, A3} i T ={B1, B2}, on

A1 =(

1 −10 2

)A2 =

(1 22 1

)A3 =

(2 −5−2 5

)B1 =

(2 12 3

)B2 =

(0 32 −1

)són equivalents.

Primer de tot notem que A3 = 3A1−A2, així que S és equivalent a S1 = {A1, A2}.Ara provarem que T s’obté fent operacions elementals sobre S1:

A1 =(

1 −10 2

)A2 =

(1 22 1

) =⇒

A1 + A2 =(

2 12 3

)A2 =

(1 22 1

) =⇒

A1 + A2 =(

2 12 3

)2A2 =

(2 44 2

)

=⇒A1 + A2 =

(2 12 3

)= B1

A2 − (A1 + A2) =(

0 32 −1

)= B2

23.4. Dependència i independència lineals

Definició 8Un conjunt de vectors S és lligat o linealment dependent si el vector~0 es pot escriure com una combinació lineal de vectors de S,

λ1~u1 + λ2~u2 + · · ·+ λp~up =~0 (1)

on algun dels escalars és no nul.En cas contrari, és a dir, quan els únics escalars que verifiquen l’e-quació (1) són λ1 = λ2 = · · · = λp = 0, es diu que el sistema S éslliure o linealment independent.

Per exemple, el conjunt S = {(1, 2, 3), (0,−1, 1), (1, 0, 2)} és lliure, perquè si

λ1(1, 2, 3) + λ2(0,−1, 1) + λ3(1, 0, 2) = (0, 0, 0)

10

tindrem(λ1 + 3λ3, 2λ1 − λ2, 3λ1 + λ2 + 2λ3) = (0, 0, 0)

o, equivalentment,

λ1 + λ3 = 02λ1 − λ2 = 0

3λ1 + λ2 + 2λ3 = 0

Aquest és un sistema lineal homogeni, de manera que sempre té la solució nul-la; però els vectors seran independents si aquesta és la única solució, és a dir, siel sistema és compatible determinat. Com que

rang

1 0 12 −1 13 1 2

= 3

podem assegurar que S és lliure.En canvi, el conjunt T = {(1, 2, 3), (0,−1, 1), (1, 1, 4)} és lligat, perquè

rang

1 0 12 −1 13 1 4

= 2

Les propietats fonamentals de la independència lineal són aquestes:

11

Propietats 3Es compleixen les següents propietats:

1. Un conjunt linealment independent no pot contenir el vectorzero, és a dir, si~0 ∈ S aleshores S és lligat.

2. El conjunt format per un sol vector no nul és lliure.

3. Si S és lliure i T ⊂ S aleshores T és lliure. Equivalentment, siT és lligat i T ⊂ S aleshores S és lligat.

4. Si S és lliure i s’hi fa una operació elemental aleshores el con-junt resultant també és lliure.

5. Si S és lliure i ~u no és combinació lineal de S aleshores S∪ {~u}també és lliure.

6. El conjunt S és lligat si i només si hi existeix un vector que éscombinació lineal dels altres vectors de S.

7. El conjunt finit S = {~u1,~u2, . . . ,~um} és lligat si i només si hiexisteix un vector ~up que és combinació lineal dels vectors deS anteriors a ell (és a dir, de {~u1,~u2 . . . ,~up−1}).

23.4.1. Combinacions lineals i dependència lineal en Rn

Si S = {~u1,~u2, . . . ,~um} és un conjunt finit de vectors de Rn, llavors totes lesqüestions a prop de les combinacions lineals en S són equivalents a problemesde matrius o de sistemes lineals. Per a veure-ho, al conjunt S li associem lamatriu MS ∈ Mm,n les files de la qual són els vectors de S.Teorema 4

Siga MS la matriu associada al conjunt S = {~u1,~u2, . . . ,~um} ⊂ Rn.Llavors,

1. S és sistema generador de l’espai Rn si i només si rang MS = n

2. S és lliure si i només si rang MS = m

12

Unitat Temàtica 24. Espais de dimensió finita. Ba-ses. Suma de subespais. Basesortonormals en Rn

24.1. Base d’un espai vectorialDefinició 9

Si E és un espai vectorial i B ⊂ E direm que B es una base de E si Bés lliure i sistema generador de E.

L’espai {~0} no té cap base, perquè l’únic subconjunt no buit possible conté elzero i, per tant, no és linealment independent.Teorema 5

Si B és un subconjunt de l’espai vectorial E, aleshores: B és basede E si i només si tot vector de E s’expresa de forma única com acombinació lineal dels de B.

Demostració: El fet que B siga sistema generador de E significa que qualsevol vectorés combinació lineal dels elements de B, però no necessàriament de manera única. Su-posem, doncs, que un vector ~u és combinació lineal dels vectors ~u1,~u2, . . . ,~up ∈ B dedues maneres:

~u = λ1~u1 + λ2~u2 + · · ·+ λp~up

~u = µ1~u1 + µ2~u2 + · · ·+ µp~up

Restant aquestes dues expressions tindrem

~0 = (λ1 − µ1)~u1 + (λ2 − µ2)~u2 + · · ·+ (λp − µp)~up

Però, com que B és lliure,

λ1 − µ1 = λ2 − µ2 = · · · = λp − µp = 0λ1, µ1, λ2 = µ2, . . . , λp = µp

de manera que les dues combinacions lineals són iguals. �

24.1.1. Exemples de bases i bases canòniques

En R3, el conjunt B = {(1, 2, 3), (0, 1, 2), (0, 0, 1)} és una base, perquè

rang MB = rang

1 2 30 1 20 0 1

= 3

13

i, aplicant el teorema 4 resulta que B és lliure i generador.{1, 1 + x, 1− x2, x2} és generador de R2[x] però no base. Per a provar que

és sistema generador, hem de buscar escalars λ1, λ2, λ3, λ4 de manera que, sip(x) = a0 + a1x + a2x2 és un polinomi qualsevol d’aquest espai, tinguem

a0 + a1x + a2x2 = λ1 + λ2(1 + x) + λ3(1− x2) + λ4x2

Reordenant el segon membre d’aquesta igualtat resulta

a0 + a1x + a2x2 = (λ1 + λ2 + λ3) + λ2x + (−λ3 + λ4)x2

és a dir,

λ1 + λ2 + λ3 = a0

λ2 = a1

−λ3 + λ4 = a2

que és un sistema lineal compatible indeterminat, així que p(x) es pot escriurecom a combinació lineal dels polinomis d’aquest conjunt, però no de maneraúnica.

En canvi, el conjunt{

1, x− 1, (x− 1)2} si que és base de R2[x], perquè pelmateix procediment s’arriba a un sistema compatible determinat.

Les bases més simples dels espais vectorials habituals s’anomenen bases ca-nòniques. Són lesd següents:

• La base canònica de R2 és C2 = {(1, 0), (0, 1)}. De manera més general,la base canònica de Rn és Cn = {(1, 0, . . . , 0), (0, 1, . . . , 0), . . . , (0, 0, . . . , 1)}(observem que aquesta base té exactament n elements).

• La base canònica de Mm,n és

Cm,n = {U11, U12, . . . , U1n, U21, U22, . . . , U2n, . . . , Um1, Um2, . . . , Umn}

on Uij té un 1 a la posició ij i la resta d’entrades són zeros (es tracta pertant, d’una base formada per nm elements).

• La base canònica de R[x] és{

1, x, x2, . . . , xn, . . .}

(infinits elements).

• La base canònica de Rn[x] és{

1, x, x2, . . . , xn} (n + 1 elements).

14

24.2. Espais vectorials de dimensió finitaDefinició 10

Un espai és de dimensió finita si té una base finita.L’espai {~0} també es considera de dimensió finita. Qualsevol altreespai que no tinga una base finita és de dimensió infinita.

Els espais Rn, Mm,n i Rn[x] són tots de dimensió finita. L’espai R[x] és dedimensió infinita, perquè si B és un conjunt de polinomis finit i n és el màximdels graus dels polinomis de B, aleshores el polinomi xn+1 no pot ser combina-ció lineal dels elements de B; en altres paraules, un conjunt finit no pot ser based’aquest espai.

D’ara en avant, sempre que no indiquem el contrari, treballarem amb espaisvectorials de dimensió finita.Definició 11

Si B = {~u1,~u2, . . . ,~un} és una base de E i si

~u = λ1~u1 + λ2~u2 + · · ·+ λn~un

les coordenades del vector ~u respecte a B són els escalars λ1, . . . , λn.Simbòlicament escriurem

~u = (λ1, λ2, . . . , λn)B o bé [~u]B =

λ1λ2...

λn

Respecte a les bases canòniques dels espais habituals, les coordenades dels

vectors són les mateixes components d’aquests vectors. Vegem-ne alguns exem-ples.

• Si ~u = (1, 2), aleshores ~u = (1, 2)C2

• Si A =( 1 0−2 3

), aleshores A = (1, 0,−2, 3)C2,2

• Si p(x) = 3− x2, aleshores p(x) = (3, 0,−1)CR[x]

Ara bé, en general determinar les coordenades d’un vector respecte a unabase equival a resoldre un sistema lineal.

15

Exemple 2

Determinem les coordenades dels vector ~u = (2,−1, 3) respecte a labase B = {(1, 2, 3), (0, 1, 2), (0, 0, 1)}.

Aquest problema és equivalent a la resolució del sistema lineal MtXX = U, on MB

és la matriu associada a la base B, U =

213

i X =

λ1λ2λ3

són les coordenades

que cerquem. La matriu ampliada d’aquest sistema és 1 0 0 22 1 0 −13 2 1 3

Resolent-lo per substitució progressiva obtenim

λ1 = 2, λ2 = −5, λ3 = 7

aixó que ~u = (2,−5, 7)B.

24.2.1. Extracció i completació de bases

Tot seguit veurem que si tenim un sistema generador finit, aleshores en podemextraure una base i que si tenim un conjunt linealment independent podemcompletar-lo fins a obtenir una base.Propietat 4

Si el conjunt finit S és sistema generador de l’espai vectorial no nulE, aleshores S conté un subconjunt que és base de l’espai.

Demostració: Si S no és base de l’espai, aleshores és lligat i, per tant conté un vectorque és combinació lineal dels altres. Siga S1 el subconjunt de S que resulta de suprimiraquest vector. Aleshores S1 també genera E. Si S1 tampoc no és base de E, podemcontinuar el procés trobant un S2, resultat de suprimir un nou vector... Com que Sés finit, el procés acaba necessàriament trobant en algun pas una base (el el cas mésdesfavorable, quan només queda un vector). �

Per exemple, el conjunt

S = {(1, 2,−1), (0,−1, 1), (3, 4,−1), (1, 0, 2)}

és sistema generador de R3 (perquè rang MS = 3), però no és linealment in-dependent (perquè rang M 6= 4). Així doncs, S conté una base de R3. Per a

16

obtenir-la hem de buscar un vector de S que siga combinació lineal dels altres.Això ho podem fer amb l’algorisme de Gauss:

~u1 = (1, 2,−1)~u2 = (0,−1, 1)~u3 = (3, 4,−1)~u4 = (1, 0, 2)

=⇒

~u1 = (1, 2,−1)~u2 = (0,−1, 1)

~u3 − 3~u1 = (0,−2, 2)~u4 − ~u1 = (0,−2, 3)

=⇒

~u1 = (1, 2,−1)~u2 = (0,−1, 1)

~u3 − 3~u1 − 2~u2 = (0, 0, 0)~u4 − ~u1 = (0,−2, 3)

així que ~u3 − 3~u1 − 2~u2 = (0, 0, 0) o, equivalentment,

~u3 = 3~u1 + 2~u2

Suprimint ~u3 ens queda el subconjunt S1 = {(0,−1, 1), (3, 4,−1), (1, 0, 2)}. Comque rang MS1 = 3 aquest conjunt és lliure i generador i, per tant, base de R3.Propietat 5

Si E és un espai vectorial de dimensió finita i S = {~u1,~u2, . . . ,~um}és un conjunt de vectors de E linealment independent (però no basede E) aleshores existeix una base de E que conté a S.

Demostració: Siga B una base finita de E. Com que S no és base de E, algun vectorde B no serà combinació lineal dels vectors de S. Aleshores li diem ~um+1 i l’afegim aS: siga S1 = S ∪ {~um+1}. Aques conjunt continua sent lliure., així que si és sistemagenerador ja hem acabat. En cas contrari, podem repetir el procés i construir el conjuntlliure S2 = S ∪ {~um+1,~um+2}, i així successivament. Com que B és finit, aquest procésacabarà en algun moment. �

Per exemple, el conjunt

S = {(1, 1, 1, 1), (0, 0,−1, 2)}

és lliure (però no generador de R4), així que algun vector de la base canònicade R4 no és combinació lineal dels de S. Observant la forma escalonada de lamatriu

MS =(

1 1 1 10 0 −1 2

)és immediat que afegint els vectors (0, 1, 0, 0) i (0, 0, 0, 1) continuem tenint unsistema lliure. Com que

rang

1 1 1 10 0 −1 20 1 0 00 0 0 1

= rang

1 1 1 10 1 0 00 0 −1 20 0 0 1

= 4

17

el conjuntB = {(1, 1, 1, 1), (0, 0,−1, 2), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 0, 1)}

és base de R4.

24.2.2. La dimensió d’un espai vectorial

A hores d’ara ja és evident que totes les bases de Rn tenen exactament n ele-ments. En aquest apartat veurem que en qualsevol espai vectorial de dimensiófinita totes les bases tenen el mateix cardinal.Lema 1

Si S és un sistema lliure de n vectors i m > n llavors qualsevolconjunt de m combinacions lineals dels elements de S és lligat.

Demostració: Suposem que S = {~u1,~u2, . . . ,~un} i que {~v1,~v2, . . . ,~vm} són combinaci-ons lineals dels vectors de S:

~v1 = α11~u1 + α21~u2 + · · ·+ αn1~un

~v2 = α12~u1 + α22~u2 + · · ·+ αn2~un

. . .~vm = α1m~u1 + α2m~u2 + · · ·+ αnm~un

Per estudiar-ne la dependència lineal considerem l’expressió

λ1~v1 + λ2~v2 + . . . λm~vm =~0

és a dir,

λ1 (α11~u1 + α21~u2 + · · ·+ αn1~un) +λ2 (α12~u1 + α22~u2 + · · ·+ αn2~un) +

· · ·+λm (α1m~u1 + α2m~u2 + · · ·+ αnm~un) =~0

que és equivalent a(m

∑k=1

α1kλk

)~u1 +

(m

∑k=1

α2kλk

)~u2 + · · ·+

(m

∑k=1

αnkλk

)~un =~0

Però com els vectors de S són linealment independents, això vol dir que

α11λ1 + α12λ2 + · · ·+ α1mλm = 0α21λ1 + α22λ2 + · · ·+ α2mλm = 0

. . .αn1λ1 + αn2λ2 + · · ·+ αnmλm = 0

18

que és un sistema homogeni amb més incògnites que equacions i per tant és compatibleindeterminat, de manera que el conjunt {~v1,~v2, . . . ,~vm} és lligat. �

Teorema 6En un espai de dimensió finita totes les bases tenen exactament elmateix nombre d’elements.

Demostració: Suposem que existeixen dues bases B1 i B2 de manera que B1 té n vectorsi B2 en té més (almenys n + 1). Aleshores, en B2 existeixen n + 1 elements que sóncombinacions lineals dels n vectors de B1. Tenint en compte el lema 1 B2 és lligat, encontra del fet de ser base. �

Definició 12Siga E un espai vectorial. Si E és de dimensió finita, anomenemdimensió de E (dim E) al nombre de vectors de qualsevol base.La dimensió de l’espai {~0} és zero.Si E no és l’espai {~0} ni és de dimensió finita, aleshores dim E = ∞.

Pels exemples de bases que hem vist anteriorment, podem assegurar que ladimensió de l’espai Rn és n i que la dels espais de matrius Mm,n és mn. Ladimensió de l’espai dels polinomis de grau menor o igual que n, Rn[x] és n + 1.Propietat 6

Si dim E = n, aleshores

1. Qualsevol conjunt lliure de n vectors és base.

2. Qualsevol sistema generador de n vectors és base.

Demostració: Siga B = {~v1,~v2, . . . ,~vn} una base de E.Per provar 1, suposem que existís un conjunt lliure S = {~u1,~u2, . . . ,~un} que no fos

base. Aleshores algun vector ~un+1 ∈ E no n’és combinació lineal; aleshores, el conjunt{~u1,~u2, . . . ,~un,~un+1} també és lliure. Ara bé, aquests n + 1 vectors són combinacionslineals dels n vectors de la base B, de manera que segons el lema 1 han de ser lligats.

D’altra banda, si S és un sistema generador amb n elements i no és base, segons lapropietat 4, existeix una base B ⊂ S, però aleshores B contindria menys de n vectors.

�

En el cas de l’espai vectorial Rn també podem caracteritzar les bases mitjan-çant la matriu associada:

19

Teorema 7Siga B un conjunt de n vectors en l’espai Rn. Les següents afirmaci-ons són equivalents

1. B és base de Rn

2. rang MB = n

3. MB és una matriu regular.

Per exemple, podem assegurar que el conjunt

B = {(0, 1, 0, 1), (1, 0, 2,−1), (0, 0, 0, 1), (1, 2, 3, 4)}

és una base de R4, perquè∣∣∣∣∣∣∣∣0 1 0 11 0 2 −10 0 0 11 2 3 4

∣∣∣∣∣∣∣∣ = −

∣∣∣∣∣∣0 1 01 0 21 2 3

∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣1 21 3

∣∣∣∣ = 1

i per tant, MB és regular.Propietat 7

Si F és un subespai propi de l’espai de dimensió finita E, aleshoresF també és de dimensió finita i

0 < dim F < dim E

Demostració: Si F no fos de dimensió finita podríem trobar en F (i per tant en E) mésde n vectors linealment independents, de manera que F ha de ser de dimensió finita.

Siguen m i n les dimensions de F i E respectivament. Si F és un subespai propi de Ei BF una base de F, aleshores BF no és base de E. Com que és un conjunt lliure formatper m vectors, pel teorema de completació s’hi poden afegir vectors fins completar unabase de E. Per tant, n < m �

Per exemple, en R3 els subespais propis tenen dimensió 1 o dimensió 2. Elssubespais de dimensió 1 són les rectes que passen per l’origen; els de dimensió2 són els plànols que contenen l’origen.

24.2.3. Canvi de base

Suposem que E és un espai vectorial de dimensió n i que

B1 = {~u1,~u2, . . . ,~un} B2 = {~v1,~v2, . . . ,~vn}

20

són dues bases de E. Si ~u és un vector qualsevol de E, aleshores ~u tindrà unescoordenades respecte a cada una d’aquestes bases:

~u = (α1, α2, . . . , αn)B1 = (β1, β2, . . . , βn)B2

Tot seguit estudiem el següent problema: ¿quina relació hi ha entre les coorde-nades αi i βi?

Com que B2 és base de l’espai E, cada vector de B − 1 és combinació linealdels vectors de B2:

~u1 = α11~v1 + α12~v2 + · · ·+ α1n~vn

~u2 = α21~v1 + α22~v2 + · · ·+ α2n~vn

. . .~un = αn1~v1 + αn2~v2 + · · ·+ αnn~vn

i, per tant,

~u = α1~u1 + α2~u2 + · · ·+ αn~un

=

(n

∑i=1

αi1αi

)~v1 +

(n

∑i=1

αi2αi

)~v2 + · · ·+

(n

∑i=1

αinαi

)~vn

És a dir, β1β2. . .βn

=

α11 α21 . . . αn1α12 α22 . . . αn2. . .α1n α2n . . . αnn

α1α2. . .αn

Si representem com MB1,B2 la matriu (αij), tenim

[~u]B2 = MB1B2 [~u]B1

Aquesta expressió es coneix com fórmula del canvi de base, perquè ens permetcanviar les coordenades de qualsevol vector en la base B1 a la base B2.Definició 13

Si B1 i B2 són bases de l’espai de dimensió n E, la matriu

MB1B2 =

α11 α21 . . . αn1α12 α22 . . . αn2. . .α1n α2n . . . αnn

les columnes de la qual són les coordenades dels vectors de B1 res-pecte a B2, rep el nom de matriu de canvi de base de B1 a B2.

21

Propietat 8Donades dues bases B1 i B2, les matrius de canvi de B1 a B2 i de B2a B1 són inverses l’una de l’altra, és a dir,

MB2B1 = M−1B1B2

Demostració: Per a qualsevol vector ~u tenim

MB1B2 [~u]B1 = [~u]B2 MB2B1 [~u]B2 = [~u]B1

així queMB2B1MB1B2 [~u]B1 = [~u]B1

Si apliquem aquesta igualtat a tots els vectors de la base B1 resulta que

MB2B1MB1B2

10...0

10...0

MB2B1MB1B2

01...0

01...0

. . . MB2B1MB1B2

00...1

00...1

Totes aquestes expressions es poden reunir en una sola:

MB2B1MB1B2

1 0 . . . 00 1 . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . 1

1 0 . . . 00 1 . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . 1

que és equivalent a

MB2B1MB1B2 = I �

Exemple 3

Donada la base de R3 B = {(1, 0,−1), (1,−1, 0), (0, 1, 1)}, anem aresoldre els dos problemes següents:

1. Determineu les coordenades canòniques del vector ~u =(2, 3,−1)B

2. Trobeu les coordenades respecte a la base B del vector ~v =(1, 2, 3).

El primer problema es resol simplement amb una multiplicació, perqué la ma-triu de canvi de B a la base canònica és la que té per columnes els vectors de

22

B:

MBC3 =

1 1 00 −1 1−1 0 1

Així que

[~u]C3 = MBC3 [~u]B =

1 1 00 −1 1−1 0 1

23−1

=

5−4−3

en altres paraules, ~u = (5,−4,−3)C3 = (5,−4,−3).

Per a resoldre el segon problema podríem començar per invertir la matriu

MBC3 i després multiplicar la matriu obtinguda per(

123

). Però resulta més cò-

mode (i econòmic) resoldre el sistema lineal

MBC3X =

123

Aplicant l’algorisme de Gauss-Jordan a aquest sistema tenim 1 1 0 1

0 −1 1 2−1 0 1 3

E3,1(1)−−−→

1 1 0 10 −1 1 20 1 1 4

E3,2(1)−−−→

1 1 0 10 −1 1 20 0 2 6

E2−1E3(1/2)−−−−−−−→

1 1 0 10 1 −1 −20 0 1 3

E2,31−−→

1 1 0 10 1 0 10 0 1 3

E1,2−1−−−→

1 0 0 00 1 0 10 0 1 3

així que ~v = (0, 1, 3)B.Exemple 4

Calculem les coordenades de la matriu(

1 23 4

)respecte a la base

B ={(

1 00 0) (

1 10 0) (

1 11 0

) (1 11 1

)}Si A =

(1 23 4

)i C2,2 és la base canònica de M2, [A]C2,2 =

( 1234

). Així que

[A]B = MC2,2B[A]C2,2

D’altra banda, no coneixem explícitament la matriu MC2,2B, però si la seua in-versa MBC2,2 :

MBC2,2 =

1 1 1 10 1 1 10 0 1 10 0 0 1

23

Com en l’exemple anterior, el problema es redueix a buscar la forma escalonadareduïda de

1 1 1 1 10 1 1 1 20 0 1 1 30 0 0 1 4

fent això s’obté que ~v = (−1,−1,−1, 4)B.

Finalment, si hem de calcular explícitament la matriu de canvi entre duesbases B1 i B2 podem procedir de la següent manera:

Es tracta de escriure cada vector de la base B1 com a combinació lineal delsvectors de la base B2, la qual cosa és equivalent a resoldre n sistemes linealssimultanis: els que tenen com a matriu de coeficients la matriu MB2 i com atermes independents els vectors de B1, és a dir, les columnes de MB1 .

Com ja sabem, aquest problema es pot resoldre fent ús de l’algorisme deGauss-Jordan sobre la matriu [ MB2 MB1 ]. En altres paraules, l’algorisme deGauss-Jordan transforma [ MB2 MB1 ] en [ I MB1B2 ] (dit d’una altra manera,MB1B2 = M−1

B2MB1).

Exemple 5Càlcul de la matriu de canvi de la baseB1 = {(1, 0, 1), (1, 2, 0), (1, 1, 1)} a la base B2 ={(2, 0, 1), (1,−1, 1), (0, 0, 1)}.

Escalonant la matriu 2 0 1 1 0 11 −1 1 1 2 00 0 1 1 1 1

obtenim 1 0 0 5 −1 1

0 1 0 −2 0 00 0 1 −3 1 0

així que la matriu que busquem és

MB1B2 =

5 −1 1−2 0 0−3 1 0

24.3. Suma de subespais

Com que la unió de dos subespais d’un espai vectorial no té perquè ser unsubespai, s’introdueix el concepte de suma de subespais.

24

Definició 14Siga E un espai vectorial i siguen F i G subespais de E. La suma deF i G és el conjunt de totes les sumes d’un element de F més un deG:

F + G = {~x +~y : ~x ∈ F, ~y ∈ G}

La relació entre la suma i la unió de subespais s’expressa en la següent propietat:Propietat 9

Si E és un espai vectorial i F i G són subespais de E aleshores, lasuma F + G és l’embolcall lineal de F ∪ G:

F + G = 〈F ∪ G〉

Demostració: Primer de tot, cal provar que F + G és un subespai de E:

1. Com que~0 ∈ F i~0 ∈ G,~0 =~0 +~0 ∈ F ∪ G

2. Si ~x,~y són elements de F + G, llavors ~x = ~u1 +~v1 i ~y = ~u2 +~v2, on ~u1,~u2 ∈ F i~v1,~v2 ∈ G, així que ~x +~y = (~u1 + ~u2) + (~v1 +~v2) ∈ F + G

3. Si ~x és un element de F + G, llavors ~x = ~u +~v, on ~u ∈ F i ~v ∈ G, així que, si λ ésun escalar, λ~x = λ~u + λ~v ∈ F + G.

D’altra banda, qualsevol subespai H que continga a F ∪ G també conté totes lessumes d’un vector de F més un altre de G, així qque F + G ⊂ H, la qual cosa demostraque F + G = 〈F ∪ G〉. �

és evident que la unió d’una base de F i una de G és un sistema generadorde F + G, però no té perquè ser una base. Per exemple, si

F = 〈(1, 0, 0, 0), (1, 1, 0, 0)〉 , G = 〈(0, 1, 0, 0), (0, 1, 1, 0)〉

és clar que BF = {(1, 0, 0, 0), (1, 1, 0, 0)} i BG = {(0, 1, 0, 0), (0, 1, 1, 0)} són basesde F i G respectivament, però S = B f ∪BG = {(1, 0, 0, 0), (1, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 1, 1, 0)}no és linealment independent, ja que

(1, 0, 0, 0)− (1, 1, 0, 0) + (0, 1, 0, 0) = (0, 0, 0, 0)

Suprimint, per exemple, el primer vector ens queda el conjunt

B = {(1, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 1, 1, 0)}

que si que és una base de F + G.Per tant, en general dim(F + G) ≤ dim F + dim G. Més exactament,

25

Teorema 8Si F i G són subespais de l’espai vectorial de dimensió finita E, ales-hores

dim(F + G) = dim F + dim G− dim(F ∩ G)

24.3.1. La suma directaDefinició 15

Si F i G són dos subespais de l’espai vectorial E es diu que la sumaF + G és directa si

F ∩ G = {~0}La suma directa es representa com F⊕ G

Propietat 10Les següents afirmacions són equivalents:

1. La suma F + G és directa

2. Si ~x ∈ F i ~y ∈ G llavors,

~x +~y =~0 =⇒ ~x = ~y =~0

3. La descomposició d’un vector de F + G com a suma d’un deF i un de G és única.

4. dim(F + G) = dim F + dim G.

Per exemple, en R4 la suma dels subespais F = 〈(1, 2, 0, 0), (1, 0, 1, 1)〉 i G =〈(0, 1, 0, 0)〉 és directa, perquè

rang

1 2 0 01 0 1 10 1 0 0

= 3

i per tant, dim F + dim G = dim F + G.

24.4. Bases ortonormals en Rn

En moltes aplicacions geomètriques és convenient que fem servir bases ortonor-mals, és a dir, formades per vectors unitaris i ortogonals dos a dos.

26

Propietat 11

Si S = {~u1,~u2,~up} ⊂ Rn és un conjut de vectors ortogonal, alesho-res S és lliure.

Demostració: Hem de provar que si

λ1~u1 + λ2~u2 + · · ·+ λp~up =~0 (2)

aleshores tots els escalars són nuls.Ara bé, multiplicant escalarment l’expressió 2 pel vector ~u1 obtenim

(λ1~u1 + λ2~u2 + · · ·+ λp~up) · ~u1 =~0 · ~u1

λ1~u1 · ~u1 + λ2~u2 · ~u1 + · · ·+ λp~up · ~u1 = 0λ1 ‖u1‖ = 0

així que λ1 = 0. De la mateixa manera es prova que la resta d’escalars són tambénuls. �

Com a conseqüència d’aquesta propietat, qualsevol sistema ortonormal den vectors en Rn és una base. La següent propietat és trivial.Propietat 12

Un conjunt B de n vectors de Rn és una base ortonormal si i noméssi MB és una matriu ortogonal.

Per acabar veurem com és de fàcil trobar les coordenades d’un vector res-pecte a una base ortonormal.Propietat 13

Si B = {~q1,~q2, . . . ,~qn} és una base ortonormal de Rn aleshores per aqualsevol vector ~u,

~u = (~u ·~q1)~q1 + (~u ·~q2)~q2 + · · ·+ (~u ·~qn)~qn

és a dir, que les coordenades de ~u respecte a la base B són els pro-ductes escalars de ~u pels vectors de B.

Demostració: El vector ~u és combinació lineal dels elements de la base B:

~u = λ1~q1 + λ2~q2 + · · ·+ λn~qn

Multiplicant escalarment aquesta expressió per ~q1 tindrem

~u ·~q1 = (λ1~q1 + λ2~q2 + · · ·+ λn~qn) ·~q1

= λ1~q1 ·~q1 + λ2~q2 ·~q1 + · · ·+ λn~qn ·~q1

= λ1

27

de la mateixa manera es prova que

~u ·~q2 = λ2, . . . ,~u ·~qn = λn �

Per exemple, com que la base B = {(1, 0, 0), (0,√

3/2, 1/2), (0,−1/2,√

3/2)}és ortonormal, les coordenades del vector ~u = (1, 1, 1) respecte a aquesta basesón

[~u]B =

(1, 1, 1) · (1, 0, 0)(1, 1, 1) · (0,

√3/2, 1/2)

(1, 1, 1) · (0,−1/2,√

3/2)

=

1(1 +

√3)/2

(−1 +√

3)/2)

24.4.1. El complement ortogonal

És fàcil provar que en un espai vectorial el conjunt ortogonal a qualsevol conjuntde vectors és un subespai vectorial. Ací estudiarem el subespai ortogonal a unsubespai donat.Teorema 9

Si F és un subespai vectorial de Rn i F⊥ és el subespai ortogonal a Faleshores Rn = F⊕ F⊥.

Demostració: Primer de tot, veurem que la suma és directa provant que F ∩ F⊥ ={~0}: si un vector ~u es troba simultàniament en F i en el seu ortogonal, aleshores ~u ésortogonal a ell mateix, així que ~u · ~u = 0 i ~u =~0.

Ara bastarà que provem que dim F + dim F⊥ = n: si dim F = r i B és una base deF, aleshores MB és una matriu r × n de rang r. Els vectors de F⊥ són les solucions delsistema homogeni MBX = O. Però com aquest sistema lineal té n− r variables lliures,F⊥ és un subepai de dimensió n− r. �

Aquest teorema ens diu que, donat un subespai F, qualsevol vector de Rn espot escriure de forma única com a suma d’un vector de F i un altre de F⊥:

~u = ~u1 + ~u2, ~u1 ∈ F, ~u2 ∈ F⊥

Aleshores, diem que ~u1 és la projecció ortogonal del vector ~u sobre F.Si BF = {~q1,~q2, . . . ,~qr} és una base ortogonal del subespai F, llavors la pro-

jecció ortogonal d’un vector ~u sobre F és

~u1 = (~u ·~q1)~q1 + (~u ·~q2)~q2 + . . . (~u ·~qr)~qr

28

Unitat Temàtica 25. Espais vectorials i matrius

25.1. Els quatre espais d’una matriu

A partir d’una matriu m × n deduirem quatre espais vectorials especials: elsespais fila i columna i els espais nuls.Definició 16

Siga A una matriu m × n. Anomenem espai columna de la matriuA a l’embolcall lineal de les columnes de A. Aquest subespai de Rm

es representa com Col A.Anàlogament, l’espai fila de A és l’embolcall lineal de les files de A.L’espai columna és un subespai de Rn i es representa com Col A.

Per exemple, si A =(

1 2 34 5 6

)aleshores F(A) = 〈(1, 2, 3), (4, 5, 6)〉 i C(A) =

〈(1, 4), (2, 5), (3, 6)〉.Propietat 14

El conjunt de les files no nules d’una matriu escalonada és lineal-ment independent.

Demostració: Suposem que A és escalonada i que A1, A2, . . . , Ap són les files no nulesde A. Aquestes files seran independents si el sistema d’equacions lineals α1A1 + α2A2 +· · · + αpAp = O és determinat. Però això és cert perquè rang

(At

1 At2 . . . At

p)

=rang A = p. �

Sabem que quan realitzem operacions elementals sobre un sistema de vec-tors n’obtindrem un altre d’equivalent. Així doncs, si R és la forma escalonadareduïda de la matriu A tindrem que Fil A = Fil R. Per tant, tenint en comptela propietat anterior, les files no nules de la matriu R (o de qualsevol altra for-ma escalonada de A) constitueixen una base de Fil A. Per tant, per a qualsevolmatriu A ∈ Mm,n,

rang A = dim Fil A.

I com que les columnes d’A són les files de la seua matriu transposta, re-sulta també que les files no nules de qualsevol forma escalonada de At formenuna base de Col A. Ara bé, com que els rangs de A i At coincideixen, podemconcloure el següent resultat important:Teorema 10

Per a qualsevol matriu A ∈ Mm,n,

rang A = dim Fil A = rang At = dim Col A

29

Exemple 6Determinem els espais fila i columna de la matriu

A =

1 −1 2 4 03 3 0 2 11 2 −1 0 11 −1 2 6 1

La forma escalonada reduïda de A és

1 0 1 0 −10 1 −1 0 10 0 0 1 1/20 0 0 0 0

. De manera que

Fil A = 〈(1, 0, 1, 0,−1), (0, 1,−1, 0, 1), (0, 0, 0, 1, 1/2)〉

D’altra banda, la forma escalonada reduïda de At és

1 0 0 20 1 0 −10 0 1 20 0 0 00 0 0 0

. Per

tant,Col A = 〈(1, 0, 0, 2), (0, 1, 0,−1), (0, 0, 1, 2)〉

Tot seguit definirem els espais nuls.Propietat 15

Per a qualsevol matriu A ∈ Mm,n el conjunt de solucions del siste-ma lineal homogeni AX = O és un subespai vectorial de Rn.

Demostració: Farem servir el teorema de caracterització de subespais:

1. Ja sabem que el vector zero és solució de qualsevol sistema homogeni.

2. Si U i V són solucions del sistema, aleshores

AU = OAV = O

}=⇒ A(U + V) = AU + AV = O

3. Si λ és un escalar i U una solució del sistema, aleshores,

AU = O =⇒ A(λU) = λAU = O �

30

Definició 17Anomenem espai nul o nucli de la matriu A ∈ Mm,n al conjunt desolucions del sistema lineal homogeni AX = O. El representaremcom Nuc A o bé com ker A.

Exemple 7Calculem el nucli de la matriu A de l’exemple anterior.

Si R és la forma escalonada reduïda de la matriu A, aleshores Nuc A = Nuc R,és a dir, el sistema AX = O és equivalent a

1 0 1 0 −10 1 −1 0 10 0 0 1 1/20 0 0 0 0

X = O

de manera que

Nuc A ={

(x1, x2, x3, x4, x5) : x1 + x3 − x5 = 0, x2 − x3 + x5 = 0, x4 +12

x5 = 0}

=⟨

(−1, 1, 1, 0, 0), (1,−1, 0,−12

, 1)⟩

El resultat més important d’aquest apartat és el següent:Teorema 11

Per a qualsevol matriu quadrada A ∈ Mn, l’espai nul de la matriuA és el complement ortogonal de l’espai fila Fil A. Per tant,

Rn = Nuc A⊕ Fil A

Anàlogament, l’espai nul de la matriu trasposta At és el complementortogonal de l’espai columna Col A. Per tant,

Rm = Nuc At ⊕Col A

En conseqüència,

dim Nuc A + rang A = dim Nuc A + dim Fil A = n

dim Nuc At + rang A = dim Nuc At + dim Col A = m

31

Demostració: L’única cosa que cal demostrar és que (Fil A)⊥ = Nuc A. Ara bé, unvector ~u = (u1, u2, . . . , un) és ortogonal a l’espai fila Fil A si i només si és ortogonal atotes les files de la matriu A, o, equivalentment, si i només si

A

u1u2...

un

= O

és a dir, si i només si ~u ∈ Nuc A. �

Com a exemple geomètric, en R3 l’embolcall lineal de dos vectors linealmentindependents, com ara ~u = (1, 2, 0) i ~v = (0, 1, 1), és un plànol. Llavors aquestplànol és l’espai fila de la matriu

(1 2 00 1 1

)El nucli d’aquesta matriu, és a dir la

solució del sistema lineal (1 2 00 1 1

)xyz

= O

és la recta normal (ortogonal) al pla:

Nuc A = 〈(2,−1, 1)〉

25.2. Subespais de Rn

Al llarg d’aquest tema hem vist com es poden interpretar diversos problemesamb conjunts finits S = {~u1,~u2, . . . ,~um} de vectors de Rn fent servir les propi-etats de la matriu MS les files de la qual són els vectors de S. En resum, el quehem vist al respecte és el següent:

1. El conjunt S és sistema generador de Rn i i només si rang MS = n

2. El conjunt S és lliure si i només si rang MS = m

3. El conjunt S és base de Rn si i només si MS és una matriu d’ordre n regular

4. Si S és una base de Rn aleshores MtS = MS,Cn , és a dir, MS és la trasposta

de la matriu de canvi de la base S a la base canònica.

Tot seguit estudiarem diversos problemes sobre subespais de Rn que es po-den resoldre fàcilment amb l’ajut d’aquesta matriu.

32

25.2.1. La base canònica d’un subespai

Si F és un subespai vectorial de Rn i S un sistema generador finit de F, per cal-cular una base allò més senzilla possible de F podem procedir de la següentmanera: Considerem la matriu MS (F és l’espai fila d’aquesta matriu). Calcu-lem una forma escalonada de MS. Les files no nules de la forma escalonadaobtinguda formen la base que volíem.

És clar que la base serà més simple si en lloc de contentar-nos amb una formaescalonada qualsevol calculem la forma escalonada reduïda.Definició 18

Si S és un sistema generador finit del subespai de Rn F, aleshores labase canònica de F és la formada per les files no nul.les de la formaescalonada reduïda de onmMS.

Exemple 8Donat el conjunt de vectors

S = {(1,−1, 2, 4, 0), (3, 3, 0, 2, 1), (1, 2,−1, 0, 1), (1,−1, 2, 6, 1)}

MS és la matriu A de l’exemple 6. La forma escalonada reduïda

d’aquesta matriu és R =

1 0 1 0 −10 1 −1 0 10 0 0 1 1/20 0 0 0 0

, de manera que la

base canònica de 〈S〉 és

B = {(1, 0, 1, 0,−1), (0, 1,−1, 0, 1), (0, 0, 0, 1, 1/2)}

25.2.2. Equacions d’un subespai

En aquesta secció veurem que tot subespai de Rn és el nucli d’una certa ma-triu, és a dir que podem identificar-lo com el conjunt de solucions d’un sistemalineal. Les equacions d’aquest sistema es coneixen com equacions implícites delsubespai.

Per provar-ho, partim d’un sistema generador S = {~u1,~u2, . . . ,~up} del subes-pai. Un vector ~x = (x1, x2, . . . , xn) serà un element d’〈S〉 si és combinació lineald’~u1, ~u2, . . . , ~up, és a dir, si el sistema lineal Mt

SY = X (on X =(x1 x2 . . . xn

)t)és compatible. En altres paraules, ~x ∈ 〈S〉 si i només si rang(Mt

S|X) = rang MtS.

Partint d’aquesta condició i escalonant la matriu (MtS|X) s’arriba fàcilment a les

33

equacions del subespai.Exemple 9

Càlcul de les equacions del subespai

F = 〈(1,−1, 2, 4, 0), (3, 3, 0, 2, 1), (1, 2,−1, 0, 1), (1,−1, 2, 6, 1)〉

Escalonant la matriu

1 3 1 1 x1−1 3 2 −1 x22 0 −1 2 x34 2 0 6 x40 1 1 1 x5

obtenim

1 3 1 1 x10 1 1 1 x50 0 3 6 −2x1+6x5+x30 0 0 0 −2x3+x4−2x50 0 0 0 −x1+x2+x3

I les condicions que s’han de satisfer perquè aquesta matriu tinga rang 3 són:

−2x3 + x4 − 2x5 = 0 − x1 + x2 + x3 = 0

de manera que

F = {(x1, x2, x3, x4, x5) : −x1 + x2 + x3 = 0, −2x3 + x4 − 2x5 = 0}

= Nuc(−1 1 1 0 00 0 −2 1 −2

)Observem finalment que, si S és un sistema de vectors en Rn, aleshores el

nombre mínim d’equacions d’〈S〉 és n−dim 〈S〉 (perquè en escalonar MS s’obtenenn− dim 〈S〉 files nules).

25.2.3. Intersecció de subespais

Si F i G són subespais de Rn és evident que la intersecció F ∩ G estarà forma-da pels vectors que verifiquen tant les equacions d’F com les de G. En altres

paraules, si F = Nuc M1 i G = Nuc M2, aleshores F ∩ G = Nuc(

M1M2

).

34

Exemple 10

Calculem la intersecció dels subespais de R4,

F = 〈(1, 2, 0,−1), (0, 1, 1, 0)〉G = {(x1, x2, x3, x4) : x1 + x2 − x3 + 2x4 = 0}

primer de tot cercarem les equacions de F: escalonem la matriu

( 1 0 x12 1 x20 1 x3−1 0 x4

)

1 0 x12 1 x20 1 x3−1 0 x4

E2,1(−2)E4,1(1)−−−−−−−−→

1 0 x10 1 −2x1 + x20 1 x30 0 x1 + x4

E3,2(−1)−−−−→

1 0 x10 1 −2x1 + x20 0 2x1 − x2 + x30 0 x1 + x4

Així que les equacions de F són: 2x1 − x2 + x3 = 0, x1 + x4 = 0 i

F∩G = {(x1, x2, x3, x4) : 2x1− x2 + x3 = 0, x1 + x4 = 0, x1 + x2− x3 + 2x4 = 0}

Si volem calcular una base de F ∩ G resolem aquest sistema lineal:

2x1 − x2 + x3 = 0x1 + x4 = 0x1 + x2 − x3 + 2x4 = 0

Com que la forma escalonada reduïda de la matriu( 2 −1 1 0 0

1 0 0 1 01 1 −1 2 0

)és( 1 0 0 0 0

0 1 −1 0 00 0 0 1 0

),

la solució general del sistema és x1 = 0, x2 = λ, x3 = λ, x4 = 0, així que B ={(0, 1, 1, 0)} és una base de F ∩ G.

25.2.4. Suma de subespais

Si S1 i S2 són sistemes generadros dels subespais de Rn F i G, aleshores S1 ∪ S2és un sistema generador de F + G, així que per a trobar-ne una base escalonaremla matriu MS1∪S2 . Les files no nul.les de la forma escalonada reduïda d’aquestamatriu són la base canònica de F + G.Exemple 11

Càlcul de la suma dels subespais de R4,

F = 〈(1, 2, 0,−1)〉 , (0, 1, 1, 0)G = {(x1, x2, x3, x4) : x1 + x2 − x3 + 2x4 = 0}

35

Ja tenim una base de F. Per a trobar-ne una de G resolem l’equació lineal

x1 + x2 − x3 + 2x4 = 0

La solució general d’aquesta equació és x1 = −λ + µ− 2τ, x2 = λ, x3 = µ, x4 =τ així que

BG = {(−1, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 0), (2, 0, 0, 1)}és base de G. Així doncs, F + G és l’esapi fila de la matriu

M =

1 2 0 −10 1 1 0−1 1 0 01 0 1 0−2 0 0 1

La forma escalonada reduïda d’aquesta matriu és

R =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 10 0 0 0

així que la base canònica de F + G és {(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)}i F + G = R4.

Aquest resultat es podia haver deduït del fet que

dim(F + G) = dim F + dim G− dim(F ∩ G) = 2 + 3− 1 = 4

36