ARBOLES BINOMIALES

Profesor: Jos Cuevas Labra

INTRODUCCIN

Esta es una de las tcnicas de valoracin de opcionesms til y utilizadas, ya que representa lastrayectorias posibles que puede seguir el activosubyacente. Uno de las principios en los que se basaesta tcnica, es que los individuos son neutrales alriesgo y no hay posibilidades de arbitraje.

INTRODUCCIN

Considere una cartera compuesta por acciones y laopcin. Para que no haya incertidumbre sobre el valorde la cartera al final del perodo.

Dado que la cartera no tiene riesgo, el rendimientogenerado por ella debe ser igual a la tasa de interslibre de riesgo.

INTRODUCCIN

S0f

Precio acciones es So.Una opcin sobre las acciones cuyo precio actual es f.Supongamos la accin dura un perodo T.Durante la vida de la opcin y el precio de las acciones se mueve:

Por encima de So hasta nivel S0u.Hacia abajo hasta un nuevo nivel S0d.u > 1; d < 1.

S0u Precio accin fu Precio opcin

S0dfd

Modelo Binomial de un periodo

Si hay un movimiento de subida en el precio de las acciones, el valor de la cartera al final de la vida de la opcin es:

S0u - fuSi hay un movimiento de bajada en el precio de las acciones, el valor de la cartera al final de la vida de la opcin es:

S0u - fd

Igualacin:

(veremos este concepto ms adelante con ms detalle)Esta ultima ecuacin muestra que es el ratio entre el incremento en el precio de la opcin y la variacin en el precio de las acciones al movernos en el rbol binomial.

dSuSff

ofddSfuS

du

ou

00

0

=

=

ARBOLES BINOMIALES

Las siguientes ecuaciones permiten valorar una opcin el modelo binomial de un periodo.

q = 1 p q es la probabilidad de una baja en el precio de las acciones.Podemos asociar a p como la probabilidad de una subida en el precio de las acciones.

[ ]

dudep

dondefpfpef

Tr

duTr

=

+=

)1(

POSICIN NEUTRAL AL RIESGO

Debemos observar que el beneficio bruto esperado de la opcin ser:

Por lo tanto, la ecuacin anterior f indica el valor de la opcin hoy, que es el valor esperado descontado a la tasa de inters libre de riesgo. Ahora el valor esperado de las acciones, suponiendo una probabilidad p. El precio esperado de las acciones en el momento T es:

Lo que indica que el precio de las acciones crece en proporcin a la tasa de inters libre de riesgo.

du fpfp + )1(

TrT eSSE

= 0)(

ARBOLES BINOMIALES DE 2 PERIODOS

El precio inicial de las acciones es S0Este precio se mueve hacia arriba u veces o hacia abajo d veces.La tasa inters libre de riesgo es rDuracin periodo es t aos.

Sustituyendo la ecuacin fu y fu en f, tenemos:

[ ][ ][ ]dutr

ddudtr

d

uduutr

u

fppfeffppfeffppfef

)1(

)1(

)1(

+=

+=

+=

ARBOLES BINOMIALES DE 2 PERIODOS

Variables p2, 2p(1-p), y (1-p)2 son las probabilidades de obtener nodos; alto, medio y bajo finales.

Modelo binomial de dos periodos:

Sof

S0ufu

S0dfd

S0u2F u u

S0udF u d

S0d2F d d

Arboles binomialesIntroduccinIntroduccinIntroduccinNmero de diapositiva 5Arboles binomialesPosicin neutral al riesgoArboles binomiales de 2 periodosArboles binomiales de 2 periodos