Arch Ivo 1010

Conceptos Básicos Sobre La Aproximación De Ecuaciones

Diferenciales a Diferencia Finitas

Simulación de Yacimientos

Universidad Industrial de Santander2014

Contenido

1. Introducción.2. Condiciones para obtener ecuación diferenciales.

2.1. Discretización.2.2. Series de Taylor.

2.3. Aproximaciones (Progresivo, regresivo, centra, segunda derivada, trascendentales)

3. Criterios tenido en cuenta para la selección de un esquema de aproximación.3.1. Errores de truncamientos.3.2. Errores de estabilidad. 3.3. Errores de convergencia.3.4. Errores de consistencia.3.5. Errores de redondez.

4. Conclusiones.5. Bibliografía.

Introducción

El método de las diferencias finitas sirve para aproximar la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales.

Fuente: http://newtonyleibnizcalculomatematico.blogspot.com/

𝜕2𝑃𝜕𝑟 2

+ 1𝑟𝜕𝑃𝜕𝑟

=∅ 𝜇𝐶𝑡

𝐾 (𝜕𝑃𝜕𝑡 )𝜕2𝑃𝜕𝑥

=(𝜕𝑃𝜕𝑡 )

Discretización

Se divide en un número de celdas, grids o bloques superponiendo algún tipo de malla.

El dominio espacial

Se discretiza en un número de pasos de tiempo, para obtener nuevos valores de los parámetros dependientes.

El tiempo

Acción de dividir el yacimiento en un número determinado de bloques e intervalos de tiempo.

Discretización

Simulación de yacimientos I, Gildardo Osorio, pagina 4

FORMA ANALÍTICA FORMA NUMÉRICA

Discretización

Simulación de yacimientos I, Gildardo Osorio, pagina 4

Condiciones

El método más comúnmente utilizado para dar solución numérica.

• Series de Taylor.

𝑓 (𝑥)=∑𝑛=0

𝑛 𝑓 (𝑛 )(𝑎)(𝑥−𝑎)𝑛

𝑛 !Fuente: Gildardo Osorio, Notas de simulación de yacimientos, Pág. 7

Condiciones

Fuente: Notas de Espinoza y Niño sobre métodos de diferencial finitas, Pág. 8.

APRO

XIM

ACIO

NES PROGRESIVA

REGRESIVA

CENTRAL

El incremento entre dos puntos sucesivos, Xi y Xi + 1 , está dado por la diferencia finita Δx .

• Aproximaciones progresiva.

Condiciones

Fuente: Gildardo Osorio, Notas de simulación de yacimientos, Pág. 9

El incremento entre dos puntos sucesivos, Xi-1 y Xi , está dado por la diferencia finita -Δx .

• Aproximaciones regresiva.

Condiciones


Basados en una diferencia entre la aproximación progresiva y la regresiva obtenemos:

• Aproximaciones central.

Condiciones

Fuente: Gildardo Osorio, Notas de simulación de yacimientos, Pág. 13-14

Basados en una suma entre la aproximación progresiva y la regresiva obtenemos:

• Aproximaciones segunda derivada.


Condiciones

Condiciones

Las diferencias espaciales finitas, son expandidas con respecto a particiones finitas con respecto al tiempo, evaluando valores de presión con respecto al tiempo en un punto del espacio.

• Aproximaciones trascendentales.

Su principal uso es saber en tiempo futuros que sucede en el bloque.

• Aproximaciones trascendental.

Condiciones

Progresiva

Regresiva

Centrada

• Aproximaciones trascendental de la segunda derivada.

Condiciones

ExplicitoImplícitoCrank-Nicholson

Condiciones

Forma de los esquemas explícito, implícito y Crank-Nicholson.Fuente: Gildardo Osorio, Notas de simulación de yacimientos, Fig 3.11.

criterios

Error de truncamiento Estabilidad Convergencia Consistencia

Criterios

ECUACIÓN DIFERENCIAL

ECUACIÓN EN DIFERENCIA FINITAT= -

EJEMPLO : ERROR DE TRUNCAMIENTO PARA EXPLÍCITO

Criterios :Truncamiento

Criterios :Truncamiento

Criterios :Estabilidad

Cambio de presión en un punto en función del tiempo.Fuente: Gildardo Osorio, Notas de simulación de yacimientos, Fig 3.13.

Estabilidad

Método de karplus Método de Von Neumman ó

Análisis Armónico

Criterios :

Criterio de Karplus

EJEMPLO: Determinar si la aproximación explícita es estable

PASO 1

PASO 2

*Si todos los coeficientes son negativos, la aproximación es estable. PASO 3Si algunos de los coeficientes son negativos, su suma debe ser 0

ESTABLE

CRITERIOS :Estabilidad

EJEMPLO: Determinar si la aproximación explícita es estable

PASO 1

PASO 2No todos los coeficientes son menores que 0.

PASO 3Para que sea estable la condición es que su suma debe ser menor o igual a 0

ESTABLE

EstabilidadCriterios :

Criterios :Estabilidad

Método de Von Neumman ó Análisis Armónico

Para un esquema implícito estable se cumple:

Restando la aproximación y expandiendo mediante series de Fourier:

LA SOLUCIÓN EXACTA SATISFACE EL ESQUEMA

ConvergenciaCuando las particiones tienden a cero quiere decir que en un punto Xi+1 y Xi tienden hacer aproximadamente iguales, ocasionado convergencia.

Fuente: http://procalmetsl.blogspot.com

Criterios :

Consistencia Un esquema numérico es consistente si la ecuación en diferencias finitas tiende a la ecuación diferencial cuando ∆x y ∆t tienden a cero.

∆x ∆t 0

ECUACIÓN EN DIFERENCIA FINITA

ECUACIÓN DIFERENCIAL =

0

Cuando

Criterios :

Consistencia Usando la ecuación de error de truncamiento se puede decir que el esquema numérico es consistente si el error de truncamiento tiende a cero cuando ∆x y ∆t tienden a cero.

∆x ∆t 0 0

Cuando

T= 0

Criterios :

EJEMPLO

𝜕𝑇𝜕𝑡

=𝐾 𝜕2𝑇𝜕𝑥2

260 F 400 F K= 0,8 L=20 m

L

X (m)

t (h)

0 5 10 15 20

1

2

3

4

5

T(x,0)= 100F, 0 ≤ X ≤ L

T(0,t)= 260F, t > 0

T(L,t)= 400F, t > 0

Condiciones de frontera:

EXPLÍCITO𝑇 𝑖 , 𝑗+1−𝑇 𝑖𝑗

∆ 𝑡=𝐾

𝑇 𝑖−1 , 𝑗−2𝑇 𝑖𝑗+𝑇 𝑖+1 , 𝑗

∆𝑥2λ=

𝐾 ∆ 𝑡∆𝑥2

=0,032

X=5, t=0 PUNTO DE PARTIDA

𝑇 5,1−𝑇5,0=0,032 (𝑇 0,0−2𝑇 5,0+𝑇 10,0 )

X=10, t=0

𝑇 5,1=100 F100 F 100 F 100 F 100 F

𝑇 10,1−𝑇10,0=0,032 (𝑇 5,0−2𝑇10,0+𝑇 20,0 ) 𝑇 10,1=100 F100 F 100 F 100 F 100 F

Ejemplo

X=15, t=0

X=5, t=1 TIME STEP

Ejemplo

𝑇 15,1−𝑇15,0=0,032 (𝑇 10,0−2𝑇 15,0+𝑇 20,0 )100 F 100 F 100 F 100 F

𝑇 15,1=100 F

X=10, t=1

𝑇 5,2−𝑇5,1=0,032 (𝑇 0,1−2𝑇5,1+𝑇10,1 ) 𝑇 5,2=105 F100 F 100 F260 F 100 F

𝑇 10,2−𝑇10,1=0,032 (𝑇5,1−2𝑇 10,1+𝑇15,1 )100 F 100 F 100 F 100 F

𝑇 10,2=100 F

IMPLÍCITO

X=15, t=1

𝑇 15,2−𝑇15,1=0,032 (𝑇10,1−2𝑇 15,1+𝑇20,1 ) 𝑇 15,2=110F100 F 100 F 100 F 400 F

𝑇 𝑖 , 𝑗−𝑇 𝑖 , 𝑗− 1

∆𝑡=𝐾

𝑇 𝑖− 1 , 𝑗−2𝑇 𝑖𝑗+𝑇 𝑖+1 , 𝑗

∆ 𝑥2λ=

𝐾 ∆ 𝑡∆𝑥2

=0,032

X=5, t=1 CAMBIA EL PUNTO DE PARTIDA

𝑇 5,1−𝑇5,0=0,032 (𝑇 0,1−2𝑇5,1+𝑇10,1 ) 0,936𝑇5,1−0,032𝑇 10,1=108,32100 F 260 F

Ejemplo

EJEMPLO

X=10, t=1

𝑇 10,1−𝑇10,0=0,032 (𝑇 5,1−2𝑇 10,1+𝑇15,1 )

0,936𝑇10,1−0,032𝑇5,1−0,032𝑇 15 ,1=100

100 F

X=15, t=1

𝑇 15,1−𝑇15,0=0,032 (𝑇 10,1−2𝑇 15,1+𝑇20,1 )100 F

0,936𝑇15,1−0,032𝑇10 , 1=112,8

400 F

RESOLVIENDO EL SISTEMA 3x3 𝑇 10,1=115,18F

𝑇 5,1=119,6 F

𝑇 15,1=124,45 F

CRANK NICHOLSON

+

X=5, t=1

𝑇 5,1−𝑇5,0=0,016 (𝑇 0,0−2𝑇5,0+𝑇10,0+𝑇 0 ,1−2𝑇 5 ,1+𝑇 10, 1 )

0,968𝑇 5,1−0,016𝑇 10,1=104,16

100 F 100 F 100 F 100 F 260 F

Ejemplo

X=10, t=1

EJEMPLO

X=10, t=1

𝑇 10,1−𝑇10,0=0,016 (𝑇 5,0−2𝑇 10,0+𝑇15,0+𝑇5 ,1−2𝑇 10 ,1+𝑇15 , 1 )

𝑇 15,1−𝑇15,0=0,016 (𝑇 10,0−2𝑇15,0+𝑇20,0+𝑇 10 ,1−2𝑇15 , 1+𝑇20 , 1)

100 F 100 F 100 F 100 F

0,968𝑇 10,1−0,016𝑇 5,1−0,016𝑇 15 ,1=100

100 F 100 F 100 F 100 F 400 F

0,936𝑇15,1−0,016𝑇 10 ,1=106,4

RESOLVIENDO EL SISTEMA 3x3

𝑇 5,1=109,4 F𝑇 10,1=107,02 F𝑇 15,1=115,5F

Ejemplo

• Osorio, Gildardo. Conceptos básicos sobre aproximación de ecuaciones diferenciales a diferencias finitas. Notas de simulación de yacimientos, Maestría en Hidrocarburos. Febrero de 2002, p.51-92.

• Azis, K and Settari A. Petroleum Reservoir Simulation. Elsevier Applied Science Publishers.

• Espinoza y Niño, Modelación Numérica en Ingeniería Hidráulica y Ambiental, Semestre Primavera 2001, p.1-24.

Bibliografía

GRACIAS!

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