Arcocosecante hiperbólica. Definición.

José de Jesús García Ruvalcaba.UABC

Recordatorio. Secante hiperbólica.

• La cosecante hiperbólica es:

csch 𝑥 =1

sinh 𝑥=

2

𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥

No está definida en 0

Su imagen es −∞, 0 ∪ 0,+∞

Es una función impar, y es inyectiva. No hace falta restringir su dominio.

Cosecante hiperbólica.

csch: −∞, 0 ∪ 0,+∞ → −∞, 0 ∪ 0,+∞

Es biyectiva. Tiene dos ramas. Cada rama es estrictamente decreciente.

Su inversa es:arccsch: −∞, 0 ∪ 0,+∞ → −∞, 0 ∪ 0,+∞

Gráfica de la arcocosecante hiperbólica.

arccsch: −∞, 0 ∪ 0, +∞ → −∞, 0 ∪ 0,+∞

Tiene dos ramas. Cada rama es estrictamente decreciente.

Fórmula explícita para la arcocosecantehiperbólica.

𝑦 = arccsch 𝑥

𝑥 ≠ 0

𝑦 ≠ 0

𝑥 = csch 𝑦

𝑥 =2

𝑒𝑦 − 𝑒−𝑦

Hay que despejar 𝑦

Continuación.

𝑥 =2

𝑒𝑦 − 𝑒−𝑦

𝑥 𝑒𝑦 − 𝑒−𝑦 = 2

𝑥𝑒𝑦 − 𝑥𝑒−𝑦 = 2

𝑥𝑒𝑦 − 2 − 𝑥𝑒−𝑦 = 0

Continuación.

𝑥𝑒𝑦 − 2 − 𝑥𝑒−𝑦 = 0

𝑥𝑒2𝑦 − 2𝑒𝑦 − 𝑥 = 0

𝑒𝑦 =− −2 ± −2 2 − 4 𝑥 −𝑥

2 𝑥

𝑒𝑦 =2 ± 4 + 4𝑥2

2𝑥

Continuación.

𝑒𝑦 =2 ± 4 + 4𝑥2

2𝑥

𝑒𝑦 =2 ± 4 1 + 𝑥2

2𝑥

𝑒𝑦 =2 ± 2 1 + 𝑥2

2𝑥

𝑒𝑦 =1 ± 1 + 𝑥2

𝑥

Desigualdades.

Se puede demostrar que:

1 − 1 + 𝑥2 < 0

1 + 1 + 𝑥2 > 0

Recordemos que:𝑒𝑦 > 0

Desigualdades, continuación.

Ahora, el signo de 1− 1+𝑥2

𝑥y de

1+ 1+𝑥2

𝑥dependen tanto del numerador como del

denominador. Usando las leyes de los signos:

𝑥 < 0 ⟹1 − 1 + 𝑥2

𝑥> 0

𝑥 > 0 ⟹1 + 1 + 𝑥2

𝑥> 0

Continuación.

𝑒𝑦 =

1 − 1 + 𝑥2

𝑥, 𝑥 < 0

1 + 1 + 𝑥2

𝑥, 𝑥 > 0

Continuación.

𝑦 =

log1 − 1 + 𝑥2

𝑥, 𝑥 < 0

log1 + 1 + 𝑥2

𝑥, 𝑥 > 0

Conclusión.

arccsch 𝑥 =

log1 − 1 + 𝑥2

𝑥, 𝑥 < 0

log1 + 1 + 𝑥2

𝑥, 𝑥 > 0

Después de la conclusión.

arccsch 𝑥 =

log −1 + 1 + 𝑥2 − log −𝑥 , 𝑥 < 0

log 1 + 1 + 𝑥2 − log 𝑥 , 𝑥 > 0

Otra forma de obtenerlo.

• Recordemos que:

csch =1

sinh

Por lo tanto,

arccsch 𝑥 = arcsinh1

𝑥

De una lección anterior, ya tenemos fórmula para el arcoseno hiperbólico.

Recordatorio y continuación.

arcsinh 𝑥 = log 𝑥 + 𝑥2 + 1

arccsch 𝑥 = arcsinh1

𝑥

arccsch 𝑥 = log1

𝑥+

1

𝑥

2

+ 1

arccsch 𝑥 = log1

𝑥+

1

𝑥2+ 1

arccsch 𝑥 = log1

𝑥+

1 + 𝑥2

𝑥2

Conclusión.

arccsch 𝑥 = log1

𝑥+

1 + 𝑥2

𝑥2

arccsch 𝑥 = log1

𝑥+

1 + 𝑥2

𝑥2

arccsch 𝑥 = log1

𝑥+

1 − 𝑥2

𝑥

Para resumir.

arccsch: −∞, 0 ∪ 0,+∞ → −∞, 0 ∪ 0,+∞

arccsch 𝑥 =

log1 − 1 + 𝑥2

𝑥, 𝑥 < 0

log1 + 1 + 𝑥2

𝑥, 𝑥 > 0