Arcos planosJ. T. Celigeta

Arcos planos. DefinicinDirectriz curva plana. Seccin transversal despreciable. Curvatura pequea: radio mucho mayor que el canto R>>h Varias condiciones de apoyo en los extremos.

1

Ejemplos

Veldromo olmpico (Atenas)

Puente del Milenio (Londres)

Puente romano (Crcega)

Puente Michigan (Detroit) L=80 m2

Teora bsicaEsfuerzos internos: N, M, Q Hiptesis de Navier: secciones perpendiculares a la directriz curva se mantienen perpendiculares a la directriz deformada R >> h Es aplicable la teora de flexin de vigas, en un dominio curvo (ds sustituye a dx), pero hay acople entre N y M. Energa elstica:

U =

*

N2 M2 ds + ds + N Tmds M Tgds 2EA 2EI

3

Ecuaciones de equilibrioqsM N ds Q+dQ M+dM N+dN Q

Equilibrio radial: Nuevo trmino asociado a N

dQ N = qs + ds R

Equilibrio de momentos:

dM = Q ds

4

Arco triarticulado (I)Isosttico

C fB fA B h A LA LB

Se aplica la frmula de los prticos planos b=2 n=3 r=4 c=1 6 b + r = 165

3 n + 3 b + c = 16

h=0

Arco triarticulado (II)CY CX CY fB fA B h A LA LB

( M AAC ) = 0 ( M BBC ) = 0 6

extAC C x fA + C y LA + M A =0

CX, CYextCB C x fB + C y LB + M B =0

Arco triarticulado simtrico. Carga uniforme (1)q

qf

CX

AYL

AX

Forma y(x) sin definir. Por simetra: CY=0 Gran reaccin horizontal en los apoyos (1/f)

qL2 Cx = 8f7

Cy = 0

qL2 Ax = 8f

Ay =

qL 2

Arco triarticulado sin momento flector (2)qL qL2 qx 2 M = x y 2 8f 2q M N Q

M =0qL/2 qL2/8f x

4f y = 2 (Lx x 2 ) L

Parbola simtrica

qL2 qL Q = qx cos + sin cos = 0 8f 28

Sustituyendo forma parablica

Arco triarticulado sin momento flector (3)qL qL2 N = qx sin sin cos 2 8fqL NX = 8f2

L4 L2 2 + x xL + N = q 64 f 2 4 Es siempre de compresin

1/ 2

qL NY = qx 2

Proyeccin horizontal constante

qL 2 2 1/ 2 N A = (L + 16 f ) 8fValor mximo en los apoyos9

NClave

qL2 = 8f

Arco triarticulado parablico. DeformacinFuerza virtual unitaria

V=11/2 1/2

L/2f

L/2f

N

0V

L 1 = cos sin 2f 2CY = N

Q 0V =

L 1 sin cos 2f 2

1 1 1 N 0V ds + (M = 0) M 0V ds = N N 0V ds EA EI EA

10

Arco triarticulado parablico. DeformacinV=11/2 1/2

N 0V =

L 1 cos sin 2f 21/ 2

L/2f

L/2f

L4 L2 2 N = q + x xL + 64 f 2 4

CY =

1 L 1 N cos sin ds = 2f EA 2

1 L 1 N tan cos ds 2f EA 2

CY =

1 L 4 f 2 (L 2x ) dx N 2f EA L

11

Simplificaciones habituales Rigidez axial infinita. Se desprecia la energa debida al esfuerzo axial

1 = =0 EA Momento de inercia variable segn la ley de la secante Flexibilidad a flexin variable segn la ley coseno

I = I 0 sec =

I0 cos

I0 : momento de inercia en la clave

1 1 cos = 0 cos = = EI EI 0Simplifica las integrales pues :

f (x ) ds = f (x ) 12

0

cos ds = 0 f (x )dx

Arco biarticulado parablico. Carga uniforme (1)q f

M0 q Q0

N0 Q1

M1

N1

L

qL/2

h=1

X1=Axx 1 x

q M 0 = (Lx x 2 ) 2Parablico Sin energa de esfuerzo axial. Inercia variable segn la ley de la secante13

M 1 = y

y=

4f (Lx x 2 ) L2

Arco biarticulado parablico. Carga uniforme (2)M 1 = y

f11 = f11

= (y ) 2

N 1 N 1ds + M 1M 1ds =0 cos ds =

(y )2 ds

y 2 0 dx

f11 =

80 f 2 L 15

Sin energa de esfuerzo axial. Inercia variable segn la ley de la secante14

Arco biarticulado parablico. Carga uniforme (3)q M = (Lx x 2 ) 20

M0 q Q0

N0

D1 = N 0 N 1ds M 0 M 1ds = q (Lx x 2 ) (y )ds 2 q D1 = (Lx x 2 ) 0 cos (y ) ds 2 q 0 f L3 D1 = 15 D =1 qL/2

x

D1 qL2 AX = = f11 8f15

Arco biarticulado parablico. Carga uniforme (4)M0 q Q0

N0

M1 Q1

N1

qL/2

q M = (Lx x 2 ) 20x 1 x

M 1 = y qL2 AX = 8f

2 q 4f 2 2 qL M = M yAX = (Lx x ) 2 (Lx x ) =0 2 L 8f 0

Sustituyendo forma parablica

qL2 qL Q = qx cos + sin cos = 0 8f 2Sin momento flector. Mismo comportamiento que el arco triarticulado16

Arco biarticulado parablico. Carga uniforme (5)Esfuerzo axial (igual que el triarticulado)N = qx sin qL2 NX = 8f1/ 2

qL qL sin cos 2 8f

2

L4 L2 N = q + x 2 xL + 64 f 2 4 Es siempre de compresin

NY = qx

qL 2

N

NClave

qL2 = 8f

qL 2 2 1/ 2 N A = (L + 16 f ) 8fValor mximo en los apoyos17

Arco biarticulado parablico. Carga puntualD1 = P (L x ) (y )0 cos ds = 2 5P 0 f L2 48

75PL AX = 384 f

P 75x 2 0 M = M yAX = 27x 96 L P M

neg M max = 0.0253PL

x = 9L / 50

M clave = 0.0547PL18

Arco biarticulado. Clculo de la rigidez (1)Clculo de la columna 1: deformacin unidad en IX

K21IX=1

K41 K31

K11

h=1

X1 = K 11

Caso 1

Sin energa de esfuerzo axial. Condicin de compatibilidad:

f11 =

M 1M 1ds =

(y )2 ds

f11X1 = 119

X1 =

1 = f11

1

y ds2

K11

Arco biarticulado. Clculo de la rigidez (2)Clculo de la columna 1K21IX=1

K41 K31

K11

Condicin de compatibilidad:

f11X1 = D1 + 1

D1 = 0 K 11 K =0 21 K 31 = K11 K 41 = 0

X1 =

1 = f11

1

y ds2

K11

K 31 = K 1120

K 21 = K 41 = 0

Arco biarticulado. Matriz de rigidezColumnas 2 y 4 nulas Columna 3 igual a la 1 Agrupando las 4 columnasIX IY

y

JY

JX

KL =

1 0 1 1 2 y ds 0

0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

Slo aporta rigidez en la direccin X Sin energa de esfuerzo axial.21

Arco biarticulado parablico. RigidezDirectriz parablica. Inercia segn la secante: I=I0 sec I0 inercia en la clave

y 2ds = y 20 cos ds = y 20dx =

8f 2 L 15EI 0

1 15EI 0 0 KL = 8Lf 2 1 0

0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

Si f se anula, no se obtiene la rigidez de la barra recta pues no se ha considerado la energa de axial22

Arco biarticulado circular. Carga uniforme (1)M0 q Q0 N0Q1

M1

N1

yqL/2

x R e

x

1

x

L

h=1

X1=Ax

q M = (Lx x 2 ) 20

M 1 = y

Longitud del arco S=2R Inercia constante. Sin energa de axial

f11 = M 1M 1ds =

(y )2 Rd

y = R cos e

R 2S + 2e 2S 3eLR f11 = 2EI23

x = R sin + L / 2

Arco biarticulado circular. Carga uniforme (2)+

D1 = M M ds = 0 1

D1 =

q 24EI

q (Lx x 2 ) (y )Rd 2

(2RL3 3L2eS 6e 2RL + 6R2eS )

3 2 2 2 q 2RL 3L eS 6e RL + 6R eS X = AX = 12 R 2S + 2e 2S 3eLR

M 1=-yA x

Momento flector

f Ax

q M = M yAX = (Lx x 2 ) (R cos e)AX 20

Momento mximo en la clave x=L/2, =0

M0

qL 2/8

M24

max

q L L2 qL2 = L (R e)AX = fAX 2 2 4 8

Arco biarticulado circular. RigidezDirectriz circular: Radio R, Luz L. Longitud del arco S=2R Inercia constanteParticularizando la expresin general de la rigidez del arco biarticulado

y = R cos e

y ds = (R cos e) ds = 2 2

+

(R cos e)2 Rd

1 0 2EI KL = 2 R S + 2e 2S 3eL R 1 0 25

0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

Arco atirantadoNo se transmite reaccin horizontal en A. Tampoco en B para cargas verticales Flexibilidad del tirante

t =

1 L = Kt Et At

N t = K t t + N 0tPretensin de montaje en el tirante: N0t Positiva a traccin Error en longitud del tirante: (positivo ms largo)

t = N 0t t

N t = K t (t t )26

Arco atirantado. Clculo por flexibilidadh=1M0 q Q0 N0

X1=Nt

qL/2

q M 0 = (Lx x 2 ) 2

M 1 = y N 1 = cos

f11 = f11 =

M 1M 1ds + N t1t N t1 =2

(y )2 ds + (1)t (1)

Directriz parablica Inercia segn la secante: I=I0 sec

80 f 2L y 0dx + t = + t 150 1 0 t t 1 t 1 t

qf 0L3 D1 = M M ds N N t N = t 15 27

Arco atirantado. Esfuerzo en el tiranteLa pretensin aumenta el esfuerzo final en el tirante

qf 0L3 + N 0t D 15t X = 1 = Nt = 80 f 2L f11 +1 15tConstante D > 1

Esfuerzo final en el tirante siempre positivo para q hacia abajo y pretensin de traccin Nota: Si t=0 (tensor infinitamente rgido) sale Nt = q L 2 / 8f como en el arco biarticulado28

Arco atirantado. Momento flectorq M = M 0 + XM 1 = M 0 + N t (y ) = (Lx x 2 ) y N t 2Momento sin tirante (Punto A libre) El tirante hace disminuir el momento flector. Disminuye ms cuanto ms arriba (y)

Momento en la clave C:

qL2 MC = M (x = L 2) = f Nt 8Similar al arco biarticulado:biart MC =29

M1=-yNt

qL f AX 8

2

M=M0 y Nt M0

Arco atirantado. Esfuerzo axial qL N = N + XN = 2 + qx sin N t cos 0 1

Axial siempre de compresin Axial sin tirante (Punto A libre) (negativo) La traccin del tirante aumenta el valor de la compresin en el arco.

NC = N tN1 = - cos N0 N=N0 Nt cos30

Arco atirantado. Deformacin del apoyo AEs igual a la deformacin del tiranteN N0t

Nt =

t + N 0t tt

Despejando la deformacin:

t = (N t N 0t )tSustituyendo el valor del esfuerzo en el tirante:

qf 0L3 1 D t N 0t t = + 15D D

D= denominador de la expresin del esfuerzo en el tirante. D>1

Segundo sumando negativo. La pretensin hace disminuir la deformacin del apoyo:31

Arco atirantado pretensado. ResumenSin reaccin horizontal en A. Tampoco en B para cargas verticales Esfuerzo final en el tirante: 3 - siempre positivo para q hacia abajo y pretensin de traccin N t = qf 0L + N 0t 15t D D - la pretensin aumenta el esfuerzo final en el tirante Aparece momento flector - el esfuerzo en el tirante hace disminuir el flector Axial siempre de compresin - La traccin del tirante aumenta el valor de la compresin en el arcoq M = (Lx x 2 ) y N t 2

qL N = + qx sin N t cos 2

La pretensin hace disminuir la deformacin del apoyo.32

qf 0L3 1 D t = + t N 0t 15D D

Arco biempotradoq

M0 Q0

N0y

M1 Q1

N1

y

BCaso 1 Caso 0

Ax 1 x

M 1 = yM2 Qy2

N 1 = cos M3 Q3 N3

N2y

A X X = AY M A

Caso 21 x1 x

Caso 3

M2 = x33

N 2 = sin

M 3 = 1

N3 = 0

Arco biempotradoEcuaciones de compatibilidad:

fX=D

I +J A N 0 cos ds + Tm cos ds Tg yds + M 0yds I 11 + J 11 I 01 x 02 02 0 0 I 11 + J 11 I 20 + J 20 I 10 Ay = N sin ds + Tm sin ds Tg xds M xds I 01 0 I 00 M A I 10 Tgds + M ds

I mn = x m y n ds

m, n = 0,1, 2

J mn = sinm cosn dsEsfuerzos finales:

M = M 0 yAX + xAY M A34

N = N 0 AX cos AY sin

Arco biempotrado parablico. Carga uniformeEnerga axial nulaM 1 = y M2 = x

f jk = M j M k dsM 3 = 1A B

Inercia segn la ley de la secante

8Lf 2 15 2 Lf f = EI 0 3 2Lf 3

L2 f 3 L3 3 L2 2

2Lf 3 L2 2

L

35

Arco biempotrado parablico. Carga uniformeCoeficientes D

D j = M M ds0

j

q

M0 Q0

N0

qL3 f /10EI 0 qL4 / 8EI D= 0 3 qL / 6EI 0

qx 2 M = 20

y

x

A qL2 / 8 f X X = AY = qL / 2 M A 0 36

Mismas reacciones que en el arco isosttico No hay momento en los apoyos

Arco biempotrado parablico. Carga uniformeMomento flector: nulo !!

qx 2 qL2 qL M = M 0 yAX + xAY M A = y +x +0= 0 2 8f 2Axial: igual que en el arco isosttico

L4 L2 N = q + x 2 xL + 64 f 2 4

1/ 2

Es siempre de compresin

N

NClave

qL2 = 8f

qL 2 2 1/ 2 N A = (L + 16 f ) 8fValor mximo en los apoyos37

Arco biempotrado. Clculo de la rigidez (1)M0 N0y

M1 Q1

N1

Columna 1 de K

h=3y

Q0

Caso 1 Caso 0 Descargadox 1 x

M2 Q2

N2Q3y

M3

N3

X1 = AX = K11 X 2 = A = K 21 Y X 3 = M A = K 311

y

Caso 2

Caso 3

x

1

x

38

Arco biempotrado. Clculo de la rigidez (2)Sin energa de esfuerzo axial. Directriz parablica. Inercia segn la secante: I=I0 sec()

fij =

M i M jds

La matriz f es la empleada para el clculo del arco por flexibilidad. El vector D es nulo, pues el caso 0 est descargado. Hay que considerar el desplazamiento impuesto en la direccin X

f X = D + 0

8Lf 2 15 2 Lf EI 0 3 2Lf 3

L2 f 3 L3 3 L2 2

2Lf 3 L2 2

K 1 11 K 21 = 0 K 31 0 L

39

Arco biempotrado. Clculo de la rigidez (3)Repitiendo para las columnas 1, 2 y 3 de K en el nudo I: slo cambia la deformacin unidad

Columna 1

Columna 2

Columna 3

8Lf 2 15 2 Lf EI 0 3 2Lf 3

L2 f 3 L3 3 L2 2

2Lf 3 L2 2

K11 K12 K 21 K 22 K 31 K 32 L

Deformacin impuesta

K13 1 0 0 K 23 = 0 1 0 0 0 1 K 33

fII KII = I

KII = fII 1

Flexibilidad en el nudo I40

Rigidez en el nudo I

Arco biempotrado. RigidezSin energa de esfuerzo axial. Directriz parablica. Inercia segn la secante. I=I0 sec() I0 inercia en la clave 45 4Lf 2 PIX 0 P IY 15 M I = EI 2Lf 0 PJX 45 4Lf 2 P JY M J 0 15 2Lf41

IY

JY

IX I

JX

J

0 12 L3 6 L2 0 12 3 L 6 L2

15 2Lf 6 L2 9 L 15 2Lf 6 2 L 3 L

45 4Lf 2

0 15 2Lf 45 4Lf 2 0 15 2Lf

15 2Lf 0 12 6 3 L L2 6 3 2 L L 15 2Lf 0 12 6 2 L3 L 6 9 2 L L

IX IY I JX JY J

Ejemplo 1qqY

fX

f

Rgido axialmente

H

H

L

L

L

Pilar central infinitamente rgido axialmente Arco parablico, sin energa de esfuerzo axial, inercia segn la secante.42

45I 0 12I + 3 4Lf 2 H E 0 15I 0 + 6I 2Lf H2

0 12I 0 A + L3 H 6I 20 L

15I 0 6I + 2 2Lf H 6I 0 2 L 9I 0 4I + L H

F X X Y = FY M

Ejemplo 1. FuerzasM0=0 qL2/8f

qL/2

qL/2 qL2/8f

Fuerzas de fase 0 en el arco debidas a la fuerza q

q

qL/2 qL2/8f qL2/8f

qL/2

qL2 F 8 f X qL F = Y 2 M 0

No hay momentos en la fase 0

43

Ejemplo 1. Esfuerzos finales en el arco qL2 45 8f 4Lf 2 PIX qL 2 0 P IY 15 0 M I + EI 2Lf = 0 PJX qL2 45 4Lf 2 PJY 8 f qL MJ 0 2 15 0 2Lf 0 12 L3 6 L2 0 12 3 L 6 L2 15 2Lf 6 L2 9 L 15 2Lf 6 2 L 3 L 45 4Lf 2 0 15 2Lf 45 4Lf 2 0 15 2Lf 15 2Lf 0 12 6 3 L L2 6 3 2 L L 15 2Lf 0 12 6 2 L3 L 6 9 2 L L X Y 0 0 0

Hay momentos, producidos por las deformaciones del nudo I

44

Ejemplo 1. Flector en el arcoqL2 45EI 0X 15EI 0 PIX = + 8f 4Lf 2 2Lf qL 12EI 0Y 6EI 0 PIY = + + 2 L3 L2 15EI 0X 6EI 0Y 9EI 0 MI = + + 2Lf L2 L

qx 2 M = PIY x PIX y M I 2fVariacin parablica en xI

IY

IX

45

Ejemplo 2q C1Y 2Y

Arco semi circular uniforme

KC =2X

1X

2EIC 16EI = 3 C R 2S L

R= L/ 2

AL

B

H

3EI 3 + KC H 0 KC 0

0 EA H 0 0

KC 0 3EI + KC 3 H 0

0 F 1X 1X 0 F 1Y 1Y = F 0 2X 2X 2Y F2Y EA H

46

Ejemplo 2. Fuerzas

qL/2 1 F1XL=2R

-F2X

2

F10 X

2RL3 3L2eS 6e 2RL + 6R 2eS q 2qL = = 2 2 12 R S + 2e S 3eLR 3

2qL F = 3 qL 0 F1Y = 2 qL 0 F2Y = 20 2X

47

Ejemplo 2. Ecuacin de equilibrioq

2qL

2qL

qL/2

qL/2

3EI 3 + KC H 0 KC 0 48

0 EA H 0 0

KC 0 3EI + KC 3 H 0

2qL 0 3 1X qL 0 1Y = 2 2qL 0 2X 3 2Y qL EA 2 H

Ejemplo 3. Aadimos un tirante pretensadoq C1Y 2Y

1X

R= L/

2

2X

K AL

B

H

3EI 3 + KC + K H 0 KC K 0 49

0 EA H 0 0

KC K 0 3EI + KC + K H3 0

2qL 0 (N 0 ) 3 1X qL 0 1Y 2 = 2qL 0 2X 0 (N ) 3 2Y EA qL H 2

Disminuyen las fuerzas exteriores

Aumenta la rigidez (poco)