Cálculo integralActividad 1. Área entre curvas

Unidad 2. Aplicaciones de la integración

Julio César Hernández Cruzal11503387Desarrollo de software

1. Dibuja en un esquema la región encerrada por las curvas dadas.2. Decide si integrar con respecto a x o y.3. Dibuja un rectángulo típico de aproximación, marca su altura y su ancho.4. Calcula el área de la región de las siguientes funciones:

a).

y=x 2, y=4 x x=0, x=4 donde se cruzan22=4 < 4 (2)=8

A=∫0

4

[ 4 x−x2]dx= 4 x2

2− x

3

3 ∣0

4

2 x2− x3

3 ∣0

4

=32−643

=96−643

=323

≈10.67μ2

b).

y= x+1, y=9−x2 , x=−1, x=20+1=1 < 9−02=9

A=∫−1

2

[9−x2−(x+1)]dx

=∫−1

2

[−x2− x+8]dx=−x3

3− x

2

2+8 x∣

−1

2

=−2 x3−3 x2+48 x6 ∣

−1

2

=−2(2)3−3(2)2+48 (2)

6−(−2(−1)3−3(−1)2+48(−1)

6 )=−16−12+96

6−(2−3−48

6 )=68

6+49

6=117

6=72=19.5μ2

c).

y=x , y=3 x , x+ y=4 y=4−xx=0 y1=0 , y 2=0 , y3=4x=1 y1=1, y2=3 , y3=3x=2 y1=2 , y2=9, y3=2

12

< 32

32

< 4−32=9

2[0,1] y1< y2, [1, 2] y1< y3

A=∫0

1

[3 x−x ]dx+∫1

2

[4− x−x ]dx

=∫0

1

2 xdx+∫1

2

4−2 x dx

= x2∣01+4 x− x2∣1

2=1+4−3=2μ2

d).

y= 1x, y= 1

x2 , x=2

x=1 y1=1 y2=11

(32)

=23

> 1

(32)

2 =1

(94)

=49

y1 > y2

A=∫1

2 1x− 1x2 dx=ln∣x∣−(−x−1)∣1

2

= ln∣x∣+1x∣1

2

≈1.19−1≈0.19μ2

e).

y=4 x2, y= x2+34 x2=x2+3 3x 2=3 x2=1 x=±1

4(0)2=0 < 02+3=3y1< y2

A=∫−1

1

[ x2+3−4 x2] dx=∫−1

1

[3−3 x2] dx

=3 x−x3∣−11

=2−(−2)=4μ2

f).

y= x√ x2−9 , y=0, x=5x √ x2−9=0 x2=9 x=±3

x √42−9 > 0

A=∫3

5

x√ x2−9dx=12∫0

16

√udu= 12⋅u

32

32 ∣

0

16

= √u3

3 ∣0

16

=√40963 =

643 ≈21.33μ2

g).

y= x3−x , y=3 xx3−x=3 x x3−4 x=0

x (x2−4)=0 x=0 x=±213−1=0 < 3(1)=3

y1< y2

A=∫0

2

[3 x−( x3−x)] dx=∫0

2

4 x− x3dx

=2 x2− x4

4 ∣0

2

=8−164

=164

≈4μ2

h).

y=cos x , y=sec2 x , x=−π4, x=π

4cos (0)=0 < sec2(0)=1

A=∫−π

4

π4

sec2 x−cos x dx= tan x−sin x∣−π4

π4

=tan( π4 )−sin( π4 )−(tan(−π

4 )−sin(−π4))

≈1−0.7071−(−1+0.7071)≈0.29−(−0.29)=0.58μ2

i).

y=sin x , y=sin (2 x ) , x=0, x=π/2sin (1)≈0.8414 < sin (2(1))≈0.9092

y1< y2

A=∫0

π/2

sin (2 x )−sin x dx

=−cos (2 x )

2+cos x∣

0

π2

=−cos(2( π2 ))

2+cos( π2 )−(− cos(0)

2+cos (0))

=12+0−(−

12+1)=1

2 −12=0μ2

j).

y=e x , y=x , x=0, x=1

e12≈1.65 > 0.5y1> y2

A=∫0

1

e x−x dx=e x− x2

2 ∣0

1

≈2.72−0.5−1≈1.22μ2