Área y perímetro del triángulo ABC a b c hbhbhbhb11 A = 22 = b·c sen 1122 P = a + b + c P = a +...
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Área y perímetro del Área y perímetro del triángulo triángulo Área y perímetro del Área y perímetro del triángulo triángulo
A A
BB
CC
aa
bb
cc
hhbb
1111A = A = A = A =
2222 = b= b·c ·c sensen= b= b·c ·c sensen
11112222
P = a + b + P = a + b + ccP = a + b + P = a + b + cc
Si Si ABC es ABC es equiláteroequiláteroSi Si ABC es ABC es equiláteroequilátero 33
44 llll2222A =A =A =A = 33 333333
hhhh2222====
P = P = 33llP = P = 33llAA
BB
CC
bb·h·hbbaa·h·haacc·h·hcc
hhaahhaahhcchhcc
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Si Si ABC es rectángulo en ABC es rectángulo en CCSi Si ABC es rectángulo en ABC es rectángulo en CC 1111A = aA = a·b·bA = aA = a·b·b2222
hc
1111= = cc·h·hcc
= = cc·h·hcc
2222
Área y perímetro del Área y perímetro del triángulo triángulo Área y perímetro del Área y perímetro del triángulo triángulo
P = a + b + P = a + b + ccP = a + b + P = a + b + cc
b a
cA B
C
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Área y perímetro Área y perímetro de cuadriláterosde cuadriláteros
Paralelogramo generalParalelogramo generalParalelogramo generalParalelogramo general
aaaa
bbbbhhaahhaa
A A = = A A = =
aa·h·haaaa·h·haabb·h·hbbbb·h·hbb
hhbbhhbbRectángulRectángulooRectángulRectánguloo
A = aA = a·b·bA = aA = a·b·b bbbba
CuadradoCuadradoCuadradoCuadrado
aaaaA = A = aa22
A = A = aa22
P = P = 44aaP = P = 44aa
RomboRomboRomboRomboP = P = 22(a + (a + b)b)P = P = 22(a + (a + b)b)
P = P = 22(a + (a + b)b)P = P = 22(a + (a + b)b)
dd11·d·d
22
dd11·d·d
222222A =A =A =A =
aaaa
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Área y perímetro Área y perímetro de cuadriláterosde cuadriláteros
TrapecioTrapecioTrapecioTrapecio
aaaa
bbbbcccc
dddd
A = A = A = A = B + B + bbB + B + bb 2222 · h· h· h· h
hh
P = a + b + c + P = a + b + c + ddP = a + b + c + P = a + b + c + dd
TrapezoidTrapezoideeTrapezoidTrapezoidee
AA11AA11
AA22AA22
A =A = A A11 ++ AA22
A =A = A A11 ++ AA22
aaaa
bbbb
cccc
dddd
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EjerciciEjerciciooEjerciciEjercicioo
En la figura, para qué En la figura, para qué valor de valor de se cumple se cumple que el área sombreada que el área sombreada es la mitad del área del es la mitad del área del cuadrado ABCD, cuadrado ABCD, sabiendo que los sabiendo que los triángulos ABE y DCF triángulos ABE y DCF son iguales e isósceles son iguales e isósceles de bases BE y DF de bases BE y DF respectivamente. respectivamente.
En la figura, para qué En la figura, para qué valor de valor de se cumple se cumple que el área sombreada que el área sombreada es la mitad del área del es la mitad del área del cuadrado ABCD, cuadrado ABCD, sabiendo que los sabiendo que los triángulos ABE y DCF triángulos ABE y DCF son iguales e isósceles son iguales e isósceles de bases BE y DF de bases BE y DF respectivamente. respectivamente.
AA BB
CCDD
EE
FF
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AA BB
CCDD
EE
FF
aa
ABE = CDFA =
a2
A= 12 bc sen a2 sen
AAss = = AAAAss = = AA
11112222
aa22 – – 2( a2( a22sensen))1122 = a= a2211
22
::aa2 2 aa22 – a – a22 sen sen = a= a221122
1 – sen1 – sen
= =
1122
sensen
= =
1122
= 30= 3000
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Para el estudio Para el estudio individualindividualPara el estudio Para el estudio individualindividual1.1. Calcula el área Calcula el área del terreno del terreno pentagonal que pentagonal que muestra la figura.muestra la figura.
1.1. Calcula el área Calcula el área del terreno del terreno pentagonal que pentagonal que muestra la figura.muestra la figura.
5 m5 m 5 m
5 m
44 m m
RespResp: : 3737 cm cm22RespResp: : 3737 cm cm22
2.2. Resuelve la Resuelve la ecuación:ecuación:2.2. Resuelve la Resuelve la ecuación:ecuación:loglog33(senx–(senx–11) + log) + log33((22senx–senx–
11)=)=00 loglog33(senx–(senx–11) + log) + log33((22senx–senx–11)=)=00 RespResp: x = k: x = k ; ;
kkZZRespResp: x = k: x = k ; ; kkZZ
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M
NRST
L
En la figura, LMRT es un rectángulo y LMNS es un paralelogramo.
S es punto medio de TR, MR = 6,0 cm
y ALMRS = 0,45 dm2 .
Halla el perímetro del rectángulo LMRT y el área del paralelogramo LMNS .
Ejercicio 1Ejercicio 1a)a)
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M
NRST
L
Halla el perímetro de la figura LMNT.
b)b)
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M
NRST
L
Solución del ejercicio 1Solución del ejercicio 1
Entonces, LMRS es un trapecio rectángulo.
LM II SR por estar contenidos en los lados opuestos de un rectángulo.
LM RM por ser lados consecutivos de un rectángulo.
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M
NRST
L a
ALMRS =a + c
2 hh
=
b
c
ALMRS =
a2
a +
2 bb 3
2 a
12
6 6 = 45
MR = 6,0 cm 0,45 dm2 = 45 cm2
92
a = 45 2 45
a =9 9
5 2 9 = 10 =
a = 10 cm
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M
NRST
L a
ALMRS =a + c
2 hhb
c
MR = 6,0 cm 0,45 dm2 = 45 cm2
a = 10 cm
PLMRT =PLMRT = 2(a + b) = 2(10 cm + 6 cm)
PLMRT =PLMRT = 32 cm
ALMNS =ALMNS = ah = 10 cm 6 cm= 60 cm2
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En la figura, ABCD es un rombo
de área A = 80 cm2 y perímetro P = 40 cm .
En la figura, ABCD es un rombo
de área A = 80 cm2 y perímetro P = 40 cm .
AA
BB
CC
DD
EE
FFE y F son puntos de los lados AD y BC respectivamente, tales que, EBFD es un rectángulo.
E y F son puntos de los lados AD y BC respectivamente, tales que, EBFD es un rectángulo.
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Halla el área del rectángulo EBFD.Halla el área del rectángulo EBFD.
Halla la longitud de las diagonales del rombo.Halla la longitud de las diagonales del rombo.
a)a)
b)b)
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A
B
C
D
E
F
AABCD = 80 cm2
PABCD = 40 cm2
aa
bbcc AB = a; EB = b ;AB = a; EB = b ;
BF = cBF = c
aa AABCD = ah = ab = 80
PABCD = 4a = 40a =10 cm
10b = 80 Entonces: b=8 cm
aaaa
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A
B
C
D
E
F
aa
bbcc
aa
aaaa
¿Cómo hallar el valor de c?
c = a – EA
a2 = b2 + EA2
(Teorema de Pitágoras en el ABE)(Teorema de Pitágoras en el ABE)
a =b=8 cm
10 cm
EA = 6 cm
Ent. c = 4 cmEnt. c = 4 cm
AABFD = bcAABFD = bc = 4 cm 8 cm= 4 cm 8 cm= 32 cm2= 32 cm2