AREAS BAJO UNA CURVA

Sea f(x) una función continua en el intervalo cerrado (a,b), tal que f(x) es >0 en dicho intervalo cuya grafica es:

Entonces e área limitada superiormente por f(x) e inferiormente por el eje x desde x=a hasta x=b estará dada por la siguiente integral:

A=∫a

b

f ( x )dx

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Ejemplo 1)

Encontrar el área de la región limitada por f(x)=2x+3, el eje x desde x=1 hasta x=3.

A=∫1

3

2x+3dx

A=x2+3 x+c|31A=¿

A=18−4

A=14u2

Ejemplo 2)

Encontrar el área de la región limitada por f(x)=x3, eje x desde x=-2 hasta x= 3

AT=¿A1+A2¿

A1=−∫−2

0

x3dx

A1=−( 14x4)| 0−2

A1=−(−4 )

A1=4u2

A2 =∫0

3

x3dx

¿( 14 x4)|30=814 u2

Área total = A1+A2 = 4u2 +814u2 =

974u2

Algunas veces uno de los límites del área definida es el eje “Y”. Entonces el área indicada vendrá dada por la siguiente integral:

A=∫a

b

g ( y )dy

Donde g(y) es el resultado obtenido al despejar la variable x de la expresión y=f(x) ejemplo:

Encontrar el área de la región limitada por y=x2, el eje y desde y=1 hasta y=3 para x≥0.

g(y)=? A=∫1

3

√ ydy

Y=x2 A=∫1

3

y12dy

x2=y A=23y32|31

√ x2=√ y A=3.46−23

x=√ y A=2.79u2