ÁREAS DE SUPERFICIES PLANAS

Bayron Gutiérrez

Wilson Moya

Jhonatan Sierra

Lina Vega

REGIÓN POLIGONAL.

un polígono es una figura plana compuesta por una secuencia finita desegmentos rectos consecutivos que cierran una región en el plano. Estossegmentos son llamados lados, y los puntos en que se intersecan se llamanvértices. El interior del polígono es llamado área.

La superficie, entendida como la forma y extensión de la figura se denominaregión poligonal. Una región poligonal es un subconjunto de un planodelimitado por un polígono. Todos los polígonos representan regionespoligonales.

ÁREA DE SUPERFICIE.

El área es la superficie comprendida dentro de unperímetro. A cada región poligonal se le puede asignarun número positivo único denominado medida del área.La medida del área es un valor que indica la cantidad desu superficie. La unidad área de las medidas de superficiees el cuadrado que tiene por lado la unidad de longitud.Se acostumbra a utilizar como unidad el metro cuadrado(m2), que corresponde a un cuadrado de un metro delado, o uno de sus submúltiplos o múltiplos, de acuerdo ala extensión de la figura.

FIGURAS IGUALES.

Dos figuras son iguales cuando puedencoincidir por superposición.

FIGURAS EQUIVALENTES

Los figuras son equivalentes cuando tienen igual área o lamisma medida de área, sin tener la misma forma. Dospolígonos que son congruentes, son equivalentes. Dosfiguras equivalentes no necesariamente son iguales, esdecir, un cuadrado y un triangulo pueden ser equivalentesya que tienen la misma área, pero no son iguales.

ÁREA DE REGIONES CONGRUENTES

Si dos polígonos son congruentes, entonces,las regiones tienen la misma área.

ÁREA DE UN RECTANGULO.

un rectángulo es un paralelogramo cuyos

cuatro lados forman ángulos rectos entre sí.

Los lados opuestos tienen la misma longitud.

El perímetro de un rectángulo es igual a la

suma de todos sus lados 𝒫 = 2𝑎 + 2𝑏.

El área de un rectángulo es igual al producto

de uno de sus lados, denominado base, por la

altura sobre ese lado. El área del rectángulo

está dado por la ecuación:

Α∎ = 𝑏𝑎𝑠𝑒 (𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎) = 𝑏ℎ

ÁREA DE UN CUADRADO.

El cuadrado se considera un caso de

rectángulo en el que todos sus lados tienen la

misma longitud.; el área es igual al producto

de su lado por si mismo, es decir, al cuadrado

del lado. Entonces en un cuadrado de lado l,

el área es:

Α∎ = 𝑙2

ÁREA DE UN PARALELOGRAMO.

Un paralelogramo es un tipo especial de cuadrilátero (un polígono formado por cuatro lados) cuyos lados opuestos son iguales y paralelos dos a dos.

El área de un paralelogramo es igual al producto de su base por su altura Α∎ = 𝑏. ℎ.

COROLARIOS

1. Dos paralelogramos de igual base e igual alturason equivalentes.

2. Las áreas de dos paralelogramos de igual baseson proporcionales a sus alturas, y las áreas dedos paralelogramos de igual altura sonproporcionales a sus bases.

3. Las áreas de dos paralelogramos son entre sicomo los productos de sus bases por sus alturas

4. Considerado el rombo como un paralelogramo,el área de un rombo es igual al producto de labase por la altura.

ÁREA DE UN TRAPECIO.

Trapecio es un cuadrilátero que tiene dos lados paralelos y otros dos que no lo son. Los lados

paralelos se llaman bases del trapecio y la distancia entre ellos altura.

El área de un trapecio es igual al producto de la semisuma de sus bases por su altura

Α𝜏 =1

2𝐵 + 𝑏 ℎ.

COROLARIO.

El área de un trapecio es igual al producto de laaltura por el segmento de recta que une lospuntos medios de los lados no paralelos

ÁREA DE UN TRAPECIO EN FUNCIÒN DE SUS CUATRO LADOS.

Sea ABCD el trapecio, de lados: a, b, c y d.

Trácese las altura 𝐵𝑀 = 𝐴𝑁 = ℎ y se consigue los triángulos rectángulos CMB y AND y

los catetos y, x, donde:

es la ecuación que relaciona el área de un trapecio en función de sus lados

dcPdaPdPbPdb

dbA

ÁREA DE UN CUADRILATERO CUALQUIERA.

• El área de un cuadrilátero cualquiera es igual al producto de una diagonal por la semisuma de las perpendiculares bajadas a esta diagonal desde los otros dos vértices.

( )2

BF DGA EC

AREA DE UN POLÍGONO

CUALQUIERA.

El área de un polígono cualquiera se puede hallar descomponiendo el polígono en triangulo y la

suma de dichas áreas corresponde al área del polígono. De acuerdo a lo anterior, el área del

polígono ABCDE, es Α = 𝐴1 + 𝐴2 + 𝐴3

.

ÁREA DE UN POLÍGONO REGULAR. El área de un polígono regular es igual al semi-producto

del perímetro por la apotema 𝐴 =𝑃𝑎

2.

ÁREA DEL CÌRCULO.

El área del círculo es igual al producto de 𝜋por el cuadrado del radio 𝐴Θ = 𝜋. 𝑅2 .

ÁREA DE UN SECTOR CIRCULAR.

El área de un sector circular S de n grados (nº), se obtiene por la relación

2 º

360ºO BMC

R nA

SECTORES CIRCULARES SEMEJANTES.

Dos sectores circulares son semejantes cuando tienen la misma amplitud (nº); pero, pertenecen a círculos diferentes de radios diferentes. TEOREMA.

Las áreas de dos sectores circulares semejantes son proporcionales a los cuadrados de sus radios.

2

1 1

2

2 2

A R

A R

ÁREA DE UN SEGMENTO CIRCULAR.

• El área de un segmento circular es igual a la diferencia o la suma de las áreas del sector correspondiente al arco del segmento, y del triángulo que tiene por base la cuerda del segmento y por vértice el centro del círculo, según que el arco respectivo sea menor o mayor que la semicircunferencia.

• El área del segmento circular ABC es igual al área del sector AOBC, menos el área del triangulo AOB

TEOREMA.

• El área de un trapecio circular limitado por dos arcos de radios R1 y R2 y por dos radios que forman el ángulo central nº, está dada por la ecuación:

2 2

1 2º ( )

360º

n R RA

ÁREA DE UNA CORONA CIRCULAR.

El área de una corona circular es igual a la diferencia entre las áreas de los dos círculos que la limitan.

El área de la corona circular C, es:

𝐴 = 𝜋𝑅12 − 𝜋𝑅2

2 = 𝜋(𝑅12 − 𝑅2

2)

ÁREA DE UN TRIANGULO.

El área de un triángulo es igual al semi-producto de uno de sus lados por la

altura sobre ese lado ΑΔ =1

2𝑏. ℎ.

COROLARIOS1. Todos los triángulos que tienen bases y alturas iguales

respectivamente son equivalentes.

2. Las áreas de dos triángulos de bases iguales son entre

sí como sus alturas respectivas; las áreas de dos

triángulos de alturas iguales son entre sí como sus

respectivas bases

3. Las áreas de dos triángulos cualesquiera son entre sí

como los productos de las bases por las respectivas

alturas.

4. El producto de los catetos de un triángulo rectángulo es

igual al producto de la hipotenusa por la perpendicular

bajada a ella del vértice del ángulo recto.

TEOREMA DE PITÀGORAS PARA TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS.

El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de las áreas los cuadrados construidos sobre los catetos. Si a y b son los catetos y c es la hipotenusa: a² = b² +c²

COROLARIOS.

1. La hipotenusa es igual a la raíz cuadrada de la suma de los catetos

2. El cuadrado de un cateto es igual al cuadrado de la hipotenusa menos el cuadrado del otro cateto

3. Un cateto es igual a la raíz cuadrada de la diferencia entre el cuadrado de la hipotenusa y el cuadrado del otro cateto

CALCULO DEL ÁREA DE UN

TRIÀNGULO EN FUNCIÒN DE SUS LADOS. ECUACION DE HERON.

Herón de Alejandría, vivió entre 150 y 100 a de C. Matemático y físico griego, polifacético, autor de escritos geométricos, de mecánica y Se le atribuye la ecuación

para hallar el área de un triángulo conociendo sus tres lados.Sea el ∆𝐴𝐵𝐶

La ecuación de la altura sobre el lado c, es:

hc =2

cP(P − a)(P − b)(P − c), con P =

a+b+c

2

Entonces: A∆=c. hc2

=c

2

2

cP P − a P − b P − c

luego A∆= P(P − a)(P − b)(P − c),esta la ecuacion para calcular el area en funcion de sus lados

ÁREA DE UN TRIÁNGULO EN FUNCIÓN DE SUS ALTURAS.

Sea ABC un triángulo cualquiera, donde x, y, zson las alturas sobre los lados 𝐴𝐵, 𝐵𝐶, 𝐴𝐶respectivamente.𝐴Δ=Área del triángulo; el área en función desus alturas está dada por:

442242424442244

222

222 xyzxyzxyzyzxyzx

zxyA

ÁREA DE UN TRIANGULO EN FUNCION DE SUS MEDIANAS.

Sea el triángulo ABC, con: x, y, z las medianas.Sean: M, N y D los puntos medios de los lados a, b y c; 𝐴𝐵 = 𝑐, 𝐴𝐶 = 𝑏, 𝐵𝐶 = 𝑎 ;𝐴𝑁 = 𝑥 = 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑒𝑙 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑎, 𝐵𝑀 = 𝑦 = 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑒𝑙 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑏;𝐶𝐷 = 𝑧 = 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑒𝑙 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑐

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