Argumentos lógicos - UNAMmax/GEA20/P0b.pdf · 2020. 10. 29. · Todos los griegos eran grandes...
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Argumentos lógicos
Tautologías y falacias
Al combinar proposiciones por medio de ┐ → es posible obtener proposiciones que siempre sonverdaderas, o que siempre son falsas, sin importar silas proposiciones iniciales eran verdaderas o falsas.
Tautologías y falacias
Al combinar proposiciones por medio de ┐ → es posible obtener proposiciones que siempre sonverdaderas, o que siempre son falsas, sin importar silas proposiciones iniciales eran verdaderas o falsas.
Ejemplos:
P ┐P siempre es verdadera, sin importar P
Tautologías y falacias
Al combinar proposiciones por medio de ┐ → es posible obtener proposiciones que siempre sonverdaderas, o que siempre son falsas, sin importar silas proposiciones iniciales eran verdaderas o falsas.
Ejemplos:
P ┐P siempre es verdadera, sin importar P
P ┐P siempre es falsa, sin importar P
Las combinaciones de proposiciones que siempre sonverdaderas se llaman tautologías y son importantesporque son la base de los razonamientos lógicos.
¿Ejemplos de tautologías?
Las combinaciones de proposiciones que siempre sonverdaderas se llaman tautologías y son importantesporque son la base de los razonamientos lógicos.
Ejemplos de tautologías
P (P → Q) → Q
(P Q) ┐P → Q
(P → Q) ┐Q → ┐P
Las combinaciones de proposiciones que siempre sonfalsas se llaman contradicciones.
¿Ejemplos de contradicciones?
Las combinaciones de proposiciones que siempre sonfalsas se llaman contradicciones.
¿Ejemplos de contradicciones?
P → ┐P
(P → ┐P) P
(P → Q) (P → ┐Q)
Las combinaciones de proposiciones que siempre sonfalsas se llaman contradicciones.
¿Ejemplos de contradicciones?
P → ┐P NO, es cierta si P es falsa
(P → ┐P) P SI, siempre es falsa
(P → Q) (P → ┐Q) NO, es cierta si P es falsa
Un argumento lógico es un razonamiento que apartir de proposiciones verdaderas siempre obtieneconclusiones verdaderas independientemente de quedigan las proposiciones.
Argumentos lógicos
Un argumento lógico es un razonamiento que apartir de proposiciones verdaderas siempre obtieneconclusiones verdaderas independientemente de quedigan las proposiciones.
Podemos dar argumentos lógicos usando lascondicionales que siempre son ciertas (las que sontautologías) estas llamadas implicaciones y sondenotadas por .
Argumentos lógicos
Ejemplos de argumentos lógicos:
(P Q) ┐P ?
Hoy es sábado o domingo y Hoy no es sábado implican
Ejemplos de argumentos lógicos:
(P Q) ┐P Q
Hoy es sábado o domingo y Hoy no es sábado implican Hoy es domingo
Ejemplos de argumentos lógicos:
(P → Q) P ?
Si cae nieve hace frio y Cae nieve implican
Ejemplos de argumentos lógicos:
(P → Q) P Q
Si cae nieve hace frio y Cae nieve implican Hace frio
Ejemplos de argumentos lógicos:
(P → Q) ┐Q ?
Si cae nieve hace frio y No hace frio implican
Ejemplos de argumentos lógicos:
(P → Q) ┐Q ┐P
Si cae nieve hace frio y No hace frio implican No cae nieve
(P → Q) ┐P ? Si cae nieve hace frio y No cae nieve no implican
(P → Q) ┐P ┐Q Si cae nieve hace frio y No cae nieve no implican No hace frio
X
(P → Q) Q ?
Si cae nieve hace frio y Hace frio no implican Cae nieve
(P → Q) Q P
Si cae nieve hace frio y Hace frio no implican Cae nieve
X
(P → Q) (Q → R) ?
Si cae nieve hace frio y Si hace frio me resfrío implican
(P → Q) (Q → R) (P → R)
Si cae nieve hace frio y Si hace frio me resfrío implican Si cae nieve me resfrío
Hay otros tipos de argumentos lógicos que seobtienen combinando de maneras mas sutiles lasproposiciones con cuantificadores.
Silogismos y falacias
Hay otros tipos de argumentos lógicos que seobtienen combinando de maneras mas sutiles lasproposiciones con cuantificadores.
Ejemplos:
Todos los pericos son aves y Las aves vuelan
Silogismos y falacias
Hay otros tipos de argumentos lógicos que seobtienen combinando de maneras mas sutiles lasproposiciones con cuantificadores.
Ejemplos:
Todos los pericos son aves y Las aves vuelan
Todos los pericos vuelan
Silogismos y falacias
Hay otros tipos de argumentos lógicos que seobtienen combinando de maneras mas sutiles lasproposiciones con cuantificadores.
Ejemplos:
Ninguna iguana vuela y Las aves vuelan
Silogismos y falacias
Hay otros tipos de argumentos lógicos que seobtienen combinando de maneras mas sutiles lasproposiciones con cuantificadores.
Ejemplos:
Ninguna iguana vuela y Las aves vuelan
Ninguna iguana es ave
Silogismos y falacias
Hay otros tipos de argumentos lógicos que seobtienen combinando de maneras mas sutiles lasproposiciones con cuantificadores.
Ejemplos:
Algunos pájaros son aves y Las aves vuelan
Silogismos y falacias
Hay otros tipos de argumentos lógicos que seobtienen combinando de maneras mas sutiles lasproposiciones con cuantificadores.
Ejemplos:
Algunos pájaros son aves y Las aves vuelan
Algunos pájaros vuelan
Silogismos y falacias
Los argumentos de este tipo son muy generales y muyútiles, fueron estudiados por primera vez porAristoteles en el siglo 4AC.
Los argumentos de este tipo son muy generales y muyútiles, fueron estudiados por primera vez porAristoteles en el siglo 4AC.
Hay que tener cuidado con esta clase de argumentosporque hay muchas combinaciones posibles, algunasson validas (son silogismos) y otras son invalidas (sonfalacias).
Para que un argumento sea válido no bastacon que la conclusión sea verdadera!
Ejemplo
Todos los pericos son aves y Algunas aves vuelan
?
Ejemplo
Todos los pericos son aves y Algunas aves vuelan
Algunos pericos vuelan?
Ejemplo
Todos los pericos son aves y Algunas aves vuelan
Algunos pericos vuelan
Es una falacia. Es verdad que algunos pericos vuelan,pero eso no es una consecuencia lógica de lo anterior.Para ver que el argumento anterior es inválido bastacambiar pericos por pingüinos.
x
Ejemplo
Ninguna iguana es ave y Todas las aves vuelan
?
Ejemplo
Ninguna iguana es ave y Todas las aves vuelan
Ninguna iguana vuela?
Ejemplo
Ninguna iguana es ave y Todas las aves vuelan
Ninguna iguana vuela
Es una falacia. Se puede ver que el argumento anteriores inválido cambiando iguana por murciélago.
x
Ejemplo
Ningún insecto es un ave y Ningún ave es un reptil
?
Ejemplo
Ningún insecto es un ave y Ningún ave es un reptil
Ningún insecto es un reptil?
Ejemplo
Ningún insecto es un ave y Ningún ave es un reptil
Ningún insecto es un reptil
Es una falacia. Para ver que argumento es inválido,basta cambiar insecto por cocodrilo.
x
Ejemplo
Hay políticos rateros y Hay rateros ricos
?
Ejemplo
Hay políticos rateros y Hay rateros ricos
Hay políticos ricos?
Ejemplo
Hay políticos rateros y Hay rateros ricos
Hay políticos ricos
Es una falacia. Para ver que argumento es inválido,basta cambiar ricos por pobres.
x
Lo importante de los argumentos lógicos no es lo que
dicen en particular, sino su estructura, la manera en
que esta conectadas las distintas partes.
¿Argumento lógico o falacia?
Lo importante de los argumentos lógicos no es lo que
dicen en particular, sino su estructura, la manera en
que esta conectadas las distintas partes.
Su validez o invalidez se puede aclarar si los vemos de
manera mas abstracta, sin referencia a cosas que ya
conocemos.
¿Argumento lógico o falacia?
Por ejemplo, consideremos la afirmación:
Todos los cazadores tienen dientes
y algunos gatos son cazadores
Por ejemplo, consideremos la afirmación:
Todos los cazadores tienen dientes
y algunos gatos son cazadores
si las escribimos como
Todos los C son D y algunos G son C
entonces podemos concluir que
Por ejemplo, consideremos la afirmación:
Todos los cazadores tienen dientes
y algunos gatos son cazadores
si las escribimos como
Todos los C son D y algunos G son C
entonces podemos concluir que algunos G son D
que es Algunos gatos tienen dientes
Otro ejemplo
Platón era un gran filósofo
Todos los griegos eran grandes filósofos
Por lo tanto Platón era griego
Otro ejemplo
Platón era un gran filósofo
Todos los griegos eran grandes filósofos
Por lo tanto Platón era griego
Si lo reescribimos como
P es F
Todos los G son F
Por lo tanto P es G
Otro ejemplo
Platón era un gran filósofo
Todos los griegos eran grandes filósofos
Por lo tanto Platón era griego
Si lo reescribimos como
P es F
Todos los G son F
Por lo tanto P es G
vemos que el argumento es invalido:
que P sea F y todos los G sean F no dice que P sea G!
Otro ejemplo
Platón era un gran filósofo
Todos los griegos eran grandes filósofos
Por lo tanto Platón era griego
Si lo reescribimos como
P es F
Todos los G son F
Por lo tanto P es G
vemos que el argumento es invalido:
que P sea F y todos los G sean F no dice que P sea G!
Platon sí era griego, pero eso no hace al argumento valido!
Todo X es Y y Todo Y es Z ?
Todo X es Y y Todo Y es Z Todo X es Z?
Todo X es Y y Todo Y es Z Todo X es Z
XZY
Todo X es Y y Todo Y es Z Todo X es Z
Ningún X es Y y Ningún Y es Z ?
XZY
Todo X es Y y Todo Y es Z Todo X es Z
Ningún X es Y y Ningún Y es Z Ningún X es Z
XZY
?
Todo X es Y y Todo Y es Z Todo X es Z
Ningún X es Y y Ningún Y es Z Ningún X es Z
X
Z
Y
XZY
x
Algún X es Y y Algún Y es Z ?
Algún X es Y y Algún Y es Z Algún X es Z?
Algún X es Y y Algún Y es Z Algún X es Zx
X ZY
Algún X es Y y Algún Y es Z Algún X es Z
Algún X es Y y Ningún Y es Z
x
X ZY
?
Algún X es Y y Algún Y es Z Algún X es Z
Algún X es Y y Ningún Y es Z Algún X no es Z
x
X ZY
?
Algún X es Y y Algún Y es Z Algún X es Z
Algún X es Y y Ningún Y es Z Algún X no es Z
x
X
Z
Y
X ZY
Todo X es Y y Ningún Y es Z ?
Todo X es Y y Ningún Y es Z Ningún X es Z ?
Todo X es Y y Ningún Y es Z Ningún X es Z
ZYX
Todo X es Y y Ningún Y es Z Ningún X es Z
Ningún X es Y y Todo Y es Z ?
ZYX
Todo X es Y y Ningún Y es Z Ningún X es Z
Ningún X es Y y Todo Y es Z Ningún X es Z
ZYX
?
Todo X es Y y Ningún Y es Z Ningún X es Z
Ningún X es Y y Todo Y es Z Ningún X es Z
ZYX
X
Z
Y
x
Algún X es Y y Todo Y es Z ?
Algún X es Y y Todo Y es Z Algún X es Z
?
Algún X es Y y Todo Y es Z Algún X es Z
Y
Z
X
Algún X es Y y Todo Y es Z Algún X es Z
Todo X es Y y Algún Y es Z ?
Y
Z
X
Algún X es Y y Todo Y es Z Algún X es Z
Todo X es Y y Algún Y es Z Algún X es Z
Y
Z
X
?
Algún X es Y y Todo Y es Z Algún X es Z
Todo X es Y y Algún Y es Z Algún X es Z
Y
Z
X
x
X
Y
Z
¿Los siguientes argumentos son válidos o no?
a. Todos los matemáticos son científicos
Algunos científicos están locos
así que algunos matemáticos están locos
b. Todos los marcianos son verdes
Ningún ser sin antenas es verde
Por lo tanto todos marcianos tienen antenas
¿Los siguientes argumentos son válidos o no?
a. Todos los matemáticos son científicos
Algunos científicos están locos
así que algunos matemáticos están locos
NO
b. Todos los marcianos son verdes
Ningún ser sin antenas es verde
Por lo tanto todos marcianos tienen antenas
SI
¿Los siguientes argumentos son válidos o no?
c. Ningún mentiroso es confiable
Ninguno de mis amigos es mentiroso
Así que todos mis amigos son confiables.
d. Algunos animales son cazadores
Algunos cazadores son gatos
Entonces algunos animales son gatos.
¿Los siguientes argumentos son válidos o no?
c. Ningún mentiroso es confiable
Ninguno de mis amigos es mentiroso
Así que todos mis amigos son confiables.
NO
d. Algunos animales son cazadores
Algunos cazadores son gatos
Entonces algunos animales son gatos.
NO
Los silogismos se pueden combinar para obtener argumentos
lógicos mas elaborados,
Lewis Carrol (el de Alicia) tiene acertijos donde a partir de
premisas aparentemente no relacionadas hay que sacar una
conclusión lógica.
¿Que conclusión lógica se puede obtener?
Ningún pato sabe bailar
Ningún oficial se niega a bailar
Todas mis aves de corral son patos
Entonces...
¿Que conclusión lógica se puede obtener?
Ningún pato sabe bailar
Ningún oficial se niega a bailar
Todas mis aves de corral son patos
Entonces...
P
O
B
AC
¿Que conclusión lógica se puede obtener?
Los colibríes son coloridos
Ningún pájaro grande come miel
Los pájaros que no comen miel son pardos
Entonces...
¿Que conclusión lógica se puede obtener?
Los colibríes son coloridos
Ningún pájaro grande come miel
Los pájaros que no comen miel son pardos
Entonces...
C
M
c
G
¿Que conclusión lógica se puede obtener?
Los bebes son ilógicos
Nadie que maneje cocodrilos es despreciable
Las personas ilógicas no son apreciadas
Entonces...
¿Que conclusión lógica se puede obtener?
Los bebes son ilógicos
Nadie que maneje cocodrilos es despreciable
Las personas ilógicas no son apreciadas
Entonces...
I
D
B
MC
Demostraciones
Una demostración es un argumento lógico en el que cada
paso esta plenamente justificado y es una consecuencia lógica
inmediata de los anteriores.
En matemáticas todo se demuestra, aprender a hacer
demostraciones toma tiempo y dedicación. Vamos a empezar
haciendo algunas demostraciones sencillas.
Hay métodos de demostración directos y métodos indirectos,
que a veces se combinan.
Demostraciones directas
Como ( p → r ) ∧ ( r → q ) ⇒ ( p → q ) entonces podemos
demostrar p → q mostrando que p → r y que r → q donde r
es cualquier otra proposición.
Mas generalmente, para demostrar que si pasa A entonces pasa
Z, podemos hacerlo por pasos buscando una serie de
proposiciones, C, D, E, ... tales que podamos demostrar que si
pasa A entonces pasa B, si pasa B entonces pasa C, si pasa C
entonces pasa D.... hasta terminar en Z.
Demostrar que Si algunos A son B y ningún B es C entonces
algunos A no son C
Hipótesis 1: Existe x tal que x es A y x es B.
Hipótesis 2: Si y es B entonces y no es C
Por demostrar: Existe z tal que z es A y z no es C
Demostración (directa):
Por la hipótesis 1 existe x tal que x es A y x es B
Como x es B entonces por la hipótesis 2 x no es C
Así que x es A y x no es C, que es lo que se quería demostrar. □
Demostrar que El cuadrado de un número par es par
Hipótesis: n es un número par
Por demostrar: n2 es par
Demostración (directa):
Por la hipótesis n es par
Entonces n=2m para algún número m
Entonces n2 = (2m)2 = 4m2
Por lo tanto n2 = 2(2m2) lo que dice que n2 es par □
Demostraciones contrapositivas
Como p → q es equivalente a ┐q → ┐p entonces podemos
demostrar p → q demostrando la contrapositiva ┐q → ┐p
Para demostrar que si pasa A entonces tiene que pasar B
podemos suponer que B no pasa y mostrar que entonces
tampoco pasa A.
Demostrar que Si algunos A no son B y todos los C son B
entonces algunos A no son C
Hipótesis 1: Existe x tal que x es A y x no es B
Hipótesis 2: Si y es C entonces y es B
Por demostrar: Existe z tal que x es A y z no es C
Demostración (contrapositiva):
Supongamos que no existe z tal que z es A y z no es C
Esto significa que si z es A entonces z es C
Así que si z es A entonces (por hip 2) z es B
Por lo tanto no existe z tal que z es A y z no es B que niega
la hipótesis 1. □
Demostrar que Si el cuadrado de un número entero es
impar, entonces el número es impar.
Hipótesis: n es un numero entero y n2 es impar
Por demostrar: n es impar
Demostración (contrapositiva):
Supongamos que la conclusión es falsa, es decir que n es par
Entonces n=2m para algún entero m
Por lo tanto n2 =(2m)2 = 4m2 = 2(2m2)
esto dice que n2 es par lo que niega la hipótesis. □
Demostrar que Si todos los A son B y ningún B es C
entonces ningún A es C.
Hipotesis 1: Si x es A entonces x es B
Hipotesis 2: Si y es B entonces y no es C
Por demostrar: Si z es A entonces z no es C
Demostración (por contradicción):
Supongamos que hay un z tal que z es A y z es C
Como z es a entonces (por hip 1) z es B
Como z es B entonces (por hip 2) z no es C
Por lo tanto, z es C y z no es C lo que es una contradicción. □