A R I T M É T I C A

U N F V - C E P R E V I 1

unidad

4

Divisibilidad

CICLO: ENERO - MARZO 2006 I Pág. 2

A R I T M É T I C A

DIVISIBILIDAD DE NÚMEROSUn número entero es divisible entre otro positivo (Módulo), cuando al dividir el primero entre el segundo el cociente es entero y el residuo cero.

A B 0 K

A: número enteroDonde: B: número entero positivo (Módulo)

K: número enteroA es divisible entre B

Entonces B es divisor de AB divide a A

2. MULTIPLICIDAD DE NUMEROSUn número entero es múltiplo de otro positivo (Módulo), cuando es el resultado de multiplicar dicho entero positivo por un entero cualquiera.

A: número enteroA = B x K B: número entero positivo (Módulo)

K: número entero

A es múltiplo de B Entonces: B es sub múltiplo de A

B es factor a ANOTA:Podemos observar entonces que la multiplicidad es la expresión del teorema fundamental de la división por lo tanto la Divisibilidad y la Multiplicidad de números son conceptos equivalentes en el conjunto de los enteros, con la restricción hecha sobre el módulo.Así:Si:

A es divisible entre BB es divisor de A

A es múltiplo B, entonces: B divide a AB es sub múltiplo de AB es factor a A

3. NOTACIÓN Y REPRESENTACIÓN GENERAL

A = mB3.1. A es múltiplo B =

A = B

mB = B = B x K

3.2.Si A no es múltiplo de B (o no es divisible, que es lo mismo), entonces por el Teorema Fundamental de la división entera:División Entera por defecto: A = B x K + dr

División Entera por exceso: A = B x ( K + 1) - er

A = B + dr =

B - erNOTA:“Si un número entero no es divisible entre cierto módulo, entonces se puede expresar de dos formas respecto a múltiplos de él, como

un múltiplo del módulo más cierto resto o como múltiplo del módulo menos cierto resto, la suma de los restos debe ser igual al módulo empleado”.

Observación.- La cantidad de números que son , en la secuencia consecutiva desde 1 hasta el número N, está dada por:

Cant. de #s = Parte entera de:

nN

4. PRINCIPIOS OPERATIVOS4.1. Adición:

n + n +

n + . . . . + n =

n

4.2. Sustracción: n -

n = n

4.3. Multiplicación: n . K =

n

4.4. Potenciación:

m

n

n

5. TEOREMA DE ARQUIMEDES - EUCLIDES“Si un módulo divide al producto de dos enteros y no tiene divisores comunes (aparte de la unidad) con uno de ellos, entonces divide al otro número”. Ejemplos: 9 x A =

7 A = 7

13 x B = 5 B =

5

Observación.- Si en el producto de los dos enteros, uno de los factores admite divisores comunes con el módulo (aparte de la unidad), entonces para poder usar el teorema, primero se deberá simplificar tales elementos comunes, tanto en el factor como en el módulo.

6. CRITERIOS DE DIVISIBILIDADDefinición: Son ciertas reglas prácticas que aplicadas a las cifras de un numeral permitirán determinar su divisibilidad respecto a cierto módulo.

6.1. Criterios de Divisibilidad entre potencias de 2:

2abcde e = 0,

24abcde e = 00,

48abcde e = 000,

8

* Ejercicios:¿Qué valor debe asignarse a “X” para que el numeral sea divisible entre 8?

Solución: =

=

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X = 2

6.2. Criterios de Divisibilidad entre potencias de 5.

5abcde e = 0,

5

25abcde e = 00, 25

125abcde e = 000,

125

* Ejercicios:Hallar: m + n ; si:

125mn10363

Solución: mn3 = 125

mn3 = 375 m = 7 n = 5

m + n = 12

6.3. Criterio de Divisibilidad entre 3 ó 9

3abcd a + b + c + d =

3

9abcd a + b + c + d =

9

* Ejercicio:

Hallar: “X”, si:

Solución: 1 + 3 + X + 5 + 2 = 9

11 + X = 9

X = 7

6.4. Criterio de Divisibilidad entre 11Un numeral es divisible entre 11 si empezando de derecha a izquierda, la diferencia entre la suma de sus cifras de orden impar y la suma de sus cifras de orden par es divisible entre 11.

= 11 a - b + c - d + e =

11

* Ejercicio:¿Cuál es el valor de “X” para que el numeral sea divisible entre 11?

Solución: = 11

Entonces: - 4 + X - 1 + 7 = 11

X + 2 = 11

X = 9

6.5. Criterio de Divisibilidad entre 7Un numeral es divisible entre 7 si al multiplicar cada una de sus cifras (a partir de la derecha) por 1; 3; 2; -1; -3; -2; 1; 3; . . . . y luego de efectuar, la suma algebraica resultante es divisible entre 7.

= 7 a -2b-3c-d +2e +3f +g =

7

* Ejercicio:¿Cuál es el valor de “a” si el numeral

372a13 es divisible entre 7?

Resolución: =

Entonces: - 2 - 9 - a + 6 + 21 + 2 =

18 - a = a = 4

6.6. Criterio de Divisibilidad entre 13:Un numeral es divisible entre 13 si al multiplicar a cada una de sus cifras (a partir de la derecha) por: 1; -3; -4; -1; 3; 4; 1; -3; -4; . . y luego efectuar, la suma algebraica resultante es divisible entre 13.

= a - + 4b + 3c - d -4e - 3f + g =

* Ejercicio:¿Qué valor debe tomar “b” en el numeral

306b128 si es divisible entre 13.

Resolución: = 13

Entonces: 1 + 8 + 24 - b - 12 - 0 + 6 = 13

27 - b = 13 b = 1

6.7. Criterio de Divisibilidad entre 33 y 99Se descomponen el numeral de derecha a izquierda en bloques de 2 cifras y la suma de ellos es

33 o 99

* Ejercicio:¿Cuál es el valor de “a+b” si el numeral

es ?

Resolución: : 13 + ab + 54 =

ab = - 67

ab = + 32 a + b = 5

7. DIVISIBILIDAD APLICADA AL BINOMIO DE NEWTON7.1. Primer Caso

7.2. Segunda Caso, si “k” es par.

, si “k” es impar.

8. PROPIEDADES8.1. Si un número es múltiplo de varios

módulos, entonces es múltiplo del MCM de dichos módulos; es decir

si:

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+ - +

- +

+ - +

+ - +

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En general:

8.2. Si con respecto al módulo “n”, los

números , y se

multiplican; entonces:

8.3. Para un numeral escrito en base “n”:

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. * ¿Cuántos múltiplos de 13 hay en la secuencia. 1; 2; 3; … ;300 ?

* Del 240 al 1500. ¿Cuántos números son ?

Dar como respuesta la suma de ambos resultados a) 113 b) 72 c) 108 d) 126 e) 94

2. En Una conferencia de prensa a donde asistieron 83 personas; se sabe que los 7/17 de los varones son solteros y los 5/8 de las damas tenían automóvil. ¿Cuál es la diferencia del número de damas y varones?a) 32 b) 51 c) 37 d) 41 e) 19

3. El número de alumnos inscritos en el ciclo 2006-I del CPU esta comprendido entre 850 y 950. Si se cuentan de 12 en 12 sobran 5, de 15 en 15 sobran 8 y de 18 en 18 sobran 11. Halla el número de alumnos inscritos.a) 891 b) 893 c) 853 d) 892 e) 873

4. Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones:I. El cero es un divisor de todo número y la unidad es

múltiplo de todo número.II. Un numero entero negativo puede ser múltiplo de un

numero entero positivoIII. Un numero A es divisible entre otro numero B; si al

dividir A entre B la división es exacta. Además : AZ; BZ, KZ.

a) VVV b) FVV c) FFV d) FVF e) VFV

5. Si N es un numero entero tal que: 5N + 3 =

Calcular la suma de cifras del máximo valor de N de 2 cifras. a) 15 b) 14 c) 13 d) 16 e) 11

6. Si: . Hallar: “a”

a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 5

7. Un numero de la forma: por que numero no necesariamente es divisible:a) 17 b) 6 c) 51 d) 34 e) 9

8. ¿Cuántos números de 2 cifras cumplen con que al ser divididos entre 5 y 9 dejan como residuo 4 y 6 respectivamente? a) 2 b) 4 c) 6 d) 3 e) 5

9. Hallar el residuo de dividir E7 donde:E = 1 x 8 + 2 x 82 + 3 x 83 + 4 x 84 +…+ 100 x 8100

a) 3 b) 1 c) 5 d) 7 e) 9

10. Sabiendo que: N =

Calcule el residuo al dividir N entre 8a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

11. Si y

¿Cuál será el residuo al dividir: entre 25?a) 2 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

12. Si: . Calcular: (a+b)

a) 4 b) 5 c) 8 d) 7 e) 9

13. Si un numeral de 3 cifras e igual a 12 veces la suma de sus cifras. Calcule el producto de las cifras de mayor y menor orden de dicho numeral.

a) 8 b) 16 c) 10 d) 12 e) 9

14. Si:

Calcule la suma de valores de S = c + p + ua) 30 b) 31 c) 32 d) 34 e) 33

15. Si:

Calcular el mínimo valor de “(b + c)”a) 5 b) 2 c) 1 d) e) 12

16. Si: . Hallar el máximo de : (

+ a)a) 27 b) 60 c) 93 d) 99 e) 108

17. Hallara el residuo de dividir 559403 entre 11. Dar respuesta el residuo por exceso.

a) 3 b) 5 c) 8 d) 9 e) 7

18. Calcular el residuo al dividir: E = 613! + 714! + 519! x 719! entre 9

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 8

19. Si se cumple que:

C.A

C.A

Determinar: a . b . c a) 180 b) 168 c) 240 d) 294 e) 504

20. Si ; determine el residuo

generado al dividir entre 63 el numeral a) 20 b) 21 c) 22 d) 8 e) 40

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Tarea Domiciliaria1. ¿Cuántos números que terminan en 9 son múltiplos de

13?a) 3 b) 5 c) 7 d) 9 e) 8

2. En una batalla se observa que de los sobrevivientes los 5/6 son casados y los 2/9 resultaron ilesos. ¿Cuántos soldados murieron, sabiendo que inicialmente en total eran 60 soldados, además la cuarta parte de los sobrevivientes eran veteranos?a) 36 b) 24 c) 45 d) 38 e) 47

3. Determine cuantas soluciones tiene , si:

+ 2 + 3 + … + 10 =

a) 2 b) 3 c) 5 d) 7 e) 8

4. Si se cumple que:

Hallar : “b - a”a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 3

5. Sabiendo que: Calcular: “m . n” a) 56 b) 45 c) 40 d) 42 e) 35

6. Si: ; además: a + b + c = 12Calcular: a2 + b2 + c2

a) 60 b) 70 c) 80 d) 90 e) 100

7. Si se cumple.

Calcule: (ab + cd) máximoa) 25 b) 38 c) 18 d) 20 e) 30

8. * ; *

Calcule el residuo al dividir: entre 11a) 6 b) 8 c) 10 d) 5 e) 2

9. Desde el primer día de julio se observa que un caño averiado arroja: 8; 15; 22; …. Gotas respectivamente. Si el caño fue arreglado el 31 de agosto. ¿En qué día arrojo por tercera vez una cantidad de gotas múltiplo de 13 mas 5?a) 8 de julio d) 22 de julio b) 21 de julio e) 3 de agosto e) 9 de agosto

10. Siendo:

(5a + 2) cifras

Calcule: a + m ; si es múltiplo de 11 y máximo.a) 9 b) 6 c) 11 d) 12 e) 10

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