Aritmetica-2BIM-1ro sec.doc

LOS OLIVOS: Jr. Mercurio 7481 5330029 SOL DE ORO: Los Planetas 130 5330242 ANCÓN: Balneario de Ancón S/N 5520002

Consorcio Educativo “El Carmelo”ARITMÉTICA 1er año

Colegios Pre Universitarios con Formación Humanista

NUMERACIÓN

OTROS SISTEMAS DE NUMERACIÓN Y SUS ORÍGENES

El sistema decimal de numeración tardó mucho en ocupar la posición dominante que tiene actualmente. En distintos periodos históricos muchos pueblos emplearon sistemas de numeración diferentes al decimal.

Por ejemplo, tuvo bastante difusión el sistema duodecimal. Indudablemente, su origen también está ligado al cálculo por los dedos: puesto que los cuatro dedos de la mano (a excepción del pulgar) tiene 12 falanges en total (ver figura) pasando el dedo pulgar por estas falanges se puede contar de 1 hasta 12. Después se toma 12 como la unidad del origen siguiente, etc. Los vestigios del sistema duodecimal se han conservado en la lengua hablada hasta nuestros días: en lugar de “doce” a menudo decimos “docena”. Muchos objetos (cuchillos, tenedores, platos, pañuelos, etc.) suelen contarse por docenas y no por decenas (recuérdese por ejemplo, que las vajillas son, como regla general, para 12 o 6 personas y muy rara vez para 10 o 5). Hoy día casi no se emplea la palabra “gruesa”, que significa doce docenas (o sea, la unidad del tercer orden en el sistema duodecimal), pero hace unas decenas de años era una palabra bastante extendida especialmente en el mundo del comercio. La docena de gruesas se llamaba “masa”, aunque hoy día pocas personas conocen esta significación de la palabra “gruesa”.

Los ingleses conservan indudables vestigios del sistema duodecimal: en el sistema de medidas (1 pie = 12 pulgadas) y en el sistema monetario (1 chelín = 12 peniques).Notemos que desde el punto de vista matemático el sistema duodecimal tiene ciertas ventajas sobre el decimal.Según Stanley, famoso explorador de África, varias tribus africanas empleaban el sistema quinario. Es evidente la relación de este sistema con la mano del hombre, “máquina computadora” primaria.

Los aztecas y los mayas, que durante varios siglos poblaban las regiones amplias del continente americano y que crearon una alta cultura prácticamente liquidada por los conquistadores españoles en los siglos XVI y XVII, usaban el sistema vigesimal. Este mismo sistema era empleado también por los celtas que se establecieron en el Occidente de Europa desde el segundo milenio antes de nuestra era. Algunos vestigios del sistema vigesimal de los celtas subsisten en el moderno idioma francés: por ejemplo, “ochenta” en francés es “quatre-vingt”, o sea, literalmente “cuatro veces veinte”. El número 20 figura también en el sistema monetario francés: el franco, unidad monetaria, consta de 20 sous.

SISTEMA DE NUMERACIÓN

Los matemáticos hindúes fueron los primeros en utilizar los dígitos para representar los números mientras que los árabes se encargaron de introducirlos en la cultura occidental.

78

Elementos de un Sistema de Numeración

La Base

Es un número natural mayor o igual que 2. Nos indica de cuanto en cuanto agrupamos las cantidades

Las Cifras

Son los símbolos con los cuales formaremos los numerales.“Toda cifra es menor que la base”




Principios de un Sistema de Numeración En todo sistema de numeración se utiliza la cifra cero. La mayor cifra disponible en un sistema de numeración es la base menos uno. En el sistema de base “n” se utilizan “n” cifras o símbolos.

Ejem:1) Base 6: 0; 1; 2; 3; 4; 5 cifra máxima disponible

6 cifras

2) Base 12: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; A; B cifra máxima disponible

12 cifras

Principales Sistemas de Numeración

Base Nombre del Sistema Cifras Disponibles23456789

101112

BinarioTerciarioCuaternarioQuinarioSenarioHeptanarioOctanarioNonarioDecimalUndecimalDuodecimal

0; 10; 1; 20; 1; 2; 30; 1; 2; 3; 40; 1; 2; 3; 4; 50; 1; 2; 3; 4; 5; 60; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 70; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 80; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 90; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; A0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; A; B

Lectura de un Número en cualquier Base

Ejem:1) En Base 10: 348 se lee “trescientos cuarenta y ocho”

5215 se lee “cinco mil doscientos quince”2) En Base 3: 2101(3) se lee “dos, uno, cero, en base tres”

Número CapicúaSon aquellos números que se leen igual de izquierda a derecha o de derecha a izquierda.

Ejem:1) 112) 202

3) 72274) 83238

EJERCICIOS PARA LA CLASE

1) De los siguientes numerales ¿cuántos están escritos correctamente?283(7) ; 431(6) ; 943(5) ; 213(4) ; 8888(7) ;651(2)

a) 1 b) 4 c) 3 d) 2 e) 5

2) Si los siguientes numerales están escritos correctamente. Hallar x . y___ ___ ___yy2(7) 3x2(y) 224(x)

a) 30 b) 28 c) 34 d) 40 e) 45

3) Si los siguientes numerales están expresados correctamente. Hallar b2 – a2

___ ___ ___a2b(8) 2aa(b) 315(a)

79




a) 9 b) 11 c) 13 d) 14 e) 12

Descomposición Polinómica de un NúmeroEl valor de la descomposición es el equivalente del número en base 10.

Ejem:

1) 342(7) = 2.70 + 4.71 + 3.72

= 2.1 + 4.7 + 3.49= 2 + 28 + 147= 177

Luego 342(7) equivale a 177

Base 7 Base 10

2) Si 53(n) = 33, hallar “n”Solución:

53(n) = 3.n0 + 5.n = 33= 3.1 + 5n = 33= 3 + 5n = 33

5n = 30 n = 6

___ _____3) Si a05(6) = 30(a-2)(7), hallar “a”

Solución:a05(6) = 30(a-2)(7)

5.60 + 0.61 + a.62 = (a-2)(7)0 + 0.71 + 3.72

5.1 + 0 + a.36 = (a-2)(1) + 0 + 3.49 5 + 36a = a – 2 + 147 36a – a = 145 – 5

a = 4


1) Hallar “n”, si 102(n) = 234(7)

2) Hallar el valor de “x”, si 123(x) = 231(5)

____ __3) Hallar x3 si xxxx(8) = 2x . (225(7))

__ __4) Calcular a + b, si ab(9) = ba(7)

___ ___5) Hallar el valor de a2 + b2 si, abb(9) = bba(6)

__ __ __6) Hallar a + b, si 1ab(7) = ba(9) + ab(8)

__ __ __7) Sabiendo que 2.ab + 2 = ab(5) + ba(5). Hallar 3a + 2b

80

¡Pongámonos a trabajar!




___ __8) Sabiendo que 6ab = 25.ab, hallar a3 + b3

____ __ __9) Sabiendo que abcd = 57.ab + 38.cd. Calcular a+b+c+d

__ __10) Si ab(7) = ba(4), hallar a+b

Práctica para la Casa

1) Halla “x”

42(x) = 22

a) 3 b) 6 c) 5 d) 7

2) Si ab = 3a + 3b, hallar b – a

a) 2 b) 3 c) 4 e) 5

3) Halla “x”___3x7(9) = 322

__ __4) Si a3(6) = ba(7) ; hallar 2a + b

5) Hallar “x”13(x) + 24(x) = 40(x)

__ __6) Si ab(6) = 4a(7), hallar 3a + 2b

7) Hallar “x”53(x) + 12(x) = 41

__ __8) Si ab(5) = 3a(6), hallar a + b

9) Halla “x”42(x) + 17(x) = 60(x)

___ ___10) Si aba(5) = 2ba(7), hallar a.b

CAMBIOS DE BASE

1er Caso: De Base “n” a base 10

Ejem:

1) Convertir 247(9) al sistema decimal

Solución

Por descomposición polinómica

247(9) = 7.90 + 4.91 + 2.92

= 7.1 + 4.9 + 2.81= 7 + 36 + 162= 205

247(9) = 205 en base 10

2do Caso: De Base 10 a base “n”

Ejem:

1) Convertir 356 a base 8SoluciónPor divisiones sucesivas

356 | 8-36 44 | 8

81




-4 -4 5

356 = 544(8)

2) Expresar 12359 en el sistema duodecimalSoluciónPor divisiones sucesivas

12359 | 12-- 35 1029 | 12 119 -- 69 85 | 12 -11 -9 -1 7

12359 = 7198(12)3er Caso: De Base “n” a base “m”

En este caso primero se pasa a base decimal y luego a la base deseada.

Base n Base 10 Base m

Ejm:

1) Expresar 2714(9) en base 5Solución

2714(9) = 4.90 + 1.91 + 7.92 + 2.93

= 4 + 9 + 7.81 + 2.729= 13 + 567 + 1458= 2038

2038 | 5-- 38 407 | 5 -3 -- 7 81 | 5

2 31 16 | 5- 1 -1 3

2714(9) = 2038 = 31123(5)


1) Convierte: 38 a base 4

__2) Halla a y b, si ab(5) = 14

3) Expresa: 234 a base 8

___4) Halla a, b y c, si abc(7) = 139

5) Representa: 56 a base 2

6) Halla a, b, c y d, si abcd(6) = 322

7) Convierte: 11011(2) a base 10

8) Halla a, si aaaa(6) = 635(9)


___10) Halla x, y, z, si xyz(5) = 89

PRACTICA PARA LA CASA

1) Halla: 234(6) a base 2 ___

2) Halla a, b, c, si abc(6) = 12112(3)

3) Convierte: 814(11) a base 10 ____

4) Halla a, b, c, si abbc(8) = 4175(9)

5) Representa: 1001(2) a base 4

6) Hallar 3A13(11) a base 7


82




8) Convierte: 34B1(12) a base 5

9) Representa: 210BA(12) a base 10

10) Expresa: A212(12) a base 10

83




DIVISIBILIDAD EN NÚMEROS NATURALES

MÚLTIPLO:Fíjese en las siguientes multiplicaciones:

3 x 0 = 03 x 1 = 33 x 2 = 63 x 3 = 93 x 4 = 12. .. .. .

Estos productos de las multiplicaciones realizadas {0; 3; 6; 9; 12; etc.} son múltiplos de 3 y lo expresamos así: 0

m(3) = 3 = {0; 3; 6; 12;...}Se llama múltiplo de un número al producto de dicho número por cualquier número natural.

Otros ejemplos:0 0

m(2) = 2 = {0; 2; 4; 6; 8; 10; 12; ....} m(3) = 3 = {0; 3; 6; 9; 12; 15; ....}0 0

m(4) = 4 = {0; 4; 8; 12; 16; 20;....} m(5) = 5 = {0; 5; 10; 15; 20; 25; ....}

Recuerda que:

i) Cada número es múltiplo de sí mismo.ii) El 0 es múltiplo de todos los números.iii) Los múltiplos de un número son infinitos.iv) La suma de dos múltiplos de un número es múltiplo de ese número.v) El producto de múltiplos de un número es múltiplo de ese número.

DIVISOR:Observa las siguientes divisiones:

18 | 3 21 | 3 24 | 3 30 | 3-- 6 -- 7 -- 8 -- 10

Se dice que un número es divisor de otro cuando lo divide exactamente.Fijándose en los ejemplos citados, podemos decir:

3 es divisor de 183 es divisor de 21

3 es divisor de 243 es divisor de 30

Ejercicios para Clase

1) Escribe cuatro múltiplo de 6.

2) Escribe los ocho primeros múltiplos de 8.

3) El 8 es múltiplo de 8 ¿por qué?

4) Dado el conjunto:A = {4; 8; 12; 20; 42; 38; 72; 80}¿Cuáles no son múltiplos de 4?

5) ¿Por qué 45 no es múltiplo de 6?

6) Forma el conjunto “M” de todos los múltiplos de 8 menores de 70.

7) Explica la siguiente igualdad y di si el número 84 pertenece a este conjunto. 0

84




7 = {0; 7; 14; 21; 28; ...}

8) Forma el conjunto de divisores de 20.

9) ¿Cuántos divisores tiene 360?

10) Forma el conjunto de todos los divisores de 16.

ACTIVIDADES PARA LA CASA

1) Escribe seis múltiplos de 7.

2) Escribe los primeros múltiplos de 11.

3) El 32 es múltiplo de 4, ¿por qué?

4) Dado el conjunto:B = {3; 12; 18; 24; 31; 62; 73; 81}¿Cuántos no son múltiplos de 3?

5) ¿Porqué 120 es múltiplo de 30?

6) ¿Es verdadera la siguiente igualdad? 0

75 = 3

7) Explica la siguiente igualdad y di si el número 108 pertenece a ese conjunto.

8) Forma el conjunto de divisores de 14.

9) Forma el conjunto “T” de todos los divisores de 24.

10) Forma el conjunto “A” de todos los divisores de 48.

OPERACIONES ENTRE MÚLTIPLOS 0 0 0 0

1) n + n + n = nEjem: 12 + 8 = 20

0 0 0

2 + 2 = 2 0 0 0

2) n – n = n

Ejem: 18 – 12 = 6 0 0 0

3 – 3 = 3

0 0

3) n . k = n ; k Z/

Ejem: 12 . 5 = 60 0 0

4 . 5 + 4 m 0

4) (n0 ) = n ; m Z/ +

Ejem: (5)3 = 125 (50 )3 = 50

DIVISIBILIDADEs la parte de la Aritmética que estudia las condiciones que debe reunir un número para ser divisible por otro. En general se dice que un número es divisible por otro cuando el cociente entre ellos es exacto y natural.

Criterios de Divisibilidad

Divisibilidad por 2: Un número es divisible por 2 cuando termina en 0 o en cifra par.Ejem: 16 es divisible por 2; porque termina en cifra par.

60 es divisible por 2; porque termina en 0. 0

Divisibilidad por 3: La suma de sus cifras es 3 o 3. 0

Ejem: 888 es divisible por 3; porque 8+8+8 = 24 = 3 0

489 es divisible por 3; porque 4+8+9 = 21 = 30

Divisibilidad por 4: Sus dos últimas cifras son ceros o múltiplos de 4.Ejem: 3700 es divisible por 4; porque sus dos últimas cifras son ceros.

316 es divisible por 4; porque sus dos últimas cifras son 16. Divisibilidad por 25: Sus dos últimas cifras son ceros o múltiplos de 25.

85




Ejem:3700 es divisible por 25; porque sus dos últimas cifras son ceros.825 es divisible por 25; porque sus dos últimas cifras son 25.

Divisibilidad por 5: Su última cifra es cero o 5.Ejem: 65 es divisible por 5; porque termina en 5.

70 es divisible por 5; porque termina en 0.

Divisibilidad por 6: Si es divisible por 2 y 3 a la vez.Ejem: 624 es divisible por 6; porque dicho número es divisible por 2 y por 3.

624 termina en cifra par (divisible por 2) 0

624 = 6+2+4 = 12 = 3 (divisible por 3) Divisibilidad por 8: Si sus tres últimas cifras son ceros o múltiplos de 8.

Ejem:65000 es divisible por 8; porque sus tres últimas cifras son ceros.984 es divisible por 8; porque 984 es múltiplo de 8.

Divisibilidad por 125: Si sus tres últimas cifras son ceros o múltiplos de 125.Ejem:65000 es divisible por 125; porque sus tres últimas cifras son ceros.4250 es divisible por 125; porque sus tres últimas cifras son múltiplos de 125.

Divisibilidad por 9: Si sus cifras suman un múltiplo de 9.Ejem: 0

252 es divisible por 9; porque 2+5+2 = 9 = 9 0

13914 es divisible por 9; porque 1+3+9+1+4 = 18 = 9


1) Escribe dos números que sean divisibles por 2.

2) ¿Cuántos de estos números: 522; 471; 347; 666; 675; 981 ......?

3) Escribe 5 números que sean divisibles por 4.

4) En una canasta hay 1008 huevos, ¿se podrá distribuir en cajas de media docena sin que sobre ninguno? Debe contestar sin hacer la división.

5) Hallar los elementos del conjunto “A”A = {x |N / 4 < x 15; x es múltiplo de 3}

6) ¿Cuál es el número menor que debe agregarse a la derecha de 506 para obtener un número de cuatro dígitos divisibles por 4?

7) Halla los elementos de:B = {x |N / 20 x 45; x es múltiplo de 5}

8) Halla los elementos de:C = { x |N / 3 < x < 20; x es múltiplo de 6}

PRÁCTICA PARA LA CASA

1) Escribe cuatro números que sean divisibles por 3.

2) Escribe dos números que sean divisibles por 6.

3) ¿Cuántos de estos números: 528; 648; 500; 672; 452; 718; 506, son divisibles por 4?

86




4) De los siguientes números ¿Cuáles son divisibles por 9?2961; 7431; 81162; 9729; 1008; 3618

5) Tengo que enviar 36 libros en paquetes que contengan igual número de ellos ¿cuántas clases de paquetes iguales puedo hacer?

6) Halla los elementos de:D = { x |N / 8 x < 30; x es múltiplo de 4}

7) Averigua que dígitos puedes escribir en los espacios en blanco para que el número cumpla la condición pedida.

a) 45......... múltiplo de 3.b) 857....... múltiplo de 5.c) 8..... 74 múltiplo de 2.

8) Obtén tres múltiplos comunes de los siguientes números.

a) 10 y 15b) 12 y 14c) 2; 3 y 5d) 4; 5 y 6

NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS

Número Primo. Es todo número entero positivo mayor que la unidad que es únicamente divisible por la unidad y por sí mismo. Ejem: 2; 5; 11; 19; 43; ....

Número Compuesto. Es todo número que tiene más de dos divisores. Ejem: 4; 6; 9; 25; 40; 12; ....

Factorización de un Número en sus Factores Primos

Ejem: Factorizar en sus factores primos el número 252.Solución:

252 2126 2 63 3 21 3 7 7 1

252 = 22 . 32 . 7

Número total de divisores de un Número.

Ejem:1) Hallar el número de divisores del número 40.

Solución:Factorizamos 40 2

20 210 2 5 5 40 = 23 . 5 1

Los exponentes son 3 y 1 aumentados en 1 serán:3 + 1 y 1 + 1 4 2El producto de estos será 4 . 2 = 8

Rpta. El número 40 tiene 8 divisores o factores.

2) Hallar el número de divisores del número 180.Solución:

Factorizamos 180 2 90 2 45 3 15 3 5 5 1

El producto de los exponentes más uno será = 3 . 3 . 2 = 18

Rpta. El número 180 tiene 18 divisores o factores.

87





1) ¿Cuántos números primos hay entre 6 y 16?

2) ¿Cuál es el mayor número primo de un dígito?

3) Descomponer 420 en sus factores primos.

4) ¿Por qué el número 18 no es número primo?

5) Averigua si el número 221 es primo o compuesto.

6) ¿Cuántos divisores tiene el número 270?

7) Hallar la suma de todos los números primos comprendidos entre 1 y 18.

8) Determinar el número de divisores de 90.

88




9) ¿Cuántos divisores más tiene A que B, si A = 22 . 32 . 7 B = 5 . 72 . 11?

10) ¿Cuántos divisores posee el número 3400?

PRÁCTICA PARA LA CASA

1) ¿Cuál es el mayor número primo de dos cifras?

2) Descomponer 180 en sus factores primos.

3) ¿Cuál de estas descomposiciones en factores primos está bien?

a) 3 x 5b) 7 x 6c) 2 x 10d) 7 x 13

4) Averigua si el número 1013 es primo o compuesto.

5) Escribe tres números primos mayores que 100.

6) Un padre quiere repartir entre sus hijos 43 soles, pero en partes iguales ¿Podrá hacerlo?

7) Escribe dentro del paréntesis una “P” si es un número primo o una “C” si es un número compuesto, en los siguientes números:

a) 151 ( )b) 183 ( )c) 119 ( )d) 199 ( )e) 184 ( )

f) 521 ( )g) 283 ( )h) 276 ( )i) 320 ( )j) 105 ( )

8) ¿Cuántos divisores menos tiene el número 240 que el número 720?

9) ¿Cuántos números compuestos existen entre 10 y 25?

10) Determinar el número de divisores de 30.

89

Aritmetica-2BIM-1ro sec.doc

Documents

Transcript of Aritmetica-2BIM-1ro sec.doc