ARITMÉTICA BINARIA

Operaciones elementales con números binarios

Suma de números binariosResta de números binarios

Complemento a dos Complemento a uno Restar con el complemento a dos

Multiplicar números binariosDividir números binarios

La Unidad Aritmético Lógica, en la CPU del procesador, es capaz de realizar operaciones aritméticas, con datos numéricos expresados en el sistema binario. Naturalmente, esas operaciones incluyen la adición, la sustracción, el producto y la división. Las operaciones se hacen del mismo modo que en el sistema decimal, pero debido a la sencillez del sistema de numeración, pueden hacerse algunas simplificaciones que facilitan mucho la realización de las operaciones.

Suma en binario

Para aprender a sumar, con cinco o seis años de edad, tuviste que memorizar las 100 combinaciones posibles que pueden darse al sumar dos dígitos decimales. La tabla de sumar, en binario, es mucho más sencilla que en decimal. Sólo hay que recordar cuatro combinaciones posibles:

+ 0 1

0 0 1

1 1 0 + 1

Las sumas 0 + 0, 0 + 1 y 1 + 0 son evidentes:

0 + 0 = 00 + 1 = 11 + 0 = 1

Pero la suma de 1+1, que sabemos que es 2 en el sistema decimal, debe escribirse en binario con dos cifras (10) y, por tanto 1+1 es 0 y

se arrastra una unidad, que se suma a la posición siguiente a la izquierda. Veamos algunos ejemplos:

010 + 101 = 111 210 + 510 = 710

001101 + 100101 = 110010 1310 + 3710 = 5010

1011011 + 1011010 = 10110101 9110 + 9010 = 18110

110111011 + 100111011 = 1011110110 44310 + 31510 = 75810

Ejercicio 1:Realiza las siguientes sumas de números binarios:

111011 + 110111110111 + 11100110111 + 11011 + 10111

Sustracción en binario

La técnica de la resta en binario es, nuevamente, igual que la misma operación en el sistema decimal. Pero conviene repasar la operación de restar en decimal para comprender la operación binaria, que es más sencilla. Los términos que intervienen en la resta se llaman minuendo, sustraendo y diferencia.

- 0 1

0 0 1

1 1 + 1 0

Las restas 0 - 0, 1 - 0 y 1 - 1 son evidentes:

0 – 0 = 01 – 0 = 11 – 1 = 0

La resta 0 - 1 se resuelve, igual que en el sistema decimal, tomando una unidad prestada de la posición siguiente: 10 - 1, es decir, 210 – 110

= 1.  Esa unidad prestada debe devolverse, sumándola, a la posición siguiente. Veamos algunos ejemplos:

111 – 101 = 010 710 – 510 = 210

10001 – 01010 = 00111 1710 – 1010 = 710

11011001 – 10101011 = 00101110 21710 – 17110 = 4610

111101001 – 101101101 = 001111100 48910 – 36510 = 12410

Ejercicio 2:Realiza las siguientes restas de números binarios y comprueba los resultados convirtiéndolos al sistema decimal:

111011 - 110111110111 - 1110011010111 - 11011 – 10011

A pesar de lo sencillo que es el procedimiento de restar, es facil confundirse. Tenemos interiorizado el sistema decimal y hemos aprendido a restar mecánicamente, sin detenernos a pensar en el significado del arrastre. Para simplificar las restas y reducir la posibilidad de cometer errores hay varias soluciones:

Dividir los números largos en grupos. En el siguiente ejemplo, vemos cómo se divide una resta larga en tres restas cortas:

        100110011101         1001    1001    1101        010101110010         0101       0111       0010         010000101011         0100    0010    1011

Calculando el complemento a dos del sustraendo

i. Complemento a dos

El complemento a dos de un número N, compuesto por n bits, se define como:

C2N = 2n – N

Veamos un ejemplo: tomemos el número N = 1011012, que tiene 6 bits, y calculemos su complemento a dos:

N = 4510    n = 6    26 = 64    y, por tanto: C2N = 64 – 45 = 19 = 0100112

Ejercicio 3:Calcula el complemento a dos de los siguientes números:

11001, 10001011, 110011010

ii. Complemento a uno

El complemento a uno de un número N, compuesto por n bits es, por definición, una unidad menor que el complemento a dos, es decir:

C1N = C2N - 1y, por la misma razón:

C2N = C1N + 1

Calculemos el complemento a uno del mismo número del ejemplo anterior:

siendo N = 101101, y su complemento a dos C2N = 010011

C1N = C2N – 1 = 010011 – 000001 = 010010

C1N = 010010

Da la sensación de que calcular el complemento a uno no es más que una forma elegante de comlicarse la vida, y que no va a ser más sencillo restar utilizando el complemento a dos, porque el procedimiento para calcular el complemento a dos es más difícil y laborioso que la propia resta. Pero es mucho más sencillo de lo que parece.

En realidad, el complemento a uno de un número binario es el número resultante de invertir los UNOS y CEROS de dicho número. Por ejemplo si:

  N = 110100101

obtenemos su complemento a uno invirtiendo ceros y unos, con lo que resulta:

C1N = 001011010y su complemento a dos es:

C2N = C1N + 1 = 001011011

¡es muy fácil!

Veamos otro ejemplo de cálculo de complementos. Sea:

  N = 0110110101

El complemento a uno es:

C1N = 1001001010

y el complemento a dos es:

C2N = 1001001011

iii. Restar en binario usando el complemento a dos

Y, por fin, vamos a ver cómo facilita la resta el complemento. La resta binaria de dos números puede obtenerse sumando al minuendo el complemento a dos del sustraendo. Veamos algunos ejemplos:

Primer ejemplo:

Hagamos la siguiente resta, 91 – 46 = 45, en binario:

1011011 – 0101110 = 0101101

Tiene alguna dificultad, cuando se acumulan los arrastres a la resta siguiente. Pero esta misma resta puede hacerse como una suma, utilizando el complemento a dos del sustraendo:

1011011 + 1010010 = 0101101

En el resultado de la suma nos sobra un bit, que se desborda por la izquierda. Pero, como el número resultante no puede ser más largo que el minuendo, el bit sobrante se desprecia.

Segundo ejemplo:Hagamos esta otra resta, 219 – 23 = 196, utilizando el complemento a dos:

21910 = 110110112,

2310 = 000101112

C223 = 11101001

El resultado de la resta será: 11011011 + 11101001 = 111000100

Y, despreciando el bit que se desborda por la izquierda, llegamos al resultado correcto:

110001002 = 19610

¡Qué fácil!

Ejercicio 4:Haz las siguientes restas binarias utilizando la técnica del complemento a dos. Al terminar, comprueba los resultados haciendo la resta en el sistema decimal:

11010001101 – 100011110110110011101 - 1110101

Multiplicación binaria

La multiplicación en binario es más fácil que en cualquier otro sistema de numeración. Como los factores de la multiplicación sólo pueden ser CEROS o UNOS, el producto sólo puede ser CERO o UNO. En otras palabras, las tablas de multiplicar del cero y del uno son muy fáciles de aprender:

x 0 1

0 0 0

1 0 1

En un ordenador, sin embargo, la operación de multiplicar se realiza mediante sumas repetidas. Eso crea algunos problemas en la programación porque cada suma de dos UNOS origina un arrastre, que se resuelven contando el número de UNOS y de arrastres en cada columna. Si el número de UNOS es par, la suma es un CERO y si es

impar, un UNO. Luego, para determinar los arrastres a la posición superior, se cuentan las parejas de UNOS.

Veamos, por ejemplo, una multiplicación:

Para comprobar que el resultado es correcto, convertimos los factores y el resultado al sistema decimal:

3349 * 13 = 43537

¡correcto!

Ejercicio 5:Haz las siguientes multiplicaciones binarias. Al terminar, comprueba los resultados haciendo las multiplicaciones en el sistema decimal:

10110101000101 x 101110100001111011 x 10011

División binaria

Igual que en el producto, la división es muy fácil de realizar, porque no son posibles en el cociente otras cifras que UNOS y CEROS.

Consideremos el siguiente ejemplo, 42 : 6 = 7, en binario:

Se intenta dividir el dividendo por el divisor, empezando por tomar en ambos el mismo número de cifras (100 entre 110, en el ejemplo). Si no puede dividirse, se intenta la división tomando un dígito más (1001 entre 100).

Si la división es posible, entonces, el divisor sólo podrá estar contenido una vez en el dividendo, es decir, la primera cifra del cociente es un UNO. En ese caso, el resultado de multiplicar el divisor por 1 es el propio divisor. Restamos las cifras del dividendo del divisor y bajamos la cifra siguiente.

El procedimiento de división continúa del mismo modo que en el sistema decimal.

Ejercicio 5:Haz las siguientes divisiones binarias. Al terminar, comprueba los resultados haciendo las divisiones en el sistema decimal:

10110101000101 : 101110100001111011 : 10011

Luis GonzálezProfesor de Tecnologías de la Información

I.E.S. Santa Eugenia (Madrid)

EJERCICIOS adicionales

1. Realiza las siguientes sumas de números octales:365 + 23

2732 + 126565 + 1773

2. Suma los siguientes números hexadecimales:

17A + 3C20F5 + 31B

2E70C + 1AA7F

3. Resta los siguientes números octales:

365 - 232732 - 12651773 – 65

4. Realiza las siguientes restas de números hexadecimales:

17A - 3C20F5 - 31B

2E70C – 1AA7F

4.1 Aritmética binaria

Todas las operaciones matemáticas (sumas, restas, multiplicaciones, etc.) que realiza la computadora están basadas en la aritmética binaria.

Suma binaria

La aritmética binaria es muy similar a la aritmética decimal. Por ejemplo, para realizar una suma binaria hay que tener en cuenta la siguiente tabla:

Figura. Suma binaria.

Ejemplo 1: Para sumar los números binarios 100102 y 1102 se puede escribir:

Para comprobar si la suma es correcta, podemos convertir los números binarios a base 10. Así pues, aplicando el TFN obtendremos:

1º Sumando → 100102 = 1∙24 + 0∙23 + 0∙22 + 1∙21 + 0∙20 = 16 + 0 + 0 + 2 + 0 = 1810

2º Sumando → 1102 = 1∙22 + 1∙21 + 0∙20 = 4 + 2 + 0 = 610

Resultado → 110002 = 1∙24 + 1∙23 + 0∙22 + 0∙21 + 0∙20 = 16 + 8 + 0 + 0 + 0 = 2410

y, efectivamente,

1810 + 610 = 2410

Resta binaria

Si se quiere realizar una resta binaria se debe considerar la siguiente tabla:

Figura. Resta binaria.

Ejemplo 2: Para restar los números binarios 1010012 y 10112 escribiremos:

Multiplicación binaria

Para efectuar una multiplicación binaria se tiene que tener en cuenta la siguiente tabla:

Figura. Multiplicación binaria.

Ejemplo 3: Para realizar el producto de los números binarios 101012 y 1012 hay que realizar los siguientes cálculos:

División binaria

En cuanto a las divisiones binarias, las reglas también son las mismas que en el Sistema Decimal, con la ventaja de que en binario sólo se usan dos dígitos.

Ejemplo 4: Para dividir 1100102 entre 102 los cálculos son:

 

Sistema binario

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El sistema binario, en matemáticas e informática, es un sistema de numeración en el que los números se representan utilizando solamente las cifras cero y uno (0 y 1). Los ordenadores trabajan internamente con dos niveles de voltaje, por lo que su sistema de numeración natural es el sistema binario (encendido 1, apagado 0).

Contenido

[ocultar] 1 Historia del sistema binario 2 Representación 3 Operaciones con números binarios

o 3.1 Suma de números Binarios o 3.2 Resta de números binarios o 3.3 Producto de números binarios o 3.4 División de números binarios

4 Conversión entre binario y decimal, binario y octal, y binario y hexadecimal o 4.1 Binario a decimal o 4.2 Binario a decimal (Con decimal binario) o 4.3 Decimal a binario o 4.4 Decimal (Con decimales) a binario o 4.5 Binario a octal o 4.6 Octal a binario o 4.7 Binario a hexadecimal o 4.8 Hexadecimal a binario

5 Tabla de conversión entre decimal, binario, hexadecimal, octal, BCD, Exceso 3 y Gray o Reflejado

6 Enlaces externos

Historia del sistema binario [editar]

Página del artículo Explication de l'Arithmétique Binaire de Leibniz

El antiguo matemático hindú Pingala presentó la primera descripción que se conoce de un sistema de numeración binario en el siglo tercero antes de nuestra era, lo cual coincidió con su descubrimiento del concepto del número cero.

Una serie completa de 8 trigramas y 64 hexagramas, análogos a 3 bit y números binarios de 6 bit, eran conocidos en la antigua china en el texto clásico del I Ching. Series similares de combinaciones binarias también han sido utilizados en sistemas de adivinación tradicionales africanos como el Ifá, así como en la geomancia medieval occidental.

Un arreglo binario ordenado de los hexagramas del I Ching, representando la secuencia decimal de 0 a 63, y un método para generar el mismo, fue desarrollado por el erudito y filósofo Chino Shao Yong en el siglo XI. Sin embargo, no hay ninguna prueba de que Shao entendió el cómputo binario.

En 1605 Francis Bacon habló de un sistema por el cual las letras del alfabeto podrían reducirse a secuencias de dígitos binarios, la cuales podrían ser codificados como variaciones apenas visibles en la fuente de cualquier texto arbitrario.

El sistema binario moderno fue documentado en su totalidad por Leibniz, en el siglo diecisiete, en su artículo "Explication de l'Arithmétique Binaire". En él se mencionan los símbolos binarios usados por matemáticos chinos. Leibniz usó el 0 y el 1, al igual que el sistema de numeración binario actual.

En 1854, el matemático británico George Boole, publicó un artículo que marcó un antes y un después, detallando un sistema de lógica que terminaría denominándose Álgebra de Boole. Dicho sistema desempeñaría un papel fundamental en el desarrollo del sistema binario actual, particularmente en el desarrollo de circuitos electrónicos.

En 1937, Claude Shannon realizó su tesis doctoral en el MIT, en la cual implementaba el Álgebra de Boole y aritmética binaria utilizando relés y conmutadores por primera vez en la historia. Titulada Un Análisis Simbólico de Circuitos Conmutadores y Relés, la tesis de Shannon básicamente fundó el diseño práctico de circuitos digitales.

En noviembre de 1937, George Stibitz, trabajando por aquel entonces en los Laboratorios Bell, construyó un ordenador basado en relés - al cual apodó "Modelo K" (porque lo construyó en una cocina, en inglés "kitchen")- que utilizaba la suma binaria para realizar los cálculos. Los Laboratorios Bell autorizaron un completo programa de investigación a finales de 1938, con Stibitz al mando. El 8 de enero de 1940 terminaron el diseño de una Calculadora de Números Complejos, la cual era capaz de realizar cálculos con números complejos. En una demostración en la conferencia de la Sociedad Americana de Matemáticas, el 11 de septiembre de 1940, Stibitz logró enviar comandos de manera remota a la Calculadora de Números Complejos a través de la línea telefónica mediante un teletipo. Fue la primera máquina computadora utilizada de manera remota a través de la línea de teléfono. Algunos participantes de la conferencia que presenciaron la demostración fueron John Von Neumann, John Mauchly y Norbert Wiener, el cual escribió acerca de dicho suceso en sus diferentes tipos de memorias en la cual alcanzó diferentes logros.

Representación [editar]

Un número binario puede ser representado por cualquier secuencia de bits (dígitos binarios), que a su vez pueden ser representados por cualquier mecanismo capaz de estar en dos estados mutuamente exclusivos. Las secuencias siguientes de símbolos podrían ser interpretadas todas como el mismo valor binario numérico:

1 0 1 0 0 1 1 0 1 0| - | - - | | - | -x o x o o x x o x oy n y n n y y n y n

El valor numérico representado en cada caso depende del valor asignado a cada símbolo. En un ordenador, los valores numéricos pueden ser representados por dos voltajes diferentes y también se pueden usar polaridades magnéticas sobre un disco magnético. Un "positivo", "sí", o "sobre el estado" no es necesariamente el equivalente al valor numérico de uno; esto depende de la arquitectura usada.

De acuerdo con la representación acostumbrada de cifras que usan números árabes, los números binarios comúnmente son escritos usando los símbolos 0 y 1. Cuando son escritos, los números binarios son a menudo subindicados, prefijados o sufijados para indicar su base, o la raíz. Las notaciones siguientes son equivalentes:

100101 binario (declaración explícita de formato) 100101b (un sufijo que indica formato binario) 100101B (un sufijo que indica formato binario) bin 100101 (un prefijo que indica formato binario) 1001012(un subíndice que indica base 2 (binaria) notación) %100101 (un prefijo que indica formato binario)

0b100101 (un prefijo que indica formato binario, común en lenguajes de programación)

Operaciones con números binarios [editar]

Suma de números Binarios [editar]

Las posibles combinaciones al sumar dos bits son:

0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 10 al sumar 1+1 siempre nos llevamos 1 a la siguiente operación

100110101 + 11010101 ——————————— 1000001010

Se puede convertir la operación binaria a una operación decimal resolver la decimal y del resultado de la operación decimal se convierte a un resultado (número) binario.

Operamos como en el sistema decimal: comenzamos a sumar desde la derecha, en nuestro ejemplo, 1 + 1 = 10, entonces escribimos 0 en la fila del resultado y llevamos 1 (este "1" se llama acarreo o arrastre). A continuación se suma el acarreo a la siguiente columna: 1 + 0 + 0 = 1, y seguimos hasta terminar todas la columnas (exactamente como en decimal).

Resta de números binarios [editar]

El algoritmo de la resta en binario es el mismo que en el sistema decimal. Pero conviene repasar la operación de restar en decimal para comprender la operación binaria, que es más sencilla. Los términos que intervienen en la resta se llaman minuendo, sustraendo y diferencia.

Las restas básicas 0 - 0, 1 - 0 y 1 - 1 son evidentes:

0 - 0 = 0 1 - 0 = 1 1 - 1 = 0 0 - 1 = equivale a 10 - 1 = 1. El dígito 1, se toma prestado de la posición

siguiente.

La resta 0 - 1 se resuelve, igual que en el sistema decimal, tomando una unidad prestada de la posición siguiente: 10 - 1 = 1 y me llevo 1, lo que equivale a decir en decimal, 2 - 1 = 1. Esa unidad prestada debe devolverse, sumándola, a la posición siguiente. Ejemplos:

10001 11011001 -01010 -10101011 —————— —————————

00111 00101110

En sistema decimal sería: 17 - 10 = 7 y 217 - 171 = 46. A pesar de lo sencillo que es el procedimiento, es fácil confundirse. Tenemos interiorizado el sistema decimal y hemos aprendido a restar mecánicamente, sin detenernos a pensar en el significado del arrastre. Para simplificar las restas y reducir la posibilidad de cometer errores hay varias soluciones:

Dividir los números largos en grupos. En el siguiente ejemplo, vemos cómo se divide una resta larga en tres restas cortas:

100110011101 1001 1001 1101 -010101110010 -0101 -0111 -0010 ————————————— = ————— ————— ————— 010000101011 0100 0010 1011

Utilizando el complemento a dos. La resta de dos números binarios puede obtenerse sumando al minuendo el complemento a dos del sustraendo. Veamos algunos ejemplos. Hagamos la siguiente resta, 91 - 46 = 45, en binario:

1011011 1011011 -0101110 C2 de 46 = 1010010 +1010010 ———————— ———————— 0101101 10101101

En el resultado nos sobra un bit, que se desborda por la izquierda. Pero, como el número resultante no puede ser más largo que el minuendo, el bit sobrante se desprecia.

Un último ejemplo: vamos a restar 219 - 23 = 196, directamente y utilizando el complemento a dos:

11011011 11011011 -00010111 C2 de 23 = 11101001 +11101001 ————————— ————————— 11000100 111000100

Y, despreciando el bit que se desborda por la izquierda, llegamos al resultado correcto: 11000100 en binario, 196 en decimal.

Utilizando el complemento a 1. La resta de dos números binarios puede obtenerse sumando al minuendo el complemento a uno del sustraendo y a su vez sumarle el bit de overflow (bit que se desborda).

Producto de números binarios [editar]

El algoritmo del producto en binario es igual que en números decimales; aunque se lleva cabo con más sencillez, ya que el 0 multiplicado por cualquier número da 0, y el 1 es el elemento neutro del producto.

Por ejemplo, multipliquemos 10110 por 1001:

10110 1001 ————————— 10110 00000 00000 10110 ————————— 11000110

En sistemas electrónicos, donde se suelen utilizar números mayores, no se utiliza este método sino otro llamado algoritmo de Booth.

División de números binarios [editar]

La división en binario es similar a la decimal, la única diferencia es que a la hora de hacer las restas, dentro de la división, estas deben ser realizadas en binario. Por ejemplo, vamos a dividir 100010010 (274) entre 1101 (13):

100010010 |1101 ——————- 0000 010101——————— 10001- 1101——————— 01000 - 0000 ——————— 10000 - 1101 ——————— 00111 - 0000 ——————— 01110 - 1101 ——————— 00001

Conversión entre binario y decimal, binario y octal, y binario y hexadecimal [editar]

Binario a decimal [editar]

Para realizar la conversión de binario a decimal, realice lo siguiente:

1. Inicie por el lado derecho del número en binario, cada número multiplíquelo por 2 y elévelo a la potencia consecutiva (comenzando por la potencia 0).

2. Después de realizar cada una de las multiplicaciones, sume todas y el número resultante será el equivalente al sistema decimal.

Ejemplos:

(Los superíndices indican la potencia por la que hay que elevar a 2)151403120110 (binario) = 53 (decimal). Proceso:

1x25+1x24+0x23+1x22+0x21+1x20= 32 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1 = 53

1706051403121110 (binario) = 151 (decimal). Proceso:

1x27+0x26+0x25+1x24+0x23+1x22+1x21+1x20=128+0+0+16+0+4+2+1=151

110111 (binario) = 55 (decimal). Proceso:

1*(2) elevado a (0)=11*(2) elevado a (1)=21*(2) elevado a (2)=40*(2) elevado a (3)=01*(2) elevado a (4)=161*(2) elevado a (5)=32La suma es: 55

También se puede optar por utilizar los valores que presenta cada posición del número binario a ser transformado, comenzando de derecha a izquierda, y sumando los valores de las posiciones que tienen un 1.

Por ejemplo: el número binario 1010010 corresponde en decimal al 82 se puede representar de la siguiente manera:

64 32 16 8 4 2 1 1 0 1 0 0 1 0

entonces se suma los números 2, 16 y 64:

2 +16 64 ---- 82

Binario a decimal (Con decimal binario) [editar]

1. Inicie por el lado izquierdo, cada número multiplíquelo por 2 y elévelo a la potencia consecutiva a la inversa(comenzando por la potencia -1). 2.Después de realizar cada una de las multiplicaciones, sume todas y el número resultante será el equivalente al sistema decimal.

Ejemplos:

0.101001 (binario) = 0.640625(decimal). Proceso:

1*(2) elevado a (-1)=0.50*(2) elevado a (-2)=01*(2) elevado a (-3)=0.1250*(2) elevado a (-4)=00*(2) elevado a (-5)=0

1*(2) elevado a (-6)=0.015625La suma es: 0.640625

0.110111 (binario) = 0.859375(decimal). Proceso:

1*(2) elevado a (-1)=0.51*(2) elevado a (-2)=0.250*(2) elevado a (-3)=01*(2) elevado a (-4)=0.06251*(2) elevado a (-5)=0.031251*(2) elevado a (-6)=0.015625La suma es: 0.859375

Decimal a binario [editar]

Se divide el número decimal entre 2 cuyo resultado entero se vuelve a dividir entre 2 y así sucesivamente. Una vez llegados al 1 indivisible se cuentan el último cociente, es decir el uno final (todo número binario excepto el 0 empieza por uno), seguido de los residuos de las divisiones subsiguientes. Del más reciente hasta el primero que resultó. Este número será el binario que buscamos. A continuación se puede ver un ejemplo con el número decimal 100 pasado a binario.

100 |_2 0 50 |_2 0 25 |_2 --> (100)10 = (1100100)2 1 12 |_2 0 6 |_2 0 3 |_2 1 1 |_2 1 0

Otra forma de conversión consiste en un método parecido a la factorización en números primos. Es relativamente fácil dividir cualquier número entre 2. Este método consiste también en divisiones sucesivas. Dependiendo de si el número es par o impar, colocaremos un cero o un uno en la columna de la derecha. Si es impar, le restaremos uno y seguiremos dividiendo entre dos, hasta llegar a 1. Después sólo nos queda tomar el último resultado de la columna izquierda (que siempre será 1) y todos los de la columna de la derecha y ordenar los dígitos de abajo a arriba. Y luego se haría un cuadro con las potencias con el resultado.

Ejemplo:

100|0 50|0 25|1 --> 1, 25-1=24 y seguimos dividiendo por 2 12|0 6|0 3|1 1|1 --> (100)10 = (1100100)2

Existe un último método denominado de distribución. Consiste en distribuir los unos necesarios entre las potencias sucesivas de 2 de modo que su suma resulte ser el número decimal a convertir. Sea por ejemplo el número 151, para el que se necesitarán las 8 primeras potencias de 2, ya que la siguiente, 28=256, es superior al número a convertir. Se comienza poniendo un 1 en 128, por lo que aún faltarán 23, 151-128=23, para llegar

al 151. Este valor se conseguirá distribuyendo unos entre las potencias cuya suma den el resultado buscado y poniendo ceros en el resto. En el ejemplo resultan ser las potencias 4, 2, 1 y 0, esto es, 16, 4, 2 y 1, respectivamente.

Ejemplo:

20= 1|1 21= 2|1 22= 4|1 23= 8|0 24= 16|1 25= 32|0 26= 64|0 27= 128|1 128 + 16 + 4 + 2 + 1 = (151)10 = (10010111)2

Decimal (Con decimales) a binario [editar]

1. Inicie por el lado izquierdo, cada número multiplíquelo por 2 y si la parte entera queda mayor que 0 entonces en binario será 1 en caso contrario será 0

2. En caso de ser 1 para la siguiente división coja únicamente los decimales. 3. Después de realizar cada una de las multiplicaciones, coloque los números que

ha obtenido en orden de aparición. 4. Hay que tener cuidado con este método pues algunos números tienen una

representación infinita o muy larga, por ejemplo el 0.1

Ejemplos:

0.3125 (decimal) = 0.0101(binario). Proceso:

0.3125*2 = 0.625 => 00.625*2 = 1.25 => 10.25*2 = 0.5 => 00.5*2 = 1 => 1 En orden: 0101

0.625 (decimal) = 0.101(binario). Proceso:

0.625*2 = 1.25 => 10.25*2 = 0.5 => 00.5*2 = 1 => 1En orden: 101

Binario a octal [editar]

Para realizar la conversión de binario a octal, realice lo siguiente:

1) Agrupe la cantidad binaria en grupos de 3 en 3 iniciando por el lado derecho. Si al terminar de agrupar no completa 3 dígitos, entonces agregue ceros a la izquierda.

2) Posteriormente vea el valor que corresponde de acuerdo a la tabla:

Número en binario 000 001 010 011 100 101 110 111

Número en octal 0 1 2 3 4 5 6 7

3) La cantidad correspondiente en octal se agrupa de izquierda a derecha.

Ejemplos:

110111 (binario) = 67 (octal). Proceso:

111 = 7110 = 6Agrupe de izquierda a derecha: 67

11001111 (binario) = 317 (octal). Proceso:

111 = 7001 = 111 entonces agregue un cero, con lo que se obtiene 011 = 3Agrupe de izquierda a derecha: 317

1000011 (binario) = 103 (octal). Proceso:

011 = 3000 = 01 entonces agregue 001 = 1Agrupe de izquierda a derecha: 103.

Octal a binario [editar]

Cada dígito octal se lo convierte en su binario equivalente de 3 bits y se juntan en el mismo orden. Ejemplo:

247 (octal) = 010100111 (binario). El 2 en binario es 10, pero en binario de 3 bits es Oc(2) = B(010); el Oc(4) = B(100) y el Oc(7) = (111), luego el número en binario será 010100111.

Binario a hexadecimal [editar]

Para realizar la conversión de binario a hexadecimal, realice lo siguiente:

1) Agrupe la cantidad binaria en grupos de 4 en 4 iniciando por el lado derecho. Si al terminar de agrupar no completa 4 dígitos, entonces agregue ceros a la izquierda.

2) Posteriormente vea el valor que corresponde de acuerdo a la tabla:

Número en binari

o

0000

0001

0010

0011

0100

0101

0110

0111

1000

1001

1010

1011

1100

1101

1110

1111

Número en hexadecimal

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

3) La cantidad correspondiente en hexadecimal se agrupa de derecha a izquierda.

Ejemplos:

110111010 (binario) = 1BA (hexadecimal). Proceso:

1010 = A1011 = B1 entonces agregue 0001 = 1Agrupe de derecha a izquierda: 1BA

11011110101 (binario) = 6F5 (hexadecimal). Proceso:

0101 = 51111 = F110 entonces agregue 0110 = 6

Agrupe de derecha a izquierda: 6F5

Hexadecimal a binario [editar]

Ídem que para pasar de octal a binario, sólo que se remplaza por el equivalente de 4 bits, como de octal a binario.

Tabla de conversión entre decimal, binario, hexadecimal, octal, BCD, Exceso 3 y Gray o Reflejado [editar]

Decimal Binario Hexadecimal Octal BCDExceso

3Gray o

Reflejado

0 0000 0 0 0000 0011 0000

1 0001 1 1 0001 0100 0001

2 0010 2 2 0010 0101 0011

3 0011 3 3 0011 0110 0010

4 0100 4 4 0100 0111 0110

5 0101 5 5 0101 1000 0111

6 0110 6 6 0110 1001 0101

7 0111 7 7 0111 1010 0100

8 1000 8 10 1000 1011 1100

9 1001 9 11 1001 1100 1101

10 1010 A 120001 0000

1111

11 1011 B 130001 0001

1110

12 1100 C 140001 0010

1010

13 1101 D 150001 0011

1011

14 1110 E 160001 0100

1001

15 1111 F 170001 0101

1000

Enlaces externos [editar]