Aritmética Elementalv 0.7 (Dic 2010)

por Óscar Valor 火長兄 勇気 (Hichōkei Yūki)http://hichokei.wordpress.com

Conjunto - SacoLos matemáticos dicen que: un conjunto es una colección de

objetos únicos. Pero para nosotros, que sólo somos futuros matemáticos, un conjunto es un saco que tiene muchas cosas diferentes.

Vamos a estudiar números, así que vamos a crear nuestro primer saco metiendo en él velas de cumpleaños, C = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} (C es un saco con velas del 0 al 9, porque hemos cogido las velas del supermercado).

Pero como hay muchos números, vamos a coger velas para representar cada número, como la vela para el 47, el -3, el 4/3, incluso para 2 ó (pi).

Además de las velas (que son los números) usaremos incógnitas, que son velas envueltas en papel de regalo, que se dividen en constantes y variables.

Una constante es una vela envuelta en papel de regalo que podemos abrir cuando vayamos a resolver el problema. Suelen representarse con las primeras letras del alfabeto (a,b,c,d).

Una variable es una vela envuelta en papel de regalo que no podemos abrir hasta que no averigüemos qué tiene dentro, y esto es lo divertido de las matemáticas, los acertijos. Suelen representarse con las últimas letras del alfabeto (x, y, z).

Aquí se definirán propiedades que sirven tanto para constantes como para variables, porque son relaciones y operaciones que se hacen con velas, y dependiendo de el problema que te planteen, tendrás que decir en que momento usar una propiedad u otra para despejar la variable. Por ello, no usaré las letras a, b, c, d, x, y, z de la forma habitual, sino que las mezclaré con la intención de que se vea lo más claro posible cada una de las propiedades que explicaré.

Cosas contables - BolisLos números sirven para contar cosas. Como una cosa es algo demasiado abstracto,

nosotros vamos a contar bolis. Así una vela es la cantidad de bolis que tenemos.

Si la vela está envuelta, contará un puñado de bolis con los que podemos jugar, pero que no podemos contar.

Para jugar con bolis, hay que dejar clara una regla, y es que al igual que los números, disponemos de todos los bolis que imaginemos, y podemos poner y quitar tantos como queramos para jugar con ellos.

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Naturales ℕEste es el saco con las velas que cuentan bolis. Y como todas las cosas únicas que se

descubren en matemáticas, se le puso un nombre: el conjunto de los números naturales. Y es tan especial que tiene su propio símbolo, una bonita N mayúscula: ℕ .

Los naturales fueron los primeros números que se inventaron porque sirven para contar las cosas que vemos. Si uso una vela de este saco, la llamaré con la letra n.

Ahora, vamos a definir que son los naturales, para ello, voy a explicar unos símbolos que se utilizan en matemáticas, porque a los matemáticos nos encanta escribir poco y decir muchas cosas.

Para definir las propiedades de los conjuntos, escribiré algo así: ∀ n∈ℕ que se lee: “Para todo n perteneciente a los Naturales” que para nosotros será: cojo una vela del saco N.

Estas propiedades van a ser de tres formas.

Los Teoremas son las conclusiones más importantes, que no vienen de ningún otro teorema anterior (y las conclusiones de estos teoremas serán los axiomas, reglas que utilizamos para demostrarlo todo), estos estarán en negrita y subrayados.

Los Lemas son propiedades que son importantes para poder demostrar teoremas, y se utilizan para definir algo que nos haga el teorema más fácil, irán en cursiva y subrayado.

Y los Corolarios son propiedades que se deducen directamente de otros teoremas (y en cada caso indicaré de donde vienen), estos sólo irán subrayados.

PropiedadesE1) Existencia del 1 1∈ℕ Tenemos la vela con el número 1 en el saco N, y representa la

cantidad de un boli.

In) Principio de Inducción ∀ n∈ℕ ⇒In n1∈ℕ Si cojo una vela del saco N, la siguiente

vela también está en el saco, porque si tengo un puñado de bolis, siempre puedo añadir un boli más.

Con estas propiedades estamos diciendo que tenemos todas las velas que queramos, porque por muy grande que sea el número que tengamos, siempre podemos coger el siguiente, y así una y otra vez, y no acabar nunca... acabamos de decir que tenemos infinitos números con una frase tan corta.

He utilizado una flecha con dos rayas ( ⇒ ) sin explicar que significa. Esta flecha es un condicional, y quiere decir que: “si algo se cumple, entonces, lo siguiente también se cumple”

el Cielo esta despejado ⇒ es de color Azul

“Si es el cielo está despejado, entonces, es de color azul”.

Pero cuidado, esto indica que es verdad en un solo sentido, ya que no todo “lo que es de color azul, es el cielo”.

También usaremos la flecha de doble sentido ( ⇔ ) o bicondicional y significa que ambas cosas son equivalentes y es una condición que se cumple en ambas direcciones:

esta Lloviendo ⇔ esta cayendo Agua del Cielo

“esta Lloviendo es equivalente a esta cayendo Agua del Cielo” porque:

“Si está lloviendo, entonces, esta cayendo agua del cielo” y “Si está cayendo agua del cielo, entonces, está lloviendo”.

Cada propiedad importante tiene delante unas siglas para identificarla. Así que encima de estas

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flechas pondremos las siglas de las propiedades cuando las usemos (y a veces también debajo para aligerar), para demostrar que todo se puede hacer a partir de las pocas propiedades que vamos definiendo.

Ahora que sabemos que significa la flecha, se podría pensar sobre la propiedad de inducción que podríamos poner la flecha en los dos sentidos, porque si cogemos el 3 (como n+1) del saco, el 2 (n) también está en el saco.... pero como empezamos en el número 1, si cogemos el 1 del saco (n+1) el 0 (n) no está en este saco, por lo que solo podemos poner la flecha hacia la derecha.

Vamos a definir cómo se relacionan las velas con los bolis. Si un boli es el número 1, en número n va a ser el número de bolis que tengamos, y lo representaremos con una E grande griega (que es Sigma mayúscula)

n∑1

n

1 = 11...1n veces

Enteros ℤLas personas siempre han deseado contar lo que les falta o desean poseer, y para ello se

inventaron los números negativos. A pesar de que sean número negativos, no son números malos, sino que cuentan lo contrario a lo que tenemos, si hablamos de dinero, cuentan lo que no tenemos o debemos, y si hablamos de subir escaleras, los negativos se refieren a bajarlas.

Estos números negativos son los opuestos de los positivos, y el opuesto de un boli, es un boli boca abajo. Y un puñado de bolis boca abajo se cuenta de misma forma que si estuvieran boca arriba, pero a la vela del saco N que representa esta cantidad se le coloca el signo menos (-) delante.

Para saber contar una vela enteras, por cada pareja de bolis positivos y negativos los quitamos (1-1 = 0), y si al final sólo quedan bolis boca abajo (-1) los contamos así:

−n−∑1

n

1 = −11...1nveces

Este saco se llama: conjunto de los números enteros, se representa con una bonita Z mayúscula ℤ que viene de la palabra “número” en alemán “zahl”. Usaremos z para referiremos a una vela entera.

Propiedades

Tr) Tricotomía ∀ z∈ℤ ⇔Tr z∈ℕ ó z=0 ó −z∈ℕ El saco Z tiene tres tipos de velas.

Las velas del saco N, la vela 0, y las velas opuestas de N (las velas de N con una raya pegada delante). Es decir, que o tienes un puñado de bolis bien puestos, o no tienes ninguno, o tienes un puñado de bolis puestos boca abajo (y si los giras de nuevo, puede contarlos con velas de N).

DN) Doble negación −−z=z Si le das dos veces la vuelta al boli, vuelve a estar en la misma dirección, por lo que si le pones dos rayas a la vela, es lo mismo que si no le pones ninguna.

Demostración (Léela cuando te hayas terminado las reglas de la suma):

x=x ⇔

UI x−x =x−x ⇔OS x−x=0 ⇔

UI x−x−−x=0−−x ⇔NS

OS

⇔NS

OSx0=−−x ⇔

NSx=−−x

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2 -3

Racionales ℚCon todo lo que ya tenemos podemos contar muchas más cosas, pero no podemos

compartir. Los racionales sirven para repartir una cantidad (bolis) entre otra (por persona). Lo que se va a repartir se le llama numerador, y entre quienes se reparte, denominador. Usando bolis, el denominados lo vamos a representar con bolis girados horizontalmente.

Al saco de los raciones lo ponemos con una bonita Q mayúscula ℚ por la palabra Quotient (cociente) del inglés. Y escribiremos una q para hablar de velas del saco Q.

Propiedades

Co) Cociente q= zn∈ℚ Una vela del saco Q se hace con una vela de Z entre una vela de N,

y es cuantos bolis (z) se reparten entre cuantas personas (n).

Los números racionales, además de en forma de fracción se pueden representar en forma decimal, y siempre tienen un número finito de decimales, o un grupo de ellos que se repite, y esto es importante, porque ¿Qué pasaría si quisiéramos un número que tuviera infinitos decimales que no se repitieran?

Reales ℝDurante mucho tiempo sólo se pudo demostrar que existían los racionales,

pero algunas figuras generaban líneas que no se podían medir con fracciones.

No encontraban una solución exacta para la hipotenusa de un triángulo rectángulo de lado 1, ni tampoco sabían como calcular la longitud de la circunferencia de un círculo de diámetro 1 (lo que se le llama la cuadratura del círculo).

Para encontrar solución a esto cojamos una cuerda, y pongámosla uniendo los dos vértices de un triángulo rectángulo o haciendo un círculo dentro de un cuadrado. Si ahora la estiramos, será una longitud de una cantidad real, que no se puede representar como una fracción, porque curiosamente, tiene infinitos decimales que no se repiten.

Estas números son irracionales (velas que sólo están en R) y se representarán con velas simbólicas (como 2 ó π) que nos dicen que son esos números, porque como tienen infinitos decimales, no podemos escribirlas nunca de forma exacta. Veamos como las definimos:

CD) Cortadura de Dedekind r∈ℝ : A={∀ a∈ℚ , r≥a } B={∀b∈ℚ , rb } A las velas de Q les añadimos todas las velas que haya entre ellas con infinitos decimales no periódicos. Estas velas ya no se representan con bolis, sino que son distancias (medibles con una cuerda) que hay entre figuras (que se pueden hacer con bolis).

Esto nos lleva a que no podemos sumar (y por tanto tampoco multiplicar) dos números irracionales (excepto que estas operaciones nos den como resultado un número racional), ya que al tener infinitos decimales nunca alcanzaríamos la solución exacta, y cualquier aproximación de un número real es, al fin y al cabo, un número racional con un número finito de decimales (por muchos decimales que cojamos). Así que más bien los usaremos de forma intuitiva para hablar de continuidad, pero no son números con los que podamos trabajar bien.

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Ahora vamos a describir dos tipos de irracionales:

Raíces (irracionales algebráicos)Estos irracionales se pueden calcular mediante algún tipo de operación.

log10 2 ≈ 0,30 10 29 99 57 ...

2 ≈ 1,41 42 13 56 23 ...

φ (áureo) = 152

≈ 1,61 80 33 98 87 …

TrascendentesSon irracionales que no pueden calcularse mediante operaciones

C10 (Champernowne) ≈ 0.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 ...

e (Exponencial) ≈ 2,71 82 81 82 84 ... derivada de ex = ex

π (pi) ≈ 3,14 15 92 65 35 ... circunferencia / diámetro de un círculo

Complejos ℂEste conjunto es el más completo, porque incluye la raíz de -1, y la llama i=−1 , por eso a

veces se representa como iℝ . Es muy útil en la trigonometría, y en este documento no lo vamos a estudiar porque no es aritmética elemental.

Subconjuntos Notables ℕ ,ℤ+ ,ℚ+ ,ℝ+

Para demostrar las desigualdades tenemos que definir primero cuáles son lo conjuntos positivos. Partimos de que todos los números naturales son positivos.

Así, los enteros positivos, serán aquellos que contengan a los números naturales: ℤ+=ℕ

Y los racionales positivos serán aquellos que sólo estén formados por N y Z+ (que también es N)

ℚ+=ℕℕ

Y los reales positivos serán aquellas cortaduras sobre Q+, es decir:

r∈ℝ+ : A={∀ a∈ℚ+ , r≥a } B={∀b∈ℚ+ , rb }

A partir de estas definiciones se sacan algunas más:

ℤ0+=ℕ∪{0} , ℚ0

+=ℚ∪{0} , ℝ0+=ℝ∪{0} ,

ℤ =−ℕ , ℚ =−ℚ+ , ℝ =−ℝ+ ,

ℤ0 =ℤ ∪{0} , ℚ0

=ℚ ∪{0} , ℝ0 =ℝ ∪{0} ,

ℤ*=ℤ+∪ℤ , ℚ*=ℚ+∪ℚ , ℚ*=ℚ+∪ℚ

Y definimos los conjuntos generales como C, siendo C=ℕóℤóℚóℝ , C+=ℕ óℤ+ óℚ+ óℝ+ , C0

+=ℤ0+ ó ℚ0

+ ó ℝ0+ , C =ℤ ó ℚ ó ℝ , C0

=ℤ0 ó ℚ0

ó ℝ0 , C*=ℤ* ó ℚ* ó ℝ*

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RelacionesUna relación es algo que puede ser verdadero o falso. Si la relación es verdadera se puede poner

una V o una T (true) pero nosotros vamos a poner una carita sonriente ☺. Y cuando una relación es falsa, suele tacharse con una línea oblicua (/) y puede ponerse una F, pero nosotros pondremos tres exclamaciones “!!!”.

Las relaciones unen dos cosas, en nuestro caso, dos velas, aunque en general serán dos grupos de velas que tienen operaciones entre sí. Por lo que para poder entendernos, vamos a decir que a la izquierda de la relación tenemos una caja con una cantidad de bolis, y las velas que los representan, y a la derecha tenemos una bolsa con otra cantidad de bolis, y sus velas que los representan. Así las relaciones nos dirán cómo son las velas de la caja respecto de las de la bolsa.

IgualdadLa igualdad (=) es una relación binaria de equivalencia (se llama binaria porque relaciona dos

conjuntos, y es de equivalencia por las propiedades que cumple). Nos va a decir si lo que hay a la izquierda es igual que lo que hay a la derecha, es decir, si las velas con operaciones de la caja, son iguales que las velas con operaciones de la bolsa. Si es falso, tacharemos el símbolo ≠ y lo indicaremos con tres exclamaciones que hemos llegado a una contradicción (!!!).

Hay que tener en cuenta, que para saber si una igualdad es cierta o no tendremos que intentar simplificarla en una relación más sencilla que podamos llegar a decir si es verdadera o no. A veces, se llegará a una contradicción (por ejemplo a ≠ a+1), a una igualdad que sólo se cumple para un valor (a = 3), o a una igualdad que se cumple siempre (1 = 1 ó a = a). Para ello vamos a definir cómo podemos ir simplificando las igualdades, y más adelante, con cada propiedad de un corolario, demostraré cómo se usa lo anterior.

Propiedades

RI) Reflexiva a=a ⇔RI ☺ Cuando en la caja hay la misma vela que en la bolsa, es porque

habrá los mismos bolis en los dos sitios, y siempre es cierto que un numero es igual a sí mismo.

La carita sonriente significa que como esto siempre es verdad, si tenemos una igualdad que queremos demostrar que es cierta, si conseguimos llegar a esta igualdad lo habremos demostrado. Lo normal al terminar de escribir una demostración antiguamente era QED (quod erat demostrandum) o en español CQD (cómo queríamos demostrar), y aunque últimamente se está utilizando un cuadrado ■ ó □¸ a mi me parece mucho más alegre una gran carita sonriente como

señal ☺.

SI) Simétrica a=b ⇔SI b=a Si cambio los bolis y velas de la bolsa a la caja y viceversa,

sigue siendo igual.

TI) Transitiva (Igualación) {a=bb=c} ⇒

TIa=c Si tengo los mismos bolis en mi caja (a) que

en mi bolsa (b), y los bolis de esa bolsa (b), son iguales que los de otra bolsa que tengo por ahí (c). Los bolis de mi caja (a) son iguales que los bolis de esa otra bolsa (c).

UI) Uniforme a=b ⇒UI a ▲ x=b▲ x si tenemos una caja y una bolsa los mismos bolis, si

ponemos o quitamos bolis con las mismas operaciones en ambos sitios, seguimos teniendo la misma

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cantidad de bolis en los dos lados. Aunque hay algunas operaciones, como multiplicar o dividir por 0, que no siempre se cumplen, es decir, si tenemos distintas cantidades de bolis, y vaciamos la caja y la bolsa (multiplicamos por 0), ahora sí tenemos lo mismo.

De las propiedades anteriores se añaden dos métodos para despejar ecuaciones

Sus) Sustitución {a=b ▲ xx=c } ⇒

Susa=b ▲c

Red) Reducción {ax▲ b=cax▲ d=e} ⇒

Red ax▲ b=c−ax▲ d=e

b−d=c−e⇔b−d=c−e

OperacionesLas operaciones son movimientos de bolis dentro de la caja o la bolsa, o entre las dos. Estos

movimientos de bolis se pueden calcular solo con velas, así que una operación será como hacer magia entre las velas (que tiene sentido si pensamos lo que estamos haciendo con los bolis). Así, diremos que una operación es un fuego que juntar dos velas y al fundirlas crea una nueva vela.

Las relaciones y operaciones están relacionadas entre sí, y sin que se hayan explicado unas, no se pueden empezar a explicar otras... aquí pongo un pequeño esquema de cómo están relacionadas, y así puedes hacerte a la idea de el orden en el que vamos a explicarlas y porqué se hará así.

PrioridadLas operaciones que vamos a ver más adelante tienen un orden de prioridad, es decir, primero

hay que realizar unas y luego otras. Y si tienen el mismo grado de prioridad no importa el orden en el que las resuelvas. El orden de prioridad es:

1º Resolver los paréntesis. (y si hay paréntesis dentro de paréntesis, éstos primero)

2º Las potencias (y por tanto los logaritmos y las raíces).

3º Los productos (y por tanto las divisiones)

4º Las sumas (y por tanto las restas)

SumaLa suma consiste en añadir un puñado de bolis a la caja. Entre velas va a ser fuego rojo que

funde dos velas, y la vela que resulta se puede calcular contando de nuevo todos los bolis que tenemos en la caja.

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:C∗CC

ab =S ∑

1

ab

1=11...1a veces

11...1b veces

Axiomas de la suma

CS) Conmutativa x=ab ⇔CS x=ba ⇒

TI ab=ba Al juntar los bolis dentro de una bolsa, da igual el orden en el que los metamos dentro, porque son la misma cantidad (x).

AS) Asociativa x=abc ⇔AS x=abc ⇒

TIabc=abc Al juntar bolis

en una bolsa, no importa el orden en el que los metamos aunque tengamos varios puñados (a,b,c).

NS) Elemento Neutro x=a0 ⇔NS x=a ⇒

TI a0=a Si no añadimos ningún boli a la bolsa, sigue habiendo los mismos bolis que al principio.

OS) Opuesto x=a−a ⇔OS x=0 ⇒

TI a−a=0 Si añadimos tantos bolis girados como los que hay en la caja, como cada pareja de bolis girados desaparece, al final no nos quedan bolis. Es decir, si le sumamos a una vela su opuesto, el resultado es 0.

Propiedades

C) Cancelativa ax=bx ⇔C a=b si en la caja y en la bolsa podemos coger un puñado

de bolis del mismo tamaño (x), podemos quitarlos de ambas y seguimos teniendo la misma igualdad. Para demostrar esto, como se basa en la propiedad uniforme de la igualdad (UI) que solo se cumple en una dirección, tengo que demostrarlo para las dos direcciones:

⇐ ) a=b ⇒UI ax=bx

⇒ ) ax=bx ⇒UI

ax−x=bx−x ⇔AS ax−x=bx−x ⇔

OS

⇔OS a0=b0 ⇔

NS a=b

PS) Prioridad de la Suma abc =AS abc =

PS abc Podemos quitar los paréntesis para una suma de más de 2 términos, porque no importa el orden en el que los sumemos gracias a la propiedad asociativa.

RestaLa resta es la suma de un número con el opuesto de otro, y sólo tiene sentido definirla para los

naturales y el 0, porque son los que no tienen opuestos. A pesar de esto, la resta es “peligrosa” porque puedes restar dos números naturales y obtener un número entero, es decir, no es estable en N. Así definimos la resta como:

R) Resta x=a−b ⇔R x=a−b ⇒

TI a−b=a−b Sumar a una vela el opuesto de otra, es lo mismo que restar el primero por el segundo.

La resta no es una operación interna en los naturales, es decir: −:ℕ∗ℕℤ−:C∗CC que si restamos dos

naturales, puede que obtengamos un número negativo, por lo que nos saca a los números enteros.

Propiedades

SR) Relación entre la Suma y la Resta nb=a ⇔SR n=a−b esto es lo que conoce como:

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lo que está sumando, pasa restando, y viceversa. Se puede demostrar a partir del Lema R:

n=a−b ⇔R n=a−b ⇔

C nb=a−bb ⇔CS nb=a−bb ⇔

AS

⇔AS

nb=ab−b ⇔OS

nb=a0 ⇔NS

nb=a

Ahora vamos a deducir unas cuantas propiedades:

O0) Opuesto de 0: a=0 ⇔O0 a=−0 ⇒

TI 0=−0 Solo hay un elemento neutro, por lo que él y su opuesto son el mismo:

0=0 ⇔UI 0−0=0−0 ⇔

OS

NS 0=−0

NR) Elemento Neutro de la Resta x=a−0 ⇔NR x=a ⇒

TI a−0=a si quitamos 0 bolis, es decir, si no quitamos ninguno, seguimos teniendo los mismos, y podemos demostrarlo:

x=a−0 ⇔O0 x=a0 ⇔

NS x=a

C) Cancelativa a−x=b−x ⇔C a=b se puede cancelar la resta, porque se puede expresar

como una suma:

a−x=b−x ⇔R a−x =b−x ⇔

C a=b

ProductoMultiplicar es un fuego azul que te fusiona dos velas en una más grande. Para saber que vela nos

queda, hacemos un cuadrado con los bolis, y ponemos tantas filas y columnas, como nos digan las dos velas que multiplicamos, y luego los contamos. Y a esto lo vamos a representar con un puntito, aunque cuando pongamos letras juntas, o un número al lado de una letra, o abramos un paréntesis, para ahorrar tiempo, ni nos molestamos en ponerlo.

a · b =S ∑

a

1·∑b

1 =S ∑

1

a

b =CP ∑

1

b

a=aa...ab veces

=P

a∑b

1

Axiomas del producto

CP) Conmutativa x=ab ⇔CP x=ba ⇒

TI ab=ba Un cuadrado tiene el mismo número de bolis lo ordenes por filas y columnas, o como columnas y filas.

AP) Asociativa x=abc ⇔AP x=a bc ⇒

TIabc=a bc Si cogemos un cuadrado de

bolis (ab), y lo ponemos en una fila, y hacemos un cuadrado más grande con x filas del mismo tamaño, se forma el mismo cuadrado que si lo formamos al revés.

NP) Elemento Neutro x=1 · a ⇔NP x=a ⇒

TI 1· a=a Una fila de bolis es igual a contar los bolis como si no pensáramos hacer un cuadrado.

IP) Inverso Para a≠0 , x=a · a−1 ⇔IP x=1 ⇒

TI a · a−1 = 1 Si a un cuadrado de bolis le reducimos todas sus columnas y filas a 1, es como si multiplicáramos por su inversa.

Propiedades

C) Cancelativa Para x≠0, x a=x b ⇔C a=b Si formamos un cuadrado de bolis con las

mismas filas (x), podemos quedarnos con una sola fila y seguir contando con las columnas de ese cuadrado de bolis. Demostración:

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⇐ ) a=b ⇒UI a x=b x

⇒ ) a x=b x ⇒UI

a x · x−1=b x· x−1 (Para x ≠ 0) ⇔AP a · x · x−1=b ·x ·x−1 ⇔

IP

⇔IP a 1=b1 ⇔

CP 1a=1 b ⇔NP a=b

PP) Prioridad del Producto a ·bc =AP

ab ·c =PP abc Podemos quitar los paréntesis por la

propiedad asociativa.

LA) Ley de absorción: a ·0=0 Todo lo que multipliques por 0, da 0

Demostración: 0x=0x ⇔NS

00x=0x ⇔DPS 0x0x=0x ⇔

C 0x=0

OP) Relación entre el Opuesto y el Producto x=−a ⇔OP x=−1· a ⇒

TI−a=−1· a

Demostración:

0x=0x ⇔OS

1−1x=0x ⇔LA

DPS 1x−1x =0 ⇔NP x−1x=0 ⇔

SR−1x=0−x ⇔

NS

⇔NS

−1x=−x

LS) Ley de Signos −ab=−ab=a −b=−ab y ab=−a −b la primera parte indica que darle la vuela a los bolis lo puedes hacer después de calcular el cuadrado, o dándole la vuelta a uno de ellos. Y la segunda es solo consecuencia de OP y la doble negación.

Demostración:

☺ ⇔RI ab=ab ⇔

UI−1ab=−1ab ⇔

AP−1ab=−1a b ⇔

OP−ab =−a b

Ya hemos demostrado la primera parte, seguimos desde la mitad de la demostración anterior tomando otro camino:

−1ab=−1ab ⇔PP

−1ab=−1ab ⇔CP

−1ab=a −1b ⇔OP

−ab=a −b

Y ahora terminamos desde el anterior

−ab=a −b ⇔UI

−1[−ab]=−1[a −b] ⇔AP

OP−[−ab]=−1a −b ⇔

OP

DN ab=−a−b

DPS) Distributiva del Producto sobre la Suma a xy = axay hacer un cuadrado de bolis de una suma de columnas, es lo mismo que juntar dos cuadrados.

Demostración:

a xy =Pxyxy...xy

a veces=CS

xx...x + yy...y a veces a veces

=P=axay

∑a

xy =DPS ∑

a

x∑a

y

DPR) Distributiva de un Producto sobre la Resta a x−y = ax−ay Se demuestra fácilmente desde la anterior:

a x−y =R a x−y =

DPS axa −y =LS ax−ay =

R ax−ay

DivisiónAl igual que en la resta, la división tiene especial interés en los números naturales y enteros,

porque no existen los inversos de los números, y hay que describir como se trabaja con estos. La división tiene dos signos, una barra oblicua (/) o una barra horizontal que divide el numerador del

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denominador. La barra horizontal tiene la ventaja de que te ahorra paréntesis, aunque puede dar lugar a confusiones. Bueno, vamos a ver una definición de cómo vamos a representar la división:

D) División x=a ·b−1 ⇔D x=a /b ⇔

D x= ab

⇒TI a · b−1=a / b= a

b

PD) Relación entre el Producto y la División xb=a ⇔PD x= a

b también conocido como lo

que está multiplicando pasa dividiendo y viceversa.

Se demuestra a partir del lema anterior:

xb=a ⇔UI xb ·b−1=a · b−1 ⇔

IP x ·1=a ·b−1 ⇔D

NP x= ab

ND) Elemento neutro de la división x=a /1 ⇔ND x=a ⇒

TI a /1=a

a /1=a ⇔UI 1a /1=a ⇔

CP a 1/1=a ⇔D a 1 ·1−1=a ⇒

IP a1=a ⇔NP a=a ⇔

RI ☺

C) Cancelativa Para x≠0, ax= b

x⇔C a=b Demostración:

Para x≠0, a /x=b/ x ⇔D a · x−1=b ·x−1 ⇔

C a=b

PD) Prioridad de la división, Para mostrar cómo se comporta las propiedades asociativa, conmutativa y distributiva en la división, voy a ilustrar con un ejemplo, en el que seguramente os deis cuenta que cuando una cadena de operaciones es complicada, es mejor usar el exponente -1 y usar las propiedades del producto:

abcx−1 =DPS

a · x−1bc· x−1 =AP

a ·x−1bc ·x−1

abcx

= ax bc

x= a

xb · c

x

SF) Simplificación de Fracciones ab= x

x· cd= c

d Si se puede sacar un divisor de el

numerador y el denominador, podemos sacarlo fuera por la propiedad asociativa, y convertirlo en 1 por la propiedad del inverso, veamos la demostración:

Sea a=cx , b=dx , ab

=TI cx

dx=PP

D c · x ·d−1 · x−1 =AP

CP c ·d−1 · x · x−1 =NP

IP c ·d−1 =D c

d

DDS) Distributiva la División sobre la Suma ab

x= a

xb

x

Demostración: ab

x=D

abx−1 =DPS ax−1bx−1 =

D ax b

x

DDR) Distributiva la División sobre la Resta a−b

x= a

x−b

x

Demostración: a−b

x=D

a−bx−1 =DPR ax−1−bx−1 =

D ax−b

x

DDP) Distributiva la División sobre el Producto ax

· by

= abxy

ax

· by

=PP

D a x−1 b y−1 =CP a b x−1 y−1 =

DEP

APab x y−1 =

D abxy

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DDD) Distributiva la División sobre la División ax/ by

= ayxb

ax/ by

=D a /x

b /y=D a ·x−1 ·b· y−1−1 =

DEP a ·x−1· b−1· y−1−1 =E1

LS a ·x−1· b−1· y =CP

=CP a · y ·x−1· b−1 =

DEP

APay ·x ·b−1 =

D ayxb

DSD) Distributiva la Suma sobre la División axb

y= aybx

xy Esta es la forma de sumar los

naturales o enteros como si estuviéramos en Q. Se puede demostrar así:axb

y=SF a

x· yy b

y· xx

=DDP ay

xy bx

xy=

DDS aybxxy

PotenciasSe define la potencia de dos números, como el producto repetido de a, b veces.

a ^ x =E

ax∏1

x

a =E

a ·a · ... ·ax veces

Axiomas de los Exponentes

CE) Conmutativa z=axy ⇔CE z=ay x ⇒

TIaxy=ayx

AE) Asociativa z=axy ⇔AE z=axy ⇒

TIa xy=axy cuidado porque se suele confundir con

esta otra potencia axy≠axy

⇔ axy =AE

axy =E

a ^ x ^ y ≠ a ^x^ y =E a ^ xy = ax y

NE) Elemento Neutro z=a1 ⇔NE z=a ⇒

TI a1=a

Lg) Logaritmo Para 1≠a0 ,

z=loga ax ⇔Lg z=x ⇔

Lg z=a ^ loga x ⇒TI loga ax = x = a ^ loga x

C) Cancelación de la base Para 1≠a0 ⇒ ax=ay ⇔C x=y

Demostración:

⇐ ) ax=ay ⇒UI log a ax=loga ay ⇔

NE x=y

⇒ ) x=y ⇒UI ax=ay

C) Cancelación de un logaritmo Para 1≠a0 ⇒ loga x=loga y ⇔C x=y

Demostración: loga x=loga y ⇔C a log x=a logy ⇔

NE x=y

C) Cancelación del exponente Para x≠0 ⇒ ax=bx ⇔C a=b

Demostración:

⇐ ) a=b ⇒UI ax=bx

⇒ ) ax=bx ⇒UI loga a

x=loga bx ⇔

DLP

NE x=x loga b ⇔x≠0

C x−1 · x=x−1 · x loga b ⇔NP

IP

-12-

⇔NP

IP 1=log a b ⇒UI a1=a ^ loga b ⇔

NE

E1 a=b

C) Cancelación de una raíz: na=n b ⇔C a=b

Demostración: na=n b ⇔Ra a

1n=b

1n ⇔

C a=b

Propiedad de las Raíces

Ra) Raíz: axy=

yax

Propiedad de los Logaritmos

CB) Cambio de base loga x=logb xlogb a

Propiedades Distributivas

DPB) Distributiva del producto sobre la base ax · ay =DPB axy

Demostración:

ax ay =E

a · a · ... ·a · a · a · ...· a x veces y veces

=CP a · a ·... · a

xy veces=E ax y

∏x

a∏y

a =DPB ∏

xy

a

DEP) Distributiva del exponente sobre el producto abx =DEP ax · bx

Demostración:

abx =E ab ·ab · ...· ab

x veces=CP

a ·a · ... ·a · b ·b · ...· bx veces x veces

= ax · bx

∏x

a ·b =DEP ∏

x

a ·∏x

b

DLP) Distributiva del logaritmo sobre el producto loga xy =DLP loga xloga y

Demostración:

loga xy = loga xlog a y ⇔C a logaxy = a loga xloga y ⇔

DBP a loga xy = a loga x · a loga y ⇔Lg xy=xy

DLE) Distributiva del logaritmo sobre el exponente loga bx =DLE x ·loga b y cuidado

loga bx ≠ loga bx

Demostración:

loga bx =E loga b · b· ... · b

x veces =

DLP loga bloga b...log abx veces

=P x · loga b

Relaciones con los Elementos NeutrosEs la propiedad que relaciona la multiplicación con la adición. Es la propiedad distributiva del

-13-

producto sobre la suma:

E0) Exponente 0 a0=1

Demostración: a0 =OS a1−1 =

DPB a1· a−1 =IP 1

L1) Logaritmo de 1 loga 1=0

Demostración: loga 1=0 ⇔C a ^ loga 1=a0 ⇔

E0

Lg 1=1 ⇔RI ☺

B0) Base 0 0n=0

Demostración: 0n =E 0 ·0n−1 =

LA 0

B1) Base 1 1x=1

Demostración: 1x =E0

a0x =AE a0x =

LA a0 =E0 1

Ra0) Raíz de 0 n0=0

Demostración: n0=0 ⇔C

n0n=0n ⇔

B0

C 0=0 ⇔RI ☺

Ra1) Raíz de 1 n1=1

Demostración: n1=1 ⇔C

n1n=1n ⇔B1

C 1=1 ⇔RI ☺

Distributivas

ED) Exponente negativo (división) a−x= 1a x

Demostración: a−x =AE

ax−1 =D=1 /a x

DDB) Distributiva de la división sobre la base ax

ay =DDB a x−y

Demostración: ax

ay =ED ax · b−x =

DPB a x−y =R ax−y

DLC) Distributiva del logaritmo sobre el cociente loga xy=loga x−loga y

Demostración:

loga xy =

D loga x · y−1 =DLP loga xloga y−1 =

DLE log a x−1 · loga y =OP loga x−loga y

DED) Distributiva del exponente sobre la división ab

x

=DED ax

bx

Demostración: ab

x

=D a · b−1 x =

DEP ax · b−x =ED ax

bx

CR) Conmutativa de la raíz nax= na x

Demostración: nax =Ra

ax1n =

DEP axn =

DEPa

1n x =

Ra na x

-14-

AR) Asociativa de las raíces nma=nma

Demostración: nma =Ra

a1n

1m =

DEP a1n · 1

m =PD a

1nm =

Ra nma

SRF) Simplificación de raíces con fracciones nxax=na

Demostración: nxax =Ra

ax1

nx =DEP a

xnx =

SF a1n =

Ra na

DRB) Distributiva del producto de raíces sobre la base na ma =DRB nma nm

Demostración: na ma =Ra a

1n ·a

1m =

DPB a1n 1

m =DDS a

nmnm =

Ra nmanm

DRP) Distributiva de la raíz sobre el producto nab=na nb

Demostración: nab =Ra

ab1n =

DEP a1n · b

1n =

Ra na n b

DRD) Distributiva de la raíz sobre la división n ab=

nan b

Demostración: n ab

=D na b−1 =

DRP na · nb−1 =D

nan b

DRL) Distributiva de la raíz de un logaritmo loganx=

loga xn

Demostración: loganx =

Ra loga x1n =

DLE 1n

loga x =D loga x

n

Productos NotablesProducto de dos sumas: abxy = axaybxby

Demostración:

abxy =DPS

abxaby =DPS

DPS axbxayby =CS axaybxby

Y de este resultado, se deduce:

ab2 = a22abb2

a−b2 = a2−2abb2

aba−b = a2−b2

-15-

PropiedadesIgualdad

RI) a=a ⇔RI ☺

SI) a=b ⇔SI b=a

TI) {a=bb=c} ⇒

TIa=c

UI) a=b ⇒UI a ▲ x=b▲ x

SumaCS) ab=ba AS) abc=abc NS) x=a0 ⇔

NS x=a ⇒TI a0=a

OS) x=a−a ⇔OS x=0 ⇒

TI a−a=0

C) ax=bx ⇔C a=b

PS) abcR) a−b=a−b SR) nb=a ⇔

SR n=a−b DN) −−z=z O0) 0=−0 NR) a−0=a C) a−x=b−x ⇔

C a=b

ProductoCP) x=ab ⇔

CP x=ba ⇔TI ab=ba

AP) a · b· c=a · b · cNP) 1· a=a IP) a≠0, a · a−1 = 1 C) Para x≠0, x a=x b ⇔

C a=b PP) abcLA) a ·0=0 OP) −a=−1 · aLS) −ab=−ab=a −b=−ab ab=−a −b DPS) a xy = axay DPR) a x−y = ax−ay

División

D) a · b−1=a /b= ab

PD) xb=a ⇔PD x=a / b

ND) x=a /1 ⇔ND x=a ⇒

TI a /1=aC) Para x≠0, a /x=b/ x ⇔

C a=b

PD) abc

x= a

xb · c

x

SF) ab= x

x· c

d= c

d

DDS) ab

x= a

xb

x

DDP) ax

· by

= abxy

DDD) ax/ by

= ayxb

DSD) axb

y= aybx

xy

PotenciasCE) axy=a yx

AE) axy=axy axy≠axy

NE) a1=aLg) Para 1≠a0 , loga ax=x=a ^ loga xC) Para 1≠a0 ⇒ ax=ay ⇔

C x=yC) Para 1≠a0 ⇒ loga x=loga y ⇔

C x=y

C) Para x≠0 ⇒ ax=bx ⇔C a=b

C) na=n b ⇔C a=b

Ra) axy=

yax

CB) loga x=logb xlogb a

DPB) ax · ay =DPB axy

DEP) abx =DEP ax · bx

DLP) loga xy =DLP loga xloga y

DLE) loga bx =DLE x ·loga b , loga b

x≠loga bx

E0) a0=1 B0) 0n=0 Ra0) n0=0L1) loga 1=0 B1) 1x=1 Ra1) n1=1ED) a−x=1/ax

DDB) ax /a y =DDB ax−y

DED) a /b x =DED ax/ bx

DLC) loga x/ y=loga x−loga y

CR) nax= na x

AR) nma=nmaSRF) nxax=naDRB) na ma =

DRB nma nm

DRP) nab=na nbDRD) na / b=na / n b

DRL) loganx=

loga xn