Aritmetica Entera y Modular Ejercicios

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO ESCUELA DE POST GRADO

Lic. GUILLERMO MAS AZAHUANCHE 88

PROBLEMAS RESUELTOS DE ARITMÉTICA ENTERA Y MODULAR

ARITMÉTICA ENTERA 1) Usar el Algoritmo de Euclides para calcular d = mcd (a, b), y encontrar x e y tales que d = ax + by. a) a = 1312, b = 800 Solución: Encontrando d = a x + b y → d = 1312 x + 800 y Por el algoritmo de Euclides tenemos: 1312 = 800 + 512 800 = 512 + 288 512 = 288 + 224 288 = 224 + 64 224 = 64(3) + 32 64 = 32(2) + 0 → (1312 , 800) 32d mcd= =

)3(6422432 −=⇒

]800[18]1312[1132]8001312[18]1312[732

]512[18]1312[732]5121312[3]512[15]1312[432

]512800[3]512[7]5121312[5131232]288[3]512[7]800[5131232

]288512[3]512800[4]8001312[32]224[3]288[451232

]224288[3]288512[32

−=−+−=

+−=−−+−=

−−+−−=−+−=

−+−−−=+−=

−−−=

0 0

32 1312(11) 800( 18)xa b y

= + −

• x = 11, y = -18

• Reemplazando x e y en d = ax + by

d = ax + by

32 = 1312 (11) + 800 (-18)

32 = 14432 + (-14400)

32 = 32

b) a = 322, b = 406 Solución: Encontrando d = ax + by → d = 332x + 406y Por el algoritmo de Euclides tenemos: 406 = 322 + 84 322 = 84(3) + 70 84 = 70 + 14



70 = 14(5) + 0 → (322 , 406) 14d mcd= =

14 84 70

14 = 406-322-[322-(3)84] 14 = 406-2(322)+(3)[406-322] 14 = 406(4)+322(-5)

→ = −

00

14 322( 5) 406(4)ya x b

= − +

• x = -5 y = 4

• Reemplazando x e y en d = ax + by

d = ax + by

14 = 322 (-5) + 406 (4)

14 = -1610 - 1624

14 = 14

c) a = 721, b = 448. Solución: Encontrando d = ax + by → d = 721x + 448y Por el algoritmo de Euclides tenemos: a = 721, b = 448

Solución

d = mcd (721,448) = 7

• Aplicando el Algoritmo de Euclides

721 = 448 (1) + 273

448 = 273 (1) + 175

273 = 175 (1) + 98

175 = 98 (1) + 77

98 = 77 (1) + 21

77 = 21 (3) +14

21 = 14 (1) + 7

14 = 0)2(7+

d

• Proceso inverso del Algoritmo

7 = 21 + (-1) 14

7 = 21 + (-1) [77 + (-3) 21]



7 = (-1) 77 + (4) 21

7 = (-1) 77 + (4) [98 + (-1) 77]

7 = (4) 98 + (-5) 77

7 = (4) 95 + (-5) [ 175 + (-1) 98]

7 = (-5) 175 + (9) 98

7 = (-5) 175 + (9) [273 + (-1) 175]

7 = (9) 273 + (-14) 175

7 = (9) 273 + (-14) [448 + (-1) 273]

7 = (-14) 448 + (23) 273

7 = (-14) 448 + (23) [721 + (-1) 448]

7 = (23) 721 + (-37) 448

x = 23, y = -37

• Reemplazando x e y d = ax +by

7 = 721 (23) + 448 (-37) ⇒ 7 = 16583 + 16576 ⇒ 7 = 7

2. Se dispone de un suministro ilimitado de agua, un gran cubo con un

desagüe y dos garrafas que contienen 7 y 9 litros respectivamente.

¿Cómo podría ponerse un litro de agua en el cubo?

Solución

7x + 9y = 1

n

x: Número de garrafas de 7 litros vertidas o retiradas del cubo (+) vertida

y: Número de garrafas de 9 litros vertidas o retiradas del cubo (-) retirada

d = mcd (7, 9) =1

• Aplicando Algoritmo de Euclides

9 = 7(1) + 2 111==

dn

7 = 2 (3) + 1

2 = 0)2(1+

d


1 = 7 + (-3) 2

1 = 7 + (-3) [9 + (-1) 7] x = 4

1 = (-3) 9 + (4) 7 y = -3



7 (4) + 9 (-3) = 1 luego: 28 - 27 = 1 entonces 1 = 1

Luego se vierten 4 garrafas de 7 litros y se retiran 3 garrafas de 9 litros.

3. Calcular las soluciones enteras de las siguientes ecuaciones dionfáticas:

a) 28x + 36y = 44

Solución

d = mcd (28,36) = 4 114

44==

dn

36 = 28 (1) + 8

28 = 8 (3) + 4

8 = 0)2(4+

d

4 = 28 + 8 (-3)

4 = 28 + (-3) [36 + (-1) 28]

4 = (-3) 36 + (4) 28

28 (4) + 36 (-3) = 4

• Multiplicando x 11 x e y, d

28 (44) + 36 (-33) = 44 xo = 44, yo = -33

tabxx o += t

bayy o −=

tx4

3644+= ty42833−−=

x = 44 + 9t y = -33 - 7t

44 + 9t > 0 -33 - 7t < 0

t > -4.88 t >- 4.71

t

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 ……..

-4,88 ∞

Satisface para ∈∀ t ℤ

Para: t = 1

x = 44 + 9t y = -33 - 7t 28x + 36y = 44

x = 44 + 9 y = -33 -7 ⇒ 28(53) + 36 (-40) = 44



x = 53 y = -40 1484 - 1440 = 44

44 = 44

b) 66x + 550y = 80

Solución

d = md (60,550) = 22

• Aplicando Algoritmo de Euclides

550 = 66(8) + 22 636.32280

==dn

0)3(2266 +=d

∴ no ∃ solución, x que a dividir n/d no da

como resultado un número entero.

c) 966x + 686y = 70

d = mcd (966,686) = 14

966 = 686 (1) + 280

686 = 280 (2) + 126

280 = 126 (2) +28

126 = 28 (4) + 14

28 = 14 (2) + 0

n


14 = 126 + (-4) 28

14 = 126 + (-4) [280 + (-2) 126]

14 = (-4) 280 + (9) 126

14 = (-4) 280 + (9) [686 + (-2) 280]

14 = (9) 686 + (-22) 280

14 = (9) 686 + (-22) [966 + (-1) 686]

14 = (-22) 966 + (31) 686

966 (-22) + 686 (31) = 14

Multiplicando x 5

966 (-110) + 686 (155) = 70

xo = -110, yo = 155

tdbxx o += t

dayy o−=



tx14686110+−= ty

14966155−=

x = -110 + 49t y = 155 - 69t

-110 + 49t > 0 155 - 69t > 0

49t > 110 69t < 155

t > 2.244 t < 2.246

t ∈ℤ

- ∞ -2 -1 0 1 2 ∞+

2.244 2.246

t = -1

x = -110 + 49t y = 155 - 69t

x = -110 + 49(-1) y = 155 - 69 (-1)

x = -110 - 49 y = 155 + 69

x = -159 y = 224

966x + 686y = 70

966 (-159) + 686 (224) = 70

-153594 + 153664 = 70

70 = 70

4. Determinar los valores de C ∈ ℤ+, 10 < C < 20, para lo que la ecuación

Dionfática 84x + 990y = c tiene solución y determinarla en su caso.

Solución

84x + 990y = c, a = 84, b = 990 n = c

d = mcd (84,16) = 6

990 = 84(11) + 66

84 = 66(1) + 18

66 = 18(3) +12

18 = 12(1) + 6

12 = 6 (2) + 0

d

6 = 18 + (-1) 12

6 = 18 + (-1) [66 + (-3) 8]

6 = (-1) 66 + (4) 18



6 = (-1) 66 + (4) [84 + (-1) 66]

6 = (4) 84 + (-5) 66

6 = (4) 84 + (-5) [990 + (-11) 84]

6 = (-5) 990 + (59) 84

84 (59) + 990(-5) = 6 x = 59, y = -5

10 < c < 20

26

12==

dn , 3

618

==dn → con los demás números no existe un

número entero al dividir n/d.

x = 2 → 84 (59) + 990 (-5) = 6

84 (118) + 990 (-10) = 12

9912 + 990 = 12

12 = 12

x = 3 → 84 (59) + 990 (-5) = 6

84(177) + 990(-15) = 18

14868 - 14850 = 18

18 = 18

∴ c = 12 ó 18

++= ttx

18990177,

12990118

+−+−= tty

188415,

128410

5. Un turista tiene 1000 coronas checas y quiere cambiar ese dinero en una

cantidad exacta de libras chipriotas y zlotys polacos. El cambio que

ofrece una cierta oficina de cambio es el siguiente:

Un zloty polaco = 13 coronas checas. Una libra = 18 coronas checas.

La oficina no proporciona fracciones de ninguna moneda, ¿de cuántas

formas diferentes puede hacerlo?. Describir una de dichas formas.

Solución

El número de coronas Checas = 1000

El número de libras chipriotas = x

El número de zlotys polacos = y

18x + 13y = 1000

a = 18, b = 13, n = 1000

18 = 13(1) +5



13 = 5(2) +3

5 = 3(1) + 2 d = mcd (13,18) = 1

3 = 2(1) + 1 n/d = 1000/1 = 1000

2 = 1(2) + 0

Proceso inverso del Algoritmo

1 = 3 + (-1) 2

1 = 3 + (-1) [5 + (-1) 3]

1 = (-1) 5 + (2) 3

1 = (-1) 5 + (2) [13 + (-2) 5]

1 = (2) 13 + (-5) 5

1 = (2) 13 + (-5) [18 + (-1) 13]

1 = (-5) 18 + (7) 13

13(7) + 18(-5) = 1

18(-5000) + 13(7000) = 1000

⇒ xo = -5,000, yo = 7,000

⇒ x = -5000 + 13 t > 0 → t > +384,62

y = 7000 – 18 t > 0 → t < 388,89

384,62 388,89

⇒ t ∈ { 385,386,387,388}

Una solución: t = 386 → x = -5000 +13 (386) = 18

y = 7000 – 18 (386) = 52

Comprobando: 18 (18) + 13 (52) = 1000

6. ¿Existe algún múltiplo de 28 cuyas dos últimas cifras sean 16?. En caso

afirmativo, hallar los múltiplos que cumplan esa condición?

Solución Para 28a = 16 + 100b; a , b ≥ 0 ⇒ 28a - 100b = 16

* Algoritmo de Euclides

100 = 28(3) + 16

28 = 16 (1) + 12

16 = 12 (1) + 4

12 = 4 (3) + 0



* Proceso Inverso del Algoritmo

4 = 16 - 12

4 = [100 - 28(3)] - [28 - 16]

4 = 100 - 28 (4) + [100 - 28(3)]

4 = 100(2) - 28(7)

* Multiplicando por 4

16 = 100(8) - 28(28)

16 = 28 (-28) + 100 (8)

⇒ mcd(28,100) = 4 xo = -28 ∧ yo = 8 , a = 28, b = 100

tdbxx o += t

dayy o−=

x = -28 + 25 k ∧ y = 8 – 7 k

Así por ejemplo: k = 2 en (x)

Como es múltiplo de 28 se tiene: 28 (x) = 28 (-28 + 25.2) = 28.22

= 616

Para k = 3 se tiene que x = - 28 + 75 = 47

Como es múltiplo de 28 se tiene: 28 (x) = 28 (-28 + 25.3) = 28.47

= 1316

Y así sucesivamente…..

Para (y) no se cumple por que seria negativo

Otra forma de solución

Para que el número sea múltiplo de 28 debe cumplir con la condición de ser

múltiplo de 4 y de 7, de la condición observamos que el número dado es:

abc……….16 entonces:

Por la condición de multiplicidad por 4 se sabe que las dos últimas cifras deben

ser múltiplo de 4 y esto el número lo cumple.

Por lo tanto sólo debemos comprobar que el número sea múltiplo de 7 lo cual

se comprueba por el criterio de la divisibilidad del 7.

Analizando los números que terminan en 16 y son múltiplos de de 7:

616 = 7 (88)

1316 = 4 (188)

2016 = 7 (288)

2716 = 7 (388)



3416 = 7 (488)……….etc.

Se observa que el primer número que cumple con la condición es 616 y de allí se va

aumentando de 700 en 700 lo que podemos concluir es:

abc………..16 = 616 mod 700.

7. Estudiar si son o primos, los números 811, 476, 911

a) 811

→ 28 < 811 < 29

28,4

Son primor menores: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23. 811 = 405 (2) + 1 811 = 62 (13) +5 811 = 270 (3) + 1 811 = 47 (17) + 12 811 = 162 (5) + 1 811 = 42 (19) + 13 811 = 115 (7) + 6 811 = 35 (23) + 6 811 = 73 (11) + 8 ∴ 811 es primo

b) 476

21 < 476 < 22

Son primos menores: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.

476 = 238 (2) + 0 X 476 = 43(11) + 3 √

476 = 158 (3) + 2 √ 476 = 36(13) + 8 √

476 = 95 (5) +1 √ 476 = 28(17) + 0 X

476 = 68 (7) + 0 X 476 = 25(19) + 1 √

∴ 476 no es primo

c) 911

30 < 911 < 31

Son primos menores: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.

911 = 455 (2) + 1 911 = 70 (13) + 1

911 = 303 (3) +2 911 = 53 (17) + 10

911 = 182 (5) +1 911 = 47 (19) + 18

911 = 130 (7) + 1 911 = 39 (23) + 14



911 = 82 (11) + 9 911 = 31 (29) + 12

∴ 911 es primo

9) Demostrar que si p es primo distinto de 2 y 5 entonces, o bien p2 − 1, o bien p2 + 1 es divisible por 10. Nos piden demostrar lo siguiente: p2 − 1 ≡ (mod 10) ∨ p2 + 1 ≡ (mod 10)

2 2( 1)( 1) (mod 10)p p→ − + ≡ Si p es primo siempre el cuadrado de este terminara en : p2 = _______1 ó p2 = _______9 Se puede ver que si se le resta o suma 1,la ultima cifra se convertirá en 0, con lo cual se confirma que cualquiera de los dos números es múltiplo de 10. 10. Un grupo de menos de 300 turistas, viajan en 5 autocares iguales completos y llega a un hotel. Las mesas del comedor del hotel son de 9 personas y de 4 personas. Los turistas de los 2 primeros autocares se sientan alrededor de las mesas de 9 personas resultando 3 personas sin acomodar; estás, junto con los turistas de los 3 autocares restantes completos, se sientan alrededor de las mesas de 4 personas, quedando todos acomodados para la cena. Al día siguiente, van a realizar una visita a un Museo donde deben de entrar en grupos de 24 personas. Si al hacer la distribución de grupos de 24 personas, el último grupo es de tan solo 15 personas, ¿Cuántos turistas viajan en total?

Solución: Comprender el problema Sea x = Nº de turistas de cada autocar entonces se tiene el sistema de congruencias:

=⇒==⇒=⇒=+⇒=+

=⇒=⇒=

24mod324mod1554mod34mod934mod12334mod033

9mod69mod1229mod32

xxxxxx

xxx

Relacionar sus variables De esto se tiene el siguiente sistema



===

)3(...........24mod3)2(..........4mod3)1(.........9mod6

xxx

Resolver el sistema de variables: De (1) = (2) se tiene

ax 969mod6 +== …………….(*) 4mod74mod3969mod6 ==+== ax

⇒ 4mod14mod94mod194mod796 =⇒==⇒=+ aaa ⇒ a = 1 + 4 b reemplazo esto en (*)

( ) bbx 36154196 +=++= o sea que ∈∀+= ttx 3615 ℤ es la solución para las dos primeras ecuaciones.

Solución de nuestro problema Para resolver nuestro problema se comprueba si dicha solución verifica la tercera ecuación para algún valor de ∈t ℤ Para t = 1 ⇒ se tiene x = 15 + 36 = 51 = 24mod3 ⇒ 3002555 <=x cumple la condición del problema. Verificación de la solución Para t = 2 ⇒ se tiene x = 15 + 36 (2) =87 = 24mod15 ⇒ esta ecuación no verifica la condición del problema. Para t = 3 ⇒ se tiene x = 15 + 36 (3) = 123 = 24mod3 ⇒ 3006155 >=x ⇒ Esta ecuación no verifica la condición del problema. Solución: en total viajan 255 turistas.

11. Un agente de Cambio y Bolsa tiene invertido dinero en acciones de Azucarera y Repsol. Las acciones de Azucarera se cotizan a 89 euros y las de Repsol a 614 euros cada una. Necesita hacer una transacción para disponer exactamente de 1000 euros en efectivo. ¿Puede hacerlo comprando acciones de Repsol y vendiendo acciones de Azucarera, solamente? En caso afirmativo, decir cuántas acciones de cada tipo, como mínimo, comprará y venderá.

Solución Comprender el problema Sean x : Nº de acciones de Repsol Y: Nº de acciones de Azucarera Relacionar sus variables ⇒ se formará la ecuación diofántica

100089614 =+ yx , el cual tiene soluciones enteras ya que el m.c.d. ( 614,89) =1 divide a 1000 Resolver la ecuación diófantica: Usando el algoritmo de Euclides ⇒ 614 = 89 × 6 + 80

89 = 80 × 1 + 9 80 = 9 (8 ) + 8

9 = 8 (1) + 1



1 = 1 (1) + 0 En sentido inverso se tiene: 1 = 9 - 8 1 = 9 - [ 80 – 8 (9) ] 1 = 9 (9) - 80 1 = 9 [ 89 – 80] – 80 1 = 9 (89) – 10 (80) 1 = 9 (89) – 10 [614 – 89 (6) ] 1 = 614 (- 10) + 89 (69) 1000 = 614 (-10000) + 89 (69000) d = a x0 + b y0 Solución de nuestro problema

ttdbxx 89100000 +−=+= si 0>x (compra Repsol)

614690000 −=−= tdayy Si 0<y (Vende Azucarera)

38.1126900061406146900034.112100008908910000

>⇒>⇒<−>⇒>⇒>+−

tt

⇒ 112>t

⇒ Pata t = 113 Verificación de la solución

X = - 10000 + 89 (113) = -10000 + 10 057 = 57 Y = 69000 - 614 (113) = 69000 - 69382 = - 382 Por lo tanto X = 57 o sea compra 57 acciones de Repsol Y = - 382 vende 382 acciones de Azucarera. 12. Se presentan 800 manuscritos a un concurso literario. Después de una primera selección, en las que se eliminan mas de 300 manuscritos, se pretende almacenar los manuscritos eliminados en cajas de la misma capacidad y que todas las cajas estén completas, para que no se extravíe ningún manuscrito. En principio, se preparan cajas con capacidad de 6 manuscritos, pero sobran 3, de modo que se agrandan las cajas para que contengan 7 manuscritos cada una; pero sobran 5, se agrandan todavía un poco más las cajas para que contengan 11 manuscritos cada una, en cuyo caso ya no sobra ningún manuscrito. ¿Cuántos manuscritos quedan en concurso después de la primera selección?

Solución Sea x: Nº de manuscritos eliminados, después de la primera selección

⇒ 300>x y se verifica el siguiente sistema de congruencias:

===

)3.....(..........11mod0)2....(..........7mod5)1(.............6mod3

xxx

El sistema anterior tiene solución ⇔ ( ) ( ) ( ) 111,711,67,6 === mcdmcdmcd

( )( ) ( ) 4621176 ==m



De (1) =(2) se tiene:

ax 636mod3 +== ……..(1)

7mod5636mod3 =+== ax ⇒ 7mod97mod26 ==a

7mod107mod32 ==a ⇒ ba 757mod5 +== ………(4)

Ahora (4) en (1) se tiene:

( ) bbx 42337563 +=++= , ………………………………….(5)

esto lo igualamos a la ecuación (3)

11mod3311mod04233 ==+= bx ⇒ 11mod4411mod042 ==b

⇒ 11mod3311mod2221 ==b ⇒ 11mod7711mod117 ==b

⇒ cb 11011mod011mod11 +=== ⇒ cb 11= ……(6)

Ahora (6) en (5) se tiene:

( ) tccx 4623346233114233 +=+=+= ; ∈t ℤ

Luego: tx 46233+= ; ∈t ℤ ; para t = 1

x = 33 + 462 =495

⇒ Entonces, después de la primera selección, quedan en el concurso:

800 – 495 = 305 CANDIDATOS.

PROBLEMAS Aritmética modular 1

1.- Considera lo enteros 2, 7, 17, 23, 45, 67, 86, 124 y 132.

¿Cuáles de ellos son congruentes con 2 módulo 3, cuáles lo son módulo 7 y cuáles lo son módulo 11?

Sepáralos en clases de congruencia módulo 6.

Solución

En la siguiente tabla los tienes clasificados.

Módulo Números 3 2, 17, 23 y 86 7 2, 23 y 86

15 17

Módulo 6 se encuentran en las clases:

http://ma1.eii.us.es/miembros/cobos/Utilidades%20IMD/Modular-1.htm�



Clase Números 0 132 1 7 y 67 2 2 y 86 3 45 4 124 5 17 y 23

2.- ¿Qué resto dará la división de 124235 · 245761 entre 3? Justifica la respuesta

Solución

Como 124235 de de resto 2 y 245761 da de resto 1, el producto dará de resto

2 · 1 = 2.

3.- Sea x un entero que da de resto 3 cuando lo dividimos entre 5.

¿Dará x2 el mismo resto que 32 cuando lo dividamos entre 5?

¿Dará 2x el mismo resto que 23 cuando lo dividamos entre 5?

Justifica las respuestas.

Solución

La primera es cierta ya que como x da de resto 3, x2 = x · x dará el mismo resto que 3 · 3 = 32, es decir, resto 4.

La segunda es falsa ya que, por ejemplo, 8 da de resto 3 al dividirlo entre 5 y, sin embargo, 28 = 256 da de resto 1 mientras que 23 = 8 da de resto 3.

¡ Se puede definir la potencia, pero no la exponencial !

4.- Del número 2345_33 hemos perdido la cifra de las centenas.

Sabiendo que era congruente con 1 módulo 7, ¿se puede encontrar la cifra que habíamos perdido?

Solución

Nuestro número 2345x33 = 2345000 + 100 · x + 33.






Como 2345000 da de resto 0 al dividirlo entre 7, 100 da de resto 2 y 33 da de resto 5, nuestro número dará el mismo resto que 2 · x + 5 al dividirlo entre 7.

El único dígito x tal que 2 · x + 5 da de resto 1 es el 5, por lo que nuestro número era el 2345533.

5.- Miramos el calendario y vemos que es jueves.

¿Qué día de la semana será dentro de un año y 20 días? Justifica la respuesta.

Solución

Un año y 20 días son 385 días. Como 385 da de resto 0 al dividirlo entre 7 (días de la semana), volverá a ser jueves

ARITMÉTICA MODULAR 2 1) Encontrar el menor residuo no negativo mód 7 de los números: 23, 35, −48, −64.

a) 23 23 = r mod 7 ≡ 2 mod 7 ∴ el menor residuo no negativo es 2. b) 35 35 = r mod 7 ≡ 0 mod 7 ∴ el menor residuo no negativo es 0. c) -48 -48 = r mod 7 ≡ 1 mod 7 ∴ el menor residuo no negativo es 1. d) -64 - 64 = r mod 7 ≡ 6 mod 7 ∴ el menor residuo no negativo es 6 2) Sabiendo que 1234567 ≡ 7(mód10), 90123 ≡ 3(mód10), 2468 ≡ 18(mód25) y que 13579 ≡ 4 (mód25) calcular el valor del menor residuo no negativo a tal que:




a) 1234567 × 90123 ≡ a(mód10). Se tiene que: 1234567 ≡ 7(mód10) , 90123 ≡ 3(mód10) multiplicando: 1234567 × 90123 ≡ 21(mód10) ≡ 1(mód10) ∴ el menor residuo no negativo es 1. b) 2468 × 13579 ≡ a(mód25). Se tiene que: 2468 ≡ 18(mód25) , 13579 ≡ 4(mód25) multiplicando: 2468 × 13579 ≡ 72(mód25) ≡ 22(mód25) ∴ el menor residuo no negativo es 22. 5) Comprobar si 1213141516171819 y 192837465564738291 son

divisibles por 11. ¿Qué cifra falta en la igualdad 871782_1200 = 14!? Para efectuar el desarrollo de esta pregunta usaremos los criterios de divisibilidad:

1213141516171819− + − − + − − − − −+ + + + + +

→-1+2-1+3-1+4-1+5-1+6-1+7-1+8-1+9 = 36 36 ≡3(mod 11) por lo que se llega a la conclusión que el número: 1213141516171819 no es divisible por 11

192837 46556738291+ + + + +− − + − − + − + − + − −

→1-9+2-8+3-7+4-6+5-5+6-7+3-8+2-9+1 = -32 -32 ≡1(mod 11) por lo que se llega a la conclusión que el número: 19283746556738291 no es divisible por 11

871782a1200 = 14!



En este caso como el número es igual a un factorial y se desea conocer una de sus cifras es necesario aplicar varios criterios de divisibilidad a la vez: Criterio de divisibilidad por 3: 8+7+1+7+8+2+a+1+2 = 36 + a Como 36 es múltiplo de 3 entonces para que todo el numero sea divisible por 3 necesariamente: a ≡ mod 3 .....................(1) Criterio de divisibilidad por 7:

1 1 3 12 3 2 3 2

871782 12a

++ −

[8(2)+3(7)+1(1)]-[7(2)+8(3)+2(1)]+[a(2)+1(3)+2(1)]= 2a+3 2a +3 ≡ mod 7 .....................(2) Criterio de divisibilidad por 11:

871782 12a+ − − ++ − − + +

8-7+1-7+8-2+a-1+2=2+a 2 + a ≡ mod 11 .....................(3) De las ecuaciones (1), (2) y (3) a sólo puede tomar el valor de 9

9a∴ = 6. Comprobar mediante un ejercicio que en Z6, Z8, Z15 existen x, y tales que xy=0

siendo 0x y≠ ≠ ¿Existe algún ejemplo en Z7?

a) En Z6:

0 0 0 0 0 00 1 2 3 4 50 2 4 0 2 40 3 0 3

* 0 1 2 3 4 501234

0 30 4 2 0 4 2

5 0 5 4 3 2 1

02 3 03 2 03 4 04 3 0

xy =× =× =× =× =



b) En Z8:

0 0 0 0 0 0 0 00 1 2 3 4 5 6 70 2 4 6 0 2 4 20 3 6 1

* 0 1 2 3 4 5 6 7012345

4 7 2 50 4 0 4 0 4 0 40 5 2 7 4 1 6 3

67

0 6 4 2 0 6 4 20 7 6 5 4 3 2 1

02 4 04 2 04 4 04 6 06 4 0

xy =× =× =× =× =× =

c) En Z15:

140 0 0 0 0 0 0 0 0 ... ... ... 01 0 1 2 3 4 5 6 7 ... ... ... 142 0 2 4 6 8 10 12 14 ... ... ... 133 0 3 6 9 12 0 3 6 ... ... ... 124 0 4 8 12 1 5 9 13 ... ... ... 115 0 5 10 0 5 10 0 5 ... ... ... 10. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .

* 0 1 2 3 4 5 6 7 .

. . .. . . . . . .

.. ...

. . .

...

. . .. . . . . . . . . . . . .

1 40 . . . . . . . . . . .

03 5 03 10 05 3 05 6 05 9 05 12 06 5 0

xy =× =× =× =× =× =× =× =

d) En Z7:

* 0 1 2 3 4 5 60123

0 0 0 0 0 0 00 1 2 3 4 5 60 2 4 6 1 3 50 3 6 2 5 1 40 4 1 5 2 6 30 5 3 1 6 3 20 6 5

456 4 3 2 1

∴No ∃ el caso X.Y=0 cuando X, Y≠ 0 en Z7



7) Hallar los elementos inversibles de Z6, Z7 y Z8. De los cuadros utilizados en los ejercicios anteriores:

• Z6 : Elementos inversibles : {5.5 1= 5 ∈Z6 y son primos con 6.

• Z8 : Electos inversibles : 3.3 15.5 17.7 1

= = =

3, 5 y 7 ∈Z8 y son primos con 8.

• Z7 : Electos inversibles :

2.4 13.5 14.2 15.3 16.6 1

= = = =

=

2, 3, 4, 5 y 6 ∈Z7 y son primos con 7.

8) Hallar el inverso de: a) 6 en Z11

Por Euclides extendido: 11 6.1 56 5.1 1= += −

Luego:

111

1 6 5.(1)1 6 (11 6.(1))1 6.(2) 111 6.2( 11)(6) 2

módenZ−

= −= − −= −=

=

El inverso de 6 es 2 en Z11

b) 6 en Z17

Por Euclides extendido: 17 6.2 56 5.1 1

= += +

Luego:

117

1 6 5.(1)1 6 (17 6.(2))1 6.(3) 171 6.3( 17)(6) 3

módenZ−

= −= − −= −=

=




c) 6 en Z10

Por Euclides extendido: 10 3.(3) 1= +

Luego: 1

1 10 3.(3)1 3.3( 10)(3) 3 10 3 7

mód−

= −= −

= − = − =


d) 5 en Z12


= += +

Luego:

112

1 5 2.(2)1 5 2(12 5.(2))1 5.(5) 12.21 5.5( 12)(5) 5

módenZ−

= −= − −= −=

=

El inverso de 5 es 5 en Z12 e) 4 en Z11 11 = 2 (4) + 3 4 = 1 (3) + 1 3= 3 (1) + 0

Luego: 1 = 4 – 3 = 4 – [ 11 – 1 (4) ] 1 = 3 (4) – 11


f) 7 en Z15 15 = 2 (7) + 1 7 = 7 (1) + 0 Luego: 1 = 15 – 2 (7) [7]-1 = - 2 = [13 - 15] =13

El inverso de 7 es 13 en Z15 g) 7en Z16


= += +



Luego:

116

1 7 2.(3)1 7 3(16 7.(2))1 7.(7) 16.31 7.7( 16)(7) 7

módenZ−

= −= − −= −=

=


h) 777en Z1009 1009 = 777 + 232 777 = 3(232) + 81 232 = 2 (81) + 70 81 = 1 (70) + 11 70 = 6(11) + 4 11 = 2 (4) + 3 4 = 1 (3) + 1 3 = 3 (1) + 0 Luego: 1 = 4 – 3 = 4 – [11 -2 (4)] = 3 (4) – 11 = 3 [70- 6 (11) ] – 11 = 3 [70] 19 (11) = 3 (70) - 19 [81 -70] = 22 (70) – 19 (81) = 22 [232 – 2(81)] - 19 (81) = 22 [232] – 63 (81) = 22 [232] - 63 [777- 3(232)] = 211 (232) – 63 (777) = 211 [1009 -777] – 63 (777) = - 274 (777) + 211 (1009) Luego: [777]-1 =[ - 274] = [1009 – 274 ] = 735

El inverso de 777 es 735 en Z1009 9) Si p es primo, demostrar que en Zp los únicos elementos que coinciden con su inverso son 1 y − 1. Solución: Para demostrar esto sabemos que se cumple que:

( 1)( ) 1

1

1 ( 1)( ) 1

1

1

p p p

p p

p p p

p p

Z Z a ZZ a Z

aZ Z b Z

Z b Zb

• + + = +

+ = +

→ =• − + = +

− = +

→ = −



10) a) Demostrar que los enteros menores que 11, excepto el 1 y el 10, pueden agruparse de dos en dos de manera que cada uno de ellos es el inverso del otro en

11Z . Solución: En el problema anterior demostramos que 1 y -1 son los únicos elementos que coinciden con sus inversos cuando la base es un primo. En este caso 11 es un primo y el 10 en esta base es equivalente a -1 en conclusión la misma demostración anterior seria para este problema. b) Demostrar que 10! ≡ −1(mód11). Solución: Para demostrar este ejemplo tenemos solo que demostrar la letra “c” debido que es el caso general. c) Demostrar, que si p es primo entonces (p − 1)!≡ − 1(mód p), (Teorema de Wilson). Utilizar este resultado para encontrar el resto de dividir 15! por 17. Solución: Si p es un numero primo entonces para todo a, 1≤ a < p vale que el resto de dividir ap−1 por p es 1. En aritmética módulo p eso es que ap−1 ≡ 1 (módp). Demostración: Como p es primo, entonces Zp es un cuerpo (cada elemento distinto de 0 es invertible puesto que en ZN, con N 2 IN, N > 0 que a sea invertible equivale a MCD(a,N) = 1 y si p es primo entonces todo numeró entre 1 y p − 1 cumple esa condición). Para J desde 1 hasta p − 1 hacemos variar J definiendo la función f(J) = a · J mód p. Esta función es inyectiva puesto que si f(J) = f(I) entonces a · J = a · I mód p de aquí resulta que a ·(J − I) = 0 mód p. Como a 6= 0 mód p es invertible, o sea que existe su inverso b tal que b · a = 1 mód p (Este valor b puede calcularse con el AEE, por ejemplo). Multiplicando por b a ambos lados de a · (J − I) = 0 mód p obtenemos que b · a · (J − I) = b · 0 mód p o sea 1 ·(J −I) = J −I = 0 mód p. Se concluye que J = I por lo que f es inyectiva. Pero Zp es un conjunto finito y una función inyectiva en un conjunto finito también es sobreyectiva. Por lo tanto resulta que al J recorrer todos los valores posibles J = 1, · · · , p − 1 de Zp también f(J) hace lo mismo solo que posiblemente en un orden distinto. Multiplicando todos los valores de J entre si tenemos:

1 × 2 × 3 × · · · × p − 1 mód p (*) Que será igual modulo p, por lo que dijimos recién, al producto f(1) × f(2) × f(3) × · · · × f(p − 1) mód p = a1 × a2 × a3 × · · · × a(p − 1) mód p = ap−1 × 1 × 2 × 3 × · · · × p − 1 mód p (X) Igualando (_) con (X) y simplificando obtenemos ap−1 = 1 mód p Esto es lo que querríamos demostrar. 9) Usar el teorema de Fermat para calcular los restos de dividir



Pequeño teorema de Fermat Si el cuerpo de trabajo es un primo p: mcd (a, p) = 1 ⇒ aφ(p) mod p = 1 Entonces a ∗ x mod p = 1 y aφ(n) mod p = 1 Además, en este caso φ(p) = p-1 por lo que igualando las dos ecuaciones de arriba tenemos: ∴ aφ(p) ∗ a-1 mod p = x mod p ∴ x = ap-2 mod p Luego x será e inverso de a en el primo p.

a) 347 entre 23 47 ( 23)

23 1 22 _; 33 x módp p a

≡

= → − = =

Dado que 23 es primo y no divide a 3 1 1( )p módpa −⇒ = 147 2(22) 3 3r= + ⇒ =

22 22

22

2

3 3( 23)

( 23)

( 23) 1( 23)

1( 23) 1

3 33

mód

mód

mód mód

mód r

≡

≡

≡

≡ =

Sabemos que: 1 2

47

4

4( 23)3

x x

mód

r r= + ⇒ =

∴ ≡

Otra forma de resolución Del teorema de Fermat se cumple que:

223 1(mod 23)= Para llegar a la expresión original hacemos: ( )2 44

3 44 3 3

47

47

3 1(mod 23) x3 3 .3 1(mod 23).3 3 1(mod 23)4(mod 23) 3 4(mod 23)

El residuo de dividir entre 23 es 4

→ =

→ =

=

=∴

b) 6592 entre 11

592 ( 11)11 1 10

6 x módp p

≡

= → − =

Dado que 11 es primo y no divide a 6 1 1( )p módpa −⇒ =



1592 59(10) 2 2r= + ⇒ =

10 10

10

2

6 6( 11)

( 11)

( 11) 1( 11)

1( 11) 1

6 66

mód

mód

mód mód

mód r

≡

≡

≡

→ =

Sabemos que: 1 2

592

3

3( 11)6

x x

mód

r r= + ⇒ =

∴ ≡

Otra forma de resolución Del teorema de Fermat se cumple que:

106 1(mod11)= Para llegar a la expresión original hacemos: ( )59 590

2 590 2 2

592

592

6 1(mod11) x6 6 .6 1(mod11).6 6 1(mod11).3(mod11) 6 3(mod11)


→ =

→ =

=

=∴

c) 315 entre 17

15 ( 17)17 1 16

3 x módp p

≡

= → − =

Dado que 17 es primo y no divide a 3 1 1( )p módpa −⇒ = 115 17(1) 2 2r= − ⇒ = −

3

15 5

2

4

5

10( 17)

( 17)

( 17) 2( 17)

( 17) 4( 17)

( 17) 40( 17)40( 17) 6( 17)

33 10101010

mód

mód

mód mód

mód mód

mód módmód mód

≡

≡

≡ −

≡

≡

≡

15 6( 17)3 mód∴ ≡ Otra forma de resolución Del teorema de Fermat se cumple que:

163 1(mod17)= Para llegar a la expresión original hacemos:



16

15

15

15

15

3 1(mod17)3 .3 1(mod17)

3 .3 mod17 1 17 3 .3 18(mod17) 3 6(mod17)


→ =

→ =

= + +

=

=∴

d) 1590 entre 13

90 ( 13)13 1 12

15 x módp p

≡

= → − =


12 12

12

2

15 2( 13)

( 13)

( 13) 1( 13)

1( 23) 1

15 22

mód

mód

mód módmód r

≡

≡

≡

≡ =

Sabemos que: 1 2

90

7

7( 13)15

x x

mód

r r= + ⇒ =

∴ ≡

Otra forma de resolución También podemos representar la expresión de otra forma:

90 90

90 90

15 (2(mod13))15 mod13 2 .........(1)

=

= +

Del teorema de Fermat se cumple que: 122 1(mod13)=

Para llegar a la expresión original hacemos: ( )7 84

6 84 6 6

90

90

2 1(mod13) x2 2 .2 1(mod13).2 2 1(mod13).12(mod11) 2 12(mod13)............(2)

→ =

→ =

=

=

Reemplazando (2) en (1): 90 90

90

90

15 mod13 215 mod13 12(mod13)15 12(mod13)


= +

= +

=∴

Comprobar



e) 1254577 entre 13 4577 ( 13)

13 1 12125 x módp p

≡

= → − =


12 12

12

2

125 8( 13)

( 13)

( 13) 1( 13)

1( 13) 1

125 88

mód

mód

mód mód

mód r

≡

≡

≡

≡ =

Sabemos que: 1 2

4577

6

6( 13)125

x x

mód

r r= + ⇒ =

∴ ≡

Otra forma de resolución También podemos representar la expresión de otra forma:

4577 4577

4577 4577

125 (8(mod13))125 mod13 (8) ........(1)

=

= +

Del teorema de Fermat se cumple que: 128 1(mod13)=

Para llegar a la expresión original hacemos: ( )381 4572

5 4572 5 5

4577

4577

8 1(mod13) x8 8 .8 1(mod13).8 8 1(mod13).8(mod13) 8 8(mod13)............(2)

→ =

→ =

=

=

Reemplazando (2) en (1): 4577 4577

4577

4577

125 mod13 (8) ........(1)125 mod13 8(mod13)125 8(mod13)


= +

= +

=∴

10) a) ¿Cuál es la última cifra de la representación en base 10 de 793?



93

2

2

46 46

92

92

93

( 10); ??7 7( 10)

9( 10)

1( 10)

2 ( 10)

1( 10)7 7( 10)

7 7( 10)

7( 10) 7

7

77

( 1)77

77

r mód rmód

mód

mód

mód

módmód

mód

mód r

≡ =

≡

≡

≡ −

≡

≡

≡

× ≡

≡ → =

−

b) ¿Cuál es el último dígito de 23189?

2

94 94

188

188

23 3( 10)

9( 10) 1( 10)

2 ( 10)

1( 10)23 3( 10)

23 3( 10)

23( 1)23

23

23

mód

mód mód

mód

módmód

mód

≡

≡ ≡ −

≡

≡

≡

× ≡

−

189 3( 10)23 mód≡ →último dígito=3 11) Un reloj analógico se pone en la hora a las 12 en punto del día terminado. ¿Qué

hora marcaría de transcurridas 5100 horas exactas, si no se para nunca y es totalmente preciso?

100

502

100

( 12)

21( 12) ( 12) 1( 12)

1( 12)

55 55

x mód

mód mód mód

mód

≡

≡ → ≡

≡

∴Marcaría la 1 de la madrugada. 12) Resolver las siguientes ecuaciones. a)



0

0

5 1( 11)10 ( 1)( 11)2.5 2.1( 11)

2( 11)( 2)( 11) 2

1 11

x módmód

x módx mód

x mód

mcd x t

x

x

≡≡ −≡

− ≡

≡ − → = −

= → = +

2 11x t∴ = − + b)

0

0

4 3( 7)36 1( 7)9.4 9.3( 7)

27( 7) ( 1)( 7) 1

1 7

x módmód

x módx mód mód

mcd x t

x

x

≡≡≡

≡ ≡ − → = −

= → = +

1 7x t∴ = − + c)

3 9( 15)

3( 15)3

x módx módmcd

≡≡

=

3 5x t∴ = + d)

0

0

2 5( 7)8 1( 7)2.4 4.5( 7)

20( 7) ( 1)( 7) 1

1 7

x módmód

x módx mód mód

mcd x t

x

x

≡≡

≡

≡ ≡ − → = −

= → = +

1 7x t∴ = − + e) 5 7( 15)x mód≡ 5 no divide a 7; ∴∃ solución. 13) Resolver las ecuaciones a) 66x=42 en Z168



0

0

66 42( 168)11 7( 168)55 ( 1)( 28)5.11 5.7( 28)( 1) 35( 28)7( 28) ( 7)( 28)

7

6 1 28

x módx mód

módx módx mód

mód x mód

mcd mcd x t

x

x

≡≡≡ −

≡− ≡

→ ≡ −

∴ = −

= → = ⇒ = +

7 28x t∴ = − +

b) 21x=18 en Z30

0

0

21 18( 30)7 6( 10)21 1( 10)3.7 3.6( 10)

18( 10) 2( 10)2

3 1 10

x módx mód

módx mód

x mód mód

mcd mcd x t

x

x

≡≡≡≡

≡ ≡ −

∴ = −

= → = ⇒ = +

2 10x t∴ = − +

c) 35x= 42 en Z49

0

0

35 42( 49)5 6( 7)15 1( 7)3.5 3.6( 7)

18( 7) 3( 10)3

7 1 7

x módx mód

módx mód

x mód mód

mcd mcd x t

x

x

≡≡≡≡

≡ ≡ −

∴ = −

= → = ⇒ = +

3 7x t∴ = − + 14)



a) ¿Qué entero al dividirlo por 2 da de resto 1 y al dividirlo por 3 da también de resto 1?

1( 2)x mód≡ 1( 3)x mód≡ Usando el teorema chino del resto:

1

1

2

1na

=

= 2

2

3

1na

=

= 1 2

.

2.3 6

nn n

n n=

= ⇒ =

1 1

1

2 12

6 / 2 3

6 / 3 2

n

n

c cnc cn

= = → =

= = → =

1

3 1( 2)1( 2)

1

x módx mód

d

≡≡

=

1

1

1

1

3

1

acd

=⇒ = =

2

2 1( 3)1( 3)

( 1)( 3)1

x módx mód

x mód

d

≡− ≡≡ −

= −

Luego:

0x ntx= +

0 1 1 1 2 2 2. . . . 1.3.1 1.2.( 1) 1x a c d a c d= + = + − =

1 6 ( )x t t Z∴ = + → ∈

CRIPTOGRAFÍA Observación: Para los siguientes ejercicios, se numerarán las letras del alfabeto del siguiente modo: A- 0

B- 1

C- 2

D- 3

E- 4

F- 5

G- 6

H- 7

I- 8

J- 9

K- 10

L- 11

M- 12

N- 13

N- 14

O- 15

P- 16

Q- 17

R- 18

S- 19

T- 20

U- 21

V- 22

W- 23

X- 24

Y- 25

Z- 26

1) Codificar el mensaje "COMPLETO" aplicando las siguientes funciones código: a) (p + 13)mód27



Solución: Como el mensaje a codificar es “COMPLETO” ubicamos los valores reales para luego encontrar su equivalencia: C=2 2 (2 13) mod 27 15(mod 27) ahora p=15 Op→ = → + → → → O=15

15 (15 13) mod 27 28(mod 27) 1(mod 27) ahora p=1p B→ = → + → → → → M=12

12 (12 13) mod 27 27(mod 27) 0(mod 27) ahora p=0p A→ = → + → → → → P=16

16 (16 13) mod 27 29(mod 27) 2(mod 27) ahora p=2p C→ = → + → → → → L=11 11 (11 13) mod 27 24(mod 27) ahora p=24p X→ = → + → → → E=4 4 (4 13) mod 27 17(mod 27) ahora p=17p Q→ = → + → → → T=20

20 (20 13) mod 27 33(mod 27) 6(mod 27) ahora p=6p G→ = → + → → → → " " codificado en (p+13)mod27 es "OBACXQGB"COMPLETO∴

b) (5p + 7)mód27. Solución: Como el mensaje a codificar es “COMPLETO” ubicamos los valores reales para luego encontrar su equivalencia: C=2 2 (5(2) 7) mod 27 3(mod 27) ahora p=3p D→ = → − → → → O=15

15 (5(15) 7) mod 27 68(mod 27) 14(mod 27) ahora p=14p Ñ→ = → − → → → → M=12

12 (5(12) 7) mod 27 53(mod 27) 26(mod 27) ahora p=26p Z→ = → − → → → → P=16

16 (5(16) 7) mod 27 83(mod 27) 2(mod 27) ahora p=2p C→ = → − → → → → L=11

11 (5(11) 7) mod 27 48(mod 27) 21(mod 27) ahora p=21p U→ = → − → → → → E=4 4 (5(4) 7) mod 27 13(mod 27) ahora p=13p N→ = → − → → → T=20

20 (5(20) 7) mod 27 93(mod 27) 12(mod 27) ahora p=12p M→ = → − → → → →

" " codificado en (5p-7)mod27 es "DÑZCUNMÑ"COMPLETO∴ 2) Descodificar los siguientes mensajes, que han sido codificados usando las funciones que se indican: a) CEBTUÑUPB QX CNFB (codificado por (p + 13)mód27 ). Solución: Como hay que descubrir la palabra ubicaremos el mensaje codificado con los valores que por el momento esta adquiriendo: C=2 2(mod 27) 13 mod 27 11 16p p p P→ = + → = + → = → E=4 4(mod 27) 13 mod 27 9 18p p p R→ = + → = + → = → B=1 1(mod 27) 13 mod 27 12 15p p p O→ = + → = + → = → T=20 20(mod 27) 13 7p p H→ = + → = →



U=21 21(mod 27) 13 8p p I→ = + → = → Ñ=14 14(mod 27) 13 1p p B→ = + → = → P=16 16(mod 27) 13 3p p D→ = + → = → Q=17 17(mod 27) 13 4p p E→ = + → = → X=24 24(mod 27) 13 11p p L→ = + → = → N=13 13(mod 27) 13 0p p A→ = + → = → F=5 5(mod 27) 13 mod 27 8 19p p p S→ = + → = + → = →

Remplazando los codigos con sus respectivas letras notamos que el mensaje "CEBTUÑUPB QX CNFB" que estuvo codificado en (p+13)mod27 es "PROHIBIDO EL PASO"

∴

b)NHZANHZTQH VTUQPAZH (codificado por (5p + 7)mód27 ). Solución: Como hay que descubrir la palabra ubicaremos el mensaje codificado con los valores que por el momento esta adquiriendo: N=13 13(mod 27) 5 7 6(mod 27) 5 12p p p M→ = + → = → = → H=7 7(mod 27) 5 7 0(mod 27) 5 0p p p A→ = + → = → = → Z=26 26(mod 27) 5 7 19(mod 27) 5 20p p p T→ = + → = → = → A=0 0(mod 27) 5 7 20(mod 27) 5 4p p p E→ = + → = → = → T=20 20(mod 27) 5 7 13(mod 27) 5 8p p p I→ = + → = → = → Q=17 17(mod 27) 5 7 10(mod 27) 5 2p p p C→ = + → = → = → V=22 22(mod 27) 5 7 15(mod 27) 5 3p p p D→ = + → = → = → U=21 21(mod 27) 5 7 14(mod 27) 5 19p p p S→ = + → = → = → P=16 16(mod 27) 5 7 9(mod 27) 5 18p p p R→ = + → = → = → Remplazando los codigos con sus respectivas letras notamos que el mensaje "NHZANHZTQH VTUQPAZH" que estuvo codificado en (5p+7)mod27 es "MATEMATICA DISCRETA"

∴

Aritmetica Entera y Modular Ejercicios

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