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ARITMETICA: Números Enteros

El conjunto de los números enteros está formado por los naturales, sus opuestos (negativos) y el cero.

= { . . .−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 . . .}

Se dividen en tres partes: enteros positivos o números naturales, enteros negativos y cero.

Dado que los enteros cont ienen los enteros posi t ivos, se considera a los números naturales son un subconjunto de

los números enteros .

OPERACIONES CON NUMEROS ENTEROS Valor absoluto. Es la distancia en unidades recorridas sobre la recta numérica, del cero hacia él número en cuestión sin observar el sentido. El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta al suprimir su signo . |−a| = a |a| = a El valor absoluto lo escribiremos entre barras verticales . |−5| = 5 |5| = 5

Representación de los números enteros

1. En una recta horizontal, se toma un punto cualquiera que se señala como cero.

2. A su derecha y a distancias iguales se van señalando los números positivos : 1, 2, 3, ...

3. A la izquierda del cero y a distancias iguales que las anteriores, se van señalando los

números negativos: − 1, −2, −3, ...

Criterios para ordenar los números enteros

• Todo número negativo es menor que cero. −7 < 0

• Todo número positivo es mayor que cero. 7 > 0

• De dos enteros negativos es mayor el que tiene menor valor absoluto. −7 >− 10 |−7| < |−10|

• De los enteros positivos, es mayor el que tiene mayor valor absoluto. 10 > 7 |10| > |7|

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Operaciones:

° Suma. Valor numérico (+) + (+) = + suma de valores absolutos. ------------------------- (4) + (2) = 6 (-) + (-) = - suma de valores absolutos. ------------------------- (-7) + (-10) = -17 (+) + (-) = signo de él número con mayor valor absoluto. (20) + (-13) = 7 (-) + (+) = El valor numérico de la operación es la diferencia de valores absolutos. ° Producto y cociente (+) (+) = + Valor numérico productos o las divisiones de los valores absolutos (3) (4) =12 (-) (-) = + (-6) (-5) =30 (+) (-) = - 20: (-2) = -10 (-) (+) = -72: 3= -24 ° Sustracción (+) – (+) = + - (4) – (3) = 1 (-) – (-) = - + ( -9) – (-25) = 16 (+) – (-) = + + (10) - (-10) = 20 (-) – (+) = - - (-14) - (16) = 30 se invierte el signo de él sustraendo y se aplica leyes de signos para la suma. Dos explicaciones interesantes de la regla de los signos: Primera: + por + da + (añado un ingreso = gano dinero) + por - da - (añado una deuda = pierdo dinero) - por + da - (quito un ingreso = pierdo dinero) - por - da + (quito una deuda = gano dinero) Segunda: Los amigos de mis amigos son mis amigos (+) x(+)=(+) Los amigos de mis enemigos son mis enemigos (+)x(-)=(-) Los enemigos de mi amigos son mis enemigos (-)x(+)=(-) Los enemigos de mis enemigos son mis amigos (-)x(-)=(+)

Potencia de números enteros

Definición: Se llama potencia enésima de un n° “a” al producto que resulta de multiplicar “a” tantas veces como lo indica “n”, siendo “n” un número entero.

exponente a n = a.a.a.a.a.a.…a. = b

base potencia

n factores

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La potencia de exponente natural de un número entero es otro número entero , cuyo valor absoluto

es el valor absoluto de la potencia y cuyo signo es el que se deduce de la ap l icación de las s iguientes reglas:

Las potencias de exponente par son siempre positivas.

Las potencias de exponente impar tienen el mismo signo de la base.

Propiedades

a0 = 1 · a 1 = a

am · a n = am+n Producto de potencias de igual base (sumo exponentes)

(−2)5 · (−2)2 = (−2)5+2 = (−2)7 = −128

am : a n = am – n Cociente de potencias de igual base (resto exponentes)

(−2)5 : (−2)2 = (−2)5 - 2 = (−2)3 = −8

(am)n = am · n Potencia de potencia (multiplico exponentes)

[(−2)3]2 = (−2)6 = 64

an · b n = (a · b) n Distributiva con respecto al producto

(−2)3 · (3)3 = (−6) 3 = −216

an : b n = (a: b) n Distributiva con respecto al cociente

(−6)3: 3 3 = (−2)3 = −8

Potencias de exponente entero negativo

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Raíz cuadrada de un número entero

Las raíces cuadradas de números enteros tienen dos signos: positivo y negativo.

El radicando es siempre un número positivo o igual a cero, ya que se trata del

cuadrado número.

Operaciones combinadas con números enteros

Prioridades en las operaciones REGLAS DE USO DEL PARÉNTESIS Y JERARQUÍA DE LAS OPERACIONES

• . Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves.

• . Calcular las potencias y raíces .

• . Efectuar los productos y cocientes.

• . Realizar las sumas y restas .

• LOS SIGNOS MAS Y MENOS SEPARAN TERMINOS.

VEAMOS ALGUNOS EJEMPLOS:

Ejemplo:

Veamos un poco más de teoría y práctica:

Correcto incorrecto

7.(3+2) = 7.(3+2) =

7 . 5 = 21+2=

35 23

Correcto incorrecto

5 + 3 . 5 = 5 + 3 . 5 =

5 + 15 = 8 . 5=

20 40

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Orden y representación en la recta numérica

Si ubicamos dos números en la recta siempre es mayor el que está más a la derecha, Por ejemplo:

-5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 +10

el (+9) es mayor que el (+4), porque el (+9) está a la derecha del (+4)

Ejercitación: Represente en la recta numérica y coloque el signo que corresponda

-2 ....... + 4

5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

6

+1 …. – 3

-5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 +10

-1 ..........- 5

5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 ......... +4

5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-2 ........... +9

5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-5 ............ – 3

5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 ....... I–1I

+8 .............. - 8

Qué signo colocaría en: + 80 ......... +30 +140 ......... – 3 - 20 ......... – 10 0 ............. – 40 - 34 ............. + 5

- 50 .......... 0 - 40 ........... + 40 + 31 ............. + 23

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Resuelva los siguientes ejercicios combinados. Recuerde separar en términos

a) 5 - (4+3).2 - (- 9): (- 3) =

b) -3 - 9. (- 2) + 12: (- 3) =

c) 3. (- 4) + 2. (- 2). (-1) - (- 3). (- 5). (- 1). (- 2) - 2. (- 3)=

d) 9: (-3) +3. (- 2). (- 1).5 - 12: (- 1+4) - (- 3).2. (- 4) =

e) 120: - 4. (- 4): 2 =

f) 4. (10 – 8) + (- 3). (5 + 2) – 18: (4 – 10) =

g) [-2+6-4+9] + [-7+10-12+13] - [-4+6-16] = h) [(-4+3-9+10)(6-10+25+4)] - [(-3+5+15-30)-(11+4-5)] =

i) (-2+4-16+20) (-16+15+17-14)] + [(4+3-13) -(9+3)] =

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Interpretación concreta de los Números Enteros

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Mas ejercicios:

Separa en términos y resuelve

𝑎) 42 + 3. √25 + 3 . 0 =

b) 45 − 62: 2 + √64. 2 + 30 ∶ 6 = c) (32: 4 + 2). 3 + 40: 5 + (7 + 3. 12) =

d) 𝟓𝟓 ∶ 𝟓 + 𝟑 . (−𝟕) + √𝟖𝟏 =

e) (−𝟏𝟏 − 𝟒) . 𝟐 + 𝟕𝟐 + 𝟏𝟐 =

f) 28: (−4) + 4 . 12 − 52 =

g) 16 + √64 − (+3 − 20). 7 = h) 16: 4 + 15. 3 – 12: 6 + 32 =

i) 24: 4 – 3. (- 3) + 6 – 81 =

j) (– 3) 2 + 4 – 5 + √100 =

k) 23 – 12: (– 2) 2 – 2 2. √4 =

l) √− 273

+ (– 3) 3 =

m) 6 (– 2 + 8) + 6 2: 6 – √49 = n) (– 2) 2: (–1) + (– 3 + 1). 3 2 – (–1) 3 =

o) √25 − 9 – 33 =

• Una sonda marina está a –1.000 m. Si sube 250 m, luego 125 m y finalmente 320 m, ¿a qué profundidad se encuentra?

• Para evitar efectos secundarios, después de alcanzar –50 m, un buzo debe descender 10 m cada media hora. ¿Cuál es su posición al cabo de 3 horas?

• En el curso funciona un pequeño banco y registran las operaciones. ¿Cuál es el nuevo saldo de las cuentas siguientes? SALDO MOVIMIENTO NUEVO SALDO

• Juan 5 7

• Matías 13 -6

• Perla -6 9

• Tomás -3 -4

• Ana 6 -9 Resolver suprimiendo (), [] y {}:

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) =−+−+−−−+−−−

=−++−−−+−+−−

=++−−−−−−+−

=+−+−−−−−+

918102123182335)

105461632316)

3213121110315)

79124108)

d

c

b

a

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Escribe el signo o -5 ____ Z -8 ____ Z+ -6 ____ Z- -5 ____ N

0 ____ Z 0 ____ Z+ 0 ____ Z- 0 ____ N

9 ____ Z 7 ____ Z+ 4 ____ Z- 3 ____ N

Resuelve las ecuaciones a) 2𝑥 + 16 = 5 . 4 + 𝑥 − 6

b) 4. (𝑥 − 2) = 2𝑥 − 23 c) 4 + 9𝑥 = 6 . 8 − 𝑥 − 5

d) 5𝑥 − 32 = 2. (𝑥 + 1) e) 5x + 4 = 3 x + 52 +7

Responde verdadero o falso. Justifica el falso a) Al resolver – 35 + 26 obtengo – 61. b) En una ecuación puedo sumar 8 x + 6. c) El cuadrado de un número se escribe 2 x en lenguaje simbólico. d) Al aplicar propiedad distributiva en 9. (x – 6), se obtiene 9 x – 54 e) Al resolver – 13 – 19 obtengo – 32. f) Al resolver – 3 – 5 – 16 se obtiene – 14. g) En el lenguaje simbólico el triple de un número se escribe x3 h) En una ecuación no se puede sumar 7 x + 11. i) El cubo de un número se escribe x3 j) Al aplicar propiedad distributiva en 8. (5 – x) obtengo – 40 x.

Transforma en lenguaje coloquial y resuelve la ecuación:

a) “El triple de un número más el anterior, da por resultado el doble de seis más cinco”. ¿De qué número hablamos?

b) “El consecutivo de un número, más el doble de un número, da por resultado el triple de cuatro, más siete”

c) “El doble de un número más el consecutivo da por resultado el cuadrado de ocho, menos tres”. ¿Cuál es el número?

d) Pienso un número, le sumo 12 y obtengo 48. ¿Qué número pensé? e) El doble de un número aumentado en 4 me da igual que si al cuadrado

de 3 le sumo 8. ¿Qué número es? f) El promedio de mis notas es 8. Si las 2 primeras fueron 8 y 9. ¿Cuánto

saqué en la tercera? g) Pienso un número, lo elevo al cuadrado, lo divido en 3 y sumo 2.

Obtengo 50. ¿Qué número pensé?