Aritmética - Números Primos

COLEGIO PREUNIVERSITARIO TRILCEI BIM ARITMTICA 1ER. AO

AOACONTECIMIENTOS

200 a.C. Eraststenes fue un sabio griego que vivi alrededor del ao 200 a.C. cre un esquema para separar los nmeros primos de los compuestos.

1768 Apareci la Aritmtica Universal de Euler; en este libro elabor mtodos analticos para la resolucin de problemas de la distribucin de nmeros primos.

1777 Gauss Earl Friederich (1777 - 1835) matemtico alemn, en la teora de los nmeros fundamento el teorema de los nmeros primos.

EL MATEMTICO QUE NO PODA

MIRAR AL CIELO

Quiero, pues, interrogar al calculador sobre un hecho interesante de la Historia de la Matemtica: Cul fue el matemtico clebre que se suicid al no poder mirar al cielo?

Beremiz (nombre del calculador) medit unos instantes y exclam:

- Fue Eratstenes, matemtico de Cirenaica y educado al principio en Alejandra y ms tarde en la Escuela de Atenas, donde aprendi las doctrinas de Platn.

Y completando la respuesta, prosigui:

- Eratstenes fue elegido para dirigir la gran Biblioteca de la Universidad de Alejandra, cargo que ejerci hasta el fin de sus das. Adems de poseer envidiables conocimientos cientficos y literarios que lo distinguieron entre los mayores sabios de su tiempo, era Eratstenes poeta, orador, filsofo y an ms- un completo atleta. Basta decir que conquist el ttulo excepcional de vencedor del PENTATHLON, las cinco pruebas mximas de los Juegos Olmpicos. Grecia se hallaba entonces en el perodo ureo de su desarrollo cientfico y literario. Era la patria de los aedos, poetas que declamaban, con acompaamiento musical, en los banquetes y en las reuniones de los reyes y de los grandes jerarcas.

Conviene aclarar que entre los griegos de mayor cultura y valor el sabio Eratstenes era considerado como un hombre extraordinario que tiraba la jabalina, escriba poemas, venca a los grandes corredores, y resolva problemas astronmicos. Eratstenes lleg a la posteridad varias obras.Al rey Ptolomeo III de Egipto le present una tabla de nmeros primos hechos sobre una plancha metlica en la que los nmeros mltiplos estaban marcados con un pequeo agujero. Se dio por eso el nombre de Criba de Eratstenes al proceso de que serva el sabio astrnomo para formar su tabla.

A consecuencia de una enfermedad en los ojos, adquirida a orilla del Nilo, durante un viaje, Eratstenes qued ciego. l, que cultivaba con pasin la Astronoma, se hallaba impedido de mirar el cielo y de admirar la belleza incomparable del firmamento en las noches estrelladas.

La luz azulada de Al-Schira jams podra vencer aquella nube negra que le cubra los ojos. Abrumado por tan gran desgracia, y no pudiendo resistir el pesar que le causaba la ceguera, el sabio y atleta se suicid dejndose morir de hambre, encerrado en su biblioteca.

NMEROS PRIMOS EN Z+

Quines fueron?

Cuando el mal y el bien se encontraban enfrascados en una lucha por el control de la tierra, 7 generales quisieron huir a la tierra, al tratar de hacerlo se encontraron con Telassim el guardin que custodiaba la puerta de ingreso.Pero el guardin sabiendo del peligro que causaran los males en la tierra advirti que solo los generales del bien podran pasar. Pero no conociendo la identidad de cada general no supo a quien dejar pasar.

Recordando el guardin que cada general llevaba siempre consigo un collar con cierta cantidad de perlas y que el nmero de perlas de un general del bien se poda dividir exactamente en grupos ms pequeos y que de los generales del mal no se podan dividir en grupos ms pequeos (el grupo tiene ms de una perla) dej pasar a 3 generales, A qu generales dejo pasar Telassim?

Nombre de los generales# de perlas

de su color

Nasair (2 perlas

Kant(3 perlas

Duruy(4 perlas

Khoi(5 perlas

Maluf(6 perlas

Tad(7 perlas

Hamid(8 perlas

Observacin: Se tiene el conjunto numrico:

Z+ = (1, 2, 3, 4, 5, 6, (I. NMEROS SIMPLES

Son aquellos que tienen a lo ms dos divisores.

I.A.La unidadEs el nico entero positivo que pose un solo divisor, el mismo.

I.B.Nmero primo

Tambin llamado Primo absoluto, es aquel que posee exactamente dos

divisores; _____________________ y ___________________.

Ejm:

Divisores

______:1, 2

______:1, 3

______:______ , _____

______:______ , _____

II. NMEROS COMPUESTOS

Son aquellos que poseen ms de dos divisores.

Ejm:

Divisores______:1, ____ , ____ , ____ ,

______:1, ____ , ____ , ____ ,

______:____, ____ , ____ , ____

______:____, ____ , ____ , ____

Observacin:1. La unidad es un divisor universal.

2. El nmero 2 es el nico primo absoluto par.

3. El 2 y el 3 son los nicos primos consecutivos.

III. NMEROS PRIMOS ENTRE SI (PESI)Tambin denominados primos relativos o coprimos, y son aquellos nmeros que poseen como nico divisor comn a la unidad.

Ejm:

12, 10 y 15 son PESI?

Divisores

12 :1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 12

10 :1 , 2 , 5 , 10

15 :1 , 3 , 5 , 15

El nico divisor comn de 12, 10 y 15 es la unidad, por lo tanto son PESI.

20, 14 Y 8 son PESI?

Divisores

12 :___ , ___ , ___ , ___ , ___, ___

14:___ , ___ , ___ , ___

8:___ , ___ , ___ , ___

criba de eratstenesEs una tabla que contiene los nmeros primos que existen entre el 1 y el 100.

Para construirla la procede as:

1. Se escriben los nmeros naturales del 1 al 100.2. Se suprimen los mltiplos de 2 a partir del 4.

3. Se suprimen todos los mltiplos de 5 a partir de 25, y por ltimo los mltiplos de 7 a partir de 49.

Para completar se finaliza suprimiendo el 1.

12345678910

111213

81828384858687888980

919293949596979899100

Los nmeros que quedaron sin tachar son los nmeros primos menores que 100, ellos son: ______________________________________

______________________________________

IV. DESCOMPOSICIN CANNICADescomponer cannicamente el nmero 40.

Paso 1:Empiezo a dividir el nmero por los nmeros primos (2; 3; 5; 7; )

402

202

102

5

Paso 2:Analizo:

5 no tiene divisor 2, entonces pruebo con 3 y luego con 5, 7 y 11 sucesivamente.

402

202

102

55 1

40 = = 23 x 51 = 23 x 5

Descomponer cannicamente 315:

3153

1053

355

77

1

315 = 3 x 3 x 5 x 7 = 32 x 51 x 71 = 32 x 5 x 7

AHORA T:Descomponer cannicamente

360 =

145 =

210 =

Hallar el nmero de divisores de 18

Divisores

18 :1, 2, 3, 6, 9, 18

Divisor universal:1

Divisores primos:2, 3

Divisores compuestos:6, 9, 18

Total de divisores=6

Pero Qu hacer si el nmero tiene ms divisores? Cmo calcular el nmero exacto de divisores de un nmero?

OBSERVA

Paso 1:Descomposicin cannica

182

93

33

1

18 = 2 x 3 x 3 = 21 x 32 = 2 x 32

Paso 2:Extraccin de los exponentes.

2 x 3

1 2

Paso 3:A cada exponente se le suma la unidad y luego se multiplican.

1 2

(1 + 1) (2 + 1)

x

(2) x (3) = 6

18 tiene 6 divisores

Hallar el nmero de divisores compuestos de 100.

Hallar el nmero de divisores de 200 y el nmero de divisores compuestos.

1. Indicar verdadero (V) o Falso (F) segn corresponda.

I. 2, 3, 5, 7, 8, 11, 13 son nmeros primos.

II. El nico nmero primo par es 2

III. 21 tiene 3 divisores

a) FFF

b) FVF

c) FFV

d) VVV

e) VFV

2. Indique la relacin correcta:I. 12A) Tiene 2 divisores

II. 15B) Tiene 4 divisores

III. 19C) Tiene 6 divisores

a) IA II B IIIC

b) IA IIC IIIB

c) IB IIA IIIC

d) IB IIC IIIA

e) IC IIB IIIA

i) Un nmero primo tiene ______________ nicamente en Z+ii) Dos nmeros con PESI si tienen como nico divisor ___________________

3. Cuntos de los siguientes nmeros son primos?

21, 13, 28, 41, 15, 18, 23

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

4. Calcular el nmero de divisores de:

i) N = 360

a) 6

b) 12

c) 18

d) 24

e) 30

ii) N = 240

a) 4

b) 8

c) 20

d) 16

e) 18

5. Calcular el nmero de divisores de.

i ) N = 23 x 52 x 72a) 12

b) 7

c) 36d) 32

e) 16

ii) N = 113 x 134a) 20

b) 12

c) 7

d) 6

e) 6. Calcular el valor de (( si:i) N = 32 x 2( x 5 tiene 24 divisores

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

ii) N = 22 x 52 x 7( tiene 45 divisores

a) 16

b) 9

c) 6

d) 4

e) 37. Cuntos divisores primos tiene:

i) N = 154 ?

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

ii) N = 40 ?

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

8. Cuntos divisores primos tiene:

i) N = 14 x 15 ?a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

ii) N = 21 x 22?

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5


i) N = 28 x 12 x 5 ?

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

ii) N = 5 x 10 x 4 ?

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

10. Hallar la cantidad de divisores compuestos de:i) N = 23 x 7 x 132a) 20

b) 21

c) 23

d) 24

e) 3

ii) N = 53 x 72a) 12

b) 11

c) 10

d) 9

e) 211. Hallar la cantidad de divisores compuestos de:

i) N = (23 x 3)2a) 21

b) 20

c) 19

d) 12

e) 18

ii) N = (72 x 5)2a) 15

b) 12

c) 10

d) 8

e) 6

12. Cuntos divisores primos tiene: ((, (,(( ( 1)?i) N = 2( x 7( x 3( x 5( + (a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

ii) N = 2( + ( x 7( x 13(a) 4

b) 3

c) 2

d) 1

e) 0

13. Dos nmeros primos suman 14. Calcular el producto de estos dos nmeros.

a) 22

b) 26

c) 33

d) 34

e) 35

14. Indicar la pareja de nmeros PESI :

a) 8 y 24

b) 21 y 44c) 42 y 14

d) 15 y 70e) 20 y 18

1. Indicar verdadero (V) o falso (F) segn corresponda:

i) El 1 es un nmero primo.

ii) Los nmeros PESI tienen 1 divisor.

iii) Los nicos nmeros primos consecutivos son 3 y 4

2. Indique la relacin correcta:

I. 21A) Tiene 3 divisores

II. 23B) Tiene 4 divisores

III. 25C) Tiene 2 divisores

a) IA IIB IIIC

b) IA IIC IIIB

c) IB IIA IIICd) IB IIC IIIA

e) IC IIA IIIB3. Completar correctamente:i) Si un nmero tiene nicamente 2 divisores entonces es un __________________ .

ii) Si un nmero tiene ms de 2 divisores entonces es un ______________ .

4. Completa la oracin con las opciones dadas:

La criba de ___________ contiene los nmeros _____________ que existen entre el 1 y el 100.

a) Aristteles primos

b) Aristteles compuestos

c) Eratstenes primos

d) Eratstenes PESI

e) Pitgoras primos

5. Cuntos nmeros primos hay en:

25, 13, 4, 11, 17, 15, 7?

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

6. Cuntos nmeros compuestos hay en:

14, 25, 13, 16, 2, 1, 72?a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5


N = 210

a) 12

b) 16

c) 18

d) 20

e) 24


N = 72 x 33 x 22a) 12

b) 20

c) 24

d) 30

e) 36


N = 320 ?

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

10. Hallar la cantidad de divisores primos de:N = 21 x 14

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5


N = 2( x 3( x 5( x 7( + ( x 11( + (

((, (,(( ( 1)?a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

12. Calcular el nmero de divisores compuestos de:

N = 72 x 112 x 53a) 36

b) 32

c) 24

d) 20

e) 16

13. Cuntos divisores compuestos tiene:

N = (5 x 72)2 ?

a) 10

b) 11

c) 12

d) 13

e) 14

14. Calcular el valor de ( si:

N = 3( x 72 x 13 tiene 30 divisores.

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

15. Indicar la pareja de nmeros PESI

a) 14 y 21b) 13 y 26c) 17 y 20

d) 4 y 180e) 15 y 75

Eraststenes

200 a.C.

0

1768

Euler

Arit. Universal

1777

Nace

Gauss

Inicio de nuestra era

1789

Revolucin

Francesa

NIVEL: SECUNDARIASEMANA N 6PRIMER AO

NMEROS PRIMOS EN Z+

Z+

Nmeros Simples

Nmeros Primos entre s (PESI)

La Unidad

Primos absolutos

Descomposicin Cannica

Nmeros

Compuestos

Teorema fundamental de la Aritmtica

(

Se obtiene 1, entonces la descomposicin llega a su fin

Descomposicin

cannica

(

Divisores

Primos

Divisores

Primos

(2 en total)

1 2

+1

+1

6 divisores =

Nmero de divisores primos

Nmero de divisores compuestos

+

+

1

6 =


+

+

1

2

6 - 3 =


3 =


Ejercicios de Aplicacin

Tarea Domiciliaria

N 6

PAGE 64COLEGIOS TRILCE: SAN MIGUEL FAUCETT MAGDALENADpto. de Publicaciones

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