Aritmetica y Geometría

Aritmetica y geometrıa

Ricardo Menares

Instituto de Matematica, Pontificia Universidad Catolica de Valparaıso

Charla en la Escuela de Arquitectura,PUCV, Marzo 2012

Ricardo Menares Aritmetica y geometrıa

Aritmetica modular

Un entero se dice cuadrado perfecto si su raız cuadrada es unentero. La secuencia de cuadrados perfectos empieza ası:

0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196...

¿Existe algun cuadrado perfecto cuya cifra de las unidades sea7?

Veamos: tomando las unidades en la lista anterior obtenemos

0, 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1, 0, 1, 4, 9, 6...

No hay 7. Mas aun, la secuencia pareciera repetirse.


Aritmetica modular

Explicacion: sea n un natural, queremos inspeccionar el ultimodıgito de n2.

Escribamos n como un multiplo de 10 mas un resto,

n = 10q + r , r ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

Tenemos n2 = 102q2 + 2× 10q + r 2 = 10(10q2 + 2q) + r 2

Solo r 2 contribuye a las unidades. Sabemos quer 2 ∈ {0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81}. Como no hay 7’s,concluimos que n2 nunca terminara en 7.


Aritmetica modular

Acabamos de hacer aritmetica modular. Si dos numeros a, b tienenel mismo resto al ser divididos por 10, decimos que soncongruentes modulo 10. En sımbolos, escribimos

a ≡ b mod 10.

En la pagina anterior, mostramos que si n ≡ r mod 10,entonces tambien se tiene n2 ≡ r 2 mod 10.

Mas generalmente, dado un entero m ≥ 1, escribimos

a ≡ b mod m

si a y b dan el mismo resto al ser divididos por m.


Aritmetica modular

El sımbolo ≡ comparte muchas de las propiedades del sımbolo =

si a ≡ b mod m y c ≡ d mod m, entonces ac ≡ bd mod m

si a ≡ b mod m y c ≡ d mod m, entonces a + c ≡ b + dmod m

Ejemplo: 10 ≡ 1 mod 9, luego

102 ≡ 1 mod 9, 103 ≡ 1 mod 9, etc ...

Luego, para un natural de 4 cifras n = a103 + b102 + c10 + d , setiene

n ≡ a + b + c + d mod 9.

Podemos deducir que n es divisible por 9 si y solo si la suma de susdıgitos es divisible por 9.


Aritmetica modular

Otra manera de decir lo mismo es la siguiente: al dividir un enteropor m, obtenemos como resto un elemento del conjunto

Fm = {0, 1, 2, 3, . . . ,m − 2,m − 1}.

Ademas, el conjunto Fm dispone de dos operaciones, sumar ymultiplicar. Es facil ver que se puede restar tambien.

¿Se puede dividir en Fm?

No siempre. Por ejemplo, 2× 5 ≡ 2× 2 mod 6

Sin embargo, no es cierto que 5 ≡ 2 mod 6. Luego, en F6 nose puede dividir por 2!


Consideremos un numero primo p. A pesar de lo anterior, se tieneel siguiente importante

Teorema

Si p es primo, se puede dividir en Fp. En otras palabras, dadoa ∈ Fp con a 6= 0, se tiene que existe un elemento b ∈ Fp tal que

ab ≡ 1 mod p.

Ejemplos

2× 4 ≡ 1 mod 7

(ejercicio) usando aritmetica modulo 7, demuestre que losunicos enteros x , y , z que satisfacen la ecuacion

x2 + y 2 = 7z2

son x = y = z = 0.


Un problema aritmetico

Encontrar todas las soluciones x , y ∈ Q de la ecuacion

x2 + y 2 = 1.

Ejemplos:

x = 1, y = 0, x = −1, y = 0

x = 35 , y = −4

5

etc

¿Cuantas soluciones hay? ¿Como encontrarlas?


Entra la geometrıa

Teorema (Sabidurıa Geometrica)

La interseccion de una lınea y un cırculo consiste de cero, uno odos puntos. El caso de un punto ocurre solo cuando la recta estangente al cırculo.

Entonces, llamemos P al punto de coordenadas (1, 0) y tomemosuna recta L, que pasa por P, no tangente al cırculo y busquemos elotro punto de interseccion!


Calculos

Llamemos m a la pendiente de la recta L. Es decir, laecuacion de L es

y = m(x − 1).

Combinando con la ecuacion de cırculo, x2 + y 2 = 1,obtenemos una ecuacion para x

(1 + m2)x2 − 2m2x + (m2 − 1) = 0.

Teorema (Sabidurıa Algebraica)

La ecuacion mas arriba tiene cero, una o dos soluciones x.


Calculos

Se obtiene la solucion

Pm =(m2 − 1

m2 + 1,−2m

m2 + 1

).

Observacion: si m es un numero racional, entonces lascoordenadas de Pm son racionales!

m = 0⇒ (−1, 0)

m = 1⇒ (0,−1)

m = 12⇒ ( 143145 ,

−24145 )

m = −80⇒ ( 63996401 ,

1606401 ), o bien 63992 + 1602 = 64012.


¿Que paso?

La Sabidurıa Geometrica nos dio una idea para construirpuntos del cırculo

La Sabidurıa Algebraica nos permite llevar a cabo la idea yexplicar por que el metodo funciona

Ahora podemos olvidar la geometrıa!


Geometrıa sin geometrıa

Tomemos p = 7 y consideremos el conjunto C7 de todos losx , y ∈ F7 tales que

x2 + y 2 = 1.

x = 1, y = 0 todavıa es una solucion

La formula Pm =(m2−1m2+1

, −2mm2+1

)todavıa tiene sentido para

m ∈ F7

Los posibles valores de m son 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, dando las sietesoluciones (−1, 0), (0,−1), (2, 2), (5, 5), (2, 5), (0, 1). Juntocon la solucion (1, 0), esta lista describe al conjunto C7, quecontiene entonces 8 puntos


Geometrıa sin geometrıa

El conjunto C7 es finito, no es ”redondo”, no es continuo, etc.¿Podemos llamar a C7 un cırculo?

Si lo que nos interesa es la geometrıa aritmetica, estaspropiedades no son esenciales

Descartes introdujo ecuaciones que describen objetosgeometricos. Nosotros estudiamos el proceso inverso:tomamos ecuaciones y establecemos propiedades”geometricas” de estas

Este punto de vista fue introducido y desarrollado porAlexandre Grothendieck en los 60’s


¿Que tan geometrica es esta nueva geometrıa?

Tomemos p = 5 y consideremos el conjunto C5 de todos losx , y ∈ F5 tales que

x2 + y 2 = 1.

x = 1, y = 0 todavıa es una solucion

En la formula Pm =(m2−1m2+1

, −2mm2+1

), tomemos m = 2.

Como 22 + 1 = 5 ≡ 0 mod 5, el punto P2 no esta definido!



Veamos que fallo: al intersectar la recta y = 2(x − 1) con elcırculo, obtenemos la ecuacion para x

5x2 − 8x + 3 = 0

Pero 5 ≡ 0 mod 5 y 8 ≡ 3 mod 5, luego la ecuacion enrealidad es

3− 3x = 0

Esta ecuacion tiene solo 1 solucion, x = 1 (el punto original).Es decir, tenemos una recta que intersecta al cırculo en 1 solopunto!



Nos quedan dos posibilidades

Considerar que y = 2(x − 1) es una recta tangente al cırculo.Como la recta de ecuacion x = 1 tambien es tangente, estonos obliga a aceptar que hay dos rectas tangentes distintas,pasando por el mismo punto

Considerar que y = 2(x − 1) no es una recta tangente alcırculo. En este caso, tendremos que aceptar que hay rectasno tangentes que lo cortan en solo 1 punto

Las ideas de Grothendieck muestran de manera convincenteque el segundo punto de vista es el correcto


¿Como proceder entonces?

Resolvamos el problema sobre C5.

Como 22 ≡ −1 mod 5, tenemos

x2 + y 2 = (x + 2y)(x − 2y) en F5.

El cambio de variable u = (x + 2y), v = (x − 2y) transformala ecuacion del cırculo en

uv = 1.

Hay 4 posibilidades para (u, v), a saber,(1, 1), (2, 3), (3, 2), (4, 4). En terminos de (x , y), obtenemos(1, 0), (0, 1), (0,−1), (−1, 0)


Caracterısticas de la geometrıa aritmetica

Cuando trasladamos conceptos geometricos a nuevoscontextos, algunas caracterısticas de la geometrıa tradicionalse conservan y otras no.

Cuando la nueva situacion entra en conflicto con la intuicionproveniente de la geometrıa tradicional, generalmente apareceuna estructura extra, que podemos encontrar inspeccionandola razon del desacuerdo

Para el geometra aritmetico, el cırculo es la ecuacionx2 + y 2 = 1. El dibujito redondo no es mas que un esbozo delconjunto de soluciones reales de esta ecuacion!


Gracias!

Think geometrically, prove algebraicallyDavid Mumford


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