ARMADURAS UNIDIMENSIONALES.

PROFESOR:

LIC. RUBEN URBINA GUZMÁN.

INTEGRANTES:

BERMEO DÁVILA GLORISELY.

CÁRDENAS JIMÉNEZ MARGARITA.

HERRERA RAMOS LEYLA ANABEL.

OCAÑA TORREJON HENRI.

INTRODUCCIÓN

El presente trabajo estará basado en el análisis de armaduras

unidimencionales mediante el método de elementos finitos. Este, nos

permite resolver problemas de estructuras estáticamente determinadas

como también indeterminadas, obteniendo de esta forma soluciones

numéricas con una precisión aceptable. Si bien existen diferentes métodos

de los cursos de estructuras mediante los cuales podemos resolver

dichos problemas con mayor exactitud, el método de los elemntos finitos

nos ayuda a adquirir los resultados de una manera mas sencilla .

Una armadura estructural consta de miembros sujetos a dos fuerzas, pues

cada elemento de ella esta sometida a fuerzas de tensión y compresión

directa. Además, en una armadura se requiere que todas las cargas y

reacciones esten aplicadas sólo en los nudos y que todos los miembros

esten conectados entre sí en sus extremos por medio de articulaciones

sin fricción.

ARMADURAS PLANAS

Sistemas coordenados locales y globales

Los elementos de una armadura tienen varias orientaciones. Para tener en cuenta

esas orientaciones, se introducen los sistemas de coordenadas locales y globales como

sigue.

En la figura 4.3 se muestran un elemento típico de una armadura plana en sistemas de

coordenadas globales y locales. En el esquema de numeración local, los dos nudos del

elemento se enumeran uno y dos. El sistema local de coordenadas consiste en el eje x’

que está alineado a lo largo del elemento del nudo 1 hacia el nudo 2. Todas las

cantidades en el sistema coordenado local se denominaran por medio de primas (‘). El

sistema global de coordenadas x y y esta fijo y no dependen de la orientación del

elemento. Note que x, y y z forman un sistema coordenado derecho con el eje z

saliendo del papel. En el sistema coordenado global, Cada nudo tiene dos grados de

libertad (gdl). Aquí adoptamos un esquema de numeración sistemático: un nudo cuyo

números globales j, tiene asociado en los grados de libertad 2j-1 y 2j. Además los

desplazamientos globales asociados al nudo j son Q2j-1 y Q2j , como se muestra en la

figura 4.1.

En el sistema de coordenada local q´1 y q’2 son los desplazamientos de los nudos 1y2,

respectivamente. El vector de desplazamientos del elemento en el sistema de

coordenadas local se denota entonces como

El vector desplazamiento del elemento en el sistema coordenado global es un vector

de (4x1) denotado por

A continuación se muestra la relación entre q’ y q. en la figura 4.3b vemos que q´1 es

igual a la suma de las proyecciones de q1 y q2, sobre el eje x´. Entonces,

En forma similar,

Introducimos ahora los cosenos directores l y m. como 𝑙 = 𝑐𝑜𝑠𝜃,𝑚 = 𝑐𝑜𝑠Ф(= 𝑠𝑒𝑛𝜃).

Esos cosenos directores son los cosenos de los ángulos que el eje local forma con los

ejes globales x y y, respectivamente. Las ecuaciones 4.3a y 4.3b ahora pueden

escribirse en forma matricial como

Donde la matriz L de transformación está dado por

Fórmulas para calcular l y m

Ahora se darán formulas sencillas para calcular los cosenos directores l y m a partir de

os datos coordenados nodales. Con referencia a la figura 4.4, sean (x1, y1) y (x2, y2) las

coordenadas de los nudos 1 y 2, respectivamente. Tenemos entonces:

Donde la longitud le se obtiene con

Matriz de rigidez de un elemento

El elemento armadura es un elemento unidimensional cuando se considera en el

sistema local. La matriz de rigidez del elemento para un elemento armadura en el

sistema coordenado local está dado por:

Donde Ae es el área de la sección transversal del elemento y Ee es el módulo de Young.

Para obtener una expresión para la matriz de rigidez del elemento en el sistema

coordenado global se considera la energía de deformación unitaria en el elemento.

Específicamente, la energía de deformación unitaria del elemento en coordenadas

locales está dado por:

Sustituyendo q’=L*q en la expresión anterior, obtenemos:

Entonces la energía de deformación unitaria en coordenadas globales puede escribirse

como:

Donde K es la matriz de rigidez del elemento en coordenadas globales. De lo anterior,

obtenemos dicha matriz como:

Las matrices de rigidez de los elementos se ensamblan de la manera usual para

obtener la matriz de rigidez estructural.

Calculo de esfuerzos

El esfuerzo en un elemento de armadura está dado por:

PROBLEMA. Determinar la distribución de esfuerzos de una armadura plana, la cual es sometida a

cargas en ciertos nodos, despreciándose los efectos de temperatura y de peso de cada

viga de la armadura plana. Se tiene que el Módulo de Elasticidad del material de cada

viga es 3.1×105 MPa, así como el diámetro de la sección constante de cada viga es 50

mm

DATOS DEL PROBLEMA:

Módulo de Elasticidad: 3.1×105 MPa.

Diámetro de la sección constante de cada viga: 50 mm.

Carga PA: 5000 N.

Carga PB: 4000 N.

Carga PC: 3000 N.

Carga PE: 2000 N.

SOLUCIÓN:

1) ANALISIS (METODO DE ELEMENTOS FINITOS).

2) TABLA DE CONECTIVIDAD.

NODO X(mm) Y(mm)

1 0 0

2 1500 0

3 3000 0

4 1500 1500

5 0 1500

ELEMENTO NODOS (1) (2)

GDL 1 2 3 4

Le (mm)

Ae (mm2)

Ee (N/mm2)

1 1 2 1 2 3 4 1500 1963.5 3.1*105

2 2 3 3 4 5 6 1500 1963.5 3.1*105

3 3 4 5 6 7 8 2121.32 1963.5 3.1*105

4 4 2 7 8 3 4 1500 1963.5 3.1*105

5 4 1 7 8 1 2 2121.32 1963.5 3.1*105

6 4 5 7 8 9 10 1500 1963.5 3.1*105

7 5 1 9 10 1 2 1500 1963.5 3.1*105

3) MATRIZ DE RIGIDEZ DE LOS ELEMENTOS.

K*Q=F

RESULTADOS DE LOS DESPLAZAMIENTOS:

RESULTADO DE LOS ESFUERZOS:

RESULTADO DE LAS REACCIONES: