Armonía, Acústica y Temperamentos - Afinación de pianos

Índice:

1· El sonido 2

2· Las notas y sus intervalos 2

3· Armonía 2

4· Acústica 4

5· Temperamento 5

6· Temperamento justo 7

7· Temperamento igual - por octavas justas 8

8· Afinación electrónica (Herzs y cents) 10

9· Temperamento por quintas justas 11

10· Temperamento por terceras mayores justas 13

11· Conclusiones y otros temperamentos 15

12· Temperamento de la curva Railsback 16

13· Temperamento igual estirado 17

14· Temperamento igual estirado por quintas justas 18

15· Temperamento igual estirado por terceras mayores justas 19

16· Conclusiones de los temperamentos estirados 19

17· Afinar un piano 20

18· Dinámica de sistemas no lineales 23

www.pianos-afinador.com

Trabajo hecho en la licenciatura de Física en 2005

( Asignatura de dinámica de sistemas no lineales)

Revisado en 2012 y 2014

(Afinación y El temperamento estirado)

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1· El sonido

El sonido son ondas de presión. Es junto al silencio la base de la música. Un objeto vibrando puede

ser el origen del sonido, la vibración empuja el aire haciendo que se comprima y descomprima. Las

modulaciones de presión se desplazan por el aire hasta poder llegar a nuestros sentidos mientras el

objeto se atenúa.

Si el objeto que vibra es pequeño las vibraciones son rápidas y hará un sonido más agudo. Si el

objeto es grande las vibraciones son lentas y hará un sonido más grave. Si la onda desplaza muchas

partículas de aire será un sonido intenso. Y si desplaza pocas será suave.

Las vibraciones del aire, como cualquier onda, tienen un espectro de frecuencias (transformada de

Fourier): se puede descomponer el sonido en frecuencias e intensidad para cada frecuencia.

Para un objeto vibrando, la frecuencia más grave del espectro es el primer armónico que se llama

frecuencia fundamental - f1 que tiene un ancho de banda. El resto de frecuencias del espectro se

llaman armónicos - f2 ,f3 , f4,... Los armónicos (sin inharmonicidades) son múltiplos de la frecuencia

fundamental: y también tienen un ancho de banda. El espectro de frecuencias es el

timbre característico del objeto que vibra. Por ejemplo, se simplifica una cuerda vibrando a un

conjunto de frecuencias sinusoidales de diferentes intensidades.

2· Las notas y sus intervalos

El piano actual se afina normalmente en la nota ‘la’ a A4 = 440 Hz. Las notas de un piano estándar

van desde A0 hasta C8, un registro de más de 7 octavas.

Los intervalos es la distancia entre notas, y su nombre viene de la escala diatónica (7 notas):

Nota A A# B C C# D D# E F F# G G# A

Intervalo 1 2b 2 3m 3M 4 4#/5b 5 5#/6m 6 7 maj7 8

3· Armonía

El sonido son ondas con picos y valles de presión. Cuando dos o más ondas se trasladan en el

mismo medio se suman sus amplitudes. Aunque el sonido es 3D se representa en 2D.

En rojo y azul dos onda de la misma frecuencia e intensidad. En verde el resultado de la suma.

Las notas del pentagrama y del piano.

Los intervalos de una octava respecto a la nota ‘la’. En naranja el acorde de ‘la mayor’.

Suma de ondas constructiva: Suma de ondas destructiva:

3

Si las ondas tienen frecuencia diferente su suma hace una onda envolvente, que puede ser regular

de una manera más o menos sencilla, o irregular. Por ejemplo:

a) La suma de f1 y f2 es muy constructiva. El intervalo se llama octava justa.

En una cuerda f2 es un valor un poco mayor que 2·f1, a esto se le llama inharmonicidad.

b) La suma de f2 y f3 también es constructiva. El intervalo se llama quinta justa. f3 es también

la quinta justa de f1, pero una octava por encima.

Aunque es un patrón regular, es un poco más complicado que el anterior, y se escuchan dos

notas diferentes claramente.

c) A medida que se utilizan proporciones con números mayores su suma muestra un patrón

más complicado y lo escuchamos disonante, más cercano al ruido.

d) Si se utiliza una proporción irracional el resultado es un patrón irregular (no periódico) que

puede ser más o menos consonante. En el siguiente caso es disonante y corresponde al

intervalo de quinta bemol:

En la escala cromática actual se utilizan relaciones irracionales (21/12) por lo que los patrones de los

intervalos son irregulares, aunque suelen ser cercanos a intervalos justos (armónicos).

0 10

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

0 10

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

0 10

-2

-1

0

1

2

Patrón 2:1. f1 en azul, f2 (2·f1) en rojo. La suma en verde es un patrón regular.

Patrón 3:2. f2 en azul, f3 (3·f1=3/2·f2) en rojo, la suma en verde es un patrón regular.

Patrón . La suma es un patrón irregular.

Patrón 37:20. La suma en verde es un patrón regular pero complicado.

f1 ·f1 f1 ·f1

4

4· Acústica

El sonido en un piano parte del accionamiento de la tecla. Este movimiento de palanca se traslada a

través del mecanismo (palancas) hasta el martillo para que éste golpee las cuerdas

correspondientes.

Las cuerdas entonces vibran, y su timbre depende tanto de las cuerdas

(ancho, largo, densidad, material, tensión), como del martillo, y de cómo y

dónde les golpea el martillo (enfatizará unos armónicos más que otros).

La cuerda vibrará de una manera complicada y en 3D (aunque se puede

simplificar su espectro en la frecuencia fundamental y sus armónicos). La

cuerda en movimiento tiene nodos y valles (antinodos), y está vibrando a

la vez en diferentes armónicos, por lo que tendrá a la vez los nodos y

valles de sus armónicos. A todo esto, además, la cuerda tiene un diámetro

y una elasticidad que hace que los nodos no sean un punto de la cuerda

sino que tienen un tamaño, lo cual causa inharmonicidad, porque el valle

de los armónicos es más pequeño de lo que sería idealmente, y hacen

frecuencias más agudas. Dicho más sencillo, los armónicos de una cuerda

no son múltiples exactos de f1 sino que son frecuencias más elevadas. La

inharmonicidad no ocurre solo en las cuerdas, pasa en cualquier objeto

que vibre y tenga rigidez, que no sea perfectamente elástica.

La vibración de las cuerdas se transmite por medio del puente a la tabla armónica, que son láminas

de madera de abeto que actúan como amplificador añadiendo timbre al sonido producido, que

también se ve afectado por la sala, el ambiente y lo que haya cerca. El aire alrededor de la tabla

armónica vibra y llega a nuestros oídos que lo transforma en señales eléctricas para el sistema

nervioso.

Nodo de una cuerda vibrando

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5· Temperamento

El temperamento son las frecuencias fundamentales que cogemos para hacer música, con uno o

varios instrumentos. La definición es muy amplia, y así definida cualquier grupo de sonidos pueden

ser un temperamento. Pero como hay intervalos que son más consonantes que otros (relación de

frecuencias simples) se entiende que el temperamento es un conjunto de notas consonantes.

Dentro del temperamento se puede partir de una frecuencia base y a partir de ahí ir haciendo

relaciones simples para obtener el resto de frecuencias, de esta manera se obtienen instrumentos

como las armónicas tonales (hay una para cada tono) o el sitar (que está en un tono concreto y hay

cuerdas que vibran por resonancia - cuerdas simpáticas). Este temperamento es muy consonante

pero solo hay una frecuencia base.

Otra manera de hacer el temperamento y que veremos más adelante, es buscar alguna manera de

que todas las notas que obtengamos puedan ser la frecuencia base y el instrumento nos permita

cambiar de tono, todas las notas tengan disponibles los mismos intervalos. Este tipo de

temperamento se puede decir que es la manera occidental y actual de hacer música, se llama

temperamento igual.

Si los intervalos disponibles para todas las notas no son iguales pero son parecidos, es un caso

intermedio a las dos maneras de hacer el temperamento comentadas. Estos temperamentos se

llaman temperamento desigual o well-temperament (buen temperamento). En esta categoría hay

muchos temperamentos históricos.

Históricamente (con instrumentos como el monocordio o la cítara, que son los predecesores de los

instrumentos de cuerda, del arpa, y por tanto también del piano) el temperamento ha estado

relacionado con las matemáticas, por ejemplo Pitágoras, Euclides, Ptolomeo o Kepler hicieron

estudios sobre afinación. Pitágoras básicamente cogía una cuerda y miraba como cambiaba el

sonido si la hacía más larga o corta, si le ponía más tensión, si era más gruesa,...

Se parte de una frecuencia base (lo normal es coger la frecuencia fundamental de una cuerda en

tensión, f1). Para la siguiente nota, se coge el intervalo más simple, que es f2 = 2·f1, la octava. El

siguiente es f1 = 3·f1, la quinta de la octava superior, y así ir sacando más notas. De esta manera es

fácil entender el uso de la escala pentatónica (5 notas) en todas las culturas, y también de la escala

diatónica (7 notas), son las escalas con las notas más consonantes. La escala diatónica es la que

utilizamos para designar los intervalos, como octava, quinta, tercera mayor,... pero la escala

diatónica tiene una nota que no tiene quinta dentro de esa escala, sino que tiene una quinta bemol

también llamada tritono.

Pitágoras hizo un temperamento a partir de ir haciendo quintas sobre cada nota, y resultó que al

hacer 12 notas prácticamente se obtenía la nota inicial. Y es la base de la afinación occidental actual

donde cada nota tiene casi una quinta justa. Es la escala cromática.

Un vez se tuvieron las 12 notas se vio que el temperamento no podía ser perfecto para cada nota

de la escala, a partir de ahí se dio más importancia a unos intervalos que a otros, y se hicieron

métodos de afinación diversos a lo largo de la historia. Entre estos temperamentos se encuentra el

temperamento por terceras mayores (en vez de utilizar la octava o la quinta como referencia, lo

hace con la tercera mayor), los temperamentos desiguales (Werkmeister, Vallotti, Kirnberger,...

tienen la octava como referencia y la dividen) o el temperamento igual que es el más utilizado

actualmente.

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Curiosamente, aunque los intervalos con relaciones más simples son la octava (2:1) y la quinta (3:2),

el uso de temperamentos en que su intervalo base sea la octava y la quinta es posterior al uso de

temperamentos con la tercera mayor como base (relación 5:4). Con el paso del tiempo se ha ido

paulativamente desafinando la tercera mayor, para ir haciendo temperamentos desiguales (well-

temperament) y finalmente en el siglo XX ir al temperamento igual donde la base es la octava justa

y la quinta un poco desafinada.

El temperamento igual es una afinación muy concreta, al afinar por el propio error de afinar se

consigue una aproximación a ese temperamento, muchas veces se privilegia un intervalo respecto a

otros y no es perfectamente igual.

Históricamente el temperamento tenía el intervalo base en las terceras mayores. Luego se

utilizó el temperamento desigual (Well-temperament). Y actualmente se usa el temperamento

igual.

El temperamento igual tiene todos los tonos iguales con los mismos intervalos para cada nota, y

por eso se dice que tiene menos colores.

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6· Temperamento justo - Just intonation

Para poder hacer melodías o acordes se

necesitan diversas notas dentro de la

octava que sean sonidos consonantes con

f1. Cuanto más consonantes sean las notas

de un acorde, más consonante será el

acorde. Lo mismo para las melodías y

escalas, también serán más consonantes.

Así que la manera de obtener notas

consonantes es haciendo los armónicos de

f1. Los intervalos entre las notas obtenidas

y f1 se llaman intervalos justos. Como

hemos visto, f2 es la octava justa y f3 la

quinta justa. f4 es otra octava, f5 es la

tercera mayor justa,...

La mayoría de múltiplos sencillos de f1

tienen la equivalencia dentro de la escala

diatónica, o sea, una nota con frecuencia

parecida. Algún múltiplo no está en la

escala diatónica ni cromática.

En la siguiente tabla yo he cogido las

relaciones más simples que puedan

coincidir con notas de la escala diatónica

(algunos valores pueden ser diferentes

con otros temperamentos justos):

Viendo la tabla se puede entender el extenso uso de la escala pentatónica y diatónica, son escalas

que contienen notas con intervalos muy consonantes.

El problema de una escala como ésta (hecha a partir de armónicos), es que al cambiar f1 y utilizar

otra nota de esa escala como fundamental, las demás notas de la escala pierden la consonancia.

Por ejemplo, si cogemos f1=495Hz que corresponde al B4, su quinta justa F#5 (relación 3/2) es:

f3=742,5Hz, lo cual no coincide con el F#5 de la escala que teníamos (733,33Hz).

Por tanto, una escala hecha a partir de armónicos (aunque sea otra escala diferente o con otros

valores) solo puede tocarse en un tono, en f1.

Nota A4 A#4 B4 C5 C#5 D5 D#5 E5 F5 F#5 G5 G#5 A5

Relación con f1 1:1 17:16 9:8 6:5 5:4 4:3 7:5 3:2 8:5 5:3 9:5 15:8 2:1

Temperamento justo (Hz) 440 467,5 495 528 550 586,67 616 660 704 733,33 792 825 880

Frecuencia fundamental y armónicos justos de una cuerda.

Los valores son la división de la cuerda, el valor es la inversa de la

relación de fn con f1.

Intervalos justos a partir de 440Hz y comparando con las notas de la escala

diatónica. En rojo los intervalos 1, 3M, 5 y 8. El acorde mayor.

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7· El Temperamento igual - por octavas justas - Equal temperament

Es el temperamento que llevan por defecto los aparatos electrónicos y es el más extendido en la

afinación actual de pianos. Se divide la octava justa para que cada nota de la escala pueda ser f1,

que los intervalos sean los mismos para cada nota. Se necesita dividir la octava logarítmicamente.

La escala se divide en 12 notas porque de esta manera se obtienen notas que están muy cercanas a

notas consonantes, a los intervalos justos, especialmente los intervalos mayores (ver ANEXO I). Los

demás tipo de divisiones, por ejemplo 17, 19, 21 o 22, tienen algunas notas cercanas a las

consonantes, pero no tantas como al dividir en 12. Dividir la octava en 24 notas no aporta nuevas

consonancias aunque sí nuevas disonancias.

Así que, a cambio de perder consonancia, cualquier nota de la escala puede ser la tónica. Para pasar

de una nota al siguiente semitono se utiliza el factor

1,059463094 .

Nota A4 1

A#4 2b

B4 2

C5 3m

C#5 3M

D5 4

D#5 5b

E5 5

F5 6m

F#5 6

G5 7

G#5 maj7

A5 8

Relación justa 1:1 17:16 9:8 6:5 5:4 4:3 7/5 3:2 8/5 5:3 9:5 15:8 2:1

Temperamento justo (Hz) 440 467,5 495 528 550 586,67 616,00 660 704,00 733,33 792 825 880

Relación logarítmica 20/12

21/12

22/12

23/12

24/12

25/12

26/12

27/12

28/12

29/12

210/12

211/12

212/12

Temperamento igual (Hz) 440 466,2 493,9 523,3 554,4 587,3 622,3 659,3 698,5 740 784 830,6 880

Diferencia (Hz) 0,0 -1,3 -1,1 -4,7 4,4 0,7 6,3 -0,7 -5,5 6,7 -8 5,6 0,0

Se puede ver en la tabla como con el Temperamento igual se obtienen notas más y menos afinadas

comparadas con los intervalos justos. Por ejemplo, quedan desafinados los intervalos 3m, 3M, 6m,

6 y 7. El intervalo 5 queda un poco corto y el 4 un poco largo, pero mucho más afinados.

En general el oído humano capta sonidos de entre 20 y 20000 Hz, y distingue tonos de diferente

frecuencia a partir de 3,6Hz de diferencia (entre 1000 y 2000 Hz). Pero también se pueden

distinguir sonidos de tono más parecido: Cuando los sonidos son simultáneos y de frecuencias muy

parecidas, se diferencian porque se capta la onda envolvente (se oyen batidas). A medida que las

frecuencias se acercan las batidas se hacen más lentas, y si se acercan mucho las batidas son tan

lentas que dejan de ser apreciables. Cuando las frecuencias se alejan las batidas son más rápidas, y

al ir aumentando se deja de oír batidas para oír frecuencias diferentes.

Las batidas entre dos notas pueden ser causados por la frecuencia fundamental de cada nota si son

notas muy cercanas en frecuencia, pero también puede haber batidas por los armónicos

respectivos de cada nota. En los intervalos justos sencillos no hay batidas porque las notas

fundamentales son lejanas y porque los armónicos coincidentes de cada nota tienen la misma

frecuencia (esto sin inharmonicidades). En cambio en los intervalos temperados, aunque la

frecuencia fundamental es muy diferente y no habría batidas, como los armónicos no son

exactamente coincidentes y hay pequeñas diferencias entonces hay batidas que son audibles, esas

batidas se pueden medir en Hz (ver ANEXO II).

De hecho en los intervalos justos también hay batidas por culpa de las inharmonicidades de cada

nota, que hace que los armónicos no sean exactamente coincidentes.

Las batidas de los intervalos se pueden utilizar para afinar pianos, desafinando la quinta justa

(acortándola) o la tercera mayor justa (alargándola) para conseguir un temperamento igual (que

Tabla comparativa entre el Temperamento justo y el Temperamento igual.

En la última línea aparece la diferencia entre las frecuencias de los temperamentos en Herz.

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solo tiene la octava justa). Cada intervalo según desde que nota se haga hace más o menos batidas,

las notas agudas como tienen más frecuencia hacen batidas más rápidas que el mismo intervalo

con notas graves.

El problema de contar batidas para afinar es que la cantidad de batidas depende de las notas. En el

temperamento igual no son las mismas batidas entre las notas A4-E5 (batidas de 1,49Hz), que entre

las notas E5-B5 (batidas de 2,23Hz), a pesar de ser el mismo intervalo (quintas del Temperamento

igual). La quinta E5-B5 bate más rápido que la quinta A4-E5, porque son notas más agudas, con más

Hz. Por tanto, para afinar contando batidas hay que tener un método de contar batidas y seguirlo,

porque cada nota y el intervalo que cojamos batirá con diferente frecuencia.

Otra opción para afinar es utilizar las batidas para que estén equilibradas en vez de contar batidas:

1) haciendo las quintas un poco cortas de manera intuitiva, o 2) por terceras mayores, se hacen las

terceras mayores largas para que cuadren con la octava justa (se explica más adelante).

El cálculo de batidas para las quintas y las terceras mayores en el temperamento igual está dentro

del apartado de temperamento por quintas justas y temperamento por terceras mayores justas

respectivamente (páginas 12 y 14).

Como en el Temperamento igual hay más batidas por segundo en la tercera mayor que en la

quinta, si se afina un piano contando batidas suele ser más cómodo utilizar las terceras mayores.

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8· Afinación electrónica (Herzs y cents)

Además de afinar de oído un piano, también se puede afinar con un aparato electrónico. En los

aparatos electrónicos las unidades de frecuencia son Hz y cents, son escalas diferentes y difíciles de

comparar entre sí:

· Los Herz (Hz) son la inversa del segundo, las variaciones por segundo, que es una medida lineal.

· Los cents son una división uniforme de la octava justa. En una octava justa hay 1200 cents, por lo

que en un semitono del Temperamento igual hay 100 cents. El cent es una medida muy pequeña

pero cómoda por ser independiente de la frecuencia de la nota o sonido, por tanto muy útil para

comparar frecuencias o para medir la desviación respecto a una frecuencia. El cent es una escala

logarítmica. Para expresarlo matemáticamente, en una octava (entre f1 y f2) hay 1200 cents:

‘x’ es el factor de conversión, resolviendo se obtiene que .

Así, para convertir el valor de las frecuencias a cents o Hz:

Expresando el Temperamento igual en Hz o cents se puede notar que la representación es

diferente. Hay 100 cents entre cada semitono del Temperamento igual. En cambio en Hz no se

puede hacer una consideración parecida, cada intervalo tiene distintos Hz (es exponencial). Para

utilizar un aparato electrónico es más útil mirar los cents.

A partir de aquí (Temperamento igual), se pueden formar diferentes temperamentos para tratar de

conseguir más consonancias, otras sonoridades, o porque son otras maneras de afinar un piano.

Temperamento igual entre A4 y A6 expresado en Hz. Temperamento igual entre A4 y A6 expresado en cents.

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9· Temperamento por quintas justas - Pythagorean tuning

Este temperamento se obtiene a partir de la quinta justa de cada nota. Se multiplica por 3/2 para

hacer la quinta justa, y se multiplica por 3/4 para obtener la quinta de la octava inferior. En este

caso se ha empezado por el A4, para ir obteniendo las quintas: E5, B4, F#5, ..., C5, G5, D5 y A5.

Nota A4 A#4 B4 C5 C#5 D5 D#5 E5 F5 F#5 G5 G#5 A5

T. igual (Hz) 440 466,16 493,88 523,25 554,37 587,33 622,25 659,26 698,46 739,99 783,99 830,61 880

T. quintas (Hz) 440 469,86 495,00 528,60 556,88 594,67 626,48 660,00 704,79 742,50 792,89 835,31 892,01

El problema de este temperamento es que no cierra la octava o produce una quinta del lobo. Por

tanto no es un temperamento igual.

Como A5 tiene 892,01Hz en vez de 880 (una diferencia de 23,5 cents que se redondea a 24 cents),

el círculo de quintas no queda cerrado.

La quinta del lobo sería el intervalo que se produce entre el D5 de este temperamento (594,67Hz) y

la octava justa (880Hz). Esa quinta en vez de tener 700 cents tiene 678,5 y suena disonante, muy

lejos del intervalo justo 3:2.

Cuando se afina de oído por quintas, se acortan las quintas justas para obtener el Temperamento

igual. Dicho de otro modo, se reparten los -24 cents entre todas las quintas (12 quintas), y a cada

quinta le corresponden -2 cents (llamado schisma).

A cualquier quinta justa, desde cualquier f1, le sobran 2 cents para hacer el Temperamento igual.

Pero el número de batidas de las quintas cortas es diferente para cada nota, depende de f1.

En el temperamento por quintas justas (Pitágoras) sobran 24 cents para poder cerrar la

octava. Para obtener un temperamento igual hay que repartir los -24 cents entre todas

las quintas. Por eso al afinar un piano por quintas, éstas se hacen -2 cents cortas.

Frecuencias del Temperamento igual y del Temperamento por quintas justas, ordenado por notas.

12

El número de batidas de una nota con su quinta por temperamento igual se calcula comparando el

tercer armónico de la primera nota (3·f1) con el segundo armónico de la quinta (2·f3), porque esos

armónicos tienen frecuencias cercanas (como se puede ver en los valores de la tabla) y las batidas

se notan. Los armónicos que tienen frecuencias distantes no hacen batidas.

Las batidas son la diferencia (la resta) entre el 3º armónico de la nota y el 2º armónico de su quinta:

nota 3º armónico nota (Hz) quinta 2º armónico quinta (Hz) Batidas por segundo Duración de la batida en segundos

A3 660 E4 659,2 0,74 1,34

A#3 699,2 F4 698,4 0,79 1,27

B3 740,8 F#4 739,9 0,84 1,20

C4 784,8 G4 783,9 0,89 1,13

C#4 831,5 G#4 830,6 0,94 1,06

D4 880,9 A4 880 0,99 1,01

D#4 933,3 A#4 932,3 1,05 0,95

E4 988,8 B4 987,7 1,12 0,90

F4 1047,6 C5 1046,5 1,18 0,84

F#4 1109,9 C#5 1108,7 1,25 0,80

G4 1175,9 D5 1174,6 1,33 0,75

G#4 1245,9 D#5 1244,5 1,41 0,71

A4 1320 E5 1318,5 1,49 0,67

Cálculo de batidas de una nota con su quinta en temperamento igual entre A3 y A4

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10· Temperamento por terceras mayores justas - Meantone

Se aplica un factor 5/4 para obtener la tercera mayor justa (3M justa) de cada nota.

Nota A4 C#5 F5 A5

T. igual (Hz) 440,0 554,4 696,7 880

T. terceras mayores (Hz) 440,0 550,0 687,5 859,375

Con tres 3M ya se llega a la octava. Se puede ver que esta octava es muy corta (859,4Hz) y será

disonante. Para afinar pianos se pueden alargar las 3M justas para llegar al temperamento igual.

Aunque cada 3M tiene un número de batidas diferente.

Se afina por grupos: A-C#-F; A#-D-F#; B-D#-G; C-E-G#. Las 3M más agudas baten más rápido que las

terceras más graves, y la octava es justa. Por tanto hay que conseguir que batan diferente pero de

manera equilibrada, o calcular las diferentes batidas de cada intervalo.

De hecho hay diferentes temperamentos por terceras mayores. El más común se llama Meantone.

Este temperamento hace uso del cuarto de coma sintónica (también llamada syntonic comma,

chromatic diesis, the comma of Didymus, the Ptolemaic comma, or the diatoniccomma).

La coma sintónica es la diferencia entre la 3M justa (386,41 cents) y la 3M del Temperamento por

quintas justas (407,82 cents). La coma sintónica es de unos -21,5 cents. Por tanto el cuarto de coma

sintónica es de unos -5,37 cents.

Lo que se hace es quitar a la quinta igual (700 cents) esos -5,37 cents. Y queda una quinta de 694,62

cents. Con esa quinta reducida se hace el ciclo de quintas hasta llegar al A5.

Nota A4 A#4 B4 C5 C#5 D5 D#5 E5 F5 F#5 G5 G#5 A5

T. igual (Hz) 440 466,16 493,88 523,25 554,37 587,33 622,25 659,26 698,46 739,99 783,99 830,61 880

T. terceras mayores (Hz) 440,00 459,76 491,93 514,03 550,00 574,70 614,92 657,95 687,50 735,61 768,65 822,44 859,37

La octava es muy corta como habíamos visto (859,37Hz). Y vemos como también la quinta es corta

(657,95Hz). Por lo que si se afina el Temperamento igual por terceras mayores, hay que alargar las

terceras mayores, como ya habíamos dicho.

En el temperamento Meantone la coma sintónica se redondea a -5,5 cents. Si se hacen todas las quintas

con esa diferencia respecto a la quinta justa, quedaría una quinta del lobo con 36,5 cents de más.

Frecuencias de tres 3M en temperamentos de igual y Temperamento por terceras mayores justas.

Frecuencias del Temperamento por terceras mayores justas

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Para calcular las batidas de una nota con su tercera mayor en temperamento igual se hace parecido

a como se ha hecho con la quinta del apartado anterior, se cogen los armónicos que tengan una

frecuencia similar. En este caso es el quinto armónico de la primera nota (5·f1) y el cuarto armónico

de la tercera mayor (4·f5), que como se puede ver en la tabla, tienen una frecuencia parecida.

Las batidas son la diferencia (la resta) entre el 5º armónico de la nota con el 4ª armónico de su 3M,

y son mucho más rápidas que en Temperamento anterior por quintas justas:

nota 5º armónico nota (Hz) 3M 4º armónico 3M (Hz) Batidas por segundo Duración de la batida en segundos

A3 1100 C#4 1108,7 8,73 0,114

A#3 1165,4 D4 1174,6 9,25 0,108

B3 1234,7 D#4 1244,5 9,80 0,102

C4 1308,1 E4 1318,5 10,38 0,096

C#4 1385,9 F4 1396,9 11,00 0,091

D4 1468,3 F#4 1479,9 11,65 0,085

D#4 1555,6 G4 1567,9 12,35 0,081

E4 1648,1 G#4 1661,2 13,08 0,076

F4 1746,1 A4 1760 13,86 0,072

F#4 1849,9 A#4 1864,6 14,68 0,068

G4 1959,9 B4 1975,5 15,56 0,064

G#4 2076,5 C5 2093,0 16,48 0,061

A4 2200 C#5 2217,4 17,46 0,057

Cálculo de batidas de una nota con su tercera mayor en temperamento igual entre A3 y A4

15

11· Conclusiones y otros temperamentos

En el Temperamento igual, la octava es justa (0 cents), la quinta queda corta (-2 cents) y la tercera

mayor es muy larga (+13,7 cents) respecto a los intervalos justos.

En el Temperamento de quintas justas, la octava es justa (0 cents), la quinta es justa (0 cents) y la

tercera mayor es muy larga (+21,5) respecto a los intervalos justos. Pero además no es un

temperamento igual y queda una octava con (+24 cents) además de otros intervalos que tampoco

serán iguales.

En el Temperamento de terceras mayores justas, la octava es muy corta (-36,5 cents), la quinta es

corta (-5,38 cents) y la tercera mayor es justa (0 cents) respecto a los intervalos justos.

Hay muchos otros temperamentos irregulares de la octava (Kimberger, Vallotti, Werkmeister,...),

que reparten los -24 cents de diferentes maneras entre sus quintas. Esto hace que las tonalidades

tengan distintas sonoridades (cada tono tiene un “color”), con distintos intervalos para cada tono.

Estos temperamentos suelen tener importancia histórica y sirven para tocar piezas clásicas con el

temperamento con las que fueron compuestas, aunque esas mismas piezas se pueden tocar con el

temperamento igual sin ningún problema. Además, los valores para cada intervalo varían según la

fuente de información. Un libro con mucha información de temperamentos es el de J. Javier

Goldáraz Gainza - Afinación y temperamento en la música occidental.

También hay temperamentos en que la octava no es justa, en estos temperamentos se estira la

octava para que sea más larga. Cuando la octava es más larga de lo que debería se dice que se ha

estirado, es una octava con 'stretch'.

Diferentes temperamentos. En todos la octava es justa, se reparten -24 cents entre sus

quintas. Cada temperamento tiene una sonoridad y beneficia intervalos de ciertos tonos.

16

12· Temperamento de la curva Railsback

Hasta ahora hemos hablado de armónicos justos de una cuerda sin inharmonicidades, en una

cuerda unidimensional sus armónicos son múltiples de la frecuencia fundamental: fn=n·f1.

Sin embargo, los objetos están en el espacio tridimensional 3D, y no en 1D o en 2D. Por ejemplo las

cuerdas del piano, además de longitud, tienen un grosor, una composición, una tensión y pueden

empezar a vibrar de maneras diversas. De hecho, todo eso define el timbre de cada tecla del piano.

Esto provoca que el nodo de vibración de los armónicos no sea puntual, sino que tiene un tamaño y

un comportamiento que depende del material del objeto y de sus dimensiones. Como el nodo tiene

un tamaño, la longitud de vibración de los armónicos (el valle) es más pequeña y por tanto

producen inharmonicidad: armónicos con frecuencias más elevadas que los múltiples de f1 del

objeto. Por ejemplo, el primer armónico de 440Hz en vez de ser 880Hz puede ser 880,5Hz (1 cent

más alto). Y cuanto mayor es el armónico, más nodos tiene, y mayor es la inharmonicidad. Además,

en los extremos del piano las cuerdas son más inharmónicas, porque son proporcionalmente más

gruesas a su longitud que en el registro central, y además deben coincidir con los armónicos

elevados del registro central. En la curva Raisback (la gráfica a continuación) las octavas del

extremo del piano tienen 30 cents de diferencia respecto a si no hubiera inharmonicidad.

Railsback fue el primero en medir las inharmonicidades de las cuerdas del piano en 1937:

Viendo la curva de Railsback se pueden sacar los puntos: C8 +30 cents, C7 +10 cents, C2 -10 cents,

C1 -30 cents. Sacando el polinomio podemos obtener la ecuación aproximada, y de ahí los cents

extra de cada nota y sus frecuencias.

La parte central de la gráfica es muy plana y en los extremos la curvatura es muy pronunciada. En la

parte central hay octavas justas (con Temperamento igual) y en los extremos las octavas están muy

estiradas, incluso las quintas quedan largas en las 2 últimas octavas.

Notas A4 A#4 B4 C5 C#5 D5 D#5 E5 F5 F#5 G5 G#5 A5

T. Igual (Hz) 440 466,16 493,88 523,25 554,37 587,33 622,25 659,26 698,46 739,99 783,99 830,61 880

T. Railsback (Hz) 439,95 466,10 493,81 523,16 554,27 587,23 622,16 659,18 698,41 739,99 784,06 830,76 880,27

Curva Railsback. Ecuación aproximada de la curva Railsback a

partir de las notas C1, C2, C7 y C8.

Las frecuencias con temperamento Railsback de la octava central son muy cercanas al Temperamento igual.

En cambio las octavas del extremo del piano están muy estiradas.

17

13· Temperamento igual estirado

Este temperamento estirado se puede hacer con muchos valores. El siguiente ejemplo es un stretch

de octava de 1,8 cents, repartidos de manera lineal respecto al Temperamento igual:

notas a a# b c c# d d# e f f# g g# a a# b c c# d

cents extra 0 0,15 0,3 0,45 0,6 0,75 0,9 1,05 1,2 1,35 1,5 1,65 1,8 1,95 2,1 2,25 2,4 2,55

Respecto a los intervalos justos, la octava queda larga (+1,8 cents), la quinta queda corta (-0,91

cents), y la tercera mayor queda larga (+14,29 cents).

Notas A4 C#5 E5 A5

Temperamento justo (Hz) 440 550,00 660,00 880,00

Temperamento igual (Hz) 440 554,37 659,26 880,00

Diferencia entre T.justo y T.igual (cents) 0 13,69 -1,96 0,00

Temperamento estirado (Hz) 440 554,56 659,66 880,92

Diferencia entre T.justo y T.estirado (cents) 0 14,29 -0,91 1,80

Diferencia entre T.igual y T.estirado (Hz) 0 0,6 1,05 1,8

Teniendo en cuenta las inharmonicidades de una cuerda de piano, la octava puede que quede

mejor con el estiramiento de 1,8 cents, la quinta también queda mejor afinada, y la tercera mayor

si que pierde un poco de consonancia pero ya estaba muy desafinada.

Se puede hacer una gráfica con las frecuencias obtenidas del Temperamento estirado (ANEXO III):

Como se puede ver en la gráfica, la diferencia de cents es lineal (recta azul). A diferencia de la curva

Railsback que la diferencia en cents seguía una función polinómica o no-lineal.

9300,00

9600,00

9900,00

10200,00

10500,00

10800,00

11100,00

11400,00

11700,00

12000,00

A3

A#3

B3

C4

C#4

D4

D#4

E4

F4

F#4

G4

G#4

A4

A#4

B4

C5

C#5

D5

D#5

E5

F5

F#5

G5

G#5

A5

Estiramiento lineal, cada octava de cada nota tiene +1,8 cents respecto a la octava justa.

El Temperamento estirado igual y el Temperamento igual

comparados con los intervalos justos

Temperamento igual estirado en cents

18

14· Temperamento igual estirado con quintas justas

Otro ejemplo de Temperamento igual estirado es hacer que la quinta sea justa. La quinta justa

tiene +1,96 cents extra respecto al Temperamento igual como habíamos visto. De esta manera la

octava tiene +3,35 cents. Repartidos estos cents de manera lineal queda así:

notas a a# b c c# d d# e f f# g g# a

cents extra 0 0,28 0,56 0,84 1,12 1,40 1,68 1,96 2,23 2,51 2,79 3,07 3,35

A partir de los cents extra respecto al Temperamento igual, se pueden calcular las frecuencias del

Temperamento igual estirado (ver ANEXO IV).

Notas A4 C#5 E5 A5

Temperamento justo (Hz) 440,00 550,00 660,00 880,00

Temperamento estirado con quintas justas (Hz)

440,00 554,72 660,00 881,70

Diferencia (cents) 0,00 14,80 0,00 3,35

En este caso de estiramiento tenemos quintas justas para cualquier nota, y la octava estirada hasta

3,35 cents. La quinta cumple la relación 3/2, pero bajada una octava no es la relación 3/4.

A diferencia del Temperamento por quintas justas, este temperamento también consigue quintas

justas pero sin hacer una quinta del lobo o una octava totalmente disonante. La octava está

desplazada +3,35 cents (en el Temperamento por quintas justas sobraban 24 cents).

Las terceras mayores quedan más desafinadas de lo que ya estaban, pero sin ser un gran cambio

(14,80 cents contra 13,69 cents del Temperamento igual).

Temperamento igual estirado con quintas justas

Temperamento igual con estiramiento. El estiramiento son los cents extra.

Reparto de cents en el ciclo de quintas. El Temperamento igual estirado (stretched octave +1,8) y

Temperamento igual estirado con quintas justas (stretched octave +3,35) no tienen octavas justas.

19

15· Temperamento igual estirado con terceras mayores justas

En el caso de hacer un Temperamento estirado con terceras mayores justas realmente dará un

temperamento encogido, con la octava corta. Los resultados son muy parecidos a los obtenidos en

el apartado del Temperamento por terceras mayores justas (Meantone). Solo cambian algunas

notas porque antes se han obtenido con un ciclo de quintas.

La tercera mayor justa tiene -13,69 cents respecto al temperamento igual. Si se reparte de manera

lineal se obtiene:

notas a a# b c c# d d# e f f# g g# a

cents extra 0 -3,42 -6,84 -10,26 -13,69 -17,11 -20,53 -23,95 -27,37 -30,79 -34,22 -37,64 -41,06

A partir de los cents extra respecto al Temperamento igual, se pueden calcular las frecuencias del

Temperamento igual estirado por terceras mayores (ver ANEXO V).

16· Conclusiones de los temperamentos estirados

Los temperamentos estirados mejoran algunos intervalos y empeoran otros.

Los temperamentos estirados que tienen un estiramiento positivo de la octava mejoran los

intervalos 2, 3m, 5, 6m y 7.

Los temperamentos estirados que tienen un estiramiento negativo de la octava mejoran los

intervalos 3, 4, 6 y maj7.

Pero estos cambios son relativos a la cantidad de estiramiento que se haga.

El intervalo de octava puede mejorar en estiramientos ligeramente positivos (por ejemplo el que se

alarga la octava 1,8 cents), debido a la inharmonicidad de las cuerdas.

Frecuencia de las notas Diferencia (cents) respecto la nota justa

Nota TJ TI TE 1,8 TI vs TJ TE 1,8 vs TJ Intervalo Relación

A4 440 440 440 0 0 1 1:1

C5 528 523,25 523,39 -15,64 -15,19 3m 6:5

C#5 550 554,37 554,56 13,69 14,29 3M 5:4

D5 586,67 587,33 587,58 1,96 2,71 4 4:3

E5 660 659,26 659,66 -1,96 -0,91 5 3:2

F5 704 698,46 698,94 -13,69 -12,49 6m 8:5

F#5 733,33 739,99 740,57 15,64 16,99 6 5:3

A5 880 880 880,92 0 1,8 8 2:1

· TJ: Temperamento justo

· TI: Temperamento igual

· TE 1,8: Temperamento estirado igual de 1,8 cents la octava

En verde los intervalos que mejoran

20

17· Afinar un piano

Todos los datos que hemos ido viendo sirven de orientación para afinar un piano y para conocer

cómo funciona un afinador electrónico.

Pero cada piano es diferente y tiene sus inharmonicidades:

· Las cuerdas que tiene (para cada tecla) tienen una longitud, un grosor, una tensión y una

elasticidad que no son los mismos en otro piano. Hay pianos con diversos tamaños y

construcciones, y pianos más antiguos y más nuevos que afecta al material y el estado de la cuerda.

· El golpeo del martillo en cada piano es diferente. Golpea con más o menos superficie, más o

menos fuerza, y en una posición u otra de la cuerda (más arriba o más abajo), y con un martillo con

una forma y una dureza diferente en cada piano y cada tecla. Destacando unos armónicos por

encima de otros.

· Las cuerdas graves del piano tienen un entorchado de cobre para dar peso a la cuerda, este

entorchado también es diferente para cada piano, el grosor y la longitud es diferente.

De entrada los aparatos electrónicos vienen con Temperamento igual y sin curva de estiramiento.

Por eso afinar un piano con un aparato electrónico directamente no es una afinación óptima. Aún

así, coger el programa y poner un temperamento y una stretch puede mejorar la afinación pero no

nos garantiza una buena afinación porque puede no tener nada que ver con el piano que estemos

afinando. Además, para utilizar un aparato electrónico conviene comprobar que esté calibrado en

todas las notas. En cambio la afinación de oído permite tener en cuenta las inharmonicidades de

cada piano, además de la propia percepción de las frecuencias del oído humano.

Orientativamente la curva Railsback implica estirar mucho la octava en los extremos del piano. Sin

embargo es útil estirar también las octavas centrales del piano porque la octava queda afinada y las

quintas mejoran mucho. Además, las afinaciones utilizando un Temperamento estirado en las

octavas centrales, éstas aguantan mejor la desafinación del piano, ya que a medida que un piano se

desafina las octavas tienden a contraerse un poco, las cuerdas agudas pierden más tono que las

cuerdas graves. Para los extremos del piano se pueden estirar más las octavas haciendo que las

quintas sean justas, o incluso más como en el temperamento Railsback. Por ejemplo:

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

A0

C1

D#1

F#1

A1

C2

D#2

F#2

A2

C3

D#3

F#3

A3

C4

D#4

F#4

A4

C5

D#5

F#5

A5

C6

D#6

F#6

A6

C7

D#7

F#7

A7

C8

TR

TE

TEQ

Aproximación con Temperamentos estirados al Temperamento Railsback (TR). Aparece el Temperamento

estirado (TE) entre A2 y A5, y el Temperamento estirado por quintas justas (TEQ) entre A0 y A2, y entre A5 y C8.

21

El primer paso en la afinación de un piano es el temperamento, entre 1,5 y 2 octavas del piano, por

ejemplo entre A3 y A5.

Después o mientras se afina el temperamento se hacen los unísonos. Las teclas entre A3 y A5

tienen 3 cuerdas por tecla, esas 3 cuerdas deben tener la misma frecuencia y no hacer batidas

dentro de lo posible.

Por último, el temperamento se extiende al resto del teclado, hasta las notas de los extremos,

normalmente por octavas y comprobando las quintas y los acordes.

La desafinación de un piano se nota especialmente por la desafinación de los unísonos.

- Los coros de 3 cuerdas de acero se pueden afinar para que no haya batidas, porque las cuerdas

tienen la misma longitud y están hechas del mismo material. Si el material es diferente pueden

hacer armónicos diferentes y causar batidas.

- Si los coros de 3 cuerdas son percutidos de manera diferente por el martillo, porque no golpea a la

misma altura a la cuerda o porque el martillo tenga diferente dureza o superficie en cada cuerda,

también pueden hacer batidas porque las cuerdas hacen diferentes armónicos.

- Los coros de bordones (normalmente 2 cuerdas), como tienen un entorchado de cobre que suele

ser ligeramente diferente de una cuerda a otra, puede hacer que cada bordón tenga armónicos

ligeramente distintos y que sean difíciles de afinar o que provoquen batidas.

Después de la desafinación de los unísonos, lo siguiente que más se nota en un piano desafinado

es que las octavas están acortadas y los intervalos varían perdiendo el temperamento. Dicho de

otra manera: primero se nota la desafinación de los unísonos, luego la desafinación del stretch y

por último la desafinación del temperamento y la sonoridad de los acordes.

La estabilidad de la afinación dependerá de que no se haya hecho una subida de tono, del estado

de las clavijas y del clavijero.

El tono de un piano se pierde con el tiempo, las cuerdas van perdiendo tensión. Si durante años un

piano no se afina, cuando se afine la afinación no será estable: los unísonos harán batidas en poco

tiempo (incluso mientras se van afinando otras cuerdas las primeras ya se desafinan), las octavas se

acortarán, el temperamento se pierde, y además el piano baja de tono mientras se va afinando por

la elasticidad del arpa, la tabla armónica, las clavijas y las cuerdas del piano. Por tanto, es mucho

mejor afinar regularmente un piano que no dejarlo años sin afinar.

Cuerdas de un piano de cola

22

Aunque la afinación aural pueda ser más óptima que la afinación electrónica, es mucho mejor un

piano afinado electrónicamente que un piano que está desafinado. También se puede combinar la

afinación electrónica con comprobaciones de oído.

Para afinar un piano hay múltiples métodos, según la sucesión de notas que se utilice, si se cuentan

batidas en algunos momentos, o si se hacen comprobaciones con intervalos.

El método más sencillo para afinar el Temperamento igual es utilizar quintas un poco cortas, y bajar

la octava para que las notas afinadas estén dentro de las octavas centrales.

El método más habitual con el que se puede afinar contando batidas es utilizar las terceras

mayores. Hay diversos métodos utilizando terceras mayores, por ejemplo hay dos métodos en los

ANEXOS VI y VII. La afinación profesional suele ser con terceras mayores, más que contar batidas es

por comparación de las batidas entre unos intervalos y otros.

23

18· Dinámica de sistemas no lineales (del trabajo de la licenciatura de física)

El número de variables define la dimensión del sistema y sus grados de libertad. Donde el tiempo se

define como una variable independiente, una comparación de la duración.

Dentro del sistema, si es continuo, habrá trayectorias y bifurcaciones. Una bifurcación es un

desdoblamiento de la trayectoria a otra por ejemplo apareciendo el doble de la frecuencia de la

trayectoria estable. Dentro de las trayectorias si son cerradas nos encontramos con puntos fijos o

con órbitas estables o inestables. Si las órbitas no son cerradas son señales aperiódicas o caóticas.

Las órbitas pueden ser periódicas (por ejemplo una frecuencia formaría un circulo en el espacio de

fases; o dos frecuencias con cociente racional, formarían la superficie de un toroide cerrado) o

pueden ser cuasiperiódicas (por ejemplo dos frecuencias con cociente irracional, formarían la

superficie de un toroide sin llegar nunca a una posición repetida).

Los sistemas se pueden catalogar como más estables o menos estables por su trayectoria. Cuanto

más sencillo más estable.

No es difícil imaginar la música como un sistema de 12 grados de libertad (notas) por octava, donde

una sola nota es un círculo (1 frecuencia con 1 amplitud), donde dos notas forman una órbita en

forma de toroide (cerrada o abierta dependiendo de si su cociente es racional o irracional), donde

N notas forman un toroide de dimensión N, donde una melodía es una trayectoria por esas doce

notas con diferentes intensidades.

Tampoco es difícil imaginar que es más estable un intervalo con proporciones racionales como 3:2,

que otro de irracionales como 21/2:1. O que un conjunto de notas forman formas o toroides más

estables si tienen proporciones racionales. O que en una melodía o pasaje haya atractores según la

tonalidad en que se esté, que haya frecuencias más inestables, y cambios a otras tonalidas /

atractores.

Otro parámetro musical es el ritmo, que es una discretización del tiempo. La aparición y

desaparición de las notas se hace de forma ordenada. Nuevamente con proporciones estables:

corcheras, tresillos, negras,... o mirando los compases: 2/4, 3/4, 4/4, 6/8, 9/8, 12/8, los

irregulares,... Puede que con aceleraciones y desaceleraciones o con rubato o con swing o... El

ritmo también sigue proporciones armónicas como las frecuencias.

También las intensidades de las notas pueden tomar cualquier valor o estar sujetas a una

discretización como pasa con los instrumentos electrónicos.

También podemos observar las bifurcaciones, cada vez que se toca una nueva nota, o que se añade

a las que ya había, o que hay un cambio de ritmo. De hecho se podría decir que la música es una

sucesión de bifurcaciones.

24

ANEXO I

Porqué hay 12 notas en la escala cromática.

a) Notas obtenidas a partir intervalos justos (relaciones sencillas con f1). En color los intervalos

más consonantes:

b) Temperamentos iguales: Octavas divididas de manera igual en 2 intervalos, en 3, en 4, en

12, en 17,... Frecuencias calculadas a partir de dividir la octava logarítmicamente, utilizando

los factores 21/n para pasar a la siguiente nota de la escala: 21/2, 21/3, 21/4, 21/5,...,21/12,...

En color las notas parecidas a los intervalos más consonantes (menos de 6 Hz de diferencia)

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

440 440 440 440 440 440 440 440 440 440

622,3 554,4 523,3 505,4 493,9 485,8 479,8 475,2 471,6 468,6

880 698,5 622,3 580,6 554,4 536,4 523,3 513,3 505,4 499,1

880 740,0 666,9 622,3 592,2 570,6 554,4 541,7 531,6

880 766,1 698,5 653,8 622,3 598,7 580,6 566,1

880 784,0 721,9 678,6 646,7 622,3 603,0

880 797,0 740,0 698,5 666,9 642,2

880 807,0 754,4 714,8 683,9

880 814,8 766,1 728,4

880 821,1 775,8

880 826,3

880

12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

440 440 440 440 440 440 440 440 440 440 440 440 440

466,2 464,1 462,3 460,8 459,5 458,3 457,3 456,3 455,5 454,8 454,1 453,5 452,9

493,9 489,5 485,8 482,6 479,8 477,4 475,2 473,3 471,6 470,0 468,6 467,3 466,2

523,3 516,3 510,5 505,4 501,1 497,3 493,9 490,9 488,2 485,8 483,6 481,6 479,8

554,4 544,6 536,4 529,3 523,3 517,9 513,3 509,1 505,4 502,1 499,1 496,4 493,9

587,3 574,4 563,6 554,4 546,4 539,5 533,4 528,0 523,3 519,0 515,1 511,6 508,4

622,3 605,9 592,2 580,6 570,6 562,0 554,4 547,7 541,7 536,4 531,6 527,2 523,3

659,3 639,1 622,3 608,0 595,9 585,3 576,1 568,0 560,8 554,4 548,6 543,3 538,6

698,5 674,1 653,8 636,8 622,3 609,7 598,7 589,1 580,6 573,0 566,1 560,0 554,4

740,0 711,0 687,0 666,9 649,8 635,1 622,3 611,0 601,1 592,2 584,3 577,1 570,6

784,0 749,9 721,9 698,5 678,6 661,5 646,7 633,7 622,3 612,1 603,0 594,8 587,3

830,6 791,0 758,5 731,5 708,6 689,0 672,1 657,3 644,2 632,6 622,3 612,9 604,5

880 834,3 797,0 766,1 740,0 717,7 698,5 681,7 666,9 653,8 642,2 631,7 622,3

880 837,5 802,3 772,8 747,6 725,9 707,0 690,4 675,8 662,7 651,0 640,5

880 840,3 807,0 778,7 754,4 733,3 714,8 698,5 683,9 670,9 659,3

880 842,7 811,1 784,0 760,5 740,0 721,9 705,8 691,5 678,6

880 844,8 814,8 788,8 766,1 746,1 728,4 712,6 698,5

880 846,8 818,1 793,1 771,2 751,7 734,4 718,9

880 848,5 821,1 797,0 775,8 756,9 740,0

880 850,0 823,8 800,6 780,1 761,7

880 851,4 826,3 803,9 784,0

880 852,7 828,5 807,0

880 853,9 830,6

880 854,9

880

Nota A4 1

A#4 2b

B4 2

C5 3m

C#5 3M

D5 4

D#5 5b

E5 5

F5 5#

F#5 6

X X

G5 7

G#5 maj7

A5 8

Relación con f1 1:1 17:16 9:8 6:5 5:4 4:3 7/5 3:2 8/5 5:3 7:4 9:5 15:8 2:1

Frecuencias (Hz) 440 467,5 495 528 550 586,67 616 660 704 733,33 770 792 825 880

25

ANEXO II

· Ejemplo 1: Comparación de armónicos entre A4 (440Hz), E5 con temperamento justo (660Hz) y E5

con temperamento igual (659,26Hz). Sin inharmonicidades. Los armónicos coincidentes están en

color.

Entre A4 y E5 justo no hay batidas. En cambio entre A4 y E5 temperado hay batidas por sus

armónicos respectivos, concretamente los amónicos 3 y el 2 respectivamente, porque es la relación

que tienen las frecuencias de esas notas, 3:2. También son coincidentes los armónicos 6 y 4

lógicamente.

Las batidas en este caso entre A4 y E5 (T.I.) son de 1,49Hz, que es la diferencia entre 1320Hz y

1318,5Hz. Son batidas bastante lentas.

A4 E5 T.J. E5 T.I.

f1 440 660 659,255114

f2 880 1320 1318,51023

f3 1320 1980 1977,76534

f4 1760 2640 2637,02046

f5 2200 3300 3296,27557

f6 2640 3960 3955,53068

f7 3080 4620 4614,7858

f8 3520 5280 5274,04091

· Ejemplo 2: Comparación de armónicos entre A4 (440Hz), F4 con temperamento justo (352Hz) y F4

con temperamento igual (349,23Hz). Sin inharmonicidades. Los armónicos coincidentes están en

color.

Entre A4 y F4 justo no hay batidas. En cambio entre A4 y F4 temperado hay batidas por sus

armónicos respectivos, concretamente los amónicos 4 y el 5 respectivamente, porque es la relación

que tienen las frecuencias de esas notas, relación 4:5. También habría batidas entre los armónicos 8

y 10 pero no aparece en la tabla.

Las batidas en este caso entre A4 y F4 (T.I.) son de 13,86Hz, que es la diferencia entre 1760Hz y

1746,14Hz. Son batidas bastante rápidas. Entre A3 y F3 serían la mitad, 6,93Hz.

A4 F4 T.J. F4 T.I.

f1 440 352 349,228231

f2 880 704 698,456463

f3 1320 1056 1047,68469

f4 1760 1408 1396,91293

f5 2200 1760 1746,14116

f6 2640 2112 2095,36939

f7 3080 2464 2444,59762

f8 3520 2816 2793,82585

26

ANEXO III

Frecuencias del Temperamento igual estirado (TE) calculadas a partir del Temperamento igual (TI).

Quedan las octavas largas, las quintas menos cortas y las terceras más largas, que en el

Temperamento igual respecto a los intervalos justos.

Tabla de datos entre las notas A3 y A5.

Notas TI (Hz) TI (cents) cents extra TE (cents) TE (Hz)

A3 220,00 9337,63 -1,80 9335,83 219,77

A#3 233,08 9437,63 -1,65 9435,98 232,86

B3 246,94 9537,63 -1,50 9536,13 246,73

C4 261,63 9637,63 -1,35 9636,28 261,42

C#4 277,18 9737,63 -1,20 9736,43 276,99

D4 293,66 9837,63 -1,05 9836,58 293,49

D#4 311,13 9937,63 -0,90 9936,73 310,97

E4 329,63 10037,63 -0,75 10036,88 329,48

F4 349,23 10137,63 -0,60 10137,03 349,11

F#4 369,99 10237,63 -0,45 10237,18 369,90

G4 392,00 10337,63 -0,30 10337,33 391,93

G#4 415,30 10437,63 -0,15 10437,48 415,27

A4 440,00 10537,63 0,00 10537,63 440,00

A#4 466,16 10637,63 0,15 10637,78 466,20

B4 493,88 10737,63 0,30 10737,93 493,97

C5 523,25 10837,63 0,45 10838,08 523,39

C#5 554,37 10937,63 0,60 10938,23 554,56

D5 587,33 11037,63 0,75 11038,38 587,58

D#5 622,25 11137,63 0,90 11138,53 622,58

E5 659,26 11237,63 1,05 11238,68 659,66

F5 698,46 11337,63 1,20 11338,83 698,94

F#5 739,99 11437,63 1,35 11438,98 740,57

G5 783,99 11537,63 1,50 11539,13 784,67

G#5 830,61 11637,63 1,65 11639,28 831,40

A5 880,00 11737,63 1,80 11739,43 880,92

27

ANEXO IV

Frecuencias del Temperamento igual estirado con quintas justas (TEQ) calculadas a partir de los

cents extra respecto al Temperamento igual.

Tiene más estiramiento que el Temperamento igual estirado.

Tabla de datos entre A3 y A5.

Notas cents extra TEQ (cents) TEQ (Hz)

A3 -3,351 9334,28 219,57

A#3 -3,072 9434,56 232,67

B3 -2,793 9534,84 246,54

C4 -2,514 9635,12 261,25

C#4 -2,234 9735,40 276,83

D4 -1,955 9835,68 293,33

D#4 -1,676 9935,96 310,83

E4 -1,396 10036,24 329,36

F4 -1,117 10136,51 349,00

F#4 -0,838 10236,79 369,82

G4 -0,559 10337,07 391,87

G#4 -0,279 10437,35 415,24

A4 0,000 10537,63 440,00

A#4 0,279 10637,91 466,24

B4 0,559 10738,19 494,04

C5 0,838 10838,47 523,50

C#5 1,117 10938,75 554,72

D5 1,396 11039,03 587,80

D#5 1,676 11139,31 622,86

E5 1,955 11239,59 660,00

F5 2,234 11339,87 699,36

F#5 2,514 11440,15 741,06

G5 2,793 11540,42 785,26

G#5 3,072 11640,70 832,08

A5 3,351 11740,98 881,71

28

ANEXO V

Frecuencias del Temperamento igual estirado con terceras mayores justa (TE3M) calculadas a partir

de los cents extra respecto al Temperamento igual.

El estiramiento es negativo, realmente es un temperamento encogido.

Tabla de datos entre A3 y A5.

Notas cents extra TE3M (cents) TE3M (Hz)

A3 41,06 9378,69 225,28

A#3 37,64 9475,27 238,204598

B3 34,22 9571,85 251,870697

C4 30,79 9668,43 266,320837

C#4 27,37 9765,00 281,6

D4 23,95 9861,58 297,755748

D#4 20,53 9958,16 314,838371

E4 17,11 10054,74 332,901046

F4 13,69 10151,32 352

F#4 10,26 10247,90 372,194685

G4 6,84 10344,47 393,547964

G#4 3,42 10441,05 416,126308

A4 0,00 10537,63 440

A#4 -3,42 10634,21 465,243356

B4 -6,84 10730,79 491,934955

C5 -10,26 10827,37 520,157885

C#5 -13,69 10923,95 550

D5 -17,11 11020,52 581,554195

D#5 -20,53 11117,10 614,918694

E5 -23,95 11213,68 650,197356

F5 -27,37 11310,26 687,5

F#5 -30,79 11406,84 726,942744

G5 -34,22 11503,42 768,648367

G#5 -37,64 11599,99 812,746695

A5 -41,06 11696,57 859,375

29

ANEXO VI

Afinación estándar del temperamento con terceras mayores.

30

ANEXO VII

Afinación con terceras mayores y formando acordes.

31

ANEXO VIII

Batidas a partir del A3 a 220Hz.