Modelo Estocstico de las interconexiones conceptuales en un proceso de aprendizaje en el aula

Estudios Pedaggicos XXXVIII, N 2: 69-84, 2012

Estudios Pedaggicos XXXVIII, N 2: 69-84, 2012MODELO ESTOCSTICO DE LAS INTERCONEXIONES CONCEPTUALES EN UN PROCESO DE APRENDIZAJEINVESTIGACIONES

Modelo Estocstico de las interconexiones conceptuales en un proceso de aprendizaje en el aulaStochastic Model of the conceptual interconnections in a classroom learning processModelo estocstico de interconexes conceituais em processo de aprendizagem em sala de aula

Jos Alejandro Gonzlez Campos,a Diana Milena Galvis Soto,b Juan Carlos Medina Magdaleno,c Nicols Alberto Moreno ReyescaEquipo Laboratorio [EXPERIMENTAL] de Saberes Matemticos, Departamento de Matemtica & Fsica, Facultad de Ciencias Naturales & Exactas, Universidad de Playa Ancha / Valparaso, Chile.Valparaso-Chile. E-mail: labesam.upla@gmail.combFacultad de Ciencias Bsicas y Tecnologa, Universidad del Quindo, Colombia,Bolsista da CAPES-IEL Nacional-BrasilcFacultad de Ciencias Naturales & Exactas, Universidad de Playa Ancha, Valparaso, Chile.

RESUMENActualmente la inclusin es un concepto que est en la mesa de dilogo de las instituciones preocupadas por la educacin, hacer parte del proceso de enseanza y aprendizaje a todos los alumnos como personas, independiente de su realidad [3]. Sin embargo, el proceso de cuantificacin y modelacin de las interconexiones conceptuales, es un proceso distante, por tal razn, queremos dar un paso adelante en una educacin para todos y objetivizar los procesos de cuantificacin de la consistencia grupal en torno a un concepto [1], que denominaremos inclusin cognitiva. Por tal razn se definen los Grafos de Consistencia Conceptual (GCC) y el vnculo conceptual como una variable aleatoria Poisson, promoviendo una metodologa de visualizacin y cuantificacin de la Consistencia Conceptual de grupo. Este trabajo tiene como base terica el procesamiento de los saberes segn el Laboratorio Experimental de Saberes Matemticos, Lab[e]saM [1] y se trasforma en un nuevo complemento para el estudio de las trasposiciones didcticas.Palabras clave: saberes, grafos, matriz de adyacencia, distribucin Poisson, intervalos de confianza, distribu- cin asinttica.

ABSTRACTCurrently inclusion is a concept present in the dialogue of the institutions concerned about education; it means to include in the teaching-learning process all students as individuals, regardless of their reality [3]. However, quantification and modelling of conceptual interconnections is a distant process; therefore, our intention is to take a step forward an education for all, and objectify the quantification process in group consistency around a concept [1] which will be called cognitive inclusion. Therefore, conceptual consistency graph and conceptual link are defined as a Poisson random variable, promoting a visualization and quantification methodology of conceptual consistency within a group. This paper is based on the knowledge processing according to the LAB[e]SAM [1] and it turns into a new complement for the transposition didactics studies.Key words: knowledge, graph, adjacency matrix, Poisson distribution, confidence interval and asymptotic distribution.

RESUMOIncluso, na atualidade, um conceito amplamento discutido nas instituies de ensino que se preocupam com o processo ensino-aprendizagem de todos os estudantes como pessoas, independentemente do contexto em que se inserem [3]. No entanto, o processo de quantificao e modelagem das interconexes conceituais, um processo

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distante da realidade esperada. Assim, d-se um passo frente na educao para todos e objetiva-se os processos de quantificao da consistncia grupal em torno de um conceito [1 ], denominado incluso cognitiva. Por essa razo, definem-se Grficos de Consistncia Conceitual (GCC) e o vnculo conceitual como uma variante aleatria Poisson, promovendo uma metodologia de visualizao e quantificao da consistncia conceitual grupal. Baseia-se em processamento de saberes segundo o Laboratrio Experimental de Saberes Matemticos, Lab[e] saM[1] que se transformam em novo complemento para o estudo das transposies didticas.alavPra schave: Saberes, grficos, matriz de adjacncia, distribuio de Poisson, intervalos de confiana e distri- buio assinttica..

1. INTRODUCCIN

Actualmente en el mbito de la evaluacin educacional se est interesado en determi- nar con mayor precisin el nivel de competencias de nuestros alumnos [2], sin embargo, desde el punto de vista del educador, ya no slo interesa el logro individual en torno a un concepto, si no que adems, si dicha construccin terica es consistente con la de sus pares, es decir se quiere una perspectiva integral del curso.En el proceso de visualizacin y cuantificacin estocstica de la inclusin cognitiva, se considera la existencia de un instrumento de evaluacin con todas las caractersticas edumtricas deseables, como por ejemplo fiabilidad y validez, pues depender de ello la potencia de las conclusiones del anlisis.Desde la perspectiva estocstica, se recurrir a la distribucin Poisson, que vendr a caracterizar el comportamiento de la representacin grfica del Grafo de Consistencia Conceptual.

2. EL PROBLEMA DE INVESTIGACIN

En la actualidad el uso de la tecnologa ha permitido desarrollar una serie de estrate- gias metodolgicas para la medicin del logro de una competencia, como por ejemplo la Teora de Respuesta al tem y la incorporacin del tiempo de respuesta[2], sin embargo son visiones orientadas al alumno de manera individual, lo que definitivamente se convierte en una muestra poco significativa y no sujeta a generalizacin, lo que, como profesor, limita la auto evaluacin y la reestructuracin de los mtodos de enseanza o trasposiciones didcticas, es por esto que nos interesa una visualizacin grupal del concepto [5], de tal manera de capturar la arquitectura conceptual producto de la intervencin pedaggica, de manera robusta y libre de sesgos individuales.Por tal razn, el problema de este trabajo es: Estructurar y formalizar una metodo- loga de Visualizacin y cuantificacin estocstica de la Inclusin Cognitiva.

3. OBJETIVOS DE LA INVESTIGACIN QUE SE PRESENTA

Promover un mtodo de visualizacin y cuantificacin estocstica de la inclusincognitiva. Describir y Caracterizar los Grafos de Consistencia Conceptual (GCC).

Estudios Pedaggicos XXXVIII, N 2: 69-84, 2012MODELO ESTOCSTICO DE LAS INTERCONEXIONES CONCEPTUALES EN UN PROCESO DE APRENDIZAJE

Estudios Pedaggicos XXXVIII, N 2: 69-84, 2012MODELO ESTOCSTICO DE LAS INTERCONEXIONES CONCEPTUALES EN UN PROCESO DE APRENDIZAJE

Formalizar intervalos de Confianza para la cuantificacin de la Inclusin Cognitiva. Promover una lnea de investigacin en torno a los GCC

4. METODOLOGA DE LA INVESTIGACIN

La metodologa de trabajo, es de tipo exploratoria, en el sentido del comienzo de un nuevo eje de investigacin en el que pretendemos asentar las bases tericas, supuestos y restricciones de la metodologa de anlisis de la Inclusin Cognitiva y los Grafos de Consistencia Conceptual.Este trabajo toma como base la concepcin terica de los saberes segn Lab[e]saM[1].

Fases de la Investigacin:

1. Anlisis preliminar.2. Concepcin de la investigacin.3. Simulaciones.4. Anlisis a posteriori y evaluacin.

5. ALGUNOS ANLISIS PRELIMINARES

La concepcin terica Lab[e]saM est soportada por el marco de la Teora de las Situaciones Didcticas (Brousseau, 2004), y particularmente en la aproximacin antro- polgica propuesta por Chevallard (1991), caracterizando as tres facetas: Saber Sabio generado en las comunidades cientficas. Para esta investigacin con- sideraremos que el saber Sabio posee infinitas dimensiones1 no manejables en el sentido estadstico. Saber a Ensear se orienta a la labor del enseante (i.e., el que ensea) que debe producir la recontextualizacin y eleccin responsable de los conocimientos que pretenden transformarse en conocimiento para el alumno, es decir la labor del enseante es elegir y construir un modelo (y como tal, reduce la complejidad) adecuado al contexto y al saber sabio, para transformarlo en un saber adecuado para ensear. Saber Aprendido, representa el modelo construido por el alumno como productodel trabajo intelectual en su interaccin con el modelo enseado.Pensamos que, a travs de este trabajo, podemos iniciar un camino hacia la caracteriza- cin de las variables que tienen mayor incidencia en el modelo que el alumno construye en una situacin de enseanza, y en la calidad de ste, sin embargo este lineamiento terico que aqu se describe esta orientado al individuo y no de manera conjunta.

1En este trabajo el sustantivo dimensin alude a cada una de las caractersticas esenciales del saber.

FORMALIZACIN:

Sean el universo de los saberes sabios, donde cada tiene asociado un

conjunto

Xconstituido por todas las dimensiones de , que suponemos es de tamao

no finito, y

2X =

donde 2X es la familia de las partes de X. Adems sea;: una apli-cacin que denominaremos Operador de Eleccin donde la imagen de , a travs de, elige un subconjunto finito y no vaco de Xque se espera caracterice a .Observemos que es una lgebra sobre X : . Por otro lado se defineun Operador de Transposicin , cuyo dominio es , una familia de conjuntos finitosde , esto es , cuyas proyecciones definen, una familia de saberes enseados, que a travs de un proceso de decodificacin el alumno lo transforma en saber aprendido.Esta familia de saberes aprendidos, W, contiene algunas dimensiones y seudo- dimensiones2 del saber cuya #W #, segn lo anterior, interesa determinar cules fueron aquellas dimensiones que constituyen a W que son parte de , adems determinar qu tan distante se encuentran estas seudo-dimensiones de lo que debieran haber sido y, por ltimo, cul es la distancia existente entre el saber aprendido y saber a ensear, es decir, cual es la distancia entre el modelo definido por el alumno a travs de la transposicin (saber aprendido) y el saber a ensear.Advirtase que si #W # , la distancia entre el saber aprendido y el saber a ensear se considerar nula.Visualizacin:

Los aspectos antes detallados permite visualizar el contexto de las trasposiciones didcticas pero miradas en funcin de la individualidad, es decir como el proceso de transposicin afecta a los individuos pero de manera particular [6], es decir, para un alumno X la transposicin T permiti que el modelo desarrollado por el alumno, saber aprendido, fuese muy parecido al saber a ensear, por otro lado, la misma transposicin T en un alumno Y puede tener consecuencias desastrosas.

2En este caso utilizamos la palabra seudodimensin para hacer alusin a la dimensin de saber que posee el alumno, y que no coincide con las dimensiones del saber enseado que recibi.

5.1 EL CONCEPTO DE GRAFO Y SUS RESTRICCIONES

Un Grafo G es un par (V, E) donde V es un conjunto finito no vaco de objetos llamados vrtices y E es un conjunto (posiblemente vaco) de pares no ordenados de vrtices distintos de G llamados aristas o lneas. El conjunto de vrtices de G es de- notado por V(G), mientras que el conjunto de aristas o lneas es denotado por E(G). Si e= u, ves una arista o lnea de un grafo G, entonces u y v son vrtices adyacentes, mientras que u y e son incidentes, como lo son v y e. Adems, si e1 y e2 son aristasdistintas de G incidentes con un vrtice comn, entonces e1 y e2 son aristas adyacentes.

De aqu en adelante, denotaremos una lnea por uv o vu

en lugar de u, v.

La cardinalidad del conjunto de vrtices de un grafo G es llamado el orden de G y es denotado por p G , o ms simple, p, y la cardinalidad del conjunto de aristas es el tamao de G y es denotado por o q G . Un grafo p, q tiene orden p y tamao q.

Es costumbre definir o describir un grafo por medio de un diagrama en el que cada vrtice es representado por un punto y cada arista e uv es representado por un segmentode la lnea o curva que une los puntos que corresponden a u y v.Un grafo G, con conjunto de vrtices V G v1 , v2 ,..., vp puedesertambindescrito

por medio de matrices. As

A G aij , donde1 si vi vj E G

aij

0 si vi vj E G

Que es llamada matriz de adyacencia del Grafo G.

Otra forma de representar a un grafo es a travs de la matriz de incidencia. As

1 si vi y ej son incidentes

B G bij , donde

bij 0 si v y e

no son incidente

ij

Otro concepto a destacar en la teora de grafos, es el grado de un vrtice v en un grafo G, que es el nmero de aristas de G incidentes con v. El grado de un vrtice v en G es

denotado degG v

o simplemente deg v

, que en este trabajo ser representado por X. Un

vrtice es llamado par o impar si el grado es par o impar. Un vrtice de grado 0 en G es llamado vrtice aislado y un vrtice de grado 1 es un vrtice final de G.Grafo Completo: Para un nmero de vrtices n, con n , el nmero mximo de aristas

o lneas que se pueden definir es

n n 1, que caracteriza al grafo completo, designado

por Kn

[4].2

5.2. EL MODELO POISSON Y SUS PROPIEDADES ASINTTICAS

Si X es una variable aleatoria, definida como el nmero de eventos que ocurren por unidad de tiempos (espacio, volumen, etc.), entonces se prueba que bajo ciertos supuestos:

IP X x

ex;x!

x 0,1, 2,...

Entonces el estimador Mximo Verosmil del parmetro

es X , que como

consecuencia del Teorema Central del Lmite, su distribucin asinttica es: X N E X ,Var X , es decir X N , ,apartirdelacualpodemosn

definir el siguiente pivote.

nX

cuya distribucin normal estndar, es decir:

nX N 0,1Luego un intervalo de confianza para del 1100% es:

6. PROPUESTASea M una matriz de respuestas de orden pxn , donde p representa el nmero de tems de una prueba, la cual se asume posee buenas caractersticas edumtricas y n el nmero de personas sometidas a esa prueba, por lo tanto cada columna est compuesta por la cuantificacin numrica de las puntuaciones de una persona en cada tem de la prueba.Posteriormente nos interesa como la arquitectura conceptual de cada alumno se asimila o cohesiona con la de sus pares en la misma prueba, lo que ser cuantificado con el coeficiente de Correlacin de Pearson, de esta forma se da origen a una matriz

cuadrada de orden n,

ij donde

ij

representa la correlacin entre las puntuaciones

de la persona i con la persona j en la prueba. A partir de la matriz de correlacin, ij , sedefine la matriz de Consistencia, que es una variacin de la anterior en la cual los sonconsiderados iguales a cero, que para evitar confusiones la denominaremos C cij .

ceros.

C cij

es una matriz simtrica, cuyas componentes de la diagonal principal son

De entre los coeficientes de la matriz de Consistencia, nos interesan todos aquellos que representen una dependencia significativa, como por ejemplo

cij

0, 5

Sea C cij una matriz de Consistencia y A aij la matriz de adyacencia, donde

a 0 siij1 si

cij qcij q

donde q es el umbral de corte, luego si aij 0 entonces no existe vinculo o consistencia entre la persona i con la persona j, si entonces existe vinculo o consistencia entre la concepcin terica de la persona i con la persona j.Definicin: Un Grafo de Consistencia Conceptual (GCC), es un grafo, en el cual sus vrtices son las personas que rindieron una prueba y las aristas o lneas representan la existencia

de Consistencia Conceptual entre las personas involucradas, que se visualizarn si

aij 1.

Definicin: El Grado de un vrtice v de un Grafo de Consistencia Conceptual, es el nmero de aristas o lneas del GCC incidentes con v, que lo representaremos por X.Bajo esta concepcin, el grado de un Vrtice v o simplemente X, es una variable aleatoria modelada por la distribucin Poisson, pues estamos contando el nmero de aristas incidentes en el vrtice v, que es un modelo estocstico para la cuantificacin de la inclusin cognitiva,que en este caso est representada por .Es decir X P , por lo tanto X N E X ,Var X , es decir X N , ,n

partir de la cual podemos definir el siguiente pivote.

nX

cuya distribucin es normal estndar, es decir:

nX N 0,1

Luego un intervalo de confianza para

del 1 100%

es:

Xnn ZXnn Z;

1212

Tabla 1Este intervalo viene a caracterizar de manera cuntica al grupo de personas, en cuanto a sus vnculos conceptuales, adems de permitir el contraste con otros grupos o cursos.

7. SIMULACIONESSea M una matriz de respuestas de orden 10x30, donde 10 es el nmero de tems de una prueba identificados por las filas y 30 el nmero de personas sometidas a esa prueba identificadas con las columnas, por lo tanto cada columna est compuesta por la cuantificacin numrica de las puntuaciones de una persona en cada tem de la prueba, como se muestra en la siguiente tabla.

La tabla 1 contiene simulaciones de las puntuaciones de 30 alumnos a una prueba de 10 preguntas. Debemos destacar que no es necesario que las puntuaciones estn en esta escala (0-10), la nica exigencia es que el estatus mtrico de las puntuaciones sea cuantitativo o usar otro tipo de correlacin, como por ejemplo Spearman.Posteriormente nos interesa como la arquitectura conceptual de cada alumno se asimila o cohesiona con la de sus pares en la misma prueba, lo que ser cuantificado con el coeficiente de Correlacin de Pearson, de esta forma se da origen a una matriz cuadrada de orden 30, donde cada componente representa la correlacin entre las puntuaciones segn cada subndice.A partir de la matriz de correlacin, ij , se define la matriz de Consistencia, C cij .

es C

cij una matriz simtrica, cuyas componentes de la diagonal principal son ceros.

De entre los coeficientes de la matriz de Consistencia, nos interesan todos aquellos que representen una dependencia significativa, que en esta simulacin utilizaremos como punto

de corte o umbral cij

0, 5, es decir si

C cij una matriz de Consistencia

A aij y

la matriz de adyacencia, cada componente queda definido por

0 siaij 1 si

cij cij

0.50.5

Luego si

aij 0 entonces no existe vinculo o consistencia entre la persona i con la

persona j a un nivel mayor a 0.5, si aij 1 entonces existe vinculo o consistencia entre laconcepcin terica de la persona i con la persona j.

La matriz de Consistencia y de adyacencia son las siguientes:

Per1Per2Per3Per4Per5Per6Per7Per8Per9Per10Per11Per12Per13Per14Per15Per16Per17Per18Per19Per20Per21Per22Per23Per24Per25Per26Per27Per28Per29Per30

Per11,0-0,5-0,2-0,1-0,20,60,2-0,30,10,10,2-0,2-0,1-0,10,1-0,30,40,1-0,3-0,5-0,30,50,20,3-0,30,10,2-0,20,70,1

Per2-0,51,0-0,20,20,2-0,5-0,30,30,4-0,4-0,1-0,4-0,20,0-0,30,4-0,2-0,10,30,2-0,20,1-0,10,10,2-0,1-0,70,5-0,3-0,4

Per3-0,2-0,21,0-0,50,1-0,30,2-0,2-0,8-0,30,00,70,0-0,30,70,10,0-0,70,00,30,2-0,4-0,1-0,30,20,60,40,1-0,30,4

Per4-0,10,2-0,51,00,3-0,30,20,50,20,20,50,10,10,20,00,3-0,40,70,00,30,1-0,20,80,00,1-0,7-0,5-0,30,00,2

Per5-0,20,20,10,31,0-0,6-0,10,8-0,1-0,4-0,20,5-0,30,50,50,40,10,40,7-0,3-0,1-0,10,30,2-0,10,10,0-0,50,10,3

Per60,6-0,5-0,3-0,3-0,61,0-0,3-0,40,40,5-0,2-0,40,3-0,1-0,5-0,60,20,0-0,3-0,4-0,10,4-0,10,2-0,4-0,20,30,20,40,1

Per70,2-0,30,20,2-0,1-0,31,00,0-0,5-0,20,60,3-0,6-0,40,3-0,2-0,20,2-0,30,40,2-0,30,2-0,50,20,00,0-0,50,1-0,1

Per8-0,30,3-0,20,50,8-0,40,01,00,1-0,40,00,4-0,40,20,10,1-0,40,70,6-0,10,0-0,30,40,0-0,1-0,3-0,4-0,40,10,2

Per90,10,4-0,80,2-0,10,4-0,50,11,00,2-0,3-0,70,20,3-0,7-0,30,00,30,2-0,5-0,50,30,00,4-0,1-0,4-0,50,10,3-0,4

Per100,1-0,4-0,30,2-0,40,5-0,2-0,40,21,0-0,1-0,10,7-0,1-0,1-0,20,10,1-0,60,00,20,00,0-0,30,3-0,60,00,1-0,30,0

Per110,2-0,10,00,5-0,2-0,20,60,0-0,3-0,11,00,0-0,1-0,10,10,1-0,40,2-0,30,5-0,1-0,10,70,1-0,2-0,1-0,10,00,20,2

Per12-0,2-0,40,70,10,5-0,40,30,4-0,7-0,10,01,00,0-0,10,80,1-0,20,00,20,20,3-0,60,3-0,40,30,10,2-0,5-0,30,6

Per13-0,1-0,20,00,1-0,30,3-0,6-0,40,20,7-0,10,01,00,30,00,20,1-0,2-0,20,0-0,1-0,10,20,20,0-0,20,10,3-0,30,4

Per14-0,10,0-0,30,20,5-0,1-0,40,20,3-0,1-0,1-0,10,31,00,00,40,40,30,6-0,5-0,50,30,30,8-0,50,20,3-0,30,40,1

Per150,1-0,30,70,00,5-0,50,30,1-0,7-0,10,10,80,00,01,00,50,3-0,10,00,10,2-0,10,2-0,20,40,40,3-0,3-0,20,4

Per16-0,30,40,10,30,4-0,6-0,20,1-0,3-0,20,10,10,20,40,51,00,40,00,10,30,10,30,30,20,20,20,00,2-0,30,1

Per170,4-0,20,0-0,40,10,2-0,2-0,40,00,1-0,4-0,20,10,40,30,41,0-0,10,0-0,40,00,8-0,30,30,00,50,50,00,1-0,2

Per180,1-0,1-0,70,70,40,00,20,70,30,10,20,0-0,20,3-0,10,0-0,11,00,1-0,10,20,10,50,0-0,2-0,6-0,2-0,40,40,1

Per19-0,30,30,00,00,7-0,3-0,30,60,2-0,6-0,30,2-0,20,60,00,10,00,11,0-0,5-0,4-0,10,10,6-0,40,40,1-0,30,30,1

Per20-0,50,20,30,3-0,3-0,40,4-0,1-0,50,00,50,20,0-0,50,10,3-0,4-0,1-0,51,00,5-0,30,1-0,50,3-0,2-0,10,4-0,60,1

Per21-0,3-0,20,20,1-0,1-0,10,20,0-0,50,2-0,10,3-0,1-0,50,20,10,00,2-0,40,51,0-0,1-0,3-0,80,4-0,40,10,1-0,60,0

Per220,50,1-0,4-0,2-0,10,4-0,3-0,30,30,0-0,1-0,6-0,10,3-0,10,30,80,1-0,1-0,3-0,11,0-0,10,4-0,30,20,20,30,4-0,3

Per230,2-0,1-0,10,80,3-0,10,20,40,00,00,70,30,20,30,20,3-0,30,50,10,1-0,3-0,11,00,3-0,2-0,2-0,2-0,20,30,7

Per240,30,1-0,30,00,20,2-0,50,00,4-0,30,1-0,40,20,8-0,20,20,30,00,6-0,5-0,80,40,31,0-0,70,40,20,00,70,1

Per25-0,30,20,20,1-0,1-0,40,2-0,1-0,10,3-0,20,30,0-0,50,40,20,0-0,2-0,40,30,4-0,3-0,2-0,71,0-0,2-0,50,1-0,8-0,2

Per260,1-0,10,6-0,70,1-0,20,0-0,3-0,4-0,6-0,10,1-0,20,20,40,20,5-0,60,4-0,2-0,40,2-0,20,4-0,21,00,5-0,10,20,0

Per270,2-0,70,4-0,50,00,30,0-0,4-0,50,0-0,10,20,10,30,30,00,5-0,20,1-0,10,10,2-0,20,2-0,50,51,0-0,20,20,2

Per28-0,20,50,1-0,3-0,50,2-0,5-0,40,10,10,0-0,50,3-0,3-0,30,20,0-0,4-0,30,40,10,3-0,20,00,1-0,1-0,21,0-0,40,0

Per290,7-0,3-0,30,00,10,40,10,10,3-0,30,2-0,3-0,30,4-0,2-0,30,10,40,3-0,6-0,60,40,30,7-0,80,20,2-0,41,00,0

Per300,1-0,40,40,20,30,1-0,10,2-0,40,00,20,60,40,10,40,1-0,20,10,10,10,0-0,30,70,1-0,20,00,20,00,01,0

Tabla 2

Per1Per2Per3Per4Per5Per6Per7Per8Per9Per10Per11Per12Per13Per14Per15Per16Per17Per18Per19Per20Per21Per22Per23Per24Per25Per26Per27Per28Per29Per30

Per1010001000000000000000100000010

Per2100000000000000000000000001000

Per3000000001001001001000000010000

Per4000000010010000001000010010000

Per5000001010001000000100000000100

Per6100010000000001100000000000000

Per7000000001010100000000000000000

Per8000110000000000001100000000000

Per9001000100001001000010000000000

Per10000000000000100000100000010000

Per11000100100000000000010010000000

Per12001010001000001000000100000001

Per13000000100100000000000000000000

Per14000000000000000000100001100000

Per15001001001001000100000000000000

Per16000001000000001000000000000000

Per17000000000000000000000100001000

Per18001100010000000000000000010000

Per19000010010100010000000001000000

Per20000000001010000000001001000010

Per21000000000000000000010001000010

Per22100000000001000010000000000000

Per23000100000010000000000000000001

Per24000000000000010000111000100010

Per25000000000000010000000001000010

Per26001100000100000001000000001000

Per27010000000000000010000000010000

Per28000010000000000000000000000000

Per29100000000000000000011001100000

Per30000000000001000000000010000000

Tabla 3

Grafo de Consistencia Conceptual, para representar el GCC, es necesario identificar que componentes de la matriz de Adyacencia son iguales a 1, es decir aij 1, a partir de ello, se tiene:

Grfico 1

Observemos que en la medida que el GCC converge al grafo completo, la consistencia conceptual se incrementa, lo que se traduce en un mtodo de decisin respecto de la eleccin de la transposicin didctica. Por otro lado el Grado de los vrtices del Grafo de Consistencia Conceptual, X, tiene la siguiente distribucin de frecuencias.

10864200 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29GradoDistribucin de FrecuenciasGrfico 2

Que es modelada por la distribucin Poisson, que al utilizar propiedades asintticas de los estimadores de o en nuestro contexto, de la inclusin cognitiva, se desprenden los resultados siguientes:Un intervalo de confianza para del 1 100% es:

nnX;X

n Zn Z

1212

en nuestro ejemplo y considerando 0, 05, se tiene que el intervalo de confianza para la consistencia cognitiva del grupo en cuestin es:

3030

3.73

; 3.73

30 Z30 Z

1212

Donde Z1

0.05 Z0.975 1, 96 , as2

3 303 303 303 30

3.7

; 3.7

3.7

; 3.7

20.43 20.43

;2.74;5.80

30303030

Z 1

Z 1

1.96

1.96

7.437 3.517

22

Este intervalo viene a caracterizar de manera cuntica al grupo de personas, en cuanto a sus vnculos conceptuales, adems de permitir el contraste con otros grupos o cursos.De manera similar, simularemos otra prueba, en la cual el Grafo de Consistencia Conceptual, es:

Grfico 3No es complejo observar las diferencias entre los dos grupos, pues aqu definitivamente el nmero de conexiones o aristas es mayor y la convergencia al grafo completo es ms clara, por lo tanto la consistencia conceptual es mayor, lo que permite una comparacin de las transposiciones didcticas.

Nuevamente utilizando

0, 05 , se tiene que el intervalo de confianza para la

consistencia cognitiva del grupo en cuestin es:

6.87 3030 Z6.87 3030 Z;

1212

Donde

Z 0.05 Z0.975 1, 96, as12

7 307 307 307 30

6.8

; 6.8

6.8

; 6.8

37.62 37.62

;5, 05;10.7

30303030

Z 1

Z 1

1.96

1.96

7.437 3.517

22

8. ANLISIS A POSTERIORI Y EVALUACIN

Definitivamente, la cuantificacin del segundo grupo permite definir un intervalo con una amplitud mucho mayor y con cotas ms extremas, es decir la inclusin cognitiva de este grupo es mayor que la del grupo anterior.Adems al realizar un contraste de igualdad de medias, esta es rechazada, es decir no podemos asumir que tienen igual media, por lo tanto y de manera equivalente no podemos asumir que las cuantificaciones de la inclusin cognitiva en los grupos sean igual.

9. CONCLUSIONES

La propuesta que aqu hemos desarrollado, abre una lnea de investigacin y desarrollo en beneficio de caracterizar las transposiciones didcticas, que en este primer paso, se estructuran las bases de un lenguaje formal, en el que interactan procesos estocsticos y desarrollos determinsticos, llevndonos a una visualizacin y caracterizacin de la consistencia cognitiva.Los desafos pendientes se orientan a la cuantificacin la distancia entre el saber a ensear y el saber aprendido, pero en contexto de grupo. Por otro lado a caracterizar los grafos de consistencia conceptual.

10. AGRADECIMIENTOS

A mi esposa, Paula Sofa Ponce Grenet.

REFERENCIAS BIBLIOGRFICASCabrera, E.; Gonzlez, J. et al. (2010). Una didctica del saber: un camino hacia la optimizacin de las transposiciones didactics. Estud. pedaggicos, vol.36, n.2, 51-61.Cabrera, E.; Gonzlez, J. et al. (2010). Test informatizados y el registro del tiempo de respuesta, una va para la precisin en la determinacin del nivel de logro de un saber matemtico. Estud. pedaggicos, 2010, vol.36, n.1, 69-84.Infante, M. (2010). Desafos a la formacin docente: inclusin educativa. Estud. pedaggicos, vol.36, n.1, 287-297.Montenegro, E., Gonzlez, J. et al. (2010). Graphs r-Polar Spherical Realization. Proyecciones, vol.29, n.1, 31-39.Rocha, M. Lopes da. (2008). Incluso ou excluso? Produo de subjetividade nas prticas de formao. Psicologia em estudo, vol.13, n.3, 477-484.Toro Fuenmayor, L. (2006). Educacin superior: inclusin y exclusin: Calidad con equidad y equidad con calidad. Educere, vol.10, no.33, 369-378.