TECNOLOGÍA QUÍMICA Vol. 18, No. 3, 1998112

Selección del diámetro óptimo de tuberías para fluidosno newtonianos viscosos

(Primera parte)Flujo por gravedad

Armando A. Díaz García, Teresa L. Hechavarría GolaUniversidad de Oriente

En este artículo se realiza un estudio de las características reológicas de los fluidos, se derivan lasexpresiones matemáticas para el cálculo del diámetro óptimo en sistemas de flujo por gravedad paracualquier tipo de fluido y se particulariza para los casos que cumplen con el modelo de Ostwald de Waeley Bingham.

_____________________

Fluids rheological characteristics are studied in this paper. Mathematical expressions are determinedfor calculating the optimum diameter in systems of flow by gravity for any kind of fluid, and particularlyfor these ones which behave as Ostwald de Waele and Bingham fluids.

Introducción

Cuando en los sistemas de flujo el fluido esimpulsado por una carga estática, el diámetro óptimovendrá dado por el menor diámetro capaz de satis-facer el flujo requerido con la carga estática dispo-nible. Claro está que este diámetro puede no ser eldiámetro recomendado técnicamente, pero sirve dereferencia precisa para los cálculos dedimensionamiento y selección de tuberías.

La selección de tuberías en fluidos newtonianoses ampliamente tratada en la mayoría de los textosclásicos y obras especializadas, no así para el casode los fluidos no newtonianos, para los cuales existemuy poca información en nuestro país.

Por esta razón se pretende con esta serie deartículos, dotar a nuestros técnicos con una serie deherramientas cuya utilización no es tan complejacomo generalmente se piensa.

Fundamento teórico

Clasificación de los fluidos no newtonianos

La primera gran clasificación agrupa a los fluidosen dos grandes grupos: los fluidos cuyas caracterís-ticas reológicas dependen del tiempo y los que nodependen de éste.

Los fluidos no newtonianos cuyos parámetrosreológicos dependen del tiempo, son aquellos cuyas

características dependen de las condiciones de losestados de deformación a los cuales ha sido some-tido antes el material, los mismos no serán tratadosen esta serie de artículos.

Para todos los problemas que se presentarán, yse les dará solución, se ha supuesto que son fluidosno newtonianos independientes del tiempo.

Para los fluidos independientes del tiempo esposible realizar un sinnúmero de clasificacionesbasadas en los modelos matemáticos que caracteri-zan la relación de los esfuerzos cortantes τ con elgradiente de velocidad γ, teniendo en cuenta losmodelos más frecuentes se hará un resumen de losmás utilizados.

Fluidos no newtonianos sin esfuerzo cortanteinicial:

Modelo de Ostwald de Waele

τ = K γn (1)

Modelo de Powell-Eyring

τ = C · γ + 1/B · sen h (γ/A) (2)

Fluidos no newtonianos con esfuerzo cortanteinicial:

Modelo de Bingham

τ = τ0 + ηp · g (3)

113TECNOLOGÍA QUÍMICA Vol. 18, No. 3, 1998

Modelo de Herschel-Bulkley

τ = τ0 + K · γn (4)

De los modelos antes citados los más utilizadosen los cálculos hidráulicos son el de Ostwald deWaele, comúnmente llamado Ley de Potencia y losplásticos Bingham (1, 3); ya que además de ser éstoslos más sencillos matemáticamente, la mayoría delos productos no newtonianos de nuestras industriaspresentan curvas de flujo que se ajustan muy satis-factoriamente a ellos.

Características de los modelos reológicos

Teniendo en cuenta que los fluidos no newtonia-nos son aquéllos en los cuales la viscosidad, atemperatura constante, presenta variaciones con lavelocidad de corte a la que es sometida, τ no esproporcional a γ, sino que es función de ella y estopuede expresarse matemáticamente mediante laexpresión:

τ = µa · γ (5)

donde µa es denominada viscosidad aparente

(6)

La ecuación (5) es una extensión de la Ley deNewton.

Los fluidos de este tipo suelen tener curvas deflujo (gráficos de τ vs γ) característicos y de acuerdocon ellos es que se establecen los modelos.

Para el modelo Ostwald de Waele la viscosidaddefinida por la ecuación (6) queda:

(7)

Si n<1 el fluido es seudoplástico y la viscosidadaparente disminuye con el aumento del gradiente develocidad.

Si n>1 es dilatante µa aumenta con el incrementode γ.

Para el modelo de Bingham

(8)

En estos fluidos la viscosidad aparente disminuyecon el incremento de γ tendiendo a un valor límitellamado viscosidad plástica.

Viscosidad efectiva

En los sistemas de flujo por conductos cilíndricosel esfuerzo cortante viene dado por

(9)

Para el flujo de los fluidos viscosos se cumple laecuación de Hagen-Poiseuille

(10)

la cual se puede escribir de la forma

(11)

µe se define como la viscosidad efectiva.

Para el caso de los fluidos newtonianos

No ocurre así en los fluidos no newtonianos en

los cuales γ es función de o τw y de los pará-

metros reológicos.

Ecuación de Rabinowitsch-Mooney

Esta ecuación se usa para determinar la rela-

ción entre y γ, cualquiera que sea el modelo

reoló-gico del fluido, y viene dado por

(12)

La ecuación (12) aplicada a un fluido Ostwald deWaele, da la relación

(13)

µτγ

γa = = f b g

µ γ= ⋅ −K n 1

µ ητγa = +p

τ =⋅ −

⋅

D P

Lf∆d i

4

− =⋅ ⋅ ⋅

∆PL vDf

e322

µ

µτ

a =

⋅ −

⋅⋅F

HGIKJ

=⋅F

HGIKJ

D P

Lv

Dv

D

f

w

∆d i48 8

8 ⋅FHG

IKJ

vD

γ =⋅F

HGIKJ

8 vD

8 ⋅FHG

IKJ

vD

8 43

2

0

⋅FHG

IKJ = ⋅ ⋅zv

Dd

w

w

ττ γ τ

τ

8 43 1

⋅FHG

IKJ =

⋅⋅ +

⋅v

Dn

nγ

TECNOLOGÍA QUÍMICA Vol. 18, No. 3, 1998114

y aplicada a un plástico Bingham

(14)

Generalmente se desprecia el último término porser el error de 1,8 % cuando τ0/τw= 0,4 y arreglandoqueda

(15)

Sustituyendo (3) en (15)

(16)

La ecuación (15) es la ecuación de Buckinghamque generalmente se escribe

(17)

Descripción del modelo físico

Supondremos un sistema de flujo como elmostrado en la figura 1, en el cual un fluido esdescargado por gravedad a través de una tuberíade longitud L.

3. El fluido es no newtoniano viscoso, de forma talque el régimen de flujo es laminar en la línea dedescarga.

4. Las pérdidas locales son despreciables en rela-ción con las pérdidas de fricción en la tubería.

5. El fluido no presenta deslizamiento efectivo.6. El régimen de flujo es estacionario.

Deducción de la expresión matemática parael diámetro óptimo

Aplicando un balance de energía mecánica entrelos puntos (1) y (2) mostrados en la figura.

(18)

P1 = P2 ; v1 = 0 ; h2 = 0 ; h1 = Hh

Despreciando las pérdidas por energía cinética,por ser régimen laminar

(19)

Se sabe que

(20)

y en régimen laminar

(21)

Sustituyendo (21) en (20)

(22)

Sustituyendo (22) en (19)

(23)

La expresión (23) es la expresión general y como

µe = la expresión del diámetro óptimo

depen-de del modelo reológico.

Para fluidos Ostwald de Waele

A partir de la ecuación (13), será

81

43

13

0

3

0

4

⋅FHG

IKJ = − +

FHG

IKJ

LNMM

OQPP

vD

w

p w w

τη

ττ

ττ

8 43 0⋅F

HGIKJ =

− ⋅vD

w

p

τ τ

η

8 13

0⋅FHG

IKJ = −

vD p

γτη

τ τ ηw p

vD

= +⋅F

HGIKJ0

8

Fig. 1 Esquema del sistema de flujo.

Para el desarrollo del modelo matemático serealizarán las siguientes suposiciones:1. El flujo es isotérmico.2. El tanque posee un área lo suficientemente gran-

de de manera tal que la variación de velocidadpuede considerarse despreciable.

∆ ∆∆

P vg h F

ρ α+

⋅+ ⋅ = −∑

2

2

g H Fh⋅ = ∑

F fL v

Dg∑ =⋅⋅

2

2

fD gg

e=⋅

⋅ ⋅64 µ

ρ

FL v

De∑ =

⋅ ⋅ ⋅⋅

322

µρ

g HL v

Dhe⋅ =

⋅ ⋅ ⋅⋅

322

µρ

fv

D8 ⋅F

HGIKJ

115TECNOLOGÍA QUÍMICA Vol. 18, No. 3, 1998

µ e

n

Kv

D=

⋅FHG

IKJ

−

'8

1

K Kn

n

n

' =⋅ +

⋅FHG

IKJ

3 14

τ w

n n

Kn

nv

D=

⋅ +⋅

FHG

IKJ

⋅FHG

IKJ

3 14

8

(24)

y sustituyendo (24) en (1)

(25)

dividiendo por y haciendo

la ecuación (25) queda

(26)

Sustituyendo (26) en (23) y arreglando

(27)

La ecuación (27) es la correspondiente al diáme-tro óptimo (mínimo) para utilizar.

Para n = 1; K' = µ

(28)

que es la ecuación clásica para fluidos newtonianos.

Para fluidos plásticos Bingham

A partir de la ecuación (16)

(29)

Sustituyendo (29) en (2)

y sustituyendo en (11)

Si tenemos en cuenta que

(30)

Sustituyendo (30) en la ecuación general (23)

(31)

Si es despreciable, lo cual puede ocurrir

si es relativamente grande

(32)

Si no es despreciable el término entonces:

(33)

Para τ0' = 0 en el modelo de Buckingham dadopor la ecuación (17)

y la ecuación (32) se convierte en la (28).

Aunque las ecuaciones (27) y (28) resultanválidas, requieren de un proceso de error y tanteo,pues tanto la velocidad como el diámetro en estecaso son variables desconocidas, esto se evita ex-presando estas ecuaciones en función del flujovolumétrico deseado de manera que sustituyendo:

Se obtiene para fluidos Ostwald de Waele

(34)

γ w

vD

nn

=⋅ ⋅ +

⋅FHG

IKJ

8 3 14

8 ⋅FHG

IKJ

vD

g HL v KD

vD

DL K vg H

h

n

op

n n

h

n

⋅ =⋅ ⋅ ⋅ ⋅F

HGIKJ

=⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅

LNM

OQP

−

+ +

32 8

2

2

1

2 31

1

'

'

ρ

DL vg Hop

h

=⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅

LNM

OQP

251

2µρ

µτ

ηe pvD

=⋅F

HGIKJ

+

438

0

γτηw

p

vD

=⋅F

HGIKJ +

8 13

0

τ τ ηw p

vD

= +⋅F

HGIKJ

43

80

43

8

0 0

0

τ τ

µτ

η

=

=⋅F

HGIKJ

+

'

'

e pvD

g HL v

D vD

h p⋅ =⋅ ⋅

⋅ ⋅FHG

IKJ

+

L

N

MMMM

O

Q

PPPP32

82

0

ρτ

η'

τ 0

8

'

⋅FHG

IKJ

vD

8 ⋅FHG

IKJ

vD

DL K Q

g Hop

n

n

n

h

n

=⋅ ⋅⋅ ⋅

LNM

OQP

+ +22 51

3 1

π ρ

'

DL v

g Hop

p

h

=⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅FHG

IKJ

321

2η

ρ

ρ τη

⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅−

⋅

⋅− =

g H D

L v

D

vh op op

p

20

32 80

'

µ η µe p= = = constante

vQ

D=

⋅⋅4

2

TECNOLOGÍA QUÍMICA Vol. 18, No. 3, 1998116

Ejemplo ilustrativo

Seleccionar el diámetro para conducir 0,55 L/s, alo largo de 100 m de tubería por gravedad con unacarga estática total disponible de 6 m. El fluido esseudoplástico con densidad de 1 350 kg/m3 y modeloreológico descrito por:

donde

τw está dado en Pa y en s-1.

Datos

Q = 0,55 · 10-3 m3/sL = 100 mHh = 6 mr = 1 350 kg/m3

K'= 0,8 Pa/sn

n = 0,60

Utilizando la ecuación

Sustituyendo

Dop = 0,045 m

Se requiere una tubería no menor de 45 mm dediámetro interior.

La viscosidad del producto será:

Dop =⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅

LNMM

OQPP

−21 99

100 0 8 0 55 101 350 9 81 6

2 3 0 6 0 36

,, ,

,

, ,b g

τ w

vD

=⋅F

HGIKJ0 8

80 6

,,

8 ⋅FHG

IKJ

vD

DL K Q

g Hop

n

n

n

h

n

=⋅ ⋅⋅ ⋅

LNM

OQP

+ +22 51

3 1

π ρ

'

Re

Re,

, ,Re ,

g

e

g

g

QD

=⋅ ⋅⋅ ⋅

=⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅=

−

4

4 0 55 10 1 3500 045 0 53

39 8

3

ρπ µ

π

Como el régimen es laminar el cálculo es correc-to y se recomienda una tubería de 2 pulgadas comomínimo.

Nomenclatura

A : constante del modelo de EyringAf : área de flujo, m2

B : constante del modelo de EyringC : constante del modelo de EyringD : diámetro interno del conducto, mDN : diámetro nominal, mF : pérdidas por fricción, J/kgg : aceleración de la gravedad, m/s2

Hh : carga estática, mK : constante del modelo Ostwald de Waele, Pa/sn

L : longitud de tubería, mn : índice de flujo, adimensionalP : presión, PaQ : flujo volumétrico, m3/sReg: número de Reynolds generalizadov : velocidad del fluido, m/sα : factor de corrección de la energía cinéticaγ : gradiente de velocidad, s-1

τ w : esfuerzo cortante en la pared, Paηp : viscosidad plástica, Pa·sµ : viscosidad Pa·sµe : Pa·s

Bibliografía

PETERS: Plant Design and Economics for Chem.Eng., Chemical Eng. Series, McGraw-Hill, 1965.COAUTORES: Técnicas de conservación energéti-ca en la industria, Edición Revolucionaria, La Ha-bana, 1982.SKELLAND A. H. P: Non Newtonian Flow and HeatTransfer, Edición Revolucionaria, La Habana, 1970.

µ

π π

µ

µ

e

e

e

vD

vD

QD

s

Pa s

=⋅F

HGIKJ

⋅FHG

IKJ =

⋅⋅

=⋅ ⋅⋅

=

=

= ⋅

−

−−

−

0 88

8 32 32 0 55 100 045

2 77

0 8 2 77

0 53

0 4

2

3

2

1

0 4

,

,,

,

, ,

,

,

.b g