Artículo de Matemática III(López_Erick)

UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADORFACULTAD DE INGENIERÍA EN GEOLOGÍA, MINAS, PETRÓLEOS Y AMBIENTAL.

MATEMÁTICA III

1. RESUMEN

Lo que se hizo en este artículo fue analizar y demostrar algunas aplicaciones importantesde las ecuaciones diferenciales en la ingeniería ambiental, en el primer punto se obtuvoun modelo matemático para determinar la concentración de plomo en el ser humano yno solamente eso también en el ambiente, lo cual es muy importante para nuestra carreraya que tiene que ver la contaminación en el aire y la polución que produce el plomomencionado, luego tuvimos la segunda aplicación que trata de la desintegraciónradiactiva factor importante en la disipación de enlaces atómicos que pueden ocasionaralteraciones genéticas y grandes perjuicios si se encuentra en el aire, gracias a losparámetros físicos y químicos de los átomos se puede expresar en términos de unaecuación diferencial, este mismo modelo fue usado para la última aplicación de esteartículo que trata sobre la determinación de la antigüedad de un fósil usando laspropiedades del

2. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES EN LA INGENIERÍAAMBIENTAL

2.1 APLICACIÓN 1

Rastreo de plomo en el organismo

Introducción:

Plomo en el medio ambiente

La actividad que se realiza en el planeta a través de los tiempos a crecientes descargasde plomo hacia el ambiente ha aumentado, y por lo tanto la exposición del mismo haincrementado de manera crítica poniendo en riesgo la salud de los seres humanos.

La exposición al plomo es un problema global. En muchos la extracción y fundición delplomo se ha vuelto una actividad común, por lo tanto la población puede estar expuestaa diversas fuentes de este metal.

Los principales yacimientos de plomo están en Australia, Canadá Estados Unidos yUnión Soviética. En américa latina se produce el 14% de este total, siendo los másimportantes productores. La tendencia al incremento en la producción y el consumo de

APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES EN LA INGENIERÍA AMBIENTAL MATEMÁTICA III

ESTUDIANTE CARRERA SEMESTRE DOCENTE FECHAErick Santiago

López CabascangoIngeniería Ambiental tercero Ing. Luis Villacis 2015 07 12


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plomo en américa latina ha aumentado el riesgo de exposición y de danos en la salud dela población.

Plomo en el organismo:

El plomo no tiene una función biológica útil en el hombre a pesar de estar presente en ladieta y en el ambiente humano. Se ingieren 200 a 300 microgramos diario sin que ellocause daño conocido. En la sangre se han encontrado 10 a 15 microgramos por decilitrosen poblaciones sanas.

Vías de penetración:

Vía respiratoria.- El grado de absorción de plomo por esta vía depende de laconcentración ambiental, del tiempo de exposición.

Vía oral.- Las partículas de polvo de plomo son ingeridas directamente a travésde las manos, alimentos contaminados en el ambiente de trabajo.Distribución del plomo en el organismo

Fig.1: Modelo de los tres comportamientos en el organismo humanoFuente: Ellenhorn, 1988

Vías de eliminaciónEl plomo absorbido es eliminado principalmente a través de la orina. Una pequeña partees eliminada a través de la bilis en las heces. Otras vías de eliminación son la saliva, elsudor, el cabello y la leche.

Modelación con Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Lineales


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Gracias a las ecuaciones ordinarias lineales de primer orden pueden representarseprocesos de cambios de concentración de un contaminante en un depósito de agua, ocambio de temperatura.

Ley de equilibrio y un modelo compartimentalLas ecuaciones diferenciales ordinarias suelen surgir en las aplicaciones como resultadode un principio fundamental:

Si ( ) representa el tamaño de una población o la cantidad de una sustancia en uncompartimento en el instante , entonces en la tasa de cambio puede calcularse como elflujo de entrada menos el de salida del compartimento. (Encinas, A. 2005)= −Construcción del modelo:

Sea ( ) la cantidad de plomo en el compartimento en el instante . La tasa de transferencia de plomo al compartimento desde el compartimento

es proporcional a ( ) (una ley de tasa de cambio de primer orden); la constantede proporcionalidad se denota con la tasa constante

Se supone siempre > 0 que. Si no hay transferencia de plomo alcompartimento desde el compartimento , entonces = 0.

Los símbolos de cada flecha dan las tasas de salida de un compartimento y la deentrada en otro.

El transporte fuera de un compartimento se denota con un subíndice 0; esta regiónabsorbente exterior se denomina pozo.

Fig.2: Transporte de plomo en el cuerpo


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Fuente: (Ellenhorn, 1988)

De acuerdo con la ley de equilibrio,= −Al aplicar esta ecuación al flujo de plomo por los distintos compartimentos del diagramade la figura anterior, se tiene el sistema de tres ecuaciones de tasa de cambio.Sangre: ′ = −( + + ) + + +Tejido: ′ = − ( + )Hueso: ′ = +Supóngase que la tasa de entrada de plomo en la sangre desde el tractogastrointestinal y los pulmones es una función continua por partes.Las cantidades ( ) se miden en microgramos y las constantes de proporcionalidad

se miden en (frecuencia).

Estudio de un caso:

Michael Rabinowitz, George Wetheril y Joel Kopple realizaron un estudio de control y dela excreción de plomo en voluntarios saludables que viven en el sur de Califronia (1973).

Los datos de este estudio se usaron para estimar los valores de la tasa de ingestiónen mg/día y las constantes en (días) :

=49.3 0.0211 =0.016 =0.0124 =0.0111 =0.000035 =0.0039

Obteniéndose el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales lineales no homogéneo( ) = −0.0361 ( ) + 0.124 ( ) + 0.000035 ( ) + 49( ) = −0.0111 ( ) + 0.0286 ( )


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( ) = −0.039 ( ) + −0.000035 ( ) + 49Consideremos dos condiciones iniciales:

(0) = 0 ; (0) = 0 ; (0) = 0 (0) = 1800 ; (0) = 0 ; (0) = 1000

Con cada una de las condiciones iniciales se tiene un P.V.I.

Acumulación de Plomo a partir de los datos iniciales

Fig.3: Acumulación de plomoFuente: (Ellenhorn, 1988)


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2.2 APLICACIÓN 2

Desintegración radiactiva

Básicamente la desintegración radiactiva es un proceso en el cuál los átomos liberanenergía, ya sea por medio de la radiación electromagnética o a través de partículas. Elnúcleo de un átomo se compone de protones y neutrones que se mantienen unidos poruna fuerza.

Cuando los núcleos son inestables o radiactivos (cuando tienen excesos o faltantes departículas nucleares, también llamados isótopos) tienden a buscar una configuraciónestable liberando energía. La constante de desintegración es la probabilidad por unidadde tiempo de que un núcleo se desintegre.

El concepto de desintegración radiactiva se relaciona con el concepto de actividad quees el número de desintegraciones que se producen por unidad de tiempo. Un núcleoinestable se va a desintegrar en núcleos que su vez son inestables y así sucesivamentehasta llegar a uno estable.

Mecanismos de desintegración radiactiva:

Desintegración alfa Desintegración beta Desintegración gamma

Planteamiento del modelo matemático

Consideremos una muestra de sustancia que contiene átomos de cierto isótoporadiactivo en el instante. Durante cada unidad de tiempo una fracción constante de estosátomos se desintegra espontáneamente, transformándose en átomos de otro elementoo en otro isótopo del mismo elemento; por lo tanto la velocidad de desintegración de lasustancia es proporcional a la cantidad de la sustancia presente. En términos de unaecuación diferencial

= −Donde: , .Al resolver esta ecuación diferencial obtendremos:


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( ) =Donde = 0Sea ( ) , , ,. Entonces tenemos que:

2 =Despejando obtenemos:

= 1 ln 2Sustituyendo queda:

( )=Es importante notar lo siguiente:

= −Por lo tanto, si en el instante tenemos cierta cantidad de sustancia, en el instanteesta cantidad se habrá reducido a la mitad. Por esto se define la mida media de unasustancia radiactiva como el tiempo requerido para que determinada de material sereduzca a la mitad. Los cálculos previos sirven para demostrar que la vida media estábien definida y además, si T es la vida media.( ) =


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2.3 TERCERA APLICACIÓN

Determinación de la Antigüedad de un fósil

La clave del método de determinación de la antigüedad o fechado mediante radiocarbonode fósiles estriba en que una proporción constante de átomos de carbono de cualquierorganismo viviente está formada por el isótopo radiactivo del carbono y una vez queel organismo muere estos isótopos radiactivos comienzan a desintegrarse.

Más en detalle: La concentración de en la atmosfera se conserva casi constante, yaque, aunque es radiactivo y se desintegra lentamente, se repone mediante laconversión de nitrógeno en por los rayos cósmicos de la atmósfera superior. Durantela larga historia de nuestro planeta, esta declinación y reposición se ha convertido en unestado cercano a la estabilidad. La materia viva está tomando carbono del airecontinuamente, o está consumiendo otras materias vivientes que contienen la mismaconcentración constante de átomos de carbono . La misma concentración perduratoda la vida, debido a que los procesos orgánicos parecen no hacer distinción entrelos dos isotopos. Cuando un organismo vivo muere, cesa su metabolismo de carbonoy el proceso de desintegración radiactiva comienza a agotar su contenido de C 14 y,en consecuencia, la concentración de comienza a decrecer.

Midiendo esa concentración, puede estimarse el tiempo transcurrido desde la muertedel organismo.

Para el se sabe que, midiendo el tiempo en años, la constante de decaimiento kvale aproximadamente 0,0001216.

Nota: Al aplicar la técnica de determinación de antigüedad mediante radiocarbono debetomarse extremo cuidado para evitar la contaminación de la muestra con materiaorgánica o aun aire fresco ordinario. Además, parece ser que los niveles de rayoscósmicos no han sido constantes durante la historia de la tierra, por lo que la proporciónde carbono radiactivo en la atmosfera ha variado en los siglos pasados. Mediante eluso de métodos independientes de fechado de muestras, los investigadores de estaárea han compilado tablas de factores de corrección que han acrecentado la exactituddel proceso.


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Ejemplo de aplicación:

(Fechado por radiocarbono). El carbono extraído de un cráneo antiguo conteníasolamente una sexta parte del carbono extraído de un hueso de los tiemposactuales. ¿Cuál es la antigüedad del cráneo?

Tomemos como instante = 0 el momento de la muerte del individuo, entonces, si t1es el tiempo transcurrido desde la muerte, tenemos que:( ) = (0)6Donde ( ) es el número de átomos de carbono en el cráneo en el instante .

Por otra parte sabemos que ( ) = (0) ( . )Luego, (0)6 = (0) ( . )De donde,

= 60.0001216 = 1473.86Por lo tanto el tiempo transcurrido es de aproximadamente 1.474 años

3. Conclusiones:

Las ecuaciones diferenciales dentro de los modelos matemáticos tiene un sinnúmero de aplicaciones dentro de la carrera de la ingeniería ambiental.

Gracias a este trabajo de investigación se pudo llevar la teoría aprendida en clasea una forma más práctica.

La matemática es una ciencia complementaria para todo trabajo de investigacióncientífica, gracias a esto se puede realizar grandes avances en la sociedad.


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4. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Apostol, T. Calculus Volumen 1. Editorial Reverte. Batschelet, E. Introduction to Mathematics for Life Scientist. Springer

Verlag. Bruzual, R. y Domınguez, M. Guıa de problemas de Calculo III para

Matematicos. Facultad de Ciencias, Universidad Central de Venezuela. Bruzual, R. y Domınguez, M. Calculo diferencial en una variable.

Publicaciones del Laboratorio de Formas en Grupos, Facultad de Ciencias,Universidad Central de Venezuela.

Bruzual, R. y Domınguez, M. Calculo integral en una variable.Publicaciones del Laboratorio de Formas en Grupos, Facultad de Ciencias,Universidad Central de Venezuela.

Edwards, C. H. y Penney, D.E. Ecuaciones diferenciales elementalescon aplicaciones. Prentice Hall.

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